Upload
bucur-florin
View
256
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
8/6/2019 definitii matematica
1/78
4
Autori: Mihaela Singer
Cristian Voica
Refereni: Cristian AlexandrescuDan Brnzei
Vasile Berinde
Ion Chiescu
Ion D. Ion
Severius Moldoveanu
Dorin Popovici
Liliana Preoteasa
Gabriela Streinu-Cercel
Redactare: Corina Crtoaje
Tehnoredactare: Andrei Crtoaje
2004 Editura SIGMA
Toate drepturile asupra prezentei ediii aparin Editurii SIGMA. Nici o parte a
acestei lucrri nu poate fi reprodus fr acordul scris al Editurii SIGMA.
8/6/2019 definitii matematica
2/78
5
Pe orice dreapt exist dou sensuri opuse; orice punct de pe dreapt mparte dreaptan dou semidrepte corespunztoare celor dou sensuri.
Se numete ax numeric(axa numerelorsau ax de coordonate)o dreapt pe caresunt fixate: un punct numit origine, un segment considerat unitate i un sens numitsensul
pozitiv (corespunztor uneia dintre semidreptele determinate de origine). Notm origineaunei axe numerice cu O iar axa cu Ox sau Oy sau Oz. Punctul O mparte axa Ox nsemidreapta pozitiv (corespunztoare sensului pozitiv) i semidreapta negativ. Un punct
A de pe o ax numeric are abscisa (coordonata) numrul a, dacA se afl pe semidreaptapozitiv la distana a de origine, aU 0 iA are abscisa b = a, dac se afl pe semidreaptanegativ. NotmA(a) pentru a evidenia faptul c punctulA are abscisa a.
PuteriPentru orice niq, nU 2 i ag4,puterea n a luia este produsul a n factori egali cu a.
Notm a a a an
n
= ...factori
1 24 34 ; n se numete exponent, iar a se numete baz.
Prin convenie, a1 = a, a0 = 1.
Pentru a 0, definim 1nn
aa
= , niq.
Pentru orice numr pozitiv a i orice numr natural par nU 2, numrul notat an ,
numit rdcina de ordin n a lui a, sau radical indice n din a, este soluia pozitiv aecuaiei xn = a.
Pentru orice numr real a i orice numr natural impar n, 1n , numrul notat an ,numit rdcina de ordin n a lui a, sau radical de ordinul n din a, este soluia real aecuaieixn = a.
Fie a > 0 i run numr raional, rmn
= , mim,niq, nU 2.Atunci a ar mn= .
Numrul ar se numeteputerea de exponent r a lui a.
Operaii pe Z. Proprieti
Pentru orice numere reale a, b, c au loc urmtoarele egaliti:1) a + b = b + a (comutativitate)
Numere reale
Distana dintre dou puncteA(a) i B(b)situate pe axa numerelor, notat d(A,B) sauAB,este d(A, B) = | a Bb |.
Clasa a IX-a
Valoarea absolut(modulul) unui numr real a, este numrul aa a
a a=
Bb .
J Dac 0 < a Tb, atunci 01 1 0 , atunci ac Tbc i ac
bc
T .
J Dac a Tb i c < 0 ,atunci ac Ubc i ac
bc
U .
Inegaliti elementare
Inegalitatea sumei de ptrate. Pentru a, biZ, avem: a2 + b2U 2ab. Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwartz. Pentru orice niq*, a
1, a
2, ..., a
niZ,
b1, b2, ..., bniZ, avem:2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2( ... ) ( ... )( ... )n n n na b a b a b a a a b b b+ + + + + + + + +T .
8/6/2019 definitii matematica
4/78
7
Elemente de logic matematic
Propoziii
Un enun care este fie adevrat, fie fals, se numetepropoziie.
Valoarea de adevra unei propoziii este 1 dac propoziia este adevrat, sau 0 dacpropoziia este fals. Notm v(p) valoarea de adevr a propoziieip.
Conjunciapropoziiilorp, q este propoziia notat pq, cu valoareade adevr v(pq) = v(p)v(q). Propoziiapq se citete p i q.
Disjuncia a dou propoziiip, q este propoziia notatp q, cuvaloarea de adevr v(p q) = v(p) + v(q) v(p) v(q). Propoziiap q
se citete p sau q.Implicaiapropoziiilorp, q este propoziia notatp q, cu valoarea
de adevr v(p q) = 1 v(p) + v(p) v(q). Propoziia p q secitete p implic q, dacp, atunci q, q pentru cp sau dinp rezult q.
Echivalenapropoziiilorp, q este propoziia notatp q, cu valoareade adevr v(p q) = 1 v(p) v(q) + 2v(p) v(q). Propoziiap q secitete p este echivalent cu q, p dac i numai dac q, condiianecesar i suficient pentrup este q.
Negaiapropoziieip este propoziia notat p sau p cu valoarea deadevr v(p) = 1 v(p). Propoziia p se citete negaia lui psau non p.
F
G
F G
Aproximri
Partea ntreaga unui numr real a este cel mai mare numr ntreg, notat [a],mai mic sau cel mult egal cu a, deci [a] Ta < [a] + 1.Partea fracionara numruluia este {a} = a [a].
Pentru oricexiZ, trunchierea lui x de ordini, i im, este numrul [x]i= [x 10i]10i.
Spunem c a aproximeaz prin lipsnumrul x cu eroarea k,dac aTxTa + k
(adic 0T
x aT
k). Numrul aaproximeaznumrul x prin adaos cu eroarea k,daca kTxTa. Numrul aaproximeaz pe x cu eroarea kdac a kTxTa + k.
Rotunjirea unui numr realx la ordinul i, iim, este numrul cel mai apropiat dex, ales dintre aproximrile prin lips i prin adaos de ordinul i, ale lui x.
F
G
FG
F
G
FG
F
F
Inegalitatea mediilor. Pentru niq, nU2 i a1, ... a
ngZ
+*, avem
n
a a a
a a aa a a
nn
nn n
1 1 11 2
1 21 2
+ + +
+ + +
......
...T T .
Egalitatea are loc dac i numai dac a1
= a2
= ... = an.
8/6/2019 definitii matematica
5/78
8
Inducie matematic
Principiul induciei. Considerm un ir de propoziiip(0), p(1),...,p(n), ... . Dac:p(0) este adevrat i kiq,p(k) p(k+ 1) este adevrat, atunci n iq,p(n)este propoziie adevrat.
Pentru orice propoziiip i q menionm:Legea dublei negaii: ppLegea terului exclus: v(p p) = 1Legea reducerii la absurd: (p q )( q p)
PredicateUnpredicateste un enun care depinde de una sau mai multe variabile i care devinepropoziie oricum am nlocui variabilele cu valori alese dintr-o mulime dat. Mulimeadin care variabilele iau valori se numete mulimea de definiie sau domeniul predicatului.NotaiaP: p(x), x iD semnific faptul c domeniul predicatuluiPeste mulimeaD.
Un predicatP: p(x), xiD are mulimea de adevrformat din toate elementele aiDpentru carep(a) este o propoziie adevrat. Mulimea de adevr a unui predicat p(x;y),xiS, yiT este format din toate perechile (a;b) cu aiS, biTpentru carep(a;b) esteo propoziie adevrat.
Fie predicatul p(x),xiD. Propoziia pentru orice valoarex are locp(x) se numetepropoziie universalasociat predicatuluip(x) i se noteaz x,p(x) sau xiD,p(x).Propoziia x,p(x) este adevrat dac oricum am nlocui variabilax cu valoarea v n
predicatulp(x), propoziiap(v) este adevrat. Dac exist cel puin o valoarex0 astfelnctp(x
0) este fals, atunci propoziia x,p(x) este fals.
Fiep(x) un predicat cu domeniulD. Propoziia exist cel puin o valoare a variabileix astfel nctp(x) s fie adevrat se numetepropoziie existenialasociat predicatuluip(x) i se noteaz jx,p(x) sau jxiD,p(x). Propoziia jx,p(x) este adevratdac exist valoarea v astfel nct propoziiap(v) este adevrat. Dac nu exist nici ovaloarex0 astfel nctp(x0) s fie adevrat, atunci propoziia jx, p(x) este fals;scriem , ( )x p x .
Fie xiD,p(x) un predicat. Negaia propoziiei x,p(x) este propoziia jx, p(x).Negaia propoziiei jx,p(x) este propoziia x, p(x).
Fie P: xiD, p(x) i T: xiD, t(x) dou predicate. Predicatul T se numeteconsecin logicapredicatuluiP(notm P T ) dac, pentru orice valoarex, propoziia
( ) ( )p x t x este adevrat. n acest caz,Pse numete condiie necesarpentru T, iar Tse numete condiie suficientpentruP.
Doupredicate p(x), x S i q(x), xT se numesc echivalente dac S = Tipropoziia x T , p(x) q(x) este adevrat.
8/6/2019 definitii matematica
6/78
9
Mulimi
Considerm mulimile cu care lucrm incluse ntr-o mulime notat T i numitmulime total.
MulimeaA este inclusn mulimeaB, scriemA_B, dac xgT,xgAxgB
este propoziie adevrat.Complementara mulimii A este mulimea notat A (sau CTA, sau CA), format din
elementele lui Tcare nu aparin luiA. { },A x x T x A= .InterseciamulimilorA iB este mulimea notatA OB format din elementele
lui Tcare aparin luiA iB. A B x x T x A x B = { , }
ReuniuneamulimilorA iB, notatANB, este mulimea format cu elementele lui Tcare aparin sau luiA, sau luiB. ANB = x x T x A x B ,m r
DiferenamulimilorA iB este mulimea notatAB, format din elementele careaparin luiA i nu aparin lui B. { }\A B x x A x B= .
Notm q* = q {0}, Z* = Z {0} etc.
Notm cu |A| numrul de elemente ale mulimii finite A. Mulimea cu 0 elemente(fr elemente) se numete vid i se noteaz cu . Avem | | | | | | | |A B A B A B= + N O .
Mulimea prilor mulimii A este P(A) = {X|X_ A }.
Numim produs cartezian al mulimilor A i B mulimea notat ADB aperechilorordonate avnd primul element dinA i al doilea dinB. ADB = {(x, y) |x iA iyiB}.
Produsul cartezian al mulimilorA1, A
2, ...,A
neste
A1D... D An = {(x1,x2, ...,xn) |x1iA1, ...xniAn}.
Repere carteziene
nelegem prinsistem ortogonal(reper cartezian), notatxOy,
un sistem format din dou axe de coordonate perpendiculare, cuoriginea comun O, pe care se consider aceeai unitate de msuri sensurile convenionale.
Fiind dat un sistem ortogonal, unui punctPdin plan i se asociaz n mod unic o perecheordonat de numere reale (a; b) numite respectiv abscisa (a) i ordonata (b) ale punctuluiP.Abscisa i ordonata unui punct datPse numesc coordonatelepunctuluiP. NotmP(a; b).
Un reper cartezianxOy n plan determin o mprire a planului n patru cadrane:
I , | ,= > >M x y x yb gn s0 0 , II , | ,= < >M x y x yb gn s0 0 ,III , | ,= <
8/6/2019 definitii matematica
7/78
10
FunciiDefiniii.
Ofuncie exprim o asociere ntre dou mulimiA iB, prin care fiecrui element din
mulimeaA i corespunde un singur element din mulimeaB.Mulimea A se numete domeniul funciei f , mulimea B se numete codomeniu.
Elementele dinA se numesc argumente sau variabile, elementele luiB se numesc valori.Pentru x iA, f(x) se numete imaginea lui x.
Notm f:A B, sau A Bf , sauf
x ya ,x i A, y iB.Funcia realeste o funcie care are domeniul i codomeniul mulimi de numere reale.
Fie f:A B o funcie. Pringraficulacestei funcii nelegem submulimea Gf a
produsului cartezianADB format din perechile (x; y) cu proprietatea cy =f(x).Dac f:A B este o funcie numeric, Gfare particularitatea c se poate reprezenta cao submulime de puncte din plan. Unui element (x;y) din Gfi corespunde punctulP(x; y)din plan. Mulimea punctelor din planP(x; y) cu (x; y) iG
fse numete reprezentarea
geometric a graficului funciei f. Pentru simplificarea limbajului, vom numi aceastreprezentare geometricgraficul funciei f.
