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•La velocidad: Como cambia la posición con el tiempo
•La potencia: Cómo cambia la energía con el tiempo
•La fuerza: Cómo cambia la energía potencial con la posición
•La inflación: Como cambian los precios con el tiempo
•El cancer: Cómo crecen los tumores con el tiempo
•Ecología: Cómo evoluciona un ecosistema con el tiempo
•Las revoluciones: ¿Son sistemas dinámicos ultracomplejos?
Las funciones “describen” la
evolución de las variables
dinámicas de los sistemas
23 20y f x x x
x f(x)0 20
1 24
-1 22
2 34
-2 30
3 50
-3 44
23 20y f x x x
23 20y f x x x
¿Cómo cambia la función?
•Cuando va de 0 a 1 crece en 4
•Cuando va de -1 a 0 crece en -2 (decrece)
•Cuando va de 1 a 2 crece en 10
•Cuando va de -2 a -1 crece en -8 (decrece)
Esquema
• DEFINICIONES PREVIAS:1)ECUACIÓN DE LA RECTA
DERIVADAS
Recordemos:m=tan
=
𝜃
𝜃
𝐿
𝑋
𝑌
..…..(*)
𝑥𝑥0
𝑦 0
𝑦
Ecuación punto pendiente
• Por ejemplo la ecuación de la recta que pasaQue pasa por el punto (3;2) con pendiente -2 esPor (*)
En general
Ecuación cartesiana de la de la recta
Recta secante a una curva
𝑥0+h𝑥0
𝑓 (𝑥¿¿0+h)¿
)𝛼
𝛼
𝑦
𝑥❑
𝑚=𝑡𝑎𝑛𝛼=𝑓 (𝑥0+h )− 𝑓 (𝑥 )
(𝑥0+h )−𝑥0
La derivada se da cuando el punto P tiende a llegar al punto Q
P
Q
ECUACION DE LA RECTA TANGENTE NORMAL A UNA CURVA
IMPORTANTE
Si es la pendiente de entonces
= -1
𝐿𝑁 𝐿𝑁
𝐿𝑇
𝐿𝑇
Por ejemplo ; la recta normal de
En el punto de abscisa 1 donde la recta tangente tiene pendiente es:Resolución• si • En se tiene
Pero ,
1=−34
(1)+𝑏𝐿𝑁 : 𝑦=
−34𝑥+
74
P 0f x
Q
f
0f x f x
Recta Secante
Curva
h
𝑥 𝑥+h
𝑓 (𝑥+h)
Concepto de derivada
P
Q
f
Recta Secante
Curva
𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥)
h
𝑓 (𝑥+h)
𝑥 𝑥+h
𝑓 (𝑥)
Concepto de derivada
P
Q
f
Recta Secante
Curva 𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥)
h
𝑥+h𝑥
𝑓 (𝑥+h)
𝑓 (𝑥)
Concepto de derivada
PQ
fRecta Secante
Curva𝑓 (𝑥+h )− 𝑓 (𝑥)
h
𝑥+h𝑥
𝑓 (𝑥+h)
𝑓 (𝑥)
Concepto de derivada
P
f
Recta Tangente
y mx b
𝑥
𝑓 (𝑥)
tangente 0
tan limh
f x h f x df xm
h dx
Concepto de derivada
Otras notaciones
;;
Se lee: derivada de
Si =
Existe entonces diremos que la función es derivable o diferenciable
Derivadas de operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones derivables en un punto x R y sea c un número real.
Entonces las funciones c·f, f + g, f·g y f/g (si g(x) ¹ 0) son también derivables en x.
· Además se tiene:
(cf)'(x) = cf '(x)
(f + g) '(x) = f '(x) + g'(x)
(f – g) '(x) = f '(x) – g'(x)
(fg) '(x) = f '(x)g(x) + f(x)g'(x)
)(
)(')·()()·(')(
2
'
xg
xgxfxgxfx
g
f
Función derivada
f '(3) = h 0lim
f(3 +h) – f(3)h =
h 0lim
(3 + h)2 – 32
h = h 0lim
h (h + 6) h = 6
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
f '(x) = h 0lim
f(x + h) – f(x) h =
h 0lim
(x + h)2 – x2
h = h 0lim
h (h + 2x) h = 2x
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
f '(2) = h 0lim
f(2 +h) – f(2)h =
h 0lim
(2 + h)2 – 22
h = h 0lim
h (h + 4) h = 4
Se dice que la función derivada (o simplemente la derivada) de y = x2 es f '(x) = 2x
Se llama función derivada de una función f(x) a la función f '(x) que asocia a cada x del dominio de f(x) la derivada de f(x) en x, siempre que exista.
Para obtener la derivada en x
f x ' 0f x
f x x 'f x
nf x x 1nf x n x
Funciones Polinomiales
Formulario
Funciones Irracionales
f x x 1'
2f x
x
3f x x 3 2
1'
3f x
x
nf x x 1
1'
n nf x
n x
Función Derivada
Función Derivada
f x Ln x 1'f x
x
axf x e ' axf x ae
Funciones Exponencial y Logarítmica
bf x Log x
xf x a
1' bf x Log e
x
' ln xf x a a
Formulario
Función Derivada
@ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.S. 24
0 2 4
• APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA PARA HALLAR LA DERIVADA EN UN PUNTO
• Sea la función y = - x2 + 4x•
Su función derivada es:
• f ’(x) = - 2.x + 4
• Comprobemos:
• f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0
• f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0
• f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0
• Efectivamente la función derivada es tal que nos proporciona el valor de la derivada (pendiente) de la función en cualquier punto de la misma.
m>0
m=0
m<0
Derivada de la función inversa
• Se denomina función inversa de una función f a una nueva función, denotada por f–1, cuyo dominio es el recorrido de f, tal que f–1(f(x)) = x.
