Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo.

Galileo Galilei

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Definición:

Las identidades trigonométricas son las relaciones de igualdad entre las funciones trigonométricas que se cerifican para todo valor de la variable angular, siempre y cuando, la función trigonométrica esté definida en dicho valor angular.

Demostración de una identidad:

Teniendo que Tgx + Ctg x = Sec x . Cosec x

Comprobamos que:

Si x=45º Tg 45º + ctg 45º = sec 45º . Cosec 45º

1 + 1 = √2 . √2

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Recíprocas:

Sen x = 1 . Cosec x = 1 .

Cosec x Sen x

Cos x = 1 . Sec x = 1 .

Sec x Cos x

Tg x = 1 . Ctg x = 1 .

Ctg x Tg x

        sen x tan x = --------             csc x

            cos xctg x = -------

            sen x

            cos x sen x = --------              ctg x

             sen x cos x = ------             tan x

Pitagóricas

• sen² x + cos² x = 1

sec² x - tan² x = 1

csc² x - ctg² x = 1

Demostración: Expresando el primer miembro de la identidad en función de seno y

coseno tenemos:Cosec x – Cotg x . Cos x = Sen X

1 . – Cos x . Cos x = Sen xSen x Sen x

1 . – Cos² x = Sen xSen x Sen x

1 – Cos ² x = Sen x Sen xPero 1- Cos² x = Sen ² x ; luego Sen² x = Sen x Sen x

L.q.q.d Sen x = Sen x

Simplificación• Se buscará una expresión reducida de la planteada con

ayuda de las identidades fundamentales y7o auxiliares con transformaciones algebraicas.

Cos x (Tg x + 1) = Sen x + Cos x Cos x . Sen x + 1 Cos x Cos x . Sen x + Cos x Cos x

Sen x + Cos x = Sen x + Cos x

Tipo Condicional• Si la condición es complicada debemos simplificarlo y así a

una expresión que puede ser la perdida o que nos permita hallar fácilmente la que nos piden. Si la condición es simple inmediatamente se procede a encontrar la expresión perdida.

Si Tg x + Ctg x = 4 ¿Tg² x + Ctg² x ?

Solución:(Tg x + Ctg x) ² = (4) ²

Tg² x + 2Tg x . Ctg x + Ctg² x = 16

Tg² x + Ctg² x = 16 – 2

Tg² x + Ctg² x = 14

Eliminación Angular• Estos ejercicios consisten en que a partir de ciertas

relaciones trigonométricas debemos encontrar relaciones algebraicas en donde no aparezca el ángulo.

ß de:x = 4 Senß y = 5 Cosß x = 4Cosß x/4 = Senß x²/16 = Sen²ßy= 5Cosß y/5 = Cscß y²/25 = Cos²ß

X²/16 + y²/25 = Sen²ß + Cos²ß

X²/16 + y²/25 = 1

Definición:

- Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre ecuaciones trigonométricas de una misma variable angular o variables angulares diferentes, la cual se verifica para un conjunto de valores que asumen dichas variables angulares, que constituyen el conjunto solución de la ecuación trigonométrica.

- Para que una igualdad sea una ecuación trigonométrica, las variables angulares deben estar afectadas por funciones trigonométricas (directas o inversas), de lo contrario no son consideradas ecuaciones trigonométricas.

• Ejemplo:

Sen 2x + Cos x = 0 sí es E.T.

2x + 3 Tan x = √2 no es E.T.

Sen x + Sen 2x + Sen 3x = 1 sí es

E.T.

Soluciones Generales:

• Para Sen y Cosc:

n Л + (-1) V.P.

k

• Para Cos y Sec:

2n Л + - V.P

k

• Para Tag y Cotg:

m Л + V.P.

k

• Son aquellas igualdades de 2 expresiones trigonométricas en donde no se utilizaran identidades trigonométricas.

• Son aquellas que presentan la siguiente forma:

• Donde: K Є R – {0} ; a Є R

F.T. (Kx) = a

Ejemplo:

– Hallar las tres primeras soluciones positivas de: Cotg 3x – 1 = 0

– Resolución: • Resolviendo la ecuación tenemos:

Cotg 3 X -1 = 0 Cotg 3x = 1• Hallando la soluciones generales para la cotangente:

x = n Л + arc Cotg (1)3

x = n Л + Л; o también; 3 12

x = 60° n + 15° Solución General

• Luego (n Є Z)n = 0 x = 60° (0) + 15° = 15°

n = 1 x = 60° (1) + 15° = 75°

n = 2 x = 60° (2) + 15° = 135°

C.S = { 15° ; 75° ; 135°}

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• Son aquellas ecuaciones que para ser resueltas se aplicarán propiedades algebraicas y propiedades trigonométricas que nos permitan su resolución.

Ejemplo:

– Hallar el menor valor positivo de “x” en:

4 Sen x Cos x – 1 = 0

– Resolución:• Recordemos que:

Sen 2 x = 2 Sen x Cos x

En la ecuación tenemos:2 · 2 Sen x Cos x – 1 = 0

2 Sen 2x – 1 = 0

Sen 2x = 1 2

2x = {30º ; 150º ; 390º ; …}

x = {15º ; 75º ; 195º ; …}

Solución principal

x = 15º

Recomendaciones Generales para resolver una E.T.

1. Toda ecuación debe tratar de expresarse en términos de una sola función y de un solo ángulo, de manera que dicha función se calcule mediante un proceso algebraico.

2. Si la ecuación es homogénea en Sen y Cos se debe dividir entre el Cos elevado al grado de homogeneidad, lo cual conduce a una ecuación en la función Tag únicamente.

“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles”