Dersin Knyesi

Dersin leme plan

1.HAFTAPeriyodik bir potansiyel alan iinde elektron enerjisinin belirli , yar srekli enerji bandlar iine rastlayan deerler alabilmesi olgusu Kronig - Penney modeli yardm ile olduka ak ve kantitatif bir biimde anlalabilmektedir. Bu ksmda enerji bandlarnn oluumu problemini bir baka ynden daha inceleyeceiz. Bu sefer daha ok Brillouin Zonlar arasnda kalan ve elektron iin yasak olan enerji blgelerinin meydana gelilerine dikkatlerimizi yneltecek ve daha fiziksel bir bak as ile bu blgelerin nasl olutuunu aratracaz.Dalgaboyu olan paralel, monokromatik bir X-n demeti belirli koullar altnda kristal rgsnde difraksiyon olayna neden olur. BRAGG yasas, (W.L. BRAGG, 1913) ile rg dzlemleri arasndaki a uzakl arasnda 2 a sin = n

bants oluursa difraksiyon dalgalarnn ayn fazda olarak birbirlerini iddetlendirdiklerini ve kristal rg dzlemi zerine as ile gnderilen X-nlarnn yine as ile yansyacaklarn syler. Bragg koulu, bir kristalin atomlar zerinde difraksiyon yapabilen her trl dalga olay iin kullanlabilir. Ik dalgalar veya elektron, proton, ntron gibi maddesel paracklarn de Broglie dalgalar ile elastik dalgalar ( fononlar ) bunlar arsnda saylabilir. Dalga eidine gre kristal rgleri zerindeki difraksiyon olaylarnda baz farkllklar olabilir. Bu farklar / a ornnn deeri nedeniyle olabilecei gibi dalga ile rg atomlar arasndaki etkilemenin zellikleri nedeniyle de meydana gelebilir. rnein grnr kta ( >> a) difraksiyonun nemi olmamakta fakat krlma olaylar nemli rol oynamaktadr. Dalga boyu ile rg dzlemleri arasndaki uzakln ayn mertebeden olduu btn durumlarda Bragg yasas yrrln korur. Bragg yasas bir boyutlu kristal rgsndeki elektron dalgalarna uygulanr ve dalgalarn ayn boyut iinde ilerledikleri dnlrse = / 2 olacandan yukardaki denklem2a = n eklini alr.

imdi tekrar ekil 4.10 daki enerji durumlarn ele alalm. Dalga says k ile dalga boyu arasndaki k = 2 / genel bants yardmyla,yazlabilir. Bu ise, enerji bandlarnn kenarlarndaki dalga says deeridir. Fizik olarak bunun anlam, elektron dalgalarnn band kenarlarnda tam yansmaya uramas, yani ayn yol zerinden geriye dnmesidir. Elektron dalgas artk ilerleyen bir dalga deil duran dalga haline gelmitir. Biraz farkl bir ifade ile elektron atomlar arasnda gidip gelmekte, bunlarn dna kamamakta , kristalin iletkenliine bir katkda bulunamamaktadr. Durumu biraz daha kantitatif olarak inceleyebiliriz.

ekil 4.12. Bragg Yasas. 1' ve 2' nlar arasndaki yol fark, n bir tam say olmak zere n ise bunlar birbirini kuvvetlendirir. 2 a sin = n Birinci Brillouin zonunda k - / a ile + / a arasnda deiir. Elektronlarn dalga fonksiyonlar iin k = + / a snrnda, biri soldan saa dieri sadan sola doru ilerleyen iki dalgann giriiminden meydana gelmek zere birbirinden faz olarak farkl iki duran dalga zm dnlebilir. A keyfi bir genlik olmak koulu ile,

a sin

a sin

2

1

1'

2'

veya,yazlabilir. ekil 4.13, 1 ve 2 duran dalga fonksiyonlarna karlk gelen (-e) 1 2 ve (-e) 2 2 elektron yk younluklarn lineer rg zerinde gstermektedir.Bu iki yk dalmna kalk gelen potansiyel enerji dalmlar rgnn (a) da gsterilen potansiyel dalm yardm ile (c) de izilmitir. ki elektron dalmndan birincisinin daha alak bir ortalama potansiyel enerjiye (1'e) tekabl ettii grlmektedir. Bunun nedeni U potansiyelinin mutlak deerinin byk olduu yerlerde e 2. nin de byk, sonu olarak e 2. U potansiyel enerji arpmnn da byk kmasdr. Buraya kadar sylenenleri zetlersek, birinci Brillouin zonu snrlarnda elektron dalga fonksiyonunun k = + / a iin zmleri birbirinden E =1 - 2 kadar farkl potansiyel enerjide iki duran dalga vermektedir. Baka szlerle potansiyel enerji zon snrnda aralarnda E kadar boluk olan iki seviyeye ayrlmaktadr, ekil 4.14.. Elektron iin E aral Yasak Blge anlamndadr.

ekil 4.14k deerinin sfrdan balayarak bydn dnelim. Bu, elektron impulsu nn bytlmesi anlamna gelir. k, / a deerine yaklatka ilerleyen dalga fonksiyonu karakterinde olan elektron dalga fonksiyonu e ikx iin Bragg yansmasnn nemi artmaya balar. Nihayet zon snrnda, yani k = / a olunca zmler,

0

-

a

a

k

Yasak Blge

1.Brillouin

zonu

2.Brillouin

zonu

E

E

eklini alr. Burada nemli olan bu zmlerin birbirinden kinetik deil potansiyel enerji olarak farkl olan iki duran dalgann domasna neden olmasdr.ekil 4.13 . Lineer bir rgde duran elektron dalgalarnn potansiyel erileri a) : rg potansiyelib) : Elektron younluklarc) : Potansiyel Enerjiler. 1 ve 2 her iki duran dalgaya karlk gelen ortalama potansiyel enerjilerdir.

e

e

x

U

a

e

x

potansiyel enerji

e

2

U

V

2

V

1

E

a)

b)

c)

2.HAFTASerbest halde bulunan elektronlarn ktleleri birbirine eittir. Ancak bir kristal rgs iindeki elektronlar dardan uygulanan elektrik alan yardmyla hzlandrlmak istenirse elektron ktlesi m den farkl imi gibi grnebilir. m* ile gsterilen ve m den byk, kk hatta negatif veya sonsuz olabilen bu ktleye effektif elektron ktlesi denir. Bu farklln nedeni pozitif iyon rgs ile elektronlar arasndaki elektrostatik etkilemedir. Kristal iindeki enerji bants (ekil 4.10) yardmyla effektif ktle iin bir tanm elde etmek mmkndr. Bu amala, serbest elektron enerjisini veren ifadeden yola klabilir.

denkleminin iki defa trevi alnrsa ile, elde edilir. Ayn tanm rg ile etkileim halinde bulunan elektron iin kullanmak da mmkndr. Ancak bu sefer, Brillouin zonlar iindeki elektron enerjisini esas olarak almak gerekir. Bu takdirde effektif elektron ktlesinin tanm eklinde olacaktr. Buna gre m / m* oran iin,

yazlabilir. ekil 4.15 bu orann ilk iki Brillouin zonu iindeki deiimi hakknda kalitatif bir bilgi vermek iin izilmitir. Elektronun effektif ktlesinin negatif olmas fiziksel olarak yle anlalmaldr. D elektrik alan kadar bytlerek k, k kadar bytlrse zon snr yaknlarnda artan Bragg yansmas nedeniyle elektronun ilerleme hz v kadar azalm olur. Bu da elektronun ktlesini negatif deerde imi gibi gsterir. Effektik ktle, Fermi enerjisi, iletkenlik, elektronlarn spesifik slar gibi byklklerin daha nce hesaplanan ifadelerinde m yerine kullanlmas gereken ktledir. nk kat cisim iinde elektronlar daima pozitif iyon rgs ile etkileim halinde bulunurlar. Effektif ktlenin bu eit fiziksel byklklerdeki deerinin, eldeki kristal rgsne ait btn valens elektronlarn ve Brillouin zonlarn hesaba katarak hesaplanmas gerektii aktr. Baz metaller iin hesaplanan deerler aadaki cetvelde gsterilmitir.

METALLiNaKCsNiPtCum/m*0.711.021.061.210.0360.0770.988

ekil 4.15. lk iki zon iinde m/m* orannn deiimi

-

/a

/a

-

/a

/a

-

/a

/a

E

dE

dk

k

k

k

m

m

*

k

k

2.Brilloin

Zonu

1.Brilloin Zonu

3.HAFTAYukarda tanmlanan Brillouin zonlar , kristallerin iletkenlik zelliklerinin incelenmesinde nem tar. Geometrik olarak Brillouin zonlarn en rahat bir ekilde k uzaynda gstermek mmkndr. bants nedeniyle k uzay p impuls uzay ile sk skya baldr.Bir boyutlu kristal rgs iin ekil 4.16 kolayca izilebilir. ekil 4.16. Tek boyutlu rgde Brillouin zonlar

3

a

2

a

a

a

2

a

3

a

0

1. Zon

2. Zon

3. Zon

k

boyutlu rgde de elektron dalgalarnn Bragg yasasna gre yansma dzlemlerinin k uzayndaki durmlarn tayin etmek gerekir. nce iki boyutlu rektangler bir rg zerinde durumu incelemek daha yararl olabilir. ekil 4.17 deki rgnn birbirine paralel hk dorular arasndaki uzakl dhk ile gsterirsek (a1 , a2 rg translasyon vektrleri ),ekil 4.17. ki boyutlu bir rgde Brillouin zonlarnn hesab h = 1, k = 2

d

hk

a

2

k

a

1

h

k

y

k

x

k

hk

a

1

a

2

y

x

ifadesini kullanarak dhk uzakl iin,elde edilir. k = n / aBragg koulu, ilgilendiimiz durum iin, ekline girer.

dalga vektr, (hk) dzlemlerine dik dorultuda ilerleyen elektronun dalga vektr olduundan dhk ya paraleldir. nn bilekesi kx ve ky olsun. kx = . Cos ky = . Cos Dier taraftan, vektrnn boyunu ekil 4.17 den aadaki gibi hesaplayabiliriz.kx Cos + ky Cos = k hk Cos2 + k hk Cos2 = khkveya

elde edilir. Nihayet ifadeyi biraz daha basitletirirsek,bantsna ulalr. Kare eklinde bir rgde a1 = a2 = a alnabileceinden elde edilir. boyutlu kbik rg iin Brillouin zonlarnn,ifadesinden hesaplanabilecei aktr.

rnek olmak zere iki boyutlu kare rg iin yukardaki denklemden hesaplanan Brillouin zonlar ekil 4.18 de izilmitir. 1. Brillouin zonunda;h = 0 , 1 k = 1 , 0 ve n = 1 dir. Dolaysyla 1.zon kx = / a kx = - / a ky = / a ky = - / a denklemleri ile belirlenen 4 doru ile snrlanmtr. 2. zonda h = 1 k = 1 ve n = 1 dir. Buna gre zon aadaki 4 doru ile snrlanmtr. + kx + ky = 2 / a + kx - ky = 2 / a- kx + ky = 2 / a - kx - ky = 2 / a3. zonda h = 2 , 0 k = 0 , 2 n = 1 olduundan zon snrlar 2 kx = 4 / a 2 ky = 4 / a - 2 kx = 4 / a - 2 ky = 4 / a doru paralar ile snrlanmtr.

ekil 4.18. ki boyutlu rgde Brillouin Zonlarnn izimi

3.ZON

2.ZON

1.ZON

.........

a

2

.........

********

********

# # # # #

# # # # #

a

2

a

a

a

2

a

2

a

a

k

x

y

k

# # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # #

# # # # # # # # # # # # #

**

******

*********

*************

******************

********************

*

***

*****

*******

*********

*********

*******

*****

***

*

**

****

*******

**********

*********

*******

*****

**

*

********************

*****************

*******

**************

***********

*****

**

.........

