Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)

7/31/2019 Desarrollo de competencias lingsticas y matemticas en la resolucin de problemas aritmticos de enunciado verbal (PAEV)

1/16

DESARROLLO DE COMPETENCIAS LINGSTICAS Y MATEMTICAS EN LA RESOLUCIN DEPROBLEMAS ARITMTICOS DE ENUNCIADO VERBAL (PAEV)

Las imgenes que siguen, tomadas de cuadernos de mis alumnos/as de 5 de

Educacin Primaria, evidencian lo esencial de un mtodo de resolucin de

PAEV que pone el nfasis en hacer explcita la estructura del problema a

dos niveles: el del procesamiento lingstico (expresin de las relaciones

entre magnitudes enfocada a la solucin) y el del procesamiento matemtico

(expresin algebraica solucin del problema).

Reflejan el inicio del mtodo de resolucin de PAEV que, de manera general,

trabajo con ellos para tratar de paliar las principales dificultades quepresenta la resolucin de este tipo de problemas y que se ponen de manifiesto

con mayor rotundidad en alumnos/as con un nivel medio-bajo de habilidades

lingsticas.

Juan Garca Moreno_ 2012 /// didactmaticprimaria.com- 1 -
http://www.didactmaticprimaria.com/


2/16




3/16




4/16


(Aunque el alumno se ha autocolocado una B de BIEN en el problema nmero 8, se puede

observar que no ha resuelto correctamente el problema - ha invertido el orden de los trminos

de la resta-. Resulta muy ilustrativo de uno de los errores ms frecuentes en la estructura

aditiva)



5/16


La Resolucin de Problemas, considerada como la innovacin ms importante

de la Matemtica en la dcada de los 80, ha sido estudiada mundialmentepor especialistas de diferentes ramas del saber: filsofos (Descartes,

Dewey,...); psiclogos (Newel, Simon, Hayes, Vergnaud,...); matemticos

profesionales (Hadamard, Plya, Schoenfeld,...); educadores matemticos

(Steffe, Nesther, Kilpatrick, Bell, Fishbein, Greer, ...) y muchos otros

autores relacionados con la didctica de las Matemticas ()....Es bastante

aceptado considerar que en la historia de la resolucin de problemas hay dos

grandes etapas delimitadas por la aparicin de los trabajos de G.Plya en

1945.

La resolucin de PAEV es uno de los tpicos ms tratados por la Didctica delas Matemticas. Cuenta ya con una tradicin de ms de 60 aos. Existe una

ingente cantidad de investigadores, de resultados de las investigaciones,

de marcos tericos construidos por los investigadores...Todo ello supone

una vasta cantidad de literatura al respecto. En ella se abordan, entre

muchas otras cuestiones, las siguientes de ndole eminentemente prctica:

http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.educ.ar%2Feducar%2Fjohn-dewey-actualidad-de-su-pensamiento-pedagogico.html&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNECOiK85TUrBbgnVjDf-oPlb2nIAghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fvergnaudespanhol.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGbbAMq11-2EKLGkL81i4VLPUh0_whttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fpolya_y_schoenfeld.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNEXpBJbotNfgRTm8hqMuM4acozRyghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fallan_schoenfeld.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFviQjQytnDIl-LCzoHammFZiSFzghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fkilpatrick.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHyz6G1uNjn4ikecafOAyrJHAkXiAhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_historia.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHMFf8y06A99nVY9YQyj33A_BDPXghttp://www.didactmaticprimaria.com/


6/16
http://www.didactmaticprimaria.com/http://www.didactmaticprimaria.com/http://www.didactmaticprimaria.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.blogger.com/http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2FCastro_rp_aditivos_2etapas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHIxkfR_psdNV7StYbCbfDtsKvtNghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Frp_PAVOC.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHgXRTdNWWKTYPvlK_iznOy5ftgIwhttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwYjAyNDc2NTAtY2FkOS00ZmVkLWJkNTItNzRiM2UxY2M4MTlj&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_UShttps://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0BxEzZZisIdIwNTVjOTFlZDQtMGEwNC00NTU2LTgzNTctMTY1NzhiYTRjZDAw&hl=en_US


7/16


1.-) Lo ms caracterstico de los PAEV (Problemas Aritmticos de EnunciadoVerbal) es que presentan una estructura que viene determinada por las

relaciones semnticas (significados) entre las magnitudes que intervienen en

el enunciado (sean stas explcitas o implcitas). Adems, dicha estructurapuede expresarse algebraicamente en forma de igualdad, de manera que cada

miembro se corresponda con la solucin del problema.