Tipuri de funcii
O funcie f: Z Z de forma f(x) = ax + b, a, biZ , se numete funcie afin.
Pentru a = 0, obinemfunciaconstantf(x) = b. Dac a@ 0, f(x) = ax + b se numetefuncie de gradul I. Dac b = 0, f se numetefuncie liniar.
O funcief :ZZ dat prin relaiaf (x) = ax2 + bx + c, unde a, b, c sunt numere realefixate, a nenul, se numetefuncie de gradul al II-lea.
O funcie f :Z Z, de forma f(x) = ax2, 0a se numetefuncie ptratic.
Fie D o mulime simetric, adic xiD dac i numai dac xiD, D Z .Ofuncie realf:DZ se numetepar,dac f(x) =f(x), xiD. n acest caz,
Oy este axa de simetrie a graficului luif.Ofuncief:DZ se numete impar,dacf(x) = f(x), xiD. n acest caz, O
este centru de simetrie al graficului luif.
Distanadintre puncteleM1(x
1;y
1) iM
2(x
2;y
2) este M M x x y y1 2 1 2
21 2
2= + b g b g .
nelegem prin reper cartezian n spaiu, notat Oxyz, un sistemformat din trei axe de coordonate Ox, Oy, Oz, cu aceeai origineO, perpendiculare dou cte dou, pe care se consider aceeai
unitate de msur i sensurile convenionale. Distana dintre punctele M
1(x
1;y
1;z
1) i M
2(x
2;y
2;z
2) este
2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )M M x x y y z z= + + .
8/6/2019 definitii matematica
8/78
11
Operaii cu funcii
Fief,gdou funcii reale definite pe acelai domeniu de definiie,D.
: , ( ) ( )f gf g D x f x g x++ +aZ se numetefuncia suma luifig.
: , ( ) ( )f g
f g D x f x g x
aZ se numetefuncia produs a luifig.
Pentru g(x)@0, xiD, fg
D: ,Z ( )( )
fg f x
xg x
a se numetefuncia cta lui fprin g.
Funcia 1A
: A A, 1A(x) =x se numetefuncia identica mulimiiA.
Considerm funciilef: A B ig: C D, B a C. Funciag fo : A D, definitprin (g fo )(x) =g(f(x)) se numete compusa lui gcu f.
Fie funciaf:A B. Dac exist o funcieg:B A cu proprietile 1Ag f =oi 1Bf g=o , atunci gse numete inversa funciei f i se noteaz f1. n acest caz,
f este funcie inversabil.
Funcii elementare
Urmtoarele funcii definite pe domeniul lor maxim de definiie sunt considerateelementare:
O funcie real :f D Z se numetefuncie periodic, cu perioada T dac 0T ,x + TiD, xiD i f(x + T) =f(x), xiD. Cea mai mic perioad strict pozitiv(dac exist), se numeteperioad principal.
x ax b+a x xa sinx xa2x ax bx c+ +a 3x xa cosx xa
4x xa 1x xa tgx xa
Restricia unei funcii elementare la o submulime a domeniului su de definiieeste tot funcie elementar. Prin operaii algebrice sau prin compunere de funciielementare, obinem funcii elementare.
Ecuaii, inecuaii, sisteme Ecuaii/inecuaii/sisteme echivalente
Dou ecuaii/inecuaii/sisteme se numesc echivalente dac se obin una dincealalt prin transformri echivalente.
Ecuaii de gradul I i al II-lea
Ecuaia de forma 0 cu , , 0ax b a b a+ = Z (ecuaia de gradul I) are soluia
unic bxa
= i, ca urmare, mulimea soluiilor are un singur element.
Ecuaia ax2 + bx + c = 0, cu a, b, cg4i a@ 0, (ecuaia de gradul al II-lea) are:
J dou soluii reale 1,22
bxa
= dac = b2 4ac > 0;
J o soluie realx =2
ba
dac = b2 4ac = 0;
J nici o soluie real dac = b2 4ac < 0.
8/6/2019 definitii matematica
9/78
12
Calcul vectorialSegment orientat. Vector
Se numetesegment orientato pereche ordonat de puncte din plan (sau din spaiu).
Segmentul orientat corespunztor perechii de puncte (P, Q) se noteaz cu PQ . PunctulPsituat pe primul loc se numete origine, iar Q se numete extremitatea segmentului
PQ . n cazul cnd originea i extremitatea coincid se obinesegmentul orientat nul.
DreaptaPQ (P@Q) se numete dreapta suporta segmentului PQ .
Mrimea (sau modulul) segmentului orientat PQ se noteaz cuPQ sau PQ i estelungimea segmentului neorientatPQ. Segmentul orientat nul are mrimea zero.
Dou segmente orientate nenule sunt echipolente dac au acelai modul, aceeai
direcie i acelai sens. Dac PQ i P Q sunt echipolente, notm PQ ~ P Q .
Spunem c dou drepte au aceeai direciedac sunt paralele sau coincid. Dou segmenteorientate, care au aceeai direcie, pot aveaacelai sens (fig.1)sau sensuri opuse (fig.2).
Se numete vector mulimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu unsegment orientat dat. Orice element din aceast mulime este un reprezentantalvectorului. Notm PQ
uuurvectorul asociat segmentului orientat PQ . Vectorul asociat
Putem exprima aceste condiii i astfel: PQ ~ P Q dac i numai dac segmentelePQ iPQ au acelai mijloc.
Prin convenie, toate segmentele orientate nule suntechipolente ntre ele.
Ecuaii iraionale
Numim ecuaie iraionalo ecuaie ce conine necunoscuta sub radical.Tipuri de ecuaii iraionale elementare:
ax b c+ = 3 ax b c+ =
2ax bx c ex f + + = + 3 3ax b ax b e+ =
ax b cx d e+ + = 3 3 2x ax bx c x d + + + = +
Sisteme de ecuaii
Sistemele de ecuaii care conin o ecuaie de gradul I, pot fi transformate prin metodasubstituiei n sisteme echivalente mai simple.
Inecuaii
Inecuaiile pot fi reduse la studiul semnului unei funcii
8/6/2019 definitii matematica
10/78
13
unui segment orientat nul este numit vector nul, notat 0r
. Modulul vectorului PQuuur
,
notat PQuuur
, este distana dintre Pi Q.
VectoriiPQuuur
i P Q uuuuur
sunt egali dac segmentele orientate PQ , P Q sunt echipolente.
Operaii cu vectori Adunarea vectorilor. Pentru a aduna doi vectori, alegem cte
un reprezentant al acestora i aplicm una dintre regulile urmtoare:Regula triunghiului sau relaia lui Chasles
Oricare ar fi trei puncteP, Q,R n plan, are loc egalitatea: PQ QR PR+ =uuur uuur uuur
.
Regula paralelogramului
Suma vectoriloruuur
PQ iuuur
PT este PRuuur
, unde
PQRTeste paralelogram. AvemPQ PT PR+ =
uuur uuur uuur
.
Exprimarea prin coordonate
Fie xOy un reper cartezian fixat. Pentru orice vector vr
din plan exist un unic
reprezentant OM , cu originea n O. Coordonatele punctuluiMfa de reperul cartezianxOy se numesc coordonatele vectorului v
r. Notm cu ( ; )v x y
rsau ( ; )v x y=r vectorul de
coordonate (x; y). Modulele numerelorx iy reprezint mrimile proieciilor ortogonale
ale vectorului vr
pe axele Ox i respectiv Oy.Considerm vectorii i
ri j
rde coordonate (1; 0), respectiv (0; 1). Vectorii i
ri j
rse
numesc versorii axelor de coordonate. Ei au modulul egal cu 1, direciile axelor i sensurilesemiaxelor pozitive Ox i Oy.
Vectorul ( ; )v x yr
se scrie n mod unic sub forma v xi yj= +r rr
. Aceast scrierereprezint descompunerea vectorului v
rdup cele dou axe. Prin descompunerea dup
cele dou axe, un vector din plan se identific cu o pereche ordonat (x;y) din Z2. n
acest mod, operaiile cu vectori pot fi descrise pe componente astfel: dac 1 1( ; )u x y
r
i2 2( ; )v x y
r, atunci: 1 2 1 2( ; )u v x x y y+ = + +
r r, 1 1( ; )u x y =
r, 1 2 1 2( ; )u v x x y y =
r r,
1 1( ; )u x y = r
.
Opusul unui vector. Opusul vectorului PQuuur
este vectorul QPuuur
. Suma dintre un vectori opusul su este vectorul nul.
nmulirea unui vector cu un scalar. Prin nmulirea vectorului nenul PQuuur
cu numrul
real nenul , obinem vectorul PR PQ= uuur uuur
definit astfel: PR PQ= , puncteleP, Q iR sunt coliniare, iar segmentele orientate PQ i PR au acelai sens dac > 0 i sensuricontrare dac < 0. n produsul dintre un numr real i un vector, numrul considerat se
numetescalar.Dac 0PQ =
uuur rsau = 0, atunci 0PQ =
uuur r.
8/6/2019 definitii matematica
11/78
14
ntr-un reper cartezian Oxy, poziia unui punctA din plan este determinat de vectorul
AOA r=uuur r
, numit vector de poziie al punctuluiA (n raport cu reperulxOy). Pentru a artac Ar
reste vectorul de poziie al punctuluiA, notm ( )AA r
r.
Ecuaii ale dreptelor n plan
Ecuaia drepteiddeterminat de punctul A(xA, yA) i de vectorul director ( , )u
este: ( )A Ay y x x
=
.
FieA(xA,yA),B(xB,yB) dou puncte;dreaptaAB are ecuaia
( )B AA AB A
y yy y x x
x x
=
, dac B Ax x ix =xA dacxB =xA.
Ecuaia dreptei ce trece prin A(xA,y
A) i are panta m este:
y yA
= m(x xA
).
Paralelismul sau concurena dreptelor
Dreptele distincte de ecuaiey = mx + n iy = m x + n suntparalele dac i numaidac m = m i n n .
Dreptele de ecuaiey = mx + n iy = mx + n sunt concurente dac i numai dac m m .
Transformri geometrice
Translaia de vectorvr este funcia care asociaz oricrui punctM, punctulM cuMM v =
uuuuur r.
Translaia conserv coliniaritatea, distanele, unghiurile i ariile.Imaginea unui cerc printr-o translaie este un cerc de aceeai raz; centrul cercului
imagine este transformatul centrului cercului preimagine prin translaia dat.
Fie O punct din plan i knumr real nenul. Omotetie de centru O i raport keste
funcia care asociaz oricrui punctMdin plan punctulM cu OM kOM =uuuuur uuuur
.Omotetia conserv coliniaritatea i msurile unghiurilor. Printr-o omotetie de raport
k, distanele se nmulesc cu k iar ariile se nmulesc cu k2.
Fie d o dreapt n plan. Simetria de ax d este funcia care asociaz unui punctM care nu aparine lui d punctul M astfel nct d este mediatoarea segmentuluiMM. Punctele dreptei d sunt invariate la simetria de ax d. Dreapta d se numeteax de simetrie.
Fie Cun punct n plan. Simetria de centruCeste funcia care asociaz unui punctMdin plan un punctM astfel nct Ceste mijlocul segmentuluiMM. Cse numete centrude simetrie.
Simetria conserv coliniaritatea, distanele, msurile unghiurilor i ariile.
8/6/2019 definitii matematica
12/78
15
Elemente de trigonometrie
Cercul trigonometric
Un unghi cu vrful n centrul unui cerc care subntinde un arc de cerc de lungimeegal cu raza cercului are msura 1 radian. Unghiul cu vrful n centrul cercului de raz
R, care subntinde un arc de lungime lare msura lR radiani. Relaia ntre msura n
radiani, ti msura n grade a unghiurilor, , este t=
180.
Considerm un sistem de coordonate ortogonale n plan cu originea n O.Un cerc de raz 1 cu centrul n origine pe care s-a stabilit un sens de parcurs
(invers acelor ceasornicului), se numete cerc trigonometric. Prin convenie, numimsens trigonometric sau pozitiv sensul invers acelor de ceas.
