Dengeleme Hesabnn AmacGereinden fazla sayda yaplm llerden hi birini seip ayklamaksnz, 1. Bilinmeyenlerin en uygun deerini belirlemek, 2. llerin, kesin deerlerin ya da bunlarn fonksiyonlarnn duyarlklarn (ortalama hata) ve gvenirliklerini saptamaktr. Geometrik ya da fiziksel byklklerin llmesi sonucunda elde edilen deerler hata ile ykldr. Sz konusu hatalar; 1. lme iini yapanlarn duyu organlarnn yetersizliinden, 2. l aletlerinin yeterince gelimi olmamalarndan, 3. Fiziksel evre koullarndan kaynaklanabilir. Bu nedenle uygulamada gerekli sayda l ile yetinilmez, gereinden fazla l yaplr. ller arasndaki ilikileri grebilmek ve llerle bilinmeyenler arasndaki fonksiyonel ilikileri kurabilmek iin dengeleme hesab yaplr. Hatasz l olmaz l Hata = Kesin deer l + Dzeltme = Kesin deer Hata = l Kesin deer Dzeltme = Kesin deer l

Hatalar oluma nedenlerine gre genelde drde ayrlr 1. 2. 3. 4. Kaba hata Dzenli (sistematik) hata Dzensiz (rastlant, tesadf) hata Gerek hata

Kaba Hatalar: Kaba hatalar genellikle dikkatsizlikten kaynaklana hatalardr. GPS lmelerinde anten boyunun yanl llmesi, uzunluk lmelerinde bir erit boyunun unutulmas, a lmelerinde 65g yerine 95g okunmas ve yazlmas gibi. Kaba hatalar l tekrar ile giderilebilirler Dzenli (sistematik) hata: Bu tr hatalar ly ayn ynde ve ayn miktarda etkileyen kk hatalardr. l tekrar ile giderilemezler. Yirmi metrelik bir elik erit metrenin uzunluunun gerek deerden 1 mm eksik olmas, nivelmanda mira lek hatas, teodolitlerde daire blme hatalar, refraksiyon vs. gibi dzenli hatalar ounlukla tannamaz. l aletleri ayarlanarak ve en uygun lme yntemleri uygulanarak etkileri azaltlabilir. Belirlenebildikleri durumlarda l sonucuna dzeltme getirilerek etkileri giderilebilir.

Dzensiz (rastlant, tesadf) hata: Kk miktardaki hatalardr. lleri bazen (+) bazen de (-) ynde etkilerler. Bu hatalar insan yeteneklerinin snrl olmas, aletlerin ayarlarnn tam yaplamamas, scaklk, rzgr gibi d etkenlerin deiken olmas gibi nedenlerden ortaya kar. Kaba hatalarda olduu gibi llerin tekrar ile ya da dzenli hatalarda olduu gibi l sonucuna dzeltme getirilerek giderilemezler. Gerek hata: llerin gerek deerlerinin bilindii durumlarda sz konusudurlar. Bir dzlem genin i alarnn toplamnn gerek deeri 200g dr. alarn llen deerlerinin toplamndan 200g karlrsa gerek hata bulunur.

Duyarlk (Doruluk) ltlerillerden herhangi birinin ne kadar gvenilebilir olduu konusunda bilgi verebilmek iin tanmlanm ltlerdir. Ayn bir bykln birden ok llmesi sonucunda elde edilen l dizilerinden yararlanlarak tanmlanr. aretlerinin pozitif olma olasl negatif olma olaslklarna eit olmalarndan dolay iaretleri olarak alnr. Mutlak hata: Gerek deeri bilinen bir bykln birden ok kez llmesi sonucunda elde edilen l dizisinin gerek hatalarnn mutlak deerleri toplanarak elde edilen sonucun l saysna blnmesi ile hesaplanr. Gerek hata = l Gerek deer e i = li - x (i=1, 2, n)

t=

[e ]i

n

(n )

Ortalama (karesel ortalama, standart sapma) hata: Ayn bir bykln llmesi sonucunda elde edilen bir l dizisinin gerek hatalarn kareleri toplam l saysna blnr ve hesaplanan bu deerin karekk alnarak bulunur. Eer ortalama hata gerek deerlerden elde ediliyorsa (n ) n Eer ortalama hata dzeltme deerlerinden elde ediliyorsa

mo =

[ee ]

mo =

[vv]n -1

(n )

Olas (muhtemel) hata: Bir bykln llmesi sonucunda elde edilen l dizisinin gerek hatalar mutlak deerlerine gre sralanrsa dizinin ortasndaki hatadr.

Bal (rlatif) hata: llen bir bykln duyarlk lt olan ortalama hatasnn, llerin ortalama deerine blnmesi ile bulunan orandr. m b= o l ort rnek: Bir GPS ana ait on adet gen kapanma hatalar aada verilmitir. Duyarlk ltlerini hesaplaynz.No 1 2 3 4 5 No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hata ( e i ) mm -2.123 1.132 -1.674 -2.591 -1.772 No 6 7 8 9 10 Hata ( e i ) mm 2.979 0.475 4.414 -0.717 0.763

ei-2.123 1.132 -1.674 -2.591 -1.772 2.979 0.475 4.414 -0.717 0.763

e ie i4.507 1.281 2.802 6.713 3.140 8.874 0.226 19.483 0.514 0.582

n = 10

[e ] =18.640 [e e ] = 48.124i

i

i

Mutlak Hata

t=

18.640 = 1.864 mm 10

Ortalama Hata mo =

[ee ] = n

48.124 = 2.194 mm 10

Olas Hata 0.475 0.717 0.763 1.132 1.674 1.772 2.123 2.591 2.979 4.414 1.674 + 1.772 r= = 1.723 mm 2

rnek: Bir uzunluk on kez llm ve aadaki l deerleri elde edilmitir. Duyarlk ltlerini hesaplaynz.No 1 2 3 4 5 No 1 2 3 4 5 6 7 8

li (m)180.57 180.62 180.63 180.65 180.56

No 6 7 8 9 10

li (m)180.62 180.57 180.61 180.62 180.55

li (m)180.57 180.62 180.63 180.65 180.56 180.62 180.57 180.61

vi = x - l i (cm)3 -2 -3 -5 4 -2 3 -1

e ie i9 4 9 25 16 4 9 1

x=

l1 + l 2 + ... + l n = 180.60m ni

n = 10

[ v ] =30 [v v ] = 106i i

Mutlak hata t = Ort. Hata mo =

30 = 3 cm 10

[vv] 106 = 3.43 cm n -1 10 - 1

9 10

180.62 180.55

-2 5

4 25

1 2 2 2 3 3 3 4 5 5 Olas hata r =

3+3 = 3 cm 2 3.43 1 Bal hata b = = 0.00019 = 18060 5262

rnek: Uzunluu 100.000 m olan bir ayar baz iki ayr lme ekibince mm birimine kadar l yaplarak elik eritle on kez llmtr. Hangi lme ekibi daha duyarlkl sonu elde etmitir.No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

li (m) 1. ekip100.002 99.998 99.995 100.003 100.000 100.003 100.001 99.998 99.998 100.004

li (m) 2. ekip100.000 99.999 100.005 100.007 99.994 99.995 99.997 100.002 100.003 99.998 1. ekip 2. ekip

No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

li (m)100.002 99.998 99.995 100.003 100.000 100.003 100.001 99.998 99.998 100.004

e i = li - 100.000 (mm)2 -2 -5 3 0 3 1 -2 -2 4

e ie i4 4 25 9 0 9 1 4 4 16

li (m)100.000 99.999 100.005 100.007 99.994 99.995 99.997 100.002 100.003 99.998

e i = li - 100.000 (mm)0 -1 5 7 -6 -5 -3 2 3 -2

e ie i0 1 25 49 36 25 9 4 9 4

n = 10

[e ]=24 [e e ] = 76i

i

i

n = 10

[e ] =34 [e e ] = 162i

i

i

Mutlak hata t = 2.4 mm Ort. Hata mo =

76 = 2.8 mm n 10 0 1 2 2 2 2 3 3 4 5 Olas hata r = 2 mm Bal hata 2.8 1 b= = 0.0000276 = 100000 36274

[e ie i ] =

Mutlak hata t = 3.4 mm Ortalama Hata

162 = 4.0 mm n 10 0 1 2 2 3 3 5 5 6 7 Olas hata r = 3 mm Bal hata 4. 0 1 b= = 0.0000402 = 100000 24845 mo =

[e i e i ] =

Sonu: 1 numaral lme ekibi iin duyarlk ltleri daha kk ktndan bu ekibin lme doruluu dier ekipten daha yksektir. Duyarlk ltleri arasnda Ortalama hata > Mutlak hata > Olas hata yani m0 > t > r ilikisi vardr.

Korelasyon (Ballk, liki) llen bir byklk kaba ve sistematik hatalardan arndrldktan sonra i gerek hatalarn oluturan nedenler belirlenmeye allr. Dzensiz hatalar birok parametrenin birleimiyle oluur. x gerek uzunluk l 1 , l 2 ,......, l n ller1 = e11 + e12 + e13 + ... + e1n 2 = e21 + e 22 + e23 + ... + e2 n . Elemanter hatalar . n = en1 + e n 2 + e n3 + ... + enn

l 1 - x = 1 l 2 - x = 2 Gerek Hata . l n - x = n

Bu elemanter hatalarn bir ksm veya sadece biri dierlerinden byk olup tm llerde tekrarlanyor olabilir. Bu parametrenin ller zerindeki etkisi ayndr. i gerek hatalar ayn e ii deerinden etkileniyorsa bu ller birbiri ile baml olur ve bu bamll gsteren lte korelasyon denir. Bu bamllk fiziksel ortamdan kaynaklanyorsa fiziksel korelasyon, ller iin yazlan fonksiyonel modelden kaynaklanyorsa matematik korelasyon olarak adlandrlr. Fiziksel korelasyon ller arasnda fiziksel iliki varsa ortaya kar. Matematiksel korelasyon ise ller birbirinden bamsz olsa bile (fiziksel korelasyon olmasa bile) matematik model gerei ortaya kabilir. Kenarlarnn gerek uzunluklar x ve y olan bir dikdrtgenin kenarlarnn yeterince ok sayda lldn varsayalm. xe ait lleri l1 , ye ait lleri l 2 vektrnde toplayalm. x y

llerin gerek hatalar 1 = l1 - e x 2 = l2 - e y Bu gsterime gre n l says olmak zere (n );

11 l 11 1 l 12 12 1 . = . - . x . . . l 1 1n 1n

21 l 21 1 l 22 22 1 . = . - . y . . . l 1 2 n 2n 11 12 e1 = . . 1n

e 1 = [e 11 e 11 e 1n ]12 = 1 1 nT

T

2 2 e 1 e 1 = e 11 + e 12 + + e 12n

T

1. llere ait varyans (karesel ortalama hatann karesi) 21 22 e2 = . . 2n

e 2 = [e 21 e 22 e 2n ] = 2 2 n2 2 T

T

2 2 2 e 2 e 2 = e 21 + e 22 + + e 2 n

T

2. llere ait varyans 21 22 e2 = . . 2n

e 1 = [e 11 e 11 e 1n ]12 = 1 2 nT

T

e 1 e 2 = e 11 e 21 + e 12 e 22 +e 1n e 2n

T

1. ve 2. llere ait kovaryans

yukardaki bantlardan hesaplanr. ller arasndaki korelasyon katsays aadaki eitlik yardmyla hesaplanr.

12 = 12 = 1 2

1 2 1 1 2 2T T

T

Korelasyon katsaysnn snr deerleri - 1 r12 1 arasndadr. 12 = 0 ise ller arasnda yani x ve y arasnda bir bamllk yoktur.

12 0 ise ller yani x ve y birbirine bamldr 12 = 1 ise ller arasnda %100 korelasyon (fonksiyonel bamllk) vardr.

Gerek deerler bilinmedii durumda kesin deerler yardmyla korelasyonlar dzeltmelerden yararlanarak elde edilebilirler.

[l 1 ] = eT l1 x=

l 11 + l 12 + ..... + l 1n n n n T [l 2 ] = e l 2 = l 21 + l 22 + ..... + l 2 n y= n n n Kesin deerler =

Dzeltme = Kesin deer - lv1 = e x - l 1 v2 = e y - l 2 T 2 2

Dzeltmeler2

v 1 v 1 = v 11 + v 12 + ... + v1n v 2 v 2 = v 21 + v 22 + ... + v 2nT 2 2 2

v v m = 1 1 n-12 1 2 m2 =

T

1. llere ait varyans 2. llere ait varyans Deneysel kovaryans

v v2 n-1 v v2 n-1m12 = m1 m2T 1

T 2

m12 =r12 =

v1 v 2T T

T

v 1 v1 v 2 v 2 Deneysel korelasyon katsays (llerin birbiriyle bamllnn lt)Korelasyon katsaysnn snr deerleri - 1 r12 1 arasndadr.

r12 = 0 ise ller arasnda yani x ve y arasnda bir bamllk yoktur. r12 0 ise ller yani x ve y birbirine bamldr r12 = 1 ise ller arasnda %100 korelasyon (fonksiyonel bamllk) vardr.

