Departamento de Comunicaciones-UPVpersonales.upv.es › aalbiol › libroproblemas › Libro... · Cap´ıtulo 1 Muestreo Problema 1.1 Se tiene una sen˜al anal´ogica con un ancho

Departamento de Comunicaciones-UPV

Problemas de

Tratamiento Digital de la Senal

Antonio AlbiolJosep PradesValery NaranjoLuis Vergara

Indice

1. Muestreo 1

Problema 1.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Problema 1.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Problema 1.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Problema 1.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Problema 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Problema 1.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Problema 1.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Problema 1.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Problema 1.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Problema 1.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Problema 1.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Problema 1.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Problema 1.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Problema 1.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Problema 1.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Problema 1.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Problema 1.17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Problema 1.18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Problema 1.19. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Problema 1.20. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Problema 1.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Problema 1.22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

2. DFT 97

Problema 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

i

Problema 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Problema 2.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Problema 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Problema 2.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Problema 2.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Problema 2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Problema 2.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Problema 2.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Problema 2.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Problema 2.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Problema 2.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Problema 2.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Problema 2.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Problema 2.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Problema 2.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3. Filtros digitales 149

Problema 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Problema 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

Problema 3.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Problema 3.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Problema 3.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Problema 3.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Problema 3.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Problema 3.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Problema 3.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Problema 3.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Problema 3.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Problema 3.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

Problema 3.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

4. Filtrado adaptativo 195

Problema 4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Problema 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Problema 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

Problema 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

ii

Problema 4.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Problema 4.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

Problema 4.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Problema 4.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Problema 4.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Problema 4.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

Problema 4.11. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Problema 4.12. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Problema 4.13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Problema 4.14. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Problema 4.15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

5. Analisis espectral 255

Problema 5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Problema 5.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Problema 5.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Problema 5.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Problema 5.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Problema 5.6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Problema 5.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Problema 5.8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Problema 5.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

Problema 5.10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

iii

Prologo

La presente obra es el resultado de la recopilacion, durante mas de 13anos de los problemas propuestos en examenes de la asignatura TratamientoDigital de Senales impartida en la Escuela Tecnica Superior de Ingenieros deTelecomunicacion de la Universidad Politecnica de Valencia. Podemos afirmarque nos encontramos ante la mayor recopilacion en castellano de problemasde examen de la materia.

La actual, es la tercera edicion de una obra que ha ido creciendo con eltiempo. En esta tercera edicion se han producido cambios radicales en dife-rentes aspectos:

Se ha uniformizado el aspecto de todos los problemas. En los ultimos 13anos se han producido cambios sustanciales en el mundo de la edicionelectronica que habıan causado que los problemas originales se escribie-ran en al menos 4 procesadores de texto diferentes. Todos los problemasse han llevado a LATEX lo que ha exigido la reescritura de buen numerode ellos. Es por ello posible que aparezca alguna nueva errata, que losautores agradeceran se les comunique para confeccionar una pagina webde fe de erratas tan al dıa como se pueda.

Cambios en la organizacion de los problemas. En ediciones anterioreslos problemas aparecıan en orden cronologico, los mas antiguos primero.Esto dificultaba muchas veces la labor del alumno a la hora de estudiarpues los problemas de un tema aparecıan dispersos por el libro. En laedicion actual, los problemas aparecen agrupados por temas coincidentescon el temario actual de la asignatura. Aquellos problemas, que contienenaspectos de mas de un tema, aparecen en el capıtulo en que los autoreshemos considerado que tiene mas relacion.

Cambios en la estructura de enunciados y soluciones. En ediciones an-teriores el libro tenıa dos partes. Una primera solo de enunciados y unasegunda con las soluciones. La idea inicial fue que de esa forma el alumnointentara solucionar por sı mismo los problemas antes de consultar la so-lucion. Sin embargo esto exigıa el andar pasando paginas continuamente.En la edicion actual, cada enunciado es seguido de su solucion.

En la vida de la obra se ha producido un cambio de plan de estudios.Dicho cambio ha supuesto que algunos temas o apartados hayan desapa-recido del temario. Se han suprimido los problemas correspondientes aestos temas.

Con el tiempo transcurrido el numero de problemas, especialmente en al-gunos temas, es bastante elevado. Es por ello que se recomienda, como proce-

iv

dimiento de estudio, el analizar como se resuelven algunos de los problemas decada tema elegidos al azar, tras el estudio de la teorıa, y reservar unos cuantosejercicios como autoverficacion de la comprension de los temas.

Los autores queremos agradecer a los numerosos estudiantes de la EscuelaTecnica Superior de Ingenieros de Telecomunicacion de la Universidad Po-litecnica de Valencia sus comentarios y sugerencias, recibidos a lo largo de losanos y que hemos ido recogiendo con el fin de tratar que el libro sea de maximautilidad a sus futuros lectores. Desde aquı animamos a seguir haciendonos lle-gar, personalmente o por correo electronico, sugerencias, comentarios o erratasque se detecten con el fin de ir mejorando la obra con el paso de los anos.

Los autores

Valencia, junio de 2003

v

vi

Capıtulo 1

Muestreo

Problema 1.1

Se tiene una senal analogica con un ancho de banda W (Figura 1.1) que seintroduce como entrada en el sistema de la Figura 1.2, donde H1 es un filtropaso-bajo ideal de frecuencia de corte 1/2, H2 es un filtro paso-alto ideal defrecuencia de corte 1/8 y H3 es un filtro paso-bajo ideal de frecuencia de corte1/3. Se pide:

a) Determinar los espectros de las senales discretasX1(ejω),X2(e

jω),X3(ejω)

y X4(ejω).

b) Determinar fs2 para que el sistema pueda funcionar en tiempo real.

c) Determinar el espectro de la senal de salida analogica Xc(fc).

d) Determinar si existe o no aliasing en la senal de salida. ¿Se puede sustituirel anterior conjunto por un unico filtro analogico? Si es ası, especifiquebajo que condiciones y a que filtro analogico corresponde.

Datos: W = 4 kHz y fs1 = 6 kHz

-

6

Wfc

Xc(fc)1

Figura 1.1: Espectro de la senal analogica.

1

2 CAPITULO 1. MUESTREO

- C/D - ↑2 - H1- H2

- H3- ↓ 3 - D/C -

xc(t) yc(t)

6 6fs1 fs2

x1[n] x2[n] x3[n] x4[n]

Figura 1.2: Diagrama de bloques.

Solucion

a) Los espectros que se piden son:

-

6

12

13

3000

6000

0

fd

X1(ejω)

6000

12000

-

6

12

14

16

0

fd

X2(ejω)

-

6

12

0

fd

X3(ejω)

18

16

14

6000

-

6

12

38

0

fd

X4(ejω)

2000

4000

b) Para que el sistema pueda funcionar en tiempo real, la velocidad a laque entran las muestras en el sistema debe ser la misma que la velocidadcon la que salen de el. Por tanto:

fs2 =2

3fs1 = 4kHz

PROBLEMA 1.1. 3

c) El espectro de la senal de salida sera:

14

-

6

21,50

f(kHz)

Yc(fc)

0.5

1

d) No existira aliasing en la senal de salida aunque lo haya en x1[n] ya queen la banda pasante no hay solapamiento espectral debido al muestreo.

El conjunto se comportara como un filtro paso-banda entre 1500 y 2000Hz, mientras no exista aliasing en la banda de paso del filtro equivalente.


Problema 1.2

Se dispone de un programa para un cierto DSP que filtra paso-bajo unasecuencia discreta con una frecuencia de corte fd = 1/6. La respuesta frecuen-cial del filtro es tan abrupta que el filtro puede considerarse ideal, tal y comose muestra en la figura 1.3.

-

6H(ejω)

fd16

12

Figura 1.3: Filtro paso-bajo ideal discreto.

Se piensa utilizar el mencionado filtro para el filtrado de senales analogicascon una estructura del tipo

- - - D/C -C/D H(ejω) D/C

6 6T T

Figura 1.4: Estructura basada en procesamiento discreto

Se pide:

a) La relacion entre el periodo de muestreo (T ) y la frecuencia de corte delfiltro analogico paso-bajo equivalente (fc), supuesto que no haya aliasing.

b) Relacion entre el ancho de banda maximo de la senal de entrada BWmax

que el sistema puede aceptar para que no haya aliasing y la frecuenciade corte del filtro analogico equivalente.

Supongamos que disponemos de una senal analogica de 8 kHz de ancho debanda y deseamos filtrarla paso-bajo con un filtro de 1 kHz de banda de paso.

PROBLEMA 1.2. 5

Se desea aprovechar el mismo programa para DSP anterior, es decir, el mismofiltro discreto, y a fin de que no haya aliasing se modifica la estructura originalde filtrado analogico por la siguiente:

- - - - - -C/D H(ej ω) ↓ 2 H(ejω) D/C

6 6

T1 T2

x1[n] x2[n] x3[n] x4[n]

c) Determinar los parametros T1, T2 y L para que el sistema anterior secomporte como un filtro analogico de las caracterısticas especificadaspara senales de entrada de 8 kHz de ancho de banda. Indicar todas lassoluciones posibles para los parametros.

d) Determinar para cada una de las soluciones posibles arriba halladas, cuales el maximo ancho de banda permisible de la senal de entrada para queno haya aliasing en la salida.

Solucion

a) La relacion entre fc y T es

fc =1

6T=fs6

y por tantofs = 6fc

b) Al muestrear la senal analogica de la figura 1.5.a se obtiene una secuenciacuyo espectro se muestra en la figura 1.5.b.

Para que no haya aliasing no debe existir solapamiento en la banda defrecuencias que deja pasar el filtro digital, y por tanto

fs −BWfs

>1

6


-

6

-

6X(fc) X(ej2πfd)

fc fdfs−BW

fsBWfs

(a) (b)

BW 1

Figura 1.5: Espectros de xc(t) (a) y x[n] (b).

obteniendo

BW < 5 fc =5

6fs

Esta condicion es menos restrictiva que el criterio de Nyquist (BW <fs/2). Esto es posible porque tras el filtro discreto solo hay parte delespectro original.

Por tanto, con el anterior esquema es imposible filtrar una senal de 8kHz para obtener una de 1 kHz, pues

8000 > 5 · 1000

y por tantoBW > 5 · fc

c) Si queremos que el conjunto sea una filtro paso-bajo de frecuencia decorte de 1 kHz y el filtro discreto es de fc = 1/6, el parametro T2 nopuede valer mas que:

1

T2= 6 · 1000 = 6000Hz = fs2

La eleccion de T1 vendra impuesta por L y T2 si queremos que el sistemapueda funcionar en tiempo real (es decir, que la senal ni se comprima nise expanda en el tiempo). La relacion es:

T1 =T2L

Vemos que queda pues un unico parametro L que podemos variar deforma independiente. Vamos a estudiar distintos valores de L y si sirvenpara filtrar la senal de 8 kHz a 1 kHz.

En el caso de L = 1:

PROBLEMA 1.2. 7

En este caso no hay ningun diezmado, con lo cual podemos eliminarel diezmador.

La asociacion en cascada de dos filtros paso-bajo ideales identicosequivale a un filtro paso-bajo del mismo ancho de banda.

El esquema se reduce entonces al de la primera parte del problemay, por lo tanto, no sirve.


En este caso fs1 = 2 · fs2 = 12 kHz.

Como X4(ejω) no contiene componentes frecuenciales con aliasing,

no hay aliasing.

-

6

-

6X1(e

jω) X2(ejω)

fd fd1 11

323

16

56

-

6

-

6X3(e

jω) X4(ejω)

fd fd1 11

323

16

56

Figura 1.6: Espectros para el caso L = 2.



No hay aliasing.



El ancho de banda X1(ejω) es de 8/24 sin aliasing. Ademas es su-

perior a 1/6 por lo que el primer filtro elimina componentes espec-trales.


-

6

-

6X1(e

jω) X2(ejω)

fd fd

1 149

59

16

56

Figura 1.7: Espectros para el caso L = 3.

El ancho de banda de X2(ejω) es de 1/6 y sin aliasing.

El ancho de banda X3(ejω) es de 1/2 (el espectro discreto completo)

con aliasing entre 1/3 y 1/2.

El ancho de banda de X4(ejω) es de 1/6 sin aliasing (eliminado por

el 2o filtro).

Vemos que el margen de fd entre 0 y 1/6, que es la que habra tras el 2o

filtro, no tiene aliasing.



El ancho de banda X1(ejω) es 8/30 sin aliasing. Ademas es superior

a 1/6 por lo que el primer filtro elimina componentes espectrales.

El ancho de banda de X2(ejω) es 1/6 y sin aliasing.

El ancho de banda X3(ejω) es de 1/2 (el espectro discreto completo)

con aliasing entre 1/6 y 1/2.

El ancho de banda de X4(ejω) es de 1/6 sin aliasing (eliminado por

el 2o filtro).

Por tanto la solucion con L = 5 tambien sirve.

En el caso de L > 5, el aliasing introducido por el diezmador no eseliminado por el segundo filtro y por tanto no sirve.

Resumiendo todos los casos analizados tenemos:

PROBLEMA 1.2. 9

fs1(kHz) L fs2(kHz)

12 2 6

18 3 6

24 4 6

30 5 6

d) Lo que tiene que ocurrir es que nunca tengamos aliasing en la banda defrecuencias digitales correspondientes a la banda analogica 0-1 kHz. Eldiezmador precedido por el primer filtro de frecuencia de corte 1/6, paralos valores de L del apartado anterior, nunca introduce aliasing en esasfrecuencias (0-1/6 del segundo filtro discreto).

Lo que debe suceder entonces es que el primer muestreo no introduzcaaliasing en esas frecuencias, es decir:

fs1 −BWmax > 1 kHz → BWmax < fs1 − 1 kHz

luego

L fs1(kHz) BWmax(kHz)

2 12 11

3 18 17

4 24 23

5 30 29


Problema 1.3

El objetivo de este problema es explorar como funcionarıa un zoom digitalen un sistema de imagen, es decir, obtener un sistema discreto que expanda unacierta senal. A fin de simplificar las ecuaciones consideraremos en el problemael caso unidimensional del mismo. Con el fin de mantener la notacion habitual,denotaremos la variable independiente como tiempo en vez de espacio, aunqueen el caso de la aplicacion al zoom digital de imagen, la variable independienteserıa una o varias variables espaciales. El mencionado sistema de zoom digitalse puede modelar a traves del diagrama de bloques de la figura 1.8.

- - - - - -↑M H(ejω)C/D

No ideal

D/C

No idealHc(fa)

6 6T T

xc(t)x[n] z[n] y[n] yc(t)

sc(t)

Figura 1.8: Modelo de zoom digital.

El objetivo del sistema es que

sc(t) = xc

(

t

M

)

es decir, que la senal de salida sea una version expandida por un factor M(factor de aumento), de la senal de entrada.

Los conversores C/D y D/C no se pueden considerar ideales, y en base alconocimiento del sensor de imagen empleado (camara CCD), y el sistema depresentacion empleado (tubo de rayos catodicos con pixels de brillo constante),se pueden modelar con las siguientes ecuaciones:

El conversor C/D se puede modelar con la siguiente relacion entrada-salida:

x[n] =1

T

∫ nT+T/2

nT−T/2xc(t) dt

El conversor D/C se puede modelar con la siguiente expresion

yc(t) =∞∑

n=−∞

y[n]∏

(

t− nTT

)

El filtro Hc(fa) es el necesario para rechazar las sucesivas repeticiones delespectro de yc(t) y su respuesta frecuencial debe ser de la forma mostrada enla figura 1.9.

PROBLEMA 1.3. 11

-

6Hc(fc)

fc

1

fc1 fc2

Figura 1.9: Respuesta frecuencial del filtro analogico.

Suponga que la frecuencia de muestreo es

fs = 2 ·W · 1,5

siendo W el ancho de banda de la senal de entrada xc(t).

Se pide:

a) ¿Existe aliasing en algun punto del sistema?

b) Relacion de X(ejω) con Xc(fa).

c) Relacion de Y (ejω) con Yc(fa).

d) Relacion de Z(ejω) con X(ejω).

e) Determinar el valor mınimo de fc1 y maximo de fc2 de modo que la senalsc(t) pueda ser igual a xc(t/M).

f) Especifique que anchura puede tener la banda de paso del filtro discretocomo mınimo. Especifique el valor necesario H(ejω) en la banda de paso,para lograr que la senal sc(t) pueda ser igual a xc(t/M).

g) Especifique cual debe ser el maximo valor para el lımite inferior de labanda atenuada de modo que el sistema entregue a la salida xc(t/M).Indique ası mismo cuales serıan las frecuencias lımite de la banda detransicion para el filtro discreto. Recuerde que en la banda de transicionel filtro no debe tener ningun valor concreto, sino que lo unico que debepasar en dicha banda es una transicion lo mas lenta posible de la bandade paso a la banda atenuada.


-

6

0.5

H(ejω)

fdBanda de Paso B.T. Banda Atenuada

Figura 1.10: Respuesta en frecuencia del filtro discreto.

Solucion

a) El aliasing se origina siempre al muestrear una senal continua o al diez-mar una secuencia. Como no tenemos ningun diezmador, el unico sitioposible en el que se puede generar aliasing es en el conversor C/D. Sinembargo, la frecuencia de muestreo es tres veces el ancho de banda, su-perior por tanto a la frecuencia de Nyquist, por lo que no hay aliasing.

b) El conversor C/D no ideal se puede modelar a traves del diagrama debloques de la figura 1.11

- - -h(t) C/D ideal

6

T

xc(t) r(t) x[n]

Figura 1.11: Modelo para el conversor C/D.

PROBLEMA 1.3. 13

donde

h(t) =1

T

∏

(

t

T

)

y la respuesta en frecuencia es

H(fc) = sinc(fcT )

y por tantoR(fc) = sinc(fcT )Xc(fc)

La senal r(t) se muestrea con un conversor C/D ideal y por lo tanto

X(ejω) =1

T

∑

k

R

(

fc − kT

)

=1

T

∑

k

sinc(fc − k)Xc

(

fc − kT

)

c) El conversor D/C no ideal se puede modelar a traves del diagrama debloques de la figura 1.12.

- - -Ampl.→ δ(t) h(t)

6

T

y[n] yc(t)

Figura 1.12: Diagrama de bloques del conversor D/C.

donde

h(t) =∏

(

t

T

)

y la respuesta en frecuencia es

H(fc) = T sinc(fc T )

Segun esto la relacion entre los espectros de la senal y[n] e yc(t) es

Yc(fc) = Y (ejωcT ) · T · sinc(fc T )

d) La senal z[n] es el resultado de insertar ceros en la senal x[n], por lotanto

Z(ejω) = X(ejωM )


e) La senal de salida debe ser una version expandida de la de entrada, porlo tanto su espectro es

Sc(fc) =M Xc(Mfc)

Si la senal de entrada tenıa un ancho de banda W la senal de salidatendra un ancho de banda W/M . Este debera ser el ancho de banda depaso del filtro de reconstruccion como mınimo, es decir fc1 =W/M . Lamision de este filtro es unicamente eliminar las repeticiones del espectrocentradas en los armonicos de la frecuencia de muestreo. Por tanto lamınima frecuencia que debera eliminar el filtro es

fc2 =1

T− W

M=W

(

3M − 1

M

)

f) El filtro digital tiene tres funciones:

1.- Eliminar las repeticiones del espectro centradas en las frecuencias1/M, 2/M, . . . , (M−1)/M que aparecen tras el insertador de ceros.

2.- Compensar las perdidas de altas frecuencias introducidas en el con-versor C/D y D/C para lograr una respuesta en frecuencia plana.

3.- Introducir una ganancia por una factor M para que la senal inter-polada tenga la amplitud correcta.

Este apartado trata de la banda de paso, es decir de las funciones 2 y 3.La banda de paso dejara pasar la senal deseada. Esta tiene un ancho debanda dado por

fd1 =WT

M=

1

3M

En esta banda de paso el filtro debe tener un valor que compense lasperdidas en alta frecuencia introducidas por los conversores C/D y D/C.Haciendo uso de las relaciones halladas en los apartados anteriores setiene

Yc(f) = Y (ejωcT ) · T · sinc(fc T ) =

= sinc(fc T ) ·(

∑

k

sinc(fc T M − k) ·Xc

(

fcTM − kT

)

)

·H(ejωcT )

Tras el ultimo filtro analogico, del sumatorio solo queda el termino dek = 0, es decir

Sc(fc) = sinc(fcT ) · sinc(fcTM) ·Xc(fcM) ·H(ejωcT )

PROBLEMA 1.3. 15

En la banda de paso debemos tener una ganancia de M , por lo tanto,en la banda de paso

H(ejω) =M

sinc(fd) · sinc(fdM), |fd| < fd1

donde debemos recordar que dada la naturaleza discreta del filtro, larespuesta en frecuencia se entiende periodica con periodo 1 en frecuencia.

g) El valor maximo para el lımite inferior de la banda atenuada viene dadopor la funcion 1 del filtro. La frecuencia mas baja que se debe eliminares

fd2 =1

M− 1

3M=

2

3M

y por lo tanto la banda de transicion es la comprendida entre fd1 y fd2.Notese que como en esta banda la senal vale cero, es indiferente el valorque tome el filtro en ella.


Problema 1.4

En ciertas ocasiones interesa transmitir una senal dividiendola en dos mi-tades y transmitiendo cada una de ellas por un canal. La razon de dividir lasenal en dos partes es que una de las partes transporta informacion basicade la senal original y la otra mitad transporta los detalles o aspectos de ca-lidad de la senal original. De este modo un receptor que solo reciba el canalcorrespondiente a la informacion basica sera capaz de entender la senal aun-que no perciba toda la calidad que pudiera si recibiera los dos canales. Enaudio puede pensarse en un esquema similar considerando como senal basicala correspondiente al canal telefonico, y como canal de detalle la porcion delespectro entre 4 y 15 kHz. La informacion basica se asocia normalmente ainformacion paso-bajo.

Vamos a suponer el caso unidimensional, y ademas vamos a suponer quela senal original x(t) tienen un ancho de banda W y que este ancho de bandase transmite en dos mitades del mismo ancho por cada uno de los canales tal ycomo se muestra en la figura 1.13. El canal 1 transporta informacion paso-bajo(basica) y el canal 2 transporta informacion paso-alto. Supondremos que losfiltros utilizados son ideales. Los bloques etiquetados como Canal x (x=1,2)representan medios transparentes de transmision ideales que entregan a susalida lo mismo que tienen a la entrada. La senal xl(t) corresponde a la versionde baja calidad (paso-bajo) de la senal original.

-

-

-

-

-

-

--

-

-FPA W/2

FPB W/2 Canal 1

Canal 2

Receptorcalidad

Receptorbasico

x(t)

xl(t)

x(t)

Figura 1.13: Division de la senal original.

Se decide implementar la idea utilizando transmision y procesamiento di-gital para lo cual se piensa utilizar el esquema de la figura 1.14.

Se hacen las siguientes hipotesis:

El filtro H1(ejω) es un filtro paso-bajo ideal de pulsacion de corte π/2

El filtro H2(ejω) es un filtro paso-alto ideal de la misma pulsacion de

corte.

PROBLEMA 1.4. 17

-

-

-

-

-

-

-

-

-

6

?- -

- --

6 6Ts Ts

C. Basico

C. Calidad

Receptor de Calidad

A B C D E F

C/D

H2(ejω)

H1(ejω)

↓ 2

↓ 2

R. basico

↑ 2

↑ 2

G1(ejω)

G2(ejω)

D/C+x(t)

xl(t)

x(t)

Figura 1.14: Transmision y recepcion de la senal utilizando procesa-miento discreto.

El conversor C/D es ideal.

El conversor D/C incluye el filtro de reconstruccion necesario y tambienes ideal.

El espectro de la senal de entrada es como se muestra en la figura 1.15.

-

6X(fc)

fc

1

1/2Ts

Figura 1.15: Espectro de la senal de entrada.

a) Dibujar el espectro de la senal discreta A.

b) Dibujar los espectros B, C y D del canal 1 (basico).

c) Dibujar los espectros en B, C y D del canal 2 (calidad).

d) Obtener la respuesta en frecuencia necesaria para los filtros G1(ejω) y

G2(ejω).


e) Obtener los espectros en E de ambos canales.

f) Disenar el diagrama de bloques del receptor basico con el mınimo numerode bloques posibles.

Solucion

a) El espectro de la senal discreta A es

-

6XA(e

jω)

fd

fs

0,5

b) Los espectros del canal basico que se piden son:

-

6

-

6

-

6

12

14−1

2 −14

12−1

212

14−1

2 −14

fd fd fd

fs

fs/2 fs/2

XB(ejω) XC(e

jω) XD(ejω)

c) Los espectros del canal paso-alto que se piden son:

-

6

-

6

-

6

12

14−1

2 −14

12−1

212

14−1

2 −14

fd fd fd

fs/2fs/4 fs/4

XB(ejω) XC(e

jω) XD(ejω)

PROBLEMA 1.4. 19

d) Las respuestas frecuenciales son

G1 = 2 ·H1 G2 = 2 ·H2

e) Los espectros de ambos canales en E son

-

6

-

6

12

14−1

4−12

12

14−1

2 −14

fd fd

fs/2

fs

fs/2

XE1(ejω) XE2(e

jω)

f) El receptor basico es

-

6

-D/Cxc1[n] xl(t)

2Ts


Problema 1.5

La figura 1.16 muestra la estructura basica de un codificador piramidal desenales. Este tipo de codificador es un caso particular de un tipo mas generalde codificadores denominado codificador subbanda.

- -

- -6

-

- -

-6

-

6

fs

C/D

H ↓ 2

H ↓ 2

+

−+

−

+

+

x(t)e1[n]

e2[n]

e3[n]

Figura 1.16: Estructura basica de un codificador piramidal.

En los codificadores subbanda, la senal de entrada se divide en variassenales de ancho de banda mas reducido (ei[n]) correspondientes a distin-tas porciones del espectro de la senal de entrada. Cada una de dichas senalesse codifica de forma independiente. Esto permite, por ejemplo, asignar distin-tas calidades a cada uno de los canales. Este problema trata del analisis delcodificador piramidal. Se pide:

a) Numero de muestras por segundo que salen por e1[n], e2[n] y e3[n]

b) Espectro digital de las senales e1[n], e2[n] y e3[n].

c) Si se colocasen juntos los conversores D/C mostrados en la figura 1.17 queincluyen sus filtros de reconstruccion correspondientes, y ademas se toma

-

-

-

-

-

-

6

6

6

D/C

D/C

D/C

e1[n]

e2[n]

e3[n]

T1

T2

T3

q1(t)

q2(t)

q3(t)

Figura 1.17: Conversores D/C.

PROBLEMA 1.5. 21

como periodo de muestreo de cada conversor el correspondiente halladoen el apartado 1), indicar cuales serıan los espectros de las senales q1(t),q2(t) y q3(t). Note que los espectros pedidos lo son de senales analogicas.Compruebe que Q1(fc) +Q2(fc) +Q3(fc) = X(fc)

d) Indique como se podrıa recomponer la senal x(t) utilizando un unicoconversor D/C (con filtro de reconstruccion), filtros digitales (puedenser ideales, insertadores de ceros, sumadores, restadores y diezmadores).

Datos:fs = 8kHz

-

6

-

6H(ejω)X(fc)

fc(kHz) fd

1 1

0,254

Figura 1.18: Espectro de la senal de entrada y respuesta frecuencial delos filtros discretos.

Solucion

a) Canal 1: 8000 muestras/s; canal 2: 4000 muestras/s; canal 3: 2000 mues-tras/s


b) Si nombramos las senales del diagrama de bloques de la siguiente manera

- -

- -6

-

- -

-6

-

6

Ts

C/D

H ↓ 2

H ↓ 2

+

−+

−

+

+

x(t)e1[n]

e2[n]

e3[n]

x1[n]

x2[n]

x3[n]

x4[n]

x5[n]

x6[n]

x7[n]

entonces tenemos los siguientes espectros:

-

6

-

6

-

6

-

6

-

6

-

6

-

6

fd

fd

fd

fd

fd

fd

fd

X1(ejω)

X3(ejω) = E1(e

jω)

X5(ejω)

X7(ejω) = E3(e

jω)

X2(ejω)

X4(ejω)

X6(ejω) = E2(e

jω)

−0,5 0,50,25−0,25

−0,5 0,50,25−0,25

−0,5 0,50,25−0,25

−0,5 0,50,25−0,25

−0,5 0,5−0,25 0,25

−0,5 0,5−0,25 0,25

−0,5 0,5−0,25 0,25

8000 8000

4000

4000

4000

2000

4000

30002000

3000

20001500

c) Los espectros de Q1, Q2 y Q3 son

PROBLEMA 1.5. 23

-

6

-

6

-

6

f f

f

Q1(f)Q2(f)

Q3(f)2000 4000 103 2 103

1000

0.5

0.75

0.5

1

0.75

d) Hay que invertir los pasos dados en el codificador

- -

-

6

- -6

- - -

6

fs

↑ 2 G

↑ 2 G

D/C

+

+

+

+

+

+x(t)

e3[n]

e2[n]

e1[n]

donde los bloques G representan filtros paso-bajo de frecuencia de cortefc = 0,25 y ganancia G = 2.


Problema 1.6

En numerosas aplicaciones existe la necesidad de medir la evolucion tem-poral de la potencia de una senal analogica en una cierta banda de frecuencias.El esquema de la figura 1.19 permite realizar tal cosa usando procesamientodiscreto.

- - - - - -

?

?

6 6

-

C/D H1(ejω) | · |2 ↓M h2[n]

D/C

Display

e−jΩ0Tn

MTT

x(t) ×

Figura 1.19: Esquema para medir la evolucion temporal de la potenciade una senal.

siendo la respuesta frecuencial H1(ejω):

H1(ejω) =

1, |ω| < Ω1T0, Ω1T ≤ |ω| < π

y periodica en el resto.Se pide:

a) Explique el funcionamiento del esquema en relacion con el objetivo an-terior, justificando el papel que desempena cada elemento.

b) ¿Cual es la banda de frecuencias analizadas?

c) ¿Cual es el maximo valor que podemos dar al periodo de muestreo T enfuncion de Ωmax, Ω0 y Ω1?

d) Asumiendo que elegimos para T el valor maximo hallado en el apartadoanterior, determine el maximo valor que podemos dar a M en funcionde Ωmax, Ω0 y Ω1.

e) Dibuje los diagramas de flujo de las realizaciones en forma directa II yparalelo del filtro correspondiente a h2[n].

PROBLEMA 1.6. 25

Datos: Ω0 > Ω1 y Ω0 +Ω1 < Ωmax

H2(z) =2

1 − 0,7 z−1+

1

1 − 0,3 z−1

-

6X(jΩ)

1

ΩΩmax−Ωmax

Figura 1.20: Espectro de la senal x(t)

Solucion

a) Numerando los bloques funcionales de la siguiente forma:

- - - - - -

?

?

6 6

-

C/D H1(ejω) | · |2 ↓M h2[n]

D/C

Display

e−jΩ0Tn

MTT

x(t)+

A B

C D E

F

G

H

las funciones realizadas son:

A : Conversor continuo-discreto con frecuencia de muestreo fs = T−1.

B : Desplaza X(ejω) hacia la izquierda de modo que ω0 = Ω0 T quedacentrada en el origen.


C : Filtra paso-bajo la banda (desplazada) de interes.

D : Calcula la potencia instantanea de la senal. El espectro se ensanchay ocupa el doble a la salida que a la entrada de este bloque.E : Diezma para aprovechar que la senal tiene un ancho de banda redu-cido debido al filtrado paso-bajo del bloque 3, reduciendo de este modola carga computacional (numero de operaciones por segundo) que deberealizar el filtro del bloque 6.F : Integra la potencia instantanea para obtener una medida temporalmas suavizada (potencia media a corto plazo).

G : Conversor D/C para excitar el visualizador analogico.

b) La banda de frecuencias analizada es:

(Ω0 − Ω1) < Ω < (Ω0 +Ω1)

c) El muestreo no debe producir aliasing en la banda de frecuencias anali-zada. Por lo tanto

T ≤ 2π

Ω0 +Ω1 +Ωmax

d) Al calcular | · |2 duplicamos el ancho de banda de la senal que sera de2TΩ1, luego el factor de diezmado podra ser como mucho:

M ≤ π

2T Ω1

debiendo serM un numero entero. Notese que para que no haya aliasinga la salida del bloque D debe cumplirse

Ω1T < π/2

e) La funcion de transferencia H2(z) es

H2(z) =2

1 − 0,7 z−1+

1

1 − 0,3 z−1=

3 − 1,3 z−1

1 − z−1 + 0,21 z−2

Los diagramas de flujo de las realizaciones en forma directa II y paralelodel filtro correspondiente a H2(z) se muestran en las figuras 1.21 y 1.22.

PROBLEMA 1.6. 27

- - --

?

?6

6

6−1, 3

3

−0, 21

z−1

z−1

-

x[n] y[n]

Figura 1.21: Realizacion en forma directa II de h2[n].

- - - - -

- - -

?

?

z−1

z−1

2

0,3

0,7

x[n] y[n]

Figura 1.22: Realizacion en paralelo de h2[n].


Problema 1.7

Se desea retardar una cierta senal analogica utilizando procesamiento dis-creto siguiendo un esquema como el de la figura 1.23.

- - - -

6 6

C/D RetardadorDigital D/C

Ts

x(t) y(t) = x(t− τ)

Figura 1.23: Esquema general del retardador.

En dicho esquema la senal de entrada se muestrea con un periodo Ts. Dichasmuestras son manipuladas de forma discreta para obtener otro conjunto demuestras que se aplica a un conversor D/C del mismo periodo Ts y que operade forma sıncrona con el conversor C/D, es decir, en el mismo instante que seobtiene la muestra de la entrada se genera la muestra de salida.

El bloque marcado como retardador resulta ser trivial si el retardo a in-troducir es un multiplo exacto del periodo de muestreo τ = M Ts. En dichocaso, la funcion de transferencia del retardador es z−M . Para el caso en que elretardo a introducir no sea multiplo exacto del periodo de muestreo, sino queexista una relacion racional entre ambos, se propone el siguiente esquema:

- - - - - -z−M ↑ N z−Q H ↓M

A1 2 3 4 5

Retardador Digital

Figura 1.24: Diagrama de bloques del retardador digital.

donde el bloque H representa un sistema LTI (filtro) de respuesta en fase iguala cero para todas las frecuencias. Se pide:

PROBLEMA 1.7. 29

a) ¿Es posible permutar en el esquema los bloques 3 y 4 ?

b) Determine la respuesta en frecuencia ideal H(ejω) del filtro del bloque 4.

c) Compruebe que el subbloque A se comporta como un sistema LTI dis-creto, es decir, comprobar que las transformadas de Fourier de la entraday la salida estan relacionadas por

Y (ejω) = HA(ejω)X(ejω)

Determine HA(ejω) y la respuesta impulsional hA[n] del sistema LTI

equivalente.

d) Determine el retardo introducido τ en funcion de Ts, M , Q y N .

e) ¿Existe alguna condicion para que el bloque de la figura 1.24, utilizadosegun la figura 1.23, se comporte como un retardador?

Solucion

La idea del problema es que retardar una senal un intervalo de tiempo quesea un multiplo entero del periodo de muestreo, τ = M Ts se puede realizarutilizando una memoria z−M . Si el retardo que se desea no es un multiploentero del periodo de muestreo, lo que veremos que se hace es:

Muestrear la senal con un periodo mas pequeno. (Interpolar para au-mentar la frecuencia de muestreo)

Retrasar un numero entero de periodos de muestreo la senal interpolada.

Diezmar.

a) Sı que es posible permutar ambos bloques pues ambos son LTI.

b) Si consideramos los bloques del apartado anterior permutados, el inser-tador de ceros y el filtro deben comportarse conjuntamente como uninterpolador. Por lo tanto el filtro sera un filtro paso-bajo ideal de fre-cuencia de corte fc = 0,5/N y ganancia en la banda de paso N .


c) Si la senal de entrada al bloque A es X(ejω), a la salida del bloque 2 setiene:

X2(ejω) = X(ejωN )

a la salida del bloque 3 tendre

X3(ejω) = X2(e

jω) e−jωQ = X(ejωN ) e−jωQ

a la salida del bloque 4 se tiene

X4(ejω) =

N X3(ejω), |f | < 0,5/N0, 0,5/N < |f | < 0,5

=

N X(ejωN ) e−jωQ, |f | < 0,5/N0, 0,5/N < |f | < 0,5

a la salida del bloque 5 no habra aliasing y habra unicamente un ensan-chamiento espectral (y una atenuacion por N):

X5(ejω) = X(ejω) e−jωQ/N

Luego:H(ejω) = e−jωQ/N h[n] = sinc(n−Q/N)

d) El retardo introducido τ es

τ = Ts ·(

M +Q

N

)

e) El requisito es que la senal de entrada se muestree sin aliasing.

PROBLEMA 1.8. 31

Problema 1.8

La figura 1.25 muestra el diagrama de bloques de lo que se denomina undivisor de banda (band-splitter). Consiste en que la senal se filtra con dosfiltros H1 y H2, uno de ellos paso-bajo y el otro paso-alto, de modo que lasbajas frecuencias de la senal x[n] estan representadas en la senal z1[n] y lasaltas en z2[n]. El objetivo final es que la senal de salida y[n] sea una replicade la senal de entrada. Se pide:

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

?

6

-

H1

H2

↓ 2

↓ 2

↑ 2

↑ 2

G1

G2

x[n] y[n]+

w1[n]

w2[n]

z1[n]

z2[n]

u1[n]

u2[n]

y1[n]

y2[n]

· · ·

· · ·

Figura 1.25: Diagrama de bloques de un divisor de banda.

a) Determinar la expresion analıtica de los espectros de wi, zi, ui e yi (i =1, 2).

b) Compruebe que la unica posibilidad de que las senales y1 e y2 no con-tengan terminos de aliasing y ademas se pueda recuperar x[n] es que losfiltros sean ideales. Indique que filtros se deberıan colocar para poderrecuperar la senal, si se pudiesen emplear filtros ideales.

c) En la practica es imposible la implementacion de filtros ideales, por loque tanto y1 como y2 contendran terminos de aliasing. Sin embargo bajociertas condiciones de los filtros es posible cancelar el aliasing de las dosramas entre sı, dando lugar a una secuencia y[n] sin terminos de aliasing.No obstante, en este caso el sistema presenta distorsion lineal, es decirY (ejω) = H(ejω)X(ejω). Determine que condicion deben cumplir losfiltros entre sı para que la senal y[n] no contenga aliasing.

d) Compruebe que una posible forma de lograr la condicion del apartadoanterior es mediante

G1(ejω) = kH∗

1 (ejω)

G2(ejω) = −kH∗

2 (ejω)

H2(ejω) = −H∗

1 (ej(ω−π))


e) Indique cual es la respuesta impulsiva de los filtros h2[n], g1[n] y g2[n]en funcion de h1[n].

f) Al haberse cancelado terminos de aliasing, el conjunto se comporta comoun sistema LTI. Indique cual es la relacion

H(ejω) =Y (ejω)

X(ejω)

Solucion

a) Las expresiones son las mismas para las ramas 1 y 2.

Wi(ejω) = X(ejω)Hi(e

jω)

Zi(ejω) =

1

2

Wi(ejω/2) +Wi(e

j(ω−2π)/2)

=1

2

X(ejω/2)Hi(ejω/2) +X(ej(ω−2π)/2)Hi(e

j(ω−2π)/2

Ui(ejω) = Zi(e

j2ω)

Ui(ejω) =

1

2

X(ejω)Hi(ejω) +X(ej(ω−π))Hi(e

j(ω−π))

Yi(ejω) = Ui(e

jω)Gi(ejω)

Yi(ejω) =

1

2

X(ejω)Hi(ejω)Gi(e

jω) +X(ej(ω−π))Hi(ej(ω−π))Gi(e

jω)

con i = 1, 2.

b) Para que no exista aliasing ni en y1[n] ni en y2[n], y al mismo tiempo seanalicen todas las frecuencias la unica solucion es que:

H1: Filtro paso-bajo ideal de frecuencia de corte 0,25

PROBLEMA 1.8. 33

G1: Filtro paso-bajo ideal de frecuencia de corte 0,25

H2: Filtro paso-alto ideal de frecuencia de corte 0,25

G2: Filtro paso-alto ideal de frecuencia de corte 0,25

Las ganancias de las bandas de paso deben ser tales que el productoH1G1 y H2G2 sea 2.

c) La condicion se determina sumando Y1+Y2 y anulando los terminos queacompanan a X(ej(ω−π))

H1(ej(ω−π))G1(e

jω) +H2(ej(ω−π))G2(e

jω) = 0

d) Sustituyendo en la condicion del apartado c) se comprueba inmediata-mente.

e) Aplicando las propiedades de la transformada de Fourier obtenemos

g1[n] = k h1[−n]h2[n] = −(−1)n h1[−n]g2[n] = k (−1)n h1[n]

f) La respuesta frecuencial del sistema LTI es

H(ejω) =Y (ejω)

X(ejω)

=1

2

(

H1(ejω)G1(e

jω) +H2(ejω)G2(e

jω))

=k

2

(

|H1(ejω)|2 + |H2(e

jω)|2)


Problema 1.9

En muchas ocasiones, antes de realizar una conversion D/A la senal esinterpolada. Con ello se logran dos efectos, el primero es simplificar el diseno delos filtros analogicos de reconstruccion, el segundo es una mejora de la relacionS/N obtenible con un cierto numero de bits. El presente problema trata dedeterminar la mejora en la relacion S/N mediante el uso de la interpolacion.

Supongamos que x[n] es el resultado de muestrear una senal analogicade ancho de banda W con una frecuencia de muestreo fs = 2W y con unnumero de bits muy grande (puede considerar precision infinita). Todos loscalculos para realizar los filtrados digitales de los interpoladores se supondranrealizados con precision infinita (en la practica un numero muy alto de bits).Todas las senales discretas involucradas se supondran normalizadas (amplitudmaxima=1).

Dado que dispondremos de conversores D/A de un numero finito de bits(N) antes de los conversores D/C antepondremos unos cuantificadores QN acuya salida tendremos el valor de la entrada cuantificado con N bits. Dichobloque, como muestra la figura 1.26 lo modelaremos, como se hace usualmente,como una fuente de ruido de cuantificacion aleatorio con las caracterısticashabituales.

- - - -

6

-

QN

x[n] y[n] x[n] y[n]

eN [n]

+

Precision Infinita

Precision Finita

Figura 1.26: Modelo para el ruido de cuantificacion.

Supondremos que tanto el filtro analogico (de ancho de banda W ) como elfiltro discreto del interpolador (HL) son ideales. Se pide:

a) Para el caso de la figura 1.27, es decir sin realizar interpolacion, deter-minar la potencia de ruido de cuantificacion a la salida y(t), donde FPB

PROBLEMA 1.9. 35

es un filtro paso-bajo ideal cuya frecuencia de corte es W .

- - - -

6

QN D/C FPBx[n] y(t)

fs

Figura 1.27: Conversion D/A.

b) Se realiza ahora una interpolacion de la senal discreta por un factor Lantes de la conversion D/A como muestra la figura 1.28. Determinar lapotencia de ruido de cuantificacion en la salida y(t).