........

......

....

..

.

..

...

....

.....

......

........

..

...

.....

.......

.........

.........

.......

......

....

..

.

........

.......

.....

....

..

.

.

..

.....

......

.......

..

...

.....

.......

.........

..

...

....

......

.......

........

ekil 4.18 Brillouin zonlarnn iki nemli zelliini de yanstmaktadr. 1. Her zon kendi d snr ile bir numara kk zonun d snr arasndaki blgede yer almaktadr.2. Zonlarn yzey alanlar birbirine eittir. boyutlu rgler iin Brillouin zonlar da boyutludur. ekil 4.19 yzey merkezli; ekil 4.20 uzay merkezli kbik rg iin 1. ve 2. Brillouin zonlarn gstermektedir.

ekil 4.20. Uzay merkezli kbik rgde Briilouin zonlar 1. Zon 2. Zonekil 4.19. Yzey merkezli kbik rgde Brilloin zonlar 1. Zon2. Zon

4.HAFTAValens elektronlarnn enerji dalmlarn da k uzaynda gstermek kolayca mmkn olur. Bunun iin nce rg iinde dorultuya bal olarak elektron enerjisi tayin edilmelidir. Genel olarak rgnn periyodik yapsndaki zelliklere bal olmak zere farkl dorultularda dalmlar da az ok fark gsterir. Dorultuya bal enerji dalm elde edildikten sonra k uzaynda enerjileri eit olan noktalar birletirilerek eit enerji yzeyleri elde edilir. ki boyutlu uzayda buna enerji konturlar ad verilir. ekil 4.21, basit kare rgnn 1. Brillouin zonunu ve ve bu zon iindeki enerji konturlarn gstermektedir. Zon snrlarndan uzakta konturlar daireler, ( boyutta kreler) halindedir. Snra yaklatka enerjinin bymesi yavalar. Tam snrda yasak blge sreksizlii ile karlalr. Farkl zonlara ait eit enerji yzeyleri bu nedenle hi bir yerde birlemez.

Bununla beraber rnein 2. Brillouin zonuna ait ilk eit enerji yzeyine tekabl eden enerji deeri 1. zona ait zon yzeyinin enerjisinden byk olabilecei gibi, kk de olabilir. ekil 62 basit bir kbik kristal rgsnn eksenlerinden biri olan [100] dorultusu ile kutur dorultusunda E (k) enerjilerini gstermektedir. [111] dorultusunda iki hal dnlmtr. Bunlardan B halinde bandlar arasnda bir yasak enerji aral olumakta ; C de ise bandlar st ste gelmektedir.

ekil 4.21. Kare rgde enerji konturlar

[11]

k

x

y

k

k

yzeyi

Fermi

Kristalin enerji seviyelerinin elektronlar tarafndan igali srasnda bu iki durum nemli farklara neden olur. imdi dikkatimizi Brillouin zonlarndaki enerji seviyelerine evirelim. Kristalin boyutlar L1, L2 , L3 cm olsun. x dorultusunda mmkn olan duran dalga, yani diskre enerji seviyesi says en fazla

olabilir. Ayn ekilde,yazlabilir. Bylece k uzaynda hacim,olur.

ekil 4.22. Dorultuya bal enerji deiimleri.V = L1L2L3 kristalin fiziksel hacmidir. n1, n2 ve n3 tam saylardr. Bu enerji seviyelerinden her biri bana k uzay hacmi, (2)3 / Volarak bulunur. 1. Brillouin zonunun hacmi ( 2 / a)3 olduundan, bu zonda (ve dier zonlarda)

k

[111]

k

[100]

k

[111]

d

[111]

d

[100]

d

[111]

(A)

(B)

(C)

E

1

E

2

E

1

E

2

E

2

"

E

1

"

saysnda enerji seviyesi bulunabilecektir. Bu say, kbik kristalin elemanter hcre saysna ve kbik rgde elemanter hcre bana bir tek atom bulunduu iin kristaldeki atomlarn saysna eittir.Her enerji seviyesi spinleri anti-paralel olan iki elektronla doldurulabilecei iin ilk Brillouin zonunda kristalin atom saysnn 2 kat sayda elektron yerleebilir. kiden fazla valens elektronu bulunan elementlerin kristallerinde bir ksm elektronlarn 2. Brillouin zonunda yerlemeleri zorunluluu vardr. Bu elektronlarn zonlara dalmas, zonlarn st ste gelip gelmemesine baldr. Zonlar st ste geliyorlarsa 1. zon dolmadan 2. si igal edilmeye balar. nk daima en kk enerji seviyeleri daima en nce igal edilir. Dolu olan en yksek enerjili eit-enerji yzeyine Fermi yzeyi ad verilir. ekil 61 de bir Fermi yzeyi gsterilmitir.

Kbik bir rgde her Brillouin zonunun rgdeki atom saysnn iki kat sayda elektron tarafndan igal edilebileceini yukarda grmtk. rgnn toplam enerjisi hakknda bilgi sahibi olmak istenirse mevcut elektronlarn Brillouin zonlarndaki enerji seviyelerine nasl dalm olduklarn bilmek gerekir. Baka bir deyimle, her zonu enerji birimi geniliinde, blgelere ayrarak bunlar iindeki enerji seviyesi saysn bulmak gerekir. Bu say daha nce seviye younluu terimi ile adlandrlmt. Serbest elektronlar iin Fermi yzeyi, yar ap k olan bir kre, enerji ise, dir.

Sfrdan balamak zere her hangi bir E enerjisine kadar dolu olan seviyelerin toplam says N , k uzaynda igal edilen hacmin, seviye birimi hacmine blnmesi ile elde edilebilir. Her seviyede spin kuantum says farkl iki elektron bulunabilecei de hesaba katlarak N says,olarak hesaplanabilir. Seviye younluu yani enerjileri E ile E+dE arasnda bulunan elektron says dN , eklinde elde edilir. Bu ifade, V hacim faktr hari daha nce baka bir yoldan hesaplanan enerji younluu ifadesinin ayndr.

Brillouin zonlarnn snrlarndan uzak k blgelerde rg elektronlar hemen hemen serbestmi gibi hareket ettiklerinden seviye younluu yukarda hesaplanan ifadeye uygun olarak, parabolik bir biimde ykselir, (ekil 4.23). Snrlara yaklaldka enerjinin deimesi yavaladndan (dn / dE) parabolden daha fazla bir ykselme gsterir; bunu takiben azalmaya balar. Nihayet zon snrnda ( k = / a ) sfra der (ekil 4.23.B). Zonlar st ste gelirse seviye younluu erisi C deki ekli alr. Enerji seviyesi younluunun bir zon iindeki deiimi (ekil 4.23.B) kristalin rg yapsna da baldr. rnein yzey merkezli bir rgde erinin maksimumu uzay merkezli bir rgye nazaran daha kk enerjidedir, ekil 4. 24. Bu zellik ad geen iki rg yapsnda kristalleen iki metalin alamlar iin nemli sonular verir. Bunlardan bir ksmn imdi inceleyeceiz.

ekil 4.23. Seviye younluunun enerjiye bal olarak deiimiekil 4.24. ymk ve umk rglerde seviye younluu

dN/dE

dN/dE

dN/dE

E

E

E

A

B

C

8

7

6

5

4

3

2

1

0

atom.eV

elektron

Enerji (eV)

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Seviye Younluu

umk

ymk

Fermi yzeyi ile Brilloin zon snr arasndaki iliki, alamlarn kristallografik yap, elastik sabitler, elektrik ve magnetik davranlar gibi zellikleri zerinde nemli rol oynar. Bir metal iinde valens elektronu says bu metalden farkl, rnein daha ok olan, bir metal eritilirse oluan alam rgsnde Fermi yzeyi ile Brilloin zonunun snrlar birbirine gre farkl konumlar alrlar. rnek olarak Cu - Zn ikili alamn, yani pirin alamn inceleyelim.Bakrn bir valens elektronu (4s), inkonun iki valens elektronu (4s2) vardr. Bakra byyen miktarlarda inko ilave edilince ymk yapda olan rgye daha fazla elektron ilave ediliyor, yani rgde valens elektronu / atom oran bytlyor demektir. Bu durum Brillouin zonu snrna temas eden enerji seviyelerinin de dolmasna neden olur. Alama daha fazla inko, ve bylece rgye daha fazla elektron ilave edilmesi, yeni gelen elektronlarn yasak blgeyi aarak 2. Brillouin zonuna gemelerini gerektirir.

Fakat rg yapsnn daha geni Fermi yzeyine sahip bir yapya dnmesi ve bylece yeni elektronlar 1. zon iine almas enerjia asndan daha tercih edilir bir ilemdir. Bu nedenle alam, daha byk Fermi yzeyi olan uzay merkezli kbik ( fazna ) geer. fazndan (ymk) fazna (umk) gei, pirinte elektron / atom oran, 1.36 ya gelince balar. Alamlarda elektron / atom orannn nemine ilk kez W. HUME-ROTHERY, 1926 dikkat ekmitir. Hume-Rothery kural olarak anlan empirik kurala gre ikili alamlarn faz deimeleri daima ayn elektron/atom orannda meydana gelir. Bir ok ikili alam bu kurala ok iyi uyar. Aadaki cetvelde ikili alamlarn faz deiimleri iin ortak elektro/atom oranlar (= Fermi yzeyinin Brillouin zonuna temas haline tekabl eden oranlar) verilmitir.

ekil 4.24, enerjinin fonksiyonu olarak enerji birimi bana seviye saysn (ymk) ve (umk) rgler iin gsterilmitir. Bakra Alminyum veya Galyum gibi valens elektronlu metaller ilave edilirse, kristal yaps bozulmadan fazla elektronlarn 1. Brillouin zonuna alnabilmesi, rgde boluklar meydana gelmesine de neden olabilir. Bu hal de daha dk bir enerji durumuna karlk gelir. Bu tr deiiklikler kristalin rg yaps ayn kalsa bile rg sabitlerinin deimesine de yol aar.

FAZRGelektron/atom oranymk1.36umk1.4852 atomlu kompleks kbik1.54en skk hegzagonal1.69

5.HAFTAnceki blmlerde yariletkenler ile yaltkanlar arasndaki belli bal farkn yariletkelerde valens bad ile iletkenlik band arasndaki band aralnn (yasak enerji aralnn) darl olduunu grmtk. Bu nedenle oda scaklnda bile termik uyarma yoluyla bir ksm elektronlar valens bandndan iletkenlik bandna geer ve malzemeye iletkenlik kazandrabilir. Mutlak sfr scaklnda metalik bir iletkenin iletkenlik zelliini korumasna karlk yariletken bir cisim bu scaklkta yaltkan haline geer. Oda scaklnda yariletkenlerin spesifik (z) direnleri 10-2 - 109 .cm arasnda deiir. (Saf metallerde = 10-6 - 10-4 .cm ; yaltkanlarda 1013 - 1022 .cm mertebesindedir.) Yariletkenler ok eitli alanlarda kullanlmaktadr. Diyot ve transistrler, termistrler, foto elektrik dzenekler, kuantum elektronik aletler, akustik dedektrler ve radyasyon dedektrleri bunlar arasnda saylabilir.

Silisyum, Germanyum, Selenyum gibi kimya bakmndan saf elementlerden baka Cu2O, PbS, GaAs, InAs, CdS gibi bileikler; hatta baz organik maddeler rnein antrasen ve polimerler gibi, yariletken zellikler gsterirler.Yariletkenlerin elektrik zellikleri, ssal uyarma sonucu oluabildii gibi, bunlarn ierdikleri ok az konsantrasyonda yabanc maddeler, rg bozukluklar veya kimyasal yaplarn oluturan atomlardan bazlarnn eksik olmas nedeniyle de ortaya kabilir. Genel olarak kimya bakmndan saf olup band yaps itibariyle yariletken olan cisimlere asal yariletken (intrinsic semiconductor) ad verilir. Bundan nceki paragrafta saylan cisimlerden her biri bu tanma gre asal bir yar iletkendir. Baz yabanc cisimler konsantrasyonu az bile olsa, yar iletkenlerin elektriiksel zelliklerini anormal biimde deitirebilir. rnein saf silisyuma yzbinde bir orannda bor katlrsa silisyumun spesifik direnci, oda scaklnda, yaklak olarak 1000 kez azalr. Asal yar iletkenlerden bu eit yar iletkenleri ayrmak iin bunlara katkl yar iletken (extrinsic semiconductor) ad verilmitir. Yar iletkenlere yabanc atom katma ilemine doping ad verilir.

