Déformation électroélastique d’un corps solide … · Organigramme d'un logiciel éléments finis Annexe 4 Organigramme de calcul de champ de température ... coincident pas,

Déformation électroélastique d’un corps

solide anisotrope par la méthode des

éléments finis

République Algérienne Démocratique et Populaire

Ministère de L'enseignement Supérieur et de La Recherche Scientifique

Université de Tébessa

Faculté des Sciences et technique

Département de génie mécanique

Mémoire

de fin d’étude pour l’obtention

Du diplôme de Master

CFAO

Thème

Présenté par : Proposé par :

-Djeffal Nouzha H. Belghalem

-Selatnia Neserin

Promotion 2015-2016

تقدير شكر و

لحمد رب العالمين والصالة والسالم على خاتم االنبياء و ا فإننا :اما بعد ˓اجمعينمرسلين نبينا محمد وعلى اله و صحبه

إلنھاء اعلى ما من به علينا ووفقن شكر هللا سبحانه و تعالىنستر.جميع متطلبات درجة الما

و ما اودعمان ناو تحمال ھم اشكر الى من علمانالفيض بنو اطال هللا بقائھما و جزاھما حسن الثواب. ˓نافتئا يدعوان ل

متنان و جزيل الشكر لسعادة الدكتور بلغالم االدم عظيم نقو لدعمه و صبره و توجيھه لنا ˓ المشرف على الرسالة الحاج

و لم يبخل علينا بذلك بخالصة علمه الذي شھد له هللا تعالى آيات قدمننوي طوال فترة البحث كما بدعمه العلمي والمعلجنة المناقشة االستاذ حجاب حكيم ألعضاءالعرفان و التقدير

.و االستاذ عباسي محمد

الحمد رب العالمين والصالة ا اوال ناقول بما قلالختم نوالسالم على خاتم االنبياء و المرسلين نبينا محمد وعلى اله و

.اجمعين صحبه

Tabledesmatières

Tabledesmatières

Index des figure

Nomenclature

Introduction……………………………………………………………………………………………….

Chapitre 1 : Généralités

1.1.Introduction……………………………………………………………………………………………………..

1.2 La piézoélectricité…………………………………………………………………………………………….

1.2.1 Effet direct de la piézo‐électricité……………………………………………………………….

1.2.2 Effet inverse de la piézoélectricité………………………………………………………………

1.2.3 L’effet piézoélectrique………………………………………………………………………………..

a) Aspect chimique………………………………………………………………………………………..

b) Aspect physique………………………………………………………………………………………..

1.3 Types de matériaux piézoélectrique………………………………………………………………...

a) Avec plomb……………………………………………………………………………………………….

b) Sans plomb………………………………………………………………………………………………..

1.3.1 Classification de différents matériaux…………………………………………………………..

1.4 Applications du phénomène de la piézoélectricité…………………………………………

1.4.1.L’effet direct……………………………………………………………………………………………..

1.4.1.1 Capteurs………………………………………………………………………………………………

1.4.1.1.1 Accéléromètres…………………………………………………………………………………..

1.4.1.1.2 Capteurs de vibration……………………………………………………………………….

1.4.1.1.3 Capteurs de vibrations sonores……………………………………………………..

1.4.1.1.4 Capteurs d’impact……………………………………………………………………………..

1

3

3

3

5

6

6

7

8

9

10

10

11

11

11

11

12

12

12

Tabledesmatières

1.4.1.2 Production d’énergie………………………………………………………………………….

1.4.1.2.1Le briquet piézoélectrique…………………………………………………………………

1.4.1.2.2 Implants expérimentaux utilisant la piézoélectricité…………………………….

1.4.1.2.3Produire de l’énergie en marchant……………………………………………………….

1.4.1.2.4Parking piézoélectrique………………………………………………………………………..

1.4.1.2.5 Métro piézoélectrique à Tokyo…………………………………………………………….

1.4.1.2.6Une autoroute électriquement autonome……………………………………………

1.4.2L’effet inverse………………………………………………………………………………………………

1.4.2.1 Les générateurs de vibrations…………………………………………………………………

1.4.2.2 Générateurs de son audible……………………………………………………………………

1.4.2.3 Horloges………………………………………………………………………………………………….

1.5 Les équations de Maxwell………………………………………………………………………………..

1.6Rappel sur les tenseurs…………………………………………………………………………………….

1.6.1Nombre de module élasticité indépendante………………………………………………

1.6.2Nombre de constantes piézoélectriques indépendantes…………………………….

1.6.3Nombre de constants diélectriques indépendants……………………………………..

1.7 Les 7 système cristallins………………………………………………………………………………….

Chapitre 2 : Modélisation d’un corps solide anisotrope

2.1 Déformation électroélastique…………………………………………………………………………..

2.2 Module de déformation électroélastique…………………………………………………………

2.3 Les conditions aux limites…………………………………………………………………………………

Chapitre 3 : Résolution du modèle par la méthode des éléments finis

3.1 La méthode des éléments finis………………………………………………………………………..

12

12

13

13

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16

16

16

16

16

18

18

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19

20

21

24

27

28

Tabledesmatières

3.1.1 Introduction……………………………………………………………………………………………..

3.1.2 Exemple 2D sur maillage triangulaire………………………………………………………..

3.1.2.1 Maillage triangulaire à 3 nœuds………………………………………………………………

3.1.3 Maillage…………………………………………………………………………………………………….

Exemple 2D sur maillage quadrangulaire à 4 nœuds……………………...

Exemple 3D Elément tétraédriques`a 4 nœuds………………………………

3.2 Description………………………………………………………………………………………………………

3.2.1 Elément et fonctions d'interpolation………………………………………………………….

3.2.1.1 Le choix des éléments de base………………………………………………………………..

a) les éléments les plus simples unidimensionnels (référence classiques)…..

b) les éléments bidimensionnels……………………………………………………………………

c) Les éléments tridimensionnels…………………………………………………………………

Type des nœuds……………………………………………………………………………………….

Degrés de libertés…………………………………………………………………………………….

3.2.1.2Fonction d'interpolation polynomiale………………………………………………………

a) Cas d'une seule variable indépendante (cas unidimensionnel) ………………….

b) Cas de deux variables indépendantes (cas bidimensionnel)………………………..

c) Cas de trois variables indépendantes (cas tridimensionnel)………………………..

3.2.1.3La formulation variationnelle du problème………………………………………………

3.2.1.4 La méthode des résidus pondérés………………………………………………………….

Théoréme de GREEN……………………………………………………………………………..

3.2.1.5Construction et assemblage des matrices élémentaires………………………….

Expansion …………………………………………...……………………...................

3.2.1.5.1 Expansion du vecteur élémentaire f ………………………………………………..

3.2.1.5.2 Introduction les conditions aux limites…………………………………………………

3.2.1.6 Résolution numérique…………………………………………………………………………..

28

30

30

31

31

32

32

32

32

32

33

34

34

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35

35

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40

40

41

41

42

Tabledesmatières

Chapitre 4 : Application à la méthode des éléments finis

4.1. Géométrie des éléments finis………………………………………………………………………….

4.2. Fonction d’interpolation………………………………………………………………………………….

4.3.La méthode de Galerkine……………………………………………………………………………….