- - - - - -

6

↑ L HL QN D/C FPBD/C

1 2 3x[n] y(t)

fs · L

Figura 1.28: Conversion D/A con interpolacion.

c) Note que la respuesta del apartado b debe ser menor que la del aparta-do 1. Ello es debido a que la senal interpolada no ocupa todo el anchode banda discreto (0-0.5) mientras que el ruido sı, pudiendose eliminarmediante filtrado analogico el ruido que no se solape en frecuencia con lasenal. Una idea que permite una reduccion adicional de ruido es la deno-minada noise shaping cuyo esquema se muestra en la figura 1.29. La ideaque busca es: sabiendo que la senal no ocupa todo el espectro discreto,hacer que el ruido de cuantificacion no tenga una densidad espectral depotencia constante sino mas pequena en la banda de frecuencias ocupa-da por la senal, aunque sea mas grande donde no hay senal, pues luegoel ruido que este en una banda de frecuencias distinta a la de la senaldeseada se puede eliminar mediante filtrado.


- - - - - - -

6?

6

6

↑ L HL QN D/C FPBD/C

z−1

1 2 3x[n] y(t)

fs · L+

++

−

+

−

Figura 1.29: Conversion D/A con Noise Shaping.

d) Demuestre que la senal en 1 es suma de la senal de entrada x[n] in-terpolada mas un termino de ruido. Para ello redibuje el esquema de lafigura 1.29 utilizando fuentes de ruido.

e) Determine la DEP del ruido en 1 .

f) Determine la potencia de ruido de cuantificacion en la salida y(t).

Nota

El conversor D/C incluye un filtro pasobajo de reconstruccion de fre-cuencia de corte fs/2, donde fs es la frecuencia de muestreo a la quetrabaja el conversor.

La relacion entre la DEP del ruido discreto a la entrada de un conversorD/C, y el ruido continuo a la salida del mismo es:

φ2(fc) =

1fsφ1(e

j2πfcTs), |fc| < fs/2

0, |fc| > fs/2

donde fs es la frecuencia de muestreo a la que trabaja el conversor.

Solucion

a) La potencia de ruido en y(t) es

N =∆2

12=

(2/2N )2

12=

2−2N

3

PROBLEMA 1.9. 37

b) La potencia de ruido es la integral entre (−W,W ) de la densidad es-pectral de potencia analogica (φ2(fc)); debido a la presencia del filtropaso-bajo analogico de ancho de banda W . En este caso:

φ2(fa) =

2−2N

3 fsL, |fc| < fs

2

0, |fc| > fs2

Resultando:

N = 2W2−2N

3 fs L= 2W

2−2N

3 (2W )L=

2−2N

3L

que como vemos es L veces menor que en el caso del apartado 1.

c) Analizando el esquema de la figura 1.29 del enunciado es facil llegar a

x1[n] = xi[n] + e[n]− e[n− 1]

donde x1[n] es la senal discreta en el punto 1 del diagrama de la figu-ra 1.29 del enunciado, xi[n] es la salida del filtro interpolador HL y e[n]es el ruido de cuantificacion del instante n. Dicha senal como puede versees la suma de la senal de entrada interpolada, xi[n], mas un termino deruido (e[n]− e[n− 1]).

d) La densidad espectral del ruido en el punto 1, se puede ver como elresultado de pasar un ruido blanco (e[n]) por un filtro cuya respuestaimpulsiva sea h[n] = δ[n]− δ[n− 1]. Por tanto la DEP sera:

φ(ejω) =2−2N

3|H(ejω)|2 = 2−2N

3|1− e−jω|2 = 2−2N

34∣

∣

∣sen

ω

2

∣

∣

∣

2

e) La potencia de ruido a la salida sera:

N =

∫ W

−Wφ2(fc) dfc = 4

2−2N

3fsL

=

∫ W

−Wsen2

(

2πfc2fsL

)

dfc

=2 · 2−2N

3π

(π

L− sen

π

L

)

donde se ha tenido en cuenta que fs = 2W .


Problema 1.10

Este problema trata sobre la implementacion de un codificador FM-estereoutilizando procesado discreto. Para ello se implementa el esquema de la figu-ra 1.30. Suponga que las senales de audio a multiplexar xL y xR son de 15kHz. de ancho de banda.

C/D

C/D

↑ M

↑ M

↑ N H3

H2

H1

D/C

1- - -

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

•

•

•

•

-

-

-

-

R

Ts2

6Ts1

?

Ts1

xR

xL

-

6

?- -

y(t)+

6

T’s

A B

-1

Figura 1.30: Diagrama del codificador FM-estereo utilizando procesadodiscreto.

El bloque

1- -Ts

genera muestras que son “1” cada Ts segundos.

a) Determinar la relacion entre Ts1, Ts2 y T ′s para que el sistema pueda

funcionar en tiempo real.

b) Determinar los factores M y N ası como las respuestas en frecuencia delos filtros H1, H2 y H3, y los periodos de muestreo T1s, Ts2 y T

′s de modo

que la senal de salida y(t) sea el multiplex FM cuyo espectro se muestra

en la figura 1.31. Dibuje los espectros de las senales en los puntos A

y B de las tres ramas. Para la respuesta en frecuencia de los filtrosconsidere bandas de transicion lo mas anchas posibles.

c) Indique justificadamente el diagrama de bloques de un decodificadordel multiplex totalmente discreto. Dicho decodificador deber tener una

PROBLEMA 1.10. 39

6

-

6

L+R L-R

15 19 38 53

Y(fa)

fa (kHz.)

Figura 1.31: Espectro de la senal multiplex estereo.

entrada y tres salidas, una para cada canal de audio y una tercera paraencender el piloto de estereo. En concreto se pretende que especifique lafrecuencia de muestreo de salida mınima 1/T ′′

s , la respuesta en frecuenciade los filtros que necesite emplear, teniendo en cuenta que las bandas detransicion de los mismos sean lo mas anchas posible, ası como el diagramade conexiones.

C/D

D/C

D/C

D/C

??

-

-

-

-

-

-

-

6

T’s

T”s

T”sxR

xL

Piloto

y(t)-

Figura 1.32: Diagrama del decodificador estereo.

Solucion

a) Son inmediatas las relaciones

f ′s =M fs1


f ′s = N fs2

fs1 =N

Mfs2

b) La rama del generador 1 , en el punto A tendra el siguiente espectro:

-

6

6 6 6 6· · ·

1N

2N

1 fd

SA1 (e

jω)

Figura 1.33: Espectro de la senal del generador de ”1’s”tras el inser-tador de ceros.

De los tonos en las frecuencias k/N (k entero) usaremos uno como piloto.

En cuanto a las ramas (L + R) y (L − R) ambas tendran espectrosanalogos (de 15 kHz. de ancho de banda). La transformada de Fouriertras los respectivos insertadores de ceros sera:

-

6

· · ·

1M

15fs1 M

1 fd

SAL+R(e

jω)

Figura 1.34: Espectro de la senal del canal (L + R) o (L − R) tras elinsertador de ceros.

Es decir, el espectro se comprime y aparecen repeticiones espectrales,que nos serviran para obtener la modulacion requerida para el canalL − R. Es facil ver ademas que de todas las repeticiones que aparecenen la figura 1.34 la que nos interesa es la que corresponde a fd = 1/M .Por lo tanto, y dado que el espectro de la figura 1.34 esta asociado a unafrecuencia de muestreo f ′s, podemos escribir:

f ′sM

= 38

PROBLEMA 1.10. 41

Para que la senal deseada se pueda obtener en el D/C, es necesario quela representacion digital de dicha senal esta comprendida en el intervalo0–0.5, cumpliendose entonces la condicion:

1,5

M≤ 0,5

Ademas si la portadora del canal (L− R) esta en la frecuencia discretafd = 1/M el piloto debe estar en la frecuencia digital:

fd =1

2M=

k

N

Ello nos lleva a una posible eleccion de N como:

N = 2M

Aunque dicha eleccion no es la unica sı es la que da un menor valor paraN . Eligiendo para M el valor M = 3, que es el menor que cumple lainecuacion b), obtenemos todos los valores pedidos:

M = 3

N = 6

f ′s = 114

fs1 = 38

fs2 = 19

Las respuestas en frecuencia de los filtros se muestran en la figura 1.35.

- - -

6 6 6H1 H2 H3

fd fd fd15114

15114

13 (23− 15

114)16

13

(13− 15114)

(13+15114)

^

(13− 15114)

Figura 1.35: Respuestas en frecuencia de los filtros pedidos.

c) Para recuperar las distintas senales, basicamente hay que realizar lo si-guiente:

Separar mediante filtros cada una de las 3 senales que integran elmultiplex.


Obtener un tono discreto que se corresponda con la portadora de38 kHz para demodular la senal L−R.Demodular dicha senal, mediante el producto por la portadora an-terior y un filtro paso-bajo.

Para la obtencion de la portadora de 38 kHz. (su equivalente discreto),lo que haremos sera elevar al cuadrado el tono piloto de 19 kHz. (suequivalente discreto) obteniendo:

Un tono de 38 kHz.

Una componente continua que me servira como senal indicadora deque la senal recibida contenıa el tono de 19 kHz. y por lo tanto esestereo.

Estas dos componentes se separaran mediante los filtros HPA y HPB

del diagrama de la figura 1.36. El diagrama de bloques del decodificadorsera pues:

C/D

H3

H2

H1

x2HPA

HPB ↓M

↓M

↓M

H1

Matriz

-

-

-

--

-

-

-

-× -

-

-

-

-

-

- -

6

6-

f ′s

R

L

Figura 1.36: Diagrama de bloques del decodificador.

Los filtros H1, H2 y H3 son los mismos de la figura 1.35. Los filtros HPA

y HPB tienen por respuesta en frecuencia:

- -

6 6HPA HPB

fd fd0,5 0,513

13

Figura 1.37: Respuestas en frecuencia de los filtros HPA y HPB.

PROBLEMA 1.10. 43

Dado que f ′s = 114 kHz., el maximo factor entero de diezmado quepermite que no haya aliasing es de M = 3, resultando una frecuencia demuestreo de salida de f ′′s = 38 kHz.


Problema 1.11

El presente problema trata de una aplicacion del Tratamiento Digital deSenales en instrumentacion electronica. En concreto se trata de la denominadaSıntesis Directa de Senal utilizada en los generadores de senal.

La idea es simple: se almacena un ciclo de una senal periodica en unamemoria. Los valores almacenados en ella son enviados de forma secuencial aun convertidor D/A para sintetizar de este modo la forma de onda deseada.

Suponga que tiene una tabla de L muestras (L impar) equiespaciadas deun ciclo de una sinusoide; es decir tiene una tabla que contiene los valores:

xn = sen2πn

L0 ≤ n ≤ (L− 1)

Leyendo de forma cıclica dicha tabla generamos la senal:

x[n] = sen2πn

L∀n

Interesa poder ser capaces de variar la frecuencia de la senal generada sinvariar la frecuencia de muestreo del D/A. Para ello se piensa en el esquemasiguiente:

↓M D/C- - -

6Ts

ys(t)x[n]

Figura 1.38: Figura para los apartados a) y b).

Se pide

a) Indique la relacion entre M , L, Ts y la frecuencia de la senal de salidays(t) (M = 1, 2, 3, . . .).

b) Indique el margen de valores deM que resulta util. ¿Que pasa si se tomaun valor fuera de este rango? Confeccione una tabla con los valores defrecuencia de ys(t) que pueden ser generadas para un valor de L y Tsdados y variando M .

c) Indique como modificarıa el esquema de la figura 1.38 para poder variarla amplitud y el nivel de continua de la senal de salida a voluntad:

Sin variar la tabla de x[n].

PROBLEMA 1.11. 45

Sin anadir circuiterıa analogica.

Suponga a partir de este momento, que el conversor D/C utilizado es unD/A real con sample and hold y un filtro de reconstruccion que tiene lassiguientes caracterısticas:

Respuesta en amplitud constante en la banda de paso.

Atenuacion infinita en la banda atenuada.

El diagrama se muestra en la figura 1.39.

↓M D/A- - - Hr(jΩ) -

6Ts

y(t)x[n]

Figura 1.39: Figura para los apartados d) y e).

d) Determine la maxima frecuencia de la banda de paso y la mınima de labanda atenuada que debe tener el filtro Hr para poder sintetizar toda lagama de frecuencias posibles (obtenida en b)).

e) Determine la relacion existente entre la frecuencia de ys(t) y su amplitud.

Para lograr que la amplitud de salida se mantenga constante se decideintroducir un filtro digital como muestra la figura 1.40.

- ↓M H(ejω) D/A- - - Hr(jΩ) -

6Ts

y(t)x[n]

Figura 1.40: Figura para el apartado f).

f) Determine la respuesta en frecuencia del filtro digital H(ejω) para quela amplitud de ys(t) no varıe al variar la frecuencia con M .

g) ¿Cree que se podrıa haber puesto el filtro antes del diezmador (con unarespuesta en frecuencia distinta de la hallada en el apartado anterior)?Justifique su respuesta.


Solucion

a) La senal tras el diezmador es:

y[n] = sen2πMn

L

que es una sinusoide discreta de frecuencia fd = M/L. Si M/L > 0,5,aplicando la periodicidad en frecuencia de las sinusoides discretas po-dremos encontrar una f ′d tal que |f ′d| < 0,5 y de modo que f ′d = fd − k.Las sinusoide de frecuencia fd y f ′d tendran exactamente las mismasmuestras. La frecuencia de salida sera:1

fy = fs · |f ′d|

b) El margen de valores utiles es el que hace que

M

L< 0,5

es decir

1 ≤M ≤ L− 1

2

ya que L es impar. Si se toman valores mas grandes se obtienen de nuevolas mismas frecuencias. Considerese por ejemplo

M =L− 1

2+ 1 =

L+ 1

2

El valor de fd = M/L serıa mayor que 0,5. Por tanto debo calcularcuanto vale f ′d:

f ′d =M

L− 1 =

L+ 1

2L− 1 = −L− 1

2L

que se podrıa haber obtenido tambien con M = (L − 1)/2. Lo mismohubiera sucedido con cualquier valor de M fuera del rango indicado.Notese tambien que es imposible generar una frecuencia mayor que fs/2.

1Valores negativos de f ′

d suponen una inversion de fase de 180o pero esto no afecta a lafrecuencia generada.

PROBLEMA 1.11. 47

M fy

1 fs/L

2 2 fs/L

. . . . . .

k k fs/L

. . . . . .

(L− 1)/2 (L− 1) fs/2L

Cuadro 1.1: Tabla de frecuencias generadas en funcion deM . Apartadob).

c) Para variar la amplitud de la senal hay que multiplicar la salida deldiezmador por una ganancia G. Para variar el nivel de continua hay quesumar una constante A tras el producto por G.

d) Dado que el filtro de reconstruccion es fijo, la banda de paso debera dejarpasar la maxima frecuencia generable. Dicha frecuencia se correspondea M = (L− 1)/2. El lımite de la banda de paso sera pues:

f1 =L− 1

2Lfs

En cuanto al lımite inferior de la banda atenuada debera rechazar lafrecuencia mas baja correspondiente a la primera repeticion, es decir:

f2 = fs −L− 1

2Lfs =

L+ 1

2Lfs

e) El Sample and Hold produce una respuesta en frecuencia

Ampl = sincfyfs

= sincfsM/L

fs= sinc

M

L

f) Para compensar la anterior respuesta en frecuencia, se coloca un filtro di-gital. Su respuesta en frecuencia debe ser tal que cuando se desnormalicepor la frecuencia de muestreo compense el efecto. Por tanto:

H(ejω) =1

sinc f|f | < 0,5

repitiendose periodicamente en el resto de frecuencias.

g) El filtro nunca podra ir antes del diezmador. Ello se debe a que el filtrocambia su ganancia debido a que la entrada tiene distintas frecuencias.


Sin embargo, antes del diezmador la frecuencia digital es siempre lamisma (1/L) por lo que el filtro no actuarıa. Despues del diezmador,en funcion del valor de M elegido tendremos distintas frecuencias con loque si el filtro tiene la respuesta en frecuencia indicada en el apartadof), se compensaran los efectos del Sample and Hold.

PROBLEMA 1.12. 49

Problema 1.12

La estructura tıpica de los interpoladores de senales consiste en un inser-tador de ceros seguido de un filtro paso-bajo. Considere el caso de los inter-poladores lineales.

↑ L H(ejω)- - -

x[n] x′[n] y[n]

Figura 1.41: Esquema tıpico de la interpolacion.

a) Determine el numero de operaciones a realizar por cada muestra de sa-lida.

b) Suponiendo que la senal de entrada estuviera muestreada a una frecuen-cia fs, indique el numero de operaciones por segundo que debera realizarel procesador que realice la interpolacion.

c) Para realizar el filtrado, y dado que el filtro es FIR, se piensa en unaimplementacion directa de la convolucion. Indique (graficamente) comose calcularıa la senal interpolada para n = 0, . . . , L. (Suponga L=4 enlos dibujos).

Una forma de reducir drasticamente la cantidad de operaciones por se-gundo a realizar consiste en darse cuenta de que la senal x′[n] de lafigura 1.41 contiene numerosas muestras nulas. Para ello se piensa enuna implementacion de la interpolacion de la forma mostrada en la figu-ra 1.42.

hL−1[n]

h1[n]

h0[n] ↑ L

↑ L

↑ L z−(L−1)

z−1

- -

- - -

- - -

6

-?

-x[n]

-y[n]

+

......

...

Figura 1.42: Implementacion eficiente de la interpolacion.


d) Determine los filtros h0[n], h1[n], . . . , hL−1[n] para que y[n] en la figu-ra 1.42 coincida con el de la figura 1.41. Particularice para L = 4.

e) Determine el numero de operaciones por segundo que es necesario reali-zar en la implementacion eficiente en funcion de L.

Solucion

a) La respuesta impulsional de un interpolador lineal se muestra en la figu-ra 1.43.

-

6

n

h[n]

L−L

Figura 1.43: Respuesta impulsional interpolador lineal.

Como se ve es un filtro FIR de 2L− 1 coeficientes por lo que el numerode operaciones a realizar por muestra sera:

2L− 1 productos.

2L− 2 sumas.

b) El numero de operaciones por segundo sera:

fsL(2L− 1) productos por segundo.

fsL(2L− 2) sumas por segundo.

c) La convolucion paso por paso, se muestra en la figura 1.44. Es facil apre-ciar que en cada instante unicamente hay como maximo dos productosno nulos.

d) A partir de la figura 1.44, es facil ver que por la rama h0 salen lasmuestras de salida correspondientes a los instantes kL, por la rama h1las de los instantes kL + 1 y por la rama hi las de los instantes kL + i(0 ≤ i ≤ (L− 1)). Por tanto los filtros son (para L = 4):

h0[n] = δ[n]

PROBLEMA 1.12. 51

-

-

-

-

-

6

6

6

6

6

m

m

m

m

m

h[n−m], x[m]

h[n−m], x[m]

h[n−m], x[m]

h[n−m], x[m]

h[n−m], x[m]n = 0

n = 1

n = 2

n = 3

n = 4

Figura 1.44: Convolucion detallada mostrando productos no nulos.

h1[n] =3

4δ[n] +

1

4δ[n+ 1]

h2[n] =1

2δ[n] +

1

2δ[n+ 1]

h3[n] =1

4δ[n] +

3

4δ[n+ 1]

e) El numero de operaciones por segundo (teniendo en cuenta que la ramacorrespondiente a h0 no realiza ningun producto ni suma) es:

2(L− 1)fs productos

(L− 1)fs sumas

Como puede observarse este numero de operaciones crece proporcional-mente a L y no a L2 como al principio.


Problema 1.13

Una senal continua x(t) con un ancho de banda de 4 kHz. se muestrea conun conversor C/D ideal con frecuencia de muestreo fs = 8 kHz. obteniendo lasecuencia x[n]. Suponga que se quiere realizar una conversion discreto-continuode la secuencia x[n] y se dispone de un conversor D/C con una fs2 = 20 kHz.Para ello se propone un procesador discreto compuesto por tres subsistemasdiscretos conectados en cascada, tal y como se muestra en la figura, de formaque la secuencia y[n] se conecta a la entrada del conversor D/C.

Sistema 1 Sistema 2 Sistema 3

x[n] y[n]- - - -

A B

Figura 1.45: Diagrama de bloques.

a) Especificar cada uno de los sistemas que debe ponerse. Indique la fre-cuencia de muestreo de las secuencias en los puntos A y B.

b) Suponga que se cambia el conversor D/C ideal por otro con fs = 6kHz. y que ademas se quiere que la senal y(t) sea el resultado de fil-trar la senal x(t) con un filtro paso-bajo ideal cuya frecuencia de cortees fc = 2500Hz. Especifique los tres subsistemas necesarios para reali-zar tal operacion. ¿Es posible realizar la conversion si fc = 3500Hz.?¿Que ocurre en ese caso?

c) Suponga que el sistema 2 no puede procesar muestras a una velocidadmayor que 25Kmuestras/seg. y que se disponen de cuatro conversoresD/C ideales cuyas frecuencias son fs1 = 20 kHz, fs2 = 24 kHz, fs3 = 30kHz y fs4 = 40 kHz. ¿Cual o cuales elegirıa para realizar la conversion?¿Cual o cuales permitirıan ahorrar un bloque en el diagrama de la figura1.45?

En los apartados anteriores se ha supuesto que la conversion D/C era ideal.Suponga que esto no es ası y que a partir de ahora se utilizan dos conversores

PROBLEMA 1.13. 53

D/A sin filtro de reconstruccion, caracterizados por las expresiones

y1(t) =∞∑

n=−∞

y[n]Π

(

t− nTsTs

)

y2(t) =∞∑

n=−∞

y[n]Λ

(

t− nTsTs

)

d) Proponga una secuencia y[n] cualquiera y dibuje las senales continuasy1(t) e y2(t) que proporcionarıan ambos conversores.

e) La conversion D/A puede introducir dos tipos de errores: la modificaciondel espectro de la senal original en su banda frecuencial y la introduccionde nuevas componentes espectrales. Comente cual de los dos conversoresD/A es mejor con respecto a cada tipo de error.

Nota:

- -

6 6

−τ/2 τ/2 −τ τt t

1 1

Π

(

t

τ

)

Λ

(

t

τ

)

Figura 1.46: Impulso rectangular y triangular.

Solucion

a) Debemos realizar un cambio en la frecuencia de muestreo por un factor:

L

M=

20

8=

5

2

de forma que el subsistema 1 es un insertador de ceros con L = 5, elsubsistema 3 es un diezmador por un factor M = 2 y el subsistema 2 esun filtro paso-bajo ideal de ganancia 5 y con frecuencia de corte

fc = mın

0, 5

5,0, 5

2

= 0, 1


el cual garantiza que no habra aliasing. La frecuencia de muestreo de lassecuencias en A y en B sera L× fs = 40 kHz.

b) En este casoL

M=

6 kHz

8 kHz=

3

4,

con lo cual L = 3,M = 4 y el filtro paso-bajo ideal tendra una frecuenciade corte

fc = mın

0, 5

3,0, 5

4

=1

8

esto es, el filtro deja pasar las componentes en la banda [0, 18 ] de lasecuencia en A, que corresponde a la banda [0, 38 ] de x[n] y a la banda[0, 3000]Hz. de la senal continua x(t).

Como y(t) debe ser el resultado de filtrar x(t) con un filtro paso-bajoideal con frecuencia de corte fc = 2500Hz, el subsistema 2 debe ser unfiltro paso-bajo discreto ideal de frecuencia de corte

fcd =2500

8000L=

5

48

Como la frecuencia de corte obtenida es menor que la del filtro que ase-gura la no existencia de aliasing, la senal continua y(t) que proporcionael sistema propuesto es la que pide el problema.

En el segundo caso, la frecuencia de corte fc = 3500Hz. corresponde auna frecuencia discreta 7

16 del espectro de x[n], o a una frecuencia 748 en

el espectro de la secuencia en el punto A. Como esta frecuencia es mayorque la frecuencia de corte del filtro paso-bajo que garantiza que no hayaliasing ( 7

48 >18), la senal y(t) que se obtendra no sera la que se pide

(o contendra aliasing o se habra eliminado parte de la banda frecuencialde interes).

c) La frecuencia del filtro discreto vendra determinada por la frecuencia demuestreo inicial y el factor L del insertador de ceros

ffiltro = 8 kHz × L < 25 kHz

Con lo cual:

L1

M1=

5

2, L1 = 5,M1 = 2, ffiltro = 40 kHz

L2

M2=

3

1, L2 = 3,M2 = 1, ffiltro = 24 kHz

L3

M3=

15

4, L3 = 15,M3 = 4, ffiltro = 120 kHz

L4

M4=

5

1, L4 = 5,M4 = 4, ffiltro = 40 kHz

PROBLEMA 1.13. 55

Por tanto solo el segundo conversor D/C cumplirıa la condicion (c)).Por lo que respecta a ahorrar un subsistema, solo lo haran aquellos quetengan L = 1 o M = 1. En este caso los conversores 2 y 4 cumplen estacondicion.

d) Teniendo en cuenta las expresiones que caracterizan a los dos conversores

- - -

6 6 6

n t tTs Ts

y[n] y1(t) y2(t)

Figura 1.47: Respuesta de los conversores D/C

e) Aplicando la transformada de Fourier a las expresiones que caracterizanlos dos conversores tenemos

Y1(f) = Ts sinc(fTs)Y (ejωaTs) Y2(f) = Ts sinc2(fTs)Y (ejωaTs)

Por tantoY2(f) = Y1(f) sinc(fTs)

y como la funcion |sinc(f)| ≤ 1, ∀f , se tiene que:

El segundo conversor atenuara mas las componentes frecuencialesde la senal. Con lo que el primero sera mejor desde el punto de vistade no alterar el espectro de la senal original.

El segundo conversor atenua mas las repeticiones del espectro pro-ducidas por el muestreo, por lo que el segundo conversor es mejordesde el punto de vista de no introducir componentes espectrales noexistentes en la senal original.


Problema 1.14

Considere una senal analogica xc(t) cuya transformada de Fourier se mues-tra en la figura 1.48. Dicha senal se muestrea con una frecuencia de muestreofs = 32 kHz, y a continuacion las muestras x[n] se aplican a un banco de 4filtros discretos cuyas respuestas en frecuencia en |f | < 0,5 son:

Hk(ejω) =

1 k/8 ≤ |f | < (k + 1)/8

0 restok = 0, 1, 2, 3

-

6

16 fc (kHz)

Xc(fc)1

Figura 1.48: Transformada de Fourier de la senal continua de entradaxc(t).

H0(ejω)

H1(ejω)

H2(ejω)

H3(ejω)

C/D

-

-

-

-

-

-

-

-

--

6

x[n]xc(t)

fs

x0[n]

x1[n]

x2[n]

x3[n]

A B

Figura 1.49: Diagrama del banco de filtros

El esquema del banco de filtros se muestra en la figura 1.49. Se pide:

a) Dibuje la transformada de Fourier X(ejω).

b) Dibuje las transformadas de Fourier de Xk(ejω).

c) Indique como recuperar X(ejω) a partir de Xk(ejω) con k = 0, 1, 2, 3.

PROBLEMA 1.14. 57

d) La mision del banco de filtros es descomponer la senal de entrada x[n]en 4 senales, cada una de las cuales tenga informacion de un rangode frecuencias. Sin embargo, con el esquema de la figura 1.49 puedeobservarse que en el punto B tenemos 4 veces mas muestras por unidad

de tiempo que en el punto A . Para solucionar el problema, se proponemodificar el banco de filtros de la forma mostrada en la figura 1.50.Represente graficamente las transformadas de Fourier Zk(e

jω).

H0(ejω)

H1(ejω)

H2(ejω)

H3(ejω)

C/D

↓ 4

↓ 4

↓ 4

↓ 4

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

--

6

x[n]xc(t)

fs

x0[n]

x1[n]

x2[n]

x3[n]

z0[n]

z1[n]

z2[n]

z3[n]

Figura 1.50: Diagrama del banco de filtros con diezmadores.

e) Suponga que xc(t) es un tono de frecuencia 9 kHz. Indique:

¿En que rama (k = 0, · · · , 3) aparecera el tono?

¿Que frecuencia tendra el tono en Xk(ejω)?

¿Que frecuencia tendra el tono en Zk(ejω)?

Considere tambien las anteriores preguntas si la frecuencia del tono es 5kHz.

f) Indique si es posible obtener obtener Xk(ejω) a partir de Zk(e

jω). Si larespuesta es sı, indique el procedimiento para hacerlo. Si la respuesta esno indique por que.


Solucion

a) Tras el muestreo, el espectro de la secuencia x[n] es

-

6

fd

X(ejω)32 · 103

−1 1−0,5 0,50

Figura 1.51: Transformada de Fourier de la secuencia x[n].

b) Cada uno de los filtros Hk(ejω) selecciona una porcion del espectro

X(ejω), tal y como se muestra en la Figura 1.52.

c) Como el banco de filtros simplemente divide el espectro original en cuatrotrozos, la secuencia x[n] se puede recuperar mediante

x[n] =3∑

k=0

xk[n]

d) Al diezmar por 4 cada banda el espectro de cada canal zk[n] es

Zk(ejω) =

1

4

3∑

l=0

Xk

(

ej(ω−2πl

4 ))

lo cual da lugar a los espectros de la Figura 1.53.

e) En el caso del tono de 9 kHz, el tono discreto que se obtiene tras elmuestreo tiene una frecuencia

f0 =9

32

y como

24

32<

9

32< 3

4

32

PROBLEMA 1.14. 59

-

6

fd

X2(ejω)

-

6

fd

X3(ejω)

-

6

fd

X0(ejω)

-

6

fd

X1(ejω)

12

− 12

− 18

18

12

− 12

− 18

18

− 14

14

24 · 103

16 · 103

− 18

18

− 14

14

16 · 103

8 · 103

− 14

14

− 38

38

− 38

38

8 · 103

32 · 103 32 · 103

32 · 103 32 · 103

12

− 12

12

− 12

24 · 103

Figura 1.52: Espectros de las secuencias xk[n] (k = 0, 1, 2 y 3).

el tono aparece en el canal k = 2. La frecuencia del tono en X2(ejω) es la

misma, puesto que los canales se obtienen a traves de un simple filtrado,sin que haya cambio en la frecuencia de muestreo. El espectro Z2(e

jω) seobtiene diezmando la secuencia x2[n], lo cual produce un ensanchamientodel espectro, dando lugar a un tono de frecuencia

f = 49

32= 1 +

4

32

Por tanto, la frecuencia del tono en el canal Z2(ejω) es f = 1/8.

En el caso de un tono continuo de 5 kHz, la frecuencia del tono discretoes

f0 =5

32y como

4

32<

5

32< 2

4

32

el tono aparece en el canal k = 1. Tras el diezmado, la frecuencia es

f0 = 45

32=

20

32=

5

8


-

6

fd

Z2(ejω)

-

6

fd

Z3(ejω)

-

6

fd

Z0(ejω)

-

6

fd

Z1(ejω)

12

− 12

12

− 12

12

− 12

12

− 12

8 · 103 6 · 103

4 · 103

2 · 103

6 · 103 4 · 1036 · 103

2 · 103

Figura 1.53: Espectros de las secuencias zk[n] (k = 0, 1, 2 y 3).

y como f0 > 0,5

f0 = 1− 5

8

f) Sı que es posible, ya que el diezmado en cada canal se ha producido sinque se introduzca solapamiento de espectros. Para volver a recuperar lassecuencias xk[n], hay que aumentar la frecuencia de muestreo de cadacanal por un factor L = 4 utilizando el diagrama de la figura 1.54

- 6 - -4Hk(z)zk[n] xk[n]

4

Figura 1.54: Diagrama de bloques del interpolador por un factor L = 4.

PROBLEMA 1.15. 61

Problema 1.15

Considere el diagrama de la figura 1.55. Considere que fs1 = 10kHz. H1

es un filtro paso-bajo ideal de frecuencia de corte 1/4 y ganancia en la bandade paso G = 2, y el filtro H2 tiene la respuesta impulsional que se muestra enla figura 1.56.

C/D H1 ↓ 2 H2 D/C- - - - - -x(t) y(t)

fs1 fs26 6

Figura 1.55: Diagrama del sistema.

-n

h2[n]6R

1

Figura 1.56: Respuesta impulsional de H2.

Se pide:

a) Determinar la relacion entre fs1 y fs2 para que el sistema pueda funcionaren tiempo real.

b) Ancho de banda maximo W de la senal de entrada xc(t) para que lasenal de salida no tenga aliasing.

c) Suponiendo que no existe aliasing, determinar Heff (fa). Para hacer esteapartado se recomienda suponer que a la entrada tenemos un tono defrecuencia 0 ≤ fa ≤ W y determinar la amplitud y fase del tono a lasalida.

d) Calcular la salida y(t) cuando

x(t) = cosΩ0t Ω0 = 2π 9000


Solucion

a) fs2 = fs1/2

b) Los unicos sitios en que se puede introducir aliasing son:

Diezmador: en este caso, como va precedido de un filtro paso-bajoideal de frecuencia de corte 1/2M , el diezmador no introduce alia-sing.

Muestreador. En principio podrıa pensarse que W < fs1/2. Ahorabien, dado que el filtro H1 anula la banda de frecuencias entre 1/4y 1/2, aunque al muestrear tengamos aliasing en esta banda, estesera eliminado por el filtro H1. Por lo tanto, la banda que no debetener aliasing es entre 0 y 1/4, es decir:

fs1 −Wfs1

>1

4

W <3

4fs1 = 7500 hz

c) Para determinar la respuesta en frecuencia distinguiremos dos casos:

Que la frecuencia pertenezca a la banda atenuada del filtro H1, conlo que la salida sera nula. La frecuencia de corte de H1, dado queeste filtro trabaja a fs1, corresponde en analogico a:

1

4fs1 = 2500 hz

Por lo tanto:

Heff (fa) = 0 2500 < fa < 7500

Si la frecuencia de entrada corresponde a la banda de paso de H1

la senal es amplificada por 2 en dicho filtro. El filtro H2 tiene unarespuesta en frecuencia que vale:

H2(ejω) =

sen(5ω/2)

sen(ω/2)e−jω

PROBLEMA 1.15. 63

Dado que el filtroH2 trabaja a la frecuencia fs2 la respuesta en frecuenciasera:

Heff (fa) = 2H2

(

ej2πfa/fs2)

= 2sen(5πfa/fs2)

sen(πfa/fs2)e−j2πfa/fs2 |fa| < 2500

y nula para 2500 < |fa| < 7500. Para |fa| > 7500 no cabe hablar derespuesta en frecuencia porque existe aliasing.

d) Si muestreo la senal de 9 kHz tendre aliasing. Determinare cual es lasenal muestreada:

x[n] = cosΩ0nTs1 = cos 2π 0,9n

Por la periodicidad en frecuencia de las sinusoides discretas:

x[n] = cos 2π 0,9n = cos 2π (0,9− 1)n = cos 2π (−0,1)n

= cos 2π 0,1n

Como se puede ver las muestras x[n] son las mismas que si hubieramosmuestreado un tono de 1 kHz. Por lo tanto la salida sera la misma quesi a la entrada tuvieramos un tono de 1 kHz.

y(t) = |Heff (fa = 1kHz)| cos (2π 1000 t+ ϕH(fa = 1kHz))

Del apartado anterior:

|Heff (fa = 1kHz)| = 0

por lo que:y(t) = 0 ∀t


Problema 1.16

Este problema, trata sobre los convertidores C/D denominados Sigma-Delta (Σ∆). La ventaja de este tipo de convertidores es que permite reducirmuchısimo la complejidad del filtro antialiasing, que en la mayorıa de los casosqueda limitado a una simple red RC. Este problema trata de justificar por que.

Este tipo de convertidores puede modelarse como se muestra en la figu-ra 1.57, donde ×100 representa un multiplicador de frecuencia de reloj, esdecir a su salida presenta una frecuencia de reloj 100 veces superior a la de suentrada.

C/D H(ejω) ↓ 100

×100

A B C- - - -

6

6xc(t) x[n]

fsC/D-Σ∆

Figura 1.57: Modelo de un convertidor C/D-Σ∆.

-

6H(ejω)

fd0,004

0,006

0,5

1

R

Figura 1.58: Respuesta en frecuencia del filtro del convertidor C/D-Σ∆.

Suponga que la senal (real) que se desea muestrear, xc(t), tiene una trans-formada de Fourier en la que se distinguen dos bandas

De 0 a W1 hercios: banda de interes

De W1 a W2 hercios: banda sin interes, pero con contenido espectral nonulo.

Para centrar las ideas suponga que xc(t) es una senal de audio conW1 = 20kHz y que el margen W1–W2 corresponde a ruido indeseado.

PROBLEMA 1.16. 65

-

6Xc(fc)

fcW1 W2

2

1 Rj

Figura 1.59: Transformada de Fourier de xc(t).

a) Para el caso W2 = W1, y fs = 40 kHz dibuje los espectros en A , B y

C . ¿Existe aliasing en algun punto del sistema?

b) Suponga que las muestras obtenidas del convertidor C/D-Σ∆, se hacenpasar a traves de un convertidor D/C ideal, tal como se muestra en lafigura 1.60. Dibuje el espectro de yc(t). ¿Coincide con la zona de interes(0 ≤ f ≤W1) de xc(t)? Si no es ası indique cuales son las diferencias.

D/C- -

6

x[n] yc(t)

fs

Figura 1.60: Conversion a analogico de las muestras obtenidas del con-vertidor C/D-Σ∆.

c) Suponga ahora que W2 = 400 kHz, W1 = 20 kHz y fs = 40 kHz,

dibuje los espectros en A , B y C . ¿Existe aliasing en C ? ¿Enque margen de frecuencias? ¿Es posible eliminar dicho aliasing mediantealgun sistema discreto? Si la respuesta es sı indique como y si la respuestaes no indique por que no.

d) Para entender mejor la ventaja de usar un C/D-Σ∆, frente a un C/Dconvencional ideal, dibuje el espectro de salida s[n] cuando la senal delapartado anterior se muestrea con fs = 40 kHz (figura 1.61). ¿Existealiasing? ¿En que margen de frecuencias? ¿Es posible eliminarlo conalgun sistema discreto? Si la respuesta es sı indique como y si la respuestaes no indique por que no.


C/D- -

6

xc(t) s[n]

fs

Figura 1.61: Conversion utilizando un convertidor C/D ideal conven-cional.

e) Para el caso del conversor C/D-Σ∆, determine cuanto puede valer W2

como maximo para que el margen libre de aliasing sea el mismo que enel apartado c.

Solucion

a) Los espectros pedidos son:

A

X (e )A

jw

fd

20/4000=0.005

0.5

8 106

C

X (e )B

jw

fd

0.005

0.5

8 106

0.0044 106

C

X (e )C

jw

fd0.50.4

4 104

8 104

Con respecto al aliasing, puede observarse en las figuras anteriores queNO existe aliasing.

PROBLEMA 1.16. 67

b) Al pasar las muestras obtenidas por un conversor D/C ideal se obtiene:

Y(f )c

f (khz)c2016

1

2

que como puede observarse no coincide con la senal original. La diferenciaes una atenuacion de las altas frecuencias.

c) Los espectros en este caso son:

A

X (e )A

jw

fd

20/4000=0.005

0.5

8 106

400/4000=0.14 106

B

X (e )Bjw

fd0.005 0.5

8 106

0.0064 106

0.004

2 106

C

X (e )C

jw

fd0.5

8 104

10.4-1 -0.5

En este caso puede observarse que existe aliasing en la banda de 0.4 a0.5 de frecuencia digital. Para eliminar el aliasing bastarıa con filtrar lasmuestras con un filtro discreto que eliminara dicha banda.

d) Si hubieramos usado un conversor C/D convencional hubieramos obte-nido el espectro de la siguiente figura:

S(e )jw

fd

20/40=0.5

400/40=101 2 3 4

......


que como puede observarse es la repeticion periodica, con periodo 1 deuna transformada de Fourier que se extiende desde -10 a 10. Por tanto,en el intervalo 0–0.5 tendremos las repeticiones centradas en 0, 1 ,. . . ,10 mas las centradas en -1, -2, . . . , -9, es decir existe aliasing en todaslas frecuencias. Ademas no se puede eliminar, pues no existe ningunintervalo de frecuencias sin aliasing.

e) El aliasing se puede producir:

Al muestrear.

Al diezmar.

El filtro que precede al diezmador del C/D-Σ∆ hace imposible que eldiezmador produzca aliasing excepto en el margen 0.4–0.5. Por tanto,solo nos queda por considerar el muestreo. En el punto A , la frecuenciacorrespondiente a W2 de la replica centrada en f ′s es f1 = (f ′s −W2)/f

′s.

(f ′s = 100 fs) Tras el diezmador dicha frecuencia se multiplica por 100,debiendo ser este valor mayor que 0.4 para no tener aliasing en la bandadeseada. Nos queda pues:

100f ′s −W2

f ′s> 0,4

W2 < f ′s (1− 0,004) ≈ 4 MHz

Es de notar que la banda sin interes puede ser muy ancha (20 kHz–4MHz); ello hace que el filtro que es necesario usar antes del C/D-Σ∆pueda ser muy simple, es decir con una banda de transicion muy ancha(orden bajo).

PROBLEMA 1.17. 69

Problema 1.17

Considere un proceso aleatorio estacionario r[n]. Dicho proceso aleatoriose diezma por M para obtener otro proceso que llamaremos s[n].

s[n] = r[nM ]

- -↓Mr[n] s[n]

Supongamos que la autocorrelacion del proceso r[n] es Rr[m], y que la mediaes µr. Se pide:

a) Determine la media del proceso s[n].

b) Determine la potencia y la varianza de s[n]. ¿Es mayor, menor o igualque la de r[n]?

c) Determine la autocorrelacion de s[n].

Considere ahora que antes de realizarse el diezmado, la senal r[n] se filtracon un filtro paso-bajo ideal de frecuencia de corte 1/2M obteniendo r′[n]. Esdecir, s[n] es ahora:

s[n] = r′[nM ]

H(ejω) ↓M- - -r[n] s[n]r′[n]

Para el caso en que r[n] sea ruido blanco se pide:

d) Determine la varianza de r′[n].

e) Determine la autocorrelacion de r′[n].

f) Determine la varianza de s[n]. ¿Es mayor, menor o igual que la de r[n]?

g) Determine la autocorrelacion de s[n].

Una aplicacion del anterior resultado puede utilizarse en la conversion C/Dcuando los valores de las muestras estan cuantificados. Para ello considere unasenal analogica x(t) cuya amplitud esta normalizada entre -1 y 1 y cuyo anchode banda seaW hercios. Dicha senal se muestrea y sus muestras se cuantifican


uniformemente con B bits. Las muestras obtenidas xq[n] se pueden considerarformadas por el valor de las muestras sin cuantificar x[n] = x(nTs) mas unruido de cuantificacion r[n].

xq[n] = x[n] + r[n]

Se pide:

h) Determine la mınima frecuencia de muestreo de x(t) para no tener alia-sing.

i) Determine la potencia de ruido de cuantificacion si se utilizan B bits pormuestra.

j) Suponga ahora que se muestrea con una frecuencia de muestreo M ve-ces la obtenida en el apartado h). Determine la potencia de ruido decuantificacion en este caso.

k) Suponga que la senal xq[n] se aplica al esquema, donde H(ejω) es unfiltro paso bajo ideal de frecuencia de corte 1/2M.