Fie cercul trigonometric C, fieA,B dou puncte pe C i liZ. Arcul orientatcuoriginea n A, extremitatea n B, de msur leste drumul pe Cde lungime l care se
parcurge de laA la B n sens pozitiv dac l > 0 sau n sens negativ dac l < 0.
Notm arcul orientat prin ( , )AB l sau AB , dac msura l este cunoscut.Un numr li (, ] se numete msur principala unui arc orientat de msurx,
dac exist kgm astfel nctx = l+ 2k.
Fie Ccercul trigonometric de centru O.
Numim unghi orientato pereche ordonat de semidrepte cu originea n O mpreuncu un sens de rotaie precizat. Spunem c unghiul este orientat pozitiv dac sensul derotaie este cel trigonometric i este orientat negativ n caz contrar.
Msura unui unghi orientateste msura principal a arcului orientat n acelai sens,delimitat pe cercul trigonometric de laturile unghiului.
Dou unghiuri orientate sunt congruente dac au aceeai msur.
Funcii trigonometrice
ntr-un cerc trigonometric C de centru O, fie
A(1, 0) iC. Unui numr real t i se asociaz un punctM(cost, sint) iC, care are msura arcului orientat AMegal cu t.
Avem: 1 T cos tT 1; 1 T sin tT 1
Identitatea fundamental a trigonometriei: sin2t+ cos2t= 1.
Corespondena t a sint, definit pe Z cu valori n intervalul[1, 1] se numete funcia sinus.
Funcia sinus are perioda principal T = 2;sin (t+ 2) = sin t, tiZ.Sinus este o funcie impar: sin(t) = sint, tiZ.
O
8/6/2019 definitii matematica
13/78
16
Corespondena t a cost, definit pe Z cu valori n intervalul [1, 1] se numete funcia cosinus.
Funcia cosinus are perioada principal T= 2 ; cos(t+ 2) = cost, tiZ.Cosinus este o funcie par: cos(t) = cost, tiZ.
Funciat a tg tdefinit pe Z m\ ( )2 12
k k+ RST
UVW
cu valori n Z, sintgcos
ttt
= , se
numete tangent.Funcia tangent este periodic, avnd perioada principal T = .
Funcia tangent este impar: tg(t) = tg t, t k k + ( ) ,2 12
m .
Funcia ta ctg tdefinit pe { }\ |k k Z m cu valori nZ, cosctgsin
ttt
= , se numete
cotangent.Funcia cotangent este periodic, avnd perioada principal T = .Funcia cotangent este impar: ctg(t) = ctg t, ,t k k m .
Reducerea la primul cadran
cos t0
= cos ( t0)
sin t0
= sin ( t0)
sin( + ) = sin; cos( + ) = cos; sin(2 ) = sin; cos(2 ) = cos;
Identiti trigonometrice:cos(a + b) = cosa cosbH sina sinb; sin(ab) = sina cosb sinb cosa;
cos2a = cos2a sin2a; sin2a = 2sina cosa; 2 1 cos2cos
2
aa += ; 2 1 cos 2sin
2
aa = ;
tg tgtg ( )
1 tg tga b
a ba b++ =
;
tg tgtg( )
1 tg tga b
a ba b =
+ ;
8/6/2019 definitii matematica
14/78
17
ConsidermABCcu laturile a, b, c i hanlimea cobort din vrfulA pe laturaBC.
Teorema sinusurilor:aA
bB
cC
Rsin sin sin
= = = 2 ,R fiind raza cercului circumscris ABC.
Teorema cosinusului:a2 = b2 + c2 2bc cosA.
Formula lui Heron. Notmp a b c= + +
2. Aria ABCeste S p p a p b p c= ( )( )( ) .
Aria ABCeste Sa h ab C abc
Rrpa=
=
= =
2 2 4sin
, unde reste raza cercului nscris.
( )( )sin
2p b p cA
bc = , ( )cos
2p p aA
bc= .
Relaii metrice n triunghiul oarecare
Ecuaii trigonometrice
Ecuaiile sin t= a ; cos t= a ; tg t= m se numesc ecuaii trigonometrice fundamentale.Se vor rezolva numai ecuaii trigonometrice a cror soluie se obine folosind valorile
principale ale funciilor trigonometrice i reducerea la primul cadran pe cercul trigonometric.
2
2tgtg 2
1 tg
aa
a=
; 2
2tg2sin
1 tg2
t
tt
=+
;
2
2
1 tg2cos
1 tg2
t
tt
=
+; 2
t2tg2tg
1 tg2
tt
=
.
Formulele de transformare a unei sume sau diferene n produs sunt:
sin sin 2sin cos2 2
a b a ba b + + = ; sin sin 2sin cos2 2
a b a ba b + = ;
cos cos 2cos cos2 2
a b a ba b + + = ; cos cos 2sin sin2 2
a b a ba b + = .
8/6/2019 definitii matematica
15/78
18
O funcie f : q* A se numete ir de elemente din mulimea A. Notm( ) , *nf n a n= q ; funciafse mai noteaz pe scurt (an)nU1 sau (an).n acest caz, an se
numete termen de rangn.
Se numete progresie aritmeticun ir de numere reale n care fiecare termen,ncepnd cu al doilea, se obine din termenul precedent prin adunarea cu un acelainumr, numit raia progresiei.
O progresie aritmetic se noteaz a1, a2, ..., an, ... sau (an).
Decidef.
1( )n n na a a r + = + , pentru nU 1, unde riZ este raia progresiei aritmetice.Termenul generalal unei progresii aritmetice F(a
n), de raie r, este dat de formula
an = a1 + (n 1)r, pentru nU 1.Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice este: 1
( )2
nn
a a nS
+= .
Se numeteprogresie geometricun ir de numere reale nenule n care fiecare termen,ncepnd cu al doilea, se obine din termenul precedent prin nmulirea cu un acelainumr real nenul, numit raia progresiei.
O progresie geometric se noteaz: b1, b
2, ..., b
n, ... sau (b
n).
Decidef
1( )n n nb b b q+ = , pentru nU 1, unde q este raia progresiei geometrice, 0q .Termenul generalal unei progresii geometrice (b
n), de raie qiZ*, este dat de
formula bn
= b1
qn1, pentru nU 1.Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice (b
n) de raie qiZ* este
==
1
1
, dac 1
( 1), dac 1
1
nn
nb q
S b qq
q
.
CLASA A X-A
Progresii
FunciiFuncii bijective
Fie funcia BAf : .Pentru 1A A , mulimea { }= 1 1( ) ( )f A f x x As este imaginea lui A1prin funcia f.
Mulimea f(A) se numete imaginea funciei fi se noteaz cu Imf. Pentru 1B B ,mulimea { }11
1 )()( BxfAxBf = s se numetepreimaginea lui B1prin funciaf.
Funciaf este injectivdac Axx 21 , cu 1 2 1 2, avem ( ) ( )x x f x f x . Funcia festesurjectivdac AxBy , astfel nct .)(xfy =Ofuncie care este injectiv i surjectiv se numete bijectiv.Pentru funciile numerice, injectivitatea, surjectivitatea i bijectivitatea pot fi justificate
cu ajutorul reprezentrilor grafice.
8/6/2019 definitii matematica
16/78
19
O funcie :f A B este inversabil dac i numai dac este bijectiv. Dac feste o funcie numeric bijectiv, graficele funciilor f i 1f sunt simetrice fa de
prima bisectoare (y = x).
Funcia exponenial. Funcia logaritmic
Fie ai (0, +) {1}, xiZ i ( ), ( )n nx x irurile aproximaiilor prin lips,
respectiv prin adaos ale lui x la zecimale de ordinul n. Prin definiie, puterea x anumrului a este unicul numr real y, notat ax, cu proprietatea , *n nx xa y a nT T qdac a > 1, respectiv , *n nx xa y a nU U q dac 0 < a < 1.
Funcia : (0, ), ( ) , , 0, 1xf f x a a a a = > Z Z se numete funciaexponenial de baz a.
Pentru }1{),0( +a , funcia exponenial f : Z (0, +), f (x) = ax esteinversabil. Inversa funciei exponeniale este : (0, ) , ( ) logag g x x =Z , numit
funcia logaritm n baza a.
O funcie ZIf : , cu I interval real, se numete convex (respectiv concav)dac orice secant determinat de dou puncte de pe graficul lui f este situat deasupra
poriunii (respectiv sub poriunea) din grafic care este delimitat de cele dou puncte.
Funcia exponenial este funcie convex.Funcia logaritm n baza a este concav dac a >1 i convex dac 0 < a < 1.
Funcii trigonometrice inverse
Funcia sin : ; [ 1; 1]2 2 , sinx xa , este o funcie bijectiv, deci inversabil.
Funcia invers este : [ 1; 1] ;2 2
arcsin , arcsiny ya .
Funcia cos :[0; ] [ 1; 1] , cosx xa , este o funcie bijectiv, deci inversabil.Funcia invers este :[ 1; 1] [0; ]arccos , arccosy ya .
Funcia
tg : ;2 2
Z , tgx x , este o funcie bijectiv, deci inversabil.
Funcia invers este : ;2 2
arctg
Z , arctgx xa .
Ecuaia sin t= a are soluii dac i numai dac ai [1, 1]. Mulimea soluiilor
ecuaiei este arcsin , arcsin ,a k k a k k + + 2 2 m ml q l qU .Ecuaia cos t= a are soluii dac i numai dac ai [1, 1]. Mulimea soluiilor
ecuaiei este arccos , arccos ,a k k a k k + + 2 2 m ml q l qU .Ecuaia tg t= m are soluii, oricare ar fi m un numr real. Mulimea soluiilor ecuaiei
este arctg ,m k k+ ml q .
Inecuaii trigonometriceFie f o funcie trigonometric i aiZ. Mulimea soluiilor inecuaiei f(x) Ta se
obine proiectnd pe axa Ox poriunea din graficul lui f situat sub dreapta de ecuaiey = a.
8/6/2019 definitii matematica
17/78
20
Numere complexe
Mulimea numerelor complexe
Ecuaia x2 + 1 = 0 nu are soluie n mulimea numerelor reale. Considerm ceamai mic mulime care include Z, n care aceast ecuaie are soluii. n acest caz,
notm cu i o soluie a ecuaiei date i o numim unitate imaginar; i2 = 1.
Pentru orice pereche de numere reale (a, b),z = a + ib se numete numr complex;a = Rez estepartea reala luiz i b = Imz estepartea imaginara luiz; Re Imz z i z= + .
Mulimea { }= = + | , ,z z a ib a b Z se numete mulimea numerelorcomplexe. DacImz = 0, numrul complexz este real; dac Rez = 0, numrul complexz este imaginar.
Operaii cu numere complexe
Pentruz = a + ib, 1 1 1z a ib= + i 2 2 2z a ib= + avem:
1 2 1 2 1 2( ) ( )z z a a i b b+ = + + + ; 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1( ) ( )z z a a b b i a b a b= + + ;
2 2 2 2
1 a biz a b a b
= + +
;2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 21 1 1 1 1
z a a b b a b a bi
z a b a b+
= + + .
Numere complexe conjugate
Conjugatul numrului complexz = a + ib este numrul complex z a ib a ib= + = .
Pentru orice numere complexez iz avem:
a z z ib z z= + = 2 2; ; z z= , iZ; z z z z+ = +' '; z z z z = ' ' .
Modulul unui numr complex
Se numete modulul numrului complexz, z = a + ib, numrul real z a b= +2 2 .
Oricare ar fi numerele complexe z, z, undez = a + ib i z = a + ib,avem:1) z U0; 2) z z= =0 0; 3)z z z = 2; 4) z z= .
5)z z z z = ; 6)zz
z
z z = , 0 ; 7)
= 2 , 0| |z z z
zz z .
8)Inegalitatea triunghiului: z z z z z z + + T T .
Forma trigonometric a unui numr complex
Pentru orice numr complex nenulz = a + ib , exist i este unic numrul [0, 2 )
cu | | (cos sin ); cos , sin| | | |a bz z iz z
= + = = ; se numete argumentul redus
al numrului z i se noteaz = argz.
