DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICAS 2406 …

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ECONÓMICAS

2406 – MATEMÁTICA II

DOCUMENTO DE CLASE

Clase 9: DERIVADAS y DIFERENCIALES

1) Objetivos de la clase:

Que el alumno:

Reconozca la variable respecto de la cual se deriva.

Comprenda la representación geométrica de la derivada parcial.

Aplique las propiedades de las derivadas en el cálculo de las mismas.

Resuelva la ejercitación propuesta, incluyendo las aplicaciones económicas.

Distinga la diferencia entre el incremento de una función y su diferencial.

Utilice el diferencial de una función para resolver situaciones problemáticas en

el área de la Economía.

2) Mapa conceptual de la clase:

Derivadas parciales, definición y propiedades.

Derivadas sucesivas. Propiedades.

Aplicaciones a la Economía.

Valores marginales y elasticidad.

Funciones diferenciables. Diferencial total y parcial.

3) Desarrollo de la clase

Los docentes de la Cátedra de Matemática II le damos nuevamente la bienvenida a

la plataforma MIEL, esperando que sea una herramienta que los ayude a transitar

exitosamente esta asignatura, fomentando un espacio de crecimiento e intercambio.

Consideramos oportuno recordar que la profundidad y rigurosidad de los

contenidos a evaluar son los desarrollados en esta clase. Los videos son

ejemplificadores tanto en la práctica como en la teoría y sirven para facilitar la

asimilación de los contenidos.



NOCIONES PREVIAS

Para comprender los conceptos que abordaremos en esta clase, necesitamos recordar

algunas nociones previas que están involucrados en las definiciones estudiadas en

Matemática I. Podemos definir el concepto clave de esta clase:

Derivada parcial

Definición. Se denomina derivada parcial de una función z = f(x;y) (en un punto de

acumulación del dominio ( 0 0;x y )1 ) respecto de una de sus variables, al límite del

cociente entre el incremento de la función y el incremento de una de las variables

respecto de la cual se desea derivar, mientras que la otra permanece constante, cuando

el incremento de la variable considerada tiende a cero.

(*)0 0

( ; ) ( ; )lim limx

xx x

z f x x y f x yz

x x

=

𝜕𝑓(𝑥;𝑦)

𝜕𝑥

(**) 0 0

( ; ) ( ; )lim lim

y

yy y

z f x y y f x yz

y y

=

y

yxf

);(

Si en un campo de definición de la función, las derivadas parciales existen en todos sus

puntos (son continuas) las expresiones (*) y (**) definen entonces “funciones derivadas

parciales”.

Si a la expresión (*) la definimos en un punto ( 0 0;x y ) nos queda:

limΔ𝑥⟶0

Δ𝑥𝑧

Δ𝑥= lim

Δ𝑥⟶0

f(𝑥0 + Δ𝑥 ; 𝑦0) − f(𝑥0 ; 𝑦0)

Δ𝑥= 𝑧𝑥 (𝑥0 ;𝑦0) =

ʚ𝑓(𝑥𝑂)

ʚ𝑥

Antes de continuar sugerimos ver el siguiente video:

https://www.youtube.com/watch?v=-P0PyUFg4Kk&t=3s

1 Punto de acumulación: sea

nRC , el punto naaaa ;........;; 21

es de acumulación de C , si

y sólo si, a todo entorno reducido de a

le pertenece al menos un punto de C . ( a

puede o no pertenecer

a C )

https://www.youtube.com/watch?v=-P0PyUFg4Kk&t=3s



Luego es un número real y decimos entonces que la derivada parcial de una función en

un punto es un “número”, este “número” representa geométricamente la pendiente

de la recta tangente a la curva que se forma por la intersección de la función ( ; )z f x y

y un plano 0y y k en un punto del dominio. Lo mismo acontece con la expresión (**)

pero referido a la variable “y”. Dejo al lector el ajuste apropiado de la definición como

ejercicio.

