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_____________________ 1 Professor Pós Graduado em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras
de Paranavaí – FAFIPA, Graduado em Ciências 1º Grau com Habilitação em Matemática pela Faculdade de Ciências, Letras e Educação de Presidente Prudente - SP.
2 Mestre em Ciências pela Universidade Federal do Paraná - UFPR, Graduado em Ciências 1º Grau
com Habilitação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí - FAFIPA,Prof. Assistente C do Colegiado de Matemática da FAFIPA.
“DESVENDANDO A TRIGONOMETRIA”
Autor: Francisco de Paula Costa1
Orientador: M. Sc. Carlos RopelattoFernandes2
Resumo
Este artigo inicia-se com um relato do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, da etapa de Implementação e da Produção Didático-Pedagógica realizada para o Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná - PDE que objetivou capacitar professores da rede pública estadual que atuam na Educação Básica do município de Itaúna do Sul pertencente ao Núcleo Regional de Educação de Loanda- Pr. Dentre as diferentes tendências optou-se pela tendência metodológica História da Matemática para o ensino da Trigonometria tema central deste artigo cujo objetivo foi capacitar através de curso de aperfeiçoamento os professores de Matemática através de confecção de Materiais Didáticos e Manipuláveis e atividades práticas inerentes a este conteúdo que é uma das dificuldades encontrada pelo professor devido ao fato que historicamente a Geometria e a Trigonometria tenham ficado de lado nas aulas de Matemática, principalmente na formação acadêmica da maioria dos professores tornando evidente tais dificuldades, mas estas,à medida que o curso foi se desenvolvendo os professores foram sanando suas dúvidas e dificuldades de forma muito significativa.
Palavras-chave: Trigonometria; Materiais Manipulativos; Tendência metodológica; História da Matemática.
1 Introdução
Este artigo tem como finalidade, despertar no professor a curiosidade, o
interesse e a busca pelo conhecimento daquilo que ele ensina ou venha a ensinar e
que este aprenda ou reaprenda a pesquisar antes de repassar qualquer informação
e conhecimento aos seus alunos, principalmente em uma época que os avanços
tecnológicos ditam nosso modo de vida.
Pensando nisso, o objetivo da proposta do PDE através do Projeto de
Intervenção Pedagógica na Escola e da Implementação Pedagógica na Escola é
colaborar com o trabalho do professor através de um curso de capacitação com a
confecção de material manipulativo e atividades voltadas ao ensino da
Trigonometria, pois esta tem ficado um pouco de lado nas aulas de matemática, e
isto não é de hoje, historicamente estudos apontam que no final da década de 80
estudiosos matemáticos tentaram mostrar a importância do estudo de Geometria e
da Trigonometria no ensino.
Porém os professores mostraram-se muito resistentes, ficando estes
conteúdos fora das aulas de matemática, talvez seja em grande parte devido à
formação acadêmica da maioria dos professores devido às muitas dificuldades que
encontram em se trabalhar tais conteúdos em sala de aula, pois estes estão muito
distantes da realidade do aluno.
Segundo Brito e Morey (2004, p.31), tais dificuldades estão relacionadas à
formação escolar das décadas de 70 e 80 caracterizadas como descaso com a
Geometria e a Trigonometria ficando somente em estudos de memorização e sem a
compreensão destes conteúdos.
Essas dificuldades têm gerado muito desconforto aos professores,
principalmente nas séries finais da Educação Básica em relação ao conteúdo de
Trigonometria, pois muitos se sentem incapacitados em tornar suas aulas mais
interessantes, atrativas e significativas para o aluno no ensino e aprendizagem.
É fato, que vários professores, para tornarem suas aulas mais atrativas e
significativas tem procurado cada vez mais participar de cursos de capacitação,
simpósios, seminários, etc., que venha suprir essa deficiência através de cursos que
lhes ensinem a fazer uso de material didático e manipulativo, pois o professor que
faz uso desses materiais didáticos e tem conhecimento de como utilizar em sala de
aula seus alunos demonstram mais interesses e compreensão no ensino e
aprendizagem do conteúdo que ora lhe é ensinado.
