Departamento de Física Aplicada IIIEscuela Técnica Superior de Ingeniería

Ingeniería AeroespacialGrado en

Física I

BOLETIN DE PROBLEMAS DEL TEMA 4 (2011/12): DINAMICA DEL PUNTO (I)

1. Las dos primeras leyes de Kepler establecen que los planetas del sistema solar, en su movimiento detraslacion, recorren elipses con el Sol situado en uno de sus focos, y de manera que los radio–vectoresque tienen un extremo en el Sol y el otro en cada uno de los planetas, recorren areas iguales en igualesintervalos de tiempo. Determınese como es la fuerza de interaccion entre el Sol y los planetas del sistemasolar.

X

Y

O S

P r( , )�

�

r

b

ac

Problema 1

r

E

Nota: Ecuacion implıcita de la elipse en el plano z = 0 en coordenadas polares {r, θ},

E : r − p

1 + e cos θ= 0 ; con p =

b2

ay e =

c

a=

√1 − b2

a2

2. Un cuerpo material puntual de masa m pende de un muelle o resorte de longitud natural l0, constanterecuperadora K y masa despreciable. El sistema esta sometido a la accion de la gravedad, �g = g �k.

(a) Determınese la posicion del punto material cuando el sistema se encuentra en equilibrio estatico.

(b) Considerense ahora las asociaciones en paralelo y en serie de sendos muelles cuyas longitudesnaturales son l1 y l2, y cuyas constantes recuperadoras son K1 y K2, respectivamente. Obtenganse,para cada una de las asociaciones, las caracterısticas del resorte equivalente que hace que la partıculaocupe la misma posicion de equilibrio.

Problema 2

mm

Z

O

gl0

K

m

K1 K2

K1

K2

paralelo serie

K

1

FISICA I. Grado I. Aeroespacial Boletın tema 4 (2011/12)

3. Una partıcula libre de masa m esta unida a tres muelles de longitud natural nula y constantes elasticas kA,kB y kC . Cada uno de los muelle tiene el otro extremo fijado en un punto. Las coordenadas cartesianasde los puntos de fijacion son A(−a, 0, 0), B(a, 0, 0) y C(0, a, 0), y la gravedad actua en el sentido negativodel eje OY (�g = −g �j).

(a) Calcule la expresion general para la posicion de equilibrio de la partıcula.

(b) Obtenga la posicion de equilibrio en las siguientes situaciones:

i. m = 0 y kA = kB = kC = k

ii. m = 0 y kA = kB � kC

iii. kA = kB = kC = k y m >> ka/g.

4. Para medir el coeficiente de rozamiento estatico μ entre un cuerpo material de masa m y una superficieplana de material rugoso, se dispone esta en un plano inclinado, cuya angulo de inclinacion respectode un plano horizontal θ, puede ser variado a voluntad. Determine la ley que permite obtener el valordel coeficiente μ, en funcion del angulo para el que el cuerpo material empieza a deslizar sobre el planoinclinado rugoso.

OA

B

C

D

Y

X

g

Problema 5

m

g

��

Problema 4

5. En el sistema de la figura estan marcadas cuatro posibles posiciones de la masa m, ensartada en uncuadrilatero contenido en un plano vertical. Sobre la masa actua la gravedad (con direccion perpendiculara dos de los lados del cuadrilatero) y un resorte de constante elastica k y longitud natural nula.

(a) Considerando que el contacto masa–cuadrilatero es modelado por un vınculo liso, determine cualesde las posiciones de la masa pueden ser de equilibrio. Calcule las coordenadas de dicho(s) punto(s)y la fuerza de reaccion vincular en el equilibrio

(b) Responda a las cuestiones planteadas en el apartado anterior considerando ahora que el vınculo esrugoso y cumple las condiciones del rozamiento seco.

6. Un punto material M de peso P esta obligado a permanecer en la superficie de una esfera de radio Ry centro O. Ademas, M es atraıdo por un punto fijo A del ecuador de la superficie esferica, debido a laexistencia de un resorte elastico ideal, de longitud natural nula y de constante recuperadora k = P/

√3R,

que conecta ambos puntos. Determina las posiciones de equilibrio del punto material M , y la fuerza dereaccion vincular en ellas.

7. Un punto material M , de peso P , esta vinculado a la helice Γ, definida en el sistema de referenciacartesiano OXY Z por la ecuacion vectorial �r(θ) = a cos θ�ı + a sen θ �j + h θ�k. Determina la posicion deequilibrio estatico del punto M si, ademas, este es atraıdo por el origen por una fuerza F proporcional ala distancia entre ambos puntos, siendo k la constante de proporcionalidad.

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FISICA I. Grado I. Aeroespacial Boletın tema 4 (2011/12)

Problema 6

P

O

k

A

M

Y

X

Z

F

Problema 7

�

�

XY

Z

O

a

k

M

FP

h�

3