Gráficamente:

MUY IMPORTANTE

Las reglas y el álgebra de la derivación parcial en dos o más variables son exactamente

las mismas que en una variable.

► Ejemplo:

a) Obtener por definición la derivada parcial de 8242

1; 22 xyyxyxf ,

respecto de x.

Reemplazando en la definición

x

yxfyxxflímf

x

yxf

xx

;;;

0

x

xyyxxxyyxx

límfx

x

8242

1824

2

1 2222

0



Obtenemos una indeterminación del tipo0

0, que salvaremos operando

algebraicamente.

x

xyyxxxyyxxxx

límfx

x

8242

18242

2

1 22222

0

x

xyyxxxyyxyxxyx

límfx

x

8242

18224.

2

1.

2

1 22222

0

Cancelando y sacando factor común x en el numerador, obtenemos:

x

yxyxx

límfx

x

2.2

1.

0

Simplificando x , salvamos la indeterminación y calculamos el límite, obteniendo

finalmente la derivada parcial buscada.

2 xyf x

b) Verificar el resultado obtenido derivando directamente utilizando tabla.

8242

1; 22 xyyxyxf (Recordemos que “y” actúa como constante)

01.202.2

1 12

; yxf

yxx

2.;

yxfyxx

c) Calcular la derivada parcial respecto de x de la función anterior en (3; 1)

Reemplazamos las coordenadas del punto en la expresión obtenida en a)

2; xyyxf x 21.31;3xf 11;3 xf

A modo de ejemplo, previo a resolver el ejercicio 1, sugerimos ver los siguientes

parciales:

https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48

https://www.youtube.com/watch?v=T8A6_ettGbg

https://www.youtube.com/watch?v=pMYdSjgzrys

https://www.youtube.com/watch?v=tb00qQBYm48

https://www.youtube.com/watch?v=T8A6_ettGbg

https://www.youtube.com/watch?v=pMYdSjgzrys



Ejercicio 1. Dadas las siguientes funciones derivar aplicando la definición respecto de las

dos variables en los puntos indicados.

a) 𝑧 = 𝑥 + 𝑦2 en (1; 2) e) 𝑧 =𝑥3

𝑦+1 en (2; 1)

b) 𝑧 = 2𝑥3 − 𝑦 en (2; 2) f) √𝑥. 𝑦3 en (1; 1)

c) 𝑧 = (𝑥 + 𝑦)3 en (2; −3) g) 𝑧 = ln(𝑥 + 𝑦) en (3; 2)

d) 𝑧 = √𝑥 − 𝑦 en (2; −1) h) 𝑧 = 𝑒(𝑥+𝑦) en (1; 2)

Respuestas:

a) 4;1 2;12;1 yx zz e) 2;6 1;21;2 yx zz

b) 1;24 2;22;2 yx zz

f) 𝑧𝑥(1; 1) =1

3 ; 𝑧𝑦(1; 1) =

1

3

c) 𝑧𝑥(2;− 3) = 3 ; 𝑧𝑦(2;− 3) = 3 g) 5

1;

5

12;32;3 yx zz

d)

6

3;

6

31;21;2 yx zz h)

3

2;1

3

2;1 ; ezez yx

Sugerimos ver los siguientes videos previo a resolver el ejercicio 2:

https://www.youtube.com/watch?v=jM8WkAIKAVM

https://www.youtube.com/watch?v=Onx678fKpvs

Ejercicio 2. Derivar en forma directa respecto de las variables “x” e “y”.

a) Derivar los ejercicios del punto 1 (del a al h) f) 2 2( ; ) ln( )f x y x y

b) ( ) ( ; )2

z sen x y en

g) 2 2( ; ) cos( 2 )f x y x xy

c) cos( ) ( ; )3

z x y en

h) ( ; ) 2x y x yf x y e

d) 3( ) (3;1)z x y en i) 2

2

);(yx

yxyxf

e) 2( ; ) ln( 2 )f x y x sen y j) xyxyxf 1; 2

https://www.youtube.com/watch?v=jM8WkAIKAVM

https://www.youtube.com/watch?v=Onx678fKpvs



Respuestas:

b) 0;0;

