DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ GECİKMELİ İLİŞKİLER: Dağıtılmış Gecikme ve Otoregresiv Modeller

DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ GECİKMELİ İLİŞKİLER:

Dağıtılmış Gecikme ve

Otoregresiv Modeller

t o t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 tY X X X X u

Dağıtılmış Gecikme Modeli

Zaman serisi modellerinde, bağımlı değişken Y’nin t

zamanındaki değerleri, bağımsız X değişkenlerinin t

zamanındaki cari değerleri Xt, daha önceki dönemlerdeki

gecikmeli değerleri Xt-1, Xt-2, ……. ye bağlı olabilir.

Bağımlı değişkeninin (Y) geçmiş dönemlere (genellikle geçmiş yıllara) ait değerleri Yt-1, Yt-2, … yi içeriyorsa

t o t 1 t 1 2 t 2 3 t 1 4 t 2 tY X X X Y Y u

Otoregresiv Model (Dinamik Model)

Statik Model

Yt = 0 + 1Xt + ut, (t=1,2,…,n.)

“Statik Model”, Y ve X arasında aynı dönemde yani t döneminde ortaya çıkan ilişkiden gelmektedir.

“Statik Model”, t zamanında X’te meydana gelen değişikliğin yine aynı dönemde Y’de meydana getireceği etkiyi ortaya koymaktadır.

Yt = 1 Xt

Gecikme Kavramı

t1-t1t0t uXb Xb a Y

Bağımlı değişkeninin (Y) t zamanındaki değeri,

bağımsız değişkenlerin geçmiş zaman

dilimlerindeki (t-1,t-2,…gibi) değeri ile tayin

edilebilir.

Y değişkeni, X’e belli bir zaman boşluğundan sonra

cevap verdiğinde bu zaman boşluğuna GECİKME,

ilgili modele de gecikmeli ilişki denmektedir.

Örnek: Tüketim Fonksiyonu

Bir kişiye 1991’de 16 milyar çıksın (Y:tüketim X: Gelir)

Eski yaşam tarzından yeni yaşam tarzına geçiş için bir

boşluk vardır. Kişi gelir artışının tamamını hemen o yıl

harcamaz, belli bir zaman sonra bu paranın tamamını

harcamış olur.

İlk yılda 16 milyarın yarısı ½=0.5

İkinci yılda 6/16=0.375

Üçüncü yılda 2/16=0.125

t2-t21-t1t0t uXb Xb Xb a Y

ttttt uXXXaY 21 125.0375.05.0

Dağıtılmış gecikmeli tüketim fonksiyon:

16 milyar üç döneme yayılır. Bu fonksiyona genel olarak

dağıtılmış gecikme modelleri denir. Bir sebebin(gelir

artışının) tüketime (Y) etkisi belli döneme (3 yıl)

dağılmaktadır.

Sonlu Dağıtılmış Gecikme Modelleri

Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + 2Xt-2 + ut, (t=1,2,…,n.)Genel Model;Yt = + 0Xt + 1Xt-1 + 2Xt-2 + … + kXt-k +ut, (t=1,2,…,n.)

k-gecikmeli sonlu dağıtılmış gecikme modeli0 Kısa dönem yada etki çarpanı

0+

0+ +

0+ + +…+ k-1

Ara dönem çarpanları

i0+ + +…+ k Uzun dönem çarpanı ( ya da toplam veya

dağıtılmış gecikme)

i

i

i*i “standartlaştırılmış i”

2

0210 1125.0375.05.0

k

i

bbbb

t2-t21-t1t0t uXb Xb Xb a Y

Uzun dönemde gelirdeki bir birimlik artış tüketimi bir

birim arttırmaktadır. Yani tüketici uzun dönemde hiç

tasarruf yapmamakta gelirdeki artışların tamamını

tüketmektedir.

Gecikmenin Nedenleri

1. Psikolojik nedenler

2. Teknolojik nedenler

3. Kurumsal nedenler

DAĞITILMIŞ GECİKME MODELLERİNİN DOĞRUDAN BASİT EKKY İLE TAHMİNİ

t o t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 tY X X X X ........ u

Sınırsız Gecikmeli Model

t o t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 k t k tY X X X X ........ X u

Sonlu (Sınırlı) Gecikmeli Model

DAĞITILMIŞ GECİKME MODELLERİNİN DOĞRUDAN BASİT EKKY İLE TAHMİNİ

t o t 1 t 1 2 t 2 3 t 3 tY X X X X ........ u

EKKY İLE TAHMİNLENEBİLİR.

EKKY Uygulamanın Sakıncaları:

• Gecikme sayısı k’nın maksimum değerinin önceden belli olmamasıdır.

• Birbirini takip eden gecikmelerin sayısının çok olması ve gözlem sayısının az olması halinde serbestlik derecesinin küçülüp, istatistiksel test ve güven aralıklarının sağlıksız olması

• Xt-1, Xt-2, Xt-3,… gecikmeleri arasında çoklu doğrusal bağlantı probleminin ortaya çıkmasıdır.

Dağıtılmış Gecikme Modelleri için Yöntemler

• Almon Polinomial Gecikme Modeli

• Koyck Modeli

• Cagan’ın Uyumcu Beklenti Modeli

• Nerlove Kısmi İyileştirme Modeli

Almon, bi bilinmeyen parametrelerinin zamanla ikinci veya

üçüncü derece eğrisi şeklinde değiştiğini varsayarak

dağıtılmış gecikme modellerini tahmin etmiştir.

Almon Polinomial Gecikme Modeli

Yt = + bXt + b1Xt-1 + b2Xt-2 + … + bkXt-k +ut, (t=1,2,…,n.)

tit

k

iit uXbY

0

Almon bi’nin i gecikme uzunluğunun uygun dereceden

bir polinom şeklinde ifade edileceğini varsayar.

