UNIVERZITET U NOVOM SADU FAKULTET TEHNIKIH NAUKA KATEDRA ZA TELEKOMUNIKACIJE I OBRADU SIGNALA Dekompozicija signala pomou Wavelet transformacije ZAVRNI RAD - Osnovne akademske studije - kandidatmentor ore Stareviprof.dr Vlado Deli Novi Sad, 2010 21000, 6 , : , : , : , : / , : , : , : , : Wavelet , : () , :/ , : , : , :2010. , : , : , . 6, 21000 , : (// ////) 10/50/1/1/27/0/1 , : , :, / , : , : , . 6, 21000 , : , : wavelet . MATLAB, Wavelet Toolbox-a, wavelet . , : , :13.10.2010. , :: : , : UNIVERSITY OF NOVI SADFACULTY OF TECHNICAL SCIENCES21000NOVI SAD,TrgDosi t ej aObradovi a6 KEY WORDS DOCUMENTATION Accession number, ANO: Identification number, INO: Document type, DT:Monographic publication Type of record, TR:Textual material, printed/CD Contents code, CC:Bachelor thesis Author, AU:ore Starevi Mentor, MN:dr Vlado Deli Title, TI:Signal decomposition using Wavelet transformation Language of text, LT:Serbian Language of abstract, LA:Serbian/English Country of publication, CP:Serbia Locality of publication, LP:Vojvodina Publication year, PY:2010. Publisher, PB:Authors reprint Publication place, PP:Faculty of Technical Sciences, D. Obradovia 6, 21000 Novi Sad Physical description, PD: (chapters/pages/ref./tables/pictures/graphs/appendixes) 10/50/1/1/27/0/1 Scientific field, SF:Electrical and computer engineering Scientific discipline, SD:Energetics, Electronics and Telecommunications Subject/Key words, S/KW:Signal Processing UC Holding data, HD:Library of Faculty of Technical Sciences, D. Obradovia 6, 21000 Novi Sad Note, N: Abstract, AB:Basic theoretical review of Wavelet transformation. Illustration of Wavelet transformation in MATLAB technical computing environment, using Wavelet Toolbox. Accepted by the Scientific Board on, ASB: Defended on, DE:13.10.2010. Defended Board, DB:President:dr eljen Trpovski Member: mr Nika JakovljeviMenthor's sign Member, Mentor:dr Vlado Deli ZADATAK 1.Upoznati se sa osnovnim teorijskim postavkama wavelet transformacije 2.Predstaviti osnovne kategorije wavelet transformacije i njihove karakteristike 3.Dati pregled oblasti primene wavelet transformacije 4.Ovladati korienjem MATLAB-ovog Wavelet Toolbox-a i na nekoliko primera ilustrovati osobine wavelet transformacijeSadraj SADRAJ 1. UVOD................................................................................................................................................................ 1 2. POVEZANOST FOURIEROVE I WAVELET TRANSFORMACIJE ...................................................... 3 3. POJAM WAVELETA...................................................................................................................................... 8 4. OSNOVNI WAVELET PRINCIPI ............................................................................................................... 10 4.1 TEMELJI TEORIJE WAVELETA .............................................................................................................. 10 4.2 OSOBINE WAVELETA.............................................................................................................................. 12 5. KONTINUALNA WAVELET TRANSFORMACIJA................................................................................ 16 6. DISKRETNI WAVELETI............................................................................................................................. 18 6.1 PROBLEMI PRAKTINE PRIMENE........................................................................................................ 18 6.2 UKLANJANJE REDUNDANSE................................................................................................................. 18 6.3 FILTAR PROPUSNIK OPSEGA................................................................................................................ 23 6.4 FUNKCIJA SKALIRANJA ......................................................................................................................... 24 6.5 MULTIREZOLUCIONA ANALIZA............................................................................................................ 25 6.6 KODOVANJE PODOPSEGA.................................................................................................................... 27 7. DISKRETNA WAVELET TRANSFORMACIJA ...................................................................................... 30 7.1 PRINCIPI DWT ......................................................................................................................................... 30 7.2 PREDNOSTI ITERATIVNE FILTAR-BANKE ........................................................................................... 32 8. PRIMENA WAVELET TRANSFORMACIJE........................................................................................... 36 8.1 PRIMENE CWT......................................................................................................................................... 36 8.2 PRIMENE DWT......................................................................................................................................... 37 9. MATLAB WAVELET TOOLBOX 4 ........................................................................................................... 38 9.1 GLAVNE KARAKTERISTIKE.................................................................................................................... 38 9.2 PRIMENA WAVELET METODA............................................................................................................... 39 9.3 ANALIZIRANJE SIGNALA I SLIKA .......................................................................................................... 39 9.4 PRIMER WAVELET ANALIZE SIGNALA................................................................................................. 40 10. ZAKLJUAK............................................................................................................................................... 47 DODATAK.......................................................................................................................................................... 48 LITERATURA ................................................................................................................................................... 49 BIOGRAFIJA..................................................................................................................................................... 50 Uvod 1 1. UVOD ,,Danas je granica izmeu matematike i obrade signala gotovo izbrisana a najvei doprinos matematici stie od strunjaka iz drugih disciplina u vidu waveleta . . . Y. Meyer [3] NapredaktehnologijeiraunarstvauXXvekudoneojenesluenemogunosti oveanstvu i otvorio prostor za nova istraivanja i napretke. Nesumnjivo najbitnije je bilo nai kvalitetnu metodu za analizu i obradu signala na efikasan, detaljan i pouzdan nain.Algoritmiiteorijekojesupostojalenisumogledapruedovoljnokvalitetan uviduprirodusignalaibilajeneophodnasveakrv,novikonceptkojiesasobom donetiinovinainrazmiljanja.Kaokompromisizmeuvremenskeifrekvencijske analize signala javio se wavelet. Wavelet analiza je zanimljiva nova metoda za reavanje tekih inenjerskih problema, a sa ciljem da se prevaziu nedostaci Fourierove transformacije (u daljem tekstu FT), sasavremenimprimenamauprostiranjutalasa,kompresijipodataka,obradislike, prepoznavanjuoblika,kompjuterskojgraficiiliobradibiomedicinskihsignala.Sa rastuimzahtevimadamatematikialatiomoguavajuiteorijskuispravnosti primenljivostunauciitehnici,potencijalWavelettransformacije(udaljemtekstu WT) i interes za nju je vei nego ikad. Pomouwaveleta,sloeneinformacijepoputmuzike,govorailislikamogudase razloenasvojeosnovnedelove,tzv.fundamentalnegradivneblokove,narazliitim pozicijamainivoima,a poobradirekonstruiusavelikompreciznou.Razvijenaje emakojaomoguavaefikasnuimplementacijuWTnadigitalnomraunaru.Ova transformacija je toliko efikasna da vie ne koristi ni wavelet kao takav. ZadatakovogradajestedaprikaeosnovneteorijskeprincipeWT,njenevarijantei razvoj,kaoidapokaenainenakojesewaveletanalizadanaskoristi,tj.njenu implementaciju u savremenim programskim okruenjima. Uvod 2 U drugom poglavlju date su neke osobine FT i njena veza sa WT. Tree poglavlje je posveenowaveletukaopojavi,genezinjegovogimenaifunkcionalnojpodeli.U etvrtompoglavljusepredstavljajunekeosnovewaveletkonceptainjegove