23-4-2014

CURSO: TRANSFERENCIA DE CALOR

DOCENTE: ING. ELÍ GUAYÁN H.

ALUMNO: PALMA MENDOZA JUAN DANIEL

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ÍNDICE

1. Fundamento Teórico:........................................................................................................2

2. Procedimiento Matemático:..............................................................................................3

2.1. Hipótesis de trabajo:....................................................................................................3

2.2. Cálculo de áreas...........................................................................................................3

2.3. Principio de Conservación de la Energía.......................................................................5

2.4. Calor introducido al elemento por conducción ¿)........................................................6

2.5. Calor liberado por las fuentes internas de calor (dQ 2)...............................................7

2.6. Variación de la energía interna de la sustancia del elemento de volumen ¿)..............7

2.7. Ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas esféricas......................7

2.8. Difusividad térmica.......................................................................................................7

3. Conclusiones y apreciación crítica:.................................................................................8

4. Mapa Conceptual:.............................................................................................................9

5. Bibliografía........................................................................................................................10

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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1. Fundamento Teórico:

La transferencia de calor tiene dirección y magnitud. La razón de la transferencia de calor por conducción en una dirección específica es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es a razón de cambio de la temperatura con respecto a la distancia, en esa dirección. En general, la conducción de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo, y la temperatura en un medio varía con la posición y el tiempo; es decir, T=t(x,y,z,t).Uno de los objetivos principales en un análisis de conducción es determinar el campo de temperatura en un medio que es el resultado dependiendo de las condiciones que se impongan sobre sus respectivas fronteras. Es decir, se quiere conocer la distribución de temperaturas, que es el cómo varía la temperatura respecto a la posición en el medio. Una vez conocida la distribución, el flujo de calor por conducción en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la ley de Fourier. En el caso de un sólido, saber la distribución de temperaturas sirve para comprobar la integridad estructural mediante la determinación de los esfuerzos térmicos, sus expansiones y deflexiones. La distribución de temperaturas también es útil para optimizar el espesor de un material aislante o para determinar la compatibilidad de recubrimientos o adhesivos especiales que se usen con el material.Consideremos ahora la forma en que se determina la distribución de temperaturas. El método sigue la metodología de la aplicación del requerimiento de conservación de energía. Es decir, definimos un volumen de control diferencial, identificamos los procesos de transferencia de energía relevantes e introducimos las ecuaciones de flujo apropiadas. El resultado es una ecuación diferencial cuya solución, para las condiciones de frontera establecidas, proporcionan la distribución de temperaturas en el medio.

Figura. Coordenadas esféricas. Elemento diferencial de volumen en coordenadas esféricas.

2. Procedimiento Matemático:

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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2.1. Hipótesis de trabajo:

El material es homogeneo e isotrópico. Las variaciones de volumen del elemento debido al cambio de

temperatura son muy pequeños o despreciables. Consideremos que las propiedades físicas no cambian con la

temperatura. Son constantes. En el cuerpo o volumen existen fuentes enternas de calor que

están uniformemente distribuídos.

r=radio; ∅=polar , cenital ocolatitud ;θ=azimutal olongitud

Figura. Conducción tridimensional del calor a través de un elemento de volumen de control en coordenadas esféricas.

2.2. Cálculo de áreas

Obtenemos primero, las áreas del elemento diferencial de volumen según las direcciones de coordenadas:

En la dirección radial (r):

Ar=[r sin∅ dθ+r sin (∅+d∅ )dθ ]∗[rd∅ ]

2

Ar=r2 sin∅ dθ d∅

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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Ar+dr=[(r+dr )sin∅ dθ+(r+dr)sin (∅+d∅ )dθ ]∗[(r+dr )d∅ ]

2

Ar+dr=r2 sin∅ dθd∅+2r sin∅ drdθd∅

En la dirección azimutal (θ)

Aθ=[r d∅+ (r+dr )d∅ ] [dr ]

2

Aθ=rdrd∅

Aθ+dθ=Aθ=rdrd∅

En la dirección cenital (∅ ):

Se eliminan los diferenciales (dφ)2 y (dr )2 y se expande sin (φ+dφ )=sinφ+cos φ .dφ

A∅=[r sin∅ dθ+(r+dr )sin∅ dθ ] [dr ]

2

A∅=r sin∅ drdθ

A∅ +d∅=[ (r+dr ) sin (∅+d∅ )dθ+r sin (∅+d∅ )dθ ] [dr ]

2

A∅ +d∅=r sin (∅+d∅ )drdθ=r drdθ [ sin∅ cos d∅+cos∅ sind∅ ]=r drdθ [ sin∅+cos∅ . d∅ ]

A∅ +d∅=r sin∅ drdθ+r cos∅ . d∅ drdθ

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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2.3. Principio de Conservación de la Energía

Aplicando el principio general de la conservación de la energía: Que la energía calorífica neta impartida por la transferencia de caor a través de sus superficies más la energía calorífica impartida por las fuentes internas de calor es igual a la variación de la energía interna del elemento de volumen considerado.

dQ1+dQ2=dU

Donde: dQ1: es la cantidad neta de calor introducida en el elemento por conducción.

dQ2: es la cantidad de calor “liberada” por las fuentes internas de calor.

dU: representa la variación de la energía interna de la sustancia contenida en el elemento de volumen.

