115 2. angew. Math Mech. Bd. 37 Nr. 3/4 Mara/April 195T R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange

. -~ --__ --_____

In the above treatment, on account of the unending succession of holes, i t is impossible to reach any place a t which the tension is applied uniformly, or approximately so. However, as Howland has alsomentioned in his paper [l], we may suppose the plate cut a t two distant sections, the end being kept straight by rigid bars through which the tension is applied. Then, on St-Ve- n a n t’s principle, the corrections necessary for uniform tension will not be sensible except close to the ends.

In conclusion t h author wishes to express his hearty thanks t o Prof. Emeritus Se i ich i H iguch i of the Tohoku University for his kind advice throughout the progress of the present investigation.

Bibliography - - - [I] R. C. J. Howland, Proc. Roy. S O ~ . , Vol. 148 (1935), p. 471. 121 A. Hutter, ZaMM., Vol. 22 (1942), p. 322. [3] K. J. Schulz, Advances in AppliedMechanics, edited by R. v o n Mises and T. y o n Karman, Vol. I (1948),

[4] R. C. J. Howland, Phil. Trans. Roy. SOC., London, Vol. 238 (1939), p. 357. p. 121, p. 167 (Academic Press Ing., Publischers, New York, N.Y.).

Eingegangen am 8. Februar 1956.

Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange Von Werner Roth in Karlsruhe

Inder vorliegenden Arbeit wird fur schraubenformiggewundene Rohre mit Kreisquerschnitt, welchedurch Innen- druck sowie durch Krafte und Momente in dem Endquerschnitten belastet sind, der Spannungszustand ermittelt. Es gelingt, die im Sinne der Membrantheorie zustandigen Gleichungen fur die Spannungen exaakt zu inte- griwen.

For a helically twisted spiral tube of circular cross-section the stute of stress is derived when the tube is under pressure and under the action of forces and moments acting at the tube ends. The membrane theot y lecrds to equa- tions that can be integrated exactly.

Duns l’article suivant l’dtat de tension est calcul6 pour des tuyaux enrouleds en spirale avec section de c e d e de chargds par une pression intdrieure ainsi que par des forces et momentsuduns les sections extr6rieure uinsi que par des forces et moments duns les sections ex6mes. On rdussit a intdgrer exactement lea dquations approprides pour les tensions d’aprda de la thdorie des membranes.

B npennaraeMoi4 pa6o~e onpenenrreTcrr HanpRxteHHoe cocTomme ~mn~006pa311blx Tpy6 c IEpyrnbiM nonepesmm cesemem, Harpymemmx BHyTpemmM EaBneHmeM, a TamEe M O M ~ H - Tam m c m a m B KoHuesbix nonepesmix ceqemmx. Ypamenm, aei4cTsmTenmbie B ~ e s f 6 p a ~ ~ o u HaIl~FIH(HHH0M COCTOHIHHM, EIHTerPHPYlOTCH TOgHO.

I. Einleitung Wird ein gewundenes Rohr durch Innendruck belastet, so entsteht ein vom Schrauben-

winkel 6 (Bild 2) unabhangiger Spannungszustand. Durch Einspannung der Rohrenden, oder auch durch Belastung der Rohrenden allein, kann ein zweiter Spanungszustand uberlagert bzw. erzeugt werden. Die Berechnung gestaltet sich dann besonders einfach, wenn das Verhaltnis des Rohrradius a zum Windungsradius R (Bild 1) klein ist. Fur die Ermitt- lung der vom Innendruck herriihrenden Spannungen kann ein gerades Rohrstiick zugrunde gelegt werden; die von den in den Endquer- schnitten angreifenden Krafte und Momente verursachten Spannungen ergeben sich hinreichend genau iiber die Theorie des schwach ge- krummten Tragers. Im Folgenden sol1 jedoch gezeigt werden wie es moglich ist, den Spannungszustand streng fur Rohrschlangen mit be- liebigem Verhaltnis a/R und beliebiger Steigung y zu ermitteln. Es wird nur vorausgesetzt, daB die Wandstarke des Rohres klein genug ist, Querkrafte, Drill- und Biegemomente in der Rechnung also ver- nachlassigt werden konnen ; die Voraussetzungen zur Anwendung der Membrantheorie damit erfiillt sind.

11. Aufstellung der Gleichungen Fur die Losung des Problems ist es wesentlich, das geeignete

Koordinatensystem zu verwenden. Man denke sich eine Schrauben- linie (Skelett der Rohrschlange) mit der Gleichung

t: = i * R . cos 6 + j . R * sin 6 + R * 6 * tg y . I I

Bild 1.

8 *

2. angew. Math. Meoh. R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange Ild. 3, Nr. 3,4 Mba,April 185, 116

An dieser Schraubenlinie gleite das F r ene t sche Dreibein (t, n, b) entlang .(Bild 2). Denkt man sich den Nullpunkt des Dreibeins zusammenfallend mit dem Mittelpunkt eines am

Dreibein befestigten Kreises derart, da13 n und b zugleich Einheitsvektoren zweier Durchmesser dieses Kreises sind, so wird die Gesamtheit der

- ~

4 Bild 2 Bild 3

Umfangspunkte des Kreises beim Gleiten des Dreibeins langs der Schraubenlinie eine Flache beschreiben, welche identisch ist mit der Mittelflache der Rohrschlange (Bild 3).

