Upload
others
View
7
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Derivácie niektorých
elementárnych funkcií a ich
odvodenie
log
sin
cos
n
x
a
y C
y x
y a
y x
y x
y x
1
0
ln
1log
cos
sin
n
x
a
y
y nx
y a a
y ex
y x
y x
x^n
1
0 0lim lim
n n
n
x x
x x xy x x y xf x n x
x x
1 2 211 ....
2!
n n n nx x x nx x n n x x
Ukážeme aj pre nR
sinx
sin sin 2sin cos2 2
sin sin 2cos sin2 2
cos cos 2cos cos2 2
cos cos 2sin sin2 2
0 0 0
2cos sin sin2 2 2sin lim lim lim cos cos
2
2
cos sin
x x x
x x xxx
x x xxx
x x
0 0 0
1 1lim lim lim ln
x xx x xx x x x
x x x
a aa aa a a a a
x x x
0 0
1 1 1log lim log 1 limlog 1 log
x x
x x
a a a a
x xx e
x x x x x
0
lim 0x
C CC
x
lnx x xe e e e
ex je funkcia, ktorá po zderivovaní je
rovná sama sebe.
a e
Pomocné vety -pripomenutie
Ak funkcia f, g majú v bode a limity:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( )( )lim lim ( ) 0
( ) lim ( )
x a x a x a
x a x a x a
x a
x a x a
x a
f x g x f x g x b c
f x g x f x g x b c
f xf x bak g x
g x g x c
lim ( )
lim ( )
x a
x a
f x b
g x c
Pravidlá derivovania a ich
odvodenie
Základné pravidlá a ich
odvodenie
2
u v u v
uv u v uv
uvw u vw uv w uvw
u u v uv
v v
u v
u v
f x uv
u
v
Derivácie:
Nech funkcie u a v sú diferencovateľné, t.j majú
derivácie, potom:
Poznámka
Z existencie derivácie v bode x0 vyplýva, že ak x 0 potom
y 0 .
Ak by neplatilo y0, keď x0 vlastná limita by nemohla
existovať a funkcia by nemala v bode x0 deriváciu
0
limx
y x x y xy
x
y0, keď x0
Derivovanie súčtu a rozdielu
funkcií
u x x u x u
v x x v x v
0 0
lim limx x
u vu v u v
x x
uv u v uv
uvw u vw uv w uvw
1.... .... .... .... ....n nx x xxx xxx xx xx xxxx xxx x xxx xxxx xxx nx
Derivovanie súčinu funkcií
2
u u v uv
v v
20limx
u vv u
u u v uvx x
v v v v v
Derivovanie podielu funkcií
0limx
u u u
u v v v
v x
DERIVOVANIE ŠPECIÁLNYCH
TYPOV FUNKCIÍ
Pomocné vety -pripomenutie
Ak funkcia f, g majú v bode a limity:
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( )( )lim lim ( ) 0
( ) lim ( )
x a x a x a
x a x a x a
x a
x a x a
x a
f x g x f x g x b c
f x g x f x g x b c
f xf x bak g x
g x g x c
lim ( )
lim ( )
x a
x a
f x b
g x c
Poznámka
Z existencie derivácie v bode x0 vyplýva, že ak x 0 potom
y 0 .
