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 Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial) La divergencia de un campo vectorial v = v  x i  y  j  z k  Es el límite del flujo del campo vectorial a través de una superficie cerrada s que guarda un volumen u: div v = lim u 0 s 0 v d s u Recuérdese que la integral es una suma de infinitos sumandos, o una suma de de finitos sumandos pero de valores infinitesimales. ¿Cómo es la epresión para la superficie  que encierra este cu!o" # # $ # %

Demostracion Divergencia

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7/24/2019 Demostracion Divergencia

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial(y en general tensorial)

La divergencia de un campo vectorial v=v  x i y  j z k 

Es el límite del flujo del campo vectorial a través de una superficie cerrada s que guarda unvolumen u:

div v= lim u0

s0

∫ v d s

u

Recuérdese que la integral es una suma de infinitos sumandos, o una suma de de finitossumandos pero de valores infinitesimales.

¿Cómo es la epresión para la superficie que encierra este cu!o"

#

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7/24/2019 Demostracion Divergencia

http://slidepdf.com/reader/full/demostracion-divergencia 2/14

 

#

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(

)

*p

p

 x

2i

 y z i

− x

2i

−  y z i++

*p

*p

∆%

∆$

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

-upongamos que conocemos el valor de lafunción en el punto p % los valores de susderivadas parciales. -e puede encontrar elvalor aproimado del vector en los puntos p% p % por tanto el flujo en las caras #

 % su

opuesta &#.

∇ v= v x

 x

v x

 y

v x

 z

v y

 x

v y

 y

v  y

 z

v z

 x

v z

 y

v z

 z

d r ' =

 x

2

0

0 d r ' ' =

− x

2

0

d   s '  x= x z

0

0  d   s ' '  x=− x z

0

0   v p ' =   ∇ v d r '  v p=

v xp

v yp

v zp

v x

 x

 x

2

v y

 x

 x

2

v z

 x

 x

2

v p ' ' =   ∇ v d r ' '  v p=

v xp

v yp

v zp−

v x

 x

 x

2

v y

 x

 x

2

v z

 x

 x

2

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

'  x=   ∇ v d r '  v p d   s '  x=v xp

v yp

v zp

v x

 x

 x

2

v y

 x

 x

2

v z

 x

 x

2

 y z

0

0

  =v xp y z

v x

 x

 x

2   y z

' '  x=   ∇ v d r ' '  v p d   s ' '  x=v xp

v yp

v zp−

v x

 x

 x

2 v y

 x

 x

2

v z

 x

 x

2

− y z

0

0   =−v xp y z v x

 x

 x

2   y z

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

'  x=v xp y zv x

 x

 x

2   y z

' '  x=−v

 xp y z

v x

 x

 x

2

   y z

-umando los flujos de las dos caras, el flujo en ellas es:

' '  x ' '  x= v x

 x  x y z

#

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 x

2

i

 y z i

− x

2

i

−  y z i++

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'

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 z

2k 

 x y k 

− z

2k 

− x y k 

+

+

*p

*p

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

lujo en las caras paralelas al plano $/0

∇ v=v x

 x

v x

 y

v x

 z

v y

 x

v y

 y

v y

 zv z

 x

v z

 y

v z

 z

d r ' =

  0

0

 z

2

dr ' ' =

  0

0

− z

2

d   s '  z=  0

0

 x  y d   s ' '  z=  0

0

− x y

v p ' =   ∇ v d r '  v p=v xp

v yp

v zp

v x

 z

 z

2

v y

 z

 z

2

v z

 z  z2

v p ' ' =   ∇ v d r ' '  v p=v xp

v yp

v zp−

v x

 z

 z

2

v y

 z

 z

2

v z

 z  z2

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

lujo en las caras paralelas al plano $/0

'  z=   ∇ v d r '  v p d   s '  z=v xp

v yp

v zp

v x

 z

 z

2

v y

 z

 z

2

v z

 z

 z

2

  0

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 x y

=v zp x y

v z

 z

 z

2   x y

' '  z=   ∇ v d r ' '  v p d   s ' '  z=v xp

v yp

v zp− v x

 z

 z

2

v y

 z

 z

2

v z

 z

 z

2

  00

− x y=−v zp x yv z

 z z

2   x y

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#)

'

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2k 

 x y k 

− z

2k 

− x y k 

+

+

*p

*p

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

lujo en las caras paralelas al plano $/0

'  z=v zp x y v z

 z

 z

2   x y

' '  z=−v zp x y v z

 z

 z

2   x y

' '  z ' '  z=

v z

 z   x y z

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#$

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(

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*p

p

 y

2

 j− y

2

 j

− x z j

+

+

*p

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 x z  j

Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

lujo en las caras paralelas al plano %/0

∇ v=v x

 x

v x

 y

v x

 z

v y

 x

v y

 y

v y

 z

v z

 xv z

 yv z

 z

d r ' =

  0

 y

2

0dr ' ' =

  0

− z

2

0

d   s '  z=  0

 x z

0  d   s ' '  z=

  0

− x z

v p ' =   ∇ v d r '  v p=v xp

v yp

v zp

v x

 y y2

v y

 y

 y

2

v z

 y

 y

2

v p ' ' =   ∇ v d r ' '  v p=v xp

v yp

v zp−

v x

 y y2

v y

 y

 y

2

v z

 y

 y

2

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

lujo en las caras paralelas al plano %/0

'  y=   ∇ v d r '  v p d   s '  y=v xp

v yp

v zp v x

 y

 y

2

v y

 y y2

v z

 y

 y

2

  0

 x z

0   =v zp x z v z

 y y2   x z

' '  y=   ∇ v d r ' '  v p d   s ' '  y=v xp

v yp

v zp−

v x

 y  y2

v y

 y

 y

2

v z

 y

 y

2

  0

− x z

0  =−v zp x z

v z

 y

 y

2   x z

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Expresión de la divergencia de un campo vectorial (y en general tensorial)

lujo en las caras paralelas al plano %/0

'  y=v zp x zv z

 y

 y

2   x z

' '  y=−v zp x zv z

 y

 y

2

   x z

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(

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*p

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 y

2

 j− y

2

 j

− x z j

+

+

*p

*p

∆%

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 x z  j

' '  y ' '  y=

v y

 y   x y z

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'

(

)

= ' '  x ' '  x ' '  y ' '  y ' '  z ' '  z=

v x

 x  v y

 y v z

 z

 x y z

' '  z ' '  z=v z

 z  x y z

' '  y ' '  y=v

 y

 y   x y z

' '  x ' '  x= v x

 x  x y z

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= ' '  x ' '  x ' '  y ' '  y ' '  z ' '  z= v x

 x  v y

 y v z

 z  x y z

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(

)

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div v= lim u0

s0

∫ v d s

u  = lim

u0

s0

u

= lim u0

s0

 x  y z

div v= lim u0

s0

v x

 xv  y

 yv z

 z  x  y z

 x y z  =

v x

 x  v y

 y v z

 z

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div v=

v x

 x  

v  y

 

v z

 z

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divv=

v x

 x

v  y

 y

v z

 z

teorema de la divergencia o teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky

div v= lim

u0

s0

∫ v d s

u  ⇒ div vu= lim

u 0

s0

∫ v d s

u  u⇒

div vu= lims0

∫ v d s=d⇒

∫ div v d u=∫ lims0∫ v d s=∫ v d s

∫ div v d u=∫vn d s

∰div v d u=∯ vn d s=

1ultiplicando por el delta de volumen

2onde:   n⊥ds