Há algumas décadas, acreditava-se que, quando terminada a graduação, o
profissional estaria apto para atuar na sua área durante toda sua vida profissional.
Hoje a realidade é diferente, principalmente para o profissional docente. Este deve
estar consciente de que sua formação teórica e prática de professor contribuirão
para melhorar a qualidade do ensino, visto que são as transformações sociais que
irão gerar mudanças no ensino.
Para Nacarato e Paiva (2008, p. 14) “pesquisas que tomam os saberes
docentes como objeto de estudo já rompe com a concepção de que o bom professor
é aquele que tem apenas o domínio do conteúdo”. Porém, não significa negar sua
importância, mas pressupor que o saber docente vai muito mais além que o
conhecimento.
Sabe-se que a formação dos professores não depende apenas de sua
formação acadêmica, que se inicia no curso de licenciatura, a mesma ocorre
também quando o professor passa da teoria para a prática, ou seja, começa a
ministrar aulas. Dessa forma no processo de alfabetização científica deve-se
objetivar o estímulo a meta-conhecimento (reflexão sobre a área científica) e a meta-
cognição, ou seja, reflexão sobre a estrutura cognitiva e aprendizagem não só dos
professores, mas também dos alunos. Assim, o sucesso pedagógico merece ser
pensado como um ideal que vai além do simples domínio de conteúdo, interferindo
no aproveitamento dos alunos e na qualidade de ensino.
Mediante tais dificuldades optou-se por trabalhar, dentre as diferentes
tendências metodológicas, a História da Matemática que dentro do contexto escolar
é um componente necessário.
2 História da Matemática
A História da Matemática dentro do contexto escolar é um componente
necessário como um dos objetivos primordiais da disciplina para “que os estudantes
compreendam a natureza da matemática e sua relevância na vida da humanidade”.
(PARANÁ, 2008, p. 39).
Ainda segundo as DCE’s:
A história da Matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação das situações-problema, a busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar
e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. A história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais. (MIGUEL & MIORIM, 2004 apud PARANÁ, 2008, p.39).
A História no ensino da Matemática resgata através das descobertas e fatos
históricos explanações àquelas perguntas geralmente feitas pelos alunos, como:
Onde? Por quê? E Para que?
Farago (2003) faz um comentário que se conhecendo a História da
Matemática esta poderá ajudar na construção dos conceitos matemáticos e sua
construção.
A história da Matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta História é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado nesta ciência e por que, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. (FARAGO, 2003, p.17).
De acordo com esse argumento acredita-se que para compreender e
entender melhor a Matemática no âmbito social e institucional é preciso conhecer
primeiramente sua História.
Um dos objetivos deste trabalho foi dar condições para que professores e
alunos possam usufruir do ensino e aprendizagem mais significativos no conteúdo
de trigonometria, para isto é necessário conhecer um pouco da sua história, que
vem antes da era cristã.
3 Desenvolvimento
Como Implementação Pedagógica na escola, foi desenvolvido um curso com
os professores de Matemática envolvendo atividades e um pouco de história
inerente aos conteúdos de trigonometria, conforme segue:
3.1 Um Pouco da História da Trigonometria
A origem da trigonometria é incerta. Sabe-se que na Antiguidade estudiosos
dedicavam estudos a problemas na Astronomia, Agrimensura e Navegação em
meados do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. Segundo Eves (1995,
p.202) foram os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. que acumulavam
muitos dados e observações e hoje é sabido que grande parte desse material foi
repassada aos gregos. Sendo que essa astronomia primitiva que deu origem à
trigonometria esférica.
Vale ressaltar que Tales de Mileto, Pitágoras e Arquimedes contribuíram e
muito para o surgimento da trigonometria. De acordo com Guelli (1998, p. 49) os
matemáticos e astrônomos da Antiguidade foram desafiados a determinar o
tamanho do Sol e da Lua, para isso se fazia necessário antes conhecer o tamanho
do comprimento da circunferência da Terra, vários matemáticos da época se
dedicaram a medir a Terra, porém, Eratóstenes fez a demonstração mais
interessante.
