TTuuttoorriiaall 22001111

Contenidos

DDeeppttoo.. ddee MMaatteemmááttiiccaass

UU ddee GG

1

INTRODUCCIÓN

OPERACIONES ELEMENTALES

ÁLGEBRA ELEMENTAL

GRÁFICAS CON MAPLE V

CÁLCULO

UUnniivveerrssiiddaadd ddee GGuuaaddaallaajj aarraa

2

OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 11 Introducción a Maple V

OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee El estudiante conocerá las funciones básicas en el manejo del software Maple V, así como la habilidad de trabajar en las líneas de comando y hoja de trabajo (Worksheet).

CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo

1. Hoja de trabajo (Worksheet). 2. Línea de Comando (prompt). 3. Secciones y Subsecciones de la hoja de trabajo.

AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR AAll ccoommeennzzaarr:: n Para iniciar con el software Maple V Release 5, hay que hacer “clic” en

icono Maple V5.lnk , o tal y como se muestra en la siguiente cadena:

Inicio programas Matemáticas Maple V Release 5 Maple V Release 5. NOTA: Aunque la guía de la cadena anterior puede cambiar, dependiendo de la carpeta en donde se encuentre instalado Maple V.

3

Después aparecerá la ventana de trabajo semejante a la siguiente:

n Para guardar el documento usa la opción Save As (menú File). Esto genera un documento con el mismo contenido que el presente. n Al momento de nombrar el documento, se presentarán cinco opciones para salvar el documento, las cuales son, Maple Worksheet, Maple Text, Text, HTML Source, LaTex Source. Las opciones se muestran en la ventana Guardar como archivo de, dentro de la ventana Guardar como, tal y como se muestra en la siguiente figura.

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Por el momento y para el presente curso, agregar al nombre escogido la extensión mws (nombre.mws). n Antes de terminar con la sesión de trabajo de Maple V, el documento se guarda con Save del menú File, aunque, se recomienda guardar el documento constantemente. n Para iniciar una nueva sesión de trabajo con una hoja en blanco, debe seleccionarse la opción New del menú File.

Actividad Preliminar: Iniciar con el software Maple V, y nombrar en una nueva hoja de trabajo con la extensión Maple Worksheet. La hoja que guardarás, será el documento que trabajarás a lo largo del presente Objeto de Estudio 1.

AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE Al iniciar una sesión de Maple V, emerge un documento llamado Worksheet (Hoja de Trabajo). La hoja de trabajo cuenta con las facetas y propiedades comunes de procesadores y editores de texto (ver menú Edit y botones del tablero en la parte superior de la hoja). En la figura que se muestra a continuación se muestra los diferentes componentes de la hoja de trabajo:

5

Input: Zona de entrada de instrucciones (comandos) por ejecutar, ésta zona, siempre está caracterizada por la presencia del prompt ([>).

Output: Despliegue de instrucciones ejecutadas. El output, puede ser una expresión o una parte de una expresión, y puede ser reclicado a un input, es decir, puede tener la forma de una expresión matemática en particular.

Comentarios: Texto y fórmulas que Maple no ejecuta. Gráficas: Existen en dos y tres dimensiones, además de animaciones.

CCoonn llaa aayyuuddaa ddeell iinnssttrruuccttoorr,, ddeessaarrrroollllaa llaass ssiigguuiieenntteess aaccttiivviiddaaddeess::

Actividad 1: Elabora en una línea de comando dentro de la hoja de trabajo, el escrito “Para determinar la solución de la integral

∫ dxxex del método de integración por partes”.

Actividad 2: Dentro de una sección, con título “Solución de la Integral”, ejecuta la integral de la actividad 1.

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Actividad 3: Abrir una subsección, titulada “Grafica” dentro de la sección de la actividad 2, y ejecutar la gráfica de la función

xx exexf −=)( , en el intervalo de [-2,2].

Actividad 4: Dentro de la hoja de trabajo, buscar la información de la instrucción plot, por medio de las hojas de ayuda.

Actividad 5: En la subsección llamada “Gráfica”, en la última línea de comando, escribir “REGRESAR” y hacer una hiperconección con la sección principal .

AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA

Guarda una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador OE1”, en la primera línea de comando, abre una sección bajo el título “Integración y Diferenciación”, el texto debe tener 24 puntos de tamaño, letra tipo Arial, en color azul. Dentro de ésta sección, integra y deriva las siguientes funciones:

)sin()( xexf x= )2cos()( xxf =

)ln()( 2xxxf = 42)( 2 ++= xxxf Cierra la sección anterior y genera otra línea de comando, en la cual, abrirás una nueva sección titulada “Graficación”, con las mismas características de tamaño y tipo de letra. En ésta nueva sección, grafica las funciones anteriores. Adecua los intervalos, de tal forma que la gráfica tenga la mejor visibilidad.

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OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 22 Operaciones Elementales

OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee El estudiante analizará las operaciones elementales e instrucciones para asignar y evaluar variables (nombres), funciones, sumatorias y productos de números.

CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo

1. Operaciones elementales: suma, resta, multiplicación y división. 2. Asignación de nombres. 3. Evaluación y sustitución de expresiones. 4. Cálculos numéricos.

AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR Algo de teoría:Algo de teoría: El software Maple V Release 5 es un lenguaje estructurado. Esto quiere decir que a cada objeto matemático definido y utilizado le corresponde un tipo de estructura bien definida. En los diversos tipos de estructura está la diferencia entre el usuario marginal o elemental (que solo conoce la sintaxis) y el usuario experto. Operaciones Básicas. Al igual que en un curso básico de matemáticas, los signos de operaciones aritméticas son:

• + suma • - resta • * producto • / división • ^ potencia

Una combinación de números, nombres validos y funciones, operados con estos símbolos nos da una expresión. Por ejemplo: [> 3*x^2+x*tanh(x+1); 2*N[1](y)+N[2](y)*cos(x+alpha); sin(x)+cos(x); [> 3*x^2+x*tanh(x+1);

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Símbolos de relación. Los símbolos de relación son:

• = (igual) • < (menor) • > (mayor) • <= (menor o igual) • >= (mayor o igual) • <> (desigual)

Nombres. Son símbolos alfanuméricos de posibles variables (variables simbólicas). Nombres simples. [> hola; Zitacuaro; E; S12; alpha; alpha0; Omega11; Omega_11; Nombres indexados. El índice (que en realidad es un subíndice) va entre corchetes “[]” junto al nombre simple., por ejemplo: [> hola[hola]; GARO[exacto]; E[12]; S[1,2]; alpha[0]; Omega[11]; Nombres NO VALIDOS No todo símbolo alfanumérico puede ser un nombre valido de Maple V. Al teclear nombres inválidos aparece un mensaje de error. Nombres con caracteres reservados para operadores y otras instrucciones [> %3; [> @xc; [> Sara"23; [> R'suave; Nombres con caracteres reservados para programación: if, while, do, elif, end [> if; [> do; [> while; Nombres que empiezan con números [> 6CF; Nombres que violan la sintaxis (paréntesis sin cerrar, etc) [> 8(Sar; [> R[34); Operador Flecha y Asignación de Nombres. Un tipo de estructura muy útil es el operador flecha, basado en la idea intuitiva del "mapeo" o la "transformación", del concepto de álgebra lineal. La sintaxis es la siguiente:

nombre -> expresión o función; (nombre_1, nombre_2, etc) -> expresión o función;

Podemos definir la variable “x” como una expresión, por ejemplo: [> x -> x*sin(x);

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Y se evalúa de la siguiente forma: [> (x -> x*sin(x))(3); Por medio del operador flecha se pueden definir funciones, a continuación se muestran algunos ejemplos: [>f:=x->x^2; [>g:=x->sin(2*x); [>h:=x->(1-x)/(2-x); Como se observa en el ejemplo anterior, es posible asignar un NOMBRE (simple o indexado) a cualquiera de las estructuras mencionadas anteriormente. El operador de asignación es := (dos puntos e igual). Maple V Release 5 reconoce al nombre asignado como representante del objeto. Asignar un nombre a otro nombre [> f:=amigo; [> f; [> f^2+1; Asignar un nombre a un numero [> s[1]:=3.3376; [> s[1]; [> s[1]^2+1; Asignar un nombre a una función [> func:=FF(x,y,z); [> func; [> func^2+1;

Actividad Preliminar: Asignar los nombres E,L,V y S a las expresiones siguientes: 31 θ+ , )cos(1 x− , y , )2sin( xe x +− )ln( 2xrespectivamente y formar las expresiones: a) E+L+V

b) VS

E−

.

c) (1+E)(2-L)(S/E)

AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE En la actividad integradora se analizó las operaciones básicas y la asignación de nombres y funciones, éste último por medio del operador flecha. Ahora, procederemos a evaluar las variables y/o funciones, para ello, nos auxiliaremos de los siguientes comandos (instrucciones) de Maple V Release 5.

