Deformaciones Angulares

ANALISIS ESTRUCTURAL I – EC211 I

SEMINARIO: EL METODO DE LAS DEFORMACIONES ANGULARES

PROFESOR: RICHARD H. CRUZ GODOY FECHA: 14/11/2015

Ecuaciones de Maney:

Barra i-j :

Mij = Mºij +2 𝐸𝐼

𝐿 [ 2i+2j – 3ij ]

Mji = Mºji +2 𝐸𝐼

𝐿 [ 2j+i – 3ij ]


𝐿 [ 2i+2j – 3ij ]


𝐿 [ 2j+i – 3ij ]

Ecuaciones de Maney Alternativas:

Haciendo :

𝐼

𝐿 =Kij , 2Ei = i , 2Ej = j 6Eij =6Eij = ij

Mij = Mºij + Kij [ 2i +j – ij]

Mji = Mºji + Kij [ 2j +i – ij]

PROBLEMA 01.- Hallar los momentos flectores en los nudos del siguiente pórtico.

1.- Rigideces Relativas:

K12 = 2𝐼

2=

𝐼

1 , K23 =

4𝐼

3=

4𝐼

3 , K24 =

3𝐼

4 m.c.m (1, 3, 4) = 12

K12 = 𝐼

1𝑥12 = 12 , K23 =

4𝐼

3𝑥12 = 16 K24 =

3𝐼

4𝑥12 = 9

2.- Hipergeometria:

En el pórtico se tienen dos grados de libertad, 02 giros en los nudos 2 y 3 : 2 y 3

3.- Desplazamiento:

No existe desplazamiento lateral.

4.- Momento de Empotramiento Perfecto:

Barra 1-2 :

Mº12 = − 3000𝑥(2)2

12= −1000 Kg - m

Mº21 = + 3000𝑥(2)2

12= +1000 Kg - m

5.- Ecuaciones de barra:

Barra 1-2 :

M12 = -1000+12 [ 2x0 + 2 – 3x0] = -1000 + 122

M21 = +1000+12 [ 22 +0 – 3x0] = 1000 + 242

Barra 2-3 :

M23 = 0+16 [ 22 + 3 ] = + 322 + 163

M32 = 0+16 [ 23 +2 - ] = + 323 + 162

Barra 2-4 :

M24 = 0+9 [ 22 +0 - ] = 182

M42 = 0+9 [ 2x0 + 2 - ] = 92

6.- Equilibrio:

Nudo 2 : M21 + M23 + M24 = 0 742 +163 1000….(1)

Nudo 3 : M32 = 0 162 + 323….(2)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):

2 = -500/33 = -15.152 3250/33 = 7.576

Reemplazando:

M12 = -1,181.818 Kg-m

M21 = 636.364 Kg-m

M32 = 0.000 Kg-m

M23 = -363.636 Kg-m

M24 = -272.727 Kg-m

M42 = -136.364 Kg-m

Con signo de Momento Flector:

M12 = -1,181.818 Kg-m

M21 = -636.364 Kg-m

M32 = 0.000 Kg-m

M23 = +363.636 Kg-m

M24 = -272.727 Kg-m

M42 = +136.364 Kg-m

M12 = -1,181.818 Kg-m

M21 = -636.364 Kg-m

M23 = +363.636 Kg-m

M42 = +136.364 Kg-m

M24 = -272.727 Kg-m

M32 = 0.000 Kg-m


Solución:

El tramo en voladizo 3-5 es isostático por ende no requiere mayor análisis, el momento que genera

dicho volado será considerado en el nudo 3.


K12 = 2𝐼

4=

𝐼

2 , K23 =

3𝐼

6=

𝐼

2 , K34 =

𝐼

4 m.c.m (2, 2, 4) = 4

K12 = 𝐼

2𝑥4 = 2 , K23 =

𝐼

2𝑥4 = 2 K34 =

𝐼

4𝑥4 = 1

2.- Hipergeometria:

En el pórtico se tienen tres grados de libertad, 02 giros en los nudos 2 y 3 y el desplazamiento lateral

del pórtico: 2, 3 y

3.- Desplazamiento:

El desplazamiento lateral será considerado positivo si el giro que produce es en sentido horario.