Eratóstenes sabia o dia exato em que iria ocorrer o solstício de verão na cidade de Assuan, às margens do rio Nilo. Nesse dia especial, ao meio-dia, o Sol ficava completamente a pino. Desse modo, uma vareta fincada verticalmente no solo não fazia nenhuma sombra nesse horário. E o fundo de um poço ficava completamente iluminado. (GUELLI, 1998, p.49).
Segundo Guelli (1998, p. 51) Eratóstenes aproveitando disso, partiu para
Alexandria e praticamente no mesmo horário em que o Sol estava a pino em
Assuan, fincou a vareta verticalmente no chão, medindo o ângulo formado pela
ponta da vareta com a extremidade da sombra.
Em seu raciocínio descobriu que o ângulo media 1/50 de toda circunferência
da Terra, ou seja, a distância entre Assuan e Alexandria era de 5.000 stadium
antiga medida grega que corresponde em dias atuais aproximadamente 39.000
quilômetros.
Durante dois séculos e meio os matemáticos gregos fizeram estudos das
relações entre retas e círculos aplicando a vários problemas astronômicos não
resultando ainda em uma trigonometria sistemática. Presume-se que “na primeira
metade do segundo século antes de nossa era que foi compilada pelo astrônomo
Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.) a primeira tabela trigonométrica”, devendo a ele o
uso do círculo de 360°(BOYER, 1974 apud MOREY, 2001, p. 24).
De acordo com Guelli (1998, p. 54) essa tabela foi construída com ângulos
de 0° a 180° sendo um grande avanço na trigonometria, dando a Hiparco o título de
“Pai da Trigonometria”.
Título esse, que foi esquecido mais tarde com o surgimento “da mais
importante obra trigonométrica da Antiguidade: uma coleção de 13 livros
denominada Síntese Matemática” escrita no primeiro século da era cristã por
Ptolomeu de Alexandria conhecida até os dias de hoje como Almajesto nele
encontra-se uma tabela bem mais completa que a de Hiparco, onde ele utilizou a
base sexagesimal, o mesmo que fez Hiparco.
Já no final do século IV surgia na Índia um conjunto de textos matemáticos,
o Siddhanta, cujo significado é sistemas de astronomia que revolucionou a
história da Trigonometria.
Os matemáticos e astrônomos em vez de seguir o Almajesto de Ptolomeu
que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais decidiram seguir
os hindus que apresentavam uma Trigonometria com base na relação entre metade
da corda com a metade do ângulo central, essa meia corda os hindus chamavam de
jiva que traduzida pelos árabes escreveram jiba que na língua árabe é comum
escrever apenas consoantes de uma palavra onde o leitor acrescia mentalmente as
vogais, os tradutores árabes registram jb.
E na tradução para o latim, o inglês Robert de Chester interpretou jb como
jaib que em latim significa baia ou enseada e escreve-se sinus(em português,
seno).
Nas revisões de literatura sobre o assunto vale ressaltar que:
Georg Von Peurbach (1460) usou um raio de 600 000 partes no cálculo de senos, e Regiomontanus, uma década depois, usou um raio de 6 000 000 de partes e posteriormente de 10 000 000 de partes. Rheticus (1550) repetiu esta precisão e tornou-se o primeiro europeu a descartar o raio e a usar as funções trigonométricas como razões entre lados de um triângulo retângulo. O seno e outras funções podiam assim ser concebidos como números puros em vez de comprimentos. Por volta de 1613, Pitiscus já publicara tábuas de senos com quinze casas decimais. Deve-se a Edmund Gunter (1620) o termo co-seno para o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em “co-sinus”, que logo foi modificado para cosinus – em português “co-seno”.(KENNEDY, 1992, p.40).
Enquanto os conceitos de seno e co-seno tiveram sua origem no contexto da
astronomia, tangente e co-tangente emergiram das necessidades mais modestas da
medição de alturas e distâncias.
