Departamento de MatemáticaDepartamento de MatemáticaTJPDTJPD

Se realizaron desde tiempos Se realizaron desde tiempos muy antiguos, sin embargo, su muy antiguos, sin embargo, su historia y su estudio en la historia y su estudio en la matemática es reciente.matemática es reciente.

Teselaciones Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados)(Mosaicos – Embaldosados)

Alhambra de GranadaAlhambra de Granada

Se producen cuando se recubre Se producen cuando se recubre un plano con baldosas que no un plano con baldosas que no dejen huecos y que no se dejen huecos y que no se superpongan (encajan bien)superpongan (encajan bien)

Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados)

Existen diferentes tipos de los Existen diferentes tipos de los cuales podemos distinguir: cuales podemos distinguir:

Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados)

• RegularesRegulares• Semi RegularesSemi Regulares……

Se logran a partir de la repetición y Se logran a partir de la repetición y traslación de un mismo polígono traslación de un mismo polígono regular. regular.

Existen únicamente tres tipos de tales Existen únicamente tres tipos de tales mosaicos que son familiares por el mosaicos que son familiares por el embaldosado de los pisos y se forman embaldosado de los pisos y se forman con: triángulos equiláteros, cuadrados con: triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.o hexágonos regulares.

Los mosaicos regularesLos mosaicos regulares

60°

Tiene una simetría rotacional deTiene una simetría rotacional deorden 6 (360°/6 = 60°).orden 6 (360°/6 = 60°).

O

a

b

Triángulos EquiláterosTriángulos EquiláterosTrasladando el polígono en esasTrasladando el polígono en esas

direcciones se obtiene el direcciones se obtiene el respectivo mosaicorespectivo mosaico

90°

b

a

Tiene una simetría rotacional deTiene una simetría rotacional deorden 4 (360°/4 = 90°). Es un mosaicoorden 4 (360°/4 = 90°). Es un mosaico

que se observa con frecuenciaque se observa con frecuenciaen los pisos y en los papelesen los pisos y en los papeles

cuadriculados y milimetrados.cuadriculados y milimetrados.

CuadradosCuadrados

OO

Trasladando el polígono en esasTrasladando el polígono en esasdirecciones se obtiene el direcciones se obtiene el

respectivo mosaicorespectivo mosaico

Tiene una simetría rotacional deTiene una simetría rotacional deorden 3 (360°/3 = 120°) y deorden 3 (360°/3 = 120°) y de

orden 6. Es un mosaico que seorden 6. Es un mosaico que seobserva bastante en los pisos yobserva bastante en los pisos y

en los panales de abejas.en los panales de abejas.

HexágonosHexágonos

O

120°

60°

Un plano no se puede teselar Un plano no se puede teselar con con pentágonospentágonos regulares pues regulares pues

no encajan bien, por ello no no encajan bien, por ello no existen mosaicos regulares existen mosaicos regulares

pentagonalespentagonales(los pisos de las viviendas no se (los pisos de las viviendas no se

pueden embaldosarpueden embaldosarcon pentágonos regulares)con pentágonos regulares)

360° = 72° 180-72=108 5

3ß = 3 x 108° = 324°

Con tres pentágonos Con tres pentágonos regulares alrededor del punto regulares alrededor del punto

O no se cubren 360°, ya O no se cubren 360°, ya queda un hueco.queda un hueco.

O

Los semirregulares: Existen sólo 8 Los semirregulares: Existen sólo 8 tipostipos

Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados)

En éstos se combinan dos o más polígonos regulares En éstos se combinan dos o más polígonos regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vértices aparecen los mismos polígonos. todos los vértices aparecen los mismos polígonos.

Se forman utilizando triángulos, cuadrados, Se forman utilizando triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, octógonos y dodecágonospentágonos, hexágonos, octógonos y dodecágonos..

Los distintos tipos de teselaciones semi regulares:Los distintos tipos de teselaciones semi regulares:

n NombreÁngulo central

Ángulo interior

3 triángulo 120° 60°

4 cuadrado 90° 90°

5 pentágono 72° 108°

6 hexágono 60° 120°

8 octógono 45° 135°

10 decágono 36° 144°

12 dodecágono 30° 150°

n 360/n 180(n-2)/n

(4 , 6 , 12) lados(4 , 6 , 12) lados90°+120°+150°= 360°90°+120°+150°= 360°

PolígonosPolígonos

Polígonos RegularesPolígonos Regulares

(3,3,3,3,6) significa que podemos crear una (3,3,3,3,6) significa que podemos crear una teselación semi-regular tomando como patrón base teselación semi-regular tomando como patrón base cuatro triángulos y un hexágono.cuatro triángulos y un hexágono.