Bu son bantlar l1 ve l 2 llerinin kendi aralarnda korelasyonlu olmadklar durumda geerlidir. llerin (n: l says) arlklar farkl)rij

korelasyon katsays olmak zere (korelasyonlu ve duyarlklar,

K ll varyans-kovaryans matrisi m12 r12 m1 m2 K ll = r13 m1 m3 r m m 1n 1 n m12 m12 K ll = m13 m 1n m12 2 m2 m23 m2n r12 m1 m2 2 m2 r23 m2 m3 r2n m2 mn m13 m1n m23 m2 n 2 m3 m3n 2 m3n mn r13 m1 m3 r23 m2 m32 m3

r3n m3 mn

r1n m1 mn r2 n m2 mn r3n m3 mn 2 mn

llerin Qll ters arlk matrisi K Qll = ll 2 2 K ll = m0 Qll m0 m12 m2 0 m12 m2 0 Qll = m13 2 m0 m n 12 m0 m12 2 m0 2 m2 2 m0 m23 2 m0 m2 n 2 m0 m13 2 m0 m23 2 m0 2 m3 2 m0 m3 n 2 m0 m1n 2 m0 m2 n 2 m0 m3 n 2 m0 2 mn 2 m0

llerin arlk matrisi

pll = Qll1

Eer ller arasnda korelasyon yoksam12 0 K ll = 0 0 0 2 m2 0 0 0 02 m3

rij = 0

(duyarlklar, arlklar farkl)

0

0 0 0 2 mn

m12 m2 0 0 Qll = 0 0

02 m2 2 m0

0 02 m3 2 m0

0 0

0

0 0 0 2 mn 2 m0

2 m0 2 m1 0 pll = Qll1 = 0 0

02 m0 2 m2

0 02 m0 2 m3

0 0

0

0 0 0 2 m0 2 mn

Eer ller arasnda korelasyon yoksa ve duyarlklar, arlklar eit ise2 2 2 m12 = m2 = = mn = m 2 = m0

m 2 0 K ll = 0 0

0 m2 0 0

0 0 0

m2

0 0 0 m2

m2 2 m 0 Qll = 0 0

0 m2 m2 0 0

0 0 m2 m2 0

0 1 0 0 = 0 0 0 m2 m2

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 pll = 0 0

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

rnek: Bir EUnn kalibrasyonu iin karlkl be l ile korelasyon belirlenmeye allmtr. llen bazn uzunluu 9605.343 m. olduuna gre a) Bu aletle llen uzunluklarn ortalama hatalarn ve aralarndaki korelasyonu bulunuz. b) llere ait varyans-kovaryans matrisini oluturunuz. c) Birim lnn karesel ortalama hatas 15 mm ise llerin ters arlk matrisini hesaplaynz. d) llerin arlklarn hesaplaynz N o 1

l 1 (m)

l 2 (m)

x

1 = l 1 - x e 1e 1 (mm) -14.4 -17.3 -13.0 -14.8 -11.8

2 = l 2 - x e 2e 2 (mm) -15.1 -17.0 -11.8 -15.2 -10.2

e 1e 2

9605.328 6 9605.325 2 7 9605.330 3 0 9605.328 4 2 9605.331 5 2 n=5

9605.327 9 9605.326 0 9605.331 2 9605.327 8 9605.332 8

9605.343 0

207.4 299.3 169.0 219.0 139.2 =103 4

228.0 289.0 139.2 231.0 104.0 =99 1

217.4 294.1 153.4 225.0 120.4 =101 0

1034 = 1 1 = = 206 .786 n 5 1. llere ait varyans (karesel ortalama hatann karesi)2 1

T

991 = 2 2 = = 198.3 n 52 2

T

2. llere ait varyans 1. ve 2. llere ait kovaryans

12 =12 =

2 1010 = = 202.1 n 512 202.1 = = 1 2 14.4 14.1 2T 1 T 1 T 2

T 1

1 2

=

1010 1034 991

= 0.998Korelasyon katsays

12 K ll = 12

12 206.786 202.10 = 2 2 202.10 198.30 llerin varyans-kovaryans matrisi

K ll = m Qll2 0

Qll =

K ll 2 m0

206.786 2 K Qll = ll = 15 2 m0 202.10 152

202.10 152 = 0.92 0.90 198.30 0.90 0.88 152

276.69 - 281.99 pll = Qll1 = - 281,99 288.53 rnek: Bir EUnn kalibrasyonu iin karlkl be l ile korelasyon belirlenmeye allmtr. e) Bu aletle llen uzunluklarn ortalama hatalarn ve aralarndaki korelasyonu bulunuz. f) llere ait varyans-kovaryans matrisini oluturunuz. g) Birim lnn karesel ortalama hatas 2.3 mm ise llerin ters arlk matrisini hesaplaynz. h) llerin arlklarn hesaplaynz N o 1 2 3 4 5

l 1 (m)9605.32 86 9605.32 57 9605.33 00 9605.32 82 9605.33 12

l x1 = 1 n 9605.3287

v1 = x1 - l 1(mm) 0.1 3.0 -1.3 0.5 -2.5

v1v10.0 9.2 1.6 0.3 6.1 =17 v2 v2 1.5 9.9

v v m = 1 1 n-1 = 4.32 1

T

v v m = 2 2 n-1 = 7.72 2

T

N o 1 2

l 2 (m)9605.32 79 9605.32 60

l x 2= 2 n 9605.3430

v 2= x 2 - l 2(mm) 1.2 3.1

v1v 20.2 9.5

v v m12= 1 2 n-1 = 5.5m r12 = 12 = m1 m2 v1 v 2 v1 v1 v 2 v 2T T T

T

r12 = 0.957

9605.33 12 4 9605.32 78 5 9605.33 28 n -1= 4 3 m2 K= 1 ll m12

-2.1 1.3 -3.7

4.2 1.8 13.4 =31

2.6 0.7 9.0 =22

m12 4.3 5.5 = 2 m2 5.5 7.7 llerin varyans-kovaryans matrisi

K ll = m Qll2 0

Qll =

K ll 2 m0

4.3 2 K Qll = ll = 2.3 2 m0 5.5 2.32

5.5 2.32 = 0.12 0.16 7.7 1.04 1.46 2.32

92.88 - 10.17 pll = Qll1 = 7.95 - 66.35

Hata Yaylma Kural llen byklklerin ortalama hatalarnn bilindikleri durumlarda llerin herhangi bir fonksiyonunun ortalama hatasnn hesaplanmas dengeleme hesabnn ok sk rastlanan konularndandr.2 2 Hata yaylma kural sadece ilk llere uygulanr. Deneysel varyanslar m1 , m2 ve deneysel kovarvaryans m12 olan l1 , ve l 2 llerinin herhangi iki fonksiyonu aadaki gibi yazlabilir.

x = f (l 1 , l 2 ) y = g (l 1 , l 2 )Bu fonksiyonlarn l1 , ve l 2 llerine gre diferansiyelleri

dx = dy =

f f dl 1 + dl 2 l 2 l 1 g g dl 1 + dl 2 l 2 l 1

a1 = b1 =

f l 1 g l 1

a2 = b2 =

f l 2

g l 2

dx = a1 dl 1 + a 2 dl 2 dy = b1dl 1 + b2 dl 2Fonksiyonlarn diferansiyeli matris gsterimi ile df = A dl dx dy = a1 a2 dl1 b b dl 1 2 2

llerin varyans-kovaryans matrisi m2 K ll = 1 m12 m12 2 m2

Fonksiyonlarn varyans-kovaryans matrisiK ff = A K ll AT2 mx mxy

mxy a1 a2 m12 = 2 my b1 b2 m12 m12 m12 m12 2 m2

m12 a1 2 m2 a2

b1 b2

a1 b 1

a2 b2

(a1m12 + a2 m12 ) (b1m12 + b2 m12 ) 2 2 (a1m12 + a2m2 ) (b1m12 + b2m2 ) a1 a 2 b1 b2

( a1m12 + a2 m12 ) (b1m12 + b2 m12 ) 2 2 ( a1m12 + a2 m2 ) (b1m12 + b2 m2 )

2 2 2 (a12 m12 + 2a1a2m12 + a2 m2 ) (a1b1m12 + (a1b2 + a2b1 )m12 + a2b2 m2 ) 2 2 2 2 (b12m12 + 2b1b2 m12 + b2 m2 ) (a1b1m1 + (a1b2 + a2b1 )m12 + a2b2m2 )

Fonksiyonlarn varyans-kovaryans matrisi (her zaman dolu bir simetrik matristir)

K ff

2 mx = mxy

mxy 2 my

2 2 2 my = b12 m12 + 2b1b2m12 + b2 m2 2 mxy = a1b1m12 + (a1b2 + a2b1 )m12 + a2b2m2 Genel hata yaylma kural2 2 2 mx = a12 m12 + 2a1a2 m12 + a2 m2

lk llerin korelasyonsuz olduklar durumda m12 = 0 varyans-kovaryans matrisi kegen bir matristir.m12 K ll = 0 0 2 m2

m2 K ff = x mxy

mxy 2 my

2 2 2 mx = a12m12 + a2 m2 2 2 m 2 = b12 m12 + b2 m2 y 2 mxy = a1b1m12 + a2b2 m2

Not: Hata yaylma kural sadece yeterince l bulunan durumlarda uygulanr. Fazla l varsa hata yaylma kural uygulanmaz. Fonksiyonun kesin deeri ve ortalama hatas dengeleme yaplarak bulunur.

rnek: Bir genin iki i as ve ortalama hatalar verilmitir. Bu genin nc asn ve ann ortalama hatasn hata yaylma kural uygulayarak hesaplaynz. Verilenler stenenler g a =53.5870g m = g =? a 8cc

b =57.6139g

mb =

10cc

mg

=?

a

b

1. zm g = 200 - (a + b ) =88.7991g

Fonksiyonmg = 12.8cc

dg = -da - db2 2 mg2 = ma + mb

= 82 + 102 = 164

2. zm g = 200 - (a + b ) =88.7991g

Fonksiyon

df =

A

dl

g [d ] = a g

dg = -da - dbg

g da b db

[d ] = [- 1m 2 K ll = a 0

da - 1] db

0 64 0 = 2 mb 0 100

llerin varyans-kovaryans matrisi Fonksiyonun varyans-kovaryans matrisi - 1 - 1

K ff = A K ll AT

[- 1

- 1]

[- 64

64 0 0 100

- 100]

K ff = [164]

mg2 = 164

mg = 12.8cc

rnek: ki kenar ve aralarndaki a verilen bir dzlem gende ann karsndaki kenar ve ortalama hatasn hesaplaynz. a=? Verilenler stenenler a =130.2080g 40cc a=? c b=280.50m 20cm ma =? b c=170.40m 15cm a

1. zm a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos a

a = 389.09m 2a da = (2b - 2c cos a ) db + (2c - 2b cos a ) dc + 2bc sin a da

b-c c-b bc cosa db + cos a dc + sin a da a a a da = 0.921 db + 0.767 dc + 10927.161 da da =

10927.161cm cc 2 m = (0.921) (20cm) + (0.767) (15cm) + (40 ) 636620cc 2 a 2 2 2 22 ma = 339.29cm 2 + 132.27cm 2 + 0.47cm 2 = 472.13cm 2

2

ma = 21.7cm

2. zm

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cosa

Fonksiyon 2a da = (2b - 2c cos a ) db + (2c - 2b cos a ) dc + 2bc sin a da

da =df

b-c c-b bc cos a dc + sin a da cosa db + a a a = A dla c da a db a da

[d a ] = a b

[da ] = b - c cosa a

c-b cosa a

bc sin a da a db cc r da

da [d a ] = [0.921 0.767 0.017] db da 2 mb K ll = 0 0

0 m 02 c

0 0 400 0 0 0 = 0 225 2 ma 0 0 1600 T

llerin varyans-kovaryans matrisi

K ff = A K ll A

Fonksiyonun varyans-kovaryans matrisi0 400 0 0 225 0 0 0 1600 0.921 0.767 0.017 K ff = [472.13]

[0.921

0.767 0.017 ]

[368.4

172.6 27.5]

ma = 21.7 cm rnek: ki kenar ve aralarndaki a verilen bir dzlem gende ann karsndaki kenar ve ortalama hatasn hesaplaynz. a=? Verilenler stenenler a =130.2080g a=? c b=280.50m 20cm ma =? b c=170.40m 15cm a2 ma = 472.13

rnek: Dik kenarlar llen bir dik genin hipotensn ve ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenler stenenler b=142.53m 8cm a=? c=92.68m 5cm ma =? a=? b

c

a2 = b2 + c 22a da = 2b db + 2c dc b c da = db + dc a a da = 0.838 db + 0.545 dc

a = 170.01m

2 ma = (0.838) 2 (8cm) 2 + (0.545) 2 (5cm) 2 2 ma = 52.37cm 2

ma = 7.2cm rnek: ki kenar llen bir dikdrtgenin alannn ortalama hatasnn kk olmas iin hangi kenarnn daha duyarlkl llmesi gerekir? Verilenler stenenler b a F=? ma a m F =? b mbF ab = dF b da + a db =2 2 2 mF b 2 ma + a 2 mb =

Aklama: Kk kenar daha duyarlkl llmelidir. nk kk kenarn varyans byk2 2 kenar ile arpm durumundadr ( a mb ).

rnek: ki kenar ve aralarndaki a llen bir dzlem genin alann ve alann karesel ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenler stenenler c a=35.40m 0.03m F=? c=28.15m 0.02m m F =? a =42.1605g 50cc a a 1. zm 1 F = a c sin a 2

F=306.3756m2 1 1 1 dF = c sin a da + a sin a dc + a c cosa da 2 2 2

1 1 1 2 m = c sin a ma + a sin a mc2 + a c cosa 2 2 2 2 F

2

2

2

ma cc r

2

50 2 2 2 2 mF = (8.6547 ) (0.03)2 + (10.8837 ) (0.02)2 + (392.9275) 636620 2 mF = 0.0674 + 0.0474 + 0.0010 = 0.1158

2

mF = 0.34 m22. zm 1 F = a c sin a 2 df = A dl

[d F ] = F a

F c

da F db a da

[d F ] = 1 c sin a 2

1 a sin a 2

da 1 a c cosa dc 2 da

da [d F ] = [8.6547 10.8837 392.9275] dc da llerin varyans-kovaryans matrisi

m 2 a K ll = 0 0

0 mc2 0

0 0.0009 0 0 0 0 = 0.0004 0 2 0 0.00000001 ma 0 cc r Fonksiyonun varyans-kovaryans matrisi0 0 0.0009 0 0.0004 0 0 0 0.00000001 8.6547 10.8837 392.9275 K ff = [0.1158]

K ff = A K ll AT

[8.6547

10.8837 392.9275]

[0.0078

0.0044 0.000002]

2 mF = 0.1158

ma = 0.34 m2

rnek: Bir as ve buna komu bir kenar llen bir dzlem dik genin kar kenarn ve kenarn karesel ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenler stenenler h=? s=100.00m 0.05m h=? s a

a =25.14gh = s tan a

4c

mh =?

h=41.68m dh = tan a ds sye gre trev

a ya gre trevdh = tan a ds + s 2 h 2 2 s

dh 1 = s da cos 2 a 1 da cos 2 a2

1 m = tan a m + s 2 cos a mh = 0.07 m

ma c r

2

rnek: A noktasna bal olarak ekildeki kulenin x yksekliini ve yksekliin karesel ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenler stenenler x=? s cos z s=72.50m 3mm x=? z z=80.3060g 5cc mx =? s h=1.50mx= s cot z + h

h1 dz sin 2 z

dx= cot z ds - s 2 mx =

A2

(cot z )2 ms2 + s

1 sin 2

mz cc r

2

mx = 9.6 mm rnek: Bir parselin kenar lleri, llerin duyarlklar ve aralarndaki korelasyonlar aada verilmitir. a) Bu llerin varyans-kovaryans matrisini oluturunuz. b) Bu fonksiyonlarn ortalama hatalarn hesaplaynz c) llerin fonksiyonlar arasndaki korelasyon katsaysn hesaplaynz. Verilenler l1 =48.00 m Fonksiyonlar 3 cm 2 cm 1 cm r12 = 0.6 r23 = 0.8 r14 = 0.5F1 = 2l 3 - 3l1 1 F2 = l 1 - 2l 2 + l 4 3 2

l 2 =52.00 ml 3 =40.00 m

l 4 =79.00 mmij = rij mi m j

2 cm

llerin varyans-kovaryans matrisi m12 m K ll = 12 m13 m14 m12 2 m2 m23 m24 m13 m232 m3

m34

m14 m24 = m34 2 m4

m12 r12 m1m2 r13 m1m3 r14 m1m4

r12 m1m2 2 m2 r23 m2 m3 r24 m2 m4

r13 m1m3 r23 m2 m32 m3

m34

r14 m1m4 r24 m2 m4 r34 m3 m4 2 m4 3 0 0 4

32 0. 6 3 2 0 0.5 3 2 22 0.8 2 1 0 0.6 3 2 = K ll = 0 0.8 2 1 12 0 0 0 22 0.5 3 2