Ein beliebiger Punkt auf der Mittelflache wird beschrieben durch den Vektor b = T + a

mit

und

Es ware naheliegend, den Winkel p als zweite unabhangige Koordinate neben der ersten Koordj- nate 6 einzufuhren; doch ware damit ein ganz spezielles Koordinatennetz auf der Mittelflache fest- gelegt, von dem erwartet werden muI3, da13 es schiefwinkelig sein wird. Wenn dagegen als zweite Gau13sche Koordinate 01 gewahlt wird ist es moglich, durch Variation der Funktion p(@) ver- schiedene Koordinatennetze herzuleiten. Demnach ist die additive Aufspaltung von p in die zwei Winkel o( und p(6) zu bevorzugen. Das Gaul3sche Koordinatennetz, welches orthogonal ist, wird aber fur die Losung des vorliegenden Problems jedenfalls am gunstigsten sein. Fur die Funktion p(S) ist dann die Bedingung fur Orthogonalitat

a = - n * a - cos rp + 6 * a . sin p

p = a + p .

(-. ab a0 ) = o . . . . . . . . . . . . a6’ a& * (1) . . .

determinierend. Nun ist dr dr ds

a8 - d 6 - ds ‘ d 6

ds R A = - - = ~

d 6 cosy

= t - A a T - -

mit

fur die Schraubenlinie. Die Ableitung des Vektors a ist

Mit Hilfe der Zweiten und Dritten der Frenetschen Formeln

findet man

Damit ist

117 2. angew. Math. Mech. Bd, 37 Nr, 3,4 Kh8,Apri, ls5,

Entsprechend gilt

R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange _______

aa at:

a& a&

a&

= o ~ = n * a sin q~ + b - a - cos p7 -~

und damit folgt

* (3). = n * a - sin p + b - a - cos . . . . . . . . . . . at, . ~~

Bedingung (1) geht uber Gleichungen (2) und (3) uber in

Sol1 fur 6 = 0 = 0 sein, dann ist die Losung dieser Differentialgleichung

= 6 . 2 . T. Die Funktion B(6) kann so gedeutet werden, dal3 sie der Drehung des Frenetschen Dreibeins beim Gleiten langs der Skelettlinie entgegengesetzt ist und mit dieser den1 Betrag nach uberein- stimmt. Es ist namlich

dc ds '

T =

(Die Torsion der Schraubenlinie ist gleich der Anderung des Drehwinkels E des Dreibeins um die Tangente t bezogen auf das zuruckgelegte Wegelement ds der Skelettlinie.) Fur ds gilt

So folgt fur T

Beginnt man die Drehung von 6 = 0 an zu zahlen, dann ist

gleich dem Winkelp. Dadurch, dal3 die zweite Gauflsche Koordinate von dem Radius gezahlt wird, welcher mit der nega- tiven n-Achse des Frenetschen Dreibeins den Winkel B ein- schlieBt, erreicht man, da13 die Drehung des Dreibeins gewisser- mal3en aufgehoben wird (Bild 3). Es ist so leicht einzusehen, da13 das konstruierte Koordinatennetz auf der Mittelflache der Rohrschlange tatsachlich orthogonal ist.

Ein Element der Rohrwand wird fixiert durch die Koordi- na ten 6 und a, begrenzt durch die Langendifferentiale ds,, dz1, ds, und fi2 (Bild 4).

Der Einheitsvektor bei Fortschreiten in Richtung 8 ist ails

E = 6.1. T

Bild 4

gleich den1 Tangentenvektor t der Schraubenlinie. Der Einheitsvektor bei Fortschreiten in Rich- tung oc ist aus

a b ~ ~ = it * a sin p7 + b - a . cosp aoc

Z ~ I bestiinmen und ergibt sich zu

I?<ir den Einheitsvektor senkrecht zur Mittelflache folgt

Durch ein Differential d6 wird an der Stelle (8, a) die Kantenlange des Elements

?tt = i t * sin q + 6 cos p.

3 = (t x I> = b * sin p - i t cos q.

beschrieben. An der Stelle (6, + doc) ist dagegen dS2=ds , - - ; I . a .K . s inp , .da .d6 .

R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange Bd, 3, Nr, Z. 3,a angew. hIILrz,April Math. Mech. 195, _ _ _ _ _ I18 - ~ _ _ _

Entsprechend wird durch ein Differential doc an den Stellen (6, a) bzw. (6 + d6, a) die Kanten- lange

ab ' ds, = 6, = '

festgelegt, (Bild 4) wobei Differentiale dritter Ordnung vernachlassigbar sind.

