DESAIN DIDAKTIS KONSEP ELIPS PADA IRISAN ...repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/48942...i ABSTRAK Nur Halimah (11140170000037), Desain Didaktis Konsep Elips Pada Irisan

DESAIN DIDAKTIS KONSEP ELIPS PADA IRISAN KERUCUT UNTUK

MENGATASI LEARNING OBSTACLE PADA PEMBELAJARAN SMA

KELAS XI

Skripsi

Diajukan kepada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan

Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Mencapai Gelar Sarjana Pendidikan

Disusun oleh :

NUR HALIMAH

NIM.11140170000037

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2019

ii

i

ABSTRAK

Nur Halimah (11140170000037), Desain Didaktis Konsep Elips Pada Irisan

Kerucut Untuk Mengatasi Learning Obstacle Pada Pembelajaran SMA Kelas

XI, Skripsi Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan,

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta, Juli 2019. Tujuan dari

penelitian ini adalah mengidentifikasi learning obstacle tepatnya pada hambatan

epistimologis siswa pada konsep elips. Selain itu, penelitian ini ditujukan untuk

mengatasi dan mengembangkan desain pembelajaran matematika konsep elips di

SMA. Penelitian ini dilaksanakan di SMA Cenderawasih II. Metode penelitian yang

digunakan adalah Didactical Design Research (DDR). Metode ini dilakukan dalam

tiga tahapan, yaitu analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran (analisis

prospektif), analisis metapedadidaktik, dan analisis retrospektif. Berdasarkan hasil

studi pendahuluan, dari 23 siswa yang mengikuti tes identifikasi learning obstacle,

80,20% dari total siswa tersebut mengalami hambatan epistimologis pada konsep

elips. Dalam mengatasi hambatan epistimologis siswa pada konsep elips diperlukan

rancangan pembelajaran yang dikembangkan berdasarkan analisis learning

obstacle, repersonalisasi, dan rekontekstualisasi sehingga menghasilkan hipotesis

yang terdiri dari Hypothetical Learning Trajectory (HLT) yang memuat berbagai

aktivitas dan prediksi respon siswa beserta antisipasinya serta menghasilkan

Lembar Kerja Siswa (LKS). Hasil penelitian menunjukkan bahwa desain didaktis

yang diberikan dapat mengatasi hambatan siswa, hal tersebut dapat terlihat dari

efektifnya antisipasi yang diberikan pada saat pembelajaran.

Kata Kunci : Didactical Design Research (DDR), Desain Didaktis, learning

obstacle, Elips, Hypothetical Learning Trajectory (HLT)

ii

ABSTRACT

Nur Halimah (11140170000037), Didactic Design of Elliptical Concepts on Cone

Slices to Overcome Learning Obstacle in Class XI Senior High School Learning, Thesis Department of Mathematics Education, Faculty of Tarbiya and Teachers

Training, Syarif Hidayatullah State Islamic University Jakarta, July 2019. The

purpose of this study is to identify the learning obstacle is precisely the

epistemological barriers of students to the elliptical concept. In addition, this

research is aimed at overcoming and developing the design of mathematical

learning of the elliptical concept in high school. This research was conducted at

Cenderawasih II High School. The research method used is Didactical Design

Research (DDR). This method is carried out in three stages, namely the analysis of

didactic situations before learning (prospective analysis), metapedadactic analysis,

and retrospective analysis. Based on the results of the preliminary study, of the 23

students who took the obstacle learning identification test, 80.20% of the total

students experienced epistemological barriers to the elliptical concept. In

overcoming the epistemological barriers of students to the elliptical concept, a

learning design that is developed based on learning obstacle analysis,

repersonalization, and recontextualization so as to produce hypotheses consisting

of the Hypothetical Learning Trajectory (HLT) which contains various activities

and predictions of student responses and anticipations and produces Student

Worksheets LKS). The results of the study show that the didactic design provided

can overcome student barriers, it can be seen from the effectiveness of anticipation

given during learning.

Keywords: Didactical Design Research (DDR), Didactic Design, learning

obstacle, Elliptical, Hypothetical Learning Trajectory (HLT)

iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena berkat rahmat-Nya penulis dapat

menyelesaikan skripsi ini. Shalawat dan salam semoga selalu tercurah kepada

junjungan Nabi Muhammad SAW, keluarga, sahabat, serta umatnya.

Skripsi ini disusun sebagai syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada

program studi pendidikan matematika. Penulis menyadari masih terdapat berbagai

kesulitan dan hambatan yang dihadapi. Berkat doa dan dukungan dari berbagai

pihak, Alhamdulillah penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Oleh karena itu,

penulis mengucapkan terimakasih kepada :

1. Dr. Suruin M.Ag., Dekan Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif

Hidayatullah Jakarta.

2. Dr. Gelar Dwirahayu, M.Pd., Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

3. Gusni Satriawati, M.Pd., Sekretaris Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.

4. Dr. Lia Kurniawati, M.Pd, selaku Dosen Pembimbing I yang telah berkenan

meluangkan waktunya untuk membimbing, memotivasi, dan memberikan

semangat selama proses penulisan skripsi. Semoga Ibu selalu diberikan

kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.

5. Ramdani Miftah, M.Pd., selaku Dosen Pembimbing II yang telah berkenan

meluangkan waktunya untuk membimbing, memotivasi, dan memberikan

semangat selama proses penulisan skripsi. Semoga Bapak selalu diberikan

kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.

6. Dindin Sobiruddin, M.Kom., selaku Dosen Pembimbing Akademik yang

telah memberikan dukungan, arahan, dan perhatian mulai dari penulis

menjadi mahasiswa baru hingga selesainya penulisan skripsi. Semoga

Bapak selalu diberikan kesehatan dan kemudahan dari Allah SWT.

7. Seluruh Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Ilmu Tarbiyah dan

Keguruan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta yang telah memberikan ilmu

iv

selama penulis berada di bangku perkuliahan. Semoga ilmu yang bapak dan

Ibu berikan mendapat keberkahan-Nya.

8. Staff Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan UIN Syarif Hidayatullah

Jakarta yang telah memberikan kemudahan dalam proses administrasi.

9. Bapak kepala sekolah, Bapak wakasek kurikulum, dan Ibu mata pelajaran

matematika peminatan kelas XI SMA Plus Pembangunan Jaya Tangerang

Selatan yang telah mengizinkan peneliti dalam melakukan observasi,

sehingga mempermudah peneliti dalam memperoleh data. Semoga Bapak

dan Ibu diberikan kesehatan dan dalam lindungan-Nya

10. Bapak kepala sekolah dan Ibu mata pelajaran matematika peminatan kelas

XI SMA Cenderawasih II Tangerang Selatan yang telah mengizinkan

peneliti dalam melakukan penelitian, sehingga mempermudah peneliti

dalam memperoleh data. Semoga Bapak dan Ibu diberikan kesehatan dan

dalam lindungan-Nya.

11. Teristimewa dan terkasih untuk Ayahanda Suherman dan Ibunda Dewi

Khilmiah yang telah mendukung secara moril dan materil, memotivasi,

memberi arahan, dan mendukung penulis dalam menyelesaikan skripsi.

Semoga Allah SWT selalu memberikan kesehatan, kemudahan, serta

kebahagiaan teruntuk Ayahanda dan Ibunda.

12. Saudara kandung penulis, Nur Haliza yang telah menyemangati dan selalu

mengingatkan penulis dalam menyelesaikan skripsi. Semoga Allah SWT

selalu memberikan kesehatan, kemudahan dalam meyelesaikan studi, serta

kebahagiaan.

13. Sahabat Next Trip, Diwani, Nurul, Fifi, Kuni, Ulfah, Novi, Imtiyaz,

kasyifah yang tak pernah lelah mendengarkan keluh kesah penulis dari awal

menjadi mahasiswa baru hingga selesai penulisan skripsi.

14. Sahabat terkasih Nurul, Ulfah, dan Asti yang selalu mendampingi penulis

selama proses penelitian. Semoga kebaikan ananda sekalian diterima oleh

Allah SWT.

15. Teman seperjuangan Jurusan Pendidikan Matematika angkatan 2014 yang

selalu memotivasi, bertukar informasi dan ilmu yang dimiliki.

v

16. Teman seperjuangan menulis skripsi Nurul, Ticha, Fifi, Diwani, Kasyifah,

Ulfah, Ka Ega, Ka Arista, Ines, Huswetul, Rohima yang selalu

menyemangati, memotivasi, dan bertukar informsi.

17. Teman seperjuangan PPKT SMAN 5 Tangsel Ulfah, Asti, Putri, Firdha,

Lina, Aini, Nova, Ismi, Arif, Khairul, dan terakhir buat Ka Ica yang selalu

menyemangati, memotivasi, dan memberikan dukungan selama 4 bulan

PPKT. Semoga selalu dalam lindungan-Nya.

18. Sahabat sedari kecil Novita Febriani dan Dini Tri Hastuti yang selalu

menyemangati, memotivasi, dan memberikan dukungan moril. Semoga

selalu dalam lindungan-Nya.

19. Sahabat Gas Kuy Desty, Tiara, Rizka, Elis, Donna, Hanifah Damin, Bagus,

Pipul, Fasha yang selalu menyemangati, memotivasi, dan memberikan

dukungan moril. Semoga selalu dalam lindungan-Nya.

20. Teman organisasi Himpunan Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika

periode 2017/2018 terutama Departemen Kewirausahaan. Terima kasih atas

kerjasama dan pengalaman yang berharga yang telah kita lalui bersama.

21. Sahabat OPTIKA 17 terkasih Ulfah, Adin, Nita, Awi, Neng, Azizah, Peni

semoga selalu dalam lindungan-Nya.

Ucapan terima kasih yang ditunjukkan kepada semua pihak yang namanya

tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga Allah selalu melimpahkan

rahmat-Nya dan memberikan perlindungan baik dunia maupun akhirat. Aamin

Aamiin ya rabbal’alamin.

Akhir kata penulis memohon maaf atas segala kesalahan dalam penulisan

skripsi ini. Kritik dan saran dari siapapun yang membaca skripsi ini akan penulis

terima dengan hati yang lapang. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat

memberikan manfaat bagi banyak orang khususnya bagi yang membaca.

Jakarta, Juli 2019

Penulis

vi

DAFTAR ISI

ABSTRAK ............................................................................................................... i

ABSTRACT ............................................................................................................ ii

KATA PENGANTAR ........................................................................................... iii

DAFTAR ISI .......................................................................................................... vi

DAFTAR TABEL ................................................................................................ viii

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................. ix

DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................. 1

B. Identifikasi Masalah ..................................................................................... 6

C. Pembatasan Masalah .................................................................................... 6

D. Perumusan Masalah ..................................................................................... 6

E. Tujuan Penelitian ......................................................................................... 7

F. Manfaat Penelitian ....................................................................................... 7

BAB II KAJIAN TEORI ........................................................................................ 9

A. Deskripsi Konseptual ................................................................................... 9

1. Konsep Elips Pada Irisan Kerucut ............................................................ 9

2. Learning Obstacle .................................................................................. 15

3. Metapedadidaktik ................................................................................... 17

4. Teori Belajar yang Terkait ..................................................................... 19

B. Hasil Penelitian yang Relevan ................................................................... 24

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ........................................................... 29

A. Tempat dan Waktu Penelitian .................................................................... 29

B. Metode Penelitian....................................................................................... 29

vii

C. Subyek Penelitian ....................................................................................... 31

D. Teknik Pengumpulan Data ......................................................................... 32

E. Teknik Analisis Data .................................................................................. 32

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ..................................... 30

A. Analisis Prospektif ..................................................................................... 30

1. Analisis Learning Obstacle Materi Elips ............................................... 34

2. Repersonalisasi dan Rekontekstualisasi ................................................. 47

3. Pengembangan Desain Didaktis ............................................................. 53

B. Analisis Metapedadidaktik ......................................................................... 65

C. Analisis Retrospektif .................................................................................. 99

D. Keterbatasan Penelitian ............................................................................ 105

BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ............................................................. 106

A. Kesimpulan .............................................................................................. 106

B. Saran ......................................................................................................... 108

DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 110

viii

DAFTAR TABEL

Tabel 1. 1 Nilai Rata – Rata Siswa Berdasarkan Materi ........................................ 2

Tabel 3. 1 Waktu Pelaksanaan Kegiatan Penelitian .............................................. 29

Tabel 4. 1 Kodifikasi dan Persentase Hambatan Siswa pada Konsep Elips ......... 34

Tabel 4. 2 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 1 ....... 67




Tabel 4. 6 Hambatan dan Antisipasi Hambatan pada Situasi 3 ............................ 74




Tabel 4. 10 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Situasi 5 ................................... 87

Tabel 4. 11 Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 Situasi 6 .............. 89




Tabel 4. 15 HLT Awal dan HLT yang Direvisi .................................................. 103

ix

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2. 1 Bentuk-bentuk irisan kerucut berdasarkan bidang pemotong ........... 9

Gambar 2. 2 Bentuk elips ...................................................................................... 10

Gambar 2. 3 Unsur-unsur elips ............................................................................. 10

Gambar 2. 4 Elips mendatar dengan pusat O (0,0) ............................................... 11

Gambar 2. 5 Elips tegak dengan pusat O (0,0) ..................................................... 12

Gambar 2. 6 Elips mendatar dengan pusat ( h,k ) ................................................ 13

Gambar 2. 7 Elips tegak dengan pusat ( h,k ) ...................................................... 14

Gambar 2. 8 Segitiga yang telah dimodifikasi ...................................................... 18

Gambar 2. 9 Desain Penelitian DDR Konsep Elips .............................................. 28

Gambar 4. 1 Peta Hambatan Epistimologis Siswa pada Konsep Elips ................. 36

Gambar 4. 2 Respon Kesulitan Siswa Membaca Unsur –Unsur Soal Nomor 1 ... 38

Gambar 4. 3 Respon Kesulitan Siswa dalam Menggunakan Formula Latus

Rectum Soal Nomor 2 ...................................................................... 39

Gambar 4. 4 Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (0,0)

Soal Nomor 2 ................................................................................... 40

Gambar 4. 5 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal

Nomor 5 ........................................................................................... 41

Gambar 4. 6 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal

Nomor 6 ........................................................................................... 42

Gambar 4. 7 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor& Minor serta

Titik Fokus Soal Nomor 3 ............................................................... 44

Gambar 4. 8 Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (h,k)

Soal Nomor 3 ................................................................................... 44

Gambar 4. 9 Respon Kesulitan Siswa Menentukan Titik fokus dan Titik Pusat

Elips Pusat (h,k) Soal Nomor 4 ....................................................... 45

Gambar 4. 10 Peta Konsep Elips........................................................................... 47

Gambar 4. 11 Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit I

......................................................................................................... 48

Gambar 4. 12 Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit

II ....................................................................................................... 49

x

Gambar 4. 13 Peta Proses Pembelajaran Konsep Elips Berdasarkan Hierarki

Materi dan Analisis Learning Obstacle ........................................... 52

Gambar 4. 14 Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips ... 54

Gambar 4. 15 Alat Peraga Definisi Elips .............................................................. 55




Gambar 4. 19 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0) ...................... 58




Gambar 4. 23 Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k) ...................... 62




Gambar 4. 27 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada

Situasi 1 ............................................................................................ 66

Gambar 4. 28 Contoh Hasil Jawaban pada Alat Peraga........................................ 67


Situasi 1 ............................................................................................ 68


Situasi 2 ............................................................................................ 69


Situasi 2 ............................................................................................ 71

Gambar 4. 32 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Definisi

Elips dan Persamaan Elips ............................................................... 72

Gambar 4. 33 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa pada Situasi 3 ........... 73


Situasi 4 ............................................................................................ 75


Situasi 4 ............................................................................................ 78

xi


Situasi 4 ............................................................................................ 81


Situasi 4 ............................................................................................ 82

Gambar 4. 38 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang

Berpusat di (0,0) .............................................................................. 84

Gambar 4. 39 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Situasi 5 ................... 86


Situasi 6 ............................................................................................ 89


Situasi 6 ............................................................................................ 92


Situasi 6 ............................................................................................ 95


Situasi 6 ............................................................................................ 97

Gambar 4. 44 Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang

Berpusat di (h,k) .............................................................................. 98

Gambar 4. 45 Desain Didaktis Awal Definisi Elips ........................................... 100

Gambar 4. 46 Desain Didaktis Revisi Definisi Elips .......................................... 100

Gambar 4. 47 Desain Didaktis Awal Definisi Elips ........................................... 102

Gambar 4. 48 Desain Didaktis Revisi Definisi Elips .......................................... 102

xii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1 Kisi-Kisi Soal Identifikasi Learning Obstacle ................................ 113

Lampiran 2 Penyelesaian Soal Identifikasi Learning Obstacle .......................... 117

Lampiran 3 Panduan Wawancara Siswa dan Guru ............................................. 121

Lampiran 4 Desain Pembelajaran ....................................................................... 123

Lampiran 5 Rencana Pelaksanaan Pembelajaran ................................................ 142

Lampiran 6 Lembar Kerja Siswa ........................................................................ 162

Lampiran 7 Lembar Observasi Metapedadidaktik .............................................. 178

Lampiran 8 Rekapitulasi Lembar Observasi Metapedadidaktik ......................... 194

Lampiran 9 Desain Pembelajaran I (Revisi) ....................................................... 195

Lampiran 10 Lembar Kerja Siswa (Revisi) ........................................................ 214

Lampiran 11 Rekapitulasi Penskoran Learning Obstacle Konsep Elips ............. 230

Lampiran 12 Hasil Wawancara Siswa dan Guru ................................................ 233

Lampiran 13 Dokumentasi Penelitian ................................................................. 241

Lampiran 14 Surat Permohonan Izin Observasi ................................................. 242

Lampiran 15 Surat Balasan Permohonan Izin Observasi .................................... 243

Lampiran 16 Surat Permohonan Izin Penelitian ................................................. 244

Lampiran 17 Surat Balasan Permohonan Izin Penelitian .................................... 245

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang diwajibkan dan

dibebankan kepada peserta didik dari Sekolah Dasar hingga Sekolah

Menengah. Hal ini dikarenakan matematika memiliki peran penting dalam

kehidupan sehari hari, baik untuk memenuhi kebutuhan praktis maupun dalam

memecahkan suatu permasalahan. Banyak sekali permasalahan kontekstual

sehari-hari yang berhubungan dengan matematika, tetapi hanya sebagian saja

yang menyadarinya dan menjadikan masalah kontekstual tersebut sebagai

suatu konteks pada pembelajaran matematika.

Berdasarkan Standar Isi mata pelajaran matematika untuk semua satuan

pendidikan didaksmen (SD/MI, SMP/MTS, SMA/MA, SMK/MAK), maka

tujuan mata pelajaran matematika di sekolah yaitu agar siswa memiliki

kemampuan diantaranya sebagai berikut: (1) memahami konsep, (2)

menggunakan penalaran, (3) memecahkan masalah, (4) mengkomunikasikan

gagasan, (5) memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam

kehidupan.1 Tujuan tersebut dapat terealisasikan jika hal-hal yang berkaitan

dengan proses pembelajaran berjalan secara baik dan efektif. Menurut Suryadi

bahwa pada dasarnya pembelajaran matematika berkaitan dengan tiga hal yaitu

guru, siswa, dan materi.2 Ketiga hal tersebut harus berkaitan, karena jika

hubungan ketiga hal tersebut terdapat kesenjangan maka terdapat

permasalahan yang sangat berarti dalam pembelajaran matematika.

Salah satu standar isi pada pembelajaran matematika adalah geometri.

Menurut NCTM bahwa standar geometri mengambil pandangan yang lebih

luas dalam menuntut siswa untuk menganalisis karakteristik bentuk geometris

1 Sri Wardhani, Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk Optimalisasi

Pencapaian Tujuan, (Yogyakarta: PPPPTK,2008), h.8 2 Didi Suryadi,Menciptakan Proses Belajar Aktif:Kajian dari Sudut Pandang Teori Belajar dan

Didaktik, Makalah Seminar Nasional Pendidikan Matematika UNP,2010,h.6

2

dan membuat argumen matematis.3 Geometri juga menuntut siswa untuk

menggunakan visualisasi, penalaran spasial dan model geometri dalam

memecahkan suatu masalah.4 Pemahaman konsep geometri yang kurang

menjadi salah satu penyebab munculnya ketidakmampuan dalam

menyelesaikan suatu masalah.5 Oleh karena itu, materi geometri menjadi

perhatian khusus terutama untuk guru di sekolah. Materi pembelajaran

matematika peminatan di Sekolah Menengah Atas pada kurikulum 2013 yang

tergolong bidang geometri yaitu irisan kerucut.6 Materi ini membahas tentang

lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.7 Pada realita di lapangan, masih

banyak ditemukan siswa yang mengalami hambatan dalam memahami materi

ini.

Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan, terdapat sedikitnya tiga

penelitian yang berkaitan dengan irisan kerucut dan elips. Pertama,penelitian

yang dilakukan oleh Putri Permata Sari tahun 2016 mengungkapkan bahwa rata

– rata prestasi belajar siswa kelas XI-IA-2 SMAIT Nur Hidayah Kartasura pada

materi matematika peminatan semester 1.

Tabel 1. 1

Nilai Rata – Rata Siswa Berdasarkan Materi

Materi Nilai Rata-Rata

Siswa KKM

Polinomial 89.79 75

Irisan Kerucut 71.34 75

Lingkaran 88.83 75

Statistika 85.37 75

3 National Council of Teacher of Mathematic (NCTM), Executive Summary Principles and

Standards for School Mathematics, p 3 4 National Council of Teacher of Mathematic (NCTM), Ibid.,p 3

5 Een Unaenah, Analisis Learning Obstacle Konsep Geometri Pada Mahasiswa Semester 1

Program Studi Pendidikan Dosen Sekolah Dasar, Prosiding Seminar Nasional Pendidikan FKIP

UNTIRTA, ISBN: 978-602-19411-2-6, 2017, , h.289

6 Herry Sulistiyanti,dkk, Pengembangan Desain Didaktis Irisan Kerucut untuk Memfasilitasi

Disposisi Matematis Siswa, Jurnal Pendidikan Matematika Universitas Lampung, Vol.4, No.28

2016, h.4

7 Alexander Christian Widya Eka Winarto dan Tri Nova Hasti Yunianta, Pengembangan Mobile

Learning Matematika Sebagai Suplemen Belajar SMA Kelas XI, Histogram: Jurnal Pendidikan

Matematika, Vol.2, No.1, 2018, h.33

3

Rata-rata siswa pada materi irisan kerucut adalah 71,34. Nilai ini berada

dibawah KKM yaitu 75 dan tergolong rendah jika dibandingkan dengan materi

polinomial, lingkaran, dan statistika. Hal ini menunjukkan bahwa pemahaman

siswa terhadap konsep irisan kerucut masih rendah. Contoh kasus siswa

mengalami hambatan dalam mengidentifikasi persamaan tidak baku seperti

persamaan parabola /elips/hiperbola misalnya 𝑥2 − 6𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0; 9𝑥2 −

16𝑦2 − 18𝑥 − 64𝑦 − 199 = 0; 𝑑𝑎𝑛 9𝑥2 + 16𝑦2 − 18𝑥 − 96𝑦 + 9 = 0.8

Kedua, penelitian yang dilakukan oleh Tsena Cendekia Wardani,dkk tahun

2016 yang dilaksanakan di SMAN 1 Kota Cirebon kelas XI IPA 8 dan XII IPA

8 mengungkapkan bahwa learning obstacle yang teridentifikasi berdasarkan

hasil analisis tes kemampuan responden komunikasi matematis pada materi

elips dengan pokok bahasan persamaan elips beberapa diantaranya adalah

sebagai berikut : (1) siswa menuliskan jawaban bahwa puncak elips sama

dengan pusat elips; (2) siswa menuliskan formula titik ujung sumbu mayor

untuk menjawab panjang sumbu mayor; (3) siswa menuliskan formula titik

ujung sumbu minor untuk menjawab panjang sumbu minor; (4) siswa keliru

dalam menentukan nilai c sehingga tidak dapat menentukan nilai eksentrisitas

dengan tepat; (5) siswa keliru dalam menuliskan formula persamaan direktis;

(6) siswa menuliskan formula persamaan garis lurus untuk menentukan

persamaan elips; (7) siswa mengira bahwa titik fokus pada diagram elips

merupakan titik ujung sumbu mayor, sehingga siswa keliu dalam menentukan

fokus, nilai eksentrisitas dan panjang lactus rectum; (8) siswa menggunakan

formula persamaan elips untuk dapat menentukan persamaan direktriks.9

Ketiga, penelitian yang dilakukan oleh Dewi Malihatud Darojah dan

Suparman tahun 2018 yang dilaksanakan di SMAN 1 Kebumen kelas XI IPA

mengungkapkan bahwa terdapat beberapa analisis pada materi irisan kerucut

diantaranya: (1) berdasarkan analisis metode pembelajaran di kelas guru masih

8 Putri Permata Sari, Analisis Kasus Rendahnya Prestasi Belajar Matematika Siswa Pada Materi

Irisan Kerucut dan Solusi Pemecahannya di Kelas XI IA SMAIT Nur Hidayah, Prosiding KNPMP I

Universitas Sebelas Maret, 2016, h 450 9 Tsena Cendekia Wardani,dkk, Desain Bahan Ajar Berbasis Komunikasi Matematis Pada

Materi Elips kelas XI, [online] https://osf.io/sd748 diakeses pada tanggal 12 November 2018,h.9

https://osf.io/sd748

4

menggunakan strategi konvensional yang berpusat hanya pada guru. Hal ini

dikarenakan keterbatasan sarana dan prasarana sehingga guru menjadikannya

sebuah alasan tidak menggunakan alat peraga dan media. (2) berdasarkan

analisis karakteristik siswa dilihat saat pembelajaran berlangsung, siswa

cenderung pasif akibat dari pembelajaran yang hanya berpusat pada guru. Pada

pembelajaran tersebut guru hanya menjelaskan unsur-unsur, persamaan,

bahkan contoh penyelesaian soal pada materi irisan kerucut, sehingga ketika

guru memberikan kesempatan untuk mengerjakan soal di papan tulis, siswa

cenderung tidak mau maju. (3) berdasarkan analisis pemahaman siswa

diperoleh siswa kurang memahami konsep irisan kerucut. Hal ini didapat ketika

siswa diberi tugas oleh guru untuk mencari persaman irisan kerucut yang

berbeda titik pusatnya, sebagian siswa siswa masih bingung dalam

mengerjakannya. Setelah dilakukan wawancara, hasilnya siswa kurang

memahami penjelasan guru ketika menjelaskan menggunakan strategi

konvensional.10

Melihat hasil penelitian yang dilakukan oleh Putri Permata Sari, Tsena

Cendekia Wardani,dkk serta Dewi Malihatud Darojah dan Suparman tersebut

bahwa kemampuan siswa pada materi risan kerucut masih tergolong rendah.

Hal ini diakibatkan oleh beberapa hal, diantaranya terdapat indikasi

kekurangan pada pengajaran guru sehingga siswa mengalami hambatan dalam

menyelesaikan masalah tertentu. Siswa dituntut mempunyai pengalaman

belajar yang membuat mereka memahami konsep materi irisan kerucut

terutama pada konsep elips dengan baik yang dapat mengurangi munculnya

learning obstacle. Selain itu, ketiga penelitian ini mengalami hambatan belajar

pada faktor epistimologis. Hal ini didukung hasil yang sudah dipaparkan

sebelumnya.

Dalam pembelajaran di kelas guru harus menyiapkan desain yang memuat

isi dari materi pembelajaran yang akan disampaikan kepada siswa.

10 Dewi Malihatud Darojah dan Suparman,Analisis Kebutuhan Desain Pembelajaran Irisan

Kerucut Menggunakan Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia, Prosiding Seminar

Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Pendidikan Matematika Universitas

Muhammadiyah Purworejo,2018, h..511-512

5

Pembelajaran di kelas akan didapati berbagai hambatan. Hambatan yang

ditemukan dari sisi guru dikelas yaitu pada saat proses pembelajaran, misalnya

dalam penyampaian materi guru tidak sesuai dengan rancangan pelaksanaan

yang dibuat atau siswa mengalami hambatan dalam menyelesaikan masalah

yang diberikan oleh guru. Hambatan yang dialami siswa tersebut merupakan

hambatan belajar (learning obstacle). Menurut G.Brosseau terdapat tiga faktor

yang menyebabkan hambatan belajar siswa yaitu: (1) hambatan ontogenis

(obstacles of ontogenic) yaitu hambatan yang timbul akibat keterbatasan siswa

pada saat perkembangannya, (2) hambatan didaktis (obstacles of didactical)

yaitu hambatan yang disebabkan oleh pengajaran daari guru dan bahan ajar

yang dirancang pada saat pembelajaran, (3) hambatan epistimologis (obstacles

of epistiomological) yaitu hambatan pada konsep itu sendiri, walaupun konsep

tersebut sudah dipelajari sebelumnya.11

Hambatan belajar siswa (learning obstacle) pada proses pembelajaran

memaksa guru untuk mempersiapkan pembelajaran di kelas secara matang.

Persiapan yang dilakukan antara lain membuat Rancangan Pelaksanaan

Pembelajaran yang sesuai dengan tujuan materi yang harus dicapai siswa. Guru

juga harus memprediksikan apa saja aktivitas yang akan terjadi di dalam kelas.

Selain persiapan diatas, untuk meminimalisir hambatan epistimologis pada saat

proses pembelajaran guru wajib membantu siswa mengingat pengetahuan yang

sudah dipelajari sebelumnya untuk dikaitkan dengan pengetahuan yang akan

dipelajari.

Kesalahan yang terjadi setelah adanya pembelajaran tersebut, guru perlu

memperbaiki rancangan pembelajaran yang sesuai dengan learning obstacle

yang telah teridentifikasi. Rangkaian yang harus disadari oleh guru dalam

analisis dan antisipasi tentunya memiliki tahapan yang harus dilakukan, yaitu :

(1) analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran (prospektif) yang wujudnya

berupa Disain Didaktis Hipotetis termasuk ADP, (2) analisis

metapedadidaktik, dan (3) analisis retrosfektif yakni analisis yang mengaitkan

11 Guy Brosseau,Theory of Didactical Situation in Mathematic,(Drodrecht: Kluwer Academic

Publisher, 1997),h.86

6

hasil analisis situasi didaktis hipotetis dengan hasil analisis

metapedadidaktik.12

Berdasarkan pemaparan diatas penulis tertarik untuk meneliti

permasalahan learning obstacle pada konsep elips irisan kerucut di Sekolah

Menengah Atas, sehingga permasalahan tersebut dapat dikurangi. Judul

penelitian ini adalah “Desain Didaktis Konsep Elips pada Irisan Kerucut untuk

Mengatasai Learning Obstacle pada Siswa Kelas XI ”.

B. Identifikasi Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah yang sudah dipaparkan diatas, maka

dapat diidentifikasi masalah dalam penelitian ini, sebgai berikut :

1. Rendahnya pemahaman siswa mengenai konsep elips pada irisan kerucut.

2. Siswa mengalami hambatan dalam menggunakan konsep elips pada irisan

kerucut.

3. Guru tidak dapat memprediksi respon siswa dan hambatan belajar pada

saat membuat rancangan pembelajaran.

C. Pembatasan Masalah

Agar penelitian ini lebih terarah dan tidak menimbulkan penfsiran yang

lain, maka dilakukan pembatasan masalah dalam penelitian ini antara lain :

1. Pokok bahasan yang dipilih adalah konsep elips yang meliputi elips pusat

(0,0) dan elips pusat (h,k).

2. Penyusunan desain didaktis dalam pembelajaran konsep elips berdasarkan

learning obstacle.

3. Penyusunan learning obstacle berdasarkan hambatan epistimologis terkait

konsep elips.

4. Penelitian dibatasi pada pembuatan desain didaktis revisi (satu siklus).

D. Perumusan Masalah

12 Didi Suryadi, Didactical Design Research (DDR) Dalam Pengembangan Pembelajran

Matematika,Seminar UNNES,2013,h.12

7

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas maka yang

menjadi rumusan masalah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Bagaimana learning obstacle yang terkait dengan konsep elips pada irisan

kerucut ?

2. Bagaimana desain didaktis konsep elips pada irisan kerucut berdasarkan

learning obstacle ?

3. Bagaimana respon siswa terhadap penerapan desain didaktis konsep elips

pada irisan keucut saat pembelajaran ?

4. Bagaimana desain didaktis revisi berdasarkan respon siswa setelah

penerapan desain didaktis awal ?

E. Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah yang telah diuraikan diatas, maka tujuan

peneitian ini adalah sebagai berikut :

1. Mengidentifikasi learning obstacle yang terkait dengan konsep elips pada

irisan kerucut.

2. Menyusun suatu desain didaktis konsep elips pada irisan kerucut.

3. Menganalisis respon siswa terhadap penerapan desain didaktis konsep

elips pada irisan kerucut.

4. Menyusun desain didaktis revisi konsep elips pada irisan kerucut

berdasarkan desain awal yang telah diimplementasikan.

F. Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini merupakan kelanjutan dari tujuan penelitian di atas.

Penelitian ini diharapkan mampu memberikan manfaat sebagai berikut :

1. Bagi guru

Mampu mengetahui desain didaktis yang cocok untuk diterapkan dikelas

agar dapat memperbaiki dan meningkatkan pembelajaran siswa khususnya

pada konsep elips.

2. Bagi sekolah

8

Mampu mengembangkan menuju arah penyempurnaan dalam

pembelajaran matematika di sekolah.

3. Bagi peneliti

Diharapkan dapat mengetahui mengenai desain didaktis yang tepat dan

selanjutnya dapat diterapkan pada proses penelitian selanjutnya.

9

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Deskripsi Konseptual

1. Konsep Elips Pada Irisan Kerucut

a. Irisan Kerucut

Irisan kerucut adalah perpotongan atau irisan antara bidang

lengkung kerucut tegak terhadap suatu bidang pengiris yang berupa

suatu bidang datar.13 Terdapat empat bentuk irisan kerucut berdasarkan

bidang pemotongnya:

Gambar 2. 1

Bentuk-bentuk irisan kerucut berdasarkan bidang pemotong

Salah satu bentuk yang akan dibahas pada penelitian ini adalah elips.

b. Elips

Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan

jaraknya ke tititk tertentu dan ke garis tertentu selalu tetap.14 Titik

tertentu itu disebut fokus, sedangkan garis tertentu itu disebut direktis.

Nilai perbandingannya disebut eksentrisitas (𝑒), dengan 0 < 𝑒 < 1. 15

13 Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar Matematika untuk

Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah kelas XI Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam,(Jakarta: Raja

Garfindo Persada,2016), h.61

14 ST Negoro dan B.Harahap, Ensiklopedia Matematika, (Jakarta: PT. Ghalia Indonesia, 2003),

h.75

15 ST Negoro dan B.Harahap, Ibid, h.75

10

Pada elips terdapat beberapa unsur, diantaranya sebagai berikut:16

Gambar 2. 3

Unsur-unsur elips

1) Sumbu simetri pada elips

a. Sumbu utama atau sumbu transversal, yaitu sumbu simetri yang

melalui titik pusat dan kedua titik fokus elips. Ruas garis 𝐴1𝐴2

pada sumbu panjang atau sumbu mayor. 𝑨𝟏𝑨𝟐 = 𝟐𝒂.

b. Sumbu sekawan atau sumbu konjugasi, yaitu sumbu simetri yang

tegak lurus dengan sumbu utama dan melalui titik pusat elips.

Ruas garis 𝐵1𝐵2 pada sumbu sekawan disebut sumbu pendek atau

sumbu minor. 𝑩𝟏𝑩𝟐 = 𝟐𝒃.

2) Titik pusat elips, yaitu titik potong sumbu utama dan sumbu sekawan

elips. Titik P merupakan titik pusat elips.

16Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Ibid, h.86

Gambar 2. 2 Bentuk elips

11

3) Titik puncak elips. 𝐴1 dan 𝐴2 merupakan titik puncak elips. Kedua

titik puncak dan titik fokus elips terletak pada sumbu utama.

4) Lactus rectum, yaitu panjang ruas garis yang melalui titik fokus elips

dan tegak lurus dengan sumbu utama. Panjang ruas garis tersebut

adalah jarak titik potong garis tersebut dengan elips. Panjang ruas

garis 𝐿1𝐿′1 dan 𝐿2𝐿′2 adalah lactus rectum. 𝑳𝟏𝑳′𝟏 = 𝑳𝟐𝑳′𝟐 =𝟐𝒃𝟐

𝒂

5) Pada gambar 𝐵1𝑃𝐹2 dengan menggunakan Teorema Phytagoras

diperoleh:

Dengan 𝑎 adalah setengah panjang sumbu mayor, 𝑏 adalah setengah

panjang sumbu minor, dan 𝑐 adalah setengah panjang jarak kedua

fokus elips.

