Una función es continua si su gráfica es una línea seguida no interrumpida. Se dice que una función f(x) es continua en un intervalo, cuando es continua para todos los valores de X en este intervalo.

CONCEPTO DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN

Y

X

Y

X

Función ContinuaFunción No Continua

Se corta en dos puntosDeja de ser continua

DERIVADAS

En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente.

DERIVADAS

La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).

LA DERIVADA Y LA TASA DE CAMBIO

Se debe generalizar en considerar la tasa de cambio de una variable Y en respuesta a un cambio de otra variable X, donde las dos variables están mutuamente vinculadas por la función Y = f (X)

Variable Dependiente Variable independiente

REGLAS DE DERIVACIÓN

Estas fórmulas nos permiten desarrollar la derivación en una forma más práctica dada una función específica.

DERIVADA DE UNA CONSTANTE

Si una función constante definida mediante la ecuación Y = f(X) = C (constante) entonces, la derivada de la función con respecto a X es igual a cero.

En este caso la pendiente es cero y su gráfica es una paralela al eje de las X

d y = . d c = 0 d x d x

y

x

cy = f (x)

R 1

DERIVADA DE UNA VARIABLE CON RESPECTO ASIMISMA

Si Y = X Aplicando incrementos a ambos miembros:Y + ∆Y = X + ∆X Y + ∆Y - Y = X + ∆X – XY + ∆Y - Y = X + ∆X – X∆Y = ∆X Se divide a ambos por ∆X ∆Y = ∆X ∆X ∆X

∆Y = 1 ∆X Llevado al límite se tiene:dy = 1dx

R 2

DERIVADA DE UNA SUMA

Sea la función determinada por la ecuaciónAplicando incrementos a ambos miembros:Y = u + v +w

Donde u + v + w son funciones de la variable X Entonces la derivada de esta suma de funciones con respecto a X será:

d ( u + v – w) = d u + d v - d w d x d x d x

R 3

DERIVADA DE UN PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN

Sea y = c vy + ∆y = c (v + ∆v)y + ∆y – y = c (v + ∆v) – c vy + ∆y – y = c v + c ∆v) – c v∆y = c ∆v ∆y = c ∆v ∆x ∆x

Llevando al límite se convierte en

d y = c d v d x d x

R 4

DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES

Sea y = u vDonde u y v son funciones de la variable independiente x entonces la derivada del producto es:

Es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda función más el producto de la segunda función por la derivada de la primera función.

d (u v) = u d v + v d v d x d x d x

R 5

DERIVADA DE LA POTENCIA DE UNA FUNCIÓN SIENDO EL EXPONENTE CONSTANTE

Sea la función y = f(x) = x ⁿEs igual al producto del exponente por la función elevada al exponente y disminuida en la unidad y por la derivada de la función.

d y = n x ⁿ d x d x d x

- 1

d x = 1 d x

Si: x = vy = v ⁿd y = n v ⁿ d v d x d x

- 1

R 6

- 1

DERIVADA DE UN COCIENTE

Sea y = u v Donde u y v son funciones de la variable independiente x por lo tanto v ≠ 0 entonces la derivada del cociente es:

Cuando el denominador es una constante basta hacer v = c (constante)

uvd

d x=

d ud xv

d vd xu

v ²

ucy =

d y 1 d u d x c d x

=

R 7

Derivar las siguiente función: y = 5 + 2x – 3 x 4

d y d( 5) + 2 d x - 3 d ( x )d x d x d x d x

=

d y d( 5) + 2 d x - 3 4x d (x )d x d x d x d x

= 4 - 1

d y 0 + 2 - 12 x ³d x

=

d y 2 - 12 x ³d x

=

4

PRÁCTICAS EJERCICIO 1

EJERCICIO Nº 2

Derivar las siguiente función: y = 2 x + 4 x

3/4 - 1/4

d y 2 3 x ( 1) + 4 -1 x (1) d x 4 4

=

d y 3 x - x d x 2

=

¾ - 1 - 1/4 - 1

- 5/4- 1/4

d y . 3 - . 1 . d x 2 x x

= 1/4 5/4

d y . 3 - . 1 . d x 2 √ x √ x 4 4 5

=

y = f(x) = x ⁿ

d y = n x ⁿ d x d x d x

- 1

EJERCICIO Nº 3

Derivar las siguiente función: y = √ 3 x - x ³

d y 3x - x³ d x

=

1/2

d y 1 (3 x – x³ ) (3 – 3 x² ) d x 2

=

1/2 - 1

d y 1 (3 x – x³ ) (3 – 3 x² ) d x 2

- 1/2

=

d y 1 (3 – 3 x² ) d x 2 (3 – 3 x³ )

1/2=

d y . 3 – 3 x² . d x 2 √ (3 – 3 x³ )

=