Derivada
La derivada de la funcin en el punto marcado equivale a la
pendiente de la recta tangente (la grfica de la funcin est dibujada
en rojo; la tangente a la curva est dibujada en
verde).Enmatemticas, laderivadade unafuncines una medida de la
rapidez con la que cambia el valor de dicha funcin matemtica, segn
cambie el valor de suvariable independiente. La derivada de una
funcin es un concepto local, es decir, se calcula como ellmitede la
rapidez de cambio media de la funcin en un cierto intervalo, cuando
el intervalo considerado para la variable independiente se torna
cada vez ms pequeo. Por ello se habla del valor de la derivada de
una cierta funcinen un punto dado.Un ejemplo habitual aparece al
estudiar elmovimiento: si una funcin representa laposicinde un
objeto con respecto altiempo, su derivada es lavelocidadde dicho
objeto. Un avin que realice un vuelo transatlntico de 4500km entre
las 12:00 y las 18:00, viaja a unavelocidad mediade 750km/h. Sin
embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en
distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y
las 15:30 recorre 400km, su velocidad media en ese tramo es de
800km/h. Para conocer suvelocidad instantneaa las 15:20, por
ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de
tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y
las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.Entonces el valor de la
derivada de una funcin en un punto puede interpretarse
geomtricamente, ya que se corresponde con lapendientede larecta
tangentea lagrficade la funcin en dicho punto. La recta tangente es
a su vez la grfica de la mejoraproximacin linealde la funcin
alrededor de dicho punto. La nocin de derivada puede generalizarse
para el caso de funciones de ms de una variable con laderivada
parcialy eldiferencial.La derivada de una funcinfen un puntoxse
denota comof(x). La funcin cuyo valor en cada puntoxes esta
derivada es la llamadafuncin derivadadef, denotada porf. El proceso
de encontrar la derivada de una funcin se denominadiferenciacin, y
es una de las herramientas principales en el rea de las matemticas
conocida comoclculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de
asuntos vinculados con la derivada se denominaclculo
diferencial.1ndice[ocultar] 1Historia de la derivada 1.1Siglo XVII
1.2Newton y Leibniz 2Conceptos y aplicaciones 3Definiciones de
derivada 3.1Definicin como cociente de diferencias 3.2Continuidad y
diferenciabilidad 3.2.1Condicin no recproca 3.3Derivada de una
funcin 3.4Ejemplo 4Notacin 4.1Notacin de Newton 4.2Notacin de
Leibniz 4.3Notacin de Lagrange 4.4Notacin de Euler 5Clculo de la
derivada 5.1Derivadas de funciones elementales 5.2Reglas prcticas
de derivacin 5.3Ejemplo de clculo 6Diferenciabilidad
7Generalizaciones del concepto de derivada 8Vase tambin
9Referencias 9.1Bibliografa 10Enlaces externosHistoria de la
derivada[editar]Los problemas tpicos que dieron origen alclculo
infinitesimal, comenzaron a plantearse en la poca clsica de
laantigua Grecia(siglo IIIa.C.), pero no se encontraron mtodos
sistemticos de resolucin hasta veinte siglos despus (en el siglo
XVII por obra deIsaac NewtonyGottfried Leibniz).En lo que atae a
las derivadas existen dos conceptos de tipo geomtrico que le dieron
origen: Elproblema de la tangente a una curva(Apolonio de Perge)
ElTeorema de los extremos: mximos y mnimos (Pierre de Fermat)En su
conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce comoclculo
diferencial.Siglo XVII[editar]Los matemticos perdieron el miedo que
los griegos le haban tenido a los infinitos:Johannes
KepleryBonaventura Cavalierifueron los primeros en usarlos,
empezaron a andar un camino que llevara en medio siglo al
descubrimiento del clculo infinitesimal.A mediados delsiglo XVIIlas
cantidades infinitesimales fueron cada vez ms usadas para resolver
problemas de clculos de tangentes, reas, volmenes; los primeros
daran origen al clculo diferencial, los otros al integral.Newton y
Leibniz[editar]Artculos principales:Isaac NewtonyGottfried
Leibniz.A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos,
mtodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos derivadas e
integrales. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas
(reglas de derivacin) y mostraron que ambos conceptos eran inversos
(teorema fundamental del clculo).Newton desarroll en Cambridge su
propio mtodo para el clculo de tangentes. En 1665 encontr un
algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincida con el
descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedic a reestructurar
las bases de su clculo, intentando desligarse de los
infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxin, que para l era
la velocidad con la que una variable fluye (vara) con el
tiempo.Gottfried Leibniz, por su parte, formul y desarroll el
clculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos
resultados queIsaac Newtondescubriera 10 aos antes. En su
investigacin conserv un carcter geomtrico y trat a la derivada como