2;

2

yx

zz

c) 2

3;

2

3

3;

3;

yx

zz

d) 22

3)1;3( xZ ; 2

2

3)1;3( yZ

e) senyx

yf

senyx

xf yx

2

cos2;

2

222

f) 22222222 ln

;ln yxyx

yf

yxyx

xf yx

g) 22222 2.4;2.22 yxsenxyfxyxsenyxf yx

h) 𝑓𝑥 = 𝑦. 2𝑥𝑦 𝑙𝑛 2 − 𝑦𝑒𝑥𝑦 ; 𝑓𝑦 = 𝑥. 2𝑥𝑦 𝑙𝑛 2-x𝑒𝑥𝑦

i) 22

22

22

22 2;

2

yx

yyxxf

yx

yxyxf yx

j) 1ln1;11

21ln 222

2

22

xxxfx

x

yxxyf

xy

y

xy

x

CANTIDAD DE DERIVADAS PARCIALES

Una función de varias variables tiene tantas derivadas parciales primeras como cantidad

de variables tiene la función.

Ej. Si tenemos una función de 2 variables, entonces tiene dos derivadas parciales

primeras.

Generalizando lo anterior, podemos decir, que una función con m variables tiene m

derivadas parciales primeras.

Las derivadas parciales primeras de una función de dos variables son a su vez funciones

de las mismas variables, (cumpliendo las condiciones exigidas), por lo tanto se pueden

volver a derivar respecto de esas mismas variables dando así origen a las derivadas

parciales sucesivas.



► Ejemplo: Si tenemos una función de 2 variables, entonces:

Función Derivadas de

primer orden

Derivadas de

segundo orden2

Derivadas de orden n

yxf ;

xf

yf

2

2

x

f

x

ff x

xx

yx

f

y

ff x

xy

2

xy

f

x

ff

y

yx

2

2

2

y

f

y

ff

y

yy

Observamos que de

un orden al siguiente

se duplica la cantidad

de derivadas.

Por tener 2 variables

las derivadas de orden

n que obtendríamos,

serían el doble de las

derivadas de orden n-

1

Cantidad de

derivadas 2 =

12 4 =2.12 =

22 2. nn 22 1

Generalizando:

Si una función tiene m variables, entonces, la cantidad total de derivadas de orden n es

nm , ya que por cada orden de derivación se obtienen m nuevas derivadas a partir de las

del orden anterior.

► Ejemplo: ¿Cuántas derivadas de orden 4 tiene una función de 3 variables?

n = 4 (orden); m =3 (cantidad de variables)

Cantidad total de derivadas de orden n = nm

Cantidad total de derivadas de orden 4 = 8134

2Se llaman derivadas directas a 2

2

x

ff xx

;

2

2

y

ff yy

y cruzadas a

yx

ff xy

2

; xy

ff yx

2



DERIVADAS CRUZADAS. (TEOREMA DE SCHWARZ)

Sea ( ; )z f x y una función de dos variables con derivadas parciales primeras continuas

y también existe al menos una derivada cruzada respecto de x o de y continua en el

entorno de un punto interior del dominio, entonces existe y es igual la derivada parcial

cruzada respecto de y o de x

Sea ( ; )z f x y , si existen xz , yz y xyz entonces existe y es igual a yxz

(Todo esto debe ocurrir con las condiciones indicadas anteriormente)

► Ejemplo:

Dada xyz calcular sus derivadas primeras, segundas y las cruzadas en (2; 1).

Verificar el Teorema de Schwarz.