Berdasarkan titik pusat elips dibedakan menjadi dua antara lain

sebagi berikut : 17

1) Elips dengan Pusat O (0,0)

a. Elips Mendatar

Gambar 2. 4

Elips mendatar dengan pusat O (0,0)

Elips seperti ini disebut dengan istilah elips mendatar

(horizontal). Persamaan elips yang berpusat O (0,0) adalah

17 Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Ibid.,h.86-93

𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐

h𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 > 𝑏2

dengan

12

Keterangan :

Pusat O (0,0)

Puncak A1 (-a,0) dan A2 (a,0)

Fokus F1(-c,0) dan F2 (c,0) dengan a2 = b2 + c2

Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y

Sumbu utama = 2a dan sumbu sekawan =2b

Direktriks :𝑥 =𝑎

𝑒

Eksentrisitas : 𝑒 =𝑐

𝑎

b. Elips Tegak

Gambar 2. 5

Elips tegak dengan pusat O (0,0)

Dengan memperhatikan titik 𝑇(𝑥, 𝑦) dan definisi elips,

maka persamaan elips tegak adalah

Keterangan :

Pusat O (0,0)

h𝑥2

𝑎2 +𝑦2

𝑏2 = 1 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 < 𝑏2

dengan

13

Puncak 𝐵1(0, 𝑏) dan 𝐵2(0, −𝑏)

Fokus 𝐹1(0, 𝑐) dan 𝐹2(0, −𝑐) dengan a2 = b2 + c2

Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y

Sumbu utama = 2b dan sumbu sekawan =2a

Direktriks :𝑦 =𝑏

𝑒

Eksentrisitas : 𝑒 =𝑐

𝑏

2) Elips dengan Pusat (ℎ, 𝑘)

a. Elips Mendatar

Gambar 2. 6

Elips mendatar dengan pusat ( h,k )

Dengan memperhatikan sebarang titik T yang terletak

pada elips, maka persamaan elips mendatar dengan pusat (ℎ, 𝑘)

adalah

Sifat – sifat elips mendatar sebagai berikut :

i. Sumbu utama adalah garis y=k dan sumbu sekawan

adalah garis x=h

ii. Koordinat titik puncak adalah 𝐴1(ℎ − 𝑎, 𝑘) dan 𝐴2(ℎ +

𝑎, 𝑘)

iii. Koordinat fokus adalah 𝐹1(ℎ − 𝑐, 𝑘) dan 𝐹2(ℎ + 𝑐, 𝑘)

h(𝑥−ℎ)2

𝑎2+

(𝑦−𝑘)2

𝑏2= 1, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 > 𝑏2

14

iv. Panjang sumbu mayor adalah 2a dan panjang sumbu

minor 2b

v. Nilai eksentrisitas 𝑒 =𝑐

𝑎

vi. Garis direktis adalah 𝑔1 dan 𝑔2 dengan persamaan 𝑥 =

ℎ −𝑎

𝑒 dan 𝑥 = ℎ +

𝑎

𝑒

vii. Panjang lactus rectum adalah 2𝑏2

𝑎

b. Elips Tegak

Gambar 2. 7

Elips tegak dengan pusat ( h,k )

Elips tegak atau elips vertikal dengan pusat (ℎ, 𝑘)

persamaannya adalah

Sifat – sifat elips tegak sebagai berikut :

i. Sumbu utama adalah garis x=h dan sumbu sekawan

adalah garis y=k

ii. Koordinat titik puncak adalah 𝐵1(ℎ, 𝑘 + 𝑏) dan 𝐵2(ℎ, 𝑘 −

𝑏)

iii. Koordinat fokus adalah 𝐹1(ℎ, 𝑘 + 𝑐) dan 𝐹2(ℎ, 𝑘 − 𝑐)

h(𝑥−ℎ)2

𝑎2 +(𝑦−𝑘)2

𝑏2 = 1, 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎2 < 𝑏2

15

iv. Panjang sumbu mayor adalah 2b dan panjang sumbu

minor 2a

v. Nilai eksentrisitas 𝑒 =𝑐

𝑏

vi. Garis direktis adalah 𝑔1 dan 𝑔2 dengan persamaan 𝑦 =

𝑘 +𝑏

𝑒 dan 𝑦 = 𝑘 −

𝑏

𝑒

vii. Panjang lactus rectum adalah 2𝑎2

𝑏

Bentuk umum persamaan elips dapat dituliskan dalam bentuk

sebagai berikut :

2. Learning Obstacle

Salah satu alasan belajar matematika dari Sekolah Dasar hingga

Sekolah Menengah adalah untuk melatih siswa agar bisa menyelesaikan

masalah di dalam kehidupan sehari-hari. Realita yang terjadi di lapangan

dalam proses belajar matematika siswa mengalami kendala-kendala. Hal ini

siswa mengalami suatu kondisi dimana ia belum siap menerima pelajaran

sehingga tidak dapat belajar sebagaimana mestinya. Hambatan atau kendala

dalam belajar ini biasa disebut Learning Obstacle.

Hambatan belajar yang dialami siswa disebabkan oleh beberapa faktor.

Sulit untuk menyalahkan dari sisi siswanya, dikarenakan terdapat kondisi

lain yang dapat mempengaruhi siswa dalam hambatan belajar. Menurut

Brosseau, terdapat 3 sumber dalam hambatan belajar antara lain :18

a. Hambatan Ontogenis (Obstacles of Ontogenic)

Hambatan ontogenis merupakan hambatan yang timbul akibat

keterbatasan siswa pada saat perkembangannya.

b. Hambatan Didaktis (Obstacles of Didactical)

18 Guy Brosseau, Op.Cit,h.86-87

𝐴𝑥2 + 𝐵𝑦2 + 𝐶𝑥 + 𝐷𝑦 + 𝐸 = 0

16

Hambatan didaktis merupakan hambatan yang disebabkan oleh

pengajaran daari guru dan bahan ajar yang dirancang pada saat

pembelajaran.

c. Hambatan Epistimologis (Obstacles of Epistiomological)

Hambatan epistimologis merupakan hambatan pada konsep itu sendiri,

walaupun konsep tersebut sudah dipelajari sebelumnya. Hambatan ini

terjadi ketika siswa masuk pada permasalahan baru, dimana

permasalahan ini membutuhkan pengetahuan sebelumnya dengan kata

lain siswa tersebut sudah mempelajarinya. Hal ini terjadi karena

pengetahuan sebelumnya tidak digunakan kembali, sehingga siswa

hambatan dalam menggunakan pengetahuannya tersebut disebabkan

pengetahuan yang dimiliki siswa tersebut hanya terbatas pada konten

tertentu. Hambatan belajar ini diperlukan adanya antisipasi dini dalam

membuat desain pembelajaran oleh guru. Rancangan desain didaktis

dapat memprediksi adanya learning obstacle yang mungkin muncul

pada saat pembelajaran.

Menurut Hercovics bahwa perkembangan pengetahuan ilmiah

seseorang banyak mengalami kendala epistimologis, dimana skemata

konseptual pada diri siswa mengalami kendala kognitif. Hercovics lebih

menyukai menggunakan istilah kendala kognitif dalam proses pembelajaran

dan istilah kendala epistimologi ketika merujuk ke masa yang lalu.19

Menurut Brousseau pengembangan pengetahuan ilmiah terjadi pada situasi

didaktis, serta melalui konsep lompatan informasi. Apabila lompatan

informasi mengalami hambatan maka terjadilah kendala epistimologis.

Hambatan epistimologis menyebabkan stagnasi pengetahuan ilmiah dan

bahkan penurunan pengetahuan seseorang.20

19 Euis Setiawati,Hambatan Epistemologi (Epistimological Obstacle) dalam Persamaan

Kuadrat Pada Siswa Madrasah Aliyah,Proceeding International Seminar and the Fourth National

Conference on Mathematics Education,ISBN: 978-979-16353-7-0, 2011, h.793 20 Euis,Ibid,h.794

17

Jadi hambatan epistimologis muncul ketika seseorang mendapatkan

permasalahan yang baru, namun ia tidak dapat mengatasinya walaupun ia

sudah memiliki pengetahuan sebelumnya. Hal ini dikarenakan ia mengalami

hambatan dalam menggunakannya, sebab pengetahuan yang ia miliki hanya

terbatas pada permasalahan tertentu.

Oleh karena itu, penelitian ini menggunakan hambatan epistimologis

sebagai tolak ukur dalam mendesain rancangan pembelajaran. Hambatan

belajar siswa dapat diidentifikasi dari hasil penyelesaian persoalan

matematika secara tertulis selanjutnya dengan mengajukan pertanyaan –

pertanyaan lisan. Jika hasil tersebut menunjukkan bahwa siswa melakukan

kesalahan, maka perlu dilakukan analisis hambatan yang dialami siswa

tersebut, bagaimana siswa tersebut membuat kesalahan. Hal ini dilakukan

untuk mengkaji hambatan belajar siswa dalam konsep elips, maka perlu

dirancang sebuah tes dengan materi konsep elips.

3. Metapedadidaktik

Dua aspek mendasar dalam pembelajaran yaitu hubungan siswa-materi

dan hubungan guru-siswa dapat menciptkan situasi didaktis maupun

pendagogis yang tidak sederhana bahkan yang terjadi bisa saja kompleks.21

Guru dalam konteks pendidikan memiliki peran dalam mengelola

pendagogik dan didaktik pada pembelajaran peserta didik untuk mencapai

tujuan pembelajaran yang ideal.

Menurut Kansanen dalam Suryadi menyatakan hubungan yang

menggambarkan hubungan didaktis (HD) antara siswa dan materi, serta

hubungan pendagogis (HP) antara guru dan siswa.22 Penggambaran tersebut

menurut Suryadi belum memuat hubungan antara guru dengan materi,

karena hubungan didaktis dan pendagogis haruslah dipahami secara utuh.

Hal tersebut dikarenakan hubungan didaktis dan pendagogis tidak dapat

terjadi secara bersamaan. Atas dasar hal tersebut, segitiga didaktis Kansanen

21 Didi Suryadi, Op.Cit,h.3

22 Didi Suryadi, Ibid, h.3

18

dimodifikasi dengan menambahkan Antisipasi Didaktis dan Pendagogis

(ADP).23 Jadi, Hubungan ketiganya digambarkan sebagai berikut:

Gambar 2. 8

Segitiga yang telah dimodifikasi

Antisipasi Didaktis dan Pendagogis (ADP) dilakukan untuk

mengetahui berbagai macam respon siswa atas situasi pembelajaran di kelas

sehingga tercipta situasi didaktis baru. Proses penyusunan ADP haruslah

memperhatikan learning trajectory (lintasan belajar) siswa. Hypothetical

learning trajectory (HLT) adalah suatu prediksi bagaimana pemikiran dan

pemahaman siswa berkembang dalam aktivitas pembelajaran.24

Hypothetical learning trajectory (HLT) memuat prediksi dan respon siswa

yang berfungsi sebagai dasar penyusunan desain pembelajaran yang akan

dikembangkan. HLT disusun berdasarkan analisis tes learning obstacle

siswa, analisis repersonalisasi, dan analisis rekontekstualisasi.

Repersonalisasi dan rekontekstualisasi dilakukan guna memudahkan guru

23 Didi Suryadi, Ibid, h.3

24 Rully Charitas, Design Research (Teori dan Implementasinya : Suatu Pengantar), (Depok:

rajawali Pers,2017), h.20

19

untuk melihat gambaran secara utuh tentang materi yang akan disampaikan

serta melihat gambaran suasana yang melatari aktivitas pembelajaran.25

Peran guru dalam konteks segitiga didaktis yang telah dimodifikasi

adalah menciptakan suatu situasi didaktis sehingga terjadi proses belajar

dalam diri siswa. Hal ini berarti seorang guru selain perlu menguasai materi

ajar, juga diperlukan pengetahuan lainnya yang terkait dengan siswa serta

mampu menciptakan relasi didaktis antara siswa dan materi ajar sehingga

tercipta suatu situasi didaktis yang ideal bagi siswa.26

Untuk menciptakan situasi didaktis maupun pendagogis yang sesuai,

dalam menyusun rencana pembelajaran guru perlu memandang situasi

pembelajaran secara utuh sebagai suatu objek. Situasi didaktis dan

pendagogis yang terjadi dalam suatu pembelajaran merupakan situasi yang

sangat kompleks, maka guru perlu mengembangkan kemampuan untuk bisa

memandang proses tersebut secara komprehensif, mengidentifikasi dan

menganalisis hal-hal penting yang terjadi , serta melakukan tindakan yang

tepat sehingga tahapan pembelajaran berjalan lancar dan hasilnya siswa

belajar dengan optimal.

4. Teori Belajar yang Terkait

Memahami teori tentang bagaimana seseorang belajar serta

kemampuan menerapkannya dalam pengajaran matematika merupakan

persyaratan penting untuk menciptakan proeses pembelajaran efektif.27

Berbagai studi tentang perkembangan intelektual manusia telah

menghasilkan sejumlah teori belajar yang beragam. Teori belajar yang

mendukung digunakan dalam penelitian ini sebagai berikut:

25 Tatang Suratno, Didaktik dan Didactical Design Research. Dalam D.Suryadi, E. Mulyana,

T.Suratno, D.A.K. Dewi, dan S.Y.Maudy (Eds.) Monograf Didactical Design Research, (Bandung

: Rizqi Press, 2016), h.8 26 Didi Suryadi,Ibid,h.3 27 Didi Suryadi, Op.Cit., h.1

20

a. Teori Ausubel

Teori ini dikenalkan oleh David Ausubel ialah tentang belajar

bermakna. Bagi Ausubel, belajar bermakna merupakan suatu proses

dikaitkannya informasi baru pada konsep-konsep yang relevan. Hal ini

terdapat dalam struktur kognitif seseorang.28 Jadi belajar bermakna

dapat dikatakan melalui tahapan mengetahui, memahami,

mengaplikasikan, dan memilikinya untuk dimanfaatkan lebih

lanjut.Terdapat empat tipe belajar berdasarkan teori belajar Ausubel:29

1) Belajar dengan penemuan bermakna, mengaitkan pengetahuan yang

sudah dimilikinya dengan materi pelajaran yang sedang siswa

pelajari.

2) Belajar dengan penemuan tidak bermakna, pelajaran yang

ditemukan sendiri oleh siswa tanpa dikaitkan dengan pengetahuan

yang sudah dimilikinya, lalu siswa hafalkan.

3) Belajar menerima bermakna, materi yang telah tersusun secara logis

disampaikan kepada siswa sampai bentuk akhir, lalu pengetahuan

yang baru siwa kaitkan dengan pengetahuan yang sudah dimilikinya.

4) Belajar menerima tidak bermakna, materi yang telah tersusun secara

logis disampaikan kepada siswa sampai bentuk akhir, lalu

pengetahuan yang baru siswa hafalkan tanpa mengaitkan dengan

pengetahuan yang sudah dimilikinya.

Misalnya jika siswa menemukan persamaan elips, siswa akan

mengaitkannya dengan unsur-unsur dari elips itu sendiri sehingga siswa

dapat memvisalisasikan dalam bentuk gambar terlebih dahulu.

Selanjutnya siswa akan menemukan dan menbangun pengetahuannya

sendiri dari berbagai macam masalah elips yang lainnya.

28 Ratna Wilis Dahar, Teori-Teori Belajar dan Pembelajaran,(Jakrta: Erlangga,2011),h.95

29 Amin Otoni Harefa, Penerapan Teori Pembelajaran Ausubel dalam Pembelajaran,Majalah

Ilmiah Warta Dharmawangsa,Edisi 3,ISSN: 1829-7463, 2013, h.48-49

21

b. Teori Vygotsky

Menurut Vygotsky menyatakan bahwa seluruh fungsi mental yang

lebih tinggi berasal dari lingkungan sosial. Meskipun pembelajaran

sosial mempengaruhi konstruksi pengetahuan, tetapi harus

diperhitungkan dalam menjelaskan pembelajaran dan perkembangan.

Terdapat ringkasan tentang poin-poin pokok dalam teori Vygotski

sebagai berikut :30

a. Interaksi-interaksi sosial itu penting; pengetahuan dibangun

diantara dua atau lebih orang.

b. Pengaturan-diri dikembangkan melalui internalisasi

(mengembangkan sebuah representasi internal) dari tindakan -

tindakan dan operasi-operasi mental yang terjadi dalam interaksi

sosial

c. Perkembangan manusia terjadi melalui alat-alat kultural (bahasa,

simbol-simbol) yang diteruskan dri orang ke orang

d. Bahasa adalah alat kultural yang paling penting. Bahasa

berkembang dari tuturan sosial, ke tuturan pribadi, ke tuturan

tersembunyi (di dalam)

e. Zona perkembangan proksimal (ZPD/zone of proximal

development) adalah perbedaan antara apa yang dapat dilakukan

sendiri oleh anak-anak dan apa yang dapat mereka lakukan dengan

bantuan orang lain. Interaksi dengan orang-orang dewasa dan

teman-teman sebaya dalam ZPD mendorong perkembangan

kognitif.

Dari poin-poin tersebut dapat disimpulkan bahwa proses

siswa dalam mempelajari suatu konsep tidak terlepas dari aktifnya

siswa dalam berinteraksi dengan teman sebaya maupun orang dewasa

yang telah menguasai materi tersebut. Orang dewasa yang

dimaksudkan ialah guru. Peran guru tidak hanya sebatas mengajar saja,

30 Dale H.Schunk,Learning Theories An Educational Perspective (Teori-Teori Pembelajaran

:Perspektif Pendidikan ), (Yogyakarta:Pustaka Pelajar,2012),h.340-341

22

namun guru harus berperan sebagai fasilitator untuk mencapai tujuan

pembelajaran yang diinginkan. Menurut Vygotsky, kegiatan belajar

dapat meningkatkan keaktifan siswa untuk berinteraksi dengan orang

yang lebih dewasa maupun dengan teman sebayanya. Pemecahan

masalah yang dilakukan oleh siswa akan berbeda dengan pemecahan

melalui bantuan orang yang lebih dewasa (zone of proximal

development). Bantuan yang diberikan terhadap setiap individu siswa

tidaklah konstan, melainkan memberi bantuan secara bertahap,

sehingga guru mampu menciptakan situasi didaktis.

c. Piaget

Menurut Piaget bahwa proses belajar seseorang harus disesuaikan

dengan tahap perkembangan kognitif yang dilalui oleh individu

tersebut. Terdapat empat tahap, antara lain tahap sensomotor, tahap ini

berlangsung pada usia anak 1,5 sampai 2 tahun; tahap praoperasional,

tahap ini berlangsung pada usia anak 2 sampai 8 tahun; tahap

operasional konkret, tahap ini berlangsung pada anak usia 7/8 tahun

sampai 12/14 tahun); dan tahap operasional formal, tahap ini

berlangsung pada anak usia 14 tahun keatas.31

Menurut Piaget, terdapat tiga tahapan proses belajar siswa antara

lain sebagai berikut :32

a. Asimilasi

Asimilasi merupakan proses pengintegrasian informasi baru ke

struktur kognitif yang telah ada sebelumnya. Proses ini terjadi

secara kontinu selama proses perkembangan intelektual anak.

b. Akomodasi

Akomodasi merupakan proses penyesuaian struktur kognitif ke

dalam situasi baru. Proses akomodasi terjadi untuk mengubah

struktur kognitif yang telah ada agar sesuai dengan stimulus yang

31 Evelin Siregar dan Hartini Nara, Teori Belajar dan Pembelajaran, (Bogor : Ghalia

Indonesia. Cet ke-2, Oktober 2010, h.33 32Evelin Siregar dan Hartini Nara,Ibid, h.32

23

baru didapat. Proses asimilasi dan akomodasi terjadi secara

bersama-sama sehingga menyebabkan terjadinya proses adaptasi

dan perkembangan struktur intelektual.

c. Equilibrasi (penyeimbang)

Equilibrasi merupakan penyeimbang anatar dunia luar dengan

dunia dalam. Maksudnya ialah setiap individu yang ingin

beradapatasi dengan lingkungnnya harus mencapai keseimbangan

antara aktivitas individu (internal) terhadap lingkungannya

(eksternal).

Misalnya seorang siswa sudah mengetahui prinsip fungsi

kuadrat, jika guru memperkenalkan siswa metode penyelesaian

elips, maka terjadilah proses pengintegrasian antara prinsip fungsi

dengan metode penyelesaian elips, ini dinamakan proses asimilasi.

Jika siswa diberikan soal elips yang diketahui titik pusatnya

berbeda, maka situasi ini dinamakan akomodasi. Agar siswa dapat

terus berkembang, maka diperlukan proses penyeimbangan.

d. Teori Van Hiele

Teori Van Hiele dikembangkan oleh dua pendidik berkebangsaan

Belanda, Pierre Marie Van Hiele dan Dina Van Hiele-Geldof. Teori ini

menjelaskan perkembangan berfikir siswa dalam belajar geometri.

Menurut teori ini, seseorang akan melalui lima level perkembangan

berfikir dalam belajar geometri, yaitu sebagai berikut:33

a. Level 0 : Tingkat Visualisasi

Tingkat ini disebut tingkat pengenalan. Pada level ini siswa hanya

mengetahui suatu bangun geometri sebagai suatu keseluruhan

tanpa mengamati ciri-ciri dari bagian bangun tersebut.

b. Level 1 : Tingkat Analisis

33 Abdussakir,Pembelajaran Geometri Sesuai Teori Van Hiele,Jurnal Madrasah, Vol.11

No.1,2009,h.3-4

24

Tingkat ini dikenal sebagai tingkat deskriptif, dimana siswa sudah

mampu mengenal bangun geometri beserta ciri-cirinya dan siswa

sudah terbiasa menganalisis bagian-bagian suatu bangun geometri.

c. Level 2 : Tingkat Abstraksi

Tingkat ini disebut juga tingkat pengurutan atau tingkat relasional.

Dengan kata lain siswa pada level ini siswa sudah bisa memahami

hubungan antar sifat bangun yang satu dengan sifat bangun yang

lain.

d. Level 3 : Tingkat Deduksi Formal

Pada tingkat ini siswa dapat memahami peran definisi, aksioma,

dan teorema dalam geometri. Selain itu, siswa juga mampu

menyusun bukti – bukti secara formal.

e. Level 4 : Tingkat Rigor

Tingkat ini disebut juga tingkat matematis dimana siswa mampu

melakukan penalaran secara formal tentang sistem-sistem

matematika, termasuk sistem geometri, tanpa memerlukan model

konkret sebagai acuan.

Jika diterapkan pada peneliian ini sebagai contohnya yaitu

bermula dengan siswa mengamati bentuk elips dari persamaan elips

yang telah diketahui sebelumnya, lalu siswa akan menganalisis dari

unsur-unsur yang didapatkan dari mengamati, dengan begitu siswa

akan menghubungkan konsep elips dengan unsur-unsurnya.

Selanjutnya siswa akan menerapkan aksioma dan teorema yang ada

tanpa mengetahui model konkretnya.

B. Hasil Penelitian yang Relevan

1. Penelitian yang dilakukan Putri Permata Sari (2016) yang berjudul

“Analisis Kasus Rendahnya Prestasi Belajar Matematika Siswa Pada

Materi Irisan Kerucut dan Solusi Pemecahannya Di Kelas XI IA SMAIT

Nur Hidayah”. Hasil penelitian tersebut menunjukkan siswa kurang

memiliki motivasi belajar, materi irisan kerucut sulit untuk dipahami,

25

siswa merasa kesulitan pada dikarenakan materi tidak dapat

divisualisasikan, penguasaan konsep lemah, siswa merasa kesulitan dalam

mengidentifikasi unsur, intusi sswa dalam mengerjakan soal lemah, serta

siswa kurang terampil dalam mengerjakan soal – soal bervariatif.34

2. Penelitian yang dilakukan Tsena Cendekia Wardani (2016) yang berjudul

“Desain Bahan Ajar Berbasis Komunikasi Matematis Pada Materi Elips

Kelas XI”. Hasil penelitian tersebut menunjukkan terdapat 3 hambatan

belajar (learning obstacle) yang ditemukan pada analisis tes kemampuan

responden terkait kemampuan komunikasi matematis yaitu learning

obstacle dalam menentukan persamaan elips berpusat di O (0,0), learning

obstacle dalam menentukan persamaan elips berpusat di (h,k) dan learning

obstacle terkait kemampuan komunikasi matematis.35

3. Penelitian yang dilakukan Dewi Malihatud Darojah dan Suparman (2018)

yang berjudul “Analisis Kebutuhan Desain Pembelajaran Irisan Kerucut

Menggunakan Pendekatan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia”.

Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa kurikulum yang diterapkan

oleh SMAN 1 Kebumen menggunakan kurikulum 2013. Dilihat dari

metode pembelajaran guru dalam menjelaskan irisan kerucut belum

menggunakan pendekatan saintifik, dan pembelajaran masih berpusat pada

guru. Hal ini mengakibatkan karakteristik siswa cenderung pasif, karena

pada saat pembelajaran guru hanya memberikan rumus formal dan contoh

soal. Hal ini menyebabkan kurangnya pemahaman siswa terhadap materi

irisan kerucut.36

C. Kerangka Berpikir

Tujuan utama mempelajari matematika agar siswa dapat meningkatkan

kemampuan berpikir, baik itu berpikir penalaran, kritis, logis, dan sistematis

dalam menyelesaikan masalah. Untuk mencapai tujuan tersebut yaitu dengan

menciptakan dan mengkondisikan siswa pada saat proses pembelajaran yang

34 Putri Permata Sari,Ibid,h.451 35 Tsena Cendekia Wardani,Ibid,h.4

36 Dewi Malihatud Darojah dan Suparman,Op.Cit.,h.513

26

memungkinkan siswa dapat mengeksplorasi pengetahuannya sendiri. Salah

satu materi di pembelajaran geometri SMA ialah irisan kerucut. Materi ini

cukup menarik dikarenakan siswa harus menentukan irisan seperti apa yang

terjadi jika bidang pengiris memotong dengan arah tertentu. Walaupun realita

tidak selalu sesuai dengan harapan dan tujuan. Banyak siswa mengalami

hambatan dalam memahami materi irisan kerucut terutama pada elips.

Hambatan belajar yang dialami siswa pada saat aktivitas belajar ini dikenal

dengan learning obstacle.

Learning Obstacle muncul disebabkan oleh tiga faktor seperti

dikemukakan oleh Brousseau yaitu hambatan ontogeny (kesiapan mental

belajar), hambatan didaktis (pengajaran guru atau bahan ajar), dan hambatan

epistimologis (pengetahuan siswa yang memiliki konteks aplikasi yang

terbatas). Proses mengurangi learning obstacle terutama pada hambatan

epistimologis membutuhkan persiapan yang matang dan mendalam sebelum

menyampaikan konsep matematika. Persiapan dilakukan sebelum aktivitas

belajar dimulai, hal ini sangat erat dengan peran guru. Hal ini mengharuskan

guru membuat rancangan pembelajaran untuk mengantisipasi respon siswa

pada saat proses pembelajaran.

Dalam menciptakan situasi didaktis dan pendagogis pada saat

pembelajaran, guru harus memperhatikan hubungan guru dengan materi

(ADP), guru dengan siswa (HP), serta siswa dengan materi (HD). Guru

diharuskan untuk membuat rancangan sebelum pembelajaran, saat proses

pembelajaran berlangsung, dan setelah proses pembelajaran. Hal ini dilakukan

untuk mengantisipasi respon siswa pada saat pembelajaran berlangsung.

Pada penelitian ini, konsep geometri yang akan dibahas adalah konsep

materi irisan kerucut. Banyak siswa yang belum memahami konsep elips itu

sendiri baik itu unsur-unsurnya maupun penggunaan persamaan elips pada

masalah tertentu. Jika dilihat dari realitanya siswa hanya menghafalkan rumus.

Hal ini dapat mengakibatkan kekeliruan dan kesalahan dalam penggunaan

rumus itu sendiri. Oleh karena itu, guru sebagai peran penting harus

mengetahui dan memahami tahap perkembangan intelektual siswa, sehingga

27

dalam merancang proses pembelajaran dapat sesuai dengan kemampuan siswa

agar pembelajaran dapat lebih bermakna.

Didactical Design Research merupakan suatu rancangan pembelajaran

yang memfokuskan dan memperhatikan respon siswa, penyusunan desain

didaktis berdasarkan konsep sebuah materi berupa bahan ajar yang akan

disajikan dengan mempertimbangkan learning obstacle yang telah

diidentifikasi sebelumnya, sehingga desain yang dibuat dapat meminimalisir

learning obstacle. Desain didaktis ini dirancang untuk menciptakan situasi

didaktis dan pendagogis antara guru, siswa, serta materi.

Adapun tahapan dalam penelitian ini menurut Suryadi, desain didaktis

terdiri dari tiga tahap, yaitu : 1) Analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran

(retrospektif), 2) Analisis metapedadidaktik, 3) Analisis retrospektif yaitu

mengaitkan hasil analisis situasi didaktis hipotesis dengan analisis

metapedadidaktik. Dari ketiga analisis tersebut akan tercipta sebuah desain

bahan ajar yang tidak menutup kemungkinan untuk disempurnakan kembali

melalui ketiga tahapan DDR tersebut.

28

Gambar 2. 9

Desain Penelitian DDR Konsep Elips

29

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

A. Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian dilakukan di Sekolah Menengah Atas (SMA) kelas XI program

IPA pada mata pelajaran matematika peminatan. Penelitian ini dilaksanakan

pada semester genap tahun ajaran 2018/2019 dengan rincian sebagai berikut :

Tabel 3. 1

Waktu Pelaksanaan Kegiatan Penelitian

Tanggal Kegiatan penelitian

17 Januari 2019

Tes identifikasi learning obstacle awal dan

wawancara kepada siswa dan guru mata

pelajaran.

28 Maret 2019 Implementasi desain pembelajaran definisi dan

unsur elips.

29 Maret 2019

dan

11 April 2019

Implementasi desain pembelajaran elips pusat

(0,0).

12 April 2019 Implementasi desain pembelajaran elips pusat

(h,k).

B. Metode Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian kualitatif. Penelitian kualitatif adalah

penelitian yang mencoba memahami fenomena dalam setting dan konteks

naturalnya.37 Desain penelitian kualitatif ini lebih fleksibel dan tidak kaku,jadi

langkah selanjutnya akan ditentukan oleh temuan selama proses penelitian.38.

Perubahan desain penelitian kualitatif harus dirancang secara lengkap dan rinci

agar terlihat bagian mana saja yang terjadi perubahan.

37 Samiaji Sarosa, Penelitian Kualitatif Dasar – Dasar, (Jakarta : PT INDEKS, 2017), h.8

38 Samiaji Sarosa, Ibid.,h.11

30

Desain yang digunakan penulis dalam penelitian ini berupa Didactical

Design Research (Penelitian Desain Didaktis). Desain didaktis merupakan

rancangan bahan ajar yang disusun berdasarkan tes learning obstacle pada

suatu materi tertentu, dengan harapan dapat meminimalisasi hambatan yang

dialami oleh siswa.39 Penelitian desain didaktis terdiri dari tiga tahapan, yaitu

:40 (1) analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran; (2) analisis

metapedadidaktik ; (3) analisis retrosfektif, yaitu analisis yang mengaitkan

hasil analisis situasi didaktis hipotesis dengan analisis metapedadidaktik.

Tahapan – tahapan yang dilaksanakan dari awal penelitian hingga

penyusunan laporan penelitian sebagai berikut :

1. Tahap Analisis Situasi Didaktis Sebelum Pembelajaran.

a. Menentukan pokok bahasan dalam matematika yang akan menjadi

bahan dalam penelitian, dalam penelitian ini mengenai pokok bahasan

elips pada irisan kerucut.

b. Menganalisis pokok bahasan elips pada irisan kerucut.

c. Repersonalisasi yaitu tahapan dimana peneliti melakukan analisis

buku paket matematika yang digunakan siswa dan bahan ajar yang

digunakan guru pada materi yang akan diteliti, serta memahami

penelitian terdahulu yang mengkaji hambatan belajar yang sudah

ditemukan.

d. Menyusun dan mengonsultasikan instrumen tes learning obstacle

yang dialami siswa.

e. Melakukan tes learning obstacle dan melakukan wawancara kepada

siswa yang sudah mempelajari materi elips sebelumnya.

f. Melakukan observasi, dokumentasi, dan wawancara kepada guru mata

pelajaran terkait pengalamannya selama proses pembelajaran materi

elips.

39 Edya Kresna Annizar dan Didi Suryadi, Desain Didaktis Pada Konsep Luas Daerah Trapesium

Untuk Kelas V Sekolah Dasar,EduHumaniora: Jurnal Pendidikan Dasar,Vol.8, No.1,ISSN: 2085-

1243, 2016, h.23 40 Didi Suryadi, Op.Cit.,h.12

31

g. Menganalisis hasil tes learning obstacle dan wawancara untuk

mengidentifikasi learning obstacle materi elips.

h. Melakukan rekontektualisasi yaitu membuat sebuah alternatif alur

pembelajaran berdasarkan analisis tes learning obstacle dan analisis

materi berbagai sumber.

i. Menyusun dan mengonsultasikan desain didaktis awal yang sudah

dibuat kepada orang yang ahli di bidangnya. Desain didaktis ini dibuat

sesuai dengan learning obstacle yang telah diidentifikasi.

j. Membuat prediksi respon siswa yang mungkin muncul pada saat

desain didaktis diimplementasikan dan mempersiapkan antisipasi dari

repon yang muncul.

2. Tahap Analisis Metapedadidaktik

a. Mengimplementasikan desain didaktis yang telah disusun

b. Menganalisis situasi, respon siswa, dan antisipasi terhadap respon

siswa saat desain diimplementasikan

3. Tahap Analisis Retrosfektif

a. Mengaitkan hasil ananlisis situasi didaktis hipetisi dengan analisis

metapedadidaktik.

b. Menganalisis kemunculan learning obstacle yang sudah

teridentifikasi sebelumnya.

c. Melakukan revisi terhadap desain didaktis yang disusun berdasarkan

respon siswa

d. Menyusun laporan akhir penelitian

C. Subyek Penelitian

Subyek penelitian ini dibagi menjadi dua kelompok. Kelompok pertama

adalah siswa SMA yang telah mempelajari konsep elips untuk diberikan tes

learning obstacle, yaitu kelas XI dengan program MIPA. Subjek penelitian

kelompok kedua adalah siswa yang akan diberikan pembelajaran

menggunakan desain didaktis konsep elips , yaitu kelas XI program MIPA.

32

D. Teknik Pengumpulan Data

Teknik pengumpulan data yang dilakukan penelitian ini adalah melalui

studi literatur dan studi lapangan. Secara khusus, pengumpulan data dalam

penelitian ini yaitu dengan menggunakan tes learning obstacle, wawancara,

observasi, dan dokumentasi. Wawancara dilakukan setelah melaksanakan tes

learning obstacle. Sedangkan observasi dilakukan secara langsung selama

pelaksanaan tes learning obstacle, wawancara, dan implementasi desain

didaktis. Dokumentasi dilakukan untuk memperoleh data langsung dari tempat

penelitian, buku – buku, dan data lain yang relevan.

E. Teknik Analisis Data

Dalam penelitian desain didaktis ini akan dilakukan tiga tahapan

penelitian, yaitu analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran, analisis

metapedadidaktik, dan analisis retrosfektif. Maka tahapan analisis data dalam

penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran (prospektif), yaitu analisis

tes learning obstacle dan hasil wawancara untuk mengidentifikasi

learning obstacle konsep elips pada irisan kerucut. Setelah itu dilakukan

penyusunan desain didaktis dengan konsep elips pada irisan kerucut.

2. Analisis metapedadidaktik, yaitu analisis situasi dan berbagai respon saat

desain didaktis konsep elips diimplementasikan

3. Analisis retrospektif, yaitu analisis hasil implementasi desain didaktis awal

beserta respon – respon siswa yang munul. Hasil analisis ini berupa desain

didakits revisi.

33

BAB IV

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Proses penelitian desain didaktis ini dilakukan dalam tiga tahap analisis yang

diformulasikan berdasarkan tahap berpikir guru. Tahap pertama, dilakukan sebelum

pelaksanaan pembelajaran yaitu analisis prospektif dimana difokuskan pada

kegiatan analisis learning obstacle, rekontekstualisasi dan repersonalisasi.

Kegiatan rekontekstualisasi dan repersonalisasi bertujuan sebagai dasar

pengembangan desain didaktis hipotesis dan antisipasi didaktis pendagogis (ADP).

