4. Projektovanje kombinacionih mreža sa standardnim komponentama (dekoderima i multipleksorima)

Zadatak 1. Projektovati mrežu koja realizuje funkciju (1) {0, 4,6,7}f = . Na raspolaganju su jedan dekoder DEK 3/8 i a) jedno ILI logičko kolo sa potrebnim brojem ulaza b) jedno NILI logičko kolo sa potrebnim brojem ulaza. Rješenje: a) ( , , )f A B C ABC ABC ABC ABC= + + +

b)

1 2 3 5

(0) {1,2,3,5} ( )( )( )( )f A B C A B C A B C A B C

A B C A B C A B C A B C

ABC ABC ABC ABC

= = + + + + + + + +

= + + + + + + + + + + +

= + + +

Zadatak 2. Upotrebom dekodera DEK 3/8 projektovati dekoder DEK 6/64. Rješenje:

Zadatak 3. Projektovati konvertor NBCD/7S (konvertor NBCD koda za prikaz cifara na 7-segmentnom displeju) korišćenjem standardnih logičkih kola. U slučaju pojave nedozvoljenog stanja na ulazu mreže na displeju ispisati odgovarajuću grešku. Rješenje: Konvertor NBCD/7S predstavlja digitalnu mrežu za pretvaranja podatka datog u NBCD kodu u podatak pogodan za pobuđivanje 7-segmentnog displeja na kojem se prikazuje odgovarajuća cifra (prikazan na slici).

Kada se cifre formiraju oblicima prikazanim na prethodnoj slici, možemo zaključiti da je potrebno realizovati logičku funkciju koja je zadana sljedećom tabelom:

a BD BD A C= + + + b AB BC ACD ACD= + + +

c AB BC AD= + + d A BD BC CD BCD= + + + + e AB CD AC BD= + + + f A B CD= + +

i ABCD abcdefg 0 0000 1111110 1 0001 0110000 2 0010 1101101 3 0011 1111001 4 0100 0110011 5 0101 1011011 6 0110 1011111 7 0111 1110010 8 1000 1111111 9 1001 1111011 10 1010 1001111 11 1011 1001111 12 1100 1001111 13 1101 1001111 14 1110 1001111 15 1111 1001111

g A BC BC CD= + + + Kada se ove funkcije realizuju korišćenjem standardnih logičkih kola (I, ILI i NE) dobija se logička mreža kao na sljedećoj slici.

Zadatak 4. Projektovati mrežu koja realizuje funkciju

( , , , ) (3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15)f D C B A = ∑ . Na raspolaganju je: a) multiplekser MX 8/1 b) multiplekser MX 4/1 i standardna logička kola. Rješenje: a) Najprije ćemo zadanu funkciju predstaviti u obliku potpune DNF:

( , , , )f D C B A DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBADCBA DCBA DCBA DCBA

= + + + + + + +

+ + + +

Multiplekser MX 8/1 predstavlja višepoložajni prekidač sa tri selekciona ulaza (S2S1S0, pri čemu je S2 najviši a S0 najniži selekcioni ulaz). U zavisnosti od binarne kombinacije koja se dovodi na selekcione ulaze vrši se prosljeđivanje odgovarajućeg informacionog ulaza na izlaz. Ako sada na polazni oblik funkcije dat u formi potpune DNF primjenimo odgovarajuće algebarske transformacije dobijamo funkciju u sljedećem obliku (ukoliko su promjenljive C, B i A odabrane da budu selekcioni ulazi S2, S1 i S0 respektivno):

3 50 1 2 4

6 7

(0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

I II I I I

I I

f CBA D CBA D CBA D D CBA D CBA D D CBA

D D CBA D D CBA

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ + + ⋅ +

+ + ⋅ + + ⋅

Prethodno opisana metoda realizacije mreže proizvoljne logičke funkcije pomoću multipleksera se naziva algebarska metoda. Logička mreža se može realizovati pomoću multipleksera i tzv. grafičkom metodom (korišćenjem Karnoovih tablica) na sljedeći način:

0 0I = ; 1 2 4I I I D= = = ; 3 5 6 7 1I I I I= = = =

Naravno, možemo zaključiti da se dobija isto rješenje bez obzira na primjenjeni metod realizacije. b) Ukoliko uzmemo da se na selekcione ulaze multipleksera dovode promjenljive B i A, primjenom grafičke metode dobijamo:

0I DC= ; 1 2I I D C= = + ; 3 1I = .

