Delay Systems Applied Queuing theory Network of Queues

PPKE ITK

2008/09tanév

8.félév

(tavaszi)

Távközlő rendszerekTávközlő rendszerekforgalmi elemzéseforgalmi elemzése

TájékoztatásTájékoztatáshttp://digitushttp://digitus.itk.ppke.hu/~gosztony/.itk.ppke.hu/~gosztony/

14-2.

Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12.Távközlő rendszerek forgalmi elemzése/TTE-14-2 – 2009. 05. 12. 22

1.1. Delay SystemsDelay Systems

2.2. Applied Queuing theoryApplied Queuing theory

3.3. Network of QueuesNetwork of Queues

Network of QueuesNetwork of Queues

TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, TPV rendszerekben, számítógépes hálózatokban, Internetben, IP rendeszerekben … ez a szokásosInternetben, IP rendeszerekben … ez a szokásosüzemmód. üzemmód.


1.1. BevezetésBevezetés2.2. Szimmetrikus várakozásos rendszerekSzimmetrikus várakozásos rendszerek3.3. Jackson tételeJackson tétele4.4. Várakozásos hálózatok egyetlen lánccal Várakozásos hálózatok egyetlen lánccal 5.5. Többdimenziós várakozásos hálózatokTöbbdimenziós várakozásos hálózatok6.6. Zárt várakozásos hálózatok több lánccalZárt várakozásos hálózatok több lánccal7.7. Egyéb kérdésekEgyéb kérdések

Várakozásos rendszerek Várakozásos rendszerek

MárMárvoltvolt


Egyetlen lánc – 4. Egyetlen lánc – 4.

MVA algoritmusMVA algoritmus

(Mean Value Algorithm)(Mean Value Algorithm)

KK csomópont, csomópont, SS igény (egyetlen láncban), igény (egyetlen láncban), ααkk relatívrelatív

forgalmak. Rekurzió az igények forgalmak. Rekurzió az igények xx darabszáma szerint. darabszáma szerint.A A k.k. csomópontnál átlagosan csomópontnál átlagosan LLkk(x)(x) igény van igény van

Em

léke

ztető

!E

mlé

kezt

ető

!


Egyetlen lánc – 5. Egyetlen lánc – 5. Lépések:Lépések:

sskk az átlagos tartásidő az az átlagos tartásidő az nnkk kiszolgáló egységet kiszolgáló egységet tartalmazó tartalmazó k.k. csomópontban csomópontban

itt azonnalitt azonnalkiszolgáljákkiszolgálják

(Processor Sharing)(Processor Sharing) (Preemptive Resume)(Preemptive Resume)

average sojourn time!!average sojourn time!!


Egyetlen lánc – 6. Egyetlen lánc – 6.

Ha x=1, akkor nincs várakozás a rendszerben Ha x=1, akkor nincs várakozás a rendszerben WWkk (1) = s (1) = skk

Példa Példa nnkk = 1 = 1 esetére, azonban a módszer esetére, azonban a módszer általánosítható tetszőleges általánosítható tetszőleges nnkk-re-re


Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 1. Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 1. 14.4.3 példa14.4.3 példa (= 14.4.2 példa, de MVA-val) (= 14.4.2 példa, de MVA-val)

K=3, S=4, K=3, S=4,

relatív relatív kk értékek:értékek:

Képletek a rekurzióhoz:Képletek a rekurzióhoz:i

iiii s

aa

ii

1s


Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 2. Egyetlen lánc – 14.4.3 példa – 2.

Képletek a rekurzióhoz:Képletek a rekurzióhoz:

x (=S) = 1x (=S) = 1

WWkk (1) = s (1) = skk !!




x (=S) = 2x (=S) = 2




x (=S)x (=S) = 3= 3




x (=S)x (=S) = 4= 4

A tartózkodási időkA tartózkodási idők(sojourn times) ugyanazok(sojourn times) ugyanazokmint a 14.4.2 példában !mint a 14.4.2 példában !


BCMP várakozásos hálózatok – 1. BCMP várakozásos hálózatok – 1.

Egynél több típusú igény esetén is lehetséges a szorzatEgynél több típusú igény esetén is lehetséges a szorzatalakú megoldásalakú megoldás(Jackson második modelljének általánosítása. (Jackson második modelljének általánosítása. BCMPBCMP Baskett, Baskett,Chandy, Muntz és Palacios - 1975)Chandy, Muntz és Palacios - 1975)

Feltételek:Feltételek:

BCMP–networksBCMP–networks can be evaluated with the multi-dimensional can be evaluated with the multi-dimensional convolution algorithm and theconvolution algorithm and the multidimensional MVA algorithm.multidimensional MVA algorithm.