+∆/4+∆/4 m.c.m (4, 0, 4) = 4

+∆

4𝑥4 =+

∆

4𝑥4 =


Barra 1-2 :

Mº12 = − 1200𝑥(4)2

12= −1600 Kg - m

Mº21 = + 1200𝑥(4)2

12= +1600 Kg - m

Barra 2-3 :

Mº23 = − 2700𝑥(6)2

30= −3240 Kg - m

Mº32 = + 2700𝑥(6)2

20= +4860 Kg - m


Barra 1-2 :

M12 = -1600+2 [ 2x0 + 2 - ] = -1600 + 22 - 2

M21 = +1600+2 [ 22 +0 - ] = 1600 + 42 - 2

Barra 2-3 :

M23 = -3240+2 [ 22 + 3 ] = -3240 + 42 + 23

M32 = +4860+2 [ 23 +2 - ] = 4860 + 43 + 22

Barra 3-4 :

M34 = 0+1 [ 23 +0 - ] = 23 -

M43 = 0+1 [ 0 + 3 +0 - ] = 3 -

6.- Equilibrio:

Nudo 2 : M21 + M23 = 0 82 +23 - 21640….(1)

Nudo 3 : M32 + M34 = Mvol 22 +63 - 48606600 22 +63 - 1740….(2)

Barra 1-2 :

M2 = 0 H1 (4) + M12 + M21 = 1200(4) (2)

H1 = 2400 – ( M12 + M21 ) /4

Barra 3-4 :

M3 = 0 H4 (4) = M34 + M43 H4 = ( M34 + M43 ) /4

En toda la estructura:

FH = 0 H4 +8000+1200x4 = H1 -62 - 33 + = 41,600….(3)

Resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3):

2 = 14365/6 = 2,394.167 33425/3 = 1,141.667 29695/3 = 9,898.333

Reemplazando:

M12 = -16,608.3 Kg-m

M21 = -8,620 Kg-m

M23 = +8,620 Kg-m

M32 = +1,4215 Kg-m

M34 = -7,615 Kg-m

M43 = -8,756.6 Kg-m


M12 = -16,608.3 Kg-m

M21 = +8,620 Kg-m

M23 = +8,620 Kg-m

M32 = -14,215 Kg-m

M34 = -7,615 Kg-m

M43 = +8756.6 Kg-m

M12 = -16,608.3 Kg-m

M21 = +8,620 Kg-m

M23 = +8,620 Kg-m

M32 = -14,215 Kg-m

M34 = -7,615 Kg-m

M43 = +8,756.6 Kg-m

M35 = -6,600 Kg-m

Ecuaciones de Maney Modificadas:

Caso apoyo articulado en un extremo.

Para la barra i – j , el apoyo i esta articulado por lo tanto Mij=0

Usando las ecuaciones Convencionales


𝐿 [ 2i+2j – 3ij ] = 0

Despejando i

𝐸𝐼

𝐿 i = –

1

2 Mºij –

𝐸𝐼

𝐿 j – 3

𝐸𝐼

𝐿 ij

y reemplazando en Mji:


𝐿 [ 2j+i – 3ij ]

Se obtiene:

Mji = Mºji – 1

2 Mºij +3

𝐸𝐼

𝐿 [ j – ij ]

Usando las ecuaciones Alternativas

Siguiendo el mismo procedimiento:

Mij = Mºij + Kij [ 2i +j – ij] =0

Despejando i y remplanzando en Mji :

Mji = Mºji + Kij [ 2j +i – ij]

Se obtiene:

Mji = Mºji – 1

2 Mºij +

3

2 Kij [ j –

1

3ij ]

PROBLEMA 03.- Hallar los momentos flectores en los nudos de la siguiente viga. El apoyo B se asienta 0.25”

(0.0028’). Considere I=500 pulg4 y E=29000klb/pulg2 .

Solución:

A modo de ilustrar la ventaja del uso de las ecuaciones de Maney modificadas, se resolverá primero

con las ecuaciones de Maney convencional y posteriormente se resolverá con la aplicación de las

ecuaciones Modificadas.

USANDO LAS ECUACIONES CONVENCIONALES

1.- Rigideces :

Se determinara la constante EI/L

𝐸𝐼

𝐿=

29000 𝐾𝑙𝑏

𝑝𝑢𝑙𝑔2𝑥500 𝑝𝑢𝑙𝑔4

10𝑝𝑖𝑒𝑠 𝑥 144 =10070 klb-pie

2.- Hipergeometria:

La viga tiene 3 grados de libertad, 03 giros en los nudos A,B y C y el desplazamiento vertical del

nudo B es dato del problema: A, B y C

3.- Desplazamiento:

El desplazamiento lateral será considerado positivo si el giro que produce es en sentido horario.