Zadatak 5. Realizovati funkciju ( , , , ) (0,3,4,5,9,10,12,13)f A B C D = ∑ a) pomoću multipleksera MX 8/1 ako su selekcioni ulazi B, C i D algebarskom metodom b) pomoću multipleksera MX 8/1 ako su selekcioni ulazi A, B i C grafičkom metodom c) pomoću multipleksera MX 4/1 i potrebnih standardnih logičkih kola ako su selekcioni ulazi A i

B proizvoljnom metodom. Pretpostaviti da su na raspolaganju normalne i invertovane vrijdenosti ulaznih promjenljivih. Rješenje: a) Nakon predstavljanja funkcije u formi potpune DNF dobija se:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(0) (0)

f ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCDA BCD A BCD A BCD A BCD A A BCD A A BCD

BCD BCD

= + + + + + + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅

0 3I I A= = ; 1 2I I A= = ; 4 5 1I I= = ; 6 7 0I I= =

b) Primjenom grafičke metode za zadanu funkciju se dobija:

0 5I I D= = ; 1 4I I D= = ; 3 7 0I I= = ; 2 6 1I I= = .

c) S obzirom da nije eksplicitno rečeno kojom metodom je potrebno izvršiti realizaciju odabraćemo grafičku metodu kojom brže dolazimo do željenog rezultata.

0I CD CD C D= + = ⊕ ; 1 3I I C= = ; 2I CD CD C D= + = ⊕

Zadatak 6. Data je funkcija ( , , , ) (1,2,6,7,13,14)f D C B A = ∑ . Realizovati funkciju korišćenjem: a) mreže multipleksera MX 4/1 pri čemu su selekcioni ulazi D, C i B. b) mreže multipleksera MX 4/1 korišćenjem isključivo multipleksera. Rješenje: a) Kao i u prethodnim zadacima polazni oblik funkcije je potpuna DNF koja ima sljedeći izgled: f DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA= + + + + +

Ukoliko sada primjenimo odgovarajuće algebarske transformacije (uzevši u obzir uslov zadatka da se na selekcione ulaze multipleksera dovode promjenljive D, C i B) funkcija dobija sljedeći oblik:

( ) ( ) (0) ( ) (0) (0) ( ) ( )f D CB A CB A CB CB A A D CB CB CB A CB A⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + + + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Zadana funkcija se realizuje sljedećom mrežom multipleksera MX 4/1:

b) Zadatak se svodi na realizaciju multipleksera MX 16/1 korišćenjem multipleksera MX 4/1.

Ovaj oblik mreže se dobija nakon optimizacije sa aspekta broja upotrebljenih komponenata. Inače, polazna potpuna mreža (sa suvišnim multipleksorima) koja realizuje mrežu korišćenjem isključivo multipleksera (MX 16/1 realizovan komponentama MX 4/1) prikazana je na sljedećoj slici.