H(ejω) ↓M- - -xq[n] x′q[n]

1 2 3

obteniendo una senal x′q[n] que es suma de un termino de senal masun termino de ruido. Determine la densidad espectral de potencia y lapotencia del termino de ruido en los puntos 1 , 2 y 3 .

PROBLEMA 1.17. 71

Solucion

a) Es[n] = Er[nM ] = µr. La media no cambia al diezmar.

b) Potencia: Es2[n] = Er2[nM ] = Rr[0]. La potencia no cambia aldiezmar. En cuanto a la varianza:

σ2s = Rr[0]− µ2r = σ2r

tampoco cambia al diezmar.

c) En cuanto a la autocorrelacion:

Rs[m] = Es[n] s[n+m] = Er[nM ] r[nM +mM ] = Rr[mM ]

es decir, la autocorrelacion del proceso diezmado es el diezmado de laautocorrelacion.

d) Si r[n] es un ruido blanco de potencia σ2r , su densidad espectral de po-tencia sera constante y valdra Φr(e

jω) = σ2r |f | < 0,5.

Si aplicamos r[n] a un filtro paso-bajo de ancho de banda 1/2M , lapotencia a la salida valdra:

σ2r′ =

∫ 1/2M

−1/2MΦ(ejω) df =

σ2rM

es decir, el filtrado reduce la varianza.

e) La autocorrelacion es la transformada de Fourier inversa de la DEP:

Φr′(ejω) =

σ2r |f | < 1/2M0 resto

luego

Rr′ [m] =σ2rM

sincm

M

f) Por lo visto en el apartado b) la varianza no varıa por el hecho de diezmarluego σ2s = σ2r′ = σ2r/M que como se ve es menor que la de r[n].


g) Al diezmar un proceso aleatorio se obtiene una autocorrelacion que es eldiezmado de la autocorrelacion del proceso original, tal y como hemosvisto en el apartado c)

Rs[m] = Rr′ [mM ] =σ2rM

sincmM

M=σ2rMδ[m]

h) La frecuencia de muestreo debe cumplir fs > 2W .

i) El ruido de cuantificacion sera ruido blanco con una varianza:

σ2q =∆2

12=

2−2B

3

siendo ∆ el tamano del escalon de cuantificacion ∆ = 2/2B

j) La potencia del ruido de cuantificacion no depende de la frecuencia demuestreo, por lo que vale lo mismo que en el apartado anterior.

k) La densidad espectral de potencia de ruido en el punto 1 es constante(ruido blanco) y vale Φ1(e

jω) = 2−2B/3.

En el punto 2 hemos atravesado un filtro paso-bajo ideal, por lo que:

Φ2(ejω) =

2−2B/3 |f | < 1/2M0 resto

Si al diezmar, la autocorrelacion se diezma, su transformada de Fourier(la DEP) sufrira la misma transformacion que sufre la transformada deFourier de una senal cuando esta se diezma, es decir:

Φ3(ejω) =

1

M

M−1∑

m=0

Φ2(ej ω−2πk

M )

que en nuestro caso es:

Φ3(ejω) =

2−2B

3M∀ω

Podemos observar que el ruido de cuantificacion se reduce por un factorM si muestreamos con una frecuencia de muestreo M veces mayor de lanecesaria y a continuacion filtramos paso bajo y diezmamos.

PROBLEMA 1.18. 73

Problema 1.18

En un sistema de radiodifusion de television se transmite informacion endiferentes bandas del espectro divididas en canales de 8 MHz. La figura 1.62muestra una de las bandas espectrales utilizadas en el sistema de televisionespanol, la BANDA V (de 606 MHz a 854 MHz) que contiene 30 canales detelevision (del 38 al 69).

6

-

X(fc)

38 69. . .

606 862 fc(MHz)≀≀ ≀≀

Figura 1.62: Banda V

Cada canal contiene dos senales multiplexadas en frecuencia, una de vıdeoy otra de audio. La senal de vıdeo tiene un ancho de banda de 5 MHz yesta modulada en banda lateral vestigial, con un vestigio de 1, 25 MHz . Porsu lado, la senal de audio tiene un ancho de banda de 15 kHz, cuyo espectro semuestra en la figura 1.63, y esta modulada en FM utilizando una portadora de5, 5 MHz por encima de la portadora de vıdeo, ocupando un ancho de bandade transmision de 160 kHz (aproximadamente).

La figura 1.64 muestra el espectro del canal k-esimo, donde fminkrepre-

senta la frecuencia mınima del canal, fmaxkla maxima, fvk la portadora de

vıdeo del canal y fak la de audio, tal que se cumplen las siguientes relacionesentre ellas:

f(k)max = f

(k)mın + 8 (MHz)

f (k)v = f(k)mın + 1, 25 (MHz)

6

-fc(kHz)

S(fc)

15

Figura 1.63: Espectro de la senal de audio en banda base


6

-

-

6

Canal k

Xk(fc)

VıdeoAudio

fc(Mhz)f(k)mın

f(k)v f

(k)a f

(k)max

≀≀

Figura 1.64: Espectro de un canal de television

6

- - - -Muestreador

decanal

Demod.audio

D/C-

6

fOL fsaudio˜

x(t) x[n] s[n] s(t)

Figura 1.65: Diagrama de bloques del receptor de television (para au-dio)

f (k)a = f (k)v + 5, 5 (MHz)

Este problema propone realizar el diseno de un receptor de television queadelante el procesado discreto de la senal lo maximo posible, trabajando, unavez discretizado, siempre a la frecuencia de muestreo mas baja posible. Elobjetivo final del problema sera unicamente decodificar la senal de audio, ol-vidandonos de la de vıdeo; para ello, el diagrama de bloques del receptor quese propone disenar es el de la figura 1.65.

El bloque muestreador de canal de la figura 1.65 tiene a su entrada la senalcuyo espectro se muestra en la figura 1.64, es decir, el canal k-esimo aislado.A su salida debe obtener las muestras de una senal real (x[n]) que representantotalmente el canal k-esimo. Dicho bloque estara compuesto por una parte depreprocesado analogico y otra de procesado discreto. Para su diseno se disponede los siguientes elementos:

Un unico A/D, con fs < 100 MHz.

Un filtro paso bajo analogico cuya respuesta en frecuencia es la de lafigura 1.66.

PROBLEMA 1.18. 75

6

-

1

Hpb(fc)

fc(MHz)8 10

Figura 1.66: Respuesta en frecuencia del filtro paso bajo del sintoniza-dor.

6

- -Demod.deFM

↓M ↓ L- - - -- - -

e−jω0 n

×ideal

≁

∼

x[n] y[n] y1[n] y2[n] z[n] s[n]

Figura 1.67: Diagrama de bloques del demodulador de audio.

Un mezclador (multiplicador).

a) Dibuje el diagrama de bloques del muestreador de canal de la figura 1.65e indique el espectro de salida de cada bloque.

b) Determine la frecuencia de muestreo mınima necesaria (fs).

c) Determine la expresion de fOL en funcion de k, siendo k el numero decanal que se pretende seleccionar. Suponga para el primer canal de labanda (38) k = 0.

El bloque demodulador de audio de la figura 1.65 obtiene a partir de lasmuestras del canal completo sintonizado (x[n]) las muestras del audio en bandabase de dicho canal (s[n]). El diagrama de bloques del demodulador de audioaparece en la figura 1.67, donde puede observarse que las senales y[n], y1[n] ey2[n] son senales complejas. El demodulador de FM obtiene por cada muestracompleja de la senal y2[n] una muestra real de s[n].

d) Calcule la pulsacion ω0 teniendo en cuenta que el demodulador de FMtiene una frecuencia central igual a 0.

e) Determine el valor de la frecuencia de corte del filtro paso bajo ideal,ası como el valor maximo de M y L para que el sistema funcione correc-tamente.


66

- - - -

-CONTINUO

DISCRETO

cosωOL tfs

× A/D≁

∼

x(t) x1(t) x2(t) xk[n]

Figura 1.68: Diagrama de bloques del muestreador de canal.

f) Espectro de las senales y[n], y1[n], y2[n], z[n], s[n].

g) Calcule el numero de operaciones por segundo necesario para demodularla senal de audio (proceso especificado en la figura 1.67) sabiendo que elnumero de operaciones por muestra necesario en cada bloque es:

Para filtrar paso bajo una muestra se necesitan 2fcorte

operaciones.

Para diezmar una senal no se necesitan operaciones adicionales.

El demodulador de FM realiza 600 operaciones por muestra.

Compare el resultado obtenido con el numero de operaciones necesariosi no se realiza ningun diezmado.

Solucion

a) La figura 1.68 muestra el diagrama de bloques del muestreador de canal.La senal de entrada es una senal paso banda que se va a muestrear comosi fuese una senal real, ya que x[n] debe ser real y solo disponemos deun multiplicador, de un A/D y ademas la respuesta del filtro paso-bajotiene un frecuencia de corte de 8 MHz, lo que indica que debe estar elcanal en cuestion desplazado al origen. El muestreo debe hacerse despuesdel desplazamiento ya que la fs debe ser menor de 100 MHz.

Los espectros resultantes son los mostrados en la figura 1.69:

PROBLEMA 1.18. 77

6

6

6

-

-

-

fc (MHz)

fc (MHz)

fd

1, 25

1, 25

6, 25

6, 25

6, 75

6, 75

fd

2 fmink

1,2516

6,2516 6,75

16

0, 5 1

X1(fc)

X2(fc)

X(ejω)

1/2

1/2

fs/2

Figura 1.69: Espectros de las senales de salida de los bloques de lafigura 1.65.

b)

fs ≥ 2× fmax

donde fmax = 8 MHz, con lo que fs = 16 MHz.

c)

fOL = fmink= 606 + 8k (MHz)

d) La senal de audio modulada debe estar centrada en el origen ya quefrecuencia central del demodulador de FM es 0. Para ello la exponencialpor la que debe multiplicarse tiene una pulsacion de:

ω0 =2× π × 6,75

fs=

2× π × 6,75

16= 0,84× π

e) La senal de audio modulada tiene un ancho de banda de 160 kHz y si lacentramos en el origen con el mezclador, la frecuencia maxima sera de80 kHz, por lo que la fcorte del filtro sera:

fcorte = 80/fs = 80/16000 = 1/200

El bloque M es un diezmador que debe permitir reducir la frecuencia demuestreo sin que exista aliasing para, ası, trabajar siempre a la mınimafs posible. Como el ancho de banda de la senal se ha reducido utilizandoel filtro paso bajo, se puede diezmar. El valor de M vendra dado por:

M = fs/fs1


donde fs es la antigua frecuencia de muestreo y fs1 la nueva.

fs1 ≥ 2× 80 = 160 kHz

M = 16000/160 = 100

A la salida del demodulador de FM la senal de audio tiene un ancho debanda de 15 kHz, por lo que se puede volver a reducir la frecuencia demuestreo a fs2 utilizando el diezmador con un valor de L de:

L = fs1/fs2

fs2 ≥ 2× 15 = 30 kHz

L = 160/30 = 5

con lo que fs2 = fsaudio = 32 kHz.

f) Los espectros de las senales resultantes del proceso de los diferentesbloques del demodulador de audio son:

6

6

6

6

6

-

-

-

-

-

fd

fd

fd

fd

fd

0, 5

0, 5

−0, 5

−0, 5

0, 5

0, 5

−0, 5

−0, 5

15

160

1

200

1

200

S(ejω)

Z(ejω)

Y2(ejω)

Y1(ejω)

Y (ejω)

fs/2

fs/2

fs/2M

1

1/L

0, 46−0, 46

g) El procesado discreto viene dado unicamente por los bloques de la fi-gura 1.67. Para procesar una muestra con ese esquema se necesitan lassiguientes operaciones2 :

2A partir del multiplicador tenemos doble numero de operaciones ya que las muestrasson complejas. Sin embargo, el numero de operaciones del demodulador de FM es el numerototal de operaciones.

PROBLEMA 1.18. 79

(1 op del multiplicador + 21/200 op del filtro )×2+ 600 op del demodulador

= 1402 operaciones/muestra.

Para calcular el numero de operaciones por segundo tendremos que teneren cuenta a que frecuencia de muestreo trabaja cada bloque. Ası, el mez-clador y el filtro paso bajo trabajan a fs, mientras que el demoduladorde FM a fs1 . Con esto, el numero de operaciones por segundo sera:

(1 + 400)× 2× fs +600× fs1 = 802× 16000+ 600 ∗ 160 = 12928 Mips.

Sin diezmados, en todo punto del diagrama fs = 16 MHz, con lo que elnumero de operaciones por segundo sera:

1402× 16 106 = 22432 Mips.


Problema 1.19

Se dispone de tres senales y(t), u(t) y v(t), que representan la luminan-cia, y las dos senales de color, respectivamente, de una imagen de television,para obtener la senal de vıdeo compuesto c(t), la cual debe tener la siguienteexpresion:

c(t) = y(t) + u(t) cos(2πfot) + v(t) sen (2πfot)

con f0 = 4, 43 Mhz.

Para ello se obtienen las senales y[n], u[n] y v[n] que no son mas que lasmuestras de y(t) tomadas a la frecuencia fs1 y las de u(t) y v(t) tomadas a lafrecuencia fs2 utilizando conversores ideales. Estas senales seran las entradasde un codificador PAL que tendra como funcion obtener de manera discretala senal c[n], la cual reconstruida con un conversor D/C ideal dara lugar a lasenal c(t) deseada, como puede verse en la figura 1.70.

C/D

C/D

C/D

-

-

-

-

-

-

CodificadorPAL

Discreto

- -D/C

6

6

6

6

fs2

fs2

fs1

fs3v(t)

u(t)

y(t)

v[n]

u[n]

y[n]

c[n]c(t)

Figura 1.70: Codificador PAL discreto.

a) Siendo los espectros de y(t), u(t) y v(t) los que se muestran en la figurasiguiente, y considerando fs1 = 13MHz y fs2 = 3,25MHz. Represente losespectros de y[n], u[n] y v[n].

- - -

6 6 6

fc(MHz) fc(MHz) fc(MHz)5 1,2 1,2

Y(fc) U(fc) V(fc)

b) Determine la fs3 mınima que sea multiplo de fs1 y fs2 .

PROBLEMA 1.19. 81

c) Disene el codificador PAL discreto, es decir, el que a partir de y[n], u[n]y v[n] obtiene c[n]. Para ello se dispone de:

Diezmadores.

Insertadores de ceros.

Filtros paso-bajo ideales.

Multiplicadores.

Sumadores.

Solucion

a) Los espectros de y[n], u[n] y v[n] son:

6

6

6

-

-

-

fd

fd

fd

3,25 106

3,25 106

13 106

V (ejω)

U(ejω)

Y (ejω)

1

1

1

−1

−1

−1 5/13−5/13

1,2/3,25

1,2/3,25

−1,2/3,25

−1,2/3,25

b) Si llamamos W al ancho de banda de la senal c(t), fs3 debe cumplir doscondiciones:


fs3 > 2W

fs3 debe ser multiplo de fs1 y fs2

El menor multiplo que cumple la primera condicion es fs1 = 13 MHz yaque la frecuencia maxima de la senal c(t) sera W = 4,43 + 1,2 = 5,63MHz.

c) Para el diseno del codificador hay que tener en cuenta que las muestras delas senales discretas que se suman o se multiplican deben tener la mismavelocidad (misma fs), por tanto, u[n] y v[n] deben ser interpoladas antesde ser multiplicadas por el cos(ω0 n) y sen(ω0 n) respectivamente. Eldiseno del codificador serıa:

4

4

6

6

-

-

-

-

-

-

6

6

f.p.bajofc = 1/8G = 4

f.p.bajofc = 1/8G = 4

×

×?

6

?

6

-

+

+

v[n]

u[n]

y[n]

c[n]

sen(ω0 n)

cos(ω0 n)

donde ω0 = 2π × 4,43/13.

PROBLEMA 1.20. 83

Problema 1.20

Es conocido que la senal continua xc(t) = cos 2πf0t tiene por transformadade Fourier

Xc(fc) =δ(fc − f0) + δ(fc + f0)

2

Tambien es conocida la siguiente igualdad:

δ(a x) =1

|a|δ(x)

a) Considere la senal discreta x[n] = cos 2πf0n. Indique justificadamente si

δ(fd − f0) + δ(fd + f0)

2

siendo fd la frecuencia discreta, puede ser la transformada de Fourier dex[n].

b) Considere que la senal continua xc(t) = cosΩ0t se muestrea para obtener

x[n] = xc(nTs)

Determine la expresion de x[n] y X(ejω) en los dos siguientes casos

1.- fs = T−1s = 5000 y Ω0 = 2π 2000.

2.- fs = T−1s = 3000 y Ω0 = 2π 2000.

c) Suponga ahora que la senal x[n] se hace pasar por el sistema de la figura.

↑ 3 H(ejω)- - -x[n] y[n]z[n]

siendo H(ejω) un filtro paso-bajo ideal de frecuencia de corte 1/7 yganancia igual a 7 en la banda de paso.

1.- Dibuje o indique la expresion de z[n], Z(ejω), y[n] y Y (ejω) para elcaso de la senal del apartado b)1.-.

2.- Dibuje o indique la expresion de z[n], Z(ejω), y[n] y Y (ejω) para elcaso de la senal del apartado b)2.-.

d) Suponga que la senal x[n] se hace pasar por un interpolador lineal porun factor 3, para obtener s[n]


1.- Dibuje o indique la expresion de s[n] y S(ejω) para el caso de lasenal del apartado b)1.-.

2.- Dibuje o indique la expresion de s[n], S(ejω), para el caso de lasenal del apartado b)2.-.

e) Considere y[n] el resultado obtenido del apartado c). Dicha senal sehace pasar por un convertidor discreto-continuo ideal que trabaja a unavelocidad f ′s = 3 fs. Determine la expresion temporal de la senal de salidade dicho conversor para los siguientes casos:

1.- Caso que y[n] sea la del apartado c)1.-.

2.- Caso que y[n] sea la del apartado c)2.-.

Solucion

a) La expresion no puede ser la Transformada de una senal discreta por noser periodica.

b) La expresion general de la TF de una senal discreta que es el resultadode muestrear una senal continua xc(t) con periodo Ts vale:

X(ejω) =1

Ts

∞∑

k=−∞

Xc

(

fd − kTs

)

Dicha expresion se puede considerar la repeticion periodica con periodo1 de

1

TsXc

(

fdTs

)

(1.1)

es decir un escalado y una normalizacion del eje de frecuencias de la TFde la senal analogica.

En nuestro caso, si xc(t) = cosΩ0t, tenemos que:

Xc(fc) =δ(fc − Ω0/2π) + δ(fc +Ω0/2π)

2

PROBLEMA 1.20. 85

Aplicando la ecuacion 1.1 a la anterior expresion resulta:

1

2Ts(δ(fd fs − Ω0/2π) + δ(fd fs − Ω0/2π)) =

=1

2Ts

(

δ

(

fs

(

fd −Ω0/2π

fs

))

+ δ

(

fs

(

fd +Ω0/2π

fs

)))

Sacando el termino fs de dentro de las δ’s del modo indicado en elenunciado:

1

2Ts

1

fs

(

δ

(

fd −Ω0/2π

fs

)

+ δ

(

fd +Ω0/2π

fs

))

Si llamamos f0 = (Ω0/2π)/fs a la frecuencia del tono normalizada porla frecuencia de muestreo, y teniendo en cuenta que fs Ts = 1 resulta:

1

2(δ (fd − f0) + δ (fd + f0))

Si anadimos ahora las repeticiones periodicas, resulta que la transforma-da de Fourier de x[n] = cosΩ0Tsn vale finalmente:

X(ejω) =∞∑

k=−∞

δ (fd − f0 − k) + δ (fd + f0 − k)2

Si fs = 5000 y Ω0/2π = 2000 tenemos:

X1(ejω) =

∞∑

k=−∞

δ (fd − 2/5− k) + δ (fd + 2/5− k)2

En el caso de fs = 3000 y Ω0/2π = 2000 tenemos:

X2(ejω) =

∞∑

k=−∞

δ (fd − 2/3− k) + δ (fd + 2/3− k)2

que son deltas de peso 1/2 situadas en ±2/3 (k = 0), 1/3 y 5/3 (k = 1),-1/3 y -5/3 (k = −1), . . . La expresion de X2(e

jω) se puede poner deforma equivalente como:

X2(ejω) =

∞∑

k=−∞

δ (fd − 1/3− k) + δ (fd + 1/3− k)2


c) Si insertamos ceros por un factor 3, el espectro se comprime por dichofactor. Ello afecta a las expresiones del apartado anterior de dos formas:

Cambiando la posicion de las deltas.

Cambiando el peso de las deltas, pues δ(3fd) = δ(fd)/3, es decir elpeso de las deltas se reduce a la tercera parte

El filtro simplemente eliminara algunas deltas y cambiara su amplitudpor el factor de ganancia.

1.- Para el caso 1 tenemos:

z1[n] =∑

k

cos

(

2π2

5k

)

δ[n− 3k]

Z1(ejω) = X1(e

j 3ω) =∞∑

k=−∞

δ (3 fd − 2/5− k) + δ (3 fd + 2/5− k)2

=

=1

3

∞∑

k=−∞

δ (fd − 2/15− k/3) + δ (fd + 2/15− k/3)2

que en el intervalo±1/2 contiene las siguientes deltas:±2/15,±3/15y ±7/15. Tambien podemos escribir z1[n] como:

z1[n] =1

3

(

cos 2π2

15n+ cos 2π

3

15n+ cos 2π

7

15n

)

Tras el filtro, tendremos unicamente los tonos de frecuencia menorque 1/7, que son unicamente los de frecuencia ±2/15. afectados poruna ganancia 7:

y1[n] =7

3cos 2π

2

15n

por lo que:

Y1(ejω) =

7

3

∞∑

k=−∞

δ (fd − 2/15− k) + δ (fd + 2/15− k)2

2.- En el segundo caso, de forma analoga tendremos:

z2[n] =∑

k

cos

(

2π1

3k

)

δ[n− 3k]

Z2(ejω) = X2(e

j 3ω) =∞∑

k=−∞

δ (3 fd − 1/3− k) + δ (3 fd + 1/3− k)2

=

PROBLEMA 1.20. 87

=1

3

∞∑

k=−∞

δ (fd − 1/9− k/3) + δ (fd + 1/9− k/3)2

que en el intervalo ±1/2 contiene las siguientes deltas: ±1/9, ±2/9y ±4/9. Tambien podemos escribir z2[n] como:

z2[n] =1

3

(

cos 2π1

9n+ cos 2π

2

9n+ cos 2π

4

9n

)

Tras el filtro, tendremos unicamente los tonos de frecuencia menorque 1/7, que son unicamente los de frecuencia ±1/9. afectados poruna ganancia 7:

y2[n] =7

3cos 2π

1

9n

por lo que:

Y2(ejω) =

7

3

∞∑

k=−∞

δ (fd − 1/9− k) + δ (fd + 1/9− k)2

d) Hacer pasar la senal por un interpolador lineal es equivalente a inser-tar ceros y a continuacion filtrar con un filtro de respuesta impulsivatriangular. La respuesta en frecuencia de dicho filtro vale:

H(ejω) =1

L

(

sen ω L2

sen ω2

)2

siendo L el factor de interpolacion, en nuestro caso L = 3.

1.- Para el caso 1, partiendo de z1[n], y teniendo en cuenta que:

H(ej2π 2/15) = 1,823 H(ej2π 3/15) = 0,8726 H(ej2π 7/15) = 0,3048

resulta

s1[n] =1

3

(

1,82 cos 2π2

15n+ 0,87 cos 2π

3

15n+ 0,30 cos 2π

7

15n

)

2.- Partiendo de z2[n] tenemos para el caso 2, teniendo en cuenta que:

H(ej2π 1/9) = 2,137 H(ej2π 2/9) = 0,6051 H(ej2π 4/9) = 0,2578

resulta:

s2[n] =1

3

(

2,14 cos 2π1

9n+ 0,61 cos 2π

2

9n+ 0,26 cos 2π

4

9n

)


e) Cuando y[n] es un tono, la senal de salida del D/C sera tambien un tonode la misma amplitud pero frecuencia desnormalizada por la frecuenciade muestreo.

1.- f ′s = 15000 por lo que:

y1(t) =7

3cos 2π

2

1515000t =

7

3cos 2π 2000t

es decir es un tono de la misma frecuencia que xc(t) pero de ampli-tud diferente.

2.- f ′s = 9000 por lo que

y2(t) =7

3cos 2π

1

99000t =

7

3cos 2π 1000t

es decir es un tono de frecuencia diferente de la de que xc(t) y deamplitud diferente. Ello es debido a que en este caso el muestreoinicial era con aliasing.

PROBLEMA 1.21. 89

Problema 1.21

Se dispone de 3 senales analogicas reales de 4 kHz de ancho de banda,x1(t), x2(t) y x3(t). Se quiere transmitir dichas senales multiplexadas en fre-cuencia por un canal de radio; para ello se debe transmitir la senal z(t) real,cuyo espectro se muestra en la figura 1.71. Se pretende generar z(t) utilizandoparcialmente procesado discreto de senales. Con ese fin se generara una senalcontinua compleja y(t), cuyo espectro se muestra tambien en la figura 1.71.

1

1

1

6

X1(fc)

X2(fc)

X3(fc)

Y (fc)

Z(fc)

1

1

4

4

4

100 100,012

-2 2-6

fc(kHz)

fc(kHz)

fc(kHz)

fc(MHz)

fc(kHz)

Figura 1.71: Espectros de las senales.

El diagrama de bloques del sistema que permite generar la senal z(t) semuestra en la figura 1.72. Se pide:

a) Mınimo valor para fs1.

b) Dibuje X1(ejω), X2(e

jω) y X3(ejω), con el anterior valor de fs1.

c) Suponiendo para fs1 el valor hallado en el apartado anterior, determinarel valor mınimo de fs2 con fs2 =M fs1 (M entero)

d) Dibuje la transformada de Fourier Y (ejω).

e) Dibuje el diagrama de bloques del sistema discreto, que permite obtenery[n] a partir de x1[n], x2[n] y x3[n]. Especifique claramente las frecuen-


cias de corte y las ganancias de todos los filtros que proponga usar.Igualmente, indique para cada filtro si la respuesta impulsiva es real ocompleja.

f) Dibuje el diagrama de bloques del sistema continuo que a partir de lasenal compleja paso-bajo y(t) permite obtener la senal real paso-bandaz(t).

C/D

C/D

C/D

Discreto D/C continuo

y[n]

x1[n]

x3[n]

x1(t)

x2(t)

x3(t)

fs1

fs1

fs1

fs2

x2[n]y(t)

z(t)

Figura 1.72: Diagrama de bloques. Las flechas dobles representansenales complejas.

PROBLEMA 1.21. 91

Solucion

a) El valor mınimo es fs1 = 8 kHz.

b) Los espectros pedidos son los mostrados en la siguiente figura:

fd

fd

fd

8000

8000

8000

X1(ejω)

X2(ejω)

X3(ejω)

0,5

0,5

0,5 1

1

1

Figura 1.73: Espectros de las senales discretas.

c) Como z(t) tiene un ancho de banda de 6 kHz, fs2 > 12 kHz. Comoademas debe ser multiplo de fs1 el valor mınimo para fs2 es de 16 kHz.

d) El espectro de z[n] se muestra en la figura 1.74.


-6/16 6/162/16-2/16 fd0,5-0,5

16000Z(ejω)

Figura 1.74: Espectro de Z(ejω).

e) El diagrama de bloques es el mostrado en la figura 1.75. La respuesta enfrecuencia de los filtros de dicha figura se muestra en la figura 1.76.

↑ 2

↑ 2

ejω1n

ejω2n

ejω3n

↑ 2 H3

H2

H1

+

×

×

×

Figura 1.75: Diagrama de bloques del sistema discreto. Las lıneas grue-sas se corresponden con senales complejas.

-

6Hi(e

jω)

fd0,25 0,5-0,5

2

Figura 1.76: Filtros del diagrama de bloques del sistema discreto.

La respuesta impulsiva de estos filtros es compleja, esto es al filtrar unasenal real producen una senal compleja a la salida. Las pulsaciones delos moduladores son:

ω1 = 2π(−6/16) ω2 = 2π(−2/16) ω3 = 2π(2/16)

PROBLEMA 1.21. 93

f) La relacion entre la senal z(t) e y(t) es:

z+(t) = y(t) ejΩ0t z−(t) = z∗+(t)

z(t) = z+(t)+z−(t) = 2Re(z+(t)) = 2 [Re(y(t)) cosΩ0t− Im(y(t)) senΩ0t]

El diagrama de bloques del sistema continuo es pues:

-

-

-

?

?

6

6

×

×

+

2 cosΩ0t

−2 senΩ0t

Imy(t)

Rey(t)

z(t)

Figura 1.77: Diagrama de bloques del sistema continuo.


Problema 1.22

Sea el siguiente sistema de la figura.

C/D

D/C

D/C

D/C

y(t) Sistema

Analogico

z(t) z[n]

Discreto

Sistema

x1[n]

x2[n]

x3[n]

fs1

fs2

x1(t)

x2(t)

x3(t)

Figura 1.78: Sistema bajo estudio

En dicho esquema, los espectros de las senales reales x1(t), x2(t), x3(t) ey(t), y la senal compleja z(t) son los siguientes:

1

1

1

X1(fc)

X2(fc)

X3(fc)

fc(kHz)

fc(kHz)

fc(kHz)

W

W

W

1

fc(kHz)

Z(fc)

W2

Y (fc)

1fc(MHz)

f0

3W2

Figura 1.79: Espectros de las senales involucradas

con f0 = 100 MHz y W = 4 kHz. Se pide:

a) Mınimo valor para fs1, fs1min.

PROBLEMA 1.22. 95

b) Dibuje el espectro de z[n] para fs1 = fs1min.

c) Dibuje y describa el diagrama de bloques del Subsistema Analogico, es-pecificando ganancias y frecuencias de los elementos que proponga usar.

d) Calcule fs2min.

e) Dibuje el espectro de x1[n] con fs2 del apartado anterior.

f) Dibuje y describa el diagrama de bloques del Sistema Discreto, especi-ficando si las senales son reales o complejas, ası como las ganancias yfrecuencias de los elementos propuestos.

Solucion

a) El valor mınimo de la frecuencia de muestreo, segun el criterio de Ny-quist, es:

fs1min = 23W

2= 12kHz

b) El espectro de la senal discreta z[n] es el siguiente:

Z(ejω)

12000

... ...

fd0.5 1.01

6-1.0 -0.5 −1

6

c) Dado que z(t) es compleja, la senal paso banda y(t) debe procesarse dela siguiente manera:

donde Ω0 = 2πf0, con f0 = 100 MHz y Hlp(fc) es un filtro paso bajoreal de frecuencia de corte 3W/2 y ganancia unidad.

d) La frecuencia de muestreo mınima, tambien por el criterio de Nyquist,es:

fs2min = 2W = 8kHz


Hlp(fc)

e−jΩ0t

y(t) z(t)

X1(ejw)

8000

... ...

0.5-0.5fd

1.0-1.0

e) El espectro de la secuencia x1[n] muestreada a fs2min es:

f) El diagrama de bloques del Sistema Discreto para la obtencion de lassecuencias xk[n] es el siguiente:

2

fd1/3

H(ejw) FPBz[n] Re

Im

xk[n]

ej2πfkn

↑ 2 ↓ 3

El desplazamiento necesario sera en funcion de k, f1 = 12 , f2 = 1

6 yf3 = −1

6 . El primer filtro es de respuesta impulsiva complejo. Para pasarde senal compleja a real, se toma dos veces la parte real de la salidadel filtro. Dado que las frecuencias de muestreo a la entrada y salidadel sistema son diferentes, el sistema discreto debera hacer el cambiooportuno, que corresponde a un factor de cambio de:

Q =fs2min

fs1min=

2

3

por lo que L = 2 y M = 3. El FPB es real, con ganancia G = L = 2 yfrecuencia de corte:

fFPB = mın

(

1

2L,

1

2M

)

=1

6

Capıtulo 2

DFT

Problema 2.1

Sea x[n] una secuencia de duracion 8 que tiene la DFT de 8 puntos mos-trada en la figura

-0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

k

X[k]

Se definen dos secuencias, y[n] y z[n], de 16 muestras de la siguiente ma-nera:

y[n] =

x[n/2], n par0, n impar

z[n] =

x[n], 0 ≤ n < 80, 8 ≤ n < 16

Determine razonadamente cual de las siguientes DFT corresponde a y[n]y cual corresponde a z[n].

97

98 CAPITULO 2. DFT

-

-

-

-

-

-

k

k

k

k

k

k

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

0 15

0 15

0 15

0 15

0 15

0 15

Solucion

La secuencia y[n] es una version rellenada con ceros de x[n], lo cual en eldominio de la frecuencia equivale una compresion en el eje de la frecuencia(en este caso por un factor igual a 2). Puesto que la DFT de una secuenciade duracion limitada es un muestreo de su transformada de Fourier, tenemosque:

Y [k]←→ Solucion c

PROBLEMA 2.1. 99

La secuencia z[n] es x[n] con ceros anadidos al final. En ese caso:

Z(ejω) = X(ejω)

La unica diferencia entre Z[k] y X[k] es que Z[k] es un muestreo de Z(ejω) conel doble de muestras. Por tanto las muestras pares deben ser las mismas, locual ocurre tanto en la solucion (b) como en la (d). Sin embargo, la solucion (b)no es correcta puesto que al tener la secuencia (b) todas las muestras imparesde la DFT nulas, la secuencia temporal deberıa estar formada por la repeticionde dos semiperiodos iguales, lo cual no es cierto pues el segundo semiperiodoes nulo y el primero no puede serlo por la forma en que esta construida z[n] yla linealidad de la DFT.

Por tanto,Y [k]←→ Solucion d

100 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.2

a) SeaX(ejω) la transformada de Fourier de la secuencia causal de duracioninfinita x[n] = (1/2)n u[n]. Sea y[n] una secuencia de 10 muestras, talque y[n] = 0 en n < 0 y n ≥ 10. Calcule y[n] tal que su DFT de 10puntos Y [k] coincida con 10 muestras equiespaciadas de X(ejω), es decir

Y [k] = X(ej2πk/10)

b) Sean x[n] e y[n] la entrada y la salida respectivamente de un sistemaestable, causal e IIR, correspondiente a una ecuacion en diferencias dela forma:

y[n] =L∑

k=1

ak y[n− k] + x[n]

Queremos determinar usando una DFT de N puntos, N muestras equies-paciadas de la respuesta en frecuencia del sistema H(ejω), es decir, paralas pulsaciones ωk = 2π

N k con k = 0, 1, . . . , N − 1. Una posible formade hacerlo consiste en determinar h[n] (de duracion infinita) y aplicar acontinuacion los resultados del apartado (a). Existe una posibilidad massencilla.

Suponiendo que L < N , indique como calcular las N muestras de H(ejω)a partir de los coeficientes, usando una unica DFT de N puntos.

c) ¿Puede extender el resultado del apartado b al caso en que L ≥ N? Sila respuesta es no, indique por que. Si la respuesta es sı, indique comohacerlo.

Solucion

a) Por la propiedad del muestreo de la Transformada de Fourier sabemosque:

y[n] =∞∑

k=−∞

x[n+ 10k] 0 ≤ n < 10

PROBLEMA 2.2. 101

valiendo 0 en el resto. Tenemos entonces que

y[n] =

∞∑

k=0

(

1

2

)n+10k

=

(

1

2

)n ∞∑

k=0

(

1

2

)10k

=

(

1

2

)n 1

1− (1/2)10

b) La funcion de transferencia buscada es

H(ejω) =1

1−L∑

n=1

ane−jωn

Podemos obtener N muestras equiespaciadas de esta funcion mediante

H[k] = H(ej2πk/N ) =1

D[k]0 ≤ k < N

Es decir lo que hay que hacer es calcular el denominador y despuestomar la inversa. El denominador se puede calcular usando una DFT deN puntos. Si N > L, la forma de hacerlo sera calculando la DFT de lasenal d[n] siguiente:

n 0 1 2 3 · · · L L+ 1 · · · N − 1

d[n] 1 −a1 −a2 −a3 −aL 0 0 0

c) Si N ≤ L, lo que sigue siendo cierto es que:

H[k] = H(

ej2πk/N)

=1

D[k], 0 ≤ k < N

Sin embargo, ahora cambia la forma de obtener la senal d[n] de la que secalcula la DFT para obtener el denominador. Se define la senal auxiliars[n] de la siguiente forma:

n n < 0 0 1 2 3 · · · L n > L

s[n] 0 1 −a1 −a2 −a3 −aL 0

El denominador D[k] lo constituyen N muestras de la transformada deFourier de la senal anterior. Si N ≤ L podemos aplicar lo visto en elapartado a del problema y definir una senal d[n] de duracion N muestrastal que sus muestras espectrales coincidan con las de s[n]. Dicha senalse define mediante

d[n] =∞∑

k=−∞

s[n+ kN ]

102 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.3

Considere una senal discreta de 20 muestras de duracion, de modo quex[n] = 0 fuera del intervalo −2 ≤ n < 17. Sea X(ejω) la transformada deFourier de dicha senal.

a) Se desea evaluar X(ejω) en ω = 5π/6 calculando una unica FFT de Mpuntos.

1.- Determine el valor mınimo de M (numero de puntos de la FFT)necesario.

2.- Determine el procedimiento a seguir, es decir, indicar exactamentede que secuencia se calcula la FFT y que valor del resultado de laFFT se toma como X(ej5π/6).

b) Repita el apartado a para ω = 8π/27 y suponiendo que x[n] = 0 fueradel intervalo 10 ≤ n ≤ 29.

Solucion

a) 1.- La DFT (FFT) proporciona muestras equiespaciadas de la trans-formada de Fourier de una senal discreta en las frecuencias

ωk =2π

Mk

Igualando obtenemos que

2πk

M=

5π

6→ k

M=

5

12

Como 5/12 es una fraccion irreducible entonces

M = 12

2.- La FFT proporciona 12 muestras equiespaciadas de X(ejω). Parasaber de que senal hay que calcular la DFT hay que tener en cuentaque dicha senal serıa la que se obtendrıa si se hiciese la DFT inversa

PROBLEMA 2.3. 103

de las 12 muestras de X(ejω). Dicha senal (x1[n]) es la representa-cion periodica de x[n] con periodo 12, es decir

x1[n] =∞∑

r=−∞

x[n− 12r]

Por lo tanto la senal x1[n] de la que calcularemos la DFT sera:

x1[0] = x[0] + x[12]

x1[1] = x[1] + x[13]

x1[2] = x[2] + x[14]

x1[3] = x[3] + x[15]

x1[4] = x[4] + x[16]

x1[5] = x[5] + x[17]

x1[n] = x[n], 6 ≤ n ≤ 9

x1[10] = x[10] + x[−2]x1[11] = x[11] + x[−1]

El valor pedido X(ej5π/6) corresponde al ındice k = 5 de la DFT.

b) En este caso M = 27 y k = 4. La senal de la que se calcula la FFT es

x1[n] =∑

k

x[n+ 27k] 0 ≤ n < 27

y al ser la senal de duracion menor de 27 no se produce solapamiento enlas sumas, pero sı una reordenacion.

104 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.4

Una de las aplicaciones del procesamiento digital de la senal es la conocidacomo identificacion de sistemas. En ella se pretende conocer la funcion detransferencia de un sistema LTI, desconocida a priori, realizando una serie deensayos. El objetivo puede ser conocer la funcion de transferencia para todaslas frecuencias o unicamente en un conjunto de ellas.

Este problema trata de un metodo de identificacion de sistemas. La ideaconsiste en inyectar al sistema LTI incognita una senal x(t) y medir su res-puesta y(t). A continuacion se calculan las transformadas de Fourier de ambasX(fc) e Y (fc) y se obtiene

Hc(fc) =Y (fc)

X(fc)

Se desea conocer la respuesta en frecuencia de un sistema LTI a la frecuenciade 1 kHz. Para instrumentar el procedimiento se piensa en utilizar tecnicasdiscretas del modo que se representa en la figura 2.1.

- FPB - ¿Hc(fc)? -

?

C/D

?

DFTN

?

?

C/D

?

DFTN

?

-fs

Calculode Hc(10

3)

-

x(t) y(t)

x[n] y[n]

XN [k] YN [k]

Figura 2.1: Diagrama de bloques del sistema propuesto.

PROBLEMA 2.4. 105

Se genera un impulso estrecho (no importa demasiado su forma), que sefiltra con un filtro paso-bajo de frecuencia de corte 2 kHz de modo que se puedesuponer que x(t) tiene un ancho de banda de 2 kHz. Esta es la excitacion queintroducimos al sistema incognita Hc(f). Se digitalizan la entrada y la salidadel sistema incognita con sendos conversores C/D utilizando una frecuenciade muestreo de fs = 4 kHz, tras lo cual se obtienen las secuencias x[n] e y[n]que se muestran en la figura 2.2.

- -

x[n] y[n]

n n

−1 0 1 2 3 4 5 −1 0 1 2 3 4 5 5

1

2

1

4 4

Figura 2.2: Secuencias obtenidas.

A continuacion se calculan las DFT de N puntos de cada una de ellasy con el resultado de las DFT, realizando ciertos calculandose determina larespuesta a f = 1 kHz.

Se pide:

a) Determine el mınimo numero de puntos N de la DFT, necesario paradeterminar el valor de Hc(1kHz).

b) Calcule para el valor de N hallado en el apartado anterior, las DFTXN [k] e YN [k].

c) Indique claramente que operaciones realizarıa para determinarHc(1 kHz)a partir de la DFT y determine Hc(1 kHz).

d) Suponga que se reduce a la mitad la frecuencia de muestreo, es decir,consideramos fs = 2kHz, obteniendo nuevas secuencias x′[n] e y′[n].Determine el nuevo N necesario, calcule las DFT correspondientes ydetermine Hc(1 kHz) ¿Coincide el resultado con el apartado c? Indiquelas razones.

e) Suponga de nuevo fs = 4kHz. Manipule adecuadamente las secuenciasx[n] e y[n] y obtenga unas secuencias x′′[n] e y′′[n], de forma que podamoscalcular Hc(1 kHz) con DFT de N = 2 puntos. Calcule x′′[n] e y′′[n].Determine X ′′

2 e Y ′′2 [k] y obtenga Hc(1 kHz).

106 CAPITULO 2. DFT

Solucion

a) El primer paso es determinar la frecuencia digital a la que correspondela frecuencia continua pedida

fd =fcfs

En nuestro caso, la frecuencia de muestreo vale fs = 4 kHz y la frecuenciadeseada es fc = 1 kHz, luego

fd =1

4

Los valores de la DFT corresponden a muestras de la transformada deFourier de la senal discreta en frecuencias

fd =k

N

Facilmente se ve que el numero mınimo necesario es

N = 4

b) Las DFT son

X4[k] =3∑

n=0

x[n] e−j 2π4nk = x[0] + x[1] e−j π

2k = 1 + 2 (−j)k

y analogamente

Y4[k] =3∑

n=0

y[n] e−j 2π4nk

= y[0] + y[1] e−j π2k + y[2] e−j 2π

42k

= 1 + 4 (−j)k + 4(−1)k

resultando

k X4[k] Y4[k]

0 3 9

1 1− 2j -3-4j

2 −1 1

3 1 + 2j -3+4j

PROBLEMA 2.4. 107

c) La respuesta frecuencial a 1 KHz es

Hc(1kHz) =Y4[1]

X4[1]= 1− 2j =

√5 ej ∠1,1

d) Las secuencias x′[n] e y′[n] son versiones diezmadas por dos de las se-cuencias x[n] e y[n]. Por lo tanto dichas secuencias seran nulas salvo enlos valores indicados en la siguiente tabla:

n x′[n] y′[n]

0 1 1

1 0 4

Como ahora la frecuencia de muestreo es fs = 2 kHz, la frecuencia digitalcorrespondiente a 1 KHz resulta ser

fd =1

2

Ello implica un N mınimo de 2.