* d a ~ = a * doc ~ a&

Bild 5

Nach diesen Vorbereitungen ist es moglich, die am herausgeschnittenen Element angreifen- den Krafte, verursacht durch die Schnittkrafte S,, S, und V und der Flachenbelastung p , ins Gleichgewicht zu setzen. (Bild 5.) Von der Flachenbelastung p kann angenommen werden, daB sie konstant ist und die Richtung senkrecht zur Tangentialflache der Rohrschlange hat. (Tech- nisch interessierender Fall.) Die Gleichgewichtsbedingung lautet :

= o , am ~ = - % at am at a & ' a6 ' aa a& ~-

vor. Man erhalt fur sie (uber die Frenetschen Formeln):

Driickt man so alle Vektoren durch die Einheitsvektoren t, m und 8 aus, dann zerfallt schliel3lich die obige Vektorgleichung in das System partieller Differentialgleichungen fur die Schnittkrafte S,, S, und V:

Fur die weitere Behandlung dieser Gleichungen ist es zweckmaBig, als unabhangige Veranderliche die Koordinaten

zu substiluieren. Das System (4) geht dann iiber in das System:

p = a + B y = 6

119 2. nngew. Nath. Mech. Bd. 37 Nr. 3,4 Marz,Apr,l 1957 R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange -- - ---__ ____- _ ~ -

111. Zusammenstellung der Losungen Die einfachste Losung des Systems (4)’ beschreibt den Fall einer durch konstanten Innen-

druck p belasteten Rohrschlange, deren Enden durch zwei Deckel abgeschlossen sind. Zur Her- leitung dieser Losung dient das Analogon, daB in einem geraden, unter Innendruck stehenden Rohr keine Schubspannungen vorhanden sind. Es ist demnach auch fur die Rohrschlange der Ansatz V = 0 naheliegend. Wegen Unabhangigkeit der Spannungen vom Schraubenwinkel y = 6 gehen die G1. (4)’ uber in:

U . k I 0 -

S,,,,/p - a 1,0000

S2min/p. a 1,0000 ~-

. . . (4)’’ 1

0,2 I 0,4 ’ 0,6 1 0,8 I 0,9 1,0

1,1250 j 1,3333 i 1,7500 ~ 3,0000 ~ 5,5000 00

0,9167 1 0,8571 1 0,8125 ~ 0,7778 ~ 0,7632 1 0,7500

~_ _ _ ____ - _ _ _ _ ~ _

I-- - __ __

S,.(l + a . K * c o s p ) f S , . a . K - c o s p = p . a . ( l + a - K . c o s p ) j

Die Erste der Gl. (4)” liefert S, = c, = konstant. Die zweite Gleichung fiihrt zu

S, - (1 + a * K * cos p) = c, - a * K - cos p + c,.

Dies in die Dritte dcr G1. (4)” eingesetzt bringt das Ergebnis:

c1 = p- ‘ -a c , = p - a . 2

Dainit beschreiben also die Gleichungen

v = o . . . . . * (5) 1 ( l + 2 n . K . c o s p 1

s, = - ~~ ~ , = p . a . - 2 (1 + a * K - cos p)

den in der Rohrschlange herrschenden Spannungszustand. Fur die Kriiinmung K (erste Krum- mung der Skelettlinie) ist zu setzen

1 R K = * COS’Y .

Die Extremalwerte der Spannung S, sind an den Stellen p = 0 und cp = x zu finden. Es gilt:

Fur die Praxis von Redeutung sind diese Verhalt- nisse als Funktion von ask. Eine einfache Be-

Werte a - k , welche der Bedingung 0 < a - k < 1 geniigen, eine Diskussion vorzunehmen. Ein Rohr- element der Rohrschlange, dessen Skelettlinie die Lange ds hat, bildet sich in der Schmiegungsebene nach Bild 6 ab. Die Skelettlinie hat hier den Kriim- mungsradius R‘ = R)cosz y und aus geometrischen Grunden mu13 aber a < R‘ sein (Bild 6). Daraus folgt

trachtung zeigt aber, daB es nur sinnvoll ist fur die

Bild 6

Z. angew. Math. Mech. Bd. 3, Nr. 3,4 M;irs,April 195,

Legt man einen Schnitt senkrecht zur Skelettlinie, dann greift an diesem Querschnitt eine

120 R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange

resultierende Kraft 2 n 2 n

0 0 p = J t . S , . a . d g , f J m . V . a * d a , = t . z - a s . p

und ein resultierendes Moment bezogen auf den Nullpunkt des diesem Querschnitt zugeordneten Fr enetschen Dreibeins

2n 2 n

0 0 = (a x t). S, .a-dg, + (ax m) V . a . da, = 0

an. Ein aufgesetzter Deckel wurde aber unter Wirkung des Innendruckes p gerade eine Kraft von dieser GroI3e und ein Moment M = 0 auf die Rohrschlange ausuben. Wenn man also von den

Bild 7

Verformungsbedingungen zwischen Deckel und Rohrschlange absieht, stellt sich der ermittelte Spannungszustand ein. Die Berucksichtigung der Formanderungen konnte zu auftretenden Biege- und. Drillmomenten in der Nahe der SchweiBnaht des aufgesetzten Deckels fuhren, doch schon nach geringer Entfernung werden diese Momente abgeklungen sein, so da13 der Membran- spannungszustand ubrig bleibt.

Die allgemeine Losung der G1. (4)’ setzt sich additiv zusammen aus der oben hergeleiteten partikularen Losung (5) des Systems (4)’’ und der Losung des homogenen Systems

Fur Losungen, welche vom Schraubenwinkel y = 6 unabhangig sind, vereinfachen sich die G1. (6) auf

. . . (6)’.

Mit der Substitution x = cos g, geht dieses System uber in

. . . . . . . (6)”.

dV dS1 . --*(I + a . K - x ) + V . 2 a . K + - a - T = O dx dx dS, (1 + a - K 2) dV S , . a * K + - . a - T = O dx dx

~ ______

121 Z. angew. Math. Mech. Bd. 3, Nr. 3/4 wiirzjApril 195,

Aus der Letzten der G1. (6)" folgt

R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange .-

a . K . 2 . (7). S2 = - Sl .