najznaajnijeosobine.Petopoglavljeimazadatakdaobjasnikontinualnuwavelet transformaciju.Uestompoglavljuizloenisurazlozizauvoenjediskretnih waveletainjihovagenezapostadijumimaodkontinualnihwaveleta.Najzad,sedmo poglavljesluizaopisivanjediskretnewavelettransformacije.Oblastisavremene praktine primene wavelet analize navedene su u osmom poglavlju, dok se u devetom dajekratakpregledsvihmogunostiMATLAB-ovogWaveletToolbox-apodran jednim konkretnim primerom. Povezanost Fourierove i wavelet transformacije 3 2. POVEZANOST FOURIEROVE I WAVELET TRANSFORMACIJE Dobro je poznato iz Fourierove teorije da se signal moe predstaviti kao suma redova, modaakibeskonanih,sinusaikosinusa.OvasumasezovejoiFourierovim razvojem.Najveinedostatakovesumejestedaonaimasamofrekvencijsku rezoluciju,neivremensku.Ovoznaida,iakojemogueodreditisveuestanosti prisutneusignalu,nijemoguepouzdanosaznatiikadaseonejavljaju.Ucilju prevazilaenjaovogproblemauprethodnimdecenijamaseradilonarazvijanju metoda koje e moi da, sa manjim ili veim uspehom, predstave signal istovremeno i u vremenskom i u frekvencijskom domenu. Glavnaidejaovihvremensko-frekvencijskihpredstavajestedasesignalpodelina segmenteapotomsvaki segmentposebnoanalizira.Oiglednoeovajnainanalize signaladatimnogovieinformacijaotomekadaigdesejavljajuodreene frekvencijskekomponente,alionstvarajedannoviproblem:kakosegmentisati signal?Pretpostavimodaelimodaznamotanosvefrekvencijskekomponente signalaujednomtrenutku.Izdvojimosamoovajkratakdeosignalapomou Dirakovogimpulsa,transformiemotouvremenskidomeni...shvatimodaneto nije u redu. Problemjeutometoovasegmentacijasignalaodgovarakonvolucijispektra originalnogsignalaispektrasignalakojimizdvajamosegment.KakoFTDiracovog impulsaimauniformnispektar,frekvencijskekomponentesignalaebitirazmazane duitavefrekvencijskeose.Ustvari,dobilismosituacijusuprotnuodstandardne FT, poto sada imamo vremensku rezoluciju ali ne i frekvencijsku. Ovaj fenomen je posledica Heisenbergovog principa neodreenosti, koji, ako je re o obradisignala,ustvariznaidajenemogueznatitanufrekvencijuitanovreme njenogpojavljivanjausignalu.Drugimreima,signalsejednostavnonemoe predstavitikaotakauprostoruvreme-frekvencija.Onotoovajprincipjasno pokazuje jeste da je jako bitno kako se signal segmentira. Povezanost Fourierove i wavelet transformacije 4 Problemrazlaganjajereenupotrebompotpunoskalabilnihmodulisanihprozora. Prozor se pomera du signala i za svaku poziciju prozora rauna se spektar. Potom se ovajprocesponavljajomnogoputasanetokraim(iliduimprozorom)zasvaki noviciklus.Adaptiranjemirineprozoraufunkcijifrekvencijevremensko-frekvencijskorazlaganjesignalaprekoWTdajeoptimalankompromisvremensko-frekvencijske rezolucije. Vremensko-frekvencijska predstava zasnovana na WT moe sekoristitizaoptimalnulokalizacijuamplitudskemodulacijeoscilatornihaktivnosti. Nakraju,rezultatjeskupvremensko-frekvencijskihpredstavasignala,odkojihje svakasadrugomrezolucijom.Zbogovogskupaseiuvodipojammultirezolucione analize. [4] Istorijskigledano,konceptwaveletajenastaoizprouavanjavremensko-frekvencijskeanalizesignala,propagacijetalasaiteorijeodabiranja.1982.godine JeanMorletje,usaradnjisagrupomfrancuskihinenjera,prviuveopojamwavelet kaofamilijefunkcijakonstruisanetranslacijomidilatacijomjednefunkcije,nazvane mother wavelet, za analizu nestacionarnih signala. Pa ipak, ovaj se novi koncept moe posmatratikaosintezarazliitihidejakojepotiuizraznovrsnihnauno-tehnikih disciplina poput matematike, fizike, kvantne mehanike, elektrotehnike itd. PrviputkadjeJosephFourierpredstaviosvojuidejuorazlaganjujednefunkcijena redtrigonometrijskih,nijeuzeouobzirstrogumatematikuanalizu.Integralne formulezarazlaganjeuFourierovredvesubilepoznateEuleruidrugim matematiarima.Ustvari,FourierjerazvionovuidejuzareavanjeFourierove jednaineuviduFourierovogredakakobiseFourierovredmogaokoristitikao praktinaalatkazaodreivanjereenjaparcijalnihdiferencijalnihjednainapo propisanimgraninimuslovima.TakojeFourierovredfunkcije( ) f x definisanena intervalu( , ) l l ( )( )in xlnnf x c e== , (2.1) gde su Fourierovi koeficijenti ( )1( )2in t llnlc f te dtl=.(2.2) Povezanost Fourierove i wavelet transformacije 5 Da bi se dobila predstava neperiodine funkcijedefinisane za svako realno , ini se dajepoeljnozagranicuuzetidal ,todovodidoformulacijepoznate Fourierove integralne teoreme: 1( ) ( )2i x i tf x e e f t dt d | |=| |\ .(2.3) Fizikiseovajoblikmoerazloitinabeskonaanbrojharmonikasapromenljivom amplitudom i frekvencijom 2| | |\ 1( )2i tf te dt,(2.4) dokobianFourierovredrazlaefunkcijunabeskonaanalidiskretanskup harmonika. UprkosuspehuiuticajureavanjaparcijalnihdiferencijalnihjednainaFourierovim redovima,najteeje,samatematiketakegledita,biloprouitiproblem konvergencije Fourierovog reda. Dirichlet je 1829. godine dokazao osnovnu teoremu takastekonvergencijeFourierovihredovazavelikuklasufunkcija.Njegovradje posluio za sve potonje razvoje teorije Fourierovih redova. Riemann je 1854. pokazao koji su potrebni i dovoljni uslovi za konvergenciju Fourierovog reda neke funkcije, a Kolmogorov je 1926. konstruisao Lebesgueovu integrabilnu funkciju iji je Fourierov red svuda divergentan.Ipak je osnovno pitanje konvergencije Fourierovog reda reio Carleson1966.dokazavidajeFourierovredkontinualnefunkcijegotovosvuda konvergentan. FTjenastalaizFourieroveintegralneteoremeismatrase,zajednosateorijomo Fourierovimredovima,jednimodnajveihinajuticajnijihotkriaumatematici. UpravosuFTiFourieroviredovimeusobnopovezaninamnogonaina.Mnoge aplikacije,ukljuujuituianalizustacionarnihsignalaiobradusignalaurealnom vremenu,naefikasannainkoristeFTuvremenskomifrekvencijskomdomenu.FT signala je definisana izrazom { }( ) ( ) ( ) ( , )i t i tf t f e f t dt f e = = =F ,(2.5) Povezanost Fourierove i wavelet transformacije 6 gdeje ( ) f funkcijafrekvencije,( , )i tf eunutranjiproizvoduHilbertovom prostoru. Dakle, transformacija razlae signal na sinusoide razliitih frekvencija i faza to se esto naziva Fourierov spektar. ZauspehFTjezaslunainjenicadase,pododreenimuslovima,signal( ) f t moe rekonstruisati inverznom formulom { }11 1 ( ) ( ) ( ) ( , )2 2i t i tf t f e f d f e = = =F .(2.6) Dakle, FT je korisna za analizu harmoninih signala ili signala za koje nije neophodna lokalna informacija. Sadrugestrane,FTjebilaveomakorisnaiudrugimoblastimanaukekaotosu kvantnamehanika,talasnakretanjaiturbulencija.OvdejeFT ( ) f k funkcije( ) f xdefinisana u prostornom i talasnom domenu, gde je prostorna promenljiva a k talasni broj.Jednaodglavnihkarakteristikajetadatrigonometrijskikernel ikxeuFT beskonanoosciluje,pajestogalokalnainformacijasadranausignalu( ) f x u-prostoru iroko rasporeena uFourierovom transformacionom domenu.Iako u ( ) f knijedolodogubitkainformacijaosignalu( ) f x ,ovaFTfunkcijejerairenauk-domenu.kusignalu( ) f x postojeraunskeiliopservacionegrekeondaje njegova svojstva nemogue prouavati na osnovu svojstava ( ) f k . [1] DvesunajveemaneFTzbogkojihseonasmatranepogodnomzagorenavedene probleme.PrvajetatoFTsignalanesadrilokalnuinformacijuusmisludane oslikava promenu talasnog broja u prostoru ili frekvencije u vremenu. Drugo, FT nam pruamogunostdaispitujemoproblemeiliuvremenskomiliufrekvencijskom domenu,alineistovremenouobaovadomena.estojeneophodnodefinisatijednu transformacijuvremenaifrekvencijekojasemoeiskoristitizaopisivanjegustine energijesignalaistovremenouobadomena.Ovakvatransformacijabipruila kompletnu vremensku i frekvencijsku informaciju o signalu. WTseestoporedisaFT,ukojojsusignalipredstavljenizbiromsinusoida.Glavna razlikajeutometosuwaveletilociraniiuvremenuiufrekvenciji,zarazlikuod Povezanost Fourierove i wavelet transformacije 7 samo u frekvenciji locirane FT. Prednost WT u odnosu na FT je i u tome to mogu da predstave funkcije koje imaju diskontinuitete i otre vrhove ili pikove, i to mogu da tanodekonstruiuirekonstruiukonane,neperiodineinestacionarnesignale. NajslinijaWTjetzv.Short-timeFourierTransform(STFT)potometojetakoe locirana u vremenu i frekvenciji, s tim to postoje odreeni problemi sa povezanou vremenske i frekvencijske rezolucije. Waveletom se takoe moe dobiti spektar, ali za razlikuodSTFTkodWTjepostignutkompromisutanostilociranjaudomenu vreme-frekvencija.Signalseestomoeboljepredstavitiprekowaveletaupotrebom multirezolucioneanalize,sauravnoteenomivremenskomifrekvencijskom rezolucijom. Pojam waveleta 8 3. POJAM WAVELETA Waveletjeoscilacijakojapodseanatalas,imoeseprevestikao,,talaimada nije preporuljivo koristiti ovaj