DERIVADA DE FUNCIONES CIRCULARES

Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008

DERIVADA DE FUNCIONES CIRCULARESDERIVADA DE FUNCIONES CIRCULARES

x

y

0

122 yx

B

P

A

T

0

Se obtiene que 0

lím 1sen

Límite que aplicado en el cuociente de

Newton, permite deducir los valores de las derivadas de las funciones

circulares siguientes:

De

Sí , con

Entonces,

useny

dx

duuusen

dx

d

dx

dycos)(

)(xuu

Sí , conuy cos )(xuu

Entonces,

dx

duusenu

dx

d

dx

dy )(cos

Sí , conutgy )(xuu

Entonces,

dx

duuutg

dx

d

dx

dy 2sec)(

Sí , con

Entonces,

uy cot

dx

duuecu

dx

d

dx

dy 2cos)(cot

)(xuu

Sí , conuy sec )(xuu

Entonces,

dx

dutguuu

dx

d

dx

dysec)(sec

Sí , conuecy cos )(xuu

Entonces,

dx

duuuecuec

dx

d

dx

dycotcos)(cos

DERIVACION DE LA FUNCION DERIVACION DE LA FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICAEXPONENCIAL Y LOGARITMICA

Sí , con

Entonces,

uy alog

dx

due

uu

dx

d

dx

dyaa log

1log

)(xuu

Sí , conuy ln )(xuu

Entonces,

dx

du

uu

dx

d

dx

dy 1ln

Sí , con

Entonces,

uay

dx

duaaa

dx

d

dx

dy uu ln

)(xuu

Sí , con )(xuu

Entonces,

dx

duee

dx

d

dx

dy uu

uey

Ej: Determinar si: dx

dy

1)

)53(log 2 xy a

Solución:

53

12

xdx

dy xea 6log53

62

x

x

dx

dy ealog

2)

)3()2ln( 23 xxy

Solución: xxxx

xxdx

dy2)2()3(3

)3()2(

1 32223

)3()2(

49523

24

xx

xxx

dx

dy

Ej: Determinar si:

2

2

dx

yd

a)

xey x ln

Solución:

dx

dy xx exe lnx

1

dx

dy xe x lnx

e x

2

2

dx

yd xx exe ln2

1

x

exe

x

xx

2

2

dx

yd xe x ln2

)1(

x

xe

x

e xx

2

2

dx

yd xe xln2

12

xx

Ej:

xexsenedx

dy xx 3cos332 22

b)

xseney x 32

xsenexexexsenedx

yd xxxx 393cos63cos634 22222

2

)3cos1235(22

2

xxsenedx

yd x

Solución:

Ej:

)4()21(cos 22 xxecdx

dy

c)

)21cot( 2xy

)21(cos24)21(cos4 2222

2

xecxxecdx

yd

Solución:

)21(cos4 22 xecx

)4()21(cot)21(cos 22 xxxec

)21(cot)21(cos32)21(cos4 2222222

2

xxecxxecdx

yd

.

DERIVACION LOGARITMICADERIVACION LOGARITMICA

Si una función es logarítmica (forma de producto o cuociente) )(ufy

Se aplica, primero, logaritmos naturales, y luego se deriva.

Si , es logarítmica, entonces,

Derivando implícitamente,

)(xfy )(lnln xfy

dx

d

dx

dy

y

1 )(ln xf

dx

dy

dx

dy )(ln xf

dx

dy yln

Ej: Det. Si , por derivación logarítmicadx

dy )3()2( 23 xxy

)3()2(lnln 23 xxy

)3(ln)2(lnln 23 xxy

3

2

2

3133

2

x

x

x

x

dx

dy

y

3

2

2

333

2

x

x

x

xy

dx

dy

)2(2)3(3 322 xxxxdx

dy

Ej: ),3()2(ln 23 xxy dx

dy?

)3(ln)2(ln 23 xxy

)3()2(

495

3

2

2

323

24

23

2

xx

xxx

x

x

x

xy

Ej: Si , determinarxxy dx

dy

Soluc.

Aplicando

Derivando implícitamente,

ln

xxy lnln

xxdx

dy

yln

1

dx

dy

x

1)ln1()1(ln xxxy x

Ej: ,ln xxy dx

dy?

xxy lnlnln

xxy lnlnln 2)(lnln xy

xx

dx

dy

y

1ln2

1

xx

ydx

dyln

2

xxxx

x

dx

dy xx

ln2ln2 1lnln