Upload
cristian-ionut
View
180
Download
10
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Derivate Trigonometrie
Citation preview
CURS 10
Derivate. Functii derivabile
Fie f o functie pe un interval I si un punct din I.
Definitie: Se spune ca functia este derivabila în punctual daca raportul
are în punctul limita finita. Limita însasi se numeste derivate functiei f
in punctul si se noteaza :
se citeste derivata functiei f în raport cu x în punctul .
In loc de se mai folosesc pentru derivata si notatiile:
Daca limita exista, insa este infinita (+ ∞ sau - ∞) spunem ca derivata
functiei din punctul este infinita. În aceasta situatie însa, functia nu este derivabila în
punctul .
Observatii:
1) Functia trebuie sa fie definita in punctual . Daca o functie nu este definita într-un punct, nu se pune problema derivabilitatii în acel punct.
2) Derivata într-un punct este un numar.
Teorema: Daca functia este derivabila în punctual atunci f este
continua în punctul .
Demonstratie: Pentru , avem egalitatea:
si
de unde rezulta ca are limita în punctul pe .
Întradevar:
deci este continua în punctul .
Interpretarea geometrica a derivatei
Fig.1
Fie si graficul functiei f pentru : , care
este un arc de curba plana. Daca este un punct în care functia f este derivabila,
iar x un punct oarecare din interval, conform figurii alaturate avem din triunghiul
M0MN.: (1), unde este coeficientul unghiular al secantei M0M.
Daca punctul , secanta M0M se apropie ca pozitie de dreapta M0Q, tangenta la
grafic în punctul M0 (daca graficul are o tangenta unica în punctul M0), deci:
. Deci derivata functiei , într-un punct
este egala cu tangenta trigonometrica a unghiului pe care îl face tangenta la
grafic în punctul cu axa 0X. Daca derivata este infinita (+∞ sau -∞), ,
dreapta M0Q este paralela cu axa 0Y. Daca raportul (1) nu are limita, graficul nu are
tangenta unica în punctul M0 (punct unghiular) sau tangenta nu exista.
Interpretarea cinematica a derivatei
Fie M un punct mobil care descrie axa 0X. La fiecare moment t drumul parcurs
pe axa este o functie care ne da legea de miscare a punctului. Punctul se misca
uniform daca legea de miscare este data de relatia liniara în t:
, constante
Spatiul parcurs între doua momente oarecare t1 < t2 este
si raportul
se numeste viteza punctului M în miscare rectilinie si uniforma. Deci
într-o miscare rectilinie si uniforma viteza este constanta. Fie acum o miscare oarecare a
punctului M pe axa 0X, miscare data de legea x(t), si sa consideram doua momente t1, t2,
precum si raportul (1). Daca substituim miscarile date, în intervalul (t1, t2) o
miscare uniforma a unui alt punct, care coincide cu punctul M la timpul t1 si t2 raportul
(1) poate fi considerat ca viteza medie a punctului M în intervalul de timp (t1, t2) si el ne
da o caracterizare a miscarii între aceste momente, caracterizare care va fi cu atât mai
buna cu cât intervalul (t1, t2) este mai mic. Astfel putem considera limita vitezei medii
când , adica: . Daca aceasta limita exista si este finita, ea este prin
definitie viteza punctului M la momentul t1, deci: .
Functii derivabile pe un interval
Definitie
Se spune ca functia este derivabila pe I daca este derivabila in fiecare punct
. Functia care face ca fiecarui punct sa-i corespunda derivata
functiei în punctul x, se numeste functia derivata a functiei f sau, mai simplu,
derivata lui f si se noteaza: f', sau Df. Cu ajutorul acestor relatii, derivata functiei
într-un punct se mai scrie: .
Derivata la stânga. Derivata la dreapta.
Definitie
Fie functia si . Se spune ca functia f este derivabila la dreapta în
punctul x0 daca raportul are limita la dreapta finita, în
punctul x0. Aceasta limita se numeste derivata la dreapta a functiei f în punctul x0 si se
noteaza : .