A construção destes conceitos no decorrer dos séculos surgiu com as
necessidades do homem em calcular distâncias inacessíveis e se perpetuando pelos
tempos e atualmente trabalhados nas séries finais do ensino fundamental e nas
séries iniciais do ensino médio, embora trabalhado muito superficial não levando em
conta sua historicidade.
3.2 Aspectos construtivos e históricos no ensino da Matemática
Há muito os alunos vem perdendo o interesse pelo estudo, principalmente
na disciplina de Matemática, considerada por muitos uma grande vilã. Um dos
obstáculos que impedem o sucesso do ensino e aprendizagem desta disciplina
segundo Mendes (2009, p. 108) “diz respeito ao desinteresse dos estudantes com
relação ao modo como a Matemática é apresentada em sala de aula”. Pesquisas
mostram que uma das melhores maneiras de se aprender a Matemática em sala de
aula se faz através de um ensino prático e dinâmico pelos envolvidos no processo
de ensino e aprendizagem.
Outro obstáculo a ser superado segundo o autor, são os porquês
matemáticos que se ouve muito dos alunos em sala de aula, pois eles não
conseguem perceber qualquer familiaridade com alguns tópicos abordados durante
a aula com seu cotidiano. Para Mendes (2009, p. 109) ainda “a história pode ser
nossa grande aliada quanto a exploração desses porquês”, isto se conseguirmos
infiltrar às atividades de ensino e aprendizagem alguns aspectos históricos
necessários para solucionar esse obstáculo.
Procurando solucionar esses obstáculos o curso teve início justamente a
partir da história da trigonometria com atividades que fossem amarrando o conteúdo
de forma sequenciada conforme consta na Produção Didático-Pedagógica, pois
alguns professores só trabalham este conteúdo muito superficialmente ou tal qual
está no livro didático segundo depoimento de alguns e outros alegaram nunca ter
trabalhado pelo fato que estudaram muito pouco sobre o referido conteúdo em suas
graduações, ou seja, quase nada de trigonometria.
E sempre que possível recorrer a materiais manipulativos sem perder o foco
que a aprendizagem será alcançada a partir das experiências e reflexões dos
próprios alunos.
Para que o ensino de Matemática alcance esses objetivos, proporcionando aos estudantes oportunidades de desenvolverem habilidades e conhecimentos úteis e que os preparem, como homens comuns, para ter uma compreensão relacional do conhecimento matemático ensinado na escola, é necessário a utilização de uma metodologia que valorize a ação docente do professor, através de um ensino partindo do concreto para o abstrato. (MENDES, 2009, p.109).
3.3 Materiais didáticos e manipulativos e sua utilização na Trigonometria
As dificuldades encontradas por professores e alunos no processo ensino e
aprendizagem na disciplina de Matemática são grandes, em se tratando do aluno,
essa dificuldade é ainda maior, pois não consegue entender e compreender
conceitos que lhes são transmitidos pelo professor e este muitas vezes sente-se
incapacitado a tantas dificuldades, o qual não consegue atingir seus objetivos de
maneira satisfatória.
Isto muitas vezes ocorre pelo fato que muitos professores não são
licenciados para tal disciplina. Segundo Nacarato (2008, p. 19) “pesquisadores em
Educação Matemática vêm utilizando a expressão “professores que ensinam
matemática” para referir-se aos professores polivalentes”, a autora se refere aqueles
professores que lecionam várias disciplinas nas séries iniciais da educação básica
como, por exemplo, a disciplina de Matemática, visto não serem especialistas.
Sabe-se que isto não ocorre somente nas séries iniciais, mas, em todas as
séries da educação básica, muitas vezes por falta do professor licenciado,
principalmente na disciplina de Matemática, muitos acabam por ensinar da forma
que aprenderam na disciplina de currículo.
O objetivo deste trabalho foi demonstrar a utilização de alguns materiais
didáticos e manipuláveis em sala de aula como recursos didáticos para tornar as
aulas de Matemática mais atrativas e significativas no ensino e aprendizagem do
aluno.