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El primer comando es subs, este comando sustituye un valor (o una serie de valores) en una expresión matemática definida, la sintaxis es la siguiente:

subs(V1=valor1,V2=valor2,.....Vn=valor n, expresión) La otra instrucción es eval, el cual evalúa una expresión específica, como se muestra a continuación la sintaxis:

eval(expresión, V1=valor1) eval(expresión, ecuación)

eval(expresión) Ambos comandos se pueden utilizar en la misma línea de comando y a la misma vez.

Actividad 1 :En una hoja de trabajo, abre una sección bajo el nombre “Los comandos subs y eval “, en la primer prompt escribe la ecuación cuadrática y sustituye los siguientes cbxaxy ++= 2

valores: i). a=1, b=-2, c=-3 ii) a=4, b=-3, c=2 iii) a=-3, b=1/2, c=-5, x=2.

Actividad 2: En la misma ecuación de la actividad anterior y en una nueva línea de comando, sustituye los valores a=sin(z), b=cos(z), c=tan(2z). En la siguiente línea de comando, sustituir z=Pi, posteriormente, evaluar la expresión dada.

Actividad 3: Ejecuta la misma actividad anterior, pero utiliza una sola línea de comando.

Actividad 4: Por medio del comando evalf, encuentra 30 decimales de los siguientes números irracionales: π, e, 2 . Dentro de las intrusiones que pertenece a la evaluación de funciones, está la sumatoria (series) y el producto de números, la sintaxis es sencilla y se muestra a continuación.

• para la suma: sum (expresión, k=valor 1..valor n-ésimo) • en el producto: product( expresión, k= valor 1..valor n-ésimo)

Si la primera letra de las instrucciones anteriores es mayúscula (S y P, respectivamente), Maple V ejecuta la expresión en forma simbólica. Realiza las siguientes actividades en donde te auxiliarás de las instrucciones anteriores.

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Actividad 5: Elabora las sumas y productos dados a continuación, por medio del comando “sum”, con la letra inicial en minúscula y mayúscula.

i. ii. iii.∑=

n

kk

1

3 ∑=

20

2)ln(

kkk ∑

= −+20

3 22

k kk iv.∏

= ++10

1

2

42

k kkk

AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA

Guarda una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador OE2”, abre una sección titulada “La sumatoria y el producto”. Utiliza la regla de correspondencia (operador flecha), de tal forma que la salida (output), la sumatoria y el producto estén expresados en forma simbólica. Asigna el nombre “S”, para la sumatoria y “P” para el producto y evalúa para n=10, n=20 y n=30 las expresiones hasta obtener 30 dígitos en la misma línea de comando (prompt).

∑= −

n

k kkk

22

22

1)ln( ∏

= ++n

k kk

1 32

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OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 33 Álgebra Elemental

OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee El estudiante analizará por medio de Maple V Release 5, la forma de simplificar, desarrollar y factorizar expresiones matemáticas de manera instantánea .

CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo Las instrucciones:

Simplify. Normal Combine Expand Factor Collect Solve.

AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR Algo de teoría:Algo de teoría: SSiimmpplliiffiiccaarr,, ddeessaarrrroollllaarr yy ffaaccttoorriizzaarr eexxpprreessiioonneess.. Maple V Release 5 simplifica de manera automática las expresiones como: sumas, productos, cocientes, potencias de números enteros y racionales, números racionales expresados en forma fraccional, reducción de polinomios semejantes y expresiones asociativas. Las instrucciones que se utilizarán a lo largo del presente objeto de estudio para simplificar desarrollar y factorizar expresiones son: simplify; normal; expand; combine; factor; collect; y solve. A continuación se describe las instrucciones anteriores. La sintaxis del comando simplify es simplify(expresión), en esta misma sintaxis, después del argumento expresión (seguido de una coma), se puede agregar (opcional), alguna

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estructura o procedimiento reconocido por Maple V, por ejemplo: trig, hypergeom, radical, power,exp, ln. Estas estructura predefinidas por el programa, simplifican las expresiones en forma trigonométrica, hipergeométrica, etc.