Ak by neplatilo y0, keď x0 vlastná limita by nemohla
existovať a funkcia by nemala v bode x0 deriváciu
0
limx
y x x y xy
x
y0, keď x0
Derivácia zloženej funkcie
x u xy y u
y y u x
0 0 0 0 0lim lim lim lim limx x x u x
y y u
x u x
y u y u y u
u x u x u x
0
lim 0u
y
Funkcia u má deriváciu keď x0 potom u0
u je diferencovateľná:
VYUŽITIE DERIVÁCIE
ZLOŽENEJ FUNKCIE
DERIVÁCIA INVERZNEJ
FUNKCIE
Derivácia inverznej funkcie
1
y
x
yf x
Derivácie dvoch navzájom inverzných funkcií majú navzájom prevrátené hodnoty
0
0
1 1lim
limx
xy
y
yf x
xx y
y
1
( )y f x
x y f x
1
x y
d y d ydyy
dy dx dy
arcsin siny x x y
1 1
cos
dy
dxdx y
dy
1,1 ,2 2
x y
1
y
x
yf x
1, Vyjadri x ako funkciu y
2, zderivuj x podľa y
3, zderivované x podľa y
daj do menovateľa
4, vo vzniknutom produkte
nahraď funkciu y x-ami
2 2
2 2
1 1 1
cos 11 sin
1 1
11 sin(arcsin )
dy
dx y xy
xx
cosdx
ydy
Algoritmus:
Derivácia inverznej funkcie
geometricky
1
y
x
yf x
y f x
x y
1cot
2tg g
tg
Geometrický význam:
f x tg
x tg
Derivácia inverznej funkcie
geometricky
2
Zameňme x-ovú os za y-ovú:
Ukážky
nny x y x
1
11
1
1
1 1
n
n
nn
y x
ny y
y xny n
1
11
1
1
1 1
n
n
nn
y x
yny
y xny n
1
x
y
f xy
x u xy y u
LOGARITMICKÁ DERIVÁCIA
v x
y u x
lnv vy u v u u
u
ln ln
v xu x v x u x
y e e
ln lny x v x u x
Logaritmická derivácia
Derivovať ako zloženú funkciu
Derivovať ako exponenciálnu funkciu
Úprava funkcie pred derivovaním
DERIVÁCIA IMPLICITNE
ZADANEJ FUNKCIE
Implicitne zadané funkcie
, 0F x y
Deriváciu funkcie y dostaneme tak, že pri derivovaní rovnice F budeme y
chápať ako zloženú funkciu y(x).
22 2 1 0y y x
2 ln 2 2 2 0
2
2 2 ln 2
y
y
y y x
xy
22 2 1 0y x
y x x
Predpokladajme, že y je zadané rovnicou F, ktorá zväzuje
nezávislú premennú x s funkciou y, ale y nedokážeme
osamostatniť.
2y x
1
2
y x
yx
1
2
y x
yx
Dokážeme nájsť deriváciu dy/dx, bez ohľadu na to, aby sme vedeli, v ktorej časti
oboru funkcie sa nachádzame ?
Netreba hľadať
vyjadrenie pre y
univerzálne
Rovnica dotyčnice a
normály ku krivke
0 0 0y y f x x x
0 0
0
1y y x x
f x
sin12
2cos
2
tgtg
2
dotyčnica
normála
Teleso sa pohybuje po krivke. Určte smer vektora rýchlosti,
dotyčnicu a normálu ku krivke.
H=10m6m
9m3/min
R=5m
Z kužela s výškou H a polomerom R vyteká 9m3 za minútu. Určte rýchlosť klesania
hladiny v okamihu, keď y=6m.
21
3V x y
Rx y
H
2
3
2
1
3
RV y
H
2
3
2
1
3
RV y
H
2
2
2
13
3
dV R dyy
dt H dt
2
2 2
1dy H dV
dt R y dt
2/31/3 1/3 22 22/3 3
2 2 2
2
2 2
3 1 3 1
3 3 3
1
dy H dV H R dVV y
dt R dt R H dt
H dV
R y dt
2
3
2
1
3
RV y
H
Implicitne zadaná funkcia y Explicitne zadaná funkcia y
DERIVÁCIA PARAMETRICKY
ZADANEJ FUNKCIE
Derivovanie funkcií zadaných
parametricky
Vo fyzike častým parametrom je čas
0
2
0
cos
1sin
2
x v t
y v t gt
2
0 2 2
02 cos
gy xv tg x
v
V podstate išlo o parametrické vyjadrenie paraboly
Ukážka parametrického
vyjadrenia kružnice
cos
sin
x R
y R
2 2
x t
y R t
2 2 2x y R
Parametrické zadanie funkcií a
ich diferencovanie
x t
y t
y x f x
t x
Od
str
án
en
ie p
ara
metr
aMetóda 1. - odstránenie parametra a následná derivácia
y x
Derivovanie funkcií zadaných
parametricky
x t
y t
t
t
t yy
t x
Zderivuj pravú a ľavú stranu podľa x, nezabudni t/x/
1d dt
x t xdt dx
dy d dty t x
dx dt dx
Podeľ pravé a ľavé strany:
Metóda 2. - priama derivácia podľa parametra
Derivuj podľa x:
Derivuj podľa y:
Pohyb častíc v priečnom
elektrickom poli
L
Odklon od pôvodného smeruČastica vletí do homogénneho elektrického
poľa s intenzitou E. Určte, pod akým uhlom
vyletí z kondenzátora. Určte odklon y2.