termin, ija amplituda poinje u nuli, raste a potom se vraananulu.Samnaziv,wavelet,potieodnespretnogprevoenjafrancuskerei ondelette,toznaimalitalas,tj.zamenefrancuskogondesaengleskimwave. Waveletsemoezamislitikaoveomakratkaoscilacija,nalikonimnaekranima seizmografailiukardiogramu.Uoptemsluajuwaveletisepravetakodaimaju osobine pogodne za primenu u obradi signala. Koristei konvoluciju wavelet moemo iskombinovati sa delovima nekog nepoznatog signala kako bi iz njega izvukli korisne informacije. Naprimer,waveletmoemonapravititakodaimauestanostnoteC(do)utrajanju odoko1/32delanote.Ukolikobiovakavwaveletkonvoluiraliuperiodinim intervalima sa audio snimkom neke pesme rezultat bi koristio za pronalaenje kada je u tom signalu odsviran ton C. Matematiki gledano, wavelet e ui u rezonanciju ako analizirani signal sadri informaciju na frekvencijama bliskim njegovoj. Upravo ovaj koncept rezonancije waveleta je i sr mnogih primena waveleta. [4] Waveletsekaomatematikaalatkamoekoristitizaizvlaenjeinformacijaiz najrazliitijihvrstapodataka,odkojihsusvakakonajznaajnijislikaizvuk.Za potpunuanalizusignalaestosuneophodniskupoviilisetoviwaveleta.Set komplementarnih waveleta e razloiti podatke bez praznina ili preklapanja to znai da je proces reverzibilan. Znai da je ovaj set komplementarnih waveleta koristan za algoritmezakompresiju/dekompresijugdejepoeljnodasesignalrekonstruieuz minimalne gubitke. Sa tehnike strane, wavelet je matematika funkcija kojom se neka druga funkcija ili vremenskikontinualansignaldelinakomponenterazliitihraspona,priemuse najeesvakojkomponentidodeljujeodreenifrekvencijskiopseg.Svaka komponentasepotommoeprouavatisarezolucijomkojaodgovaratomrasponu. WTustvaripodrazumevapredstavljanjefunkcijapomouwaveleta.Waveletisu Pojam waveleta 9 skalirane i translirane kopije (zovu se jo i daughter waveleti) oscilirajueg talasa koji je ogranien u vremenu ili brzo opada (mother wavelet). Formalno govorei, re je u stvari o predstavi kvadratne integrabilne funkcije (signala konane energije) u vidu reda waveleta bilo da je skup baznih funkcija kompletan ili overcompleteiortonormalan,iliframeHilbertovogvektorskogprostorakvadratnih integrabilnih funkcija. Postoje dve kategorije WT: diskretne (DWT) i kontinualne WT (CWT). Treba imati u vidu da su obe kategorije kontinualne u vremenu, tj. analogne, pa se mogu koristiti za predstavu analognih signala. U iru podelu WT, pored dve glavne kategorije, uvedena je i multirezoluciona WT. Osnovni wavelet principi 10 4. OSNOVNI WAVELET PRINCIPI 4.1 TEMELJI TEORIJE WAVELETA Ideju o waveletu prvu je predstavio ve pomenuti Jean Morlet kao matematiku alatku zaprouavanjeseizmikihtalasa.PoMorletovojanalizisignalimarazliite karakteristikeuvremenuiprostoru,alinjegovevisokofrekventnekomponentetraju kraeodniskofrekventnih.DabisepostigladobravremenskarezolucijazaVF promeneadobrafrekvencijskarezolucijazaNFkomponente,Morletjezamislio waveletkaofamilijufunkcijaizvedenihiztranslacijaidilatacijajednefunkcijetj. mother waveleta( ) t . Ove izvedene funkcije, tzv. children wavelete, definie izraz ,1( )a bt btaa | |= |\ ,0 , , a b a ,(4.1.1) gdaparametarskaliranjakaomerastepenakompresije,bparametar translacijekojiodreujevremenskulokacijuwaveleta.Akoje1 a < ,waveletje kompresovana verzija mother waveleta i uglavnom odgovara viim frekvencijama. Sa druge strane, kada je1 a> , ,( )a bt je vremenski mnogo ira nego( ) t pa odgovara niimfrekvencijama.Vidisedajekodwaveletairinauvremenuprilagoena njihovimfrekvencijama.OvojeiglavnirazlogzauspehMorletovihwaveletau obradisignalaivremensko-frekvencijskojanalizi.Moeseprimetitidarezolucija waveletavarirauvremenuifrekvencijipoHeisenbergvomprincipuneodreenosti. Zavelikeskalereenjejegrubouvremenskomafinoufrekvencijskomdomenu. Kakosefaktorasmanjujerezolucijauvremenskomdomenupostajefinijaau frekvencijskom grublja. [3] Osnovni wavelet principi 11 Slika 4. 01.1 Uticaj promene faktora a na vremensku rezoluciju Mexican Hat waveleta Zbog praktine primene a i zarad efikasnosti poeljne su kontinualno diferencijabilne funkcijesakompaktnompodrkomkaomotherwaveleti.Meutim,dabise zadovoljili analitiki zahtevi (kod CWT) i uopte iz nekih teoretskih razloga, wavelet funkcijesebirajuizjednogpodprostoraprostora) ( ) (2 1 L L .Ovojeprostor merljivih funkcija koje su apsolutno i kvadratno integrabilne: ( ) t dt < i 2( ) t dt < .(4.1.2) Poto je re ba o ovom prostoru, sigurno se mogu formulisati nulta srednja vrednost i jedinina kvadratna norma. ( ) 0 t dt = je uslov za nultu srednju vrednost. 2( ) 1 t dt = je uslov za jedininu kvadratnu normu. Osnovni wavelet principi 12 4.2 OSOBINE WAVELETA Najvanijasvojstvawaveletasuusloviilikriterijumiprihvatljivostiiregularnosti1,i oveosobinesuizaslunezanazivkojiwaveletdanasima.Moesepokazatida kvadratne integrabilne funkcije( ) t koje zadovoljavaju uslov prihvatljivosti 2 ( )d< (4.1.3) mogubitiupotrebljenezaanalizuapotomirekonstrukcijusignalabezgubitka informacija.( ) predstavljaFT( ) t .Ovajkriterijum(moesereidajetoneka vrsta polu-diferencijabilnosti) u stvari znai da FT( ) t nestaje na nultoj frekvenciji, tj. 20( ) 0== .(4.1.4) OvoznaidawaveletiimajuspektarnalikPOfiltru.Naosnovuovezanimljive injeniceseirazvilaefikasnaWT.Nulananultojfrekvencijitakoeimpliciradaje srednja vrednost waveleta u vremenskom domenu nula, kao to je definisano uslovom zanultusrednjuvrednost,tedajeonstogaoscilatornogkaraktera,jednomreju talas. Kao to se moe uoiti iz kriterijuma prihvatljivosti WT jednodimenzionalne funkcije jedvodimenzionalna,aWTdvodimenzionalnefunkcijejeetvorodimenzionalna. Proizvodvreme-opseg2WTjestekvadratulaznogsignalatozaveinupraktinih primena i nije ba poeljna osobina. Upravo zbog toga se za wavelet funkcije moraju uvestinekidodatniuslovikakobiWTopadaobresasmanjenjemskalea.Ovosu usloviregularnostiioninalaudawaveletfunkcijaimaodreenuglatkosti koncentracijuiuvremenskomiufrekvencijskomdomenu.Regularnostjeprilino komplikovankoncept,amoesedonekleobjasnitiprekotzv.,,izezavajuih momenata 3. Ukoliko se WT razloi na Taylorov red za b=0 do reda n, dobije se izraz 1 Admissibility i regularity 2 Neformalno, ovo je proizvod irine signala u vremenskom domenu i njegovog spektra 3 Vanishing moments Osnovni wavelet principi 13 W (a,0)=( )01(0) ( 1)!p nppt tf dt O np s a= (| |+ + ( |\ ( .(4.1.5) Naravno, ( ) pf predstavljap-tiizvodfunkcijef,a( 1) O n + ostatakreda.Sad,ako definiemo momente waveleta ( )ppM t t dt =,(4.1.6) onda dobijemo potpuno razloenu WT: W (a,0)=(1) (2) ( )2 3 1 20 1 21 (0) (0) (0)(0) ... ( )1! 2! !nn nnf f ff Ma M a Ma Ma O an a+ + (+ + + + + ( . (4.1.7) Iz uslova prihvatljivosti (4.1.3) ve znamo da je nulti momenat jednak nuli, tako da je prvilansadesnestranejednakostitakoejednaknuli.Ukolikobipostiglidaisvi drugimomentido nM budunula,koeficijentiWTbiopadalibrzinomkaoi 2 na+za glatki signal( ) f t- ovo su izezavajui momenti ili tzv. ,,red aproksimacije. Ukoliko wavelet ima N izezavajuih momenata tada je i njegov red aproksimacije N. esto je dovoljnodamomentibuduivrlomalevrednosti,nemorajubitibanula. Eksperimentalna istraivanja su pokazala da neophodan broj izezavajuih momenata u mnogome zavisi od primene. [5] Za CWT par( , ) a bvarira preko cele poluravni +, dok za DWT ovaj par varira preko njenog diskretnog podskupa, afine grupe. Morletjerazvionovuanalizukoristeitzv.,,waveletekonstantnogoblikakao protivteuanalizifunkcijeuFTkojanemakonstantanoblik.AlexGrossmann, francuskifiziar,jemeuprvimashvatiovanostMorletovihtransformacijakojesu donekleslineformalizmuzakoherentnastanjaukvantnojmehanici,irazviotanu inverznu formulu za ove transformacije. Ova koherentna stanja nastaju iz translacije i dilatacijejednefunkcije.estosenazivajuiafinakoherentnastanjajersupovezana saafinomgrupom(,,ax+bgrupom).Akouzmemouobzirteorijuogrupama, Osnovni wavelet principi 14 waveleti ,( )a bx su u stvarirezultat izvrenja operatora( , ) Ua bnafunkcijutako da je[ ]1( , ) ( ) ( )x bUa b xaa = .