Sonsuz saflkta ve rg yaps mkemmel bir kristal hazrlanmas imkanszdr. Bununla beraber bu ideale olduka yaklalabilir ve normal deney koullarnda asal (intrinsic) yarileteken zellikleri gsteren malzeme elde edilebilir. Asal bir yariletkende, iletkenlik bandnda bulunan elektronlarn says ile bunlarn valens bandnda braktklar boluklarn (deik, electron hole) says birbirine eittir. Kristale dardan uygulanan elektrik alan etkisi altnda boluklar alan ynnde, elektronlar alann zt ynnde ilerlerler, ancak ancak her iki akm tayc da (carrier) elektrik alan dorultusunda bir akm meydana getirirler, ekil 5.1.Elektron boluklarnn pozitif ykl ve effektif ktlelerinin sfrdan farkl paracklar gibi dnlmesi byk bir kavram kolayl yaratr.

Asal yariletken bir cisim hi bir zaman sonsuz saflkta olamayaca iin her scaklkta bir asal yar iletken gibi davranmaz. Alak scaklklarda valens bandndan iletkenlik bandna geen elektronlarn says , kristaldeki yabanc atomlarn saladklar elektron saysndan azdr. Bu nedenle kristal daha ok katkl (extrinsic) yar iletken zellii gsterir. Genel olarak bir yar iletkenin iletkenliinin yabanc atomlar tarafndan deitirilmedii scaklklara asal iletkenlik scakl blgesi ad verilir. Bu scakln altndaki blgelerde kristal, katkl yar iletkendir.ekil 5.1.Akm tayclarn hareket ynleri

E

v

e

I

b

v

b

I

b

- e

+ e

6.HAFTAAsal yar iletkenlerin z direnleri scakln tersi ile eksponansiyel olarak azalr. Bu davran yar iletkenleri metallerden ayran nemli bir zelliktir. Saf bir yar iletkenin band emas daha nce incelenmiti. Kristal yapsnn periyodik alan kristal iindeki dorultuya bal olarak farkllklar gsterdii iin eneri bandlarnn alt ve st kenarlar da dorultuya bal olarak farkllklar gsterir, ekil 62. Bu nedenle kristali daha kantitatif olarak tanmak istiyorsak enerji bandlarnn boyutlu olarak izilmesi gerekir. Bununla beraber, mmkn olan btn dorultulardan valens bandnn st kenar (Ev) en yksek olan dorultu ile iletkenlik bandnn alt kenar (Ei) en alak olan dorultuya ait Ev ve Ei deerleri ile izilen bir band emas, kristalin genel davrann geree olduka yakn olarak belirleyebilir. Band aral veya yasak enerji blgesi bu durumda Ey = Ei - Ev

geniliindedir. Ey , kristal iinde, bir valens elektronunun iletkenlik bandna geebilmesi iin gereken en kk enerjidir. Bu nedenle Ey ye bazen ssal enerji aral (thermal energy gap) ad da verilmektedir. ekil 5.2. Silisyum ve Germanyumun band yaplar

a

(

)

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

2

2

a

(

1 1 1

2

2

2

)

0

k

E

y

= 1.08 eV

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

2

2

a

(

1 1 1

2

2

2

)

0

k

100

(100)

a

E

y

= 0.66 eV

[111] ekseni

[100] ekseni

[111] ekseni

[100] ekseni

Si

Ge

ekil 5.2, iki yar iletkenin, silisyum ile germanyumun [100] ve [111] dorultularnda mesafeye bal olarak, band yaplarn gstermektedir. Yzey merkezli kp eklinde kristalleen bu iki kristalin 1. Brillouin zonlar boyutlu olarak ekil 4.19 da gsterilmitir. [100] dorultusu, merkezden (k = 0) zonun kare eklindeki n yzeyine indirilen dikmenin dorultusu ; [111] dorultusu ise alt keli yzeye indirilen dikmenin dorultusudur. ekil 5.2, birbiriyle yaklak 55 o a yapan bu iki dorultuyu, kolaylk olmas asndan ayn dzlemde gstermektedir. Her iki kristalde de valens band kenarnn en yksek deeri k = 0 da dr, fakat iletkenlik band kenarlar farkl yerlere dmektedir. ekil 5.2 deki gibi bir band yapsnn doru olarak izilebilmesi, kristali oluturan atomlarn elektron seviyelerinin kristal yaps iinde mesafeye bal olarak hesaplanabilmesine baldr. Bu aamada elektronlarn yrnge hareketleri ile spin hareketleri arasndaki muhtemel kuplajlar ve bylece meydana gelen magnetik etkileri de hesaba katmak gerekir.

Oda scaklnda bir yar iletkenin iletkenlik bandndaki elektronlarnn E enerjisi (daha doru bir deyile E - EF ) , kT yannda olduka byktr. rnein Silisyumda E - EF 0.55 eV , kT = 0.025 eV dur. Bu nedenle iletkenlik elektronlarnn enerji dalm iin Fermi - Dirac fonksiyonu,eklinde basitletirilebilir. Bundan baka iletkenlik bandna gemi bulunan elektronlar yar serbest kabul edebiliriz. Enerjinin sfr noktasn valens bandnn st kenarna alrsak (ekil 5.3) iletkenlik bandndaki bir elektronun enerjisi,

olur. Bu ifadenin ikinci terimi tam serbestlikle hareket eden elektronlar iin tam dorudur. Fakat denklemde elektronun effektif ktlesi kullanldndan zon snrlar yaknlarnda da kinetik enerjinin doru olarak hesaplanmas mmkn olur. ekil 5.3. imdi kristalin hacim birimindeki elektronlardan iletkenlik bandna gemi bulunanlarnn n saysn renmek istiyoruz. nce enerjileri E ile E + dE arasnda bulunanlarn 1 cm3 deki says iin seviye younluu Ge(E) ile f (E) dalmn kullanarak

f(E)

E

E

v

E

i

E = 0

E

y

E

F

E

- E

0.5

1.0

yazabiliriz. letkenlik bandnn alt snrndan itibaren yukardaki ifadenin integrali aranlan n younluunu verir. Burada kolaylk olmak zere enerji intervali E - EF = (E - Ey) + (Ey - EF) olmak zere iki ksma ayrlmtr. , (ekil 5.3). Bu ifadedeki integralin deerlendirilmesi iin bir belirli integraller cetvelinden faydalanmak mmkndr. Byle bir cetvelden alnan ,

integralinde = 1 / kT x = E - Ey ve integral alt snrn sfra kaydrmak suretiyle,alt snrn Ey yerine sfra kaydrlmasyla elektron saysnn deimeyecei aktr. nk, E = 0 ile E = Ey arasnda , yani yasak blgede zaten elektron bulunmamaktadr. Bylece iletkenlik bandnda elektron younluu,

olarak elde edilir. Bu ifadedeki eksponansiyel terim E = Ey iin Fermi-Dirac fonksiyonuna eittir. Dolaysyla geriye kalan, iletkenlik bandndaki effektif seviye younluu karakterinde bir byklktr. Buna gre iletkenlik bandndaki elektron younluu,eklinde de ifade edilebilir.*Bir ksm elektronlarn iletkenlik bandna gemesi ile valens bandnda oluan boluklarn da (hole) denge younluklarn bilmek faydaldr. Elektronlarn fe dalmlar bilinince boluklarn fb dalm * Bu ifadelerin yaklak ifadeler olduu gzden uzak tutulmamaldr. nk, bu ifadenin knda me* sabit kabul edilmi ve integral dna alnmtr. Gerekte effektif ktle enerjiye baldr. Fakat Brillouin zonu ortalarnda E k2 olduundan me* = sabittir. Snrlardaki hata ise eksponansiyel faktr nedeniyle kktr ve ihmal edilmitir. Bu ifadelerin yrrlk alann snrlayan dier bir faktr, (E - EF) dolaysyla (Ey - EF) enerji farknn kT yannda byk kabul edilmesinden kaynaklanr. Fakat yar iletken problemlerinin ounda bu kabul korkusuzca yaplr. Band aral ok dar olan yar iletkenlerde Fermi fonksiyonu tam ekliyle kullanlmaldr

ve yine E EF >> kT kabl yaplarak,yazlabilir. Elektron boluklar da , valens bandnn st enerji dzeylerinde serbest olarak hareket edebilen pozitif ykl ve ktleleri mb* olan paracklar gibi kabul edilebildiinden bunlarn seviye younluklarneklinde yazmak mmkndr. Bylece valens bandndaki pozitif boluk younluu,

olur. Bu sefer x = E ; = 1/ kT alnarak yukarda yapld gibi, bulunur.Bu ifadelerden elektron ve boluk younluklarn elde etmek istersek Fermi enerjisini bilmek gerekir. Asal bir yar iletkende n = p olmas olgusundan yararlanarak Fermi enerjisi hesaplanabilir.

Bu sonu daha nce hesaplanmadan verilen deerin ayndr. Elektron ve boluklarn effektif ktleleri birbirine eit olduu mddete Fermi enerjisi band aralnn tam ortasndadr. kinci, logaritmik terim me* / mb* deeriyle yava deitii iin pratik bakmdan Fermi enerjisi hemen hemen daima yasak blgenin ortasnda kabul edilebilir. (rnek: me* / mb* = 2 ; T = 300 o K , 3/4 kT Ln (me* / mb*) = 3/4 . 0.025. 0.693 = 0.013 eV)

7.HAFTABirim hacminde n sayda elektron bulunan ve yalnz bu elektronlar dolaysyla elektrik akm iletebilen bir metalde akm younluu,dir. Burada e elektronun yk, vd elektronlarn elektrik alan etkisi altnda, elektrik alan dorultusunda kazandklar ortalama hzdr ve doal olarak alan iddetine baldr. z iletkenlik , birim kesitten, birim elektrik alan etkisi ile 1 saniyede geen elektrik ykne eittir. 1 volt/cm lik alan iddetinde elektronun kazand cm/s cinsinden llen vd hzna elektronun mobilitesi ad verilir. Mobiliteyi ile gstermek suretiyle z iletkenlik iin,

yazlabilir. Bir yar iletkenin iletkenlii elektron hareketinden olduu kadar elektron boluklarnn hareketinde de kaynaklanr. Boluklarn konsantrasyonunu p, mobilitesini b ile gsterirsek, yar iletkenin z iletkenlii,olur. Asal yar iletkenlerde n = p olduu iin, z iletkenlik,eklinde yazlabilir. Yukarda, iletkenlik bandndaki elektron younluu iin bulunan n ifadesi denklemde yerine yazlrsa,ve Fermi enerjisinin yasak enerji aral ortasnda kabul edilmesi, yani EF = Ey / 2 alnmasyla,

yaklak ifadesi elde edilir. Bu denklemde sabit ile gsterilen faktr, gerekte scakla T3/2 gibi bir bant ile baldr. Ancak nn deiimi ok daha etkin biimde eksponansiyel terimin etkisi altndadr. Bu nedenle bu son denklem pek hatal saylmaz. Mobilitelerin de scakla ballklar beklenebilir. Fakat bu etki de eksponansiyel etki yannda ihmal edilebilir. Bu son denklem, yar iletkenlerin band aralklarnn denel yoldan tayinine olanak verir. Bunun iin z iletkenliin veya z direncin scakla bal olarak deimesinin llmesi yeterlidir. Yukardaki denklemin logaritmas alnrsa denklem,

ekline girer. 1 / T nin fonksiyonu olarak izilen denel Ln deiiminin eiminden Ey / 2k, dolaysyla Ey elde edilir.ekil 5.4. Az miktarda Ga ieren Gerun z direnci (C.Kittel ,Introduction to solid state physics, 1967)

KATKILI

ASAL

)

(

1

_

K

1000

T

(ohm.cm)

0

10

-1

10

-2

10

-3

10

3.2

2.8

2.4

2.0

1.6

1.2

ekil 5.4 byle bir deneyin sonucunu gstermektedir. Erinin eimi band aral iin 0.72 eV deerini vermektedir. Baz kristallerin oda scaklnda elektron ve boluk mobiliteleri aadaki tabloda gsterilmitir.