El neto d Q1 es:

d Q1=d Q1 r+d Q1θ+dQ1∅

En la dirección radial (r):

Se elimina el diferencial (dr )2

d Q1 r=dQr−d Qr+dr

d Qr= q̇r A rdt=q̇r r2sin∅ dθd∅ dt

d Qr+dr= q̇r+dr A r+dr dt=[ q̇r+∂ q̇r∂ rdr ](r2sin∅ dθd∅+2 r sin∅ drdθd∅ )dt

d Qr+dr= q̇r r2 sin∅ dθd∅ dt+q̇r2 rsin∅ drdθd∅ dt+

∂ q̇r∂ rr2 sin∅ dθd∅ drdt

Luego:

d Q1 r=−[2q̇r+r∂ q̇r∂r

]r sin∅ dr dθ d∅ dt

En la dirección azimutal (θ):

Se elimina el diferencial (dθ)2

d Q1θ=d Qθ−d Qθ+dθ

d Qθ=q̇θ Aθdt= q̇θ rdrd∅ dt

d Qθ+dθ=q̇θ+dθ Aθ+dθ dt=[ q̇θ+ ∂ q̇θ∂θ dθ ]rdrd∅ dt=q̇θ rdrd∅ dt+ ∂ q̇θ∂θ rdrdθd∅ dt

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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Luego:

d Q1θ=−∂ q̇θ∂θ

rdrdθd∅ dt

En la dirección cenital (∅ ):

Se elimina el diferencial (d∅ )2

d Q1∅=d Q∅−dQ∅ +d∅

d Q∅= q̇∅ A∅ dt=q̇∅r sin∅ drdθ dt

d Q∅+d∅= q̇∅ +d∅ A∅+d∅ dt=[ q̇∅+ ∂ q̇∅∂∅ d∅ ] [r sin∅ drdθ+r cos∅ . d∅ drdθ ]dt

d Q∅+d∅= q̇∅ r sin∅ drdθdt+q̇∅ r cos∅ . d∅ drdθ dt+∂ q̇∅∂∅

r sin∅ d∅ drdθ dt

Luego:

d Q1∅=−∂ q̇∅∂∅

r sin∅ dr dθd∅ dt− q̇∅ r cos∅ .d∅ drdθdt

2.4. Calor introducido al elemento por conducción ¿)

d Q1=−[2 q̇r sin∅+r∂ q̇r∂ r

sin∅+∂q̇θ∂θ

+∂ q̇∅∂∅

sin∅+q̇∅ cos∅ ]rdrdθd∅ dtSabemos que:

q̇r=−k ∂T∂r

q̇θ=−k ∂T∂(r sin∅ θ)

q̇∅=−k ∂T∂(r∅ )

Pero diferencial de volumen es: d ∀=r 2sin∅ drdθd∅

Luego:

d Q1=k [2sin∅ ∂T∂r

+r sin∅ ∂2T∂r2 + 1

rsin∅∂2T∂θ2 + sin∅

r∂2T∂∅ 2 +

cos∅r

∂T∂∅ ]rdrdθd∅ dt

Factorizando r sin { ∅ ¿,para reemplazar d ∀ ,tenemos:

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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d Q1=k [ 2r∂T∂r

+ ∂2T∂r2 + 1

r2 sin2∅∂2T∂θ2 + 1

r2

∂2T∂∅2 +cos∅

sin∅∂T∂∅ ]r 2sin∅ drdθd∅ dt

d Q1=k [ 2r∂T∂r

+ ∂2T∂r2 + 1

r2 sin2∅∂2T∂θ2 + 1

r2

∂2T∂∅2 +cos∅

sin∅∂T∂∅ ]d ∀dt

k [ 1r2

∂∂r

(r ∂T∂r

)+ 1r2sin2∅

∂2T∂θ2 + 1

r2 sen∅∂∂∅

(sin∅ ∂T∂∅

)]d ∀dt …(2)

2.5. Calor liberado por las fuentes internas de calor (dQ2)

d Q2=q̇ f d ∀ dt …(3)