2.-) Lo esencial, y ms prctico, en la resolucin de un problema ser eluso eficaz de estrategias que permitan hacer explcita esa estructura, tanto

a nivel del pensamiento y la expresin-comunicacin lingstica como a nivel

algebraico. En este proceso interactan de manera integrada habilidades

cognitivas tanto lingsticas como matemticas. Por ello, la resolucin de

PAEV es un contexto muy adecuado para el desarrollo conjunto de competencias

lingsticas y matemticas (Leer, Pensar y Razonar, Hablar, Argumentar,Escuchar, Escribir, Comunicar, Construir modelos, Plantear y resolver

problemas, Representar, Utilizar un lenguaje simblico, formal y tcnico,

Utilizar herramientas de apoyo (por ejemplo, TIC))

3.-) Con mucha frecuencia constatamos en el aula las dificultades quemanifiesta el alumnado de Primaria cuando se enfrenta a la resolucin de

estos problemas. Segn mi experiencia las relacionara en el siguiente orden

(descendente en relacin con su frecuencia):

Insuficiente comprensin del enunciado del problema. Ya adelanto

que considero que un/a alumno/a comprende un problema cuando sabeexpresarlo sin utilizar nmero alguno, es decir, cuando sabe hacer

explcitas las relaciones entre las magnitudes implicadas en el mismo.

Excesiva prisa por realizar clculos numricos (tal vez porque tenganmuy asumido que eso es lo esencial en la RP, o porque saben que, con

toda seguridad, debern realizar algunos clculos) con los nmeros

que aparecen en el problema. Consecuencia directa de esta prisa es la

tendencia a usar estrategias superficiales ( casi exclusivamente de

identificacin datos, incgnita,- para resolver problemas que, con

frecuencia, les lleva a derivar los esfuerzos en lo secundario, en

una parte, impidindoles captar o representar la totalidad primaria ofundamental.

Dificultad en la organizacin de los elementos utilizados en laresolucin (textos, clculos- sobre todo cuando realizan cuentas

verticales unas al lado de otras-, grficos, etc).

Insuficiente interiorizacin de las propiedades de las operaciones,las relaciones entre ellas y sus significados (Muchas veces derivadas



8/16


de la prctica de clculos descontextualizados, y al margen de la RP,

en las que slo se manejan nmeros y no cantidades determinadas de

magnitudes).

En relacin con 1.-), voy a realizar un razonamiento lo ms general posible,para que no nos perdamos en las ramas. Imaginemos que hablamos siempre de

PAEV resueltos por un experto. Este experto representa con X la solucin

del problema (una cantidad de una determinada magnitud). Este resolutor

experto encuentra que en todo problema aritmtico verbal siempre hay, al

menos, una expresin algebraica (operaciones combinadas) que utilizando los

datos explcitos en el mismo y respetando las relaciones semnticas entre las

magnitudes implicadas, permite expresar cmo se va a resolver el problema,

y que se puede igualar a X. As, pues, la expresin algebraica no es slo

declaracin del proceso de resolucin sino que es ya una expresin de lasolucin.

El cine Pinocho tiene 45 filas con 32 asientos en cada fila. A la primera

sesin acudieron 984 espectadores. Cuntos asientos quedaron vacos?

X = (45 x 32) - 984

Esta expresin algebraica tiene una estructura primaria o esencial binmica,

es decir, est formada por 2 monomios: (45 x 32) y 984 (recurdese que en

un monomio slo puede estar presente la multiplicacin/divisin y que, en un

polinomio, los diferentes monomios se relacionan con los signos de sumar y

restar). Evidentemente, cada monomio se corresponde, semnticamente, con una

cantidad de una magnitud.