Zadatak 7. Upotrebom demultipleksera DMX 1/4 projektovati demultiplekser DMX 1/64. Rješenje: Demultiplekseri predstavljaju višepoložajne prekidače koji obavljaju funkciju inverznu u odnosu na multipleksere. Oni jedan ulazni signal preusmjeravaju na odgovarajući izlaz koji je određen binarnom kombinacijom koja je dovedena na selekcione ulaze. U prethodnom zadatku vidjeli smo kako se realizuje multiplekserska mreža. Na sličan način dobijamo mrežu demultipleksera. Jedina razlika je u tome što, u ovom slučaju na izlaznom stepenu imamo više demultipleksera, dok na ulaznom stepenu imamo samo jedan demultipleksor (kod multiplekserske mreže ovo je bilo obrnuto). Takođe, na ulazni stepen demultiplekserske mreže dovodimo najviše promjenljive, dok na izlazni stepen dovodimo najniže promjenljive (takođe obrnuto u odnosu na mrežu multipleksera). Kada se realizuje, odgovarajuća demultipleksorska mreža ima izgled kao na sljedećoj slici. Vidimo da je za realizaciju potrebno 1+4+16=21 demultiplekser.

Zadatak 8. Projektovati kolo za sabiranje dva dvobitna broja korišćenjem multipleksera MX 8/1. Rješenje: Najprije ćemo formirati logičku tabelu logičke funkcije. Funkcija treba da na izlazu da zbir brojeva. S obzirom da se radi o dvobitnim binarnim brojevima, za rezultat je potrebno rezervisati 3 bita.

0 1 4 0I I I= = = ; 2 3 5 6 1I I I I A= = = = ; 7 1I =

0 1 4 7 1I I I I A= = = = ; 2 3 5 6 1I I I I A= = = =

0 2 5 7 0I I I I= = = = ; 1 3 4 6 1I I I I= = = = Kada se ove mreže realizuju pomoću multipleksera MX 8/1dobija se:

i A1A0 B1B0 S2S1S0 0 00 00 000 1 00 01 001 2 00 10 010 3 00 11 011 4 01 00 001 5 01 01 010 6 01 10 011 7 01 11 100 8 10 00 010 9 10 01 011 10 10 10 100 11 10 11 101 12 11 00 011 13 11 01 100 14 11 10 101 15 11 11 110

Zadatak 9. Na slici je prikazana raskrsnica. Senzori za detekciju vozila su smješteni dužinom glavne CD i dužinom sporedne AB ulice. Izlaz senzora je 0 kada nema vozila, odnosno 1 kada postoji vozilo na raskrsnici. Raskrsnicu kotroliše semafor prema sljedećoj logici: 1) ZI stanje na semaforu će biti zeleno kada:

- su obje putanje C i D zauzete - je C ili D zauzeta, a A i B nisu obje zauzete - nema vozila na raskrsnici.

2) SJ stanje na semaforu će biti zeleno kada: - su obje putanje A i B zauzete, a C i D nisu obje zauzete - je A ili B zauzeta, a C i D obje prazne.

U minimalnom obliku projektovati mrežu za kontrolu semafora ako su ulazi mreže izlazi senzora, a izlazi mreže pokazuju stanje semafora (0 - crveno stanje, 1 - zeleno stanje). Na raspolaganju su: a) standardna logička kola b) isključivo multiplekseri MX 4/1.

Rješenje: S obzirom da se radi o mreži koja upravlja radom semafora na raskrsnici sa dva pravca, možemo odmah zaključiti da će ZI i SJ biti međusobno inverzne funkcije (u suprotnom bi došlo do sudara na raskrsnici), tj. vrijedi SJ ZI= . Logička funkcija mreže koja kontroliše rad semafora, na osnovu specifikacija zadatka, može se predstaviti u tabelarnom obliku na sljedeći način:

a)

( ) ( )( )( )

ZI AB CD AD AC BD BCAB CD A C D B C DAB CD A B C D

= + + + + +

= + + + + +

= + + + +

b) Kada se predstave sa minimalnim brojem komponenata (multipleksera MX 4/1) dobijaju se komplementarne mreže ZI i SJ kao na sljedećoj slici.