(1 + a . K . x ) . . . . . . . . . . . . Eleminiert nian S, aus den beiden ersten Gleichungen des Systems (6)" dann erhalt man :

Diese beiden Gleichungen lassen sich noch auf eine einzige Differentialgleichung reduzieren, wenn man aus der ersten Gleichung

dV (1 + a . K - x ) 2 K - - ._--_ -v.-- -

in die differentiierte zweite Gleichung einsetzt. Das Ergebnis ist :

. (8) dx dx a . T T * ' * " ' ' " '

+ V * 6 = 0 . . ( 2a.K 2 dV d2V __--. ( x 2 + a - K + + - 6 . x + ~

dx2 . . (9).

Die Spannung V wird also durch eine lineare, homogene Differentialgleichung 2. Ordnung be- stimmt, deren veranderliche Koeffizienten Polynome sind. Uber den Reihenansatz

n=w

n=O . . . . . . . . . . . . . . V = 2 b ; x ( p + n ) . (10)

ist es moglich, das Integral von (9) zu finden. Das Bildungsgesetz der Koeffizienten bn wird hier so einfach, daR sich leicht die Summenformel der Reihe (10) angeben 1aRt. Man erhalt schlieljlich nach Durchfuhrung der Rechnung als erstes und zweites Partikularintegral

1 1 v --I-- . . . . . . . . . . (11). v, =I 2 - ( x - 6d2 ( x - 5 2 Die Groljen 41 und t2 sind die singularen Stellen der Differentialgleichung (9). Es ist

In den Losungen (11) ist die Diskriminante

grooer als Null angenommen, so daR beide singulare Stellen reel1 und voneinander verschieden sind. Fur den Fall d = 0, also t1 = E,, erhalt man als Partikularintegrale

d = 1 - 4 a2 * T2

1 1

1st endlich A < 0, dann sind [(x - S)2 - 0 2 1

- -[(x - S ) Z + ,212- (x - 6) [ (x - b)2 + 0 2 1 2 v - v2 =

die Partikularlosungen von (9). Hier ist

gesetzt; also gilt El = 6 + i * cc) t2 = S - i * w

- f 4 a 2 T 2 - 1 . 1 a = - 1 a = - - 2 a K 2 a K

Mit der nun bekannten Funktion V ist es moglich iiber GI. (8) durch Integration die Spannung S, und iiber (7) dann S, zu ermitteln. Nach unwesentlicher Rechnung erhalt man nach Ruck- transformation auf die Veranderliche y zusammengefaljt; fur d > 0