• Para que esta función esté bien definida es necesario que f cumpla: x1 x2 f(x1) f(x2)
Las gráficas de f y f–1 son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
X
Y
f(x)
f –1(x) • (x, f(x))
(f(x), x)•
Sea f una función definida en un inter-valo abierto D en el que admite fun-ción inversa siendo f derivable. Enton-
ces se tiene que, para todo punto xdel dominio de f-1 en el que f-1 es deri-vable y en el que f '(f –1(x)) ¹ 0 la deri-vada de f–1 viene dada por:
))(('
1)()'(
1
1
xffxf
Tabla de resumen derivadas de las funciones elementales
Función Derivada
f(x) = sen x f '(x) = cos x
f(x) = cos x f '(x) = – sen x
f(x) = tan x f '(x) = 1
Cos 2 x
f(x) = arcsen x f '(x) = 1
1 – x2
f(x) = arccos x f '(x) = –11 – x 2
f(x) = arctan x f '(x) = 1
1 + x 2
Función
Derivada
f(x) = c (constante)
f '(x) = 0
f(x) = x n
f '(x) = n x n – 1
f(x) = e x f '(x) = e x
f(x) = ax (a > 0) f '(x) = ax ln a
f(x) = ln x f '(x) = 1x
f(x) = loga x, (a > 0) f '(x) = 1
x ln a
Derivada de una función compuesta: regla de la cadena
Se define la composición de una función f con otra función g, y se denota por gºf a la nueva función dada por (gºf) (x) = g(f(x)).
La función h(x) = (2x – 1)2 es la composición de dos funciones: f(x) = 2x–1 y g(t) = t2
t2 = (2x–1)2 x 2x–1 = t
R Rf
Rg
x (2x–1)2
h(x) = g(f(x)) = g(2x–1) = (2x – 1)2 = (g o f)(x)
Ejemplo:
Regla de la cadena: si la función g es derivable en el punto f(a) y la función f es derivable en a, entonces la función gºf es derivable en a y su derivada es:
(gºf)'(a) = g'(f(a)) . f '(a)
Ejemplo:
Como (gºf)(x) = g(f(x)) = (2x – 1)2 (gºf)'(x) = g'(f(x)) . f '(x) = 2(2x – 1) . (2x – 1)' = 2(2x – 1) . 2
Obtención de la derivada de la función logaritmo neperiano
1. ( )( ) ( )( ) .f g x g f x x
Sean ( ) y ( ) ln( ).xf x e g x x
11
2. Derivada función recíproca
1 ( ) ( ) .
( ( ))f x
f f x
} ln
1( )
xg x
e
Vamos a calcular la derivada de ln( )x a partir de la función exponencial
La derivada de es
1
x
ln( )x
Demostración de la derivada de la función seno
Vamos a calcular la derivada de sen( )x
0
0
Como
lim cos cos( )2
2 lim 1
2
h
h
hx x
hsen
h
0
sen( ) sen( )(sen( )) = lim =
h
x h xx
h
Usando la definición de derivada:
0
2 cos sen2 2
lim h
h hx
h
2
2·
2coslim
2
2·
2cos
lim00 h
hsen
hx
h
hsen
hx
hh
La derivada de sen (x) es
Cos (x)
Diferencial de una función
•
a
f(a)
•
a + h
f(a + h)
h = x
x = dx
y = f(a + h) – f(a)
atf '(a) . dx
El diferencial de una función en un punto x = a es el incremento de la tangente al pasar del punto x = a al punto x = a + h
Tangente a la curva en (a, f(a)): su pendiente es mt = f '(a) = tg at
Para valores de h = x = dx pequeñosy f '(a) . x
Por tanto: y dy = f '(a) . dx
Y para un x cualquiera:
dy = f '(x) . dx
Una aproximación geométrica al concepto de diferencial
• Supongamos un cuadrado de lado x, al que incrementamos el lado en una cierta cantidad h. Su superficie se incrementará en:
f = (x + h)2 – x2 = 2xh + h2
• Si h es muy pequeño, h2 es mucho más pequeño.
• Entonces: 2xh = 2x dx es el diferencial de la función
f(x) = x2 y se ve que f 2x dx = f '(x) dx El error que se comete al aproximar el
incremento por la diferencial es h2.
Regla de L'Hôpital (I)
Este teorema es válido sustituyendo u por {a, a+, a–, +, –}.
Una aproximación geométrica al teorema:
Indeterminación del tipo 00
f(C)g(C) =
CACB »
CA'CB' =
f '(a)g '(a)
Supongamos que x®ulim f(x) =
x®ulim g(x) = 0 y que g(x) ¹ 0 en un entorno de u.
Entonces, si existe También existe (puede ser finito o infinito).
=
)(
)(lim
xg
xfax )('
)('lim
xg
xfax
se verifica que: )(
)(lim
xg
xfax )('
)('lim
xg
xfax
Cálculo de límites indeterminados. Ejemplos (I)
1.– x 0lim
ex–x–1x(ex–1) =
x 0lim
ex–1ex–1 + xex =
x 0lim
ex
2ex + xex =12
Indet 00 L'Hôpital Indet
00 L'Hôpital
2.– x 0lim [sen
x2 . ctg x] =
Indet 0.x 0lim
sen x2
tg x =
Indet 00 L'Hôpital
x 0lim
12 cos
x2
1+tg2x = 12
3.– x 0lim
r
4x – r
2x(erx + 1) =
r > 0
Indet –
x 0lim
rerx – r4xerx + 4x =
Indet 00 L'Hôpital
x 0lim
r2erx
4erx + 4xrerx + 4 =r2
8