(i=1,2,…,k.)

bi

i1 2 3 7

**

*

*

*

**

bi

i1 2 3 7

** *

**

*

*

bi = a0 + a1i + a2i2 bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3

**

*

*

*

**

** *

**

*

*

bi = a0 + a1i + a2i2 bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3

Polinomial gecikme yapı

bi = a0 + a1i + a2i2

bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3

Genel olarak r’inci dereceden bir polinomial gecikme şöyle yazılabilir:

bi = a0 + a1i + a2i2 + a3i3 + … + air

Polinomun derecesi < Gecikme sayısı

(r k)

Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları:

1.Adım: b’ler için belli bir polinom derecesi r ve uygun bir gecikme sayısı k seçilir.

2.Adım: r’nin derecesine göre polinom bi

tit

k

iit uXbY

0

denkleminde yerine konur.

Örneğin b’lerin ikinci dereceden parabol gecikmeli olduğunu farz edersek:

tit

k

0i

2210t uX)iaiaa(Y

t

k

0iit

22

k

0iit1

k

0iit0t uXiaiXaXaY


t2t21t10t0t u Za Za Za Y Z0t Z1t Z2t

bi = a0 + a1i + a2i2tit

k

iit uXbY

0

Örnek: Tüketim fonksiyonunda cari tüketimin (Yt),

geçmiş tüketim seviyeleri Yt-1, Yt-2,… ; cari gelir Xt ve

geçmiş gelir seviyeleri (Xt-1, Xt-2,…)’ne bağlıdır.

t 0 t 1 t 1 2 t 2 tY X X X u

Gecikmeli Tüketim Fonksiyonu

1976-1990 dönemi tüketim (Yt) ve gelir (Xt) verilerini kullanarak Almon tekniği ile dağıtılmış gecikme modelini tahmin ediniz.

Yıl Yt Yt-1 Yt-2 Xt Xt-1 It=Xt-Yt

1976 2 - - 3 - 3-2=11977 3 2 - 4 3 4-3=11978 4 3 2 5 4 11979 6 4 3 7 5 11980 7 6 4 11 7 41981 8 7 6 12 11 41982 10 8 7 15 12 51983 13 10 8 18 15 51984 14 13 10 22 18 81985 16 14 13 26 22 101986 19 16 14 29 26 101987 20 19 16 32 29 121988 21 20 19 35 32 141989 23 21 20 42 35 191990 25 23 21 50 42 25



1976 2 - - 3 - 3-2=11977 3 2 - 4 3 4-3=11978 4 3 2 5 4 11979 6 4 3 7 5 11980 7 6 4 11 7 41981 8 7 6 12 11 41982 10 8 7 15 12 51983 13 10 8 18 15 51984 14 13 10 22 18 81985 16 14 13 26 22 101986 19 16 14 29 26 101987 20 19 16 32 29 121988 21 20 19 35 32 141989 23 21 20 42 35 191990 25 23 21 50 42 25



1976 2 - - 3 - 3-2=11977 3 2 - 4 3 4-3=11978 4 3 2 5 4 11979 6 4 3 7 5 11980 7 6 4 11 7 41981 8 7 6 12 11 41982 10 8 7 15 12 51983 13 10 8 18 15 51984 14 13 10 22 18 81985 16 14 13 26 22 101986 19 16 14 29 26 101987 20 19 16 32 29 121988 21 20 19 35 32 141989 23 21 20 42 35 191990 25 23 21 50 42 25

Almon Polinomial Gecikme ModeliAlmon Polinomial Gecikme Modeli


1976 2 - - 3 - 3-2=11977 3 2 - 4 3 4-3=11978 4 3 2 5 4 11979 6 4 3 7 5 11980 7 6 4 11 7 41981 8 7 6 12 11 41982 10 8 7 15 12 51983 13 10 8 18 15 51984 14 13 10 22 18 81985 16 14 13 26 22 101986 19 16 14 29 26 101987 20 19 16 32 29 121988 21 20 19 35 32 141989 23 21 20 42 35 191990 25 23 21 50 42 25


Yıl Yt Yt-1 Yt-2 Xt Xt-1 Xt-2 It=Xt-Yt

1976 2 - - 3 - - 3-2=11977 3 2 - 4 3 - 4-3=11978 4 3 2 5 4 3 11979 6 4 3 7 5 4 11980 7 6 4 11 7 5 41981 8 7 6 12 11 7 41982 10 8 7 15 12 11 51983 13 10 8 18 15 12 51984 14 13 10 22 18 15 81985 16 14 13 26 22 18 101986 19 16 14 29 26 22 101987 20 19 16 32 29 26 121988 21 20 19 35 32 29 141989 23 21 20 42 35 32 191990 25 23 21 50 42 35 25



Almon Polinomial Modeli Tahmin Aşamaları:

1.Adım: tüketim cari t yılı ve ondan sonraki b’ler için belli bir gecikme sayısı r seçilir.2.Adım: r’nin derecesine göre polinom

tit

k

iit uXbY

0

denkleminde yerine konur.

ti

itt uXiaiaaY

2

0

2210 )(


2 2 22

t 0 t i 1 t i 2 t i ti 0 i 0 i 0

Y a X a iX a i X u

t 0 0t 1 1t 2 2t tY a Z a Z a Z u

2

0t t i t t 1 t 2i 0

Z X X X X

2

1t t i t 1 t 2i 0

Z iX X 2X

2

22t t i t 1 t 2

i 0

Z i X X 4X

2

2t 0 1 2 t i t

i 0

Y a a i a i X u

Almon Polinomial Gecikme ModeliYıl Yt Xt Z0t Z1t Z2t

1976 2 3 - - -

1977 3 4 - - -

1978 4 5 12 10 16

1979 6 7 16 13 21

1980 7 11 23 17 27

1981 8 12 30 25 39

1982 10 15 38 34 56

1983 13 18 45 39 63

1984 14 22 55 48 78

1985 16 26 66 58 94

1986 19 29 77 70 114

1987 20 32 87 81 133

1988 21 35 96 90 148

1989 23 42 109 99 163

1990 25 50 127 112 182

Z0t=Xt+Xt-1+Xt-2 = 5+4+3=12

Z1t=Xt-1+2Xt-2 =11+2(7)=25


Dependent Variable: YMethod: Least SquaresIncluded observations: 13 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.489448 0.684390 5.098623 0.0006Z0 -0.0531520.231098 -0.2299990.8232Z1 0.673845 1.140014 0.591085 0.5690Z2 -0.2529520.575290 -0.4396940.6705