La expresin algebraica anterior se corresponde con un razonamiento enfocado

directamente hacia la resolucin del problema, clculo de X = nmero de

asientos que quedaron vacos, expresado en forma de igualdad o equivalencia,

y que tiene como origen el interrogante que aparece en el problema:

N asientos vacos? = N total asientos disponibles N asientos ocupados.

La estructura primaria o esencial, aditivo/sustractiva en este caso,

relaciona tres magnitudes: X = N asientos vacos; a = N total asientos

disponibles; b = N asientos ocupados. Mientras que a es una magnitud

implcita (no sabemos al instante la cantidad de la misma, pero se puede

calcular), la magnitud b es explcita (coincide con algn dato del problema).



9/16


X, obviamente, es una magnitud implcita (al menos en los problemas

propiamente dichos)

As, pues, en el razonamiento [N asientos vacos = N total asientosdisponibles N asientos ocupados] podramos asegurar que el resolutor

experto no se concentra en primer lugar en los nmeros del problema sino en

las relaciones semnticas entre las magnitudes presentes en el problema,

independientemente de las cantidades. Busca, desde un principio, hacer

explcita la estructura del problema. Para ello, reinterpreta de manera

subjetiva las magnitudes presentes (N asientos ocupados = n espectadores

que acudieron a la primera sesin) y distingue entre magnitudes primarias

(N asientos vacos, N asientos disponibles, N asientos ocupados) y secundarias

(N filas, N asientos en cada fila) en relacin con el proceso de resolucin

en este problema concreto. Las magnitudes secundarias estn al servicio del

clculo de la cantidad de una magnitud primaria (N filas x N asientos en

cada fila = N total asientos disponibles). Podramos decir, utilizando un smil

informtico, que una magnitud secundaria es llamada o requerida por otra

primaria en el proceso de resolucin del problema. Podramos decir, tambin,

que una magnitud es primaria cuando es requerida en primera instancia por el

pensamiento para expresar la forma en que se va a resolver el problema. La

primera magnitud que hay que considerar como primaria es aquella contenida en

la pregunta del problema, bien si aparece aislada o bien si se expresa como

relacin entre otras.

En relacin con 2.-) El resolutor experto, ms que concentrarse con igualnfasis en cada uno de los elementos de informacin de que dispone para

resolver un problema, se preocupa prioritariamente por determinar aquellos

que necesitara para resolverlo, aparezcan, o no, de forma explcita en el

enunciado.

Esto, en cierta manera, es un acto creativo y pone de manifiesto la

importancia, en la RP, de saber distinguir entre magnitudes primarias y

secundarias; anlogamente a como en una lectura, o en la realizacin del

resumen de un texto, es necesario saber distinguir entre ideas principales y

secundarias

De cara a la enseanza-aprendizaje de la RP con PAEV hay que tener en cuenta

que sta es la fase de mayor dificultad. Implica abordar estrategias de

anlisis y sntesis de la informacin contenida en el enunciado, as como de

estrategias de representacin, y expresin- comunicacin del pensamiento.



10/16


En el proceso de enseanza, no hay que escatimar tiempo para trabajar

colectivamente1 estas estrategias, dirigidas por el/la docente , que toman

como base la lectura y relectura del texto y se practican en forma de

expresiones del pensamiento, de razonamientos y argumentos. De esta manera,el alumnado dispondr de la experiencia que le permitir interiorizar - para

cuando se enfrente solo a un problema- que resolver un problema requiere

plantearse interrogantes; jugar a ser detectives, en el sentido de ver o

anticipar qu se puede averiguar con los datos del problema; saber extraer

y expresar en forma de igualdad un razonamiento bsico ms esencial o

primordial que otros...

Las estrategias de anlisis/sntesis de la informacin contenida en el

enunciado suponen - o requieren- que el alumnado se involucre productivamente

en el problema, que centre su pensamiento en la bsqueda de conexiones entre

los elementos de informacin...Slo as podr hallar la idea esencial o idea

directriz del problema.