(4.1.8) OvioperatorisusviunitarninadHilbertovimprostorom) (2 L iinepredstavu ,,ax+b grupe: ( , ) ( , ) ( , ). Ua b Uc d Uac b ad = + (4.1.9) Ovakvapredstavagrupejenesvodljiva,tj.zasvakunenultu) (2 L f nepostoji nekonetrivijalnogkojejeortogonalnosvim( , ) Ua b f .Drugimreima,( , ) Ua bfse proteekrozitavprostor.Koherentnastanjazaafinuax+bgrupu,kojadanas zovemo waveleti, prvi su formulisali Aslaksen i Klauder u kontekstu opte predstave grupa.UspehMorletovihnumerikihalgoritamanaveojeGrossmannadamalo podrobnijeprouiwaveletiutvrdidawaveleti ,( )a bt odgovarajukvadratnoj integrabilnoj predstavi afine grupe. Grossmanna je muila wavelet transformacija funkcije) (2 L fdefinisana kao W,1[ ]( , ) ( , ) ( ) ( )a bt bf a b f f t dtaa = =,(4.1.10) gde ,( )a bt imaistuulogukaokernel i teuFT.KaoiFT,iCWT W jelinearna. Meutim, CWT nije samo jedna odreena ve bilo koja transformacija dobijena ovim putem.InverznaWTjedefinisanatakodase( ) f t moerekonstruisatipomou formule 1( ) f t C= W[ ]2,( , ) ( )( )a bf a b t a da db ,(4.1.11) pod uslovom daC zadovoljava uslov prihvatljivosti (4.1.3). Grossmannovgenijalniradjetakoepokazaodaseizvesnialgoritmikojirazlau signalnaitavufamilijuskalamogukoristitikaoefikasanalatutzv.multiscale analizi. [3] Osnovni wavelet principi 15 SveWTsemoguposmatratikaovremensko-frekvencijskepredstaveanalognih signalaikaotakvesupovezanesaharmonijskomanalizom.Skorosvepraktino upotrebljiveDWTkoristevremenskidiskretnefiltar-banke.Uwaveletnomenklaturi ove banke nose oznaku ,,koeficijenti waveleta i skaliranja. Ove banke sadre filtre ili sakonanim(FIR)ilisabeskonanimimpulsnimodzivom(IIR).Waveletikoji formiraju CWT podleu Heisenbergovom principu neodreenosti odnosno ukoliko je datsignalkojiusebisadrinekidogaaj,tomdogaajusenemoguistovremeno odreditivremenske(iliprostorne)ifrekvencijskekoordinate.Stogauskaleogramu4 CWT ovog signala taj dogaaj zauzima jednu oblast u vremenu i frekvenciji, umesto samo jedne take. Pored toga, diskretne wavelet baze se mogu posmatrati u kontekstu drugih oblika principa neodreenosti. Kadasepogledamaloiraslika,vidisedanamjeuslovprihvatljivostidaotalas (wave), uslov regularnosti i izezavajui momenti su omoguili brzo opadanje (let) a sve zajedno doneli wavelet. 4 Scaleogram - Skaleogram prikazuje gustinu energije u domenu vreme-skala, predstavlja ekvivalent spektrograma iz domena vreme-frekvencija. Kontinualna wavelet transformacija 16 5. KONTINUALNA WAVELET TRANSFORMACIJA KodCWTdatisignalkonaneenergijeseprojektujenakontinualnufamiliju frekvencijskih opsega (ili nekih slinih podprostora pLprostora funkcija) (2 L ). Na primer,signalmoebitipredstavljennasvakomfrekvencijskomopseguoblika [ , 2 ] f f zasvepozitivnefrekvencije0 f > .Potomseoriginalnisignalmoe rekonstruisatiprigodnimintegraljenjemnadsvimrezultujuimfrekvencijskim komponentama. Frekvencijski opsezi ili podopsezi su skalirane verzije podprostora za skalu1.Ovajpodprostorjeuveinisluajevagenerisanpomeranjimajedne generiue funkcije, mother waveleta) (2 L . Za primer skale 1 i frekvencijskog opsega[1, 2]ova funkcija je ( ) t = 2sinc(2t)-sinc(t)sin(2 ) sin( ) t tt = ,(5.1) gde je ,,sinc normalizovana funkcija sin xx. Inae, FT od (5.1) je idealni PO filtar: Slika 5.1 Idealni PO filtar Neki drugi primeri mother waveleta su Meyerov, Moletov, Shannonov, Mexican hat, beta, hermitski wavelet i drugi.[4] Slika 5.2 MorletovSlika 5.3 Meyerov Kontinualna wavelet transformacija 17 Slika 5.4 Meksikanski eirSlika 5.5 Shannonov wavelet Podprostorskaleailifrekvencijskogopsega[ ] 1 , 2 a a jegenerisanchildren waveletima (4.1.1). Projekcija funkcije x na na podprostor razmere a onda ima oblik ( )ax t =W {},( , ) ( )a bx a b t dt ,(5.2) sa wavelet koeficijentima W{ }= = dt t t x x b a xb a b a) ( ) ( ) , ( ) , (, , .(5.3) Zarad lake analize wavelet koeficijenti mogu da se skupe u skaleogram signala. Slika 5.6 Audio signal i njegovi DWT i CWT skaleogrami [6] Diskretni waveleti 18 6. DISKRETNI WAVELETI 6.1 PROBLEMI PRAKTINE PRIMENE Sada kada znamo ta je WT bilo bi dobro da je nekako praktino primenimo. No, na ovajnainpredstavljenwaveletjouvekimaodreeneosobinekojespreavaju njegovuupotrebuudirektnomobliku.PrvaodovihosobinajesteredundansaCWT. PoosnovnojformuliWTseraunatakotosekontinualnaskalabilnafunkcija kontinualno pomera du signala i rauna se korelacija to dvoje. Ove skalirane funkcije neebitiniblizuortogonalnebazepaedobijeniwaveletkoeficijentibitiveoma redundantni. U veini praktinih primena WT poeljno je otarasiti se ove redundanse. AakibezredundanseCWTdobijesebeskonanomnogowaveletauWTibilobi dobro kad bi se i njihov broj sveo na neku razumljiviju vrednost. Jo jedan problem jeste taj to za veinu funkcija WT nema analitiko reenje i moe se izraunati jedino numeriki ili pomou optikog analognog raunara. U praktinim aklikacijamakojeukljuujubrzenumerikealgoritme,kontinualniwaveletse zaraunava kao diskretna mrea taaka. Za potpuno iskorienje moi WT neophodni subrzialgoritmi,iupravoovibrzialgoritmisuidoprinelipopularnostii primenjenosti WT. Raunskijenemogueanaliziratisignalkoristeisvewaveletkoeficijente,pase postavljapitanjedalijedovoljanjedandiskretanpodskupgornjepoluravniza rekonstrukciju signala iz wavelet koeficijenata. Jedan od takvih sistema je afin sistem za neke realne parametre1 a > ,0 b > . Po ovom sistemu odgovarajui podskup gornje poluravni predstavljaju sve take( , )m ma na bza 2, Z n m . Sada su children waveleti dati formulom 2,( ) ( )mmm nt a a t nb = .(6.1.1) 6.2 UKLANJANJE REDUNDANSE Za poetak emo da se pozabavimo uklanjanjem redundanse. CWT vri mapiranje ili preslikavanjejednodimenzionalnogsignalaudvodimenzionalnuvreme-skala Diskretni waveleti 19 predstavukojajeveomaredundantna.Proizvodvreme-propusniopsegCWTjeste kvadratsignalaizaveinuprimena,kojezahtevajuopissignalasatomanje komponenata, ovo nije efikasan nain. Diskretni waveleti su predstavljeni kao reenje ovogproblema.Oninisukontinualnoskalabilni,vesejedinomoguskaliratii transliratiudiskretnimkoracima.Ovosepostieodreenommodifikacijomnaina predstavljanja waveleta: 0 0,001( )mm nmmt nb ataa | |= |\ .(6.2.1) Iakojezovemodiskretniwavelet,ovafunkcijaje(deopodeo)kontinualna.U gornjemizrazuminsucelibrojevia 01 a > jefiksnikorakdilatacije.Faktor translacije 0bzavisi od koraka dilatacije. Posledica diskretizacije waveleta jeste da je sadaprostorvreme-skalaodabiranudiskretnimintervalima.Obinoseuzimadaje 02 a =kako bi odabiranje frekvencijske ose odgovaralo dijadnom odabiranju. Ovo je uobiajen izbor kad je re o raunarima, ljudskom uhu i muzici. Faktor translacije je uglavnom 01 b =kako bi se dobilo dijadno odabiranje i vremenske ose. Slika 6.2.1 Lokacija diskretnih waveleta u prostoru vreme-skala na dijadnoj mrei Kadasediskretniwaveletikoristezatransformacijukontinualnihsignalarezultate bitiredwaveletkoeficijenata,paseovajpostupakestonazivaiwaveletrazlaganje. Vaanproblemzasvakupriuorazlaganjujesteproblemrekonstrukcije.Mogueje izvriti odabiranje zajednike predstave u prostoru vreme-skala na dijadnoj mrei, ali Diskretni waveleti 20 to nee nita znaiti ukoliko nije mogue kasnije izvriti kvalitetnu rekonstrukciju. Na svu sreu, ispostavilo se da je posle wavelet razlaganja mogue izvriti rekonstrukciju signala.Rekonstrukcijasignalajemoguaakodiskrentareetkaimafinumrenu strukturu.Usluajuveomagrubemrenestrukture,koeficijentimodaneesadrati dovoljnoinformacijadabiseiznjihrekonstruisaosignal.Nozaodreenevrednosti parametara reetke (m,n) moe se dobiti numeriki stabilna formula za rekonstrukciju. Iz ovoga je proiznikao koncept ,,frejma ili okvira, pojma koji su prvi put uveli Duffin i Schaeffer kako bi prouavali neharmonine Fourierove redove.[5] Uoptemsluaju,funkcija( ) f t kojapripadaHilbertovomprostoru) (2 L je potpunoodreenasvojomdiskretnomWT(waveletkoeficijentima)akowaveleti formiraju potpun sistem u) (2 L . Potrebanidovoljanuslovstabilnerekonstrukcijejestedaseenergijawavelet koeficijenata mora nalaziti izmeu dve granine vrednosti: ( )22 2,,,j kj kAf f B f ,(6.2.2) gde je 2fenergija( ) f t ,0 A > ,B < i A i B su nezavisni od( ) f t . Kada je ovaj uslovzadovoljen,familijabaznihfunkcija 2,, ), ( Z k j tk j sezovefrejm,agranice frejmasuAiB.KadajeA=Brejeotightfrejmu,adiskretniwaveletiseponaaju kaoortonormalnebaze.KadajeA B potpunotanarekonstrukcijajeidalje moguaalijesadareodualnomfrejmu.ZaDWTsadualnimfrejmomwaveletza razlaganje je razliit od waveleta za rekonstrukciju. SadaemozaboravitifrejmoveinastavitisauklanjanjemredundanseizWT. Poslednjikorakjesteuspostavljanjeortonormalnostidiskretnihwaveleta.Ovoje moguejedinozanjih.Moguejeskupdiskretnihwaveletauinitiortogonalnim izborom odgovarajuih dilatacija i pomeraja za specijalne oblike mother waveleta. *, ,1( )0j k m n za j=m i k=nt dtinae =