8/6/2019 definitii matematica
18/78
21
Dac n scrierea trigonometric a unui numr complex, z = (cos + isin),nlocuim cu + 2k, kim, scrierea rmne valabil:z = [cos( + 2k) + i sin(+2k)]. Aadar, exist mai multe valori pentru care z = (cos + i sin).
Numerele complexe z i1 1 1 1= + cos sinb g i z i2 2 2 2= + cos sinb g sunt egale
dac i numai dac au acelai modul (1 = 2) i exist kimastfel nct 1 2 = 2k.Utilizarea formei trigonometrice n operaii
Oricare ar fi numerele complexe nenule 1 1 1 1(cos sin )z i= + ,
2 2 2 2(cos sin )z i= + avem:
1 2 1 2 1 2 1 2[cos( ) sin( )]z z i= + + + [ ]1 11 1
1 1 cos( ) sin( )iz
= +
[ ]2 2 2 1 2 11 1
cos( ) sin( )z
iz
= +
1 1 1 1(cos sin )n nz n i n= +
Formula lui Moivre: cos sin cos sin , + = +i n i nn
b g niq*.Fiez un numr complex nenul, z = (cos + isin) i niq, nU 2. Se numete
rdcin de ordinuln a lui z orice numr complex care verific relaia n =z.Exist n numere complexez0,z1,z2, ...,zn1, cu z zk
n = i anume:
+ + = +
2 2cos sin , 0 1nk
k kz i k n
n nT T .
Interpretarea geometric a operaiilor n
FiexOy un reper n plan. Asociem punctuluiM(x;y) numrul complex zM =x + iy,numit afixul luiM.
Pentru oricare trei puncteM,N,Pdin planul complex i orice numr real , avem
echivalenele: 1 = =uuuur uuur uuur
M N P z z z OM ON OP
2 = = uuur uuuur
N Mz z ON OM .
Fiezi*,z = r(cos + isin) i zi* cu |z| = 1,z = cos + isin. Imaginea geometric a numrului com-plexz z se obine din imaginea geometric a luiz prin
rotaia de centru O i unghi .
8/6/2019 definitii matematica
19/78
22
Elemente de geometrie n plan i n spaiu
Transformri geometrice
Se numete transformare geometricn spaiu o aplicaie bijectiv a spaiului,T:SS.Figura = F A A F T( ) sl q se numete transformata figurii F prin T.
PunctulPse numete invariant(saupunct fix) pentru transformarea Tdac T(P) =P.
O aplicaie bijectiv T: SSa spaiului S n el nsui se numete izometrie dacpstreaz distana, adic pentru orice puncteA, BiS avemAB = T(A)T(B).
Fie vr un vector n spaiul S. Translaia de vector rv este aplicaia tvr :S Sdefinit pentru orice AiS prin =( )vAt A vr
uuuuuuur r.
Fie Cun punct al spaiului S. Simetria de centru Ceste transformareasC: SS careasociaz oricrui punct Mdin S acel punct sC(M) = M astfel nct Ceste mijloculsegmentului [MM]. Cse numete centru de simetrie.
Fie do dreapt n spaiul S. Numimsimetrie de ax d, transformareasd : SSdefinit astfel: pentruMiS \ d,s
d
(M) =M dacMMudi mijlocul segmentuluiMMaparine lui d; pentruMid,sd(M) =M.
O figurFdin spaiu se spune c are ax de simetrie (sau c este invariant n raportcu o ax de simetrie) dac exist o dreapt dastfel ncts
d(F) =F.
Fie ai*. Rdcinile de ordinul n ale lui a au caimagini geometrice vrfurile unui poligon regulat cucentrul n O.
Aplicaii ale numerelor complexe n geometrie
Distana dintre dou puncte.FieA iB puncte n plan. AtunciAB = |zB
zA|.
Ecuaia cerculuiEcuaia cercului de centru )( 00 zM i raz 0>r este =0z z r .Msura unui unghiFie puncteleM
1(z
1) i M
2(z
2). Msura unghiului orientat2 1M OM este
= 22 11
( ) argz
m M OM z
r .
Fie punctele distincte M1(z1), M2(z2), M3(z3). Atunci = 3 1
3 1 22 1
( ) argz zm M M M z zr(se translateaz originea n punctul M
1i se aplic metoda precedent).
Condiia ca un triunghi s fie echilateral
Fie A, B, C trei puncte n plan. Triunghiul ABCeste echilateral dac
zA
+ zB
+ 2zC
= 0, unde = +2 2cos sin3 3
i .
8/6/2019 definitii matematica
20/78
23
Fie P un plan n spaiul S. Numim simetrie fa de planulP, transformarea:s
PS S , definit astfel: pentruMiS \ P,s
P(M) =M dacMMuPi mijlocul
segmentului MM aparine lui P; pentru MiP, sP(M) = M.
O figurFdin spaiu se spune c areplan de simetrie (sau c este invariant n raportcu un plan de simetrie) dac exist un plan P astfel ncts
P(F) =F.
Fie O un punct n planul P i kun numr real nenul. Se numete omotetie de centruO i raport k transformarea ho
k:P P care asociaz oricrui punct Mdin planul P
acel punct ,cu)( OMkMOMMhko == ceea ce se poate scrie sub formaOM kOM
=uuuuur
uuuur .
n planul P,rotaiede centru O i unghi orientateste transformarea geometric:or
P P care asociaz oricrui punct \{ }A OP punctulA astfel nct OA OA= ,iar unghiul orientat pozitiv, determinat de semidreptele (OA i (OA, este congruent cu .
Notm ( )or A A = ; prin convenie, ( )Or O O = .
Vectori n plan i n spaiu
Fie Oxy un reper ortogonal n plan. Pentru orice punctMdin plan, vectorul OM senumete vectorul de poziie al punctuluiM. Aceeai definiie se pstreaz pentru puncteraportate la repere ortogonale n spaiu.
Fie Oxyz un reper ortogonaln spaiu. Pentru orice vector rv din spaiu, exist un unic
reprezentant OM, cu originea n O. Coordonatele luiMfa de reperul Oxyz se numesc
coordonatele vectorului
r
v . DacM(x;y;z), atuncix se numete abscisa,y se numeteordonata, iarz se numete cota punctuluiM(sau vectorului uuuurOM) n raport cu reperul dat.Notm ( ; ; )
rv x y z sau = ( ; ; )rv x y z vectorul de coordonate (x, y,z). Considerm
vectoriiri ,
rj i
rk , de coordonate
(1; 0; 0), (0; 1; 0), respectiv (0; 0; 1).Vectorii
ri ,
rj i
rk se numesc versorii
axelor de coordonate. Ei au modulul1, direciile axelor i sensurile semi-
axelor pozitive. Dac ( ; ; )r
v x y z , atunci= + +
rr rrv x i y j z h reprezint scriereavectorului rv fa de reperul ales.
Msura unghiului. Perpendicularitate
Msura unghiului a doi vectori nenuli este msura unghiului determinat de doireprezentani ai acestora, care au originea comun. Notm m(r(v1, v2)) msura unghiuluideterminat de vectorii v1 i v2.
Pentru orice doi vectori nenuli 1rv , 2rv din spaiu, numrul real 1 2 1 2 cosv v v v = r r r r ,cu 1 2( ( , ))m v v =
r rr se numete produsul scalar al vectorilor 1v
ri 2v
r. Dac 1v
rsau 2v
r
este nul, atunci prin definiie produsul scalar 1 2v vr r
este nul.
8/6/2019 definitii matematica
21/78
24
Metode vectoriale n geometria n spaiuDacpunctele A iB sunt distincte, atunci puncteleA,B, Csunt coliniare dac i
numai dac existxiZ astfel nct =AC xAB .Dac A, B, Csunt necoliniare, atunci puncteleA, B, C, D sunt coplanare dac i
numai dac existx,yiZ astfel nct = +AD xAB yAC .
Spunem c vectorul nenul vr
este paralel cu dreapta a dac existA,Bia astfel
nct =v AB . n acest caz, vr
se numete vector directoral dreptei a.
Spunem c vectorulnenulvr
este paralel cu planul dac existA,Bia astfel nct=v AB .Fie vectorul 0u r paralel cu o dreapt a i vectorul 0v r paralel cu o dreapt b.
Dreptele a i b din spaiu sunt paralele dac i numai dac existxiZ astfel nct v xu=r r
.Fie 0u
rrun vector director al unei drepte a i ,v w
r rvectori necoliniari paraleli cu
un plan .Dreapta a este paralel cu planul dac i numai dac existx,yiZ astfelnct u xv yw= +r r r .
Fie ur
,vr
vectori necoliniari paraleli cu un plan i ur
, vr
vectori necoliniari paraleli
cu un plan .Planele isunt paralele dac i numai dac existx,y,z, tiZ astfelnct u xu yv = +
r r r, v zu tv = +r r r .
Msura unghiului a dou drepte din spaiu este msura unghiului mai mic sau egalcu 90 fcut de doi vectori directori ai celor dou drepte.
Spunem c dou drepte din spaiu sunt perpendiculare dac msura unghiului loreste 90.
Dac u, v sunt doi vectori directori ai dreptelor a, b atunci msura unghiului dreptelor
a, b este
| |
arccos | | | |
u v
u v
r r
r r . n particular, dreptele a i b sunt perpendiculare dac i numaidac 0u v =
r r.
Spunem c dreapta deste perpendicular pe planul dac deste perpendicular peorice dreapt a planului . Dreapta deste perpendicular pe planul dac i numai dacdeste perpendicular pe dou drepte concurente ale sale.
Spunem cplanuleste perpendicular pe planul dac exist o dreapt coninutn , care este perpendicular pe . Dac u, atunci avem u.
Dac punctulA aparine planului , atuncisimetricul lui A fa de esteA. Dac
punctulA nu aparine planului atunci simetricul luiA fa de a este acel punctA carendeplinete condiiile:AAu i mijlocul segmentuluiAA este n . n acest caz, senumete planul mediator al segmentului AA.
Produsul scalar u vr r este nul dac i numai dac sau 0 sau 0.u v u v = =r rr r r r
Fie vectorii de poziie ( , , )u x y z=r i 1 1 1( , , )v x y z=r
nenuli i fie unghiul
determinat de vectorii ur
i vr
. Atunci 1 2 1 1 12 2 2 2 2 2
1 2 1 1 1
cosv v x x y y z zv v x y z x y z
+ + = =
+ + + +
r r
r r .
8/6/2019 definitii matematica
22/78
25
Poziiile relative ale dreptelor i planelor n spaiu pot fi caracterizate vectorial. Distanelei unghiurile dintre drepte i/sau plane se pot calcula cu ajutorul produsului scalar.
Ariile mulimilor poligonale
ntr-un plan, o mulime poligonal este o reuniune finit de triunghiuri ce au
interioarele disjuncte dou cte dou.Fie Fmulimea format din mulimile poligonale din planul P.O funcie +:S RF se numetefuncie arie dac:(1) pentru orice triunghiuri T1 i T2 congruente, avem S(T1) = S(T2).(2) pentru orice mulimi poligonaleP
1iP
2, cu interioare disjuncte,
S(P1NP
2) = S(P
1) + S(P
2).
(3) S(P) = 1, undePeste ptratul cu latura egal cu unitatea.Funcia arie exist i este unic.
Aria discului
Spunem c o mulime M de puncte din plan este msurabil(sau are arie) dac existun unic numr real S(M) cu proprietile:
a) S(M) este mai mare sau egal dect aria oricrei mulimi poligonale, incluse nM;b) S(M) este mai mic sau egal dect volumul oricrei mulimi poligonale, ce includeM.Discul (mulimea punctelor din interiorul sau de pe frontiera unui cerc) este o mulime
msurabil.Aria discului se calculeaz cu formula: S(D) = R2.Volumele mulimilor poliedrale
O reuniune finit de piramide ce au interioarele disjuncte dou cte dou este omulime poliedral.
Un poliedru este o mulime poliedral ce are proprietile:J pentru orice dou puncte interioare ale poliedrului exist o linie poligonal cu
extremitile n cele dou puncte, format numai din puncte interioare;J pentru orice dou puncte ce nu aparin poliedrului exist o linie poligonal cu
extremitile n cele dou puncte, format numai din puncte ce nu aparin poliedrului.