9 3. 6 0 3.6 4 1.6 0 1. 6 1 0 0 3

F1 = 2l 3 - 3l1F2 = 1 l 1 - 2l 2 + l 4 3 2

dF1 = -3dl 1 + 2dl 3dF2 = 1 dl 1 - 4l 3 dl 3 + dl 4 2

d f = A dl

dl 1 2 0 dF1 - 3 0 dF = 0.5 0 - 160 1 dl 2 2 dl 3 K ff = A K ll AT

Fonksiyonun varyans-kovaryans matrisi 9 3.6 0 3.6 4 1.6 0 1.6 1 0 0 3 3 0 0 4 - 3 0.5 0 0 2 - 160 1 0 - 342.5 85 K ff = - 342.5 25609.3

2 0 - 3 0 0.5 0 - 160 1 2 mF1 K ff = mF1 F2

2 - 9 - 27 - 7.6 7.5 - 254.2 - 160 5.5

mF1 F2 = 2 mF2

- 342.5 85 - 342.5 25609.3

2 mF1 = 85

mF1 = 9.22

cm cm

m = 25609.32 F2

mF1 = 160.03

mF1 F2 = -342.5

rF1 F2 =

mF1 F2 mF1 mF2

=

- 342.5 = -0.23 9.22 160.03

rnek: Bir parselin kenar lleri, llerin duyarlklar ve aralarndaki korelasyonlar aada verilmitir. d) Bu llerin varyans-kovaryans matrisini oluturunuz. e) Bu fonksiyonlarn ortalama hatalarn hesaplaynz f) llerin fonksiyonlar arasndaki korelasyon katsaysn hesaplaynz. Verilenler l1 =33.260 m Fonksiyonlar 12 cm 11 cm 20 cm 9 cm r12 = 0.5 r23 = 0.2F1 = 2l1 + 3l 2 - l 2 4 F2 = l2 + 2l 4 3

l 2 =25.340 ml 3 =56.330 m

l 4 =12.000 m

rnek: a kenarn ve kenarn ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenler stenenler c =125.36 m 6 cm a=? g cc a =62.8416 20 ma =? cc b =87.9320g 20

g

a

a

g = 200 - (a + b )sin( g ) = sin(a + b )a c = sin a sin gda =

c

b

a =c

sin a sin g

a = c

sin a sin(a + b )

sin a c cos a sin(a + b ) - c cos(a + b ) sin a c cos(a + b ) sin a dc + da db 2 sin(a + b ) sin (a + b ) sin 2 (a + b )

rnek: a asn ve ann ortalama hatasn hesaplaynz.

Verilenler a =120.00 m b =150.00 m c =80.00 m

3 cm 4 cm 2 cm

stenenler a=? ma =?

a

ac

b

cosa =

a 2 + b2 - c 2 2ab2a 2ab - 2b(a 2 + b 2 - c 2 ) 2b 2ab - 2a(a 2 + b 2 - c 2 ) 2c 2ab da + db dc 2 2 (2ab ) (2ab ) (2ab )2

- sin a da =

2a 2ab - 2b(a 2 + b 2 - c 2 ) 2b 2ab - 2a(a 2 + b 2 - c 2 ) 2c 2ab da db + da = dc 2 2 (2ab) sin a (2ab ) sin a (2ab )2 sin a

da = -

2a 2b - a 2b + c 2b 2ab 2 - a 3 - b 2 a + c 2a 2c da db + dc 2 2 2 2 2a b sin a 2a b sin a ab sin a

2 2 2 2 ma = k12 r 2 ma + k 2 r 2mb + k32 r 2 mc2

Not: sonu a istendii iin uzunluklar r ile arplr

Arlk llerin duyarlklarn ve onlarn ne derece gvenilir olduklarn tanmlayan bir katsaydr. Bir uzunluk ayn duyarlkta 12 kez llm olsun. Aritmetik ortalama aadaki gibi yazlabilir. l + l 2 + ....... + l12 x= 1 n lk 5 l bir gurup, sonraki 4 l 2. grup ve dier ller 3. gurup ller olarak dnrsekl1 + l 2 + l 3 + l 4 + l 5 5 l6 + l7 + l8 + l9 u2 = 4 l 10 + l11 + l 12 u3 = 3 u1 =

x=

5 u1 + 4 u2 + 3 u3 5+4+3

Kesin deer

Buradaki; 5, 4 ve 3 katsaylarna arlk denir. Kesin deer hesabn geniletirsek p l + p 2 l 2 + + p n l n [ p l] x= 1 1 = [p] p1 + p 2 + + p n Genel aritmetik ortalama lk bamsz llerin ortalama hatas m0 ise, bu l gruplarnn birincisine yaylma kural uygulanrsa, l + l 2 + l 3 + l 4 + +l 5 u1 = 1 5 1 1 1 1 1 du1 = dl 1 + dl 2 + dl 3 + dl 4 + dl 5 5 5 5 5 51 1 2 1 2 1 2 1 2 m = m12 + m2 + m3 + m4 + m5 5 5 5 5 5 m1 = m2 = = m5 = m0 ise2 u1 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m = m0 + m0 + m0 + m0 + m0 5 5 5 5 52 u1

2

2

2

2

2

1 2 2 mu1 = 5 m0 5 bunu dier l guruplarna uyarlarsak

2

2 m0 5 m2 2 mu 2 = 0 4 m2 2 mu3 = 0 3 2 mu1 =

mi2 =

2 m0 pi

pi =

2 m0 sabit = mi2 mi2

Arln tanm

m0 : ilk bamsz llerin karesel ortalama hatas, mi : herhangi bir lnn karesel ortalama hatas, Aritmetik ortalamann arll1 + l 2 + ....... + l n n 1 1 1 dx = dl 1 + dl 2 + + dl n n n n x=

1 1 2 1 2 2 mx = m12 + m2 + + mn n n n

2

2

2

m1 = m2 = = mn = m02 mx = 2 2 2 m0 m0 m0 + 2 + + 2 n2 n n 2 m0 n2

2 mx = n 2 m0 n

2 mx =

2 m0 pi = 2 mi dan yararlanarak Arln tanm2 2 m0 m0 = 2 2 mx m0 n px = n

px =

aritmetik ortalamann arl.

Buradan farkl tekrardaki llerin arl, duyarl ve gvenirliinin farkl olduu sonucuna ulalr. Arlkl Ortalamann Arl

l 1 , l 2 ,, l n llerinin arlklar p1 , p2 , , pn olsun.

x=

p1l 1 + p2l 2 + + pn l n p1 + p2 + + pn

x=

p1l 1 p2l 2 pl + + + n n [ p] [ p] [ p] p1 p p dl 1 + 2 dl 2 + + n dl n [ p] [ p] [ p]2 2 2

dx =2 x

p 2 p 2 p m = 1 m12 + 2 m2 + + n mn [ p] [ p] [ p] pi =2 mx = 2 m0 mi2 2 1 2

Arlk tanmndan

mi2 =

2 m0 pi

2 p m0 p 2 m2 p 2 m2 + 22 0 + + n2 0 [ p] p1 [ p] p2 [ p] pn

2 mx =

p1 2 p p 2 2 m0 + 22 m0 + + n2 m0 2 [ p] [ p] [ p]

2 2 mx = m0

(p

1

+ p2 + + pn 2 [ p] = m0 2 [ p] [ p]2

)

2 mx =

2 m0 [ p] elde edilir.2 m0 mi2 arlk tanmndan

pi =

px =

2 2 m0 m0 = 2 = [ p] 2 mx m0 [ p] arlkl ortalamann arl

Bu aklamalara gre karesel ortalama hatalarla arlklar arasndaki dnm bants iin, pi =2 m0 mi2 den hareketle

2 2 2 m0 = p1m12 = p2m2 , , = pn mn

2 p1 m2 = 2 p2 m1 Arlk ve karesel ortalama hata arasndaki iliki,

Karesel ortalama hatann birimi olmasna karn ayn trden ller iin arlk birimsiz, farkl trden ller iin birimlidir. pi =2 m0 cc 2 cm 2 = = = birimsiz m12 cc 2 cm 2

pi =

cc 2 = birim cm 2

cc cc cc rnek: Bir a lmnde karesel ortalama hatalar m1 = 6 , m2 = 15 , ve m3 = 10 1 dir. kinci lnn arl p2 = 4 olarak verilmitir. P ve P3 arlklarn hesaplaynz.

2 p1 m2 = 2 p2 m1 2 p2 m3 = 2 p3 m2

den den

p1 = p2 p3 = p2

2 m2 = 25 m12 2 m2 = 9 2 m3

rnek: Bir dzlem gende llen alarn arlklar nc ann arln bulunuz. g = 200 - (a + b )

pa = 6 , pb = 3 olarak verildiine gre

dg = -da - db2 2 m2 = m + m

2 m0 m = pi den hareketle 2 i

mg2 =2 0

2 m0 pg 2 0

,

2 m =

2 m2 m0 2 m = 0 p p ve tanmndan

m m m2 = + 0 p p p

1 1 1 = + p p p

,

1 1 1 = + p 6 3

,

p = 2

rnek: Ayn aletle ayn kii ayn bykl birinci kez n sayda ikinci kez m sayda lyor. l saylar arasndaki ilikiyi arlk cinsinden bulunuz. l + l + + l 1n l + l 22 + + l 2 m x = 11 12 y = 21 n m 1 1 1 1 1 1 dx = dl11 + dl 12 + + dl1n dy = dl 21 + dl 22 + + dl 2 m n n n m m m1 2 1 2 1 2 mx = m11 + m12 + + m12n n n n2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 m y = m21 + m22 + + m2 m m m m

2

2

2

m11 = m12 = = m1n = m02 mx = 2 2 2 m0 m0 m0 + 2 + + 2 n2 n n

m21 = m22 = = m2m = m02 my = 2 2 m0 m0 m2 + 2 + + 0 m2 m m2

2 mx = n

2 m0 n2

2 my = m

2 m0 m2

2 m0 m2 2 my = 0 n m Arlk ve karesel ortalama hata arasndaki iliki tanmndan 2 mx =2 m0 n px = m2 = p y m0 m n

2 px m y = 2 p y mx

rnek: ekildeki A ve B noktalar arasndaki Dh ykseklik fark eit uzaklkta olacak ekilde n kez alet kurularak belirlenmitir. Dh ykseklik farknn arln hesaplaynz. Dh = Dh1 + Dh2 + + Dhn dDh = dDh1 + dDh2 + + dDhn2 2 2 2 mh = mDh1 + mDh2 + + mDhn

B d Dh3Dh

Ayn geki, ayn alet, ayn lmeci iin ykseklik farklarnn ortalama hatalar eit alnabilirmDh1 = mDh2 = + mDhn = m0

Dh2d A d

Dh1s

m = nm2 h

2 0

d iki mira arasndaki mesafe eit alnrsa n alet kurma says olmak zere s n@ d olur.2 mh =

s 2 m0 d

2 sabit c m0 p h = 2 = 2 pi = 2 mi tanmndan mh mh c cd 1 p h = = 2 s m0 s 2 m0 d cd 2 m0 skaler saysna k dersek

k=1 km iin Sonu: Nivelmanda arlklar geki uzunluu ile ters orantldr. rnek: ekildeki A ve B noktalar arasndaki l uzunluu eit uzaklkta olacak ekilde n kez ( s1 , s2 , , sn ) elik erit metre ile llmtr. l uzunluunun arln hesaplaynz.

p h =

k s

p h =

1 s(km)

l = s1 + s2 + + sn dl = ds1 + ds 2 + + dsnml2 = ms21 + ms22 + + ms2n

B

Ayn geki, ayn alet, ayn lmeci iin Uzunluklarn ortalama hatalar eit alnabilirms1 = ms 2 = = ms n = m0

s3 s2 s1l

s1 = s2 = = s yaklak eit alnrsal erit boyu olmak zere l = n s2 ml2 = n m0

An= l s

l 2 m0 s Arln tanmndan sabit c c cs 1 Pl = = 2 = = 2 2 ml ml l m 2 m0 l 0 s ml2 =

olarak bulunur.

cs 2 m0 skaler saysna k dersek 1 k pl = pl = s l k=1 iinSonu: Uzunluk lmelerinde arlklar llen uzunluk ile ters orantldr. rnek: Bir nirengi andaki noktalar lmek iin farkl iki alet kullanlmtr. Birinci aletle belirli bir a 20 kez llmtr. Her iki aletle yaplan ller sonucunda birim llerincc cc ortalama hatalar m1 = 2 ve m2 = 3 olarak bulunmutur. Her iki aletle yaplan llerin kesin deerlerinin arlklarnn eittir. Bu durumda ikinci aletle ka kez l yaplmtr.

x1 =

l11 + l 12 + ....... + l 1, 20 n

2 mx1 =

2 m0 22 4 = = n 20 20

l + l 22 + ....... + l 2, 20 x2 = 21 m

2 m0 32 9 m = = = m 20 20 2 x2

px1 = p x2

2 2 m0 m0 = 2 2 mx1 mx2

2 2 m0 m0 = 4 9 20 m

m=

9 20 = 45 4 kez

rnek: Bir nivelman anda B noktasndan A noktasna l1 ve C noktasna l 2 ykseklik farklar llmtr. A dan C ye olan ykseklik farknn karesel ortalama hatasn bulunuz.

l1 = 12.544 m l 2 = 37.182 m H A = H B + l1HC = HB + l 2

s1 = 5 km s2 = 3 km

m0 = 10 mm B

l1s1

A s2 C

l2

DH AC = H C - H A = H B + l 2 - H B - l 1 = l 2 - l1 d DH AC = dl 2 - dl 12 mDH AC = ml22 + ml21

pi =

sabit 10 = si (km) si (km)2 m0 102 = = 30.33 m = pl 2 10 3 2 l2

2 m0 102 = = 50 m = pl 1 10 5 2 l1

2 mDH AC = ml22 + ml21 = 50 + 30.33 = 80.33

mDH AC = 8.95

Ters Arlk (Kofaktr)

1 pi byklne ters arlk denir. Arlk kavram bamsz Arln tersi olan llerin dengelenmesi ve bunlara hata yaylma kuralnn uygulanmas iin yeterlidir. Ters Arlk kavram ise korelasyonlu llerin dengelenmesi ya da korelasyonlu llere genel hata yaylma kuralnn uygulanabilmesi iin gereklidir. qi =lk bamsz ller l1 , l 2 , , l n nin dorusal bir fonksiyonu y = a0 + a1l1 + a2l 2 + + anl n eklinde olsun. Hata yaylma kural uygularsak dy = a1dl1 + a2dl 2 + + an dl n2 2 2 2 2 my = a12 m12 + a2 m2 + + an mn1

m1 = m2 = = mn = m0 olduunu varsayarak ve arln tanmndan2 2 2 m0 m2 2 m 2 m = a12 0 + a2 0 + + an 0 py p1 p2 pn 2 2 1 a12 a2 an = + + + p y p1 p2 pn

mi2 =

2 m0 pi yararlanarak

Arln yaylma kural matris gsterimi ile

qy =

1 T = a p -1 a py

Arlklarn yaylma kural

lk bamsz ller korelasyonsuz olduklarndan buradaki p matrisi bir kegen matristir. p1 p= p2 pn Arlk matrisi

qi =

1 mi2 = 2 pi m0 Ters Arlk tanmndan yararlanarak 1 1 1 qy = , q1 = , , qn = py p1 pn yazlrsa bu eitlik2 2 q y = q1 a12 + q2 a2 + + qn an

matris gsterimi ile

q y = a Qll a

T

Ters Arlklarn yaylma kural

lk ller korelasyonsuz olduklar iin buradaki Q matrisi de bir kegen matristir.q1 Qll = Q = pi-1

q2 .