4.3.1.Equation de l’éctroélastique …………………………………………………………………………

4.3.2 Application de la méthode de GALERKINE……………………………………………………..

4.3.3. Application du théorème de GREEN…………………………………………………………….

Conclusion Générale…………………………………………………………………………………

Bibliographie……………………………………………………………………………………………

ANNEXES

Annexe 1

Annexe 2

Résolution numérique

Annexe 3

Organigramme d'un logiciel éléments finis

Annexe 4

Organigramme de calcul de champ de température

43

44

48

48

51

52

89

90

Index des figures

INDEX DES FIGURES


Figure 1-1: (a) Illustration du comportement d’une pastille piézo-électrique, (b) et (c)

essais de mesure.........................................................................................................4

Figure 1-2: Maille élémentaire de Quartz……..……………………………..………5

Figure 1-3: Exemple de la structure du titanate du plomb ……….…………....……6

Figure 1-4: déformation d’un matériau piézoélectrique…………………..………..7

Figure 1-5: Quelques types de matériaux piézoélectriques…..………….…………8

Figure 1-6: Quelques outils piézoélectriques………..……………………….….9,10

Figure 1-7: Relations entre les classes de symétrie, les sous-groupes piézoélectriques,

pyroélectriques, ferroélectriques et les structures cristallines………..……….…...10

Figure 1-8: Effet direct…………………………………………………………..…13

Figure 1-9 : Un pacemaker à base de matériaux piézoélectrique………..….…….13

Figure 1-10 : Elément piézoélectrique…………………………………………….14

Figure1-11 : Métro piézoélectrique à Tokyo………………………………….….15

Figure1-12 : Route principale en Palestine qui va du Nord au Sud du pays…..…15

Index des figures

Chapitre 2 :Modélisation d’un corps solide anisotrope

Figure 2-1: La plaque avec les conditions aux limites…………………………..27

Chapitre 3: Résolution du modèle par une méthode numérique

Figure 3-1: Maillages……………………………………………………..………29

Figure 3-2: exemples de maillages triangulaires du carré………………..……...30

Figure 3-3: Un maillage triangulaire d’un disque………………………….…….31

Figure 3-4: Exemples de maillages quadrangulaires du carré…………….….….31

Figure 3-5: Exemples de maillages tétraédrique………………………….….…..32

Figure 3-6: Géométriques d'éléments à une dimension………………………….33

Figure 3-7 : Éléments à deux dimensions………………………………………..33

Figure 3-8 : Éléments volumiques à transformation linéaire…………………….34

Figure3-9 : Transformation d’un système du modèle…………………………...36

Figure3-10 :Domaine bidimensionnel…………………………………………...39

Nomenclature

Nomenclature

-1- Liste des symboles latins

C : Matrice de rigidité du matériau.

C : Paramètres inconnus.

: Vecteur déplacement .

: Champ électrique.

: Le vecteur de force ( N).

h : La largeur du cristal en (m).

k : Constante piézoélectrique.

K : La matrice élémentaire.

[L] : Matrice triangulaire inférieure.

m : Nombre de Paramètre inconnu.

N : Fonction d’interpolation connue.

P : La pression exercé sur le cristal en Pa.

S : Constante de sensibilité.

S : Entropie.

T : Température (°C)

U : Energie interne

U : Matrice triangulaire supérieure.

Nomenclature

U : Tension en V.

:Déplacement dans la direction i.

: Le vecteur élémentaire.

x : Cosinus directeur de la normal projection sur l’axe des x.

: Le vecteur élémentaire.

-2- Liste des symboles grecque

: Tenseur des modules d’élasticité.

: Tenseur des contraintes d’électriques.

: Composante du tenseur de contrainte.

: Composante du tenseur de déformation.

: Tenseur des contraintes piézoélectriques.


∶ .

∅ : Solution approchée.

∆ : Aire de l’élément triangulaire.

: Laplacien.

Introduction

1

INTRODUCTION

La piézoélectricité est une interaction électromécanique les matériaux

piézoélectriques sont des diélectriques qui se déforment sous l'effet d'un champ

électrique et qui produisent une polarisation sous l'effet de déformations. Ce dernier

phénomène est appelée "l’effet direct", pour une raison purement historique vu son

aspect réversible.

On traduit ce comportement par des lois liant le tenseur des contraintes et le vecteur

champ électrique d'une part, et le tenseur des déformations et le vecteur de

polarisation ou le vecteur déplacement électrique d'autre part.

Les matériaux piézoélectriques comme capteur (effet direct) et actionneurs

(effet inverse). Par exemple, une plaque, ou des pastilles piézoélectrique, adhérant à

un matériau élastique en détectent les déformations par l’effet direct, ils peuvent

servir pour déformer le matériau par l’effet inverse; d’où la possibilité de contrôler les

vibrations dans des structures élastiques, en particulier les plaques et les coques.

Les matériaux piézoélectriques sont aussi utilisés dans le contrôle de forme

(ailes d’avion, miroirs des télescopes), ainsi que dans la conception d’organes

artificiels biomécanique [1].

Le but de notre modeste travail est de déterminer le champ de déplacement et

le potentiel électrique crée par l’application d’une force mécanique. Notre travail

comporte quatre chapitres Une généralité sur le phénomène piézoélectrique, ainsi les

deux effets, direct et inverse existant et leur application fait l’objet du premier

chapitre. Dans le deuxième chapitre on modélise le phénomène piézoélectrique par la

détermination d’un système d’équations différentielles couplées. Pour résoudre ce

système une méthode numérique est nécessaire la méthode choisie est celle des

Introduction

2

éléments finis une description élargie de différentes étapes de cette méthode est faite

est qui fait l’objet du troisième chapitre. Le quatrième chapitre traite l’application de

la méthode cité et la détermination de la matrice de rigidité (K).

Chapitre 1 :

Généralités

La piézoélectricité et le phénomène d'interaction

Résoudre les équations de Maxwell

Rappel sur le tenseur

Résumé :

Ce chapitre est consacré à des généralités sur le phénomène piézoélectrique

(effet direct et effet inverse). Ainsi leurs différentes applications dans les

différents domaines


3


1.1Introduction

La piézoélectricité interdépendance des propriétés élastiques existant dans certains

matériaux, est intimement liée à l’étude des ondes élastiques. La plupart des

dispositifs convertissant l’énergie mécanique en énergie électrique ou

réciproquement, appelés transducteurs, fonctionnent par effet piézoélectrique direct

ou inverse. D’autre part, l’exploitation en électronique, dans le domaine du filtrage,

des propriétés mécaniques remarquables de certains cristaux, comme leur grand

coefficient de surtension, est possible grâce à leur piézoélectricité.

Des résonateurs électromécaniques, en quartz par exemple, sans directement

insérés dans des circuits leur vibration étant entretenue par le champ électrique.[2]

1.2 La piézoélectricité

La piézoélectricité veut dire (du grec « piézen » presser, appuyer) est la propriété

possédée par certains corps qui peuvent se déformer sous l’action d’un champ

électrique.

Ce phénomène a été découvert par les frères Pierre et Jacques Curie1).Il existent deux

effets, direct et inverse.

1.2.1 Effet direct de la piézo-électricité

Les matériaux piézoélectriques se polarisent électriquement sous l’action d’une

contrainte mécanique. La force appliquée crée un signal électrique, plusieurs essais

ont été illustrées ici qui est utilisent le même effet (effet direct) voir figure 1.1


4

Aussi, à l'aide de 2 pointes de touche reliées à un millivoltmètre, on exerce une

pression (donc des forces) de part et d'autre d'un cristal, on mesure alors une tension

(quelques mV) dont la valeur dépend de la force exercée figure 1.1b.

D’autres types d’essais, La pression exercée sur le quartz, le déforme et crée une

tension électrique allumant la diode électroluminescente figure 1.1c.[3]

Fig.1.1 :(a) Illustration du comportement d’une pastille piézo-électrique, (b) et (c)

essais de mesure.

(c)

(b)

(a )


5

On peut définir la piézoélectricité comme suit voir figure 1.2. En l’absence de

contrainte, les barycentres des charges positifs et les charges négatives des

trois Si ) coïncidents, leur moment dipolaire est nul (figure 1.2a). Mais, si en exerce

deux forces de compression (contrainte) selon axe, les barycentres ( , ) ne

coincident pas, donc il apparait un moment dipolaire, c’est-à-dire des charge

superficielles, c’est l’effet piézoélectricité.

(a) Absence de contrainte (b) compression on selon l’axe mécanique

Fig.1.2 : Maille élémentaire de Quartz.

1.2.2 Effet inverse de la piézoélectricité

Inversement le cristal se déforme lorsqu’on lui applique une tension électrique c'est

l'effet inverse de la piézoélectricité. 3


6

1.2.3 L’effet piézoélectrique

a) Aspect chimique :

De nombreux cristaux composés de cations (ions de charge positive) et d’anions

(ions de charge négative) génèrent un courant électrique lorsqu’ils sont soumis à une

contrainte mécanique, telle qu’une pression.

Grâce à cette contrainte mécanique la structure ionique stable des cristaux est

déformée, modifiant la disposition des ions. Le nuage électronique se voit donc

déformé et deux parties se forment dans les cristaux; l’une avec majorité de charges

négatives, et l’autre avec plus de charges positives. Une différence de potentiel

électrique se forme, soit une tension.