Derivando respecto de “x” , “y” actúa como constante :

yyz x

x ln 01;2 xz ⟹ 0.ln.ln xx

xx yyyyz ∴ yyz x

xx

2ln

01;2 xxz

Y además 1ln1 yxyz x

yx 11;2 yxz

Derivando respecto de “y” , “x” actúa como constante :

1x

y yxz 21;2 yz ⟹

211;2

2

yy

x

yy zyxxz

“y” actúa como constante ⟹ 1ln1 yxyz x

xy 11;2 xyz

Como yxxy zz se verifica el Teorema de Schwarz.

Ejercicio 3. Dadas las siguientes funciones calcular sus derivadas primeras, segundas y

las cruzadas en los puntos indicados.

a) 𝑧 = 𝑥2𝑦 + 𝑦3 − 𝑥4 en (1;2) b) 𝑧 = (𝑥 + 1)2 − (𝑦 − 2)2 en (2;2)

c) 𝑧 = √𝑥2 + 𝑦 en (1;3) d) 𝑧 =𝑥+𝑦

𝑥−𝑦 en (2;3)

e) 𝑧 =𝑥2

𝑥−𝑦2 en (3;-1) f) 𝑧 = √ln (𝑥 − 𝑦) en (4;-1)

g) 𝑧 = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥 − 𝑦) en (𝜋

2; 𝜋) h) 𝑧 = 2𝑦 tan (𝑥) en (

𝜋

4;

𝜋

3)

i) 𝑧 = 𝑥5(𝑦 − 3)2 en (1;1) j) 𝑧 = 𝑙𝑛 (𝑥+𝑦

𝑥−𝑦) en (5;4)



Respuestas:

a)

342 xxyzx 02;1 xz 22 3yxz y 𝑧𝑦(1;2) = 13

2122 xyzxx 82;1 xxz 126

2;1 yyyy zyz

𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = 2𝑥 𝑧𝑥𝑦(1;2) = 𝑧𝑦𝑥(1;2) = 2

b)

c)

d)

2

2

yx

yzx

63;2 xz 2

2

yx

xz y

43;2 yz

34

yx

yz xx

123;2 xxz

8

43;23

yyyy zyx

xz

32

yx

yxzz yxxy

103;23;2 yxxy zz

12 xzx 62;2 xz 22 yz y 02;2 yz

2xxz 22;2 xxz 22

2;2 yyyy zz

𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = 0 𝑧𝑥𝑦(2;2) = 𝑧𝑦𝑥(2;2) = 0

yx

xzx

2

2

13;1 xz

yxz y

22

1

4

13;1 yz

32 yx

yz xx

8

33;1 xxz

32

1

4

13;1

2

32

yyyy zyxz

322 yx

xzz yxxy

16

13;13;1 yxxy zz



e)

22

22 2

yx

xyxz x

4

31;3 xz

22

22

yx

yxz y

2

91;3 yz

32

42

yx

yz xx

4

11;3 xxz

2

27621;332

223

yyyy zyx

yxxz

32

34

yx

xyzz yxxy

2

31;31;3 yxxy zz

f)

12

1

ln2

1

yxyxzx 5ln10

11;4 xz

12

1

ln2

1

yxyxz y 5ln10

11;4

yz

2lnln4

1 122

1

yxyxyxz xx

2lnln4

1 122

1

yxyxyxz yy

2lnln4

1 122

1

yxyxyxzz yxxy

g)

yxsenyxxz cos2

0;

2

xx

z

yxsenyxyz cos2 0;

2

y

z

yxyxsenxxz 2

cos22

2 2;

2

xx

z

yxyxsenyyz 2

cos22

2 2;

2

yy

z

yxyxsenyxzxyz 2

cos22

2

2;

2

xy

z



h)

xyxyxz2

cos22

sec2

3

4

3;

4

x

z

tgxz y 2 2

3;

4

y

z

xtgxyxxsenyzxx

23 sec4cos4

3

8

3;

4

xx

z

0yyz 0

3;

4

yy

z

xzz yxxy

2sec2 4

3;

4

xy

z

i)