R-squared 0.982376 Mean dependent var 14.30769Adjusted R-squared 0.976501 S.D. dependent var 6.956827S.E. of regression 1.066430 Akaike info criterion3.214170Sum squared resid 10.23546 Schwarz criterion 3.388001Log likelihood -16.89211 F-statistic 167.2228Durbin-Watson stat 1.028537 Prob(F-statistic) 0.000000

a1

a2

a0

i = a0 + a1i + a2i2


Orijinal bi katsayılarının tahmini için;

0 0a 0.0532

1 0 1 2a a a 0.0532 0.6738 0.253 0.3676

2 0 1 2a 2a 4a 0.0532 2 0.6738 4 0.253 0.2824

i = a0 + a1i + a2i2

Y=3.4894-0.05315Z0+0.6738Z1-0.2529Z2

a0 a1 a2


Orijinal Dağıtılmış Gecikme Modeli;

t t t 1 t 2Y 3.4894 0.0532X 0.3676X 0.2824X

Koyck Modeli

Koyck i’lerin geometrik olarak azaldığını varsayar:

k = 0k, k=0,1,….

= Geometrik Gecikmeli Katsayılar

Dağıtılmış gecikmenin azalma oranı 0 < < 1

1-uyum hızı yada intibak hızı

parametrelerine sınırlama koyan tekniklerden biri de Koyck

tekniğidir. Koyck, sonsuz sayıda gecikme modelindeki

gecikme katsayılarının geometrik bir dizi şeklinde azaldığını

kabul ederek gecikmeli modelini oluşturmuştur.

t o t 1 t 1 2 t 2 tY X X X ... u

2t 0 t 0 t 1 0 t 2 tY X X X ... u (1)

Koyck Model

Dağıtılmış gecikme modeli Koyck Modeli varsayımı ile şu şekilde yazılabilir:

Koyck modeli elde edilir.

k=0 ,1 ve 2 değerleri verilerek

aşağıdaki sonuçlar elde edilir.

k = 0k,

t o t 1 t 1 2 t 2 tY X X X ... u

modelinde lar yerine eşitleri konursa

00

00 k 0k

20201 ...., ,

Koyck Model

Koyck Model Dönüşümü

(1) No lu model bir dönem geciktirilerek yazılır:

2t 1 0 t 1 0 t 2 0 t 3 t 1Y X X X ... u (2)

(2) no lu modelin her iki tarafı ile çarpılır:

2 3t 1 0 t 1 0 t 2 0 t 3 t 1Y X X X ... u (3)

(1 ) no lu model (3) no lu modelden çıkarılır:

2t 0 t 0 t 1 0 t 2 tY X X X ... u (1)

Koyck modeli tekrar yazılır.

2t t 1 0 t 0 t 1 0 t 2 t

2 30 t 1 0 t 2 0 t 3 t 1

Y Y X X X ... u

X X X ... u (4)

Koyck Model

t 0 t t 1 tY 1 X Y +v (5)

= Dönüşümlü Koyck Modeli

t t t 1v u u

101 ttttt uuXYY

Koyck Model Koyck Modelinin Özellikleri:

1. Koyck dönüşümü ile otoregresiv model tahmin edilmektedir.

2.Koyck modelinin çözümü kolay olmakla beraber önemli bir sakıncası vardır: Yt-1 bağımsız değişkeni stokastiktir, halbuki EKKY varsayımlarından biri de bağımsız değişkenin stokastik olmamasıdır.

3. Dönüşümlü Koyck modelinin ikinci sakınca da; vt hata teriminin otokorelasyonlu olmasıdır.

Koyck Model Koyck Modelinin Özellikleri:

4.(5) nolu otoregresiv modelinde Yt-1 değişkeninin varlığı Durbin-Watson d otokorelasyon testinin yapılmasını önlediğinden otokorelasyon için ayrı bir test olan Durbin’s h testi uygulanmaktadır.

5.Koyck Modelinde ortalama gecikmesi = /(1-

6.Koyck model: Medyan Gecikme= -log2/log

Medyan Gecikme, X’deki bir birimlik değişmenin Y’de yapacağı toplam değişmenin yarısının kaç dönem sonra gerçekleşeceğini göstermektedir.

Using Econometrics, A.H.Studenmund, p.415-416

COt = f(YDt, YDt-1, YDt-2, etc.) + ut

COt = 0 + 0YDt + COt-1+ ut

Yukarıdaki denklemlerden birincisi dağıtılmış gecikmeli model, ikincisi dönüşümlü Koyck modelidir.

Buna göre aşağıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden hareketle dağıtılmış gecikme modelini tahmin ediniz.

Aşağıdaki eşitlik yalnızca toplam tüketim fonksiyonuna uymanın yanında Milton Frieadman tarafından önerilen daimi gelir hipotezidir.

1964-19941964-1994

COt = -38.11+ 0.52 YDt + 0.46 COt-1

tc 4.44 3.74 Düz-R2=0.998

k = 0k 0= 0.52 ; = 0.46

= (0.52)(0.46)11 = 01 = 0.24

(1-) (1-)

COt = + 0YDt + 1YDt-1 + 2YDt-2 + … + kYDt-k

= -70.57

COt = + 0.52 YDt + 0.24 YDt-1 + 0.11 YDt-2 + 0.05 YDt-3 + …

1964-19941964-1994

COt = -38.11+ 0.52 YDt + 0.46 COt-1

tc 4.44 3.74 Düz-R2=0.998

COt = 0 + 0YDt + COt-1+ ut

= (0.52)(0.46)22 = 02 = 0.11

k=0

k=1

k=2

PPCEt = -841.86 + 0.71 PDPIt + 0.2954 PPCEt-1

t (-2.41) (5.46) (2.37)

R2=0.9912 d=1.014

PPCE: kişi başına tüketim harcaması PDPI: kişi başına gelir

Yukarıda verilen dönüşümlü Koyck modelinden hareketle

Koyck Model

uyum hızını elde ediniz.

Koyck Model t 0 t t 1 tY 1 X Y +v

PPCEt = -841.86 + 0.71 PDPIt + 0.2954 PPCEt-1

0.2954

1 1 0.2954

0.7046

Kişi başına tüketim harcamasındaki değişmenin %30’u yaklaşık 5 ay içerisinde meydana gelmektedir.