Para simplificar la expresión se escribe en la línea de comando:

)2cos()(sin2)(cos2)(sin)(cos 2245 xxxxx −−++

[>simplify(cos(x)^5 + sin(x)^4 + 2*cos(x)^2 - 2*sin(x)^2 - cos(2*x)); 5 4

cos(x) + cos(x) En cambio, para simplificar la expresión en el cual se considere los factores comunes de la expresión, se utiliza el comando normal, cuya sintaxis es:

normal (expresión)

Por ejemplo para simplifica la expresión ( )3

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yxyx

−−

por medio de la instrucción normal, se

escribe de la siguiente forma: [>normal( (x^2-y^2)/(x-y)^3 );

y + x ---------

2 (-x + y)

Si lo que se desea es desarrollar alguna expresión matemática, nos auxiliaremos del siguiente comando:

expand(expresión) A continuación se presenta un ejemplo con la instrucción anterior. [> z:=(x+y)^2 + 9*(2+x)*(x+y);

[> expand(z);

El comando que factoriza expresiones es factor(expresión), si factorizamos la expresión

( )322 18181011 xyxxyy ++++[>a:=(y^2+11*y*x+10*x^2+18*y+18*x)^3; 2 2 3

a := (y + 11 y x + 10 x + 18 y + 18 x) [>factor(%);

El comando combine, se aplica para juntar los términos de los productos, sumas y potencias. En algunos casos funcionan como instrucción inversa con respecto a expand. La sintaxis es combine(expresión). El comando combine, básicamente adquiere el concepto

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de linealidad, es decir ),(),(),( rangozxfrangozfrangoxf βαβα +⇒+ . Por ejemplo: [>combine(Diff(x^3,x)-Diff(x^2,x)); d 3 2

-- (x - x ) dx

El comando collect(expresión, variable), se puede agrupar los términos de la expresión con respecto a la variable o variables que se indican. [>f := a*ln(x)-ln(x)*x-x: [>collect(f,ln(x));

(a - x) ln(x) - x [> g := int(x^2*(exp(x)+exp(-x)),x): [> collect(g,exp(x)); 2 2 -2 x - 2 - x (2 + x - 2 x) exp(x) + ------------- exp(x)

Actividad Preliminar: a) Simplifica las expresiones siguientes:

i. ( ii. iii.) 3323−− yx 448 yxx −

xxxxx+−

−23

2

222

b) Desarrolla las expresiones: i. ( )( )22 422 aaxxax +−+ ii. )653)(32( 2 +−− yyyc) El resultado de las expresiones del inciso anterior, evalúa asignando los valores x=-2, y=4, a=5 hasta 20 dígitos.

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AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE Para resolver una ecuación, Maple V utiliza la instrucción solve el cual la sintaxis es la siguiente:

solve(ecuación, variable) La ecuación puede ser una expresión matemática definida como una variable, es decir, ecua:=expresión. El segundo argumento “variable” del comando solve es la variable a la cual se encontrará las raíces, es recomendable que la variables esté entre el símbolo de “llaves”, es decir, {x}.

Actividad 1: En la hoja de trabajo abrir una sección con el nombre “Solución de Ecuaciones”, y resuelve las ecuaciones siguientes:

i. ii.01072 =+− xx3

53

106

133

132

223 axaxxaxx −+=+−

iii. iv. 0=+ −xx ee 0)arctan()arccos( =− xx

Actividad 2: Comprueba las soluciones obtenidas (raíces) de la actividad 1. Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones por n incógnitas, en el primer argumento del comando solve, se escribe entre el símbolo “llaves” {}, el conjunto de ecuaciones. En el segundo argumento, de la misma forma, se escribe el conjunto a variables.

Actividad 3: Utiliza el comando solve, para resolver el sistema de ecuaciones dado y comprueba las soluciones obtenidas.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==−=+−

312

523

zzy

zyx

Por medio del mismo comando solve puede resolver desigualdades (inecuaciones), la sintaxis es la misma que se utilizó en la actividad anterior.

Actividad 4: Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: 2/1,1;1 22 ≤+≤< yxyx

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AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA

1. Guarda una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador OE3”, abrir una sección y define las reglas de correspondencia f1 y f2. Evalúa las funciones para los valores de [x,y] dados por [1,1],[2,3],[5,6] en cada función. Resuelve el sistema formado por f1 y f2, cada función igualar a cero.

202

65122

33

−+=

−+=

xyyxf

yxf

2. La instrucción para graficar dos o más expresiones o funciones es:

plot({expresión1,expresión2...expresión n}, variable=rango); Grafica 3 rectas que pasan por el punto (2,3) y comprueba resolviendo el sistema por medio del comando solve.