En prenant l’exemple de la structure du titanate du plomb (matériel qu’on veut

utiliser) les anions oxygène forment les sommets des octaèdres tandis que les cations

Pb2+ et Ti4+ occupent respectivement leur centre et les sites entre les octaèdres La

pression stimule un déplacement du cation central Ti4+ ce qui provoque une

répartition irrégulière des charges, c'est-à-dire que dans une partie du cristal il ya plus

de cation que d’anions et une déformation du nuage électronique. 3

Fig.1.3 : Exemple de la structure du titanate du plomb


7

En résumé, c’est cette déformation qui crée un courant électrique avec deux pôles

qui se mettent en place : le pôle positif, la partie chargée partiellement à cause des

cations, et le pôle négatif, l’autre partie qui possède une majorité d’anions.Figure1.4.

Fig.1.4 : déformation d’un matériau piézoélectrique

b) Aspect physique :

Becquerel a montré qu’il existe une relation entre la pression exercée sur le cristal et

la tension produite.

La tension et la pression exercée sont liées par la relation:

U=S*P (1.1)

U : Tension en V.

P : La pression exercé sur le cristal en Pa.

S : Constante de sensibilité.

Or, la constante de sensibilité dépend de deux choses : la constante piézoélectrique et

la largeur du cristal.

On a :


8

S=k*h (1.2)

k : Constante piézoélectrique.

h : La largeur du cristal en m.

Donc, on peut tirer que :

U= k*h*P (1.3)

1.3 Types de matériaux piézoélectriques

Les matériaux piézoélectriques sont nombreux, on peut citer principalement voir

Figure 1.5:

Fig.1.5 : Quelques types de matériaux piézoélectriques.


9

Rapidement après la découverte de la piézoélectricité, plusieurs matériaux ayant

cette caractéristique ont été trouvés. Néanmoins des nouveaux matériaux continuent à

apparaître, toujours avec des meilleures caractéristiques et performances. Maintenant

les matériaux, leurs présentations, leurs tailles, peuvent s’adapter à leurs applications

pratiques et non l’inverse comme on le faisait il ya quelques années. C’est pour cela

que les innovations dans le domaine de la piézoélectricité sont à l’ordre du jour.

Les matériaux piézoélectriques peuvent être soit des cristaux ou matières minérales

naturelles, soit des créations de l’homme.

Cristaux naturels : Berlinite,Quartz, Topaze,

D’autres matériaux : Los, L’émail dentaire.

Céramiques et cristaux fabriquées par l’homme :

a) Avec plomb :

Phosphate de gallium, Titanate de baryum. Sodium tungstènes, Lithium Niobate,

Titanate Zirconate de plomb nommé PZT par ses sigles en anglais.

Ses propriétés piézoélectriques sont efficaces pour fabriquer des outils de type

capteurs ou actionneurs.


10

Fig.1.6 : Quelques outils piézoélectriques

b) Sans plomb

Sodium Potassium Niobate, Ferrite de Bismuth, Titanate de Bismuth. [4]

1.3.1 Classification de différents matériaux

Fig.1.7 : Relations entre les classes de symétrie, les sous-groupes piézoélectriques,

pyroélectriques, ferroélectriques et les structures cristallines


11

Remarques

Les matériaux pyroélectriques sont aussi piézoélectriques, mais la réciproque

n'est pas vraie.

Les effets piézoélectriques et pyroélectriques ne peuvent être observés que

dans les diélectriques. Dans tout ce qui va suivre, nous négligerons

systématiquement l'influence de la pyroélectricité et de la température dans les

expressions générales des matériaux piézoélectriques. [5].

1.4 Applications du phénomène de la piézoélectricité

1.4.1.L’effet direct

1.4.1.1 Capteurs

La première application industrielle et la plus présente de nos jours des

piézoélectriques est pour des capteurs, ils sont appelés transducteurs piézoélectriques.

Grâce à la capacité des piézoélectriques de créer une tension dès qu’une force est

appliquée, ils sont utilisés pour une grande variété de capteurs :

1.4.1.1.1 Accéléromètres

Un cylindre avec une bille et un capteur piézoélectrique sur chaque base permet de

détecter le mouvement et la vitesse sur un axe. Plusieurs accéléromètres sont placés

dans les systèmes pour pouvoir capter le mouvement sur tous les axes comme dans la

manette de la console de jeux vidéo ou dans quelques systèmes de sécurité routière.


12

1.4.1.1.2Capteurs de vibration

Des capteurs piézoélectriques sont utilisées pour capter les vibrations qui sont aussi

une action mécanique comme sur des systèmes anti cambriolage des voitures et le

phonographe.

1.4.1.1.3 Capteurs de vibrations sonores

La première application, comme beaucoup de systèmes innovants, a été développé

par l’armée. Un système qui capte des vibrations ultrasonores créés par lui même,

grâce à une plaque de quartz, peut faire une image d’un environnement invisible ou

lointain (en calculant le temps d’aller-retour de l’onde émise puis réfléchie) :c’est le

premier sonar. De plus, ces capteurs sont utilisés pour des microphones.

1.4.1.1.4Capteurs d’impact

Des transducteurs sont placées dans des systèmes où l’on veut calculer la force

appliquée et le moment de son application comme dans des batteries (instrument de

musique) électriques ou des capteurs de proximité comme dans le métro japonais ou

les escaliers électriques qui s’actionnent uniquement quand les matériaux envoient

un signal de présence d’un utilisateur. 4

1.4.1.2 Production d’énergie

Actuellement les piézoélectriques ne sont presque pas utilisés pour la production

d’électricité à grande échelle. Mais, à petite échelle on peut citer :

1.4.1.2.1Le briquet piézoélectrique

Le briquet piézoélectrique est un exemple de création d’un arc, en appuyant sur le

bouton, l’élément piézoélectrique reçoit une pression figure 1.8.


13

Fig.1.8 : Effet direct

1.4.1.2.2 Implants expérimentaux utilisant la piézoélectricité

Ces implants peuvent être placés dans de nombreux endroits du corps où il ya un

mouvement constant. Le mouvement respiratoire est le cas le plus clair, mais il y a

beaucoup d'autres cas. Le cas le plus connu pour l’utilisation de cet implant est celui

du pacemaker figure 1.9.

Fig.1.9 : Un pacemaker à base de matériaux piézoélectrique

1.4.1.2.3Produire de l’énergie en marchant

Il existe aussi des chaussures pour produire de l'énergie en marchant. Un élément

piézoélectrique est introduit dans les semelles d’une paire de chaussures. L’armée


14

américaine a déjà ce système pour recharger tous les appareils électriques tels que les

walkies-talkies, radios, GPS, etc. Afin de rendre les soldats électriquement

indépendants figure 1.10.

Fig.1.10 : Elément piézoélectrique

Pour rendre le trajet lumineux et clair quand il fait noir, il existe des chaussures de

course équipées de polymères électroluminescents alimentés par des générateurs

piézoélectriques. Ces chaussures aident les sportifs à éclairer leurs chemins sans avoir

à transporter quoi que ce soit.

1.4.1.2.4Parking piézoélectrique

Dans la ville de Gloucester, en Angleterre, un parking de grande surface commerciale

a été équipé de matériaux piézoélectriques. Cette installation permet de récupérer de

l'énergie à chaque passage de véhicule et, ainsi, d'alimenter les caisses de paiement du

supermarché.

1.4.1.2.5 Métro piézoélectrique à Tokyo

De même, dans le métro de Tokyo, on a équipé le sol des stations de plaques

piézoélectriques qui produisent de l'énergie au passage des centaines de passagers

descendant des wagons figure 1.11.


15

Fig.1.11 : Métro piézoélectrique à Tokyo

1.4.1.2.6Une autoroute électriquement autonome

Une recherche en Palestine par les colons juifs consiste à placer des matériaux

piézoélectriques sous la surface de la route pour que l'énergie mécanique des voitures

puisse être capturée et transformée en électricité. Les routes deviennent donc des

sources de production d'énergie figue 1.12. 4

Fig.1.12 : Route principale en Palestine qui va du Nord au Sud du pays.