1

Z. angew. Math. Mech. Bd, S T Nr. 3,4 Marz,April 19j, Ro t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange

- - ___ 122

fur A = 0 C1

(cos p - E I Y v = + - - . c 2 p -

(cos p - E l l 3 1 1 1

c1 - a * K - cos p s, - p-- (1 + a * K * cos p) (cos a, - E J 2 2 -

und fur d < 0 [(6 - cos p ) 2 - ,2] (cos p - 6)

~~~ ~~ v = e l ‘

s,=--(;. [(6 -- cos p)2 + ,212 + c2 * [(6-=)q ,212

I - [- 6 cosz p + 2 * (62 - d) cos p + 6 (3 02 - P)] 1 -- p-- -

K I’ [(6 - cos p)2 + ,212

- * [COSZ p - 4 * 6 * cos Q1 + (3 - w2)1 1

~~

K - c2 * 2-T - [(6 - cos py +-w212

Die Losungen (12), (13) und (14) enthalten jeweils zwei Integrationskonstanten c, und c2. Sie beschreiben den Fall einer durch Axialkraft und Axialmoment belasteten Rohrschlange (die Wirkungslinien von Kraft und Moment fallen mit der Schraubenachse zusammen), wobei durch Superposition der Lijsung (5) noch die Belastung durch Innendruck berucksichtigt werden kann. Es besteht jedoch ein wesentlicher Unterschied im Charakter der einzelnen Losungen. Betrachtet man z. B. die erste Gruppe (12) A > 0 und setzt voraus, da13 das Verhaltnis a/R = v <1 sei, dann kann man leicht zeigen, da13 die singularen Stellen El und E2 den Ungleichungen

E1<-1 - l < E , < O genugen. In einem beliebigen Schnitt senkrecht zur Skelettlinie greifen aber die Kraft

2 n 2 n !# =$ t . S, . ds, +$ nt . V . ds, = t . CI . j S, . dp + b . a . V . cos a, . dp . . . (15)

0 0

und das Moment (bezogen auf den Nullpunkt des begleitenden Dreibeins) 2 n 2 n

% = $ ( a x t )S ,ds ,+$ (a x m ) V d s , = b . a 2 . S S , . c o s p d p - t t a 2 S V . d a , . . (16) 0 0

an. Hier treten die Integrale

auf, welche wegen 0 > t2 > - 1 divergieren. Bei beliebiger Vorgabe des Axialmomentes und der Axialkraft ist also kein Meinbranspannungszustand in der Rohrschlange moglich. Es treten an der Stelle cos a, = Ez vielmehr unendlich grol3e Spannungen auf, die es unmoglich machen, Gln. (15) und (16) zu erfiillen. Verzichtet man auf das Partikularintegral mit der singularen Stelle 1 2 , setzt also c2 = 0 , so erhalt man nach Auswertung von G1. (15)

C1 (15)’ p = - - - . - 2 n . a 3 = f 2n.a c1 . . . . . . . . ( f,3-133 cos y ( @ T y C O S Y

und aus G1. (16)

%R= I . Pa R - - f . P . a . siny . c o s y 5 - . . . . . . . . . (16)‘

(1 ist ein Einheitsvektor im Nullpunkt des F r en e t schen Dreibeins angeheftet, senkrecht stehend zu dem Einheitsvektor f und der Projektion des Vektors t: auf die (i; i) Ebene, dem Radius R;

( 1 :j

123 Z. angew. Math. Mech. Bd. 3, Nr. 3/4 MiirzlApril 195,

positiv gerechnet im Sinne zunehmenden Winkels 6.) Ware das Rohr nach Art einer Feder belastet, so mii13te das Moment (Axialmoment)

Ro th , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange -

M , = - P . a - sin y . cosy - Null sein. Diese Bedingung kann durch Verlust des zweiten Integrals eben jetzt nicht mehr erfiillt werden. Beschrankt man sich auf kleine Steigungen, setzt also wie iiblich sin y = y , cosy = 1 , dann ist

= y - (1 - VZ) 4 Pa R

und fur hinreichend kleine Werte y oder hinreichend bei eins gelegenen Werten v kann gesagt werden, daf3 das Moment M, vernachlassigbar klein wird gegen das Moment P * R , so daf3 naherungsweise der Federspannungszustand vorliegt. Im Fall A = 0 (13) fiihrt die Forderung l1 < - 1 (Moglichkeit fur das Eintreten eines stetigen Membranspannungszustandes) zu der Ungleichung

Wegen A = 0 mu13 aber auch v - s i n 2 y = 1. . . . . . . . . . . . . . . . (17)

sein. Daraus resultiert die Ungleichung t g y > 1 . Die Steigung der Rohrschlange mu13 also gro13er als 45 Grad sein und das Verhaltnis v mu13 der Bedingung (17) geniigen. Von der Lo- sung (14) schliefllich sind beide Partikularintegrale brauchbar; doch fiihrt die einschrankende Bedingung A < 0 auf die Aussage

v * s i n 2 y > l . Diese Ungleichung fordert von vornherein v > 1 . Wenn keine Selbstdurchdringung vorliegen soll, so hei13t das, da13 nur Rohrschlangen mit grooer Steigung durch die Losung (14) erfa13t werden. Kriimmung und Windung werden dann sehr klein, so daf3 im Grenzfall ein gerades Rohr vorliegt.

Ausgangspunkt zur Herleitung allgemeinerer, vom Schraubenwinkel6 abhangiger Lo- sungen sind die Gleichungen

2*v 'cOs2y< 1

(Man erhalt sie aus dem System 6, wenn S, eliminiert wird.) Es ist moglich, die Losungen der Gln. (6)"' nach l'otenzen der Steigung y zu entwickeln. Verwendet man die Beziehungen

1 3

a . K = v-cos2 y = v . 1 -y ,+- - my4.. . . . .

und geht mit den Ansatzen

v = vo+ v , y + v 2 * y 2 + v 3 y 3 + " ' '1 = s10 + '11 ' + s12 * y 2 + s13 ' y 3 + ' ' '

in die Gin. (6)"' ein, dann resultieren daraus die Systeme partieller Differentialgleichungen fur die Vi und Sli: (i = 0 - * * 00)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. angea. Math. Mech. R o t h, Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange Bd, 37 Nr, a,a Marz,April 1957 -_- 124

