-
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Expresin de la divergencia de un campo vectorial(y en general
tensorial)
La divergencia de un campo vectorial v=v x iy jz k
Es el lmite del flujo del campo vectorial a travs de una
superficie cerrada s que guarda unvolumen u:
div v= lim u0s0
v d su
Recurdese que la integral es una suma de infinitos sumandos, o
una suma de de finitossumandos pero de valores infinitesimales.
Cmo es la epresin para la superficieque encierra este cu!o"
#
#$
#%
-
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#
'
(
)
*p
p
x
2i
yz i
x
2i
yz i++
*p
*p
%
$
Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
-upongamos que conocemos el valor de lafuncin en el punto p %
los valores de susderivadas parciales. -e puede encontrar elvalor
aproimado del vector en los puntos p% p % por tanto el flujo en las
caras #
% su
opuesta .
v= vxx
vx y
vxz
vyx
vy y
v yz
vz
x
vz
y
vz
z
d r '=
x2
0
0d r ' '=
x2
0
0
d s 'x=xz
0
0 d s ' 'x=xz
0
0 vp '=
v d r ' vp=vxpvypvzp
vxx
x2
vyx
x2
vz
x
x
2
vp ' '=
v d r ' ' vp=vxpvypvzp
vxx
x2
vyx
x2
vz
x
x
2
-
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Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
'x= v d r ' vp d s 'x=vxpvyp
vzp
vxx
x2
vyx
x2
vzx
x2
yz
0
0
=vxpyz
vxx
x2 yz
' 'x= v d r ' ' vp d s ' 'x=vxpvypvzp vx
x
x
2 vyx
x2
vzx
x2
yz00 =vxpyz vxx x2 yz
-
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Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
'x=vxpyzvxx
x2 yz
' 'x=v
xpyz
vx
x
x
2
yz
-umando los flujos de las dos caras, el flujo en ellas es:
' 'x ' 'x= vxxxyz
#
'
(
)
*p
p
x
2
i
yz i
x
2
i
yz i++
*p
*p
%
$
-
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#)
'
(
)
*p
p
z
2k
xy k
z2
k
xy k
+
+
*p
*p
%
$
Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano $/0
v=vxx
vx y
vxz
vy
x
vy
y
vy
zvz
x
vz
y
vz
z
d r '=
0
0
z
2
dr ' '=
0
0
z
2
d s 'z= 00x y d s ' 'z= 00xy
vp '= v d r ' vp=
vxpvypvzp
vxz
z2
vyz
z
2
vz
z z2 vp ' '= v d r ' ' vp=vxpvypvzp
vxz
z2
vyz
z
2
vz
z z2
-
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Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano $/0
'z= v d r ' vp d s 'z=vxpvyp
vzp
vxz
z2
vyz
z2
vzz
z2
0
0
xy
=vzpxy
vzz
z2 xy
' 'z= v d r ' ' vp d s ' 'z=vxpvypvzp vxz
z2
vyz
z2
vzz
z2
00xy=vzpxyvzz z2 xy
-
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#)
'
(
)
*p
p
z
2k
xy k
z2
k
xy k
+
+
*p
*p
%
$
Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano $/0
'z=vzpxy vzz
z2 xy
' 'z=vzpxy vzz
z2 xy
' 'z ' 'z=
vz
z xyz
-
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#$
#$
'
(
)
*p
p
y
2
jy
2
j
xzj
+
+
*p
*p
%
$
xz j
Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano %/0
v=vxx
vxy
vxz
vy
x
vy
y
vy
z
vz
xvz
yvz
z
d r '=
0
y
2
0dr ' '=
0
z
2
0
d s 'z= 0
xz
0 d s ' 'z=
0
xz
0
vp '= v d r ' vp=
vxpvypvzp
vx y
y2
vy y
y2
vz
y
y
2
vp ' '= v d r ' ' vp=vxpvypvzpvx y
y2
vy y
y2
vz
y
y
2
-
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Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano %/0
'y= v d r ' vp d s 'y=vxpvypvzp vx y
y2
vy y
y2
vz y
y2
0xz0 =vzpxz vz y y2 xz ' 'y= v d r ' ' vp d s ' 'y=vxpvypvzp
vx y y2
vy y
y2
vz y
y2
0xz0 =vzpxzvz y y2 xz
-
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Expresin de la divergencia de un campo vectorial (y en general
tensorial)
lujo en las caras paralelas al plano %/0
'y=vzpxzvz y
y2 xz
' 'y=vzpxzvz
y
y
2
xz
#$
#$
'
(
)
*p
p
y
2
jy
2
j
xzj
+
+
*p
*p
%
$
xz j
' 'y ' 'y=
vy
y xyz
-
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#
#$
$
#%
%
'
(
)
= ' 'x ' 'x ' 'y ' 'y ' 'z ' 'z=
vxx vy y
vzz
xyz
' 'z ' 'z=vzzxyz
' 'y ' 'y=v
y
y xyz
' 'x ' 'x= vxxxyz
-
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= ' 'x ' 'x ' 'y ' 'y ' 'z ' 'z= vxx vy y
vzzxyz
#
#$
$
#%
%
'
(
)
#
#$
#%
div v= lim u0
s0
v d su
= lim u0
s0
u
= lim u0
s0
x yz
div v= lim u0s0
vxx v y y
vzzx yz
xyz =
vxx vy y
vzz
-
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div v=
vx
x
v y
vz
z
-
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divv=
vx
x
v y
y
vz
z
teorema de la divergencia o teorema de Gauss o teorema de
Gauss-Ostrogradsky
div v= lim u0s0
v d s
u div vu= lim
u 0s0
v d s
u u
div vu= lims0 v d s=d
div v d u= lims0 v d s= v d s div v d u=vn d s
div v d u= vn d s=
1ultiplicando por el delta de volumen
2onde: nds