KRSTALElektron mobilitesicm2 / V.sBosluk mobilitesicm2 / V.sCu35----Si1600400Ge38001800InSb770001250PbS600200Elmas18001200KBr100-------

En ok kullanlan iki yar iletken olan Si ve Ge 'un dier baz fiziksel sabitleri de aadaki gibidir.

Fiziksel ByklkSiGeAtom Numaras1432Atom ktlesi28.172.6rg sabiti5.43 5.66 Younluu2.335.32Ergime Noktas1420 oC936 oCDielektrik sabiti11.715.8Band Aral1.14 eV oda scaklnda0.67 eV oda scaklnda

Asal yar iletken elementler periyodik sistemin drdnc stununda bulunurlar. Bu elementlerin valens elektronlar drder tanedir. Daha nce grdmz gibi, rnein C atomu, en yakn 4 komusu ile birer elektron ifti oluturarak kovalent balar meydana getirirler.fazla yk ekil 5.5. Si kristali iinde bir fosfor kir atomu.+fazla elektronfosfor atomu

Asal bir yar iletken kristalinin, rnein bir silisyum kristalinin, atomlarndan birinin karlarak, yerine 5. grup elementlerinden, rnein bir fosfor atomu, koyduumuzu dnelim. Fosforun valens elektronu says 5 olduundan bunlardan drd civardaki 4 Si atomu ile hemen kovalent balar kurarlar. Geriye bir fazla elektron (excess electron) kalr. Fakat P ekirdeinin de Si ekirdeine gre bir fazla (+) yk vardr. Buna gre fazla elektron mesela elektrik iletkenliine katkda bulunabilmek iin tamamen serbest deildir. Bir d elektrik alan etkisi altnda bu fazla elektronun kristal iinde hareket edebilmesi, baka szlerle elektrik iletkenlie katkda bulunmas, ilk bakta olanakszm gibi grnr. nk, bunun iin elektrona P 'un ilk iyonizasyon enerjisi mertebesinden enerji vermek gerekecektir ki, serbest P atomu iin bu enerji 10.55 eV mertebesindendir, yani ok byktr. Dier taraftan kristal rgs iindeki P atomunun enerji seviyelerinin serbest P atomununkinden farkl olacan hemen syleyebiliriz. Gerek duruma olduka yakn bir irdeleme yle yaplabilir. P'un fazla elektronu, P ekirdeindeki fazla pozitif yk ile yaklak bir hidrojen atomu gibi davranr. Buna gre fazla elektronun balant enerjisini ilk yaklaklkla Bohr teorisi yardmyla hesaplamak mmkndr. Bilindii gibi hidrojen atomundaki tek elektronun balant (iyonizasyon) enerjisi 13.6 eV dur.

Fakat izole hidrojen atomu iin doru olan bu deer Si gibi bir atom iinde daha kktr. Bunun iki nedeni vardr. Birincisi, elektronla ekirdek arasndaki ekme kuvveti ortamn dielektrik sabiti ile ters orantldr. kincisi, Her iki ykn oluturduu atomun yar ap ile doru orantldr. Bohr hidrojen atomu modelinde yer alan, ortamn dielektrik sabitinin bulunmasna bal dzeltme faktr de hesaba katlrsa fazla elektronun balant (iyonizasyon) enerjisi iin yazabiliriz. Formlde serbest elektron ktlesi yerine me* effektif elektron ktlesini kullanmak suretiyle rgnn etkisini de hesaba katm oluyoruz. Si da me* = 0.2 me , hidrojenin iyonizasyon enerjisi 13.6 eV, Si'un dielektrik sabiti = 11.7 olduundan yukardaki ifade P 'un Si iindeki fazla elektronunun iyonizasyon enerjisi iin E = - 13.6 (me*/me) (1/ 2) = - 13.6. (0.2). [1/ (11.7)2] = 0.02 eVdeerini verir.

Bu sonu fosforun silisyum rgs iindeki elektron balant enerjisinin yaklak 530 defa klm olacan gstermektedir. Buna benzer bir hesap germanyum rgsndeki fosfor atomu iin yaplrsa ( me* = 0.1 me ; = 15.8 ) fosforun fazla elektronunun 1760 defa daha kk olan E = 0.006 eV luk bir balant enerjisi ile ekirdee bal olduu bulunur. Yukardaki hesaplar rnein effektif elektron ktlesinin dorultuya bal olduunu da gz nne almak suretiyle biraz daha iyiletirmek mmkndr. Biz burada deneyle elde edilen sonular vermekle yetineceiz. Bu sonular optik absorbsiyon veya ssal iyonizasyon yolu ile elde edilmitir. Si VE Ge NDE 5 DEERL DONORLARIN YONZASYON ENERJLER

PAsSbSilisyum0.045 eV0.049 eV0.039 eVGermanyum0.0120eV0.0127 eV0.0096 eV

Si ve Ge rglerine giren tablodaki 5 deerli yabanc atomlar bu cetvelde grld gibi ok dk olmayan scaklklarda kolaylkla iyonize olabilirler ve rgye serbest elektronlar kazandrabilirler. Bu nedenle bu 5 deerli atomlara DONOR ad verilmektedir. ekil 5.6. Donor seviyesi Kristalin band emas zerinde donor balant enerjisi Ed yi gstermek iin iletkenlik bandnn alt kenarndan Ey - Ed kadar aada bir seviye izmek gerekir. Donor seviyesi, bandn srekli yapsndan farkl olarak , sreksiz (diskret) seviyelerdir. Bundan baka bu seviyeler kristal iinde yabanc atomun bulunduu yere bal yerel (lokalize) seviyelerdir. Ana kristalin band emas zerinde ksa bir izgi ile gsterilirler, ekil 5.6.Fosfor, arsenik ve antimon, Si ve Ge iinde , daima ana kristal atomlarndan birinin yerini alarak yerleir. Bu durumda yabanc atom kristal iine SBSTTSYON yoluyla yerlemitir denir.

E

y

E

d

0

Donor seviyesi

Yabanc atom iin bir baka yerleme olana da, kristal iindeki ana rg atomlarn kenarlara iterek araya yerleme biimidir. Byle atomlara NTERSTSYEL atomlar denir, ekil 5.7. rnein Li tek deerli bir atom olmasna karlk Ge ve Si rglerine interstisyel olarak girebilir ve donor grevi yapabilir. SUBSTTSYONEL NTERSTSYEL ekil 5.7. Bir kristal rgs iinde sbstitsyon ve interstisyel yabanc atom yerlemesiHer iki halde de kristal fazla elektron yani negatif akm tayc kazanm olduu iin kristale n-tipi katkl yar iletken ad verilir.

Si rgsne substitsyon yolu ile yerletirilen yabanc atom eer 3 deerli ise (rnein bor, aluminyum, galyum, indiyum gibi) bu durumda yabanc atomun, civarndaki 4 Si atomu ile kovalent ba kurabilmesi iin bir elektronu noksan kalr. Bu elektronu, gerekli enerjiyi harcayarak , yaknlarndaki bir Si - Si bandan alabilir ve yabanc atomun 4 ift ba bylece tamamlanabilir. Bu olay sonu olarak, kristalin valens band iinde bir elektron boluunun olumasna neden olur. Boluk, daha nce grld gibi pozitif bir akm tayc olarak kristale iletkenlik kazandrabilir. Bunu salayabilmek iin rg iinde bir elektronun enerjisini ykseltmek gerekir. Bu nedenle 3 deerli yabanc atomlar bulunan katkl yar iletkene p-tipi yar iletken ; yabanc atoma da elektron tuttuu iin AKSEPTR ad verilir. Pozitif boluun, bir fazla negatif yk bulunan akseptr yaknndaki hareketi, yine hidrojen atomundaki elektronun hareketine benzer. Yani akseptrn iyonizasyon enerjisi byk bir yaklaklkla daha nce tanmlanan bant ile hesaplanabilir. Akseptr iyonizasyon enerjisi Ea diskret bir enerji seviyesidir. Donor seviyesi gibi lokalize bir seviyedir. Ana kristalin band emas zerinde Ev nin Ea kadar zerinde izilen kesikli izgilerle gsterilir, ekil 5.8.

ekil 5.8. Akseptr seviyesinin tanmSi ve Ge NDE 3 DEERL AKSEPTRLERN YONZASYON ENERJLER

BAlGaInSilisyum0.045eV0.057 eV0.065eV0.160eVGermanyum0.0104eV0.0102eV0.0108eV0.0112eV

a

E

akseptr seviyesi

y

E

= 0

v

E

Ea , esas itibariyle bir boluun akseptr atomu yaknndan ayrlmas iin harcanmas gereken enerjidir. Serbest kalan boluk kristalin elektrik iletkenliine katkda bulunacaktr. Bu olay u ekilde de gzmzde canlandrabiliriz. Ea enerjisi valens bandndaki bir elektron tarafndan absorblanr. Elektron Ea akseptr seviyesine kar Akseptr seviyesine bal olan boluk valens bandna iner ve bylece valens bandnda serbest bir boluk meydana gelir. Buradan grlecei gibi, band emas zerinde, bir elektronun enerji kazanmas, onun igal ettii enerji seviyesinin (iletkenlik band dorultusunda) ykselmesi demektir. Buna karlk bir boluk enerji kazannca onun seviyesi (valens band dorultusunda) aa inmektedir.

8.HAFTAEn mkemmel yntemlerle temizlenmi bir Si veya Ge rneinde yabanc atomlarn (kir atomlar) konsantrasyonu yz milyonda bir mertebesine kadar indirilebilmektedir. Bu saflkta bir Si kristalinin cm3 de yine de N = NA .(2.33 / 14). 10 -11 = 1012 yabanc atom bulunuyor demektir. Bu yabanc atomlarn hepsinin 5 deerli bir elementten kaynaklandn ve oda scaklnda bunlarn hepsinin iyonlam olduunu dnrsek cm3 bana 1012 elektron kristalin iletkenliine katkda bulunabilecek demektir. Bu sayy, mutlak saflkta bir Si krtistalinin oda scaklndaki elektron says ile karlatrmak ilgin olacaktr.me* = 0.2 me EF = Ey / 2 Ey = 1,14 eV alarak ,bulunur.