1yıl 12 ay0.4192 yıl x

Ortalama gecikme;Y’nin X’e bağlılığının zaman içindeki hızını verir.

Koyck modelinde ortalama gecikme = /(1-)

= 0.2954 / (1-0.2954)

=0.4192

CAGAN’IN Uyumcu Beklenti Modeli Yt = 0 + 1 Xt

* + ut

1, X* deki bir birimlik değişmenin Y’de meydana getireceği

ortalama etkiyi ölçer. UBM ile ekonometrik modellerde

gelecekteki beklentiler dikkate alınabilir.

Bağımlı değişken Yt sadece X bağımsız değişkeninin

gerçekleşen değerlerine değil, t dönemindeki beklenen

değerleri Xt* a bağlıdır.

* * *t t 1 t t 1X X g(X X )

Uyumcu beklenti modelinin elde edilişi:

Beklenti değişkenleri Xt* lar doğrudan gözlenemediğinden, bu değişken hakkındaki beklentiler için varsayım şu şekilde yapılmaktadır:

Bugünün beklentisindeki değişme

Burada Yt = Bir maldan talep edilen miktar Xt

*= Beklenen fiyat seviyesi

Uyumcu beklenti

( 0 g)

Bu varsayımla gerçekleşen veya beklenen fiyatlar,

gerçekleşen ve beklenen gelirler arasındaki fark bir uyum

işlemi ile kapatılmaya çalışılmaktadır.

* *t t t 1X gX (1 g)X

g =0 t 1

* *tX X

Beklenen fiyatlar ile geçmiş yılların beklenen fiyatları veya gelirleri aynı kalmakta, değişmemektedir.

g =1 *t tX X

Beklentiler % 100 gerçekleşmiştir.

CAGAN’IN Uyumcu Beklenti Modeli

* *t t t 1X gX (1 g)X

* *t t t 1X gX (1 g)X

Bugünün beklentileri Xt*, kısmen eski beklentiler Xt-1*, kısmen de

bugünkü değer Xt’nin ışığında belirlenir.

g: beklenti katsayısı


* *t t t 1X gX (1 g)X (2)

Yt = 0 + 1 Xt* + ut (1)

(2) Nolu eşitlik (1) nolu modelde X*t de yerine konursa

t 1

*t 0 1 t 1 tY gX 1 g X u (3)

elde edilir.

t 1 t 1

* *t 0 1 t 1 1 tY gX X g X u

*0 1 1[ (1 ) ] t t t tY gX g X u


(1) No lu model önce bir dönem geciktirilip daha sonra da her iki tarafı (1-g) ile çarpılır;

Yt = 0 + 1 Xt* + ut (1)

*t-1 0 1 t-1 t 1Y = + X +u

*t-1 0 1 t-1 t 1Y = + X +u

*t-1 0 1 t-1 t 11-g Y = 1-g + 1-g X + 1-g u

1-g 1-g

* *t-1 0 0 1 t-1 1 t-1 t-1 t 1Y g + X -g X gY 1-g u (4)

şeklinde düzenlenir.


t 1 t 1

* *t 0 1 t 1 1 tY gX X g X u (3)

* *t-1 0 0 1 t-1 1 t-1 t-1 t 1Y g + X g X gY 1-g u (4)

(3) nolu modelden (4) nolu model çıkarılırsa;

-

11101 )1( tttttt ugugYXggYY

t 0 1 t t 1 tY g g X 1 g Y v (5)

=Uyumcu Beklenti Modeli

t t t 1v u 1 g u

t 0 1 t t 1 tY g g X 1 g Y v (5)

=Uyumcu Beklenti Modeli

Kısa Dönem Modeli

(5 nolu modeldeki)

β1 (uyumcu beklenti modeli); X’ deki bir birimlik değişmenin Y’de meydana getireceği ortalama etkiyi ölçer. (kısa dönem modeli)

Yt = 0 + 1 Xt* + ut (1)

(1 nolu modeldeki) β1; uzun dönem etkiyi göstermektedir.

1 ve 5 numaralı model karşılaştırılır:

Uyumcu Beklenti Modelinin Özellikleri:

1. Beklenti modeli otoregresiv bir modeldir yani Yt-1 bağımsız değişkenini içermektedir.

2.Cagan’ın beklenti modelinin hata terimi vt otokorelasyonludur.

Uygulama: 1946-1972 dönemi dört aylık verilere dayanarak ABD için Ct = a1 + a2Xt + a3Ct-1 + ut modeli aşağıdaki gibi tahmin edilmiştir.

t t t 1C 2.361 0.2959X 0.6755C

Ct : Toplam TüketimXt : Toplam Gelir

*t 1 2 t tC b b X u

ilişkisinden yola çıkarak elde edilen kısa dönem modelinden uzun dönem modelini elde ediniz.

t t t 1C 2.361 0.2959X 0.6755C

a2 = gb2 a3 =(1-g)

*t 1 2 t tC b b X u

a3 =(1-g)= 0.6755

(1-g)= 0.6755 g = 0.3245

2 2a gb 2 2 / 0.2959 / 0.3245 0.91b a g

b2:Uzun dönem etki b2=0.91

a2:kısa dönem etki

a2=0.2959

u Ca Xa a C t1-t3t21t

Cari veya gözlenen gelirdeki bir birimlik artış tüketimi

yaklaşık 0.30 birim arttırırken; gelirdeki bu artış

devam ettiğinde tüketimi 0.91 birim arttırır.

a2 ; kısa dönem etki=0.30

b2; uzun dönem etki=0.91

Kısmi İyileştirme Modeli

Kısmi iyileştirme modelinde Y bağımlı değişkeninin istenen bir seviyesi Yt

* alınarak,

*t 0 1 t tY = + X + u (1)

doğrusal ilişkisi araştırılmaktadır.

Y’nin gözlenen değerleri Yt yerine istenen değerleri Yt*’lar

alınarak, t dönemindeki gözlenen Xt’ye dayandırılmaktadır.

Yt* doğrudan gözlenememektedir.