.(6.2.3) Signalsemoerekonstruisatipozivanjemortogonalnewaveletbaznefunkcije pomnoene koeficijentima WT: Diskretni waveleti 21 , ,,( ) ( , ) ( )m n m nm nf t f t == .(6.2.4) Dovoljanuslovdasebilokojisignalkonaneenergijemoerekonstruisatiovom formulom jeste da funkcije} , : ) ( {2,Z n m tn mformiraju tight frejm. Ove { },( )m nx su poznate kao Littlewood-Paley waveleti. Ova predstava f ima dobru prostorno-frekvencijskurezoluciju.Klasianprimerwaveletazakojigoredefinisane , m nformiraju ortonormalnu osnovu u) (2 Lje Haarov wavelet: 11, 021( ) 1, 120,xx xdrugde = < ` ).(6.2.5) Slika 6.2.2 Haarov Wavelet Prva ortonormalna wavelet baza je, isorijski gledano, Haarova baza, koja je otkrivena mnogopreuvoenjawaveleta.MoeseuoitidaHaarovwaveletinijenajbolje vremensko-frekvencijskilokalizovan,tedanjegovaFT ( ) k opadakao 1k kada k . Zajednikim naporima Morlet i Grossmann su detaljno matematiki prouili wavelet i njegove primene i ustanovili da wavelet predstavlja novefikasan metod za razlaganje funkcije ili signala. 1985.jeYvesMeyer,francuskimatematiar,prepoznaopovezanostizmeu Calderonove formule u harmonijskoj analizi i novog algoritma Morleta i Grossmanna. Meyerjetakoekonstruisao,zaHilbertovprostor) (2 L ,ortonormalnubazu Diskretni waveleti 22 waveleta , m n definisanihpoformulichildrenwaveleta(6.1.1).Ovabazajepostala bezuslovnabazazasve pL prostore,Soboleveidrugeprostore.tavie,u Hilbertovomprostoru,normalizovanabazajeibezuslovnabazaakoisamoakoje istovremenoifrejm.TakvabazasezoveRieszovabaza.Meutim,akoje{ }nortonormalna baza, onda je 1221(1 ) ( )n ne n n = + + (6.2.6) primerbazenormalizovanihvektorakojanijeRieszovabaza.KoristeiCalderon-ZygmundoperatoreiteorijuLittlewood-Paley,Meyerjepostaviomatematike temelje teorije waveleta, a Meyerova baza je postala monija alatka od Haarove. IakomotherwaveletuMeyerovojbaziopadabrenegobilokojiinverznipolinom, konstantekojesuukljueneupriusutolikovelikedaonnijedobrolokalizovan. LemarieiMeyersuproiriliMeyerovuortonormalnubazunavieodjedne dimenzije. Stromberg je 1982. godine prvi konstruisao ortonormalnu wavelet bazu za ) (2 L kojaimadobruvremensko-frekvencijskurezoluciju.Njegoviwaveletisuu nC kojeeksponencijalnoopada,priemujenkonano.Takoejedokazaodaje ortonormalnawaveletbazadefinisanaizrazom(6.1.1)stvaribezuslovnabaza 5za Hardijevprostor) (1 H ,kojisesastojiodrealnihfunkcija( ) ux ,akoisamoako ( ) uxi njegova Hilbertova transformacija( ) ukpripadaju) (1 L . U stvari,) (1 Hje realnavarijantaholomorfnogHardijevogprostora) (1 H ijisuelementi ( ) ( ) ux ivx + , kombinacije realnih funkcija x. Funkcija( ) f z , gde jez x iy = + , pripada Hardyevomprostoru) (pH ,0 p ,akojeholomorfnaugornjojpolovini kompleksne ravni( 0) y >i ako 10sup ( )pppyf f z dx> (= < ( ( .(6.2.7) Akojeovajuslovzadovoljen,gornjagranicajeilimitkad0 y .tavie,( ) f zkonvergira u( ) f xkad0 y + , gde se konvergencija odnosi na onu u pL . Tako se ) (pHmoe definisati kao zatvoren podprostor) (pL . [3] 5 Bezuslovna baza podrazumeva da linearna kombinacija baznih vektora uvek konvergira Diskretni waveleti 23 Ortogonalnostnijenunazapredstavusignala.Waveletinemorajudabudu ortogonalniiunekimprimenamaredundansasekoristizasmanjenjeosetljivostina umilizapostizanjevremenskenepromenljivosti.Ovojemanadiskretnihwaveleta: rezultujua WT je sada vremenski promenljiva, to znai da WT nekog signala i WT njegoveuvremenupomerenevarijantenisuvremenskipomerenevarijantejedna druge. 6.3 FILTAR PROPUSNIK OPSEGA Sadkadjeredundansauklonjena,postojejosamodvepreprekedopraktino upotrebljive forme waveleta. Sledee je smanjenje broja waveleta neophodnih u WT. akisadiskretnimwaveletimaneophodannamjekonaanbrojskaliranjai transliranjakakobismoizraunaliWT.Najlakebibilojednostavnoneuzetisve (beskonanomnogo)diskretnewavelete.Ovoautomatskipovlaisasobomipitanje kvalitetatransformacije:dalijemoguesmanjitibrojwaveletauanalizisignalaai dalje dobiti koristan rezultat? Translacijewaveletasuogranienetrajanjemanaliziranogsignalatakodaimamo gornjugranicu za wavelete. Sledi problem dilatacije: koliko skala nam je neophodno zaanalizu,kakodobijamodonjugranicu?Odgovornaovopitanjeiziskuje posmatranje WT iz drugog ugla. Ve smo napomenuli da wavelet ima spektar nalik PO filtru. Jo iz Fourierove teorije je poznato da je skupljanje u vremenu jednako irenju spektra: { }1( ) F f at Fa a | |= |\ .(6.3.1) Ovo podrazumeva da e suavanje waveleta u vremenu dva puta proiriti spektar dva puta,takotoekomponentepomeritinadvaputaveeuestanosti.Znajuiovo mogue je pokriti konaan spektar signala spektrima proirenih waveleta na isti nain kaotobipokrilisignaluvremenutransliranimwaveletima.Dabisedobiladobra pokrivenostspektrasignalarazvueniwaveletspektribitrebalodasedodiruju.Ovo se moe postii pravilnim dizajniranjem waveleta.Diskretni waveleti 24 Slika 6.3.1 Wavelet spektri koji se dodiruju zbog skaliranja u vremenu Konaanzakljuakjeda,akomoemoposmatratijedanwaveletkaoPOfiltar,onda niz rairenih waveleta moemo posmatrati kao PO filtar-banku. Uoava se da je odnos izmeucentralnefrekvencijewaveletspektrainjegoveirineistizasvewavelete. OvajodnoszovemojoifaktorvernostiQfiltra,pajekodwaveletareoQ-konstantnoj filtar-banci. 6.4 FUNKCIJA SKALIRANJA Sadasepostavljapitanjekakopokritiitavspektarsvedonule,potosesvakiput kadasewaveletuvremenskomdomenuproiridvaputa,njegovfrekvencijskiopseg prepolovi.Dakle,sasvakimirenjemwaveletasepokrivasamopolovinaostalog spektra, to znai da e nam trebati konaan broj waveleta. Reenje ovog problema je u neku ruku jednostavno: ne treba pokuavati da se pokrije itavspektardonulewaveletspektrom,vedaseupotrebiepkakobisezaepila rupa,kadajedovoljnomala.OvajepimaNFspektaripripadatzv.funkciji skaliranja.OvufunkcijujeprviuveoMallat.ZbogNFprirodespektrafunkcije skaliranja ona se naziva jo i filtar srednje vrednosti. UkolikoposmatramofunkcijuskaliranjakaoobiansignalsaNFspektrom,ondaje moemo razloiti na wavelet komponente i prikazati na sledei nain: , ,,( ) ( , ) ( )m n m nm nt f t == .(6.4.1) Potojefunkcijaskaliranja( ) t posebnoizabranatakodanjenspektarfino popunjavaprostorkojisuostaviliwaveleti,ovajizrazkoristibeskonaanbroj waveletadoodreeneskalej.Ovoznaidaakoanaliziramosignalkoristei kombinacijufunkcijaskaliranjaiwaveleta,funkcijaskaliranjapokrivaideospektra koji pokrivaju waveleti vei od j. Na ovaj nain je u stvari ogranien broj waveleta. Diskretni waveleti 25 Slika 6.4.1 Zamena beskonano mnogo waveleta jednom funkcijom skaliranja Uvoenjemfunkcijeskaliranjauspenojeizbegnutproblembeskonanogbroja waveletaipostavljenajedonjagranicazawavelete.No,bitnojenapomenutida upotrebom funkcije skaliranja dolazi do gubitka informacija, ne sa aspekta predstave signalapotojeidaljemoguerekonstruisatisignal,vesaaspektawaveletanalize potoseodbacujupotencijalnobitneinformacijeoskalama.irinaspektrafunkcije skaliranja je stoga bitan parametar u kreiranju WT. to je njen spektar krai to emo imativiewaveletkoeficijenataatimeiinformacijaoskalama.Meutim,postojei ogranienjapraktineprirode,tj.ogranienjebrojakoeficijenatakojisemogu obraivati. [5] injenicadafunkcijaskaliranjaimaNFspektaromoguavauvoenjesvojevrsnog uslovaprihvatljivostikojipokazujedanultimomenatfunkcijeskaliranjanemoe izeznuti: ( ) 1 t dt =.(6.4.2) 6.5 MULTIREZOLUCIONA ANALIZA Sadkadasuproblemiredundanseibeskonanogbrojawaveletareeni,ostajejo samo iznai nain sa izraunavanje WT. Put nas vodi u multirezolucionu analizu. 1986.godineMeyeriMallatsuuoilidasekonstruisanjerazliitihwaveletbaza moepredsavitipomoumultirezolucioneanalize.Waveletkoeficijenti ,( , )m mf za fiksno m onda odgovaraju razlici izmeu dve sukcesivne aproksimacije 1 mP f i mPf . Kasnih80-ihgodinaprologvekapovealisusenaporidabisekonstruisale ortonormalnewaveletbaze.BattleiLemariesunezavisnojedanoddrugog konstruisalisplineortonormalnewaveletbazekojeeksponencijalnoopadaju.Uisto Diskretni waveleti 26 vremejeTchamitchianpredstavioprviprimerbiortogonalnewaveletbaze.Ove raznolike ortonormalne wavelet osnove su se pokazale veoma korisnim za primene u obradi signala, slike, kompjuterskoj viziji i kvantnoj teoriji polja. Jednimodnajvanijihdostignuaurazvojuwaveletanalizesignalasmatrase stvaranje,,bezbolnih6neortogonalnihwaveletekspanzijauradovimaGrossmanna, MeyeraiDaubechieseve.SvojimdaljimistraivanjimaMeyeriLemariesu konstruisali prvu glatku ortonormalnu wavelet bazu nad a potom i nad nto je u stvaribioizaetaknjihovogneprocenjivogdoprinosarazvojuwaveleta.Mnogi strunjaci su shvatili koliko je bitno da postoji bar jedna ortonormalna baza sa dobrom vremensko-frekvencijskom rezolucijom. Mallat je uoio da odreeni quadratic mirror filtri7(QMF)igrajuvanuuloguustvaranjuortogonalnihwaveletbazakoje generalizujuklasianHaarovsistem.Lemarie,MeyeriMallatsuotkrilidase ortonormalnewaveletbazemogusistematskikonstruisatiizoptegformalizma. KulminacijanjihovesaradnjedolajeuviduvelikogMallatovogotkrianovog formalizma,tzv.mutirezolucioneanalize.Ovajkonceptmultirezolucioneanalizeje imao znaajan udeo u Mallatovom algoritmu za dekompoziciju i rekonstrukciju slike. Osnovnaidejamultirezolucioneanalizejedasefunkcijapredstavikaogranina vrednostsukcesivnihaproksimacija,odkojihjesvaka,,glatkija8verzijaoriginalne funkcije.Ovesukcesivneaproksimacijeodgovarajurazliitimrezolucijama,odatle naziv kao formalni pristup konstruisanju ortogonalnih wavelet baza pratei definisani skuppravilaiprocedura.Multirezolucionaanalizauvodiipojmovefunkcija skaliranjaifiltaraskaliranjakojiseposlekoristezakonstrukcijuwaveletaibrze numerikealgoritme.Ovojeefikasanmatematikiokvirzahijerarhijsku dekompozicijusignalailislikeukomponenterazliitihskalapredstavljenih sekvencomprostorafunkcijanad.Mallatjezaistarazvioefikasannumeriki algoritamzamultirezolucionuanalizukoristeiwavelet,aialgoritmezawavelet dekompoziciju i rekonstrukciju koristei mulirezolucionu analizu. Otkria Mallata su pokrenula lavinu novih teorija i dodataka wavelet teoriji.