Grlyor ki 5 deerli yabanc elementlerin, oda scaklnda kristale verdii serbest elektron says, asal iletkenlik elektronlar saysndan yakalak 104 defa fazla olmaktadr. Bu sonu, oda scaklnda, asal yar iletkenlik gsterebilecek saflkta bir silisyumun yaplmasnn hemen hemen olanaksz olduunu gstermektedir. Ayn hesap Ge iin (me* = 0,1 me Ey = 0,67 eV ) tekrarlanrsa asal iletkenlik elektronlar konsantrasyonunun 1012 mertebesinden olduu anlalr. Buradan, silisyumdan farkl olarak oda scaklnda asal yar iletken Ge elde edilebilecei anlalmaktadr. Bu dncelerin yalnz donor karakterli yabanc atomlar iin deil , 3 deerli akseptr kirleri iin de doru olduu aktr. Genel olarak kristal yalnz bir eit yabanc atom iermez. letkenlik, kristaldeki donor/akseptr orannn deerine gre deiik oranda elektron (n-tipi) veya boluk (p-tipi) iletkenlii olabilir. Hangi tr akm tayc fazla ise buna ounluk taycs (majority carrier); dierine aznlk taycs (minority carrier) ad verilir. Dier taraftan kristal iindeki her yabanc atomun her scaklkta iyonize olmas gerekmez. yonize olmayan kirler kristalin iletkenliini deitirmez.

inde cm3 bana Nd+ sayda iyonize olmu donor ; Na sayda iyonize olmu akseptr bulunan bir katkl yar iletkenin normal halinde, yani elektrostatik bakmdan ntr halinde iken, pozitif ve negatif yk tayclarnn toplamlar birbirine eit olmaldr. Na ve Nd+ younluklar, Na iyonize olmam akseptr ve Nd iyonize olmam donor yoounluklar kullanlarak Fermi dalm yardm ile hesaplanabilir. Aadaki bantlar hemen yazmak mmkndr. n ve p tipi iin seviye younluu ifadeleri kullanlarak ve valens bandnn st kenarnn enerjisini sfr noktas olarak almak koulu ile,

eklinde yazlabilir. Fermi enerjisi EF yi bu bantdan hesaplamak ok zordur. Ancak zel ve pratikte karlalan baz basit hallerde bu mmkn olur. Aksi takdirde nmerik yntemlere bavurmak gerekir. Aada bu zel durumlardan bazlar incelenecektir. Ancak bu konuya gemeden nce bir kristal iindeki donor-akseptr konsantrasyonlarnn nemli bir termodinamik zelliini gzden geirmek gerekir.

Blm 5.3. de asal bir yar iletken kristalde n elektron younluu ile p boluk younluunu hesaplamtk. Bu iki ifade birbiri ile arplrsa,elde edilir. Bu ifade Fermi enerjisine bal olmayp kimya olaylarnda nem ve faydas byk olan Ktlelerin Etkimesi Yasasna ok benzer ve tamamen ayn anlamdadr. Bir yar iletken kristali iin bu denklemin anlam sabit bir scaklkta elektron ve boluk konsantrasyonlar arpmlarnn sabit olduudur. Ancak ifade Ey - EF >> kT koulu altnda dorudur.Yukardaki ifade asal yar iletkenler iin hesaplanm olmakla beraber kapsam daha geneldir ve kristal iinde elektron ve boluklarn ne ekilde olutuklarna bakmaz. Baka bir deile katkl yar iletkenler iin de geerliliini korur.

Ktlelerin etkimesi yasas pratikte ok nemlidir. rnein bir yar iletken kristali iindeki n elektron konsantrasyonunu bytmek istersek n.p = sabit olduu iin p yi kltmek yeterlidir. Elektron ve boluklarn bu termodinamik zelliinden yararlanarak n+p toplam tayc saysn azaltmak da olasdr. Bunun iin kristal bnyesine uygun bir yabanc (donor veya akseptr) katmak yeterli olur. Bu ileme kompansasyon ad verilir. Kompansasyon sayesinde normal scaklklarda asal yar iletken zelliklerini gsteren kristaller retilebilir. Dikkat edilecek nokta kristal iinde Na Nd olmasn temin etmektir.

Elektron ve boluklarn valens veya iletkenlik bandlarndaki daln Fermi fonksiyonu belirler. Fermi seviyesi EF bilindii takdirde akm tayclarn mevcut seviyelere daln hesaplamak kolaylar. En genel halde, yani iinde llebilir miktarlarda yabanc katklar ieren bir yar iletken cisim iin Fermi enerjisini ancak yukardaki denklemden hesaplamak mmkn olur. Bu da daha nce ifade edildii gibi, nmerik yntemler kullanmay gerektirir. Bu denklem, Fermi enerjisinin deeri zerinde, asal yar iletkene ait elektron ve boluklarn konsantrasyonu ile scaklktan baka , iyonize olmu donor ve akseptrlerin konsantrasyonlarnn da etkisi olacan gstermektedir. ekil 5.9, bir ka konsantrasyonda n ve p tipi germanyum iin yaplan hesaplamalarn sonularn gstermektedir. ok alak scaklklarda kristal iinde akm tayc olarak yalnz katk elektronlar (veya p-tipi malzemede yalnz boluklar) mevcuttur. Bu scaklklarda EF iletkenlik alt kenar ile Ed arasnda ( p-tipi malzemede valens band kenar ile Ea arasnda) bulunmaktadr. Scaklk arttka nihayet btn donor (akseptr) atomlar iyonize olur. Ayrca asal akm tayc says da bydnden EF , donor iyonizasyon seviyesi Ed yi aarak yasak blge ortasna doru alalr, ( p-tipi malzemede EF , Ea y aarak yasak blge ortasna doru ykselir). Yeter derecede yksek scaklklarda asal iletkenlik

ekil 5.9. n ve p tipi Germanyumda scakla bal olarak Fermi enerjisinin deimesi.

0.0

0.2

0.4

0.6

.

E

y

E

d

E

a

19

N = 10

d

.

N

d

=10

17

.

N

d

=10

15

Asal Ge da

.

N

a

=10

15

.

N

a

=10

17

.

N

a

=10

19

100

200

300

400

500

o

K

Scaklk

Enerji (eV)

elektronlar katk elektronlarna sayca galip gelmeye balar ve Fermi seviyesi asal yar iletkendeki yerine yaklar. Bu da daha nce grdmz gibi hemen hemen yasak blge ortasdr. ekil 5.9 ayrca n ve p tipi malzemede , Fermi seviyelerinin simetrik bir deime gsterdiklerini aklamaktadr. Fermi seviyesinin bu davrann uygulamada karlalan bir ka durum iin kantitatif olarak incelemekte yarar vardr.Bu durumda iletkenliin nemli ksmnn donor elektronlar ile salandn syleyebiliriz. Na = 0 ; p = 0 dr. Bir yar iletkende donor konsantrasyonu rnein 10 milyonda bir orannda ise bu durum mevcut demektir. Byle bir kristalin iletkenlik bandnda igal edilebilir seviye says, donor atomlar saysndan ok fazla olaca ve scakln da ok alak olmamas nedeniyle donorlarn ounun iyonize olduklar kabul edilebilir, yani Nd+ Nd alnabilir. Bu artla,

eklinde basitleir. Buradan,yazarak Fermi enerjisi iin aadaki ifadeyi buluruz.

Bu zel hale rnek olmak zere elimizde fosfor katkl germanyum bulunsun. Fosforun konsantrasyonu 1 / 107 kabul edelim. Oda scaklnda ( T = 300 oK , kT = 0,025 eV) Fermi enerjisi, elektron ve boluk konsantrasyonlar ile kristalin spesifik direncini hesaplayalm. Daha nce verilen cetvellerden yararlanarak ve me * = 0,1 me kabul ederek asal elektronlarn seviye younluu iin elde edilir. Fermi enerjisi ise,

olarak hesaplanr. ekil 5.10 bu zel hal iin band emasn gstermektedir. ekil 5.10. n-tipi germanyumda Fermi seviyesi.

=0,56 eV

F

E

=0,658 eV

d

E

E

y

= 0,67 eV

Enerji (eV)

.8

.6

.4

.2

0

Bu germanyum rneinde elektron konsantrasyonu dir. Yani mevcut fosfor atomlarnn % 98 i oda scaklnda iyonize haldedir. Boluk konsantrasyonuna gelince, kristalde akseptr atomlar bulunmad iin yalnzca asal boluklar hesaplamak yeterli olur.

denklemini kullanabiliriz. (Buradaki hesap iin mb* = me* almak bir saknca tekil etmez. nk, p'nin byklk mertebesi aranmaktadr.).bulunur ki, 1016 elektron yannda bu sayda boluun elektrik iletkenliine katks kolayca ihmal edilebilir. Bylece balangta yaplan kabuln doruluu gereklenmektedir. Yani kristalin iletkenlii yalnz donor elektronlar tarafndan salanmaktadr. Ayn rnein spesifik direnci de tahmin edilebilir. Bunun iin germanyumda elektron mobilitesi olan e = 3800 cm2/ V.s deerini ihtiyatla kullanabiliriz. Bu koullarla, zdirenci,

olarak elde edilir. Bu hesapta elektron mobilitesini asal germanyumdaki deere eit almakla u fizik olaylarn ihmal etmi oluyoruz.1.)Elektronlar kristal iinde ilerlerken kristal titreim kuantlar (fononlar) tarafndan salrlar.2.)Yabanc atomlar (fosfor) tarafndan salrlar.3.)Yabanc (fosfor) iyonlar tarafndan salrlar. Bu etkilerin hepsi mobiliteyi kltecek karakterdedir. rnekteki koullar altnda mobilite yaklak olarak % 50 kadar daha kk olabilir. En iyisi bu mobiliteyi dorudan doruya lmektir.

Yine Na = 0 , p = 0 kabul edilebilir. Bu scaklkta asal elektronlardan hemen hemen hi biri serbest deildir ve donorlarn ancak ok az iyonize olmutur, (Nd+

yazlabilir. Buradan,ve Fermi enerjisi iin,elde edilir. Bu denklemde gze arpan en nemli zellik , T 0 oK yaknlarnda Fermi enerjisinin, iletkenlik band alt kenar ile donor enerjisinin ortasnda bulunmasdr. Scaklk ykseldike Fermi seviyesi, pek az bir ykselmeden sonra dmeye balar.

Saysal rnekleme iin 1/107 orannda fosfor katkl n-tipi germanyumda 5, 10, 30 ve 40 oK deki Fermi enerjileri karlatrlabilir. cm-3Cetveldeki hesaplamalarda Nd = 1016 cm-3 , Ed = 0,670 - 0,012 = 0,658 eV kabul edilmitir. (Ey - Ed) / 2 = 0,664 eV dur. Gz nne alnan scaklk blgesinde Fermi enerjisinin iletkenlik band alt kenarndan 0,008 eV dan daha aaya dmedii grlmektedir. Bunun fiziksel nedeni, bu scaklklarda germanyumun asal elektronlarnn yeteri konsantrasyona ulaamam olmalar , mevcut elektronlarn hemen hepsinin fosfor atomlarnn iyonizasyonundan ileri gelmi olmasdr.

T(oK)kT(eV)Dzeltme Terimi (eV)EF (eV)

50,000431,72.1015+ 0,000380,6644100,000864,85.1015+ 0,000320,6643300,002582,52.1016- 0,001200,663400,003443,90.1016- 0,002340,662

Burada gz nne alnan yar iletkende az miktarda hem donor hem de akseptr katks bulunsun. ki katk arasndaki konsantrasyon fark asal akm tayclar (asal elektron ve boluk) konsantrasyonu yannda kk kalsn, yaniNd - Na

eklini alr. Dier taraftan n elektron konsantrasyonunu,eklinde yazabiliriz. Burada EF0 asal yar iletkene ait Fermi enerjisi,ifadesi ise ayn scaklkta asal elektron konsantrasyonu anlam tarlar. Baka szlerle gz nne alnan malzemedeki elektron konsantrasyonunun, asal elektron konsantrasyonu cinsinden

eklinde yazmak mmkndr. Boluk konsantrasyonu p yi ktlelerin etkimesi yasasndan yararlanarak hesaplayabiliriz. Gerekten, n.p = n02 ile,bulunur. imdi yklerin dengesi ifadesini yazabiliriz.