Para isso, o professor deve ter clareza quanto ao uso desses materiais, ou
seja, ter conhecimento de como utilizar, para que este não se torne apenas um
brinquedo para o aluno.
Em função disso Lorenzato diz que:
Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros. [...] Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não substitui o professor. (LORENZATO, 2006, p.18).
Em se tratando do conteúdo de Trigonometria nas séries finais da Educação
Básica o grau de dificuldade ainda é maior, devido a uma grande maioria dos
professores não terem conhecimento básico de Geometria, isto porque muitos não
tiveram esse conteúdo em sua formação docente. E como ensinar algo que não
aprenderam a seus alunos?
Antes de iniciar o estudo de Trigonometria é necessário que o professor
verifique antes o que o aluno tem de conhecimento sobre Geometria, pois muitos
não sabem nem como usar régua, transferidor e compasso que são instrumentos
necessários e úteis para compreender sobre o tema.
É fato que durante o decorrer do curso foi observado a falta de habilidade
em manusear o compasso e o transferidor por alguns cursistas, onde alegaram
nunca ter estudado a disciplina de desenho geométrico em sua época de
estudantes.
Muitas vezes o professor quando tem conhecimento científico precisa voltar
ou até mesmo ensinar o conteúdo de Geometria no que diz respeito à construção de
ângulos, semelhança de triângulos, etc., para que tenha êxito no conteúdo que vai
ensinar.
3.4 Noção de Ângulo
A palavra ângulo é usada corriqueiramente na matemática e no dia-a-dia
como: ângulo de visão, ângulo de posição, ângulo de inclinação, entre outras
segundo Mendes (2009, p.130).
3.4.1 Um pouco dos ângulos na história
De acordo com Mendes (2009, p. 132-133) a palavra Trigonometria originou
de três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metrum (medir) que significa
medidas do triângulo. Tais medidas necessitam de um conhecimento básico de
ângulos de um triângulo e suas medidas.
A Trigonometria foi criada por astrônomos e topógrafos de diversos povos e
em diferentes períodos históricos, como os babilônios, árabes, gregos e hindus
devido à necessidade que tinham em relacionar distâncias com ângulos.
Na imaginação dos gregos antigos, a concepção da noção de ângulo, por
exemplo, “eram duas pessoas apontando para uma mesma estrela”, onde esta
estrela era o vértice do ângulo e cada pessoa apresentava uma direção para tentar
dar a ideia exata de ângulo, conforme a figura.
A B
Figura 1 Fonte: o autor
Já os babilônios antigos que viveram (4000 – 3000 a.C.) utilizavam os
ângulos nas construções ligadas a astronomia, a religiosidade, “bem como no
calendário das estações e da época do plantio”. Usavam
seu sistema de numeração sexagesimal no qual dividiam uma circunferência em seis partes iguais usando seu raio como medida padrão, seguindo-se de várias subdivisões até obter 360 partes (graus) geradas através das frações da medida do raio e talvez até, por influência do total de dias do ano (eles consideravam o ano com 360 dias). Dessa prática surgiu também as idéias básicas para a criação das medidas de minuto e segundo, pois o referido sistema de contagem, as frações sexagesimais, após traduções do grego para o árabe e em seguida, para o latim, tornaram-se as partes primae e partes minutae secundae das quais derivaram as palavras minuto e segundo.(MENDES, 2009, p.132).
O ângulo reto segundo Mendes (2009) surgiu da prática de medição dos
antigos, quando colocavam uma vara vertical em relação ao chão para medir altura
de objetos e comparavam as sombras projetadas que mais tarde tornara uma das
ideias básicas da geometria apresentada por Euclides, quando suscitou a ideia de
que duas retas que se cruzam formam ângulos iguais entre si e retos, formando
assim as perpendiculares. Surgindo aí as noções de ângulos agudos e obtusos para
os menores e maiores que o ângulo reto, considerando também as noções de
perpendicularismo.
Para compreensão de ângulos foi realizado atividades envolvendo medição
e classificação dos mesmos como sugestão para que o professor possa estar
iniciando a trigonometria com seus alunos.