Napomena: Mreža SJ se takođe može realizovati dodavanjem invertora na izlaz ZI mreže koja se realizuje korišćenjem isključivo multipleksora (ukoliko je u zadatku dozvoljeno da se koristi invertor).

i ABCD ZI SJ 0 0000 1 0 1 0001 1 0 2 0010 1 0 3 0011 1 0 4 0100 0 1 5 0101 1 0 6 0110 1 0 7 0111 1 0 8 1000 0 1 9 1001 1 0 10 1010 1 0 11 1011 1 0 12 1100 0 1 13 1101 0 1 14 1110 0 1 15 1111 1 0

Zadatak 10. Jednostavan zaštitni sistem za dvoja vrata dat je na sljedećoj slici. Odgovarajuća vrata će se otključati kada je u čitač kartice ubačena kartica sa odgovarajućim kodom i kada je na tastaturi otkucan odgovarajući kod. Čitač kartice ima sljedeće kodove: A B Opis 0 0 Ako nije ubačena kartica 0 1 Odgovarajući kod za VRATA1 1 0 Odgovarajući kod za VRATA2 1 1 Pogrešan kod

Za otključavanje VRATA1 ispravni kodovi koji se moraju otkucati na tastaturi su 101 i 110, a za VRATA2 101 i 011. U slučaju pojave kartice sa pogrešnim kodom ili pogrešnog otkucavanja na tastaturi aktiviraće se alarm. U mninimalnom obliku realizovati logičku mrežu koja obavlja datu funkciju ako su na raspolaganju: a) standardna logička kola b) isključivo multiplekseri MX 8/1. Rješenje: a) Potrebna logička funkcija ima pet promjenljivih i se može zadati sljedećom tabelom:

( ) ( )X ABCDE ABCDE ABC DE DE ABC D E= + = + = ⊕

( ) ( )Y ABCDE ABCDE ABE CD CD ABE C D= + = + = ⊕

i AB CDE XYZ 0-7 00 xxx 000 8

01

000 001 9 001 001 10 010 001 11 011 001 12 100 001 13 101 100 14 110 100 15 111 001

16-23 10 xxx 001 24

11

000 001 25 001 001 26 010 001 27 011 010 28 100 001 29 101 010 30 110 001 31 111 001

Z ABC BDE ABDE AB AE ACD ACD= + + + + + + Kada se realizuju pomoću standardnih logičkih kola dobijaju se sljedeće mreže:

b) Korišćenjem isključivo multipleksora MX 8/1, realizacija se svodi na projektovanje mreža multipleksera kojim se realizuju multiplekseri MX 32/1 (zato što funkcije imaju 5 ulaznih promjenljivih) za svaku od logičkih funkcija. Dobijaju se mreže kao na sljedećoj slici (ako se koristi minimalan broj multipleksera):

Zadatak 11. Logička mreža ima ulaze W, X, Y i Z. U minimalnom obliku realizovati funkciju koja je jednaka logičkoj jedinici ako je dvobitni broj WX veći od dvobitnog broja YZ korišćenjem NI logičkih kola sa dva ulaza. Rješenje:

F WY XY Z WXZ WY XY Z WXZ

WY XY Z WX Z

= + + = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

i WX YZ F 0 00 00 0 1 00 01 0 2 00 10 0 3 00 11 0 4 01 00 1 5 01 01 0 6 01 10 0 7 01 11 0 8 10 00 1 9 10 01 1 10 10 10 0 11 10 11 0 12 11 00 1 13 11 01 1 14 11 10 1 15 11 11 0

Zadatak 12. Projektovati komparator dva dvobitna broja: a) korišćenjem samo NILI logičkih kola b) korišćenjem isključivo multipleksera MX 4/1. c) Upotrebom realizovanog komparatora kao standardnog modula i odgovarajućih logičkih kola

realizovati komparator dva četvorobitna broja. Rješenje:

1 0 1 1 1 0 0 1 1 0

1 0 1 1 1 0 0 1 1 0

( )( )( )( )( )X A A A B A B A B B B

A A A B A B A B B B

= + + + + + =

= + + + + + + + + +

1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 1 1 0 0 0 0

( )( )( )( )Y A B A B A B A B

A B A B A B A B

= + + + + =

= + + + + + + +

1 0 0 1 1 1 1 0 1 0

1 0 0 1 1 1 1 0 1 0

( )( )( )( )( )Z B B A B A B A B A A

B B A B A B A B A A

= + + + + + =

= + + + + + + + + +

i A1A0 B1B0 XYZ 0 00 00 010 1 00 01 001 2 00 10 001 3 00 11 001 4 01 00 100 5 01 01 010 6 01 10 001 7 01 11 001 8 10 00 100 9 10 01 100 10 10 10 010 11 10 11 001 12 11 00 100 13 11 01 100 14 11 10 100 15 11 11 010

Ostaje još da se dobijene logičke funkcije realizuju korišćenjem NILI logičkih kola (domaći zadatak! ☺). b) Mrežu je potrebno realizovati isključivo multiplekserima MX 4/1 (nije dozvoljeno koristiti bilo kakva logička kola), pa je rješenje za minimalan broj potrebnih komponenata kao na slici.

Analizom prethodno dobijenih mreža možemo zaključiti da se u slučaju funkcije Y ne može dodatno optimizovati funkcija po broju upotrebljenih komponenata i da se mora koristiti svih pet multipleksera za realizaciju. U slučaju ostale dvije funkcije (X i Z) vidimo da se mreža može pojednostaviti na taj način što se u obje mreže može izostaviti po jedan ulazni multiplekser (zato što na svim informacionim ulazima ima logičke nule). Napomena: U slučaju da se sve funkcije realizuju kao jedna mreža mogli bismo dodatno smanjiti broj multipleksera. Naime, prvi ulazni multiplekser kod realizacije funkcije X i posljednji ulazni multiplekser kod realizacije funkcije Z realizuju funkcije koje se pojavljuju na izlazu prvog i posljednjeg ulaznog multipleksera kod realizacije funkcije Y. Prema tome, ovi izlazi bi se mogli iskoristiti za realizaciju funkcije Y i na taj način se mogu uštediti još dva multipleksera u mreži koja realizuje potrebne funkcije komparatora. c) Sada je potrebno koristiti realizovanu komponentu za poređenje dvobitnih brojeva za realizaciju komparatora četvorobitnih brojeva. Važe sljedeće jednakosti:

3 2 3 2 3 2 3 2 1 0 1 0 2 2 1( ) ( )( )X A A B B A A B B A A B B X Y X= > + = > = +

3 2 3 2 1 0 1 0 2 1( )( )Y A A B B A A B B Y Y= = = =

3 2 3 2 3 2 3 2 1 0 1 0 2 2 1( ) ( )( )Z A A B B A A B B A A B B Z Y Z= < + = < = +

gdje su: X2, Y2 i Z2 izlazi koji se dobijaju sa komparatora koji poredi dva viša bita četvorobitnog broja, a X1, Y1 i Z1 izlazi koji se dobijaju sa komparatora koji poredi dva niža bita četvorobitnog broja. Sada se komparator četvorobitnih brojeva realizuje prema sljedećoj slici.

Zadatak 13. Projektovati: a) Kolo za inkrementiranje četvorobitnih binarnih brojeva korišćenjem standardnih logičkih kola. b) Kolo za dekrementiranje četvorobitnih binarnih brojeva korišćenjem isključivo multipleksera

MX 8/1. Rješenje: Kreiraćemo jednu logičku tabelu za oba dijela zadatka. Prvi dio tabele se odnosi na rad inkrementora, a drugi dio na rad dekrementora. Treba takođe napomenuti da je u obzir neophodno uzeti i eventualni prenos, odnosno pozajmicu pri sabiranju, odnosno oduzimanju brojeva.