Balangta kabul edildii gibi (Nd - Na

Boluk konsantrasyonu,eklinde elde edilir. Hemen hemen kompanse edilmi bir yar iletken olarak iinde 10-11 konsantrasyonunda fosfor; 1,1.10-11 konsantrasyonunda bor bulunan bir germanyumu inceleyelim. Bu malzemede oda scaklnda ( T = 300 oK kT = 0,025 eV) asal elektron younluu,

ve me* = 0,1 me Ey = 0,67 eV EF0 = 0,335 eV deerlerini kullanarak,elde edilir. Dier taraftan

olduundan Fermi enerjisi,olarak elde edilir. Elektron konsantrasyonu,n = 1,22.1012 - 5.1010 = 1,17.1012 cm-3Boluk konsantrasyonu,p = 1,22.1012 + 5.1010 = 1,27.1012 cm-3deerindedir. p-tipi bir yar iletken karakterinde olan kristalin band yaps ekil 5.12 de izilmitir.

NOT : Bu rnekte donor ve akseptr iyonizasyon enerjileri Ed ve Ea nn hesaplara girmemesi dikkati eker. Bunun nedeni oda scaklnda, iyonizasyon enerjileri ne olursa olsun her iki tr katk atomlarnn da tamamen iyonize olmu olmalardr. Gerekten, mesela donor olarak katlan malzemenin fosfor (Ed = 0,012 eV) veya antimon (Ed = 0,0096 eV) olmas bunlarn iyonizasyon oranlarnda hissedilir bir deimeye sebeb olmaz. Nd+ Nd her iki donor iin de dorudur.ekil 5.12

Enerji (eV)

F0

E

= 0,334 eV

F

E

0,6

0,4

0,2

0,0

9.HAFTAYar iletken malzemenin temizlik derecesi ve kristallografik yap dzgnlnn bir malzemenin fiziksel, zellikle elektrik zellikleri zerine ok byk etkisi vardr. ok az konsantrasyonda yabanc bir katknn bir yar iletkenin elektrik iletkenliini ne kadar iddetle etkilediini daha nce grmtk.Belirli bir yar iletken alet (diyot, transistr, nkleer dedektr gibi) yapm iin hazrlanacak malzemenin o i iin gerekli spesifikasyona sahip olup olmadnn bilinmesi ok nemlidir. Bu spesifikasyon kristalin iletkenlii, ounluk tayclarnn tr ve konsantrasyonu, bunlarn mobiliteleri, aznlk tayclarnn mr, yasak enerji aral gibi parametrelerden oluur. Band aral Ey nin nasl tayin edileceini daha nce grmtk. Fermi enerjisinin elde edilmesi ise bir nceki ksmda tartld. Aada yar iletken malzemenin parametrelerinden bazlarnn llmesinde kullanlan denel l yntemleri incelenecektir.

Eldeki malzemenin ekli dzgn ise (rnein dikdrtgen prizma gibi) ve boyutlar hassas olarak llebiliyorsa, z direncin veya iletkenliin llmesinde byk bir zorluk yoktur. z diren,R = (L/A)bants yardmyla tayin edilir. Burada R malzemenin llen direnci, L boyu, A kesitidir. Fakat uygulamada karlalan, malzemenin genellikle hem boyutlarnn kk olmas hem de geometrik ekle sahip olmamasdr. Ayrca byk paralar halinde olan malzeme iletkenlik asndan homojen olmayabilir. Bu nedenle ok defa mm boyutlarnda paralar zerinde iletkenliin llmesi gerekir. Kk ve prizma halinde olmayan paralar iin yukardaki forml kullanmak mmkn olmaz. Uygulanacak yntemde kenar etkilerinin asl ly bozmamasnn salanmas gerekir. Bu zorunluluk nedeniyle z iletkenliin llmesinde zel yntemler gelitirilmitir. Bunlardan en ok kullanlanlardan biri DRT NOKTA YNTEM olarak bilinir. ekil 5.13 l ynteminin prensiplerini aklamaktadr.

Bir doru zerine tespit edilmi eit ve d = 1 mm aralnda 4 sivri u kristale iyice temas eder. Dta kalan iki u arasndan bir i akm geirilir. Ortadaki ular arasnda V potansiyel fark llyorsa z diren,

dzeltme faktr erisi.

ekil 5.13. Drt nokta yntemi. Deney emas ve kalnlk

5

0,5

W/d

)

d

w

R(

1,0

0,5

0

10

1

0

I

V

d

d

d

w

dir. Sonsuz genilikte kaln bir rnek iin ohm yasasndan elde edilen bu denklem, ular en yakn kenardan 3d kadar uzakta bulunduu zaman olduka doru sonu verir. Kk ve kalnl w olan dzlem yzeyli paralar iin bu ifade w/d ye bal bir dzeltme terimi ile arplmaldr. inden i elektrik akm geen bir iletken, i dorultusuna dik bir magnetik alan iine konursa iletken zerinde i ve B ye dik bir elektrik alan oluur. E.H. HALL tarafndan metallerde kefedilen bu olay Hall Olay olarak bilinir, (E.H. Hall., Am. J. Math. 2 , 287 (1879)). Yar iletkenlerde ounluk tayclarnn cinsini ve konsantrasyonunu tayin iin bu olaydan yararlanlr. Metod son zamanlarda yaltkanlarda da kullanlmtr.

ekil 5.14 deki gibi, boyutlar X, Y ve Z olan bir iletken alalm. letkenin X boyutu dorultusunda bir ix akm geirelim. Z dorultusunda da bir Bz magnetik alan varsa iletken iinde hareket eden ve x dorultusundaki ortalama hzlar vx olan akm tayclar (elektronlar veya boluklar) elektromagnetizma yasalar uyarnca y dorultusunda olan bir kuvvet etkisi altnda yollarndan saparlar. Bunun sonucu, rnein y dorultusunda polarize olmasdr. Baka szlerle y dorultusunda bir Ey elektrik alan oluur. ix ve Bz sabit iseler Ey alan, akm tayclar zerindeki Lorentz kuvveti e.E ye eit oluncaya kadar artar ve o deerde sabit kalr. Yani,

olur.

ekil 5.14. Hall olay. (siyah ksmlar ohmik kontaktlar gstermektedir. Kristalin iki kenarndaki kntlar, ix akm izgilerinin yollarnn gerilim lme elektrodlar tarafndan bozulmasn nlemektedir.

V

i

x

E

y

B

z

X

Y

Z

+

+

+

+

+

+

x

z

y

Hall sabiti, akm younluu jx ve magnetik alan Bz nin birimleri bana hasl olan Ey alan olarak tanmlanr. ve ile gsterilir. Akm younluu birim yzeyden birim zamanda geen elektrik yk demek olduundan jx = ix / Z.Y = n e vx veya jx = p e vx eklinde yazlabilir. Burada n ve p birim hacimdeki akm tayc younluu , e ise bunlarn elektrik ykdr. Pozitif akm tayclar iin Hall sabiti, Ey denklemini kullanarak, ve negatif akm tayclar (elektronlar) iin,

olur. ( vx, Bz ye dik olduu iin vx X Bz = vx Bz .Sin (x,y) = vx.Bz yazabiliriz.)Denel olarak llen byklk, Hall potansiyeli,VHall = Ey . Y

dir ve ekil 5.14 yardmyla, Kristalin Y, Z boyutlar , geirilen ix akm ve Bz magnetik alan bilindiinden llen Hall voltaj yardmyla elde edilir. p ve n ifadelerinden grlecei gibi , , ounluk tayclarnn cinsi hakknda (Ey veya VHall 'n ynnden) fikir verdii gibi n veya p tayc konsantrasyonunu da bu sabit yardmyla saptamak mmkndr.

p ve n ifadeleri, esas itibariyle, akm tayclarnn tamamen serbest olduu kabul edilerek kartlmtr. Bu bakmdan bu ifadeler ancak metaller iin dorudur. Yar iletkenlerde durum biraz farkl olup, yukardaki ifadelerin verdiinden biraz daha byktr. Bunun nedeni, tayclarn kristal iindeki ortalama yol uzunluklarnn hza bal olmasdr. Fakat aradaki nispeten kk (yaklak % 20) fark ihmal ederek bu denklemleri yar iletkenler iin de kullanabiliriz.

10.HAFTAMobilite, birbirinden farkl iki yntemle llr. ounluk akm tayclarnn mobilitesinin tayininde kullanlan birinci yntemde tayc konsantrasyonu ve z iletkenlik ayn zamanda llerek mobilite elde edilir. Dier yntem mobilitenin tanmna dayanan direkt ve elektronik bir yntemdir. Aznlk tayclarnn mobilitelerini lmekte kullanlr. Mobilite ile z iletkenlik arasndaki bant,eklindedir. letkenlik balca bir eit tayc tarafndan salanyorsa mobiliteyi,

eklindedir. ekil 5.14 deki gibi bir kristal bloku zerinde denel yoldan llebilen byklklerle ve, elelde edilir. Bu ekilde llen mobiliteye Hall Mobilitesi denir. Bu tr mobilite llerinde dikkat edilecek nokta, sonucun yalnz bir cins taycnn mevcut olduu hallerde doru olmasdr. Birbiri ile kyaslanabilir mertebede her iki cins akm taycsndan da kristalde bulunuyorsa o zaman Hall potansiyelleri ayn mertebeden birbirlerini yok ederler. Mobilite ls de doru olmaz. Hall olay yntemi ile llen daima ounluk mobilitesidir.

Aznlk mobilitesini, tayclarn birim elektrik alan iindeki hzlarn lerek tayin etmek mmkndr. v hz elektronik yoldan, E elektrik alan bir gerilim okumak suretiyle geometri yardmyla llr ve mobilitesi,tanm ifadesinden hesaplanr.Deney yle yaplr. Kristal rnei iine bir elektrod yardmyla t = 0 annda bir miktar aznlk taycs injekte edilir. Kristal iinde ilerleyen bu tayclarn baka bir elektroda ulamalar iin geen zaman llr. Kullanlan deney dzenei ekil 5.15 de gsterilmitir.

ekil 5.15. Aznlk tayc mobilitesinin llmesi Yar iletken rnek, rnein p-tipi germanyum iinden, ulardaki ohmik elektrodlar yardm ile bir doru akm geirilir. Bu akmn tayclar doal olarak kristal rgsndeki ounluk tayclar, yani boluklardr. rnee, sivri u eklinde, bir doru zerinde bulunan drt adet kontakt yerletirilmitir. teki kontaktlardan biri bir puls jeneratrne, dieri bir ossiloskopa ; dtaki ular ise mmkn olduu kadar az akm eken bir voltmetreye veya baka bir ossiloskopa baldr.

i

c

e

V

+

JENERATR

PULS

OSSLOSKOP

R

2

d

1

d

T

Puls jeneratr dzgn aralklarla ksa, rnein negatif akm pulslar (darbeleri) retir. Bu ekilde, rneimizdeki p-tipi Ge iinde, dzgn aralklarla negatif akm tayclar (elektronlar) oluturulmu olur. Bu durumda jeneratre bal u akm taycs vericisi emitter grevi yapyor demektir. rnee bal olan akm kaynann polaritesi bu elektronlar sadaki elektroda doru sprecek yndedir. Doal olarak bu srada ounluk tayclar sadan sola doru hareket etmektedir. Elektronlar e den c ye giderken iki fizik olaynn etkisi altndadr. Bunlardan biri, uygulanan elektrik alan ( V / d2 ile llr) etkisi ile saa doru, topluca sreklenme (drift) ; dieri rg iindeki salmalar etkisi ile genileyen bir bulut gibi difzyona uramasdr. nc ve nemli olay rekombinasyondan ileride bahsedeceiz. c' ye ulaan elektronlar bu elektrod tarafndan toplanr. Bu nedenleye c ye toplayc elektrod collector ad verilebilir. Ossiloskop zerinde hem balang pulsunu hem de bir sre sonra, difzyonla genilemi elektron pulsunu grmek mmkndr. Bunun iin ossiloskopun sprme voltajn puls jeneratr ile senkronize etmek ve sprme frekansn iki puls arasnda geen sreyi rahata grebilecek bir deere ayarlamak yeter.

ki pulsun maksimumlar arasnda geen zaman T, elektronlarn e den c ye gelmesi iin geen zamandr ve ossiloskop sprme hz yardmyla kolayca llebilir. Hz ise d2/T olduundan,mobilite,forml ile hesaplanr. Bu yntemi n-tipi bir yar iletkene uygulamak iin puls jeneratr , kristale pozitif akm pulslar uygulayacak ekilde altrlr ve akm kaynann polaritesi deitirilir. Elde edilecek mobilite aznlk akm taycs boluklarn mobilitesidir.