2435 yxzx 201;1 xz

32 5 yxz y 𝑧𝑦(1;1) = −4

23 320 yxzxx 801;1 xxz 22

1;1

5 yyyy zxz

310 4 yxzz yxxy 201;11;1 yxxy zz

j)

22

2

yx

yzx

9

84;5 xz 22

2

yx

xz y

9

104;5 yz

222

4

yx

xyzz yyxx

81

804;54;5 yyxx zz

222

22

)(

2

yx

yxzz yxxy

81

82 yxxy zz

Ejercicio 4. Dada xy

zx y

demostrar que 2 22 0xx xy yyx z xyz y z

Ejercicio 5. Dada ( cos )tz e sen x y demostrar que xx yy

zz z

t



Aplicaciones económicas: Derivadas parciales.

Función económica marginal parcial: Es la derivada parcial de la función económica con

respecto a la variable considerada. Expresa la variación aproximada de la función

económica a partir de determinadas condiciones iniciales cuando se incrementa en una

unidad la variable considerada manteniéndose las restantes variables constantes.

Elasticidad parcial: La elasticidad parcial de una función con respecto a una variable

expresa en que porcentaje varía aproximadamente dicha función a partir de las

condiciones iniciales dadas, cuando solamente la variable considerada se incrementa en

un 1%. Sea una función U=U(x; y) entonces su fórmula es:

00 0

0

( ; )xEU U

x yEx U x

0

0 0

0

( ; )yEU U

x yEy U y

Clasificación de bienes: Consideremos dos bienes A y B, cuyos precios son p y q

respectivamente y r es la renta o ingreso del consumidor. Además 𝑥 = 𝑓(𝑝;𝑞;𝑟) es la

función demanda correspondiente al bien A y 𝑦 = 𝑔(𝑝;𝑞;𝑟) es la función demanda del

bien B. Con los signos de las demandas marginales con respecto al propio precio, al

precio del otro bien o a la renta del consumidor podemos clasificar a dichos bienes como

se indica a continuación:

Consideremos ( ; ; )x f p q r (Podríamos haber elegido la otra función demanda, pues

la clasificación es análoga)

a) Derivando con respecto al propio precio del bien x

p

, se la llama “demanda

marginal directa” y clasifica al bien correspondiente:

Si 0x

p

el bien es “típico”

Si 0x

p

el bien es “Giffen”



Si 0x

p

la demanda no está afectada por el precio del bien

b) Derivando con respecto al precio del otro bien x

q

, se la llama “demanda

marginal cruzada” e indica la relación que existe entre los bienes considerados.

Si 0x

q

los bienes son “complementarios”

Si 0x

q

los bienes son “sustitutos” o “competitivos”

Si 0x

q

los bienes son “independientes”

c) Derivando con respecto a la renta:

Si 0x

r

el bien es “normal”

Si 0x

r

el bien es “inferior”

Si 0x

r

la demanda no está afectada por la renta del consumidor

d) Si la elasticidad parcial de la demanda con respecto a la renta tiene valor

absoluto menor que 1 se dice que es un bien “necesario”.

e) También recordemos que el valor absoluto de la elasticidad parcial de la

demanda con respecto al propio precio clasifica a la demanda de la siguiente

manera:

1Ep

Ex la demanda es inelástica

1Ep

Ex la demanda es unitaria



1Ep

Ex la demanda es elástica

Sugerimos ver los siguientes videos:

https://www.youtube.com/watch?v=z8ZDOpdLatw

https://www.youtube.com/watch?v=-F6PP5Vloeg

Ejercicio 6. Las funciones demandas de dos bienes A y B son “x” e “y” respectivamente

y los respectivos precios son p y q, sus ecuaciones son:

3

25 2

qx y p q

p

Se pide:

a) Calcular todas las demandas marginales (directas y cruzadas) correspondientes para

valores genéricos de los precios.

b) Clasificar como es cada bien y cuál es la relación que existe entre dichos bienes

justificando cada respuesta.