Tahap kedua, dilakukan selama pembelajaran berlangsung dengan menerapkan

analisis metapedadidaktik. Tahap ketiga, setelah pelaksanaan proses pembelajaran,

dilakukan analisis retrospektif, yaitu merefleksikan apa yang terjadi selama

kegiatan pembelajaran berlangsung kemudian dikaitkan dengan desain didaktis

hipotesis. Ketiga tahap tersebut diformulasikan sebagai langkah untuk

mendapatkan desain didaktis empirik yang dapat dikembangkan dan

disempurnakan.

A. Analisis Prospektif

Analisis prospektif merupakan analisis situasi didaktis sebelum pembelajaran

yang terdiri dari tiga analisis yaitu learning obstacle, repersonalisasi dan

rekontekstualisasi, serta pengembangan desain didaktis. Analisis learning obstacle

ialah memetakan dan menguraikan semua hambatan yang dialami oleh peserta

didik pada konsep elips. Analisis repersonalisasi dan rekontekstualisasi ialah

menganalisis konteks materi elips dengan mempertimbangkan hambatan belajar

siswa (learning obstacle) dan lintasan belajar siswa (learning trajectory).

Pengembangan desain didaktis disusun berdasarkan hasil analisis repersonalisasi

dan rekontekstualisasi. Hasil pengembangan desain tersebut berupa desain didaktis

hipotesis yang terdiri dari Hypothetical Learning Trajectory (HLT) dan Lembar

Kerja Siswa (LKS).

34

1. Analisis Learning Obstacle Materi Elips

Dalam penyusunan desain bahan ajar yang baik perlu dilakukan identifikasi

learning obstacle yang dialami oleh siswa pada konsep yang akan dipelajari, dalam

hal ini ialah konsep elips pada irisan kerucut. Setelah mengidentifikasi learning

obstacle langkah selanjutnya ialah menganalisisnya sebagai pertimbangan dalam

pembuatan desain bahan ajar yang sesuai dengan kebutuhan siswa. Hal ini

dilakukan agar dapat mengatasi hambatan yang dialami oleh siswa sebelumnya.

Dalam mengidentifikasi learning obstacle konsep elips, peneliti menyusun

instrumen tes yang terdiri dari enam butir soal yang mewakili seluruh konsep elips.

Instrumen tes tersebut di uji cobakan kepada siswa SMA Plus Pembangunan Jaya

kelas XI MIPA yang terdiri dari 23 siswa. Siswa yang mengikuti tes tersebut telah

mempelajari materi elips pada semester ganjil. Setelah melaksanakan tes, peneliti

melakukan wawancara kepada siswa.

Berdasarkan hasil tes instrumen tersebut, peneliti menemukan beberapa

learning obstacle yang difokuskan pada hambatan yang bersifat epistimologi

berdasarkan respon siswa setelah instrumen diberikan. Berikut ini adalah proses

pengerjaan siswa dalam menyelesaikan soal berkaitan dengan konsep elips.

Tabel 4. 1

Kodifikasi dan Persentase Hambatan Siswa pada Konsep Elips

No.S

oal

Kod

ifik

asi

Hambatan yang dialami siswa

Persentase learning

obstacle awal

/ Kode

hambatan

/ Butir

Soal

1 1A

Siswa tidak dapat membaca unsur-

unsur pada elips yang berpusat di

(0,0) maupun (h,k) di koordinat

kartesius

79,13% 79,13%

2

2A Siswa lupa dengan formula lactus

rectum 29,13%

46,30%

2B

Siswa yang keliru dalam

menggunakan persamaan elips

tegak yang berpusat di (0,0)

63,48%

3 3A Siswa yang keliru dalam

menentukan jari-jari mayor dan titik 64,78% 68,48%

35

fokus pada elips datar yang berpusat

di (h,k)

3B

Siswa keliru dalam menggunakan

persamaan elips datar yang berpusat

di (h,k)

72,17%

4

4A

Siswa yang mengalami kesulitan

mengubah persamaan bentuk umum

elips menjadi persamaan elips

sederhana

93,91%

96,09%

4B

Siswa keliru dalam menentukan titik

fokus dan titik pusat pada elips yang

berpusat di (h,k)

98,26%

5

5A

Siswa keliru dalam menentukan

jari-jari mayor dan minor pada elips

yang berpusat di (0,0)

96,52%

98,26%

5B Siswa keliru dalam menggunakan

elips yang berpusat di (0,0) 100,00%

6

6A


jari-jari mayor dan minor pada elips


84,78%

92,39%

6B


jarak fokus ke titik pusat

menggunakan phytagoras

100,00%

Persentase rata-rata hambatan epistimologis siswa

pada konsep Elips 80,20%

Keterangan :

Persentase /kode hambatan siswa : 100% − (𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟

𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑖𝑠𝑤𝑎 𝑥 𝑠𝑘𝑜𝑟 𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑙𝑥100%)

Persentase /butir soal : rata-rata persentase hambatan tiap butir soal

Secara keseluruhan dapat dilihat dari presentase rata-rata hambatan

epistimologis siswa pada konsep elips yaitu sebesar 80,20%. Hal ini menunjukkan

bahwa masih banyak siswa yang mengalami hambatan pada konsep elips. Tentunya

hal ini perlu menjadi perhatian untuk mencari apa saja penyebab hambatan tersebut,

sehingga menjadikan sebagai dasar pertimbangan untuk mengembangkan desain

didaktis yang sesuai agar dapat mengatasi hambatan epistimologis siswa.

Berikut ini merupakan peta hambatan serta analisis hambatan siswa pada

konsep elips.

36

Gambar 4. 1

Peta Hambatan Epistimologis Siswa pada Konsep Elips

Berdasarkan data hasil identifikasi learning obstacle konsep elips yang

diujicobakan kepada beberapa subjek, hambatan epistimologis siswa terkait konsep

elips dikelompokkan sebagai berikut.

1. Definisi dan unsur-unsur elips

Pada kelompok ini, siswa mengalami hambatan atau hambatan dalam

membaca apa saja unsur-unsur dari gambar elips yang telah disajikan. Hal ini

menyebabkan siswa tidak dapat membedakan unsur-unsur yang terdapat pada

dua gambar elips yang berbeda.

2. Elips berpusat di (0,0)

Pada kelompok ini, siswa mengalami hambatan dalam menggunakan

persamaan elips di (0,0). Selain itu, siswa keliru dalam menentukan jari-jari

mayor & minor, panjang sumbu mayor & minor, lactus rectum, serta jarak

fokus ke titik pusat menggunakan phytagoras.

37

3. Elips berpusat di (h,k)

Pada kelompok ini, siswa mengalami hambatan dalam menggunakan

persamaan elips di (h,k); siswa keliru dalam mengubah persamaan bentuk

umum ke persamaan sederhana; serta siswa hambatan menentukan jari-jari

mayor & minor, titik pusat, dan titik fokus.

Sebagian besar hambatan yang dialami siswa adalah kekeliruan dalam

mengaplikasikan rumus-rumus dalam suatu masalah. Hal ini dikarenakan siswa

cenderung menghafal jenis-jenis elips beserta rumusnya, sehingga siswa bingung

dalam penggunaan rumus persamaan elips maupun unsur-unsur elips pada masalah

yang berbeda dari biasanya. Berikut ini adalah analisis hambatan siswa pada konsep

elips berdasarkan uji identifikasi learning obstacle.

a. Analisis hambatan definisi dan unsur-unsur elips

Sebagian besar siswa mengalami hambatan dalam membaca unsur-unsur elips,

hal tersebut disebabkan karena siswa cenderung menghafalkan unsur-unsur secara

umum. Hal ini juga menyebabkan siswa bingung ketika disajikan gambar yang

berbeda. Berikut ini soal nomor 1 beserta kesalahan siswa terkait unsur-unsur elips.

Soal nomor 1 :

Tuliskan perbedaan-perbedaan dari dua gambar berikut !

Soal nomor satu merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam

menganalisis unsur-unsur elips pada sebuah koordinat kartesius. Rata-rata siswa

38

yang tidak menguasai soal nomor satu sebanyak 79,13%. Siswa mengalami

hambatan ketika membaca apa saja unsur-unsur yang terdapat pada dua bentuk elips

yang berbeda. Dalam soal ini, siswa diminta untuk menuliskan unsur-unsur yang

terdapat dari dua bentuk elips yang telah disajikan. Berikut hambatan siswa dalam

menyelesaikan soal nomor 1.

Gambar 4. 2

Respon Kesulitan Siswa Membaca Unsur –Unsur Soal Nomor 1

Pada gambar 4.2, sebanyak 79,13% siswa tidak dapat membaca unsur-unsur

elips selain bentuk dan titik pusat pada kedua gambar elips tersebut. Hal ini

dikarenakan siswa cenderung menghafalkan unsur-unsur tanpa melihat bentuk elips

pada koordinat kartesius. Berdasarkan hasil wawancara salah satu perwakilan siswa

menyatakan tidak tuntas menjawab soal nomor 1, dikarenakan siswa lupa dengan

unsur –unsur elips baik yang berpusat di (0,0) maupun di (h,k). Hal ini

menunjukkan bahwa siswa hanya melakukan penghafalan dan tidak memahami

unsur-unsur elips secara utuh.

b. Analisis hambatan elips yang berpusat di (0,0)

Sebagian besar siswa mengalami hambatan pada konsep elips yang berpusat di

(0,0) baik masalah dalam bentuk gambar maupun masalah kontekstual. Hal ini

diutarakan oleh beberapa siswa yang telah diwawancarai terkait hambatan pada

konsep elips yang berpusat di (0,0). Hambatan yang dialami siswa terkait masalah

kontekstual yaitu siswa tidak dapat memahami masalah tersebut, sehingga siswa

tidak dapat menafsirkan informasi yang terdapat pada masalah tersebut. Berikut ini

39

soal nomor 2 beserta kesalahan siswa terkait menggunakan formula latus rectum

dan persamaan elips berpusat (0,0)

Soal nomor 2 :

Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik asal O(0,0), sumbu mayor pada

sumbu y dengan panjang 4 satuan, serta panjang lactus rectum sama dengan 9/2 !

Soal nomor dua merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa

menentukan persamaan elips jika diketahui beberapa unsur. Rata-rata siswa yang

tidak menguasai soal nomor dua sebanyak 46,30%. Siswa mengalami hambatan

ketika menentukan jari-jari minor menggunakan formula lactus rectum. Dalam soal

ini, siswa diminta untuk mencari jari-jari mayor dari panjang sumbu mayor yang

telah diketahui, lalu mencari jari-jari minor menggunakan formula lactus rectum

kemudian mensubstitusikan jari-jari mayor dan jari-jari minor ke dalam persamaan

elips. Berikut kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal nomor 2.

Gambar 4. 3

Respon Kesulitan Siswa dalam Menggunakan Formula Latus Rectum Soal

Nomor 2

Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 29,13% siswa belum benar dalam

menentukan jari-jari minor dari formula lactus rectum. Namun, siswa benar dalam

menentukan jari-jari mayor dari panjang sumbu mayor yang telah diketahui di soal

tersebut. Siswa tersebut berpikir 2 (𝑏2

2) = 2 (

9

2), sehingga 𝑏2 = 9 → 𝑏 = 3.

Selanjutnya siswa tersebut mensubstitusikan 𝑎 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 3 kedalam persamaan

elips.

40

Gambar 4. 4

Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (0,0) Soal

Nomor 2

Pada gambar diatas, sebanyak 63,48% siswa sudah benar dalam menentukan

jari-jari minor dan jari-jari mayor dengan menggunakan apa yang sudah diketahui

sebelumnya pada soal. Namun, siswa tersebut keliru dalam menggunakan

persamaan elips, yang seharusnya persamaan elips yang digunakan adalah 𝑥2

𝑏2 +

𝑦2

𝑎2 = 1. Berikut ini soal nomor 5 beserta kesalahan siswa terkait menentukan jari-

jari mayor & minor dan persamaan elips berpusat (0,0).

Soal nomor 5 :

Suatu kelengkungan tanah yang berlubang berbentuk setengah ellips dengan lebar

alas 48 meter dan tinggi 20 meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian

10 meter dari alas !

Soal nomor lima merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam

menyelesaikan permasalahan elips dalam kehidupan sehari-hari dengan

menggunakan unsur-unsur dan persamaan elips. Rata-rata siswa yang tidak

menguasai soal nomor lima sebanyak 98,26%. Siswa mengalami hambatan dalam

menafsirkan lebar alas 48 meter sebagai panjang sumbu mayor dan ketinggian

41

lubang tersebut 20 meter sebagai jari-jari minor. Dalam soal ini, siswa diminta

untuk mencari jari-jari alas serta jari-jari dari ketinggian lubang, lalu disubstitusikan

ke dalam persamaan elips berikut 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1. Dengan begitu dapat diperoleh lebar

kelengkungan pada ketinggian 10 meter dengan mensubstitusikan 10 meter

kedalam bentuk persamaan elips sebelumnya. Berikut kesulitan siswa dalam


Gambar 4. 5

Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal

Nomor 5

Pada jawaban diatas, sebanyak 96,52% siswa tersebut tidak menyelesaikan soal

dengan cara yang semestinya. Hal ini dapat dilihat dari jawaban siswa tersebut

hanya menuliskan jawaban berdasarkan logika. Siswa tersebut membuat

kesimpulan lebar alas yang awal bagian kanan dan kirinya dikurangi 2 meter,

sehingga diperoleh 48𝑚 − 2𝑚 − 2𝑚 = 44𝑚 pada saat ketinggian 10 meter. Hal

ini mengakibatkan sebanyak 100% siswa tidak mampu menyelesaikan hingga

memsubstitusikannya ke dalam persamaan elips.Berikut ini soal nomor 6 beserta

kesalahan siswa terkait menentukan jari-jari mayor & minor dan jarak fokus ke titik

pusat menggunakan phytagoras pada elips berpusat (0,0).

Soal nomor 6 :

Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu

jalan berbentuk elips dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 442 meter

dan 342 meter. Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur

pada masing – masing sisi taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut

!

42

Soal nomor enam merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam

menyelesaikan permasalahan elips dalam kehidupan sehari-hari dengan

menggunakan unsur-unsur elips. Rata-rata siswa yang tidak menguasai soal nomor

enam sebanyak 92,39%. Siswa mengalami hambatan dalam menafsirkan

pertanyaan yang menanyakan jarak antara air mancur yang sebenarnya mencari

panjang fokus 1 dengan fokus 2. Dalam soal ini, siswa diminta untuk mencari jarak

antar air mancur pertama ke air mancur kedua, lalu siswa diminta untuk mencari

jari-jari mayor dan minor dari panjang mayor dan minor yang telah diketahui pada

soal. Dengan begitu diperoleh jarak fokus dari titik pusat dengan menggunakan

phytagoras. Berikut kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal nomor 6.

Gambar 4. 6

Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor dan Minor Soal

Nomor 6

Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 84,78%% siswa tidak menyelesaikan soal

dengan semestinya. Hal ini dapat dilihat dari jawaban siswa tersebut hanya

menyatakan jari-jari minor dan jari-jari mayor. Seluruh siswa tidak dapat

menyelesaikan permsalahan diatas hingga menenukan jarak kedua air mancur.

43

c. Analisis hambatan elips yang berpusat di (h,k)

Sebagian besar siswa mengalami hambatan yang sama dengan elips yang

berpusat di (0,0) pada konsep elips yang berpusat di (h,k) yaitu baik masalah dalam

bentuk gambar maupun masalah kontekstual. Hal ini diutarakan oleh beberapa

siswa yang telah diwawancarai terkait hambatan pada konsep elips yang berpusat

di (h,k). Hambatan yang dialami siswa terkait masalah kontekstual yaitu siswa tidak

dapat memahami masalah tersebut , sehingga siswa tidak dapat menafsirkan

informasi yang terdapat pada masalah tersebut. Berikut ini soal nomor 3 beserta

kesalahan siswa terkait menentukan jari-jari mayor & minor dan menggunakan

persamaan elips berpusat (h,k).

Soal nomor 3 :

Perhatikan gambar di bawah ini !

Soal nomor tiga merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa

menentukan persamaan elips jika diketahui beberapa unsur dalam bentuk gambar

pada koordinat kartesius. Rata-rata siswa yang tidak menguasai soal nomor tiga

sebanyak 68,48%. Siswa mengalami hambatan ketika menentukan jari-jari minor

dan jari-jari mayor pada gambar. Dalam soal ini, siswa diminta untuk mencari jari-

jari mayor menggunakan salah satu titik puncak yang telah diketahui pada gambar

dan mencari jarak fokus dari titik pusat menggunakan salah satu titik fokus yang

telah diketahui pada gambar, kemudian mencari jari-jari minor menggunakan

rumus phytagoras lalu substitusi jari-jari minor dan mayor ke dalam persamaan

elips . Berikut kesulitan siswa dalam menyelesaikan soal nomor 3.

Tentukan persamaan elips dari

gambar berikut !

44

Gambar 4. 7

Respon Kesulitan Siswa Menentukan Jari-Jari Mayor& Minor serta Titik

Fokus Soal Nomor 3

Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 64,78% siswa sudah benar dalam

menentukan titik pusat dan 2 titik fokus berdasarkan gambar yang sudah disajikan.

Siswa tersebut menggunakan rumus jumlah jarak titik sembarang (T) pada elips

terhadap dua titik fokus sama dengan 2a untuk menentukan jari-jari mayor.

Selanjutnya, siswa tersebut mensubstitusikan titik sumbu x pada titik fokus 1 (F1)

dan titik sumbu x pada titik fokus 2 (F2) kedalam persamaan TF1 + TF2 = 2a. Hal

ini keliru, dikarenakan jarak titik T ke F1 maupun T ke F2 bukan berasal dari titik

fokus itu sendiri.

Gambar 4. 8

Respon Kesulitan Siswa Menggunakan Persamaan Elips Pusat (h,k) Soal

Nomor 3

Pada jawaban diatas, sebanyak 72,17% siswa belum benar dalam penggunaan

rumus persamaan elips yang berpusat di (h,k). Siswa tersebut tidak mengkuadratkan

(𝑥 − 𝑝) dan (𝑦 − 𝑞), sehingga persamaan elips yang benar menjadi (𝑥−𝑝)2

𝑎2+

(𝑦−𝑞)2

𝑏2= 1. Berdasarkan hasil wawancara beberapa siswa dan kesalahan diatas

dapat disimpulkan bahwa siswa tersebut tidak mengetahui cara mendapatkan jari-

jari mayor, jari- jari minor , serta titik fokus berdasarkan gambar yang telah

disajikan. Berikut ini soal nomor 4 beserta kesalahan siswa terkait menentukan titik

fokus dan titik pusat elips berpusat (h,k):

45

Soal nomor 4 :

Tentukan titik fokus dan titik pusat dari persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 −89 = 0!

Soal nomor empat merupakan soal yang mencakup kemampuan siswa dalam

menentukan titik fokus dan titik pusat dari bentuk umum persamaan elips. Rata-rata

siswa yang tidak menguasai soal nomor empat sebanyak 96,09%. Siswa mengalami

hambatan ketika menjabarkan bentuk umum persamaan elips menjadi persamaan

elips yang sederhana. Dalam soal ini, siswa diminta untuk menjabarkan dan

memanipulasi bentuk umum persamaan elips sehingga membentuk persamaan elips

sederhana. Dengan begitu dapat titik pusat, jari-jari mayor, jari-jari minor, dan jarak

fokus dari titik pusat, lalu untuk memperoleh titik fokus dengan menggunakan

formula titik fokus pada elips yang berpusat di (h,k). Berikut kesulitan siswa dalam


Gambar 4. 9

Respon Kesulitan Siswa Menentukan Titik fokus dan Titik Pusat Elips Pusat

(h,k) Soal Nomor 4

Pada jawaban siswa diatas, sebanyak 93,91% siswa tersebut tidak menjabarkan

persamaan bentuk umum elips, melainkan siswa tersebut langsung menyatakan jari-

jari minor dan jari-jari mayor kedalam bentuk persamaan elips sederhana. Siswa

tersebut menyatakan jari-jari minor adalah 5 yang merupakan kuadratdari

persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 − 89 = 0 dan jari-jari mayor adalah 3 yang

merupakan kuadrat dari persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 − 89 = 0. Setelah

mendapatkan jari-jari minor dan jari–jari mayor, siswa tersebut menyatakan jarak

titik fokus dari titik pusat (c) adalah 4 dengan menggunakan phytagoras. Siswa

tersebut juga mengganggap bahwa titik pusat persamaan tersebut berada pada (0,0).

Sebanyak 98,26% siswa tidak dapat menyelesaikan hingga menemukan titik pusat

dan titik fokus.

46

Berdasarkan hasil wawancara beberapa siswa, mereka tidak menjawab nomor

4 secara tuntas. Mereka menyatakan tidak terbiasa dengan soal semacam ini, karena

soal seperti ini jarang digunakan sebagai latihan di sekolah. Dalam penyampaian

guru di kelas soal semacam ini menggunakan rumus cepat dan mereka lupa apa

rumus cepatnya. Menurut penuturan guru matematika di sekolah tersebut

menyatakan bahwa beliau hanya sekilas membahas soal semacam ini. Hal ini

disebabkan waktu yang dibutuhkan untuk membahas elips secara mendetail tidak

cukup, karena materi irisan kerucut tidak hanya elips.

Berdasarkan hasil analisis kemampuan siswa dalam mengerjakan soal tentang

konsep elips pada irisan kerucut, diperoleh beberapa hambatan yang dialami oleh

siswa. Hambatan siswa (learning obstacle) pada hal ini dibagi menjadi 2 jenis, yaitu

:

a) Jenis 1 : learning obstacle terkait materi pendukung yaitu :

(1) Siswa tidak dapat membaca elips pada koordinat kartesius

(2) Siswa tidak dapat memanipulasi aljabar

b) Jenis 2 : learning obstacle terkait dengan konsep elips pada irisan kerucut yaitu;

(1) Siswa tidak dapat membaca unsur-unsur pada elips

(2) Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di (0,0)

(3) Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik fokus,

panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (0,0)

(4) Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di (h,k)

(5) Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik fokus,

panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (h,k)

(6) Siswa yang mengalami hambatan mengubah persamaan bentuk umum elips

menjadi persamaan elips sederhana

Hasil analisis hambatan - hambatan yang muncul pada respon siswa dalam

menjawab masalah elips akan dijadikan acuan prediksi respon siswa guna

menyusun antisipasi didaktis pendagogis agar dapat meminimalisasi dan

mengurangi hambatan yang dialami oleh siswa.

47

2. Repersonalisasi dan Rekontekstualisasi

Sebelum melakukan pengembangan desain didaktis peneliti melakukan

kegiatan repersonalisasi dan rekontekstualisasi terlebih dahulu. Kedua kegiatan

tersebut berguna untuk memprediksi dan mengantisipasi berbagai hambatan peserta

didik dalam mempelajari konsep matematika.

a. Repersonalisasi

Kegiatan repersonalisasi, peneliti melakukan analisis buku teks matematika

peminatan, mengkaji serta eksplorasi konteks yang digunakan dalam penelitian

guna menghubungkan konsep matematika yang akan dipelajari. Sebelum membuat

bahan ajar, guru perlu memahami konsep materi pembelajaran yang akan diajarkan.

Eksplorasi konteks dilakukan untuk menganalisis konsep elips dari beberapa

sumber yang tersedia. Bahan yang eksplorasi yang digunakan ialah buku teks

matematika peminatan yang digunakan untuk mengembangkan konsep elips.

Buku teks yang digunakan di sekolah tempat peneliti melakukan penelitian

yaitu buku matematika peminatan kelas XI penerbit I dan buku teks matematika

peminatan kelas XI penerbit II. Eksplorasi konsep dimulai dengan menganalisis

peta konsep yang disajikan oleh kedua buku tersebut. Namun, kedua buku tersebut

tidak memaparkan peta konsep materi elips secara khusus, sehingga peneliti

melakukan analisis dan didapatkan peta konsep sebagai berikut.

Gambar 4. 10

Peta Konsep Elips

Penyajian konsep elips pada kedua buku yang dijadikan sumber belajar cukup

lengkap, hanya saja peneliti menemukan kekurangan dari masing-masing kedua

buku tersebut. Hal ini akan menjadi fokus peneliti untuk mengembangkan dalam

penyajian materi elips. Ketika analisis penyajian konsep pada kedua buku tersebut

48

dilakukan, peneliti mendapatkan bahwa buku teks matematika peminatan kelas XI

pada penerbit I membahas unur-unsur elips yang berpusat di (h,k) dengan

menyajikan bentuk elips mendatar maupun tegak dengan koordinat yang cukup

jelas. Namun penyajian bentuk elips tersebut tidak dapat menuntun siswa untuk

mendapatkan konsep elips yang berpusat di (h,k).41 Berikut gambar penyajian

konsep elips yang berpusat di (h,k).

Gambar 4. 11

Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit I

Berdasarkan gambar di atas, siswa langsung diberikan gambar elips mendatar

atau horizontal pada sistem koordinat kartesius, lalu dilanjutkan dengan pemaparan

unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (h,k). Hal ini menyebabkan

siswa cenderung membedakan dari titik pusat dan bentuknya saja, tanpa harus

mengetahui terdapat konsep yang membedakan antara elips yang berpusat di (0,0)

dan elips yang berpusat di (h,k). Menurut peneliti, sajian materi pada buku penerbit

I kurang memberikan arahan untuk membedakan bentuk elips yang berpusat di

(0,0) dengan elips yang berpusat di (h,k) dari sisi konsep.

41 Nanang Priatna dan Tito Sukamto, Op.Cit.,h. 90

49

Sementara itu, penyajian konsep elips pada buku penerbit II didahului dengan

pemaparan konsep yang terjadi pada elips yang berpusat di (h,k).42 Pemaparan

konsep ini diberikan dengan tujuan agar siswa memahami konsep elips yang

berpusat di (h,k) dari dua bentuk elips yaitu elips yang berpusat di (0,0) dan elips

yang berpusat di (h,k). Namun, pada buku matematika peminatan tersebut tidak

menyajikan kedua bentuk tersebut pada sistem koordinat, melainkan hanya

menotasikan unsur-unsur yang penting saja seperti titik puncak, titik pusat, dan titik

fokus. Berikut penyajian konsep elips pada buku matematika peminatan kelas XI

penerbit II.

Gambar 4. 12

Sajian Konsep Elips (h,k) di Buku Matematika peminatan Penerbit II

Pada buku teks matematika peminatan kelas XI penerbit II, siswa dijelaskan

bahwa bentuk elips yang berpusat di (h,k) merupakan pergeseran dari bentuk elips

yang berpusat di (0,0). Hal ini menjadikan siswa memahami konsep dan unsur-

unsur elips yang berpusat di (h,k) tanpa harus menghafal. Namun, pada buku teks

ini tidak menyajikan bentuk elips menggunakan sistem koordinat kartesius. Hal

42 Wilson Simangungsong, PKS Matematika Peminatan Kelas XI SMA dan MA Kurikulum

2013, (Jakarta: Gematama,2014), h.76-77

50

tersebut menyebabkan siswa mengalami kebingungan dalam memahami unsur-

unsur elips yang berpusat di (h,k) tanpa bantuan (scaffolding). Berdasarkan hasil

analisis kedua buku teks matematika peminatan diatas, peneliti akan membahas

elips yang berpusat di (h,k) dengan menyajikan bentuk elips yang berpusat (0,0)

dan elips yang berpusat di (h,k) dengan bentuk yang sama, baik mendatar maupun

tegak pada satu sistem koordinat kartesius secara lengkap berdasarkan titik

koordinatnya. Hal tersebut akan dibahas dengan menyesuaikan teori belajar yang

digunakan pada saat penerapan desain didaktis.

b. Rekontekstualisasi

Selanjutnya, peneliti menentukan suatu alternatif proses pembelajaran

berdasarkan eksplorasi hasil analisis materi pada dua buku sumber dan hasil uji

identifikasi learning obstacle yang sudah dilakukan sebelumnya. Berdasarkan hasil

uji learning obstacle, masih lebih dari 50% siswa mengalami hambatan dalam

menyelesaikan konsep elips. Peneliti melakukan wawancara untuk lebih tepat dan

sesuai dalam menyusun desain didaktis. Hasil wawancara peneliti dengan siswa

mengungkapkan masalah konsep elips yang dianggap sulit oleh mereka ialah

membedakan unsur-unsur yang terdapat pada dua bentuk elips dengan pusat yang

berbeda. Hal ini menyebabkan siswa mengalami kekeliruan dalam menyelesaikan

masalah elips. Selain itu, siswa mengalami hambatan jika masalah yang disajikan

dalam bentuk masalah kontekstual, mereka mengungkapkan bingung mencari

informasi dari masalah tersebut. Hal ini disebabkan siswa hanya menghafal rumus

unstan untuk menyelesaikan suatu masalah. Mereka juga mengungkapkan bahwa

materi elips tidak disampaikan secara mendetail oleh gurunya, karena materi irisan

kerucut tidak hanya elips.

Guru matematika yang diwawancarai mengungkapkan bahwa kemampuan

siswa dalam menerima materi yang terlalu banyak dalam waktu yang singkat

cenderung kurang. Hal ini yang menyebabkan guru memerlukan waktu yang lebih

banyak untuk menyampaikan materi irisan kerucut ini, sehingga guru dapat

menanamkan konsep yang sesuai dan tepat pada siswa. Guru matematika

beranggapan bahwa hambatan yang dialami oleh siswa selama mempelajari konsep

elips yaitu mereka beranggapan bahwa konsep itu tidak penting dan mereka

51

cenderung memeilih menggunakan rumus instan dalam menyelesaikan suatu

masalah. Hal ini yang menyebabkan ketika siswa diberikan masalah yang berbeda,

mereka cenderung tidak akan menyelesaikannya.

Berdasarkan eksplorasi konsep yang sudah dilakukan dan hasil analisis uji

identifikasi learning obstacle, maka dihasilkan peta proses pembelajaran

sebagai berikut.

52

Ga

mb

ar

4. 13 P

eta P

rose

s P

emb

ela

jara

n K

on

sep

Eli

ps

Ber

dasa

rkan

Hie

rark

i M

ate

ri d

an

An

ali

sis

Lea

rnin

g O

bst

acl

e

53

Berdasarkan peta proses pembelajaran konsep elips yang sudah dibentuk,

konsep pertama yang akan dipelajari adalah definisi dan insur-unsur elips. Konsep

definisi dan unsur-unsur elips dimulai dengan masalah untuk menemukan bentuk

elips dari kegiatan yang terjadi pada masalah tersebut. Masalah yang diberikan

kepada siswa akan membantu untuk mendapatkan bentuk elips dari definisi elips.

Setelah itu siswa akan mempelajari unsur-unsur elips secara umum dengan bantuan

dari definisi masing-masing unsur, lalu dari definisi dan unsur-unsur yang dipelajari

siswa akan dituntun untuk menemukan jarak yang didapatkan dari posisi

berdasarkan definisi elips.

Setelah mempelajari definisi dan unsur-unsur, siswa akan diarahkan memasuki

konsep elips yang berpusat di (0,0). Pada konsep ini, peneliti menyajikan dua

gambar bentuk elips, sehingga siswa dapat membedakan bentuk elips yang berpusat

di (0,0). Selanjutnya siswa akan menotasikan unsur-unsur yang terdapat pada kedua

bentuk elips yang berpusat di (0,0), lalu siswa akan diarahkan dan dituntun untuk

menemukan persamaan elips yang berpusat di (0,0) dengan bantuan konsep

phytagoras dan persamaan elips berdasarkan definisi elips. Setelah menemukan

persamaan elips, siswa dituntun untuk menemukan formula atau rumus lactus

rectum dan eksentrisitas berdasarkan definisi dan kedua bentuk elips.

Selanjutnya siswa akan mempelajari konsep elips yang berpusat di (h,k). Pada

konsep ini, siswa akan dituntun untuk menggunakan konsep pergeseran (translasi)

untuk mengaitkan elips yang berpusat di (0,0) dan (h,k) dengan masalah

kontekstual. Setelah itu siswa dituntun untuk menotasikan masing-masing unsur

setelah adanya pergeseran, lalu siswa akan diarahkan untuk menemukan persamaan

elips yang berpusat di (h,k) dengan bantuan konsep pergeseran (translasi). Setelah

mendapatkan persamaan tersebut, siswa diminta untuk menjabarkan persamaan

tersebut dengan menggunakan konsep persamaan kuadrat agar mendapat

persamaan bentuk umum dari persamaan elips yang berpusat di (h,k).

3. Pengembangan Desain Didaktis

Pengembangan desain didaktis ini didasari berdasarkan analisis learning

obstacle dan learning trajectory siswa. Dalam pengembangan desain didaktis juga

mempertimbangkan teori-teori belajar yang terkait dengan konsep elips. Hal ini

54

bertujuan untuk meminimalisir learning obstacle siswa pada konsep elips,

khususnya pada hambatan epistimologis. Peneliti mengembangkan tiga desain

didaktis konsep elips diantaranya yaitu definisi dan unsur-unsur elips, elips pusat

(0,0), dan elips pusat (h,k).

a. Desain Didaktis Definisi dan Unsur-Unsur Elips

Salah satu hambatan yang muncul adalah hambatan siswa dalam membaca

unsur-unsur elips dengan tepat. Unsur-Unsur elips yang dibahas pada desain

didaktis ini merupakan unsur-unsur elips yang terdapat di kedua titik pusat, baik

pusat (0,0) maupun (h,k). Jadi, dapat disimpulkan pada desain ini membahas

definisi masing-masing unsur secara umum. Desain ini akan berkaitan dengan

desain selanjutnya. Sebelum mempelajari unsur-unsur, siswa perlu memahami

konsep definisi elips beserta bentuk elipsnya. Sebagai apersepsi, guru menstimulasi

siswa dengan bentuk lingkaran dan siswa diajak untuk mencari apa perbedaan

mendasar yang terdapat pada lingkaran dan elips. Selanjutnya guru memberikan

situasi sebagai dasar kegiatan untuk mengenal elips. Berikut ini situasi yang

diberikan guna mengenal elips.

Gambar 4. 14

Desain Didaktis Awal Konsep Definisi dan Unsur-Unsur Elips

55

Berdasarkan desain awal diatas, guru memberikan sebuah situasi yang

menunjang siswa untuk menemukan sendiri bentuk elips. Siswa diminta untuk

menggambar bentuk elips berdasarkan petunjuk, definisi elips, dan persyaratan

yang diberikan. Selanjutnya siswa diminta untuk memposisikan 4 siswa tersebut

sesuai dengan arahan pada alat peraga yang sudah disajikan, lalu

menggambarkan bentuk yang didapatkan dari proses tersebut. Hal ini sesuai

dengan teori Van Hiele (visualisasi) dimana siswa dapat memvisualisasikan

bentuk elips dari semula berupa definisi ke dalam bentuk gambar. Konsep seperti

ini juga sesuai dengan teori Piaget (skemata) dan Van Hiele (analisis) Siswa

dapat menemukan perbedaan bentuk elips dan lingkaran berdasarkan

pengetahuan tentang lingkaran yang telah dimiliki sebelumnya dan siswa hanya

menuangkan kembali pengetahuan (skemata) yang telah dimiliknya tersebut.

Hal ini menjadikan siswa dapat memahami dan mengerti bentuk elips beserta

ciri-cirinya berdasarkan analisis dari definisi elips yang diberikan.

Gambar 4. 15

Alat Peraga Definisi Elips

Selanjutnya, siswa diminta untuk membuktikan jumlah jarak terhadap dua

titik tertentu selalu sama setelah adanya kegiatan menggambar elips

menggunakan alat peraga, hal ini sesuai dengan teori Van Hiele (deduksi

formal). Kegiatan tersebut juga sesuai dengan teori Ausubel, dimana siswa dapat

menemukan bahwa konsep elips terdapat penjumlahan jarak terhadap titik

tertentu selalu bernilai sama. Guru memberikan arahan atau bantuan

(scaffolding) bahwa titik tertentu yang dimaksudkan ialah titik fokus. Hal

tersebut sesuai dengan teori Vygotsky, dimana guru memberikan sedikit

56

bantuan, lalu memberikan kesempatan kepada siswa untuk menyelesaikan

masalah tersebut dengan kemampuannya. Berikut desain pembuktian definisi

elips.