Definitie
Fie functia si . Se spune ca functia f este derivabila la stânga în
punctul daca raportul are limita la stânga finita, în
punctul . Aceasta limita se numeste derivata la stânga a functiei f în punctul x0 si se
noteaza : .
Observatii
1. Din definitie rezulta ca o functie este derivabila într-un punct daca este
derivabila la dreapta si la stânga în punctul si daca cele doua derivate
(numite derivate laterale) sunt egale: .
2. Pentru o functie definita pe un interval compact (închis si marginit [a, b] )
are sens problema derivatei în orice punct din interval. În punctul a are
sens problema derivatei la dreapta, iar în punctul b are sens problema
derivatei la stânga.
3. Daca derivata la dreapta (sau la stânga) a unei functii f într-un punct
este infinita (+ ∞ sau - ∞), functia nu este derivabila la dreapta (sau la
stânga) în punctul .
Interpretarea geometrica a derivatei la dreapta si a derivatei la stânga.
a) O functie este derivabila la dreapta în punctul daca:
. Prin urmare, conform figurii urmatoare,
semidreapta M0M, când (M la dreapta lui M0), se apropie ca pozitie
de semitangenta la dreapta în punctul M0, M0Q. Coeficientul unghiular al
semidreptei M0Q este .
Fig. 1
Daca = + ∞, semitangenta M0Q este paralela cu axa 0Y si este situata
deasupra punctului M0 (conform figurii 2).
Fig. 2
Daca = - ∞, semidreapta M0Q semitangenta la grafic în punctul , este
paralela cu axa 0Y si este situata sub punctul M.
b) O functie este derivabila la stânga în punctul daca
. Prin urmare (conform figurii 3) semidreapta
Fig. 3
M0M când (M la stânga lui M0) se apropie ca pozitie de semitangenta
la stânga în punctul M0, M0Q. Coeficientul unghiular al semidreptei M0Q este
. Daca = + ∞, semitangenta M0Q este paralela cu axa 0Y si este
situata sub punctul M0 (conform figurii 4). Daca = - ∞, semitangenta
M0Q este paralela cu axa 0Y si este situata deasupra punctului M0.
Fig. 4
c) Daca functia f are în punctul derivatele laterale diferite si cel putin una din
ele este finita, punctul se numeste punct unghiular al graficului functiei
, iar cele doua semitangente fac între ele un unghi si (conform figurii
5).
Fig. 5
d) Daca functia f are în punctul derivatele laterale infinite si egale, cele doua
semitangente sunt în prelungire; punctul x este un punct de inflexiune al
graficului functiei (conform figurii 6).
Fig. 6
e) Daca functia f are în punctul derivatele laterale infinite si diferite =
∞, = - ∞ sau = - ∞, = + ∞, cele doua semitangente se
suprapun; punctul se numeste punct de întoarcere al graficului functiei
(conform figurii 7).
Fig. 7
Reguli de derivare.
Operatii cu functii derivabile.
Teorema 1
Daca functiile sunt derivabile într-un punct , atunci functia
este derivabila în punctul si:
.
Demonstratie
si pentru ca
f si g sunt derivabile în punctul , avem:
(1), deci
(2).
Observatii
1. Teorema ramâne adevarata pentru suma unui numar finit de functii
derivabile f1, f2, ..... fn într-un punct , si anume:
2. Regula (2) ramâne adevarata si în cazul când derivatele si
sunt infinite, cu conditia ca suma sa aiba sens.
Consecinta
Daca functiile si sunt derivabile pe I, atunci suma este
derivabila pe I si: .
Teorema 2
Daca functiile sunt derivabile într-un punct , atunci functia
este derivabila în punctul si:
.
Demonstratie
Avem
si pentru ca sunt derivabile în punctul , obtinem:
(3).