Se trata de una fase en la que interactan habilidades que desarrollan

competencias lingsticas y matemticas (leer, pensar y razonar, hablar,

argumentar, escuchar, expresar,...)

La relacin semntica entre magnitudes viene determinada por las propiedades

de las operaciones bsicas. Teniendo en cuenta que adicin/sustraccin

conforman un mismo campo conceptual y multiplicacin/divisin conforman otro

campo conceptual, hay dos estructuras esenciales bsicas: la aditiva y la

multiplicativa:

Estructura aditiva: Si X = a + b a = X b b = X a ( adicin/

sustraccin)

N asientos vacos = N total asientos disponibles N asientos ocupados

N total asientos disponibles = N asientos vacos + N asientos ocupados

N asientos ocupados = N total asientos disponibles N asientos vacos.

Estructura multiplicativa: Si X = a b a = X : b b = X : a

(multiplicacin/ divisin)

1Vigostky, en sus conceptualizaciones en torno a lazona de desarrollo prximo, reivindica el papel delos intercambios de las subjetividades en las relaciones interpersonales como una forma de enriquecer los

desarrollos intrapsquicos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Lev_Vygotskihttp://es.wikipedia.org/wiki/Lev_Vygotski#La_zona_de_desarrollo_pr.C3.B3ximo_.28ZDP.29_y_el_andamiajehttp://es.wikipedia.org/wiki/Lev_Vygotski#La_zona_de_desarrollo_pr.C3.B3ximo_.28ZDP.29_y_el_andamiajehttp://www.didactmaticprimaria.com/


11/16


N total asientos disponibles = N filas x N asientos en cada fila = N

asientos en cada fila x N filas.

N filas = N total asientos disponibles : N asientos en cada fila.

N asientos en cada fila = N total asientos disponibles : N filas.

En relacin con la estructura aditiva, desde el inicio de la Primaria deben

abordarse adicin y sustraccin de manera relacionada, como un mismo campo

conceptual. Toda suma se puede expresar en forma de resta, y viceversa.

Adems deben tratarse de manera contextualizada, aludiendo siempre a

cantidades de magnitudes e incidiendo en las cuestiones de significado que

implican contemplar magnitudes explcitas e implcitas:

[5 sillas - 3 sillas? 2 sillas] (Representa slo dificultad cuantitativa,pero no lgica, ya que el resultado es una cantidad de una magnitud explcita)

[5 manzanas rojas + 3 manzanas verdes? 8 manzanas] (manzanas es unamagnitud implcita en la pregunta. Responder bien a esta pregunta supone un

razonamiento no slo cuantitativo (8) sino lgico (el conjunto de las manzanas

rojas y el conjunto de las manzanas verdes son subconjuntos incluidos en el

conjunto de todas las manzanas)

La estructura aditiva puede estar presente tanto en un problema de una

sola operacin como ser la estructura fundamental de un problema de varias

operaciones combinadas. Por ello conviene tener muy presente la tipificacin

semntica de los PAEV de una sola operacin con estructura aditiva.

Hay una dificultad especial tanto en la expresin oral como en el clculode diferencias ( como refleja una de las imgenes al inicio de este

documento) sobre cuya correccin hay que incidir de manera consciente.

Con bastante frecuencia el alumno piensa primero en la cantidad que debe

detraer (sustraendo) del minuendo y lo expresa, por tanto, en ese orden dando

lugar al clculo de una diferencia errnea. Es frecuente, tambin, ver que

aunque calculen la diferencia de manera errnea (sustraendo minuendo = -

diferencia) dan luego el resultado en positivo para que sea coherente, o

simplemente porque era lo que queran hacer pero no lo han expresado bien.

Dicho de una manera ms matemtica, algunos alumnos calculan la diferencia

como valor absoluto de la diferencia (|a - b| = |b - a|).