( 0 )

:iyileştirme katsayısı

*t t-1 t t-1Y -Y = (Y - Y ) (2)

Nerlove’ın kısmi iyileştirme hipotezi

Son yıldaki gerçekleşen değişme

Son yıldaki istenen değişme (artış veya azalış)

(2) No lu modelde Yt yalnız bırakılırsa;

*t t t-1Y = Y +(1- )Y (3)

*t t t-1Y = Y +(1- )Y (3)

*t 0 1 t tY = + X + u (1)

(3) nolu eşitlik (1) nolu modelde yerine konursa

* t t-1t

Y (1- )YY (3)

t t 10 1 t t

Y (1- )Y= + X + u

t 0 1 t t-1 tY = + X +(1- )Y + u (4)

= Kısmi İyileştirme Modeli

= Kısa Dönem Modeli

t t 10 1 t t

Y (1- )Y= + X + u

t t 1 0 1 t tY (1- )Y = + X + u

t t 1 0 1 t tY 1 Y = X u

Kısmi İyileştirme Modelinin Özellikleri:

1. Kısmi İyileştirme modeli de otoregresiv bir

modeldir.Yani Yt-1 bağımsız değişkenini

içermektedir.

2.Hata terimi ut otokorelasyonlu değildir.

• Yt* bir şirketin arzu ettiği stok mal düzeyi,

• Yt gerçek stok mal düzeyi

• Xt satış miktarı olsun.

Arzu edilen stok mal düzeyinin satışlara bağlı

olduğunu varsayarsak:

Yt* = + Xt

• Pazardaki belirsizliklerden dolayı, arzu edilen ve gerçek

stok mal düzeyleri arasındaki açık, bir anda kapatılamaz.

• Ancak her dönemde açığın belli bir kısmı kapatılabilir.

• Bu durumda t zamanındaki stok mal düzeyi; t-1 zamanındaki

stok mal düzeyine, düzeltme faktörü ve hata teriminin

eklenmesine eşit olacaktır:

Yt = Yt-1 + (Yt* - Yt-1) + ut,

Bu model, kısmî iyileştirme modeli olarak bilinir.

( 0 )

parametresi, kısmî düzeltme katsayısı; • 1/ : düzeltme hızıdır.

• Düzeltme katsayısı(), açığın bir dönemde kapatılacak oransal miktarını;

• Düzeltme hızı (1/ )ise, açığın tamamen kapatılabilmesi için geçmesi gereken dönem sayısını verir.

• Örneğin; = 0.25 ise, bir dönemde açığın %25'i kapatılabilecektir;

• açığın tamamen kapanması için geçecek süre ise,

1/ =1/0.25=4 yıldır.

Uygulama: 1946-1972 dönemi dört aylık verilere dayanarak

ABD için Ct = a1 + a2Xt + a3Ct-1 + ut modeli aşağıdaki gibi tahmin

edilmiştir.

t t t 1C 2.361 0.2959X 0.6755C

Ct : Toplam TüketimXt : Toplam Gelir

ilişkisinden yola çıkarak elde edilen kısa dönem modelinden

uzun dönem modelini kısmi iyileştirme modeliyle elde ediniz.

*t 1 2 t tC b b X u

tttt uCXbbC 121 )1(

tttt uCaXaaC 1321 Kısmi İyileştirme Modeli

*t 1 2 t tC b b X u Uzun dönem modeli

b2 uzun dönem marjinal tüketim eğilimi iken

a2 kısa dönem marjinal tüketim eğilimidir.

t t t 1C 2.361 0.2959X 0.6755C

a3=1-=1-a3

=1-0.6755=0.3245

Uygulama:

açığın bir dönemde kapatılacak oransal miktarını verir

b2=Uzun dönem MTE=0.2959/0.3245=0.91

a2=0.2959 kısa dönem etki

Uzun dönemde verilen bir zaman diliminde tüketiciler (sadece tüketimlerinin üçte birini düzeltmektedir (ayarlamaktadır)

22 ba Uygulama:

Görünüşte uyumcu beklenti ve kısmi iyileştirme modeli (ve

Koyck modeli) tahmin edilen regresyon açısından

bakıldığında benzerdir:

Tüketicilerin davranışlarını alışkanlıklar belirliyorsa

kısmi iyileştirme modeli;

Tüketici davranışı ileriye yönelik gelecekteki umulan

gelire bağlıysa en iyi model uyumcu beklenti modelidir.

Kısmi iyileştirme modelinde EKKY tutarlı tahmincileri verir.

EKKY varsayımları sağlanır.

Uyumcu beklenti modelinde tutarlı tahminciler elde

edilmeyebilir.

DeğişkenlerDeğişkenlerQ= 1980 fiyatlarıyla gıda harcamaları,X= Cari fiyatlarla toplam harcamalar,P= Gıda fiyat indeksi,G= Genel fiyat indeksi.

ln(Q*)t=0 + 1 ln(X/G)t + 2 ln(P/G)t + ut

ln(Q)t=0 + 1 ln(X/G)t + 2 ln(P/G)t + (1- ) ln(Q)t-1 + ut

Uygulama: Modern Econometrics R.L.Thomas (p.319-320)

varsayım

Uzun dönem modeli

Kısa dönem modeli

*t t-1 t t-1ln(Q) - ln(Q) = [ln(Q ) - ln(Q) ]

Dependent Variable: LOG(Q)Method: Least SquaresSample: 1965 1989Included observations: 25

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 4.337799 1.007119 4.307135 0.0003

LOG(X/G) 0.141664 0.051548 2.748213 0.0120

LOG(P/G) -0.197040 0.090504 -2.177145 0.0410

LOG(Q(-1)) 0.478323 0.137783 3.471566 0.0023

R-squared 0.956197 Mean dependent var 12.19364

Adjusted R-squared 0.949940 S.D. dependent var 0.071161

S.E. of regression 0.015922 Akaike info criterion -5.296628

Sum squared resid 0.005323 Schwarz criterion -5.101608

Log likelihood 70.20785 F-statistic 152.8076

Durbin-Watson stat 1.145060 Prob(F-statistic) 0.000000

2

1

(1-)