Notm cu P mulimea ale crei elemente sunt mulimile poliedrale.
O funcie V : PZ+
se numete funcie volum, dac:1) pentru orice tetraedre T
1i T
2congruente, avem V(T
1) = V(T
2).
2) P1,P2 mulimi poliedrale cu interioare disjuncte, V(P1N P2) = V(P1) + V(P2).3) V(U) = 1, unde Ueste un cub de muchie 1.
Funcia volum exist i este unic.
Principiul lui CavalieriFie P
1i P
2dou mulimi poliedrale i un plan. Dac pentru orice plan t,
mulimile OP1
i OP2
au arii egale, atunci V(P1) = V(P
2).
8/6/2019 definitii matematica
23/78
26
Polinoame
Expresia , undenaX a n Z, q , se numete monom de nedeterminat X ; a se
numete coeficient, X se numete nedeterminat.Monomul aXn, cu a 0, are gradul n. Monomul 0 Xn se numete monom nulise noteaz 0.
Dou monoame nenule de aceeai nedeterminat se numesc monoame asemenea dacau grade egale. Monoamele asemenea pot fi reduse; de exemplu, aXn + bXn = (a + b)Xn.
Un polinom cu nedeterminataXi coeficieni reali (sau compleci) este suma unormonoame cu coeficieni reali (respectiv compleci) i cu aceeai nedeterminat.
Monoamele care alctuiesc un polinom se mai numesc termenii polinomului. Mulimeapolinoamelor cu coeficieni reali se noteaz Z[X] ; mulimea polinoamelor cu coeficienicompleci se noteaz [X]. Mulimea polinoamelor cu coeficieni ntregi, respectivraionali se noteaz m[X], respectiv {[X].
Forma canonica polinomului f de nedeterminat X cu coeficieni compleci este
11 0...
n nn nf a X a X a
= + + + , cu 0na . Scriem
0
nk
kk
f a X =
= .Polinomul 0 estepolinomul nul.Orice polinom de o nedeterminat poate fi scris n forma canonic prin reducerea
monoamelor asemenea.Un polinom nenul 0
11 ... aXaXaf
nn
nn +++=
scris sub form canonic aregradul
n (notm gradf= n). n acest caz, an se numete coeficient dominanti a0 se numetetermen liber. Polinomul nul are prin definiie gradul .
Dou polinoame scrise n form canonic sunt egale atunci cnd au acelai grad icoeficienii monoamelor de acelai grad sunt egali.
Valoarea numeric a polinomului0
nk
k
k
f a X =
=
calculat pentru numrul este
0
( )n k
kk
f a=
= .
Volumele corpurilor rotunde
Spunem c o mulimeM de puncte din spaiu este msurabil (sau are volum)dac exist un unic numr real V(M) cu proprietile:
a) V(M) este mai mare sau egal dect volumul oricrei mulimi poliedrale, inclusenM;
b) V(M) este mai mic sau egal dect volumul oricrei mulimi poliedrale, ceinclude M.
Cilindrul circular, conul circular, trunchiul de con circular, sfera sunt mulimimsurabile. Pentru calculul volumelor lor, se poate aplica principiul lui Cavalieri.
8/6/2019 definitii matematica
24/78
27
Fie f un polinom cu o nedeterminat i coeficieni compleci. Funcia f% ,:f % dat prin ( ) ( )f z f z=% , oricare ar fiz i, se numetefuncie polinomial
(asociat polinomuluif ).Pentru polinomulf, am notat prinf(), i, valorile numerice ale polinomului. Din
acest motiv, dac nu exist pericol de confuzie, putem nota tot cufi funcia polinomial
asociat.FieA, B dou submulimi ale lui . O funcie BAf : se numetepolinomial
dac exist un polinom ][XP astfel nct ( ) ( ),f P A = % .
Operaiile cu polinoame formulate n [X] se regsesc analog n Z[X], {[X],m[X].
Fie0
, [ ],m
ii
i
f g X f a X =
= i0
,n
jj
j
g b X m n=
= T .
Suma polinoamelorfigeste 0 ,
nk
kkf g g f c X =+ = + = unde
,
,k k
kk
a b k mc b m k n
+=
8/6/2019 definitii matematica
25/78
28
Teorema fundamental a algebrei (Teorema DAlembert-Gauss). Orice ecuaie polinomial cu coeficieni compleci de grad mai mare sau egal cu 1 are cel puino rdcin complex.
Se numete ecuaie algebriccu o necunoscut o ecuaie de forma 0)( =xf unde
f este un polinom nenul. Gradul ecuaiei este gradul polinomului f, iar coeficieniipolinomului f se numesc coeficienii ecuaiei. Numrul a este soluie a ecuaieidac ,0)( =af adic a este rdcin a polinomului f.
Teorema lui Bzout. Fie [ ]f X un polinom nenul i a. Atunci a esterdcin a polinomului f dac i numai dac X a divide f.
Consecin. Fie 2[ ], grad 2, .f X f f aX bX c = = + +Z Atunci:a)feste reductibil peste
b)feste reductibil peste Z dac i numai dac 2 4 0.b ac = U
Relaiile lui Vite.Fie polinomul 0 1 ... [ ]
nnf a a X a X X = + + + , an 0, cu rdcinile 1 2, , ... nx x x .
Avem
+ + + = 11 2 ... ;n
nn
ax x x
a + + + =
21 2 1 3 1... ;
nn n
n
ax x x x x x
a...; = 01 2 ... ( 1)
nn
n
ax x x
a.
Spunem c i este rdcin multipl de ordin p pentru polinomul nenulfi[X], dac ( )pX divide pe f i 1( )pX + nu divide pef (p se numete ordinde multiplicitate).
Rdcinile polinoamelor cu coeficieni reali, raionali, ntregi
Fie [ ]f XZ un polinom nenul cu coeficieni reali i o rdcin complex a luif.1) este de asemenea o rdcin a luif.2) i au acelai ordin de multiplicitate.
Orice polinom 0 1 ...n
nf a a X a X = + + + de grad 1nU cu coeficieni reali poate fidescompus ntr-un produs de polinoame de gradul I sau gradul II cu coeficieni reali.
Dac un polinom f cu coeficieni raionali are o rdcin de forma a b d+ cu > , , , 0,a b d d d { { , atunci:
1) a b d este de asemenea rdcin a luif.
2) a b d+ i a b d au acelai ordin de multiplicitate.
Dac un polinom 0 1 ...n
nf a a X a X = + + + , an 0, cu coeficieni ntregi are o rdcin
raionalpq
= , unde p, qim, 0, ( ; ) 1q p q = , atunci:
1) p divide termenul liber 0a2) q divide coeficientul dominant .na
8/6/2019 definitii matematica
26/78
29
Elemente de combinatoric
Notm n! = 1 2 3 ... n, nU 1. Prin convenie, 0! = 1.
FieMo mulime cu n elemente, nU 1. Opermutare a mulimii este un ir finit format
cu elementele mulimii, care apar fiecare o singur dat.Echivalent, o permutare a mulimiiMeste o funcie bijectiv :{1; 2 ; ...; }f n M .Numrul permutrilor unei mulimi cu n elemente este n!.
Notm Sn
mulimea tuturor permutrilor mulimii {1; 2; ...; n}.
FieMo mulime cu n elemente, nU 1 i pTn. Un aranjamentcup elemente dinmulimea dat este un ir finit format cup dintre elementele mulimii, care apar fiecareo singur dat. Echivalent, un aranjament cup elemente din mulimeaMeste o funcieinjectiv :{1; 2; ...; }f p M .
Numrul aranjamentelor de n elemente luate cte p este( 1)( 2) ( 1)pnA n n n n p= +K sau
!( )!
pn
nAn p
=
, 0 Tp T n.
FieMo mulime cu n elemente, nU 1 ipTn. O combinare cup elemente din mulimeadat este o submulime cup elemente a acesteia.
Numrul combinrilor de n elemente luate cte p este notat pnC saun
p
FHG
IKJ,
!
!( )!
pn
nC
p n p
=
, 0 TpTn.
Formula combinrilor complementare: p n pn nC C=
Formula de descompunere a combinrilor: 11 1p p pn n nC C C
= + , unde nU 1, 1TpTn 1.
Binomul lui Newton. Fie numerele reale a i b i numrul natural nenul n. Avem:0 1 1
0
( ) ... ...n
n n n k n k k n n k n k k n n n n n
k
a b C a C a b C a b C b C a b =
+ = + + + + + = .Termenul de rang k+ 1 din binomul lui Newton este
1
k n k k
k n
T C a b+
= , ki {0, 1, 2, ..., n}.
8/6/2019 definitii matematica
27/78
30
Statistic i probabiliti
Termeni specifici
n studiile statistice, urmtorii termeni specifici au o semnificaie deosebit: populaia statistic: este mulimea de indivizi (persoane) luat n considerare pentru
efectuarea analizelor statistice; eantionul: este o submulime a populaiei statistice creia i se aplic instrumentulde analiz (chestionar, interviu, dezbatere etc.);
eantionul reprezentativ: este un eantion selectat dup o list de criterii care permitextrapolarea rezultatelor;
caracteristica (variabila) statistic: este un criteriu n funcie de care se catalogheaznumeric anumite informaii:
seria statistic: este ansamblul rezultatelor unui studiu statistic, ordonate dup unanumit criteriu.
Efectivul unei populaii P, notat |P|, este numrul de indivizi din aceast populaie.
Se numete claso submulime a unei populaii statistice ai crei indivizi se deosebescprin anumite proprieti de restul populaiei. Numrul de elemente ale unei clase Csenumete efectivul clasei i se noteaz |C|.
Spunem c o populaie statisticPeste mprit n clasele C1, C
2, ...C
k, kiq*, dac
orice dou clase sunt disjuncte i orice individ se afl n una dintre clase, adic
C1N C2N ...N Ck =P i CiOCj = l, pentru i@j .
ntr-o populaiePo clas Carefrecvena| || |C
fP
= .
Frecvena relativde apariie a unui rspuns se calculeaz prin formula:
numrul de rspunsuri corespunztoare unei variabile statisticefrecvena
numrul de persoane din eantionul ales= .
Medii
Media aritmetica numerelorx1,x
2, ...,x
nse calculeaz cu formula: 1 2
... na
x x xm
n+ + +
= .
Media ponderata numerelorx1,x
2, ...,x
ncu ponderilep
1,p
2, ...,p
nse calculeaz cu
formula: 1 1 2 21 2
......
n np
n
x p x p x pm
p p p + + +
=+ + +
.
Media geometrica numerelor reale pozitivex1,x
2, ...,x
neste numrul real pozitiv
notat mg pentru care 1 2 ...n
g nm x x x= .
Modululunei serii statistice este caracteristica pentru care frecvena corespunztoareeste maxim (n cazul n care exist un singur maxim).
8/6/2019 definitii matematica
28/78
31
Pentru o serie statistic, mediana este numrul care mparte efectivul n dou pride aceeai frecven. Mai precis, 50% dintre datele studiate au valoare mai mare dectmediana, iar restul au valoare mai mic dect mediana.
Abateri medii
Fiex1,x2, ...,xn valorile unei variabile statistice discrete i x media acestor valori.Abaterea medie liniarse calculeaz cu formula: 1 2
... nx x x x x xn
+ + + = .
Fiex1,x2, ..., xn valorile unei variabile statistice discrete i x media aritmetic aacestor valori.Dispersia i abaterea medie ptraticmsoar gradul de mprtiere avalorilor variabilei n jurul mediei.
Dispersia:2 2 2
1 2( ) ( ) ... ( )nx x x x x xDn
+ + + = ;
Abaterea medie ptratic:2 2 2
1 2( ) ( ) ... ( )nx x x x x xn
+ + + = .
Experiene aleatoare
O experieneste o activitate care poate fi observat de mai multe ori n condiiiasemntoare i al crei rezultat ne intereseaz.
Un experimentconst n nfptuirea unei experiene i obinerea rezultatului.
Orice rezultat care poate fi obinut n cadrul unui experiment se numete eveniment.Experimentele ale cror rezultate nu pot fi anticipate, chiar dac se repet n aceleaicondiii, se numesc experimente aleatoare.