3.5 Semelhanças dos Triângulos Imaginários
Em nosso dia-a-dia há certas situações em que precisamos efetuar
medições. Na maioria dessas medições podemos colocar o instrumento de medida
sobre a grandeza a ser medida. É o que fazemos para medir, por exemplo, o
comprimento de um terreno, a largura de uma mesa, a altura de uma porta, etc. Os
instrumentos podem ser a trena, a fita métrica, o metro de carpinteiro, régua, entre
outros.
Entretanto, nem sempre é possível aplicar estes instrumentos de medidas
apenas, como medir, por exemplo, a distância da Terra à Lua? A distância do Sol à
Terra? Como medir o raio da Terra?
3.5.1 Semelhança na história dos triângulos
Conforme Mendes (2009) foram os Gregos que efetivaram a medida da
altura dos objetos através de sua sombra. Essa experiência é contada
historicamente através de um dos feitos creditados a Tales de Mileto por volta de
600 a.C. em sua passagem pelo Egito quando foi abordado pelos escribas egípcios
a mando do Faraó para que ele calculasse a altura de uma pirâmide quadrangular.
Tales fez o seguinte, apoiou-se numa vara e esperou até o instante em que
de manhã a sombra da vara na vertical tivesse o mesmo comprimento da vara. Foi
então, que Tales pediu a um dos escribas que ali estava para medir depressa a
sombra da pirâmide mais a metade do comprimento da sua base, pois aquilo seria a
altura da pirâmide, a partir de uma vara, duas sombras e uma ideia.
Figura 2 Fonte: o autor
Para repetir o feito de Tales os cursistas saíram sala de aula para medir
alturas de objetos através das sombras de: árvores, postes de energia elétrica, o
prédio da escola, etc., e neste momento pensando no ensino noturno que é difícil
trabalhar com sombras, foi utilizado um espelho para determinar a semelhança de
triângulos e a proporcionalidade através da lei da reflexão de um raio de luz
conforme (Figura 3).
Figura 3 Fonte: o autor
3.6 A Trigonometria no Triângulo Retângulo
3.6.1 Razões Trigonométricas
Foram realizadas algumas atividades para introduzir o conceito de seno,
cosseno e tangente de um ângulo agudo como razões trigonométricas no triângulo
retângulo diferente de como a maioria dos livros didáticos trazem, para que o aluno
possa compreender melhor este conteúdo.
3.6.2 Um pouco de história das razões trigonométricas
Sem o domínio teórico das razões trigonométricas os babilônios e egípcios
da antiguidade já conheciam e faziam uso de alguns teoremas sobre razões entre os
lados de triângulos semelhantes. Porém, os gregos já haviam começado um
processo sistemático desse conhecimento, iniciando assim a elaboração da
trigonometria segundo Mendes (2009, p. 152).
Para o autor, não se tem muita certeza quando o uso sistemático do círculo
de 360° começou a fazer parte da Matemática, mas em grande parte deve-se a
Hiparco através de sua tabela de cordas e cuja influência teve origem na astronomia
babilônica construída a partir do sistema de numeração sexagesimal.
Foi onde surgiu, das necessidades em resolver alguns problemas inseridos
na astronomia, os termos seno e cosseno através da função corda que quer dizer
(reta que une dois pontos extremos de um arco de circunferência) estudados por
alguns gregos da era cristã.
De acordo com Guelli (1998, p. 58), os matemáticos e astrônomos em vez
de seguir o Almajesto,(a mais importante obra trigonométrica da antiguidade
composto por 13 livros denominada Síntese Matemática escrita por Ptolomeu de
Alexandria) que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais,
decidiram seguir os hindus que apresentavam uma Trigonometria com base na
relação entre metade da corda com metade do ângulo central que chamavam de
jiva que os árabes escreveram jiba na sua tradução e é comum eles escreverem
apenas consoantes de uma palavra e o leitor acrescentava mentalmente as vogais,
os tradutores árabes registraram jb e na tradução para o latim o inglês Robert de
Chester interpretou jb como jaib que significa baía ou enseada e escreve-se sinus
(em português, seno).