0

ln(Q)t=0 + 1 ln(X/G)t + 2 ln(P/G)t + (1- ) ln(Q)t-1 + ut (kısa dönem modeli)

(1-) = 1- 0.478323

= 0.521677

2 = -0.197040

(0.521677) 2 = -0.197040

2 = - 0.37770

1 = 0.141664 a1

(0.521677) 1 = 0.141664

1 = 0.27155

0 = 4.3377

(0.521677) 0 = 4.3377

0 = 8.3149

Uzun dönemde tüketiciler gıda harcamalarının yarısını düzeltmektedir (iyileştirmektedir).

a1: kısa dönem etki 1:uzun dönem etki

ln(Q*)t= 0 + 1 ln(X/G)t + 2 ln(P/G)t + ut

= 0.521677

*t t tln Q 8.3149 0.2715ln(X / G) 0.3777 ln(P / G)

0 = 8.3149

1 = 0.27155 2 = - 0.37770

Uzun dönem modeli

Cari veya gözlenen toplam harcamadaki bir birimlik artış gıda harcamasını yaklaşık 0.14 birim arttırırken ;toplam harcamadaki bu artış devam ettiğinde uzun dönemde gıda

harcamasını 0.27 birim arttırır.

a1=b1 =0.14 Kısa dönem etki

1 = 0.27155 Uzun dönem etki

Aşağıdaki tabloda İngiltere’nin 1995-2002 dönemindeki şarap tüketimi ve harcanabilir geliri ile ilgili verileri gösterilmiştir.

Yıllar Şarap tüketimi Gelir 1995 25 471996 17 381997 22 501998 27 551999 14 452000 19 522001 22 652002 27 72

Aşağıda şarap tüketiminin Almon polinomial modeli verilmiştir. Yt = 21.635 + 0.429 Zot - 0.755 Z1t + 0.182 Z2t

s(bi) (17.35) (0.227) (0.812) (0.394)

Buna göre orijinal modeli tahmin ediniz

Uygulama:

Uygulama:

2

0t t i t t 1 t 2i 0

Z X X X X

2

1t t i t 1 t 2i 0

Z iX X 2X

2

22t t i t 1 t 2

i 0

Z i X X 4X

0 0a 0.429

1 0 1 2a a a 0.429 0.755 0.182 0.144

2 0 1 2a 2a 4a 0.429 2 0.755 4 0.182 0.353

t t t 1 t 2Y 21.635 0.429X 0.144X 0.353X

Modern Econometrics R.L.Thomas(p.320)

r=2 ; k=6

t

6

0iit

22

6

0iit1

6

0iit0t uXiaiXaXaY

6

0iitX

6

0iitiX

6

0iit

2Xi

= Xt+Xt-1+Xt-2+Xt-3+Xt-4+Xt-5+Xt-6

= Xt-1+ 2Xt-2 + 3Xt-3 + 4Xt-4 + 5Xt-5 + 6Xt-6

= Xt-1+ 4Xt-2 + 9Xt-3 + 16Xt-4 + 25Xt-5 + 36Xt-6

Ct= Sabit fiyatlarla tüketim harcamaları

Y = Sabit fiyatlarla kullanılabilir gelir

Otoregresiv Modellerin Tahmin Yöntemleri

Koyck ModeliUyumcu Beklenti ModeliKısmi İyileştirme Modeli

Dağıtılmış Gecikme Modelini tahmin için kullanılmakta olan bu modeller aslında otoregresiv modeller olup Yt’nin gecikmeli değerlerinden oluşan Yt-1 değişkenini içermektedir.

Yt-1 değişkenli otoregresiv model :

0 1 2 1t t t tY a a X a Y v Genel Otoregresiv Model

Yt-1 modelde bağımsız bir değişken olarak yer almakta ve vt hata terimi otokorelasyonludur. Bu nedenle EKKY ile doğrudan çözülememektedir.


•Koyck Modeli•Uyumcu Beklenti Modeli

Stokastik Yt-1 bağımsız değişkeni, vt hata terimi ile ilişkilidir. Bu nedenle EKK tahmincileri sapmalı ve tutarsız olur. Örnek büyüklüğü sonsuza gitse de tahminciler gerçek anakütle değerlerine yaklaşmazlar.

vt=ut olduğundan ut hata terimi EKK varsayımlarını sağladığında vt de sağlar. Bu nedenle kısmi iyileştirme modeli EKKY tahmincileri tutarlı tahminler verir. Ancak küçük örneklerde bu tahminler sapmalıdır.

Kısmi İyileştirme Modeli


Otoregresiv Modellerin EKKY ile Tahminleri

t 0 1 t t-1 tY = + X +(1- )Y + u

= Kısmi İyileştirme Modeli

vt = ut

EKKY ile tahminlenirse;

Tutarlı tahminler verir

Küçük örneklemlerde bu tahminler sapmalıdır.

Alet Değişken Yöntemi ile Otoregresiv Modellerin Tahminleri

Hata terimi vt’nin otokorelasyonlu olması durumunda ADY tahmincileri

Hata terimi vt’nin otokorelasyonlu olmaması durumunda ADY tahmincileri

Küçük örnekler için sapmalı, büyük örnekler için asimtotik olarak etkin olmayan tahminler elde edilir.

Küçük örnekler için sapmalı, büyük örnekler için asimtotik olarak etkin ve tutarlı tahminler elde edilir.


• ADY de, problem çıkaran Yt-1 değişkeni yerine geçecek bir

“vekil değişken” bulunur.

• Vekil değişkene “Alet Değişken” de denir.


t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v (1) Genel otoregresiv modele ADY şu iki adımda uygulanır:

Adım 1: Yt ile Xt’nin gecikmeli değerleri arasındaki regresyon denklemi tahminlenir:

t 1 2 t 1 3 t 2Y c c X c X (2)

X’e her defasında yeni bir gecikmeli Xt-i değişkeni eklenerek en iyi model elde edilmeye çalışılır. Böylece gecikme sayısı belirlenir.