0
2 21 1
2 2
x v t
qEy at t
m
Parameter je čas t
Pohyb častíc v priečnom
elektrickom poli
2
2
2
0 0
1 1
2 2
qE qE qEx xy t y
m m v m v
0
0 0
qE xdy qEt
m vdt mydx v v
dt
Metóda 1.
Metóda 2.
0
2 21 1
2 2
x v t
qEy at t
m
2
0
L
qE Ltg
m v
Očami fyzika: Keďže parameter t je čas, v podstate sa určuje tangent uhla medzi
zložkami vektora rýchlosti častice, čo zodpovedá tangentu uhla, ktorý zviera vektor
rýchlosti s x-ovou osou. Vektor rýchlosti má smer dotyčnice na trajektóriu.
DIFERENCIÁL FUNKCIE, JEHO
VÝZNAM A POUŽITIE
Diferenciál funkcie
0 0
lim lim 0x x
y y dyx x x
x x dx
Diferenciál – hlavná časť prírastku funkcie,
označujeme ho znakom dy
Výrazy y/x a dy/dx sa od seba líšia tým menej, čím viac
sa x blíži k nule
0
limx
yy x x x y x x x
x
Tento člen ovplyvňuje prírastok funkcie oveľa viac ako druhý člen.
Pri x0 sú oba členy nekonečne malými, druhý člen je však
vyššieho rádu malosti.
Geometrická interpretácia
Diferenciál zodpovedá prírastku funkcie, ak funkciu
nahradíme v okolí bodu x jej dotyčnicou.
dyy dy y x
x
x
x x
3
3 3 2
2
2 2 3 2
y x x
dy d x x x x x x x
1
y x
dy d x x x x x
Obvykle sa preto píše namiesto x znak dx a nazýva sa
diferenciálom nezávislej premennej (argumentu).
dx x
( )dy f x dx ( )dy
f xdx
Derivácia funkcie je rovná podieľu jej diferenciálu dy k
diferenciálu nezávislej premennej dx
Diferenciál súčtu, rozdielu
podieľu viacerých funkcií
( )dy f x dx
2
... ...d u v w du dv dw
d uv vdu udv
u duv udvd
v v
dy f u du
Vlastnosti diferencialov a ich
odvodenie
... ... /
... ...
... ...
u v w u v w dx
u v w dx u dx v dx w dx
d u v w du dv dw
/uv u v uv dx
uv dx v u dx u v dx
d uv v du u dv
2
2
2
/u u v uv
dxv v
u u dx v u v dxdx
v v
u du v u dvd
v v
/
u
dF du dFy F u x u dx
du dx du
dFdy u dx
du
dy F u du
Diferenciál podieľ dvoch funkcií
Diferenciál zloženej funkcie
Diferenciál súčinu funkciiíDiferenciál súčtu funkciií
Približný výpočet hodnoty
funkcie – linearizácia funkcie
100
1 1 1
2 20
100 10.05
x
dyy dy x x
dx x
y y y
Odhadnite hodnotu 1010.5 ak viete, že 1000.5=10
Pre malé hodnoty x sa prírastok funkcie y približne rovná
diferenciálu dy:
Prírastok funkcie vyšetríme v okolí bodu x=100
-20 0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
2
4
6
8
10
12
14
X*X
X
100
1 1 1
2 20
100 10.05
x
dyy dy x x
dx x
y y y
Prírastok funkcie vyšetrujeme v okolí bodu x=100
Výpočet chýb – meranie vo
fyzikeMeraním sme zistili polomer gule r s presnosťou
r. Určte relatívnu chybu merania objemu.