Gambar 4. 16


Selanjutnya, siswa diberikan situasi 2 berupa definisi dari masing-masing

unsur pada elips. Guru juga memberikan penjelasan dari masing – masing unsur

tersebut. Setelah itu siswa diminta untuk menotasikan dari masing-masing unsur

berdasarkan gambar ke dalam tabel yang sudah disajikan. Hal ini bertunjuan agar

siswa mampu memahami masing-masing unsur dengan melihat gambar elips

yang diberikan. Sesuai dengan teori Van Hiele (visualisai), dimana siswa mampu

memvisualisasikan masing-masing unsur pada gambar. Besar kemungkinan

siswa akan mengalami kebingungan pada saat mengisi kolom jari-jari mayor dan

jari-jari minor, karena itu guru memberikan bantuan (scaffolding) mengenai

definisi jari-jari. Setelah itu guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk

menyimpulkan apa itu jari-jari mayor dan minor, hal tersebut sesaui dengan teori

Vygotsky.Berikut situasi 2 unsur-unsur elips.

57

Gambar 4. 17


Selanjutnya siswa diminta untuk menemukan berapa jarak yang sama dari

penjumlahan dua titik terhadap titik tertentu. Sebelum membuktikan, siswa

dihantarkan kepada sebuah gambar elips, lalu siswa diminta untuk mengisi hasil

dari 𝐴1𝐹1 dan 𝐴2𝐹2. Setelah itu siswa diminta untuk mengaitkan pembuktian

elips yang sebelumnya dengan unsur-unsur yang diberikan. Sehingga siswa

dapat membuktikan bahwa jarak yang dimaksud ialah 2𝑎. Hal ini sesuai dengan

dengan teori Piaget, dimana siswa menngunakan pengetahuan sebelumnya

mengenai pembuktian jarak dan unsur-unsur (skemata), lalu mengaitkannya

dengan unsur-unsur elips (asimilasi). Berikut desain pembuktiannya.

Gambar 4. 18


b. Desain Didaktis Elips Berpusat (0,0)

Pengembangan desain didaktis ini bertujuan untuk meminimalisasi hambatan

siswa dalam menentukan unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0) dan persamaan

elips yang berpusat di (0,0). Sebelum mempelajari konsep elips yang berpusat di

(0,0), siswa perlu memahami konsep definisi elips dan unsur-unsur elips secara

utuh. Guru melakukan apersepsi dengan mengajak siswa untuk me-recall

informasi dari pembuktian definisi elips daan unsur-unsur elips pada pertemuan

58

sebelumnya. Kemudian guru memberikan situasi didaktis berikut untuk

memahami bentuk-bentuk elips yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0).

Gambar 4. 19

Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (0,0)

Berdasarkan gambar diatas, pada situasi 3 siswa diajak untuk melihat bentuk

orbit bumi. Pada gambar diatas disajikan bentuk orbit bumi pada posisi yang

berbeda. Hal ini bertujuan agar menstimulasi siswa dengan materi elips, sehingga

siswa mengetahui bentuk dan posisi apa yang terjadi pada orbit bumi. Sesuai

dengan teori Van Hiele (visualisasi), dimana siswa mampu mengamati bentuk

serta posisi yang terjadi pada orbit bumi. Selanjutnya diberikan situasi 4, siswa

diminta untuk menitasikan masing-masing unsur ke dalam tabel yang telah

disajikan beserta bentuk elips berpusat di (0,0) mendatar dan tegak. Guru

memberikan bantuan (scaffolding)untuk mengisi kolom jarak pusat ke titik fokus

berupa segitiga siku-siku yaitu ∆𝐵1𝑂𝐹2 untuk elips mendatar dan ∆𝐹1𝑂𝐴2 untuk

elips tegak, sehingga dapat menstimulasi siswa untuk menggunakan teorema

59

phytagoras. Hal ini sesuai dengan teori Vygotsky, dimana guru menstimulasi

siswa dengan segitiga siku- siku agar mereka menggunakan teorema phytagoras

dalam penyelesaiannya. Berikut desain unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0).

Gambar 4. 20


Setelah membahas unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0), siswa diminta

untuk menemukan persamaan elips yang berpusat di (0,0) dengan bermodalkan

definisi elips pada LKS 1. Sebelum membuktikan persamaan elips, siswa diajak

untuk menemukan konsep yang digunakan untuk mencari 𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2. Guru

memberikan arahan (scaffolding) berupa ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2, sehingga siswa dapat

me-recall untuk menggunakan teorema phytagoras. Hal ini sesuai dengan teori

Vygotsky dan Ausubel, dimana siswa mendapat stimulasi dari guru berupa

segitiga siku-siku agar siswa dapat menggunakan teorema phytagoras sebagai

awal untuk menemukan konsep persamaan elips yang berpusat di (0,0). Berikut

desain persamaan elips yang berpusat di (0,0).

60

Gambar 4. 21


Selanjutnya, siswa diminta untuk menemukan konsep dari dua unsur-unsur

elips yaitu latus rectum dan eksentrisitas. Peneliti menyusun untuk menemukan

kedua unsur tersebut setelah menemukan persamaan elips yang berpusat di (0,0),

hal ini karena dalam langkah-langkah menemukan formula kedua unsur

membutuhkan persamaan elips yang berpusat di (0,0) agar terstruktur. Dalam

menemukan kedua formula dari unsur-unsur elips tersebut, peneliti menstimulasi

siswa dengan definisi dari kedua unsur dan arahan untuk membentuk gambar elips

mendatar dan tegak . hal ini dimaksudkan, agar siswa dapat mengaitkan antara

definisi unsur dengan gambar yg telah dibuat oleh siswa. Hal ini sesuai dengan

teori Ausubel, dimana siswa dapat menemukan formula latus rectum dan

eksentrisitas dengan mengaitkan definisi beserta gambar yang telah mereka buat.

Berikut desain latus rectum dan eksentrisitas.

61

Gambar 4. 22


c. Desain Didaktis Elips Berpusat (h,k)

Pengembangan desain didaktis ini bertujuan untuk meminimalisasi dan

mengurangi hambatan siswa dalam menentukan unsur-unsur elips yang berpusat

di (h,k) dan persamaan elips yang berpusat di (h,k). Berdasarkan hasil

wawancara siswa untuk hambatan pada elips yang berpusat di (h,k) ialah siswa

kebingungan dalam menentukan beberapa unsur, karena terdapat beberapa unsur

pada elips yang berpusat di (h,k) berbeda dengan elips yang berpusat di (0,0).

Hal ini disebabkan titik koordinat beberapa unsur tersebut mengalami

pergeseran, sehingga peneliti bertujuan untuk meminimalisasi kesulitan tersebut.

62

Pembelajaran pada desain ini dimulai dengan pemberian situasi 5 berupa

cerita yang mengarahkan siswa tentang konsep pergeseran. Selanjutnya siswa

akan menggambar perubahan kedua elips tersebut pada sistem koordinat yang

telah disajikan, lalu siswa diminta untuk mengisi kesimpulan konsep apa yang

terjadi pada kedua elips tersebut. Hal ini sesuai dengan teori Ausubel, dimana

siswa dapat menemukan sebuah konsep yang terjadi akibat perbuhan kedua elips

tersebut. Berikut desain didaktis konsep awal elips yang berpusat di (h,k).

Gambar 4. 23

Desain Didaktis Awal Konsep Elips Berpusat (h,k)

Selanjutnya, siswa akan dihadapkan oleh situasi 6 tentang unsur-unsur elips

yang berpusat di (h,k). Pada situasi ini, peneliti memyusun tabel perbedaan

antara elips yang berpusat di (0,0) dan elips yang berpusat di (h,k), baik dalam

bentuk elips mendatar maupun elips tegak. Hal ini bertujuan agar siswa

memahami perubahan titik koordinat dari beberapa unsur elips akibat terjadinya

pergeseran. Sesuai dengan teori Piaget, dimana siswa menggunakan konsep elips

yang berpusat di (0,0) (skemata) untuk menyambungkan konsep elips yang

63

berpusat di (h,k) (akomodasi). Berikut desain unsur-unsur elips yang berpusat di

(h,k).

Gambar 4. 24


ELIPS TEGAK

64

Selanjutnya, siswa diminta untuk menemukan persamaan elips yang bepusat

di (h,k). Peneliti menyusun desain didaktis ini tidak sama dengan menemukan

konsep elips yang berpusat di (0,0),tetapi peneliti menggunakan konsep

pergeseran (translasi) pada materi geometri transformasi. Hal ini bertujuan agar

membangun pemikiran siswa bahwa pada elips yang berpusat di (h,k) benar

menggunakan konsep pergeseran, sehingga siswa dapat me-recall materi

geometri transformasi khususnya translasi. Hal tersebut sesuai dengan teori

Piaget dan Ausubel, dimana siswa akan terstimulasi untuk menggunakan materi

translasi (skemata) untuk menggambungkan dengan apa yang yang diketahui

pada elips (akomodasi), sehingga siswa dapat menemukan konep baru yaitu

persamaan elips yang berpusat di (h,k). Berikut desain didaktis persamaan elips

yang berpusat di (h,k).

Gambar 4. 25


Setelah itu, guru akan mengarahkan siswa dalam proses menemukan

persamaan bentuk umum dari persamaan sederhana elips yang berpusat di (h,k).

Hasil uji learning obstacle menunjukkan bahwa mayoritas siswa tidak

memahami cara mengubah persamaan elips bentuk umum ke dalam bentuk

sederhananya. Hal ini mendorong peneliti untuk menyusun langkah demi

65

langkah cara mengubah persamaan elips bentuk umum ke dalam bentuk

sederhana. Pada desain ini siswa diminta untuk mengisi dengan arahan arahan

yang diberikan, namun guru tetep membantu mengarahkan siswa agar arahan

arahan-arahan yang diberikan di LKS bermakna. Sesuai dengan teori Vygotsky,

dimana guru memberikan bantuan dalam proses mengubah persamaan elips

bentuk umum ke dalam bentuk sederhana. Berikut desain didaktis persamaan

bentuk umum elips yang berpusat di (h,k).

Gambar 4. 26


B. Analisis Metapedadidaktik

Analisis metapedadidaktik merupakan analisis hasil observasi yang dilakukan

pada saat pengimplementasian desain didaktis. Analisis metapedadidaktik

dilakukan berdasarkan desain didaktis dan kemungkinan-kemungkinan respon

siswa yang disertai dengan antisipasinya pada proses pembelajaran. Desain

didaktis ini diimplementasikan di SMA Cenderawasih Tangerang Selatan. Desain

ini diterapkan pada siswa kelas XI MIPA yang berjumlah 31 orang. Desain ini

66

dirancang untuk empat kali pertemuan (8 x 45 menit). Berikut ini deskripsi

pengimplementasian desain didaktis pada masing-masing kegiatan :

1. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Pertama

Implementasi desain didaktis pertemuan pertama dilaksanakan pada

Kamis, 28 Maret 2019 pada jam pelajaran pertama dan kedua. Pembahasan

konsep pada pertemuan pertama adalah mengenai definisi elips dan unsur-

unsur elips. Pada pertemuan ini siswa diberikan dua situasi untuk memahami

definisi dan unsur-unsur elips.

Pada kegiatan apersepsi, guru membahas kembali materi lingkaran

sebagai dasar konsep pembeda antara bentuk lingkaran dan elips. Setelah itu,

siswa dikelompokkan menjadi 6 kelompok heterogen yang masing-masing

kelompok terdiri 5-6 orang. Kemudian siswa diberikan LKS 1 yaitu definisi

dan unsur-unsur elips beserta alat peraga. Kegiatan ini dimulai dengan

pemberian situasi 1 yang terdiri dari 2 penugasan. Penugasan 1 siswa

diberikan situasi terkait menggambar pola elips berdasarkan definisi formal

yang diberikan. Berikut contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 1.

Gambar 4. 27

Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Penugasan 1 pada Situasi 1

67

Gambar 4. 28

Contoh Hasil Jawaban pada Alat Peraga

Berdasarkan penugasan yang sudah dilengkapi, siswa diminta untuk

memposisikan keempat anak tersebut sesuai dengan gambar pada alat peraga

yang sudah disediakan, lalu siswa diminta untuk memutarkanTobi dan Putri

dari posisi awal dan kembali lagi ke posisi awal lagi dengan memutari Fani

dan Fido. Setelah itu, siswa mulai membentuk pola elips dengan posisi yang

sesuai dengan definisi. Beberapa siswa mengalami hambatan yang

sebelumnya sudah diprediksi. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang

dialami siswa selama pembelajaran:

Tabel 4. 2

Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 pada Situasi 1

Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan

Siswa tidak berhasil mendapatkan

pola elips

Guru memberikan perintah

sebelum memutarkan Tobi dan

Putri dengan menggunakan alat

peraga papan lukis elips yang

sudah disediakan, pastikan Fani

dan Fido berada pada tempat

yang sejajar dan tetap pada

posisinya.

68

Pada penugasan 1 di atas, seluruh hambatan dapat diantisipasi sesuai

dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa belum benar

menggunakan alat peraga. Pada penugasan 1 juga tidak muncul hambatan

baru di luar prediksi. Seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 1

dengan tepat sesuai dengan respon yang diharapkan.

Setelah itu, siswa diminta untuk melengkapi penugasan 2 yang berkaitan

dengan penugasan 1. Pada penugasan 2 merupakan pembuktian definisi elips

berdasarkan pola yang yang sudah didapatkan pada penugasan 1. Berikut

contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 2.

Gambar 4. 29


Berdasarkan penugasan 2, siswa diminta untuk membuktikan persaman

umum elips dari definisi yang diberikan, serta mengacu pada gambar atau

jejak Tobi dan Putri di alat peraga. Setelah itu, siswa menyimbolkan sesuai

dengan petunjuk yang diketahui pada penugasan 2. Beberapa siswa

mengalami hambatan yang sebelumnya sudah diprediksi. Berikut ini

hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama pembelajaran:

Tabel 4. 3


No. Hambatan yang Dialami Antisipasi yang Dilakukan

1. Siswa salah membuat kesimpulan

yang berdasarkan definisi

Guru memberikan arahan untuk

membaca ulang definisi elips

pada cerita

2. Siswa tidak mengetahui bahwa

𝑇𝐹1 adalah jarak dari T (Tobi) ke

𝐹1 (Fani)

Guru memberikan arahan

bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari T

(Tobi) ke 𝐹1 (Fani)

69


dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa tidak

memperhatikan pertunjuk yang diberikan dan siswa tidak mengetahui bahwa

𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2 adalah jarak. Pada penugasan 2 juga tidak muncul hambatan baru

di luar prediksi. Seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 2 dengan

tepat sesuai dengan respon yang diharapkan. Dapat disimpulkan bahwa

seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 1 dan penugasan 2 pada

situasi 1. Hal ini menunjukkan bahwa desain didaktis situasi 1 sudah mampu

mengatasi learning obstacle yang teridentifikasi sebelumnya.

Selanjutnya siswa diberikan situasi 2 yang terdiri dari 2 penugasan. Pada

penugasan 1 diberikan situasi dimana terdapat definisi formal dari masing-

masing unsur serta sebuah elips. Berikut contoh hasil jawaban penugasan 1

pada situasi 2.

Gambar 4. 30


70

Berdasarkan penugasan 1, siswa diminta untuk menotasikan masing-

masing unsur elips pada tabel yang telah disajikan. Beberapa siswa

mengalami hambatan yang sebelumnya sudah diprediksi. Berikut ini

hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama pembelajaran:

Tabel 4. 4



Siswa tidak dapat menotasikan

jari-jari mayor dan minor

dikarenakan siswa tersebut hanya

mengetahui sumbu mayor dan

minor.

Guru memerintahkan siswa

untuk mengamati gambar elips

yang telah disajikan, serta

memberikan pertanyaan kepada

siswa “Apa pengertian jari-jari?

Jika panjang sumbu mayor

𝐴1𝐴2, maka setengah jarak

𝐴1𝐴2 adalah ....” begitu pula

dengan jari-jari minor.


dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa kebingungan

memahami jari-jari mayor dan jari-jari minor. Hal ini dikarenakan siswa

hanya terpaku pada unsur–unsur yang diketahui saja. Pada penugasan 1

terdapat hambatan baru diluar prediksi yaitu siswa tidak memahami maksud

dari sumbu utama dan sumbu sekawan. Lalu, diberikan antisipasi baru dengan

menjelaskan bahwa sumbu utama adalah sumbu simetri yang melalui titik

pusat dan kedua titik fokus elips, sedangkan sumbu sekawan yaitu sumbu

simetri yang tegak lurus dengan sumbu utama.

Setelah siswa memahami konsep definisi elips dan mampu menotasikan

masing-masing unsur, siswa diminta untuk melanjutkan melengkapi

penugasan 2. Pada penugasan 2 diberikan gambar sebuah elips beserta

simbol-simbol dari masing-masing unsur, lalu siswa diminta untuk

melengkapi langkah-langkah untuk membuktikan jarak yang tertera pada

71

definisi formal elips. Berikut contoh hasil jawaban penugasan 2 pada situasi

2.

Gambar 4. 31


Berdasarkan penugasan 2, siswa diminta untuk melengkapi pembuktian

definisi elips berdasarkan unsur-unsur yang sudah diketahui sebelumnya..

Beberapa siswa mengalami hambatan yang sebelumnya sudah diprediksi.

Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama pembelajaran:

Tabel 4. 5



Siswa kesulitan mendapatkan

jarak 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2


kepada siswa untuk mengamati

gambar elips yang telah

disajikan, untuk mendapatkan

𝐴1𝐹1 dengan cara

mengurangkan jarak 𝐴1𝑃 dan

jarak 𝐹1𝑃. Sedangkan untuk

mendapatkan 𝐴1𝐹2 dengan cara

menjumlahkan jarak 𝐴1𝐹1,

𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2


dengan prediksi yang sudah dibuat sebelumnya, dimana siswa tidak

72

mengamati jarak yang dilalui 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2 . Pada penugasan 2 juga tidak

muncul kesulitan baru di luar prediksi, namun terdapat penambahan

keterangan pada prediksi kesulitan yang sudah dibuat sebelumnya. Seluruh

siswa mampu menyelesaikan penugasan 2 dengan tepat sesuai dengan respon

yang diharapkan.

Setelah menyelesaikan penugasan 2 pada situasi 2, siswa diminta untuk

menentukan kesimpulan terkait definisi elips dan persamaan elips

berdasarkan definisi elips pada LKS.

Gambar 4. 32

Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Definisi Elips dan

Persamaan Elips

Pada jawaban diatas, siswa sudah mampu menentukan definisi elips dan

persamaan elips berdasarkan definisi elips yang sudah dibuktikan pada situasi

1 dan situasi 2. Hal ini menunjukkan bahwa siswa sudah memahami konsep

definisi dan unsur-unsur elips.

Berdasarkan hasil analisis dari penugasan 1 dan 2 pada situasi 2 dapat

disimpulkan bahwa desain didaktis situasi 2 sudah mampu mengurangi

learning obstacle, walaupun terdapat beberapa perbaikan , yaitu penambahan

1 prediksi kesulitan dan antisipasinya pada penugasan 1 dan perluasan

prediksi berupa keterangan pada penugasan 2. Hal ini bertujuan agar desain

tersebut mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.

2. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Kedua

Implementasi desain didaktis pertemuan kedua dilaksanakan pada

Jum’at, 29 Maret 2019 pada jam pelajaran kelima dan keenam. Pembahasan

konsep pada pertemuan kedua adalah mengenai elips yang berpusat di (0,0).

Pada pertemuan ini siswa diberikan dua situasi untuk memahami elips yang

73

berpusat di (0,0). Sebelum memulai pembelajaran, guru melakukan apersepsi

berupa pembahasan definisi elips, unsur-unsur elips, serta persamaan elips

berdasarkan definsi elips pada pertemuan sebelumnya. Pada situasi 3

diberikan penugasan terkait membedakan bentuk elips pada kehidupan

sehari-hari. Berikut contoh hasil jawaban siswa pada situasi 3.

Gambar 4. 33

Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa pada Situasi 3

Kegiatan pertama yang dilakukan siswa ialah menyatakan apa yang siswa

ketahui mengenai bentuk orbit bumi, membedakan kedua bentuk gambar

orbit, serta menyimpulkan kedua bentuk jika diketahui pusat orbit bumi

adalah (0,0). Pada penugasan ini, diprediksikan beberapa kesulitan dan

antisipasinya. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama

proses pembelajaran:

74

Tabel 4. 6

Hambatan dan Antisipasi Hambatan pada Situasi 3


1. Siswa tidak dapat

membedakannya


“sumbu horizontal dan

vertikal”

2. Siswa tidak dapat menyimpulkan

kedua bentuk elips tersebut

Dengan arahan sebelumnya

siswa dapat menyimpulkan

terdapat 2 bentuk elips yang

berpusat di (0,0)

Pada penugasan ini, hambatan dan antisipasi yang dilakukan sesuai

dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya, sehingga mampu diantisipasi

secara maksimal. Selain itu tidak ditemukan kesulitan baru dari siswa. Dapat

dikatakan bahwa seluruh siswa dapat menyelesaikan dengan tepat sesuai

dengan respon yang diharapkan. Hal ini menunjukkan bahwa desain didaktis

situasi 3 sudah mampu mengatasi learning obstacle yang teridentifikasi

sebelumnya.

Selanjutnya diberikan situasi 4 yang terdiri dari 3 penugasan. Penugasan

1 diberikan terkait unsur-unsur elips berpusat di (0,0) baik itu elips mendatar

maupun elips tegak, lalu siswa diminta untuk menotasikan masing-masing

unsur pada tabel. Berikut contoh hasil jawaban siswa penugasan 1 pada situasi

4.

75

Gambar 4. 34



menganalisis unsur-unsur elips dari dua bentuk elips yang berpusat di (0,0).

Pada penugasan ini, diprediksikan beberapa kesulitan disertai dengan

antisipasi untuk mengatasi kesulitan tersebut. Berikut hambatan yang dialami

siswa beserta antisipasinya selama proses pembelajaran:

Tabel 4. 7



1. Siswa tidak dapat menotasikan

panjang sumbu mayor dan

panjang sumbu minor

Guru menstimulasi siswa dengan

definisi mengenai jari- jari sumbu

mayor (a), jika ditanya panjang

76

sumbu mayor = a + a = 2a, begitu

pula dengan panjang sumbu minor


jarak titik fokus dari titik pusat

dengan menggunakan teorema

phytagoras

Guru memerintahkan siswa untuk

menarik garis dari titik ujung

sumbu minor ke titik fokus,

sehingga terlihat bentuk segitiga

siku-sikunya, begitu pula dengan

gambar yang kedua.

Elips mendatar

Elips tegak

Pada penugasan diatas, seluruh hambatan dan antisipasi yang dilakukan

sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Selain itu, terjadi

kesulitan diluar prediksi yaitu siswa keliru dalam menotasikan titik puncak

dan titik fokus pada kedua bentuk elips. Antisipasi yang diberikan terkait

kesulitan tersebut dengan menstimulasi siswa mengenai definisi dari titik

puncak dan titik fokus pada LKS 1, lalu memberikan bantuan (scaffolding)

bahwa dalam penulisan titik pada sistem koordinat ialah (x,y). Secara

keseluruhan, seluruh siswa mampu menyelesaikan penugasan 1 dengan

respon yang diharapkan.

77

Setelah siswa memahami unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0),

dilanjutkan dengan penugasan 2 yang terkait dengan menemukan persamaan

elips yang berpusat di (0,0). Berikut contoh hasil jawaban siswa pada

penugasan 2:

78

Gambar 4. 35


Pada penugasan diatas, siswa diminta melengkapi untuk membuktikan

persamaan elips menggunakan definisi elips yang telah diketahui

sebelumnya. Beberapa siswa mengalami kesulitan yang sebelumnya sudah

diprediksi. Berikut hambatan yang dialami siswa beserta antisipasinya selama


79

Tabel 4. 8



1. Siswa tidak mengetahui konsep

apa yang digunakan untuk mencari

𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2

Guru mengarahkan siswa pada

gambar yang sudah diberikan.

Siswa diminta untuk

mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang

dibentuk oleh ∆𝑇𝑅𝐹1?”

2. Siswa kesulitan mendapatkan

jarak 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2

Guru memberikan penjelasan

kepada siswa bahwa mencari

jarak 𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2

menggunakan phytagoras,serta

formula phytagoras di dapat

dengan mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan

∆𝑇𝑅𝐹2

3. Siswa keliru dalam menerapkan

persamaan kuadrat pada langkah

berikutnya

Guru menjelaskan secara

perlahan cara menjabarkan

persamaan kuadrat yang

dimaksud

4. Siswa tidak mengerti distributif Guru memberikan arahan

bahwa distributif itu

mengelompokkan hal yang

sama

5. Siswa tidak memahami

menggunakan teorema phytagoras

Guru mengarahkan siswa untuk

melihat lagi unsur-unsur kedua

bentuk elips yang berpusat di

(0,0)

6.

Siswa bingung cara mendapatkan

persamaan bentuk umum menjadi

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪

Guru menjelaskan yang didapat

dari langkah sebelumnya ialah

𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2

Dan memisalkan

80

𝐴 = 𝑏2

𝐵 = 𝑎2

𝐶 = 𝑎2𝑏2

Sehingga menjadi,

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪

Pada penugasan 2 diatas, terdapat 1 antisipasi yang tidak teratasi pada

hambatan 1 yaitu guru mengarahkan siswa untuk mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 untuk

mendapatkan 𝑇𝐹1. Pada fakta di kelas, siswa juga tidak dapat mendapatkan

𝑇𝐹2, maka dari itu dibuatlah antisipasi baru yaitu guru mengarahkan siswa

untuk mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2 untuk mendapatkan 𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2. Selain

itu, terdapat 1 kesulitan dan antisipasinya yang tidak ditemukan selama proses

pembelajaran, yaitu siswa tidak mngerti distributif. Fakta di kelas, siswa

dapat memahami dan mengerti langkah-langkah dalam menemukan

persamaan elips yang berpusat di (0,0). Sedangkan kesulitan dan antisipasi

lainnya sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Seluruh peserta

mampu menyelesaikan penugasan 1 dengan tepat sesuai dengan respon yang

diharapkan. Setelah siswa menemukan persamaan elips yang berpusat di

(0,0), dilanjutkan dengan penugasan 3 pada pertemuan selanjutnya.

3. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Ketiga

Implementasi desain didaktis pertemuan ketiga dilaksanakan pada

Kamis, 11 April 2019 pada jam pelajaran pertama dan kedua. Pembahasan

konsep pada pertemuan ketiga adalah mengenai lanjutan dari elips yang

berpusat di (0,0). Pada pertemuan ini siswa melanjutkan penugasan 3 pada

situasi 4 terkait latus rectum dan eksentrisitas. Sebelum memulai

pembelajaran, dilakukan apersepsi terlebih dahulu.

Pada kegiatan apersepsi, siswa diingatkan kembali mengenai persamaan

elips yang berpusat di (0,0) yang sudah dipelajari pada pertemuan

sebelumnya. Hal ini dikarenakan dalam proses menemukan formula tersebut

menggunakan persamaan elips yang berpusat di (0,0)Pada penugasan 3 siswa

81

diarahkan untuk menemukan formula latus rectum dan eksentrisitas. Berikut

contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 3.

Gambar 4. 36


82

Pada penugasan ini, siswa Siswa diminta melengkapi untuk menemukan

formula latus rectum dan eksentrisitas dari dua bentuk elips yang berbeda.

Berdasarkan gambar diatas, siswa sudah sesuai dalam melengkapi langkah-

langkah dalam menemukan formula eksentrisitas. Selanjutnya dilanjutkan

dengan pengisian langkah-langkah untuk menemukan formula eksentristas.

Gambar 4. 37


Pada penugasan menemukan eksentrisitas diatas, terlihat bahwa kesulitan

sesuai dengan prediksi, yaitu sulit menggambarkan sesuai dengan arahan

walaupun untuk gambar kedua bentuk elips sudah benar. Terdapat beberapa

kesulitan lainnya yang dialami oleh siswa. Kesulitan tersebut diantisipasi

dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Berikut kesulitan dan

antisipasi yang dialami oleh siswa selama proses pembelajaran:

83

Tabel 4. 9



1. Siswa tidak dapat menggambarkan

elips mendatar dan elips tegak

sesuai perintah

Guru menuntun siswa untuk

menggambar sesuai perintah

serta definisi latus rectum

2. Siswa tidak tahu nilai x yang

dimaksud untuk elips mendatar

dan y untuk elips tegak


elips mendatar “ titik fokus

berada pada sumbu ? sehingga

jarak dari titik pusat ke fokus

adalah...” begitu pula dengan

mencari nilai ya pada elips

tegak

3. Siswa tidak bisa menyamakan

penyebut

Guru memerintahkan untuk

melihat penyebut apa saja yang

ada di persamaan tersebut,

samakan kedua pecahan

tersebut dengan 𝒂𝟐 pada elips

mendatar dan 𝒃𝟐 pada elips tegak

4. Siswa tidak dapat menyatakan

formula panjang lactus rectum


bahwa formula lactus rectum

pada langkah sebelumnya

hanya salah satu dari jarak titik

fokus ke titik lactus rectum,

karna panjang lactus rectum

(LR) merupakan panjang dari

titik ujung LR 1 ke titik ujung

LR 2

5. Siswa tidak dapat menggambarkan

elips mendatar dan elips tegak


menggambar sesuai perintah

serta definisi eksentrisitas

84

sesuai perintah untuk menemukan

eksentrisitas


jarak dari pusat ke titik fokus dan

jari-jari sumbu mayor


mengamati gambar yang telah

dibuat sebelumnya yang

berdasarkan perintah

7. Siswa tidak dapat menyatakan

formula eksentristas

Guru mengarahkan untuk

membaca ulang deskripsi dari

eksentrisitas serta melihatnya

pada gambar

Pada penugasan 3 ini, terdapat satu prediksi yang tidak muncul selama

proses pembelajaran, yaitu pada kesulitan siswa yang tidak bisa menyamakan

penyebut pada pecahan. Namun, prediksi dan antisipasi yang lainnya sesuai

dengan apa yang diprediksikan sebelumnya. Keseluruhan siswa sudah

mampu menemukan formula latus rectum dan eksentritas. Hal ini

menunjukkan bahwa siswa sudah memahami konsep elips yang berpusat di

(0,0) dengan tepat sesuai dengan respon yang diharapkan. Setelah

menyelesaikan penugasan 3 pada situasi 4, siswa diminta untuk menentukan

kesimpulan terkait persamaan elips yang berpusat di (0,0) pada LKS.

Gambar 4. 38

Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang

Berpusat di (0,0)

Pada jawaban diatas, siswa diminta untuk menuliskan kembali

persamaan elips yang berpusat di (0,0) yang sudah ditemukan pada penugasan

85

2 di kolom kesimpulan. Dapat dilihat bahwa siswa sudah mampu menuliskan

kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0).

Berdasarkan hasil analisis dari penugasan 1, 2, dan 3 pada situasi 4 dapat

disimpulkan bahwa desain didaktis situasi 4 sudah mampu mengurangi

learning obstacle, walaupun terdapat beberapa perbaikan yaitu penambahan

1 prediksi kesulitan beserta antisipasinya pada penugasan 1, pengurangan 2

prediksi kesulitan dan antisipasi pada penugasan 2 dan 3, serta penambahan

1 antisipasi baru pada penugasan 2. Hal ini bertujuan agar desain tersebut

mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.

4. Implementasi Desain Didaktis Pertemuan Keempat

Implementasi desain didaktis pertemuan kedua dilaksanakan pada

Jum’at, 12 April 2019 pada jam pelajaran kelima dan keenam. Pembahasan

konsep pada pertemuan kedua adalah mengenai elips yang berpusat di (h,k).

Pada pertemuan ini siswa diberikan dua situasi untuk memahami elips yang

berpusat di (h,k). sebelum memulai pembelajaran, dilakukan apersepsi

terlebih dahulu.

Pada kegiatan apersepsi, siswa diingatkan kembali mengenai unsur-unsur

elips dan persamaan elips yang berpusat di (0,0) pada pertemuan sebelumnya.

Siswa akan diberikan situasi 5 terkait konsep dasar mengenai elips yang

berpusat di (h,k). Berikut contoh hasil jawaban siswa pada situasi 5.

86

Gambar 4. 39

Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Situasi 5

Kegiatan pertama yang dilakukan siswa ialah mengamati situasi berupa

cerita, lalu siswa diminta untuk menggambar denah taman posisi semula

dengan denah taman setelah dipindahkan. Siswa menggambarkan elips

tersebut pada kolom sistem koordinat yang telah diberikan.setelah itu siswa

menyimpulkan konsep apa yang terjadi pada kedua posisi denah taman

tersebut.Pada penugasan ini, diprediksikan beberapa kesulitan dan

antisipasinya. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama


87

Tabel 4. 10

Hambatan dan Antisipasi Hambatan Situasi 5


1. Siswa bingung menggambarkan

posisi taman setelah dipindahkan


menggambarkan denah taman

tersebut sesuai dengan jarak

yang terdapat pada cerita

2. Siswa tidak mengetahui konsep

apa yang digunakan


bahwa “denah taman semula

dengan denah taman setelah

dipindahkan apakah bentuk dan

ukuran masih sama? Jika sama,

maka konsep apakah yang

cocok untuk

menginterpretasikan kedua

gambar tersebut”

Pada penugasan ini, terdapat 1 antisipasi yang tidak teratasi pada

hambatan 2 yaitu guru hanya mengarahkan perubahan bentuk dan ukuran.

Pada fakta di kelas siswa masih belum memahami dengan arahan tersebut

untuk mendapatkan konsep apa yang terjadi, dengan begitu dibuatlah

antisipasi baru dengan menambahkan arahan agar siswa mengaitkan kegiatan

tersebut dengan materi geometri transformasi. Selebihnya hambatan dan

antisipasi yang dilakukan sesuai dengan prediksi yang telah dibuat

sebelumnya, sehingga mampu diantisipasi secara maksimal. Selain itu tidak

ditemukan kesulitan baru dari siswa. Dapat dikatakan bahwa seluruh siswa

dapat menyelesaikan dengan tepat sesuai dengan respon yang diharapkan.

Hal ini menunjukkan bahwa desain didaktis situasi 5 sudah mampu

mengatasi learning obstacle yang teridentifikasi sebelumnya, walaupun

terdapat perbaikan yaitu penambahan 1 antisipasi baru. Hal ini bertujuan agar

desain tersebut mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.

88

Selanjutnya diberikan situasi 6 yang terdiri dari 4 penugasan. Penugasan

1 diberikan terkait unsur-unsur elips berpusat di (h,k) baik itu elips mendatar

maupun elips tegak, lalu siswa diminta untuk menotasikan masing-masing

unsur pada tabel. Berikut contoh hasil jawaban siswa penugasan 1 pada situasi

6.

89

Gambar 4. 40



menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada gambar elips yang berpusat di

(0,0) dan elips yang berpusat di (h,k) pada bentuk elips mendatar. Pada

penugasan diatas, siswa sudah mampu melengkapi titik koordinat pada elips

mendatar. Namun, terdapat kesulitan yaitu siswa keliru dalam menotasikan

panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor. Selain itu terdapat beberapa

prediksi kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah dibuat sebelumnya.

Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama proses

pembelajaran:

Tabel 4. 11

Hambatan dan Antisipasi Hambatan Penugasan 1 Situasi 6


1. Siswa tidak mengetahui cara

mendapatkan perubahan titik

ujung sumbu minor pada sumbu y

setelah adanya pergeseran dari

(0,0) menjadi (h,k)

Guru memberikan arahan “lihat

jarak dari (0,0) ke k pada sumbu

y berarti jaraknya ialah k.

Untuk mendapatkan 𝐵1, lihat

posisinya pada sumbu y maka

jaraknya melebihi k atau malah

berkurang?” begitu pula dengan

𝐵2.

2. Siswa tidak mengetahui


ujung sumbu mayor pada sumbu x


jarak dari (0,0) ke h pada sumbu

x berarti jaraknya ialah h.

Untuk mendapatkan 𝐴1, lihat

90


(0,0) menjadi (h,k)

jarak titik pusat ke 𝐴1yaitu

merupakan jari-jari mayor (a),

lalu lihat posisinya pada sumbu

x maka jarak dari 𝐴1 ke k ialah

dengan mengurangkan h

dengan a. Begitu pula dengan

𝐴2



fokus pada sumbu x setelah adanya

pergeseran dari (0,0) menjadi (h,k)

Guru memeberikan arahan

untuk mendapatkan 𝐹1, lihat

jarak titik pusat ke 𝐹1yaitu

dimisalkan (c), lalu lihat

posisinya pada sumbu x maka

jarak dari 𝐹1 ke k ialah dengan

mengurangkan h dengan c.

Begitu pula dengan 𝐹2

4. Siswa hanya mengetahui latus

rectum dan eksentrisitas hanya di

elips pusat (0,0), siswa mengira

latus rectum dan eksentrisitas di

elips pusat (h,k) berbeda


bahwa “latus rectum dan

eksentrisitas hanya di elips

pusat (0,0) maupun di (h,k)

memiliki formula yang sama.