3 3 2 1 0 3 2 1 0

3 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0

( )

( )

F A A A A A A A A

A A A A A A A A A A A A

= + + + =

= + = ⊕

i A3A2A1A0 F3F2F1F0 P F3F2F1F0 P 0 0000 0001 0 1111 1 1 0001 0010 0 0000 0 2 0010 0011 0 0001 0 3 0011 0100 0 0010 0 4 0100 0101 0 0011 0 5 0101 0110 0 0100 0 6 0110 0111 0 0110 0 7 0111 1000 0 0111 0 8 1000 1001 0 1000 0 9 1001 1010 0 1001 0 10 1010 1011 0 1010 0 11 1011 1100 0 1011 0 12 1100 1101 0 1100 0 13 1101 1110 0 1101 0 14 1110 1111 0 1110 0 15 1111 0000 1 111 0

2 2 1 0 2 1 0

2 1 0 2 1 0 2 1 0

( )

( )

F A A A A A A

A A A A A A A A A

= + + =

= + = ⊕ 1 1 0 1 0 1 0F A A A A A A= + = ⊕

Funkciju F0 možemo da odredimo direktno iz logičke tabele i vrijedi 1 0F A= . Takođe, iz tabele

možemo vidjeti da je 3 2 1 0P A A A A= i ova funkcija se ne može minimizovati. Sada je još potrebno realizovati dobijene funkcije korišćenjem odgovarajućih logičkih kola (prikazano na slici).

Kada se dekrementor realizuje pomoću multipleksera MX 8/1 dobijaju se mreže kao na sljedećim slikama. Treba napomenuti da se rješenje može dodatno optimizovati na sličan način kao što je to opisano u prethodnom zadatku. U tom slučaju u mreži se može izostaviti još jedan multiplekser.

Zadatak 14. Automobil ima dva senzora za sjedišta koja detektuju prisustvo putnika, i dva senzora za koja detektuju da li je putnik svezao pojas. Svaki senzor generiše logičku jedinicu kada je aktiviran. Svjetlosni signal će biti generisan kada imamo signal za startovanje automobila (dat „kontakt“) i kada bilo koji putnik koji je prisutan nema svezan pojas. Realizovati u minimalnom obliku funkciju koja generiše svjetlosni signal. Na raspolaganju su: a) NI logička kola sa dva ulaza b) Multiplekser MX 8/1 i potreban broj standardnih logičkih kola c) Isključivo multiplekseri MX 8/1. Rješenje:

A = KONTAKT B = SJEDIŠTE1 C = SJEDIŠTE2 D = POJAS1 E = POJAS2 a) Kada se formira Karnoova tablica dobija se:

F ABD ACE ABD ACE AB D AC E= + = + = ⋅ ⋅ ⋅

b) Ako uzmemo da su selekcioni ulazi A, B i C, nakon odgovarajućih algebarskih transformacija nad minimalnim oblikom dobijene logičke funkcije dobijamo:

6 57

( ) ( ) ( ) ( ) ( )I II

f ABD ACE ABD C C ACE B B ABC D E ABC D ABC E= + = + + + = + + +

i A BCDE F 0-15 0 xxxx 0 16

1

0000 0 17 0001 0 18 0010 0 19 0011 0 20 0100 1 21 0101 0 22 0110 1 23 0111 0 24 1000 1 25 1001 1 26 1010 0 27 1011 0 28 1100 1 29 1101 1 30 1110 1 31 1111 0

pa su informacioni ulazi na multiplekseru MX 8/1 određeni sa:

0 1 2 3 4 0I I I I I= = = = = ; 5I E= ; 6I D= ; 7I D E= + . Sada se funkcija može realizovati kao na sljedećoj slici:

c) Ukoliko se koriste isključivo multiplekseri MX 8/1 bez dodatnih logičkih kola, tada se na selekcione ulaze multipleksorske mreže dovode sve promjenljive logičke funkcije a na informacione ulaze se dovode logičke jedinice i nule. Za zadanu funkciju realizacija sa minimalnim brojem komponenata se vrši kao na slici.