Adım 2: (2) nolu denklemden değerleri bulunur ve bir dönem geciktirilerek ler elde edilir. Daha sonra (1) nolu regresyon denklemindeki Yt-1 yerine alet değişken olarak alınarak aşağıdaki model tahminlenir:

t 0 1 t 2 t 1 tˆY a a X a Y v ADY

1t̂Y

tY

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v (1)

2)t 0 1 t 2 t 1 t

ˆY a a X a Y v

Bu modelden katsayı tahminleri tahmin edilir.

t 0 1 t 2 t 1 tˆY a a X a Y v

Not 1

Yukarıdaki denklemde alet değişken 1t̂Y

t 1 1t 2 2t 3 t 1 tˆY b X b X b Y v

0 1 1 2 2t t tY c c X c X

bazen şöyle de

ADIM 1. Yt ile X1t ve X2t arasındaki ilişki araştırılır.

ADIM 2.

Adım 1 deki denklemden ler ilgili X değerleri

yerine konarak hesaplanır. lerin bir dönem gecikmeli değerleri ler alınarak aşağıdaki model tahmin edilir.

t̂Y

t̂Y

1t̂Y

t 1 1t 2 2t 3 t 1 tY b X b X b Y v

belirlenmektedir.

NOT 2.

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v (1)

0 1 2 1

20 1 2 1

1 0 1 1 1 2 1 1

t t t

t t t t t t

t t t t t t t

Y na a X a Y

Y X a X a X a Y X

Y X a X a X X a Y X

Yt-1 değişkeni yerine vekil değişken olarak Xt-1 in alınmasına Liviatan yaklaşımı denir. Liviatan, otoregresiv modelin parametreleri a0, a1 ve a2 nin tahmini için aşağıdaki normal denklemlerin çözümünü önermektedir.

İkinci denklemin her iki tarafını önce Xt,

üçüncü denklemin her iki tarafını da Xt-1 ile çarptık.

.Liviatan, tahmin edilen a’ların tutarlı olduğunu, EKKY tahminlerininse tutarsız olduğunu göstermiştir.

t t t 1v u u t t t 1v u 1 g u veya

ile ilişkili olduğu halde;

Xt ve Xt-1 vt ile ilişkili değildir.

Bu yaklaşım ile hata terimi ve bağımsız değişken

arasındaki ilişki ortadan kaldırılır ancak bu kez Xt ile Xt-

1 arasında çoklu doğrusal bağlantı olma olasılığı

yükselir ve tahminler etkin olmaz.

Çünkü

t t t 1v u u Yt-1 veyat t t 1v u u Yt-1,

Otoregresiv Modellerin Genelleştirilmiş EKKY (GEKKY) ile Tahmini

Otoregresiv modellerde otokorelasyon olması durumunda GEKKY kullanımı:

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v (1)

(1) nolu model bir dönem geciktirilip p otokorelasyon katsayısı ile çarpılır

t 1 0 1 t 1 2 t 2 t 1pY a p pa X pa Y pv (2)

Daha sonra (1) nolu modelden (2) nolu model çıkartılarak GEKK otoregresiv modeli elde edilir

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v (1)

t 1 0 1 t 1 2 t 2 t 1pY a p pa X pa Y pv (2)

t t 1 0 1 t t 1 2 t 1 t 2 t t 1Y pY a 1 p a X pX a Y pY v pv (3)

= Otoregresiv model GEKKY denklemi

Küçük örnekler için sapmalı, fakat tutarlı ve asimtotik etkin tahminler elde edilir.

Otokorelasyon katsayısı p’nin doğrudan tahmini için (3) nolu modelde Yt yi yalnız bırakıp, düzenlemeler yapıldıktan sonra şu model elde edilir:

t 0 1 t 1 t 1 2 t 1 2 t 2 t t 1Y a 1 p a X a p X a p Y a p Y v pv (4)

t 0 1 t 2 t 1 3 t 1 4 t 2 tY c c X c X c Y c Y

0 0c a 1 p 1 1c a2 1c a p 3 2c a p

4 2c a p

t t t 1v pv

1 1c a 0 0c a 1 p 0 0c a 1 p 0 0c a 1 p 2 1c a p 0 0c a 1 p 3 2c a p 2 1c a p 0 0c a 1 p 4 2c a p3 2c a p 2 1c a p 0 0c a 1 p

12

1

in katsayısıˆ

nin katsayısı

nin doğrudan tahmini

t

t

Xcp

c X

p

t 0 1 t 2 t 1 3 t 1 4 t 2 tY c c X c X c Y c Y

den p bulunur2 1c a pDenkleminde 1 1c a ve

p’nin Wallis Yöntemiyle Tahmini :

Adım 1.Yt-1 yerine Xt-1 değişkeni alet değişkeni olarak alınır .

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v (1)

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a X v

Adım 2.

vt hata teriminin örnek tahmini değerleri leri hesaplanır ve

lerin birbirini takip eden değerleri arasındaki ilişki hesaplanır

t̂v

1

12

ˆ ˆ2

1

ˆ ˆ

1 ˆˆ

Wallis yöntemi ile p hesabı

k=tahmin edilen a sayısı (burada k=3)

kdüzeltme terimi (sapmayı düzeltmek için)

n

t t

n

t tt

v v n

tt

v v

knr pnv

n

t̂v

Adım 3.

1ˆ ˆ

1 0 1 1 2 1 2 1

değerini

1

modelinde p yerine koyup EKKY ile model tahminlenir.

Böylece Wallis yöntemi ile p tahmin edilip GEEKY uygulanır.

t tv v

t t t t t t t t

r

Y pY a p a X pX a Y pY v pv

Otoregresiv Modellerde Otokorelasyonun Belirlenmesi : Durbin’in h Testi

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v (1)

Genel otoregresiv modeli için Durbin h testi dört adımda yapılmaktadır.

Adım 1.

modeli EKKY ile tahmin

edilerek Yt-1 in katsayısı olan a2’nin varyansı var(a2)

hesaplanır.

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v

Otoregresiv Modellerde Otokorelasyonun Tespiti : Durbin’in h Testi

Adım 2. Otokorelasyon katsayısı hesaplanır:p̂1

ˆ (1 )2

Durbin-Watson istatistiği

p d

d

Adım 3. h kritik oranı hesaplanır:

2

11

2 1 [var( )]

nh d

n a

n: örnek hacmiVar(a2)= Yt-1 gecikmeli değişkeni katsayısının varyansıd= Durbin-Watson d istatistiği

Otoregresiv Modellerde Otokorelasyonun Tespiti : Durbin’in h Testi

Adım 4.