Calculando las DFT de 2 puntos tenemos

k X ′2[k] Y ′

2 [k]

0 1 5

1 1 −3

y por tanto

H ′c(1 kHz) =

Y ′2 [1]

X ′2[1]

= −3

Como puede verse H ′c(1 kHz) 6= Hc(1 kHz). Ello se debe a que al mues-

trear con fs = 2kHz se esta produciendo aliasing, y entonces la relacionentre los espectros de la entrada y la salida no es la misma en el casocontinuo y discreto.

e) Con DFT de dos puntos las muestras de la transformada de Fourierque se pueden obtener son las correspondientes a fd = 0 y fd = 1/2.Por lo tanto lo primero que debo hacer es desplazar espectralmente lassecuencias x[n] e y[n] para que la frecuencia fd = 1/4 este en cualquierade estas dos frecuencias. Se elige desplazar de 1/4 a 1/2, lo cual se logramultiplicando ambas secuencias de la siguiente manera

x1[n] = x[n] ej2π4n

y1[n] = y[n] ej2π4n

108 CAPITULO 2. DFT

Como la longitud de la secuencia y1[n] es mayor que 2, la DFT de 2puntos hay que calcularla de la secuencia

y2[n] =∑

r

y1[n− 2r]

Para la secuencia x1[n] esto no es necesario hacerlo por ser de duracion2 ≤ N .

x′′[n] = x2[n] 0 ≤ n < 2

y′′[n] = y2[n] 0 ≤ n < 2

La respuesta en frecuencia pedida es

Hc(1kHz) =Y ′′2 [1]

X ′′2 [1]

=−3− 4j

1− 2j= 1− 2j

resultado que coincide, como es logico, con el del apartado c.

PROBLEMA 2.5. 109

Problema 2.5

a) Determinar las DFT de la longitud indicada de las siguientes secuencias:

-

- -

-

x1[n] x2[n]

x3[n] x4[n]

n

n

n

n

0

0

0

0

1

3 3

1

3 3

3

1

3

1

3 3

longitud = 3

longitud = 3

longitud = 6

longitud = 6

Las DFT deberan calcularse en el orden indicado (es decir primero x1[n],despues x2[n], etc.) de manera que en cada calculo de DFT se aprovechen,si es posible, DFTs calculadas con anterioridad, mediante aplicacion delas propiedades que correspondan.

b) Calcule de forma directa (sin utilizar DFT, por ejemplo graficamente) laconvolucion circular modulo 3 de las secuencias x1[n] y x3[n] para n = 2.

c) Repita el apartado anterior utilizando convenientemente las DFT dex1[n] y x3[n]. El valor obtenido en ambos casos debera ser el mismo.

Solucion

a) La DFT de x1[n] es

X1[k] =2∑

n=0

x[n] e−j2πkn/3

110 CAPITULO 2. DFT

Por lo tanto

X1[0] = 1 + 3 + 3 = 7

X1[1] = 1 + 3e−j2π/3 + 3e−j4π/3 = 1− 6 cosπ

3= −2

X1[2] = X∗1 [1] = −2

Como x2[n] es una version de x1[n] rellenada con ceros, X2[k] correspon-de a un muestreo mas fino de la transformada de Fourier de x1[n]. Portanto los valores a calcular nuevos son:

X2[0] = X1[0]

X2[1] = 1 + 3 e−j2π/6 + 3 e−j4π/6 = 1− j 3√3

X2[2] = X1[1]

X2[3] = 1 + 3e−j3 2π/6 + 3e−j6 2π/6 = 1

X2[4] = X1[2]

X2[5] = X∗2 [1] = 1 + j 3

√3

Como x3 es un desplazamiento cıclico de x1, es decir:

x3[n] = x1[((n− 1))3]

resultaX3[k] = X1[k] e

−j2πk/3

Como x4[n] es un desplazamiento cıclico de x2[n], es decir

x4[n] = x2[((n− 2))6]

resultaX4[k] = X2[k] e

−j2·2πk/6

b) Las secuencias involucradas en la convolucion circular son:

n 0 1 2

x1[n] 1 3 3

x3[n] 3 1 3

x3[((−n))3] 3 3 1

x3[((2− n))3] 3 1 3

y por tanto el resultado de la convolucion es

3 · 1 + 1 · 3 + 3 · 3 = 15

PROBLEMA 2.5. 111

c) Usando DFT tenemos:

Xa[k] = X1[k]X3[k] = X21 [k] e

−j2πk/3

El valor pedido es

y[2] =1

3

2∑

k=0

Xa[k] ej 2·2πk

3 = 15

112 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.6

El presente problema considera una aplicacion del tratamiento digital de lasenal: la caracterizacion del subsuelo terrestre. Un esquema muy simplificadopuede verse en la figura 2.3.

?

?

?

6

6

capa 1

capa 2

capa 3

GeofonoDetonador

Figura 2.3: Esquema simplificado del subsuelo.

El subsuelo es excitado por un pulso acustico (generado normalmente conuna detonacion); el subsuelo se puede considerar formado por una serie decapas o estratos, de manera que cada discontinuidad genera un eco acusticoque se recoge en un sensor adecuado (geofono). En la figura se ha supuesto, porsencillez, un modelo de tres capas, la mas profunda de las cuales es semiinfinita,y ademas se supone que geofono y detonador estan en la misma posicion conlo que las ondas de interes son las que se propagan en direccion vertical.

Sea p(t) el pulso emitido por el detonador y r(t)

r(t) = A1 p(t− τ1) +A2 p(t− τ2)

la senal recibida en el geofono, habiendose supuesto despreciables las reflexio-nes multiples. El conocimiento de A1A2, τ1, τ2 resulta de interes en la caracte-rizacion del subsuelo: tipo de material, espesor de las capas, etc. Suponga queel espectro del pulso transmitido tiene la forma de la figura 2.4, en donde lasfrecuencias estan en Hz.

PROBLEMA 2.6. 113

-

6P (fc)

fc

100−100

Figura 2.4: Espectro del pulso transmitido.

a) ¿Cual es el maximo periodo de muestreo T que podemos utilizar?

b) Sea p[n] = p(nT ), r[n] = r(nT ), τ1 = 5T y τ2 = 8T , (donde T esel calculado en el apartado 1). Dibuje P (ejω). Determine la respuestaal impulso y la funcion de transferencia del sistema LTI discreto querelaciona p[n] con r[n] (figura 2.5).

c) El objetivo basico de la aplicacion real es obtener el modelo discreto delterreno (h[n]) a partir de las secuencias p[n] y r[n]. Para ello se piensaen implementar el siguiente algoritmo:

h[n] = DFT−1

(

DFT (r[n])

DFT (p[n])

)

con p[n] y r[n] las del apartado 2. ¿Cual es el mınimo tamano N dela DFT y la DFT−1 que es posible utilizar para que el resultado seacorrecto? Realice el calculo del anterior algoritmo y compruebe que h[n]coincide con la del apartado 2. Observe que no es necesario conocer p[n].

d) Suponga ahora que τ1 = 5T/3 y τ2 = 8T , siendo T el hallado en elapartado (a). ¿Cual es la nueva respuesta al impulso del modelo discretodel terreno? Explique por que no es posible calcular h[n] con el algoritmodel apartado 3. Calcule el periodo de muestreo T ′ que serıa necesario paracalcular con exactitud el modelo discreto del terreno h′[n] a partir dep′[n] = p(nT ), y r′[n] = r(nT ) con el algoritmo del apartado 3. Indiqueel tamano mınimo necesario de la DFT. Indique como se obtendrıa p′[n]a partir de p[n].

114 CAPITULO 2. DFT

- -p[n] r[n]h[n]?

Figura 2.5: Sistema LTI que relaciona p[n] y r[n].

Solucion

a) El maximo periodo de muestreo T que se puede utilizar es

Tmax =1

200s

b) El espectro de p[n] es

-

6P (ejω)

ω−2π −π 0 π 2π

Figura 2.6: Transformada de Fourier de p[n].

Para calcular h[n] y H(z):

r[n] = r(nT )

= A1 p(nT − 5T ) +A2 p(nT − 8T )

= A1 p[n− 5] +A2 p[n− 8]

Por tanto la respuesta al impulso es

h[n] = A1 δ[n− 5] +A2 δ[n− 8]

PROBLEMA 2.6. 115

y la funcion de transferencia es

H(z) = A1 z−5 +A2 z

−8

c) La duracion de h[n] es 9, luego N = 9. Por otra parte

DFT (r[n])

DFT (p[n])=

A1 P [k] e−j 2π

95k +A2 P [k] e

−j 2π98k

P [k]

= A1 e−j 2π

95k +A2 e

−j 2π98k

= H[k]

Y en cuanto a la respuesta al impulso

h[n] = DFT−1(H[k]) =1

9

8∑

k=0

H[k] ej2π9nk

=1

9

8∑

k=0

A1 e−j 2π

9k(n−5) +

1

9

8∑

k=0

A2 e−j 2π

9k(n−8)

= A1 δ[n− 5] +A2 δ[n− 8]

ya que8∑

k=0

e−j 2π9k(n−n0) =

1− ej2π(n−n0)

1− e j2π9

k(n−n0)= 9 δ[n− n0]

d) En este caso

H(ejω) =R(ejω)

P (ejω)

=A1 P (e

jω) e−j 53ω +A2 P (e

jω) e−j8ω

P (ejω)

= A1 e−j 5

3ω +A2 e

−j8ω

y tomando transformadas inversas queda

h[n] = A1 sinc(n− 5/3) +A2 δ[n− 8]

que es de duracion infinita.

Para poder aplicar el algoritmo sin solape temporal h[n] debe ser deduracion finita. Si se se coge T ′ = T/3 resulta:

r′[n] = r(nT ′) = A1 p

(

nT ′ − 5

3T

)

+A2 p(nT′ − 8T )

= A1 p(nT′ − 5T ′) +A2 p(nT

′ − 24T ′)

= A1 p′[n− 5] +A2 p

′[n− 24]

116 CAPITULO 2. DFT

resultandoh′[n] = A1 δ[n− 5] +A2 δ[n− 24]

que es de duracion finita N = 25.

La secuencia p′[n] se obtendrıa interpolando por un factor 3 la secuenciap[n], es decir con un insertador de ceros con L = 3, seguido de un filtropaso-bajo de frecuencia de corte 1/6 y ganancia 3 en la banda de paso.

PROBLEMA 2.7. 117

Problema 2.7

Existen un tipo de analizadores de espectros cuyo funcionamiento internoesta basado en la FFT. En dichos analizadores la senal (analogica) a analizares muestreada de forma continua. Periodicamente se selecciona un bloque demuestras (supongamos de N muestras), se enventana, y se calcula la FFTtomandose a continuacion el modulo al cuadrado del resultado. Dicho esquemase muestra en la figura 2.7.

- - - - - -

6

A/D Seleccion Envent. FFT | · |2x(t) |X[k]|2

Ts

Figura 2.7: Diagrama de bloques de un analizador de espectros basadoen la FFT.

Suponga que el ancho de banda de la senal analogica es de 5 kHz, quela frecuencia de muestreo es de 10 kHz, que el numero de puntos de la FFTcoincide con la duracion N del trozo de senal seleccionado, y que se desea unaseparacion entre las muestras de 10 Hz.

a) Suponga que se desea analizar el margen 0 − 5000 Hz. Indique el valorde N ası como la relacion existente entre los ındices k de la FFT y lascorrespondientes frecuencias analogicas.

b) Suponga que se desea realizar un zoom en el espectro de la senal de modoque queremos analizar el margen 1000-1500 Hz con una resolucion de1 Hz. Determine cual serıa de nuevo el valor de N ası como en que ındicesde la FFT obtendrıamos la informacion buscada (es decir, indique que kcorresponde a 1000 Hz, cual a 1001 Hz, etc.)

Con el fin de evitar tener que tomar FFT de un numero muy elevado depuntos, para que despues unicamente sea de interes un porcentaje muybajo de los resultados de la FFT, se piensa en una modificacion (presenteen los analizadores reales) consistentes en el esquema de la figura 2.8. Endicha figura podemos distinguir el producto por un fasor, un filtro paso-bajo ideal de frecuencia de corte f1 (con respuesta impulsional real), undiezmador por un factorM (sin filtro), y el resto es analogo a la primera

118 CAPITULO 2. DFT

parte. Suponga la senal analogica y la frecuencia de muestreo iguales alos de la primera parte.

- - - - -

6 6?

?

?

?

A/D

1 2 3 4

FPB ↓ M Seleccion

Enventana.

FFT

| · |2

×

e−jω0n

x(t)

|X[k]|2

Ts

Figura 2.8: Modificacion del esquema original.

c) Indique los valores de ω0, f1, M y N que hacen falta para analizar lasenal de entrada en la banda de 1000-1500 Hz con una resolucion de 1 Hzde modo que N sea el mınimo posible. Para el procedimiento anterior,indique la relacion entre el ındice k de la FFT y la relacion entre k dela FFT y la frecuencia analogica correspondiente. Se recomienda dibujarlos espectros en los puntos 1, 2, 3 y 4.

Solucion

a) La separacion entre las muestras espectrales es

1

Nfs = ∆fc

PROBLEMA 2.7. 119

Por tanto

N =fs∆fc

=10000

10= 1000

El margen de frecuencias 0 · · · 5000 se barre con los ındices de la FFTk = 0 . . . 500 ya que:

fc =k

Nfs

b) Recalculando el numero de muestras

N =fs∆fc

=10000

1= 10000

Los ındices de la FFT correspondientes a las frecuencias analogicasfc = 1000 . . . 1500 corresponden a k = 1000 . . . 1500 pues

fc =k

Nfs

Se puede observar que de los 10000 valores que devuelve la FFT solo 501son de interes. En la figura 2.9 se muestra el margen de frecuencias deinteres.

fd

-0.5 0.15 0.50.1

Figura 2.9: Margen de frecuencia de interes.

c) En este apartado se proponen dos posibles soluciones. La idea de laprimera alternativa se muestra en la figura 2.10.

En la primera alternativa, se desplaza la banda de interes ω = 2π · 0, 1.La frecuencia de corte del filtro paso-bajo coincide con el ancho de labanda de interes

f1 = 0, 15− 0, 1 = 0, 05

120 CAPITULO 2. DFT

1 2

fd

-0.5 0.15 0.50.1

fd-0.5 0.5

3 4

fd

-0.5 f1 0.5fd

0.5-0.5 Mf1

Figura 2.10: Espectros de la primera alternativa.

El factor de diezmado M debe cumplir

f1 ·M ≤ 0, 5

Ademas interesa que sea el mayor posible para que el numero de puntosde la FFT sea el menor posible. Por ello se elige M = 10. En cuanto alnumero de puntos de la FFT

N =fs/M

∆fa=

10000/10

1= 1000

Segun puede verse en la figura, la relacion entre los ındices de la FFT yfrecuencia analogica (1000-1500) es

fa = 1000 + k 0 ≤ k ≤ 500

En la segunda alternativa (figura 2.11) la banda de interes se desplaza demanera que el centro de la banda de interes quede en f = 0, de manera quela mitad inferior de la banda de interes se situa en las frecuencias negativas yla mitad superior en las positivas de la senal 4 . Ello resulta de importanciaporque en el resultado de la FFT, primero aparecen las frecuencias positivasy en la segunda mitad las frecuencias negativas.

PROBLEMA 2.7. 121

1 2

fd

-0.5 0.15 0.50.1

fd-0.5 0.5

3 4

fd

-0.5 f1 0.5fd

0.5-0.5 Mf1

Figura 2.11: Espectros de la segunda alternativa.

En este caso:

ω0 = 2π0, 1 + 0, 15

2= 2π · 0, 125

f1 = 0, 025

M = 20

N = 500

Y la relacion entre los ındices de la FFT y frecuencias analogicas es

fa =

1250 + k, 0 ≤ k ≤ 250750 + k, 250 ≤ k < 500

Puede observarse que el ındice k = 250 corresponde a dos frecuencias (f =1000 y f = 1500). Esto es ası porque al diezmar se solapan dichas frecuencias.Ello no supone mayor problema pues los filtros eliminan dichas componentesfrecuenciales. Si fueran de interes dichas frecuencias deberıa considerarse comobanda de interes una mas amplia (por ejemplo fc = 990 . . . 1510).

122 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.8

Sea x[n] e y[n] la entrada y la salida de un filtro cuya respuesta al impulsoes h[n]. Siendo x[n] y h[n] las secuencias mostradas en la figura 2.12, se pide:

- -

x[n] h[n]

n n

0 1 2 3 0 1 2 3

1

2

1

4

Figura 2.12: Secuencias x[n] y h[n].

a) Calcule y[n] por convolucion.

b) Calcule y[n] mediante uso de DFT de la mınima longitud posible.

c) Considere la conexion de la figura 2.13 y calcule z[n] mediante DFT

Utilizando y[n].

Sin utilizar y[n].

- - -x[n] y[n] z[n]

h[n] h[n]

Figura 2.13: Conexion en cascada.

d) Considere ahora las secuencias de la figura 2.14 y calcule z′[n] directa-mente a partir de z[n].

PROBLEMA 2.8. 123

- -

x[n] h′[n]

n n

0

1

2 3 0

1

2 3

1

−2

1

−4

Figura 2.14: Secuencias x[n] y h[n].

Solucion

a) Es inmediato obtener y[n] por convolucion. El resultado es

y[n] = DFT−1Y [k] =

1, n = 06, n = 18, n = 20, resto

b) El tamano mınimo de DFT es de N = 3. Las DFT de 3 puntos de x[n]y h[n] valen:

X[k] = 1 + 2 e−j 2π3k

H[k] = 1 + 4 e−j 2π3k

por tanto

Y [k] = X[k] ·H[k] = 1 + 6 e−j 2π3k + 8 e−j 2π

32k

y por tanto

y[n] = DFT−1Y [k] =

1, n = 06, n = 18, n = 20, resto

124 CAPITULO 2. DFT

que coincide con el resultado del apartado a.

c) Puesto que y[n] tiene duracion 3 y h[n] duracion 2, z[n] tendra duracion4. Por tanto las DFT a calcular seran de tamano mınimo 4. Operando:

Y [k] = X[k] ·H[k] = 1 + 6 e−j 2π4k + 8 e−j 2π

42k

H[k] = 1 + 4 e−j 2π4k

Z[k] = Y [k]X[k] = 1 + 10 e−j 2π4k + 32 e−j 2π

42k + 32 e−j 2π

43k

obteniendose tras calcular la DFT−1

z[n] =

1, n = 010, n = 132, n = 232, n = 30, resto

Sin usar y[n] lo que hay que hacer es DFT de 4 puntos de x[n] y de h[n]y calcular

Z[k] = X[k] · H[k] · H[k]

obteniendose el mismo resultado.

d) En este apartado hay que calcular

z′[n] = x′[n] ∗ h′[n] ∗ h′[n]

Observe que:

x′[n] = x[n] ejπn = x[n] ej2π42n

h′[n] = h[n] ejπn = h[n] ej2π42n

Por la misma razon que antes las DFT a realizar son de tamano 4. Porlas relaciones anteriores se cumple que:

X ′4[k] = X4[((k − 2))4]

H ′4[k] = H4[((k − 2))4n]

por lo queZ ′4[k] = X ′

4[k]H′4[k]H

′4[k] = Z4[((k − 2))4]

y por tanto

z′[n] = z[n] ej2π42n = z[n] ejπn

PROBLEMA 2.8. 125

obteniendose

z′[n] =

1, n = 0−10, n = 132, n = 2−32, n = 3

0, resto

126 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.9

Considere la secuencia x[n] = 1, n = 0, 1, 2, 3 siendo nula en el resto y lasecuencia h[n] = 1, n = 0, 1, siendo tambien nula en el resto.

a) Calcule las DFT de tamano 4 de x[n] y h[n]. Calcule el valor numericode la parte real e imaginaria de cada valor DFT.

b) Calcule la salida de un filtro cuya respuesta al impulso sea h[n] y cuyaentrada sea x[n]. En primer lugar hagalo por convolucion directa y acontinuacion por producto de las DFT de tamano 4 del apartado a). Siha realizado bien los calculos, observara que el resultado por cada uno delos metodos no coincide. ¿Existe algun valor que debe coincidir? Razonesu respuesta.

c) Calcule nuevamente la salida anterior pero asumiendo que aplicamosel metodo overlap-add, cogiendo segmentos de duracion 2 a la entrada.Indique los pasos que sigue y compruebe que llega al mismo resultadoque el obtenido por convolucion directa.

Solucion

a) Calculando la siguiente expresion

X[k] =3∑

n=0

x[n] e−j 2π4kn =

3∑

n=0

x[n] (−j)kn k = 0, . . . , 3

rellenamos la siguiente tabla

k X[k] H[k]

0 4 2

1 0 1− j2 0 0

3 0 1 + j

b) Realizando la convolucion directa obtenemos

PROBLEMA 2.9. 127

n −1 0 1 2 3 4 5

y[n] 0 1 2 2 2 1 0

siendo nulos los valores no mostrados.

Calculando DFT−1X[k]H[k] se obtiene que y′[n] = 2, n = 0, . . . , 3.Dicho resultado no coincide con la convolucion directa debido a que elproducto de DFT implementa la convolucion circular, y dado que laduracion de la convolucion directa (5) es mayor que el tamano de lasDFT (4), no coincide el resultado. Los valores que deben coincidir sonlos correspondientes a n = 1, 2, 3.

c) Si cogemos ventanas de duracion 2, y la respuesta impulsiva es de tamano2, el tamano mınimo de DFT es 3. Dividiremos la senal de entrada endos ventanas sin solape:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

x[n] 1 1 1 1 0 0 0 0

x1[n] 1 1 0 0 0 0 0 0

x2[n] 0 0 1 1 0 0 0 0

x3[n] 0 0 0 0 0 0 0 0

Los valores en negrita son de los que se calculan las DFT de 3 puntos.Tambien se calcula la DFT de 3 puntos de h[n]. Dichas DFT de 3 puntosson todas las mismas y valen

k 0 1 2

Xi[k], H[k] 2 1 + e−j2π/3 1 + ej2π/3

Calculandoyi[n] = DFT−1H[k]Xi[k]

se obtiene

n 0 1 2

yi[n] 1 2 1

siendo nulo en el resto y con i = 1, 2. Realizando la suma de los distintossegmentos:

n 0 1 2 3 4 5 6 7

y1[n] 1 2 1 0 0 0 0 0

y2[n] 0 0 1 2 1 0 0 0

y3[n] 0 0 0 0 0 0 0 0

SUM 1 2 2 2 1 0 0 0

128 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.10

a) Calcular la Transformada de Fourier de x[n] directamente a partir de ladefinicion. Particularizar para ω = π/2.

x[n] =

1 n = 0a |n| = 10 resto

b) Realizar de nuevo el calculo de la TF en ω = π/2 pero usando unaDFT del tamano mas pequeno posible. Indique claramente el tamanode la DFT, el valor de la DFT que corresponde al valor pedido de laTF, ası como la secuencia de la que se calcula la DFT. El resultadodebera coincidir con el del apartado a).

c) Considere la secuencia:

y[n] =

a n = −11− a n = 0a− 1 n = 1−a n = 20 resto

y[n] puede obtenerse mediante filtrado lineal de x[n]. ¿Cual es la respues-ta al impulso h[n] de dicho filtro?. Indique de que tipo de filtro se trata(FIR/IIR, causal/no-causal, Estable/Inestable, Fase Lineal-No-lineal).

d) Calcule la TF de y[n] en ω = π/2 a partir de los resultados obtenidos enb) y c), ası como tomando directamente DFT de tamano mınimo sobrey[n]. Ambos caminos le deberan llevar al mismo resultado.

PROBLEMA 2.10. 129

Solucion

a) X(ejω) = 1 + 2a cosω. Para ω = π/2 vale X(ejπ/2) = 1

b) El tamano mınimo de la DFT es de 4 puntos, y el valor correspondientea ω = π/2 es k = 1. La secuencia de la que se debe calcular la DFT es larepeticion periodica de x[n] en el intervalo n = 0, . . . , 3 (No habra solapestemporales)

xDFT [n] =

1 n = 0a n = 10 n = 2a n = 3

La DFT vale:

X[k] =

k = 0 1 + 2ak = 1 1k = 2 1− 2ak = 3 1

c) Para determinar h[n] hay dos formas:

Inspeccion.

Calcular Y (z) y X(z) y determinar H(z) = Y (z)/X(z)

En cualquier caso es facil llegar a que

H(z) = 1− z−1

y por lo tanto el filtro es FIR con

h[n] = δ[n]− δ[n− 1]

Al ser FIR, el filtro es estable. Es causal pues h[n] = 0 para n < 0. Es defase lineal pues es FIR y la respuesta impulsional tiene simetrıa impar.

d) Y (ejπ/2) = X(ejπ/2)H(ejπ/2)

H(ejπ/2) = DFT4h[n] |k=1

H[k] =

k = 0 0k = 1 1 + jk = 2 2k = 3 1− j

130 CAPITULO 2. DFT

Por tanto:Y (ejπ/2) = X[1]H[1] = 1 + j

Formando la repeticion periodica de y[n] (no se producen solapes) tene-mos:

yDFT [n] =

1− a n = 0a− 1 n = 1−a n = 2a n = 3

donde no se producen solapes. Calculando la DFT de 4 puntos de estasecuencia y particularizando para k = 1 se obtiene el mismo resultado.

PROBLEMA 2.11. 131

Problema 2.11

Sea x[n] una secuencia de duracion N . Dicha secuencia tiene una DFT quedenotaremos como X[k]. A partir de dicha secuencia se construyen una seriede secuencias de duracion 2N

x1[n] =

x[n] 0 ≤ n ≤ N − 10 N ≤ n ≤ 2N − 1

x2[n] =

x[n] 0 ≤ n ≤ N − 1x[n−N ] N ≤ n ≤ 2N − 1

x3[n] =

x[n] 0 ≤ n ≤ N − 1−x[n−N ] N ≤ n ≤ 2N − 1

Responda a las siguientes cuestiones:

a) ¿Es posible obtener X1[k] a partir de X[k] (sin calcular ninguna DFT)?Si su respuesta es afirmativa indique como. Si es negativa indique claray brevemente por que.

b) ¿Es posible obtener X[k] a partir de X1[k] (sin calcular ninguna DFT)?Si su respuesta es afirmativa indique como. Si es negativa indique claray brevemente por que.

c) ¿Es posible obtener X2[k] a partir de X[k] (sin calcular ninguna DFT)?Si su respuesta es afirmativa indique como. Si es negativa indique claray brevemente por que.

d) ¿Es posible obtener X[k] a partir de X2[k] (sin calcular ninguna DFT)?Si su respuesta es afirmativa indique como. Si es negativa indique claray brevemente por que.

e) ¿Es posible obtener X3[k] a partir de X[k] (sin calcular ninguna DFT)?Si su respuesta es afirmativa indique como. Si es negativa indique claray brevemente por que.

f) ¿Es posible obtener X[k] a partir de X3[k] (sin calcular ninguna DFT)?Si su respuesta es afirmativa indique como. Si es negativa indique claray brevemente por que.

132 CAPITULO 2. DFT

Solucion

La expresion de X[k] es:

X[k] =N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjkn

N

)

a) Para X1[k] tenemos

X1[k] =2N−1∑

n=0

x1[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

=N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

De las expresiones (Problema 2.11) y (a)) puede verse que para k par

X1[k] = X[k/2]

Sin embargo para k impar no existe ninguna relacion entre los valoresde X1[k] y los de X[k]. Por lo tanto NO se puede obtener X1[k] a partirde X[k].

b) Del apartado anterior

X[k] = X1[2k] 0 ≤ k < N

luego SI que se puede obtener X[k] a partir de X[k].

c) Con respecto a X2[k] tenemos:

X2[k] =2N−1∑

n=0

x2[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

=

=N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

+N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjk(n+N)

2N

)

X2[k] =N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

(1 + e−jπk) =

2X[k/2] k par0 k impar

Por lo tanto SI es posible obtener X2[k] a partir de X[k]

d) Tambien es posible obtener X[k] a partir de X2[k]

X[k] = X2[2k]/2

PROBLEMA 2.11. 133

e) Con respecto a X3[k]:

X3[k] =

2N−1∑

n=0

x3[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

=

=N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

−N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjk(n+N)

2N

)

X3[k] =N−1∑

n=0

x[n] exp

(

−2πjkn

2N

)

(1− e−jπk) =

0 k par2X1[k] k impar

Por lo tanto NO puede obtenerse X3[k] a partir de X[k].

f) Tampoco puede obtenerse X[k] a partir de X3[k].

134 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.12

Sea x[n] una secuencia de N muestras (0 ≤ n ≤ N − 1) cuya DFT de Npuntos es X[k]. Calcular en funcion de X[k]:

a) DFT de 2N puntos de:

y1[n] =

x[n/2] n par0 n impar

0 ≤ n ≤ 2N − 1

b) DFT de N puntos de:

y2[n] = x[N − n− 1] 0 ≤ n ≤ N − 1

c) DFT de N puntos de:

y3[n] = x[n] cos2πk0N

n 0 ≤ n ≤ N − 1

d) DFT de 2N puntos de:

y4[n] =

x[n] 0 ≤ n ≤ N − 1x[n−N ] N ≤ n ≤ 2N − 1

Solucion

a)

Y1[k] =∑

n parx[n/2]e−j 2π

2Nnk =

Y1[k] =N−1∑

m=0

x[m]e−j 2πN

mk = X[((k))N ] 0 ≤ k ≤ 2N − 1

b)

Y2[k] =N−1∑

n=0

x[N − n− 1]e−j 2πN

nk =

PROBLEMA 2.12. 135

haciendo el cambio m = N − n− 1:

=

N−1∑

m=0

x[m]e−j 2πN

(N−m−1)k =

= ej2πN

k

[

N−1∑

m=0

x[m]ej2πN

mk

]

= ej2πN

kX[((−k))N ] 0 ≤ k ≤ N − 1

c)

Y3[k] =1

2[X[((k − k0))N ] +X[((k + k0))N ]]

d)

y4[n] =N−1∑

n=0

x[n]e−j 2π2N

kn +2N−1∑

n=N

x[n−N ]e−j 2π2N

kn

haciendo el cambio m = n−N en el segundo sumando:

Y4[k] =N−1∑

n=0

x[n]e−j 2π2N

kn +N−1∑

m=0

x[m]e−j 2π2N

k(m+N)

Y4[k] =N−1∑

n=0

x[n]e−j 2πN

k2n[

1 + e−jπk]

=

= Y4[k] =

2X[k/2] k par0 k impar

0 ≤ k ≤ 2N − 1

136 CAPITULO 2. DFT

Problema 2.13

Sea x[n] una secuencia de la forma

x[n] =

∞∑

l=0

pl[n− lN ]

siendo pl[n] un conjunto de senales de M muestras (M < N)

pl[n] =

6= 0, 0 ≤ n < M= 0, resto

Se quiere filtrar x[n] con un filtro FIR cuya repuesta impulsiva h[n] es deduracion igual a 16 muestras (h[n] 6= 0, 0 ≤ n ≤ 15). Para realizar el filtradose pretende utilizar un esquema basado en la DFT, para lo cual se cuenta conun rutina FFT que calcula la DFT de secuencias cuya longitud es potenciaentera de 2. El esquema de filtrado se basa en segmentar la senal de entradaen trozos xl[n] de N muestras, filtrarlos individualmente (obteniendo yl[n]) yfinalmente unir los trozos filtrados para formar la secuencia de salida y[n]:

y[lN + n] = yl[n], n = 0, 1, · · · , N − 1

a) Suponga que N = 60 y M = 40. Proponga el algoritmo para realizar elfiltrado con el menor numero de operaciones.

b) ¿Cual es la maxima longitud del filtro que permite realizar el filtradoutilizando el algoritmo descrito en el apartado anterior sin incrementarel numero de operaciones?

c) Sin modificar el tamano de la DFT empleada, modifique el algoritmopara que el tamano del filtro pueda ser mayor.

d) Suponga que utiliza el algoritmo del apartado (a) y que la longitud delfiltro es de 23 muestras. ¿Que muestras de y[n] son erroneas?

PROBLEMA 2.13. 137

Solucion

a) La secuencia filtrada y[n] es

y[n] = x[n] ∗ h[n] =(

∞∑

l=0

xl[n− lN ]

)

∗ h[n] =∞∑

l=0

yl[n− lN ]

donde yl[n] es el resultado de filtrar el l-esimo bloque de longitud N dela senal

yl[n] = xl[n] ∗ h[n]

Observe que si la duracion de los bloques yl[n] es menor o igual que N ,entonces

y[lN + n] = yl[n], n = 0, 1, · · · , N − 1

tal y como propone el enunciado. Observe ademas que los bloques de lasenal de entrada xl[n] son

xl[n] =

pl[n], 0 ≤ n ≤ 390, 40 ≤ n ≤ 59

Si debemos implementar la convolucion utilizando la DFT, hay que ase-gurar que la longitud de la DFT sea mayor o igual que

durpl[n]+ durh[n] − 1 = 40 + 16− 1 = 55

y como la rutina FFT disponible solo admite potencias enteras de dos,la longitud de la DFT sera de 64 muestras. Notese que como la longitudde los bloques filtrados yl[n] es menor que N , la secuencia de salida sepuede formar copiando directamente dichos bloques en la secuencia desalida y[n], tal y como propone el problema.

Por tanto el algoritmo es el siguiente:

1.- Rellena h[n] con ceros hasta que su duracion sea 64 y calcula suDFT(H[k] = DFT64(h[n]))

2.- Repite hasta que se acabe la senal de entrada

138 CAPITULO 2. DFT

1) Extrae el bloque l-esimo de x[n]

xl[n] = x[lN + n], n = 0, ..., 60

y rellena con ceros hasta que tenga 64 muestras.

2) Calcula su DFT, Xl[k] = DFT64(xl[n]).

3) Obten la DFT del bloque filtrado, Yl[k] = Xl[k]H[k].

4) Aplica la DFT inversa, yl[n] = DFT−164 Yl[k].

5) Inserta el bloque filtrado yl[n] en y[n]:

y[lN + n] = yl[n], n = 0, 1, · · · , 59

b) Si utilizamos el algoritmo anterior, donde los bloques filtrados se insertanen la secuencia de salida y[lN +n] = yl[n], la duracion de la convolucionno puede ser mayor de 60 muestras, para que no se recorten las muestrasfinales, de forma que

60 = 40 + durh[n] − 1

por tanto el filtro puede tener como maximo 21 muestras.

c) Si en cambio modificamos la ultima linea del algoritmo propuesto deforma que

y[n] =∞∑

l=0

yl[n− lN ]

entonces la limitacion vendrıa dada por el tamano de la DFT

64 = 40 + durh[n] − 1

en cuyo caso la duracion del filtro puede ser de hasta 25 muestras.

d) Como el filtro solo puede tener como maximo 21 muestras, las dos pri-meras muestras de cada bloque seran erroneas y por tanto sus posicionesseran

60k + i, i = 0, 1; k = 0, 1, 2, . . .

PROBLEMA 2.14. 139

Problema 2.14

Este problema trata sobre la tecnica de modulacion digital conocida comoOFDM. Esta tecnica es especialmente indicada en el caso de propagacion mul-titrayecto, y para poder llevar a cabo lo que se conocen como Single FrequencyNetworks, consistentes en el uso de una misma frecuencia para cubrir todo unterritorio con distintos transmisores sıncronos.

El fundamento de estos metodos consiste en hacer que una convolucionlineal se comporte como una convolucion circular, para realizar la ecualizaciondel canal mediante DFTs. El presente problema estudia como.

DFT−14 Prefijo h[n] Selec. DFT4 ??- - - - - - -

X[k]

k = 0, . . . , 3

x[n] xe[n]y[n]

z[n] Z[k]

X[k]

k = 0, . . . , 3Transmisor Canal Receptor

La figura resume los procedimientos del transmisor y el receptor. Supon-gamos que los sımbolos a transmitir (N = 4) en un instante determinado son:

k X[k]

0 11 12 j3 -1

Cuadro 2.1: Valores a transmitir.

a) Calcule:x[n] = DFT−1

4 (X[k]) 0 ≤ n ≤ N − 1

b) La senal transmitida, xe[n], se forma anteponiendo un prefijo a la ante-rior senal de la siguiente forma:

xe[n] =

x[n] 0 ≤ n ≤ 3x[n+ 4] −2 ≤ n ≤ −1

0 resto

La senal xe[n] es la que se entrega al canal y se transmite. Determinedicha senal.

140 CAPITULO 2. DFT

Supongamos que el canal se puede modelar como:

h[n] = δ[n] + aδ[n− 1]

donde el segundo termino representa el multitrayecto.

c) Calcule la senal recibida y[n] = xe[n] ∗ h[n] ∀n. Esta es la senal que serecibirıa en el receptor en presencia de multitrayecto.

d) Calcule la convolucion circular z[n] = x[n] ➃ h[n] 0 ≤ n ≤ 3

e) Indique que valores de y[n] corresponden a z[n]. Observe que el bloque

llamado Selec. lo que hace es seleccionar de entre las muestras de y[n],aquellas que son iguales a z[n].

f) Llamando Z[k] = DFT4 (z[n]), indique un procedimiento para recuperarlos sımbolos transmitidos X[k] a partir de Z[k].

g) Realizando los calculos propuestos en el apartado anterior, determine elvalor de los sımbolos recuperados X[k] para k = 0 y k = 1.

Solucion

a) La formula para calcular x[n] es:

x[n] =1

4

3∑

k=0

X[k] ej2π4kn

Por tanto, y dado que ej2π4 = j

x[0] =1

4(X[0] +X[1] +X[2] +X[3]) =

1

4(1 + j)

x[1] =1

4

(

X[0] +X[1] j +X[2] j2 +X[3] j3)

=1

4(1 + j)

x[2] =1

4

(

X[0] +X[1] j2 +X[2] j4 +X[3] j6)

=1

4(1 + j)

x[3] =1

4

(

X[0] +X[1] j3 +X[2] j6 +X[3] j9)

=1

4(1− 3j)

PROBLEMA 2.14. 141

b) La senal xe[n] vale:

n -2 -1 0 1 2 3

xe[n] (1 + j) /4 (1− 3j) /4 (1 + j) /4 (1 + j) /4 (1 + j) /4 (1− 3j) /4

siendo nulos el resto de los valores.

c) La convolucion lineal se calcula con la formula

y[n] =∞∑

k=−∞

h[k]xe[n− k] =1∑

k=0

h[k]xe[n− k] = xe[n] + axe[n− 1]

Por tanto:

n y[n]

. . . 0-3 xe[−3] + axe[−4] = 0

-2 xe[−2] + axe[−3] = (1 + j) /4

-1 xe[−1] + axe[0] = (1− 3j) /4 + a (1 + j) /4

0 xe[0] + axe[−1] = (1 + j) /4 + a (1− 3j) /4

1 xe[1] + axe[0] = (1 + j) /4 + a (1 + j) /4

2 xe[2] + axe[1] = (1 + j) /4 + a (1 + j) /4

3 xe[3] + axe[2] = (1− 3j) /4 + a (1 + j) /4

4 xe[4] + axe[3] = a (1− 3j) /4

5 xe[5] + axe[4] = 0

. . . 0

142 CAPITULO 2. DFT

d) La convolucion circular vale:

z[n] =3∑

k=0

h[k]x[((n−k))4] =1∑

k=0

h[k]x[((n−k))4] = x[n]+a x[((n−1))4]

resultando:

n z[n]

0 x[0] + ax[3] = (1 + j) /4 + a (1− 3j) /4

1 x[1] + ax[0] = (1 + j) /4 + a (1 + j) /4

2 x[2] + ax[1] = (1 + j) /4 + a (1 + j) /4

3 x[3] + ax[2] = (1− 3j) /4 + a (1 + j) /4

e) Es facil ver que z[n] = y[n] 0 ≤ n ≤ 3.

f) X[k] = Z[k]/H[k].

g) Para calcular las DFTs usamos la formula:

X[k] =3∑

n=0

x[n] e−j 2π4kn

De ese modo se obtiene:H[0] = 1 + a

H[1] = 1− ajy la DFT4 de Z[k]:

Z[0] = 1 + a

Z[1] = 1− ajobteniendo finalmente

X[0] = Z[0]/H[0] = 1

X[1] = Z[1]/H[1] = 1

PROBLEMA 2.15. 143

Problema 2.15

La DFTN de una secuencia x[n] proporciona N coeficientes espectralesX[k]

X[k] =N−1∑

n=0

x[n] e−j2π knN

a) Indique el numero de productos complejos necesarios para calcular uncoeficiente X[k0] de la DFT.

b) Los algoritmos FFT constituyen una alternativa a la hora de calculareficientemente la DFT. Dibuje el diagrama de flujo de una FFT de 8puntos utilizando el algoritmo de diezmado en el tiempo con mariposasno simplificadas y con salida en orden natural y entrada en bit inverso.

c) Considerando algoritmos de diezmado en el tiempo con mariposas nosimplificadas, ¿Cuantos productos complejos son necesarios para imple-mentar una FFT de N puntos?

En algunas aplicaciones no interesan todos los coeficientes DFT sinounicamente un subconjunto de Nc coeficientes consecutivos (Nc < N).Suponga que tanto N como Nc son potencias enteras de 2. Una soluciones calcular directamente la DFT de los Nc coeficientes de interes. Otraalternativa consiste en calcular la FFT de N puntos de x[n] y seleccionardel resultado los Nc coeficientes de interes.

d) Para el calculo de los Nc coeficientes, ¿bajo que condiciones la utilizacionde la FFT es mas eficiente que calcular directamente los coeficientes atraves de la DFT?

Una tercera alternativa consiste en utilizar una FFT modificada. El al-goritmo consiste en eliminar aquellas ramas del algoritmo FFT que noson necesarias para el calculo de los coeficientes de interes.

e) Suponga que N = 8 y que solo interesan dos coeficientes: X[4] y X[5].Redibuje el algoritmo de diezmado en el tiempo con N = 8 eliminandoen cada etapa aquellas ramas innecesarias para obtener los coeficientesde interes ¿Cual es el numero de productos complejos necesarios en este

144 CAPITULO 2. DFT

caso? ¿La FFT modificada es mas eficiente que la DFT y la FFT con-vencional?

f) Considere ahora que la secuencia original tiene en general N muestras(N = 2γ) y que se quieren calcular unicamente los coeficientes X[4] yX[5].

Obtenga en funcion de N el numero de productos complejos nece-sarios para calcular X[4] y X[5].

El numero de productos complejos, ¿aumenta con N?

La FFT modificada, ¿es siempre mas eficiente que la DFT? ¿y quela FFT convencional?