qn Ters Arlk (kofaktr matrisi)

Arlk ile Ters Arlk arasndaki iliki

Korelasyonlu llerin ters arlk matrisi Q dolu bir matristir. Bu matrisin kegen d m qij = ij 2 m0 tanm yaplrsa, korelasyonlu llerlerin ters arlk matrisi Qll ile elemanlar iin varyans-kovaryans matrisi K ll arasndaki ilikiler kurulabilir.2 K ll = m0 Qll

q11 q12 q13 . q1n m13 . m1n q . q2 n m23 . m2 n 21 q22 q23 2 2 = m0 q31 q32 q33 . q3n m32 m3 . m3n . . . . . . . . . 2 qn1 qn 2 qn 3 . qnn mn 2 mn 3 . mn Varyans-kovaryans matrisi Ters Arlk (Kofaktr) Matrisi m12 m21 m31 . m n1 m12 2 m2

Korelasyon katsaysnn tanmndan m qij rij = ij = mi m j qi q j qij = rij qi q j

korelasyon katsays ile ters arlk arasndaki iliki.

rnek: Bir genin kenarlar EU ile llm ve a, b, ve c kenarlarnn karesel ortalama hatalar verilmitir. Birim arlkl varyans 225 mm2 ise llen kenarlarn ters arlk matrisini bulunuz. Verilenler (mm) ma =16.2 mab =187.76 mm mb =15.3 mm mc =20.6 mm2 ma K ll = mba mca

mm2 mbc =196.16 mm2 mac =217.63 mm2

mab2 mb mcb

mac mbc = 2 mc

16.22 187.76 217.63 2 196.16 187.76 15.3 217.63 196.16 20.6 2

2 K ll = m0 Qll

2 m0

=225 mm2

q11 K ll Qll = 2 = q12 m0 q13

q12 q22 q23

q13 1.1664 0.8345 0.9672 q23 = 0.8345 1.0404 0.8718 q33 0.9672 0.8718 1.8860

qii = qij =

mi2 2 m0 mij 2 m0

rnek: Bir noktann konumu a aklk as ve s kenar uzunluu ile verilmitir. a asnn standart sapmas (karesel ortalama hatas) 1.5cc, s uzunluunun 2 cm ve aralarndaki korelasyon 0.6 olarak verilmitir. a) a ve s byklklerinin varyans-kovaryans matrisini2 b) Birim arlkl varyans m0 = 5 cm2 olduuna gre arlk katsaylar matrisini c) ve ters arlk katsaylar matrisini oluturunuz. Not: Birimleri ile beraber

a x= s2 ma = 2.25(cc)2

m2 K ll = a msa

mas ms2

ms2 = 4cm 2 mas = ras ma ms = 0.60 1.5cc 2cm = 1.8cc cm2 ma K ll = msa

mas = ms2

2.25(cc ) 1.8cc cm cc 2 1.8 cm 4cm 2

varyans-kovaryans matrisi

K ll = m Qll2 0

Qll =

K ll 2 m02

2 m0 = 5cm 2

( cc ) cm 2 Qll = 0.45 cc 0.36 cm

cc 0.36 cm 0.80

Ters arlk matrisi

pll = Qll1

cm ( cc ) 2 pll = 3.47 cm - 1.56 cc 2

cm - 1.56 cc 1.95

Arlk matrisi

rnek: Bir genin kenarlar EU ile llm ve a, b, ve c kenarlarnn karesel ortalama hatalar verilmitir. llen kenarlarn ters arlk matrisini bulunuz. Verilenler ma =16.2

rab = 0.5

mm mb =15.3 mm mc =20.6 mm2 ma K ll = rab ma mb rac ma mc

rbc = 0.7 rac = 0.9

rabma mb2 mb rbc mb mc

rac ma mc 16.22 0.5 16.2 15.3 0.9 16.2 20.6 rbc mb mc = 0.5 16.2 15.3 15.32 0.7 15.3 20.6 mc2 0.9 16.2 20.6 0.7 15.3 20.6 20.6 2

262.44 123.93 300.35 K ll = 123.93 234.09 220.63 300.35 220.63 424.36 2 K ll = m0 Qll

m0 = 20.6 mm seersekq12 q22 q23 q13 q23 = q33

2 m0

=424.36 mm2 qii = qij = mi2 2 m0 mij 2 m0

q11 K ll Qll = 2 = q12 m0 q13

0.6184 0.2920 0.7078 0.2920 0.5516 0.5199 0.7078 0.5199 1

Birim lnn Ortalama Hatas Bir bykle ait n sayda bamsz l yaplm olsun. Bu byklklerin ortalamas alnarak bykle ait kesin deer bulunabilir. Kesin deere gre her bir lnn kesin deerden fark lye getirilecek dzeltme olarak bulunur. l + Dzeltme = Kesin Deer l i + vi = x pi (arlk) --------------------------------v1 = x - l 1 p1 vi = x - l i l + Gerek Dzeltme = Gerek Deer l i + ei = m

ei = m - l ii = vi + ( - x)

l i = x - vi

v2 = x - l 2 vn = x - l n

p2pn

pi (arlk) -----------------------------------------1 = v1 + ( - x ) p1

2 = v2 + ( - x )

p2pn

--------------------------------p1v1 = p1x - p1l 1 p2v2 = p2 x - p2l 2 ..... pnvn = pn x - pnl n --------------------------------[ pv] = x [ p] - [ pl] = 0 [ pl] x= [ p]

n = vn + ( - x )

-----------------------------------------p11 = p1v1 + p1 ( - x ) p22 = p2v2 + p2 ( - x ) ..... pn n = pnvn + pn ( - x ) -----------------------------------------[ p ] = [ pv] + [ p]( - x ) [ p ] = 0 + [ p]( - x )

[ p] = px Kesin deerin arl x = ( - x ) Kesin deerin gerek dzeltmesi

Gerek dzeltmelerin arlkl kareleri toplam

[ p ] = [ pvv] + [ p]( - x )2 + 2[ pv]( - x ) [ p ]= pvv +] p[(] - x )2 + 2 0 ( - x ) [[ pvv] = [ p ] - [ p]( - x )2 [ pvv] = (p112 + p2 22 + + pn n2 ) - px x2

[ pvv] yi ekersek [ pee ] ak yazlrsa

2 2 Gerek deerler bilinmediinden gerek dzeltme e da bilinmez. e i ler yerine mi ( mi gerek dzeltmelerin en uygun tahmini deerleridir)ler yazlrsa

pi =

2 m0 2 mi2 arlk tanmndan m0 = pi mi2 [ pvv ] de yerine konursa

[ pvv] = (m02 + m02 + + m02 ) - m02 = (n - 1 ) m02 [ pvv] m2 =0

n -1

m0 =

[ pvv]n -1Arlklar (duyarlklar) farkl birim lnn ortalama hatas

Bu bant arl 1 olan bir lnn ortalama hatasn verir. (n-1) fazla l saysdr. Bilinmeyen says u olan bir problemde

m0 =

[ pvv]n-uBirim lnn ortalama hatas (Duyarlklar farkl korelasyonsuz)

Eer arlklar p =1 olarak seilirse

m0 =

[vv]n-uBirim lnn ortalama hatas (Duyarlklar eit korelasyonsuz)

Ortalama hata kavram tek bir l iin deil duyarlklar eit ayn trden l guruplar iin sz konusudur. mi2 =2 m0 pi arlk tanmndan

mi =

m0 pi

Arl pi olan herhangi bir lnn ortalama hatas

rnek: ekildeki a as 5, 2 ve 2 kez yaplm llerden srasyla 101g.120, 101g.220 ve 101g.180 olarak hesaplanmtr. a asnn kesin deerini ve karesel ortalama hatasn hesaplaynz. [25 p.] B

x=x=

p1 l1 + p2 l 2 + p3 l 3 [ pl ] = p3 + p2 + p3 [ p]5 101.120 + 2 101.220 + 2 101.180 910.4 = = 101.155 5+2+2 9

A

aC

No 1 2 3

p

l

(g)

x=

[ pl] [ p]

v = x (c ) - l3.5 -6.5 -2.5

pvv

5 2 2

[ pvv] =m0 =

[= p]

101.120 101.220 101.180

101.155

61.25 84.50 12.50

9

158.25

[ pvv] =n -1

158.25 = 8.9c 3 -1

Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit llerin Ortalama Hatas

ller arasnda sabit bir otokorelasyon [e ie j ] mij = n(n - 1) 2 n(n - 1) [e ie j ] = mij 2 n(n - 1) 2 [e ie j ] = rij m0 2

rij =

mij 2 m0 varsa

e e 2 e e =v v+ + (n - 1) rij m0 nT T T

2 (n - 1) e e = n v v + n(n - 1) rij m0 T T

n(n - 1) e blersek

e e v v 2 = + rij m0 n n -1T T

e e v v 2 - rij m0 = n n -1T T 2 m0 (1 - rij ) =

v v n -1T

T

2 m0 =

v v (n - 1) (1 - rij )

m0 =

v v (n - 1) (1 - rij )

T

Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit llerin Ortalama Hatas

Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit llerin Aritmetik Ortalamasnn Ortalama Hatas

n n ller arasnda sabit korelasyon varyans-kovaryan matrisinde depolanmtr.2 m0 K ll =

x=

[l] = eT l

mij 2 m0

mij mij m2 0

. mij 1 rij 1 . mij 2 = m0 . mij . . . 2 . m0

rij rij 1 .

. rij . rij . rij . . . 1

Aritmetik Ortalamasnn Ortalama Hatas eitliine hata yaylma kural uygulanrsa 1 T dx = e dl n2 mx =T

2 e K ll e = m0 n { + (n - 1) rij } 12 2 mx = m0

1 T e K n2

ll

e

1 + (n - 1) rij n

1 + (n - 1) rij n Duyarlklar ve Korelasyonlar Eit aritmetik ortalamann ortalama hatas mx = m0

1 + (n - 1) rij v v m = n (n - 1) (1 - rij )T 2 x

1 + (n - 1) rij v v m = n (n - 1) (1 - rij )T 2 x

Bamsz llerde

rij

=0 dr

2 mx =

v v n (n - 1)

T

mx =

m0 n

Kesin deerin ortalama hatas

rnek: Bir nirengi noktasnn ykseklii civarda bulunan 6 nirengi noktasna yaplan dey a gzlemleri yardmyla dengelenecektir. Civardaki nirengi noktalarnn ykseklikleri nivelmanla bulunmutur. Bir tek noktaya alet kurularak llen dey alardan hesaplanan r ykseklikler arasndaki korelasyon katsays ij =0.87 olduu bilindiine gre duyarlklar eit olan bu yksekliklerin ortalama hatasn hesaplaynz. Verilenler (mm) rij =0.87 h1 =628.45 h2 =628.59

h3 =628.46 h6 =628.53

m0 = ? mx = ?

h4 =628.42l i (m) 628.45 628.59 628.46 628.42 628.55 628.53

h5 =628.55

vi = x - l i (cm) 5 -9 4 8 -5 -3

[v]=

0

x=

[h]n = 628.50 m kesin ykseklik

vT v = [v v ] =220T

m0 =

v v 220 = = 18.4 (n - 1) (1 - rij ) (6 - 1) (1 - 0.87)

cm

Birim

lnn

ortalama hatas mx = m0 hatas 1 + (n - 1) rij 1 + (6 - 1) 0.87 = 18.4 = 17.4 n 6 cm Kesin deerin ortalama

Korelasyon gz ard edilerek bamsz ller iin karlan bantlarla hesap yaplrsa

m0 =

[vv]n -1

=

220 = 6.6 6 -1 cm Birim lnn ortalama hatas

mi =

6.6 m0 = = 2.7 6 n cm

Kesin deerin ortalama hatas

Aklama: ller arasndaki korelasyonun gz ard edilmesi ortalama hesaplanmasnda yanl (kk) sonularn elde edilmesine neden olur.

hatann

ift ller Yardm le Ortalama Hata Baz byklkler gidi-dn olarak yada karlkl llrler (nivelman, kenar ls) Arlklar Eit l iftleri l + Gerek Dzeltme = Gerek Deer l1i + e 1i = l 2i + e 2i = m l1i - l 2i = e 2i - e1i di = e 2i - e1i d1 = -e11 + e 21 d 2 = -e12 + e 22 ... d n = -e1n + e 2n

[dd ] = [e1e1 ] + [e 2e 2 ] - 2 [e1e 2 ]lk bamsz llerin gerek dzeltmelerinin (+) iaretli olma olaslklar ile (-) iaretli olma olaslklarna eit olduundan, e 1e 2 arpmlarnn iaretlerinin de (+) iaretli olma olaslklar ile (-) iaretli olma olaslklar eit olur. Yeterince lden yararlanarak yaplan hesaplamalarda e 1e 2 arpmlarnn toplamnn mit deeri E[e1e 2 ] = 0 olur. Yukardaki eitlik l iftleri saysna blnerek

[dd ] = [e1e1 ] + [e 2e 2 ]n n n

[dd ] = m 2 + m2n2 0

1

2

duyarlklar (arlklar eitse)

m =m =m

[dd ] = 2 m2n0 2 m0 =

2 1

2 2

[dd ]2n

m0 =

[dd ]2n Tek bir gidi ya da dn lsnn ortalama hatas

Kesin deerin ortalama hatasna hata yaylma kural uygulanrsa l + l 2i l i = 1i 2 1 1 dl i = dl 1i + dl 2i 2 2ml2 = 1 2 1 2 m1 + m2 4 4 1 2 ml2 = m0 2

ml =

m0 1 = 2 2

[dd ]nGidi-dn llerinin ortalamasnn ortalama hatas

rnek: Bir poligon ann 12 noktasndaki krlma alar ikier yarm dizi gzlenmi ve l deerleri aada verilmitir. Tek bir yarm dizilik lnn ortalama hatasn ve iki yarm dizinin ortalama hatasn hesaplaynz. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 I. Yarm Dizi 176.6533 198.6518 193.8955 189.5445 201.9753 215.2592 196.1276 188.5691 190.6712 194.2566 203.6533 172.1097 II. Yarm Dizi 176.6568 198.6488 193.8980 189.5435 201.9738 215.2622 196.1241 188.5751 190.6722 194.2586 203.6503 172.1062

d cc = I - II-35 30 -25 10 15 -30 35 -40 -10 -20 30 35

[dd ] =

9425

n = 12

Tek bir lnn ortalama hatas

m0 =

[dd ] = 2n

9425 = 19.8cc 2 12

ki yarm dizilik lnn ortalama hatas 19.8 m = 14cc ml = 0 = 2 2

Arlklar Farkl l iftleri pi (arlk) -----------------------------d1 = -e11 + e 21 p1 d 2 = -e 12 + e 22 p2 ... d n = -e1n + e 2n pn di = -e1i + e 2i

[ pdd ] = [ pe1e1 ] + [ pe 2e 2 ] - 2 [ pe1e 2 ][ pdd ] = [ pe1e1 ] + [ pe 2e 2 ]n n [ pdd ] = m2 + m2 1 2 nm = m = m2 0 2 1 2 2

E[ pe1e 2 ] = 0

n

duyarlklar (arlklar eitse)

[ pdd ] =n

2 2 m0

2 m0 =

[ pdd ]2n

m0 =

[ pdd ]2n m0 1 = 2 2Tek bir gidi ya da dn lsnn ortalama hatas

ml =

[ pdd ]nGidi-dn llerinin ortalamasnn ortalama hatas (Arl p = 1 olan ift llerin ortalama hatasnn ortalama Hatas)

mi =

m0 pi ml pi

Arl pi olan bir tek lnn ortalama hatas

ml i =

Arl pi olan bir ift lnn ortalama hatas

rnek: Bir nivelman anda 12 nokta aras ykseklik farklar gidi-dn llmtr. Geki uzunluklar ve llen ykseklik farklar aada verilmitir. 1 km uzunluundaki bir gekide bir tek gidi ya da dn lsyle bulunan ykseklik farknn ortalama hatas ve gidi-dn llerinin kesin deerinin ortalama hatasn bulunuz.