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OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 44 Gráficas con Maple V Release 5

OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee El estudiante analizará por medio de Maple V Release 5, los comandos básicos para visualizar las gráficas de funciones en R2 y R3, en los diferentes sistemas coordenados.

CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo Las comandos:

Plot Implicitplot With(plot) Animate2d Animate3d

AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR Algo de teoría:Algo de teoría: A continuación se presenta algunos de los comandos que se utilizarán para la representación gráfica de funciones expresadas en forma explícita, paramétrica, en el espacio bidimensional y tridimensional, coordenadas polares y superficies en el espacio tridimensional. RReepprreesseennttaacciióónn ggrrááffiiccaa ddee uunnaa ffuunncciióónn eexxpprreessaaddaa eenn ffoorrmmaa eexxppllíícciittaa La gráfica de una función se obtiene a través del comando plot, cuya sintaxis es :

plot(f, x=a..b, opción). El resultado es la representación gráfica de la función )(xfy = en el intervalo [ ]ba, . Por ejemplo: >plot(x+sin(x),x=-2*Pi..2*Pi);

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El argumento opción corresponde a ninguno, uno o más parámetros que determinarán el aspecto del gráfico representado. Dentro de éstas opciones se encuentran: title; style; xtickmarks; ytickmarks; line; scaling; color; symbol; por mencionar algunas. Tales opciones se describen a continuación: La opción title, inserta un título al gráfico representado, por ejemplo: > plot(x+sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,title=`Gráfica de y=x+sen(x)`); La opción style, determina el aspecto de líneas o de puntos del gráfico, en ésta opción se incluye style=forma, donde el argumento forma, adquiere dos valores posibles POINT ó LINE, por ejemplo: > g:=ln(sin(x)); >plot(g,x=-infinity..infinity,style=POINT,title=`Gráfica de g(x)=ln(sen(x)), en forma de puntos`); > plot(g,x=-infinity..infinity,style=LINE,title=`Gráfica de g(x)=ln(sen(x)), en forma de líneas`); Las opciones xtickmarks e ytickmarks, determinan el número de divisiones que se realizarán en los ejes, la abscisa y ordenada respectivamente. > h:=x^2*sin(1/x); > plot(h,x=-1/10..1/10,xtickmarks=4,ytickmarks=4); > a:=sin(x^3)/x^3 ; La opción scaling modifica la escala de representación entre los dos ejes. Las posibilidades son CONSTRAINED y UNCONSTRAINED, ésta última es el valor asignado por defecto a la opción escala. La diferencia entre éstas dos opciones, puede verse en el siguiente ejemplo: > plot(a,x=-2*Pi..2*Pi); > plot(a,x=-2*Pi..2*Pi,scaling=CONSTRAINED); La opción color, establece el color de la línea (curva) de la función, ésta opción se determina por medio del parámetro color = tipo. El argumento tipo corresponde al nombre de algún color, entre siguientes:

aquamarine black blue navy coral cyan brown gold green gray grey khaki magenta maroon orange pink plum red sienna tan turquoise violet wheat white yellow

> plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=gold); > plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=violet); > plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=navy); > plot(sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,color=magenta);

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El parámetro symbol=tp determina el aspecto de los puntos de la línea (curva) y adquiere alguna de las sentencias como: BOX, CROSS, CIRCLE, POINT y DIAMOND. Ejemplo: > plot(cos(Pi/x),x=-Pi/2..Pi/2,style=POINT,symbol=CROSS); RReepprreesseennttaacciióónn GGrrááffiiccaa ddee uunnaa FFuunncciióónn EExxpprreessaaddaa eenn FFoorrmmaa PPaarraammééttrriiccaa ((FFuunncciióónn vveeccttoorriiaall)).. El comando plot con la notación plot([f1(t),f2(t),t=a..b],opción). Representa la gráfica de una función en el plano representada vectorialmente por jtfitftr )(2)(1)( += en el