16

1.4.2L’effet inverse

1.4.2.1 Les générateurs de vibrations

Une autre application importante dans l’industrie est celle de l’effet piézoélectrique

inverse, grâce à la capacité de vibrer des matériaux piézoélectriques lorsqu’un courant

leurs est appliqué.

1.4.2.2 Générateurs de son audible

Des transducteurs piézoélectriques sont utilisées aussi pour produire du son, ils sont

utilises dans des écouteurs normaux ou flexibles, des buzzers, même dans des

systèmes qui ne peuvent être écoutés que quand on les mord.

1.4.2.3 Horloges

Dans les montres, les chronomètres, un cristal de quartz vibre toujours à la même

fréquence et cette vibration est mesurée et permet d’indiquer le temps écoulé.[4]

1.5 Les équations de Maxwell

Les équations de maxwell traitant le phénomène électromagnétique sont :

- Equation de conservation

(1.4)

0 (1.5)


17

- Equation de couplage électromagnétique

(1.6)

(1.7)

Le système d’équation de Maxwell généralisées ne suffit pas à la détermination du

champ électromagnétique (E,B,D,H). Rien d’ailleurs, dans le système qu’elles

constituent, ne vient caractériser le milieu matériel où il ya propagation, ce qui suffit à

prouver leur insuffisance pour permettre un calcul du champ associé. Dans un milieu

donné à une électromagnétique donnée, il convient d’ajouter des relations qui

précisent les propriétés spécifiques du milieu étudié. Les équations prennent la forme

suivante :

- une équation de proportionnalité entre D et E

(1.8)

: Constante électrique

P : Vecteur de polarisation

- Une relation de proportionnalité entre B et H

(1.9)

: Perméabilité

Les équations (1.4),(1.5),(1.6),(1.7) décrivent globalement tous les phénomène

électromagnétique.[6]


18

1.6Rappel sur les tenseurs

La notion de tenseur apparaît des qu’on cherche à établir des relations linaires. Un

tenseur de rang « r » c’est un ensemble de 3 . Composantes repérer par « r » indice

qui dans un changement d’axe se transforme de la manière suivante .[2]

A′……… …….. ⋯ . α α α ……… . . A……….. …… 1.10

1.6.1Nombre de module d’élasticité indépendante

La symétrie ponctuelle des autres symétries cristallines intervient réduit le nombre

des modules élastique indépendantes. Les axes étant orthonormés, la condition

générale d’invariance s (1.10)’s’écrit pour les tenseurs de rigidité

(1.11)

Les cristaux du système triclinique ont (21) constantes élastiques, les cristaux du

système monoclinique la matrice α de changement de repère est diagonale

1 0 00 1 00 0 1

La notion (1.11) devient

(1.12)

La matrice de suivante contient 13 constante indépendante celle dont le regroupement

d’indices comprend 0, 2,4 fois l’indice 3


19

1.6.2Nombre de constantes piézoélectriques indépendantes

0 00 0

00

00

0 00 00 0

0 0

La condition d’invariance des composantes de tenseurs piézoélectrique dans

l’opération de symétrie correspond à la matrice de changement de base α

(1.13)

Les cristaux de symétrie 32 en possèdent que deux constantes piézoélectriques

indépendantes

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1.6.3Nombre de constants diélectriques indépendants

Le tenseur diélectrique défini par la relation

est symétrique

La condition d’invariance (1.10) s’écrit

(1.14)

Les cristaux de symétrie trigonale ne possèdent que deux constantes diélectrique

indépendants 0 0

0 00 0

Pour les autres systèmes voir Annexe.1.[2]


20

1.7- Les sept système cristallins

Système Système minimal

Maille Orientation des axes

triclinique 1(ou1 ) a≠b≠c α≠β≠γ≠90̊ n’est pas spécifiée

monoclinique Un 2(ou 2 m) a≠b≠c α=γ=90̊

β>90̊

b parallèle à l’axe

d’ordre 2

orthorhombique Trois 2(ou 2) a≠b≠c α=β=γ=90̊ a,b,c parallèles aux trois

axes d’ordre 2

quadratique Un 4(ou 4 ) a=b≠c α=β=γ=90̊ c parallèle à l’axe

d’ordre 4

trigonal Un 3(ou 3 ) 1) maille

rhomboédrique

a=b=c ,

α=β=γ≠90 ̊

2)maille

hexagonal a=b≠c

α=β=90̊ , γ=120̊

a,b,c également

inclinés par rapport à

l’axes d’ordre 3

c parallèle à l’axe

d’ordre 3

hexagonal Un 6(ou 6 ) a=b≠c α=β=90̊

γ=120 ̊

c parallèle à l’axe

d’ordre 6

Cubique

(isométrique)

quatre 3(ou 3 ) a=b=c α=β=γ=90̊ a,b,c doivent être

parallèles aux axes

2(ou 4)

Les quatre axes 3 sont

les 4 diagonales cube

Chapitre 2 :

Modélisation d’un corps

solide anisotrope

Déformation électroélastique

Module de déformation électroélastique

Les conditions aux limites

Résumé :

Dans le deuxième chapitre, on a est arrivé à modéliser le phénomène de la

piézoélectricité en arrivant à un système d’équations différentielles dont leur solution

donne les valeurs du déplacement et le potentiel électrique, en se basant sur l’effet direct c-

à-dire application d’une force extérieure.


21


2.1Déformationélectroélastique

Pour décrire les phénomènes physiques dans la structure piézoélectrique, on a besoin des

équations d’état liant les contraintes, les déformations et les champs électrique. On peut

obtenir les équations d’état compte tenu de l’effet piézoélectrique en se fondant sur les

considérations thermodynamiques, les forces est agissantes sur un piézoélectrique sont à les

fois d’origine mécanique et d’origine électrique. Le travail qu’il faut fournir pour modifier

l’état de cristal comprend d’une é é 2

Donc :

∆ é é (2.1)

Avec :

U : énergie interne

T : Température

S : Entropie

Tel que :

Travail des champs électrique :

é (2.1.a)

: Champ électrique.

: Vecteur déplacement.


22

Travail des contraintes mécanique :

é (2.1.b)

: Composante du tenseur de contrainte.

: Composante du tenseur de déformation.

La variation totale de (2.1) en tenant compte de (2.1.a) (2.1.b) s’écrit :

(2.2)

Introduisant de potentielles thermodynamiques (énergie de GIBBES) qui lie les contraintes,

les déformations et le champ électrique du déplacement.

(2.3)

La différentielle totale de l’équation (2.3), en tenant compte de l’équation (2.2), s’écrit :

. . - . – Dd –TdS – S

. – Dd – S

On néglige l’effet thermique, l’expression de dG devient :

. – Dd

+ (2.4)

Il ressort de l’équation (2.4) :


23

Considérons les différentielles totales de , , En série Taylor, dans de

domaine déformation nulle et de champ nul d’un cristal piézoélectrique

, (2.5)

, + (2.6)

0n déduire de l’équation (2.4) :

(2.7)

Les dérivées partielles peuvent être considérées comme des contraintes. En tenant compte de

l’équation (2.7) on obtient :

(2.8)

(2.9)

Avec : = , ,

: Tenseur des modules d’élasticité.

: Tenseur des contraintes piézoélectriques.



24

Les équations (2.8) et (2.9) expriment le couplage électromécanique du matériau

Pour simplifier l’écriture des équations (2.8) et (2.9) on peut adopte l’écriture suivante d’après

de schéma suivant :

1⟶ 11 2 ⟶ 22 3 ⟶ 33 4 ⟶ 235 ⟶ 13 6 ⟶ 12

C-a- dire qu’on peut écrire la tenseur sans la forme contrainte suivante :

Avec:

i,j,k,l, n=1, 2 ,3

, 1,2,3,4,5,6

Ceci donne :

1111 11, 1211 61, 2111 61, 2211 21

1112 16, 1212 66, 2112 66, 2212 26

1112 16, 1221 66, 2121 66, 2121 66

1112 16, 1222 62, 2122 62, 2122 62

(2.10)

2.2 Module de déformation électroélastique

Les contraintes planes proportionnelles aux déformations pour les corps linéairement

élastiques.[2]

(2.11)

[C] matrice de rigidité du matériau.