11.HAFTAHall sabiti, yar iletkenlerde scakla bal olarak iddetle deiir. Bunun nedeni ounluk tayclar konsantrasyonu n veya p nin scakla iddetle bal olmasdr. Oda scaklnda kristal iinde katk atomlarnn hemen hemen tamam iyonize olmu durumda bulunur. Scaklk azaldka tayc konsantrasyonu da hzla azalr. Tayc konsantrasyonunun scakla bal olarak llmesi donor veya akseptr iyonizasyon enerjisinin tayinine olanak verir.n-tipi bir yar iletken iin daha nce incelenen problem sonularndan yararlanabilir ve Ed iyonizasyon enerjisinin (veya Ey - Ed nin ) l yntemini gzden geirebiliriz. ok alak scaklklarda ilettkenlii salayan elektron konsantrasyonu iin

yazabiliriz. Burada,ksaltmas kullanlmtr. (G nin fizik anlam asal malzemenin iletkenlik bandndaki effektif seviye younluudur). Fermi seviyesi EF de ayn rnekten alnabilir. Bu deer yukardaki denklem iine alnrsa ,

elde edilir. Bu ifade n-tipi malzemede ounluk tayclar olan elektron konsantrasyonunun , alak scaklklarda, T ile eksponansiyel olarak arttn gstermektedir. Deneyde Hall sabiti scakla bal olarak llr ve buradan hesaplanan elektron konsantrasyonu n nin logaritmas T-1 in fonksiyonu olarak izilir. erisinin eiminden (Ey - Ed) elde edilir. Ey asal, (ayn zamanda n-tipi) malzemenin yasak enerji aral, yani bilinen bir sabit olduundan, elde edilen denel sonu donor iyonizasyon enerjisi Ed dir. Daha nce verilen deerler bu ekilde elde edilmitir. ekil 5.16, donor olarak arsenik ieren silisyumda yaplan bir l sonucunu gstermektedir. p-tipi malzeme iin (Nd = 0) de buradaki dnceleri uygun deiikliklerle uygulamak ve akseptr iyonizasyon enerjisi Ea y lmek olasdr.

ekil 5.16. Arsenik dopingi ieren silisyumda donor iyonizasyon enerjisinin llmesi (F.J.Marin - J.P.Maita Phy.Rev. 96 , 28, (1954)).

10

10

10

11

10

12

10

13

10

14

10

15

10

16

n(cm

-3

)

0,01

0,02

0,03

0,04

400

200

100

50

40

30

25

T (

o

K)

1/T (

o

K

-1

)

100 oK den daha yukar scaklklarda btn donor atomlar iyonize olduu iin n sabit kalmaktadr. Erinin eiminden hesaplanan Ey - Ed = 0,048 eV dur.Asal veya katkl yar iletken sabit scaklkta ise iindeki akm tayclar konsantrasyonlar da sabittir. Ancak, bu denge konsantrasyonlarnn , scaklk sabitken dahi, d etkilerle deitirilmesi mmkndr. rnein yar iletken kristale uygun ekilde temas ettirilen ve ounluk tayclarnn tersi iarette polarize edilmi bir sivri ucun oluturduu kuvvetli elektrik alan yardmyla kristalde aznlk tayclar meydana getirilebilir. Bunun gibi, enerjileri yasak enerji aralndan daha byk fotonlar absorblatmak suretiyle kristalin valens bandndan bir ksm elektronlar iletkenlik bandna kartmak olasdr. Bir baka olanak da kristali hzl ve ykl paracklarla veya nlar ile bombardman etmektir.

Valens bandndaki bir elektron iletkenlik bandna geince bir serbest elektronla bir de boluk olumu demektir. Bunlarn her ikisi de iletkenlie katkda bulunurlar. D etkiyle uyartlan elektron (veya boluk) eer rg iindeki yabanc atomlardan birine bal ise iletkenlik bandna (veya valens bandna) geer ve yalnz bir eit tayc olumu olur. Bu tayc genellikle ounluk taycsdr. D uyarma ortadan kalktktan bir sre sonra yeni serbest tayclar eitli yollardan tekrar birleir. Bu olaya rekombinasyon denir. ekil 5.17. Foton absorbsiyonu yoluyla elektron yaratlmas.(1) Absorbsiyon(2) Dorudan rekombinasyon(3) Bir lokalize seviye yoluyla rekombinasyon.

h

f

1

2

3

E

v

E

i

E

y

Aznlk tayclarnn yaratlmas (generasyonu) esnasnda katkl yar iletkenlerin ounluk tayclar says farkedilir derecede deimez. nk bunlarn konsantrasyonu daima ok byktr. Baka bir deile kristalde oluturulan ilave tayclar dolaysyla yk dengesini korumak iin elektron ve boluk konsantrasyonlarnda meydana gelmesi gereken deiiklik ihmal edilir ve yalnz yeni tayclara (aznlk tayclar) nem verilir. Aznlk tayclar, rnein mobilite deneyinde olduu gibi , bir d elektrik alan etkisi ile hareket ederken , bir taraftan da difsyon ve rekombinasyon olaylar etkisi altnda yaylr ve azalrlar. Mobilite deneyindeki dzenek yardmyla aznlk tayclarnn ortalama mrleri llebilir. Bunun iin rnein ekil 78 deki R direncini deitirerek i akm deitirilir. Bylece deiik sprme alan iddetleri etkisi altnda tayclarn e den c ye gitmeleri esnasnda geen sre llr. Gei sresi bydke i dt klr. Rekombinasyon yoluyla zaman biriminde azalan tayc says, balangya oluturulan say ile orantldr. rnein n-tipi malzeme iin,

veya p tipi malzeme iin yazlabilir. Bu denklemlerin zm,eklindedir. Tn = 1 / n ve Tp = 1 / p ye tayclarn ortalama mr denir. Deneyde puls alannn logaritmas zamann fonksiyonu olarak izilir. Elde edilen dorunun eimi T yi verir.

ekil 5.18. Aznlk tayclarnn ortalama mrlerinin tayini.

0

t

3

t

t

2

t

1

3

Log n

2

Log n

1

Log n

t

Log n

akm

aznlk

akm

ounluk

3

n

2

n

1

n

n

0

n

0

n

0

t

3

t

2

t

1

t=0

t

i

Baka bir l, aznlk tayclarn yukarda akland gibi, optik yntemle oluturduktan sonra ani olarak kesmek kristalin iletkenliini zamana bal olarak lerek yaplr. letkenliin azalmas yine eksponansiyeldir. Tayc mr ekil 5.18 dekine benzer ekilde tayin edilir. ok saf ve kristallografik yaps mkemmel bir kristalde T milisaniye mertebesine kadar kar. T mr, yar iletken malzeme kullanlarak yaplan dzeneklerin karakteristiklerini byk ld etkiler. Bu yzden kullanlacak malzemede bu sabitin iyi bilinmesi gerekir.

12.HAFTAKat cisimlerin yaplar, onlar oluturan atomlar arasndaki uzaklklar mertebesinde , yani Angstrm mertebesinde dalga boyu olan nlar yardm ile incelenebilir. Bu nlar fotonlar olabilecei gibi hzlandrlm elektronlar, ntronlar ve protonlar da olabilir. Kristallerin Rntgen nlar iin bir difraksiyon rgs gibi kullanlabileceini ilk dnen ilk Fiziki Max von Laue (1912) dir. Bu dnce Laue'nin iki gen asistan Friedrich ve Knipping tarafndan uygulanmtr. Bir tek kristal zerine drlen ince ve mono kromatik olmayan bir Rntgen n demetinin ancak belirli dorultularda sald saptanmtr.

ekil 6.1. Laue DzeneiRntgen nlarnn zelliklerini tespite alan Cambridge niversitesi almalar renilince , W.L.Bragg ve babas W.H.Bragg bu almalar ve deneylerle ilgilenmiler ve KCl, NaCl gibi kristaller zerinde rntgen nlar ile difraksiyon deneylerine balamlardr.

Fotoraf plaklar

kristal

kolimatr

demeti

x-n

Rntgen nlarnn dalga boylar, rntgen tp zerine uygulanan V anot gerilimi yardmyla tahmin edilir. Tpn yaynlad en ksa dalga boyu min ile V arasndaki bant, bilindii gibi,eklindedir. Yine bilindii gibi, bir rntgen tpnde antikatoda arptrlan elektronlarn btn enerjileri rntgen fotonlarna harcanmaz. Enerjinin bir ksm, sonunda, s enerjisi halinde gzlenen kayplara urar. Bu nedenle frenleme nlar (Bremsstrahlung) spektrumu sreklidir. Ancak kk iddette bir ksm fotonlar en byk enerji , yani min ile tpten kar. nemli olan baka bir olay da antikatoda hzla arpan elektronlarn, bu elektrodun yapld malzemenin atomlarn uyartmasdr. zarf elektronlarnn koparlmas sonucunda oluan ve dalga boylar min dan daima byk olan, bu kesikli spektrum antikatod metalinin karakteristik spektrumudur, ekil 6.2.

ekil 6.2. 170 kV ile alan Wolfram antikatodlu bir Rntgen tpnn spektrumuAtom fizii antikatod olarak kullanlan metalin atom numaras z ile , ayn spektral izgi alnmak koulu ile, Rntgen nnn frekans nn karekk arasnda lineer bir bant olduunu gstermektedir, Moseley Yasas. Elektron ve ntron gibi ykl veya yksz paracklar da bir ok hallerde, mesela hzla bir kristal iinde ilerlerken dalga karakteri gsterirler. mpusu (p = m.v) olan bir parack , dalga boyu,

min

K

K

K

K

iiddet

o

A

0,3

0,2

0,1

dalga boyu

olan bir dalga gibi davranr. Enerjisi E = p2 / 2m olan bir paracn de Broglie dalga boyu , buna gre,bantsndan hesaplanabilir. Pratik bir forml elde etmek iin E , eV ; paracn ktlesi gram olarak alnrsa , dalga boyu Ao olarak, Elektronlar iin, Ntronlar iin,bulunur.

Elektronlar, madde iinde enerjilerini pek abuk kaybeder, yani iddetle absorblanr. Bu nedenle ancak ince tabakalarn ve yzeylerin incelenmesinde kullanlabilirler. Ntronlar ise hemen hemen atomlarn yalnzca ekirdekleri ile etkileirler. zellikle z si kk olan atomlarn , kristal yapsndaki, yerlerinin incelenmesinde ok yararl olurlar. Ntronlarla difraksiyon ancak kuvvetli kaynaklarla kolay gzlenebilir. Bu nedenle nkleer reaktrler en uygun kaynaklardr. Ntronun elektrik yk olmamasna ramen magnetik momenti protonunkine yakn bir byklktedir (proton = + 2,79 ntron = - 1,91 nkleer magneton). Bu zellik , kristallerin magnetik yaplarnn incelenmesinde kullanlr.