Con:

d ∀=r 2sin∅ drdθd∅

2.6. Variación de la energía interna de la sustancia del elemento de volumen ¿)

du=c∗dTdm=ρc∗d ∀ ∂T∂tdt

En sólidos: cv ≅ c p≅ c

du=ρc∗r2 sin∅ drdθd∅ dt ∂T∂t

du=ρc∗d ∀ ∂T∂ tdt …(4)

Ahora reemplazamos (2), (3) y (4) en (1), obtenemos:

d Q1+dQ 2=dU… (1)

k [ 1r2

∂∂r

(r ∂T∂r

)+ 1r2sin2∅

∂2T∂θ2 + 1

r2 sen∅∂∂∅

(sin∅ ∂T∂∅

)]d ∀dt +q̇ f d ∀ dt=ρc∗d ∀ ∂T∂ t dt

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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2.7. Ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas esféricas

Dividiendo todo entre d ∀ dt , llegamos a la ecuación diferencial de conducción de calor en coordenadas esféricas:

k [ 1r2

∂∂r

(r ∂T∂r

)+ 1r2sin2∅

∂2T∂θ2 + 1

r2 sen∅∂∂∅

(sin∅ ∂T∂∅

)]+ q̇ f=ρc ∂T∂t2.8. Difusividad térmica

Si dividimos toda la ecuación anterior obtenida entre ρc, obtenemos en el primer

término kρc

=a, que es la difusividad térmica, que es una propiedad física de las

sustancias y es esencial en la transmisión de calor en régimen transitorio y está relacionada con la velocidad de variación de temperatura. Es una medida de la inercia térmica que ofrece un cuerpo a la variación de la temperatura, el valor de la difusividad depende de la naturaleza de la sustancia.

La ecuación de calor en coordenadas esféricas quedaría finalmente como sigue:

a [ 1r2

∂∂r

(r ∂T∂r

)+ 1r2sin2∅

∂2T∂θ2 + 1

r2 sen∅∂∂∅

(sin∅ ∂T∂∅

)]+ q̇ fρc=∂T∂ t

3. Conclusiones y apreciación crítica:

Para encontrar las ecuaciones diferenciales de forma analítica, se utilizó un conocimiento previo de balance de energía sobre el elemento seleccionado en un intervalo de tiempo ∆ t .

El elemento seleccionado tiene que ser un elemento diferencial arbitrario, muy pequeño, ya que la ecuación que se obtendrá a partir de éste, podrá ser utilizaba y válida para todo el elemento en conjunto. Esta ecuación establece que en cualquier punto dentro del medio, la rapidez de transferencia de energía por conducción en un volumen unitario más la rapidez de generación volumétrica de energía térmica debe ser igual a la rapidez de cambio de la energía térmica almacenada dentro del volumen.

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

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La ecuación de calor obtenida es muy importante ya que describe esencialmente la distribución de calor o variaciones de temperatura, en una región a lo largo del transcurso del tiempo.

Las soluciones que podemos obtener mediante esta ecuación aplicada a fenómenos reales, son estimaciones considerables para la ingeniería y sus aplicaciones.

4. Mapa Conceptual:

DEMOSTRACIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CONDUCCIÓN DE CALOR

Ecuación Diferencial de Conducción de

Calor

establece

La rapidez de transferencia de energía

por conducción en un volumen unitario

+La rapidez de

generación volumétrica de energía térmica

tema

En cualquier punto dentro del medio

=

La rapidez de cambio de la energía térmica

almacenada dentro del volumen

definición

En un intervalo de tiempo pequeño y en un

elemento diferencial

Análisis

El campo de temperaturas en el

cuerpo elejido

Encuentra

Principio de conservación de la

energía

necesita

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5. Bibliografía

INCROPERA, FRANK P. Fundamentos de transferencia de calor, 4ta. ed. Editorial Prentice Hall, México, 1999.

YUNUS A. CENGEL. Transferencia de calor y masa, 3ª ed. Editorial McGraw-Hill, México, 2007.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_del_calor

http://www.slideshare.net/jalexanderc/ecuacin-diferencial-de-transferencia-de- calor-y-sus-aplicaciones-en-ingeniera

http://books.google.com.pe/books? id=nQR69waNWvMC&pg=PA63&lpg=PA63&dq=demostracion+ecuacion+diferencial+de+calor&source=bl&ots=g50AAzWa90&sig=dsKD8jqO6bV7GKdHlTxvfn2AT_w&hl=es&sa=X&ei=gl5XU58tq8yxBMSogqAM&ved=0CFMQ6AEwBQ#v=onepage&q=demostracion%20ecuacion%20diferencial%20de%20calor&f=false

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