intervalo [ . Por ejemplo: ]ba,>plot([t*cos(t),t+sin(t),t=-4*Pi..4*Pi],`title`=`Gráfica de la función vectorial r(t)=[tcos(t)]i+[t+sin(t)]j`); > plot([cos(t),sin(t),t=-2*Pi..2*Pi],`title`=`Gráfica de la función vectorial r(t)=cos(t)i+sen(t)j`); > > plot([2*ln(t+1),t^2,t=-5..10],`title`=`Gráfica de la función vectorial r(t)=2ln(t+1)i+t^2j`); CCuurrvvaass eenn eell EEssppaacciioo Para realizar las gráficas de curvas en el espacio (forma vectorial), se efectúa por medio del comando spacecurve(L,opción), el argumento L es la función vectorial que se desea graficar, es importante recalcar que para este tipo de gráficas es necesario escribir de antemano el comando with(plots): por lo menos una vez, en el caso de que no se especifique éste comando , Maple V no ejecuta la gráfica. Por ejemplo: > with(plots):spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,`title`=`Gráfica de la Hélice`); > > spacecurve([cos(t),sin(t),sin(2*t)],t=0..4*Pi); RReepprreesseennttaacciióónn ggrrááffiiccaa ddee ffuunncciioonneess ((ssuuppeerrffiicciieess)) eenn eell eessppaacciioo La gráfica de una función de dos variables expresada por ),( yxfz = , se efectúa a través del comando plot3d(f, x=a..b,y=c..d,opción) donde: f = Es la función de dos variables. x, y = Son intervalos en para los ejes "x" y "y", respectivamente. Opción = Es una o más de la diversas opciones que se muestran arriba. >plot3d(100-x^2-y^2,x=-15..15,y=-15..15,`title`=`Gráfica de la Paraboloide`); > plot3d(1/(4*x^2+y^2),x=-20..20,y=-20..20,numpoints=1000); > plot3d(exp(-y)*cos(x),x=-2*Pi..2*Pi,y=-10..10);

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> plot3d((x*y(x^2-y^2))/(x^2+y^2),x=-1000..1000,y=-1000..1000); > plot3d(y^2-y^4-x^2,x=-100..100,y=-100..100); > plot3d((x^2-x*y)/(sqrt(x)-sqrt(y)), x=-100..100, y=-100..100); RReepprreesseennttaacciióónn ssiimmuullttáánneeaa ddee vvaarriiaass ffuunncciioonneess La representación gráfica en una misma ventana de varias funciones, se consigue utilizando el comando plot3d con la sintaxis siguiente: plot3d({f,g,....},x=a..b,y=c..d,opción) siendo f, g,... las funciones que desean representar. Por ejemplo: > f:=100-x^2-y^2; > g:=0; > plot3d({f,g},x=-15..15,y=-15..15); RReepprreesseennttaacciióónn ssiimmuullttáánneeaa ddee ffuunncciioonneess aanniimmaaddaass.. Al representar funciones animadas, nos auxiliamos del comando animate, el cual está compuesto por los siguientes argumentos: Para una gráfica en el plano: animate(F(x,t),x=a..b,t=c..d) Para una gráfica en el espacio: animate3d(F(x,y,t), x=a..b,y=c..d,t=e..f) donde ),( txF y ),,( tyxF son funciones reales en términos de x,t y x,y,t respectivamente, el parámetro t permite hacer la gráfica (movimiento con respecto a t) . Cabe mencionar que el comando animate, puede ser sólo ejecutado anteponiendo el comando with(plots). A continuación se presentan algunos ejemplos. > with(plots): > animate(sin(x*t),x=-10..10,t=1..4,frames=100); > animate(t*sin(t*x),x=-10..10,t=1..2,frames=20); > animate(t*sin(x)*cos(x),x=-10..10,t=1..5,frames=20); > animate(exp(x*t),x=-infinity..infinity,t=0..5,frames=50); > animate(t*exp(x),x=-infinity..infinity,t=0..10,frames=50); > animate3d(cos(t*x)*sin(t*y),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,t=1..2); > plot3d(exp(cos(x^2+y^2)),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi); > animate3d(t*exp(cos((x^2+y^2))),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,t=0..5,frames=20); >animate3d(exp(t*cos(sqrt(x^2+y^2))),x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,t=0..2,frames=20); > animate3d(-x*y*t*exp(-x^2-y^2),x=-2..2,y=-2..2,t=0..5,grid=[49,49]); >animate3d(t*sin(sqrt(x^2+y^2)),x=-4*Pi..4*Pi,y=-4*Pi..4*Pi,t=0..2,grid=[49,49],frames=20);

Actividad Preliminar: Realiza cada ejemplo que se muestra en la teoría de este apartado.