Observatie
1. Regula (3) ramâne valabila si în cazul când derivatele si
sunt infinite, cu conditia ca diferenta sa aiba sens.
Consecinta
Daca functiile si sunt derivabile pe I, atunci diferenta
este derivabila pe I si: .
Teorema 3
Daca functiile sunt derivabile într-un punct , atunci functia
este derivabila în punctul si:
.
Demonstratie
Pentru din I avem:
Prin ipoteza, functiile f si g sunt derivabile în punctul , deci
sunt
continue în punctul ; prin urmare si , astfel
încât putem scrie:
adica
(4).
Daca sunt n functii derivabile în punctul x0 , produsul lor
este derivabil în punctul si:
(5)
Demonstratie
Pentru n=2 formula este adevarata, deoarece este formula (4). Presupunem ca este
adevarata pentru n-1; sa aratam ca este adevarata si pentru n:
ca
re este tocmai formula (5).
În particular, daca atunci .
Consecinta: Daca functiile sunt derivabile pe intervalul I, atunci
functia este derivabila pe I si:
.
Teorema 4
Daca functiile sunt derivabile într-un punct ,
atunci functia este derivabila în punctul si:
.
Demonstratie: Functia g(x) ia în punctul x0 valoare diferita de 0; deoarece este
continua in punctul x0, exista o vecinatate V a lui x0 în care . Pentru
avem:
, însa
deci avem la limita:
adica:
.
Consecinta: Daca functiile sunt derivabile pe I si ,
atunci este derivabila pe I si:
.
Derivabilitatea functiilor compuse.
Sa consideram functia , cu domeniul valorilor I si functia ;
pentru functia compusa avem urmatoarea
Teorema: Daca functia este derivabila în punctul si functia
este derivabila este derivabila în punctul corespunzator atunci functia
compusa este derivabila in punctul si
.
Demonstratie:
Functia u fiind derivabila în punctul x0, avem:
(1). Functia f(u) fiind derivabila în punctul u0,
avem: ; înainte de a trece la limita, putem scrie:
(2) cu (3).
Functia data de (2), cu , este continua în punctul . Întradevar,
si pentru , avem deoarece f(u)
este derivabila în punctul u0. Derivabilitatea functiei F(x) este:
. Deci la limita avem:
si daca
tinem seama de (1) si (3) avem: .
Consecinta: Daca functia este derivabila pe I si functia f este derivabila pe
I atunci functia compusa este derivabila pe I si:
.
Derivabilitatea functiilor inverse
Teorema: Fie functia , care se poate inversa pe I. Daca f(x) este derivabila
în punctul , atunci functia sa inversa este derivabila în
punctul si (1).
Demonstratie:
Am aratat ca functia este continua pe J; ramâne sa mai aratam ca pentru orice sir
(yn) cu avem: . Functia f fiind
biunivoca, la corespunde un xn astfel încât yn=f(xn), deci , astfel
încât: , si la limita, deoarece
sirul (yn) este arbitrar, avem:
.
Consecinta: daca functia , este derivabila pe I si , atunci functia
inversa este derivabila pe si
Observatii:
1. Am aratat ca functiile au graficele simetrice fata de
prima bisectoare a axelor. Relatia dintre derivatele lor în punctele
corespunzatoare: confirma acest fapt, anume ca
tangentele la cele doua curbe în punctele sunt
asimetrice fata de prima bisectoare.
2. Daca , relatia (1) se mentine, anume derivata functiei inverse
este infinita. Mai precis, daca f(x) este strict crescatoare,
deoarece pentru orice si daca f(x) este strict
descrescatoare deoarece pentru orice
.
Derivatele functiilor trigonometrice
a) Functia este derivabila pe domeniul de definitie R. Avem:
, deci
.
