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DERIVADA
Aula 02 – Matemática I – Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
“ No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava
correndo a 42 mph”.
Como pode ser provada tal afirmação?
Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado –
não ajudará em nada.
Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em
um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único
instante de tempo, interrompemos o movimento!
É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a
velocidade de um objeto em algum instante de tempo.
• Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no
século cinco a.C. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do
cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para
o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da
velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em
questão.
A Derivada
• O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para
estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação.
• As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.
Taxa de Variação nas
Ciências Naturais e Sociais
Aplicações
Na Física
• Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade.
• A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração.
• A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.
Na Química
• Os químicos têm interesse em
calcular a taxa de reação
instantânea de uma reação química.
• A taxa de reação instantânea é
calculada pelo quociente entre a
concentração de um reagente em
função do tempo, quando o intervalo
de tempo tende para zero.
Na Biologia
• Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos
de uma população animal ou de plantas.
Na Economia
• Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de
variação do custo em relação ao número de itens produzidos).
Outras Ciências
• Geólogo pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de
rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a
envolve.
Engenheiro
• Saber a taxa segundo a qual a
água escoa para dentro ou
para fora de um reservatório.
Agrônomo
• Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio.
• Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz
absorvida em diferentes densidades de plantas.
Geógrafo urbano
• Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à
medida que a distância do centro aumenta.
Meteorologista
• Busca calcular a taxa de variação
da pressão atmosférica em
relação à altura.
Psicologia
• Interessados na teoria de
aprendizagem estudam a chamada
curva de aprendizado, que é o
gráfico de desempenho de alguém
aprendendo alguma coisa como
função do tempo de treinamento.
Sociologia
• O cálculo diferencial é usado na análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões).
• Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.
A Derivada
• Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.
• Tem-se a produção de milho por hectare 𝑓 (𝑘𝑔/ℎ𝑎) como
função da quantidade de nitrogênio 𝑥 (𝑘𝑔/ℎ𝑎), cujos resultados
são apresentados na tabela a seguir:
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
f(x) 1451 1651,8 1816,6 1945,4 2038,2 2095,4 2115,8 2100,6 2049,4
Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22
kg/ha?
0
500
1000
1500
2000
2500
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Valores Y
Derivada
• Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30,
encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30,
1945,4).
• Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação:
𝒕𝒂𝒙𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂çã𝒐: 𝑓 30 − 𝑓(20)
30 − 20
• Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4).
• Logo a equação da reta 𝑓(𝑥) = 𝑏 + 𝒂. 𝑥, para qualquer 0 ≤ 𝑥 ≤ 10 a partir de x = 20, será:
𝑓 20 + 𝑥 = 𝑓 20 + 12,88𝑥
• Com essa função podemos calcular o f(22).
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
• Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor ∆𝑥.
x 0 5 10 15 20 25 30 35 40
f(x) 1451 1555,9 1651,8 1738,7 1816,6 1885,5 1945,4 1996,3 2038,2
Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).
• Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que ∆𝑥2, mais precisa será a estimativa para x = 22.
• Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como
lim∆𝑥→0
𝑓 20 + ∆𝑥 − 𝑓(20)
∆𝑥
lim∆𝑥→0
𝑓 20 + ∆𝑥 − 𝑓(20)
∆𝑥
Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da
inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e
(20+∆x; f(20+ ∆x) estarão muito próximos pelo limite.
Derivada - Definição
• A expressão:
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
é chamada de quociente da diferença da função f(x).
• Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado.
• Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.
Derivada de uma Função
• A derivada da função f(x) em relação a x é a função f ’(x) dada por:
𝑓′ 𝑥 = limℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
• E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação.
• Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f ’(c) existe, ou seja, se o
limite do quociente diferença que define f ’(x) existe no ponto x = c.
Exemplo
• Determine a derivada da função 𝑓 𝑥 = 4,9𝑥2.
Taxa de Variação instantânea como uma
Derivada
• A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto 𝑥 = 𝑐 é dada por 𝑓’(𝑐).
• A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática:
𝑓 𝑥 = −0,18𝑥2 + 21,88𝑥 + 1451
• Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f ’(22).
Significado do sinal da Derivada f ’(x)
Se a função f é derivável em x = c,
f é crescente em x = c
f ’(x) > 0
f é decrescente em x = c
f ’(x) < 0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) = 4,9x²
Notação de Derivada • A derivada f ’(x) da função y = f(x) muitas vezes é escrita na forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥 (dê y
sobre dê x) ou 𝑑𝑓
𝑑𝑥 (dê f sobre dê x).
• Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f ’(c)] é escrito na forma:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥 = 𝑐 ou
𝑑𝑓
𝑑𝑥 𝑥 = 𝑐
• Assim, por exemplo, se y = x², temos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 2𝑥
E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por:
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥 = −3 = 2𝑥 𝑥 = −3 = 2. −3 = −6
Tangentes
• Se uma curva C tiver uma equação y = f(x) e quisermos encontrar a reta tangente a C em uma ponto 𝑃(𝑎, 𝑓 𝑎 ), consideramos um ponto
próximo 𝑄 𝑥, 𝑓 𝑥 , onde 𝑥 ≠ 𝑎, e calculamos a inclinação da reta secante PQ. 0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥))
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
a x
𝑃(𝑎, 𝑓 𝑎 )
𝑥 − 𝑎
𝑚𝑃𝑄 =𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
• Então fazemos 𝑄 aproximar-se de
𝑃 ao longo da curva 𝐶 ao obrigar
𝑥 a tender a 𝑎. Se 𝑚𝑃𝑄 tender a
um número m, então definimos a
tangente t como a reta que passa
por P e tem inclinação m.