Rezultatele posibile ale unui experiment aleator se numesc evenimente elementare.
Operaii cu evenimente
ConsidermA,B dou evenimente ale unui experiment aleator.
EvenimentulANB,este numit evenimentul sumsau reuniune al evenimentelorA,Bi se produce n acele experimente n care apareA sauB.
EvenimentulAOB, numit intersecia sau conjuncia evenimentelor A iB, se producen experimentele n careA iB apar simultan.
Evenimentul A B (sau A \ B), diferena evenimentelor A i B, se produce cndapareA i nuB.
Evenimentul contrar, notat A, se produce cnd nu se produce A.
Spunem c evenimentul A implic evenimentul B dac n toate experimentele n carese produceA se produce iB.
8/6/2019 definitii matematica
29/78
32
Dac un eveniment A este constituit din mai multe evenimente elementare egal probabile, atunci probabilitatea sa de producere este:
numrul evenimentelor elementare favorabile( )numrul evenimentelor elementare posibile
P A = .
Efectum un ir (infinit) de experimentri n care urmrim apariia evenimentuluiA;notm cu a
n(A) numrul apariiei evenimentuluiA i notm cu ( )
( )n
n
a Af A
n= frecvena
apariiei luiA n primele n experimentri, niq. Dac irulfn(A) se apropie (tinde, con-verge) la un numrP(A), atunci numrulP(A) se numeteprobabilitatea evenimentului A.
Probabilitatea unui evenimenteste un numr cuprins ntre 0 i 1. Un eveniment a cruirealizare este sigur are probabilitatea 1, iar un eveniment imposibil are probabilitatea 0.
n cadrul unui experiment,probabilitateade producere a unui evenimenteste egalcu suma probabilitilor tuturor evenimentelor elementare favorabile produceriievenimentului dat.
O variabil aleatoare este o funcie definit pe mulimea evenimentelor elementareale unui experiment aleator, cu valori n mulimea numerelor reale.
Scheme probabilistice
Schema binomial (Bernoulli)FieA un eveniment de probabilitatep i fie q = 1 p (probabilitatea luiA). Fie k, niq,
kTn. Evenimentul de a obineA n exact kdin n experimentri (n celelalte n kse va
realiza evenimentulA) este C p qnk k n k , adic coeficientul luixkdin dezvoltarea binomului(px + q)n.
Schema binomial generalizat (Poisson)DacA
1,A
2, ...,A
nsunt evenimente independente de probabilitip
1,p
2, ... respectiv
pn, atunci probabilitatea s se produc exact k, kTn, dintre evenimenteleA
1,A
2, ...,A
n
este egal cu coeficientul luixkdin produsul ( ) ( ) ( )1 1 2 2 ... ,n np x q p x q p x q+ + + undeq
1= 1 p
1, q
2= 1 p
2, ..., q
n= 1 p
n.
Probabiliti condiionate
FieA iB evenimente ale unui experiment aleator n careB este eveniment posibil.Numimprobabilitate de producere a evenimentului A, condiionat de producerea lui
B, numrul( i )
( / )( )
P A BP A B
P B= . Acest numr estimeaz ansa de producere a
evenimentuluiA, dac tim c evenimentulB s-a realizat.
FieA iB dou evenimente ale unui experiment aleator.
EvenimentulAeste favorizat de evenimentulB dac:P(A /B) >P(A / B ).EvenimenteleA iB sunt evenimente independente dac:P(A /B) =P(A / B ).EvenimenteleA iB sunt independente dac i numai dacP(A iB) =P(A) P(B).
8/6/2019 definitii matematica
30/78
33
Matrice
Considerm o mulimeE_i m, niq*.Matrice de tip (m, n) cu elemente din Eesteo funcieA : {1, 2, ..., m}D {1, 2, ..., n} E. Spunem c matriceaA are m linii i n coloane.
Dac notmA(i;j) = aij
, matriceaA poate fi notat prin
=
11 12 1
21 22 211
1 2
...
...( )
...........................
...
n
nij i m
j n
m m mn
a a a
a a aa
a a a
T TT T
.
n cazul n care nu exist pericol de confuzie, notm matriceaA prin (aij).
Mulimea matricelor de tip (m,n) cu elementele din mulimeaEse noteaz cu Mm,n(E).O matrice de tip (n, n) se numete matrice ptratic de ordinn i se noteaz (a
ij)
nsau
(aij), iar mulimea matricelor ptratice se noteaz Mn(E).Sistemul ordonat de elemente (a11, a22, ..., ann) se numete diagonala principal
a matricei A, iar sistemul (a1n
, a2(n1)
, ..., an1
) se numete diagonala secundar).O matrice de tip (m, n) cu toate elementele egale cu 0 se numete matrice nuli
se noteaz Om,n
.Matricele 1 1
1 1( ) i ( )ij i m ij i m
j n j na bT T T T
T T T T
sunt egale dac aij = bij, 1, , 1,i m j n = = .
Transpusa unei matrice1,1,
( )ij i mj n
A a==
= cu m linii i n coloane este o matrice notat
1,1,
( )t ij i nj m
A b==
= cu n linii i m coloane, cu , 1, , 1,ij jib a i n j m= = = .
Pentru niq*, definim
1 0 0
0 1 0( )
0 1
n nI
=
L
L
L L L L
L L
M .
Operaii cu matrice
Suma matricelorA aij i mj n
= ( )11T TT T
i B bij i mj n
= ( )11T TT T
, dinMm,n
(), este matricea
11
( )ij i mj n
C A B c= + = T TT T
, cu cij = aij + bij, 1,i m= , 1,j n= .
Produsul dintre numrul complex (numit scalar) i matricea 11
( )ij i mj n
A a= T TT T
din
Mm, n
() este matricea 11
( )ij i mj n
B A b= = T TT T
, unde bij
= Eaij, 1,i m= , 1,j n= .
Elemente de algebr liniar
Clasa a XI-a
8/6/2019 definitii matematica
31/78
34
Sisteme liniare
O ecuaie liniarcu n necunoscute,x1,x2, ...,xn este o ecuaie de forma:a
1x
1+ a
2x
2+ ... + a
nx
n= b
1, unde a
1, a
2, ..., a
n, b
1i.
Forma general a unuisistem liniareste:
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
n n
n n
m m mn n m
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
+ + + =
+ + + =
+ + + =
R
S||
T||
...
..........................................
...
, undex1, ...xn
Determinani
Determinantul unei matrice de ordin 2, a bA c d =
, este numrul notat
det a bA ad bcc d= = .
Determinantul unei matrice de ordin 3,11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
, este numrul
11 12 13
21 22 23 11 22 33 21 32 13 31 12 23 31 22 13 32 23 11 33 21 12
31 32 33
det a a aA a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
= = + + .
Fie A = (aij) o matrice de tip (m; n). Un minor de ordinul r al matricei A este
determinantul matricei ptratice format cu elementele luiA situate la interseciile a rlinii distincte cu rcoloane distincte.
Dac A = (aij) este o matrice ptratic de ordinul n, complementul algebric al
elementului aij este numrul (1)i+jdij, unde dij este minorul obinut prin eliminarea linieii i a coloaneij din matriceaA.
Dezvoltarea determinantului dup o linie sau o coloan se face astfel:1. alegem o linie sau o coloan i nmulim fiecare element al ei cu complementulsu algebric;2. adunm produsele astfel obinute.
De exemplu, alegnd prima linie a unui determinant de ordinul 3, obinem:
11 12 13 22 23 21 23 21 221 1 1 2 1 321 22 23 11 12 13
32 33 31 33 31 3231 32 33
( 1) ( 1) ( 1)
a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a
a a a
+ + += + + .
ProdusulmatricelorA aij i mj n
= ( )11T TT T
iB bjk j nk p
= ( )11T TT T
(n aceast ordine) este matricea
11
( )ik i mk p
C A B c= = T TT T
, cu c a b a b a b a bik ij jk j
n
i k i k in nk = = + + + =
1
1 1 2 2 ... , 1,i m= , 1,j p= .
PentruAiMn() avem A A Ak
k
= ...de ori
123 , kiq*, iar A =In.
8/6/2019 definitii matematica
32/78
35
sunt necunoscutele sistemului, numerele complexe aij, i m= 1, , j n= 1, sunt coeficienii
necunoscutelor i b1, b2, ... bm sunt termenii liberi ai sistemului.
Unui sistem liniar i asociem matricea sistemului, notatA, format din coeficieniinecunoscutelor i matricea extins a sistemului, notat A ,care se obine adugnd la
coloanele matriceiA coloana termenilor liberi:
A aij i mj n
= ( )11T TT T
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
a a a
a a a
a a a
=
,
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
.................................
...
n
n
m m mn m
a a a b
a a a bA
a a a b
=
Indicele i indic ecuaia sistemului i indicelej indic necunoscuta la care ne referim.
Unsistem liniarse numete omogen dac toi termenii liberi b1
, b2
, ..., bm
sunt nuli. ncaz contrar,sistemulliniar este neomogen.
Unsistem liniarpoate fi: compatibil determinat, dac are o soluie unic; compatibil nedeterminat, dac are o infinitate de soluii; incompatibil, dac nu are soluie.
Pentru un sistem liniar de n ecuaii i n necunoscute, dac determinantul matriceisistemului este nenul, atunci sistemul este compatibil determinat; n caz contrar, sistemul
poate fi incompatibil sau compatibil nedeterminat.Metoda lui CramerFie Sun sistem liniar cu n ecuaii i n necunoscute i fie determinantul matricei
acestui sistem.Dac @ 0, notm cu Dxi determinantul obinut din prin nlocuirea coloanei
corespunztoare coeficienilor necunoscutei xi
cu coloana termenilor liberi, 1,i n = .
Atunci , 1,iix
x i n
= =
.
Matrice inversabile
O matriceptraticA = (aij)niMn() se numete inversabildac exist matriceaB = (b
ij)
niM
n() astfel nctA B =B A =I
n.
Matricea ptraticA = (aij)
neste inversabil dac i numai dac detA@ 0.
Inversa matriceiA este matricea 11
*det
A AA
= , undeA* se obine nlocuind fiecare
element al matricei tA cu complementul su algebric.A* se numete adjuncta matriceiA.
Ecuaii matriceale
Un sistem liniar poate fi exprimat matriceal astfel: AX = B, unde A este matriceasistemului, X este matricea necunoscutelor (matrice coloan) i B este matricea
8/6/2019 definitii matematica
33/78
36
termenilor liberi (matrice coloan). Dac matricea A este inversabil avem X= A1Bsoluie unic.
Dac matriceaAiMm,n() nu este nul, exist un numr natural rTmin{m, n} astfelnct cel puin un minor de ordinul reste nenul, iar toi minorii de ordin mai mare dect r
(dac exist) sunt nuli. Numrul rse numete rangul matricei A.Teorema Kronecker-Capelli.Un sistem de ecuaii liniare este compatibil dac i numai dac rangul matricei
sistemului este egal cu rangul matricei extinse.
Teorema lui Rouch. Un sistem de ecuaii liniare este compatibil dac i numaidac toi determinanii caracteristici sunt nuli.
Terminologia i notaiile din teorema lui Rouch se explic n cele ce urmeaz.Determinanii caracteristici se consider n cazul n care rangul sistemului este
mai mic dect numrul de ecuaii.Din matricea sistemului alegem un minor nenul de ordin r pe care l numim
determinant principali l notm p. Necunoscutele ai cror coeficieni sunt coloane
n p se numesc necunoscute principale. Celelalte se numesc necunoscute secundare.Ecuaiile ai cror coeficieni sunt linii n p se numesc ecuaii principale. Celelaltese numesc ecuaii secundare.
Construim determinanii caracteristici, car, prin bordarea determinantului principalp: orizontal cu coeficienii necunoscutelor principale din cte o ecuaie secundar
i vertical cu termenii liberi corespunztori.
Un sistem liniar se poate rezolva prin metoda lui Gauss, care const n aducerea
sistemului la o form triunghiular:
11 1 12 2 1 1 1 1 1
22 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 1
...
...