No Gidi

Dn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8.746 5.665 12.225 17.524 15.243 14.948 7.172 6.989 28.775 10.155

8.739 5.680 12.227 17.541 15.235 14.936 7.185 6.974 28.765 10.163

Geki Uzunluu (km) 3.5 3.8 1.9 2.2 0.8 1.2 1.5 1.8 1.4 2.6 n = 10

d mm= Gidi - Dn

pi=0.29 0.26 0.53 0.45 1.25 0.83 0.67 0.55 0.71 0.38

1 skm

7 -15 -2 -17 8 12 -13 15 10 -8

[ pdd ]=

740.39

1 km lik gekide bir tek gidi ya da dn lnn ortalama hatas m0 =

[ pdd ] = 2n

[dd ]

s = 740.39 = 6.1 mm 2n 2 10

1 km lik gekide kesin deerin ortalama hatas m 6.1 ml = 0 = = 4.6 mm 2 2

Korelasyonlu l iftleri Duyarlklar eit ve korelasyonlu dizilerden 1. si l1 ve 2. si l 2 vektrlerinde toplansn. pi (arlk) -----------------------------d d = e1 e1 + e 2 e 2 - 2 e1 e 2T T T T

d i = -e 1 + e 2

d d e1 e1 e 2 e 2 e e = + - 2 1 2 n n n nT T T T

d d 2 = m12 + m2 - 2 m12 n2 2 m0 = m12 = m2

T

duyarlklar eit korelasyon tanmndan

r12 =

m12 m1 m2

2 m12 = r12 m1 m2 = r12 m0

d d 2 2 2 = m0 + m0 - 2 r12 m0 n d d 2 2 = 2 m0 - 2 r12 m0 n d d 2 = 2 m0 (1 - r12 ) n2 m0 =

T

T

T

d d 2n (1 - r12 )T

T

d d m0 = 2n (1 - r12 )

Duyarlklar ve korelasyonlar eit l iftlerinde bir tek gidi ya da Dn lsnn ortalama hatas

Elektronik uzaklk lerlerle karlkl olarak llen nirengi ya da poligon kenarlar ve ayn anda karlkl olarak gzlenen dey alar korelasyonlu l iftleridir. Bu l iftlerinin

ortalamas alnarak bulunan kesin deerlerin ortalama hatas iin hata yaylma kural uygulanrsa

li =

l 1i + l 2i e li = 2 2 1 1 1 T dl i = dl 1i + dl 2i = e dli 2 2 21 T e K ll e 41 m12 2 = m0 2 m0 r12 r12 1

T

ml2 =

2 m0 K ll = m12T

r12 =

m12 2 m0

2 e K ll e = m0 2(1 + r12 )

ml2 =

1 2 2(1 + r12 ) m0 4 2 (1 + r ) 12 ml2 = m0 2

(1 + r12 ) d d 1 + r12 ml = m0 = 2 4n 1 - r12Duyarlklar ve korelasyonlar eit l iftlerinde kesin deerin ortalama hatas rnek: Bir nirengi anda 10 kenar ayn gnde EU ile karlkl olarak llm ve l deerleri aada verilmitir. Duyarlklar eit olan bu l iftleri arasndaki korelasyon r12 = 0.68 dir. Tek bir lnn ortalama hatasn ve kesin deerin ortalama hatasn hesaplaynz. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

T

l11985.028 2217.541 2828.989 814.235 3517.524 1206.087 2613.761 1540.914 1453.438 1839.392

l21985.013 2217.549 2828.979 814.237 3517.509 1206.080 2613.785 1540.885 1453.455 1839.404

d cm = l 2 - l 1 -15 8 -10 2 -15 -7 24 -29 17 12

m0 =

d d 2517 = = 19.8 2n (1 - r12 ) 2 10 (1 - 0.68)

T

mm

Bir tek lnn ortalama hatas Kesin bir lnn ortalama hatas

ml = m0

(1 + 0.68) (1 + r12 ) = 19.8 = 18.1 2 2 mm

Dengeleme Hesabnn Konusu ve Ana lkeleri Uygulamal fen bilimlerinde problemlerin zm iin gereinden fazla l yaplr. llerin tmnden yararlanarak bilinmeyenlerin en uygun deerlerini (kesin deeri) saptamak dengeleme hesabnn konusudur. Bir bykle ait yaplan ok sayda lden elde edilen kesin deer herhangi bir lye oranla bir basamak daha gerek deere yakn olur. Byle bir deeri elde etmek iin n l, u bilinmeyen says olmak zere r = n - u adet farkl zm yaplabilir. Bu farkl zmleri ortadan kaldrmak ve parametrelerin tek anlaml zmn elde etmek iin aada yazlan ama fonksiyonlar ile zm yaplr.

[vv] = min [ pvv] = minv Q ll v = v p v = minT -1 T

Eit arlkl ve korelasyonsuz ller iin Arlklar farkl ve korelasyonsuz ller iin Arlklar farkl ve Korelasyonlu ller iin

Bilinmeyenlerin tek anlaml zmnde kullanlan matematik model iki modele ayrlr. Fonksiyonel Model + Stokastik Model = Matematik ModelF( x,l ) = 0

Q ll = p

-1

Fonksiyonel model: llerle bilinmeyenler arasndaki sabit geometrik ve fiziksel ilikileri gsteren fonksiyonlardr. Problemin zellii gerei bu fonksiyonlar dorusal olmayabilir. Ancak En Kk Kareler (EKK) Yntemi ile zm yapabilmek iin dorusal olmayan fonksiyonel model dorusallatrlmaldr. Bu nedenle dorusal olmayan fonksiyonel modeller Taylor serisine alarak dorusallatrlr. Stokastik model: llerin duyarlklar (ortalama hata, arlk) ve aralarndaki korelasyonlar konusunda dengelemeden nce elde bulunan bilgilere denir. Stokastik model ller yada bilinmeyenler arasndaki apraz ilikileri, duyarlklar yanstan ve istatistik teorisine gre kurulan modeldir. Stokastik model sadece fiziksel nedenlere dayal ilikileri yanstyorsa kegen varyans-kovaryans matrisi olarak karmza kar. Ancak bu yap her zaman geerli olmaz. ller bamsz olsa bile fonksiyonel modelden elde edilen deikenler baml olabilir ve bunun sonucu olarak varyans-kovaryans matrisi dolu bir matris olarak karmza kar. Bir dengeleme probleminde n = l says u = bilinmeyen says (tek anlaml zm iin gerekli l says)

f = n-u fazla l says n > u ya da f > 0 n = u ya da f = 0 n < u ya da f < 0 zm yaplabilir. ise fazla l vardr. ller dengelenerek kesin deerler bulunur ise tek anlaml zm denklem zm ile elde edilir ise tek anlaml zm iin yeterli l yoktur. Varsaymlara dayal

Dengeleme hesab; fonksiyonel modelin trne gre; a) Dolaysz (direkt) ller dengelemesi, b) Dolayl (Endirekt) ller dengelemesi, c) Koullu (artl) ller dengelemesi, d) Bilinmeyenli Koullu ller dengelemesi, e) Bilinmeyenleri arasnda koul bulunan Dolayl ller dengelemesi Dengeleme hesab; stokastik modelin trne gre; a) Eit arlkl ve korelasyonsuz b) Arlklar farkl ve korelasyonsuz c) Arlklar farkl ve Korelasyonlu

Dolaysz (Direk) ller Dengelemesi Aranan bykln dorudan lld durumlarda bilinmeyenlerin en uygun deerini belirlemeye dolaysz ller dengelemesi denir. Arlklar eit ve korelasyonsuz dolaysz ller dengelenmesi Bir byklk n kez llsn. lk bamsz ller l1 , l 2 ,...,l n olsun. Buna gre matematik model, x llerin kesin deeri olmak zere; l i + vi = x l + dzeltme = kesin deer --------------------------------------------------------l1 + v1 = x v1 = x - l1 l 2 + v2 = x v2 = x - l 2 ...... l n + vn = x ...... vn = x - l n vi = x - l i

Bu bykle ait llerin duyarlklar (arlklar) eit olsun pi =1 (i=1, 2, , n). Burada n l says, u bilinmeyen says olmak zere, f = n-u = n1 tane zm vardr. Tek anlaml zm iin [vv ] = min art (eit arlkl ve korelasyonsuz ller) ile zm yaplr.

[vv] = v12 + v22 + .... + vn2 = minv12 = x 2 - 2 xl 1 + l 2 12 v2 = x 2 - 2 xl 2 + l 2 2

......

[vv] = nx 2 + [ll] - 2 x[l ]

2 vn = x 2 - 2 xl n + l 2 n

[vv] = min olmas iin fonksiyonun x bilinmeyenine gre birinci trevi sfra eitlenmelidir.[vv ] = 2nx - 2[l] = 0 x nx - [l] = 0 Normal denklem x=

[l]n

Kesin deer

Sonu: arlklar eit ilk bamsz llerin EKK ile dengelenmesi sonucunda elde edilen kesin deer, gzlemlerin aritmetik ortalamasdr. Hesap kolayl iin kk deerlerle allr. x iin x0 gibi bir yaklak deer seeriz. Bu durumda kesin deer x = x0 + dx olur ( dx : dengeleme bilinmeyeni) vi = x - l i vi = ( x0 + dx ) - l i vi = dx - (l i - x0 ) vi = dx - li --------------------v1 = dx - l 1 v2 = dx - l2 vn = dx - ln Denetim lemleri Dzeltmelerin Toplam Kontrol [v ] = 0 [v] = n x - [l] [v] = n dx - [l]x= dx =

li = (l i - x0 )

[l]n

[l]n

dx = n

[l]n

[v] = n [l] - [l] = 0

[v] = n [l] - [l] = 0n

Dzeltmelerin Kareleri Toplam Kontrol [vv] vi = dx - li [vv] = dx [v] - [vl] denklemi vi ile arplrsa vi = dx - li - [vl] = -dx [l] + [ll] denklemi - l i ile arplrsa [vv] = dx [v] - dx [l] + [ll] [v] = 0 olduu iin

[vv] = [ll] - dx [l] [vv] =[ ll] - [l] [l]n

[l]2 [vv] =[ ll] n

Duyarlk Hesaplar

m0 =

[vv]n -1Birim lnn ortalama hatas Aritmetik ortalamann (bilinmeyenlerin) karesel ortalama hatas

mx =

m0 n

rnek: Bir a ayn gn ayn aletle ayn lmeci tarafndan 12 kez gzlenmi aadaki deerler bulunmutur. Ann kesin deerini, bir lnn ortalama hatasn ve kesin deerin ortalama hatasn bulunuz [v ] = 0 ve [vv] kontrollerini yapnz. No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12l (g )

l = l i - x0 ( ) 0.8 0.7 1.0 1.5 1.5 0.2 1.3 1.7 1.2 1.8 2.9 2.4 [l] = 17.0dx =cc

v = dx - l i (cc) 0.62 0.72 0.42 -0.08 -0.08 1.22 0.12 -0.28 0.22 -0.38 -1.48 -0.98

67.46188 67.46187 67.46190 67.46195 67.46195 67.46182 67.46193 67.46197 67.46192 67.46198 67.46202 67.46204

[v] = 0.04[l] = 17.0 = 1.42ccn 12

x0 = 67.46180 olarak seilsin

x = x0 + dx = 67 g.46180 + 1cc.42 = 67 g.461942

Ann kesin deeri

m0 =

6.02 = 0cc.74 n -1 12 - 1 Gzlemlerin ortalama hatas 0.74 m mx = 0 = = 0cc.21 12 n Kesin deerin ortalama hatas =

[vv]

Kontroller

[v] = 0.04 @ 0 [vv] = 6.02 [vv] = [ll] - dx[l] = 30.10 - 24.14 = 5.96 2 [vv] =[ ll] - [l] = 30.10 - 289 = 6.02n 12

Arlklar Farkl ve korelasyonsuz dolaysz ller dengelenmesi Bir byklk n kez llsn. lk bamsz ller l1 , l 2 ,...,l n olsun. Bu llerin arlklar da p1 , p2 ,..., pn olsun. Buna gre matematik model, x llerin kesin deeri olmak zere; l + dzeltme = kesin deer l i + vi = x vi = x - l i

Hesap kolayl iin kk deerlerle allr. x iin x0 gibi bir yaklak deer seeriz. Bu durumda kesin deer x = x0 + dx olur ( dx : dengeleme bilinmeyeni) vi = x - l i vi = ( x0 + dx ) - l i vi = dx - (l i - x0 ) Fonksiyonel Model vi = dx - li ---------------v1 = dx - l 1 v2 = dx - l2 vn = dx - ln li = (l i - x0 ) Stokastik Model Arlklar ---------------p1 p2 pn

Burada n l says, u bilinmeyen says olmak zere, f = n-u = n1 tane zm vardr. Tek anlaml zm iin [ pvv ] = min art (arlklar farkl ve korelasyonsuz ller) ile zm yaplr.

[ pvv] = dx 2 [ p] - 2 dx [ pl] + [ pll] [ pvv] = min olmas iin fonksiyonun dx bilinmeyenine gre birinci trevi sfra eitlenmelidir.[ pvv ] = 2 [ p ] dx - 2[ pl] = 0 x [ p] dx - [ pl] = 0 Normal denklem

dx =

[ pl] [p]

Dengeleme bilinmeyeninin kesin deeri Kesin deer

x = x0 + dx

Denetim lemleri

[ pv] = 0 Kontrol [ pv] = dx [ p] - [ pl] [ pv] = [ pl] [ p] -[ pl] [ p] [ pvv] Kontrol

dxi burada yerine koyarsak

=0

vi = dx - li denklemi pi vi ile arplrsa [ pvv] = dx [ pv] - [ pvl]

- [ pvl] = dx [ pl] - [ pll]

[ pvv] = dx [ pv] - dx [ pl] + [ pll] [ pvv] = [ pll] - dx [ pl] [ pvv ]= [pll] - [ pl] [ pl] [p] 2 [ pvv ]= [pll] - [ pl] [ p]Duyarlk Hesaplar

[ pv] = 0

olduu iin

m0 = mi = mx =

[ pvv]n -1m0 pi m0 [ pi ] Birim lnn ortalama hatas Gzlemlerin ortalama hatas Kesin deerin (Genel aritmetik ortalama) ortalama hatas

rnek: Nivelman lleri ile bir noktann yksekliini belirlemek iin be ayr noktadan ykseklik tanmtr. Noktann be ayr gekiden elde edilen ykseklikleri l i ve geki uzunluklar si aada verilmitir. Yeni noktann kesin yksekliini, llerin ve kesin yksekliin ortalama hatalarn hesaplaynz ve denetim ilerini yani kontrollerini yapnz.

