Demostración de la Transformada de Laplace para la Función Delta de Dirac

Consideremos la gráfica de la función δ∈ (t − a) definida por la Fig. 1, =1:

1

a

Formalmente, dado que a ∈R ,∈>0, la función definida por la Figura 1, está dada por:

δ a (t−t0 )={ 0 Si0≤ t ≤ t0−a12aSi t0−a≤ t ≤t 0+a

0Si t ≥ t0+a

∫0

∞

δa (t−t 0 )dt=∫0

t0−a

0dt+∫t 0−a

t 0+a12adt+ ∫

0

t 0+a

0dt=0+ 2a2a

+0=1

Esta es la integral la función delta de Dirac.

Consideraciones previas:

tt

1) función Escalón de Heaviside

H ( t−a ) {0 sit<a1 sit ≥ a

2) La transformada de la función de Heaviside

L {H (t−a ) }=∫0

∞

e−st H ( t−a )dt=∫0

a

e−st .0dt+∫a

∞

e−st .1dt=¿− e−st

s |a

∞

= e−as

s¿

3) Colocación de la función Delta de Dirac o impulso unitario en términos de la función de Heaviside

δ a (t−t0 )= 12a (H ( t−(t 0−a ) )−H (t−( t0+a )))

4) La transformada del Delta de Dirac

L {δ a ( t−t0 ) }= 12aL {H (t−( t0−a )) }− 1

2aL {H (t−(t 0+a ) )}

¿ 12a ( e

− s (t−t 0)

s )− 12a ( e−s ( t+t0 )

s )¿e−s t 0( esa−e−sa2a s )

Para un “a” que tienda a cero, hago pasar el límite

L {δ ( t−t0 )}=L {lima→ 0 δa (t−t 0 )}L {δ ( t−t0 )}=lim

a→0L {δ a (t−t 0 )}

L {δ ( t−t0 )}=e− st 0 lima→0

( esa−e−sa2as )Aplicamos L’Hospital al límite, es decir, derivamos en el numerador y denominador una vez para romper la indeterminación, quedando

L {δ ( t−t0 )}=e− st 0 lima→0

( sesa+s e−sa2 s )=e−s t0

L {δ ( t−t0 )}=e− st 0, es obvio concluir que para t0=0 L {δ (t−0 ) }=e− s.0= 1

e0.s=11=1⟹ L {δ (t ) }=1

L {δ (t ) }=1