Hal itu dikarenakan akibat

pergeseran tidak merubah

bentuk si elips, begitu pula di

elips tegak”

Pada penugasan diatas, terdapat 2 antisipasi yang tidak teratasi, pertama

pada hambatan 1 yaitu guru memberikan arahan untuk mendapatkan 𝐵1

dengan cara melihat posisi sumbu y dan memberikan pertanyaan kepada

siswa jaraknya melebihi atau berkurang. Pada fakta di kelas siswa tidak

mengetahui jarak dari P ke 𝐵1, dengan begitu dibuatlah antisipasi beru yaitu

dengan menambahkan arahan jarak dari P ke 𝐵1 merupakan jari-jari sumbu

91

minor. Kedua, pada hambatan 2 yaitu guru hanya memberikan arahan untuk

mendapatkan 𝐴1. Realitanya yang terjadi siswa tidak mengetahui cara

mendapatkan 𝐴2, dengan begitu dibuatlah antisipasi baru dengan

menambahkan arahan menambahkan a untuk mendapatkan 𝐴2.Selain itu,

terjadi kesulitan diluar prediksi yaitu siswa keliru dalam menotasikan panjang

sumbu mayor dan panjang sumbu minor. Antisipasi yang diberikan terkait

kesulitan tersebut dengan mengarahkan siswa bahwa dalam menotasikan

panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor bukan titik melainkan

panjang. Guru juga menstimulasi siswa pada bahwa panjang sumbu mayor

dan panjang sumbu minor pada elips (h,k) sama dengan elips (0,0) . Namun,

pada penugasan 1 keseluruhan siswa mampu menyelesaikan dengan tepat

sesuai dengan respon yang diharapkan.

Setelah siswa memahami unsur-unsur elips mendatar yang berpusat di

(h,k), dilanjutkan dengan penugasan 2 yang terkait dengan unsur-unsur elips

tegak yang berpusat di (h,k).Berikut contoh hasil jawaban siswa pada

penugasan 2:

92

Gambar 4. 41


93


menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada gambar elips yang berpusat di

(0,0) dan elips yang berpusat di (h,k) pada bentuk elips tegak. Pada penugasan

diatas, siswa sudah mampu melengkapi titik koordinat pada elips tegak.

Setelah itu, siswa diminta untuk menotasikan masing-masing unsur pada elips

tegak ke dalam tabel yang telah diberikan. Terdapat beberapa prediksi

kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah dibuat sebelumnya. Berikut ini

hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama proses pembelajaran:

Tabel 4. 12





ujung sumbu minor pada sumbu x


(0,0) menjadi (h,k)


jarak dari 0 ke h pada sumbu x

berarti jaraknya ialah h. Untuk

mendapatkan 𝐴1, lihat jarak

dari pusat ke 𝐴1 merupakan (a)


x maka jaraknya melebihi h

atau malah berkurang?” begitu

pula dengan 𝐴2



ujung sumbu mayor pada sumbu y


(0,0) menjadi (h,k)


jarak dari 0 ke k pada sumbu y

berarti jaraknya ialah k. Untuk

mendapatkan 𝐵1, lihat jarak

titik pusat ke 𝐵1yaitu

merupakan jari-jari mayor (b),


y maka jarak dari titik pusat ke

𝐵1 ialah dengan menjumlahkan

k dengan b. Begitu pula dengan

𝐵2

94



fokus pada sumbu y setelah adanya

pergeseran dari (0,0) menjadi (h,k)


mendapatkan 𝐹1, lihat jarak titik

pusat ke 𝐹1yaitu dimisalkan (c),



𝐹1 ialah dengan menjumlahkan

k dengan b. Begitu pula dengan

𝐹2


sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Selain itu, tidak

ditemukan kesulitan diluar prediksi. Hal ini menunjukkan bahwa Seluruh


yang diharapkan.

Setelah siswa memahami unsur-unsur elips tegak yang berpusat di (h,k),

dilanjutkan dengan penugasan 3 yang terkait dengan persamaan elips yang

berpusat di (h,k).Berikut contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 3:

95

Gambar 4. 42



melengkapi langkah-langkah untuk menemukan formula persamaan elips

pada pusat (h,k). Pada penugasan diatas, siswa sudah mampu melengkapi

kolom langkah-langkah dalam menemukan persamaan elips yang berpusat di

(h,k). Terdapat beberapa prediksi kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah

dibuat sebelumnya. Berikut ini hambatan dan antisipasi yang dialami siswa

selama proses pembelajaran:

96

Tabel 4. 13



1. Siswa lupa dengan formula

translasi

Guru mengingatkan bahwa

konsep tranlasi, jika (x,y)

ditranslasi oleh titik (a,b), maka

(𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)

2. Siswa tidak bisa mengaitkan

formula translasi dengan pusat

(h,k)

Guru mengarahkan bahwa

(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu

substitusikan (𝑎, 𝑏) dengan

(ℎ, 𝑘)

3. Siswa tidak dapat menemukan x

dan y yang baru

Guru mengarahkan jika step

sebelumnya mensubstitusikan

(𝑎, 𝑏) dengan (ℎ, 𝑘), lalu

pindah ruaskan sumbu x dan

sumbu y

(𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘

)

(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘

) = (𝑥𝑦)

Sehingga didapatkan

𝑥 menjadi 𝑥 − ℎ, sedangkan

𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘


sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Selain itu, tidak

ditemukan kesulitan diluar prediksi. Hal ini menunjukkan bahwa Seluruh


yang diharapkan.

Setelah siswa memahami persamaan elips yang berpusat di (h,k),

dilanjutkan dengan penugasan 4 yang terkait mengubah persamaan

sederhana elips yang berpusat di (h,k) menjadai persamaan bentuk umum.

Berikut contoh hasil jawaban siswa pada penugasan 4:

97

Gambar 4. 43



melengkapi alur untuk mengubah persamaan elips sederhana di (h,k) menjadi

persamaan bentuk umum. Pada penugasan diatas, siswa sudah mampu

melengkapi langkah-langkah dalam menemukan persamaan bentuk umum

elips dari persamaan elips yang berpusat di (h,k). Terdapat beberapa prediksi

kesulitan dan antisipasi lainnya yang telah dibuat sebelumnya. Berikut ini

hambatan dan antisipasi yang dialami siswa selama proses pembelajaran:

98

Tabel 4. 14



Siswa keliru dalam menerapkan

persamaan kuadrat pada langkah

berikutnya




dimaksud

Pada penugasan diatas, prediksi hambatan dan antisipasi yang dilakukan

tidak sesuai dengan prediksi yang telah dibuat sebelumnya. Hal ini

dikarenakan prediksi kesulitan dan antisipasi yang telah dibuat sebelumnya

tidaklah muncul pada pembelajaran di kelas. Hal ini menunjukkan bahwa

siswa sudah memahami persamaan elips yang berpusat di (h,k) dengan tepat

sesuai dengan respon yang diharapkan. Setelah menyelesaikan penugasan 4

pada situasi 6, siswa diminta untuk menentukan kesimpulan terkait

persamaan elips yang berpusat di (h,k) pada LKS.

Gambar 4. 44

Contoh Hasil Jawaban Lembar Kerja Siswa Kesimpulan Elips yang

Berpusat di (h,k)

Pada jawaban diatas, siswa diminta untuk menuliskan kembali

persamaan elips yang berpusat di (h,k) dan persamaan bentuk umum yang

sudah ditemukan sebelumnya di kolom kesimpulan. Dapat dilihat bahwa

siswa sudah mampu menuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di

(h,k) dan persamaan bentuk umum.

Berdasarkan hasil analisis dari penugasan 1, 2, 3, dan 4 pada situasi 6

dapat disimpulkan bahwa desain didaktis situasi 6 sudah mampu mengurangi

learning obstacle, walaupun terdapat beberapa perbaikan yaitu penambahan

99

1 prediksi hambatan beserta antisipasi pada penugasan 1, pengurangan 1

prediksi hambatan dan antisipasi pada penugasan 4, serta penambahan 2

antisipasi baru pada penugasan 1. Hal ini bertujuan agar desain tersebut

mampu meminimalisasi obstacle secara keseluruhan.

Secara keseluruhan berdasarkan analisis pada situasi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6

terdapat kemungkinan hambatan yang muncul sebesar 91,43% dari

kemungkinan hambatan yang telah diprediksikan sebelumnya. Dari 91,43%

kemungkinan hambatan yang muncul sebesar 87,5% efektif dalam

mengantisipasi kemungkinan hambatan yang ada. Hal ini dapat disimpulkan

bahwa desain didiaktis konsep elips mampu mengurangi learning obstacle.

C. Analisis Retrospektif

Analisis retrospektif merupakan tahapan peneliti melakukan analisis desain

didaktis yang sudah diimplementasikan di kelas, serta mengaitkan hasil analisis

situasi didaktis hipotesis dengan hasil analisis metapedadidaktik. Analisis ini akan

menghasilkan suatu desain didaktis empirik yang merupakan revisi dari desain

didaktis awal.

Berdasarkan hasil analisis metapedadidaktik implementasi desain didaktis I

mengenai definisi secara menyeluruh berjalan sesuai dengan prediksi awal.

Seluruh hambatan mampu diantisipasi sesuai dengan prediksi yang sudah dibuat

sebelumnya, sehingga hambatan siswa dapat teratasi. Namun, pada situasi 2,

ditemukan satu kesulitan baru yang tidak terprediksi, yaitu siswa kesulitan

memahami sumbu utama dan sumbu sekawan. Hambatan yang tidak terprediksi

tersebut dapat diatasi dengan pemberian antisipasi baru yang mampu mengatasi

hambatan siswa yang sudah dipaparkan pada analisis metapedadidaktik.

Berdasarkan kesulitan yang baru, maka desain didaktis I dimodifikasi dengan

mempertimbangkan hal-hal berikut :

1. Munculnya kesulitan baru dimana siswa kesulitan memahami sumbu utama

dan sumbu sekawan pada situasi 2 mengenai unsur-unsur elips. Hal ini

menjadi dasar untuk menambahkan petunjuk pada gambar elips agar siswa

dapat memahaminya.

100

Gambar 4. 45

Desain Didaktis Awal Definisi Elips

Gambar 4. 46

Desain Didaktis Revisi Definisi Elips

2. Memperluas prediksi hambatan dan antisipasi respon siswa agar tidak

kembali muncul kesulitan baru yang tidak terprediksi dan seluruh kesulitan

siswa dapat diatasi secara tepat.

Berdasarkan hasil analisis metapedadidaktik implementasi desain didaktis II

mengenai elips berpusat (0,0). Terdapat 15 dari 17 kemungkinan kesulitan yang

muncul, dari 15 kemungkinan kesulitan yang muncul terdapat 14 yang teratasi.

Pada desain didaktis II juga terdapat satu kesulitan baru diluar prediksi awal.

Kesulitan yang tidak terprediksi tersebut dapat diatasi dengan pemberian

antisipasi baru yang mampu mengatasi kesulitan siswa yang sudah dipaparkan

pada analisis metapedadidaktik. Selain itu, terdapat satu kesulitan beserta

antisipasi yang tidak muncul pada prediksi awal. Berdasarkan kesulitan tersebut,

desain didaktis II dimodifikasi dengan mempertimbangkan hal-hal berikut :

1. Munculnya kesulitan baru dimana siswa keliru dalam menotasikan titik

puncak dan titik fokus pada kedua bentuk elips. hal ini menjadi dasar untuk

menambahkan penjelasan tentang definisi dari kedua unsur tersebut.

101

2. Memperluas prediksi kesulitan dan antisipasi respon siswa agar tidak kembali

muncul kesulitan baru yang tidak terprediksi dan seluruh kesulitan siswa

dapat diatasi secara tepat.

Berdasarkan hasil analisis metapedadidaktik implementasi desain didaktis III

mengenai elips berpusat (h,k). Terdapat 12 dari 13 kemungkinan kesulitan yang

muncul, dari 12 kemungkinan kesulitan yang muncul terdapat 9 yang teratasi.

Secara keseluruhan kesulitan yang dialami siswa sesuai dengan prediksi yang

telah dibuat sebelumnya, namun terdapat satu kesulitan baru diluar prediksi awal.

Kesulitan yang tidak terprediksi tersebut dapat diatasi dengan pemberian

antisipasi baru yang mampu mengatasi kesulitan siswa yang sudah dipaparkan

pada analisis metapedadidaktik. Selain itu, terdapat satu kesulitan beserta

antisipasi yang tidak muncul pada prediksi awal. Berdasarkan kesulitan tersebut,

desain didaktis III dimodifikasi dengan mempertimbangkan hal-hal berikut :

A. Tidak terantisipasinya kesulitan siswa dalam menotasikan titik sumbu minor

dan titik sumbu mayor.

102

Gambar 4. 47

Desain Didaktis Awal Definisi Elips

Gambar 4. 48

Desain Didaktis Revisi Definisi Elips

B. Munculnya kesulitan baru dimana siswa keliru dalam menotasikan panjang

sumbu mayor dan panjang sumbu minor pada kedua bentuk elips. Hal ini

103

menjadi dasar untuk menambahkan penjelasan mengenai panjang sumbu

mayor dan minor pada elips yang berpusat di (0,0) dan (h,k)

C. Memperluas prediksi kesulitan dan antisipasi respon siswa agar tidak kembali

muncul kesulitan baru yang tidak terprediksi dan seluruh kesulitan siswa

dapat diatasi secara tepat.

Secara umum, kerangka pada desain didaktis awal mengalami sedikit

perubahan dengan modifikasi seperti penambahan petunjuk, pengurangan

penugasan, perluasan prediksi kesulian dan antisipasi respon siswa agar tidak

muncul kembali kesulitan yang baru, serta pengelolaan waktu pembelajaran.

Tindak lanjut dari penelitian ini adalah perbaikan desain didaktis awal agar lebih

memudahkan siswa dalam memahami konsep elips. berikut tabel rekapan

perubahan Hypothetical Learning Trajectory konsep elips.

Tabel 4. 15

HLT Awal dan HLT yang Direvisi

Hypothetical Learning Trajectory

(HLT)

Revised Learning Trajectory

(RLT)

Situasi Didaktis 1

Siswa diminta untuk memposisikan

keempat anak tersebut sesuai dengan

gambar pada alat peraga yang sudah

disediakan, lalu siswa diminta untuk

menjalankan Tobi dan Putri dari posisi

awal dan kembali lagi ke posisi awal

lagi dengan memutari Fani dan Fido

Tidak ada perubahan

Siswa diminta untuk membuktikan

persaman umum elips dari definisi

yang diberikan, serta mengacu pada

gambar atau jejak Tobi dan Putri di alat

peraga

Tidak ada perubahan

Situasi Didaktis 2

104

Siswa diminta untuk menotasikan

masing-masing unsur elips pada tabel

yang telah disajikan

Penambahan petunjuk baru pada

gambar elips yang disajikan

Siswa diminta untuk melengkapi

pembuktian definisi elips berdasarkan

unsur-unsur yang sudah diketahui

sebelumnya

Perluasan prediksi respon siswa berupa

penambahan keterangan elips

Situasi Didaktis 3

Siswa diminta untuk menyatakan apa

yang siswa ketahui mengenai bentuk

orbit bumi, membedakan kedua bentuk

gambar orbit, serta menyimpulkan

kedua bentuk jika diketahui pusat orbit

bumi adalah (0,0)

Tidak ada perubahan

Situasi Didaktis 4

Siswa diminta untuk menganalisis

unsur-unsur elips dari dua bentuk elips


Penambahan prediksi respon siswa

berupa arahan mengenai titik puncak

dan titik fokus pada elips

Siswa diminta melengkapi untuk

membuktikan persamaan elips

menggunakan definisi elips yang telah

diketahui sebelumnya


berupa arahan guru terhadap dua

segitiga untuk menemukan sebuah

konsep

Pengurangan prediksi respon berupa

sifat operasi dalam menyelesaikan

pembuktian persamaan elips beserta

antisipasinya

Siswa diminta melengkapi untuk

menemukan formula Latus Rectum dan

eksentrisitas dari dua bentuk elips yang

berbeda


operasi pecahan dalam menemukan

formula Latus Rectum beserta

antisipasinya

105

Situasi Didaktis 5

Siswa diminta untuk menggambarkan

dan menyatakan konsep denah taman

semula dengan denah taman setelah

dipindahkan, dengan syarat

menggunakan koordinat kartesius


berupa arahan guru untuk mengaitkan

suatu kegiatan pada materi geometri

transformasi

Situasi Didaktis 6


unsur-unsur yang terdapat pada gambar

elips yang berpusat di (0,0) dan elips

yang berpusat di (h,k) pada bentuk

elips mendatar


berupa arahan untuk mendapatkan

salah satu titik pada sebuah elips


berupa arahan dalam menotasikan

panjang sumbu mayor dan sumbu

minor


unsur-unsur yang terdapat pada gambar

elips yang berpusat di (0,0) dan elips

yang berpusat di (h,k) pada bentuk

elips tegak

Tidak ada perubahan

Siswa diminta untuk melengkapi step

by step untuk menemukan formula

persamaan elips pada pusat (h,k)

Tidak ada perubahan

Siswa diminta untuk melengkapi alur

untuk mengubah persamaan elips

sederhana di (h,k) menjadi persamaan

bentuk umum


penggunaan persamaan kuadrat dalam

menemukan persamaan elips bentuk

umum beserta antisipasinya

D. Keterbatasan Penelitian

Penulis menyadari bahwa penelitian ini belum sempurna. Berbagai upaya

telah dilakukan agar penelitian ini memperoleh hasil yang optimal. Meskipun

106

demikian, masih ada beberapa faktor yang masih sulit untuk dikendalikan

sehingga hasil penelitian ini masih perlu disempurnakan. Beberapa

keterbatasan dalam penelitian ini diantaranya :

a. Penelitian ini hanya dilakukan pada pokok bahasan elips.

b. Terdapat kekeliruan dalam soal learning obstacle nomor 2 pada bagian

panjang lactus rectum sama dengan 9/2. Hal ini menyebabkan kesalahan

dalam bentuk persamaan elips tegak yang seharusnya 𝑎2 < 𝑏2 menjadi

𝑎2 > 𝑏2 (persyaratan untuk persamaan elips mendatar). Sehingga

harapannya untuk peneliti selanjutnya bisa memperbaiki kesalahan

tersebut.

c. Waktu yang digunakan peneliti dalam melakukan peneliti terbatas.

d. Desain HLT yang telah dibuat hanya terbatas pada desain LKS yang

peneliti telah buat sebelumnya.

107

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian terkait dengan desain didaktis pada konsep

elips yang telah dilakukan serta pembahasannya, maka diperoleh beberapa

kesimpulan sebai berikut :

1. Learning obstacle yang terkait dengan konsep elips pada irisan kerucut,

yaitu :

a. Siswa tidak dapat membaca unsur-unsur pada elips

b. Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di

(0,0)

c. Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik

fokus, panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (0,0)

d. Siswa keliru dalam menggunakan persamaan elips yang berpusat di

(h,k)

e. Siswa keliru dalam menentukan jari-jari mayor, jari-jari minor, titik

fokus, panjang sumbu mayor pada elips yang berpusat di (h,k)

f. Siswa yang mengalami kesulitan mengubah persamaan bentuk umum

elips menjadi persamaan elips sederhana

2. Desain didaktis awal dikembangkan berdasarkan hasil analisis learning

obstacle dengan memperhatikan hypothetical learning trajectory siswa.

Desain didaktis konsep elips terdiri dari tiga kegiatan pembelajaran sebagai

berikut :

a. Desain Didaktis definisi dan unsur-unsur elips yang dikembangkan

untuk mengatasi kesulitan siswa dalam membaca apa saja unsur-unsur

pada gambar elips.

b. Desain Didaktis elips berpusat di (0,0) yang dikembangkan untuk

mengatasi kesulitan siswa dalam menentukan unsur-unsur elips pada

elips (0,0) dan kesulitan siswa dalam menggunakan persamaan elips di

(0,0).

108

c. Desain Didaktis elips berpusat di (h,k) yang dikembangkan untuk

mengatasi kesulitan dalam menentukan unsur-unsur elips pada elips

(h,k) dan kesulitan siswa dalam menggunakan persamaan elips di (h,k).

3. Respon siswa pada penerapan desain didaktis konsep elips secara

keseluruhan berdasarkan analisis pada situasi 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 terdapat

kemungkinan kesulitan yang muncul sebesar 91,43% dari kemungkinan

kesulitan yang telah diprediksikan sebelumnya. Dari 91,43% kemungkinan

kesulitan yang muncul sebesar 87,5% efektif dalam mengantisipasi

kemungkinan kesulitan yang ada. Hal ini dapat disimpulkan bahwa desain

didiaktis konsep elips mampu mengurangi learning obstacle.

4. Desain didaktis revisi yang dilakukan pada desain didaktis awal yaitu

penambahan dan pengurangan petunjuk pada penugasan, perluasan prediksi

respon dan antisipasi respon, serta pengelolaan waktu pada pembelajaran.

B. Saran

Berdasarkan hasil penelitian dan kesimpulan yang diperoleh, peneliti

memberikan beberapa saran terkait desain didaktis pada pembelajaran konsep

elips, yaitu :

1. Bagi guru dapat menjadikan desain didaktis konsep elips sebagai alternatif

desain yang dapat diimplementasikan pada pembelajaran elips, agar

mendapatkan hasil yang lebih optimal dalam pembelajaran elips

disarankan untuk mempertimbangkan waktu yang tersedia dalam

menggunakan desain didaktis konsep elips.

2. Bagi sekolah dengan adanya penelitian ini dapat menjadi acuan dalam

meningkatkan dan memperbaiki kualitas pembelajaran di sekolah, serta

dapat menyarankan guru mata pelajaran matematika peminatan untuk

menggunakan desain didaktis konsep elips sebagai alternatif desain

pembelajaran.

3. Bagi peneliti selanjutnya disarankan sebelum membuat desain didaktis,

sebaiknya dilakukan uji learning obstacle yang didahului dengan tahap

repersonalisasi konsep elips untuk mengidentifikasi kesulitan awal yang

109

akan dialami oleh siswa. Pada saat menyusun LKS, sebaiknya

mempertimbangkan waktu agar waktu pembelajaran dapat berjalan secara

optimal, agar peneliti dapat memastikan seluruh kesulitan yang dialami

siswa dapat teratasi dengan baik. Desain didaktis konsep elips yang

disusun dapat terus dikembangkan dengan perbaikan dan penelitian, baik

dari sisi kesulitan siswa, konsep, bahan ajar, maupun perluasan prediksi

respon siswa untuk memperoleh desain pembelajaran yang lebih optimal.

110

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir. Pembelajaran Geometri Sesuai Teori Van Hiele,Jurnal Madrasah.

Vol.11 No.1. 2009

Brosseau, Guy.Theory of Didactical Situation in Mathematic.Drodrecht: Kluwer

Academic Publisher.1997

Cendekia Wardani, Tsena,dkk. Desain Bahan Ajar Berbasis Komunikasi

Matematis Pada Materi Elips kelas XI. [online] https://osf.io/sd748 diakeses

pada tanggal 12 November 2018

Charitas, Rully. Design Research (Teori dan Implementasinya : Suatu

Pengantar).Depok: Rajawali Pers,2017

Christian Widya Eka Winarto, Alexander dan Tri Nova Hasti

Yunianta.Pengembangan Mobile Learning Matematika Sebagai Suplemen

Belajar SMA Kelas XI.Histogram: Jurnal Pendidikan Matematika. Vol.2

No.1. 2018

H.Schunk, Dale. Learning Theories An Educational Perspective (Teori-Teori

Pembelajaran :Perspektif Pendidikan ). Yogyakarta:Pustaka Pelajar.2012

Kresna Annizar, Edya dan Didi Suryadi. Desain Didaktis Pada Konsep Luas

Daerah Trapesium Untuk Kelas V Sekolah Dasar.EduHumaniora: Jurnal

Pendidikan Dasar.Vol.8.No.1.ISSN: 2085-1243. 2016

Malihatud Darojah, Dewi dan Suparman. Analisis Kebutuhan Desain

Pembelajaran Irisan Kerucut Menggunakan Pendekatan Pendidikan

Matematika Realistik Indonesia.Prosiding Seminar Nasional Matematika

dan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo.2018

National Council of Teacher of Mathematic (NCTM), Executive Summary

Principles and Standards for School Mathematics,2002 p 3

https://osf.io/sd748

111

Negoro, ST dan B.Harahap. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: PT. Ghalia

Indonesia.2003

Otoni Harefa, Amin. Penerapan Teori Pembelajaran Ausubel dalam

Pembelajaran.Majalah Ilmiah Warta Dharmawangsa Edisi 3.ISSN: 1829-

7463. 2013

Permata Sari, Putri. Analisis Kasus Rendahnya Prestasi Belajar Matematika Siswa

Pada Materi Irisan Kerucut dan Solusi Pemecahannya di Kelas XI IA

SMAIT Nur Hidayah. Prosiding KNPMP I Universitas Sebelas Maret.2016

Priatna, Nanang dan Tito Sukamto. Buku Siswa Aktif dan Kreatif Belajar

Matematika untuk Sekolah Menengah Atas/Madrasah Aliyah kelas XI

Peminatan dan Ilmu-Ilmu Alam.Jakarta: Raja Garfindo Persada.2016

Sarosa, Samiaji. Penelitian Kualitatif Dasar – Dasar. Jakarta : PT INDEKS. 2017

Setiawati, Euis. Hambatan Epistemologi (Epistimological Obstacle) dalam

Persamaan Kuadrat Pada Siswa Madrasah Aliyah. Proceeding

International Seminar and the Fourth National Conference on Mathematics

Education.ISBN: 978-979-16353-7-0.2011

Simangungsong, Wilson.PKS Matematika Peminatan Kelas XI SMA dan MA

Kurikulum 2013. Jakarta: Gematama.2014

Siregar, Evelin dan Hartini Nara. Teori Belajar dan Pembelajaran. Bogor : Ghalia

Indonesia. Cet ke-2, Oktober 2010

Wardhani, Sri. Analisis SI dan SKL Mata Pelajaran Matematika SMP/MTs untuk

Optimalisasi Pencapaian Tujuan. Yogyakarta: PPPPTK.2008

Sulistiyanti, Herry,dkk.Pengembangan Desain Didaktis Irisan Kerucut untuk

Memfasilitasi Disposisi Matematis Siswa.Jurnal Pendidikan Matematika

Universitas Lampung. Vol.4. No.28.2016

112

Suratno, Tatang. Didaktik dan Didactical Design Research. Dalam D.Suryadi, E.

Mulyana, T.Suratno, D.A.K. Dewi, dan S.Y.Maudy (Eds.) Monograf

Didactical Design Research.Bandung : Rizqi Press, 2016

Suryadi, Didi. Menciptakan Proses Belajar Aktif:Kajian dari Sudut Pandang Teori

Belajar dan Didaktik. Makalah Seminar Nasional Pendidikan Matematika

UNP.2010

-----------------.Didactical Design Research (DDR) Dalam Pengembangan

Pembelajran Matematika.Seminar UNNES.2013

Unaenah, Een. Analisis Learning Obstacle Konsep Geometri Pada Mahasiswa

Semester 1 Program Studi Pendidikan Dosen Sekolah Dasar. Prosiding

Seminar Nasional Pendidikan FKIP UNTIRTA. ISBN: 978-602-19411-2-

6.2017

Wilis Dahar, Ratna. Teori-Teori Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Erlangga.2011

113

Lampiran 1

KISI-KISI SOAL IDENTIFIKASI LEARNING OBSTACLE

ELIPS

Kompetensi Dasar Indikator Soal Prediksi Hambatan Epistimologis Uraian Soal No

Soal

3.3

Menganalisis konsep

dan membuktikan

sifat-sifat elips dan

menerapkannya

dalam pembuktian

dan menyelesaikan

masalah matematika

dan bidang ilmu lain.

3.5

Menganalisis data

terkait unsur-unsur

Menentukan perbedaan

unsur – unsur elips, jika

diketahui 2 gambar

yang berbeda

Siswa mengira bahwa perbedaan

dari dua gambar tersebut terletak di

bentuk gambarnya


sumbu mayor dan sumbu minor

Siswa sulit menentukan titik

puncak dan titik fokus, karena

siswa hanya sebatas menghafal

Tuliskan perbedaan-perbedaan dari dua gambar

berikut!

1

114

elips dan

menggambar

kurvanya serta

mengidentifikasi

sifat-sifatnya.

4.3

Mengolah data dan

membuat model

matematika berupa

persamaan elips dari

suatu masalah nyata

dan melakukan

manipulasi aljabar

dalam

menyelesaikan

masalah

4.5

Menentukan persamaan

elips dengan pusat

(0,0), jika diketahui

beberapa unsur

Siswa keliru dalam mencari titik

ujung sumbu mayor, karena siswa

mengira panjang 4 itu adalah titik

ujung sumbu mayor


titik ujung sumbu minor melalui

formula lactus rectum

Tentukan persamaan elips yang berpusat di titik asal

O(0,0), sumbu mayor pada sumbu y dengan panjang 4

satuan, serta panjang lactus rectum sama dengan 9/2 !

2

Menentukan persamaan

elips berpusat di (h,k),

jika diketahui beberapa

unsur


formula titik puncak dan titik fokus

Siswa tidak dapat menentukan titik

ujung sumbu minor


formula persamaan elips yang

berpusat di (h,k)

Perhatikan gambar di bawah ini !

3

Menentukan beberapa

unsur, jika diketahui

persamaan elips dalam

bentuk baku


formula titik pusat dalam

persamaan elips bentuk baku

Tentukan titik fokus dan titik pusat dari persamaan

25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 − 36𝑦 − 89 = 0!

4

Tentukan persamaan

elips dari gambar

berikut !

115

Menyajikan objek-

objek nyata sebagai

gambaran model

elips dan merancang

masalah serta

menyelesaikannya

dengan menerapkan

konsep dan sifat-

sifat elips

Siswa tidak mengubah persamaan

bentuk baku ke bentuk persamaan

elips (h,k)

Siswa sulit memanipulasi bentuk

persamaan kuadrat

Menyelesaikan masalah

menggunakan unsur –

unsur dan persamaan

elips

Siswa sulit dalam menggunakan

formula persamaan elips


panjang sumbu mayor dan minor

Suatu kelengkungan tanah yang berlubang berbentuk

setengah elips dengan lebar alas 48 meter dan tinggi 20

meter. Berapa lebar kelengkungan itu pada ketinggian

10 meter dari alas !

5

Menyelesaikan masalah

menggunakan unsur –

unsur dan persamaan

elips

siswa keliru dalam menafsirkan

panjang sumbu mayor dan minor,

karena siswa mengira bahwa yang

diketahui di soal adalah titik ujung

Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman

tersebut dikelilingi oleh suatu jalan berbentuk elips

dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 442

meter dan 342 meter. Apabila pengelola taman tersebut

6

116

sumbu mayor dan titik ujung

sumbu minor

siswa tidak menggunakan

phytagoras dalam mencari titk

fokus

siswa mengira bahwa titik fokus

adalah jarak antar titik fokus

ingin membangun air mancur pada masing – masing sisi

taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur

tersebut !

117

Lampiran 2

PENYELESAIAN SOAL IDENTIFIKASI LEARNING OBSTACLE

ELIPS

No Butir Pertanyaan Penyelesaian Skor Skor

Maks

1. Tuliskan perbedaan-perbedaan dari dua

gambar berikut!

Titik Pusat (0,0)

Titik Pusat (h,k)

Titik Fokus (-c,0) dan (c,0)

Titik Fokus (h,k-c) dan (h,k+c)

Titik Puncak (-a,0) dan (a,0)

Titik Puncak (h,k-b) dan (h,k+b)

Panjang sumbu mayor 2a

Panjang sumbu mayor 2b

Panjang sumbu minor 2a

Panjang sumbu minor 2b

10 10

2. Tentukan persamaan elips yang

berpusat di titik asal O(0,0), sumbu

mayor pada sumbu y dengan panjang 4

satuan, serta panjang lactus rectum

sama dengan 9/2 !

Pusat (0,0), sumbu mayor pada

sumbu y = elips tegak

Panjang sumbu mayor = 4 2b

= 4 b = 2

Lactus rectum = 9

2

2𝑏2

𝑎=

9

2

2.4

𝑎=

9

2

8

𝑎=

9

2

𝑎 =16

9

𝑎2 =256

81

10

15

Maka persamaan elipsnya

adalah

x2

a2+

y2

b2= 1

x2

256

81

+y2

4= 1

81x2

256+

y2

4= 1

5

118

3. Perhatikan gambar di bawah ini !

Tentukan persamaan elips dari gambar

berikut

Titik pusat (4,-2) (h,k)

Titik puncak (9,-2) (h±a,k)

Titik fokus (0,-2) (h±c,k)

ℎ ± 𝑎 = 9

4 ± 𝑎 = 9

𝑎 = ±5

𝑎 = 5

𝑎2 = 25

Maka :

b2 = a2 − c2

b2 = 25 − 16

b2 = 9

10

15

Jadi persamaan elips adalah :

(x−4)2

25+

(y+2)2

9= 1

5

4. Tentukan titik fokus dan titik pusat

dari persamaan 25𝑥2 + 9𝑦2 + 100𝑥 −

36𝑦 − 89 = 0!

Persamaan elips 25x2 + 9y2 +

100x − 36y − 89 = 0

Mencari titik fokus dengan cara

mengubah persamaan elips ke

dalam bentuk (x−h)2

a2 +(y−k)2

b2 = 1

25x2 + 9y2 + 100x − 36y −

89 = 0

25x2 + 100x + 9y2 − 36y −

89 = 0

25(x2 + 4x) + 9(y2 − 4y) −

89 = 0

25(x2 + 4x + 4) − 25.4 +

9(y2 − 4y + 4) − 9.4 − 89 = 0

25(x + 2)2 + 9(y − 2)2 −

225 = 0

25(x + 2)2 + 9(y − 2)2 = 225

10 20

119

(x+2)2

9+

(y−2)2

25= 1

(x+2)2

32+

(y−2)2

52= 1

Maka, titik pusat (-2,2)

karena a < b maka elips

lonjong tegak dan c2 = 25 − 9

c = 4

Maka titik fokus (h, k −

c), (h, k + c) (−2,2 −

4), (−2,2 + 4)

(−2, −2), (−2,6)

10

5. Suatu kelengkungan tanah yang

berlubang berbentuk setengah elips

dengan lebar alas 48 meter dan tinggi

20 meter. Berapa lebar kelengkungan

itu pada ketinggian 10 meter dari alas !

Gambar diatas memperlihatkan

sketsa lengkungan dan sumbu-

sumbu koordinat dapat dipilih

sedemikian hingga sumbu-x

terletak pada alas dan titik asal

adalah titik tengah alas. Maka

sumbu utama ellips terletak

sepanjang sumbu-x, pusatnya di

titik asal, a = ½ 48 = 24, b = 20.

10

20

Persamaan ellips berbentuk :

≫ x2

576+

y2

400= 1

Pada ketinggian 10 meter, berarti

untuk nilai y = 10 akan diperoleh

x yang menyatakan lebar

setengah lengkungan pada

ketinggian 10 meter. Jadi :

≫ x2

576+

102

400= 1

sehingga diperoleh :

x2 = 432 , x = 12√3

Dengan demikian pada

ketinggian 10 meter dari alas,

lebar kelengkungan adalah AB =

24 √3 meter.

10

120

6. Di suatu kota terdapat sebuah taman

bermain. Taman tersebut dikelilingi

oleh suatu jalan berbentuk elips dengan

panjang mayor dan minor berturut-turut

442 meter dan 342 meter. Apabila

pengelola taman tersebut ingin

membangun air mancur pada masing –

masing sisi taman tersebut, tentukan

jarak antara air mancur tersebut !