[ pv] =

0 ve

[ pvv]

No 1 2 3 4 5

l i (m) 157.048 157.052 157.055 157.049 157.042

li = l i - x0 (mm) 8 12 15 9 2 ] [l= 46.0

si (km) 3.1 2.0 6.1 5.3 10.2

pi =3.2 5.0 1.6 1.9 1.0

10 si (km)

vi = dx - l i (mm) 2.1 -1.9 -4.9 1.1 8.1

mi = 3.3 2.6 4.7 4.3 5.9

m0 pi

[ p= ]

12.7

x= 157.040 olarak seilsin 0 [ pl] = 128.7 = 10.1 mm dx = [ p] 12.7 x = x0 + dx = 157.040 m + 10.1 mm = 157.0501 m Kesin deer

m0 =

138.49 = 5.9 mm n -1 5 -1 10 km geki uzunluklu birim lnn ortalama hatas 5.9 m = 1.7 mm mx = 0 = 12.7 [ p] Kesin deerin ortalama hatas

[ pvv] =

Kontroller

[ pv] = -0.4 mm @ 0 [ pvv] = [ pll] - dx [ pl] = 1442.7 - 10.1 128.7 = 142.83 2 [ pvv ]= [pll] - [ pl] = 138.47 [ p]

Arlklar Farkl ve korelasyonlu dolaysz ller dengelenmesi Duyarlklar (arlklar) ve korelasyonlar farkl n sayda gzlem yaplm olsun ve x bilinmeyeni iin x0 yaklak deeri seilsin. x = x0 + dx Li = l i - x0 Kesin deer telenmi gzlemler Dzeltme denklemleri Fonksiyonel model Arlk matrisi Stokastik model

v = e dx - L

p ll = Q ll

-1

Bu durumda dengelemenin ama fonksiyonuvT

p ll v = v Q

T

-1 ll

v = min

v p ll v = (e dx - L ) p ll (e dx - L ) = e dx - L p ll (e dx - L )T T T T

(

)

v p ll v = e p ll e dx 2 - e p ll L dx - L p ll e dx + L p ll L v p ll v = e p ll e dx 2 - 2 e p ll L dx + L p ll L v p ll v = minv p ll v xTT

T

T

T

T

T

p ll

simetrik bir matris olduu iin

T

T

T

T

T

iin dx e gre birinci trev sfra eitlenirseT T

= 2 e p ll e dx - 2 e p ll L = 0T

e p ll e dx - e p ll L = 0dx = e p ll L e p ll eT T

Normal denklemler

Dengeleme bilinmeyeninin kesin deeri (Genel aritmetik ortalama)

Denetim lemleri

e p ll v = 0

T

KontrolT

v = e dx - L de her iki taraf e p ll ile arplrsa

e p ll v = e p ll e dx - e p ll Le p ll v = e p ll eT T

T

T

T

dx i burada yerine koyarsakT

e p ll L e p ll eT

T

- e p ll L = 0

v p ll v

T

KontrolT

v = e dx - L de her iki taraf v p ll ile arplrsa

v p ll v = v p ll e dx - v p ll L v p ll e = e p ll v = 0 v p ll L = L p ll v v p ll v = - L p ll vT T T T T T T

T

T

T

p ll

simetrik bir matris olduu iin

v = e dx - L de her iki taraf - L p ll ile arplrsa

- L p ll v = - L p ll e dx + L p ll L L p ll e = e p ll LT T T T

T

T

T

p llT

simetrik bir matris olduu iindx yerine deeri yazlrsa

v p ll v = L p ll L - dx e p ll Lv p ll v = L p ll L T T

(e p ll L ) 2 e p ll eT

T

Duyarlk Hesaplar

m0 = mi =

v p ll v n -1Birim lnn ortalama hatas Gzlemlerin ortalama hatas ( pii , Ters arlk yaylma kural uygulanrsa Q ll p ll e e p ll eT

T

m0 pii

p ll

nin kegen elemanlar)

qx = a Q aqx =qx =

T

e p ll e p ll e1 e p ll eT

T

T

=

e p ll Q ll p ll e (e p ll e)2T

T

de

p ll Q ll I =

birim matris

Genel aritmetik ortalamann ters arl Genel aritmetik ortalamann arl

px =

1 T = e p ll e qx

mx =

m0 = m0 qx px

mx =

m0 e p ll eT

=

v p ll v (n - 1) e p ll eT

T

Arlklar Farkl ve korelasyonlu dolaysz ller dengelenmesi Duyarlklar (arlklar) ve korelasyonlar farkl n sayda gzlem yaplm olsun ve x bilinmeyeni iin x0 yaklak deeri seilsin. x = x0 + dx Li = l i - x0 Kesin deer telenmi gzlemler Dzeltme denklemleri Fonksiyonel model Arlk matrisi Stokastik model

v = e dx - L

p ll = Q ll

-1

Bu durumda dengelemenin ama fonksiyonuvT

p ll v = v Q

T

-1 ll

v = min

v p ll v = (e dx - L ) p ll (e dx - L ) = e dx - L p ll (e dx - L )T T T T

(

)

v p ll v = e p ll e dx 2 - e p ll L dx - L p ll e dx + L p ll L v p ll v = e p ll e dx 2 - 2 e p ll L dx + L p ll L v p ll v = minv p ll v xTT

T

T

T

T

T

p ll

simetrik bir matris olduu iin

T

T

T

T

T

iin dx e gre birinci trev sfra eitlenirseT T

= 2 e p ll e dx - 2 e p ll L = 0T

e p ll e dx - e p ll L = 0dx = e p ll L e p ll eT T

Normal denklemler

Dengeleme bilinmeyeninin kesin deeri (Genel aritmetik ortalama)

Denetim lemleri

e p ll v = 0

T

KontrolT

v = e dx - L de her iki taraf e p ll ile arplrsa

e p ll v = e p ll e dx - e p ll Le p ll v = e p ll eT T

T

T

T

dx i burada yerine koyarsakT

e p ll L e p ll eT

T

- e p ll L = 0

v p ll v

T

KontrolT

v = e dx - L de her iki taraf v p ll ile arplrsa

v p ll v = v p ll e dx - v p ll L v p ll e = e p ll v = 0 v p ll L = L p ll v v p ll v = - L p ll vT T T T T T T

T

T

T

p ll

simetrik bir matris olduu iin

v = e dx - L de her iki taraf - L p ll ile arplrsa

- L p ll v = - L p ll e dx + L p ll L L p ll e = e p ll LT T T T

T

T

T

p llT

simetrik bir matris olduu iindx yerine deeri yazlrsa

v p ll v = L p ll L - dx e p ll Lv p ll v = L p ll L T T

(e p ll L ) 2 e p ll eT

T

Duyarlk Hesaplar

m0 = mi =

v p ll v n -1Birim lnn ortalama hatas Gzlemlerin ortalama hatas ( pii , Ters arlk yaylma kural uygulanrsa Q ll p ll e e p ll eT

T

m0 pii

p ll

nin kegen elemanlar)

qx = a Q aqx =qx =

T

e p ll e p ll e1 e p ll eT

T

T

=

e p ll Q ll p ll e (e p ll e)2T

T

de

p ll Q ll I =

birim matris

Genel aritmetik ortalamann ters arl Genel aritmetik ortalamann arl

px =

1 T = e p ll e qx

mx =

m0 = m0 qx px

mx =

m0 e p ll eT

=

v p ll v (n - 1) e p ll eT

T

Dolayl (Endirek) ller dengelenmesi Dengeleme hesabnda bilinmeyenler genellikle nokta koordinatlardr. Nokta koordinatlarnn belirlenebilmesi iin dorultu, a, ykseklik fark, uzunluk gibi byklkler llr ve onlarn fonksiyonlar yardmyla koordinatlar belirlenir. Yani bilinmeyenler dorudan llmeyip onlarn fonksiyonlar olan dier byklkler gzlenir.

Arlklar Eit Dolayl (Endirek) ller dengelenmesi Dzeltme Denklemlerinin Kurulmas ve Dorusallatrlmas l + Dzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu Li + vi = fi ( x, y, z ,..., u ) i = (1,2,..., n) n: l says u: bilinmeyen says

Bilinmeyenlerin hesaplanmasnda kullanlan fonksiyonlar (denklemler) bazen dorusal olmayabilir. Bunlar TAYLORa gre seriye alr yani dorusallatrlr ve ikinci derece ve daha yksek derece terimler gz ard edilir. Dorusallatrma iin bilinmeyenlerin yaklak deerleri kullanlr. x = x0 + dx y = y0 + dy u = u0 + du Kesin deeri x x0 dx y y dy 0 u = u0 + du Bilinmeyenlerin = Bilinmeyenlerin + Dengeleme Yaklak deeri Bilinmeyenleri

Li + vi = fi ( x0 + dx, y0 + dy, z0 + dz ,..., u0 + du )

f f f Li + vi = fi ( x0 + y0 + z0 ,...,u0 ) + i dx + i dy + i dz + y x 3 z 3 23 12 0 12 0 1 0ai bi ci

- l i = -{Li - fi ( x0 + y0 + z0 ,...,u0 }

vi = ai dx + bi dy + ci dz + - l i Dorusallatrlm dzeltme denklemi

Normal Denklemlerinin Kurulmas ve zm v1 = a1 dx + b1 dy + c1 dz + - l1 v2 = a2 dx + b2 dy + c2 dz + - l 2 vn = an dx + bn dy + cn dz + - l n v1 v 2 = vn a1 a 2 an b1 b2 bn c1 c2 cn dx l 1 dy l 2 - du l n

Fonksiyonel model (Do. Dz. Denklemleri)

Matris formatnda foksiyonel model

v =

A

x - l

Arlklar eitse p1 = p2 = = pn = 1 Stokastik model 1 0 0 0 1 0 p= 0 0 1 0 0 0 Matris formatnda stokastik model Arlklar eit olduu iin ama fonksiyonu [vv ] = min olur. Fonksiyonel modelde her iki tarafn karesi alnp toplanrsa

[vv] = [aa] dx 2 + 2[ab] dx dy + 2[ac] dx dz - 2[al] dx + [bb] dy 2 + 2[bc ] dy dz - 2[bl ] dy + [cc ] dz 2 - 2[cl ] dz + [ll] [vv] nin x, y ve zye gre ksmi trevi alnp sfra eitlenirse[vv ] = 2[aa ] dx + 2[ab ] dy + 2[ac ] dz - 2[al] = 0 x [vv ] = 2[ab ] dx + 2[bb] dy + 2[bc ] dz - 2[bl] = 0 y [vv ] = 2[ac ] dx + 2[bc] dy + 2[cc ] dz - 2[cl] = 0 z

[aa] dx + [ab] dy + [ac] dz - [al] = 0 [ab] dx + [bb] dy + [bc] dz - [bl] = 0 [ac] dx + [bc] dy + [cc] dz - [cl] = 0

Normal denklemler

[aa ] [ab ] [ac ]

[ab] [ac] dx [al ] [bb ] [bc ] dy - [bl ] = 0 [bc ] [cc] dz [cl ] Matris formatnda Normal denklemler AT A x - AT l = 0Nx-n=0

T Normal Denklem Katsaylar matrisi N = A A x Bilinmeyenler Vektr

Sabit terimler

n = AT l

Simetrik katsaylar [ab] , [ac ] bazen +, bazen de olabilirler.

Normal denklemler simetriktir. Denklem says bilinmeyen says kadardr. Kareli katsaylar [aa ] , [bb ] , [cc] her zaman + dr.

Denetim lemleri Normal Denklemlerin Kurulu ve ndirgeme Kontrolleri v1 = a1 dx + b1 dy + c1 dz + - l1 v2 = a2 dx + b2 dy + c2 dz + - l 2 vn = an dx + bn dy + cn dz + - l n

aa1 a2. an

b

cc1 c2. cn

-l

ss1 s2. sn s1 = a1 + b1 + c1 + - l 1 s2 = a2 + b2 + c2 + - l 2 sn = an + bn + cn + - l n

b1 b2. bn

- l1 - l2. - ln

Her iki taraf ( a, b, c, l ) arpp, taraf tarafa toplarsak, Normal denklemlerin kuruluu olan Gauss tablosunu elde etmi oluruz.

[as] = [aa] + [ab] + [ac] - [al] ba [ [bs ] = [ ]+ bb ]+ bc ] bl ] [ -[ cb [ c [cs ] = [ca ]+ [ ]+ cc ]- [ l ] a b c - [ls ] = - [ l ]- [ l ]- [ l ]+ [ ] ll

dx

dy

dz

Sabit

Toplam

[aa] [ab] [ac] [bb] [bc]

- [al] - [bl]

[as] [bs]

[cc]

- [cl]

[ll] [v] ve [vv] kontrolleriv1 = a1 dx + b1 dy + c1 dz + - l1 v2 = a2 dx + b2 dy + c2 dz + - l 2 vn = an dx + bn dy + cn dz + - l n

[cs] - [ls ]

[v] = [a] dx + [b] dy + [c] dz - [l]

Dzeltme denklemlerinin her iki taraf dx, dy ve dznin katsaylar ile arplp taraf tarafa toplanrsa

[av] = [aa] dx + [ab] dy + [ac] dz - [al] [bv] = [ab] dx + [bb] dy + [bc] dz - [bl] ac] dx + ] + cc ] [cv] = [1444[bc4dy 4[44dz 4[cl] 44 2 4 4 30

[av] = 0, [bv] = 0, [cv] =

(normal denklemler sfra eittir)

0

Dzeltme denklemlerinin her iki taraf v lerle arplp stunlar halinde taraf tarafa toplanrsa

[vv] = [av] dx + [bv] dy + [cv] dz - [lv]

[vv] = -[lv]

Dzeltme denklemlerinin her iki taraf l lerle arplp taraf tarafa toplanrsa

- [lv ] = -[al] dx - [bl] dy - [cl] dz + [ll]

[vv] = [ll] - [al] dx - [bl] dy - [cl] dzSonu Denetimleri

[vv] = -[lv] den

Normal denklemleri Gauss algoritmas ile ya da matris yntemiyle zlebilir. x = ( A A) A lT T -1

Matris zm Dengeleme bilinmeyenleri Elde edilen dx, dy, dz dengeleme bilinmeyenleri, dzeltme denklem eitliklerinde yerine konarak dzeltmelerin saysal deerleri elde edilir.

x = N -1n

dx x = dy dz

vi = ai dx + bi dy + ci dz + - l i Dzeltmeler llere eklenerek dengeli ller hesaplanr. x = x0 + dx y = y0 + dy z = z0 + dz Bilinmeyenlerin kesin deeri