Normal dağılımda

olduğundan standart normal değişken h’nin testinde karar şöyle verilir :

( 1.96 1.96) 0.95P h

Büyük örnekler p=0 iken h istatistiği standart normal

dağılımlıdır(Ortalaması sıfır, varyansı bir olan dağılım). Bu

nedenle gözlenen bir h değerinin istatistiksel olarak

anlamlılığı Normal Eğri Alanları Tablosundan belirlenir.

h testi büyük örnekler ( n >=30) için kurulmuş olup, küçük örneklere uygulanabileceği kesin olarak gösterilememiş ve küçük örnek özellikleri henüz ortaya konulmamıştır.

•h > 1.96 ise pozitif otokorelasyon olmadığına dair H0 hipotezi reddedilir.

•h < -1.96 ise negatif otokorelasyon olmadığına dair H0 hipotezi reddedilir.

•-1.96 < h < 1.96 ise pozitif veya negatif otokorelasyon olmadığı H0 hipotezi reddedilemez, kabul edilir.

Hindistan para talebi fonksiyonu aşağıdadır:

1ln 1.6027 0.102ln 0.6869ln 0.5284lnt t t tM R Y M

s(bi)

t

(1.2404)

(1.3066)

(0.3678)

(-0.2784)

(0.3427)

(2.0108)

(0.2007)

(2.6328)

R2=0.9227

d=1.8624

2

1 16[1 (1.8624)] 0.4617

2 1 16(0.2007)h

h=0.4617 -1.96 ile 1.96 arasındadır. Otokorelasyon olmadığı yönündeki H0 hipotezi kabul edilir.

Örnek:

Örnek

1976-1990 dönemi tüketim (Yt) ve gelir (Xt) verilerini kullanarak otoregresiv modeli tahmin ediniz.

Bir Otoregresiv Model Çözümü Uygulaması

t 0 1 t 2 t 1 tY a a X a Y v

Bu modelin çözümü için Liviatan’ın normal denklemlerinden a’ları hesaplayınız.

Bu modelin EKK çözümünü bulunuz.


Yıl Yt Yt-1 Xt Yt Xt Xt2 Yt-1 Xt YtXt-1 Xt-1 XtXt-1 Yt-1Xt-1

1976 2 - 3 6 9 - - - - -

1977 3 2 4 12 16 8 9 3 12 6

1978 4 3 5 20 25 15 16 4 20 12

1979 6 4 7 42 49 28 30 5 35 20

1980 7 6 11 77 121 66 49 7 77 42

1981 8 7 12 96 144 84 88 11 132 77

1982 10 8 15 150 225 120 120 12 180 96

1983 13 10 18 234 324 180 195 15 270 150

1984 14 13 22 308 484 286 252 18 396 234

1985 16 14 26 416 676 364 352 22 572 308

1986 19 16 29 551 841 464 494 26 754 416

1987 20 19 32 640 1024 608 580 29 928 551

1988 21 20 35 735 1225 700 672 32 1120 640

1989 23 21 42 966 1764 882 805 35 1470 735

1990 25 23 50 1250 2500 1150 1050 42 2100 966


1

21 1

1 1

1 1

0 1 2

0 1 2

0 1 2

191 5503 4712

166 9427 261

311 4955 5966

4253

191 15 311 166

5503 311 942

Otoregresiv model

Liviata7 4955

4712 261 5966 425

n

3

t t t t t

t t t

t t t t t

t t

Y Y X Y X

Y X X

X Y X X X

Y X

a a a

a a a

a a a

0 1 2

1

1.4510 0.00129 1

1.4510 0.00129 1.

Normal

Denkl

017

emle

0170

ri

0

.

t t t

a a a

Y X Y


Modelin EKKY tahminleri ise şöyledir:

1

2

2

( ) (0.0874) (0.1746)

(0.886) (4.986)

(0.0666) (0.

1.4733 0.0774

6932)

0.763 0.9908 , 0.9954, 595

0.8707t t t

is b

t

Kısmi r

s

Y X Y

R R F

11.4510 0.00129 1.0170t t tY X Y

Liviatan yöntemi ile bulunan sonuç:

Dağıtılmış Gecikme ve Otoregresiv Modellerin Tahmin Yöntemlerinin Karşılaştırılması(Özet)

Gecikmeli değişkenli modeller

Sadece bağımsız değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller(=dağıtılmış gecikme modelleri)

Bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller(=otoregresiv modeller)

Dağıtılmış gecikme modellerinin tahmini için kullanılan modeller(Koyck, Uyumcu Beklenti , Kısmi İyileştirme Modeli)

Gecikmeli değişkenli modeller, sadece bağımsız değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller (dağıtılmış gecikmeli modeller) ile bağımlı değişkenin gecikmeli değerlerini içeren modeller(otoregressiv modeller) ve her iki grup gecikmeli değişkenleri içeren modeller olarak üçe ayrılır:

Dağıtılmış Gecikme ve Otoregresiv Modellerin Tahmin Yöntemlerinin Karşılaştırılması(Özet)

Gecikmeli modeller sayesinde, bağımsız değişkenin bir birim artmasının bağımlı değişken üzerindeki kısa ve uzun dönemde yapacağı artışı (veya azalış) ayırdetmek mümkündür.

Gecikmesi dağıtılmış modeller prensip olarak EKKY ile tahmin edilebilmektedir ancak bağımsız değişken sayısının fazla olması sebebiyle serbestlik derecesi azalmakta ve çoklu doğrusal bağlantı ortaya çıkmaktadır.

Çok sayıda gecikmeli değişkenli modellerde gecikmeli değişkenlerin katsayılarına a priori ön sınamalar konulması gerekir. Bunlar:

AlmonKoyckUyumcu beklentiKısmi iyileştirme modelleridir.

Documents

DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ GECİKMELİ İLİŞKİLER: Dağıtılmış Gecikme ve Otoregresiv Modeller