La estructura multiplicativa conlleva algunas dificultades de comprensin

derivadas de:



12/16


El lenguaje habitual utilizado para nombrar algunas cantidades de

magnitudes:

5 m/s 5 metrospor segundo, en vez de 5 metros cada segundo; Luistiene 5 aos y Olga tres veces ms que l es una expresin que puede

dar lugar a interpretaciones errneas si no se conoce la intencin

del creador del problema: podemos interpretar que la edad de Olga es

15 aos (triple que la de Luis) o que la edad de Olga es 20 aos (la

edad de Luis ms el triple de la edad de Luis). Ambas satisfacen el

enunciado.

De las relaciones propias de esta estructura. Esto ltimo voy a tratar

de exponerlo de la manera ms simple, y sin utilizar terminologas

nuevas, analizando los trminos de un reparto a partes iguales

(divisin):

[35 rosas : 8 jarrones = 4 rosas/jarrn; resto: 3 rosas.]

(Este reparto se basa en el conocimiento del nmero de partes

particin. A partir de dos magnitudes absoluta obtenemos una nueva

magnitud relativa: rosas/jarrn rosas; rosas/jarrn jarrones; )

[35 rosas : 4 rosas/jarrn = 8 jarrones; resto: 3 rosas.]

(Este reparto se basa en el conocimiento de las caracterstica de la

parte o grupoagrupamiento. A partir de una magnitud absoluta y otra

relativa obtenemos una nueva magnitud absoluta)

En una divisin se pueden intercambiar divisor y cociente sin que

los dems trminos (dividendo y resto) varen. Esto, obviamente,

es consecuencia de la conmutatividad del producto. Pero mientras

la conmutatividad del producto no representa ninguna dificultad

para los alumnos cuando se manejan nmeros, ya que no se manejan

necesariamente significados, no ocurre lo mismo cuando hay que

interpretar significados:8 jarrones x 4 rosas/jarrn = 32 rosas

4 rosas/jarrn x 8 jarrones = 32 rosas

Saber extraer y expresar en forma de igualdad el razonamiento bsico

esencial o primordial, que es la idea directriz con la que se resuelve el

problema, est directamente relacionado con el significado operacional y debe

trabajarse de manera progresiva, desde los problemas de nivel 1 ( una sola

operacin) hasta los problemas con operaciones combinadas.



13/16


Personalmente no soy partidario de volver a reescribir bajo el enunciado,

aunque sea de una manera organizada, datos, pregunta y operaciones. No

me parece suficiente reinterpretacin del texto y, sobre todo, no apunta

directamente a la solucin del problema. Es ms, suele ser un tiempo deescritura en la que se relaja el pensamiento y se aleja de la esencia

del problema. Lo que s permito y sugiero es utilizar el subrayado de

datos y pregunta. El problema es que hay alumnos/as que al subrayar

prcticamente tachan lo escrito. De cualquier manera, en vez de reescribir

sin reinterpretar, prefiero que los/as alumnos/as revisen el texto del

problema cuantas veces sea necesario...

Lo que yo propongo, tal y como se ilustra en las imgenes al inicio del

documento, es la expresin prealgebraica, sin nmeros pero con signos, de la

magnitud incgnita como resultado de una o varias operaciones entre otras

magnitudes (explcitas o implcitas en el enunciado). Para ello permito que

se utilice un lenguaje telegrfico, abreviaturas, omisin de preposiciones

y conjunciones, etc... siempre que se pueda reinterpretar por alguien que

lo lea... Evidentemente, podramos hablar de varios niveles para estas

expresiones prealgebraicas segn se utilicen para expresar la estructura

primaria o estructuras secundarias. Yo exijo, al menos, la correspondiente

a la estructura primaria del problema que expresa claramente cmo se va

a resolver el problema. Aqu intervienen habilidades relacionadas con el

desarrollo de competencias tales como escribir, comunicar, representar,

utilizar un lenguaje simblico,...