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AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE En el apartado anterior, se menciona las características que conlleva el comando plot, ante esto, desarrolla las siguientes actividades:

Actividad 1: En una hoja de trabajo, con la sección titulada “Graficas de Funciones”, en la primera línea de comando, escribe el comando restart; y realiza la gráfica de alguna función que tu elijas (diferente a los ejemplos) que involucre a los comandos: plot, animate2d y animate3d. La instrucción plot contiene una serie de comandos que puedes visualizar, escribiendo en la línea de comando with(plots); al instante se carga el paquete de gráficas. Alguna de estas gráficas las mencionamos arriba. En ocasiones se requiere que aparezcan acotaciones de texto en las gráficas. Esto se hace bajo la instrucción texplot. A continuación se presentan algunos ejemplos: with(plots): > textplot([1,2,`un punto en 2d`],align={ABOVE,RIGHT}); > textplot({[1,2,`primer punto en 2d`],[3,2,`segundo punto in 2d`]}); >textplot([[2,3,`primer punto 2d`],[2,1,`segundo punto en 2d`]],color=yellow); Dentro del mismo paquete de graficas, se encuentra el comando display, el cual despliega estructuras gráficas diferentes superpuestas. La sintaxis es:

display([grafica1, grafica2, ...grafica n], opción); Se puede usar el comando display para hacer la gráfica en un mismo plano con diferentes estructuras, es decir, una gráfica que utilice la función exponencial y otra con texto. Por ejemplo: > p := plot(sin(x),x=-Pi..Pi): delta := 0.05: > t1 := textplot([Pi/2,1+delta,`Máximo Local (Pi/2, 1)`],align=ABOVE): > t2 := textplot([-Pi/2,-1,`Mínimo Local (-Pi/2, -1)`], align=BELOW): > display({p,t1,t2});

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Actividad 2: Investiga por medio de la hoja de ayuda la instrucción

“shpereplot” y grafica la funciones )2sin(34 ϕ

θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ y ϕπ

4, establece

los rangos adecuados para tener la mejor visualización en cada gráfica.

Actividad 3: Las gráficas de las funciones de la actividad 1, asignar una variable y auxiliarse del comando display, para representar en el mismo espacio tridimensional las funciones, además de escribir el texto “Coordenadas Esféricas”, por medio del comando textplot3d.

Actividad 4: Investiga la instrucción “showtangent”, y grafica la recta tangente de la función , en el punto x=4. xxey =

CCAASSOO IINNTTEEGGRRAADDOORR

Guarda en una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador de OE4”. Abrir una sección titulada “Graficas de con Maple”. Dentro de la sección, abrir subsecciones para cada uno de los ejercicios siguientes:

Trazar en coordenadas polares el rayo de longitud igual a 2, con ángulo 40=θ grados.

Trazar un circulo de radio r=1 junto con los ocho rayos que dividen al círculo en ocho partes iguales.

Trazar la gráfica que corresponde a una elipse en forma paramétrica (en coordenadas cartesianas) agregando la opción cords=polar.

Construir la gráfica . 433 =− xyzz En coordenadas cilíndricas construye . )2cos(2 ϕrz = Trazar en un mismo plano las gráficas

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2421;

21);cos(

422 xxxgxf +−−== en el intervalo

adecuado para tener mejor visualización. Investiga la instrucción inequal para trazar las desigualdades siguientes:

4≤+ yx 83 ≤+ yx 0≥x 0≥y

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OObbjjeettoo ddee EEssttuuddiioo 55 Cálculo con Maple V Release 5

OObbjjeettiivvoo ddee AApprreennddiizzaajjee El estudiante determinará el cálculo de límites, derivadas e integrales por medio de los comandos básicos de Maple V Release 5, así como analizará los marcos algebraico y geométrico de las Ecuaciones Diferenciales.

CCoommppoonneenntteess pprriinncciippaalleess ddeell oobbjjeettoo ddee eessttuuddiioo Las comandos:

Limit Diff Int dsolve Desolve.

AACCTTIIVVIIDDAADD PPRREELLIIMMIINNAARR Algo de teoría:Algo de teoría: Para el presente objeto de estudio, iniciamos con el concepto que define al cálculo, que es el límite de funciones. En Maple V Release 5, la instrucción propia para el cálculo de límites es Limit (f, ax = ), el argumento f es la función y ax = es el valor al cual tiende el límite, posteriormente se evalúa por medio de los comandos conocidos evalf o value. Si desea encontrar el límite de manera directa la sintaxis es limit (f, ax = ). >limit(sin(x)/x, x=0); >limit(exp(x), x=infinity); >limit(exp(x), x=-infinity); Es posible calcular los límites por la derecha o izquierda, solo con agregar en la instrucción el argumento (separado de coma) right o left respectivamente. > limit(1/x, x=0, right); > limit(1/x, x=0, left); > limit(1/x,x=0);