3 244
3
3
V dV r r r r
V dr
V r
3 3 2 324 4 4 4
3 33 3 3 3
V r r r r r r r r
dV r r
Vo fyzike je prirodzené očakávať, že meracie zariadenie
spĺňa: r r
Relatívna chyba stnovenia objemu
je 3 krát väčšia ako relatívna
chyba polomeru
0 5 10 15 20 25 30 35
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000V
mm
^3
r [mm]
3 3 2 324 4 4 4
3 33 3 3 3
V r r r r r r r r
Príklad
• Určte o akú vzdialenosť sa posunie obraz spojky, ak sme predmet
posunuli o malú vzdialenosť da.
2
2
1 1 1
a a f
afa
a f
da fda da da
da a f
Obraz sa posunie opačným smerom ako predmet
Linearizácia
zväčšenina
Linearizácia
1y x
Linearizujme v okolí bodu x=0. Pre prírastok funkcie platí:
1
0
1x
y y x x x x
0 1y y y x
=1/2
= -1 x - x
= 1/3 x 5x4
= - 1/2 x - x2
0
2
1
mm
v
c
2
00
2
11
21
m vm m
cv
c
Kinetická energia2
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 11
2 2k
vE mc m c m c m c m v
c
Určte ako sa mení tiažové zrýchlenie s výškou, v priblížení
diferenciálu
URČOVANIE
CHARAKTERISTÍK FUNKCIÍ
POUŽITÍM DERIVÁCIE
Monotónnosť funkcie
0
0
0 tan
0
limx
y x RASTÚCAdy y
y x y x Konš tadx x
y x KLESAJÚCA
Derivovateľná funkcia je v danom intervale :
Konštantná, ak v tomto intervale:
Rastúca, ak v tomto intervale:
Klesajúca, ak v tomto intervale:
0y x
0y x
0y x
Podľa znamienka prvej derivácie môžeme rozhodnúť, či
funkcia rastie alebo klesá na nejakom intervale
Derivácia geometricky
zodpovedá tangentu
(orientovaného) uhla,
ktorý zviera dotyčnica s
osou
Kladný tangent - ostrý uhol
záporný tangent - tupý uhol
Nulovej smernici
zodpovedá priamka
rovnobežná s
x – ovou osou.
Funkcia rastie, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou
ostrý uhol tg > 0 0y x
Funkcia klesá, smernica dotyčnice zviera s x-ovou osou
tupý uhol tg < 0 0y x
Funkcia rastie, smernica dotyčnice
zviera s x-ovou osou ostrý uhol
tg > 0 0y x
0y
Konvexná funkcia
0y
Konkávna funkcia
Podľa znamienka druhej derivácie môžeme rozhodnúť, či
funkcia je konvexná alebo konkávna
Lokálne a globálne extrémyNech je funkcia definovaná na intervale J. Funkčná
hodnota f(x0) sa nazýva:
globálnym maximom, ak pre každé xJ platí:
globálnym minimom, ak pre každé xJ platí:
0( )f x f x
0( )f x f x
Ak sa obmedzíme len na nejaké okolie bodu x0 a
skúmame jeho vzájomný vzťah medzi hodnotou f(x0) a
hodnotami funkcie v ostatných bodoch tohto okolia, potom
hovoríme o lokálnych extrémoch
Hovoríme, že funkcia má v bode x0
lokálne maximum ak existuje také okolie U, že platí:
lokálne minimum, ak existuje také okolie U, že platí:
0( )f x f x
0( )f x f x
Lokálne a globálne maximá
KEDY nastane extrém ???
Použitie derivácii na štúdium
priebehu funkcií
Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x0, v ktorom:
0( ) 0f x
derivácia neexistuje
Nutná podmienka
Deriv
ácia
je
nevla
stn
á
De
rivá
cia
sp
rava
je in
á a
ko
de
rivá
cia
zľa
va
Geometricky :
funkcia má v bode x0
dotyčnicu rovnobežnú
s x –ovou osou,
alebo nemá dotyčnicu
v tomto bode.
derivácia existuje
Funkcia y v bode 0
nemá extém, hoci jej
prvá derivácia v tomto
bode je nulová !!!
Funkcia y v bode 0
nemá extém, hoci jej
prvá derivácia
neexistuje v tomto
bode !!!
Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu
extrému
Funkcia y v bode 0
nemá extém, hoci jej
prvá derivácia v tomto
bode je nulová !!!
Funkcia y v bode 0
nemá extém, hoci jej
prvá derivácia
neexistuje v tomto
bode !!!