Panjang sumbu mayor

2a = 442

a = 221

Panjang sumbu mayor

2b = 342

b = 171

10

20

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 2212 − 1712

𝑐2 = 48.841- 29.241

𝑐2 = 19.600

𝑐 = 140

Jadi,jarak antara kedua air

mancur tersebut adalah 2 (140) =

280 meter

10

121

Lampiran 3

PANDUAN WAWANCARA IDENTIFIKASI LEARNING OBSTACLE

ELIPS

Kisi-kisi atau pedoman wawancara guru dan peserta didik adalah sebagai berikut :

Sumber Deskripsi Wawancara No.Item

Guru

Matematika

Kendala guru saat mengajar di kelas 1

Aktivitas peserta didik pada saat pembelajaran 2

Pengalaman guru kesulitan peserta didik pada konsep elips 3

Sumber belajar yang digunakan untuk mempelajari konsep

elips

4

Metode dan media yang guru gunakan saat mengajarkan

konsep elips kepada siswa

5

Cara mengatasi kesulitan siswa pada konsep elips 6

Peserta Didik Pendapat peserta didik terhadap soal tes yang diberikan

(mudah, sedang, sulit) berikut alasan

1

Kesulitan peserta didik saat menyelesaikan soal tes

identifikasi learning obstacle serta penyebabnya

2

Konsep dan cara apa aja yang digunakan peserta didik saat

menyelesaikan soal tes identifikasi learning obstacle

3

Kejelasan guru saat menyajikan konsep elips kepada peserta

didik

4

122

DAFTAR PERTANYAAN

Guru Matematika

1. Bagaimana kendala bapak/ibu saat mengajar konsep elips di kelas?

2. Bagaimana aktivitas peserta didik pada saat pembelajaran?

3. Menurut pengalaman bapak/ibu saat mengajarkan materi elips, kesulitan

apa saja yang dialami siswa saat belajar konsep berikut :

a. Persamaan elips pada pusat (0,0)

b. Persamaan elips pada pusat (h,k)

4. Sumber belajar apa saja yang digunakan untuk mempelajari konsep elips di

kelas?

5. Metode dan media apa aja yang bapak/ibu gunakan saat mengajarkan

konsep elips?

6. Menurut bapak/ibu bagaimana cara mengatasi kesulitan siswa pada konsep

elips?

Peserta Didik

1. Bagaimana pendapatmu mengenai soal tes yang telah diberikan tadi?

Apakah mudah, sedang, atau sulit? Apa alasannya?

2. Kesulitan apa yang kamu alami saat belajar konsep berikut :

a. Persamaan elips pada pusat (0,0)

b. Persamaan elips pada pusat (h,k)

3. Konsep apa saja yang kamu gunakan saat menyelesaikan setiap soal yang

telah diberikan tadi?

4. Menurutmu bagaimana cara guru memaparkan konsep elips saat

pembelajaran di kelas? Apakah kamu memahami dan mengerti apa yang

sudah dipaparkan oleh gurumu tentang konsep elips? Bila belum, konsep

apa yang belum jelas?

123

Lampiran 4

DESAIN PEMBELAJARAN I

Kompetensi Dasar :

3.4 Menganalisis konsep dan membuktikan sifat-sifat elips dan menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah

matematika dan bidang ilmu lain.

3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya.

Indikator :

3.3.1 Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips.

3.3.2 Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips.

3.5.1 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips.

Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis

Pendagogis

Situasi 1:

Pada siang hari yang sangat

terik berkumpulah Tobi, Fani,

Putri, dan Fido di tanah

lapang. Hari itu mereka

mendapatkan tugas dari Bu

Sinta untuk mengamati

bentuk-bentuk elips yang

berada di sekitar dan

Siswa diminta untuk

memposisikan keempat anak

tersebut sesuai dengan

gambar pada alat peraga yang

sudah disediakan, lalu siswa

diminta untuk memutarkan

Tobi dan Putri dari posisi awal

dan kembali lagi ke posisi

Respon yang diharapkan :

Siswa dapat membuat pola

elips dari jejak Tobi dan Putri.

Kemungkinan kesulitan :

Siswa tidak berhasil

mendapatkan pola elips.

Antisipasi kemungkinan

kesulitan :

Guru memberikan pernyataan

sebelum memutarkan Tobi

dan Putri dengan

124

menggambarnya di buku

gambar. Bu Sinta memberikan

arahan kepada mereka bahwa

elips itu adalah “kedudukan

titik-titik yang jumlah

jaraknya terhadap dua titik

tertentu selalu sama.” Namun

mereka belum memahaminya

bagaimana menggambar elips

berdasarkan pengertian

seperti arahan Bu Sinta.

Mereka berinisiatif untuk

mencoba menggambar di

tanah lapang seperti berikut

(gambar 1) dengan

menggunakan tali. Mereka

memegang tali dengan syarat

Fani dan Fido tetap pada

posisinya sedangkan Tobi dan

Putri memutari Fani dan Fido.

awal lagi dengan memutari

Fani dan Fido.

menggunakan alat peraga

papan lukis elips yang sudah

disediakan, pastikan Fani dan

Fido berada pada tempat yang

sejajar dan tetap pada

posisinya.

Siswa diminta untuk

membuktikan persaman

umum elips dari definisi yang

diberikan, serta mengacu pada

gambar atau jejak Tobi dan

Putri di alat peraga.


Siswa dapat membuat

kesimpulan bahwa definisi

elips adalah

𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2


Siswa salah membuat

kesimpulan yang berdasarkan

definisi.

Siswa tidak mengetahui

bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari

T (Tobi) ke 𝐹1 (Fani).


kesulitan :


untuk membaca ulang

definisi elips pada cerita.




Situasi 2:

Diberikan deskripsi dari

masing-masing unsur elips,

Siswa diminta untuk

menotasikan masing-masing

unsur elips pada tabel yang

telah disajikan.


Siswa dapat menotasikan

semua unsur-unsur yang

diminta.

125

serta disajikan sebuah gambar

elips.


Siswa tidak dapat

menotasikan jari-jari mayor

dan minor dikarenakan siswa

tersebut hanya mengetahui

sumbu mayor dan minor.


kesulitan :


untuk mengamati

gambar,serta memberikan

pertanyaan kepada siswa

“Apa pengertian jari-jari? Jika

panjang sumbu mayor




Siswa diminta untuk

melengkapi pembuktian

definisi elips berdasarkan

unsur-unsur yang sudah

diketahui sebelumnya.


Siswa dapat melengkapi

pembuktian definisi elips

dengan benar sehingga

didapat 𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 2𝑎.



jarak 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2.


kesulitan :


kepada siswa untuk

mengamati gambar elips yang

telah disajikan, untuk

126

mendapatkan 𝐴1𝐹1 dengan

cara mengurangkan jarak 𝐴1𝑃

dan jarak 𝐹1𝑃. Sedangkan

untuk mendapatkan 𝐴1𝐹2

dengan cara menjumlahkan

jarak 𝐴1𝐹1, 𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2.

127

DESAIN PEMBELAJARAN II

Kompetensi Dasar :

3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya

4.3 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi

aljabar dalam menyelesaikan masalah

4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang masalah serta menyelesaikannya dengan

menerapkan konsep dan sifat-sifat elips

Indikator :

3.5.2 Siswa dapat menentukan unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0)

3.5.3 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)

4.3.1 Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi persamaan bentuk umum

4.4.1 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (0,0)

Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis Pendagogis

Situasi 3:

Diberikan dua buah gambar

orbit bumi dan pengertian dari

orbit bumi.”Orbit secara

umum dikatakan sebagai

lintasan (jalur) benda

mengelilingi benda lain. Orbit

elips adalah orbit yang

membentuk jalur lingkaran

lonjong. Orbit ini biasanya

Siswa diminta untuk

menyatakan apa yang siswa

ketahui mengenai bentuk

orbit bumi, membedakan

kedua bentuk gambar orbit,

serta menyimpulkan kedua

bentuk jika diketahui pusat

orbit bumi adalah (0,0).


Siswa dapat mengetahui

bahwa orbit bumi ialah elips.

Siswa dapat membedakan

bahwa gambar orbit pertama

berbentuk elips mendatar

(horizontal) dan gambar

128

merupakan orbit yang

dilintasi oleh satelit-satelit.”

kedua bentuk elips tegak

(vertikal).


Siswa tidak dapat

membedakannya.

Siswa tidak dapat

menyimpulkan kedua

bentuk elips tersebut.


kesulitan :

Guru memberikan arahan “sumbu

horizontal dan vertikal”.

Dengan arahan sebelumnya siswa

dapat menyimpulkan terdapat 2


(0,0).

Situasi 4:

Disajikan dua gambar bentuk

elips untuk menganalisis

unsur-unsur serta gambar

elips unruk menentukan

persamaan elips.

Siswa diminta untuk

menganalisis unsur-unsur

elips dari dua bentuk elips

yang berpusat di (0,0).




diminta.


Siswa tidak dapat

menotasikan panjang sumbu

mayor dan panjang sumbu

minor.


kesulitan :


LKS 1 mengenai jari- jari sumbu




129

Siswa tidak dapat

menotasikan jarak titik fokus

dari titik pusat dengan

menggunakan teorema

phytagoras.






gambar yang kedua.

Elips mendatar

Elips tegak

130

Siswa diminta melengkapi

untuk membuktikan

persamaan elips

menggunakan definisi elips

yang telah diketahui

sebelumnya.





didapat persamaan sederhana 𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏

dan persamaan bentuk

umumnya

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪



konsep apa yang digunakan

untuk mencari 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.


jarak 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.


kesulitan :



Siswa diminta untuk mengamati

∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang dibentuk oleh

∆𝑇𝑅𝐹1?”.


kepada siswa bahwa mencari jarak

𝑇𝐹1 dan 𝑇𝐹2 menggunakan

phytagoras, serta formula

phytagoras di dapat dengan

mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2.

131

Siswa keliru dalam

menerapkan persamaan

kuadrat pada langkah

berikutnya.

Siswa tidak mengerti

distributif.

Siswa tidak memahami

menggunakan teorema

phytagoras.

Siswa bingung cara

mendapatkan persamaan

bentuk umum menjadi

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪

Guru menjelaskan secara perlahan

cara menjabarkan persamaan

kuadrat yang dimaksud.

Guru memberikan arahan bahwa

distributif itu mengelompokkan

hal yang sama.




(0,0).



𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2

Dan memisalkan

𝐴 = 𝑏2

𝐵 = 𝑎2

𝐶 = 𝑎2𝑏2

Sehingga menjadi,

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪


untuk menemukan formula

Latus Rectum dan

eksentrisitas dari dua bentuk

elips yang berbeda


Siswa dapat

menggambarkan elips

mendatar dan elips tegak

sesuai perintah.

132

Siswa dapat mengisi lengkap

alur untuk menemukan

formula latus rectum dari

kedua elips tersebut.

Siswa dapat menyatakan

formula panjang latus

rectum.

Siswa dapat menggambarkan

elips mendatar dan elips

tegak sesuai perintah untuk

menemukan eksentrisitas.



eksentrisitas berdasarkan

definisi.


formula eksentristas.


Siswa tidak dapat

menggambarkan elips


sesuai perintah.

Siswa tidak tahu nilai x yang

dimaksud untuk elips


kesulitan :


menggambar sesuai perintah serta

definisi latus rectum.

guru memberikan arahan untuk

elips mendatar “ titik fokus berada

133

mendatar dan y untuk elips

tegak.

Siswa tidak bisa

menyamakan penyebut.

Siswa tidak dapat

menyatakan formula panjang

lactus rectum.

Siswa tidak dapat

menggambarkan elips


sesuai perintah untuk


Siswa tidak dapat

menotasikan jarak dari pusat

pada sumbu ? sehingga jarak dari

titik pusat ke fokus adalah...”

begitu pula dengan mencari nilai

ya pada elips tegak.

guru memerintahkan untuk

melihat penyebut apa saja yang

ada di persamaan tersebut,

samakan kedua pecahan tersebut

dengan 𝒂𝟐 pada elips mendatar dan

𝒃𝟐 pada elips tegak.

guru memberikan arahan bahwa

formula lactus rectum pada

langkah sebelumnya hanya salah

satu dari jarak titik fokus ke titik

lactus rectum, karna panjang

lactus rectum (LR) merupakan

panjang dari titik ujung LR 1 ke

titik ujung LR 2.



definisi eksentrisitas.



134

ke titik fokus dan jari-jari

sumbu mayor.

Siswa tidak dapat

menyatakan formula

eksentristas.


berdasarkan perintah.




pada gambar.

135

DESAIN PEMBELAJARAN III

Kompetensi Dasar :






Indikator :

3.5.6 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (h,k)

3.5.7 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)


4.4.3 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (h,k)


Pendagogis

Situasi 5:

Di suatu perkampuangan di

daerah Cibiru terdapat sebuah

taman bermain yang terletak

di sebelah Balai Desa Cibiru,

yang biasa di kenal sebagai

taman “Kampung Cibiru”.

Taman tersebut ketika

Siswa diminta untuk

menggambarkan dan

menyatakan konsep denah

taman semula dengan taman

setelah dipindahkan, dengan

syarat menggunakan

koordinat kartesius.



denah taman semula dengan

denah taman setelah

dipindahkan dan siswa dapat

menjawab menggunakan

konsep translasi atau

136

diamati dari atas seperti

membentuk elips. Taman

“Kampung Cibiru” biasa

digunakan warga sekitar

sebagai taman bermain anak-

anak mereka ketika waktu

siang dan sore hari. Pada

suatu hari, taman bermain

tersebut akan dipindahkan,

dikarenakan adanya

pelebaran bangunan Balai

Desa Cibiru. Taman tersebut

akan dipindahkan ke tempat

yang tidak jauh dari tempat

semula dengan pusat

berjarak (100 m,230m) dari

tempat semula. Jika tempat

taman yang awal berpusat

(0,0).

pergeseran berdasarkan

gambar yang telah dibuat.


Siswa bingung

menggambarkan posisi taman

setelah dipindahkan.


konsep apa yang digunakan.


kesulitan :


untuk menggambarkan

denah taman tersebut sesuai

dengan jarak yang terdapat

pada cerita.




dipindahkan apakah bentuk

dan ukuran masih sama? Jika

sama, maka konsep apakah

yang cocok untuk


gambar tersebut”.

Situasi 6:

Diberikan dua gambar elips

yang masing – masing terdiri

dari gambar elips yang

berpusat di (0,0) dan elips

Siswa diminta untuk


yang terdapat pada gambar

elips yang berpusat di (0,0)

dan elips yang berpusat di



koordinat pada gambar dan

menotsikan unsur-unsur

dengan benar.

137

yang berpusat di (h,k) pada

setiap bentuk elips.

(h,k) pada bentuk elips

mendatar.


Siswa tidak mengetahui cara


ujung sumbu minor pada

sumbu y setelah adanya

pergeseran dari (0,0) menjadi

(h,k).



ujung sumbu mayor pada

sumbu x setelah adanya


(h,k).



fokus pada sumbu x setelah


kesulitan :


“lihat jarak dari 0 ke k pada

sumbu y berarti jaraknya

ialah k. Untuk mendapatkan

𝐵1, lihat posisinya pada

sumbu y maka jaraknya

melebihi k atau malah

berkurang?” begitu pula

dengan 𝐵2.


“lihat jarak dari 0 ke h pada

sumbu x berarti jaraknya

ialah h. Untuk mendapatkan

𝐴1, lihat jarak titik pusat ke

𝐴1yaitu merupakan jari-jari

mayor (a), lalu lihat posisinya

pada sumbu x maka jarak dari

𝐴1 ke k ialah dengan

mengurangkan h dengan a.

Begitu pula dengan 𝐴2.



138

adanya pergeseran dari (0,0)

menjadi (h,k).

Siswa hanya mengetahui

latus rectum dan eksentrisitas

hanya di elips pusat (0,0),

siswa mengira latus rectum

dan eksentrisitas di elips

pusat (h,k) berbeda.




jarak dari 𝐹1 ke k ialah


dengan c. Begitu pula dengan

𝐹2.









elips tegak”.

Siswa diminta untuk





(h,k) pada bentuk elips tegak.





dengan benar.





kesulitan :



139




(h,k).






(h,k).



fokus pada sumbu y setelah


menjadi (h,k).



𝐴1, lihat jarak dari pusat ke

𝐴1 merupakan (a) lalu lihat


jaraknya melebihi h atau

malah berkurang?” begitu

pula dengan 𝐴2.





𝐵1, lihat jarak titik pusat ke

𝐵1yaitu merupakan jari-jari

mayor (b), lalu lihat posisinya

pada sumbu y maka jarak dari

titik pusat ke 𝐵1 ialah dengan

menjumlahkan k dengan b.

Begitu pula dengan 𝐵2.






140

jarak dari titik pusat ke 𝐹1

ialah dengan menjumlahkan

k dengan b. Begitu pula

dengan 𝐹2.

Siswa diminta untuk

melengkapi step by step untuk

menemukan formula

persamaan elips pada pusat

(h,k).



setiap langkah untuk

menemukan formula


(h,k).


Siswa lupa dengan formula

translasi.

Siswa tidak bisa mengaitkan

formula translasi dengan

pusat (h,k).

Siswa tidak dapat

menemukan x dan y yang

baru.


kesulitan :



ditranslasi oleh titik (a,b),

maka (𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏).


(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu


(ℎ, 𝑘).


sebelumnya

mensubstitusikan (𝑎, 𝑏)

dengan (ℎ, 𝑘), lalu pindah

141

ruaskan sumbu x dan sumbu

y

(𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘

)

(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘

) = (𝑥𝑦)

Sehingga didapatkan


𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘.

Siswa diminta untuk

melengkapi alur untuk

mengubah persamaan elips

sederhana di (h,k) menjadi

persamaan bentuk umum.


Siswa dapat melengkapi alur

untuk mengubah persamaan

elips sederhana di (h,k)

menjadi persamaan bentuk

umum.


Siswa keliru dalam



berikutnya.


kesulitan :




dimaksud.

142

Lampiran 5

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP I)

Nama Sekola : SMA Cendrawasih

Mata Pelajaran : Matematika Peminatan

Kelas/Semester : XI/ Genap

Materi Pokok : Irisan Kerucut (Elips)

Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

A. Kompetensi Inti

KI 3 (Pengetahuan) :

Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi pengetahuan faktual,

konseptual, prosedural, dan metakognitif pada tingkat teknis, spesifik, detail, dan

kompleks dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora

dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait

fenomena dan kejadian pada bidang kerja yang spesifik untuk memecahkan

masalah.

KI 4 (Keterampilan) :

Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait

dengan pengembangan diri yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan

mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

B. Kompetensi Dasar

3.3 Menganalisis konsep dan membuktikan sifat-sifat elips dan menerapkannya

dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah matematika dan bidang ilmu lain

3.5 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta

mengidentifikasi sifat-sifatnya

C. Indikator

3.3.1 Mendeskripsikan definisi elips

143

3.3.2 Membuktikan persamaan umum elips

3.5.1 Menganalisis unsur-unsur elips

D. Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips

Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips

Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips

E. Materi Pembelajaran

Definisi elips

Unsur-unsur elips

F. Kegiatan Pembelajaran

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi

Waktu

Pendahuluan Guru memberikan salam pembuka dan berdoa

sebelum memulai pembelajaran

Guru mengkondisikan keadaan kelas

Guru memeriksa kehadiran

Guru menyampaikan tujuan dan manfaat

pembelajaran yang akan dicapai

Guru mengaitkan materi lingkaran dengan materi

elips

Guru membentuk kelompok kecil yang terdiri dari

5 siswa yang heterogen

10 menit

Kegiatan Inti Guru memberikan pengantar melalui slide power

point materi definisi dan unsur-unsur elips

Guru membagikan LKS kepada masing-masing

kelompok

Siswa diminta untuk mengamati situasi 1 pada

LKS

Siswa berdiskusi mengenai menggambar pola elips

dengan ketentuan yang sudah diberikan

Siswa membuktikan persamaan umum elips pada

sebuah model matematika dari pola yang digambar

sebelumnya

Siswa diminta untuk membaca dan mengamati

deskripsi dari masing-masing unsur elips pada

gambar yang sudah disajikan

75 menit

144

Guru memberikan penjelasan sekilas mengenai

unsur-unsur elips

Siswa berdiskusi untuk menganalisis unsur-unsur

elips pada gambar dengan menotasikan unsur-

unsur tersebut pada tabel yang telah diberikan

Siswa diminta untuk membuktikan persamaan

umum elips berdasarkan unsur-unsur elips

Siswa berdiskusi untuk memberikan kesimpulan

tentang definisi dan persamaan umum elips

Guru berkeliling untuk mengamati setiap

kelompok

Guru menunjuk masing-masing perwakilan

kelompok untuk mempresentasikan jawaban

kelompoknya di depan kelas

Guru mempersilahkan siswa untuk bertanya

Kegiatan

Akhir

Guru bersama siswa menyimpulkan mengenai

definisi dan unsur-unsur elips

Guru meminta siswa untuk mempelajari materi


Guru bersama-sama dengan siswa mengakhiri

pelajaran dengan doa

Guru menutup pembelajaran dengan mengucapkan

salam

5 menit

G. Alat/ Media/ Sumber Pembelajaran

Media : papan lukis elips, LCD, Notebook, spidol, papan tulis.

Sumber Belajar : Nanang Priatna dan Tito Sukamto,Buku Siswa Aktif dan

Kreatif Belajar Matematika untuk Sekolah Menengah

Atas/Madrasah Aliyah kelas XI Peminatan dan Ilmu-Ilmu

Alam,(Jakarta: Raja Garfindo Persada,2016), LKS.

H. Penilaian Hasil belajar

No. Aspek yang Dinilai Teknik

Penilaian Waktu Penilaian

1. Sikap

a. Tanggung jawab dalam

menyelesaikan tugas dan

Observasi

Selama kegiatan

pembelajaran

145

menjawab pertanyaan yang

diberikan

b. Disiplin dalam proses

pembelajaran

c. Kritis dan kreatif dalam

mengajukan dan menjawab

pertanyaan

d. Rasa ingin tahu dalam

memahami materi maupun

saat menyelesaikan tugas

Penilaian

diri

2. Pengetahuan

a. Membuktikan persamaan

umum elips dari definisi

elips

b. Menganalisis unsur-unsur

elips

Penugasan/

LKS

Pada saat pembelajaran

berlangsung

3. Keterampilan

a. Menyelesaikan masalah

kontekstual yang berkaitan

dengan definisi elips dan

unsur-unsur elips

b. Memaparkan hasil didepan

kelas

Penilaian

untuk kerja

Saat proses

pembelajaran/ presentasi

I. Instrumen Pengamatan Sikap

Rasa ingin tahu

a. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya

atau acuh tak acuh (tidak mau tahu) dalam proses pembelajaran.

b. Baik jika sudah ada untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran

tetapi masih belom konsisten.

146

c. Sangat baik jika adanya usaha untuk mecoba atau bertanya dalam proses

pembelajaran secara terus menerus dan konsisten.

Indikator perkembangan sikap tanggung jawab

a. Kurang baik jika sama sekali tidak mau mengerjakan

b. Baik jika sudah ada usaha mengerjakan tugas namun belum konsisten

c. Sangat baik jika sudah mengambil peran dalam mengerjakan tugas dan

konsisten.

Berikan tanda centang (√ ) pada kolom berikut sesuai hasil pengamatan.

No

. Nama

Rasa Ingin Tahu Tanggung Jawab

KB B SB KB B SB

1.

2.

3.

Catatan :

KB = Kurang Baik, B = Baik, SB = Sangat Baik

Kunci jawaban dan Pedoman Penskoran

No. Kunci jawaban Skor

1.

15

a. 𝐵1𝐹1 + 𝐵1𝐹2 = 2𝑎

10 + 10 = 2.10

20 = 20 (terbukti)

15

147

b. panjang sumbu mayor = panjang 𝐴1𝐴2 = 2a = 2.10 = 20 10

c. panjang sumbu minor = panjang 𝐵1𝐵2 = 2b = 2.8 = 16 10

2.

15

Titik 𝐵1 = (0,3) dan Titik 𝐵2 = (0, −3) 5

TOTAL 80

148


(RPP II)






J. Kompetensi Inti







masalah.





K. Kompetensi Dasar



4.3 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari

suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi aljabar dalam menyelesaikan

masalah

4.4 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang

masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifat-sifat elips

149

L. Indikator

3.5.2 Menentukan unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0)

3.5.3 Membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)

4.3.1 Mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi persamaan bentuk

umum

4.4.1 Menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di

(0,0)

M. Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0)

Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)

Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk

umum

Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat

di (0,0)

N. Materi Pembelajaran

Unsur-unsur elips yang berpusat di (0,0)

Persamaan bentuk elips yang berpusat di (0,0)

O. Kegiatan Pembelajaran


Waktu





Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang

akan dicapai

Guru mereview definisi elips



10 menit


point materi elips berpusat (0,0)


kelompok

75 menit

150


LKS

Siswa berdiskusi mengenai orbit bumi yang

berkaitan dengan elips

Siswa diminta untuk menuliskan argumennya

mengenai perbedaan bentuk dari kedua gambar

yang telah disajikan pada LKS

Siswa diminta untuk memberikan kesimpulan

bentuk elips yang berpusat di (0,0)


elips pada kedua gambar dengan menotasikan

unsur-unsur tersebut pada tabel yang telah

diberikan

Siswa diminta membuktikan untuk mendapat

persamaan elips berdasarkan definisi elips serta

unsur-unsur elips

Siswa berdiskusi untuk mencari formula latus

rectum dan eksentrisitas pada kedua bentuk elips

Siswa diminta untuk menuliskan kembali

persamaan elips yang berpusat di (0,0)

Siswa diminta menuliskan kembali unsur-unsur

elips yang berpusat di (0,0) dalam bentuk tabel


kelompok





Kegiatan

Akhir


unsur-unsur dan persamaan yang terdapat pada


Guru meminta siswa untuk mempelajari materi

elips yang berpusat di (h,k)




salam

5 menit

151

P. Alat/ Media/ Sumber Pembelajaran






Q. Penilaian Hasil belajar



1. Sikap

e. Tanggung jawab dalam



diberikan

f. Disiplin dalam proses

pembelajaran

g. Kritis dan kreatif dalam


pertanyaan

h. Rasa ingin tahu dalam



Observasi

Penilaian

diri

Selama kegiatan

pembelajaran

2. Pengetahuan

c. Membuktikan persamaan


dari definisi elips

d. Menganalisis unsur-unsur

elips

Penugasan/

LKS


berlangsung

3. Keterampilan

152

c. Menyelesaikan masalah


dengan elips yang berpusat

di (0,0) dan unsur-unsur

elips

d. Memaparkan hasil didepan

kelas

Penilaian

untuk kerja

Saat proses


R. Instrumen Pengamatan Sikap

Rasa ingin tahu

d. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya


e. Baik jika sudah ada untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran


f. Sangat baik jika adanya usaha untuk mecoba atau bertanya dalam proses



d. Kurang baik jika sama sekali tidak mau mengerjakan

e. Baik jika sudah ada usaha mengerjakan tugas namun belum konsisten

f. Sangat baik jika sudah mengambil peran dalam mengerjakan tugas dan

konsisten.


No

. Nama


KB B SB KB B SB

1.

2.

3.

Catatan :


153



1. a. 𝑥2

169+

𝑦2

144= 1

𝑥2

132 +𝑦2

122 = 1

𝑎 = 13 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 12 , serta a > b elips mendatar

Panjang sumbu mayor = 2.13 = 26

Panjang sumbu minor = 2.12 = 24

Titik fokus

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2 maka, titik fokus (-5,0) dan (5,0)

𝑐2 = 132 − 122

𝑐2 = 25

𝑐 = 5

Latus Rectum= 2𝑏2

𝑎= 2

122

13=

288

13

Eksentrisitas = 𝑐

𝑎=

5

13

25

b. 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400 (kedua ruas dibagi 400)

𝑥2

16+

𝑦2

25= 1

𝑥2

42 +𝑦2

52 = 1

𝑎 = 4 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 5 , serta a < b elips tegak

Panjang sumbu mayor = 2.4 = 8

Panjang sumbu minor = 2.5 = 10

Titik fokus

𝑐2 = 𝑏2 − 𝑎2 maka, titik fokus (-5,0) dan (5,0)

𝑐2 = 52 − 42

𝑐2 = 9

𝑐 = 3

Latus Rectum= 2𝑎2

𝑏= 2

42

5=

32

5

Eksentrisitas = 𝑐

𝑏=

3

5

25

2. Titik fokus (c,0) = (1,0) c = 1

Titik ujung sumbu minor (0,b) = (0, 2) b = 2 20

154

Dengan menggunakan phytagoras

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2

𝑎2 = 12 + 22

𝑎2 = 5

𝑎 = √5

Sehingga, 𝑥2

(√5)2 +

𝑦2

22 = 1 𝑥2

5+

𝑦2

4= 1

3. Panjang mayor = 338 m jari-jari mayor (a) =338

2= 169 𝑚

Panjang minor = 240 m jari-jari minor (b) =240

2= 120 𝑚

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 1692 − 1202

𝑐2 = 28561 − 14400

𝑐2 = 14161

𝑐 = 119

Maka, jarak kedua air mancur tersebut 2.119 = 238 𝑚

30

TOTAL 100

155


(RPP III)






S. Kompetensi Inti







masalah.





T. Kompetensi Dasar



4.5 Mengolah data dan membuat model matematika berupa persamaan elips dari

suatu masalah nyata dan melakukan manipulasi aljabar dalam menyelesaikan

masalah

4.6 Menyajikan objek-objek nyata sebagai gambaran model elips dan merancang

masalah serta menyelesaikannya dengan menerapkan konsep dan sifat-sifat elips

156

U. Indikator

3.5.6 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada elips yang

berpusat di (h,k)


4.3.3 Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi

persamaan bentuk umum

4.4.3 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips

yang berpusat di (h,k)

V. Tujuan Pembelajaran

Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips yang berpusat di (h,k)

Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (h,k)

Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk

umum

Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat

di (h,k)

W. Materi Pembelajaran

Unsur-unsur elips yang berpusat di (h,k)

Persamaan bentuk elips yang berpusat di (h,k)

X. Kegiatan Pembelajaran


Waktu





Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang

akan dicapai

Guru mereview materi elips berpusat (0,0)



10 menit


point materi elips berpusat (h,k) 75 menit

157


kelompok


LKS

Siswa berdiskusi mengenai denah taman semula

dan denah taman setelah dipindahkan

Siswa berdiskusi tentang konsep apa yang

digunakan pada saat pemindahan taman


elips mendatar dengan pusat (0,0) dengan elips

mendatar setelah terjadi pergeseran menjadi (h,k)

Siswa diminta menotasikan unsur-unsur tersebut

pada tabel yang telah diberikan


elips tegak dengan pusat (0,0) dengan elips tegak

setelah terjadi pergeseran menjadi (h,k)

Siswa diminta menotasikan unsur-unsur tersebut

pada tabel yang telah diberikan

Siswa diminta membuktikan untuk mendapat

persamaan elips (h,k) berdasarkan persamaan elips

(0,0) menggunakan konsep translasi

Siswa diminta untuk mencari persamaan bentuk

umum berdasarkan persamaan elips (h,k) yang

sudah ditemukan sebelumnya


persamaan elips yang berpusat di (h,k)


persamaan bentuk umum elips yang berpusat di

(h,k)


kelompok





Kegiatan

Akhir


unsur-unsur dan persamaan yang terdapat pada


5 menit

158

Guru meminta siswa untuk mengulang materi dari

definisi elips hingga persamaan yang berpusat di

(h,k)




salam

Y. Alat/ Media/ Sumber Pembelajaran






Z. Penilaian Hasil belajar



1. Sikap

i. Tanggung jawab dalam



diberikan

j. Disiplin dalam proses

pembelajaran

k. Kritis dan kreatif dalam


pertanyaan

l. Rasa ingin tahu dalam



Observasi

Penilaian

diri

Selama kegiatan

pembelajaran

2. Pengetahuan

159

e. Membuktikan persamaan


dari definisi elips

f. Menganalisis unsur-unsur

elips (h,k) dengan

membandingkan dengan

elips (0,0)

Penugasan/

LKS


berlangsung

3. Keterampilan

e. Menyelesaikan masalah


dengan elips yang berpusat

di (h,k) dan unsur-unsur

elips

f. Memaparkan hasil didepan

kelas

Penilaian

untuk kerja

Saat proses


AA. Instrumen Pengamatan Sikap

Rasa ingin tahu

g. Kurang baik jika sama sekali tidak berusaha untuk mencoba atau bertanya


h. Baik jika sudah ada untuk mencoba atau bertanya dalam proses pembelajaran


i. Sangat baik jika adanya usaha untuk mecoba atau bertanya dalam proses



g. Kurang baik jika sama sekali tidak mau mengerjakan

h. Baik jika sudah ada usaha mengerjakan tugas namun belum konsisten

i. Sangat baik jika sudah mengambil peran dalam mengerjakan tugas dan

konsisten.


160

No

. Nama


KB B SB KB B SB

1.

2.

3.

Catatan :




1. 25𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 + 72𝑦 − 56 = 0

Sehingga,

( 𝑥 + 1 )2

9+

( 𝑦 + 4 )2

25= 1

30

2. Titik pusat (4,-2) (h,k)

Titik puncak (9,-2) (h±a,k)

Titik fokus (0,-2) (h±c,k)

ℎ ± 𝑎 = 9

4 ± 𝑎 = 9

𝑎 = ±5

𝑎 = 5

𝑎2 = 25

Maka :

b2 = a2 − c2

b2 = 25 − 16

b2 = 9

40

𝐴 = 25

𝑏2 = 25

𝑏 = 5

ℎ ± 𝑐 = 0

4 ± 𝑐 = 0

𝑐 = ±4

𝑐 = 4

𝑐2 = 16

𝐵 = 9

𝑎2 = 9

𝑎 = 3

𝐶 = 50

−2ℎ𝑏2 = 50

−50ℎ = 50

ℎ = −1

𝐷 = 72

−2𝑘𝑎2 = 72

−18𝑘 = 72

𝑘 = −4

161

Jadi persamaan elips adalah : (x−4)2

25+

(y+2)2

9= 1

3.

Maka, 𝑒 =𝑐

𝑎=

17,50

18.09= 0,9259 𝐴𝑈

30

TOTAL 100

𝑝𝑗 . 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 = 36,18

2𝑎 = 36,18

𝑎 = 18,09

𝑝𝑗. 𝑠𝑢𝑚𝑏𝑢 𝑚𝑖𝑛𝑜𝑟 = 9,12

2𝑏 = 9,12

𝑏 = 4,56

𝑐2 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑐2 = 18,092 − 4,562

𝑐2 = 18,092 − 4,562

𝑐2 = 306,4545

𝑐 = 17,50

162

Gambarkan apa yang terjadi jika Tobi dan Putri memutari Fani dan Fido!

Jika :

Elips

Tujuan Pembelajaran :




Nama Anggota Kelompok :

1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................

Pada siang hari yang sangat terik berkumpulah Tobi, Fani, Putri, dan

Fido di tanah lapang. Hari itu mereka mendapatkan tugas dari Bu

Sinta untuk mengamati bentuk-bentuk elips yang berada di sekitar dan

menggambarnya di buku gambar. Bu Sinta memberikan arahan

kepada mereka bahwa elips itu adalah “kedudukan titik-titik yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.” Namun

mereka belum memahaminya bagaimana menggambar elips

berdasarkan pengertian seperti arahan Bu Sinta. Mereka berinisiatif

untuk mencoba menggambar di tanah lapang seperti berikut (gambar

1) dengan menggunakan tali. Mereka memegang tali dengan syarat

Fani dan Fido tetap pada posisinya sedangkan Tobi dan Putri

memutari Fani dan Fido.

Definisi

SITUASI 1

Gambarkan berdasarkan alat peraga yang sudah

disediakan

Lampiran 6

163

Tobi dan Putri sebagai Titik Sebarang (T dan P)

Fani dan Fido sebagai Titik Fokus 1 dan Titik Fokus 2 (F1 dan F2)

Unsur – Unsur elips :

1) Titik Pusat adalah titik potong sumbu utama

dan sumbu sekawan elips.

2) Titik Puncak adalah titik ujung yang berada

pada sumbu utama.

3) Sumbu Mayor adalah sumbu simetri yang

melalui titik pusat dan kedua titik fokus elips.

4) Sumbu Minor adalah sumbu simetri yang tegak

lurus dengan sumbu utama dan melalui titik

pusat elips.

5) Latus Rectum adalah panjang ruas garis yang

melalui titik fokus elips dan tegak lurus dengan

sumbu utama.

Maka terbukti menurut definisi elips adalah 𝑻𝑭𝟏 + ⋯ = ⋯ + 𝑷𝑭𝟐

Berdasarkan deskripsi diatas tentukan unsur-unsur berikut dengan memperhatikan gambar diatas!

Unsur-Unsur Notasi

Titik Pusat

Titik Fokus

Titik Puncak

Sumbu Mayor

Sumbu Minor

Jari-Jari Mayor

Jari-Jari Minor

Latus Rectum

SITUASI 2

164

Setelah kita mengetahui unsur-unsur yang terdapat pada elips, maka sekarang kita mengaitkan definisi

elips sebelumnya dengan unsur-unsur tersebut !

LATIHAN !

1. Jika diketahui 𝐴1(-10,0), 𝐴2(10,0), 𝐴1𝐹1𝑑𝑎𝑛 𝐹2𝐴2 berjarak 4, dan 𝐵1(8,0).

a) Buktikan 𝐵1𝐹1 + 𝐵1𝐹2 = 2𝑎 !

b) Tentukan panjang sumbu mayor ?

c) Tentukan panjang sumbu minor ?