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Para el cálculo de derivadas, se obtiene a partir de la función diff o Diff cuya sintaxis es diff (f, variable 1, variable 2, variable n ). Este comando permite calcular las derivadas con respecto a cada una de las variables. > diff(exp(x)*cos(x),x); > diff(ln(x^2+y^2),x); > diff(ln(x^2+y^2),y); > diff(x^2*cos(x),x); > diff(cos(x^2),x);

Actividad Preliminar: Encuentra la deriva de la función )2sin(2)( xxf = , por medio del concepto del límite (método de

Newton), y verifícalo con la instrucción diff.

AACCTTIIVVIIDDAADDEESS PPAARRAA EELL AAPPRREENNDDIIZZAAJJEE

Actividad 1: Encuentra el limite y las derivadas de las siguientes funciones:

i.3

25lim3

3 −−+

→ xx

x ii.

x

x xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+∞→ 1lim iii. )2tan(

31)( 2 xxxf −=

iv. xx eexf −= )arctan()( .

Actividad 2: Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica

)cot()csc()( xxxf = en el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2,

4π .

Actividad 3: Grafica la función de la actividad anterior y la ecuación de la recta tangente, por medio del comando display, utiliza la instrucción textplot para indicar la recta tangente, así como, las intrusiones arrow y circle que pertenecen al paquete plottools .

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Actividad 4: Encuentra la derivada de las siguientes funciones:

i. yx ffyx

xyyxf ,)sin(),( 22 += . ii. yx ffxyyxyxf ,53),( 22 −+=

Actividad 5: Investiga la sintaxis del comando int, para realizar las siguientes integrales:

i. ∫ +dx

xx

12

2 ii. ∫ ))ln(ln()ln( xxx

dx iii. ∫ dxxx )sinh(

iv. ∫ −)2ln(

0

1dxex v. ∫ ++

1

02 54xx

dx

Actividad 6: Hallar las sumas de las series dadas por medio de la instrucción sum:

i.∑∞

= +1 )1(1

n nn ii. ∑

∞

=−

−

− ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

11

1

1 )3(2)1(

23

nn

n

n iii. ( )∑∞

=++−+

112

nnnn

Algo de teoría:Algo de teoría: A continuación se muestran los comandos para resolver ecuaciones diferenciales. La instrucción que resuelve ecuaciones diferenciales es (dsolve), cuya sintaxis es:

dsolve( ecuación); dsolve( {ecuación, conds_ini}, fun(var), opciones)

Descripción: La ecuación puede ser dada en términos de diff o D, derivada aplicada a una función u operador diferencial, respectivamente. Si no hay signo "=", Maple V Release 5 considera por default la igualdad de la ecuación diferencial a cero. Las condiciones iniciales son una secuencia de ecuaciones de la forma > x(t[0]) = x[0],D(x)(t[0]) = dx[0]; donde t[0],x[0],dx[0]; son constantes simbólicas o valores numéricos las opciones son varios tipos (ver hoja de ayuda [dsolve]), por ejemplo:

type=series Solución aproximada en series de potencias. type-numeric Solución numérica. output=procedurelist Despliegue en forma de lista.

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value=array([x0,x1,.....xn]) Despliegue como arreglo de valores. Odeplot Para graficar soluciones numéricas usamos la instrucción (odeplot) que pertenece al paquete plots. La sintaxis es:

> odeplot(F,[x, y(x)],x1 .. x2,opciones); donde F es un nombre asignado a la solución numérica, x1, x2; son valores numéricos del rango de la variable independiente, las opciones son las de plot. Es importante mencionar que antes de ejecutar la instrucción odeplot, se debe escribir el comando with(plots): Paquete DEtools Es un paquete de graficación de soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales, campos de pendientes (isoclinas), espacios de fase, etc. Se recomienda consultar la hoja de ayuda (DEtools).

AACCTTIIVVIIDDAADD IINNTTEEGGRRAADDOORRAA

Guarda en una hoja de trabajo con el nombre “Caso Integrador de OE5”. Resuelve la ecuación diferencial ( ) 0)cos( =′++ yyxee yy sujeta a la condición inicial y(0)=0. Grafica la solución particular con el comando plot. En el mismo plano grafica el campo de direcciones y la solución particular en el comando Deplot.

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