Splnenie nutnej podmienky nezabezpečuje existenciu
extrému
Aká je postačujúca podmienka?
0y 0y 0y 0y 0y
0y 0y Derivácia v bode D
neexistuje
Smernica
dotyčnice kladná
Smernica
dotyčnice kladná
Smernica
dotyčnice kladná
Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme
zmeniť.
Extrémy elementárnych funkcií
V bode, v ktorom je lokálny extrém, musí prechádzať
rastúca časť spojitej funkcie na klesajúcu, alebo naopak.
Funkcia nemôže mať lokálny extrém v intervale, v ktorom
je rýdzo rastúca, alebo klesajúca.
Znamienko derivácie funkcie sa musí v lokálnom extréme
zmeniť.
Skúsme špecifikovať základné charakteristiky lokálnych
extrémov:
(0) 0y
Funkcia y v bode 0 nemá extém, hoci jej prvá
derivácia v tomto bode je nulová !!!
Funkcia stále rastie, znamienko
derivácie sa nezmenilo, stále je
kladné !!!
2( ) 3y x x
3( )y x x
Použitie derivácii na štúdium
priebehu funkcií
Funkcia môže mať extrém iba v takom bode x0, v ktorom:
0( ) 0f x
derivácia neexistuje
Nutná podmienka
Deriv
ácia
je
nevla
stn
á
De
rivá
cia
sp
rava
je in
á a
ko
de
rivá
cia
zľa
va
Geometricky :
funkcia má v bode x0
dotyčnicu rovnobežnú
s x –ovou osou,
alebo nemá dotyčnicu
v tomto bode.
derivácia existuje
Inflexný bod
Zhrnutie
Ak v bode x0 má funkcia extrém, v tomto bode je derivácia
nulová a zároveň sa v ňom zmení znamienko. Samotná prvá
derivácia je teda v okolí bodu x0 buď rýdzo rastúca, alebo
rýdzo klesajúca.
Ak bod x0 je inflexný bod, potom derivácia nebude meniť v
tomto bode znamienko, ale v bode x0 dosiahne svoj extrém a
preto v tomto bode bude prvá derivácia tiež nulová.
Postačujúce podmienky pre
existenciu lokálneho extrémuAk má funkcia y(x) v bode x0 ostré lokálne
minimum 0 0( ) 0 ( ) 0y x y x
Ak má funkcia y(x) v bode x0 ostré lokálne
maximum 0 0( ) 0 ( ) 0y x y x
Ak
n je párne číslo, tak funkcia má v bode x0 ostrý lokálny extrém a
to:
maximum, ak
Minimum, ak
1
0 0 0 0( ) ( ) ... ( ) 0 ( ) 0n ny x y x y x y x
0( ) 0ny x
0( ) 0ny x
n je nepárne číslo, tak funkcia f nemá v bode x0 lokálny extrém,
x0 je inflexný bod
Extrémy funkcie
• Určíme kritické body x0, v ktorých je derivácia nulová
• Určíme druhé derivácie:
0 0f x
0 0f x
v x0 je lokálne minimum
v x0 je lokálne maximum
Derivácia musí meniť znamienko, aby v bode x0 mala
funkcia extrém
0 0f x Môže byť extrém, alebo inflexný bod,
rozhodneš podľa derivácie, ktorá bude
prvýkrát nulová
• Preskúmaj body, v ktorých funkcia nemá deriváciu a
stacionárne body, v ktorých funkcia nemá deriváciu.
Aký má byť rozmer valca daného objemu V, aby jeho povrch
bol čo najmenší ?
3
3
02
44 0
2
VS r
Sr
h r
Využitie vo fyzike: minimalizácia tepelných strát povrchom
kalorimetra
Určte čas za ktorý kinetická energia dažďovej kvapky dosiahne maximum.
Kvapka mala počiatočnú hmotnosť m0 a pri páde jej hmotnosť dôsledkom
vyparovania sa rovnomerne zmenšuje.
22
0
1 1
2 2kE mv m kt gt
2
0
3
2k
dE g t kt m
dt
0
0
0
20 0
3
20
3
20
3
k
mt
k
dE mt
dt k
mt
k
2
1
minn
i
i
x x imum