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8
t
P
Q Q
Q
A reta tangente
• A reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) em um ponto 𝑃(𝑎, 𝑓 𝑥 ) é a reta
passando por P com a inclinação
𝑚 = lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
desde que o limite exista.
Exemplo
• Encontre a equação da reta tangente à parábola 𝑦 = 𝑥2 no ponto P (1,1).
Inclinação como uma derivada
• A inclinação da reta tangente à curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) no ponto [𝑐, 𝑓(𝑐)] é dada por 𝑚𝑡𝑎𝑛 = 𝑓′ 𝑐 .
• Usamos:
𝑦 − 𝑓 𝑐 = 𝑓′ 𝑐 𝑥 − 𝑥1
ou
𝑦 − 𝑓 𝑐 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1
Exemplo 2
• Calcule a derivada de f(x) = x³ e
use-a para determinar a
inclinação da reta tangente à
curva y = x³ no ponto x = -1.
• Qual a equação da reta tangente
neste ponto?
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x)=x³
Exercícios:
1) Calcule a derivada da função 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 1 e determine a inclinação da
reta tangente à curva da função no ponto x = 2.
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Descansando a mente • Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.
Técnicas de Derivação
Regra da Constante Para qualquer constante c,
𝑑
𝑑𝑥𝑐 = 0
Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula.
𝑓 𝑥 = 𝑐 → 𝑓′ 𝑥 = 0
Esta regra é comprovada pela regra da potência.
𝑓 𝑥 = 15 → 𝑓′ 𝑥 = 0
Regra da Potência Para qualquer número real n,
𝑑
𝑑𝑥𝑥𝑛 = 𝑛. 𝑥𝑛−1
Para calcular a derivada de xn, reduzimos de 1 o valor do expoente e
multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente.
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 → 𝑓′ 𝑥 = 𝑛. 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥 = 2𝑥3; 𝑓 𝑥 =1
𝑥2; 𝑓 𝑥 = 𝑥7
Regra da multiplicação por uma constante Se c é uma constante e f(x) é uma função derivável, 𝑐𝑓(𝑥) também é uma
função derivável e
𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑓 𝑥 = 𝑐
𝑑
𝑑𝑥[𝑓 𝑥 ]
A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada.
𝑔 𝑥 = 𝑐𝑓 𝑥 → 𝑔′ 𝑥 = 𝑐𝑓′(𝑥)
𝑓 𝑥 = 3𝑥4; 𝑓 𝑥 = 7
𝑥
Regra da soma Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma 𝑆 𝑥 = 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 também é uma função derivável e 𝑆′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′ 𝑥 , ou seja:
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ]
A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas.
ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 .
Se f ’(x) e g’(x) existem, então: ℎ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝑓(𝑥) = 3𝑥4 + 8𝑥 + 5
𝑔(𝑦) = 9𝑦5 – 4𝑦² + 2𝑦 + 7
Regra da subtração Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma 𝑆 𝑥 = 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 também é uma função derivável e 𝑆′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 , ou seja:
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥𝑓 𝑥 −
𝑑
𝑑𝑥[𝑔 𝑥 ]
A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas.
ℎ 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 .
Se f ’(x) e g’(x) existem, então: ℎ′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 − 𝑔′(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 8𝑥2 + 4
𝑔 𝑦 = 2𝑦3 − 5𝑦
Derivada da função exponencial
Dada uma função exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).
A derivada 𝑓´ 𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1).
Derivada da função exponencial natural
• Se 𝑦 = 𝑒𝑥 , então 𝑦 ´ = 𝑒𝑥 ln 𝑒 = 𝑒𝑥 .
Função Derivada
𝑦 = 𝑐 𝑦′ = 0
𝑦 = 𝑥
𝑦′ = 1
𝑦 = 𝑐. 𝑓(𝑥)
𝑦′ = 𝑐. 𝑓′(𝑥)
𝑦 = ℎ 𝑥 + 𝑔(𝑥)
𝑦′ = ℎ′ 𝑥 + 𝑔′(𝑥)
𝑦 = ℎ 𝑥 . 𝑔(𝑥)
𝑦′ = ℎ′ 𝑥 . 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑥 . 𝑔′(𝑥)
𝑦 =ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑦′ =𝑔 𝑥 . ℎ′ 𝑥 − 𝑔′ 𝑥 . ℎ(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 𝑦′ = 𝑎𝑥. ln 𝑎
Calcule a derivada das funções: a) 𝑦 = 𝑥−4
b) 𝑦 = −2
c) 𝑦 = 𝜋𝑟2
d) 𝑦 = 2𝑥
e) 𝑦 = 9
𝑡
f) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 + 3
g) 𝑦 = 𝑥9 − 5𝑥8 + 𝑥 + 12
h) 𝑦 = −0,02𝑥3 + 0,3𝑥
i) 𝑦 = 1
𝑡+
1
𝑡2 −1
𝑡
j) 𝑦 = 𝑥5−4𝑥²
𝑥³
k) 𝑦 = 𝑥3 +1
𝑥3
Problemas
• Estima-se que daqui a x meses a população de um município será 𝑃 𝑥 =𝑥2 + 20𝑥 + 8000.
a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses?
b) Qual será a variação da população durante o 16º mês?
• O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por 𝑁 𝑡 = 𝑡2 + 5𝑡 +106 bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1995.
a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005?
b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?
• Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por 𝑠 𝑡 = 𝑡3 − 6𝑡2 + 9𝑡 + 5.
a) Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4.
b) Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4.
c) Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.