Consecinta: Daca este derivabila, functia este derivabila pe I
si: .
b) Functia este derivabila pe domeniul de definitie R. Deoarece
, folosind regula de derivare a functiilor compuse, precum si
rezultatul precedent:
c) Functia este derivabila pe domeniul Pentru
avem:
d) Functia este derivabila pe domeniul Pentru ,
Derivata functiei logaritmice
Functia este derivabila pe tot domeniul de definitie .
Avem: , deci
, deoarece
Din formula rezulta ca .
Observatie: Daca .
Derivata functiei exponentiale
Functia este derivabila pe tot domeniul de definitie . Functia
este inversa functiei logaritmice .
Asadar .
Observatii
1) Daca .
2) Daca u(x) definita pe I este derivabila pe I, atunci .
Functii hiperbolice
1) Functia , numita ,,sinus hiperbolic", se defineste cu ajutorul functiei
exponentiale în modul urmator: . Domeniul valorilor este
. Functia este o functie impara, deoarece . Graficul
este simetric fata de originea axelor (conf. fig. (1)), .
Fig. 1
2) Functia , numita ,,cosinus hiperbolic", este definita de
. Domeniul valorilor este . Functia este o functie
para, deoarece . Graficul este simetric fata de axa 0Y (conf. fig. (2)).
Graficul functiei se numeste si ,,curba lantisor". Curba da pozitia de
echilibru a unui fir omogen, flexibil, inextensibil, supus la actiunea gravitatiei si ale
carui capete sunt fixate (A, B), .
Fig. 2
3) Functia , numita ,,tangenta hiperbolica" (conf. fig. (3)), este definita de
.
Fig. 3
4) Functia , numita ,,cotangenta hiperbolica" (conf. fig. (4)), este
definita de .
Fig. 4
Proprietatile functiilor hiperbolice
Functiile hiperbolice au proprietati care le apropie de functiile circulare. Dam câteva
dintre ele:
1.
2.
3.
4.
5.
Toate se dovedesc înlocuind functiile hiperbolice cu expresiile lor în functie de
exponentiale. Astfel, pentru 1 avem:
Derivatele functiilor hiperbolice
a) Functia este derivabila pe domeniul de definitie R.
; .
b) Functia este derivabila pe domeniul de definitie R.
; .
c) Functia este derivabila pe domeniul de definitie R.
; .
d) Functia c este derivabila pe domeniul de definitie R-.
; .
Derivatele functiilor circulare inverse
1) Functia arcsin x, definita pe [-1, +1], este derivabila pe (-1, +1):
, deci . În punctele
+1 sau -1, arcsin x are derivata +¥.
2) Functia arccos x, definita pe [-1, +1], este derivabila pe (-1, +1):
, deci . În
punctele +1 sau -1, arcsin x are derivata -¥.
3) Functia arctg x, definita pe (-¥, +¥), este derivabila pe domeniul de definitie:
, deci .
4) Functia arcctg x, definita pe (-¥, +¥), este derivabila pe domeniul de definitie:
, deci .
Functii hiperbolice inverse
a) Functia este strict monotona pe tot domeniul sau de definitie R. Avem
sau . Solutia care
convine este . Schimbând pe y în x dupa logaritmare, obtinem
functia inversa a functiei : , numita ,,argument
sinus hiperbolic". Functia este derivabila pe domeniul de definitie
.
b) Functia este strict monotona pe intervalele . Avem
sau . Schimbând pe y cu x,
obtinem functia inversa a functiei numai pentru ramura monotona definita pe
: , numita ,,argument cosinus
hiperbolic"; pentru ramura din intervalul avem:
.
c) Functia este strict monotona pe multimea de definitie. Avem
sau
, numita ,,argument tangenta hiperbolica".
Functia este derivabila pe domeniul de definitie:
.
d) Functia , este monotona pe intervalele . Avem:
. Schimbând pe x cu y, obtinem functia
inversa a functiei , pentru ramura monotona definita pe
, numita ,,argument cotangenta
hiperbolica"; pentru ramura din intervalul avem
.