Respuestas:

a) 3

3 2 23

2 1) ; ; 5 ; 2

3

qx x y ya

p p q p qp q

b) El bien A es típico pues 0x

p

El bien B es típico pues 0y

q

Los bienes son sustitutos pues las demandas

marginales cruzadas son positivas.

Ejercicio 7. La función demanda de un bien “típico” está relacionada con el precio del

mismo y el de otro bien por la función. 2

2

1

5

2

pD

p

Se pide:

https://www.youtube.com/watch?v=z8ZDOpdLatw

https://www.youtube.com/watch?v=-F6PP5Vloeg



a) ¿Los bienes son sustitutos o complementarios? Justificar.

b) Hallar el valor de la elasticidad de la demanda con respecto al precio del bien cuando

1 21 4p y p e interpretar con sentido económico dicho valor.

c) ¿Cómo resultó la demanda según el valor obtenido en el punto b)? Justificar.

Respuestas:

a) Los bienes son sustitutos pues2

0D

p

b) |𝜕𝐷

𝜕𝑝1(1; 4)| = −

2

3por lo tanto la demanda varía disminuyendo en aproximadamente

un0,66% cuando a partir de 1 21 4p y p se incrementa 𝑝1 en un 1%

manteniéndose 2p constante.

c) La demanda resultó inelástica pues 1

1ED

Ep

Ejercicio 8. Las demandas de dos bienes típicos A y B están relacionadas con los precios

p y q de dichos bienes y la renta r, las respectivas funciones son:

206,04 rpqx 165,05,13 rqpy

Se pide:

a) ¿Qué variables representan los precios de cada bien? Justificar.

b) ¿Son bienes “competitivos” o “complementarios”? Justificar.

c) Calcular la demanda marginal del bien A con respecto a su precio si p=2, q=3 y r=4.

Interpretar el resultado económicamente.

d) Clasificar a cada bien como “normal” o “inferior” justificando la respuesta.

e) ¿El bien A es “necesario”? Utilizar las condiciones iniciales dadas en el punto c).

f) Calcular la elasticidad de la demanda del bien B con respecto a su precio, en las

condiciones iniciales dadas en el punto c) e interpretar el resultado

económicamente. ¿Cómo resultó la demanda de B? Justificar.

Respuestas:

a) Como, por dato, los bienes son típicos cada demanda marginal con respecto a su

propio precio debe resultar negativa, entonces:



1 0 " "x

pp

es el precio de A ""05,1 q

q

y

es el precio de B

b) 4 0x

q

como esta demanda marginal cruzada resultó positiva significa que los

bienes son sustitutos o competitivos.

c) (2;3;4) 1x

p

este resultado expresa que la demanda de A disminuye

aproximadamente en una unidad cuando a partir de p=2, q=3, r=4 se incrementa p

en una unidad monetaria manteniéndose las restantes variables constantes.

d) 06,0

r

x este resultado expresa que el bien A es “inferior”

0,5 0y

r

este resultado expresa que el bien B es “normal”

e) 𝐸𝑥

𝐸𝑟(2; 3; 4)| = 0,087 < 1 esto significa que el bien A es necesario.

f) 𝐸𝑦

𝐸𝑞(2; 3; 4) = −0,23este resultado expresa que la demanda de B disminuye

aproximadamente en un 0,23% cuando a partir de p=2, q=3, r=4 se incrementa q en

un 1% manteniéndose las restantes variables constantes.

Como 1Ey

Eq la demanda de B resultó inelástica.

Ejercicio 9. La demanda de dos bienes Giffen A y B están relacionados con los precios p

y q y la renta del consumidor r según la función 𝐷𝐴 =𝑞.𝑟

𝑝2 𝐷𝐵 =𝑝.𝑟

𝑞2+4 siendo p=2, q= 8 y

r= 3. Calcular la elasticidad de la demanda de cada bien con respecto a su precio

interpretando el resultado obtenido económicamente.