25

Les équations du mouvement d’un milieu piézoélectrique s’écrivent [2]

(2.12)

: Masse volumique

:Déplacement dans la direction i.

On sait que les composantes du tenseur de déformation se traduisent par :

(2.13)

La substitution de (2.10), (2.13) et (2.8) et on tenant compte de (2.11) l’équation (2.12)

devient :

=

= Puisque elle est inchangé

Dérivant l’équation (2.8) par rapport à j.

En prenant en compte l’équation (2.13) :

-

On remplaçant dans l’équation (2.12) avec


26

Le champ électrique quasi statique ∅

D’où ∅

Donc :

(2.14)

Dans le cas permanent l’équation (2.14) s’écrit :

0(2.15)

Par ailleurs l’induction électrique doit satisfaire l’équation de poisson, en l’absence des

charges électrique.

=0 ⟹ =0

De L’équation (2.10) :

0

∅

0(2.16)

Les équations (2.15) et (2.16) conduit au système de la l’éctroélasticité suivant :


27

∅0

∅0

(2.17)

2.3 Les conditions aux limites

On veut essayer de traiter l’effet direct (effet mécanique) c’est-à-dire que la plaque a étudiée

est soumise à des forces mécaniques. Pour résoudre le système (2.17) Nous avons imposé des

hypothèses pour simplifier le problème. Nous avons négligé :

- Les forces de gravité

- Le vecteur de polarisation

On impose aux extrémités de la plaque figure 2.1 des forces de compression constantes

- Sur limite 3 tout simplement lim 3 X= ± L → F= cte (N)

On impose au milieu de la plaque des déplacements nuls, vertical (v=0) et horizontale (u=0)

Lim 3

Lim 2

Lim 3 Lim 2

F

Fig. 2.1 : La plaque avec les conditions aux limites

Chapitre 3 :

Résolution du modèle par la

méthode des éléments finis

La méthodes des éléments finis

Description et application

Résumé:

Ce chapitre est consacré là la présentation de la méthode des éléments finis. On a

commencé par la description des différentes étapes conduisant à la construction de la

matrice de rigidité et la solution du système obtenu au chapitre deux par une méthode

numérique. Pour avoir des valeurs représentatives du déplacement et le potentiel phi. .


28


Il existe plusieurs types des méthodes pour trouver des solutions approchées au problème

définissant la propagation de la chaleur dans une structure, parmi ces méthodes on a choisi

la méthode des éléments finis qui est largement utilisée.[7]

3.1Laméthodedesélémentsfinis

3.1.1 Introduction

La méthode des éléments-finis (MEF) est une méthode d’approximation

numérique de solutions de problèmes aux limites statiques ou dynamiques tels que :

Diffusion thermique ;

Mécanique des milieux continus (solides et fluides) ;

Electromagnétisme.

Mais en fait, absolument tous les problèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP)

aux limites. Il s’agit, comme dans toutes les méthodes numériques, de trouver une

approximation discrète. Pour faire bref, d’un problème différentiel aux limites

linéaire, on trouve une formulation variationnelle associée équivalente, dont on

calcule une approximation de la solution en projetant sur un espace de dimension

finie, ce qui revient à résoudre au final un système linéaire.

L’appellation éléments finis vient de la décomposition du domaine d’étude en

éléments : ils sont souvent représentés par un maillage, voir figure 3.1


29

Fig.3.1 : Maillages des différentes structures

Ce qui amène le succès de la méthode et sa puissance est l’apport du calcul matriciel,

introduit par un ingénieur civil anonyme. La méthode connaît alors un développement

fulgurant accompagnée par les progressés de l’informatique.

La méthode des éléments finis est une méthode puissante basée sur une théorie

mathématique rigoureuse.

Aujourd’hui, les éléments finis sont un outil majeur, incontournable en mécanique


30

(fluides et solides, interactions, structures), et applicable dans de nombreux domaines

impliquant des problèmes d’EDP aux limites comme par exemple en mathématiques

financières ou l’électromagnétisme.

De nombreux codes industriels (solveurs) existent et sont généralement couplés a un

logiciel de CAO1 ou Computer Aided Design (CAD) en Anglais. Citons ANSYS,

ABAQUS. FEAP, Code-Aster, Cast3M et bien d’autres.[8]

3.1.2 Exemple 2D sur maillage triangulaire

3.1.2.1 Maillage triangulaire à 3 nœuds

La discrétisation se base sur une subdivision du domaine en triangles. Cette

subdivision est appelé maillage, qu’on qualifie ici de triangulaire.

Fig.3.2: Exemples de maillages triangulaires d’un carré

Sur la figure 3.2, nous avons tracé 3 maillages triangulaires différents du domaine

carré.

Le premier à gauche est constitué de 2 éléments triangulaires construits à partir de 4

nœuds définissant les sommets des triangles; chaque triangle (élément) étant défini

par ses 3 sommets. La topologie des triangles peut être arbitraire à la seule condition

que les nœuds définissant les triangles, et donc les éléments du maillage, soient

exclusivement des sommets d’un triangle, autrement dit qu’un nœud ne doit pas

retrouver à l’intérieur d’une arête.


31

Naturellement la subdivision en triangles peut être une source d’erreur dépendant de

la géométrie du domaine. Par exemple, un disque ne peut pas être exactement

subdivisé en triangles ou même en quadrangle. Ceci est un autre problème, nous

verrons ultérieurement comment estimer l’erreur qui peut résulter de l’approximation

de la géométrie.

Fig. 3.3 : Un maillage triangulaire d’un disque.

3.1.3 Maillage

Exemple 2D sur maillage quadrangulaire à 4 nœuds

La discrétisation se base sur une décomposition du domaine en quadrangles, comme

sur la figure3.5, ou nous présentons différents maillages quadrangulaires du carré :

Fig. 3.4:Exemples de maillages quadrangulaires du carré

Chaque élément quadrangulaire est donc simplement défini par une liste de 4 nœuds

représentant les 4 sommets.

Un maillage sera donc typiquement défini par une liste de nœuds, défini par leur


32

coordonnées, et une liste d’éléments définis chacun par 4 numéros représentant les 4

nœuds sommets, voir par exemple la figure3.4.[8]

Exemple 3D Elément tétraédriques`a 4 nœuds

L’élément de référence : un tétraèdre à quatre nœuds

Fig. 3.5 : Exemple de maillages tétraédrique

3.2 Description

3.2.1 Elément et fonctions d'interpolation

3.2.1.1 Le choix des éléments de base

L'avantage primordiale pour la MEF est qu'elle permet la discrétisation d'un domaine

ayant une géométrique arbitraire (quelque soit la complexité de sa géométrie), ce

domaine peut être représenté par un assemblage d'élément simples.

Le nombre des nœuds d'un certain élément dépend du type de variables des nœuds,

dépend aussi du type de la fonction d'interpolation et type de degré de continuité. 7

a) les éléments les plus simples unidimensionnels (référence classiques):


33

Fig.3.6 : Géométriques d'éléments à une dimension

Les transformations géométriques de la figure3.6 utilisent les fonctions

d'interpolation linéaire, quadratique et cubique définies précédemment. Pour des

éléments à deux ou trois dimensions les transformations géométriques conduisent

respectivement à des frontières

linéaires, quadratiques ou cubiques. La figure 3.7 suivante donne la position des

nœuds pour les classes d’éléments triangulaires et quadrangulaires.

b) les éléments bidimensionnels

Fig. 3.7 : Éléments à deux dimensions

La figure 3.8 suivante représente les trois classes d’éléments volumiques associés à


34

une transformation linéaire. Pour chaque classe nous définirons les éléments

quadratiques et cubiques en plaçant les nœuds d'interface respectivement au milieu et

au tiers des cotés.

c) Les éléments tridimensionnels:

Fig. 3.8 : Éléments volumiques à transformation linéaire.

Type des nœuds

Les nœuds sont classifiés comme extérieures et intérieures. Les nœuds extérieures

sont localisés sur les limites de l'élément et représentent des points de connections

entre éléments adjacents. Les nœuds intérieures sont ceux qui ne font aucune

connections entre éléments.