[1] 6 Painless 7| H0(ej) | 2 + | H1(ej) | 2 = 1 8 Smoother Diskretni waveleti 27 RadoviMeyeraimnogobrojnadrugadostignuaurazvojuwaveletteorijeinspirisali suIngridDaubechiesdadasvoj,noviznaajandoprinoswaveletteorijiinjenoj praktinojprimeni.PoduticajemBurt-Adelsonovogpiramidalnogalgoritmadolaje dovanogotkriaortonormalnekompaktnopodrane9waveletbaze.Njenradiz 1988.,kojisebaviokonstrukcijomprveortonormalnebazekontinualnihkompaktno podranih waveleta za) (2 Lsa odreenim stepenom glatkoe, je imao fantastian uticajnaprouavanjewaveletainihovuraznovrsnuprimenu.Njenootkrie ortonormalnebazeza) (2 L oblika 22 (2 )m mt n ,Z n m, ,sapodrkom u intervalu[ ] 0, 2 1 r + ,uzburkalojenaunekrugovekojisuprouavaliwavelet.Za 0 r = ovosesvodinaHaarovsistem.Ovajradjeobjasniotuznaajnui nezanemarljivupovezanostizmeuwaveletanadidiskretnihwaveletanadZ i NZ ,priemusuovipotonjiimalisvojukoristudigitalnojanalizisignala.Iakosu koncept frejma uveli drugi naunici, Daubechieseva je sa svojim saradnicima uspeno izraunalanumerikeprocenezaokvirefrejmazavelikibrojrazliitihwaveleta. Uprkosneverovatnomuspehukojijeovajradpostigao,konstruisatisimetrian, ortogonalan i kompaktno podran wavelet nije nimalo jednostavno. U cilju reavanja ovog problema Cohen i drugi su detaljno prouavali biortogonalne wavelete i utvrdili daoniimajuanalitikupredstavusakompaktnompodrkom,dokdualniwaveleti nemaju analitiku predstavu. Uskorijevremepanjuprivlainovavrstawaveleta,tzv.semiortogonalniwaveleti. Uslovsemiortogonalnostipodrazumevadasuwaveletprostoriortogonalnijedan drugom.Ovojeklasawaveletakojisuortogonalnizarazliiteskale,awaveletikoji su iste skale se ne preklapaju. Chui, Wang i Micchelli su prouavali ovewavelete, a kineski naunici su konstruisali semiortogonalne B-spline wavelete. [2] 6.6 KODOVANJE PODOPSEGA UkolikoposmatramoWTkaofiltar-bankuondamoemodakaemodaWTsignala podrazumevanjegovoproputanjekroztufiltar-banku.Izlazirazliitihstadijuma filtriranjasuwaveletkoeficijentiikoeficijentifunkcijeskaliranja.Ovajprincip, 9 Compactly supported - FunkcijaC : fje podrana ako{ } : ( ) 0 x f x , oznaava se supp(f). Funkcija je kompaktno podrana ako postoje realni brojevi a i b takva da vaisupp( ) ( , ) f a b . Diskretni waveleti 28 proputanje signala kroz filtar-banku, nije nita novo i postoji ve due vremena pod imenom kodovanje podopsega10, a koristi se izmeu ostalog i u kompjuterskoj viziji. Postojinekolikonainazaizgradnjufiltar-bankepotrebnezakodovanjepodopsega. JedanodnainajedasenapravimnogoPOfiltarakakobisespektarpodeliona frekvencijskeopsege.Prednostjeutometosemoeslobodnobiratiirinasvakog opsega tako da se spektar analiziranog signala pokrije na mestima koja bi mogla biti zanimljiva.Manajeutometosesvakifiltermorazasebnodizajnirati,tooduzima isuvievremena.Druginainjestedasespektarsignalapodelinadvajednakadela, NFiVFdeo.VFdeosadrinajsitnijedetaljekojinasinteresuju,sadimamodva opsega i tu bi mogli stati. Meutim, u NF delu jo postoje neki zanimljivi detalji pa i njegamoemojodapodelimo.Iopet,iopet,itakosvedoknedobijemo zadovoljavajuibrojopsega.Onotosmodobilisenazivaiterativnafiltar-banka. Najeejebrojopsegaogranien,npr.koliinompodatakailiraunarskim sposobnostima. Na sledeoj slici je grafiki prikazan proces deljenja spektra. Prednost oveemejetomoramodizajniratisamodvafiltra,manajefiksnapokrivenost spektra signala. Slika 6.6.1 Deljenje spectra signala iterativnom filtar-bankom 10 Subband coding Diskretni waveleti 29 Onotosemoeuoitisapriloeneemejestedaposlevieuzastopnihpodela spektra ostaje niz opsega tipa PO, od kojih je svaki duplo ireg spektra od prethodnog, ijednogNFopsega.(Iakose,teorijskigledano,prvompodelodolodojednogVFi jednog NF opsega, VF opseg je u stvari PO zbog ogranienog frekvencijskog opsega signala.) Drugim reima, ista analiza podopsega se moe izvriti proputanjem signala kroz banku PO filtara, od kojih svaki ima duplo iri opseg od svog levog suseda (ako uzmemo da frekvencijska osa ide s leva na desno), i NF filtra. Ovo jeste u stvari isti proceskaoWTsignala:waveletisuustvariPOfiltrisadvostrukimopsezimaa funkcijaskaliranjapredstavljaNFdeo.IzovogasledizakljuakdajeWTistotoi kodovanjepodopsegasaupotrebomQ-konstantnefiltar-banke.Ovavrstaanalizeje poznata kao multirezoluciona analiza. [5] Dakledasumiramo,aovojesigurnoinajfascinantnijastvaruvezisawaveletima: akoimplementiramoWTkaoiterativnufiltar-bankunemoramoeksplicitnoda definiemo wavelete. Diskretna wavelet transformacija 30 7. DISKRETNA WAVELET TRANSFORMACIJA 7.1 PRINCIPI DWT U mnogim praktinim primenama analizirani signal je semplovan. Kako bi ono to je do sada ispriano o waveletima moglo biti primenjeno na diskretne signale, moramo i WTuinitidiskretnom.Diskretniwaveletikojisuveuvedeninisudiskretnipo vremenu, ve po koraku translacije i irenja. Intuitivno, bie dovoljno implementirati wavelet filtar-banku kao digitalnu. Intuitivno nije dovoljno dobro. Vesepominjalodasefunkcijaskaliranjamoeizrazitiuwaveletimaodminus beskonanodoodreeneskalej.Ukolikododamospektarwaveletaspektrufunkcije skaliranja dobijamo novu funkciju skaliranja sa spektrom dvostruko irim od spektra prvobitne. Efekat ovog dodavanja je u tome to se sada prva funkcija skaliranja moe izraziti preko druge jer je sva informacija neophodna za to sadrana upravo u drugoj funkciji. Ovo se formalno predstavlja tzv. multirezolucionom formulacijom ili skala 2 relacijom: 11(2 ) ( ) (2 )j jjkt h k t k ++= .(7.1.1) Multirezolucionaformulacijakaedasefunkcijaskaliranjazaodreenuskalumoe izrazitiprekotransliranihfunkcijaskaliranjazasledeumanjuskalu.Idanebude zabune: manja skala znai vie detalja. Prvafunkcijaskaliranjajezamenilaskupwaveletatakodawaveleteizovogskupa moemo izraziti preko transliranih funkcija skaliranja za sledeu skalu. To znai da za wavelet skale j vai: 11(2 ) ( ) (2 )j jjkt g k t k ++= ,(7.1.2) to je skala 2 relacija izmeu funkcije skaliranja i waveleta. Poto se signal( ) f tmoe predstaviti preko proirenih i transliranih waveleta do sakle j-1ondasemoepredstavitiiprekoproirenihitransliranihfunkcijaskaliranjaza skalu j: Diskretna wavelet transformacija 31 ( ) ( ) (2 )jjkf t k t k = .(7.1.3) Ukolikouovojjednainipreemonaskaluj-1,moramododatiwaveletekakobi odrali isti nivo detalja. Sad se signal( ) f xpie kao 1 11 1( ) ( ) (2 ) ( ) (2 )j jj jk kf t k t k k t k = + .(7.1.4) Ako su funkcija skaliranja ,( )j kt i waveleti ,( )j kt ortonormalni ili ine tight frejm onda se koeficijenti raunaju na sledei nain: 1 ,( ) ( ( ), ( ))j j kk f t t =i 1 ,( ) ( ( ), ( ))j j kk f t t = .