PROBLEMA 2.15. 145

Solucion

a) Cada coeficiente DFT implica el computo de N productos complejos.

b) El diagrama de flujo de diezmado en el tiempo con mariposas no simpli-ficadas es

-

-

-

-

-

-

-

-

1

1

1

1

q

q

q

q

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

R

R

R

R

R

R

R

R

x[7]

x[3]

x[5]

x[1]

x[6]

x[2]

x[4]

x[0]

X[7]

X[6]

X[5]

X[4]

X[3]

X[2]

X[1]

X[0]

W 7N

W 6N

W 5N

W 4N

W 3N

W 2N

W 1N

W 0N

W 6N

W 4N

W 2N

W 0N

W 6N

W 4N

W 2N

W 0N

W 4N

W 4N

W 4N

W 4N

W 0N

W 0N

W 0N

W 0N

c) El numero de productos complejos en el caso de una FFT es N log2N .

d) Para calcular los Nc coeficientes utilizando la DFT es necesario calcularN Nc productos complejos. Por tanto, la FFT unicamente sera ventajosacuando

N log2N < N Nc

esto es, cuandolog2N < Nc

e) El diagrama de flujo simplificado es

146 CAPITULO 2. DFT

-

-

-

-

-

-

-

-

1

1

1

1

q

q

q

q

-

-

-

-

-

-

R

R

x[7]

x[3]

x[5]

x[1]

x[6]

x[2]

x[4]

x[0]

X[5]

X[4]

W 5N

W 4N

W 2N

W 0N

W 2N

W 0N

W 4N

W 4N

W 4N

W 4N

W 0N

W 0N

W 0N

W 0N

El numero de productos complejos es

Nc + 2Nc + 4Nc = 14

que es menor que el numero de productos que requiere la DFT (16) yFFT convencional (24).

f) La primera etapa tendra N productos, la segunda tendra N/2 produc-tos, la tercera N/4 productos, hasta que finalmente la ultima tendra 2productos con lo que, el numero total de productos es

2 + 4 + 8 + · · ·+ N

4+N

2+N =

2− 2N

1− 2= 2N − 2

El numero de productos complejos es directamente proporcional a N ycomo

2N − 2 <N log2N

2N

el coste de la FFT modificada es siempre menor que el de la FFT y elde la DFT.

PROBLEMA 2.16. 147

Problema 2.16

Se va a filtrar linealmente una secuencia real de 15700 puntos con un filtroFIR de 100 puntos. Dicho filtrado se va a realizar utilizando DFT y DFTinversa de longitud 256.

a) Si se utiliza el metodo de solape y suma, ¿cual es el mınimo numero deDFT y DFT inversas de 256 puntos que hay que realizar para filtrar lasecuencia de 15700 puntos? Justifique su respuesta.

b) Si se utiliza el metodo de solape y almacenamiento, ¿cual es el mınimonumero de DFT y DFT inversas de 256 puntos que hay que realizar parafiltrar la secuencia de 15700 puntos? Justifique su respuesta.

Solucion

a) En el metodo de solape-suma la senal se divide en segmentos de longitudL no solapados. Cada segmento se filtra, rellenando previamente conceros tanto cada trozo de senal como la respuesta del filtro hasta N =L + P − 1 siendo P la duracion de la respuesta del filtro. Este rellenose hace para que la convolucion circular coincida con la lineal, y de estaforma podamos utilizar la DFT para realizar el filtrado. Ası pues, siL+ P − 1 sera el tamano de las DFTs:

N = L+ P − 1 = 256

L = 256− 100 + 1 = 157

por lo que la secuencia sera dividida en 15700/157 = 100 trozos

Por tanto, para implementar este metodo habra que hacer 100 DFT256

(senal)+ 1 DFT256 (filtro)+ 100 IDFT256

b) En el metodo de solape-almacenamiento la senal se divide en segmentosde longitud L solapados entre sı P-1 muestras. Las DFTs ahora se hacende tamano L, por tanto L = 256. La secuencia se dividira en 15700/157trozos de tamano L solapados P − 1:

148 CAPITULO 2. DFT

Las DFTs necesarias, seran las mismas que en el caso anterior:

100 DFT256 (senal)+ 1 DFT256 (filtro)+ 100 IDFT256. La siguientetabla detalla las muestras involucradas en cada DFT

DFT numero Muestras entrada Muestras salida

00–156

con 99 ceros delante 0–156

1 58-313 157-313...

......

k -99+157 k ↔ 156+157 k 157 k ↔ 156+157 k...

......

99 15444–15699 15543–15699

Capıtulo 3

Filtros digitales

Problema 3.1

Indicar la secuencia de operaciones a emplear para programar el buclefundamental que permita calcular una muestra de la salida del grafo de lafigura 3.1 cada vez que llega una de entrada.

REPEAT IN(X)%Leer muestra de entrada????????????????????????OUT(Y)%Sacar muestra de salida

- - - - - -

I

I

?

x[n] y[n]

z−1z−1

1/4

−1/4

3/8

−3/8

Figura 3.1: Grafo del filtro.

149

150 CAPITULO 3. FILTROS DIGITALES

Solucion

Nombrando los nodos tal y como se muestra en la figura 3.2, el programaes el siguiente

- - - - - -

I

I

?

x[n] y[n]

z−1z−1

V2

V1 V3

1/4

−1/4

3/8

−3/8

Figura 3.2: Grafo del filtro con variables en los nodos.

REPEAT IN(X)V2=X+1/4*V1V3=YY=V2+3/8*V3V1=V3-3/8*YOUT(Y)

PROBLEMA 3.2. 151

Problema 3.2

Considere el filtro digital cuya estructura se representa en la figura 3.3.

- -

?

?

?

-

6

6

6

x[n]

y[n]

z−1

z−1

b

b

a−a

Figura 3.3: Grafo del filtro.

a) Determine H(z).

b) Condicion que deben cumplir a y b para que el filtro sea estable.

c) Frecuencia a la que |H(ejω)| presenta un maximo.

d) Dibuje el grafo que implementa un filtro equivalente al de la figura peroen forma directa II.

e) Para el filtro de la figura y suponiendo que se emplee un DSP con acu-mulador de simple ancho de B bits en complemento a 2 y con redondeo,dibuje el modelo con fuentes de ruido que modelen el redondeo en loscalculos. Agrupe estas fuentes lo maximo posible e indique la varianzade cada una de las fuentes de ruido que incluya.

f) Para cada una de las fuentes determine cuanto vale la funcion de trans-ferencia Hiy(z) entre el nodo i donde esta situada y la salida y.

g) Indique que interes tienen estructuras de filtros digitales como la delproblema.


Solucion

a) Numerando los nodos del filtro segun la figura 3.4:

- -

?

?

?

-

6

6

6

x[n]

y[n]

z−1

z−1

1 2

3

4

5

b

b

a−a

Figura 3.4: Grafo del filtro con variables en los nodos.

se pueden establecer las siguientes relaciones:

V5(z) = z−1 Y (z)

V1(z) = X(z)− a V5(z) = X(z)− a z−1 Y (z)

V2(z) = b V3(z) + V1(z) = bV3(z) +X(z)− a z−1 Y (z)

V3(z) = z−1 V2(z) = b z−1 V3(z) + z−1X(z)− a z−2 Y (z)

V3(z) =z−1X(z)− az−2Y (z)

1− bz−1

Y (z) = a V3(z) + b z−1 Y (z)

= az−1X(z)− az−2Y (z)

1− bz−1+ b z−1 Y (z)

y por tanto, la funcion de transferencia es

H(z) =Y (z)

X(z)=

a z−1

1− 2bz−1 + (a2 + b2)z−2

PROBLEMA 3.2. 153

b) Para que el filtro sea estable debe tener todos sus polos dentro de lacircunferencia unidad. Los polos son las raıces de la ecuacion

z−2 − 2 b z + (a2 + b2) = 0

resultando serzp = b± j a

Por lo tanto la condicion pedida es

(a2 + b2) < 1

c) El modulo de H(ejω) presentara un maximo local en la frecuencia co-rrespondiente al argumento de los polos

fmax =1

2πarctan

a

b

d) El diagrama de flujo es

- -

?

?

I

K

-x[n] y[n]

z−1

z−1

a2b

−(a2 + b2)

Figura 3.5: Diagrama de flujo en forma directa II.

e) Las fuentes de ruido de cuantificacion aparecen tras los multiplicadores,y por tanto aparecen en los lugares mostrados en la figura 3.6.


- -

?

?

?

-

6

6

6

x[n]

y[n]

z−1

z−1

j

b

b

a−a

N1

N2

N3N4

Figura 3.6: Fuentes de ruido.

con

σ2N1= σ2N2

= σ2N3= σ2N4

=(2−B)2

3

Tras agrupar las fuentes de ruido se obtiene el grafo de la figura 3.7.

- -

?

?

?

-

6

6

6

x[n]

y[n]

z−1

z−1

b

b

a−a

NA = N1 +N2

NB = N3 +N4

Figura 3.7: Grafo tras agrupas las fuentes de ruido.

PROBLEMA 3.2. 155

con:

σ2A = σ2B =(2−B)2

3· 2

f) La fuente de ruido NA es como si estuviera en el nodo de la entrada ypor lo tanto

HAy(z) =a z−1

1− 2bz−1 + (a2 + b2)z−2

Para la fuente NB tenemos el diagrama de flujo de la figura 3.8.

- - - -

?

?

?6

K

6

NB y[n]

z−1

z−1

b

b

−aa

Figura 3.8: Estructura para determinar HBy(z).

Analizando la relacion entrada-salida, de modo analogo a lo hecho en elapartado a se obtiene

HBy(z) =1− b z−1

1− 2bz−1 + (a2 + b2)z−2

g) Estas estructuras, denominadas formas acopladas, tienen interes paralograr mallas de polos uniformemente distribuidas en el plano z.


Problema 3.3

Considere el filtro discreto cuya estructura se muestra en la figura 3.9.

- - - -

?

- -

I

z−1

z−1

a1

a1

a2

−a2

x[n] y[n]

Figura 3.9: Diagrama de flujo del filtro discreto.

a) Determine su funcion de transferencia H(z) entre la entrada y la salida.

b) Determine los polos del sistema en funcion de a1 y a2. Suponiendo quelos coeficientes a1 y a2 tienen un valor maximo de 1 y que se almacenancuantificados con 3 bits (8 niveles equiespaciados), dibujar la rejilla delos polos alcanzables al dar valores a a1 y a2.

c) Si se utiliza un DSP con MAC de simple ancho (B bits), dibujar unesquema que muestre las fuentes de ruido de cuantificacion debidas a loserrores de redondeo en los calculos (sin agruparlas). Considerando lasfuentes de ruido como procesos aleatorios discretos, y con las hipotesishabituales, indique para cada una de ellas:

Densidad Espectral de Potencia

Valor Medio

Varianza

d) Agrupe ahora las fuentes de ruido tanto como sea posible para que elcalculo de la potencia de ruido a la salida del filtro sea correcto. Deter-mine para cada fuente los parametros del apartado anterior.

e) Determine la funcion de transferencia desde cada fuente de ruido delapartado anterior hasta la salida. Indique como determinarıa la potenciade ruido por redondeo en los calculos a partir de lo ya hecho en losapartados anteriores.

PROBLEMA 3.3. 157

f) Si la senal de prueba del filtro digital fuese un tono x[n] = A cos(ω0 n),determine la potencia de senal a la salida del filtro.

g) Indique como se calcularıa el valor maximo de la amplitud del tono deentrada para que no se produjese overflow en ningun nodo.

Solucion

a) La funcion de transferencia es

H(z) = z−1 1 + (a2 − a1) z−1

1− 2a1z−1 + (a21 + a22) z−2

b) Los polos son las raıces del denominador:

z = a1 ± j a2

La malla de polos se obtiene cuantificando uniformemente a1 y a2 ob-teniendose una rejilla rectangular como se muestra en la siguiente figu-ra 3.10.

Im

1 Re

-j

-1

j

Figura 3.10: Rejilla de potenciales polos.


- - - -

?

- -

I

R

j

z−1

z−1

a1

a1

a2

−a2

e1

e2e3

e4

x[n] y[n]

Figura 3.11: Fuentes de ruido.

c) Las fuentes de ruido que tenemos se muestran en la figura 3.11.

Todas las fuentes tienen las mismas propiedades estadısticas:

ei = 0 σ2i =2−2B

3DEP = σ2i

La Densidad Espectral de Potencia es una constante de valor igual a lavarianza por ser ruido blanco discreto.

d) Agrupando las fuentes obtenemos unicamente dos fuentes de ruido tal ycomo se muestra en la figura 3.12.

- - - -

?

- -

I

R

z−1

z−1

a1

a1

a2

−a2

eA

eB

x[n] y[n]

Figura 3.12: Fuentes de ruido tras la agrupacion.

Todas las fuentes tienen las mismas propiedades estadısticas

ei = 0 σ2A = σ2B =2−2B

3DEPA = DEPB = σ2A

PROBLEMA 3.3. 159

e) Las funciones de transferencia son

HAY (z) =z−1(1− a1 z−1)

1− 2a1z−1 + (a21 + a22) z−2

HBY (z) =a2 z

−2

1− 2a1z−1 + (a21 + a22) z−2

Para determinar la potencia de error se obtienen primero hay[n] y hby[n](numericamente o analıticamente). A continuacion calcularıa

∑ |h[n]|2para cada una de las respuestas impulsionales, y tras ello

NT = σ2A∑

n

|hay[n]|2 + σ2B∑

n

|hby[n]|2

f) Si la entrada es un coseno de amplitud A, la salida es un coseno deamplitud A |H(ejω0)| siendo ω0 la pulsacion del coseno y H la funcionde transferencia del apartado a. Por lo tanto la potencia de salida sera:

S0 =

(

A |H(ejω0)|)2

2

g) En primer lugar se identifican los nodos crıticos (mostrados en la figura).A continuacion se determinan las funciones de transferencia desde laentrada a cada uno de los nodos crıticos (figura 3.13).

- - - -

?

- -

I

z−1

z−1

a1

a1

a2

−a2

x[n] y[n]

Figura 3.13: Nodos crıticos en los que hay que comprobar la saturacion.

Finalmente la amplitud maxima, como la entrada es un tono (en princi-pio de cualquier frecuencia), resulta ser:

Amax ≤1

maxk,ω |Hk(ejω)|


Problema 3.4

Queremos realizar un filtro FIR cuya funcion de transferencia es H(z) =1−0,7 z−1+0,1 z−2 mediante la conexion en cascada de dos secciones de primerorden implementando cada una uno de los ceros del filtro. La realizacion sehara mediante un procesador con acumulador de ancho simple que redondealas operaciones a B bits.

a) Descomponga H(z) en secciones de primer orden de la forma 1 − k z−1

y dibuje el correspondiente diagrama de flujo, indicando las fuentes deruido de redondeo. (El orden de realizacion elıjalo situando en primerlugar los ceros mas alejados del origen)

b) Calcule la Densidad Espectral de Potencia y la funcion de autocorrela-cion del ruido de redondeo a la salida del filtro. Para la realizacion deeste apartado asuma las hipotesis habituales para el modelado de lasfuentes de ruido e indique cuales son esas hipotesis.

c) Para comprobar la validez del modelo de fuentes de ruido aditivas paralos errores de redondeo hemos utilizado el montaje de la figura 3.14, enel que se compara la salida de nuestro filtro con uno de precision infinita,y donde el analizador espectral emplea el metodo de Blackman-Tukeysobre un registro muy largo de la senal de entrada, de modo que sepuede suponer que no existe error en la estima de la autocorrelacion.Suponiendo que el modelo de ruido aditivo sea correcto, indique cualserıa la Densidad Espectral de Potencia que nos indicarıa el analizadorespectral si utilizasemos una ventana rectangular de 3 puntos. Indiqueque ocurre para M arbitraria con M > 3 e impar. ¿Por que M debe serimpar? 1

1Este apartado corresponde al tema de Analisis Espectral.

PROBLEMA 3.4. 161

-

- H(z)

Precision infinita

H(z)

Precision finita

?

6

- AnalizadorBT

Senalerror+

-+ -

Figura 3.14: Montaje para comprobar la validez del modelo de las fuen-tes de ruido aditivas.

Solucion

a) Para descomponer H(z) en secciones de la forma indicada, hay que cal-cular las raıces del polinomio. Haciendo esto resulta

H(z) = (1− 0,5z−1) (1− 0,2z−1)

Por tanto ordenando las secciones de orden 1 como indica el enunciadose obtiene el diagrama de flujo de la figura 3.15.

- - - - -

? ?

? ?x[n] y[n]

e1 e2

−0,5 −0,2z−1 z−1

Figura 3.15: Diagrama de flujo del filtro FIR en cascada mostrandolas fuentes de ruido.


b) Las hipotesis habituales para el modelado del ruido de redondeo en lasoperaciones son:

Independencia entre las distintas fuentes de ruido.

Funcion de densidad de probabilidad uniforme.

Ruido blanco.

Bajo estas hipotesis, el ruido e1 atraviesa la segunda seccion del filtro(es decir es filtrado por la segunda etapa de la cascada), mientras que elruido e2 no lo es. Los ruidos e1 y e2 son ruidos blancos de potencia (yDEP):

Se1(ejω) = Se2(e

jω) =∆2

12=

2−2B

3

donde ∆ es el tamano del escalon de cuantificacion.

c) A la salida del filtro tendre

Sey(ejω) = Se1(e

jω) + Se2(ejω) =

2−2B

3

(

1 + |H2(ejω)|2

)

donde|H2(e

jω)|2 = |1− 0,2 e−jω|2 = 1,04− 0,4 cosω

resultando finalmente

Sey(ejω) =

2−2B

3(2,04− 0,4 cosω)

Para el calculo de la autocorrelacion hay dos posibilidades que obvia-mente tienen que dar el mismo resultado.

La primera serıaR[m] = TF−1Sey(ejω)

y la segunda serıa

R[m] =2−2B

3(δ[m] + h2[m] ∗ h2[−m])

obteniendose por ambos metodos

m -2 -1 0 1 2

R[m]/(2−2B/3) 0 -0.2 2.04 -0.2 0

siendo nula la autocorrelacion para valores distintos de los mostrados.

PROBLEMA 3.4. 163

d) La senal error de la figura es justamente el ruido de redondeo introducidopor los calculos. Suponiendo que la autocorrelacion se estime sin errorel analizador espectral Blakman-Tukey, simplemente truncara la autoco-rrelacion y truncara la TF. Como la autocorrelacion tiene duracion 3 (esdecir, tiene 3 valores no nulos), el truncamiento coincidira con la autoco-rrelacion. Por tanto la TF coincidira con la verdadera DEP hallada en elapartado anterior. Lo mismo sucederıa para M > 3 impar. La razon deque M sea impar es que se ha de tomar una ventana simetrica respectoal origen, para lo cual la duracion debe ser impar.


Problema 3.5

Se desea implementar un filtro discreto cuya H(z) vale:

H(z) =1− z−2

1 + 0,81z−2

para filtrar senales, que se sabe a priori que seran tonos de frecuencia desco-nocida. Se ha decidido que la implementacion del filtro sea mediante la formadirecta II transpuesta. El procesador sobre el que se piensa implementar el fil-tro es de punto fijo, 16 bits de precision y con acumulador del MAC de simpleancho. Se pide:

a) Dibuje el grafo del filtro.

b) Determinar la maxima amplitud de la senal de entrada para que nohaya overflow en ningun nodo del filtro. Si realiza alguna aproximaciono hipotesis indıquela.

c) Calcule el ruido de cuantificacion introducido por redondeos en las ope-raciones a la salida, asumiendo aritmetica en complemento a 2 de puntofijo, y con las hipotesis habituales.

d) Determine la maxima relacion S/N a la salida del filtro, funcionando elfiltro en las condiciones anteriores.

Solucion

a) El diagrama de flujo del filtro pedido es el de la figura 3.16

b) Para determinar en que nodos puede haber overflow, miraremos en aque-llos en que se produzcan sumas. De los nodos en los que se producensumas, solo analizaremos:

El que corresponda a la salida, ya que en la salida nunca podra ha-ber overflow.

El que se vaya a multiplicar.

PROBLEMA 3.5. 165

- - - -

? ?6-1 z−2 -0.81

B C D

A

Figura 3.16: Diagrama de flujo en forma directa II transpuesta delfiltro pedido.

No sera necesario comprobar el nodo si es una suma parcial que nocumpla los anteriores requisitos y estamos empleando complemento ados.

Con dichos criterios el nodo A no habra que analizarlo pues es una

suma parcial, y su valor ni es la salida ni se multiplica. Los nodos B ,

C y D son el mismo por lo que nos bastara comprobarlo en uno de

ellos. Nosotros consideraremos el D (la salida).

Sabiendo que la senal es un tono de frecuencia desconocida, el criteriode no overflow a emplear sera:

Amax =1

max |H(ejω)|

donde el maximo debe extenderse a todas las frecuencias y todos losnodos crıticos ( D unicamente en nuestro caso). Para determinar enque frecuencia se produce el maximo, recordaremos que los polos pro-ducen maximos en el modulo de la respuesta en frecuencia, y los cerosmınimos. Por ello sabiendo que los polos estan en z = ±j0,9 y los cerosen z = ±1, el maximo del modulo de la respuesta en frecuencia estara enω = ±π/2.

Amax =1

max |H(ejπ/2)| =1

10,53

c) El ruido de redondeo es introducido por los multiplicadores. Unicamenteexiste uno: 0,81. El factor −1 no lo es tal, y unicamente implica unaresta en vez de una suma en el nodo A . El diagrama de flujo entre lafuente de ruido y la salida se muestra en la figura 3.17.


- - -

?6z−2 -0.81

B C D

A

nc

Figura 3.17: Diagrama de flujo para determinar el ruido de redondeoa la salida.

En dicha figura la fuente de ruido se ha pasado a traves de los retar-dadores puesto que el ruido es estacionario. La funcion de transferenciadesde la fuente de ruido hasta la salida vale:

H(z) =1

1 + 0,81z−2

La respuesta impulsional desde la fuente de ruido hasta la salida valepues:

h[n] =

(0,9j)n n par, n ≥ 00 resto

Como por hipotesis el ruido es blanco, la potencia de ruido a la salidavale:

Nsal =∆2

12

∞∑

n=−∞

|h[n]|2 = 2−30

12· 2,91

d) La potencia del ruido de redondeo es independiente de la senal. Luegola maxima S/N se producira cuando la amplitud y frecuencia de la senalde entrada hagan que la amplitud sea la maxima de la salida (“1”).Suponiendo que la amplitud este limitada a lo visto en el apartado b), lamaxima S/N se producira cuando la entrada sea de frecuencia ω = π/2.En ese caso la potencia de senal a la salida vale S = 12/2 por lo que laS/N maxima vale:

(S/N)max = 10 log

(

1/22−30

12 · 2,91

)

= 93,45dB

PROBLEMA 3.6. 167

Problema 3.6

Suponga que tenemos un filtro FIR de 5 coeficientes, cuya respuesta im-pulsiva vale:

h[0] = h[4] = 0,1514

h[1] = h[3] = 0,1871

h[2] = 0,2

Resto nulos.

Se pide:

a) Determine la respuesta en frecuencia del filtro.

b) Suponga que a la entrada del filtro,tenemos la suma de:

Un tono de frecuencia 0.05 y amplitud Ai.

Ruido blanco de media nula y potencia σ2i .

Determine el cociente C = SNRo/SNRi donde SNRi es la relacionsenal a ruido a la entrada:

SNRi =A2

i /2

σ2i

y SNRo es la misma relacion a la salida

SNRo =A2

o/2

σ2o

siendo Ai la amplitud del tono a la entrada, Ao la amplitud del tono a lasalida, σ2i la potencia de ruido a la entrada y σ2o la potencia de ruido a lasalida. Notese que dicha relacion, que de algun modo expresa la mejorade la calidad de la senal por el hecho de ser filtrada, no depende ni deAi ni de la potencia de ruido a la entrada.

c) Dibuje la implementacion del filtro mediante una forma directa trans-puesta.


Solucion

a) H(ejω) = (2h[0] cos 2ω + 2h[1] cosω + h[2]) e−j2ω

b) Para la senal como es un tono tenemos:

A20 = A2

i |H(ej2π 0,05)|2

Para el ruido como es blanco tenemos

σ20 = σ2i ·∑

n

|h[n]|2 = σ2i(

h2[2] + 2h2[1] + 2h2[0])

Por lo tanto

SNRI

SNRO=

|H(ej2π 0,05)|2h2[2] + 2h2[1] + 2h2[0]

=0,80092

0,1559= 4,11

c) La forma directa transpuesta de un filtro FIR es:

- - - - -

? ? ? ? ?

- - - - -z−1 z−1 z−1 z−1

h[4] h[3] h[2] h[1] h[0]

PROBLEMA 3.7. 169

Problema 3.7

Considere el filtro digital de la figura.

- - - - -

?

?

?

?

?

?6

6

6

6

6

6

-

-

-

-

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

b0

b1

b2

bN−1

bN

a1

a2

aN−1

aN

x[n] y[n]

a) Indique el nombre del tipo de estructura de la figura. Determine su H(z).

b) Suponiendo que se implementa dicha estructura mediante DSP’s de pun-to fijo con un tamano de palabra de B bits, indique que fuentes de ruidotendrıa tanto en el caso de utilizar acumuladores de doble como de simpleancho.

c) Agrupe las fuentes de ruido anteriores tanto como pueda e indique comocalcularıa con Matlab la potencia de ruido a la salida.

d) Para que no se produzca overflow en ningun nodo, es necesario que laamplitud de entrada sea menor que Amax. Suponiendo que los DSP’sutilizan aritmetica de complemento a 2 indique cuales serıan los nodoscrıticos, e indique suponiendo que tuviera los valores de los coeficientesde numerador y denominador en sendos vectores como calcularıa conMatlab la amplitud maxima de entrada Amax para una senal cualquierade entrada.

e) Indique como determinarıa la amplitud maxima de la senal de entradacon Matlab si supiera que la senal de entrada es un tono de frecuenciadesconocida. ¿Y si conociera la frecuencia?

f) Suponga ahora que el orden es 4. Se piensa en una implementacion encascada. Dibuje el grafo de la forma en cascada.


g) Indique en pseudocodigo cual serıa la secuencia de operaciones a realizarcada vez que llega una nueva muestra en la cascada del punto anterior.No es necesario que tenga en cuenta ninguna optimizacion de codigopara DSP’s.

h) Sobre el grafo de la forma en cascada del punto anterior, indique lasfuentes de ruido de cuantificacion en el caso de utilizar DSP’s con acu-muladores de doble ancho. A la vista de los resultados, ¿Cree justificadoel uso de cascadas desde el punto de vista del ruido de cuantificacion?¿En que casos y para que suele ser interesante el uso de formas en cas-cada?

Solucion

a) La estructura se denomina Forma Directa I. Su funcion de transferenciavale:

H(z) =b0 + b1z

−1 + · · ·+ bNz−N

1− a1z−1 − · · · − aNz−N

b) En el caso de acumuladores de simple ancho tendrıa una fuente de ruidopor cada multiplicador (figura 3.18). Todas las fuentes tienen la mismavarianza σ2, con:

σ2 =(2/2B)2

12

En el caso de acumuladores de doble ancho tendra ruido de redondeocuando escriba en memoria (figura 3.19):

c) En el caso de acumuladores de doble ancho solo tenemos una fuente deruido por lo que no hay nada que agrupar.

En el caso de acumuladores de simple ancho las fuentes de ruido sepueden agrupar en una unica fuente situada donde indica la figura 3.19y con una varianza σ2T = (2N + 1)σ2.

Para calcular con Matlab la potencia de ruido a la salida, primero debohallar la respuesta impulsiva desde el nodo donde se introduce el ruidohasta la salida:

x=[1; zeros(999,1)];

h=filter(1,A,x); %A=[1, -a1, ..., -aN]

PROBLEMA 3.7. 171

- - - - -

?

?

?

?

?

?6

6

6

6

6

6

-

-

-

-

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

b0

b1

b2

bN−1

bN

a1

a2

aN−1

aN

x[n] y[n]

Y

Y

Y

Y

Y

j

j

j

j

Figura 3.18: Fuentes de ruido en implementacion de simple ancho deacumulador.

- - - - -

?

?

?

?

?

?6

6

6

6

6

6

-

-

-

-

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

z−1

b0

b1

b2

bN−1

bN

a1

a2

aN−1

aN

x[n] y[n]*

Figura 3.19: Fuentes de ruido en implementacion de doble ancho anchode acumulador. La fuente tiene una varianza σ2.


En este punto habrıamos de comprobar que la respuesta impulsiva espracticamente cero para n = 999. sigma2 contiene la varianza de launica fuente que tenemos. Para el caso de acumuladores de simple anchotendremos que sigma2 = σ2T y en los de doble ancho sigma2 = σ2.

PotRui= sigma2*sum (h.*h);

d) El unico nodo crıtico es la salida. Para determinar la amplitud maximacon Matlab para una entrada arbitraria:

x=[1; zeros(999,1)];

h=filter(B,A,x); %A=[1, -a1, ..., -aN]

Amax=1/sum(abs(h));

e) Si suponemos que la entrada es un tono de frecuencia desconocida, hayque determinar el maximo del modulo de la respuesta en frecuencia:

H=abs(freqz(B,A,512));

Amax=1/max(H);

Si conocieramos la frecuencia del tono f0, hay que determinar lo que valela respuesta en frecuencia del filtro a esa frecuencia;

fas=exp(-j*2*pi*fo);

Binv=B(length(B):-1:1);

Ainv=A(length(A):-1:1);

Num=polyval(Binv,fas);

Den=polyval(Ainv,fas);

Amax=abs(Den/Num);

f) La forma en cascada se muestra en la figura 3.20

- - - - - --

- -

- -

6 6

6 66 6

6 6

? ?

? ?

z−1 z−1

z−1 z−1

b10

b11

b12

b20

b21

b22a12

a11 a21

a22

Figura 3.20: Forma en cascada.

PROBLEMA 3.7. 173

g) Denominando a las variables de los nodos como muestra la figura 3.21,el programa serıa:

- - - - - --

- -

- -

6 6

6 66 6

6 6

? ?

? ?

z−1 z−1

z−1 z−1

V10

V11

V12

V20

V21

V22

X

X2

Y

Figura 3.21: Forma en cascada. Asignacion de nodos a variables

X=INPUT;

V12=V11;

V11=V10;

V10=X+ A11*V11+ A12*V12;

X2= B10*V10 + B11*V11+ B12*V12;

V22=V21;

V21=V20;

V20=X2+ A21*V21+ A22*V22;

Y= B20*V20 + B21*V21+ B22*V22;

OUT(Y)

h) Las fuentes de ruido en el caso de la forma en cascada de orden 4 conDSP’s de acumuladores de doble ancho son las mostradas en la figu-ra 3.22. σ2 corresponde a la varianza producida por un redondeo.

A la vista de la figura 3.22 la conclusion que se puede sacar es queprobablemente2, al tener tres fuentes de ruido, la potencia del ruido deredondeo a la salida en la forma cascada sera mayor que en la formadirecta.

Las formas en cascada se utilizan normalmente cuando se tienen mu-chos polos proximos para prevenir los efectos de la cuantificacion de loscoeficientes.

2Dependiendo del valor de los coeficientes en concreto podrıa no ser cierto.


- - - - - --

- -

- -

6 6

6 66 6

6 6

? ?

? ?

z−1 z−1

z−1 z−1

b10

b11

b12

b20

b21

b22a12

a11 a21

a22

I

σ2 σ2 σ2

Figura 3.22: Fuentes de ruido en forma cascada.

PROBLEMA 3.8. 175

Problema 3.8

Considere el filtro que se muestra en la figura:

- - -2

-

?

?6

6

6

6

0,1

0,25

0,2

0,6

−0,3

z−1

z−1

-

-

x[n] y[n]

a) Determine la funcion de transferencia de dicho filtro.

b) Suponiendo que dicho filtro se va a implementar en un DSP de coma fija,con acumulador de doble ancho y tamano de palabra de 16 bits, deter-mine (justificadamente) las fuentes de ruido de cuantificacion presentesen dicha implementacion.

c) Determine la Densidad Espectral de Potencia del ruido de redondeo pre-sente a la salida del filtro.

d) Indique los pasos a seguir enMatlab para determinar la amplitud maxi-ma de entrada para que no se produzca saturacion en los casos:

Senal de entrada arbitraria.

Senal de entrada de banda estrecha (tono de frecuencia arbitraria).


Solucion

a) La funcion de transferencia vale:

H(z) =0,2 + 0,5 z−1 + 0,4z−2

1− 1,2 z−1 + 0,6 z−2

b) Las fuentes de ruido son:

- - -2

-

?

?6

6

6

6

0,1

0,25

0,2

0,6

−0,3

z−1

z−1

-

-

x[n] y[n] I

n1 n2

cuyas varianzas valen σ21 = σ22 = 2−30/12 = 77,61 10−12

c) Como el ruido n1 esta a la entrada, y el ruido n2 a la salida, la DEP vale

Φn(ejω) = σ22 + σ21

∣

∣

∣

∣

0,2 + 0,5 e−jω + 0,4e−j2ω

1− 1,2 e−jω + 0,6 e−j2ω

∣

∣

∣

∣

2

d) Los nodos crıticos, en los que debemos garantizar que no tenemos satu-racion son:

- - -2

-

?

?6

6

6

6

0,1

0,25

0,2

0,6

−0,3

z−1

z−1

-

-

x[n] y[n]A B

PROBLEMA 3.8. 177

Dado que el valor del nodo A se va a multiplicar por 2, debemos ga-rantizar que en dicho nodo la amplitud maxima no supere 1/2. Para elcaso de senal arbitraria debemos hacer:

MA

∑

n

|hxA[n]| <1

2

MB

∑

n

|h[n]| < 1

seguido deAmax = mın(MA, MB)

Para calcular los sumatorios de las anteriores expresiones, podemos ayu-darnos de Matlab

delta=[1, zeros(1,1000)];

A=[ 1, -1.2, 0.6];

hxA=filter(1, A, delta);

MA=1/2/sum(abs(hxA));

B=[0.2, 0.5, 0.4];

hxB=filter(B, A, delta);

MB=1/sum(abs(hxB));

Amax=min(MA,MB);

En el caso de senal de banda estrecha, lo que debe cumplirse es:

MA ·max |HxA(ejω)| < 1

2

MB ·max |H(ejω)| < 1

seguido deAmax = mın(MA, MB)

La implementacion de estos calculos en Matlab es:

A=[ 1, -1.2, 0.6];

HxA=freqz(1, A, 512);

MA=1/2/max(abs(HxA));

B=[0.2, 0.5, 0.4];

HxB=freqz(B, A, 512);

MB=1/max(abs(HxB));

Amax=min(MA,MB);


Problema 3.9

Considere el siguiente filtro FIR:

h[n] =

0,0935 n = 0−0,3027 n = 1

0,4 n = 2−0,3027 n = 30,0935 n = 4

0 resto

Se pide:

a) Dibuje la implementacion del filtro mediante una forma directa.

b) Realice un programa que permita implementar el filtro en forma directa,suponiendo que dicho programa deba ser ejecutado en un DSP que poseala instruccion MACD (Producto y Acumulacion con desplazamiento).Indique claramente las instrucciones que se corresponderıan con cadainstruccion MACD del DSP.

c) Sobre el dibujo del apartado a), dibuje las fuentes de ruido de redon-deo en las operaciones, agrupadas tanto como sea posible, indicando lapotencia de cada una, tanto para el caso de acumuladores de simpleprecision como de doble. (Suponga tamano de palabra de B bits).

d) Suponga que a la entrada del filtro anteriormente disenado,tenemos lasuma de:

Un tono de frecuencia 0.45 y amplitud Ai.

Ruido blanco de media nula y potencia σ2i .

Se pretende utilizar el filtro para reducir el ruido superpuesto con el tono.Determine el cociente C = SNRo/SNRi donde SNRi es la relacion senala ruido a la entrada:

SNRi =A2

i /2

σ2i

y SNRo es la misma relacion a la salida

SNRo =A2

o/2

σ2o

siendo Ai la amplitud del tono a la entrada, Ao la amplitud del tono ala salida, σ2i la potencia de ruido a la entrada y σ2o la potencia de ruido

PROBLEMA 3.9. 179

a la salida (que incluye tanto el ruido a la entrada filtrado como el ruidode redondeo en las operaciones).

Notese que dicha relacion expresa la mejora de la calidad de la senal porel hecho de ser filtrada. Compruebe que si el numero de bits empleadoes alto se reduce el ruido pero si el numero de bits es pequeno el ruidode la salida podrıa ser mayor que a la entrada.

Solucion

a) El filtro en forma directa tiene la forma de la figura:

- - - - -

- - - - -

? ? ? ? ?

z−1 z−1 z−1 z−1

x[n]

y[n]b0 b1 b2 b3 b4

b) Llamando a los nodos como se muestra en la figura:

- - - - -

- - - - -

? ? ? ? ?z−1 z−1 z−1 z−1

Y

b0 b1 b2 b3 b4

X V1 V2 V3 V4

el programa queda del siguiente modo:


VARS X, Y, V1, V2 ,V3, V4

ESPERAR: IDLEGOTO ESPERAR

INTERR:X=INPUT /* Leer muestra de A/D */Y= B4 V4

Y=Y+B3 V3 /*1a instruccion MACD */V4=V3



Y=Y+B0 X /*4a instruccion MACD */V1=X

OUT (Y) /*Sacar muestra al D/A */RTI /*Retorno de interrupcion*/

c) En el caso de acumuladores de simple ancho tendremos 5 fuentes deruido, una por multiplicador que se pueden agrupar en una unica a lasalida. En el caso de acumuladores de doble ancho tendremos una unicafuente de ruido a la salida.

- - - - -

- - - - -

? ? ? ? ?

z−1 z−1 z−1 z−1

x[n]

y[n]b0 b1 b2 b3 b4

σ2

En el caso de acumuladores de ancho simple σ2 = 52−2B/3. En el casode acumuladores de doble ancho σ2 = 2−2B/3

d) La senal a la salida vale:

Ao = Ai |H(ej2π 0,45)| = Ai 1,127

El ruido a la salida es el ruido de la entrada filtrado mas el ruido debidoa redondeos en las operaciones. Por tanto, y dado que el ruido de laentrada es blanco :

No = Ni

∑

k

|h[k]|2 + σ2 = 0,36Ni + σ2

PROBLEMA 3.9. 181

Por tanto

C =SNRo

SNRi=

1,271

0,36 + σ2/Ni

Si el segundo termino del denominador es pequeno (B es grande) seproduce una reduccion del ruido. Por contra, si tenemos pocos bits σ2/Ni

puede hacerse grande y por tanto hacer que la relacion S/N a la salidasea peor que la de la entrada.


Problema 3.10

Considere el filtro que se muestra en la figura:

- - -

2

-

?

?6

6

6

6

0,2

0,5

0,4

0,6

−0,3

z−1

z−1

-

-

x[n] y[n]

a) Determine la funcion de transferencia de dicho filtro.

b) Suponiendo que dicho filtro se va a implementar en un DSP de coma fija,con acumulador de doble ancho, tamano de palabra de 16 bits, determine(justificadamente) las fuentes de ruido de cuantificacion presentes endicha implementacion.

c) Indique las instrucciones a ejecutar en Matlab para calcular la potenciade ruido de redondeo a la salida.

d) Indique (justificadamente) cuales son los nodos en los que habrıa queprevenir la saturacion, y cual serıa la amplitud maxima en los mismos sise utiliza aritmetica entera en complemento a 2.

e) Indique las instrucciones a ejecutar en Matlab para determinar la am-plitud maxima de entrada para que no se produzca saturacion en ningunnodo en el caso de senal de entrada arbitraria.

Solucion

a) La funcion de transferencia vale:

H(z) =0,2 + 0,5 z−1 + 0,4 z−2

1− 1,2 z−1 + 0,6 z−2

PROBLEMA 3.10. 183

b) Los redondeos se producen cada vez que se pierde precision. En nuestrocaso esto sucede antes de la multiplicacion por 2, pues el resultado delacumulador del MAC debe ser reintroducido como entrada para realizarel producto por 2. Tras el producto por 2 el resultado es de precision sim-ple por lo que no se pierde precision al almacenar en memoria. Tambiense pierde precision en la salida.

- - -

2

-

?

?6

6

6

6

0,2

0,5

0,4

0,6

−0,3

z−1

z−1

-

-

x[n] y[n]

n1

n2

I

c) Antes de ejecutar nada en Matlab es necesario determinar la funcionde transferencia de cada una de las fuentes de ruido hasta la salida:

H1y(z) =0,4 + z−1 + 0,8 z−2

1− 1,2 z−1 + 0,6 z−2

H2y(z) = 1

Lo que hay que calcular con Matlab es:

N =2−32

3

(

∑

n

|h1y|2 +∑

n

|h2y|2)

que se calcularıa como:

sigma2= 2 ˆ (-32)/3;


h1y=filter([0.4, 1, 0.8],[1, -1.2, 0.6], delta);

N=sigma2 * (sum(h1y.*h1y) + 1);

d) Los nodos en los que hay que prevenir la saturacion es muestran en lafigura

- - -

2

-

?

?6

6

6

6

0,2

0,5

0,4

0,6

−0,3

z−1

z−1

-

-

x[n] y[n]

A

B C


y corresponden a la salida y todos aquellos que van a ser multiplicados.La amplitud maxima en cada uno de ellos es:

CA = 1/2 CB = 1 CC = 1

e) Como antes es necesario calcular primero las funciones de transferenciadesde la entrada a cada nodo:

HxB(z) =1

1− 1,2 z−1 + 0,6 z−2

HxA(z) = 0,6 z−1HxB(z)− 0,3 z−2HxB(z) =0,6z−1 − 0,3 z−2

1− 1,2 z−1 + 0,6 z−2

HxC(z) = H(z) =0,2 + 0,5 z−1 + 0,4 z−2

1− 1,2 z−1 + 0,6 z−2

Una vez determinadas las funciones de transferencia, lo que hay quecalcular es:

Anodomax =

Cnodo∑

n

|hx−nodo[n]|

para cada uno de los nodos y finalmente tomar el mınimo de los valoresobtenidos en cada nodo. En Matlab:


hxA=filter([0, 0.6, -0.3],[1, -1.2, 0.6], delta);

hxB=filter([1], [1, -1.2, 0.6], delta);

hxC=filter([0.2, 0.5, 0.4],[1, -1.2, 0.6], delta);

AmaxA=1/2/sum(abs(hxA));

AmaxB=1/sum(abs(hxB));

AmaxC=1/sum(abs(hxC));

Amax=min([AmaxA,AmaxB,AmaxC]);

PROBLEMA 3.11. 185

Problema 3.11

Considere el filtro de la figura 3.23.

-

- - -

-

K

K

a

x[n]

y[n]

z−1z−1

z−1

−1

−1

Figura 3.23: Estructura a analizar.

Se pide:

a) Determinar la funcion de transferencia H(z) del sistema para un valorde a arbitrario. Verifique que si a = 1, entonces H(z) = 1.

b) Dibuje el grafo de un sistema equivalente al dado en la figura 3.23 peroimplementado en forma directa I.

c) Modifique el grafo del apartado anterior, para reducir el numero de pro-ductos a 2.

d) Considerando la estructura de la figura 3.23, y suponiendo acumuladoresde simple ancho y aritmetica en complemento a 2 indique:

Nodos en los que es posible que aparezca saturacion.

Las funciones de transferencia necesarias para determinar la ampli-tud maxima de la entrada para que no haya saturacion en ningunnodo.