Degrés de libertés

Les variables spécifiées pour un élément sont appelées degrés de liberté, c'est le

nombre total des variables des nœuds des éléments (extérieures et intérieures). 7

3.2.1.2Fonction d'interpolation polynomiale

On appelle les fonctions représentant la variation des variables indépendantes un

élément fonction d'interpolation. Plusieurs types peuvent servir comme fonction

d'interpolation mais les polynômes sont plus utilisés.


35

a) Cas d'une seule variable indépendante (cas unidimensionnel) :

(3.1)

Avec :

b : degré du polynôme

b) Cas de deux variables indépendantes (cas bidimensionnel):

∑ , (3.2)

Avec :

b : degré du polynôme

, y

,

c) Cas de trois variables indépendantes (cas tridimensionnel):

∑ , , 3.3)

Avec :

b: degré du polynôme

, ,


36

, ,

3.2.1.3La formulation variationnelle du problème

l'approche variationnelle est très utilisée pour la dérivation des équation de

discrétisation par la méthode des éléments finis seulement elle n'est possible que s'il

existe une modélisation du problème étude par une fonctionnelle ayant un certain

extremum existe, malheureusement il y a pas mal de problèmes scientifiques pour

lesquels les principes variationnelle classiques sont très difficiles à déterminer, dans

se cas on peu aussi utiliser la méthode des éléments finis pour discrétiser les

équations modélisantes voir figure(3.10), mais il faut considérer une approche

mathématique plus généralisée. L’une de ces méthodes utilisées est celle des résidus

pondérés. Il existe plusieurs techniques de résidus pondérés la technique de

GALERKIN est la plus utilisée car la pondération sont des fonctions

d'approximation. 7

Fig.3.9 : Transformation d’un système du modèle

3.2.1.4 La méthode des résidus pondérés

C'est une technique utilisée pour la solution approximative des équations

Formulation intégrale

Système d’équation algébrique

Solution

Approchée

Equations aux dérivées partielles


37

différentielles aux dérivées partielles linéaires et non linéaires. Son application exige

deux étapes :

supposer une forme fonctionnelle pour la variable dépendante cherchée qui

satisfait l'approximativement l'équation différentielle et ses conditions aux

limites, la substitution de l'approximation dans l'équation différentielle donne

une erreur qu'on appelle résidus (R). Ce résidu doit s'annuler à l'intérieur du

domaine de la solution.

Cette technique consiste à résoudre les équations obtenues de la première

étape pour déterminer exactement la forme particulière de la fonction

d'approximation soit l'équation différentielle.

Φ f R (3.4)

On cherche une forme du champ Φ tel que

Φ Φ

Φ : Solution approchée

N : Fonction d’interpolation connue

C : Paramètres inconnus

m : Nombre de Paramètre inconnu

Les sont choisis de telle sorte qu’elles satisfont les conditions aux limites

Φ 3.5


38

On choisit les mC de telle façon que R soit le plus petit 0

Il faut choisir les m fonctions de pondération ( ) et nous insistons que

0 (i=1,2…m) (3.6)

La forme de la des distributions de l’erreur dépend du choix de la fonction de

pondération, une fois que les W sont spécifiés, on à (m) équations algébriques ou

différentielles et dont la solution donne les . Pour une fonction

d’approximation c’est la méthode de GALERKIN

Φ 0 1,2… (3.7)

La résolution de l’équation exige le théorème de GREEN, l’application de ce

théorème nous donne l’avantage de travailler avec des dérivées d’ordre inférieur.

Théorème de GRENN

Considérons l’intégrale suivante, prise sur un domaine bidimensionnel, et que nous

désirons intégrer par parties :

∬ Ω (3.8)

Intégrons par rapport à la variable x en faisant appel à la formule bien connue

d’intégration par partie.

En introduisant les symboles, on obtient


39

∬ Ω ∬ Ψ Ω ∬ φΨ φΨ dy (3.9)

Considérons maintenant un segment

la frontière d∑ orientée dans le sens

direct on a, pour la partie de la frontière

située à droite et a gauche

de la figure 3.10 respectivement

∑ ; ∑

Fig. 3.10 : Domaine bidimensionnel

n : Cosinus directeur de la normale projection sur l’axe des x

Après regroupement l’expression devient :

∮∑ Ψ Σ (3.10)

Il existe plusieurs contour fermes, l’intégration doit être effectuée le long de chacun de ces

conteur, l’expression générale s’écrit sous la forme suivante :

∬ Ψ

Ω ∬ Ψ Ω ∮∑ Ψ Σ

Même chose si on intègre suivant y :

∬ Ω ∬ Ψ Ω ∮ Ψ Σ

La formule de Green sous forme condensée

Ψ Ω Ψ Σ Ψ. dΩ (3.11)

Avec:

X

dY

Y2

X1

∑

d∑ D

dY

nn


40

3.2.1.5 Construction et assemblage des matrices élémentaires

La phase d’assemblage consiste à construire les matrices K et W de la structure complète à

partir des matrices caractéristiques des différents éléments K ,W préalablement calculés.

L’assemblage comporte deux étapes :

- Construction de la matrice et de vecteur ( de chaque élément

- addition des matrices et vecteurs élémentaires

∑∑

(3.12)

Avec

[ ] la matrice élémentaire, [ ] le vecteur élémentaire, {U} le vecteur de déplacement pour

bien expliqué les deux étapes précédentes, prenons l’exemple d’un élément à deux nœuds (I ,

J) chacun ayant un degrés de liberté

0 (3.13)

Expansion

Pour que la matrice du système reste inchangée si l’on remplace le vecteur élémentaire par un

vecteur global, il faut remplacer [K] de dimension (2x2) par une matrice ′ de dimension

(2xN) dont la colonne I et la colonne J sont respectivement :

; (3.14)

Et dont toutes les autres colonnes sont nulles


41

00…… 00…… 0……000…… 00…… 0……0 3.15

Il faut remplacer encore la matrice de (2XN) par la matrice ′ de(NXN) dont la

ligne1 est la première de ′ et dont la linge J est la seconde ligne de et dont les autres lignes

sont nuls

0 0 0 00 0000

0

0

0

0

000

(3.16)

3.2.1.5.1 Expansion du vecteur élémentaire

(3.17)

Pour que le vecteur reste inchangé, il faut remplacer f de(2X1) par le vecteur

de(NX1) dont le terme I et le terme J et dont les autres sont nuls

00

00

00

(3.18)

3.2.1.5.2 Introduction les conditions aux limites

La méthode de supprimer des équations consiste à restructurer la matrice K de manière à

supprimer les équations correspondantes aux degrés de liberté imposés(β), elle à l’avantage

de réduire le nombre d’inconnues du système, la restriction de et F correspondant à P

=β conduit à supprimer les autres équations. 6

Soit le système suivant :


42

(3.19)

1 0 0 0000

β

(3.20)

Le système devient:

(3.21)

3.2.1.6 Résolution numérique

Le système global modifié (supposé linéaire) est résolu par les méthodes de solution

itératives par exemple la méthode de Gauss Seidel accélérée par sur relaxation

successive lorsqu’on a un grand nombre de nœud. Si on a un nombre de nœud

modéré, on utilise les méthodes de solution des systèmes linéaires classiques : Gauss

Jordon avec pivot, la méthode de décomposition LU avec substitution (CROUIT, dite

aussi méthode de DOOLITE). Pour le détaille de cette méthode voir Annexe 2.[9]

Chapitre 4 :

Application à la méthode

des éléments finis

Géométrie des éléments finis

Fonction d’interpolation

Résumé :

Dans ce chapitre on va essayer de concrétiser les étapes de résolution

des équations différentielles cité au chapitre précédent. En traitant le

système trouvé au chapitre deux


43


4.1.Géométriedesélémentsfinis

Cette étape consiste à subdiviser le domaine en élément fini de forme simple de

manière à approximer le milieu possible sa géométrie. Il s’agit ici d’un triangle à trois

nœuds voir figure (4.1). Chaque élément à 9DDL deux déplacements et un potentiel

électrique.[2]

X

X

Domaine d’étude élément avec D.D.L

Fig 4.1 : Géométrie de l’élément

Le domaine D est subdivisé par des segments horizontaux et verticaux pour avoir des

carrés. Chaque carré est divise en deux triangles pour former un maillage. Dans notre

cas en a choisi par exemple 45 nœuds et 64 éléments. Les frontières sont appelées

lim2 pour la frontière libre (aucune sollicitation appliquées et lim 3 là où la charge est

appliquée.