2. Jika diketahui gambar berikut

Diketahui titik pusat berada di (0,0)

Jika jarak 𝐵1𝐹2 = 5 dan 𝑃𝐹2 = 4. Tentukan

titik 𝐵1 dan 𝐵2 ?

Apakah definisi elips ?

Tuliskan kembali persamaan elips berdasarkan definisi ?

𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐

𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑨𝟏𝑭𝟏 + 𝑨𝟏𝑭𝟐

= (… −. … ) + (… +. … )

= ⋯ + ⋯

= ⋯

165

Amatilah gambar-gambar orbit bumi berikut ini !

lips berpusat

(0,0)




Siswa dapat mengubah persamaan elips bentuk sederhana menjadi pers.bentuk umum

Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (0,0)


1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................

SITUASI 3

Orbit secara umum dikatakan sebagai lintasan (jalur) benda mengelilingi benda lain. Orbit elips

adalah orbit yang membentuk jalur lingkaran lonjong. Orbit ini biasanya merupakan orbit yang

dilintasi oleh satelit-satelit.

Tuliskan mengenai bentuk kedua gambar orbit bumi pada gambar diatas ?

Gambar 1

Gambar 2

166

Berdasarkan gambar diatas tentukan unsur-unsur dari kedua bentuk elips tersebut!

Unsur-Unsur Elips Mendatar Elips Tegak

Sifat a > b a < b

Titik Pusat

Titik Puncak

Titik Fokus

Panjang sumbu mayor

Panjang sumbu minor

Jarak pusat ke titik

fokus

(menggunakan

teorema phytagoras)

Apa yang membedakan dari kedua gambar orbit bumi tersebut?

Jika matahari berada di salah satu titik fokus dan pusat dari orbit bumi berada di (0,0) maka pada elips

yang berpusat di (0,0) terdapat dua bentuk elips yaitu ................................................. dan

...................................................

UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (0,0)

ELIPS MENDATAR ELIPS TEGAK

SITUASI 4

167

K

Dengan menggunakan definisi elips yang sebelumnya,

𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝟐𝒂

√ … 2 + . . .2+ √ … 2 + . . .2 = 2𝑎

√( … + . . . ) 2 +. . .2+ √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎

Kedua ruas dikurangi √( 𝒄 − 𝒙) 𝟐 + 𝒚𝟐

√( … + . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎 − √ ( 𝑐 − 𝑥) 2 + 𝑦2

Kuadratkan kedua ruas

(√( … + . . . ) 2 +. . .2 )2

= (2𝑎 − √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 )2

Jabarkan ! ingat (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

( … + . . . ) 2 +. . .2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2+ ( ( … − . . . ) 2 +. . .2 )

… +. . . +. . . +𝑦2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 +. . . − . . . +. . . +𝑦2

… 𝑥𝑐 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2

Ingat! distributif

… 𝑥𝑐 =. . . (… − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 )

Kedua ruas dikalikan 𝟏

𝟒

… = … −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2

Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐

… − . . . = −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2

PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (0,0)

Bagaimana formula 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐

berdasarkan gambar disamping?

Konsep apa yang kamu gunakan

untuk mencari 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐 ?

168


(… − . . . )2 = (−. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2 )2

𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . ( ( … − . . . )2 +. . .2 )

𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . (𝑐2−. . . +. . . +. . .2 )

𝑥2𝑐2+ . . . − . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + …

Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟒

𝑥2𝑐2− . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + … − …

Kedua ruas dikurangi (−𝟐𝒂𝟐𝒄𝒙 + 𝒙𝟐𝒂𝟐 + 𝒂𝟐𝒚𝟐)

𝑥2𝑐2 − … + . . . − 𝑥2𝑎2− . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2

𝑥2𝑐2 − 𝑥2𝑎2 − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2

𝑥2(𝑐2 − 𝑎2) − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2

Kedua ruas dikalikan (-1)

𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2

𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎2(. . . − . . . )

Ingat! 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

𝑥2(𝑎2 − (. . . − . . . ))+ . . . = 𝑎2(. . . − (. . . − . . . ))

𝑥2 . . . + . . . = 𝑎2. ..

Kedua ruas dikalikan 1

𝑎2𝑏2

𝒙𝟐

… +

…

… = 𝟏

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪

dengan

𝑨 = …

𝑩 = …

𝑪 = …

Bentuk Pers.Elips sederhana

Bentuk Umum Pers.Elips

169

Latus Rectum adalah segmen garis yang dibatasi elips, melalui titik fokus dan tegak lurus

dengan sumbu mayor.

Elips Mendatar Elips Tegak

Berdasarkan gambar diatas, maka nilai

𝒙 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 = . …

Dengan menggunakan persamaan elips, maka

didapat sebagai berikut :

𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏

Substitusi salah satu nilai x

…𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏

Kedua ruas dikurangi (𝒄𝟐

𝒂𝟐)

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 −

…𝟐

𝒂𝟐

𝒚𝟐

𝒃𝟐 =

…𝟐 − …𝟐

𝒂𝟐

Menggunakan teorema phytagoras

𝒚𝟐

𝒃𝟐 =

…𝟐

𝒂𝟐


𝒚 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 = . …



𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏

Substitusi salah satu nilai y

𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

…𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏


𝒃𝟐)

𝒙𝟐

𝒂𝟐 = 𝟏 −

…𝟐

𝒃𝟐

𝒙𝟐

𝒂𝟐 =

…𝟐 − …𝟐

𝒃𝟐


𝒙𝟐

𝒂𝟐 =

…𝟐

𝒃𝟐

LATUS RECTUM DAN EKSENTRISITAS

Gambarkan elips mendatar dengan titik fokus:

𝐹1(−𝑐, 0) 𝑑𝑎𝑛 𝐹2(𝑐, 0) beserta latus rectum

berdasarkan definisi.

Gambarkan elips tegak dengan titik fokus:



LATUS RECTUM

170

dikali silang

𝒚𝟐 =. . .

𝒂𝟐

Akarkan kedua ruas

𝒚 = ±. . .

…

dikali silang

𝒙𝟐 =. . .

𝒃𝟐

Akarkan kedua ruas

𝒙 = ±. . .

…

Maka panjang Latus Rectum adalah


Eksentrisitas adalah perbandingan jarak dari titik pusat ke titik fokus dengan jari-jari

sumbu mayor.


Berdasarkan gambar diatas,

jarak dari titik pusat ke titik fokus

𝑶𝑭𝟏 = … = …

Jari-jari sumbu mayor

𝑶𝑽𝟏 = … = …



… = … = …


… = … = …

Berdasarkan definisi maka,

𝒆 =…

…


𝒆 =…

…

Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0)?

Gambarkan elips mendatar dengan titik pusat O,

titik fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2

Gambarkan elips tegak dengan titik pusat O, titik

fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2

EKSENTRISITAS

171

LATIHAN !

1. Tentukan panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, titik fokus, latus rectum, dan

eksentrisitas dari persamaan berikut :

a) 𝑥2

169+

𝑦2

144= 1

b) 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400

2. Tentukan persamaan elips mendatar jika diketahui titik fokus (1,0) dan titik ujung sumbu

minor (0,2)!

3. Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan

berbentuk elips dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 338 meter dan 240 meter.

Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing – masing sisi

taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut !

172

lips

berpusat (h,k)





Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (h,k)


1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................

SITUASI 5

Gambarkan denah taman semula dengan denah taman setelah dipindahkan! (Gunakan Koordinat Kartesius)

Di suatu perkampuangan di daerah Cibiru terdapat

sebuah taman bermain yang terletak di sebelah Balai

Desa Cibiru, yang biasa di kenal sebagai taman

“Kampung Cibiru”. Taman tersebut ketika diamati dari

atas seperti membentuk elips. Taman “Kampung Cibiru”

biasa digunakan warga sekitar sebagai taman bermain

anak-anak mereka ketika waktu siang dan sore hari.

Pada suatu hari, taman bermain tersebut akan

dipindahkan, dikarenakan adanya pelebaran bangunan

Balai Desa Cibiru. Taman tersebut akan dipindahkan ke

tempat yang tidak jauh dari tempat semula dengan

pusat berjarak (230 m,100m) dari tempat semula. Jika

tempat taman yang semula berpusat (0,0).

173


Unsur-Unsur Pusat (0,0) Pusat (h,k)

Sifat a > b a > b

Titik Pusat

Titik Puncak

Titik Fokus

Panjang sumbu mayor

Panjang sumbu minor

Titik sumbu mayor

Titik sumbu minor

UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (h,k)

SITUASI 6

Konsep apa yang digunakan terkait pada denah taman yang semula dan denah taman setelah dipindahkan ?

ELIPS MENDATAR

174


fokus

(menggunakan

teorema phytagoras)

Latus Rectum

Eksentrisitas



Sifat a < b a < b

Titik Pusat

ELIPS TEGAK

175

Titik Puncak

Titik Fokus

Panjang sumbu mayor

Panjang sumbu minor

Titik sumbu mayor

Titik sumbu minor


fokus

(menggunakan

teorema phytagoras)

Latus Rectum

Eksentrisitas

PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (h,k)

Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0) !

Tuliskan formula translasi (pergeseran)!

Kaitkan formula translasi dengan pusat (h,k)!

1

2

3

Carilah titik x dan y yang baru berdasarkan formula diatas !

4

176

Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (0,0),maka

tentukan persamaan elips yang berpusat di (h,k) !

5

Mengubah Persamaan Elips Sederhana Menjadi Persamaan Bentuk Umum

Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (h,k),

( … − … )𝟐

…+

( … − … )𝟐

…= 𝟏

Kalikan kedua ruas dengan 𝒂𝟐𝒃𝟐

… 2( … − … )𝟐 + … 2( … − … )𝟐 = 𝑎2𝑏2


… 2( … − … + … ) + … 2( … − … + … ) = 𝑎2𝑏2

Jabarkan !

… − … + … + … − … + … = 𝑎2𝑏2

Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐𝒃𝟐

… − … + … + … − … + … − 𝑎2𝑏2 = 0

Urutkan dari pangkat yang tertinggi

… 𝑥2 + … 𝑦2 − … 𝑥 − … 𝑦 + ( … + … − … ) = 0

Jika dimisalkan A = koefisien 𝒙𝟐, B = koefisien 𝒚𝟐, C = koefisien 𝒙,

D = koefisien 𝒚, dan E = konstanta

𝐴 = ............

𝐵 = ............

𝐶 = ............

𝐷 = ............

𝐸 = ............

Sehingga didapat persamaan bentuk umum elips yang berpusat di (h,k),

177

LATIHAN !

1. Diketahui elips yang persamaannya sebgai berikut :

25𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 + 72𝑦 − 56 = 0. Ubahlah persamaan tersebut ke dalam bentuk

( 𝑥 − ℎ )2

𝑎2+

( 𝑦 − 𝑘 )2

𝑏2= 1


3. Sebuah orbit komet Halley memiliki ukuran panjang sebesar 36,18 AU dan lebar 9,12

AU. Tentukan

eksentrisitas dari

orbit komet Halley ?

Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (h,k)?

Tuliskan kembali persamaan elips bentuk umum yang berpusat di (h,k)?


gambar berikut !

178

Lampiran 7

LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK

PERTEMUAN KE-1

Hari, tanggal : Kamis, 28 Maret 2019

Situasi 1

No. Penugasan

Kemungkinan

Kesulitan

Ada/

Tidak

Antisipasi Didaktis

Pendagogis

Teratasi

/ Tidak Solusi

1. Siswa diminta untuk



gambar pada alat peraga

yang sudah disediakan, lalu

siswa diminta untuk

memutarkan Tobi dan Putri

dari posisi awal dan kembali

lagi ke posisi awal lagi

dengan memutari Fani dan

Fido

Siswa tidak

berhasil

mendapatkan pola

elips

Ada Guru memberikan pernyataan

sebelum memutarkan Tobi dan

Putri dengan menggunakan

alat peraga papan lukis elips

yang sudah disediakan,

pastikan Fani dan Fido berada

pada tempat yang sejajar dan

tetap pada posisinya.

Teratasi -

Kesulitan Baru :

-

Kesulitan Baru :

-

Kesulitan Baru :

-



umum elips dari definisi

yang diberikan, serta

mengacu pada gambar atau

jejak Tobi dan Putri di alat

peraga

Kesulitan 1:

Siswa salah

membuat

kesimpulan yang

berdasarkan

definisi

Ada Kesulitan 1:


untuk membaca ulang definisi

elips pada cerita

Teratasi -

179

Kesulitan II :

Siswa tidak

mengetahui

bahwa 𝑇𝐹1

adalah jarak dari

T (Tobi) ke 𝐹1

(Fani)

Ada Kesulitan 2 :


bahwa 𝑇𝐹1 adalah jarak dari T

(Tobi) ke 𝐹1 (Fani)

Teratasi

Kesulitan Baru :

-

Kesulitan Baru :

-

Kesulitan Baru :

-

Situasi 2




telah disajikan

Siswa tidak dapat

menotasikan jari-

jari mayor dan

minor

dikarenakan siswa

tersebut hanya

mengetahui

sumbu mayor dan

minor.

Ada Guru memerintahkan siswa

untuk mengamati gambar elips

yang telah disajikan ,serta

memberikan pertanyaan

kepada siswa “Apa pengertian

jari-jari? Jika panjang sumbu

mayor 𝐴1𝐴2, maka setengah

jarak 𝐴1𝐴2 adalah ....” begitu

pula dengan jari-jari minor.

Teratasi -

Kesulitan Baru :

Siswa tidak

memahami sumbu

utama dan sumbu

sekawan

Kesulitan Baru :

Guru menjelaskan bahwa

sumbu utama adalah sumbu

simetri yang melalui titik pusat

dan kedua titik fokus elips,

sedangkan sumbu sekawan

Kesulitan Baru :

180

yaitu sumbu simetri yang tegak

lurus dengan sumbu utama






Siswa kesulitan

mendapatkan

jarak 𝐴1𝐹1 dan

𝐴1𝐹2

Ada Guru memberikan arahan

kepada siswa untuk








jarak 𝐴1𝐹1, 𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2

Teratasi

Kesulitan Baru :

-

Kesulitan Baru :

-

Kesulitan Baru :

-

181


PERTEMUAN KE-2

Hari, tanggal : Jum’at, 29 Maret 2019

Situasi 3

No. Penugasan

Kemungkinan

Kesulitan

Ada/

Tidak Antisipasi Didaktis Pendagogis

Teratasi

/ Tidak Solusi


menyatakan apa yang

siswa ketahui mengenai

bentuk orbit bumi,

membedakan kedua bentuk

gambar orbit, serta

menyimpulkan kedua


orbit bumi adalah (0,0)

Kesulitan I :

Siswa tidak dapat

membedakannya

Ada Kesulitan II :


horizontal dan vertikal”

Teratasi

Kesulitan II :

Siswa tidak dapat

menyimpulkan kedua

bentuk elips tersebut

Ada Kesulitan II :




Teratasi

Kesulitan baru :

-

Kesulitan baru :

-

Kesulitan baru :

-

Situasi 4





Kesulitan I :

Siswa tidak dapat

menotasikan panjang

sumbu mayor dan

panjang sumbu minor

Ada Kesulitan I :


definisi mengenai jari- jari sumbu




Teratasi

Kesulitan II : Ada Kesulitan II : Teratasi

182

Siswa tidak dapat

menotasikan jarak titik

fokus dari titik pusat

dengan menggunakan

teorema phytagoras






gambar yang kedua.

Elips mendatar

Elips tegak

Kesulitan baru :

Siswa keliru dalam

menotasikan titik puncak

Kesulitan baru :

Guru menstimulasi siswa tentang

pengertian dari titik puncak dan

Kesulitan baru :

183

dan titik fokus pada

kedua bentuk elips

titik fokus pada LKS 1, lalu guru

menjelaskan bahwa sumbu utama

ialah sumbu terpanjang dan titik

puncak terletak pada titik-titik

ujung sumbu utama

2. Siswa diminta melengkapi

untuk membuktikan

persamaan elips



sebelumnya

Kesulitan I :


konsep apa yang

digunakan untuk mencari


Ada Kesulitan I :





∆𝑇𝑅𝐹1?”

Tidak

Teratasi

Guru mengarahkan siswa

pada gambar yang sudah

diberikan. Siswa diminta

untuk mengamati

∆𝑇𝑅𝐹1,”apa yang dibentuk

oleh ∆𝑇𝑅𝐹1?”, begitu pula

dengan ∆𝑇𝑅𝐹2, ,”apa yang

dibentuk oleh ∆𝑇𝑅𝐹2?”.

Kesulitan II :

Siswa kesulitan

mendapatkan jarak


Ada Kesulitan II :




phytagoras,serta formula


mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2

Teratasi

Kesulitan III :

Siswa keliru dalam



berikutnya

Ada Kesulitan III :



kuadrat yang dimaksud

Teratasi

184

Kesulitan IV :

Siswa tidak mengerti

distributif

Tidak

ada

Kesulitan IV :


distributif itu mengelompokkan hal

yang sama

-

Kesulitan V :


menggunakan teorema

phytagoras

Ada Kesulitan V :




Teratasi

Kesulitan VI :

Siswa bingung cara


bentuk umum menjadi

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪

Ada Kesulitan VI :



𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2

Dan memisalkan

𝐴 = 𝑏2

𝐵 = 𝑎2

𝐶 = 𝑎2𝑏2

Sehingga menjadi,

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪

Teratasi

Kesulitan baru :

-

Kesulitan baru :

-

Kesulitan baru :

-

185


PERTEMUAN KE-3

Hari, tanggal : Kamis, 11 April 2019

Situasi 4

No. Penugasan

Kemungkinan

Kesulitan

Ada/

Tidak Antisipasi Didaktis Pendagogis

Teratasi

/ Tidak Solusi

3. Siswa diminta melengkapi


Latus Rectum dan

eksentrisitas dari dua

bentuk elips yang berbeda

Kesulitan I :

Siswa tidak dapat

menggambarkan elips


sesuai perintah

Ada Kesulitan I :



definisi latus rectum

Teratasi

Kesulitan II :

Siswa tidak tahu nilai x

yang dimaksud untuk

elips mendatar dan y

untuk elips tegak

Ada Kesulitan II :





begitu pula dengan mencari nilai ya

pada elips tegak

Teratasi

Kesulitan III :

Siswa tidak bisa

menyamakan penyebut

Tidak

ada

Kesulitan III :

Guru memerintahkan untuk

melihat penyebut apa saja yang ada

di persamaan tersebut, samakan

kedua pecahan tersebut dengan 𝒂𝟐

pada elips mendatar dan 𝒃𝟐 pada elips

tegak

-

186

Kesulitan IV :

Siswa tidak dapat

menyatakan formula

panjang lactus rectum

Ada Kesulitan IV :





lactus rectum, karna panjang lactus

rectum (LR) merupakan panjang

dari titik ujung LR 1 ke titik ujung

LR 2

Teratasi

Kesulitan V :

Siswa tidak dapat

menggambarkan elips



menemukan eksentrisitas

Ada Kesulitan V :



definisi eksentrisitas

Teratasi

Kesulitan VI :

Siswa tidak dapat

menotasikan jarak dari

pusat ke titik fokus dan

jari-jari sumbu mayor

Ada Kesulitan VI :




berdasarkan perintah

Teratasi

Kesulitan VII :

Siswa tidak dapat

menyatakan formula

eksentristas

Ada Kesulitan VII :



eksentrisitas serta melihatnya pada

gambar

Teratasi

187

Kesulitan baru :

-

Kesulitan baru :

-

Kesulitan baru :

-

188


PERTEMUAN KE-4

Hari, tanggal : Jum’at, 12 April 2019

Situasi 5

No. Penugasan

Kemungkinan

Kesulitan

Ada/

Tidak

Antisipasi Didaktis

Pendagogis

Teratasi

/ Tidak Solusi


menggambarkan dan

menyatakan konsep

denah taman semula

dengan denah taman

setelah dipindahkan,

dengan syarat

menggunakan koordinat

kartesius

Siswa bingung

menggambarkan posisi

taman setelah

dipindahkan

Ada Guru memberikan arahan untuk

menggambarkan denah taman

tersebut sesuai dengan jarak

yang terdapat pada cerita

Teratasi


konsep apa yang

digunakan

Ada Guru memberikan arahan



dipindahkan apakah bentuk dan

ukuran masih sama? Jika sama,

maka konsep apakah yang

cocok untuk


gambar tersebut”

Tidak

Teratasi

Guru memberikan

arahan bahwa “denah

taman semula dengan

denah taman setelah

dipindahkan apakah

bentuk dan ukuran

masih sama? Jika sama,

maka konsep apakah

yang cocok untuk

menginterpretasikan

kedua gambar

tersebut”,lalu guru

mengaitkan dengan

materi geometri

transformasi

189

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :

Situasi 6


menganalisis unsur-

unsur yang terdapat

pada gambar elips yang

berpusat di (0,0) dan

elips yang berpusat di


mendatar

Kesulitan I :


cara mendapatkan

perubahan titik ujung

sumbu minor pada


pergeseran dari (0,0)

menjadi (h,k)

Ada Kesulitan I :


jarak dari (0,0) ke k pada sumbu

y berarti jaraknya ialah k. Untuk

mendapatkan 𝐵1, lihat


jaraknya melebihi k atau malah

berkurang?” begitu pula dengan

𝐵2.

Tidak

Teratasi

Guru memberikan

arahan “lihat jarak dari

(0,0) ke k pada sumbu y

berarti jaraknya ialah k.

Untuk mendapatkan 𝐵1,

jarak P ke 𝐵1 merupakan

jari-jari sumbu minor,

maka jarak P ke 𝐵1 ialah

b, lalu lihat posisinya

pada sumbu y maka

jaraknya melebihi k atau

malah berkurang?”

begitu pula dengan 𝐵2.

Kesulitan II :


mendapatkan perubahan

titik ujung sumbu mayor

pada sumbu x setelah

adanya pergeseran dari

(0,0) menjadi (h,k)

Ada Kesulitan II :


jarak dari (0,0) ke h pada sumbu

x berarti jaraknya ialah h. Untuk


titik pusat ke 𝐴1yaitu

merupakan jari-jari mayor (a),


x maka jarak dari 𝐴1 ke k ialah


Tidak

Teratasi

Guru memberikan

arahan “lihat jarak dari

(0,0) ke h pada sumbu x

berarti jaraknya ialah h.

Untuk mendapatkan 𝐴1,

lihat jarak titik pusat ke

𝐴1yaitu merupakan jari-

jari mayor (a), lalu lihat

posisinya pada sumbu x

maka jarak dari 𝐴1 ke k

ialah dengan

190

dengan a. Begitu pula dengan

𝐴2

mengurangkan h dengan

a. Begitu pula dengan 𝐴2

didapatkan dengan

menambahkan a

Kesulitan III :


mendapatkan perubahan

titik fokus pada sumbu x

setelah adanya


menjadi (h,k)

Ada Kesulitan III :






jarak dari 𝐹1 ke k ialah dengan

mengurangkan h dengan c.

Begitu pula dengan 𝐹2

Teratasi

Kesulitan IV :

Siswa hanya

mengetahui latus

rectum dan eksentrisitas

hanya di elips pusat

(0,0), siswa mengira

latus rectum dan

eksentrisitas di elips

pusat (h,k) berbeda

Ada Kesulitan IV :









elips tegak”

Teratasi

Kesulitan baru :

Siswa keliru dalam

menotasikan panjang

sumbu mayor dan

sumbu minor

Kesulitan baru :

Guru mengarahkan dalam


mayor dan sumbu minor pada

elips (h,k) sama dengan

Kesulitan baru :

191


sumbu minor pada elips (0,0)


menganalisis unsur-

unsur yang terdapat

pada gambar elips yang

berpusat di (0,0) dan

elips yang berpusat di


tegak

Kesulitan I :


mendapatkan


sumbu minor pada



menjadi (h,k)

Ada Kesulitan I :



sumbu x berarti jaraknya ialah

h. Untuk mendapatkan 𝐴1, lihat

jarak dari pusat ke 𝐴1

merupakan (a) lalu lihat


jaraknya melebihi h atau malah


dengan 𝐴2

Teratasi

Kesulitan II :


mendapatkan


sumbu mayor pada



menjadi (h,k)

Ada Kesulitan II :



sumbu y berarti jaraknya ialah

k. Untuk mendapatkan 𝐵1, lihat

jarak titik pusat ke 𝐵1yaitu

merupakan jari-jari mayor (b),



𝐵1 ialah dengan


Begitu pula dengan 𝐵2

Teratasi

Kesulitan III :


mendapatkan

Ada Kesulitan III :



Teratasi

192

perubahan titik fokus

pada sumbu y setelah

adanya pergeseran dari

(0,0) menjadi (h,k)




jarak dari titik pusat ke 𝐹1 ialah

dengan menjumlahkan k

dengan b. Begitu pula dengan

𝐹2

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :


melengkapi step by step

untuk menemukan

formula persamaan elips

pada pusat (h,k)

Kesulitan I :

Siswa lupa dengan

formula translasi

Ada Kesulitan I :



ditranslasi oleh titik (a,b), maka

(𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏)

Teratasi

Kesulitan II :

Siswa tidak bisa

mengaitkan formula

translasi dengan pusat

(h,k)

Ada Kesulitan II :


(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu


(ℎ, 𝑘)

Teratasi

Kesulitan III :

Siswa tidak dapat

menemukan x dan y

yang baru

Ada Kesulitan III :


sebelumnya mensubstitusikan

(𝑎, 𝑏) dengan (ℎ, 𝑘), lalu

pindah ruaskan sumbu x dan

sumbu y

Teratasi

193

(𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘

)

(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘

) = (𝑥𝑦)

Sehingga didapatkan


𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :



mengubah persamaan


menjadi persamaan

bentuk umum

Siswa keliru dalam



berikutnya

Tidak

Ada




dimaksud

-

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :

Kesulitan baru :

194

Lampiran 8

REKAPTULASI LEMBAR OBSERVASI METAPEDADIDAKTIK

Desain Didaktis Situasi

Kemungkinan

Kesulitan

Antisipasi Didaktis

Pendagogis Kesulitan Baru

Ada Tidak Ada Teratasi Tidak Teratasi

Desain Didaktis

1

Situasi 1 3 - 3 - -

Situasi 2 2 - 2 - 1

Desain Didaktis

2

Situasi 3 2 - 2 - -

Situasi 4 13 2 12 1 1

Desain Didaktis

3

Situasi 5 2 - 1 1 -

Situasi 6 10 1 8 2 1

TOTAL 32 3 28 4 3

Persentase 91,43% 8,57% 87,5% 12,5%

195

Lampiran 9

DESAIN PEMBELAJARAN I (REVISI)

Kompetensi Dasar :

3.5 Menganalisis konsep dan membuktikan sifat-sifat elips dan menerapkannya dalam pembuktian dan menyelesaikan masalah

matematika dan bidang ilmu lain.

3.6 Menganalisis data terkait unsur-unsur elips dan menggambar kurvanya serta mengidentifikasi sifat-sifatnya.

Indikator :

3.3.3 Siswa dapat mendeskripsikan definisi elips.

3.3.4 Siswa dapat membuktikan persamaan umum elips.

3.5.2 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur elips.


Pendagogis

Situasi 1:

Pada siang hari yang sangat

terik berkumpulah Tobi, Fani,

Putri, dan Fido di tanah

lapang. Hari itu mereka

mendapatkan tugas dari Bu

Sinta untuk mengamati

bentuk-bentuk elips yang

berada di sekitar dan

menggambarnya di buku

gambar. Bu Sinta memberikan

Siswa diminta untuk



gambar pada alat peraga yang

sudah disediakan, lalu siswa

diminta untuk memutarkan

Tobi dan Putri dari posisi awal

dan kembali lagi ke posisi

awal lagi dengan memutari

Fani dan Fido.


Siswa dapat membuat pola

elips dari jejak Tobi dan Putri.


Siswa tidak berhasil

mendapatkan pola elips.


kesulitan :

Guru memberikan pernyataan

sebelum memutarkan Tobi

dan Putri dengan

menggunakan alat peraga

papan lukis elips yang sudah

196

arahan kepada mereka bahwa

elips itu adalah “kedudukan

titik-titik yang jumlah

jaraknya terhadap dua titik

tertentu selalu sama.” Namun

mereka belum memahaminya

bagaimana menggambar elips

berdasarkan pengertian

seperti arahan Bu Sinta.

Mereka berinisiatif untuk

mencoba menggambar di

tanah lapang seperti berikut

(gambar 1) dengan

menggunakan tali. Mereka

memegang tali dengan syarat

Fani dan Fido tetap pada

posisinya sedangkan Tobi dan

Putri memutari Fani dan Fido.

disediakan, pastikan Fani dan

Fido berada pada tempat yang

sejajar dan tetap pada

posisinya.

Siswa diminta untuk


umum elips dari definisi yang

diberikan, serta mengacu pada

gambar atau jejak Tobi dan

Putri di alat peraga.


Siswa dapat membuat

kesimpulan bahwa definisi

elips adalah

𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2


Siswa salah membuat

kesimpulan yang berdasarkan

definisi.





kesulitan :


untuk membaca ulang

definisi elips pada cerita.




Situasi 2:

Diberikan deskripsi dari

masing-masing unsur elips,

serta disajikan sebuah gambar

elips.

Siswa diminta untuk



telah disajikan.




diminta.



kesulitan :

197

Siswa tidak dapat

menotasikan jari-jari mayor

dan minor dikarenakan siswa

tersebut hanya mengetahui

sumbu mayor dan minor.


sumbu utama dan sumbu

sekawan.


untuk mengamati

gambar,serta memberikan

pertanyaan kepada siswa

“Apa pengertian jari-jari?

Jika panjang sumbu mayor




Guru menjelaskan bahwa

sumbu utama adalah sumbu

simetri yang melalui titik

pusat dan kedua titik fokus

elips, sedangkan sumbu

sekawan yaitu sumbu simetri

yang tegak lurus dengan

sumbu utama.

Siswa diminta untuk









didapat 𝑇𝐹1 + 𝑇𝐹2 = 2𝑎.



kesulitan :

198


jarak 𝐴1𝐹1 dan 𝐴1𝐹2 pada

elips yang telah disajikan.


kepada siswa untuk








jarak 𝐴1𝐹1, 𝐹1𝑃, dan 𝑃𝐹2.

199

DESAIN PEMBELAJARAN II (REVISI)

Kompetensi Dasar :






Indikator :

3.5.4 Siswa dapat menentukan unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (0,0)

3.5.5 Siswa dapat membuktikan persamaan elips yang berpusat di (0,0)


4.4.2 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (0,0)

Situasi Didaktis Penugasan Prediksi Respon Antisipasi Didaktis Pendagogis

Situasi 3:

Diberikan dua buah gambar

orbit bumi dan pengertian dari

orbit bumi.”Orbit secara

umum dikatakan sebagai

lintasan (jalur) benda

mengelilingi benda lain. Orbit

elips adalah orbit yang

membentuk jalur lingkaran

lonjong. Orbit ini biasanya

Siswa diminta untuk

menyatakan apa yang siswa

ketahui mengenai bentuk

orbit bumi, membedakan

kedua bentuk gambar orbit,

serta menyimpulkan kedua


orbit bumi adalah (0,0).


Siswa dapat mengetahui

bahwa orbit bumi ialah elips.

Siswa dapat membedakan

bahwa gambar orbit pertama

berbentuk elips mendatar

(horizontal) dan gambar

200

merupakan orbit yang

dilintasi oleh satelit-satelit.”

kedua bentuk elips tegak

(vertikal).


Siswa tidak dapat

membedakannya.

Siswa tidak dapat

menyimpulkan kedua

bentuk elips tersebut.


kesulitan :


horizontal dan vertikal”.




(0,0).

Situasi 4:

Disajikan dua gambar bentuk

elips untuk menganalisis

unsur-unsur serta gambar

elips unruk menentukan

persamaan elips.

Siswa diminta untuk



yang berpusat di (0,0).




diminta.


Siswa tidak dapat


mayor dan panjang sumbu

minor.

Siswa tidak dapat

menotasikan jarak titik fokus


kesulitan :


LKS 1 mengenai jari- jari sumbu



pula dengan panjang sumbu

minor.



201

dari titik pusat dengan

menggunakan teorema

phytagoras.

Siswa keliru dalam

menotasikan titik puncak dan




gambar yang kedua.

Elips mendatar

Elips tegak

Guru menstimulasi siswa tentang

pengertian dari titik puncak dan

titik fokus pada LKS 1, lalu guru

202

titik fokus pada kedua bentuk

elips.

menjelaskan bahwa sumbu utama

ialah sumbu terpanjang dan titik

puncak terletak pada titik-titik

ujung sumbu utama.


untuk membuktikan

persamaan elips



sebelumnya.





didapat persamaan sederhana 𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏

dan persamaan bentuk

umumnya

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪



konsep apa yang digunakan

untuk mencari 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.


jarak 𝑇𝐹1dan 𝑇𝐹2.


kesulitan :





∆𝑇𝑅𝐹1?”, begitu pula dengan

∆𝑇𝑅𝐹2, ,”apa yang dibentuk oleh

∆𝑇𝑅𝐹2?”.



203

Siswa keliru dalam



berikutnya.


menggunakan teorema

phytagoras.

Siswa bingung cara


bentuk umum menjadi

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪


phytagoras, serta formula


mengamati ∆𝑇𝑅𝐹1 dan ∆𝑇𝑅𝐹2.



kuadrat yang dimaksud.




(0,0).



𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 = 𝑎2𝑏2

Dan memisalkan

𝐴 = 𝑏2

𝐵 = 𝑎2

𝐶 = 𝑎2𝑏2

Sehingga menjadi,

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪



Latus Rectum dan


Siswa dapat

menggambarkan elips

204

eksentrisitas dari dua bentuk

elips yang berbeda


sesuai perintah.

Siswa dapat mengisi lengkap

alur untuk menemukan

formula latus rectum dari

kedua elips tersebut.


formula panjang latus

rectum.


elips mendatar dan elips

tegak sesuai perintah untuk




eksentrisitas berdasarkan

definisi.


formula eksentristas.


Siswa tidak dapat

menggambarkan elips


sesuai perintah.


kesulitan :



definisi latus rectum.

205

Siswa tidak tahu nilai x yang

dimaksud untuk elips

mendatar dan y untuk elips

tegak.

Siswa tidak dapat

menyatakan formula panjang

lactus rectum.

Siswa tidak dapat

menggambarkan elips




Siswa tidak dapat

menotasikan jarak dari pusat

ke titik fokus dan jari-jari

sumbu mayor.





begitu pula dengan mencari nilai

ya pada elips tegak.





lactus rectum, karna panjang

lactus rectum (LR) merupakan

panjang dari titik ujung LR 1 ke

titik ujung LR 2.



definisi eksentrisitas.




berdasarkan perintah.



206

Siswa tidak dapat

menyatakan formula

eksentristas.


pada gambar.

207

DESAIN PEMBELAJARAN III (REVISI)

Kompetensi Dasar :






Indikator :

3.5.8 Siswa dapat menganalisis unsur-unsur yang terdapat pada elips yang berpusat di (h,k)



4.4.4 Siswa dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang terkait dengan elips yang berpusat di (h,k)


Pendagogis

Situasi 5:

Di suatu perkampuangan di

daerah Cibiru terdapat sebuah

taman bermain yang terletak

di sebelah Balai Desa Cibiru,

yang biasa di kenal sebagai

taman “Kampung Cibiru”.

Taman tersebut ketika

Siswa diminta untuk

menggambarkan dan

menyatakan konsep denah

taman semula dengan taman

setelah dipindahkan, dengan

syarat menggunakan

koordinat kartesius.



denah taman semula dengan

denah taman setelah

dipindahkan dan siswa dapat

menjawab menggunakan

konsep translasi atau

208

diamati dari atas seperti

membentuk elips. Taman

“Kampung Cibiru” biasa

digunakan warga sekitar

sebagai taman bermain anak-

anak mereka ketika waktu

siang dan sore hari. Pada

suatu hari, taman bermain

tersebut akan dipindahkan,

dikarenakan adanya

pelebaran bangunan Balai

Desa Cibiru. Taman tersebut

akan dipindahkan ke tempat

yang tidak jauh dari tempat

semula dengan pusat

berjarak (100 m,230m) dari

tempat semula. Jika tempat

taman yang awal berpusat

(0,0).

pergeseran berdasarkan

gambar yang telah dibuat.


Siswa bingung

menggambarkan posisi taman

setelah dipindahkan.


konsep apa yang digunakan.


kesulitan :


untuk menggambarkan

denah taman tersebut sesuai

dengan jarak yang terdapat

pada cerita.




dipindahkan apakah bentuk

dan ukuran masih sama? Jika

sama, maka konsep apakah

yang cocok untuk


gambar tersebut”,lalu guru

mengaitkan dengan materi

geometri transformasi.