Indique como calcular conMatlab la amplitud maxima de entrada.Indique claramente, que funciones utiliza ası como sus argumentosde entrada. Suponga que el filtro va a filtrar senales que son tonosde frecuencia arbitraria. Suponga que |a| < 1.

e) Si el sistema de la figura 3.23 se implementa utilizando un DSP de co-ma fija con acumulador de precision simple, indique donde situarıalas fuentes de ruido de redondeo, ası como la funcion de transferencianecesaria para calcular la potencia de ruido a la salida.


Solucion

a) La funcion de transferencia es:

H(z) =a

1− (a− 1) z−1 − (a− 1) z−2

b) La forma directa I es:

- - -

6

6

?

?z−1

z−1

(a− 1)

(a− 1)

a

c) La forma directa I, modificada para tener unicamente dos productos es:

- - -

6

6

?

?z−1

z−1

(a− 1)

a

Existen, no obstante, otras posibles formas de reducir el numero de pro-ductos a 2.

d) Los nodos crıticos son los mostrados en la figura. El resto de nodos sonsumas parciales, o bien no contienen sumas.

-

- - -

-

K

K

a

x[n]

y[n]

z−1z−1

z−1

−1

−1

AY

PROBLEMA 3.11. 187

Las funciones de transferencia necesarias son:

HXA(z) =1 + z−1 + z−2

1− (a− 1) z−1 − (a− 1) z−2

y para el otro nodo:

HXY (z) = H(z) =a

1− (a− 1) z−1 − (a− 1) z−2

Para determinar la amplitud maxima de la entrada es necesario fijarcual es la amplitud maxima que permitiremos en cada nodo. Dado que|a| < 1 dicha amplitud maxima sera en ambos casos de 1.

Las instrucciones pedidas de Matlab, teniendo en cuenta que la entradason tonos de frecuencia arbitraria seran:

Ha=freqz([1, 1, 1], [1, (1-a), (1-a)]);

Hy=freqz(a, [1, (1-a), (1-a)]);

Ma=max(abs(Ha));

My=max(abs(Hy));

Amax= 1/ max(Ma,My);

e) Habra una unica fuente de ruido situada donde se muestra en la figura:

-

- - -

-

K

K

a

x[n]

y[n]

z−1z−1

z−1

−1

−1

R

N

y la funcion de transferencia necesaria es la que hay entre el nodo de lafuente de ruido y la salida:

HNY (z) =1

1− (a− 1) z−1 − (a− 1) z−2


Problema 3.12

Se pretende amplificar una senal discreta por un factor G = 1,22. Para ellose dispone de un DSP de coma fija de B bits con acumulador de simple anchoy aritmetica en complemento a 2. A la hora de implementar el programa sepiensa en utilizar una de las estructuras, a) y b), de la figura. Determine paraambas estructuras:

- -

- -

x[n]

x[n]

y[n]

y[n]

0,61

0,61

2

2a)

b)

a) Amplitud maxima de entrada, cuando la senal de entrada es arbitrariapara que no se produzca saturacion en ningun punto.

b) Potencia de ruido que produce el redondeo en las operaciones a la salida.

c) Repita los apartados anteriores para el caso de un DSP con MAC dedoble ancho.

Solucion

a) Para determinar la amplitud maxima de entrada para que no exista sa-turacion, primero situaremos sobre ambas estructuras los nodos crıticosy luego calcularemos Amax:

- -2 0,61

Suponiendo el valor para la entrada maximo posible (|x| = 1) para queno haya saturacion en el nodo marcado

Amax = 1/2

PROBLEMA 3.12. 189

- -0,61 2

En este caso, siguiendo el mismo criterio que en el caso anterior:

Amax = 1/1,22

b) Situamos, en primer lugar, las fuentes de ruido de redondeo en las es-tructuras:

- -2 0,61 ?

n

La potencia de ruido a la salida sera:

σ2out = σ2in = 2−2B/3

- -0,61 2?

n

σ2out = 4σ2in = 42−2B/3

c) Para el caso de un DSP con MAC de doble ancho los resultados son losmismos que en los apartados anteriores.


Problema 3.13

La figura 3.24 representa un filtro digital en el que x es el nodo de entradae y el de salida.

x[n]

y[n]−0,7

0,7

z−1 z−10,2 0,2

- -

-

6??

6

Figura 3.24: Estructura del filtro digital.

a) Obtener la funcion de transferencia (H(z)) del filtro.

b) Realizar un programa, en pseudo-codigo, que implemente el filtro con laestructura de la figura 3.24 utilizando un DSP.

c) Si el programa anterior se implementa en un DSP con acumulador dedoble ancho y aritmetica en complemento a 2. Obtenga:

1.- La potencia de ruido a la salida debido al redondeo en las opera-ciones.

2.- La amplitud maxima a la entrada del filtro para que no existasaturacion en ningun punto, suponiendo que la senal de entrada esarbitraria.

En ambos apartados indique, para los calculos que no pueda realizar, lasinstrucciones de Matlab necesarias para resolverlos.

PROBLEMA 3.13. 191

Solucion

a) Situando las variables en los nodos de la estructura tenemos:

X V 0 V 1

V 2 Y Y−0,7

0,7

z−1 z−10,2 0,2

- -

-

6??

6

Figura 3.25: Estructura del filtro digital.

Planteemos ahora las ecuaciones para cada nodo:

V0(z) = X(z) + z−1 V2(z)

V1(z) = 0,7V0(z) + 0,2Y (z)

V2(z) = 0,2V0(z)− 0,7Y (z)

Y (z) = z−1 V1(z)

Sustituyendo la a) en la a) y la a) en la a), resulta:

Y (z) = 0,7 z−1 V0(z) + 0,2Y (z) z−1

V0(z) = X(z) + 0,2 z−1 V0(z)− 0,7Y (z) z−1

de donde despejando V0(z) y sustituyendola en a) se obtiene la H(z):

H(z) =Y (z)

X(z)=

0,7 z−1

1− 0,4z−1 + (0,22 + 0,72) z−2


b) El programa que implementa el filtro de la estructura de la figura 3.25serıa:

VARS: X,Y,V0,V1,V2ESPERAR: IDLE

GOTO ESPERARINTERR: X=INPUT

V0=X+V2Y=V1V1=0.7*V0+0.2*YV2=0.2*V0-0.7*YOUT(Y)RTI

c) A continuacion realizaremos el estudio de los efectos de precision finita:

1.- Si el programa anterior se implementa en un DSP con acumula-dor de doble ancho, las fuentes de ruido de redondeo son las queaparecen en la figura 3.26.

x[n]

nA

6

nB

?

y[n]−0,7

0,7

z−1 z−10,2 0,2

- -

-

6??

6

Figura 3.26: Estructura del filtro digital con fuentes de ruido.

La potencia de ruido a la salida debido al redondeo en las opera-ciones sera:

σ2o = σ2i∑

|hnAy|2 + σ2i∑

|hnBy|2

donde σ2i = 2−2B/3, siendo B el numero de bits del DSP.

La fuente nA podrıa situarse en el nodo de entrada, por lo que∑ |hnAy|2 se puede calcular utilizando las siguientes instruccio-nes de Matlab:

delta=ones(1,31);

h=filter(B,A,delta);

factor=sum(abs(h).* abs(h));

PROBLEMA 3.13. 193

donde B y A son los vectores que contienen los coeficientes delnumerador y el denominador, respectivamente, de la H(z) des-de el nodo donde se introduce el ruido a la salida. Como esequivalente que este nodo nA este en la entrada, la H(z) bus-cada coincide con la total del filtro.

Las instrucciones para calcular∑ |hnBy|2 son las mismas que

en el caso anterior, pero los vectores B y A contienen los coe-ficientes de HnBy(z), funcion que se puede obtener utilizandolas variables situadas en el esquema 3.25, anulando la entraday anadiendo una variable en el nodo donde se genera el ruido.A continuacion planteamos las ecuaciones:

V0(z) = z−1 V2(z)

V1(z) = 0,7V0(z) + 0,2Y (z) +NB(z)

V2(z) = 0,2V0(z)− 0,7Y (z)

Y (z) = z−1 V1(z)

y despejamos Y (z)NB(z)

HnBy(z) =Y (z)

NB(z)=

z−1 − 0,2z−2

1− 0,4z−1 + (0,22 + 0,72) z−2

d) Si se utiliza aritmetica en Ca2, los nodos crıticos son los que aparecenrepresentados en la figura 3.27. Observese que el nodo de la parte inferiorizquierda, donde confluyen la rama de peso -0.7 y la de peso 0.2, y delque sale una rama de peso z−1 es una suma parcial y por lo tanto nodebemos comprobar la saturacion en dicho nodo.

x[n]

y[n]−0,7

0,7

z−1 z−10,2 0,2

- -

-

6??

6

BA

Figura 3.27: Estructura del filtro digital con nodos crıticos.


Para el nodo A, la amplitud maxima de la senal de entrada, suponiendoque x[n] es arbitraria, sera:

MA =1

∑ |hxA|

Para el nodo B, la amplitud maxima es:

MB =1

∑ |hxB|

Para calcular hxA se despeja de las ecuaciones del apartado a) la relacion:

HxA(z) =V0(z)

X(z)=

1− 0,2z−1

1− 0,4z−1 + (0,22 + 0,72) z−2,

y mediante las instrucciones de Matlab siguientes:

delta=ones(1,31);

h=filter(B,A,delta);

factor=sum(abs(h));

donde B y A son los vectores que contienen los coeficientes del numerador y eldenominador, respectivamente, de la HxA(z).

Para el nodo B el proceso es el mismo, y la funcion de transferencia autilizar sera:

HxB(z) =V1(z)

X(z)=

0,7

1− 0,4z−1 + (0,22 + 0,72) z−2,

Ası pues, la amplitud maxima de la senal de entrada sera:

M = min(MA,MB)

Capıtulo 4

Filtrado adaptativo

Problema 4.1

Este problema trata sobre filtros adaptativos cuando las senales a la entra-da son de banda estrecha (tonos). Para ello considere inicialmente el esquemahabitual de un filtro adaptativo de dos coeficientes trabajando como cancela-dor tal y como se muestra en la figura 4.1.

- -

- -

? ?6

?

-

x[n]

d[n]

y[n]

e[n]

w0 w1 −1

z−1

Figura 4.1: Esquema del cancelador.

Suponga que dos senales x[n] y d[n] son las siguientes

x[n] = cos(ω0n+ θ)

d[n] = sen(ω0n+ θ)

siendo θ una variable aleatoria uniforme en el intervalo [−π, π]. Se pide:

195

196 CAPITULO 4. FILTRADO ADAPTATIVO

a) Determine la funcion de autocorrelacion de la senal x[n] y la correlacioncruzada Rdx[m] = Ed[n]x[n−m] = Ed[n+m]x[n].

b) Escriba la ecuacion de la superficie de error en forma matricial, indicandolos valores de los elementos de las matrices que utilice.

c) Determine los pesos optimos y la potencia de la senal error tras la adap-tacion del filtro.

d) Indique que sucede con el valor de los pesos optimos si ω0 es muy pe-queno. Comentelo brevemente, e intente encontrar una explicacion me-diante un diagrama de fasores.

e) Para paliar el problema anterior se modifica el esquema de la figura 4.2del problema del modo mostrado en la figura 4.2. En el se aprecia queen lugar de tener el retardo de una muestra, se incluye un retardo de Mmuestras.

- -

- -

? ?6

? -

x[n]

d[n]

y[n]

e[n]

w0 w1 −1

z−M

Figura 4.2: Modificacion del esquema original del cancelador.

Indique la nueva expresion de la superficie de error en forma matricialindicando los nuevos valores de los elementos de las matrices. Calcule denuevo el vector de pesos optimos ası como la potencia de las senal errortras la adaptacion. Suponga que ω0M = π/2. Comente lo que sucedecomparandolo con el apartado d.

PROBLEMA 4.1. 197

Solucion

a) Las correlaciones son

Rx[m] = Ex[n+m]x[n] = 1

2cos(ω0m)

Rdx[m] = Ed[n]x[n−m] = 1

2sen(ω0m)

b) La superficie de error viene dada por

ξ = Ee2[n] = Ed2[n]+W T RW − 2W T P

donde

R =

[

Rx[0] Rx[1]Rx[1] Rx[0]

]

=

[

1/2 1/2 cos(ω0)1/2 cos(ω0) 1/2

]

P =

[

Rxd[0]Rxd[1]

]

=

[

01/2 sen(ω0)

]

Ed2 =1

2

c) Los pesos optimos los obtenemos a partir de

W ∗ = R−1 P

R−1 =1

det(R)· adjT(R) = 4

sen2(ω0)

[

12 −1

2 cos(ω0)−1

2 cos(ω0)12

]

W ∗ =

− cos(ω0)

sen(ω0)

1

sen(ω0)

Ee2min = Ed2 − P TW ∗ = 0


d) Si ω0 → 0 los pesos se hacen muy grandes. Ello se debe a que si ω0

es pequeno entonces el desfase entre x[n] y x[n − 1] es muy pequeno.Como d[n] esta en cuadratura con x[n], los pesos se hacen entonces muygrandes. El siguiente diagrama fasorial aclara lo anterior.

-

6

-

6

-

?

z

q?

Re

Im

Re

Im

w0 x[n]

w1 x[n− 1]

d[n]

d[n]

x[n]

x[n− 1]

e) La ecuacion de error es la misma que en el apartado 2 pero ahora lasmatrices son

R =

[

Rx[0] Rx[M ]Rx[M ] Rx[0]

]

=

[

1/2 1/2 cos(ω0M)1/2 cos(ω0M) 1/2

]

P =

[

Rxd[0]Rxd[1]

]

=

[

01/2 sen(ω0M)

]

Ed2 =1

2

PROBLEMA 4.1. 199

Calculando los pesos optimos:

W ∗ =

− cos(ω0M)

sen(ω0M)

1

sen(ω0M)

que cuando ω0M = π/2 resulta

W ∗ =

[

01

]

y la potencia de la senal error es

Ee2mın = Ed2 − P T ·W ∗ = 0

En este caso, el retardo de M muestras causa un desfase de π/2 entrex[n] y x[n −M ] (senales que son afectadas por los pesos w0 y w1 res-pectivamente). Ello hace que para cancelar la senal d[n] (en cuadraturacon x[n] pero en fase con x[n−M ]) no sean necesarios valores de pesosmuy grandes.


Problema 4.2

La siguiente secuencia de numeros es un fragmento de una serie de datosnaturales

n 0 1 2

x[n] 2,3299 1,2537 -1,9526

Mediante analisis de un fragmento muy largo de dichos datos se ha estimadola autocorrelacion de dicha senal, obteniendose

n 0 1 2 3

R[m] 21,5638 0,0697 -19,18 -0,3832

Resultarıa interesante ser capaz de predecir muestras futuras de la senal. Paraello se piensa utilizar un predictor lineal FIR de dos coeficientes como el de lafigura 4.3.

- -

- -

? ?

x[n]

y[n] = x[n+ 1]

w0 w1

z−1

Figura 4.3: Predictor lineal de dos coeficientes.

de modo que el error cuadratico medio de prediccion sea mınimo.

a) Determine el valor optimo de los coeficientes W0 y W1.

b) Utilizando los valores del apartado anterior determine cuanto vale x[2](valor predicho para el instante 2 en funcion de los valores del instante 1 y0). Compare el resultado con x[2], esto es, el valor que toma la secuenciaen dicho instante.

c) Suponiendo que la senal x[n] sea un proceso aleatorio AR(2), es decir quela senal se ajuste a dicho modelo, determine la expresion de su densidadespectral de potencia.

d) Determine y dibuje la densidad espectral de potencia de la senal errorde prediccion (x[n]− x[n]) del apartado a, suponiendo cierta la hipotesisdel apartado c).

PROBLEMA 4.2. 201

e) Suponiendo que los pesos hallados en el apartado a fuesen los correspon-dientes a la iteracion de un algoritmo LMS para predecir la muestra den = 2 en funcion de la de n = 1 y la de n = 0, indicar cuales serıan lospesos que se utilizarıan para predecir la muestra 3 en funcion de la 2 yla 1. (Suponga µ = µmax/10 y determine µmax).

Solucion

a) El predictor optimo se puede ver como encontrar el filtro que minimizael error cuadratico medio entre d[n] = x[n + 1] y la salida del filtro. Elsistema de ecuaciones a resolver es

RW = P =

(

R0 R1

R1 R0

) (

w0

w1

)

=

(

R1

R2

)

Resolviendo resulta

w1 =R2

1 −R0R2

R21 −R2

0

= −0,89 w0 =R1

R0(1−W1) = 6,1 · 10−3

b) El valor predicho es

x[2] = y[1] =W0 x[1] +W1 x[0] = −2,07

y el error de prediccion vale

e[2] = x[2]− x[2] = 0,11

que como puede verse es pequeno.

c) Suponiendo que x[n] sea un AR(2), para hallar su DEP hay que resolverlas ecuaciones de Yule-Walker

R0 R1 R2

R1 R0 R1

R2 R1 R0

1−a1−a2

=

G2

00


En primer lugar resolveremos(

R0 R1

R1 R0

) (

−a1−a2

)

=

(

−R1

−R2

)

sistema identico al resuelto en el apartado a. Resulta entonces que:

a1 = 6,1 10−3 a2 = −0,89y

G2 = R0 − a1R1 − a2R2 = 4,49

resultando una DEP

Sx(ejω) =

G2

|1− a1 e−jω − a2e−j2ω|2 =4,49

|1− 0,0061 e−jω + 0,89 e−j2ω|2

d) Si x[n] es un AR(2) entonces se puede considerar que es la salida de unfiltro todo-polos cuando en la entrada hay ruido blanco, cumpliendo portanto la siguiente ecuacion en diferencias:

x[n]− a1 x[n− 1]− a2 x[n− 2] = Gu[n]

donde u[n] es un ruido blanco de potencia unidad.

Dado que W0 = a1 y que W1 = a2 se ve facilmente que el error deprediccion del apartado a es un ruido blanco de potencia G2, por lo quecomo todo ruido blanco discreto su DEP sera constante y de valor G2.

e) Para actualizar los pesos en un algoritmo LMS hay que realizar los si-guiente:

Wn+1 =Wn + 2µ e[n]X[n]

El valor de µmax es

µmax =1

Potx L= 0,023

donde L es el numero de coeficientes del filtro (en nuestro caso L = 2) yse ha utilizado el hecho de que la potencia de la senal de entrada es laautocorrelacion en el origen.

En nuestro caso para calcular x[3] = y[2] nos basamos en los pesos ymuestras involucradas en el calculo de y[1]. Es decir,

e[1] = d[1]− y[1] = x[2]− x[2] = 0,11 y Xn = (x[1], x[0])T

Teniendo en cuenta que µ = µmax/10 = 0,0023 y particularizando valorespara nuestro caso

(

W0

W1

)

=

(

6,1 10−3

−0,89

)

+ 2 · 0,0023 · 0,11 ·(

1,25372,3299

)

PROBLEMA 4.3. 203

Problema 4.3

Una aplicacion de los filtros adaptativos es la denominada cancelacionadaptativa de ruido. El presente problema trata sobre la misma.

- 6

?-

ǫ

s2

s1+

−

Figura 4.4: Esquema de cancelacion adaptativa de ruido.

Suponga que tenemos “en el aire” dos senales acusticas, x(t), a la quellamaremos voz e y(t), a la que llamaremos ruido. Dichas senales se originanen puntos diferentes del espacio. En cualquier punto del espacio tenemos unamezcla aditiva de dichas senales con distintos niveles de amplitud y diferentesretardos. Mediante dos microfonos, se recoge la senal en dos puntos del espaciomuestreandose a continuacion las salidas de los mismos obteniendo de estemodo las senales s1[n] y s2[n].

s1[n] = x[n] + αy[n− nd]

s2[n] = y[n] + βx[n− nd]nd representa el retardo de propagacion (en muestras) entre un microfono yotro y supondremos en lo que sigue que:

nd = 2

Los coeficientes α y β representan los factores de atenuacion por la propaga-cion y la directividad de los microfonos, y x[n] e y[n] serıan las muestras queobtendrıamos si pudiesemos muestrear x(t) e y(t). En un intento de separarlas senales de voz y ruido (notese que tanto en s1 como en s2 las tenemosmezcladas) se piensa en el esquema adaptativo de la figura 4.4.

Suponga que la senal de voz y de ruido son estadısticamente independientesy que:

Rx[m] =

1 m = 00,5 |m| = 10 resto


Ry[m] = σ2 δ[m]

Considere ademas que el filtro tiene 3 coeficientes.

a) Determine las expresiones de la matriz de autocorrelacion R y del vectorde correlaciones cruzadas P .

b) Suponga inicialmente β = 0

Determine los pesos optimos del filtro.

Interprete el resultado del apartado anterior, es decir,explique porque sale el resultado que se obtiene.

c) Suponga ahora que β 6= 0 pero que β2 << σ2

Determine nuevamente los pesos optimos realizando las aproxima-ciones que considere oportunas.

¿Se cancela todo el ruido? ¿Se distorsionara (linealmente) la voz?

Interprete los resultados de los apartados anteriores.

d) Suponga ahora que β 6= 0 y que β2 >> σ2

Determine nuevamente los pesos optimos realizando de nuevo lasaproximaciones que considere oportunas.

Justifique lo que sucede a los pesos en este caso.

Solucion

Antes de comenzar el problema conviene entender lo que va a suceder en elfiltro adaptativo. El filtro adaptativo pondra los coeficientes adecuados paracancelar la maxima cantidad de potencia de la senal s1. Dado que la senal xy el ruido y son estadısticamente independientes, la cancelacion unicamentepodra darse:

Entre los terminos de x de s1 y los terminos de x de s2 por un lado.

Entre los terminos de y de s1 y los terminos de y de s2 por otro.

Lo que el filtro puede hacer es:

PROBLEMA 4.3. 205

No retrasar s2 y escalarla por W0.

Retrasar s2 una muestra y escalarla por W1

Retrasar s2 dos muestras y escalarla por W2

Con respecto a la senal de voz x vemos que el filtro lo mejor que puede haceres que todos los coeficientes sean nulos. Esto se debe a que cualquiera de lascosas que puede hacer el filtro implica un aumento de la potencia de salidadebido a que la autocorrelacion de x tiene ancho 3.

Con respecto a la senal de ruido y lo mejor que puede hacer el filtro esretrasar la senal dos muestras y multiplicar por α.

Globalmente, con respecto a s2 el filtro tratara simultaneamente de:

Retrasar la senal dos muestras y escalar por α para lograr la cancelacionde y.

Anular todos los coeficientes para que no salga nada de x.

En presencia de senal y ruido se alcanzara un compromiso entre ambastendencias, diferente en funcion de la cantidad de x e y presentes en s2.

a) La matriz de autocorrelacion debe rellenarse con Rs2[m]. Dicha autoco-rrelacion vale

Rs2[m] = Ry[m] + β2Rx[m]

Por lo tanto

R =

σ2 + β2 β2/2 0β2/2 σ2 + β2 β2/20 β2/2 σ2 + β2

Con respecto al vector de correlaciones cruzadas vale

P =

Es1[n]s2[n]Es1[n]s2[n− 1]Es1[n]s2[n− 2]

=

00ασ2

b) Si β = 0, en s2 solo hay ruido. Por lo tanto el filtro unicamente deberıatender a retrasar la senal dos muestras y escalar por α. Veamoslo.

R =

σ2 0 00 σ2 00 0 σ2

Por lo tantoW ∗ = R−1 P = (0, 0, α)T

Como se ve, dado que no existe senal de voz x en el canal s2, el filtroadaptativo retrasa el ruido y dos muestras y lo escala por α.


c) En este caso, la matriz de autocorrelacion vale

R =

σ2 + β2 β2/2 0β2/2 σ2 + β2 β2/20 β2/2 σ2 + β2

≈

σ2 β2/2 0β2/2 σ2 β2/20 β2/2 σ2

Resolviendo, obtenemos:

W ∗ = R−1 P =

(

α

4

(

β

σ

)4

, −α2

(

β

σ

)2

, ασ4 − β4/4σ4 − β4/2

)T

Como se ve el caso de β << σ proporciona unos pesos muy similares alos del caso β = 0. Sin embargo en este caso, al tener senal de voz en s2,los pesos W0 y W1 no son identicos a cero.

La senal error vale:

ε[n] = s1[n]− w0 s2[n]− w1 s2[n− 1]− w2 s2[n− 2]

La expresion anterior puede descomponerse en los terminos debidos a lasenal εx[n], y al ruido εy[n]. Los terminos de ruido son:

εy[n] = αy[n− 2]− w0 y[n]− w1 y[n− 1]− w2 y[n− 2]

Como puede verse dicha expresion no es nula, por lo que el ruido no secancela totalmente. La potencia del termino de ruido en la senal errores:

Eε2y[n] =(

(α− w2)2 + w2

0 + w21

)

σ2

Considerando que en primera aproximacion los pesos optimos en estecaso son:

W ∗ ≈ (0, 0, α)T

La senal de voz a la salida viene dada por:

εx[n] ≈ x[n]− αβx[n− 4]

que corresponde a filtrar la senal x[n] con un filtro

h[n] = δ[n]− αβ δ[n− 4]

Dicho filtro introduce distorsion de amplitud y de fase.

PROBLEMA 4.3. 207

d) En el caso de β2 >> σ2 tenemos:

R ≈

β2 β2/2 0β2/2 β2 β2/20 β2/2 β2

y los pesos optimos:

W ∗ = R−1 P =ασ2

2β2(1, −2, 3)T

Si α < 1 (es decir, el ruido captado en el microfono 1 es mas pequenoque el captado por el 2), estos pesos son muy pequenos. La razon de elloes que el filtro tiene muy poco ruido y a su entrada y mucha senal devoz x. Por lo tanto, de los dos efectos mencionados, predomina mas elde tratar que los pesos sean pequenos.


Problema 4.4

Una de las aplicaciones de los filtros adaptativos es la identificacion desistemas. En ella existe un dispositivo bajo prueba (DBP) del que se intentaconocer su funcion de transferencia Hc(f). Para ello se introduce una senalanalogica xc(t) a su entrada y se observa la salida del mismo yc(t). Dichas

Hc(f)

A/D A/D

Identificador Adaptat. Digital

- -

? ?

? ?

DBP

fs

xc(t) yc(t)

x1[n] x2[n]

-

senales son captadas a traves de transductores adecuados, digitalizadas a unavelocidad de muestreo fs (sin aliasing) obteniendose dos secuencias x1[n] yx2[n]. Debido al ruido introducido en los transductores de medida y al propioruido de cuantificacion de los conversores A/D supondremos que:

x1[n] = xc(nTs) + r1[n]

x2[n] = yc(nTs) + r2[n]

siendo r1[n] y r2[n] ruidos blancos discretos, de media nula, incorrelados entresı y con la senal xc(t) y de varianzas σ21 y σ22 respectivamente.

a) Dibuje el esquema interno del bloque Identificador Adaptativo Digital eindique brevemente el principio de funcionamiento.

b) Suponga que se sabe que el DBP tiene un ancho de banda de fs/5 yuna duracion de la respuesta impulsional de 40Ts. Si el filtro adaptativodigital es un filtro FIR ¿Cuantos coeficientes pondrıa en el filtro?

c) Suponga inicialmente que σ21 = 0. Demuestre que si σ22 6= 0 los pesosalcanzados tras la convergencia no estan sesgados, es decir que los pesosoptimos alcanzados son los mismos que si σ22 = 0 ¿Ha influido en surespuesta el hecho de que r2[n] sea blanca? Justifique su respuesta. ¿Enque afecta el hecho de que σ22 6= 0?

PROBLEMA 4.4. 209

d) Suponga ahora que σ22 = 0 y que σ21 6= 0. Demuestre ahora que el hechode que σ21 6= 0 sesga la solucion optima.

Solucion

a) El esquema del identificador adaptativo digital es:

H(z)?

- -

x1[n]

+

-

x2[n]

El filtro adaptativo trata de ajustar sus coeficientes de forma que seminimice la potencia de la senal error. Tras la adaptacion, la respuestaen frecuencia del filtro adaptativo se parecera a la de la planta.

b) La duracion de la respuesta impulsional del filtro adaptativo debe sermayor o igual que la de la planta. Por tanto el numero de coeficientesdebera ser 40+1=41.

c) Los pesos optimos del filtro valen:

W ∗ = R−1 P (4.1)

siendo R la matriz de autocorrelacion de la entrada al filtro adaptativo,en nuestro caso x1[n], y P el vector de correlaciones cruzadas entre laentrada al filtro adaptativo (x1[n]) y la senal de referencia (x2[n]).

Si tenemos un ruido anadido r2[n] la matriz R no varıa y si r2[n] esta in-correlado con x1[n] el vector P tampoco, por lo que los pesos optimosson los mismos sea σ22 igual a cero o no.

El hecho de que σ22 sea distinto de cero afecta al valor de la potenciamınima de la senal error ξmın.

d) Si σ21 es distinto de cero la autocorrelacion de la senal x1[n] sera diferente.Por tanto los pesos optimos de la ecuacion 4.1 seran diferentes.


Problema 4.5

Suponga que x[n] es la entrada a un filtro FIR adaptativo de dos coeficien-tes y d[n] se toma como senal de referencia.

a) A la vista de las muestras que se le dan, determine la ecuacion de lasuperficie de error con valores estimados de las correlaciones necesarias.Indique si usa el estimador sesgado o insesgado de las correlaciones.

b) A partir del resultado del apartado anterior, y suponiendo que los valo-res de la correlacion son los correctos (es decir, no han sido estimados)indique cual sera el vector de coeficientes hacia el que tendera el filtro.

c) Rellene la siguiente tabla con los valores que tendrıa que ir calculandoel algoritmo LMS hasta el instante 2.(µ = 1/1000)

n x[n] d[n] w0[n] w1[n] y[n] ε[n]

0 7 71 -1 13 0 0 ? ?2 20 18 ? ? ? ?3 9 494 -18 05 0 -366 -18 -18

Cuadro 4.1: Rellene unicamente las posiciones marcadas con “?”.

Solucion

a) Para calcular la ecuacion de la superficie de error nos hace falta hallarEd2, R (2× 2) , P (2× 1). Para la matriz de autocorrelacion nece-sitamos estimar Rx[0] y Rx[1] y disponemos de una observacion de lasenal x[n] de siete muestras. Llamaremos Rx[m] al estimador insesgadoy Rx[0] al estimador sesgado. Por tanto:

Rx[0] = Rx[0] =

PROBLEMA 4.5. 211

=72 + (−1)2 + 202 + 92 ++(−18)2 + 02 + (−18)2

7=

=1179

7= 168,4

Igualmente:

Rx[1] =7× (−1) + (−1)× 20 + 20× 9 + 9× (−18) + (−18)× 0 + 0× (−18)

6=

=−96

= −1,5y para el sesgado:

Rx[1] =7× (−1) + (−1)× 20 + 20× 9 + 9× (−18) + (−18)× 0 + 0× (−18)

7

=−97

= −1,28

Para las correlaciones cruzadas, la estima de Ex[n] d[n] vale:Rxd[0] = Rxd[0] =

=7× (7) + (−1)× 13 + 20× 18 + 9× 49 + (−18)× 0 + 0× (−36) + (−18)× (−18)

7=

=1161

7= 165,9

y la estima de Ex[n− 1] d[n]

Rxd[1] =7× 13 + (−1)× 18 + 20× 49 + 9× 0 + (−18)× (−36) + 0× (−18)

6=

=1701

6= 283,5

y el sesgado:

Rxd[1] =1701

7= 243

Ademas, analogamenteEd2 = 651

Por lo tanto la ecuacion de la superficie de error queda:

ξ = E(d[n])2+W T RW − 2P T W

con los estimadores insesgados por ejemplo:

R =

(

168,4 −1,5−1,5 168,4

)

y

P =

(

165,9283,5

)


b) Los pesos optimos valen (estimadores insesgados):

W ∗ = R−1 P =

(

1,0021,6924

)

c) La tabla rellena vale:

n x[n] d[n] w0[n] w1[n] y[n] ε[n]

0 7 71 -1 13 0 0 0 132 20 18 -0.026 0.182 -0.7020 18.70203 9 494 -18 05 0 -366 -18 -18

PROBLEMA 4.6. 213

Problema 4.6

El eco se puede modelar como el resultado de un filtrado. Si llamamos s[n]a la senal original (sin eco), la senal con eco x[n] se puede modelar como:

x[n] = s[n] ∗ heco[n]

dondeheco[n] = δ[n] + a δ[n−M ]

siendo 0 < a < 1. Consideremos el caso de M = 5 para el resto del problema.Suponga que s[n] es un proceso aleatorio estacionario cuya autocorrelacionviene dada por:

Rs[m] =

1 m = 01/2 |m| = 10 resto

Este problema trata sobre canceladores de eco adaptativos, es decir, tratarmediante filtros adaptativos de eliminar (o al menos reducir) el eco presente enla senal x[n]. Para ello se propone el siguiente esquema de filtrado adaptativo:

-

-

6

W

-x[n] e[n]

z−L

+

−

a) Determine la autocorrelacion de la senal con eco x[n]. Calcule la potenciade x[n].

b) Suponiendo que el filtro adaptativo sea un filtro FIR de 3 coeficientes, yque el retardo de la figura vale L = 4, determine la matriz de autocorre-lacion R y el vector de correlaciones cruzadas P del esquema adaptativode la figura.

c) Determine los pesos optimos hacia los que convergerıa el filtro medianteun algoritmo de gradiente.

d) Suponiendo que los coeficientes del filtro, una vez alcanzada la adapta-cion permanecen en su valor optimo, determine la relacion entre s[n] ye[n]. ¿Se ha eliminado totalmente el eco? Explique por que.

e) Suponga ahora que L = 0. Determine nuevamente R y P . Determine denuevo los pesos optimos y la relacion entre s[n] y e[n]. ¿Se ha eliminadoel eco?


f) Suponga finalmente que L = 7. Determine nuevamente R y P . Determinede nuevo los pesos optimos y la relacion entre s[n] y e[n]. ¿Se ha eliminadoel eco?

g) A la vista de los resultados anteriores, ¿Puede indicar que margen devalores del retardo L se puede aplicar y que sucede si dicho retardo setoma demasiado pequeno o demasiado grande?

Solucion

a) Por las relaciones de filtrado de los procesos aleatorios, se sabe que:

Rx[m] = Rs[m] ∗ h1[m]

con

h1[m] = heco[m] ∗ heco[−m] = a δ[m+ 5] + (1 + a2) δ[m] + a δ[m− 5]

La autocorrelacion de x[n] se muestra en la siguiente tabla

m Rx[m]

|m| = 0 (1 + a2)

|m| = 1 (1 + a2)/2

|m| = 2 0

|m| = 3 0

|m| = 4 a/2

|m| = 5 a

|m| = 6 a/2

|m| ≥ 7 0

La potencia de la senal x[n] coincide con su autocorrelacion evaluada enel origen, es decir

Potx = (1 + a2)

b) La matriz de autocorrelacion de la entrada vale (independientemente deL):

R =

Rx[0] Rx[1] Rx[2]Rx[1] Rx[0] Rx[1]Rx[2] Rx[1] Rx[0]

=

(1 + a2) (1 + a2)/2 0(1 + a2)/2 (1 + a2) (1 + a2)/2

0 (1 + a2)/2 (1 + a2)

PROBLEMA 4.6. 215

En cuanto al vector de correlaciones cruzadas, para L = 4 vale

P =

Rx[4]Rx[5]Rx[6]

=

a/2aa/2

c) Los pesos optimos hacia los que convergerıa el filtro son:

W ∗ = R−1P =

0a/(1 + a2)

0

d) Si los pesos no varıan, el bloque x[n] → e[n] se comporta como un LTIcuya respuesta impulsiva hxe[n] vale

hxe[n] = δ[n]− a

1 + a2δ[n− 5]

-

-

6

W

-x[n] e[n]

z−L

+

−

Por tanto, la relacion entre s[n] y e[n] valdra

hse[n] = heco[n] ∗ hxe[n] = δ[n] + aa2

1 + a2δ[n− 5]− a2

1 + a2δ[n− 10]

Puede observarse que e[n] 6= s[n] pues hse[n] 6= δ[n]. Sigue estando pre-sente un eco con retardo 5 (aunque de menor amplitud) y aparece unsegundo eco con retardo 10 de amplitud tambien menor que el eco ori-ginal de amplitud a.

La razon de por que no se elimina el eco perfectamente, es que el filtroadaptativo unicamente sabe minimizar la potencia de la senal error, yen este caso al tratar de cancelar el eco original, (de forma indeseada)se introduce un segundo eco de retardo 10 que tambien contribuye a lapotencia de la senal error. De alguna forma, el filtro adaptativo alcanzaun compromiso entre la potencia que (inevitablemente) se introduce porel segundo eco, y el nivel de cancelacion del eco original.


e) Si L = 0, la matriz R no cambia. Sin embargo el vector de correlacionescruzadas vale ahora:

P =

Rx[0]Rx[1]Rx[2]

=

1 + a2

(1 + a2)/20

y los pesos optimos valen

W ∗ = R−1P =

100

En este caso e[n] siempre vale cero. Dado que la senal e[n] es nula estecaso no resulta de interes.

f) Si L = 7, la matriz R no cambia. Sin embargo el vector de correlacionescruzadas vale ahora:

P =

Rx[7]Rx[8]Rx[9]

=

000

y los pesos optimos valen

W ∗ = R−1P =

000

En este caso x[n] = e[n], es decir el filtro adaptativo no hace nada, y porlo tanto, no elimina el eco.

g) A la vista de lo anterior

Si el retardo es muy pequeno (L = 0) se cancela no solo el eco sinola senal.

Si el retardo es muy grande (L = 7), no se cancela nada.

Si el retardo es tal que las muestras de la senal que tiene el filtroadaptativo pertenecen al pico de la correlacion centrado en el retar-do del eco, se tiene el funcionamiento optimo. Los retardos posiblesson 3, 4 y 5.

PROBLEMA 4.7. 217

Problema 4.7

Sea x[n] un proceso AR de primer orden.

a) Demuestre que la funcion de autocorrelacion Rx[m] del proceso es de laforma

Rx[m] =G2

1− a2 a|m|

b) Dibuje aproximadamente la Densidad Espectral de Potencia Φx(ejω) pa-

ra a = 0, a = 0,5 y a = 0,95. ¿Como afecta el parametro a a la forma deΦx(e

jω)?

c) Considere a partir de ahora que 0 ≤ a < 1. Se quiere filtrar la senal x[n]con un filtro adaptativo LMS con dos coeficientes. ¿Cual es la matriz deautocorrelacion R? Calcule los autovalores de R. ¿Cual es el µmax que sepuede tener? Indique cual es el criterio que ha considerado para calcularµmax.

d) Se define la dispersion (D) como el cociente entre el mayor y el menorautovalor de la matriz R

D =λmax

λmin

Calcule cual es la dispersion en funcion del parametro a del proceso AR.Indique la forma de las curvas de nivel en dos casos: cuando a = 0 ycuando a→ 1. El coeficiente de correlacion ρ del proceso se define como

ρ = Rx[1]/Rx[0]

Comente en cada uno de los casos si el coeficiente de correlacion ρ delproceso x[n] a filtrar es alto o bajo, y si la velocidad de convergencia delalgoritmo LMS sera rapida o lenta.

e) Se quiere estudiar como afecta la potencia media de la senal de entrada.Para ello, considere que la senal x[n] se multiplica por un factor K, ob-teniendo x′[n] = K x[n]. ¿Que relacion hay entre la potencia de la senalx[n] y la de la senal x′[n]? ¿Como afecta K a µmax? ¿Y a la dispersion?¿Y a la forma de la superficie de error?


Solucion

a) La DEP de un proceso AR-1 es

Sxx(ejω) = G2 1

1− ae−jω

1

(1− ae−jω)∗

Aplicando la Transformada de Fourier inversa, obtenemos

Rx[m] =G2 (am u[m] ∗ a−m u[−m])

1− a2

A la hora de evaluar la convolucion hay que distinguir dos casos

Rx[m] =

G2∑0

k=−∞ am−2k = G2 am

1−a2,m ≥ 0

G2∑m

k=−∞ am−2k = G2 a−m

1−a2,m < 0

Con lo que

Rx[m] =G2

1− a2 a|m|

Una forma alternativa consiste en aplicar la T. de Fourier a Rx[m]

Sxx(ejω) =

∞∑

m=−∞

G2

1− a2 a|m|

=G2

1− a2

(

1∑

m=−∞

a−m e−jωm +∞∑

m=0

am e−jωm

)

=G2

1− a2

(

∞∑

m=1

(a ejω)m +∞∑

m=0

(a e−jω)m

)

=G2

1− a2(

a ejω

1− a ejω +1

1− a e−jω

)

=G2

|1− ae−jω|2

que constituye la expresion de la DEP de un proceso AR de orden 1.

PROBLEMA 4.7. 219

b) En el caso de a = 0 tenemos una DEP plana pues la senal es un ruidoblanco. Si a > 0 entonces el espectro es de tipo paso-bajo, de forma quecuanto a aumenta, menor es el ancho de banda (mayor influencia delpolo).

c) La matriz de autocorrelacion es

R =

(

Rx[0] Rx[1]Rx[1] Rx[0]

)

=G2

1− a2(

1 aa 1

)

Los autovalores son las raıces del polinomio caracterıstico

det(R− λI) = 0

lo cual proporciona la ecuacion

λ2 − 2G2

1− a2 λ+G4

1− a2 = 0

cuyas raıces proporcionan los autovalores

λ1 =G2

1− a λ2 =G2

1 + a

con lo que la maxima constante de adaptacion que podemos tener es

µmax <1

λmax=

1− aG2

Si no se dispusiera del autovalor maximo se puede considerar

µmax <1

(L+ 1)Px

siendo Px la potencia de la senal x[n], en cuyo caso

µmax <1− a22G2

d) La dispersion D es

D =1 + a

1− aSi a = 0, entonces D = 1 y los dos autovalores son iguales por lo que lascurvas de nivel de la superficie de error son circunferencias. En este casola convergencia es rapida, y el coeficiente de correlacion ρ es 0 (ruidoblanco).

Si a → 1, entonces D → ∞, siendo λ1 → 2 y λ2 → 0. En este caso lascurvas de nivel de la superficie de error son elipses muy amplias en ladireccion correspondiente al autovector asociado al autovalor λ→ 0, porlo que la convergencia sera muy lenta. El coeficiente de correlacion esρ→ 1.


e) La potencia de la senal x′[n] es

Px′ = E|x′[n]|2 = |K|2E|x[n]|2 = |K|2 Px

Por tanto la potencia de la senal inicial queda multiplicada por |K|2.Por tanto es como si en el proceso AR, el numerador de Sxx(e

jω) fuera|K|2G2, con lo que los autovalores son

λ1 =G2 |K|21− a λ2 =

G2 |K|21 + a

La maxima constante de adaptacion es

µmax <1

λmax=

1− aG2 |K|2

y utilizando el criterio Si no se dispusiera del autovalor maximo se puedeconsiderar

µmax <1

(L+ 1)Px

se tiene

µmax <1− a2

2G2 |K|2

Por tanto, a medida que la potencia de la senal aumenta, la maxima cons-tante de adaptacion que se puede fijar decrece. En cuanto a la dispersion,el cociente λmax/λmin permanece constante por lo que la dispersion, nocambia. Por lo que respecto a la forma de las superficies de nivel, las dosparabolas se hacen simultaneamente mas estrechas, por lo que la formano cambia.