Kevert várakozásos hálózatok Kevert várakozásos hálózatok

Mixed queueing networksMixed queueing networks (open & closed) are (open & closed) are calculated by first calculating the traffic load incalculated by first calculating the traffic load in each node each node from the open chains. This traffic must be carried to enter from the open chains. This traffic must be carried to enter statistical equilibrium.statistical equilibrium. The capacity of the nodes are The capacity of the nodes are reduced by this traffic, and the closed queueing network isreduced by this traffic, and the closed queueing network is calculated by the reduced capacity. So the main problem is calculated by the reduced capacity. So the main problem is to calculate closed networks.to calculate closed networks. For this we have more For this we have more algorithms among which the most important ones are algorithms among which the most important ones are convolutionconvolution algorithm and the MVA (Mean Value Algorithm) algorithm and the MVA (Mean Value Algorithm) algorithm.algorithm.


Több-dimenziós rendszerekTöbb-dimenziós rendszerek – 1.– 1.

A rendszerben egynél több típusú igény található.A rendszerben egynél több típusú igény található.

M/M/1M/M/1

jj intenzitású intenzitású

Poisson bemeneti Poisson bemeneti folyamat (folyamat (j=1,2j=1,2))

μμi ji j megszűnési megszűnési

intenzitás intenzitás az (az (i,ji,j) ) állapotban.állapotban. Megválasztható Megválasztható állapotfüggállapotfüggőőnek, pl.:nek, pl.:



Kiszolgálási idők értelmezéseKiszolgálási idők értelmezése


Több-dimenziós rendszerek – 3. Több-dimenziós rendszerek – 3.

Helyi egyensúlyHelyi egyensúly (local (local balance) van.balance) van.(! Lásd reverzibilis Markov(! Lásd reverzibilis Markovfolyamatok.)folyamatok.)

Szorzat forma előállíthatóSzorzat forma előállítható::

Többlettényező a többdimenziós Többlettényező a többdimenziós Erlang B képlethez képest.Erlang B képlethez képest.



N különböző N különböző típusú igény típusú igény esetében esetében (egyetlen(egyetlencsomópontra)csomópontra)::

polinomiálispolinomiális eloszláseloszlás

Ha , akkor M/M/1 rendszerhez jutunk intenzitással.Ha , akkor M/M/1 rendszerhez jutunk intenzitással.

Ilyenkor: Ilyenkor:


Több-dimenziós rendszerekTöbb-dimenziós rendszerek – 5.– 5.ÖsszefoglalásÖsszefoglalás Egy kiszolgáló szerv Egy kiszolgáló szerv

M/M/nM/M/n


1.1. A A konvolúciós algoritmuskonvolúciós algoritmus módosított formában módosított formában alkalmazható.alkalmazható.

Részletek: Jegyzet 14.7.1 + példaRészletek: Jegyzet 14.7.1 + példa

2.2. MVA algoritmusMVA algoritmus is alkalmazható is alkalmazható

3.3. Állapotok számaÁllapotok száma rohamosan növekszik rohamosan növekszik


ααj kj k mutatja mutatja j.j. lánc forgalmát a lánc forgalmát a k.k.

csomópontban csomópontban


Kleinrock négyzetgyök szabály – 1.Kleinrock négyzetgyök szabály – 1.

Optimális kapacitás hozzárendelés:Optimális kapacitás hozzárendelés:

várakozás +várakozás +kiszolgáláskiszolgálás

mivel az átlagosmivel az átlagostartózkodási időtartózkodási időM/M/1-re: M/M/1-re: mmlásd: Jegyzet 12.4.1lásd: Jegyzet 12.4.1



ahol:ahol:

várakozás +várakozás +kiszolgáláskiszolgálás

Legyen a rendszer teljes kapacitásaLegyen a rendszer teljes kapacitása

Minden olyan kapacitás kiosztásra, amely ezt teljesiti az alábbi Minden olyan kapacitás kiosztásra, amely ezt teljesiti az alábbi átlagos tartózkodási időt adja az összes üzenet (igény) számára:átlagos tartózkodási időt adja az összes üzenet (igény) számára:


Kleinrock négyzetgyök szabály – 3.Kleinrock négyzetgyök szabály – 3.További jelölések:További jelölések:

Kleinrock’s square root lawKleinrock’s square root law: : The optimal allocation of capacity whichThe optimal allocation of capacity which minimizes minimizes mm11 (and thus the total number of messages in all nodes) is:(and thus the total number of messages in all nodes) is:

ha teljesül, hogy:ha teljesül, hogy:

Ezzel:Ezzel:

Bizonyítás: p. 312-313Bizonyítás: p. 312-313


Értelmezés:Értelmezés:

Optimális a kiosztásOptimális a kiosztás, ha minden csomóponthoz először, ha minden csomóponthoz előszöra szükséges minimális kapacitást rendeljük. Majda szükséges minimális kapacitást rendeljük. Majda megmaradó kapacitást, ami a megmaradó kapacitást, ami

miatt:miatt:

az átlagos forgalom folyam négyzetgyökével az átlagos forgalom folyam négyzetgyökével arányosan osztjuk szét. arányosan osztjuk szét.


Documents

Delay Systems Applied Queuing theory Network of Queues