Teselación (3,3,3,3,6)Teselación (3,3,3,3,6)

4 4 ∙ 60°+ 1 ∙ 120°= 360°∙ 60°+ 1 ∙ 120°= 360°

Mosaico (3,3,3,4,4)Mosaico (3,3,3,4,4)60°∙3 + 90°60°∙3 + 90°∙∙ 2 = 360° 2 = 360°

Mosaico (3,12,12)Mosaico (3,12,12) 1 1 ∙ 60° + 2 ∙ 150 = 360 ∙ 60° + 2 ∙ 150 = 360

Mosaico (4,3,4,6)Mosaico (4,3,4,6)2 2 ∙ 90° + 1 ∙ 60° + 1 ∙120° = 360°∙ 90° + 1 ∙ 60° + 1 ∙120° = 360°

Mosaico (4,8,8)Mosaico (4,8,8)1 ∙ 90° + 2 ∙ 135° = 360°1 ∙ 90° + 2 ∙ 135° = 360°

Mosaico (4,6,12)Mosaico (4,6,12)1 ∙ 90° + 1 ∙ 120°+ 1 ∙ 150° = 360°1 ∙ 90° + 1 ∙ 120°+ 1 ∙ 150° = 360°

Mosaico (3,6,3,6)Mosaico (3,6,3,6)2 2 ∙ 60° + 2 ∙∙ 60° + 2 ∙ 120 = 360°120 = 360°

Mosaicos de Escher

(Holandés, 1898-1972)(Holandés, 1898-1972)

Maurits Cornelis Escher, Maurits Cornelis Escher, visitó Granada el año 1936 visitó Granada el año 1936 y allí estudió y allí estudió detenidamente la detenidamente la decoración de las paredes, decoración de las paredes, techos y pisos islámicos de techos y pisos islámicos de La Alhambra (el gran La Alhambra (el gran palacio construido por los palacio construido por los moros durante los s. XIII-moros durante los s. XIII-XIV).XIV).

Teselaciones (Mosaicos – Embaldosados)

Observó los motivos islámicos en las paredes, Observó los motivos islámicos en las paredes, todos ellos de tipo geométrico, donde por todos ellos de tipo geométrico, donde por cuestiones religiosas no hay figuras humanas cuestiones religiosas no hay figuras humanas ni de animales. Allí realizó sus dibujos y ni de animales. Allí realizó sus dibujos y descubrió las diecisiete posibilidades de descubrió las diecisiete posibilidades de teselar el plano (los 17 grupos de simetría del teselar el plano (los 17 grupos de simetría del plano). plano).

Durante una labor de cerca de treinta años, Durante una labor de cerca de treinta años, Escher creó más de cien teselaciones Escher creó más de cien teselaciones periódicas de un plano utilizando una gran periódicas de un plano utilizando una gran variedad de motivos. variedad de motivos.

Para construir tales mosaicos a Para construir tales mosaicos a partir de polígonos que teselan partir de polígonos que teselan el plano, debe mantenerse el el plano, debe mantenerse el principio de conservación de principio de conservación de áreas, esto es, si quitamos una áreas, esto es, si quitamos una parte hay que colocarla con parte hay que colocarla con igual área en otra parteigual área en otra parte

Un ejemplo

Creación de un “pez volador” (M.C. Escher)Creación de un “pez volador” (M.C. Escher)a partir de un triángulo equilátero.a partir de un triángulo equilátero.

Observa cómo con pequeñas variaciones Observa cómo con pequeñas variaciones en las curvas aparecerá la figura de un en las curvas aparecerá la figura de un pájaro en vez de un pez volador. pájaro en vez de un pez volador.

MetamorfosisMetamorfosis

Sky and Water I 1938 woodcut Sky and Water I 1938 woodcut

Eight Heads 1922 woodcut(8 cabezas, grabado en madera)

invertirinvertir

Eight Heads 1922 woodcutEight Heads 1922 woodcut(8 cabezas, grabado en madera) (8 cabezas, grabado en madera)

¿Las puedes ubicar?¿Las puedes ubicar?

Metamorphosis III 1967-1968 Metamorphosis III 1967-1968

Path of Life III 1966 woodcut in red and black, printed from 2 blocks Path of Life III 1966 woodcut in red and black, printed from 2 blocks

Para ejercitarPara ejercitar

• Guía Interactiva con programa TeselmaníaGuía Interactiva con programa Teselmanía

• Hacer un diseño de creación propia.Hacer un diseño de creación propia.

Actividades a realizarActividades a realizar