(7.1.5) UkolikouHilbertovimproizvodimasadazamenimo ,( )j kt i ,( )j kt njihovim skaliranim i transliranim verzijama, nakon izvesnog kombinovanja i imajui u vidu da je unutranji proizvod neka vrsta integrala, dobija se vaan rezultat: 1( ) ( 2 ) ( )j jmk h m k m = (7.1.6) 1( ) ( 2 ) ( )j jmk gm k m = (7.1.7) Ovedvejednakostipokazujudasewaveletkoeficijentiikoeficijentifunkcije skaliranjazaodreenuskalumogunaiizraunavanjemponderisanesume koeficijenatafunkcijeskaliranjazaprethodnuskalu.Poznatojedasekoeficijenti funkcijeskaliranjadobijajuizNFfiltraikakonastajuiterativnefiltar-banke.Filtar-banka zapoinje sa spektrom signala, pa ako zamislimo da je spektar signala izlaz iz NFfiltrazaprethodnuskalu,ondamoemoposmatratiposmatranisignalkao koeficijente funkcije skaliranja za tu, prethodnu skalu. U stvari, diskretni signal( ) f kje jednak( ) k za najveu skalu. No,tonijesve.Kaotojepoznatoizteorijeobradesignaladiskretnaponderisana sumanalik(7.1.6)i(7.1.7)jeistakaoidigitalnifiltaripotoznamodakoeficijenti ( )jk dolazeizNFdelapodeljenogspektrasignala,teinskifaktori( ) h k u(7.1.6) moraju da formiraju NF filtar. A poto se zna da koeficijenti( )jk dolaze iz VF dela Diskretna wavelet transformacija 32 podeljenogspektra,teinskifaktori( ) gk iz(7.1.7)formirajuVFfiltar.Dakle,izrazi (7.1.6)i(7.1.7)zajednoformirajujedanstadijumuiterativnojdigitalnojfiltar-banci, paekoeficijenti( ) h k odsadabitipoznatikao,,filtarskaliranja,a( ) gk kao ,,wavelet filtar. Slika 7.1.1 Implementacija (7.1.6) i (7.1.7) kao jednog stadijuma iterativne filtar-banke SadajevejasnodajemoguaimplementacijaWTkaoiterativnedigitalnefiltar-banke pa se moe govoriti o digitalnoj wavelet transformaciji DWT. Uz DWT ide i jednakorisnaosobinaizraza(7.1.6)i(7.1.7),atojetzv.svojstvopododabiranja.U waveletfiltruifiltruskaliranjaveliinakorakaje2k,toznaidaseukonvoluciji koristisvakidrugi( )jk ,aizlaznauestanostpojavljanjaodbirakajejednaka ulaznoj.Ovosvojstvojekorisnozbogtogatoreavaproblemkojisejaviokod funkcije skaliranja a u vezi sa izborom irine njenog spektra. Pri svakoj iteraciji filtar-bankebrojodbirakazasledeistadijumjeprepolovljeninakrajuostajesamojedan odbirak (za ekstremne sluajeve). Oigledno, na ovome se iteracija mora zavriti i to jeustvarionotoodreujeirinuspektrafunkcijeskaliranja.Aliiteracijaseionako zaustavljakadabrojodbirakapostanemanjiodduinefiltraskaliranjailiwavelet filtra, tako da duina dueg od ova dva filtra u stvari odreuje irinu spektra funkcije skaliranja. [5] 7.2 PREDNOSTI ITERATIVNE FILTAR-BANKE NakonsvegapostignutojedasepoetnavarijantaCWTsavelikomredundansomi beskonanim brojem neodreenih waveleta dovede do iterativne digitalne filtar-banke sakonanimbrojemelemenatakojamoebitiimplementirananaraunaru.Problem redundansejereenuvoenjemdiskretnihwaveletaafunkcijaskaliranjajereila Diskretna wavelet transformacija 33 problem beskonanih waveleta. Najzad je napravljena verzija WT koja je pogodna za implementaciju na digitalnom raunaru i to bez specifikacije ijednog waveleta. Slika 7.2.1 Neki primeri funkcija skaliranja Diskretna wavelet transformacija 34 Slika 7.2.2 Neki primeri waveleta Primerinaslikama7.2.1i7.2.2suizbiortogonalneDeslauriers-Dubucfamilije waveleta.Njihoveoznakesu(2,2),(4,2),(6,2),(2,4)i(4,4)respektivno,gdejeprvi brojizoznakebrojizezavajuihmomenataanalizirajuegwaveleta(kojirazlae signal),adrugibrojjebrojizezavajuihmomenatasintetizujuegwaveleta(koji rekonstruiesignal).Saslikajeuoljivoda,saporastomizezavajuihmomenata Diskretna wavelet transformacija 35 analizirajuegwaveleta(a,bic),waveletifunkcijaskaliranjapostaju,,glatkijii regularniji. [5] DWTjetakoeraunskimnogomanjezahtevnaikomplikovana,sobziromdatraje O(N)vremenazarazlikuodO(NlogN)kodFFT.Ovaraunskaprednostnijedeo prirodetransformacije,vepotieodizboralogaritamskepodelefrekvencijeza razlikuodekvidistantnepodelekodFFT.Bitnojenapomenutidaseova kompleksnost odnosi samo na situaciju kada veliina filtra nije povezana sa veliinom signala. Wavelet bez kompaktne podrke poput enonovog bi zahtevao O(N2). Primena wavelet transformacije 36 8. PRIMENA WAVELET TRANSFORMACIJE 8.1 PRIMENE CWT WeierstrassiRiemannsunapraviliprimerefunkcijakojesusvudakontinualnea nigde diferencijabilne, tako da ovakve funkcije i nisu neka novost. Ono to je novina a tie se WT jeste da su upravo ovu metodu iskoristili Holschneider i Tchamitchian da bi dokazali nediferencijabilnost ovakvih funkcija. Sadrugestrane,Beylkin,CoifmaniRokhlinsuuspenoprimenilimultirezolucionu analizugenerisanunaosnovupotpunoortogonalnihfunkcijaskaliranjakakobi prouiliirokspektarintegralnihoperatoranad) (2 L .Njihovradjedoveodo revolucionarnihotkrianovihalgoritamaunumerikojanalizi,kaoiznaajnog napretkaumetodamagraninihelemenata,metodamakonanihelemenatai numerikom reavanju parcijalnih diferencijalnih jednaina upotrebom waveleta. Kao prirodnoproirenje,nastavakwaveleta,Coifman,MeyeriWickerhausersupronali waveletpaketezastvaranjeefikasnihemazapredstavuikompresijuakustikih signalaislika.Coifmanjetakoeuveolokalnesinusneikosinusnetransformacijei prouavao njihova svojstva. Ovo je dovelo do izgradnje biblioteke ortogonalnih baza proirenjemmetodemultirezolucionedekompozicijeiupotrebomQMF.Pomenuti naunikjepruiodokaze 2L ogranienostiCauchyevogintegralanaLipschitzovim krivama.Aunovijevremewaveletsveeenalazisvojuprimenuiumatematici, fizici, medicini, raunarstvu i elektrotehnici. Waveletanalizasesveeeprimenjujeizaopisivanjekompleksnihalgebarskih funkcijaianalizuempirijskihkontinualnihpodatakaizraznihsignalarazliitih rezolucija. Do sada se, meutim, wavelet najvie koristio u kompresiji podataka, to je i logino imajui u vidu povezanost diskretne FT sa razlaganjem na podopsege. Neki oddrugihkonkretnihpodrujaprimeneWTsukompjuterskavizija,seizmologija, kompjuterskagrafika,obradaslike,prouavanjestrukturagalaksija,digitalne komunikacije,prepoznavanjeoblika,kvantnaoptika,biomedicinskiinenjering, Primena wavelet transformacije 37 teorijaodabiranja,teorijamatrica,diferencijalnejednaine,numerikaanalizai mnoga druga. 8.2 PRIMENE DWT U optem sluaju DWT se koristi sa kompresiju podataka u sluaju signala nad kojim jeveizvrenoodabiranje,aCWTzaanalizusignala.StogaseDWTnajee upotrebljava u elektrotehnici i raunarstvu, a CWT u naunim istraivanjima. DWT se prilagodila i nala svoju primenu u raznim oblastima pogde gotovo potpuno zamenjujuikonvencionalnuFT.UfizicijeFTskinutasatronaumolekularnoj dinamici,astrofizici,seizmikojgeofizici,optici,kvantnojmehaniciitd.Wavelet preuzimaprimatiuobradislike,merenjuianalizikrvnogpritiskaiotkucajasrca, DNK analizi, prepoznavanju govora, kompjuterskoj grafici i mnogim drugim nauno-tehnikim oblastima. Ipak,najeesewaveletvezujezakompresijupodataka.Kaoimnogedruge transformacije,iwaveletsekoristizatransformacijupodatakaapotomnjihovo kodovanjezaradefikasnekompresije.JPEG2000recimokoristibiortogonalne wavelete. Ovo znai da se isti frejmovi koriste i za analizu i za sintezu. Jojednakorisnaupotrebawaveletajesmoothingpodatakaiuklanjanjeumazasnovanonaodsecanjuwaveletkoeficijenata,poznatijekaosuavanjewaveleta. Adaptivnimpodeavanjempragawaveletkoeficijenatakojipripadajuneeljenim frekvencijskim komponentama mogu se izvriti ove operacije. DWT sve ee poinje da se primenjuje i u komunikacionim tehnologijama. tavie, waveletOFDMjeosnovnaemamodulacijekojasekoristiuHD-PLC(prenos podataka preko naponske mree). [1] [2] [3] MATLAB Wavelet Toolbox 4 38 9. MATLAB WAVELET TOOLBOX 4 U okviru MATLAB softverskog paketa razvijen je poseban toolbox (skup ili ,,kutija alata)predvienzaradsaWT.Uovomdelubieukratkopredstavljenprincip njegovogfunkcionisanja,namenaisvekorisnekarakteristikeimogunostionako kako ih je opisao proizvoa. WaveletToolboxzaMATLABproirujenjegovetehniko-raunskemogunostisa grafikim i alatkama i korisnikim funkcijama za razvijanje algoritama zasnovanih na waveletima za analizu, sintezu, uklanjanje uma i kompresiju signala i slika. Wavelet analiza daje mnogo vie preciznih informacija o signalu od nekih drugih tehnika. WaveletToolboxpodravainteraktivnoistraivanjeosobinaiprimenawaveleta. Koristanjezaobradugovoraizvuka,slikeividea,biomedicinskihsignala,asvoju primenujenaaoiujedno-idvodimenzionalnimaplikacijamaukomunikacionim sistemima i geofizici. Autori Wavelet Toolbox-a za MATLAB su Michel Misiti, Georges Oppenheim, Jean-Michel Poggi i Yves Misiti. 