+∆/10C∆/10


Barra A-B :

MºAB = − 40𝑥10

8= −50 Klb - pie

MºBA = + 40𝑥10

8= +50 Klb - pie


Barra A-B :

MAB = -50+2x10070[ 2xA + B - 3x(+0.002083)] = -50 + 40280A + 20140B - 125.854

MBA = +50+2x10070[ 2xB + A - 3x(+0.002083)] = +50 + 40280B + 20140A - 125.854

Barra B-C :

MBC = 0+2x10070[ 2xB + C - 3x(-0.002083)] = + 40280B + 20140C + 125.854

MCB = 0+2x10070[ 2xC + B - 3x(-0.002083)] = + 40280C + 20140B + 125.854

6.- Equilibrio:

Nudo A : MAB = 0 -50 + 40280A + 20140B - 125.854….(1)

Nudo B : MBA + MBC = 0 50 +20140A + 80560B + 20140C ….(2)

Nudo C : MCB = 0 20140B + 40280C + 125.854….(3)

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2):

A = 100427/20140000 = 0.00498644 B5/4028 = -0.00124131

C50427/20140000 =-0.00250382

Reemplazando:

MAB = 0.00 Klb-pie

MBA = -25.43 Klb-pie

MBC = +25.43 Klb-pie

MCB = +0.00 Klb-pie

Reemplazando:

MAB = 0.00 Klb-pie

MBA = +25.43 Klb-pie

MBC = +25.43 Klb-pie

MCB = +0.00 Klb-pie

USANDO ECUACIONES CONVENCIONALES MODIFICADAS


Barra A-B :

MBA = 50 – (-50/2) + 3x10070 [ B – (+0.002083)] = 75 + 302102 – 69.927

Barra B-C :

MBC = 0 – (0/2) + 3x10070 [ B – (- 0.002083)] = 302102 + 69.927

6.- Equilibrio:

Nudo 2 : MBA + MBC = 0 60420 2 +75 0….(1)

Resolviendo la ecuación (1) :

2 = -75/60420 = -0.001241

Reemplazando:

MAB = 0.00 Klb - pie

MBA = -25.43 Klb - pie

MBC = 25.43 Klb - pie

MCB = 0.00 Klb - pie


MAB = 0.00 Klb - pie

MBA = +25.43 Klb - pie

MBC = 25.43 Klb - pie

MCB = 0.00 Klb - pie



K12 = 2𝐼

2=

𝐼

1 , K23 =

4𝐼

3=

4𝐼

3 , K24 =

3𝐼

4 m.c.m (1, 3, 4) = 12

K12 = 𝐼

1𝑥12 = 12 , K23 =

4𝐼

3𝑥12 = 16 K24 =

3𝐼

4𝑥12 = 9

2.- Hipergeometria:

En el pórtico se tienen dos grados de libertad, 02 giros en los nudos 2 y 3 : 2 y 3

3.- Desplazamiento:

No existe desplazamiento lateral.


Barra 1-2 :

Mº12 = − 3000𝑥(2)2

12= −1000 Kg - m

Mº21 = + 3000𝑥(2)2

12= +1000 Kg - m


Barra 1-2 :

M12 = -1000+12 [ 2x0 + 2 – 3x0] = -1000 + 122

M21 = +1000+12 [ 22 +0 – 3x0] = 1000 + 242

USANDO ECUACIONES ALTERNATIVAS MODIFICADAS

Barra 2-3 : Maney Modificado M32 = 0

M23 = 0 - 0/2 + 3

2 (16) [ 2 ] = + 242

Barra 2-4 :

M24 = 0+9 [ 22 +0 - ] = 182

M42 = 0+9 [ 2x0 + 2 - ] = 92

6.- Equilibrio:

Nudo 2 : M21 + M23 + M24 = 0 662 1000….(1)

Resolviendo las ecuaciones (1) :

2 = -500/33 = -15.152

Reemplazando:

M12 = -1,181.818 Kg-m

M21 = 636.364 Kg-m

M32 = 0.000 Kg-m

M23 = -363.636 Kg-m

M24 = -272.727 Kg-m

M42 = -136.364 Kg-m


M12 = -1,181.818 Kg-m

M21 = -636.364 Kg-m

M32 = 0.000 Kg-m

M23 = +363.636 Kg-m

M24 = -272.727 Kg-m

M42 = +136.364 Kg-m

M12 = -1,181.818 Kg-m

M21 = -636.364 Kg-m

M23 = +363.636 Kg-m

M42 = +136.364 Kg-m

M24 = -272.727 Kg-m

M32 = 0.000 Kg-m

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