PROBLEMA 4.8. 221

Problema 4.8

Este problema, trata sobre canceladores de eco en circuitos de telefonıa delarga distancia. Dicho problema aparece en los puntos de conversion de 2 a 4hilos, denominados “hıbridas”. La figura 4.5 muestra una hıbrida.

B

A

C

-

S1

S2

Figura 4.5: Circuito hıbrido.

El funcionamiento normal de la misma consiste en que la senal S1 pro-cedente del punto A, pasa al punto C pero no pasa al punto B, mientras quela senal S2, procedente del punto C, pasa al punto B. En la practica es difıcillograr que no pase nada de la senal S1 al punto B por lo que un modelo de lasenal que aparece en el punto B serıa el mostrado en la figura 4.6, donde larama marcada por a indica la fuga de senal hacia el punto B procedente del A.Este fenomeno es el que origina los ecos.

-

?

+ S2

S1

B

a

Figura 4.6: Modelo de circuito hıbrido.

Para solucionar el problema, una posibilidad es usar “canceladores deecos”. La figura 4.7 muestra como se inserta el cancelador de ecos en el circuitode la figura 4.5. El cancelador de eco es un sistema adaptativo que pretendeminimizar la potencia en el punto B.

Un modelo completo con la hıbrida y el cancelador de eco puede verse en lafigura 4.8 Suponga que S1 y S2 estan incorreladas. En relacion a la figura 4.8,se pide:

a) Determine la expresion de la potencia en B en funcion de w.

b) Para el caso de utilizar un algoritmo adaptativo de gradiente, indiquecuanto vale µmax, de acuerdo con todos los criterios que conozca.


- -

?

+

3

B

A

Cw

Figura 4.7: Cancelador de eco en circuito hıbrido.

- -

+ +

?? aw

B

S1

S2

Figura 4.8: Modelo de cancelador de eco en circuito hıbrido.

c) Determine el valor optimo del peso w (el que minimiza la potencia enB).

d) Dibuje la superficie de error para P2 = 0 y P2 6= 0. (P1 6= 0) ¿Varıa elvalor optimo del peso? ¿En que se diferencian las superficies de error deambos casos?

e) Indique las diferencias practicas en el comportamiento de un algoritmoLMS en los casos P2 = 0 y P2 6= 0. (P1 6= 0).

f) Suponga que la potencia de la senal S1 disminuye a la decima parte, esdecir, P ′

1 = P1/10. Dibuje las superficies de error en ambos casos. ¿Varıael valor optimo del peso? ¿En que se diferencian?

g) Caso de que la adaptacion se llevara a cabo con un algoritmo LMS, su-poniendo que µ deba escogerse el mismo para ambas situaciones (aparta-do f) indique como elegirıa el valor de µmax. Suponiendo el mismo valorde µ para ambas situaciones, ¿Varıa la velocidad de convergencia de uncaso al otro?

PROBLEMA 4.8. 223

Solucion

a) La expresion de la potencia en B es:

PB = P2 + P1 (w + a)2

donde P1 es la potencia de S1 y P2 la potencia de S2.

b) Existen dos criterios para determinar el valor maximo de µ

µmax = 1/λmax

µmax = 1/(NumCoef Px)

En el caso de un unico peso ambos coinciden. En nuestro caso

µmax =1

P1

c) El valor optimo del peso es el que anula la derivada:

dPB

dw= 2P1(w + a)

dPB

dw= 0 −→ w = −a

d) Las graficas de la superficie de error son:

w

PB

-a

P2=0

P2=0/

que se diferencian unicamente en la altura, es decir no varıa ni la posiciondel mınimo ni la apertura de las ramas.


e) Dado que no varıa ni el gradiente ni el optimo, no variara ni la veloci-dad de convergencia ni el punto hacia el que se converge. La diferenciaestara en que en el caso de P2 6= 0 habra mas desajuste de los pesos yexceso de potencia de error.

f) Las graficas de la superficie de error cuando varıa P1 son:

w

PB

-a

P’

P1

1

que se diferencian unicamente en la anchura de las ramas, es decir novarıa ni la posicion del mınimo ni su altura.

g) El valor de µmax se debe escoger con el valor de P1 mas grande. Una vezescogido µ la convergencia es mas rapida cuanto mas grande es P1 puesel gradiente es mas grande.

PROBLEMA 4.9. 225

Problema 4.9

En este problema se estudia un sistema de cancelacion de ruido. El sistema(Figura 4.9) consta de dos microfonos que captan la presion sonora en dospuntos de una sala (x1(t) y x2(t)).

En dicha sala existen dos senales, la senal s(t), que es la senal de interes,y la senal r(t), que es una senal indeseada.

El primer microfono (x1(t)) capta tanto la senal de interes s(t) como unaversion filtrada de r(t), que denominaremos r1(t), mientras que el segundomicrofono unicamente capta r(t).

Las senales captadas por los microfonos se muestrean a traves de dos con-versores C/D que trabajan a la misma frecuencia de muestreo, sin aliasing,obteniendo:

x1[n] = x1(nTs) = s(nTs) + r1(nTs) = s[n] + r1[n]

x2[n] = x2(nTs) = r(nTs) = r[n]

Suponga ademas que las senales s(t) y r(t) estan incorreladas entre sı yque la autocorrelacion de r(t) es:

Rr(τ) = σ2 sincτ

Ts

Suponga que el filtro FIR tiene 5 coeficientes y que el sistema que modelala sala tiene una respuesta impulsiva:

h(t) = 0,4 δ(t− 3Ts)

Se pide:

-

-s(t)

r(t)

h(t)6

+

r1(t)

C/D

C/D

6

?fs

-

-

Filtro FIR.

-

6

?+e[n]

−

Salida

x1[n] = s[n] + r1[n]

x2(t)

x1(t)

x2[n] = r[n]

6

Figura 4.9: Cancelacion de ruido.


a) Determine los pesos del filtro FIR que minimizarıan la potencia de lasenal e[n].

b) Escriba la expresion de la senal de salida e[n] cuando los pesos del filtroFIR son los calculados en el apartado anterior. Indique si la minimiza-cion de la potencia de dicha senal implica la cancelacion total de lascomponentes indeseadas en la salida.

Suponga que en lugar que conversores C/D se utilizan conversores A/D de Bbits. Se quiere estudiar el efecto que el ruido de cuantificacion introducido porlos conversores tiene en el sistema de cancelacion.

c) Situe las fuentes de ruido de cuantificacion apropiadas, indicando clara-mente su varianza.

d) Calcule cuales son los pesos que minimizan la potencia de la senal error,teniendo en cuenta el ruido de cuantificacion de los conversores A/D.

e) Determine la senal de salida que se obtendrıa con los pesos optimos queacaba de calcular en el apartado d). Comente las similitudes y diferenciascon el caso del apartado b).

Suponga ahora que ademas de la cuantificacion al muestrear, los calculos rea-lizados por el filtro FIR se implementan en coma fija utilizando un DSP conMAC de acumulador de doble ancho. El filtro se implementa en forma directa.

f) Anada las fuentes de ruido de redondeo apropiadas, indicando claramen-te su varianza.

g) Calcule cuales son los pesos que minimizan la potencia de la senal error,teniendo en cuenta el ruido de cuantificacion de los conversores A/D yel de redondeo en las operaciones.

h) Determine la senal de salida que se obtendrıa con los pesos optimos queacaba de calcular en el apartado g). Comente las similitudes y diferenciascon el caso del apartado e).

PROBLEMA 4.9. 227

Solucion

a) El filtro optimo vendra dado por

W ∗ = R−1P

donde R es la matriz de autocorrelacion asociada a la entrada del filtro(x2[n]) y P es el vector de correlaciones cruzadas formado con:

E x1[n]x2[n−m] m = 0, . . . , 4

Tenemos que:

Rx2[m] = Rr[m] = Rr(mTs) = σ2δ[m]

y por otro lado:

E x1[n]x2[n−m] = E (s[n] + r1[n]) r[n−m] =

= E r1[n] r[n−m] = Rr[m] ∗ (0,4δ[m− 3]) = 0,4σ2δ[m− 3]

ya que r1[n] = 0,4 r[n− 3]

Con lo anterior, nos queda:

R =

σ2 0 0 0 00 σ2 0 0 00 0 σ2 0 00 0 0 σ2 00 0 0 0 σ2

yP T =

(

0 0 0 0,4σ2 0)

con lo que los pesos optimos son:

W ∗ =(

0 0 0 0,4 0)T

b) Con los pesos del apartado anterior:

e[n] = s[n] + r1[n]− 0,4r[n− 3] = s[n] + 0,4r[n− 3]− 0,4r[n− 3] = s[n]

Puede verse que la minimizacion de la potencia de e[n] implica la anu-lacion total del ruido indeseado.


c) Con conversores A/D aparecerıa una fuente de ruido de cuantificacionde varianza σ2q = 2−2B/3 sumado con las senales que anteriormentetenıamos, es decir ahora:

x1[n] = s[n] + r1[n] + nq1[n]

x2[n] = r[n] + nq2[n]

donde nq1[n] y nq2[n] son dos ruidos de cuantificacion incorrelados entresı y de varianza σ2q .

d) ComoRx2[m] = Rr[m] +Rnq[m]

la matriz de autocorrelacion vale ahora:

R =

σ2 + σ2q 0 0 0 0

0 σ2 + σ2q 0 0 0

0 0 σ2 + σ2q 0 0

0 0 0 σ2 + σ2q 0

0 0 0 0 σ2 + σ2q

y dado que nq1[n] y nq2[n] estan incorrelados entre sı el vector de corre-laciones cruzadas no cambia, es decir:

P T =(

0 0 0 0,4σ2 0)

por lo que los pesos optimos son:

W ∗ =

(

0 0 0 0,4σ2

σ2 + σ2q0

)T

e) La senal de salida vale ahora

e[n] = s[n] + nq1[n] + (0,4− w∗3) r[n− 3] + w∗

3nq2[n]

Vemos que el valor del peso es un compromiso entre dos tendencias:

Cancelar el termino r[n− 3] para lo cual w∗3 deberıa tender a 0.4.

Hacer que el termino de nq2[n] sea lo mas pequeno posible para loque w∗

3 deberıa tender a 0.

PROBLEMA 4.9. 229

En funcion de la relacion σ2/σ2q , el peso optimo (que minimiza la potenciade e[n]) estara mas proximo de 0 o de 0.4.

f) Deberıamos anadir una fuente de ruido, que denominaremos nq3[n] a lasalida del filtro FIR de varianza:

σ2q = 2−2B/3

e incorrelada con s[n], r[n], nq1[n] y nq2[n].

Como seas cuales sean los pesos del filtro FIR la contribucion de nq3[n]a la potencia de e[n] no cambia, los pesos optimos seran los mismos queen el apartado d).

g) La senal de salida vale ahora

e[n] = s[n] + nq1[n] + (0,4− w∗3) r[n− 3] + w∗

3nq2[n] + nq3[n]

Observese que el termino nq3[n] no depede de los pesos, po lo que lospesos optimos son los del apartado e)


Problema 4.10

Sean x1[n], x2[n] y x3[n] tres procesos estacionarios incorrelados entre sı ycon la misma funcion de autocorrelacion

Rxi [m] = δ[m], i = 1, 2, 3.

Se dispone de dos senales s1[n] y s2[n] definidas a traves de

s1[n] = a x1[n] + b x2[n]

s2[n] = c x2[n] + d x3[n]

siendo a, b, c y d constantes desconocidas tales que a > b > c > d > 0. Interesaseparar las senales que forman s1[n], esto es, tener acceso a x1[n] y x2[n]separadamente.

a) ¿Se pueden separar x1 y x2 de s1 mediante un sistema LTI? Justifiquela respuesta. En caso afirmativo especifique de que sistema se trata.

b) Suponga que se quiera obtener la senal x1[n] (no importa si esta escaladaen amplitud). Para ello se propone utilizar filtrado adaptativo, situandola senal s1[n] como senal de referencia y s2[n] como entrada al filtroadaptativo, tal y como se muestra en la figura 4.10. Sin hacer ninguncalculo justifique si tras la adaptacion de los pesos se obtendra comosenal error unicamente x1[n].

Filtro. Adapt.-

-

6

?+

−

e[n]

s2[n]

s1[n]

y[n]

Figura 4.10: Filtrado adaptativo.

c) Calcule los pesos optimos que minimizan la potencia de e[n]. Determinela senal e[n] cuando los pesos del combinador lineal son los optimos.

d) A la vista del resultado del apartado anterior indique que condiciondeben cumplir los coeficientes a, b, c y d para que la senal error sea

e[n] ≈ k1 x1[n]

PROBLEMA 4.10. 231

Solucion

a) Es imposible separar las componentes mediante un sistema LTI puestoque las componentes comparten ancho de banda.

b) Note que para obtener unicamente x1 en e[n] es necesario cancelar x2y no introducir ninguna componente mas. La existencia de la senal x3en s2 impide que ambas condiciones puedan cumplirse simultaneamente.Por tanto es imposible obtener unicamente x1[n] como senal error.

c) La funcion de autocorrelacion de s2 es

Rs2 [m] = (c2 + d2) δ[m]

y la funcion de correlacion cruzada Rs1 s2 [m] es

Rs1 s2 [m] = bc δ[m]

Por tanto el combinador lineal contiene unicamente un peso w, cuyovalor optimo es

w∗ =bc

(c2 + d2)

Y con el peso optimo la senal error es

e[n] = ax1[n] +

(

b− bc2

c2 + d2

)

x2[n]−bcd

c2 + d2x3[n]

en la que como se ve aparecen las tres componentes.

d) Note que si c >> d, entonces (c2 + d2) ≈ c2 y por tanto

w∗ ≈ b

c

y consecuentemente

e[n] ≈ a x1[n]−b d

cx3[n]

y como a > b y c >> d obtenemos

e[n] ≈ a x1[n]


Problema 4.11

Imagine que disponemos del registro de temperaturas medias diarias a lolargo de un ano. Suponga que dicho registro puede considerarse como una rea-lizacion de un proceso estocastico T [d] discreto d = 1, . . . , 365 cuya funcionde autocorrelacion es de la forma

RT [m] = Aα|m| + c2

con A y α reales, siendo A > 0 y |α| < 1.

Ademas c = ET[d] es la temperatura media anual. Queremos implemen-tar un procedimiento para simular registros de temperatura cuyas propiedadesestadısticas se parezcan a las reales. Para ello se piensa en el esquema de lafigura 4.11 donde w[d] es un ruido blanco de media nula y varianza unidad.

- - -?

H(ejω)w[d] T ′[d]

c

x[d]+

Figura 4.11: Esquema propuesto para generar registros de temperatu-ras.

Se pide:

a) Determine la funcion de autocorrelacion que debe tener el proceso x[d]para que el registro de temperaturas simuladas T ′[d] tenga la mismaautocorrelacion que las temperaturas reales.

b) Determine |H(ejω)|2 para la misma condicion.

c) Deseamos poder hacer una prediccion de la temperatura media del dıasiguiente T [d + 1] en funcion de T [d] y T [d − 1] segun el esquema de lafigura 4.12. Determine los valores optimos de w0 y w1.

PROBLEMA 4.11. 233

-

-

-

-

?

6

-

? ?

6 6

-

T [d− 1]

T [d]

T [d+ 1]

+

+

+

×

×

−c w0

−c w1

c

Figura 4.12: Esquema para predecir la temperatura del dıa d + 1 apartir de las temperaturas de los dıas d y d− 1.

Solucion

a) La funcion de autocorrelacion es

Rx[m] = Aα|m|

b) La densidad espectral de potencia es

Sx(ejω) = |H(ejω)|2 Sw(ejω)

y como Sw(ejω) = 1 por ser ruido blanco de varianza unidad, resulta

|H(ejω)|2 = TFRx[m] = A1− α2

1 + α2 − 2α cos(ω)

c) El diagrama de la figura 4.12 trata de hacer una prediccion de las varia-ciones de temperatura sin tener en cuenta los valores medios, es decir,para realizar la prediccion utiliza valores de temperatura sin la media, yel valor predicho lo es sin la media (que se suma luego).


El problema se puede considerar, al igual que se hace en el caso de filtrosadaptativos, como el elegir los pesos que minimicen:

E(x[d+ 1] − x[d+ 1])2 = E(x[d+ 1] − w0 x[d]− w1x[d− 1])2

los pesos optimos se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones:

[

Rx[0] Rx[1]Rx[1] Rx[0]

] [

w0

w1

]

=

[

Rx[0]Rx[1]

]

y particularizando

[

A AαAα A

] [

w0

w1

]

=

[

AαAα2

]

obteniendo

[

w0

w1

]

=

[

α0

]

PROBLEMA 4.12. 235

Problema 4.12

Sea una senal x[n] compuesta por la suma de una sinusoide y ruido blanco,segun la expresion:

x[n] = A cos(ω0n+ φ) + r[n]

donde ω0 es desconocida, φ es una variable aleatoria uniformemente distri-buida entre −π y π, r[n] es un ruido blanco de potencia σ2 y r[n] y φ estanincorreladas.

a) Demuestre que la funcion de autocorrelacion de la senal x[n] es

Rx[m] =A2

2cos(ω0m) + σ2δ[m]

Nota:

cos(φ1) cos(φ2) =1

2(cos(φ1 + φ2) + cos(φ1 − φ2))

Dibuje la Densidad Espectral de Potencia Φx(ejω).

Se quiere separar la sinusoide del ruido, y para ello se filtra la senal x[n]adaptativamente utilizando un esquema como el de la Figura 4.13, dondeel bloque Filtro Adaptativo es un combinador lineal de tres coeficien-

tes (Figura 4.14) que se adaptan para minimizar la potencia de la senalfiltrada y[n]. Observe que en el esquema no existe senal de referencia.

Filtroadaptativo

-

-x[n] y[n]

Figura 4.13: Filtrado adaptativo

b) Determine la potencia de y[n] en funcion de los pesos.


- -

- -

? ? ?

x[n]

y[n]

w0 w1 w2

z−1 z−1

Figura 4.14: Combinador Lineal

c) ¿Cual es siempre el conjunto de pesos optimos? Discuta la utilidad deesta propuesta.

Una solucion a este problema consiste en fijar de antemano el valor dealgun peso. Suponga que en este caso se ha fijado w0 = w2 = 1, por loque el unico peso que puede cambiar su valor es w1.

d) ¿Cual es en este caso el valor del peso w1 que minimiza la potencia dey[n]?

e) Considere el caso en que σ2 = 0 y la frecuencia del tono puede ser f0 = 0,f0 = 0,25 y f0 = 0,5. En cada uno de los tres casos:

¿Cual es el valor optimo de w1?

¿Cual es el modulo de la la respuesta frecuencial del filtro tras laadaptacion? Justifique la forma de la respuesta frecuencial obteni-da.

¿Cual es la potencia mınima de la senal y[n]?

f) Considere ahora el caso en que A2 = 0, ¿Cual es la potencia de ruido ala salida en funcion de w1? ¿Cual es el valor optimo de w1? Justifique larespuesta impulsiva del combinador lineal obtenido.

PROBLEMA 4.12. 237

Solucion

a) La funcion de autocorrelacion de x[n] es

Rx[m] = Ex[n+m]x∗[n]= E(A cos(ω0(n+m) + φ) + r[n+m]) (A cos(ω0 n+ φ) + r[n])

Como la senal x[n] esta incorrelada con el ruido, la media del cual esnula, se obtiene:

Rx[m] = EA2 cos(ω0(n+m) + φ) cos(ω0 n+ φ)+ Er[n+m] r[n]

dondeEr[n+m] r[n] = Rr[m] = σ2 δ[m]

por lo que

Rx[m] =A2

2(Ecos(2ω0 n+ ω0m+ 2φ) + Ecos(ω0m)) + σ2 δ[m]

como Ecos(2ω0 n+ω0m+2φ) = 0, la expresion final de la correlacionnos queda:

Rx[m] =A2

2cos(ω0m) + σ2 δ[m]

En cuanto a Sx(ejω):

Sx(ejω) =

A2

4(δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)) + σ2 − π ≤ ω ≤ π

la cual se muestra en la figura 4.15

b) La senal y[n] esy[n] =W T X

y su potencia media es

Py = W T R W

=[

w0 w1 w2

]


w0

w1

w2

(4.2)


-

6

6 6

f0 1− f0

Sxx(ew)

σ2

A2

4

fd

Figura 4.15: Sx(ejω)

c) El conjunto de pesos optimos es siempre

w∗ = [0 0 0]T

pues con estos pesos Py = 0, por lo que este esquema no es util.

d) Desarrollando la ecuacion (4.2) se obtiene

Py =[

1 w1 1]


1w1

1

= Rx[0] (2 + w21) + 4Rx[1]w1 + 2Rx[2]

e imponiendo la condicion de extremo

∂Py

∂w1= 0

el peso optimo es

w∗1 = −2Rx[1]

Rx[0]= −A

2 cos(ω0)A2

2 + σ2

e) Considerando por separado las tres frecuencias

Si f0 = 0, w∗1 = −2 por lo que h[n]:

h[n] = δ[n]− 2δ[n− 1] + δ[n− 2]

y la respuesta frecuencial es

H(ejω) = 1− 2e−jω + e−j2ω

PROBLEMA 4.12. 239

siendo su modulo

|H(ejω)| = 2 |cos(ω)− 1|

Se trata de un filtro paso-alto que eliminara la continua (|H(ej0)| =0), por lo que la potencia mınima de y[n] es 0.

Si f0 = 0,25, w∗1 = 0 por lo que h[n]:

h[n] = δ[n] + δ[n− 2]

yH(ejω) = 2 e−jω cos(ω)

con|H(ejω)| = 2 |cos(ω)|

En este caso se obtiene un filtro rechaza-banda que eliminara el tono(|H(ejπ/2)| = 0), por lo que la potencia mınima de y[n] tambien es0.

Si f0 = 0,5, w∗1 = 2 por lo que h[n]:

h[n] = δ[n] + 2δ[n− 1] + δ[n− 2]

yH(ejω) = 2 e−jω (1 + cos(ω))

con|H(ejω)| = 2 |1 + cos(ω)|

En este caso se obtiene un filtro paso-bajo que eliminara el tono(|H(ejπ)| = 0), por lo que la potencia mınima de y[n] tambien es 0.

f) En el caso en que unicamente hay ruido

Rx[m] = σ2δ[m]

con lo quewopt = 0

y el filtro esh[n] = δ[n] + δ[n− 2]

lo cual es razonable ya que cuando la entrada es ruido blanco

Py = Rx[0] (w20 + w2

1 + w22)

Por lo que, si w1 y w2 ya estan fijadas, la mınima potencia se alcanzacuando w1 = 0.


Problema 4.13

Este problema pretende ilustrar el funcionamiento del sistema adaptativode la figura 4.16 para identificar sistemas.

H(z)

W

d[n]

x[n]

y[n]-

-

-

6

?+

−e[n]

Figura 4.16: Sistema adaptativo para la identificacion de H(z).

Suponga que el sistema a identificar H(z) es un filtro FIR de dos coefi-cientes, siendo h[0] = 1 y h[1] = 0,3.

Suponga que x[n] es ruido blanco de potencia unidad y de media nula.

Calcule la matriz de autocorrelacion R, el vector de correlaciones cruzadasP y los pesos optimos W ∗ para los siguientes casos:

a) El filtro adaptativo es un combinador lineal de dos coeficientes.

b) El filtro adaptativo es un combinador lineal de tres coeficientes.

c) El filtro adaptativo es un combinador lineal de un coeficiente.

Suponga ahora que la senal x[n] tiene como funcion de autocorrelacion

Rx[m] = 0,9|m|

Calcule nuevamente la matriz de autocorrelacion R, el vector de correlacionescruzadas P y los pesos optimos W ∗ para los casos:

d) El filtro adaptativo es un combinador lineal de dos coeficientes. Comentelas diferencias que observa con respecto al resultado que obtuvo en elapartado a).

e) El filtro adaptativo es un combinador lineal de un coeficiente. Comentelas diferencias que observa con respecto al resultado que obtuvo en elapartado c).

PROBLEMA 4.13. 241

f) Una forma de medir la bondad del filtro adaptativo que identifica alfiltro real consiste en medir el error en funcion de la frecuencia:

|Hp(ejω)−Ha(e

jω)|

donde Hp(ejω) es la respuesta en frecuencia de la planta (filtro a iden-

tificar) y Ha(ejω) es la respuesta en frecuencia del filtro adaptativo una

vez adaptados los coeficientes.

Calcule la expresion de dicho error para el filtro adaptativo obtenido enel apartado anterior. Particularice para las frecuencias ω = 0 y ω = π.¿En cual de ellas el error es mayor? ¿Por que?

g) Comente razonadamente lo que sucede con la velocidad de convergenciaen los casos a) y d). ¿Cree que convergera mas rapido alguno de ellos?Si la respuesta es afirmativa, indique cual y por que.

Solucion

a) La senal d[n], segun el esquema de la figura 4.16, sera:

d[n] = h[0]x[n] + h[1]x[n− 1] = x[n] + 0,3x[n− 1]

Rdx[m] = Ed[n]x[n−m] = Rx[m] + 0,3Rx[m− 1]

Para el caso en que el filtro adaptativo sea un combinador lineal de doscoeficientes, la matriz de autocorrelacion R es:

R =

[

Rx[0] Rx[1]Rx[1] Rx[0]

]

y el vector de correlaciones cruzadas P :

P =

[

Rdx[0]Rdx[1]

]

Teniendo en cuenta que x[n] es ruido blanco de potencia unidad (Rx[m] =δ[m]):


R =

[

1 00 1

]

y

P =

[

10,3

]

El vector de pesos optimos sera, por tanto:

W ∗ = R−1P =

[

1 00 1

] [

10,3

]

=

[

10,3

]

b) Ahora el numero de coeficientes del filtro adaptativo es 3, por tanto

R =


=

1 0 00 1 00 0 1

y el vector de correlaciones cruzadas P :

P =

Rdx[0]Rdx[1]Rdx[2]

=

10,30

por lo que

W ∗ =

10,30

c) Para el caso de 1 coeficiente:

R = 1

P = 1

W ∗ = 1

d) La senal x[n] tiene ahora como autocorrelacion Rx[m] = 0,9|m| por loque para el caso de dos coeficientes tendremos:

R =

[

1 0,90,9 1

]

PROBLEMA 4.13. 243

y

P =

[

1,271,2

]

W ∗ = R−1P =

[

5,2632 −4,7368−4,7368 5,2632

] [

1,271,2

]

=

[

10,3

]

No existen diferencias con el resultado obtenido en el apartado a, ya queen ambos casos los pesos optimos a los que converge el filtro adaptativoson los mismos, queriendo ello decir que si el filtro a identificar tiene elmismo numero de coeficientes que el adaptativo, siempre, independien-temente de la senal de entrada, se convergera a la solucion optima ycorrecta (coeficientes exactos del filtro FIR a identificar).

e) Para un coeficiente

R = 1

P = 1,27

W ∗ = 1,27

En este caso sı que hay diferencias porque el numero de coeficientes delfiltro adaptativo es menor que el del sistema planta. Ello se debe a queel filtro adaptativo, con un coeficiente, jamas puede modelar una plantade 2.

f) El error cometido en el apartado anterior sera:

|1 + 0,3e−jω − 1,27| = | − 0,27 + 0,3e−jω|

ω = 0 error = 0,03

ω = π error = 0,57

El error es menor en el caso ω = 0, que es donde la densidad espectralde la senal x[n] es mayor.

g) Para estudiar la velocidad de convergencia habra que calcular los auto-valores de la matriz R y para ello

|R− λI| = 0


En el apartado a):

∣

∣

∣

∣

1− λ 00 1− λ

∣

∣

∣

∣

= 0

(1− λ)2 = 0

Tendremos dos autovalores iguales

λ1 = λ2 = 1

En el apartado d):

∣

∣

∣

∣

1− λ 0,90,9 1− λ

∣

∣

∣

∣

= 0

λ2 − 2λ+ 0,19 = 0

Los autovalores sonλ1 = 1,9 y λ2 = 0,1

En el caso del apartado d) se observa que la dispersion de autovalores(λmax/λmın) aumenta con respecto al apartado a), y por lo tanto laconvergencia sera mas lenta (escogiendo µ igual de bien en ambos casos).Por tanto el filtro del apartado a) convergera mas rapidamente a los pesosoptimos.

PROBLEMA 4.14. 245

Problema 4.14

Considere que tiene una senal d[n] que es:

d[n] = s[n] + r[n]

donde s[n] es un termino de senal deseada y r[n] es un ruido indeseado. Sesupone que s[n] y r[n] estan incorreladas entre sı y que ambas tienen medianula y unas varianzas σ2s y σ2r respectivamente. Con el fin de separar s[n] yr[n] se dispone de una segunda mezcla de ambas que llamaremos x[n] y quevale:

x[n] = α s[n] + β r[n]

Dichas senales se introducen en un sistema como el de la figura, donde el filtrotiene 1 coeficiente.

W

+

−-

6

-?

x[n]

d[n]

e[n]

Suponiendo α = 0, se pide:

a) Determine el valor del peso que minimiza la potencia de e[n].

b) Determine cuanto vale e[n] con el valor del peso optimo.

Suponga ahora que α 6= 0

c) Determine la matriz de autocorrelacion y el vector de correlaciones cru-zadas.

d) Determine el valor del peso que minimiza la potencia de e[n]. Verifiqueque la expresion obtenida coincide con el resultado del apartado a) parael caso α = 0.

e) Determine cuanto vale la senal error con el valor del peso optimo.

f) La senal error que acaba de determinar en el apartado anterior contienedos terminos claramente diferenciados:

Terminos debidos a s[n].

Terminos debidos a r[n]


Determine el cociente entre la potencia de los terminos debidos a s[n] ylos terminos debidos a r[n].

g) La senal x[n] tambien contiene terminos debidos a s[n] y otros debidos ar[n]. Determine el cociente de las potencias de dichos terminos en x[n].Compare el resultado con el obtenido en el apartado f).

Solucion

a) w∗ = 1/β

b) e[n] = s[n].

c) Como s[n] y r[n] son incorrelados se cumple

Rx[m] = α2Rs[m] + β2Rr[m]

La matriz de autocorrelacion en este caso es un escalar y vale

R = Rx[0] = α2 σ2s + β2 σ2r

En cuanto a la correlacion cruzada, dado que s[n] y r[n] estan incorre-lados vale:

Rxd[m] = Ex[n+m]d[n] = αRs[m] + βRr[m]

con lo queP = Rxd[0] = ασ2s + β σ2r

d) El peso optimo vale:

w∗ = R−1 P =ασ2s + β σ2rα2 σ2s + β2 σ2r

Se ve facilmente que si α = 0 el resultado coincide con el del apartado a)

e) La senal error vale:

e[n] = s[n] (1− αw∗) + r[n](1− βw∗)

PROBLEMA 4.14. 247

f) La potencia debida a s[n] vale:

σ2s(1− αw∗)2

y la debida a r[n]σ2r (1− βw∗)2

Sustituyendo el valor de w∗ y operando se obtiene:

Potencia terminos de s[n] en e[n]

Potencia terminos de r[n] en e[n]=β2σ2rα2σ2s

g) En cuanto a x[n]

Potencia terminos de s[n] en x[n]

Potencia terminos de r[n] en x[n]=α2σ2sβ2σ2r

Es facil darse cuenta que:

Potencia terminos de s[n] en e[n]

Potencia terminos de r[n] en e[n]=

(

Potencia terminos de s[n] en x[n]

Potencia terminos de r[n] en x[n]

)−1

es decir se invierten las proporciones.


Problema 4.15

Una de las aplicaciones del filtrado adaptativo es la conocida con el nom-bre de identificacion de sistemas. A traves de un sistema adaptativo comoel mostrado en la figura 4.17 se trata de obtener los coeficientes de un filtro(adaptativo) que se comporte de la manera mas parecida posible a otro siste-ma LTI desconocido (planta). Para ello, se obtienen aquellos coeficientes quehacen que, para una determina secuencia de entrada x[n], la potencia de lasenal e[n] sea la mınima posible.

¿Planta?

Filtro. Adapt.

d[n]

x[n]

y[n]-

-

-

6

?+

−

e[n]

Figura 4.17: Identificacion de Sistemas.

A la hora de comparar el parecido entre dos sistemas LTI podemos evaluaruna medida de la diferencia entre sus respuestas impulsivas

E =∞∑

n=−∞

|hplanta[n]− hFA[n]|2

siendo hplanta[n] la respuesta impulsiva de la planta y hFA[n] la respuesta im-pulsiva del filtro adaptativo una vez finalizada la adaptacion de sus coeficien-tes. Cuanto menor sea el error E, mayor es el parecido entre los dos sistemas.Si E = 0, entonces la identificacion es perfecta, esto es, los dos sistemas sonidenticos.

a) Demuestre que el error E tambien se puede obtener comparando lasrespuestas frecuenciales de los dos sistemas evaluando la expresion

E =1

2π

∫ π

−π

∣

∣Hplanta(ejω)−HFA(e

jω)∣

∣

2dω

donde Hplanta(ejω) es la respuesta frecuencial de la planta y HFA(e

jω)es la respuesta frecuencial del filtro adaptativo una vez conseguida laadaptacion de sus coeficientes.

PROBLEMA 4.15. 249

b) Obtenga la expresion de la potencia de la senal e[n] en funcion de Sx(ejω),

Hplanta(ejω) y HFA(e

jω).

c) Observe que no siempre la adaptacion de los coeficientes del sistemaadaptativo conduce a minimizar el error E de la expresion a). Indiquecomo debe ser Sx(e

jω) para que la adaptacion minimice el error E.

Suponga que la funcion de transferencia de la planta es

Hplanta(z) = 1 + z−1 + z−2

y que el filtro adaptativo es un combinador lineal de dos coeficientes. Parainvestigar el efecto que puede tener la senal x[n] escogida como entradadel sistema, vamos a considerar dos secuencias de entrada distintas: unruido blanco y un tono.

d) Considere que la entrada x[n] es un ruido blanco discreto de potenciaunidad. Calcule la matriz R, el vector de correlaciones cruzadas P y elvector de coeficientes optimo W ∗.

e) Considere ahora que la entrada x[n] es

x[n] = cos(π

2n+ φ)

siendo φ una variable aleatoria uniformemente distribuida entre −π y π.Calcule la matriz R, el vector de correlaciones cruzadas P y el vector decoeficientes optimo W ∗.

f) Calcule el error E que se tendrıa tras la adaptacion en ambos casos(ruido blanco y tono). ¿Cual es menor? ¿Por que?

g) ¿Cual es la potencia de error mınima (ξmin) cuando x[n] es ruido blanco?¿Y cuando x[n] es el tono?

h) Si se utiliza el algoritmo LMS para implementar el sistema adaptativo,¿con que senal de entrada se obtendra un mayor exceso en la potenciade error, con el ruido blanco o con el tono? Justifique las respuestas.


Solucion

a) Recordando el teorema de Parseval

∑

n

|h[n]|2 = 1

2π

∫ π

−π

∣

∣H(ejω)∣

∣

2dω

y aplicando dicho teorema a

h[n] = hplanta[n]− hFA[n]

obtenemos

∞∑

n=−∞

|hplanta[n]− hFA[n]|2 =1

2π

∫ π

−π

∣


jω)∣

∣

2dω

b) La secuencia e[n]

e[n] = x[n] ∗ hplanta[n] − x[n] ∗ hFA[n]

= x[n] ∗ (hplanta[n] − hFA[n])

= x[n] ∗ h[n] (4.3)

y la funcion de autocorrelacion Re[m] es

Re[m] = Rx[m] ∗ h[m] ∗ h[−m]

y aplicando la transformada de Fourier a ambos lados de la anteriorigualdad obtenemos

Se(ejω) = Sx(e

jω)H(ejω)H∗(ejω)

= Sx(ejω)

∣

∣H(ejω)∣

∣

2

Por tanto, la potencia de la secuencia e[n] es

Pe =

∫ π

−πSx(e

jω)∣


jω)∣

∣

2dω

PROBLEMA 4.15. 251

c) Observe que la minimizar la potencia de la senal error (expresion b)) enel sistema adaptativo no es, en general, equivalente a minimizar el errorE definido en la expresion (a)), excepto en el caso en que la senal deentrada sea un ruido blanco

Sx(ejω) = σ2x

pues en ese caso

Pe =σ2

2π

∫ π

−π

∣


jω)∣

∣

2dω

d) Si x[n] es ruido blanco de potencia unidad, entonces Rx[m] = δ[m] yconsecuentemente

R =

[

1 00 1

]

La secuencia d[n] es

d[n] = x[n] + x[n− 1] + x[n− 2]

y la funcion de autocorrelacion de d[n] es

Rdx[m] = Ed[n+m]x∗[m]= Rx[m] +Rx[m− 1] +Rx[m− 2]

y por tanto, el vector de correlaciones cruzadas es

P =

[

11

]

A partir de R y P ya podemos obtener los pesos optimos

W ∗ = R−1 P =

[

11

]

Observe que en este caso, obtenemos un resultado identico al que hu-bieramos obtenido al minimizar la expresion a): si el filtro adaptativotiene dos coeficientes y la planta tiene tres, la mejor aproximacion con-siste en que los dos coeficientes del filtro adaptativo sean identicos a loscorrespondientes de la planta.

e) Si x[n] = cos(π/2n + φ), la funcion de autocorrelacion es

Rx[m] = E x[n+m]x∗[n]

=1

2E cos(π(2n+m)/2 + 2φ) + cos(πm/2)

=1

2cos(πm/2) (4.4)


siendo en este caso la matriz de autocorrelacion

R =1

2

[

1 00 1

]

En cuanto a la correlacion cruzada

Rdx[m] = Ed[n+m]x∗[m]= Rx[m] +Rx[m− 1] +Rx[m− 2]

=1

2[cos(πm/2) + cos(π(m− 1)/2) + cos(π(m− 2)/2)](4.5)

y por tanto el vector de correlaciones cruzadas es

P =

[

01/2

]

siendo los pesos optimos

W ∗ = R−1 P =

[

01

]

f) En el caso del ruido blanco

E =

∞∑

n=−∞

|hplanta[n]− hFA[n]|2 = 1

mientras que en el caso del tono

E =∞∑

n=−∞

|hplanta[n]− hFA[n]|2 = 1 + 0 + 1 = 2

En el caso del ruido blanco minimizamos el error de aproximacion a todaslas frecuencias, mientras que en el caso de un tono el sistema minimizael error a la frecuencia del tono sin considerar todas las demas. Comoen la definicion del error E se tienen en cuenta todas las frecuencias, alutilizar ruido blanco obtenemos menor error.

g) Si x[n] es ruido blanco, tras la adaptacion la senal error es

e[n] = (x[n] + x[n− 1] + x[n− 2]) − (x[n] + x[n− 1]) = x[n− 2]

y la potencia de error mınima es

minPe = 1

PROBLEMA 4.15. 253

En cambio, en el caso del tono, tras la adaptacion la senal error es

e[n] = (x[n] + x[n− 1] + x[n− 2]) − x[n− 1] = x[n] + x[n− 2]

y como x[n] = cos(πn/2) obtenemos

e[n] = cos(πn/2) + cos(π(n− 2)/2) = 0

con lo queminPe = 0

Por tanto, utilizando un algoritmo LMS, tendremos exceso en la potenciade error cuando x[n] es un ruido blanco.


Capıtulo 5

Analisis espectral

Problema 5.1

Los analizadores de espectros basados en la FFT tienen un esquema comoel de la figura 5.1.

- -

?

?

?

?

?

-

?-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

xc(t)

x[n]Xn[k] In[k] Pn[k]

FiltroAntialias.

Div.frec. M

Reloj Ts

C/D

FFT-N 1NU | · |2 Display...

H(z)

H(z)

H(z)

H(z)

H(z)

w[0]

w[1]

w[2]

w[N − 2]

w[N − 1]

z−1

z−1

z−1

0

1

2

N-2

N-1

0

1

2

N2 -1

N2

0

1

2

N2 -1

N2

0

1

2

N2 -1

N2

Figura 5.1: Esquema de un analizador de espectros basado en la FFT.

255

256 CAPITULO 5. ANALISIS ESPECTRAL

En el esquema se puede observar que existe una lınea de retardadores quecontienen la ultimas N muestras de la senal de entrada. Estas muestras sonenventanadas con una ventana simetrica (multiplicadores w[i]). Cada M pe-riodos de muestreo, el bloque FFT coge sus N entradas y calcula la FFTdevolviendo los valores FFT correspondientes a los ındices 0, . . . , N/2. El si-guiente bloque calcula en paralelo el modulo al cuadrado de cada una de susentradas, y el resultado lo divide por la constante indicada. Observese que lasenal calculada es el periodograma. El periodograma, como es sabido, es unasenal aleatoria que (se puede demostrar) cumple:

VarI(ω) ≈(

Sx(ejω))2

A fin de reducir dicha varianza, lo que se hace es promediar los periodogramasIn[k] de distintos instantes (In−1[k], In−2[k], . . .) de un modo recursivo con losfiltros mostrados.

Suponga que la senal x[n] de entrada es ruido blanco gaussiano de medianula y potencia 1.

Se pide:

a) Explicar por que solo se toman los N/2+ 1 primeros valores de la FFT.

b) Indicar cual es el margen de valores de M de modo que:

Todas las muestras de la senal intervengan en los calculos.

Los valores de dos peridogramas consecutivos en la misma frecuen-cia sean independientes entre sı.

c) Relacion entre el ındice k del periodograma y la frecuencia analogicaoriginal

d) Hallar razonadamente la media y la varianza de los periodogramas In[k](en funcion del ındice k). ¿Ha considerado para responder el hecho deque la entrada es blanca? Explıquelo.

e) Suponiendo que el valor de M esta en el margen determinado en elapartado 2 y suponiendo que los filtros sean de la forma

H(z) =1− a

1− az−1

hallar la media y la varianza de las senales a las salidas de los filtrosPn[k] (en funcion de k).

f) Indique el margen de valores de a de modo que la varianza a la salidade los filtros sea menor que a la entrada. Indique los efectos positivos ynegativos si a se aproxima a su valor maximo o a su valor mınimo.

PROBLEMA 5.1. 257

g) Normalmente el ındice cero de la entrada de una DFT corresponde a lamuestra mas antigua de la senal y el ındice N − 1 corresponde a la masnueva, o dicho de otro modo, la muestra de ındice N − 1 corresponde aun instante posterior al de la muestra cero. Sin embargo en el esquemadado la muestra de ındice cero corresponde a la muestra mas reciente dela senal de entrada y la de ındice N − 1 corresponde a una muestra deun instante anterior (justo al reves de lo habitual). Indique si este hechoafecta al periodograma. Si la respuesta es que sı, indique como. Si es queno, indique por que.

h) Sobre el factor U , indique para que sirve, de que depende y como sedetermina.

Solucion

a) Se toma solo la primera mitad porque esa primera mitad corresponde alas frecuencias positivas. La segunda mitad corresponde a las frecuenciasnegativas y como se sabe el modulo de la transformada de Fourier de unasecuencia real es par.

b) Para que todas las muestras intervengan

M ≤ N

Para que sean independientes los distintos periodogramas, la cantidadde muestras comunes en dos periodogramas debe ser menor que N/2(solapamiento menor que 1/2). Por lo tanto

N

2< M ≤ N

c) La relacion es

fa =k

Nfs

d) Nos dicen que la senal x[n] es ruido blanco de potencia σ2 = 1. El ruidoblanco discreto tiene una DEP constante y de valor Sx(e

jω) = σ2 = 1.


