Dérivation et Intégration numérique

Dérivation et Intégration numérique

Généralités

Différentier : déterminer la vitesse à laquelle une courbe change en un certain

point de l'équation

Ceci revient à calculer la dérivée y’

Intégrer : signifie calculer l’aire (la

surface sous la courbe.

Ceci revient à calculer l’intégrale b

a

xf )(

I. Dérivation numérique

A. Définition - Introduction

Différentier signifie trouver la pente de la

tangente à la courbe.

Ceci revient à calculer la dérivée y’

Comment Δy et Δx peuvent être

utilisés pour évaluer la dérivée?

I. Dérivation numérique

B. Schémas aux différences

Equations aux différences

A. Différences en avant

la valeur d'une abscisse comme point de départ

Une autre abscisse plus loin sur la courbe.

A. Différences en Arrière

la valeur d'une abscisse comme point de départ

Une autre abscisse en arrière sur la courbe.

A. Différence centrale

la valeur d'une abscisse comme point de départ

Une autre abscisse un peu loin sur la courbe.

Une autre abscisse un peu en arrière sur la courbe.

Dérivation numérique

ExemplesProgramme

Intégration numérique

A. Définition - Introduction

Intégration numérique

Raffiner les subdivision pour minimiser l’erreur

La courbe est divisée en parties plus petites

Applications

1. Un géomètre peut avoir besoin de connaître l'aire d'un champ limité par une rivière et deux routes.

Applications

2. Un ingénieur des eaux peut avoir besoin de connaître l'aire de la coupe transversale d'une rivière pour en calculer le débit.

II. Intégration numérique

B. Méthode des trapèzes

Règle des trapèzes

Utilisez un trapèze au lieu d’un rectangle.

Formule de la surface d’un trapèze :Multiplier la hauteur par la moyenne des bases

Raffiner pour minimiser l’erreur

I = (b-a)[(f(a)+f(b)]/2

Règle des trapèzes

ai = h/2[f(xi-1) + f(xi)]

h = (b-a)/n

- Calculer la largeur de chaque sous intervalle

- Déterminer l'aire pour chaque sous-intervalle

- Additionner toutes ces sous-intervalles et déterminer l'aire totale.

- Sous une forme plus courte :

II. Intégration numérique

Exemples

Programme

Intégration numérique

C. Méthode de Simpson

Règle des Simpson

Courbe estimée est une parabole y = Ax2 + Bx + C

Raffiner pour minimiser l’erreur

Règle des Simpson - Evaluer les coefficients de la parabole :

A = (xi-1, yi-1)B = (xi, yi)C = (xi+1, yi+1)

- L'aire sous une parabole dans une sous-intervalle :

Avec : h = (b-a)/n.

- Utiliser la règle de Simpson pour déterminer une intervalle entière :

- Sous une forme plus courte :

n

n

x

x

x

x

x

x

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfI2

4

2

2

0

).(...).().().(

Intégration numérique

Exemples

Programme