un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido
de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la
curva en dicho punto.Fue quizs el mayor inventor de smbolos
matemticos. A l se deben los nombres de:clculo diferencialyclculo
integral, as como los smbolos de derivaday elsmbolo de la
integral.Conceptos y aplicaciones[editar]El concepto de derivada es
uno de los dos conceptos centrales delclculo infinitesimal. El otro
concepto es la antiderivada ointegral; ambos estn relacionados por
elteorema fundamental del clculo. A su vez, los dos conceptos
centrales del clculo estn basados en el concepto delmite, el cual
separa lasmatemticasprevias, como ellgebra, laTrigonometrao
laGeometra Analtica, delClculo. Quiz la derivada es el concepto ms
importante delClculo Infinitesimal.La derivada es un concepto que
tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es
necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
unamagnitudo situacin. Es una herramienta de clculo fundamental en
los estudios deFsica,QumicayBiologa, o en ciencias sociales como
laEconomay laSociologa. Por ejemplo, cuando se refiere a lagrficade
dos dimensiones de, se considera la derivada como la pendiente de
la rectatangentedel grfico en el punto. Se puede aproximar la
pendiente de esta tangente como ellmitecuando la distancia entre
los dos puntos que determinan una rectasecantetiende a cero, es
decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con
esta interpretacin, pueden determinarse muchas propiedades
geomtricas de los grficos de funciones, tales
comoconcavidadoconvexidad.Algunas funciones no tienen derivada en
todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una funcin no tiene
derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical,
unadiscontinuidado unpunto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad
de las funciones que se consideran en las aplicaciones son
continuas y su grfica es unacurva suave, por lo que es susceptible
de derivacin.Las funciones que son diferenciables (derivables si se
habla en una sola variable), sonaproximables
linealmente.Definiciones de derivada[editar]
Esquema que muestra los incrementos de la funcin enxy eny.En
terminologa clsica, ladiferenciacinmanifiesta el coeficiente en que
una cantidadcambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad.En
matemticas,coeficientees un factor multiplicativo que pertenece a
cierto objeto como una variable, un vector unitario, una funcin
base, etc.En fsica,coeficientees una expresin numrica que mediante
alguna frmula determina las caractersticas o propiedades de un
cuerpo.En nuestro caso, observando lagrficade la derecha, el
coeficiente del que hablamos vendra representado en el puntode
lafuncinpor el resultado de la divisin representada por la relacin,
que como puede comprobarse en la grfica, es un valor que se
mantiene constante a lo largo de la lnea recta azul que representa
la tangente en el puntode la funcin. Esto es fcil de entender
puesto que eltringulo rectnguloformado en la grfica con vrtice en
el punto, por mucho que lo dibujemos ms grande, al ser una figura
proporcional el resultado dees siempre el mismo.Esta nocin
constituye la aproximacin ms veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la
derecha como por la izquierda de manera simultnea.Definicin como
cociente de diferencias[editar]
Recta secante entref(x) yf(x+h).La derivada de una funcines
lapendiente geomtricade larecta tangentedel grfico deen. Sin el
concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente
la pendiente de la lnea tangente a una funcin dada, porque
solamente se conoce un punto en la lnea tangente:. La idea es
aproximar la lnea tangente con mltipleslneas secantesque tienen
distancias progresivamente ms pequeas entre los dos puntos que
cruzan. Cuando se toma ellmitede las pendientes de las lneas
secantes de esta progresin, se consigue la pendiente de la lnea
tangente. Se define, pues, la derivada tomando el lmite de la
pendiente de las lneas secantes, al acercarlas a la lnea
tangente.Para encontrar las pendientes de las lneas secantes
prximas, se elige un nmerorelativamente pequeo.representa un cambio
relativamente pequeo en, el cual puede ser positivo o negativo. La
pendiente de la recta que pasa por los dos puntosyes:.
Inclinacin de la secante de la curvay=f(x).expresin denominada
cociente deNewton.2La derivada deenes entonces el lmite del valor
del cociente diferencial, conforme las lneas secantes se aproximan
a la lnea tangente:.Si la derivada deexiste en todos los puntos, se
puede definir la derivada decomo la funcin cuyo valor en cada
puntoes la derivada deen.Puesto que sustituirpor 0 produce
unadivisin por cero, calcular directamente la derivada puede no ser
intuitivo. Una tcnica posible consiste en operar en el numerador,
de manera que se pueda cancelar ladel denominador. Y eso es posible
fcilmente en lospolinomios. Pero para muchas otras funciones el
resultado es incierto. Afortunadamente, hayreglas generalesque
facilitan diferenciar la mayora de lasfunciones simples.