yij

yk

yjj

xi xk xjj

I(u,v,φ j(u,v,φ)

k(u,v,φ)Y

Y


44

Lim2

Lim3 Lim3

Lim2

Fig .(4.2) : Les conditions aux limites imposées

4.2. Fonction d’interpolation

La fonction d’interpolation s’écrit :

,

Avec b : degré d’un polynôme

Pour n 1 → b 3C’est un polynôme complet d’ordre 1

φ x, y a a x a y

L’élément bidimensionnel simple est un triangle à trois nœuds l’approximation de

φ est donnée par l’équation


45

φ x, y β β x β y (4.1)

Pour chaque nœud l’équation s’écrit :

φ x, y β β x β yφ x, y β β x β y

φ x, y β β x β y (4.2)

La solution du système (4.2) donne les

111

111111

2Δ

111111

2Δ


46

111111

2Δ

Donc, l’équation (4.2) devient :

∆

∆

∆

(4.3)

∆∶ est la surface du triangle

Avec Δ1 x y1 x y1 x y

(4.4)

On peut écrire l’air du triangle sous la forme

∆12

Remplaçant l’équation (4.4) dans l’équation (4.3), on obtient


47

∆

∆

∆

(4.5)

Remplacent dans l’équation (4.5) dans l’équation (4.2)

∅ ,2∆ 2∆ 2∆

D’où ∅ , , , , (4.6)

C’est une fonction d’interpolation (d’approximation)

On peut écrire sous une autre forme

∅ , , ,

Pour tout le domaine la fonction d’interpolation s’écrit :

∅ , ∑ , ∑ (4.7)

Avec , , et


48

4.3.La méthode de Galerkine

4.3.1.Equation de l’éctroélastique :

Dans le cas bidimensionnel le système l’équation (2.17) s’écrit :

∅ 0 (4.8)

∅

0 4.9

∅ ∅ 0 (4.10)

En tenant compte de l’équation (2.10):

L’équation (4.8) s’écrit :

∅ ∅

∅ ∅ (4.11)

l’équation (4.9) s’écrit


49

∅ ∅

∅ ∅ (4.12)

L’équation (4.10) s’écrit:

∅ ∅ ∅

∅ (4.13)

Pour simplifier l’écriture, on pose :

X→ , →

→ , →

L’équation (4.11):devient

∅ ∅ ∅

∅ 4.14

L’équation (4.12) devient


50

∅ ∅ ∅ ∅

(4.15)


∅ ∅ ∅ ∅

(4.16)


∅ ∅ ∅ ∅

(4.17)


∅ ∅ ∅ ∅(4.18)


∅ ∅ ∅ ∅ (4.19)

Les trois équations précédentes deviennent


51

L’équation (4.17) :

∅ ∅

∅ ∅ 4.20


∅ ∅

∅ ∅ 4,21


∅ ∅

∅ ∅ 4.22

4.3.2.Application de la méthode de GALERKINE

Ecrivant les équations élémentaires, en appliquant la méthode de GALERKINE, pour

un élément triangulaire de domaine ∆ à trois nœuds (i,j,k) chaque nœuds contient trois

degrés de libertés (U ,V, les équations (4.20) (4.21) (4.22) deviennent



52

∅ ∅ ∅

∅ (4.23)

L’équation (4.21):

∅ ∅ ∅

∅ 4.24

L’équation (4.22)

∅ ∅ ∅

∅ (4.25)

4.3.3. Application du théorème de GREEN

On posant Pour :

- l’équation (4.23) :

∅


53

∅

∅

- L’équation (4.24):

∅

∅

∅

- L’équation (4.25):

∅

∅

∅

Les équations précédentes deviennent


54


∑ ∑

∑ ∑

∑

∅ ∅

∅ ∅ ∑

∅ ∅

∅ ∅ 4.26

- L’équation(4.24):

∑ ∑

∑ ∑

∑

∅ ∅

∅ ∅ ∑

∅ ∅

∅ ∅ 4.27


55

- L’équation(4.25) :

∑ ∑

∑ ∑

∑

∅ ∅

∅ ∅ ∑

∅ ∅

∅ ∅

4.28

2∆

2∆

2∆

2∆

2∆

2∆


56

2∆ 2∆ 2∆

2∆

2∆ 2∆ 2∆

2∆

2∆ 2∆ 2∆

2∆

2∆ 2∆ 2∆

2∆

∅,

,∅ ∅ ∅ ∅


57

∅,

2∆∅

2∆∅

2∆∅

∅,

∅ ∅ ∅2∆

∅,

,∅ ∅ ∅ ∅

∅,

2∆∅

2∆∅

2∆∅

∅,

∅ ∅ ∅2∆

12∆12∆

12∆12∆

∅,

12∆

∅ ∅ ∅

∅,

12∆

∅ ∅ ∅


58


∅ ∅

∅ ∅

4.26

Le terme existe uniquement pour les éléments ayant des segments situes sur les frontières

Lim3 qui sont sollicités par des forces mécaniques

∑

∅ ∅

∅ ∅

∑

Le même raisonnement pour les deux autres équations



59

∅ ∅

∅ ∅

4.27

∑

∅ ∅

∅ ∅

∑


∅ ∅

∅ ∅

4.28


60

∑

∅ ∅

∅ ∅

∑

- L’équation(4.26a)

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

(4.26b)

- L’équation(4.27a):


61

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

(4.27b)

- L’équation(4.28a):

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

(4.28b)

Avec :

2∆


62

2∆

- L’équation(4.26b)

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆

∅ ∅ ∅∆

∅ ∅ ∅∆

∆

∅ ∅ ∅∆

∅ ∅ ∅∆

(4.26c)

- L’équation(4.27b):

12∆

12∆ 2∆

12∆

12∆ 2∆

12∆

12∆ 2∆

12∆

12∆ 2∆

12∆

∅ ∅ ∅12∆

∅ ∅ ∅2∆

12∆

∅ ∅ ∅12∆

∅ ∅ ∅2∆

(4.27c)

- L’équation(4.28b):


63

12∆

12∆ 2∆

12∆ 2∆

12∆

12∆ 2∆

12∆

12∆ 2∆

12∆

∅ ∅ ∅12∆

∅ ∅ ∅2∆

12∆

∅ ∅ ∅12∆

∅ ∅ ∅2∆

(4.28c)

Avec :

∆

- L’équation(4.26c):

14∆14∆

14∆14∆14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

(4.26d)



64

14∆14∆14∆14∆

14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

(4.27d)


14∆

14∆14∆14∆14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

(4.28d)

- L’équation(4.26d):

Pour i=1

14∆

14∆


65

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

On à

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅


66

14∆

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅

14∆14∆14∆14∆

14∆14∆

14∆14∆

Pour i=2


67

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

On à

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅


68

14∆

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

Pour i=3

14∆


69

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

On à

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅


70

14∆

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅

14∆14∆14∆14∆

14∆14∆14∆

14∆

14∆


71

La matrice de rigidité élémentaire de l’équation 1

Avec :

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

14∆

14∆

14∆14∆

14∆

14∆

14∆

14∆14∆


72

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆

∆


Pour i=1

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

On à

14Δ


73

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14∆

Donc


74

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ14Δ14Δ14Δ14Δ14Δ

Pour i=2

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ


75

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

Donc


76

14Δ14Δ14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ14Δ14Δ

Pour i=3

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ


77

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

Donc


78

14Δ14Δ14Δ14Δ14Δ14Δ14Δ

14Δ

14Δ

La matrice de rigidité élémentaire de l’équation 2 :

Avec :

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ


79

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ14Δ14Δ14Δ

14Δ

14Δ

14Δ14Δ14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ

14Δ


80

14Δ

14Δ

14Δ


Pour i=1

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

On à

14∆

14∆

14∆


81

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅


82

14∆14∆14∆14∆

14∆14∆14∆

14∆14∆

Pour i=2

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

On à

14∆


83

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅


84

14∆14∆14∆14∆

14∆14∆14∆

14∆14∆

Pour i=3

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅ ∅ ∅ ∅


85

14∆

14∆

14∆

14∆

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅ ∅

14∆

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅ ∅

∅


86

14∆14∆14∆14∆

14∆14∆14∆

14∆14∆

La matrice de rigidité élémentaire de l’équation 3 :

14∆14∆14∆14∆

14∆14∆14∆

14∆14∆


87

14∆14∆14∆14∆

14∆14∆14∆

14∆14∆

14∆14∆14∆

14∆

14∆14∆14∆

14∆14∆

Le terme qui se trouve sur la frontière ln3

1,2,3


88

En fin on un système d’équation a 9 inconnus

: Vecteur de force mécanique

: Vecteur de déplacement

Puisque la force de surface T appliquée sur ln3 est constante on remplace la fonction par

une fonction équivalente d’une variable de longueur S

1

Donc s’écrit

1 2

1,2,3

Conclusion Générale

89

Conclusion Générale

L’effet piézoélectrique est un phénomène récent. qui demande des connaissances

en programmation et les méthodes de résolution numériques. Vus les problèmes

rencontrés (la complexité du phénomène , temps …),nous avons limité le travail juste

à la détermination de la matrice de rigidité. Au début, notre but est de déterminer le

champ de déplacement (U,V) et du potentiel électrique (φ) créé sur les surfaces

métallisées de la plaque.