9.1 GLAVNE KARAKTERISTIKE standardne familije waveleta, kao to su npr. wavelet filtri Daubechieve, realni inverzni biortogonalni waveleti, kompleksni waveleti Morleta itd. raznekorisnefunkcijeizwaveletobradesignala,npr.zakonverzijuskaleu frekvenciju metode za dodavanje wavelet familija metode za konstruisanje waveleta prezentacija i vizualizacija podataka interaktivni alati za kontinualnu i diskretnu wavelet analizu wavelet paketi implementirani kao MATLAB objekti multiscale analiza glavnih komponenti (PCA) MATLAB Wavelet Toolbox 4 39 analiza,kompresijaiuklanjanjeumaizvie1Dsignalaistovremeno (Multisignal analysis) multivarijantno uklanjanje uma 9.2 PRIMENA WAVELET METODA Waveletmetodesumoanalatzaanalizu,kodovanje,kompresiju,rekonstrukcijui modelovanjesignalaislika.Korisnesuzaprikupljanje,identifikacijuianalizu lokalnih,viedimenzionalnihinestacionarnihprocesa,omoguavajuikorisniku istraivanjepodatakaizuglovakojemunijednadrugatehnikanemoeomoguiti, kao to su trendovi, take pada11, diskontinuiteti u viim izvodima ili samoslinost. Wavelettoolboxjeopskrbljensvimneophodnimoperacijamazawaveletanalizui sintezu. Korisniku je omogueno da: pobolja detekciju ivica u obradi slike postignevisokstepenkompresijesignalapraktinobezgubitkakorisnih podataka rekonstruie zaumljene signale i oteene slike otkrije trendove u zaumljenim ili oteenim podacima prouava fraktalna svojstva signala izvuekorisnaobelejabogatainformacijamazapotrebeklasifikacijeili prepoznavanja oblika izvri multivarijantno uklanjanje uma primenom PCA na vie nivoa 9.3 ANALIZIRANJE SIGNALA I SLIKA Grafiki korisniki interfejs (GUI) wavelet toolbox-a sadri lako razumljivi set alatki zaanalizu1Di2Dsignala,gde,seizmeuostalih,nalazealatkezaredovnuipaket wavelet analizu, uklanjanje uma i kompresiju. GUI omoguava korisniku da: izvri digitalnu wavelet analizu signala (1D i 2D) izvrikontinualnuwaveletanalizurealnihsignalakoristeikompleksne wavelete ukloni um iz signala 11 Breakdown points MATLAB Wavelet Toolbox 4 40 izvriwaveletrekonstrukcijukoristeiraznestrategijezaizborwavelet koeficijenata izvriproirenjeiodsecanje1Dsignalaupotrebomperiodinih,simetrinih, glatkih i zeropadding metoda izvri klasterizaciju i klasifikaciju 1D signala spoji dve slike ukloni um iz slika pomou stacionarne wavelet transformacije . . . i jo mnogo toga drugog. [7] 9.4 PRIMER WAVELET ANALIZE SIGNALA Zaprimermoemouzetijedanzaumljensinusoidalnisignal,kojijeuitanu MATLAB radni prostor pod imenom noissin. Slika 9.4.1 Vizuelni prikaz signala noissin Tabela 9.4.1 Podaci promenljive u koju je uitan signal ZaizvoenjekontinualnewavelettransformacijeuMATLAB-upostojifunkcijacwt iji su ulazni argumenti signal koji treba da se analizira, skale analize, wavelet koji se koristi i jedan poseban flag. Posle poziva funkcije sa sledeim parametrima: c = cwt (nossin, 1:48, db4); u promenljivoj c dobijamo matricu sa 48x1000 elemenata u kojoj svaki red odgovara jednoj skali (db4 predstavlja wavelet Daubechieseve 4. reda). MATLAB Wavelet Toolbox 4 41 Ukolikosepripozivufunkcijicwtproslediietvrtiargument,pomenutiflagplot, dobija se zaseban grafik sa iscrtanim apsolutnim vrednostima koeficijenata CWT. Za gorenavedeni primer dobija se sledei grafik: Slika 9.4.2 Apsolutne vrednosti koeficijenata CWT za skale 1:48 Drugiargumentfunkcijecwtpruakorisnikumogunostizapotpunukontrolubroja skalasakojimasevrianaliza.Uprincipu,korisnikujedozvoljenproizvoljanizbor, pod izvesnim ogranienjima: Sve skale moraju biti realni pozitivni brojevi Skale moraju da se poveavaju za pozitivan korak Najvea skala ne sme da premai maksimalnu vrednost koju diktira signal Ukoliko se analiza signala noissin ponovi za svaku drugu skalu od 2 do 128: c = cwt(noissin,2:2:128,db4,plot); dobijasemalojasnijapredstavaotometasedeavasignalu,uznaglaenu periodinost. MATLAB Wavelet Toolbox 4 42 Slika 9.4.3 Apsolutne vrednosti koeficijenata za svaku drugu skalu 1:128 Grafiki korisniki interfejs GUI Pozivom funkcije wavemenu u MATLAB komandnoj liniji, pojavljuje se glavni meni Wavelet Toolbox-a. Za konkretan primer izabraemo opciju Wavelet 1-D. Pojavljuje se zaseban prozor za jednodimenzionalnu wavelet analizu u koji uitavamo signal preko opcije File > Load signal.Podrazumevanavrednostzaperioduodabiranjajejednasekunda.Izvriemo analizuzaisteparametre,tj.zaskale1do48idb4wavelet,toemoodabratiu gornjem desnom delu korisnikog prozora. MATLAB Wavelet Toolbox 4 43 Slika 9.4.4 Glavni meni GUI Wavelet Toolbox-a Slika 9.4.5 Izbor opcija za 1D wavelet analizu MATLAB Wavelet Toolbox 4 44 KlikomnaopcijuAnalyzepokreeseprocesraunanjaipojavljujesefiguresa grafikomkoeficijenatazasveskale,zaskalua=24igrafiklokalnihmaksimumaza opadajue skale (od 48 do 1). Slika 9.4.6 Grafici dobijeni nakon 1D wavelet analize Desnim klikom na grafik koeficijenata moe se odabrati neka druga skala, npr. a=40. Klikom na dugme New Coefficients Line aurira se grafik: Slika 9.4.7 Novi koeficijenti za neku drugu odabranu skalu DugmeRefreshMaximaLineprikazujusepromenelokalnihmaksimuma koeficijenata za skale od 40 do 1. Slika 9.4.8 Promene lokalnih maksimuma koeficijenata za neku drugu skalu MATLAB Wavelet Toolbox 4 45 Omoguenjeiprikazpseudo-frekvencijskeinformacije.Meuopcijamanadesnoj straniekranaizabraemoFrequenciesumestoScales.Sadajepozicijakursorana grafikukoeficijenataizraenaprekolokacije(X)ifrekvencijeuHercima(Frq),za razliku od lokacije i skale (Scl) u prethodnom sluaju. SadaemoodekiratiposlednjadvagrafikauSelectedAxesdeluopcijanadesnoj strani prozora. Slika 9.4.9 Prikaz signala i njegovih wavelet koeficijenata Signaljemoguezumiratibiloodabiranjemeljenogprostoralevimklikommiaili prekoopcijaudnuekrana,gdesemoeizvriti izumiranjeposamojednojosiijo neke druge korisne kombinacije. Slika 9.4.10 Odabrani deo signala za zumiranje Slika 9.4.11 Opcije zumiranja MATLAB Wavelet Toolbox 4 46 tosetiekoeficijenata,moemoposmatratiilinjihoveapsolutnevrednosti,iliba onakve kakvi jesu. Za to slui Coloration Mode meni, u kojem se moe odabrati jedan odnormaliliabsolutemodova.Unormalmodovimabojeseskalirajuizmeu minimalnihimaksimalnihkoeficijenata.Uabsolutemodovimabojeseskaliraju izmeu nule i maksimalne apsolutne vrednosti koeficijenata. Slika 9.4.12 Modovi prikaza koeficijenata: Absolute i Normal Po obavljenoj analizi moemo sauvati dobijene wavelet koeficijente i to preko opcije u meniju File>Save>Coefficients. [8] Zakljuak 47 10. ZAKLJUAK Uovomraduprikazanjeukratkoprincipipraktinaprimenljivostwaveletanalize. IzloenajenjenapovezanostsaFT,elementarneosobine,uosnovnimcrtamapredstavljenesukarakteristike,prednostiimanenjenihosnovnihkategorijaioblasti savremeneprimene.Najzad,prikazanajeipraktinaprimenaWTiraunarska implementacija svih wavelet funkcija i alatki. Waveletanalizapreuzimaprimatusvetuanalizesignala.Njenemogunostii pozitivneodlikeuslovilesutodavodeinauniciizraznihoblastikojekoriste matematiku kao sredstvo za postizanje nekogcilja napuste sve prethodnealgoritme i postupke u njenu korist. Najpoznatija i najkorienija raunarska aplikacija vezana za wavelet,MATLAB-ovWaveletToolbox,predstavljaogromnubazufunkcijaialatki ije upoznavanje zahteva moda jedan fakultetski kurs. Waveletanaliza,nastalakaopotrebazapremoavanjemnedostatakaFT,prelaje dug put od teorijskog principa do iroko zastupljenog matematikog alata, pokazujui pri tom kako potrebe praktine primene podstiu teorijski razvoj. Imajui u vidu da je reorelativnomladomkonceptukojipostojisvegatridesetakgodina,jasnojeda proces razvoja i novih otkria vezanih za wavelet analizu jo nije zavren. Tokom izrade ovog rada imao sam priliku da se upoznam sa waveletima, temom koja mi je ranije bila strana. Uvideo sam sve prednosti WT kao mone matematike alatke koja nudi kompromis vremenske i frekvencijske rezolucije. Kao neko ko namerava da sebavianalizomiobradomsignalausvojojbudunosti,smatramdaemionoto samnauioowaveletimabitidobraosnovazadaljaobuavanjauovompoljui kasniju upotrebu u projektima i zadacima. Dodatak 48 DODATAK Lista skraenica CWTContinuous wavelet transform DWTDiscrete wavelet transform FIRFinite Impulse Response FTFourier transform GUIGraphic user interface IIRInfinite impulse response NFNiskofrekventan filtar OFDMOrthogonal frequency division multiplex PCAPrincipal components analysis POFiltar propusnik opsega QMFQuadratic mirror filter STFTShort-time Fourier transform VFVisokofrekventni filtar WTWavelet transform NAPOMENA Usledtehnikihpotekoanijebilomogueprikazatistandardnematematike simbolezaskupoverealnih,celihikompleksnihbrojeva,vesuumestotoga upotrebljeni sledei simboli: ,Z,CLiteratura 49 LITERATURA [1]S. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, San Diego, 1999. [2]A.Akansu,R.Haddad,MultiresolutionSignalDecomposition,AcademicPress,San Diego, 2001. [3]LokenathDebnath,WaveletTransformsandTheirApplications,Birkhuser,Boston, 2002. [4]http://en.wikipedia.org/wiki/Wavelet [5]http://polyvalens.pagesperso-orange.fr/clemens/wavelets/wavelets.html [6]http://www.bearcave.com/misl/misl_tech/wavelets/index.html [7]http://www.mathworks.com/products/wavelet/ [8]http://www.mathworks.com/help/toolbox/wavelet/gs/f4-1000108.html Biografija 50 BIOGRAFIJA oreStarevijeroen28.IX1987.godineuNovomSadu,odrastaouKuli. Osnovnu kolu ,,Isa Baji zavrio u Kuli 2002. godine. Gimnaziju ,,arko Zrenjanin uVrbasuzavrio2006.godine.TejeseniupisaoFakultettehnikihnaukauNovom Sadu na Departmanu za energetiku, elektroniku i telekomunikacije.