...
n n n n
n n n n
n n n n n n n
nn n n
x x x x
x x x
x x
x
+ + + + = + + + = + =
=
.
n acest caz, soluia sistemului se obine uor pornind de la ultima ecuaie.Forma triunghiular se obine aplicnd sistemului iniial transformrile:
i) permutarea ntre ele a dou ecuaii;ii) nmulirea unei ecuaii cu un numr nenul;iii) adunarea unei ecuaii la o alt ecuaie.
Elemente de geometrie (analitic i vectorial)
Ecuaiile dreptei n planFie xOy un sistem ortogonal.Ecuaia y = mx + n, m, niZ se numete ecuaia dreptei de pant m.
8/6/2019 definitii matematica
34/78
37
Ecuaia general a dreptei esteAx + By + C= 0, A,B, CiZ, 0A sau 0B .
Fie d o dreapt n planul (xOy), care nu este paralel cu Oy i fie msura nradiani a unghiului orientat n sens trigonometric, dintre semiaxa pozitiv (Ox idreapta d. Numrul m = tg se numete panta dreptei d.
Ecuaia dreptei de pantm care trece prin punctulA(x0;y
0) este d:y y
0= m(x x
0).
Ecuaia dreptei care trece prin dou puncte diferiteA(x0; y
0), B(x
1; y
1) este
d: 0 0
1 1
1
1 0
1
x y
x y
x y
= i poate fi scris sub forma 0 01 0 1 0
y y x xy y x x
=
, dac 1 0 1 0,y y x x .
Msuri n plan
Distana dintre dou puncte din plan, M1(x
1, y
1) i M
2(x
2, x
2) este
2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( )M M x x y y= + .Distana de la punctulM(x
0,y
0) la dreapta d:Ax +By + C= 0 este 0 0
2 2
Ax By C
A B
+ +
+.
Fie triunghiul A1A
2A
3, cu vrfurile A
1(x
1, y
1); A
2(x
2; y
2); A
3(x
3; y
3).
Aria triunghiului A1A
2A
3se calculeaz cu formula: 1
2S= , unde
1 1
2 2
3 3
1
1
1
x y
x y
x y
= .
Punctele A1,A2,A3 sunt coliniare dac i numai dac
1 1
2 2
3 3
1
1 01
x y
x yx y
= .
Ecuaiile planului n spaiu
Considerm un punct M0 din spaiu i un vector nenul nr
. Putem descrie printr-oecuaie vectorialplanul care conine punctul M
0i este perpendicular pe vectorul n
r
astfel: 0{ | 0}M M M n =uuuuuur r
.
Ecuaia general a unui plan n spaiul tridimensionalesteAx +By + Cz +D = 0,A, B, C, DiZ, unde A, B, Cnu sunt toate nule.
Vectorul de poziie cu coordonatele (A,B, C) este perpendicular pe planulAx +By + Cz +D = 0. Un vector perpendicular pe un plan se numete vector normalla plan.
Ecuaia planului paralel cu planul de ecuaie Ax +By + Cz +D = 0, care trece prinpunctul (x
0,y
0,z
0) este A(x x
0) +B(y y
0) + C(z z
0) = 0.
Ecuaia planului care conine 3 puncte necoliniareM(x1,y
1,z
1),N(x
2,y
2,z
2),P(x
3,y
3,z
3)
este 1 1 12 2 2
3 3 3
11
011
x y zx y zx y zx y z
= . Condiia de necoliniaritate a punctelorM,N,Peste1 1 1
2 2 2
3 3 3
0x y zx y z
x y z
.
8/6/2019 definitii matematica
35/78
38
Ecuaiile dreptei n spaiu
Se numete vector directoral dreptei dvectorul nenulrv astfel nct existA,Bid
cu v AB=r uuur
.
Ecuaia vectorial a dreptei d, care trece printr-un punct M0 i are vectorul directorrv este
r r r rr r v r = +0 , unde este vectorul de poziie al unui punct curent M de pe
dreapt,rr0 este vectorul de poziie al punctului M0 i este un parametru variabil
real. Dreapta d, ca mulime de vectori de poziie, este { }.,| 0 Z+== vrrrdrrrr
Dreapta cu vectorul directorrv(l, m, n) care conine punctulM0(x0,y0,z0) are ecuaiile
parametrice
x x l
y y m
z z n
= + = + = +
RS|
T|
0
0
0
, unde iZ i ecuaiile canonice 0 0 0x x y y z z
l m n
= = ;
l, m, n se numesc parametrii directori ai dreptei.
Dreapta care conine punctele distincte M1(x
1, y
1, z
1), M
2(x
2, y
2, z
2) are ecuaiile
canonicex xx x
y yy y
z zz z
1
2 1
1
2 1
1
2 1
= = . n cazul n care, de exemplu, x1
= x2, ecuaiile
canonice anterioare trebuie considerate: x x1
= 0 i 1 12 1 2 1
y y z zy y z z
=
.
Condiii de paralelism
PlaneleP1
: A1
x + B1
y + C1
z + D1
= 0 i P2
: A2
x + B2
y + C2
z + D2
= 0 sunt
paralele sau confundate dac i numai dac 1 1 12 2 2
A B CA B C
= = (A1 i A2 , B1 i B2 ,
respectiv C1
i C2
pot fi simultan nule).
Dreapta 1 1 1:X x Y y Z z
da b c
= = esteparalel cu (sau coninut n) planul
P: AX +BY + CZ + D = 0, dac i numai dac a A + b B + c C= 0.
Dreptele 1 1 11
:X x Y y Z z
da b c
= = i 2 2 2
2
:X x Y y Z z
dm n p
= = sunt paralele
sau confundate dac i numai dac a b cm n p
= = (unde a i m; b i n; c i p pot fi
simultan nule).
Msuri n spaiu
Distana dintre dou puncte din spaiu, M1(x1, y1, z1) i M2(x2, y2, z2),2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )M M x x y y z z= + + .Distana de la un punct M(x
0
, y0
, z0
) la planul de ecuaieAx + By + Cz + D = 0
este: dAx By Cz D
A B C =
+ + +
+ +
0 0 0
2 2 2.
8/6/2019 definitii matematica
36/78
39
Locuri geometrice remarcabile
Se numete loc geometric o mulime de puncte caracterizat printr-o proprietatecomun tuturor elementelor sale.
Mediatoarea unui segment, bisectoarea unui unghi, planul mediator al unui seg-ment pot fi descrise ca locuri geometrice.
CerculC(M0, r) este locul geometric al punctelor din plan aflate la distana r> 0,numit raz, punctul fix M0(x0, y0), numit centru.
Ecuaia implicit a cercului este: (x x0)2 + (y y
0)2 = r2.
Ecuaiile explicite ale cercului C(M0, r) sunt: = +2 20 0( )y r x x y ,xi [x0 r,x0 + r].
Ecuaia cartezian general a cercului este: dx2
+ dy2
+ 2ax + 2by + c = 0, d@ 0.Ecuaiile parametrice ale cerculuiC(M
0, r) sunt: 0
0
cos
sin
x r x
y r y
= + = +
, i [0, 2).
Parabola este locul geometric al punctelor din plan egal deprtate de o dreaptfix, numit directoarea parabolei i de un punct fix, numit focarulparabolei.
Ecuaia implicit a paraboleiP este y2 = 2px, iar ,02p
F
este focarul.
Ecuaiile carteziene explicite ale paraboleiP sunt: 2y px= , xU 0.
Ecuaiile parametrice ale parabolei sunt:
2
,2t
xtp
y t
=
=
Z .
Elipsa este locul geometric al punctelor din plan pentru care suma distanelor la doupuncte fixe distincte numite focare este constant.
Ecuaia cartezian implicit a elipsei este:
2 2
2 2 1
x y
a b+ = , a, b > 0, a2
= b
2
+ c
2
, iarF(c, 0) i F(c, 0) sunt focarele.
Aria triunghiului cu vrfurile n M1(x
1, y
1, z
1), M
2(x
2, y
2, z
2), M
3(x
3, y
3, z
3) este:
1 2 3
2 2 2[ ] 1 2 3
12M M M
A = + + , unde1 1 1 1 1 1
1 2 2 2 2 2 3 2 2
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 , 1 , 1
1 1 1
y z x z x y
y z x z x y
y z x z x y
= = = .
Volumul tetraedrului cu vrfurile n puncteleM0(x0,y0,z0),M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),
M3(x
3, y
3, z
3) este
0 0 0
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
11| |
16
1
x y z
x y zV
x y z
x y z
= (adic16
din modulul determinantului).
8/6/2019 definitii matematica
37/78
40
Elemente de analiz matematic
iruri de numere reale
O mulime nevid de numere reale A este mrginit superiordac exist MiZ,
astfel nct, pentru oricexiA,xTM. n acest caz, spunem cMeste un majorant almulimiiA.
O mulime nevid A de numere reale se numete mrginit inferior dac existmiZ, astfel nct, pentru orice xiA, xUm. n acest caz, spunem c m este unminorantal mulimiiA.
Supremumul unei mulimi nevide de numere reale este un numrs cu urmtoareleproprieti:
1)s este majorant al mulimii;2) orice alt majorant al mulimii este mai mare sau egal dects.
Axioma lui Cantor.O mulime real nevid, mrginit superior admite supremum.
Ecuaiile carteziene explicite ale elipsei sunt: 2 2b
y a xa
= , xi [a, a].
Ecuaiile parametrice ale elipsei sunt:cos
sin
x a t
y b t
= =
, ti [0, 2).
Hiperbola este locul geometric al punctelor din plan pentru care modulul difereneidistanelor la dou puncte distincte, numite focare, este constant.
Ecuaia canonic a hiperbolei este:2 2
2 2 1 0x ya b
= , a, b > 0, c2 = a2 + b2, iarF(c, 0),
F(c, 0) sunt focarele.
Ecuaia cartezian implicit a hiperbolei este:2 2
2 2 1x ya b
= , (x, y) iZ2 .
Ecuaiile carteziene explicite ale hiperbolei sunt:2 2
b
y x aa= ,xi (, a] N [a, +).
Ecuaia tangentei la cerc n punctul M(x0, y0) iC este(x a)(x0 a) + (y b)(y0 b) = r
2 (se obine din ecuaia cercului prin dedublare).
Ecuaia tangentei la elips(respectiv hiperbol) n punctul M(x0, y
0) este
xx
a
yy
b0
20
2 1+ = respectivxx
a
yy
b0
20
21- =
FHG
IKJ
(se obine din ecuaia elipsei (sau hiperbolei)
prin dedublare).Ecuaia tangentei la parabol n punctul M(x
0, y
0) iP este yy
0= p(x + x
0).
8/6/2019 definitii matematica
38/78
41
Teorema de densitate a lui { n Z. ntre orice dou numere reale diferite existun numr raional. Cu alte cuvinte,a, biZ cu a < b, jqi{ astfel nct a < q < b.
Teorema lui Arhimede. Orice numr real admite un numr natural mai mare dectel. De asemenea,, iZ, > 0, jniq* astfel nct < nE.
Se numeteir de numere reale (ir numeric) o funcie u : q*Z. Imaginea lui nprin funcia u se noteaz cu un; un se numete termenul de rang n. Indicele n arat poziiasau rangul unui termen n ir. De multe ori, se consider ir o funcie real definit pe q.irul se noteaz (u
n)
niq, (u
n)q, (u
n)
nsau (u
n).
Un ir numeric (un)niq este majorat (mrginit superior) dac exist numrul realMcu u
nTM, niq. irul(u
n)
niqeste minorat(mrginit inferior) dac exist un
numr real m cu unUm, niq.
irul(un)
niqse numete mrginitdac exist un numr realM,M> 0, cu u M
nT ,
niq. irurile care nu sunt mrginite se numesc nemrginite.
Un ir(un)
niqse numete constantdac u
n+1= u
n,niq.
irul (un)niq se numetecresctordac un+1Uun, niq.irul (un)niq este descresctordac un+1Tun , niq.irul (u
n)
niqeste monotondac este cresctor sau descresctor.
Unirmonoton (cresctor sau descresctor) cu toi termenii diferii se numetestrictmonoton (respectiv,strict cresctor,strict descresctor).