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Die Erste der beiden Gln. (6)’” geht uber in das System (IS), die Zweite der Gln. (6)’” geht iiber in das System (19).) Die Gleichungen

liefern die Grundlosungen der Systeme (18) und (19). Diese Losungen beschreiben den Span- nungszustand im Fall y = 0 . Rekursiv ist es dann moglich, mit V, und S,, aus den Systemen (18) und (19) die ,Vi und Sli (i = 1 - - 00) zu entwickeln. Nach Elemination von Sl0 aus (20) ist die partielle Differentialgleichung

a w , av gy2 - (1 + v * cosy) cosy - -2 * sin y (2 + 5 - v * COST) av azv, + V,.V. ( ~ - ~ * C C O S ~ ~ ) + a62 * V = 0 . . . (21)

fur V, zustandig. Da sich die resultierenden Krafte und Momente in einem Querschnitt des Rohres mit sin 6 bzw. cos 6 andern mussen, hat (21) die Losungen

F(Y) * sin 6 .

vo = cos6 Fur F ( y ) erhalt man daniit die gewohnliche Differentialgleichung 2. Ordnung :

d2F dF --*(I + ~ * c o s y ) c o s y - - ~ s i n y . ( 2 + 5 . ~ ~ ~ 0 ~ y ) + F . ~ . ( 3 - 6 ~ c o s ~ ~ ) = O . . (22).

Mit der Substitution dPZ dP

geht diese Gleichung uber in

Die Gleichung gestattet eine erste Integration; es wird

(22)”

wo C eine beliebige Konstante ist. Mit der weiteren Substitution Z - - + C

= (l+Y* cos fp) geling 1 die Transformation von (22)’’ auf die einfache Differentialgleichung

welche die Partikularlosungen

besitzt. Dainit ist nun aber auch die Funktion F(p) gewonnen; sie besteht aus den Partikular- integralen (wie man durch Rucksubstitution findet)

z, = sin pl z2 = cosy

tg v (1 + v * cos fpy F - _ -

(v + cos y) cos y * (1 + v * cos ply 2 -

F - _ _ _ ~ --- 1 -

125 2. angew. Math. Mech. Bd. 3, Nr, 3,4 M2rz,April 195, Ro t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange

~ _ _ _ _ _

Eine vorliufige Losung von GI. (21) ist damit gegeben durch

Nun kann noch eine vom Winkel 6 unabhangige Funktion iiberlagert werden, welche auch eine Losung von (21) ist und einen rotationssymmetrischen Spannungszustand beschreibt. Diese Funktion ist schon bekannt. Sie ist (wie man auch durch Einsetzen leicht bestatigt) das Parti- kularintegral

V, = (A, - F, + A, F,) * cos 6 + (B, * F, + B, * F,) - sin 6 .

1 F,=-- - .~ _ _ ~ (1 + V * cos y) ,

der G1. (9) fur T = 0 . Das zweite Integral von (9) mit der singularen Stelle 5, kommt deshalb nicht in Betracht, da es, wie die Erste der Gln. (6) lehrt, bei verschwindender Steigung nur eine vom Winkel 6 unabhangige Losung V gibt (V wird durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung be- schrieben) und diese Losung mit F , iibereinstimmt. Aus diesem Grunde ist auch das zu F , gehorige zweite Integral der G1. (21) bedeutungslos. So liegt also nun die Losungsfunktion

V, = A , * F , + (A, * F, + A, * F,) cos 6 + (B, - F, + B, - F,) sin 8 . mit den noch offenen Konstanten A , , A , , A , , B, und B, vor. Aus der Ersten

S,, = (A, - @, + A, * @& sin 8 - (B, - + B, @,) cos 6 + h(p,) . folgt

wo

. . . * (23)

. . . * (24)

der Gln. (20)

gesetzt ist. Die Funktion h(p,) ist mit der Konstanten B, , wie sich uber die Zweite der Gln. (20) ergibt

Es interessiert der die Spannungen (23) und (24) verursachende Belastungsfall einer Rohr- windung. Allgemein konnen im Querschnitt 6 = 0 die beliebigen Krafte Q1 , Q, , Q3 und die be- liebigen Momente M I , M, und M3 angenommen werden. (Bild 8) Die im Querschnitt 6 herr-

?

Bild 8

schenden inneren Krafte und Momente miissen dann mit den BelastungsgroBen im Gleich- gewicht stehen. Diese sechs Gleichgewichtsbedingungen liefern die unbekannten Integrations- konstanten. Nach Ausfuhrung der langeren Rechnung, wobei Gebrauch gemacht wird von den Relationen

2 x

0 2 n

0

j” F, . s inp ,*dp ,=O

1 F, * cos y * dp, = 0 2 n j” F,*dp, = 0 0

2 n

n j” @, - sin p, - dp, = 0

2 n

0 J Fl sin p, * dp = 0 2 n

0 j” F, cos p, dp, = 0

2 n

0 J @l.dp=O

* cos y * dp, = 0 2n

0 J

= 0 , 0

Roth , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange Bd, 3, Nr, 2. 3/4 angew. Math. Meoh. 1957 __ _______ 126 ____

V

1'0 ma,/ VO m

VOmin/VOm

erhalt man fur die Konstanten: B, = 0

0 0,2 ' 0,4 0,6 0,s ~

1,0000 1,4696

1,0000 0,6532

a * J' F, . cos p dqj 0

- Qz

a . J F, * sin p * dp 2 n

0

A , =

Zusatzlich mu13 die Bedingungsgleichung

erfullt sein. Wegen Divergenz der Integrale M3 + Q, * R = 0

werden die Integrationskonstanten aus den Gln. (25) nur dann bestimmbar, wenn die Be- lastungen den Forderungen

genugen. Damit ist aber auch

Auf Grund des Bestehens der Relation

Qi = 0 Qz = 0 M z = 0 Mi = Q3 - R

M 3 - - - Ql * R = 0 .

2n.v 2 n 2 n j F , * c o s p , * d p l = - ~ . J F,.dp=----- 0 0 1/( 1--y2) 3