En relacin con saber extraer y expresar en forma de igualdad el razonamiento

bsico esencial o primordial, que es la idea directriz con la que se

resuelve el problema, podemos integrar en nuestra programacin las siguientes

aplicaciones TIC:

Cartulinas multiproblema_I

Cartulinas multiproblema_II

La siguiente fase en la resolucin del problema tiene que ver con la

utilizacin de un lenguaje formal y tcnico, concretamente el lenguaje

algebraico. Es la fase algebraica. Supone una traduccin de la anterior en

la que a cada magnitud presente en la expresin prealgebraica previa se le

asigna bien un valor que aparece como dato en el problema o bien la expresin

algebraica que permite calcular su valor a partir de datos explcitos en el

problema. Todo ello conservando los signos de las operaciones que relacionan

las magnitudes...El contexto de resolucin de PAEV es el ideal para dar

http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Fmanipulables%2Fproblemas%2Fcartulinas1.swf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG5cosUp97yiSI6hycP7GJU-9CbTAhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Fmanipulables%2Fproblemas%2Fcartulinas2.swf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGkuwVXy6IH-46asSUk0Shua_qqcQhttp://www.didactmaticprimaria.com/


14/16


verdadero sentido a las operaciones indicadas y comprender lo natural de la

jerarqua entre operaciones, el uso de parntesis, etc... (Ver En busca del

significado. Operaciones combinadas en Primaria. Por qu? Para qu?)

En relacin con la traduccin de magnitudes expresadas verbalmente a

expresiones algebraicas, en el contexto de resolucin de PAEV, podemos

integrar en nuestra programacin las siguientes aplicaciones TIC:

Razono y asocio.

Asocia.PAEV de nivel 2.

Completa y calcula.

Y ahora llegan los clculos! La aplicacin de este mtodo difiere la

fase de realizacin de los clculos que llevan a la solucin numrica del

problema.O puede considerarse la propia expresin algebraica como solucin?

En cierto modo s. Pinsese que se corresponde con una determinada secuenciade pulsaciones que en el teclado de una calculadora llevaran a mostrar

la solucin numrica. Pero, es ms, todos los programadores- tambin los

que desarrollamos contenidos educativos digitales basados en programacin-

utilizamos, tanto para datos como para soluciones, multitud de expresiones

algebraicas. Es el procesador matemtico de los ordenadores el que asigna los

valores numricos de las expresiones algebraicas manejadas. As, pues, la

fase de clculo - aunque nos parezca chocante- es la menos relevante en el

proceso de resolucin.

No soy para nada partidario de expresar los clculos en forma de cuentas

verticales organizadas unas al lado de otras. Por el contrario, defiendo lautilizacin de clculos horizontales preferentemente mentales.

En relacin con 3.-)

Considero que un/a alumno/a comprende un problema cuando sabeexpresarlo y comunicarlo sin utilizar nmero alguno, es decir, cuando

sabe hacer explcitas las relaciones entre las magnitudes implicadas en

el mismo. Es por ello que en el proceso de resolucin, despus de la

lectura analitico sinttica del enunciado, debe escribir la expresin

prealgebraica, sin nmeros pero con signos, de la magnitud incgnita

como resultado de una o varias operaciones entre otras magnitudes

(explcitas o implcitas en el enunciado). Ello le obliga en cierta

manera a esforzarse en la fase de comprensin.

http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.didactmaticprimaria.com%2F2012%2F03%2Fen-busca-del-significado-operaciones.html&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG7Z0p6nDiUQBjD7yxU5UbuQ42asAhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.didactmaticprimaria.com%2F2012%2F03%2Fen-busca-del-significado-operaciones.html&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG7Z0p6nDiUQBjD7yxU5UbuQ42asAhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/problemasocia.swfhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/asocia.swfhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/completacalcula.swfhttp://www.didactmaticprimaria.com/


15/16


Otros mtodos defienden el uso de heursticos diferentes tales como

dibujos, grficos. Yo tambin soy partidario de ellos cuando no bloquean

a los/as alumnos/as y facilitan el modelaje y la captacin global

del problema. Pienso, no obstante, que son ms especficos - menos

generales- que la expresin verbal del pensamiento y que no eluden esta

fase ( aunque no se verbalice).