O termo co-seno para o seno do complemento de um ângulo deve-se a
Edmund Gunter (1620) onde ele sugeriu combinar os termos “complemento” e
“seno” em “co-sinus” que logo foi modificado para cosinus que em português quer
dizer “co-seno” segundo Kennedy (1992, p. 40).
Figura 4 Fonte: o autor
= /R= = sen , →Logo:
sen =
Que tal experimentarmos na prática?
Observe a Figura10 e determine a medida da corda HG e do raio R (HO);
Determine a razão entre a medida de HG e a medida do diâmetro;
Determine a razão entre a metade da metade de HG (HP) e a medida do
raio R(HO);
Determine outras razões existentes entre os segmentos representados na
figura construída por você (tente, por exemplo, entre OP e R; HP e OP entre
outras.
3.6.3 Variação do seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo
Para que houvesse uma boa compreensão da variação do seno, cosseno e
tangente de um ângulo foi feito a seguinte atividade:
Traçar no papel milimetrado os eixos de coordenadas x e y medindo 10 cm,
para isso usaremos como unidade de medida o decímetro.
Em seguida, desenhamos um ângulo de 30° conforme Figura 11 e
marquemos sobre um de seus lados, a partir do vértice, um segmento de reta OB de
comprimento 1 decímetro e pelo ponto B trace um segmento BE perpendicular ao
outro lado do ângulo.
E, do mesmo modo, desenhemos os ângulos de 45° a partir do vértice um
segmento OC e pelo ponto C tracemos o segmento CF e para o ângulo de 60° o
segmento OD e por D tracemos o segmento DG em seguida com o auxílio do
transferidor trace um arco ligando os vértices desses triângulos do eixo x ao eixo y.
Figura 5 Fonte: o autor
A seguir, pelo ponto B, desenhamos o segmento BE perpendicular ao outro
lado do ângulo. Sendo assim, temos:
sen 30°= = 0,5
cos 30°= =0,86
tg 30°= =0,56
Seguindo o mesmo critério, complete a tabela abaixo:
sen 45° =
cos 45° =
tg 45° =
Sen 60° =
cos 60° =
tg 60° =
Tabela 1 Fonte: o autor
A partir dessa atividade, mostrar aos alunos que o eixo x (eixo das
abscissas) representa no plano cartesiano o cosseno e o eixo y (eixo das
ordenadas) representa o seno e a reta perpendicular ao eixo x no ponto A
representa a tangente.
A Figura 5 permite representar graficamente o seno, cosseno e a tangente
de vários ângulos, todos juntos. Com essa representação podemos visualizar o
seno, cosseno e a tangente de todos os ângulos agudos.
Observe agora a Figura 6: nela, o arco de circunferência de centro O tem
raio 1 (neste caso, não importa a unidade).
Figura 6 Fonte: o autor
O ponto P está sobre o arco de circunferência. Se o ponto P caminha sobre
o arco, no sentido anti-horário, o ângulo a muda e podemos ver facilmente o que
acontece com cos a e seno a. É preciso que olhe para a Figura 6 e imagine o
deslocamento do ponto P para sentir o que acontece com o ângulo a,com seu
cosseno e o seu seno.
Se o ponto P percorre a circunferência no sentido horário, aproximando-se
do ponto Ao ângulo a diminui e o ponto Q também irá se aproximar do ponto A com
isso o cos a aumenta e o seno a diminui.
Agora se o ponto P percorre a circunferência no sentido anti-horário,
afastando-se de A faz com que o ângulo a aumenta e o ponto Q vai se aproximando
de O assim o cos a diminui e o seno a aumenta.
3.7 Trigonometria no Círculo
3.7.1 Um pouco de história
Atualmente os livros didáticos apresentam as tábuas trigonométricas
prontas, no entanto, o autor nos desafia a construir nossa própria tabela e comparar
com aquelas já existentes.
Para realizar esta atividade foi feito a construção do Ciclo Trigonométrico.