fur die Funktion F, wird die Konstante A , widerspruchsfrei festgelegt. Mit den Spannungen

s,=o s,=o V o = A , . F o = Q 3 . -v2)3 2n a * v * (1 + v - cos ply

ist dann der im Torus herrschende Spannungszustand bestimmt. Da zusatzlich zur Kraft Q3 ein Moment M I = + Q3 * R angreifen muB, entspricht dieser Spannungszustand der Belastung einer ebenen Rohrfederwindung nach Art einer Schraubenfeder; ein Ergebnis, das auch schon die Losung (12) fur verschwindende Windung ( T = 0) enthalt. Es interessiert die Abhangigkeit der extremen Spannungen vom Verhaltnis v . Nennt man die mittlere Schubspannung

so erhalt man fur die Verhaltnisse der maximalen Schubspannung V0,, an der Stelle p = ?G

und der minimalen Schubspannung VOmin an der Stelle p = 0 zur mittleren Schubspannung VOm:

0,9 ~ l ,o

8,2819 , 00

0,0229 1 0,0000

127 Z. angew. Math. Mech. Bd, 37 Nr. 3,4 mdarz,Apri, 1967 R o t h , Der Membranspannungszustand in einer Rohrschlange

-~~ -

In der Innenseite des Rohres (pl = n) ist mit zunehmendem Verhaltnis v ein starkes Ansteigen der maximalen Schubspannung Vo mar (Kerbwirkung) zu erkennen (Bild 9).

I I I 1

I I I I

------I I I I I I I I I I

Nn

I

I I I I -- 7.0 Y

Bild 9

Einer rekursiven Losung der Systeme (18) und (19) stunde, nachdem die Grundlosungen (23) und (24) bekannt sind, nichts mehr im Wege. Wie bei den Gln. (20) lassen sich die SIi (i = 1 * - 00

eleniinieren, so dafl nur noch ein System partieller Differentialgleichungen fur die 17, (i = 1 * - * 00)

ubrigt bleibt. Dieses System hat die Form

a 2 vi a vi a 2 vi ap2 a Y a62

-- * (1 + Y cos p) - COST --. sin p - (2 + 5 v cos p) + Vie v - (4 - 6 - cos2p) + v. .~

= H,(q) * sin 6 + K,(p) * cos 6 + Li(p) . . . . . . . . . . . . . . - (26) wo die H,(pl) , Ki(p) und Li(p) bekannte Funktionen von p sind. Macht man ahnlich wie oben fur die Vi Produktansatze, so zerfallt das System (26) in Systeme gewohnlicher inhomogener Differentialgleichungen 2. Ordnung, deren homogene Teile aber alle die Form (21) bzw. (22) haben. Daraus ist zu sehen, daI3 die Vi und damit auch die S, ebenfalls Pole aufweisen, also unstetige Spannungszustande beschreiben. Auf eine Herleitung im einzelnen wird deshalb kein Wert gelegt.

IV. Zusammenfassung Fur die in einem gewundenen Rohr auftretenden Spannungen werden strenge Ausdrucke

hergeleitet. Es wird dabei vorausgesetzt, daI3 die Rohrwandung vollkommen biegeschlaff oder auch hinreichend dunn ist, so daQ ein Membranspannungszustand vorliegt. Der Spannungs- zustand der durch Innendruck belasteten Rohrschlange wird durch Formeln beschrieben, welche als brauchbar zu bezeichnen sind. Es ergibt sich ein stetiger, mit einem Maximum in der Innen- seite der Windung versehener Spannungsverlauf. 1st die Steigung y Null, so entsteht ein Sonder- fall (durch Innendruck belasteter Torus), dessen Spannungszustand auch durch die von F o p pll) und F1 u gg e2) aufgestellten Gleichungen fur drehsymmetrische Spannungszustande in Rotations- schalen beschrieben wird. Die explizite Losung wurde wohl zum ersten Ma1 von Foppl l ) an- gegeben. Die Resultate stimmen mit den in dieser Arbeit erhaltenen Ergebnissen uberein. Ein eigentlich merkwurdiger Sachverhalt tritt aber bei der nach Art einer Schraubenfeder belasteten Rohrschlange zutage. Hier liegt ebenfalls ein vom Winkel 6 unabhangiger Spannungszustand vor, der seinem mathematischen Charakter nach in drzi Gruppen zerfallt. Das Wesentliche zeigt der erste Fall d > 0 . 1st hier die Steigung y Null (ebene Rohrfederwindung), so erhalt man fur die Schubspannung (die Schnittkrafte S, und S, sind Null) wiederum eine stetige Funk- tion, welche in der Innenseite (9, = n) ihr Maximum aufweist. Schon bei einer beliebig kleinen, jedoch ungleich Null auftretenden Steigung y ist sofort ein Pol in den Spannungen vorhanden.

Dieser Pol existiert also fur y = 0 nicht und lauft mit zunehmender Steigung von p = -~ bis n 2

-

l) A. und L. Foppl, Drang und Zwang, zweiter Band, 1928. 2, W. Fliigge, Statik und Dynamik der Schalen, 1934.

Z. angew. Math. Mech. Bd, 37 Nr. 3,4 M&z,April 1957 Medgyessy , Analyse von Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen

___ 128

3-E v = z, um mit y = ~~ bei = z wieder zu verschwinden. Es ist nun aber nicht nur so, daB