La expresin lingstica y algebraica de la estructura del problemapermite diferir la fase de realizacin de los clculos ( hallar el

valor de una determinada expresin algebraica). Ello contribuye a

evitar numerosos fallos consecuencia de una excesiva prisa por realizar

los clculos numricos que el/la alumno/a intuye que sern necesarios

realizar. Permite, as mismo, mejorar notoriamente la organizacin

de los elementos utilizados en la resolucin, que se asemeja ms a

un esquema o mapa conceptual. La mejora de la organizacin repercutedirectamente en el orden, la claridad y facilidad para la revisin

del proceso de resolucin. Y, sobre todo, permite desde el principio

abordar el problema sin perder la visin de conjunto, del todo. El

resultado final es un todo que muestra las relaciones entre las partes.

Muchos fallos se derivan de concentrarse en una parte y perder la

visin del todo.

El mtodo exige, y hace visible, la correspondencia, uno a uno, entresignificado y la expresin algebraica del mismo. Esto favorece, a

su vez, mejorar el significado operacional, la interiorizacin de

las propiedades de las operaciones, las relaciones entre ellas y sussignificados.

Otras consideraciones:

En relacin con el abordaje de los PAEV desde las tipologas de problemas

asociados a las estructuras aditiva y multiplicativa, podemos integrar en

nuestra programacin las siguientes bateras de problemas (formato .pdf):

cambio aditivo /// combinacin aditiva /// comparacin aditiva ///

igualacin aditiva /// comparacin multiplicativa /// factor multiplicativo/// producto cartesiano /// operaciones combinadas /// fracciones ///

decimales /// decimales y porcentajes

En relacin con el abordaje de los PAEV utilizando diferentes metamodelos

(A, B y C) o modelos de RP, podemos integrar en nuestra programacin las

siguientes aplicaciones TIC:

http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2F1cambio_aditivo.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHJoNqh2fu2oroj4VD74wCGFsdu8Qhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2F1combinacion_aditivo.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNEf73jI5JSMXP2z3XfUbghtCi4yKwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2F1comparacion_aditivo.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFv9IwG1Y0I8LmqEadMnzSQAukpHwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2F1igualacion_aditivo.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNE3ESjZhP38UBUjnopLs-c4trEVkAhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2F1comparacion_multiplicativa.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGJissqeQW7YunGzdNR-5PVOdlj-whttp://www.blogger.com/http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2Fproducto%2520cartesiano.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG8UTfPOAbV7Sh4SZfiJQkH-tzwcwhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2F2combinadas.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFcTwG7oN5nPWY0xHtN9rylh04bQghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2Ffracciones_5.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHcCAaxq8JO35Q-wxxO70MD6v4koghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2F3decimales.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHSH3P5Vnb8kpYljRiMpvOX44rwVAhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2Fdecimales-porcentajes_5.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGxn5T439-_mGUbtKBpokp5tkfMWghttp://www.didactmaticprimaria.com/


16/16


Escenas 1_A Escenas 1_B Escenas 1_C

Escenas 2_A Escenas 2_B Escenas 2_C

Recomiendo de manera especial estos otros recurso impresos (formato .pdf):

Problemas Aritmticos Escolares. Metamodelos.

Problemas_competencias.

http://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/escenas1a.swfhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/escenas1b.swfhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/escenas1c.swfhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/escenas2a.swfhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/escenas2b.swfhttp://dl.dropbox.com/u/44162055/manipulables/problemas/escenas2c.swfhttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2Fmetamodelos_p_aritmeticos_3c.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNGLiVc-4bbhqnx13SX1k78fEl9TPghttp://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fdl.dropbox.com%2Fu%2F44162055%2Frp%2Fmatelebrica%2Fproblemas_competencias.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFP6S3OeMUJxYSTfZJI8bZle0Tcwghttp://www.didactmaticprimaria.com/

Documents

Desarrollo de competencias lingüísticas y matemáticas en la resolución de problemas aritméticos de enunciado verbal (PAEV)