Aqui optou-se por construir o ciclo trigonométrico com valores decimais devido às
dificuldades que os alunos encontram em trabalhar com esses números e para que
o professor possa mostrar de onde vem aquela tabela com tais valores.
Figura 7 Fonte: o autor
O procedimento de como foi feito essa construção encontra-se na Produção
Didático-Pedagógica.
3.8 Funções Trigonométricas Circulares
As funções circulares na trigonometria são de fundamental importância
devido à sua periodicidade, pois representam fenômenos naturais periódicos, como:
variações da temperatura terrestre, pressão sanguínea no coração, comportamento
ondulatório do som, etc.
Obviamente hoje em dia não tem necessidade o professor ficar explorando a
construção gráfica dos alunos de forma manual, pois existem alguns softwares que
fazem este trabalho.
Porém, é necessário que o professor ainda faça a demonstração manual
para que o aluno possa compreender como era e ainda é feito essa construção.
Uma maneira encontrada de construir gráficos das funções circulares de
forma menos desinteressante para o aluno é através do ciclo trigonométrico
construído no material manipulativo, conforme os gráficos que foram construídos
utilizando pedaços de barbante coloridos, canetas ou lápis de cor.
Gráfico1: f(x)= sen(x)
Fonte: o autor
Depois de construir o gráfico o professor pode ir explicando sobre o domínio
da função f(x)= sen(x); sobre a imagem,porque ela está no intervalo de –1 < y < 1;
porque o período da função, neste caso é 2π; o sinal da função em quais
quadrantes é positivo e em quais quadrantes é negativo e em quais quadrantes a
função é crescente e em quais quadrantes são decrescente.
Gráfico 2: f(x)= cos(x) Fonte: o autor
O mesmo procedimento que foi feito com a função seno.
Gráfico 3:f(x)= tg(x) Fonte: o autor
Na função tangente além do professor fazer todos os procedimentos como
nos gráficos anteriores, aproveitar e perguntar aos alunos porque não existem as
tangentes de 90° e 270°.
4 Considerações Finais
Sabe-se que mudar a prática pedagógica para alguns professores é um
desafio muito grande, para isto, é necessário rever alguns conceitos de ensino e
aprendizagem. Conforme o curso foi se desenvolvendo também foram surgindo
algumas dificuldades por parte de alguns professores, os quais foram relatando
nunca ter trabalhado o conteúdo de Trigonometria em suas aulas pelo fato que, na
época de suas formação acadêmica não aprenderam e por isso se sentiam
inseguros em aplicar tal conteúdo a seus alunos, tais relatos foram de suma
importância, pois a partir deles passamos a desenvolver o curso de maneira que
todos os envolvidos pudessem compreender e ter uma nova visão de como ensinar
trigonometria de maneira signitificativa e prazerosa tanto para quem ensina como
para quem aprende.
Como professor PDE tive uma experiência grandiosa percebendo nos
professores de Matemática participantes deste curso e de minha tutoria no Grupo de
Trabalho em Rede (GTR) um entusiasmo quanto ao ensino de Trigonometria com o
uso do Material Didático e Manipulativo e atividades envolvendo conteúdo de
trigonometria e um pouco de sua história através da História da Matemática.
Ficou evidente que o professor espera participar de formação continuada de
forma prática e contextualizada através de oficinas com trocas de experiências entre
professores da mesma Escola, Município ou Núcleo Regional de Educação,
principalmente nas Semanas Pedagógicas das escolas onde terão a oportunidade
de aprender novas tendências metodológicas para o ensino da matemática o
possibilitará tornar suas aulas mais atrativas, significativas e prazerosas para todos
os envolvidos nos processos de ensino e aprendizagem.
Conclui-se que os professores de Matemática, deste município, que
participaram deste curso construindo seu próprio material didático e manipulativo e
fazendo uso destes na aplicação das atividades propostas na Produção Didático-
Pedagógica obtiveram uma aprendizagem bastante significativa, pois puderam tirar
as dúvidas existentes da forma de ensinar Trigonometria através da História da
Matemática.
5 Referências
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