Pour cette raison une étude analytique et faite pour décrire le comportement de ce

phénomène. Des simplifications ont été prises en compte, nous avons abouti à un

système couplé d’équations différentielles aux dérivées partielles, l’étude est faite

dans le cas bidimensionnel.

La discrétisation du système trouvé fait appel à la méthode des éléments finis qui est

utilisée pour intégrer les équations du système couplé, en appliquant l’approche de

GALERKINE .pour rendre les équations sous forme variationnelle. Cette approche

nous la possibilité de trouver la matrice de rigidité K. vu le temps on n’a pas pu

trouver les résultats qui exigent des connaissances en programmation (FORTRAN)

malgré le programme de base qu’on a. et qui traite le coté thermique. on a essayé de

faire un organigramme qui résume la démarche de notre travail (voir annexe 4).

Bibliographie

90

BIBLIOGRAPHIE

[1] https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00004849Submitted on 18 Feb 2004

Modélisation asymptotique de plaques : contrôlabilité exacte frontière,

piézoélectricité

Abdou Séne

[2] Edieulesaint et D.Royer « Ondes élastiques dans les solides applications aux

Traitement du signal » MASSON 1974

[3] http://www2.ac.lyon. fr/etab /lycees/lys-69/descaters/IMG/pdf/poirel-2=piezo pdf.

l’effet piézo-électrique

[4] strasboortr.udppca.asso.fr/odpf/possies/olympiades٪20piézolecticité-mescico.

Grossir : un chemin pour la durabilité

[5] www.applis.unio.theses/2012/natihieu.domenjoud-3845

Caractérisation des propriétés électroacoustiques de structures piézoélectriques

soumises à une contrainte statique de type électrique ou mécanique

[6] www.edu.upmc.fr/physique/phys325/Documents

Résoudre Maxewell.pdf

[7] Mémoire de Calcul du champ de température sur une plaque par la méthode des

éléments finis (promotion 2005).

[8] http://www.math.unicaen-fr/ ̴ choi/pdf/cour-mef-pdf

Méthode des éléments finis par exemple.

[9] M.boumahrat/A.Goundin(Méthodes numériques appliquée Edition 1983)

[10] http://meefi.pedagogie.ec-nantes.fr/mef/MIAS/projets/logiciel/util-logiciel.pdf

Utilisation d’un logiciel éléments finis

ANNEXES

Annexes

ANNEXES

Annexe 1

Le tenseur des constantes élastique, tenseur des constantes diélectrique et tenseur des

constantes piézoélectrique des différents systèmes se regroupement en un seul tenseur

symétrique dont la forme.[2]

Système hexagonal :

La symétrie de la céramique (PZT.4) réduit le nombre de constante à 10

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 00 0 00 0 0

0 00 00 0

0 00 0

0 0 00 0 00 0 0

0 00 0

0 0 0

0 00 00 0

2

Système trigonal :

NIOBATE de LITHIUM (linbo3) réduit le nombre de constante indépendante à 12

0 0 0 0 0 0 0

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 0

0

0 00 00 0

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

Annexes

Système Tétragonal :

Le Titanate de Barium (Bati 03) réduit le nombre des constantes indépendantes à 12

0 0 0 0 00 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 00 0 0

0

0 00 00 0

0 00 0

0 0 00 0 00 0 0

0 00 0

0 0 0

0 00 00 0

Annexe 2

Résolution numérique

Le système global modifié (supposé linéaire) est résolu par les méthodes de solution

itératives par exemple la méthode de Gauss Seidel accélérée par sur relaxation

successive l’orsqu’on a un grand nombre de nœud. Si on a un nombre de nœud

modéré, on utilise les méthodes de solution des systèmes linéaires classiques : Gauss

Jordon avec pivot, la méthode de décomposition LU avec substitution (CROUIT, dite

aussi méthode de DOOLITE).

L’utilisation de la méthode des éléments finis conduit à la résolution d’un système

d’équations algébriques parfois très important. Pour l’analyse des problèmes linéaires,

la méthode de résolution choisie est celle de CROUT, dont l’algorithme est : [9]

La résolution du système par la méthode de CROUT peut s’organiser en trois phases

de calcul :

Factorisation de [K]

Il est possible de factoriser [K] sous la forme :

[K]=[L][U] (3.22)

Annexes

Où [L] est une matrice triangulaire inférieure (à élément diagonaux égaux à l’unité) et

U est une matrice triangulaire supérieure.

L’algorithme suivant donne les éléments de Let U :

L(i,i)=1 I=1, N

U(i,j)=K(i,j) -∑ , ∗ , 1, ∗ 1 (3.23)

,, ∑ , ∗ ,

,1… ∗ 1, ∗ 3.24

r : est le nombre de degrés de liberté par nœud et N le nombre total des nœuds.

Le système CRAMINIEN [L]{U}={f} devient :

[L][U]{u}={f} (3.25)

Qui peut se décomposer en :

1. Résolution du système triangulaire inférieur

[L]{Y}={f} (3.26)

2. Résolution du système triangulaire supérieur

[U]{u}={Y} (3.27)

Le système est un système triangulaire inférieur dont la solution Y est donnes par :

∑ , ∗ 1, … .∗ (3.28)

Une fois Y déterminée, le système triangulaire supérieur nous donne la solution U(i),

les composantes de celle-ci sont données par :

Annexes

,∑ , ∗

,

1, …… . .1

Annexe 3

Organigramme d'un logiciel éléments finis

Tout logiciel de calcul par la méthode des éléments finis contient les étapes

caractéristiques ou blocs fonctionnels suivants:[10]

Annexes

Annexes

Annexe 4

Organigramme de calcul de champ de température : [7]

Déclaration des constantes et variables

Debut

Ouverture des fichiers

Entrée des données

Appel de GEO

‐Calcul des coordonnées de tous les nœuds

‐Génération des éléments

Appel de CDLM

‐Spécifier les nœuds où les déplacements sont connus

‐ Spécifier les nœuds appartenant aux limites

Appel FORCE

‐ Spécifier les nœuds soumis à une force Thermique

1

Calcul des constantes géométriques b1,b2,b3,c1,c2,c3

Calcul des coefficicients de la matrice de rigidité

élémentaire K11,K12,K13,………., K98,k99 et les coefficient

symétriques

A

B

Appel de ASSEMA

Elargir la matrice élémentaire de taille 81×81 en une

matrice globale

Annexes

Qui

Non

B

Calcul des longueurs de chaque segment de l’élément

Calcul de la contribution de la force mécanique

, , , , , ,

Appel de ASSEMF

Elargir les vecteurs élémentaires de taille 9×1 en un

vecteur globale de taille 81×1

Ie=ie+1

Ie˂=64

Calcul du vecteur charge résultant

Appel de BNDR

Préciser les vecteurs connus et modifier le systéme =

Appel de LUD

Décomposer la matrice globale en un produit de matrices

Calcul du vecteur Tel que

Calcul du vecteur Tel que

Calcul le déplacement en chaque nœud et le potentiel

électrique

Appel RESULT

Enregistrer les résultats

FIN

A