Bu deerler dorusal olmalar gerekmeyen ilk dzeltme denklemlerinde yerine konarak Li + vi = fi ( x0 + dx, y0 + dy, z0 + dz ,..., u0 + du ) Olup olmadklar denetlenir. Bu ilem dengeleme ilemlerinin tmnn hesap hatalarndan arndrlm olduunu gsterir. Duyarlk Hesaplar Gzlemlerin Ortalama Hatas

m0 =

[vv]n-uDuyarlklar eit gzlemlerin ortalama hatas (standart sapmas)

Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas[aa ] N = A A = [ab ] [ac ] T

[ab] [ac] [bb ] [bc ] [bc ] [cc ] q xz q yz q zz

Normal denklem katsaylar matrisi

Q=N

-1

qxx = qxy q xz

qxy q yy q yz

Bilinmeyenlerin ter arlk matrisi

mx = m0 q xx my = m0 q yy mz = m0 qzz Bilinmeyenlerin ortalama hatalar

Bilinmeyenlerin Bir Fonksiyonun Ortalama Hatas Dengeli ller bilinmeyenlerin bir fonksiyonudur. f = F ( x, y, z) Taylora alrsa

f f f f = F ( x0 , y0 , z0 ) + dx + dy + dz 14243 { z x y { {f0 fx fy fz

f = f 0 + f x dx + f y dy + f z dzq ff = f x2 q xx

rnek: ekli verilen dik yamuk biimindeki bir parselin kenar uzunluklar elik eritle llmtr. Duyarlklar eit olan bu lleri dolayl ller yntemine gre dengeleyiniz. llerin dengeli deerlerinin ortalama hatalarn ve parselin alannn kesin deerinin ortalama hatasn hesaplaynz. l3 z

l1 l2l3

= 20.00 m = 15.00 = 40.00 = 25.04 = 42.80 = 25.05 l5 l6

l4l5 l6

l4 l1 x

l2 y

zm admlar 1. Bilinmeyenlerin seimi Dik yamuun belirlenebilmesi iin en az elemannn bilinmesi gerekir. Bu nedenle dik kenar (x, y, z) bilinmeyen olarak seilir ve dier kenarlar bu bilinmeyenler cinsinden elde edilir. 2. Dengeleme kararnn verilmesi l says n = 6 Bilinmeyen says u = 3 Serbestlik derecesi = fazla l says = n u = 3 > 0 dengeleme var. 3. Yaklak deer seimi: x, y, z iin yaklak deerler seilir. x = x0 + dx y = y0 + dy z = z0 + dz x0 y0 z0 = 20.00 m = 15.00 = 40.00

4. Stokastik model

Arlklar eitse p1 = p2 = = pn = 1 Stokastik model 1 0 0 0 1 0 p= 0 0 1 0 0 0 Matris formatnda Stokastik model 5. Fonksiyonel model ( v = A x - l ) Her l iin bir dzeltme denklemi yazlr. Dzeltme denklemleri kurulur ve gerekirse indirgemeler yaplr l1 + v1 = x v1 = x - l 1

l 2 + v2 = yl 3 + v3 = z

v2 = y - l 2v3 = z - l 3

l 4 + v4 = l 5 + v5 = l 6 + v6 =

y 2 + ( z - x) 2 y2 + z2 x2 + y2

Dzenlenirse

v4 = v5 = v6 =

y 2 + ( z - x )2 - l 4 y2 + z2 - l 5 x2 + y2 - l 6

Bu denklemlerin x, y ve zye gre ksmi trevi alnp, yaklak deerler yerine konursa v1 = dx - (l 1 - x0 ) v2 = dy - (l 2 - y0 ) v3 = dz - (l 3 - z0 )v4 = v5 =

z 0 - x0 y + ( z 0 - x0 )2 0 2

dx +z0

y0 y + ( z0 - x0 )2 02

2

dy +

z0 - x0 y + ( z0 - x0 ) 22 0

dz - l 4 -

(

2 y 0 + ( z 0 - x0 ) 2

)

y0 y + z02 0 2

dy +

y + z02 0

dz - l 5

2 2 y0 + z0

v6 =

x0 x + y02 0 2

dx +

y0 x + y02 0 2

dy - l 6

2 2 x0 + y0

vi

= = = =

ai

dx dx

+

bi 1

dy + dy

ci

dz -

li(l 1 - x0 )

v1 v2v3

= 1

(l 2 - y 0 )(l 3 - z 0 )

1z 0 - x02 y0 + ( z 0 - x0 ) 2

dz z0 - x02 y0 + ( z0 - x0 ) 2

v4

dx

+

y02 y0 + ( z0 - x0 ) 2

dy +

dz -

(l

4

-

2 y0 + (z 0 - x0 ) 2

)

v5 v6

= =x0 x + y02 0 2

y0 y + z02 0 2

dy + dy

z0 y + z02 0 2

dz -

2 2 l 5 - y0 + z0 2 2 l 6 - x0 + y0

dx

+

y0 x + y02 0 2

Dorusallatrlm dzeltme denklemleri ( l i iin birim cm seilirse) vi = ai dx + bi dy + ci dz - l i (cm)

v1 v2v3

= 1 = =

dx 1 + 0.60 0.35 dx + 0.60 dy 1 dy + 0.80 dy + 0.94 dy

dz dz dz -

0 0 0 4 8 5

v4v5 v6

= -0.80 dx = = 0.80

v = A x - l

0 0 v1 1 0 0 v 0 1 0 2 dx v3 0 0 1 0 = dy - v4 - 0.80 0.60 0.80 4 dz v5 0 0.35 0.94 8 0 5 v6 0.80 0.60

Matris formatnda dzeltme denklemleri

6. Normal Denklemlerin Kurulmas i 1 2 3 4 5 6

a 1

b

c

-l

1 -0.80 0.60 0.35 0.80 0.60 1 0.80 0.94 -4 -8 -5

s 1 1 1 -3.40 -6.71 -3.60

dx

dy=

dz

Sabit

Toplam ( s )

[aa]2.28

[ab] = 0 [bb]1.8433 =

[ac] = -0.64 [bc]=0.8088

- [al] = -0.80 -

[as] = 0.84 [bs]= = 5.5563 - [cs ] = 8.0034 - [ls ] 85.2728

[cc]2.5167

= - [bl] 8.2083 = - [cl] = 10.6889

[ll] = 104.97Normal denklemler 2.28 dx = 0 = 1.8433 dy + 0.8088 dz 8.2083 0 = dx + 0.8088 dy + 2.5167 dz 0.64 10.6889 0 0.64 dz - 0.80

0 - 0.64 dx 0.80 2.28 0 1.8433 0.8088 dy - 8.2083 = 0 - 0.64 0.8088 2.5167 dz 10.6889 Matris formatnda Normal denklemler

AT A {N

x -

AT l {n

=0

Nx-n= 0

7. Bilinmeyenlerin Bir Fonksiyonun Ortalama Hatas Parselin alan bilinmeyenlerin fonksiyonu olarak yazlr ve fonksiyon katsaylar hesaplanr.1 y ( x + z) 2 1 1 1 df = y dx + ( x + z ) dy + y dz 2 24 3 2 { { 1 24 f =fx fy fz

1 y0 2 = 750 1 f x = ( x0 + z0 ) 2 = 3000 fx = fx = 1 y0 2 = 750

8. Normal Denklemlerin zmdx

dy

dz

Sabit

s5 20 10 25 30 0.84 -0.3684 -5.5563 -5.5563 3.0143 -8.0034 -5.3297 2.6888

1 2.28 2 0 16 -1 17 0

3 -0.64 18 0.2807 0.8088 7 1.8433 8 0.8088 22 1.8433 23 27 -1 28 0.4388

4 -0.80 19 0.3509 9 -8.2083 24 -8.2083 29 4.4531

14 12 2.5167 13 10.6889 34 32 1.9822 33 -7.3119 38 36 -1 37 3.6888

[ll] = 104.97 [vv] =41.1648dx

[ls ] =85.2728 [vv] = 41.1648

dy

dz

Sabit

f5 20 10 25 30 14 34 38 750 -328.9474 3000 3000 -1627.5268 750 -356.7638 179.4787 0 Q ff

s6 21 11 26 31 15 35 39 750.84 -329.3158 2994.4437 2994.4437 -1624.5124 741.9966 -361.0935 182.1675

1 2.28 2 0 16 -1 17 0

3 -0.64 18 0.2807 0.8088 7 1.8433 8 0.8088 22 1.8433 23 27 -1 28 0.4388

4 -0.80 19 0.3509 9 -8.2083 24 -8.2083 29 4.4531

12 2.5167 13 10.6889 32 1.9822 33 -7.3119 36 -1 37 3.6888

[ll] = 104.97 [vv] =

[ls ] =85.27288

41.1648

= 5193142.8316

6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 2.28 + 0 - 0.64 - 0.80 + 750 = 750.84 11 = 2 + 7 + 8 + 9 + 10 = 0 + 1.8433 + 0.8088 - 8.2083 + 3000 = 2994.4437 15 = 3 + 8 + 12 + 13 + 14 = - 0.64 + 0.8088 + 2.5167 - 10.6889 + 750 = 741.9966 16 = 1 / (-1) = 2.28 / (-2.28) = -1 17 = 2 / (-1) = 0 / (-2.28) = 0 18 = 3 / (-1) = (-0.64) / (-2.28) = 0.2807

19 = 4 / (-1) = (-0.80) / (-2.28) = 0.3509 20 = 5 / (-1) = (750) / (-2.28) = -328.9474 21 = 6 / (-1) = (750.84) / (-2.28) = -329.3158 22 = 2 17 + 7 = 0 0 + 1.8433 = 1.8433 23 = 2 18 + 8 = 0 0.2807 + 0.8088 = 0.8088 24 = 2 19 + 9 = 0 0.3509 + (-8.2083) = -8.2083 25 = 2 20 + 10 = 0 (-328.9474) + 3000 = 3000 26 = 2 21 + 11 = 0 (-329.3158) + 2994.4437 = 2994.4437 27 = 22 / (-22) = 1.8433 / (-1.8433) = -1 28 = 23 / (-22) = 0.8088 / (-1.8433) = -0.4388 29 = 24 / (-22) = (-8.2083) / (-1.8433) = 4.4531 30 = 25 / (-22) = 3000 / (-1.8433) = -1627.5268 31 = 26 / (-22) = 2994.4437 / (-1.8433) = -1624.5124 32 = 3 18 + 23 28 + 12 = (-0.64) 0.2807 + 0.8088 (-0.4388) + 2.5167 = 1.9822 33 = 3 19 + 23 29 + 13 = (-0.64) 0.3509 + 0.8088 4.4531 10.6889 = -7.3119 34 = 3 20 + 23 30 + 14 = (-0.64) (-328.9474) + 0.8088 (-1627.5268) + 750 = -355.7638 35 = 3 21 + 23 31 + 15 = (-0.64) (-329.3158) + 0.8088 (-1624.5124) + 741.9966 = 361.0935 36 = 32 / (-32) = 1.9822 / (-1.9822) = -1 37 = 33 / (-32) = (-7.3119) / (-1.9822) = 3.6888 38 = 34 / (-32) = (-355.7638) / (-1.9822) = 179.4787 39 = 35 / (-32) = (-361.0935) / (-1.9822) = 182.1675

[vv] = 4 19 + 24 29 + 33 37 + [ll] [vv] = (-0.80) 0.3509 + (-8.2083) 4.4531 + (-7.3119) 3.6888 + 104.97 = 41.1648Q ff

= 5 20 + 25 30 + 34 38 = 5193142.8316

9. Dengeleme Bilinmeyenlerinin Hesabdz = 37 = 3.6888 = 3.69 cm dy = 28 dz (37) + 29 = (-0.4388) 3.6888 + 4.4531 = 2.8346 = 2.83 cm dx = 17 dy + 18 dz + 19 = 0 2.8346 + 0.2807 3.6888 + 0.3509 = 1.3863 = 1.39 cm

10. Bilinmeyenlerinin Ters Arlk Matrisinin Hesab

qzz = 1 / 32 = 1 / 1.9822 = 0.5045 q yz = qzy = 28 qzz = -0.4388 0.5045 = -0.2214 qxz = qzx = 17 q yz + 18 qzz = 0 (-0.2214) + 0.2807 0.5045 = 0.1416 q yy = q 1/ 22 + 28 yz = 1 / 1.8433 + (-0.4388) (-0.2214) = 0.6396 qxy = q yx = q q 17 yy + 18 yz = 0 0.6396 + 0.2807 (-0.2214) = -0.0621 qxx = 1/ 1 + 17 qxy + 18 qxz = 1 / 2.28 + 0 (-0.0621) + 0.2807 0.1416 = 0.4783 q xx Qxx = q yx qzx q xy q yy qzy qxz 0.4782 - 0.0620 0.1411 q yz = - 0.0620 0.6397 - 0.2208 qzz 0.1411 - 0.2208 0.5028

11. Dzeltmeler

v1 = dx v2 = dyv3 = dzv4 = -0.80 dx + 0.60 dy + 0.80 dz - l 4

v1 = 1.39 v2 = 2.83v3 = 3.69v4 = -0.80 1.3863 + 0.60 2.8346 + 0.80 3.6888 - 4 = -0.46

v5 = 0.35 dy + 0.94 dz - l 5 v6 = 0.80 dx + 0.60 dy - l 6 12. Denetim lemleri vi 1.39 2.83 3.69 -0.46 -3.55 -2.19 vi vi 1.92 8.03 13.61 0.21 12.59 4.80 41.1648 li 0 0 0 -4 -8 -5 = vi l i 0 0 0 1.83 28.38 10.95 41.1648

v5 = 0.35 2.8346 + 0.94 3.6888 - 8 = -3.55 v6 = 0.80 1.3863 + 0.60 2.8346 - 5 = -2.19

[vi vi= ]

13. Bilinmeyenlerin Kesin Deeri x = x0 + dx = 20.00 + 1.39 = 20.014 m

y = y 0 + dy = 15.00 + 2.83 = 15.028 m z = z 0 + dz = 40.00 + 3.69 = 40.037 m 14. Dengeli ller = l +v = x l1 1 1 =l +v = y l2 2 2 =l +v = z l3 3 3

= l 1 20.014 = l 2 15.028 = l3 40.037

4 = l 4 + v4 = l 5 = l 5 + v5 = l

y 2 + ( z - x) 2 y2 + z2

= l 4 25.035 = l5 = l6

42.765 25.028

l 6 = l 6 + v6 = x 2 + y 215. Gzlemlerin Ortalama Hatas

m0 = m0 =

[vv]n-uDuyarlklar eit gzlemlerin ortalama hatas (standart sapmas)

41.1648 = 3.70 6-3 cm

16. Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas

mx = m0 q xx = 3.70 0.4783 = 2.56m y = m0 q yy = 3.70 0.6396 = 2.96mz = m0 qzz = 3.70 0.5045 = 2.63

17. Parselin Alan ve Ortalama Hatasf = 1 y ( x + z) 2 = 451.23 m2

m f = m0 q ff = 3.70 5193142.8316 = 8441.46

cm2 = 0.84 m2

Arlklar Farkl Dolayl (Endirek) ller dengelenmesi Dzeltme Denklemleri (Fonksiyonel Model) v1 = a1 dx + b1 dy + c1 dz + - l1 Arlk (Stokastik Model) p1

v2 = a2 dx + b2 dy + c2 dz + - l 2 ...vn = an dx + bn dy + cn dz + - l n

p2

... pn

v1 a1 v a 2 = 2 vn an

b1 b2 bn

c1 c2 cn

dx l 1 dy l 2 - du l n

Matris formatnda foksiyonel model

v =

A

x - lp1 p2 pn Stokastik model

Arlklar eit deil p1 0 p= 0 0 0 p2 0 0 0 0 0 pn

Matris formatnda stokastik model

Arlklar farkl olduu iin ama fonksiyonu [ pvv ] = min olur.