Sabemos que el periodograma es un estimador sesgado de la DEP y quela media de I(ejω) es

EI(ejω) = 1

2πNU

∫ π

−πSx(e

jθ)∣

∣

∣W(

ej(ω−θ))∣

∣

∣

2dθ

es decir, la convolucion periodica de la verdadera DEP con el modulo alcuadrado de la transformada de Fourier de la ventana. Sin embargo siSx = cte entonces EI(ejω) = cte. La constante U se elige para que sila senal de entrada es blanca, el peridograma sea insesgado, es decir

EI(ejω) = Sx(ejω) = σ2 = 1, ∀ω

Por el enunciado sabemos que

varI(ejω) ≈ S2x(e

jω) = 1, ∀ω

Se ha hecho uso del hecho de que x[n] era blanca para:

Determinar Sx(ejω).

Poder afirmar que EI(ejω) = Sx(ejω) lo cual es cierto estricta-

mente unicamente si la senal es ruido blanco.

e) En nuestro caso se tiene H(ej0) = 1. La relacion entre la media de unproceso a la entrada de un filtro y a la salida es

EPn[k] = EIn[k]H(ej0) = 1 ∀k

Si se cumplen las condiciones del apartado b) entonces la secuencia devalores In−1[k], In[k], In+1[k], . . . corresponde a valores independientes demedia no nula. Como son independientes, la secuencia Qn[k] = (In[k]−I[k]), es blanca, de varianza igual a la secuencia In[k], es decir, la senalde entrada al filtro es la suma de una componente continua (la media)mas una senal blanca. A efectos de calcular la varianza solo nos interesaaquella parte de la senal de entrada que varıa con el tiempo, es decir,Qn. Segun lo visto

σ2i = σ2Q = 1

Por lo tanto la varianza a la salida del filtro sera:

σ2P =

∫ 0,5

−0,5ΦP (e

jω) df

=

∫ 0,5

−0,5σ2Q |H(ejω)|2 df

= σ2I∑

n

|h[n]|2 = 11− a1 + a

PROBLEMA 5.1. 259

f) Para que el filtro sea estable debe cumplirse que |a| < 1. Para que lavarianza sea menor a la salida del filtro que a la entrada debe cumplirseque

1− a1 + a

< 1

lo que implica a > 0. Resulta pues que la condicion es

0 < a < 1

g) Este hecho no afecta pues el hecho de coger las muestras cambiadasde orden hace que si el vector que deberıamos tener fuese x[n], el querealmente tenemos sea x[((−n− 1))N ]. Si x[n] es real entonces la trans-formada de Fourier de x[((−n− 1))N ] vale

X∗[k] ej2πN

k

Notese que tras la FFT se toma el modulo al cuadrado y que

∣

∣

∣X∗[k] ej2πN

k∣

∣

∣

2= |X[k]|2

luego no afecta.

h) El factor U es un factor de normalizacion que depende de la ventana,y que se determina para que el periodograma del ruido blanco tenga demedia el valor correspondiente a la verdadera DEP de dicho ruido. Suefecto consiste en compensar la perdida de amplitud introducida por lasventanas en los extremos.

U =1

L

L−1∑

n=0

w2[n]

Su valor es 1 para la ventana rectangular y menor que dicho valor parael resto de ventanas usuales.


Problema 5.2

Antes de efectuar el analisis espectral de un proceso estocastico es ha-bitual extraer la componente continua del mismo, ya que dicha componentepuede perturbar la estima del resto de componentes frecuenciales. Considereel proceso aleatorio

x[n] = K + w[n]

donde w[n] es ruido blanco de media nula y varianza σ2w.

a) Calcule y dibuje la funcion de autocorrelacion Rx[m] y la densidad es-pectral de potencia Sx(e

jω) del proceso x[n].

b) Suponga que sobre un cierto registro de datos hemos aplicado el metodoBlackman-Tukey, utilizando el estimador insesgado de la autocorrelaciony una ventana rectangular de duracion 3. Calcule el sesgo del estimadorpara ω > 0 en funcion de K.

c) Con el fin de eliminar la componente continua se decide filtrar la secuen-cia x[n] con un filtro con respuesta al impulso

h[n] =

−0, 5, n = 01, n = 1

−0, 5, n = 20, resto

Calcule el cociente Sy(ejω)/Sx(e

jω) entre las densidades espectrales depotencia a la salida y a la entrada del filtro paso-alto. Particularice elresultado para ω = 0.

Solucion

a) La funcion de autocorrelacion es

Rx[m] = Ex[n+m]x[n]= E(K + w[n+m]) (K + w[n])= K2 +K Ew[n]+K Ew[n+m]+ Ew[n+m]w[n]= K2 + σ2w δ[m]

PROBLEMA 5.2. 261

y la DEP es

Sx(ejω) = TFRx[m] = 2πK2δ(ω) + σ2w, |ω| < π

repitiendose periodicamente fuera del intervalo indicado.

b) La estima de la densidad espectral de potencia es

S(ejω) =1∑

m=−1

Rx[m] e−jωm

y su esperanza

ES(ejω) =1∑

m=−1

ERx[m] e−jωm

=1∑

m=−1

Rx[m] e−jωm

= σ2w +K2 (1 + 2 cosω)

El sesgo es por tanto:

Sx(ejω)− ES(ejω) = −K2 (1 + 2 cosω), 0 < ω < π

c) El cociente entre las densidades espectrales de potencia es

Sy(ejω)

Sx(ejω)=∣

∣H(ejω)∣

∣

2= |1− cosω|2

y particularizando para ω = 0 se obtiene

Sy(ej0)

Sx(ej0)= 0


Problema 5.3

Sea x[n] un proceso estocastico cuya autocorrelacion vale:

Rx[m] = A2 cos(ω0m) + σ2w δ[m]

Se pide:

a) Calcule y dibuje la Densidad Espectral de Potencia Sx(ejω) de x[n]

b) Suponiendo las autocorrelaciones teoricas, calcule el estimador espectralAR de orden 1 de Sx(e

jω).

c) Suponga que pasamos x[n] por un filtro cuya respuesta al impulso es:

h[n] =

1 n = 0−0, 5 |n| = 1

0 resto

Determine la potencia media del proceso de salida del filtro.

Solucion

a) La densidad espectral de potencia es

Sx(ejω) = TFRx[m] = A2 π (δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)) + σ2w, |ω| < π

repitiendose periodicamente fuera del intervalo indicado.

b) La densidad espectral de potencia del proceso AR es

SAR(ejω) =

|G|2|1− a1 e−jω|2

Para determinar |G|2 y −a1 planteamos las ecuaciones de Yule-Walker:

[

Rx[0] Rx[1]Rx[1] Rx[0]

] [

1−a1

]

=

[

|G|20

]

PROBLEMA 5.3. 263

[

A2 + σ2w A2 cosω0

A2 cosω0 A2 + σ2w

] [

1−a1

]

=

[

|G|20

]

Resolviendo el sistema obtenemos

a1 =A2 cosω0

A2 + σ2w|G|2 = A2 + σ2w −

(A2 cosω0)2

A2 + σ2w

c) La respuesta frecuencial:

H(ejω) = 1− cos(ω)

y la potencia es

Py =1

2π

∫ π

−πSy(e

jω) dω =1

2π

∫ π

−πSx(e

jω) |H(ejω)|2 dω

=1

2π

∫ π

−π

[

A2 π (δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)) + σ2w]

(1− cosω)2 dω

=A2

2

[

(1− cosω0)2 + (1− cosω0)

2]

+σ2w2π

∫ π

−π(1− cosω)2 dω

= A2 [1,5 + 0,5 cos(2ω0)− 2 cosω0] +3

2σ2w


Problema 5.4

Sea x[n] = Aejω0n+Φ + Bw[n] un proceso estocastico, donde A, ω0 y Bson constantes reales, Φ es una variable aleatoria uniformemente distribuidaentre 0 y 2π, y w[n] es ruido blanco de media 0 y varianza unidad.

a) Calcule y dibuje la funcion de autocorrelacion y el espectro de x[n]

b) Sobre una realizacion de L muestras de x[n] calculamos el periodograma.Indique el sesgo que se produce en pulsaciones ω 6= ω0.

c) Calcule nuevamente el sesgo en ω 6= ω0, pero asumiendo que hemos uti-lizado el metodo de Blackman-Tukey con el estimador de la correlacioninsesgado y con una ventana rectangular entre −M y M (M < L).

d) Suponga que el proceso x[n] se filtra con un filtro FIR que tiene un unicocero en z = ejω0 y ganancia unidad en ω = 0. A continuacion aplicamosel estimador espectral del apartado 3 sobre la salida del filtro. Calculenuevamente el sesgo con respecto al espectro teorico a la entrada delfiltro para ω 6= ω0.

Solucion

a) La autocorrelacion es:

R[m] = Ex[n+m]x∗[n]= EAej(ω0(n+m)+φ) Ae−j(ω0n+φ)+ EAe−j(ω0n+φ) Bw[n+m]+ EAej(ω0(n+m)+φ) Bw∗[n]+ EBw[n+m] Bw∗[n]= A2 ejω0m +B2 δ[m] (5.1)

La densidad espectral de potencia vale:

Φ(ejω) = TFR[m] = 2πA2 δ(ω − ω0) +B2, −π ≤ ω ≤ π

b) La esperanza matematica del estimador espectral del periodograma vale:

ES(ejω) = S(ejω) ∗ |VR(ejω)|21

L

PROBLEMA 5.4. 265

donde ∗ denota en este caso convolucion periodica y

|VR(ejω)|2 =sen2(ωL/2)

sen2(ω/2)

es el modulo al cuadrado de la transformada de Fourier de una ventanarectangular de duracion L muestras. Por lo tanto

ES(ejω) =A2

L

sen2((ω − ω0)L/2)

sen2((ω − ω0)/2)+B2 ∗ |VR(ejω)|2

1

L

=A2

L

sen2((ω − ω0)L/2)

sen2((ω − ω0)/2)+B2

Por lo tanto el sesgo vale

Sesgo , S(ejω)− ES(ejω)

= A2πδ(ω − ω0)−A2

L

sen2((ω − ω0)L/2)

sen2((ω − ω0)/2)

que para ω 6= ω0 resulta:

Sesgo = −A2

L

sen2((ω − ω0)L/2)

sen2((ω − ω0)/2)

c) Utilizando Blacman-Tukey:

ES(ejω) = S(ejω) ∗VR(ejω)

donde VR es la transformada de Fourier de una ventana rectangularde duracion 2M + 1 muestras centrada en el origen. Por lo tanto, yanalogamente al apartado anterior:

Sesgo , S(ejω)− ES(ejω)

= −A2 sen2((ω − ω0)(2M + 1)/2)

sen2((ω − ω0)/2), ω 6= ω0

d) El filtro utilizado es:

H(z) =1− ejω0 z−1

1− ejω0

pues cumple las condiciones de

Tener un unico cero en z = ejω0 .

Tener ganancia unidad en ω = 0.


La senal filtrada tendra por densidad espectral de potencia

SF (ejω) = S(ejω) |H(ejω)|2

= B2 |H(ejω)|2

puesto que se elimina la raya espectral en ω = ω0. La autocorrelacion dela senal filtrada sera

RF [m] = TF−1(SF (ejω))

= B2 δ[m] ∗ h[m] ∗ h∗[−m]

= B2 h[m] ∗ h∗[−m]

Como el filtro no es real, la autocorrelacion sera compleja y presentara si-metrıa conjugada. Ademas como el numero de coeficientes del filtro es2, h[m] ∗ h[−m] tendra duracion 3. Por lo tanto al aplicar el estima-dor Blackman-Tukey, que lo que hace es truncar la autocorrelacion, concualquier impar y M ≥ 1, el truncamiento de la transformada de Fou-rier de la autocorrelacion truncada de RF [m] es equivalente a tomar latransformada de Fourier de RF [m] sin truncar. Por ello, para ω 6= ω0

resultaSesgo = B2

(

1− |H(ejω)|2)

, ω 6= ω0

con

H(ejω) =1− ej(ω0−ω)

1− ejω0

PROBLEMA 5.5. 267

Problema 5.5

Existen numerosos ejemplos en la naturaleza de senales cuasi-periodicas.Uno de ellos de especial importancia en telecomunicacion es la voz (sonidosvocalicos). Este tipo de senales tiene una autocorrelacion de la forma

Rx[m] =∑

k

α|m−kN0| β|k| = α|m| ∗∑

k

β|k|δ[m− k N0]

Suponiendo que αN0 << β

a) Dibuje la autocorrelacion Rx[m]. Calcule y represente la densidad espec-tral de potencia Sx(e

jω).

Dichas senales se modelan habitualmente como el resultado de aplicaruna excitacion cuasi-periodica a un filtro H(ejω)

- -H(ejω)s[n] x[n]

Rs[m] =∑

k

β|k| δ[m− k N0]

Figura 5.2: Modelo de generacion de senales cuasi-periodicas

b) En la figura 5.2, determine |H(ejω)|2 para que x[n] tenga la autocorre-lacion correcta.

c) Suponga que se toma un registro de la senal x[n] de L muestras de dura-cion (L >> N0). Se calcula con dichas muestras el periodograma. Dibujeaproximadamente el resultado del periodograma. Sea lo mas exacto quepueda en su dibujo.

d) Suponiendo que se toma una ventana rectangular de semiancho M <<N0, cumpliendose ademas que αM ≈ 0, se aplica el estimador BT so-bre el estimador insesgado de la autocorrelacion. Determine cuanto valeESBT (e

jω).

e) A la vista de sus respuestas en los apartados anteriores, indique razona-damente cual serıa el procedimiento mas adecuado para determinar:

El cuasi-periodo N0

|H(ejω)|2


f) Cuando se codifican senales, con el fin de reducir el numero de bitsnecesarios se transmiten no las muestras de la senal directamente (x[n])sino la diferencia entre las muestras y una estima de las mismas:

e[n] = x[n]− x[n]

x[n], la estima, se suele obtener como una combinacion lineal de lasmuestras anteriores de la senal de entrada. Dada la naturaleza cuasi-periodica de la senal x[n] consideraremos:

x[n] = a1 x[n− 1] + a2 x[n−N0]

Para que e[n] tenga menor varianza que x[n] es necesario que los coefi-cientes de estima sean los adecuados. Determine el valor de los coeficien-tes a1 y a2 de modo que se minimice la potencia de e[n]. Determine elvalor de dicha potencia mınima.

Solucion

a) La autocorrelacion sera de la forma mostrada en la figura 5.3, ya que es laconvolucion de una exponencial con un tren de deltas centradas en k/N0

y de amplitud decreciente1. Para calcular la DEP hay que calcular laTF de la autocorrelacion. La autocorrelacion la tenemos expresada comouna convolucion. Calcularemos las TF individuales y luego realizaremosel producto.

TFα|m| = 1− α2

1 + α2 − 2α cosω

La anterior TF presenta un maximo para f = 0 y un mınimo paraf = 0,5 (si α > 0, en caso contrario el maximo esta en f = 0,5 y elmınimo en f = 0; en lo que sigue supondremos que α > 0). La forma

1Tanto α como β deben de tener modulo menor que uno pues la autocorrelacion debe sermaxima en el origen.

PROBLEMA 5.5. 269

R [m]x

mNo 2No

β β21

Figura 5.3: Rx[m].

de calcularla es mediante la suma de dos progresiones geometricas unapara m ≥ 0 y otra para m < 0. La siguiente transformada de Fouriervale:

TF∑

k

β|k|δ[m− k N0] =1− β2

1 + β2 − 2β cosωN0

Esta se puede calcular mediante suma de progresiones geometricas oalternativamente, se puede pensar que el termino de β’s es como el deα’s pero rellenado por ceros intermedios por un factor N0. Sabiendo queen ese caso el espectro se comprime por un factor N0 resulta inmediatoobtener la TF. El termino de β’s tendra la misma forma que el de α’spero comprimido, es decir presentara maximos en kN0.

La DEP de la senal x[n] resulta finalmente:

Φx(ejω) =

1− α2

1 + α2 − 2α cosω· 1− β21 + β2 − 2β cosωN0

La representacion grafica se muestra en la figura 5.4.

b) Dado que:φx(e

jω) = φs(ejω)|H(ejω)|2

y dado que φs(ejω) es la transformada de Fourier de la parte de β’s del

apartado anterior:

|H(ejω)|2 = 1− α2

1 + α2 − 2α cosω

c) El espectro de x[n] son picos espaciados 1/N0. La resolucion del periodo-grama es de 1/L. Por tanto lo que se obtendra del periodograma sera algosimilar a la figura 5.4 pero con fluctuaciones debidas a la varianza delestimador.

d) Enventanar la autocorrelacion de la forma indicada en el enunciado equi-vale a quedarse con el pulso central de la autocorrelacion de la figura 5.3.


-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

20

40

60

80

100

120

3/No1/No

DEP

Figura 5.4: Densidad espectral de potencia de x[n].

Dicho pulso tiene por expresion α|m|, y su transformada de Fourier nosdara la media del estimador BT.

ESBT (ejω) = 1− α2

1 + α2 − 2α cosω

e) El estimador BT nos da la envolvente espectral |H(ejω)|2 y NO permiteresolver los picos en los armonicos de 1/N0. El periodograma, si L >> N0

por el contrario permite resolver los picos y por lo tanto determinandola frecuencia de los mismos es posible inferir N0.

f) El problema de determinar los coeficientes a1 y a2 optimos es identico aun problema de filtrado adaptativo en el que

d[n] = x[n]

X[n] = (x[n− 1], x[n−N0])

La matriz de autocorrelacion vale:

R =

(

Rx[0] Rx[N0 − 1]Rx[N0 − 1] Rx[0]

)

PROBLEMA 5.5. 271

y el vector de correlaciones cruzadas vale

P =

(

Rx[1]Rx[N0]

)

Teniendo en cuenta que2 Rx[0] = 1, Rx[1] = α, Rx[N0 − 1] = αβ yRx[N0] = β y resolviendo el sistema hallamos los valores optimos de loscoeficientes

W ∗ = R−1P =

(

a1a2

)

a1 =α− αβ21− α2β2

a2 =β − βα2

1− α2β2

Ademas

ψmın = Ed2 − P ′W ∗ = 1− α2(1− β2)1− α2β2

− β2(1− α2)

1− α2β2

2Estos valores son solo aproximados. La aproximacion es valida si se cumple que losdistintos pulsos de autocorrelacion de la figura 5.3 tienen un solape despreciable. Con lascondiciones del enunciado, dicha aproximacion es valida.


Problema 5.6

El esquema de la figura representa un sistema que trata de detectar lapresencia de un tono en un fondo de ruido. La idea es relativamente simple. Serealiza un analisis espectral de la senal x[n] en la que se quiere determinar lapresencia del tono. El espectro obtenido se compara con una serie de umbrales(uno diferente para cada frecuencia) y si es suficientemente grande en algunafrecuencia se dice que en dicha frecuencia hay un tono.

S(ω)-x[n]

-

-

-

-

-

-

U0

U1

U127

...

k = 0

k = 1

k = 127

U- -a b

b =

1 a ≥ U0 a < U

Para determinar los umbrales, se analiza espectralmente el fondo de ruidoque nos oculta el tono que pretendemos detectar.

Suponga que el bloque S(ω) es un estimador espectral que proporciona

estimas en ωk = 2π128k, k = 0, . . . , 127. Los bloques Uk son los comparadores

que indican la presencia o no del tono.

Suponga que el ruido de fondo es blanco de media nula y potencia unidad.

Suponemos que los umbrales los fijamos segun:

Uk = E

[

SW (2πk

128)

]

+ 2

√

var

[

SW(2πk

128)

]

donde SW (·) = S(·) cuando x[n] contiene unicamente ruido.

a) Suponemos que inicialmente el estimador espectral es el periodograma.

Determine Uk ∀k. ¿Dependen los umbrales de la duracion de laventana del analizador espectral?

Determine igualmente el valor mınimo de A0 de amplitud del tonoque harıa que si existiese dicho tono en x[n] y no existiese ruidose cumpliese que S(ω0) ≥ Uk0 siendo ω0 = 2πk0/128 la pulsaciondel tono. ¿Depende el valor de A0 de la longitud de la ventana delanalizador espectral?

PROBLEMA 5.6. 273

En funcion de las repuestas anteriores, indique que interesa maspara mejorar la sensibilidad del detector de tonos, aumentar la du-racion de la ventana de analisis o disminuirla. ¿Cual es el numerode muestras necesario para realizar una medida?

b) Suponga ahora que empleamos el metodo de Welch o WOSA, con 4segmentos no solapados tomados de x[n].

Recalcule los umbrales Uk.

Si queremos que la resolucion espectral del metodo de Welch seala misma que la del periodograma, ¿Que relacion existira entre elnumero de muestras necesarias para realizar una medida y la am-plitud del tono?

Si deseamos el mismo tiempo de medida para el periodograma quepara el metodo de Welch, ¿Cual de los dos metodos (periodogramao Welch) permite detectar sinusoides mas pequenas?

c) Ahora vamos a aplicar el metodo de Blackman-Tukey con el estimadorinsesgado de la funcion de autocorrelacion. Suponga que la longitud dela ventana empleada sobre la correlacion es de duracion M (impar), yque los segmentos de senal analizados son de duracion L suficientementelarga como para poder considerar varR[m] ≈ 0 |m| < (M−1)/2. ¿Cuales el valor de las estimas espectrales a la entrada de los comparadorespara el caso de que x[n] solo contenga ruido?

d) Con las hipotesis del apartado anterior sobre las estimas de correlacion,y siendo x[n] la suma de un tono de amplitud A0 y pulsacion ω0 = π/2y un ruido blanco de media nula y de potencia media unidad se analizala senal mediante un modelo AR de orden 2.

Determine nuevamente el valor de las estimas espectrales.

Dibuje aproximadamente el estimador espectral para A20/2 << 1 y

A20/2 >> 1

Solucion

a) El periodograma del ruido blanco es insesgado. Por lo tanto:

ESW (ω) = 1


Ademas:varSW (ω) ≈ ESW (ω)2 = 1

Por lo tantoUk = 1 + 2 = 3 ∀k

Los umbrales anteriores no dependen de la longitud de la ventana. Si secalcula el periodograma de un tono, la amplitud maxima del mismo vale

1

LU

(

A0 P

2

)2

donde

P =L−1∑

n=0

w[n]

es la suma de los elementos de la ventana utilizada. En nuestro caso,con una ventana rectangular, P = L, y U = 1, con lo que un tono deamplitud A0 produce un pico en el periodograma de amplitud

A20L

4

que como se ve crece con la duracion de la ventana L. Por lo tanto, paradetectar el tono su amplitud debera ser:

A20L

4> Uk = 3

A0 >

√

12

L

De la anterior expresion es facil ver que interesa que la ventana seagrande para detectar tonos pequenos.

b) En el metodo de Welch la varianza del estimador de ruido se reduce porel numero de segmentos promediados (4 en este caso), permaneciendo lamedia del estimador espectral insesgada. Por lo tanto, para el metodode Welch tenemos:

varSW (ω) ≈ ESW (ω)2 = 1/4

Por lo tanto

Uk = 1 + 2

√

1

4= 2 ∀k

Como se ve, el hecho de que la estima del espectro del ruido sea menosfluctuante (mas fiable) nos permite rebajar los umbrales.

PROBLEMA 5.6. 275

Si deseamos misma resolucion que en el periodograma, cada uno delos segmentos de Welch debera tener la misma duracion de ventanaque el periodograma (L). Por lo tanto el numero de muestras nece-sarias sera de 4L. En este caso la amplitud del pico producido en elestimador espectral por un tono de amplitud A0 vale lo mismo que

en el caso del periodogramaA2

0L4 Para que el tono sea detectado

debe superar el umbral, y por lo tanto

A20L

4> Uk = 2

A0 >

√

8

L

Como se ve, si la resolucion espectral es la misma, el estimador deWelch permite detectar tonos mas pequenos que el periodograma(se podrıa decir que es mejor). Ello se debe no obstante, a quetenemos mas muestras de senal (= mas informacion) para analizar(en concreto 4 veces mas).

Si deseamos que el numero de muestras involucradas en la medi-da sea el mismo, cada uno de los segmentos del metodo de Welchtendra una longitud L/4. En este caso la amplitud del pico produ-cido en el estimador espectral por un tono de amplitud A0 vale

A20(L/4)

4=A2

0 L

16

Para que el tono sea detectado debe superar el umbral, y por lotanto

A20L

16> Uk = 2

A0 >

√

32

L

Como se ve, para que un tono sea detectado necesita tener mayoramplitud que en el periodograma. Ello es debido a que, aunque elmetodo de Welch tiene unos umbrales mas bajos, los picos produ-cidos por la presencia de un tono son mas bajos debido a la peorresolucion del metodo de Welch si el numero total de muestras ana-lizadas es el mismo.

c) El metodo BT enventana una estima de la autocorrelacion y calcula laTF. Como el ruido que tenemos es blanco, su autocorrelacion es unadelta en el origen que una vez enventanada sigue siendo una delta en elorigen. Por lo tanto su TF es cte:

SBT (ω) = 1


d) Para determinar el estimador espectral AR(2) primero hay que resolverlas ecuaciones de Yule-Walker


1−a1−a2

=

G2

00

La autocorrelacion de la senal tono+ruido vale:

Rx[0] = 1 +A2

0

2

Rx[1] =A2

0

2cosω0 = 0

Rx[2] =A2

0

2cos 2ω0 = −

A20

2

Resolviendo

a1 = 0 a2 = −A2

0/2

1 +A20/2

G2 =1 +A2

0

1 +A20/2

La estima espectral es

S(ω) =

∣

∣

∣

∣

G

1− a1z−1 − a2z−2

∣

∣

∣

∣

2

z = ejω

Como se ve, el estimador espectral es el modulo al cuadrado de la respues-ta en frecuencia de un filtro todo polos. Dicha respuesta en frecuenciapresentara un pico en la pulsacion correspondiente al polo y de ampli-tud tanto mas grande cuanto mas cerca este el polo a la circunferenciaunidad. Los polos valen:

z2 − a2 = 0

z = ±√a2 = ±j√

A20/2

1 +A20/2

Como se ve, tiene un pico en ω = π/2 cuyo radio se aproxima a 1 amedida que la SNR (potencia del tono frente a fondo de ruido) tiende ainfinito.

PROBLEMA 5.7. 277

Problema 5.7

Considere el siguiente conjunto de muestras correspondientes a una reali-zacion de un proceso aleatorio Se pide:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x[n] 1 -8 3 -2 4 8 5 -5 -9 5

a) Calcular los valores numericos del periodograma en las frecuencias f = 0y f = 0,5.

b) Calcular el estimador Blackman-Tukey utilizando el ESTIMADOR SES-GADO de la autocorrelacion y una ventana triangular de tamano 3.Obtenga una expresion analıtica.

c) Suponiendo que las anteriores muestras correspondieran a un fragmentode un proceso aleatorio tipo AR de orden 1, determine la expresionanalıtica del estimador parametrico AR de orden 1 de dichas muestras.

Solucion

a) El periodograma se calcula como:

Φx(ejω) =

1

L

∣

∣

∣

∣

∣

L−1∑

n=0

x[n]e−jωn

∣

∣

∣

∣

∣

2

En nuestro caso L = 10. Para ω = 0 resulta:

Φx(ej 0) =

1

10

∣

∣

∣

∣

∣

L−1∑

n=0

x[n]

∣

∣

∣

∣

∣

2

=1

1022 =

4

10

y para ω = π

Φx(ejπ) =

1

10

∣

∣

∣

∣

∣

L−1∑

n=0

x[n] (−1)n∣

∣

∣

∣

∣

2

=1

1062 =

36

10


b) Como nos dicen BT con ventana de tamano 3, necesitamos estimar laautocorrelacion para |m| ≤ 1. Para estimar la correlacion en m = 0:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x[n] 1 -8 3 -2 4 8 5 -5 -9 5

x[n+ 0] 1 -8 3 -2 4 8 5 -5 -9 5

x[n]x[n+ 0] 1 64 9 4 16 64 25 25 81 25

simplemente tenemos que calcular la suma de los valores de la ultimafila y dividir por el numero de muestras (10 en nuestro caso).

Rx[0] =1

10

9∑

n=0

x[n]x[n+ 0] = 31, 4

Para estimar la autocorrelacion en m = 1, rellenamos la siguiente tabla:

n -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x[n] 1 -8 3 -2 4 8 5 -5 -9 5

x[n+ 1] 1 -8 3 -2 4 8 5 -5 -9 5

x[n]x[n+ 1] -8 -24 -6 -8 32 40 -25 45 -45

y dado que es el estimador sesgado, calculamos:

Rx[1] =1

10

8∑

n=0

x[n]x[n+ 1] = 1/10

Por otra parte la ventana triangular vale:

w[m] =

1 m = 01/2 |m| = 10 resto

Calculando Rx[m]w[m] obtenemos

Rx[m]w[m] =

31,4 m = 01/20 |m| = 10 resto

El estimador BT es la Transformada de Fourier de lo anterior. Por tanto

ΦBTx = TF

Rx[m]w[m]

= 31,4 + 0,1 cosω

PROBLEMA 5.7. 279

c) Para calcular el estimador AR debo plantear las ecuaciones de Yule-Walker y resolverlas.

(

Rx[0] Rx[1]Rx[1] Rx[0]

) (

1−a1

)

=

(

G2

0

)

Con los valores de la correlacion obtenidos en el apartado anterior yresolviendo se obtiene:

a1 =1

314= 3,185 10−3 G2 = 31,3997

Por tanto el estimador espectral es:

ΦAR1x =

31,3997

|1− 0,003185 e−jω|2


Problema 5.8

La autocorrelacion de un proceso aleatorio Rx[m] es una senal par. Si elproceso es AR de orden 1 se puede modelar como muestra la figura 5.5:

G

1− az−1- - x[n]e[n]

Figura 5.5: Modelo de Ruido AR(1). La senal x[n] se modela como lasalida de un filtro todo polos siendo la entrada e[n] ruido blanco depotencia media unidad.

a) Determine h[n].

b) Determine Rx[m] ∀m. Se recomienda usar TZ. Determine la potencia dex[n].

c) Se digitaliza un registro de la senal x[n] de L muestras para aplicarle elmetodo de WOSA. Determine si existe un valor de L para el cual dichoestimador resulte insesgado. Si la respuesta es “sı es posible” indique cuales dicho valor de L y si es que “no es posible” indique clara y brevementepor que.

d) Lo mismo del apartado anterior pero suponiendo el metodo Blackman-Tukey.

e) Suponga ahora que tenemos una senal s[n] de forma que:

s[n] = x[n] + σ r[n]

donde x[n] es un proceso de tipo AR de orden 1 y r[n] es un ruido blancode media nula y potencia unidad estadısticamente independiente de x[n].

Dicha senal se aplica a un filtro adaptativo de 2 coeficientes con la con-figuracion mostrada en la figura 5.6.

z−1 W-

-

- 6

?s[n]e[n]

+

−

Figura 5.6: Configuracion filtro adaptativo

PROBLEMA 5.8. 281

Determine:

Matriz autocorrelacion de la senal de entrada y vector de correla-ciones cruzadas.

Pesos optimos en los casos σ ≈ 0, y σ2 mucho mayor que la potenciade x[n]. Realice y justifique las aproximaciones que crea necesarias.

Solucion

a) h[n] = G · an · u[n]

b) Rx[m] = h[m] ∗ h[−m]

Esta convolucion puede hacerse directamente, o bien utilizando trans-formada Z.

Para hacerla directamente:

s[m] = h[−m] = G · a−m · u[−m]

h[m] ∗ s[m] =∞∑

k=−∞

h[k]s[m− k] =∞∑

k=−∞

G2aku[k] ak−mu[k −m] =

Para m ≥ 0 resulta:

= G2a−m∞∑

k=m

a2k = G2a−m a2m

1− a2 = G2am1

1− a2

Para m < 0, debido a la simetrıa par de la autocorrelacion es facil hallarel valor de la misma. Juntando ambos resultados en una unica expresion,tenemos:

Rx[m] =G2 a|m|

1− a2

Para hacerla mediante transformadas Z hay que recordar que:

x[−n]←→ X(1/z) ROCx[−n] = 1/ROCx[n]


Para calcular la correlacion mediante TZ habra que calcular pues:

TZ−1 H(z)H(1/z)

tomando como ROC el anillo entre los radios a y 1/a.

La potencia de la senal x[n] es simplemente Rx[0]:

Potx =G2

1− a2

c) NO es posible. WOSA es un promedio de periodogramas y por lo tantoel sesgo de WOSA sera el mismo del periodograma. El periodograma esun estimador sesgado salvo si la senal analizada es ruido blanco y en estecaso no lo es por tratarse de un proceso AR de orden 1.

d) NO es posible, pues Blackman-Tukey solo es insesgado si al enventanarla autocorrelacion no se truncan valores no nulos de la misma. En estecaso el proceso es AR y hemos comprobado en el apartado b) que laautocorrelacion tiene duracion infinita, con lo cual al enventanar siempreestaremos truncando la autocorrelacion.

e) Si llamamos x′[n] a la entrada del filtro adaptativo:

x′[n] = x[n− 1] + σ r[n− 1]

y d[n] a la senal de referencia

d[n] = x[n] + σ r[n]

La matriz de autocorrelacion de la senal de entrada es:

R =

(

Rx′ [0] Rx′ [1]Rx′ [1] Rx′ [0]

)

=

(

G2/(1− a2) + σ2 aG2/(1− a2)aG2/(1− a2) G2/(1− a2) + σ2

)

donde hemos aplicado que

Rx′ [m] = Rx[m] + σ2Rr[m] =G2 a|m|

1− a2 + σ2δ[m]

por ser x y r procesos aleatorios independientes.

En cuanto al vector de correlaciones cruzadas:

P =

(

Ex′[n]d[n]Ex′[n− 1]d[n]

)

=

(

Rx[1]Rx[2]

)

=

(

aG2/(1− a2)a2G2/(1− a2)

)

PROBLEMA 5.8. 283

Nos piden hallar los pesos optimos en dos casos:

σ = 0: W ∗ = (a, 0)T

σ ≫ Potx. En este caso:

R ≈(

σ2 00 σ2

)

Por lo que

R−1 ≈(

σ−2 00 σ−2

)

resultando W ∗ = R−1P ≈ (0, 0)T


Problema 5.9

Sea xc(t) = A0 ej2πf0t con 0 < f0 < 1 kHz una senal continua de amplitud

y frecuencia desconocida. Se quiere saber cual es su amplitud maxima A0 ysu frecuencia f0. Para ello se dispone de un sistema que realiza las siguientesoperaciones sobre la senal de entrada:

Muestrea xc(t) mediante un conversor C/D a una frecuencia de muestreofs, obteniendo una secuencia x[n].

Escoge las N primeras muestras de x[n], generando la secuencia r[n].

Calcula el modulo de la DFTN de r[n] (sin rellenar por ceros), obteniendo|R[k]|.

Selecciona el ındice k0 en que |R[k]| es maximo y obtiene el valor |R[k0]|.

a) ¿Cual es la mınima frecuencia de muestreo fs del conversor C/D paraque no exista aliasing?

Considere a partir de ahora que se utiliza la fs obtenida en el apartado anterior.

b) ¿Como se puede estimar f0 a partir del ındice k0?

c) ¿Cual es el maximo error en funcion de N que se comete al estimar lafrecuencia f0? Calcule N para que el error maximo sea menor que 1 Hz.

d) Indique como podemos estimar A0 a partir del valor |R[k0]| en el casode que N × f0/fs sea entero.

e) ¿Cual es el maximo error (en funcion de N) que se puede cometer alestimar la amplitud A0, en el caso de f0 arbitrario entre 0 y 1 kHz?

f) Proponga y justifique un metodo para disminuir el error a la hora deestimar A0 sin aumentar N , con respecto al caso del apartado anterior.

PROBLEMA 5.9. 285

Solucion

a) Para evitar el aliasing es necesario muestrear como mınimo a la frecuen-cia de Nyquist

f ≥ 2 kHz

b) La DFT de N puntos de r[n] constituye el muestreo con N puntos dela transformada de Fourier de R(ejω). Por tanto, la frecuencia analogicacorrespondiente al ındice k0-esimo de R[k] es

f0 = fsk0N

c) La frecuencia estimada es exacta si f0 = k0/N fs. El maximo error se dacuando:

f0 =k0 + 1/2

Nfs

en cuyo caso el error en la estima de la frecuencia vale

f0 − f0 =1

2Nfs

d) La senal discreta que analizamos vale

x[n] = A0ej2πf0Tsn

A partir de la misma obtenemos r[n] como sus N primeras muestras. Elmodulo de la transformada de Fourier de r[n] es:

|R(ejω)| = A0

∣

∣

∣

∣

∣

sen( (ω−ω0)N2 )

sen(ω−ω02 )

∣

∣

∣

∣

∣

El maximo de |R(ejω)| se encuentra en ω0 = 2πf0Ts y es igual a

|R(ejω0)| = |A0N |

Por otro lado, la DFT de r[n] es un muestreo en frecuencia de |R(ejω)|en ωk = 2πk/N . Cuando se cumple que N × f0/fs es entero, entonces lamuestra de ındice k0 = N × f0/fs coincide con el maximo de |R(ejω0)|.Por tanto, podemos obtener una estima de A0 mediante

A0 =|R[k0]|N

(5.2)


e) El maximo error en amplitud se cometera cuando:

f0 =k0 ± 1/2

Nfs

En ese caso el maximo de |R(ejω)| se produce a mitad de camino entredos muestras de la DFT. La amplitud maxima de la DFT sera ahora:

|R[k0]| = A0

∣

∣

∣

∣

∣

sen(ωN2 )

sen(ω2 )

∣

∣

∣

∣

∣

ω= 2π2N

= A01

sen(π/2N)

Por tanto, aplicando la ecuacion 5.2 la amplitud estimada serıa:

A0 =|R[k0]|N

= A01

N sen(π/2N)≈ A0

2

π

donde la aproximacion es valida para valores de N grandes. Como sepuede ver, siempre se realiza una infraestima de la amplitud.

El error maximo en dB vale

emax = 20 log(2/π) = −3,9 dB

f) El sistema descrito tiene inherente un enventanado de x[n] con una venta-na rectangular. La ventana rectangular es la que tiene una menor anchurade lobulo principal y por tanto, no muestrear en ω0 provoca grandes erro-res en amplitud. Una manera de disminuir el error en amplitud puedeconseguirse enventanando x[n] con otra ventana que no sea rectangular,de modo que al ser el lobulo principal mas ancho, el error de amplitudcometido al muestrear en frecuencia con la DFT sea mas pequeno.

PROBLEMA 5.10. 287

Problema 5.10

La tabla siguiente contiene las muestras de un proceso estocastico del quese desea estimar su espectro. Para ello se decide utilizar diferentes metodosque van a ir aplicandose en este problema.

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

x[n] 1 -1 3 5 4 0 -2 -3 6 0

a) Calcule el estimador de Blackman-Tukey utilizando una ventana trian-gular de duracion 3 y el estimador sesgado de la autocorrelacion.

b) Obtenga el estimador WOSA con segmentos de 4 muestras y un solapedel 50% para ω = π.

c) Suponga que las muestras de la tabla corresponden a un proceso quesigue un modelo AR-1. Obtenga la estima de su DEP mediante metodosparametricos explicando el proceso que va realizando para su obtencion.

Solucion

a) El metodo de Blackman-Tukey consiste en estimar la autocorrelacion yenventanarla para ası eliminar los valores con mas varianza de la misma.Una vez estimada y enventanada la autocorrelacion se pasa a hacer latransformada de Fourier para calcular la DEP. El estimador sesgado dela autocorrelacion tiene como expresion:

Rx[m] =

1

L

L−1−|m|∑

k=0

x[k]x[k + |m|] |m| < L

0 |m| ≥ L


siendo L = 10. Sin embargo no es necesario calcular todos los valoresporque luego van a ser enventanados. Solo habra que calcular param = 0y |m| = 1.

Rx[0] =1

10

9∑

k=0

x[k]x[k] = 101/10

Rx[1] = Rx[−1] =1

10

8∑

k=0

x[k]x[k + 1] = 19/10

El estimador de Blackman-Tukey sera:

RBTx [m] = Rx[m]w[m]

RBTx [0] = 101/10

RBTx [1] = RBT

x [−1] = 19/10× 1/2 = 19/20

y la DEP:

ΦBTx (ejω) =

M∑

m=−M

RBTx [m]e−jωm

ΦBTx (ejω) = RBT

x [0]+ RBTx [1] e−jω+ RBT

x [−1] ejω = 101/10+19/10 cosω

b) En el metodo WOSA se divide la secuencia en segmentos de 4 muestras(en nuestro caso) solapados el 50%. Con cada segmento se calcula unperiodograma y finalmente se promedian todos (para cada frecuencia).Como nos pide el enunciado, solo vamos a calcularlo para ω = π. Comotenemos 10 muestras y el solape es del 50% podremos coger 4 segmentos.La expresion para el estimador WOSA es:

ΦWOSAx (ejω) =

1

K

K∑

k=1

Φ(k)x (ejω)

siendo cada Φ(k)x (ejω) uno de los cuatro periodogramas a calcular:

PROBLEMA 5.10. 289

Φ(1)x (ejω) =

1

4

∣

∣1− e−jω + 3e−2jω + 5e−3jω∣

∣

2

Φ(1)x (ejπ) =

1

4|1 + 1 + 3− 5|2 = 0

Φ(2)x (ejω) =

1

4

∣

∣3 + 5e−jω + 4e−2jω + 0e−3jω∣

∣

2

Φ(2)x (ejπ) =

1

4|3− 5 + 4|2 = 1

Φ(3)x (ejω) =

1

4

∣

∣4 + 0e−jω − 2e−2jω − 3e−3jω∣

∣

2

Φ(3)x (ejπ) =

1

4|4− 2 + 3|2 = 25/4

Φ(4)x (ejω) =

1

4

∣

∣−2− 3e−jω + 6e−2jω + 0e−3jω∣

∣

2

Φ(4)x (ejπ) =

1

4|−2 + 3 + 6|2 = 49/4

Φx(ejπ) =

1

4

(

Φ(1)x (ejπ) + Φ(2)

x (ejπ) + Φ(3)x (ejπ) + Φ(4)

x (ejπ))

= 39/8

c) Los modelos AR suponen que la senal analizada puede ser consideradacomo el resultado de filtrar un ruido blanco de potencia media unidadcon un filtro IIR todo polos con H(z):

H(z) =G

1− a1z−1 − a2z−2 − · · · − apz−p

en nuestro caso p = 1.


Ası pues, la DEP buscada podra calcularse como:

Φx(ejω) = |H(ejω)|2

Lo que hay que determinar son los coeficientes a1 y G, y para ello seplantean las ecuaciones de Yule-Walker:

(

Rx[0] Rx[1]Rx[1] Rx[0]

)(

1−a1

)

=

(

G2

0

)

Para calcular Rx[m] hay que utilizar el estimador sesgado, resultadosque obtuvimos en el apartado a):

Rx[0] = 101/10

Rx[1] = 19/10

Resolviendo el sistema se obtiene:

a1 = 19/101

G = 3,1213

Ası pues la DEP sera:

Φx(ejω) =

∣

∣

∣

∣

3,12

1− 19/101e−jω

∣

∣

∣

∣

2

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