Del Control Bang Bang Al SMC

8/19/2019 Del Control Bang Bang Al SMC

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Control Sistemas no Lineales: Resumen de aplicación

“ Del control Bang Bang al Control de Modos Deslizantes”

Recopilado Por : Ruben Raygosa Febrero 2009 versión paracorrección

Referencias:

Claire J Tomlin E209 Analysis and Control of Nonlinear Systems Stanford University

Winter Quarter 2006-2007 http://sun-valley.stanford.edu/~tomlin>

V Utkin, “Sliding Mode Control in Electromechanical Systems “ CRC press 1999

1.1 Control Bang-Bang

Control Bang Bang. Se conoce con este nombre a los sistemas donde la señal cambia

abruptamente entre dos valores específicos. Tal es el caso de un relay el cual es posible

representar mediante una función escalón

Considérese el control de un motor de CD

El objetivo es llegar a una posición específica y mantener el sistema en ese estado

La ecuación del motor se puede representar como:


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Expresando el error en términos de la variable de salida y la entrada

Reescribiendo la ecuación en términos del error.

Representémoslo en un plano de fase


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Luego si el retardo del sistema implica una rotación a favor de las manecillas del reloj ,

lo cual es malo para nuestro sistema podemos postular que si giramos en sentido

antihorario podría ser deseable

La solución es agregar retroalimentación de velocidad

Ahora la condición de conmutación se convertirá en

1 si e´ >= 0

=V

-1 si e’ < 0

Al implementar esto se obtendra


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La solución tiende a deslizarse a lo argo de la linea alpha=-1

Hagamos 0e1

eS =−= &α

Más generalmente la línea de conmutación es { }0eeS ee =),(|),( &

Si la señal de control es )sgn()( ssv =


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Obtendremos:

De cualquier forma α =de

ed & donde

de

ed &es la pendiente de la trayectoria y es la

pendiente de la línea de conmutación lo que nos dara

Volviendo a la ecuación del m otor

Esta funcion de conmutación seria ideal pero supongamos un pequeño deslizamiento de

la linea de conmutación. Debemos estar seguros que la linea de conmutación es

atractiva.


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Figura Control modos deslizantes del curso de una nave.1

EL modo de presentar el fenómeno de modos deslizantes es utilizar un sistema de

segundo orden con un relay

)(t f u xa xa x 12 +=+= &&&

)(s Msignu −= cx xs += & (1)

Donde )(t f es una perturbación acotada. El comportamiento lo podemos estudiar en el

plano de phase

Figura 2 Plano de fase x x −& [1]

1 Sliding Mode Control in Electromechanical Systems [5]


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Por simplicidad consideremos 0aa 21 == nota: la señal de control u no es continua a

lo largo de la línea s ,

Tendremos el sistema )(t u x =&& donde )( M t u ±=

x&& puede representarse como:

( ) M xdx

xd

dt

dx

dx

xd x

dt

d ±=== &

&&& (2)

Integrando respecto a x ambos miembros de (2)

c Mx x2

1 2+±=&

C MTx x 2 +±=& (3)

Esta ecuación representa una familia de parábolas en el plano x x −& . De antemano

conocemos que la ecuación de una parabola cumple con la condición de lipschitz . lo ual

nos asegura que tendremos una solución. Si escogemos la línea de conmutación como

cx xs += & y hacemos que tienda a 0 para que pase por el origen tenemos.

0cx x =+& (4)

Graficando las soluciones en el plano x x −& (plano de fase) las trayectorias del estado

fase estarán formadas por 2 familias de parábolas la primera corresponderá para s > 0 y

u = -M (semiplano superior) y la segunda por s < 0 y u= M (semiplano inferior).

En la figura 2 se muestra solo 2 parábolas m y n

La trayectoria de los estados permanecerá deslizándose a través de la línea de

conmutación s=0 , por ello esta ecuación puede ser interpretado como la ecuación de

movimiento 0cx x =+& . La cual tiene solución)(

)()( 1t t c

1 et xt x −−

= la cual no depende nide los parámetros de la planta. Esta propiedad llamada invarianza sugiere la utilización

de este control bajo incertidumbre en los parámetros de una planta.

El control de modos deslizantes se ha convertido en el modo principal de operación en

controles de estructura variable considérese los sistemas inestables de segundo orden

uax x =−&& del cual representamos su diagrama de fase1

1 Grafica obtenida con PPlane


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Y el sistema kx xb x −= &&&


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podemos sobreponer ambos diagramas y conmutar entre un sistema u otro , si

realizamos esto a lo largo de s=0 y en x =0 como se indica en la figura 4 , podemos

hacer el sistema asintoticamente estable.

Figura 4 plano de fase de un sistema de estructura variable


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Problema ejemploConsidere el sistema del péndulo invertido

Diseñe Un SMC , asumiendo que la superficie de deslizamiento es y use 10.=δ comofactor de la función signo. Compare con un control Bang- Bang

Bang-Bang controller

X''

X

X''

X2''

X2

X''

theta´´-theta=u

u=-f-delta*sig(f)

X1

thetaa

X2

theta2

U2

U=input1

U1

U=input

t

Tiempo Segundos

X1dot

Theta´'

X2dot

Theta2´'

Sign1

Sign

.1

Gain

Clock

Add4

Add3

Add2

Add1

Add

1

s

X'2

1

s

X'

1

s

2

1

s


13/15


14/15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sec

i n p u t

input solid SMC dash .bang bang

2.2 Control de modos deslizantes en sistemas Multidimensionales.En el caso anterior los sistemas y el sistema de control eran funciones escalares y el

control de modos deslizantes fue de un orden menor que el de que el del sistema

original. Es de esperase que si consideramos una ecuación de control vectorial el

movimiento deslizante aparecerá en una intersección de superficies y cada componente

presentara discontinuidades en su propia superficie de deslizamiento. Considérese el

movimiento planar de una masa m con friccion de Coulomb . El movimiento estará

governado por el sistema de cuarto orden:

1 x x = 1 y y =


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21 x x =&

x12 F kx xm −−=&

21 y y =&

y12 F ky ym −−=&

Donde ambos resortes tienen la misma constante k 222

22 x y x xF += ( / y

2

2

2

22 y y x yF += ( / son las componentes del vector de fricción v MvF / −= donde

M es constante y ||v||= 222

2 y x + .

F contiene discontinuidades tanto para 2 x y 2 y iguales a 0, si el valor maximo de

friccion excede al del resorte 222

2 y xK M +> ( entonces la masa quedara en reposo

con v=0 .

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