[ paa] dx + [ pab] dy + [ pac] dz - [ pal] = 0 [ pab] dx + [ pbb] dy + [ pbc] dz - [ pbl] = 0 [ pac] dx + [ pbc] dy + [ pcc] dz - [ pcl] = 0

Normal denklemler

[ paa ] [ pab ] [ pac ] dx [ pal ] [ pab ] [ pbb [ pbc dy - [ pbl ] = 0 ] ] [ pac ] [pbc ] pcc ] dz [ pcl ] [ Matris formatnda Normal denklemler

AT p A

x - AT p l = 0

Nx-n= 0

T Normal Denklem Katsaylar matrisi N = A p A x Bilinmeyenler Vektr

Sabit terimler

n = AT p l

Normal Denklemlerin zellikleri: Normal denklemler simetriktir. Denklem says bilinmeyen says kadardr. Kareli katsaylar [ paa ] , [ pbb] , [ pcc ] her zaman (+) dr.

Simetrik katsaylar [ pab] , [ pac ] bazen (+), bazen de () olabilirler.

Denetim lemleri Normal Denklemlerin Kurulu ve ndirgeme Kontrolleri v1 = a1 dx + b1 dy + c1 dz + - l1 v2 = a2 dx + b2 dy + c2 dz + - l 2 vn = an dx + bn dy + cn dz + - l np

aa1 a2. an

b

cc1 c2. cn

-l

ss1 s2. sn s1 = a1 + b1 + c1 + - l 1 s2 = a2 + b2 + c2 + - l 2 sn = an + bn + cn + - l n

p1 p2pn

b1 b2. bn

- l1 - l2. - ln

Her iki taraf ( p, a, b, c, l ) arpp, taraf tarafa toplarsak, Normal denklemlerin kuruluu olan Gauss tablosunu elde etmi oluruz.

dy dz [ pas ] = [ paa ] + [ pab] + [ pac] - [ pal] dx [ pbs ]= pba +] pbb + ] pbc - ]pb[ ] [ [ [ l [ pcs] = [ pca] +[ pcb + pcc [- pcl [ paa] [ pab] [ pac] ][ ] ] - [ pls ] = -[ pal ] -[ pbl - pc] [ pll ] [ l+ ] [ pbb] [ pbc] [ pcc]

Sabit

Toplam

- [ pal] - [ pbl] - [ pcl]

[ pll] [ pav] = 0 , [ pbv] = 0 , [ pcv] = 0ve [ pvv ] = -[ plv ] kontrolleri Arlk (Stokastik Model)

[ pas ] [ pbs ] [ pcs ] - [ pls ]

Dzeltme Denklemleri (Fonksiyonel Model)

v1 = a1 dx + b1 dy + c1 dz + - l1

p1

v2 = a2 dx + b2 dy + c2 dz + - l 2 ...vn = an dx + bn dy + cn dz + - l n

p2

... pn

[ pv] = [ pa] dx + [ pb] dy + [ pc] dz - [ pl]Dzeltme denklemlerinin her iki taraf dx, dy ve dznin katsaylar ile arplp taraf tarafa toplanrsa

[ pav] = [ paa] dx + [ pab] dy + [ pac] dz - [ pal] [ pbv] = [ pab] dx + [ pbb] dy + [ pbc] dz - [ pbl] [ pcv] = [1444+ [44 dy 4[44444pcl] pac dx pbc ] ] 4 42 + pcc] dz - [ 4 30

[ pav] = 0, [ pbv] =

0, [ pcv] = 0

(normal denklemler sfra eittir)

Dzeltme denklemlerinin her iki taraf pv lerle arplp stunlar halinde taraf tarafa toplanrsa

[ pvv] = [ pav] dx + [ pbv] dy + [ pcv] dz - [ plv]

[ pvv] = -[ plv]

Dzeltme denklemlerinin her iki taraf pl lerle arplp taraf tarafa toplanrsa

- [ plv ] = -[ pal ] dx - [ pbl] dy - [ pcl] dz + [ pll]

[ pvv] = [ pll] - [ pal] dx - [ pbl] dy - [ pcl ] dzSonu Denetimleri

[ pvv] = -[ plv] den

Normal denklemleri Gauss algoritmas ile ya da matris yntemiyle zlebilir. x = ( AT p A) -1 AT p l x = N -1n dx x = dy dz

Matris zm Dengeleme bilinmeyenleri Elde edilen dx, dy, dz dengeleme bilinmeyenleri, dzeltme denklem eitliklerinde yerine konarak dzeltmelerin saysal deerleri elde edilir. vi = ai dx + bi dy + ci dz + - l i Dzeltmeler llere eklenerek dengeli ller hesaplanr.

x = x0 + dx y = y0 + dy z = z0 + dz Bilinmeyenlerin kesin deeri

Bu deerler dorusal olan ilk dzeltme denklemlerinde yerine konarak Li + vi = fi ( x0 + dx, y0 + dy, z0 + dz ,..., u0 + du ) Olup olmadklar denetlenir. Bu ilem dengeleme ilemlerinin tmnn hesap hatalarndan arndrlm olduunu gsterir. Duyarlk Hesaplar Gzlemlerin Ortalama Hatas

m0 =

[ pvv]n-uDuyarlklar farkl gzlemlerin ortalama hatas (standart sapmas)

Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas

[ paa ] [ pab] [ pac ] ] ] N = AT p A = [ pab ] [ pbb [ pbc [ pac ] [pbc ] pcc ] [ -1

Normal denklem katsaylar matrisi

Q=N

qxx = qxy q xz

qxy q yy q yz

q xz q yz q zz

Bilinmeyenlerin ter arlk matrisi

mx = m0 q xx my = m0 q yy mz = m0 qzz m0 pi Bilinmeyenlerin ortalama hatalar

mi =

Arl pi olan bir lnn ortalama hatas

rnek: ekli verilen dik yamuk biimindeki bir parselin kenar uzunluklar elik eritle llmtr. Duyarlklar eit olan bu lleri dolayl ller yntemine gre dengeleyiniz. llerin dengeli deerlerinin ortalama hatalarn ve parselin alannn kesin deerinin ortalama hatasn hesaplaynz. NN l i (m) si (km) 1 43.156 0.65 2 19.218 0.80 3 33.524 1.00 4 57.440 1.40 5 23.962 1.50 6 14.267 1.95 Ha = 80.673 m A

l1l5

x 1

l2l6

l4z 3 l3 2 y

zm admlar 1. Bilinmeyenlerin seimi 1, 2 ve 3 numaral noktalarn yksekliklerinin belirlenebilmesi iin l yeterlidir. Bu nedenle yeni noktalarn ykseklikleri (H1, H2, H3) bilinmeyen olarak seilir. x = H1, y = H2, z = H3 2. Dengeleme kararnn verilmesi l says n = 6 Bilinmeyen says u = 3 Serbestlik derecesi = fazla l says = n u = 3 > 0 dengeleme var. 3. Yaklak deer seimi: x, y, z iin yaklak deerler seilir. x = x0 + dx y = y0 + dy z = z0 + dz x0 = H a + l 1 y0 = H a + l 5 123.829 m 104.635

z0 = H a + l 4

m 138.113 m

4. Stokastik model Arlklar eit deil p1 p2 pn Stokastik model

Nivelmanda arlk 0 0 0 0 0 1.54 0 1.25 0 0 0 0 0 0 1.00 0 0 0 p= 0 0 0.71 0 0 0 0 0 0 0 0.67 0 0 0 0 0 0.51 0 5. Fonksiyonel model ( v = A x - l )

pi =

1 si (km)

Matris formatnda Stokastik model

Her l iin bir dzeltme denklemi yazlr. Dzeltme denklemleri kurulur. Denklemler lineerdir. l1 + v1 = x - H a v1 = x - H a - l 1

l 2 + v2 = x - yl 3 + v3 = z - y l 4 + v4 = z - H a l 5 + v5 = y - H a l 6 + v6 = z - x Bu denklemlerde v1 = x0 + dx - H a - l1

v2 = x - y - l 2v3 = - y + z - l 3 v4 = z - H a - l 4 v5 = y - H a - l 5 v6 = - x + z - l 6 x = x0 + dx , y = y0 + dy , z = z0 + dz yerine konursa v1 = dx + x0 - H a - l1

v2 = x0 + dx - y0 - dy - l 2 v3 = - y0 - dy + z0 + dz - l 3 v4 = z0 + dz - H a - l 4 v5 = y0 + dy - H a - l 5 v6 = - x0 - dx + z0 + dz - l 6

v2 = dx - dy + x0 - y0 - l 2 v3 = - dy + dz - y0 + z0 - l 3 v4 = dz + z0 - H a - l 4 v5 = dy + y0 - H a - l 5 v6 = - dx + dz - x0 + z0 - l 6

v1 = dx - (l1 + H a - x0 ) v2 = dx - dy - (l 2 + y0 - x0 ) v3 = - dy + dz - (l 3 + y0 - z0 ) v4 = dz - (l 4 + H a - z0 ) v5 = dy - (l 5 + H a - y0 ) v6 = - dx + dz - (l 6 + x0 - z0 ) vi = ai dx dx dx + dx 1 1 1 dy dy dy + 1 dz + 1 1 dz dz + bi dy + ci dz li (l 1 + H a - x0 ) (l 2 + y0 - x0 ) (l 3 + y 0 - z 0 ) (l 4 + H a - z 0 ) (l 5 + H a - y0 ) (l 6 + x0 - z 0 )

v1 v2v3

= 1 = 1 = = = = -1

v4v5 v6

Dorusallatrlm dzeltme denklemleri ( l i iin birim mm seilirse) li vi = ai dx + bi dy + ci dz (mm)

v1 v2v3

= 1 = 1 = = = = -1

dx dx 1 1 dy dy + 1 1 + 1 dx dy + 1

dz dz dz +

0 24 46 0 0 17

v4v5 v6

v = A x - l

0 0 v1 1 0 v 1 - 1 0 dx 24 2 v3 0 - 1 1 46 = dy - 0 1 0 v4 0 dz v5 0 1 0 0 - 17 v6 - 1 0 1 Matris formatnda dzeltme denklemleri

6. Normal Denklemlerin Kurulmas i 1 2 3 4 5 6dx

p

1.54 1.25 1.00 0.71 0.67 0.51

a 1 1 0 0 0 -1

b 0 -1 -1 0 1 0

c 0 0 1 1 0 1

-l 0 -24 -46 0 0 17 dz

s 1 -24 -46 1 1 17Sabit

dy=

[ paa]3.3013

[ pab]1.2500

=

=

[ pac]0.5128

Toplam ( s )

= =

-

- [ pal] = -38.7179 - [ pbl] = 76.0000 - [ pcl] = -37.2821

[ pas ] = -37.1795 [ pbs ] = 76.6667 [ pcs ] = -36.5678 - [ pls ] =2984.2051

[ pbb]

[ pbc]

2.9167

1.0000 [ pcc] = 2.2271

[ pll]

=

2984.2051 Normal denklemler 3.3013 dx 1.2500 dy 0.5128 dz -38.7179 = 0 = 1.0000 dz +76.0000 0

dx + 2.9167 dy 1.2500

dx 0.5128

1.0000 dy + 2.2271 dz -37.2821

= 0

3.3013 - 1.2500 - 0.5128 dx - 38.7179 - 1.2500 2.9167 - 1.0000 dy - 76.0000 = 0 - 0.5128 - 1.0000 2.2271 dz - 37.2821 Normal denklemler

AT p A 123N

x - AT p l 13 2n

= 0Nx-n= 0

7. Normal Denklemlerin zm dy dz 3.3013 1.2500 0.5128 1.0000 0.3786 0.1553 2.9167 1.0000 2.4434 1.1942 1.0000 0.4887 2.2271 1.5638 1.0000 [pvv] = dx sabit -38.7179 11.7282 76.0000 61.3398 -25.1046 -37.2821 -13.3172 toplam -37.1795 11.2621 76.6667 62.5890 -25.6159 -36.5678 -11.7534

8.5159 7.5159 2984.2051 2984.2051 876.7940 876.7940

8. Dengeleme Bilinmeyenlerinin Hesabdx = 5.12 mm dy = -20.94 mm dz = 8.52 mm

9. Bilinmeyenlerinin Ters Arlk Matrisinin Hesab

q xx Qxx = q yx qzx

q xy q yy q zy

q xz 0.4357 0.2614 0.2177 q yz = 0.2614 0.5620 0.3125 qzz 0.2177 0.3125 0.6395

10. Dzeltmeler v1 = dx - (l1 + H a - x0 ) = 5.12 mm v2 = dx - dy - (l 2 + y0 - x0 ) = 2.06 mm v3 = - dy + dz - (l 3 + y0 - z0 ) = -16.54 mm v4 = dz - (l 4 + H a - z 0 ) = 8.52 mm v5 = dy - (l 5 + H a - y0 ) = -20.94 mm v6 = - dx + dz - (l 6 + x0 - z 0 ) = 20.39 mm 11. Denetim lemleri vi 5.12 2.06 -16.54 8.52 -20.94 20.39p

p vi vi 40.35 5.32 273.62 51.80 292.39 213.30 876.79

li 0 -24 -46 0 0 17 =

p l i vi 0.00 -61.92 760.91 0.00 0.00 177.80 876.79

1.54 1.25 1.00 0.71 0.67 0.51 [ pvv] =

12. Bilinmeyenlerin Kesin Deeri x = x0 + dx = 123.834 m y = y 0 + dy = 104.614 m z = z 0 + dz = 138.122 m 13. Dengeli ller =l +v = x-H l1 1 1 a

=l +v =x-y l2 2 2

= l 1 43.161 m = l 2 19.220 m

= l + v = -y + z l3 3 3 =l +v =z-H l4 4 4 a =l +v = y-H l5 5 5 a = l + v = -x + z l6 6 6

= l3

33.507 m

= l 4 57.449 m l5 = 23.941 m = l6 14.287 m

14. Gzlemlerin Ortalama Hatas

m0 = m0 =

[ pvv]n-uDuyarlklar eit gzlemlerin ortalama hatas (standart sapmas)

876.79 = 17.1 6-3 mm

15. Bilinmeyenlerin Ortalama Hatas

mx = m0 q xx = 17.1 0.4357 = 11.3my = m0 q yy = 17.1 0.5620 = 12.8mz = m0 q zz = 17.1 0.6395 = 13.7

mm mm mm

16. llerin Ortalama Hatas

mi = m0 pi

m1 = 13.8 mm m4 =20.2 mm

m2 =15.3 mmm5 =20.9 mm

m3 =17.1 mm m6 =23.9 mm