Respuesta: 1Eq

EDA 1Ep

EDB

Como las elasticidades son unitarias significa que a partir de las condiciones iniciales

p=2, q= 8 y r= 3 si cada una de las variables que representa los precios, de a una por vez,

aumentan un 1% la función demanda aumenta en la misma proporción.



Ejercicio 10. Las demandas de dos bienes en funciones de sus precios son 2

1

10p

qD

y qpD 461002 . Sabiendo que el primer bien es bien es típico y el segundo es

Giffen, calcular la elasticidad con respecto a su precio en cada caso, sabiendo que p=2 y

q=3.

Respuesta: 11

5)3;2(1

Eq

ED 12,0)3;2(2

Ep

ED

FUNCIÓN DIFERENCIABLE

Una función de dos variables es diferenciable en el punto ( 0 0;x y ) si y solo si el

incremento 0 0 0 0 0 0 0( ; ) ( ; )z f x x y y f x y de la misma en las vecindades de

dicho punto se puede expresar como una combinación lineal de los incrementos de las

variables, más un infinitésimo3 de orden superior al primero comparado con

2 2( ) ( )x y cuando 0;0; yx .

);( 00000 yxyBxAZ

Se llama diferencial total de una función diferenciable al infinitésimo principal de

( ; )z A x B y x y luego 0 0 0dz A x B y

Tomando las funciones 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 en un caso y 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑦 en otro, se llega a

comprobar que dx x y dy y . De igual manera es posible demostrar (hecho en

las propiedades de funciones diferenciables) que las constantes A y B resultan ser las

derivadas de la función respecto de las variables x e y respectivamente.

Nosotros usaremos a los efectos prácticos: ( ; ) ( ; )x ydz f x y dx f x y dy

Propiedades de las funciones diferenciables

Toda función diferenciable en un punto es continua y derivable en ese punto. En

Matemática II la derivabilidad no alcanza para garantizar la continuidad de una función,

es necesario la diferenciabilidad.

3 Se llama infinitésimo a una función que tiende a cero cuando la variable tiende a un valor finito o a

infinito.



Por ejemplo la siguiente función es derivable y no es continua en el origen:

2 2

2( ; ) (0;0)

( ; )

0 ( ; ) (0;0)

xysi x y

x yf x y

si x y

Esta función no es continua en el origen, sin

embargo si aplicamos la definición de derivada parcial en el origen obtenemos

x yf y f .

Habíamos dicho en el párrafo anterior que toda función diferenciable en un punto es

continua en ese punto. Para que sea continua a incrementos infinitesimales de las

variables corresponden incrementos infinitesimales de la función. En caso de ser una

función diferenciable el incremento de la función en el punto en cuestión se puede

escribir así: 1 2z A x B y x y si ( ; ) (0;0)x y es evidente que cada

término de la expresión anterior tiende a cero, con lo cual la suma también tiende a

cero, entonces 0z y la función es continua.

También habíamos dicho que si una función es diferenciable en un punto es derivable

en ese punto. Si la función de dos variables z = f (x;y) es diferenciable en el punto (xo;yo)

el incremento de la función en el entorno de ese punto se puede escribir como:

1 2z A x B y x y con 1 20 0 0 0si x si y

Probaremos muy fácilmente que en la expresión (a) 1 2z A x B y x y que

A es la derivada parcial de Z respecto de x. Calculemos la derivada parcial de Z respecto

de la variable x obviamente la y = cte. y en consecuencia 0y

1 2xz A x B y x y

1 20 0xz A x B x

1xz A x x

Dividimos ambos miembros por x para formar el cociente incremental

11

xz xA xA

x x x

Tomando límite en ambos miembros para 0x nos queda

10 0

lim lim ( ) 0x

x x

zA A A

x

⇒

0lim x

x

zA

x



Ya que en el primer miembro tenemos la definición de derivada parcial de la función z

respecto de x, esta igualdad nos indica que A es su derivada.