13.HAFTAekil 6.3.Bragg Yansma yasasnn karlmas ekil 6.3 deki gibi, bir kristalin herhangi bir (hkl) dzlemine dik bir kesiti gz nne alalm. Bu yzeyler zerine bir Rntgen n dalgas dzlemle as yapacak ekilde gelsin. Inn elektrik vektr (hkl) zerindeki atomlarn elektronlarn etkiler ve

B'

(hkl)

hkl

d

A'

2'

1'

2

1

B

A

onlar kendi frekans ile titremeye zorlar. Bylece her atom bir segonder x-n kayna haline gelir. Genellikle x-nlar madde tarafndan pek fazla absorblanmad iin, ilk (hkl) dzlemi zerindeki atomlar gibi, arka arkaya bir ok (hkl) dzleminin atomlar da ayn Rntgen n demetini grrler. lk dzlem zerindeki atomlardan asyla kan btn sekonder nlar, dalga cephesine ait, rnein bir A noktasndan A' ye ve B noktasndan B' ye giderken ayn uzunlukta yol katederler. Yani bu nlar ayn fazdadr. Bu nedenle (hkl) dzlemi, ok zayf gmlenmi ayna gibi, nlar yanstm olur. Geli as gidi asna eit olan bu eit yansmaya aynasal veya spekler yansma denir. Her bir dzlemden spekler olarak yansyan Rntgen enerjisi ok azdr. Yansyan enerjinin byk olmas yani asl gzlenebilir difraksiyon demetinin olumas, arka arkaya bir ok (hkl) dzleminin ayn fazda rntgen nn yanstmas ile gerekleir. ekil 4 de alt alta iki dzlemden yansyan 1 ve 3 demeti arasndaki yol fark , 2 d(hkl) .Sin , nn dalga boyunun tam kat n ya eit olursa A' ve C' cephe dzlemine ayn fazda varrlar.

ekil 6.4 Bu ifade Bragg Yasas olarak bilinir. Bu denklemden hemen grlr ki x-n difraksiyonunun olabilmesi iin

hkl

d .sin

(hkl)

hkl

d

C'

A'

3'

1'

3

1

C

A

olmaldr. Bu, grnr kla kristal rglerinde difraksiyon yaplamamasnn tek nedenidir. RNEK:Bakr antikatod , K = 1,541 Ao , Kbik NaCl kristali, d100 = 5,64 Ao . Bu deney verilerinde 1. mertebe (n = 1) difraksiyonu; = Arc sin (/2d) = arc sin (1,541/11,28) 7o 53'asnda gzlenir.Bragg yasasnn rettii nemli bir nokta gelii gzel bir asyla kristal zerine drlen x-n demetinin genellikle yanstlmayacadr.

Bragg koulunun denel olarak yerine getirilebilmesi iin ya y veya asn deitirmek gerekir. Kullanlan yntemler genellikle nn taranmasna dayanr. Aada, en ok kullanlan 3 yntem zet olarak aklanacaktr.LAUE YNTEMekil 1 de grld gibi bir kurun klfta (zrhta) alm ok ince bir delikten geirilerek ince demet haline getirilmi rntgen nlar kristal zerine drlr. Inlar yaklak olarak 0,2 ile 2 Ao arasnda srekli spektruma sahiptir. Sabit duran tek kristal iinde eitli dzlemler, Bragg koulunu yerine getiren dalga boylarnda yansma yapar ve demet ynnde n ve arkaya yerletirilen fotoraf plaklar zerinde noktalar eklinde karartma oluturur. Bu noktalar kristalin simetrisini de gsteren bir motif olarak deerlendirilir, ekil6.5.

ekil6. 5 . inkoblendi (ZnS) LAUE diyagramLaue yntemi en ok kristal eksenlerinin tayininde kullanlr. Kristal yap tayinlerinde hemen hemen hi kullanlmaz, nk kullanlan x-n spektrumundaki bir ok dalga boylar , eitli dzlemlere ait noktalarn st ste gelerek ekli kartrmasna neden olur. Bu da analizi gletirir.

ekil 6.6. Dnen kristal yntemi dzenei ve film banyo edildikten sonra elde edilen desen. Bu yntemde bir tek kristal bir monokromatik (tek renkli) demet altnda, bir eksen etrafnda dndrlr. Dnme esnasnda deien , Bragg kouluna uyan dzlemlerin birer nokta eklinde ayr ayr bir film zerinde toplanmasn salar ekil 6.6 Film ekseni, dnme ekseninin ayn olan bir silindir eklindedir.

Dnen kristal yntemi bir kristalin birim hcre boyutlarnn tayininde stn kolaylklar salar. Baz durumlarda kristale, devaml (360 derecelik) dnme yerine 3 - 5 derecelik salnmlar yaptrlr. Bylece st ste gelen difraksiyon noktalarnn daha kolayca tanmlanmas salanr. Dnen kristal ynteminin bir deiik eklinde kristal ossilasyon yaparken film silindiri de ekseni boyunca yukar aa hareket ettirilir. Weissenberg dzeni denilen bu sistemde farkl dzlemlerin farkl mertebelerdeki difraksiyon noktalarnn st ste gelmeleri nlenmi olur.

ekil 6.7. Debye-Scherrer Yntemi dzenei ve filmin banyo edildikten sonraki durumuBu yntemde ince toz halindeki rnek, rnein jelatinden yaplm amorf bir tp iine konur. Monokromatik x-n demeti bunun zerine drlr. Tozu tekil eden ok saydaki kristalcik her nn, rnei tekil eden kristal eidi iin, taranm olmasn salar. Silindir paras geometrisindeki film zerinde daire halkalar eklinde difraksiyon izleri kar ekil 6.7.

film

film

x-n

rnek

Debye-Scherrer metodu ntron demetleri ile de uygulanabilir. Ancak bu durumda film yerine ntron dedektrleri kullanlmaldr. Yaklak 1 mm boyutundaki olduka byk tek, kristal halinde elde edilemeyen maddelerin toz halinde llebilmesi byk avantaj salar Ergitilmi haldeki metallerde veya alamlarda metallurjik faz deimelerinin incelenmesinin bu yntemle kolayca yaplabilecei unutulmamaldr.

14.HAFTABir atomun, zerine den nlar samas, zerindeki elektronlarn saysna baldr. Her atomun bu zellii bir f salma faktr veya form faktr ile belirlenir. Bir dzlem zerindeki atomlarn salma genliine katklarn hesaplarken yalnz bir birim hcre iindeki atomlar hesaba katmak yeterli olur. Bu yaplrken, atomlarn bulunduklar yerlerin birbirlerine gre relatif koordinatlarnn da gz nnde tutulmas gerekir. nk salan dalgalar arasndaki faz bantlar, bu dalgalarn kayna olan atom merkezleri arasndaki uzakla bal olduu gibi dorultuya da baldr. Bu etkiyi belirtmek zere yap faktr (form structure) denilen bir katsay tanmlanr. Bir birim hcre iinde N tane atom varsa yap faktr,

ifadesiyle verilir. (xn , yn , zn) n sayl atomun birim hcre iindeki koordinatlardr. e 2i (hxn+kyn+lzn) faktr n atomu tarafndan salan radyasyonun relatif fazn gsterir. rnein NaCl iin yap faktrn , bu kristalin ekil 8 de gsterilen kltlm elemanter hcresi yardm ile hesaplamak olasdr. Bu hcrede 4 Na, 4 Cl atomu vardr. Bunlarn koordinatlar, Na atomlar 000, 1/2 1/2 0, 1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2 Cl atomlar 1/2 1/2 1/2 0 0 1/2 0 1/2 0 1/2 0 0

Buna gre NaCl'n yap faktr,

ekil 6.8.

(ematik olarak)

ekil 6. 9. NaCl'n baz difraksiyon iddetleri

(555)

(444)

(333)

(222)

(111)

iddet

Sin 0

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

00

000

00

1

2

1

2

1

2

1

2

0

0

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

0

eklindedir. Bu uzun ifade,eklinde ksaltlabilir. Yukardaki ifadede,+1(n ift ve 0 iin)ei n = -1(n tek iin)

ve h, k, l Miller indekslerinin tam saylar olduu hatrlanrsa ikinci parantez,h k l saylarnn hepsi ift ise = 4h k l saylarnn hepsi tek ise = 4 h k l saylarnn bazs tek bazs ift ise = 0olur. Buna gre yap faktrn

eklinde yazmak mmkndr. Durumu ylece zetleyebiliriz:Fhkl (NaCl) = 4 (fNa + fCl)h,k,l hepsi iftFhkl (NaCl) = 4 (fNa - fCl)h,k,l hepsi tekFhkl (NaCl) = 0h,k,l karkBir h,k,l dzleminde yansyan X-nlarnn iddeti Fhkl yap faktrnn karesi ile orantldr. Buna gre NaCl kristalinin (111) , (333) dzlemleri (222) , (444) dzlemlerine nazaran daha zayf yansmalar vermelidir. Bunun gerekten byle olduunu deney gstermektedir (ekil 6.9).

Miller indekslerinin tek ve ift saylardan kark olduu dzlemlerde difraksiyon grlmez. rnein (110) ve (330) dzlemlerinde durum byledir.kinci rnek olarak uzay merkezli kbik bir kristalin yap faktrn ele alalm. Alkali metaller , demirin baz fazlar, Wolfram, Zirkonyum, Krom gibi bir ok metal bu sistemde kristalleir. Yine kltlm bir elemanter hcre amaca uygun gelir, ekil 6. 10.

000

1 1 1

2 2 2

ekil 6.10

u halde uzay merkezli bir metal kristalinde X-nlar (100) , (300) , (111) gibi yansmalar olur.

ekil 6.11 ekil 6.11 de 1 ve 3 nlar arasndaki yol fark dalga boyunun tam kat ise 1 ile 2 ve 2 ile 3 arasndaki fark yarm dalga boyunun kat, yani bu nlar arasndaki faz fark dir. Bu da nlarn snmesine neden olur. Buna kar (110) , (200) , (222) dzlemleri yansma verirler. Grld gibi kark indeksli dzlemler yansma vermektedir.

A

B

1

2

1'

2'

A'

B'

d

hkl

(100)

3

3'

(100)

(100)

Baz dzlemlerde yansma olmayacan, rnein ekil 6.11 de grld gibi, bu dzlemler zerinde difraksiyon olayn incelemek suretiyle daha iyi anlamak mmkndr. ekilde 1 ve 3 nlar arasndaki yol fark dalga boyunun tam kat ise 1 ile 2 ve 2 ile 3 arasndaki fark yarm dalga boyunun kat, baka bir deile bu nlar arasndaki faz fark dir. Bu da nlarn ifter ifter birbirlerini sndrmesi, yani yansma grlmemesi demektir. Birim hcre kenar uzunluunun tayini iin kristalin younluu ile x-nlar difraksiyonu yardmyla elde edilen birim hcre hacmi arasndaki bantdan yararlanmak mmkndr. Bu bant,

eklindedir. (13) ifadesinde A forml arl, N0 Avogadro says, p birim hcre iinde forml saysdr. rnek olarak yine NaCl ' alalm. = 2,15 g/cm3 , p = 4 , A = 35,45 + 22,99 = 58,44 atomik ktle birimi ile,V = 4.58,44/6,02.1023.2,15 18.10 - 23 cm3NaCl'n birim hcresi kbiktir. u halde bu hcrenin kenar uzunluu,dr. Bu hesab tabii, ekil 6.8 de grlen ve NaCl'n elementer hcresinin sekizde biri byklnde olan kp ile de yapabilirdik. Bu durumda a yerine en yakn komu uzakl olan a/2 yi elde ederdik.Birim hcrenin kenar uzunluu a bulununca ( ki a = d100 dr) dzlemler aras dier uzaklklar (dhkl ler) de bulunmu demektir.

Kristal iinde atomlarn nasl sralandklarn, yani kristalin yapsn renmek iin llen yansma iddetlerinden yararlanlr. Birim hcre iindeki atom says , kkse deneme yolu ile yapy bulmak mmkndr. Yap faktr hesaplanarak xn , yn ve zn nin deerleri (baknz (7) nolu denklem) llen iddetlere uyacak ekilde tayin edilir. Birim hcrede ok sayda atom varsa yap tayini o kadar kolay olmaz. Kullanlan iterasyon yntemleri kolayca sonuca ulamaz. O zaman daha dorudan ve genellikle bilgisayarlarn yardmna gereksinim gsteren yntemler kullanlr.