Situasi 6:

Diberikan dua gambar elips

yang masing – masing terdiri

dari gambar elips yang

berpusat di (0,0) dan elips

Siswa diminta untuk









dengan benar.



kesulitan :

209

yang berpusat di (h,k) pada

setiap bentuk elips.


mendatar.

Siswa tidak mengetahui cara





(h,k).






(h,k).


“lihat jarak dari (0,0) ke k

pada sumbu y berarti

jaraknya ialah k. Untuk

mendapatkan 𝐵1, jarak P ke

𝐵1 merupakan jari-jari sumbu

minor, maka jarak P ke 𝐵1

ialah b, lalu lihat posisinya

pada sumbu y maka jaraknya

melebihi k atau malah


dengan 𝐵2.


“lihat jarak dari (0,0) ke h

pada sumbu x berarti

jaraknya ialah h. Untuk


titik pusat ke 𝐴1yaitu

merupakan jari-jari mayor

(a), lalu lihat posisinya pada

sumbu x maka jarak dari 𝐴1

ke k ialah dengan

mengurangkan h dengan a.

Begitu pula dengan 𝐴2

210



fokus pada sumbu x setelah


menjadi (h,k).

Siswa hanya mengetahui

latus rectum dan eksentrisitas

hanya di elips pusat (0,0),

siswa mengira latus rectum

dan eksentrisitas di elips

pusat (h,k) berbeda.

Siswa keliru dalam


mayor dan sumbu minor.

didapatkan dengan

menambahkan a.






jarak dari 𝐹1 ke k ialah


dengan c. Begitu pula dengan

𝐹2.









elips tegak”.

Guru mengarahkan dalam


mayor dan sumbu minor pada

elips (h,k) sama dengan

211


sumbu minor pada elips (0,0).

Siswa diminta untuk





(h,k) pada bentuk elips tegak.





dengan benar.







(h,k).






(h,k).


kesulitan :





𝐴1, lihat jarak dari pusat ke

𝐴1 merupakan (a) lalu lihat


jaraknya melebihi h atau

malah berkurang?” begitu

pula dengan 𝐴2.





𝐵1, lihat jarak titik pusat ke

𝐵1yaitu merupakan jari-jari

mayor (b), lalu lihat posisinya

212



fokus pada sumbu y setelah


menjadi (h,k).

pada sumbu y maka jarak dari

titik pusat ke 𝐵1 ialah dengan


Begitu pula dengan 𝐵2.






jarak dari titik pusat ke 𝐹1

ialah dengan menjumlahkan

k dengan b. Begitu pula

dengan 𝐹2.

Siswa diminta untuk

melengkapi step by step untuk

menemukan formula


(h,k).



setiap langkah untuk

menemukan formula


(h,k).


Siswa lupa dengan formula

translasi.


kesulitan :



ditranslasi oleh titik (a,b),

maka (𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏).

213

Siswa tidak bisa mengaitkan

formula translasi dengan

pusat (h,k).

Siswa tidak dapat

menemukan x dan y yang

baru.


(𝑎, 𝑏) = (ℎ, 𝑘), lalu


(ℎ, 𝑘).


sebelumnya

mensubstitusikan (𝑎, 𝑏)

dengan (ℎ, 𝑘), lalu pindah

ruaskan sumbu x dan sumbu

y

(𝑥′𝑦′

) = (𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑘

)

(𝑥′ − ℎ𝑦′ − 𝑘

) = (𝑥𝑦)

Sehingga didapatkan


𝑦 menjadi 𝑦 − 𝑘.

Siswa diminta untuk


mengubah persamaan elips

sederhana di (h,k) menjadi

persamaan bentuk umum.


Siswa dapat melengkapi alur

untuk mengubah persamaan


menjadi persamaan bentuk

umum.



kesulitan :

214

Gambarkan apa yang terjadi jika Tobi dan Putri memutari Fani dan Fido!

Jika :

Elips






1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................

Pada siang hari yang sangat terik berkumpulah Tobi, Fani, Putri, dan

Fido di tanah lapang. Hari itu mereka mendapatkan tugas dari Bu

Sinta untuk mengamati bentuk-bentuk elips yang berada di sekitar dan

menggambarnya di buku gambar. Bu Sinta memberikan arahan

kepada mereka bahwa elips itu adalah “kedudukan titik-titik yang

jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu sama.” Namun

mereka belum memahaminya bagaimana menggambar elips

berdasarkan pengertian seperti arahan Bu Sinta. Mereka berinisiatif

untuk mencoba menggambar di tanah lapang seperti berikut (gambar

1) dengan menggunakan tali. Mereka memegang tali dengan syarat

Fani dan Fido tetap pada posisinya sedangkan Tobi dan Putri

memutari Fani dan Fido.

Definisi

SITUASI 1

Gambarkan berdasarkan alat peraga yang sudah

disediakan

Lampiran 10

215

Tobi dan Putri sebagai Titik Sebarang (T dan P)

Fani dan Fido sebagai Titik Fokus 1 dan Titik Fokus 2 (F1 dan F2)

Unsur – Unsur elips :

1) Titik Pusat adalah titik potong sumbu utama dan

sumbu sekawan elips.

2) Titik Puncak adalah titik ujung yang berada

pada sumbu utama.

3) Sumbu Mayor adalah sumbu simetri yang

melalui titik pusat dan kedua titik fokus elips.

4) Sumbu Minor adalah sumbu simetri yang tegak

lurus dengan sumbu utama dan melalui titik pusat

elips.

5) Latus Rectum adalah panjang ruas garis yang

melalui titik fokus elips dan tegak lurus dengan

sumbu utama.

Setelah kita mengetahui unsur-unsur yang terdapat pada elips, maka sekarang kita mengaitkan definisi

elips sebelumnya dengan unsur-unsur tersebut !

Maka terbukti menurut definisi elips adalah 𝑻𝑭𝟏 + ⋯ = ⋯ + 𝑷𝑭𝟐

Berdasarkan deskripsi diatas tentukan unsur-unsur berikut dengan memperhatikan gambar diatas!

Unsur-Unsur Notasi

Titik Pusat

Titik Fokus

Titik Puncak

Sumbu Mayor

Sumbu Minor

Jari-Jari Mayor

Jari-Jari Minor

Latus Rectum

𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐

𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝑨𝟏𝑭𝟏 + 𝑨𝟏𝑭𝟐

= (… −. … ) + (… +. … )

= ⋯ + ⋯

= ⋯

SITUASI 2

216

LATIHAN !

3. Jika diketahui 𝐴1(-10,0), 𝐴2(10,0), 𝐴1𝐹1𝑑𝑎𝑛 𝐹2𝐴2 berjarak 4, dan 𝐵1(8,0).

d) Buktikan 𝐵1𝐹1 + 𝐵1𝐹2 = 2𝑎 !

e) Tentukan panjang sumbu mayor ?

f) Tentukan panjang sumbu minor ?

4. Jika diketahui gambar berikut

Diketahui titik pusat berada di (0,0)

Jika jarak 𝐵1𝐹2 = 5 dan 𝑃𝐹2 = 4.

Tentukan titik 𝐵1 dan 𝐵2 ?

Apakah definisi elips ?

Tuliskan kembali persamaan elips berdasarkan definisi ?

217

Amatilah gambar-gambar orbit bumi berikut ini !

lips berpusat

(0,0)





Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (0,0)


1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................

SITUASI 3

Orbit secara umum dikatakan sebagai lintasan (jalur) benda mengelilingi benda lain. Orbit elips

adalah orbit yang membentuk jalur lingkaran lonjong. Orbit ini biasanya merupakan orbit yang

dilintasi oleh satelit-satelit.

Tuliskan mengenai bentuk kedua gambar orbit bumi pada gambar diatas ?

Gambar 1

Gambar 2

218


Unsur-Unsur Elips Mendatar Elips Tegak

Sifat a > b a < b

Titik Pusat

Titik Puncak

Titik Fokus

Panjang sumbu mayor

Panjang sumbu minor


fokus

(menggunakan

teorema phytagoras)

Apa yang membedakan dari kedua gambar orbit bumi tersebut?

Jika matahari berada di salah satu titik fokus dan pusat dari orbit bumi berada di (0,0) maka pada elips

yang berpusat di (0,0) terdapat dua bentuk elips yaitu ................................................. dan

...................................................

UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (0,0)

ELIPS MENDATAR ELIPS TEGAK

SITUASI 4

219

K

Dengan menggunakan definisi elips yang sebelumnya,

𝑻𝑭𝟏 + 𝑻𝑭𝟐 = 𝟐𝒂

√ … 2 + . . .2+ √ … 2 + . . .2 = 2𝑎

√ ( … + . . . ) 2 +. . .2+ √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎

Kedua ruas dikurangi √ ( 𝒄 − 𝒙) 𝟐 + 𝒚𝟐

√ ( … + . . . ) 2 +. . .2 = 2𝑎 − √ ( 𝑐 − 𝑥) 2 + 𝑦2


(√ ( … + . . . ) 2 +. . .2 )2

= (2𝑎 − √ ( … − . . . ) 2 +. . .2 )2


( … + . . . ) 2 +. . .2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2+ ( ( … − . . . ) 2 +. . .2 )

… +. . . +. . . +𝑦2 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 +. . . − . . . +. . . +𝑦2

… 𝑥𝑐 = ⋯ − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2

Ingat! distributif

… 𝑥𝑐 =. . . (… − ⋯ √ ( … − . . . )2 +. . .2 )

Kedua ruas dikalikan 𝟏

𝟒

… = … −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2

Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐

… − . . . = −. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2

PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (0,0)

Bagaimana formula 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐

berdasarkan gambar disamping?

Konsep apa yang kamu gunakan

untuk mencari 𝑻𝑭𝟏 𝑑𝑎𝑛 𝑻𝑭𝟐 ?

220


(… − . . . )2 = (−. . . √ ( … − . . . )2 +. . .2 )2

𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . ( ( … − . . . )2 +. . .2 )

𝑥2𝑐2+ . . . − . . . =. . . (𝑐2−. . . +. . . +. . .2 )

𝑥2𝑐2+ . . . − . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + …

Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟒

𝑥2𝑐2− . . . = 𝑎2𝑐2− . . . + 𝑥2𝑎2 + … − …

Kedua ruas dikurangi (−𝟐𝒂𝟐𝒄𝒙 + 𝒙𝟐𝒂𝟐 + 𝒂𝟐𝒚𝟐)

𝑥2𝑐2 − … + . . . − 𝑥2𝑎2− . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2

𝑥2𝑐2 − 𝑥2𝑎2 − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2

𝑥2(𝑐2 − 𝑎2) − . . . = −𝑎4 + 𝑎2𝑐2

Kedua ruas dikalikan (-1)

𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2

𝑥2(𝑎2 − 𝑐2)+ . . . = 𝑎2(. . . − . . . )

Ingat! 𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐

𝑥2(𝑎2 − (. . . − . . . ))+ . . . = 𝑎2(. . . − (. . . − . . . ))

𝑥2 . . . + . . . = 𝑎2. ..

Kedua ruas dikalikan 1

𝑎2𝑏2

𝒙𝟐

… +

…

… = 𝟏

𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 = 𝑪

dengan

𝑨 = …

𝑩 = …

𝑪 = …

Bentuk Pers.Elips sederhana

Bentuk Umum Pers.Elips

221

Latus Rectum adalah segmen garis yang dibatasi elips, melalui titik fokus dan tegak lurus

dengan sumbu mayor.



𝒙 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒙 = . …



𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏

Substitusi salah satu nilai x

…𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏


𝒂𝟐)

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏 −

…𝟐

𝒂𝟐

𝒚𝟐

𝒃𝟐 =

…𝟐 − …𝟐

𝒂𝟐


𝒚𝟐

𝒃𝟐 =

…𝟐

𝒂𝟐

dikali silang


𝒚 = . … 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒚 = . …



𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

𝒚𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏

Substitusi salah satu nilai y

𝒙𝟐

𝒂𝟐 +

…𝟐

𝒃𝟐 = 𝟏


𝒃𝟐)

𝒙𝟐

𝒂𝟐 = 𝟏 −

…𝟐

𝒃𝟐

𝒙𝟐

𝒂𝟐 =

…𝟐 − …𝟐

𝒃𝟐


𝒙𝟐

𝒂𝟐 =

…𝟐

𝒃𝟐

dikali silang

LATUS RECTUM DAN EKSENTRISITAS

Gambarkan elips mendatar dengan titik fokus:



Gambarkan elips tegak dengan titik fokus:



LATUS RECTUM

222

𝒚𝟐 =. . .

𝒂𝟐

Akarkan kedua ruas

𝒚 = ±. . .

…

𝒙𝟐 =. . .

𝒃𝟐

Akarkan kedua ruas

𝒙 = ±. . .

…



Eksentrisitas adalah perbandingan jarak dari titik pusat ke titik fokus dengan jari-jari

sumbu mayor.




𝑶𝑭𝟏 = … = …


𝑶𝑽𝟏 = … = …



… = … = …


… = … = …


𝒆 =…

…


𝒆 =…

…

Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0)?

Gambarkan elips mendatar dengan titik pusat O,

titik fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2

Gambarkan elips tegak dengan titik pusat O, titik

fokus 𝐹1 𝑑𝑎𝑛 𝐹2 , dan titik puncak 𝑉1 𝑑𝑎𝑛 𝑉2

EKSENTRISITAS

223

LATIHAN !

1. Tentukan panjang sumbu mayor, panjang sumbu minor, titik fokus, latus rectum, dan

eksentrisitas dari persamaan berikut :

c) 𝑥2

169+

𝑦2

144= 1

d) 25𝑥2 + 16𝑦2 = 400

2. Tentukan persamaan elips mendatar jika diketahui titik fokus (1,0) dan titik ujung sumbu

minor (0,2)!

3. Di suatu kota terdapat sebuah taman bermain. Taman tersebut dikelilingi oleh suatu jalan

berbentuk elips dengan panjang mayor dan minor berturut-turut 338 meter dan 240 meter.

Apabila pengelola taman tersebut ingin membangun air mancur pada masing – masing sisi

taman tersebut, tentukan jarak antara air mancur tersebut !

224

lips

berpusat (h,k)





Siswa dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan elips yang berpusat di (h,k)


1. .............................. 2. .............................. 3. ............................ 4. .......................... 5. ...................

SITUASI 5

Gambarkan denah taman semula dengan denah taman setelah dipindahkan! (Gunakan Koordinat Kartesius)

Di suatu perkampuangan di daerah Cibiru terdapat

sebuah taman bermain yang terletak di sebelah Balai

Desa Cibiru, yang biasa di kenal sebagai taman

“Kampung Cibiru”. Taman tersebut ketika diamati dari

atas seperti membentuk elips. Taman “Kampung Cibiru”

biasa digunakan warga sekitar sebagai taman bermain

anak-anak mereka ketika waktu siang dan sore hari.

Pada suatu hari, taman bermain tersebut akan

dipindahkan, dikarenakan adanya pelebaran bangunan

Balai Desa Cibiru. Taman tersebut akan dipindahkan ke

tempat yang tidak jauh dari tempat semula dengan

pusat berjarak (230 m,100m) dari tempat semula. Jika

tempat taman yang semula berpusat (0,0).

x

y

50

100

100 50 150 200 250 300 0

225



Sifat a > b a > b

Titik Pusat

Titik Puncak

Titik Fokus

Panjang sumbu mayor

Panjang sumbu minor

Titik ujung sumbu

mayor

UNSUR – UNSUR ELIPS BERPUSAT DI (h,k)

SITUASI 6

Konsep apa yang digunakan terkait pada denah taman yang semula dan denah taman setelah dipindahkan ?

ELIPS MENDATAR

226

Titik ujung sumbu

minor


fokus

(menggunakan

teorema phytagoras)

Latus Rectum

Eksentrisitas



ELIPS TEGAK

227

Sifat a < b a < b

Titik Pusat

Titik Puncak

Titik Fokus

Panjang sumbu mayor

Panjang sumbu minor


fokus

(menggunakan

teorema phytagoras)

Latus Rectum

Eksentrisitas

PERSAMAAN ELIPS BERPUSAT DI (h,k)

Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (0,0) !

Tuliskan formula translasi (pergeseran)!

Kaitkan formula translasi dengan pusat (h,k)!

1

2

3

Carilah titik x dan y yang baru berdasarkan formula diatas !

4

228

Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (0,0),maka

tentukan persamaan elips yang berpusat di (h,k) !

5

Mengubah Persamaan Elips Sederhana Menjadi Persamaan Bentuk Umum

Berdasarkan persamaan elips yang berpusat di (h,k),

( … − … )𝟐

…+

( … − … )𝟐

…= 𝟏

Kalikan kedua ruas dengan 𝒂𝟐𝒃𝟐

… 2( … − … )𝟐 + … 2( … − … )𝟐 = 𝑎2𝑏2


… 2( … − … + … ) + … 2( … − … + … ) = 𝑎2𝑏2

Jabarkan !

… − … + … + … − … + … = 𝑎2𝑏2

Kedua ruas dikurangi 𝒂𝟐𝒃𝟐

… − … + … + … − … + … − 𝑎2𝑏2 = 0

Urutkan dari pangkat yang tertinggi

… 𝑥2 + … 𝑦2 − … 𝑥 − … 𝑦 + ( … + … − … ) = 0

Jika dimisalkan A = koefisien 𝒙𝟐, B = koefisien 𝒚𝟐, C = koefisien 𝒙,

D = koefisien 𝒚, dan E = konstanta

𝐴 = ............

𝐵 = ............

𝐶 = ............

𝐷 = ............

𝐸 = ............

Sehingga didapat persamaan bentuk umum elips yang berpusat di (h,k),

229

LATIHAN !

1. Diketahui elips yang persamaannya sebgai berikut :

25𝑥2 + 9𝑦2 + 50𝑥 + 72𝑦 − 56 = 0. Ubahlah persamaan tersebut ke dalam bentuk

( 𝑥 − ℎ )2

𝑎2+

( 𝑦 − 𝑘 )2

𝑏2= 1


3. Sebuah orbit komet Halley memiliki ukuran panjang sebesar 36,18 AU dan lebar 9,12

AU. Tentukan

eksentrisitas dari orbit

komet Halley ?

Tuliskan kembali persamaan elips yang berpusat di (h,k)?

Tuliskan kembali persamaan elips bentuk umum yang berpusat di (h,k)?


gambar berikut !

230

Lampiran 11

REKAPTULASI PENSKORAN LEARNING OBSTACLE KONSEP ELIPS

Responden

No. Soal Skor

Resp 1 2 3 4 5 6

A A B A B A B A B A B

R1 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15

R2 2 10 3 2 0 0 0 0 0 0 0 17

R3 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15

R4 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9

R5 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5

R6 2 5 0 2 0 0 0 0 0 0 0 9

R7 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15

R8 2 5 2 10 5 2 0 2 0 10 0 38

R9 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15

R10 2 10 3 2 0 0 2 0 0 0 0 19

R11 2 5 2 10 5 0 0 0 0 0 0 24

R12 2 10 2 2 0 2 0 0 0 0 0 18

R13 2 4 2 8 2 2 0 0 0 0 0 20

R14 2 5 0 10 5 2 0 0 0 0 0 24

R15 2 5 0 10 5 2 0 0 0 0 0 24

R16 2 4 3 10 5 0 2 2 0 10 0 38

R17 2 10 3 0 0 0 0 0 0 0 0 15

R18 4 10 3 2 0 2 0 0 0 0 0 21

R19 2 5 0 0 0 2 0 0 0 0 0 9

R20 2 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 9

R21 2 10 3 3 0 0 0 2 0 5 0 25

R22 2 5 0 0 0 0 0 2 0 0 0 9

R23 2 5 2 10 5 0 0 0 0 10 0 34

Total Skor 48 163 42 81 32 14 4 8 0 35 0

231

Skor maks

tiap

hambatan

10 10 5 10 5 10 10 10 10 10 10

%

Menguasai 20,87% 70,87% 36,52% 35,22% 27,83% 6,09% 1,74% 3,48% 0% 15,22% 0%

%

Tidak

Menguasai

79,13% 29,13% 63,48% 64,78% 72,17% 93,91% 98,26% 96,52% 100,00% 84,78% 100,00%

80,20%

%

Tidak

Menguasai

per nomor

79,13% 46,30% 68,48% 96,09% 98,26% 92,39%

232

Tabel Kriteria Penskoran Konsep Elips

No.

Soal Indikator Soal

Klasifikasi Jawaban Siswa

Tidak

Menjawab

Jawaban

Salah atau

Kurang Tepat

Menjawab

dengan Tepat

1 Menentukan perbedaan unsur – unsur elips,

jika diketahui 2 gambar yang berbeda

Skor = 0

0 < Skor < 10 Skor = 10

2 Menentukan persamaan elips dengan pusat

(0,0), jika diketahui beberapa unsur 0 < Skor < 15 Skor = 15

3 Menentukan persamaan elips berpusat di

(h,k), jika diketahui beberapa unsur

4 Menentukan beberapa unsur, jika diketahui

persamaan elips dalam bentuk baku

0 < Skor < 20 Skor = 20 5 Menyelesaikan masalah menggunakan unsur

– unsur dan persamaan elips

6 Menyelesaikan masalah menggunakan unsur

– unsur dan persamaan elips

233

Lampiran 12

HASIL WAWANCARA SISWA

Nama : Bailey Reshad F

Peneliti : bagaimana pendapatmu dengan soal yang tadi ? apakah mudah,

sedang, atau sulit?

Siswa : sedang sih, soalnya sebenernya bisa cuma gara-gara udah agak

lama dari semester satu harus inget-inget lagi liat catetan

Peneliti : kesulitan apa yang kamu alami saat belajar konsep elips yang

pusatnya (0,0) ?

Siswa : hhmm apa yaa, sama halnya lebih gampang daripada yang (h,k)

Peneliti : yang pusatnya (h,k) kenapa sulit ?

Siswa : nyari titik fokus sama puncaknya jadi harus dikurang-kurangin

dulu sama (h,k)nya itu

Peneliti : kan yang pusatnya di (h,k) ada pergeseran, jadi kamu sulitnya

disitu?

Siswa : iya kak

Peneliti : sebenarnya kamu di materi ini hanya sebatas menghafal atau sudah

memahami ?

Siswa : paham si sebenernya, tapi suka keliru aja

Peneliti : konsep apa saja yang digunakan saat menyelesaikan setiap soal

yang tadi diberikan ? pakai konsep atau materi prasyarat apa untuk

menyelesaikan soal tadi selain rumus-rumus elips itu sendiri ?

Siswa : grafik kayaknya ka, saya susah membaca grafik dimana titik

puncaknya

Peneliti : menurutmu bagaimana cara guru memaparkan materi elips saat di

kelas ?

Siswa : dapat dimengerti si kak

Peneliti : namun apakah kamu memahami apa yang sudah dipaparkan ?

Siswa : paham kak, tapi gurunya jelasinnya terlalu cepet, jadi kadang kita

suka dibikin tertekan karna kita belajar bukan cuma elips aja. Kita

juga belajar lingkaran, parabola, hiperbola, terkadang suka kebalik

balik

234

Peneliti : kamu lebih suka belajar menggunakan media atau tidak ?

Siswa : media lebih seru kak, kan kayak tadi disoal ada setengah elips,

mending sebelumnya kita diperlihatkan realnya seperti apa, biar

kita paham

Peneliti : kita lanjut yaa, untuk pertanyaan mengenai soal yang kamu

kerjakan. Untuk yang no 1 gimana ? kamu mengerjakan disini

hanya menyebutkan titik pusatnya saja. Sebenernya kalian tahu

unsur-unsur selain ini tapi kamu ngga tulis atau kamu tahu hanya

itu saja?

Siswa : tahu itu doang kak

Peneliti : apakah karna pergeseran yang pusatnya di (h,k) kamu belum

paham jadi isinya itu aja?

Siswa : nah iya kak aku ngga paham

Peneliti : lanjut gimana kalo soal nomor dua? Kamu menganggap sumbu

mayornya 2a atau 2b?

Siswa : 2a kak, jadi 2a sama dengan 4, terus a sama dengan 2

Peneliti : lalu b sama dengan 3 darimana ?

Siswa : dari persamaan lactus rectum, aku pecah kan a-nya udah ketahuan

2, terus yang b kuadratnya pikir aja, berapa yang dikuadratkan

hasilnya 9, gitu kak

Peneliti : jadi 2 yang di lactus rectum kamu kemanakan ?

Siswa : oh iya kak saya salah, seharusnya langsung aja b kuadratnya 9/2,

aku cuma nebak aja kak

Peneliti : kalo nomor 3 ? gimana kamu ngerjainnya ?

Siswa : ini kan nentuin persamaan, aku liatnya kalo ini pusatnya ngga di

(0,0), jadi liat dulu grafiknya pusatnya ada di (4,-2) sisanya untuk

nyari a dan b nya liat grafiknya lagi. Ini kan 9 paling ujung jadi kan

titik puncak terus masukin rumus aja (p+a,q) (p-a,q), p-nya kan tadi

4 terus q-nya -2, terus 4+a = 9 jadi a =5, terus buat nyari c tinggal

masukin (p+c,q)(p-c,q) jadi 4+c =8 jadi c = 4. Kalo nyari b-nya

tinggal masukin b2 = a2-c2 dapet b =3, terus masukin rumus elips

deh kak

235

Peneliti : oke kita lanjut, untuk nomor 4 bagaimana ?

Siswa : sebenernya aku nggak ngerti dan waktunya kaya udah mau habis,

jadi aku langsung mikir akar 25 sama 9 itu 5 dan 3 , yaudah deh

aku masukin ke rumusnya yang awal, terus aku nebak kalo

pusatnya di (0,0)

Peneliti : sebenernya kamu tahu kalo ini persamaan bentuk umumnya elips?

Siswa : kita ngga pernah diajarin yang kaya gini kak,cuma rumus yang

biasa

Peneliti : oke, lanjut ya nomor 5 ? kenapa jawabannya 44 ?

Siswa : soalnya aku ngga tahu caranya gimana, aku liat aja kiri kanan

kurangnya kecil oh yaudah berarti kurangin aja 2 m kanan kiri, jadi

44 deh kak

Peneliti : ohh oke kita lanjut nomor 6, gimana kamu mendapatkan a = 221

dan b = 171 ?

Siswa : soalnya aku ngga tau tadi yang dicari apa tapi sekarang aku tau ini

(nunjuk air mancur) titik fokus terus cari jarak dari air mancur 1 ke

2. Kalo a sama b udah keliatan kak karna di soal bilang panjang

sumbu mayor dan minor jadi a=221 terus b = 171

Peneliti : tapi kamu sebenernya bisa tidak menafsirkan apa mau soal ?

Siswa : tadi si ngga kak, tapi sekarang jadi tahu

Peneliti : yaudah,sekian ya terima kasih sudah diizinkan untuk wawancara

Siswa : iya kak sama -sama

Nama : Mohammed Antar Pilarrodina

Peneliti : bagaimana pendapatmu dengan soal yang tadi ? apakah mudah,

sedang, atau sulit?

Siswa : sulit

Peneliti : sulitnya kenapa ?

Siswa : sulitnya gara-gara nggak bisa materi yang ini, terus suka bingung

aja dengerin penjelasan dari gurunya

Peneliti : kesulitan apa yang kamu alami saat belajar konsep elips yang

pusatnya (0,0) ?

236

Siswa : kalo yang di (0,0) suka kebalik tegak sama yang mendatar

Peneliti : lalu kesulitan apa yang kamu alami jika pusatnya di (h,k) ?

Siswa : kalo yang di (h,k) suka lupa ngurangin titik pada fokus dan

puncaknya

Peneliti : sebenarnya kamu di materi ini hanya sebatas menghafal atau sudah

memahami ?

Siswa : hafal, saya lebih menghafal rumus dan suka latihan-latihan jadinya

ngerti

Peneliti : konsep apa saja yang digunakan saat menyelesaikan setiap soal

yang tadi diberikan ? pakai konsep atau materi prasyarat apa untuk

menyelesaikan soal tadi selain rumus-rumus elips itu sendiri ?

Siswa : membaca grafik kayaknya kak buat nyelesaiin soal nomor satu,

kadang cuma nebak-nebak aja kak

Peneliti : menurutmu bagaimana cara guru memaparkan materi elips saat di

kelas ?

Siswa : bisa dimengerti kok kak

Peneliti : namun apakah kamu memahami apa yang sudah dipaparkan ?

Siswa : paham ngerti kak, kalo belajar jadi makin ngerti. Terus gurunya

juga ngajarinnya kecepetan. Soalnya kita belajar ngga Cuma elips

aja kak

Peneliti : kamu lebih suka belajar menggunakan media atau tidak ?

Siswa : pake media kak, contoh soal yang tadi kak mending kita dikasih

tau wujud aslinya kayak gimana, biar kita juga lebih paham

Peneliti : kita lanjut yaa, untuk pertanyaan mengenai soal yang kamu

kerjakan. Untuk yang no 1 gimana ? kamu mengerjakan disini

hanya menyebutkan titik pusatnya saja. Sebenernya kalian tahu

unsur-unsur selain ini tapi kamu ngga tulis atau kamu tahu hanya

itu saja?

Siswa : yang aku paham itu doang kak

Peneliti : apakah karna pergeseran yang pusatnya di (h,k) kamu belum

paham jadi isinya itu aja?

Siswa : belum paham kak, belum pernah gunain di soal yang kayak gitu

237

Peneliti : lanjut gimana kalo soal nomor dua? Kamu menganggap sumbu

mayornya 2a atau 2b?

Siswa : 2a kak, jadi a-nya sama dengan 2

Peneliti : lalu b sama dengan 3 darimana ?

Siswa : dari persamaan lactus rectum kak, aku mikirnya berapa kalo

diakuadratkan hasilnya 9, jadi b sama dengan 3 kak

Peneliti : kamu memperhatikan rumusnya ngga kalo ada 2 disana?

Siswa : oh iya, aku tadi nebak kaya gitu aja kak

Peneliti : kalo nomor 3 ? gimana kamu ngerjainnya ? atau apa yang kamu

liat dari gambar ini ?

Siswa : aku liatnya kalo ini pusatnya tidak di (0,0) tapi di (p,q) soalnya kita

bukan pake (h,k). Pusatnya ada di (4,-2) abis itu cari a sama b-nya

pake rumus (p+a,q) (p-a,q), p-nya kan tadi 4 terus q-nya -2, terus

4+a = 9 jadi a =5. Kalo cari yang c-nya masukin (p+c,q)(p-c,q) jadi

4+c =8 jadi c = 4. Terus pake phytagoras dapet b=3. Abis itu

masukin ke rumus kak

Peneliti : oke, selanjutnya nomor 4 gimana kamu ngerjainnya?

Siswa : sebenernya aku nggak ngerti maksudnya, jadi aku langsung

nembak akar 25 sama 9 itu 5 dan 3 , yaudah deh aku masukin ke

rumusnya yang awal, terus aku mikir kalo pusatnya di (0,0)

Peneliti : sebenernya kamu tahu kalo ini persamaan bentuk umumnya elips?

Siswa : kita ngga pernah diajarin yang kaya gini kak,cuma rumus yang

biasa aja, mau mikir keburu habis waktunya kak

Peneliti : ohh oke, kita lanjut nomor 5 ? kenapa jawabannya 44 ?

Siswa : ngga tau kak, ngga ada ide lagi buat ngerjain jadi aku kurangin aja

kanan kiri 2m jadi 44 kak, aku liatnya kanan kiri juga sama

Peneliti : ohh oke kita lanjut nomor 6, gimana kamu mendapatkan a = 221

dan b = 171 ?

Siswa : yang aku tau kalo a sama b udah keliatan kak karna di soal panjang

sumbu mayor dan minor jadi a=221 terus b = 171, aku ngga ngerti

kak sebenernya nyari apa, tapi pas aku baca lagi sekarang aku

paham kak yang dicari jarak titik fokus 1 ke fokus 2 kak

238

Peneliti : tapi kamu sebenernya bisa tidak menafsirkan apa yang diinginkan

soal ini ?

Siswa : tadi ngga kepikiran kak soalnya waktunya habis jadi jawabnya itu

aja deh

Peneliti : yaudah,sekian ya terima kasih sudah diizinkan untuk wawancara

Siswa : iya kak sama -sama

239

HASIL WAWANCARA GURU

Peneliti : bagaimana kendala ibu saat mengajar elips di kelas ?

Guru : kendalanya si dari segi media ya soalnya kan elips ini adalah

sebuah kerucut yang diiris, jadi siswa bisa menerka kalo diiris

miring jadi elips kalo datar jadi lingkaran dan seterusnya, nah

sedangkan disini saya belum mempunyai media pembelajaran itu

untuk diperlihatkan ke anak-anak saya, jadi saya mengatasinya

waktu itu saya beri kelompok, nah setiap kelompok saya suruh buat

kerucut,terus setiap kelompok juga saya suruh mengirisnya datar,

miring, lurus, lalu apa yang dia lihat dari itu semua bentuk apa yang

mereka punya setelah tadi diiris. Nah baru lah anak-anak bisa

melihat perbedaanya. Itu si kendalanya di media

Peneliti : lalu bagaimana aktivitas peserta didik pada saat pembelajaran?

Guru : aktivitasnya si masih konvensianal yaa masih liat sayaa aja dan

masih terpaku dengan penjelasan saya aja

Peneliti : namun di kelas cenderung aktif kah atau cenderung pasif ?

Guru : aktif si, mereka nanya emang apa bedanya elipsnya mendatar atau

yang tegak itu kan rumusnya beda kan ya. Nah disitu mereka ngerti

perbedaanya seperti itu, atau ngerti kalo ada yang pusatnya di (h,k),

yaa pertanyaanya cukup banyak yang mereka lontarkan

Peneliti : terus menurut pengalaman ibu saat mengajarkan materi elips

kesulitannya dimana aja? Kalau di persamaan elips (0,0) ?

Guru : kalo yang (0,0) si selama saya ngajar ngga ada yaa kesulitannya

karna masih dalam bentuk dasarnya

Peneliti : kalau yang pusatnya di (h,k) bagaimana bu ?

Guru : nah ini karena nanti fokusnya kan ada perbedaan jadi berpengaruh,

atau ada pergeseran. Nah disitu biasanya kadang-kadang mereka

masih kurang teliti dia ngga digeser jadi tetep sama kaya di (0,0)

Peneliti : ibu menggunakan persamaan elips untuk yang tegak 𝑥2

𝑏2 +𝑦2

𝑎2 = 1

atau 𝑥2

𝑎2+

𝑦2

𝑏2= 1 ?

Guru : saya pakai 𝑥2

𝑏2+

𝑦2

𝑎2= 1 karna menganggap sumbu mayor adalah 2a

240

Peneliti : oke lalu ibu menggunakan sumber belajar apa saja bu ?

Guru : selain buku saya liat-liat di internet,youtube juga sangat membantu,

referensi buku si yang paling banyak

Peneliti : buku apa saja ya bu ?

Guru : bukunya penerbit grasindo, erlangga, pks juga ada

Peneliti : berarti ibu lebih dari satu buku referensinya, kalau siswa buku

pegangannya apa ya bu ?

Guru : yang merah yang penerbit grasindo

Peneliti : ibu saat mengajar menggunakan metode dan media apa saja ya bu?

Guru : kalo media dalam bentuk ppt ya, kalo metodenya kadang saya buat

kooperatif buat kelompok, kadang saya ceramah langsung kaya

gitu

Peneliti : kalo menurut ibu cara mengatasi kesulitan siswa pada materi elips

itu bagaimana bu ?

Guru : yaa cara mengatasinya si lebih liat realnya bentuknya lalu mereka

aplikasikan dengan rumusnya , lalu mereka mengerti dengan cepat

perbedaanya baik itu yang tegak ataupun yang mendatar

Peneliti : ibu pada materi ini menjelaskan perbedaan antara pusat yang (0,0)

dan (h,k) dengan menggunakan koordinat kartesius tidak bu ?

Guru : iya saya pakai itu jadi saya menggambarkan kalo (0,0) disini ketika

bergeser pusatnya jadi disini, seperti itu

Peneliti : baik ibu, terimakasih banyak saya sudah diizinkan wawancara

Guru : iya sama sama

241

Lampiran 13

DOKUMENTASI PENELITIAN

242

Lampiran 14

243

Lampiran 15

244

Lampiran 16

245

Lampiran 17

Documents

DESAIN DIDAKTIS KONSEP ELIPS PADA IRISAN ...repository.uinjkt.ac.id/dspace/bitstream/123456789/48942...i ABSTRAK Nur Halimah (11140170000037), Desain Didaktis Konsep Elips Pada Irisan