Unir(un)niq esteperiodic dac exist un numr natural nenul p, numit perioad,astfel nct un+p = un, niq.
Dac anTbn, niq spunem cirul(an)niq este majoratde irul(bn)niq , sauirul
(bn)niq este minoratde irul(an)niq.
O mulime de numere reale Veste vecintate a numrului real a dac exist r> 0astfel nct intervalul (a r, a + r) V. Vom nota cu V(a) mulimea vecintilor
numrului a. De regul, lucrm cu vecinti ale unui punct a care sunt intervale simetrice(bile) de centru a i raz r, pe care le vom nota B(a, r). Avem B(a, r) = (a r, a + r).
irul ( )an q tinde la liZ, dac este adevrat oricare dintre urmtoarele propoziiiechivalente:
1) Orice vecintate a lui lconine toi termenii irului exceptnd eventual un numr finit;2) ViV(l), jn
Vastfel nct niq, n > n
Va
niV;
3) > 0, jn
astfel nct niq, n > n| a
n l| < .
n acest caz, l se numete limita irului (an
)n
i scriem limn
na l
= (sau lima ln =sau a ln ).
8/6/2019 definitii matematica
39/78
42
Notm { ; }= + Z ZN .
O mulime V din Z este o vecintate a lui , dac exist miZ astfel nct[, m) V.
O mulime Vdin Z este vecintate a lui a, aiZ dac VOZiV(a).
irul numeric ( )an q tinde la , dac este adevrat oricare dintre urmtoarele propoziiiechivalente:
1)Orice vecintate a lui conine toi termenii irului, exceptnd eventual un numr finit;
2)ViV(), jnV
astfel nct niq, n > nVa
niV;
3)MiZ, jnM
astfel nct niq, n > nM
an
>M.
n acest caz, notm lim an
= , limn
na
= , an sau ann
i spunem c
irul (an)n are limita .
Se numeteir convergentun ir care are limit finit.irurile care nu sunt convergente se numesc divergente.Un ir convergent este mrginit.
Teoremade convergen a irurilor monotone (Weierstrass). Orice ir monoton imrginit este convergent.
Fie (an)nU 0 un ir i (kn)n un ir strict cresctor de numere naturale. irul 0( )nk na U senumete subiral irului (a
n)
nU0.
Teorema Cesaro. Orice ir mrgint conine un subir convergent.
Criteriul minorrii la .Dac irul (xn)n este minorat prin irul (un)n care tinde la, atunci irul (xn)n tinde la . Altfel spus, dac niq, unTxn i limn n
u
= ,atunci lim
nnx
= .
Criteriul majorrii la .Dac irul (xn)n este majorat prin irul (un)n care tindela , atunci irul (xn)n tinde la . Altfel spus, dac niq, unUxn i lim n
n
u
= ,
atunci lim nn
x
= .
Dac lim| |n
nu
= + i u nn 0 , q , atunci limn
nu=
10.
Criteriul majorrii pentru iruri convergente la 0. Fie irurile (xn)
ni (a
n)
n. Dac
x an nT , " n q i limn na
= 0 , atunci lim
nnx
= 0.
Criteriul majorrii. Fie (xn)
nun ir de numere reale, xiZ i (an)n un ir de
termeni pozitivi. Dac x x a nn n- " T q, i limn na = 0 , atunci (xn)n este convergenti lim
nnx x
= .
8/6/2019 definitii matematica
40/78
43
Suma irurilor care au limit
Proprietatea cunoscut: Suma a dou iruri convergenteeste un ir convergent ilimita sumei este egal cu suma limitelor se extinde, n cazul n care unul cel puin dincele dou iruri are limita infinit, n felul urmtor:
I) Dac anU, iZ i bn +, atunci an + bn +.II) Dac anT, iZ i bn ,atunci an + bn .Dac (a
n) este convergent sau dac a
n +, atunci exist iZ astfel ca a
nU,
pentru orice niq. De asemenea, dac (an) este convergent, sau dac an ,
exist iZ astfel ca anT pentru orice niq. Din cele dou proprieti de maisus rezult urmtoarele patru propoziii:
1) Dac an + i bn +, atunci an + bn +.
2) Dac an a i bn +, atunci an + bn +.3) Dac a
n a i b
n , atunci a
n+ b
n .
4) Dac an i bn , atunci an + bn .Pentru a putea afirma i n aceste cazuri c limita sumei este egal cu suma
limitelor, convenim ca: + = a + = + a = oricare ar fi aiZ;a + () = + a = oricare ar fi aiZ; + () = .Nu se acord nici un sens scrierii .
Pentru a putea afirma n general c limita produsului a dou iruri este egal cu produsul limitelor, convenim c: = ; () = () = ; ()() = .
Nu se acord nici un sens scrierilor 0 sau 0 ().Dac irurile (an) i (bn) au limit (finit sau infinit) i dac produsul limitelor
are sens, atunci irul produs (anbn) are limit i lim( ) lim limn n n nn n na b a b = .Cazuri exceptate: lim 0n
na
= i lim n
nb
= + ; lim 0n
na
= i lim n
nb
= .
Operaii cu iruri
Fie (an)n i (bn)n iruri convergente. Atunci:J (an + bn)n este convergent i lim ( ) lim limn n n n n n n
a b a b
+ = + .
JDac iZ, atunci ( an)n e convergent i lim limn n n na a
= .
J (anbn)n este convergent i lim( ) lim limn n n n n n na b a b
= .
JDac 0nb , niq i lim 0nn
b
, atunci nn n
ab
e convergent i limlim
limnn
n
nn
nn
ab
a
b
= .
Criteriul cletelui.Fie (an)
n, (b
n)
n, (x
n)
niruri de numere reale.
Dac (xn)n este majorat de (bn)n i minorat de (an)n i dac j
lim limn
nn
na b x = = iZ, atunci lim
nnx x
= .
8/6/2019 definitii matematica
41/78
44
irul 11n
ne n = +
, nU 1 este convergent. Limita sa, notat cu e, aparine
intervalului (2, 3).
Dac (an)
neste un ir cu lim n
na
= , atunci 1lim 1
na
n ne
a + =
.
Dac (an)n este un ir nenul cu lim 0nna
= , atunci
1
lim(1 ) nann
a e
+ = .
Fiecare din aceste dou cazuri va fi denumit mai departe cazul 0 .
Pentru a putea afirma n general c limita raportului a dou iruri este egal cu
raportul limitelor, convenim c: 0a =+
i 0a =
, oricare ar fi aiZ.
Nu se acord nici un sens scrierilor
0
, , , , ,0 0
.Dac irurile (a
n) i (b
n) au limit i dac raportul limitelor are sens, atunci irul
n
n
ab
are limit ilim
limlim
nn n
n n nn
aab b
= .
Pentru a putea calcula limite de tip lim( ) nbnn
a
, niq, convenim c:
= , = 0, 0 = 0. Nu se acord nici un sens scrierilor: 0, 1, 00.
Limita unui polinom P(n) avnd gradul kU 1
11 1 0
, 0lim( ... )
, 0kk k
k kn
k
al a n a n a n a
a
>= + + + + =
.
Limita unui ir al crui termen general conine puteri
, 1
1, 1lim
0, 1 1
nu exist, 1
n
n
a
aa
a
a
> == <
8/6/2019 definitii matematica
42/78
45
Limite de funcii
Punctul aiZ este punct de acumulare la dreapta (la stnga) pentru D Zdac, V iV(a), V O D O (a, +) @l (respectiv V O D O (, a) @l). Un punct deacumulare la stnga i la dreapta pentru D se numetepunct de acumulare (bilateral).
Fie f D: Z , a unpunct de acumulare al luiD i lZ .Funcia f are limita l n
punctul a dac este ndeplinit una dintre urmtoarele condiii echivalente:1) (Definiia cu vecinti) Pentru orice vecintate Ua lui l, exist o vecintate Va lui
a astfel nct, oricare ar fixiVOD,x a, s avem f(x) iU.2) (Definiii cu i )
n cazul aiZ i l= :iZ, j > 0, xiD \ {a}, ( )x a f x < > .
n cazul a = i liZ: > 0, jiZ, xiD \ {a}, ( )x f x l < < .
n cazul aiZ i liZ: > 0, j > 0, astfel nct xiD \ {a} cu x a < , rezult ( )f x l < .
n cazul a = i l = : > 0, j > 0, astfel nct xiD,x > , rezultf(x) > .
3) (Definiia cu iruri) (a
n)
n, a
niD \ {a}, ( )n na a f a l .
Vom scrie lim ( )x a
f x l
= .
Fie f : D Z o funcie i a un punct de acumulare la stnga pentru D.Spunem c sl Z este limita la stnga a funciei f n punctul a, dac pentru
orice vecintate Ua lui l, exist o vecintate Va lui a astfel nct, oricare ar fix < a dinVO D s avem f(x) i U.
Se folosesc urmtoarele notaii: lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( 0)sx a x a x a
x a
l f x f x f x f a adin VOD, s avem f(x) iU. Se folosesc urmtoarele notaii:
lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( 0)dx a x a x a
x a
l f x f x f x f a +>
= = = = +]
.
Fief: D Z i a un punct de acumulare bilateral pentru D.Funcia fare limitn a dac i numai dac fare limit la dreapta i la stnga n a i aceste limite suntegale.
8/6/2019 definitii matematica
43/78
46
Limitele funciilor elementare
f: ZZ,f(x) = c, ciZ; lim ( )x
f x c
=
, iZ.
f : Z Z, f (x) = x; lim ( ) lim ( )x x
f x x f
= = = , iZ i lim ,x
x
=
limx x = . f: Z (0, +), f(x) = ax, ai (0, +) \ {1}; lim ,
x
xa a
=
iZ;
lim,
,xxa
a
a=
>< <
= ;
dac 0 < a < 1, atunci limlogaxx
= i
00
limlogaxx
x> = +
.
8/6/2019 definitii matematica
44/78
47
Funcia putere cu exponent real: : (0, ) (0, ), ( ) , *af f x x a+ + = Z .
lim ( ) ( )ax
f x f
= = ;, 0
lim ( )0, 0x
af x
a >
= =
8/6/2019 definitii matematica
45/78
48
4) Dac f> 0 i dac puterealim ( )
lim ( ) x ag x
x af x
nu este un caz de nedeterminare,
atunci funcia fg are limit n a ilim ( )
( )lim ( ) lim ( ) x ag x
g x
x a x af x f x
= .
Fie dou funcii u :AB, f:BZ
. Fie aZ
un punct de acumulare al mulimiiA i bZ punct de acumulare al mulimiiB. Dac1) lim ( )
x au x b
= i lim ( )
y bf y
= l ; 2) ( )u x b pentru x a ,
atunci funcia compus f uo are limit n punctul a i lim ( ( )) lim ( )x a y b
f u x f y
= = l .
Criteriul majorrii. Fief,g: D Z i a un punct de acumulare pentru mulimeaD.i) Dac 0)(lim =
xg
ax, Zil , j V iV(a) cu )()( xglxf T , }{\DV ax i ,
atunci lxfax
=
)(lim .
ii) Dac =
)(lim xfax
i j V iV(a), cu }{\DV,)()( axxgxf T , atunci
=
)(lim xgax
.
iii) Dac =
)(lim xgax
i j V iV(a) cu }{\DV,)()( axxgxf iT , atunci
=
)(lim xfax
.
Criteriul cletelui. Fief,g, h : D Z, a un punct de acumulare pentru D i V o
vecintate a lui a. Dac( ) ( ) ( ), V D\{ }
lim ( ) lim ( )x a x a
f x g x h x x a
f x h x l
= =
IT T
Z , atunci lxgax = )(lim .
Limitele funciilor polinomiale.Fief: ZZ,f(x) = anx
n + an1
xn1 + ... + a1x + a
0, a
kiZ, 0, , 0nk n a= (funcia
polinomial).
J
1 0
, dac 01 1lim ( ) lim ...
, dac 0nn
n n nx xn
af x x a a a
ax x > = + + + =
8/6/2019 definitii matematica
46/78
49
Funcii continue
Fie D Z, f : DZ o funcie numeric i ai D. Dac a este punct izolat aldomeniului D, funcia se numete continu n a. Dac a es