diese Unstetigkeit vorhanden ist, sondern noch vie1 mehr; die iiber einen Querschnitt des Rohres gebildeten Resultierenden konvergieren nicht mehr, d. h. die Rohrschlange ware iiberhaupt nicht fahig, die geringste Axialkraft aufzunehmen. Nur bei einer ganz bestimmten Abhangigkeit zwischen der Axialkraft P und dem Axialmoment M , ware ein physikalisch sinnvoller Spannungszustand moglich. In Wirklichkeit wird ein solches Verhalten kaum zu erwarten sein. Wahrscheinlich kann auch die Membranrohrschlange durch eine Axialkraft belastet werden, doch ist dann damit zu rechnen, dal3 grol3e Formanderungen auftreten. Experimentell laBt sich dieser Sach- verhalt nicht nachweisen, da die biegeschlaffe Schale ja eine Abstraktion ist, die nicht praktisch realisiert werden kann. Rechnerisch konnte da nur eine Mebrantheorie Auskunft geben, in der Deformationen beriicksichtigt werden, d. h. die Gleichgewichtsbedingungen miil3ten a m ver- zerrten Element aufgestellt werden. Die dann bestehenden Gleichungen fur die Spannungen und Verschiebungen sind aber nicht mehr linear; eine strenge Losung diirfte mit sehr groBen Schwierigkeiten verbunden, wenn nicht sogar unmoglich sein. Fur die vom Winkel 8 abhangigen Spannungszustande ist nachgewiesen, daB bei verschwindender Steigung (y = 0) nur ein ganz spezieller Belastungsfall (Federbelastung) durch die Membrantheorie beschrieben werden kann. Bei nichtverschwindender Steigung treten in den Spannungen wiederum Pole auf, die eine ge- nauere Untersuchung der Belastungsfalle unwert erscheinen lassen. Es liegt auf der Hand, dal3 eine biegesteife Rohrwand keine groBen Deformationen mehr zulieRe ; die gewohnliche Schalentheorie biegesteifer Schalen auch da brauchbare Losungen liefern wurde, wo die hier angewandte Membrantheorie versagt. In der Umgebung der Stellen unendlich groRer Span- nungen, wie sie die Membrantheorie liefert, kann dann mit einem Auftreten wesentlicher Biege- momente gerechnet werden.

A n m e r k u n g : Der Verfasser behandelt in einer demnachst erscheinenden Arbeit das vorliegende Problem nach der Theorie biegesteifer Schalen. Eingegangen am 25. April 1956.

2

Anwendungsmoglichkeiten der Analyse der Wahrscheinlichkeits-- dichtefunktionen bei der Auswertung von Messungsergebnissen

Von P. Medgyessy in Budapest*) Von gewissen, 2. B. spektroskopischen Mepergebnissen weip man nur, dap ihre Kurve eine Uberlagerung -

eine ,,Mischung" - von sogenannten stabilen, 2. B. G a up schen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen darstellt, deren Parameter - die gesuchten physikalischen Gropen - unbekannt sind. - Das Problem der Bestimmung solcher Parameter, die sogenannte ,,Anulyse der Mischung" wird durch wahrscheinlichkeitstheoretische Mittel exakt gelost; dann werden Naherungsverfahren - hauptsachlich irn Falle einer Mischung von Baupschen bzw. Cauchyschen Funktionen - behandelt.

Of certain measurements, e. g., in spectroscopy, i t is merely known that they belong to a graph which is a super- position or "mixture" of so-called stable - e. g. normal - frequency function while the values of the parameters of these functions - which are the physical quantities to be found - are unknown. - The problem of the so-called "analysis of mixtures", i. e., the problem of determining the unknown parameter values, i s solved exactly by probabilistic methods. Approximation methods are also discussed, mainly for the case of a mixture of normal or C a u c h y freqency functions, respectively.

De certains rksultats de mesure, p. e. de rksultats de mesure spectroscopiques on suit que ses wurbes reprd- sentent une superposition - un ,,mklange" - des soi-disant stable fonctions de densitk de probabilitk - par exemple des fonctions de G a u p - les paramitres desquelles - c'est iC dire les donnhs physiques - sont in- connus. Le probldme de la dktermination de ces paramhtres, c'est iC dire la soi-disant ,,analyse d u mklunge", est rdsolu exactement a u moyen de la thwrie des probabilities; ensuite des prockdh approximatifa sont traites, en particulier dans le cas d'un mklange des fonctions de 0 a u

0 HeKoTopux ~ K C ~ ~ ~ H M ~ H T ~ ~ ~ H E J X KPEIBHX, Hanpmxep B CnempocKonmecmx nccnenosa-

HanpmMep : HopManbHbix - @YHK~EIB ~JIOTHOCTYI pacnpenenemm BepomnocTeii, B TO Bpem m a napaMeTpbI ~ T L I X @ymuz&i - He-ccoTopm @11311~ec~~e HomTamu - H ~ H ~ B ~ C T H H . 3anasa onpeneneHm 3~13x napaMeTpoB - TaK ~aab i sae~u i i , , a ~ a n ~ 3 cMecw' - pemaeTcH TOYHO MeTo- n a m Teopm sepomHocTea. 3 a ~ e ~ paccnxaTpmamcx n p ~ 6 n n m e n ~ n e MeTonH, rnambm o6pa30~ B cnyyae HanomeHm @ y ~ ~ u ~ l i i IIJIOTKOCTE~ pacnpenenemrr raycca II Icomi.

Einleitung Bei vielen Untersuchungen in der Physik erhalt man als Endresultat eine stetige Kurve,

woraus dann jene GroBen, durch welche die untersuchte Erscheinung charakterisiert wird, prinzipiell bestimmt werden konnen. Die Untersuchung der Atomspektren bietet ein klassisches

respectivement de C a u c h y.

HEIRX, I I ~ B ~ C T H O nmm TO, YTO OHM EIBJIEIIOTCR HanowemeM - ,,cMepbm" - YCTOfiWIBbIX -

*) Mathematisches B'orschungsinstitut der Ungarischen Akademie der . Wissenschaften.