ESTRUTURAS 1ANÁLISE ESTRUTURAL – ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS

DEPECDepartamento de Engenharia

Civil do CEFET/RJ

Professor Ricardo Rodrigues de Araujo

Método dos DeslocamentosGrelha

Estruturas 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASProfessor Ricardo Rodrigues de Araujo

MÉTODO DOS DESLOCAMENTOS - GRELHAS

Só existe momento torsor em barras biengastadas.

KTt = -1 KT

L

“O sentido POSITIVO para rotação por torção do nó em estudo deve ser,evidentemente, o mesmo que o sentido POSITIVO da rotação por flexão dasbarras que chegam ao referido nó.” (Süssekind, vol.3)

𝐾𝑇 =𝐺𝐽𝑡𝐿

+

++

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EXEMPLO

1) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.

4 m

4 m

12 m

6 kN/m

10 kN

𝐸𝐽 = 0,6 ∙ 104𝑘𝑁𝑚2𝐸𝐽

𝐺𝐽𝑡= 2

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EXEMPLO

Sistema Principal

𝑑 = 2

1

E0

No espaço trabalha-se com osvetores de momentos. E, comotodos os nós estão travados, noE0 não aparece momento torsor.

Uma rotação para cada plano.

72

7210

10

𝛽10 = −72 𝛽20 = 10b será o somatório dos momentosperpendiculares à chapa devidoao carregamento aplicado.

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EXEMPLO

E1 Ao rotacionar a chapa 1 nosentido positivo, a barra 1 seráfletida e a barra 2 torcida.

2000𝛽11 = 2375 𝛽21 = 0

375

375

E2 Ao rotacionar a chapa 2 nosentido positivo, a barra 2 seráfletida e a barra 1 torcida.

𝛽12 = 0 𝛽22 = 3250250250

1000

3000

1500

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EXEMPLO

Calculando as rotações do nó:

𝜑1𝜑2

= −2375 00 3250

−1

∙−7210

𝜑1 = 30,316 ∙ 10−3𝑟𝑎𝑑𝜑2 = −3,077 ∙ 10−3𝑟𝑎𝑑

Equação de compatibilidade: 𝐸 = 𝐸0 + 30,316 ∙ 10−3 ∙ 𝐸1 − 3,077 ∙ 10−3 ∙ 𝐸2

DMF (kNm):

102,32

11,37

0,77

14,62Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento fletor em cada nó.

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EXEMPLO

DMT (kNm):

11,37

0,77

Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento torsor em cada nó.

11,37

0,77

Diagramas:

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EXEMPLO

2) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.

4 m

4 m

12 m

6 kN/m

10 kN

𝐸𝐽 = 0,6 ∙ 104𝑘𝑁𝑚2𝐸𝐽

𝐺𝐽𝑡= 2

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EXEMPLO

Sistema Principal

3

𝑑 = 3

1

E0

Para o valor de b30 será necessáriocalcular as reações que acontecem noapoio equilibrando os momentosfletores e também as cargas externas.

Uma rotação para cada plano.

7272 10

10

𝛽10 = −72 𝛽20 = 10 𝛽30 = 4136365

5

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EXEMPLO

E1 Os momentos torsores não irãogerar reações no apoio 3.

2000𝛽11 = 2375 𝛽21 = 0

375

375

E2

𝛽12 = 0

𝛽22 = 3250

250250

1000

3000

1500

250 250

𝛽31 = −250

562,5

562,5

𝛽32 = 562,5

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EXEMPLO

3

1 Ser’a aplicado um deslocamentono sentido positivo (para cima)fletindo as barras 1 e 2.

250562,5

𝛽13 = −250

140,625

E3

250

562,5

140,625

41,66741,667

𝛽23 = 562,5

𝛽33 = 182,292

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EXEMPLO

Calculando as rotações do nó:

𝜑1𝜑2

𝜑3

= −2375 0 −2500 3250 562,5

−250 562,5 182,292

−1

∙−721041

𝜑1 = −2,659 ∙ 10−2𝑟𝑎𝑑

Equação de compatibilidade:

𝐸 = 𝐸0 − 2,659 ∙ 10−2 ∙ 𝐸1 + 9,049 ∙ 10−2 ∙ 𝐸2 − 54,060 ∙ 10−2 ∙ 𝐸3

DMF (kNm):

180,56 9,9722,62

Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento fletor em cada nó.

𝜑2 = 9,049 ∙ 10−2𝑟𝑎𝑑 𝜑3 = −54,060 ∙ 10−2𝑚

178,35

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EXEMPLO

DMT (kNm):

9,97

22,62

Usar na equação de compatibilidadesomente os valores referentes aomomento torsor em cada nó.

9,97

22,62

Diagramas:

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EXERCÍCIO

1) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.

3 m

3 m

4 m

2 kN/m

8 kN

𝐸𝐽 = 104𝑘𝑁𝑚2

𝐸𝐽

𝐺𝐽𝑡= 2

3 kN/m

6 kN

6 m

3 m 1 m

Estruturas 1 – ANÁLISE ESTRUTURAL - ESTRUTURAS HIPERESTÁTICASProfessor Ricardo Rodrigues de Araujo

EXERCÍCIO

2) Fazer os diagramas de momentos fletor e torso da grelha submetida aocarregamento indicado utilizando o método dos deslocamentos.

3 m

3 m

4 m

2 kN/m

8 kN

𝐸𝐽 = 104𝑘𝑁𝑚2

𝐸𝐽

𝐺𝐽𝑡= 2

3 kN/m

6 kN

6 m

3 m 1 m