Disciplina: Cálculo II

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

BACHARELADO DE ANÁLISE DE SISTEMAS

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

BACHARELADO DE ANÁLISE DE SISTEMAS

Derivadas ParciaisDerivadas Parciais

Derivadas Parciais

Introdução

Derivadas Parciais de funções a duas variáveis

Derivadas parciais de funções a n variáveis

Técnicas para o cálculo de derivadas parciais

Aplicação das Derivadas Parciais

IntroduçãoIntrodução

Introdução a Derivadas Parciais

• Consideremos, por hora como se a variável “y” fosse uma constante e a diferenciemos da primeira variável “x”. Por conseguinte, tendo “y” como constante

Disso Temos,

;0²4 333 ydx

deyx

dx

dyxy

dx

d

.32032²43², yxyxydx

dxy

dx

dx

dx

dyxf

dx

d

Introdução a Derivadas Parciais

• A Fim de enfatizar que apenas “x” pode variar, ou seja

que “y” deve ser mantido temporariamente constante

quando a derivada é calculada, é usual substituir-se o

símbolo d/dx por ∂/∂x. (O símbolo é chamado de “d

round”). Portanto da Equação acima, teremos,

yxyxyxx

yxfx

32²43²,

• A derivada calculada em relação a “x” pode variar, ou seja, que

“y” é mantido temporariamente constante é denominada derivada

parcial em relação a “x” e ∂/∂x é chamado de operador derivada

parcial em relação a “x”. Analogamente, se desejarmos manter a

variável “x” como constante e diferenciarmos em relação a “y”,

usamos o símbolo ∂/∂y desse modo para a função abaixo,

²43², yxyxyxf Temos,

.83830²43²²43², yxyxyy

xyy

xy

yxyxy

yxfy

Introdução a Derivadas Parciais

Derivadas parciais de Derivadas parciais de funções a duas variáveisfunções a duas variáveis

Derivadas parciais de funções a duas variáveis

existiam. limites os que contanto , ),(),(

lim),(

e

),()(

lim),(

por definidas são variávelsegunda à e primeira à

relação em ),( em de ),(

e ),(

parciais derivadas as então

, de domínio no ponto um é ),( e variáveisduas a função uma é Se

0

0

y

yxfxyxf

y

yxf

x

yxfxxf

x

yxf

yxfy

yxf

x

yxf

fyxf

y

x

Diferenciação Parcial

Derivadas parciais de funções a duas variáveis

É conveniente se ter uma notação para derivadas parciais que seja análoga à notação

para funções de uma variável.

)(' xf

. a

relação em de parcial derivada a para ),(ou z

de invés ao

),(ou ),( escreve se entefrequentem ,),( Se21

x

fyxfxx

yxyxyxfz ff

Derivadas parciais de funções a duas variáveis

A notação do operador Df para derivadas ordinárias pode ser adaptada para derivadas parciais, e teremos

).,(),(),(),(),(11

yxfyxfyxyxyxfxx

zDDff xx

Analogamente, para a derivada parcial em relação a y teremos

).,(),(),(),(),(22

yxfyxfyxyxyxfyy

zDDff yy

Derivadas parciais de funções a duas variáveis

• EXEMPLO – Use a definição 1 para encontrar

22 275),( se e yxyxyxfzy

z

x

z

Derivadas parciais de funções a duas variáveis

SOLUÇÃO

.710)5710(lim7)(510

lim

)275277)(2(5lim

)275(2)(7)(5lim

),(),(lim

0

2

0

22222

0

2222

0

0

yxxyxx

xyxxx

x

yxyxyxyxyxxxx

x

yxyxyyxxxx

x

yxfyxxf

x

z

xx

x

x

x

Derivadas parciais de funções a duas variáveis

SOLUÇÃO

yxyyx

y

yxyxyyyyxx

y

yxfyyxf

y

z

y

y

y

47)247(lim

...

)275()(2)(75lim

),(),(lim

0

2222

0

0

Derivadas parciais de Derivadas parciais de funções a funções a nn variáveis variáveis

Derivadas parciais de funções a n variáveis

Segue Williams

Técnicas para o cálculo Técnicas para o cálculo de derivadas parciaisde derivadas parciais

Técnicas para o cálculo de derivadas parciais

Segue Wanderley

Aplicação das Derivadas Aplicação das Derivadas ParciaisParciais

Aplicações da Derivada Parcial

Segue Tairone

Referências

• MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara, c1978. 2 v. ISBN 85-216-1093-9