Dejamos para el estudiante la demostración de que en la expresión (a) B, es la derivada

parcial de la función z respecto de la variable y.

Sugerimos ver los siguientes videos antes de resolver los ejercicios:

https://www.youtube.com/watch?v=UTNSNGy0PGs

https://www.youtube.com/watch?v=mUNtw3K5mGM

Ejercicio 11. Calcular el incremento de las funciones según los datos.

(Tomar la parte entera como el punto inicial y la parte decimal como incremento. Ver

ejemplo descriptivo del ejercicio a)

a) 2 (1,01 ; 2,02)z x y en 0 01 2 0,01 0,02x y x y

b) 32 ( 2,03 ; 1,02)z x y en

c) 3yxz en (1,02 ; 3;01)

d) (2,99 ; 1,99)z x y en

e) 3 (1,09 ; 1)z xy en

Ejercicio 12. Calcular el incremento aproximado (utilizando diferenciales) de las

funciones del punto 11 y comparar los resultados.

Respuestas. Ejercicio 11. Ejercicio 12.

a) b) c) d) e)

11 0904,0f 75,0f 4508,1f 004477,0f 02914,0f

12 09,0df 74,0df 44,1df 004472,0df 03,0df

Comparando, se concluye que dff ; o sea, se verifica que dff

https://www.youtube.com/watch?v=UTNSNGy0PGs

https://www.youtube.com/watch?v=mUNtw3K5mGM



Ejercicio 13. Calcular el valor aproximado utilizando diferenciales. )( 01 dzzz

a) 2 22,99 4.01

Fabricar la función 2 2

1 1 1 1 0 1 0z x y siendo x x x y y y

2,99 = 3 - 0,01 y 4,01= 4 + 0,01; dejando claro que dyydxx

b) 3ln( ) ( )e e tomar e con tres decimales

c)

yx

yxz ln en (5; 4) (el estudiante deberá descomponer el entero)

d) 2 ( 1,23 ; 3,01 )z x y en

NOTA: La aproximación depende de la función utilizada, del punto elegido y del

incremento.

Respuestas:

a) 5,002

b) 2,9314

c) 2,195

d) 2,118

4)Bibliografía:

Gimeno, C. et al, (2019) Matemática II para Ciencias Económicas, Editorial

Universidad Nacional de La Matanza.

Centro de estudiantes UNLaM: Apuntes teóricos y Guía T.P.

Allen R. G. D. Análisis Matemático para Economistas.

Chiang Alpha. Métodos fundamentales de Economía Matemática

Dowling, E. Matemáticas Para Economistas.

Weber, J. Matemática para Administración y Economía.



Actividad pedagógica: Durante la clase se desarrollarán las siguientes

actividades:

Lectura de los documentos provistos y resolución de ejercitación. Estos

documentos incluyen: Definición de derivada parcial, interpretación geométrica,

derivada de primer y segundo orden y derivada cruzada. Aplicaciones a la

Economía.

Simultáneamente, se contestarán dudas y repreguntas a través del foro de la

plataforma, durante el horario de clase correspondiente a cada comisión.

6. Material complementario de la clase:

Para pensar 1: El diferencial total de una función diferenciable en un punto nos permite

calcular de forma exacta el incremento de la función al pasar de un punto a otro de su

dominio.

Para pensar 2: Si la demanda marginal cruzada resultó positiva significa que los bienes

son complementarios.

Para pensar 3: Dado un bien si 𝜕𝑦

𝜕𝑟= 0,3 ¿qué tipo de bien resulta?

Respuestas

Para pensar 1: F. El diferencial nos permite calcular el valor aproximado de la función.

Para pensar 2: F. Si la demanda marginal cruzada resultó positiva significa que los bienes

son sustitutos o competitivos

Para pensar 3: V 𝜕𝑦

𝜕𝑟= 0,3 > 0 este resultado expresa que el bien B es “normal”

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