Demostracin de la derivada de la funcin logartmica Hola amigos de fsica, hoy vamos a demostrar la derivada de la funcin logartmica. Para ello utilizaremos la definicin de derivada, como sabemos:

La derivada del logaritmo dice:

Siendo una funcin. Para simplificar los clculos, pondremos que necesario estar multiplicando por independiente x es 1: es decir , . Tenemos que:

, as no es

puesto que la derivada de la variable

Bien, comencemos. Sea nos queda:

, sustituyendo en la definicin de derivada

Una de las propiedades de los logaritmos dice: El logaritmo de un cociente es igual a el logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Matemticamente:

Si aplicamos esta regla tenemos:

Ahora, si hacemos que:

,sustituyendo nos queda:

Si multiplicamos el denominador por estamos multiplicando por 1:

no modificamos la expresin puesto que

Reescribiendo:

Una de las propiedades de los lmites, dice que:

Aplicando eso:

Otra de las propiedades del logaritmo es la del cambio de base. Dice as: El logaritmo en base a de un nmero se puede obtener a partir de logaritmos en otra base. Matemticamente:

Si hacemos un cambio de base y cambiando la base

por , tenemos:

Otra de las propiedades de los logaritmos es la del logaritmo de una potencia:

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia. Matemticamente: Aplicando esa propiedad a la inversa:

Ahora, aplicaremos el lmite de un cociente:

La expresin

la podemos reescribir como:

. Sustituyendo:

Ahora, aplicamos la propiedad del lmite del logaritmo:

Aplicamos esta propiedad:

Con la definicin del nmero tenemos:

Y eso es precisamente lo que tenemos

Sustituyendo :

Y ahora,

, entonces queda demostrado que:

Que generalizando para el logaritmo de una funcin nos queda:

, con la regla de la cadena

Ntese que en el caso de que nos pidan la derivada de

, nos sale:

Espero haber sido claro y no haber cometido errores. Cualquier duda o sugerencia, no duden en comentar. Saludos!