Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Desarrollo de habilidades del
pensamiento espacial en estudiantes
de grado 4° a través del dibujo artístico
Maryury Santamaría Linares
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia
2021
Desarrollo de habilidades del
pensamiento espacial en estudiantes
de grado 4° a través del dibujo artístico
Maryury Santamaría Linares
Trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:
MAGISTER EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
Director:
José Reinaldo Montañez Puentes
Profesor Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Bogotá, Colombia
2021
Contenido III
DEDICATORIA
A Dios artífice de mis sueños,
A mi mamá por su paciencia y comprensión,
y a mis hijos por ser la motivación de cada día.
Agradecimientos
Agradezco a Dios por darme la oportunidad de seguir adelante en mi formación docente.
Agradezco a mi familia por la paciencia y apoyo brindado; a mis compañeros de universidad por
los momentos compartidos.
Un agradecimiento muy especial al profesor José Reinaldo Montañez Puentes por su valiosa
colaboración y aportes en el desarrollo del trabajo, su paciencia y constancia fueron claves para
conseguir este logro.
Resumen y abstract V
Resumen
En este trabajo se presenta una propuesta didáctica dirigida a estudiantes de grado cuarto de
educación básica primaria que permite el desarrollo de habilidades del pensamiento espacial,
utilizando como estrategia el dibujo artístico, para favorecer el aprendizaje de conceptos
geométricos. Se resalta la importancia de entrelazar las habilidades del pensamiento espacial
con el conocimiento para alcanzar las competencias matemáticas.
Palabras clave: Habilidades del pensamiento espacial, dibujo artístico, Niveles de Van
Hiele, situación didáctica, GeoGebra, CAD, polígonos, transformaciones geométricas.
Resumen y abstract VI
Abstract
This work presents a didactic proposal to students from fourth grade that lets develop skills related
to spatial thinking, using the artistic drawing as a strategy to improve learning about geometric
concepts. It emphisizes the importante to merger spacial thinking skills and knowledge to reach
mathematics competences.
Key words: Spatial thinking skills, artistic drawing, Van Hiele levels, didactic situation,
GeoGebra, CAD, polygon, geometrical transformations.
.
Lista de figuras VII
Tabla de contenido Introducción ................................................................................................................ 12
1 Historia de la geometría ..................................................................................... 18
1.1 La geometría en Babilonia ........................................................................................... 18
1.2 La geometría en Egipto ................................................................................................. 20 1.3 La geometría en Grecia ................................................................................................. 20
1.3.1 Thales de Mileto (624 a.C -546 a.C) ................................................................. 21
1.3.2 Pitágoras. (Isla de Samos 572 a.C- 497 a.C) .................................................. 23
1.3.3 Platón y la escuela ateniense (427- 347 a.C) .................................................. 25
1.3.4 Eudoxo (390 -337 a.C) ........................................................................................ 26
1.3.5 Euclides (330- 275 a.C)....................................................................................... 28
1.3.6 Arquímedes (287-212 a.C) ................................................................................. 30
1.3.7 Apolonio (Perge 262 a.C- Alejandría 190 a.C) ................................................ 34
1.4 La geometría en la India................................................................................................ 36
1.4.1 Sulvasutra .............................................................................................................. 36
1.4.2 Aryabhata (476-550, Pataliputra) ...................................................................... 38
1.4.3 Brahmagupta (590-670, Ujjain) .......................................................................... 38
1.5 Geometría proyectiva .................................................................................................... 39
2 Aspectos disciplinares ....................................................................................... 42
2.1 Acerca de los términos no definidos. ....................................................................... 42 2.2 Primeros postulados. .................................................................................................... 43
2.3 Segmento, rayo, rayos opuestos y ángulo. ............................................................. 44 2.4 Polígonos .......................................................................................................................... 47
2.4.1 Definición ............................................................................................................... 47
2.4.2 Construcción de un polígono regular ................................................................ 50
2.4.3 Triángulos .............................................................................................................. 51
2.4.4 Cuadriláteros ......................................................................................................... 54
2.5 Transformaciones geométricas en el plano ............................................................ 56
2.6 Sistema de coordenadas cartesianas ....................................................................... 62
3 Aspectos didácticos ........................................................................................... 64
3.1 Lineamientos Curriculares ........................................................................................... 64
3.2 Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas ...................................... 68 3.3 Derechos Básicos de Aprendizaje ............................................................................. 69
3.4 Los Niveles de Van Hiele .............................................................................................. 70 3.5 Habilidades del Pensamiento Espacial. ................................................................... 73
3.6 El dibujo artístico............................................................................................................ 75 3.6.1 Historia del dibujo artístico .................................................................................. 75
Lista de figuras VIII
3.6.2 Procesos del dibujo artístico............................................................................... 77
3.6.3 Elementos del dibujo artístico ............................................................................ 78
3.7 La tecnología en el aula ................................................................................................ 79
3.8 Una propuesta didáctica para el desarrollo de las habilidades del pensamiento espacial para estudiantes de grado cuarto haciendo uso del dibujo artístico ................................................................................................................ 80
3.9 Propuesta de Actividades ............................................................................................ 83 161
4 Conclusiones y recomendaciones .................................................................. 163
4.1 Conclusiones ................................................................................................................. 163 4.2 Recomendaciones ........................................................................................................ 164
Contenido IX
Lista de figuras
Figura 1.1 Tablilla YBC 7289. _________________________________________________________________ 19 Figura 1.2 Ángulo inscrito en una circunferencia. ________________________________________________ 22 Figura 1.3 Números triangulares. _____________________________________________________________ 23 Figura 1.4 Números cuadrados. _______________________________________________________________ 23 Figura 1.5 Solidos platónicos. _________________________________________________________________ 25 Figura 1.6 Proposición realizada por Eudoxo. ___________________________________________________ 26 Figura 1.7 Inscripción de polígonos en una circunferencia. _______________________________________ 27 Figura 1.8 Segmentos conmensurables. _______________________________________________________ 28 Figura 1.9 Postulado de las paralelas. _________________________________________________________ 30 Figura 1.10 Espiral de Arquímedes. ___________________________________________________________ 31 Figura 1.11 Trisección del ángulo. _____________________________________________________________ 32 Figura 1.12 Equivalencia del área de un cilindro circular recto y un rectángulo. _____________________ 33 Figura 1.13 Esfera con uno de sus círculos máximos. ___________________________________________ 33 Figura 1.14 Secciones cónicas. _______________________________________________________________ 34 Figura 1.15 Secciones determinadas __________________________________________________________ 35 Figura 1.16 Secciones en una razón dada. _____________________________________________________ 35 Figura 1.17 Rectángulos y sus diagonales. ____________________________________________________ 37 Figura 1.18 División de un triángulo en triángulos congruentes. ___________________________________ 37 Figura 1.19 Leonardo Da Vinci. _______________________________________________________________ 39 Figura 1.20 Dibujo realizado por Marco Vitrubio Polion___________________________________________ 40 Figura 1.21 Teorema de Desargues. ___________________________________________________________ 40 Figura 2.1 Representación gráfica de un rayo. __________________________________________________ 44 Figura 2.2 Representación gráfica de dos rayos geométricos opuestos. ___________________________ 44 Figura 2.3 Ángulo. __________________________________________________________________________ 45 Figura 2.4 Ángulo central. ____________________________________________________________________ 45 Figura 2.5 Rectas perpendiculares. ____________________________________________________________ 46 Figura 2.6 Rectas paralelas. __________________________________________________________________ 46 Figura 2.7 Ángulos opuestos por el vértice. _____________________________________________________ 47 Figura 2.8 Polígono. _________________________________________________________________________ 47 Figura 2.9 Elementos de un polígono. _________________________________________________________ 48 Figura 2.10 Polígono regular. _________________________________________________________________ 49 Figura 2.11 División de un polígono en triángulos. _______________________________________________ 49 Figura 2.12 Ángulos interiores de un polígono regular de 9 lados. _________________________________ 50 Figura 2.13 Polígono inscrito en una circunferencia. _____________________________________________ 51 Figura 2.14 Triángulo. _______________________________________________________________________ 51 Figura 2.15 Alturas de un triángulo. ____________________________________________________________ 51 Figura 2.16 Clasificación de triángulos según la medida de sus lados. _____________________________ 52 Figura 2.17 Clasificación de triángulos según sus ángulos. _______________________________________ 53 Figura 2.18 Congruencia de triángulos _________________________________________________________ 53 Figura 2.19 Cuadrilátero. _____________________________________________________________________ 55 Figura 2.20 Trapecio. ________________________________________________________________________ 55 Figura 2.21 Cuadrado, rectángulo y paralelogramo. _____________________________________________ 55 Figura 2.22 isometrías en un plano. ___________________________________________________________ 57 Figura 2.23 Paralelogramo PP´QQ´ ____________________________________________________________ 58 Figura 2.24 Rotación del punto P. _____________________________________________________________ 59 Figura 2.25 Rotación. ________________________________________________________________________ 59 Figura 2.26 Hombre de Vitrubio. ______________________________________________________________ 59
Lista de figuras X
Figura 2.27 Simetría central con respecto al punto P. ____________________________________________ 60 Figura 2.28 Simetría central. __________________________________________________________________ 60 Figura 2.29 Simetría Axial. ___________________________________________________________________ 61 Figura 2.30 Composición de isometrías. _______________________________________________________ 62 Figura 2.31 Plano Cartesiano. ________________________________________________________________ 63 Figura 3.1 Techo de la cueva de Altamira ______________________________________________________ 76 Figura 3.2 Representación de un punto ________________________________________________________ 78 Figura 3.3 Líneas trazadas ___________________________________________________________________ 78
Lista de tablas XI
Lista de tablas
Tabla 1.1 Representantes de la geometría proyectiva y sus aportes. .............................................................. 41 Tabla 2.1 Medida de un ángulo interior según el número de lados de un polígono regular. ........................ 50 Tabla 3.1 Estándares Básicos de Competencias del pensamiento espacial para grado 4° y 5°. ............... 69 Tabla 3.2: Derechos básicos de aprendizaje para grado cuarto. ...................................................................... 70
12 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Introducción
▪ Hacia la construcción de la propuesta didáctica
El conocimiento matemático es el producto del trabajo intelectual de muchas personas. Al revisar
la historia de la matemática se observa que desde siempre el hombre ha sido curioso, ha
cuestionado lo que observa y ante la presencia de dificultades ha utilizado su razonamiento para
resolver muchas situaciones de su vida diaria. Se sabe por ejemplo que los egipcios tenían que
recalcular los linderos de sus tierras cada año por la inundación del rio Nilo e ingeniaron métodos
para el cálculo de áreas, este episodio muestra como la civilización comienza a construir
conceptos geométricos, otro episodio interesante es registrado por Lord Kelvin (1893) el de la
Reina Dido de Cartago(470 a.C), en la que el rey Jarbas le promete la tierra que pudiera rodear
con una piel de toro, ella corta la piel de toro en tiras delgadas, las cose y ata sus extremos
rodeando el terreno más extenso posible, aquí nuevamente el ingenio matemático hace gala al
resolver esta situación de manera favorable para intereses propios.
El hombre ha usado la geometría para modelar el mundo, cada cosa, objeto elemento que hay
en el entorno tiene una connotación geométrica, una de las características importantes en la
construcción del saber matemático es la observación, esto ha llevado al hombre a establecer
patrones y relaciones entre los elementos de estudio. Los conceptos geométricos que
conocemos hoy en día han pasado a lo largo de la historia por una evolución de ideas
comenzando en la prehistoria, cada civilización ha hecho aportes para su consolidación, cada
matemático ha partido desde un conocimiento previo, los más inquietos planteando nuevas
preguntas de investigación; por ejemplo en la tablillas babilónicas y en los papiros se han
encontrado figuras semejantes con dimensiones proporcionales y algunos historiadores afirman
que Thales uso este hecho para hallar la altura de la pirámide de Keops, como se sabe Thales
viajo a Egipto porque quería indagar sobre nuevos saberes matemáticos.(Kline,1972).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
13
Pero la evolución de los conceptos matemáticos en general ha sido influenciada también por
aspectos propios de la época, un hecho a resaltar es el nacimiento de la geometría proyectiva
motivada por artistas que plasmaron es sus cuadros figuras con espacio y profundidad, algunos
de ellos también se desempeñaban como matemáticos, un momento decisivo que llamo la
atención de la comunidad matemática para dar inicio a otra forma de ver la geometría, ya no
una geometría estrictamente plana sino una geometría tridimensional (Kline,1997,p. 237).
De esta manera la matemática no se puede aislar de la cultura y de los procesos sociales, está
inmersa en todas las dimensiones del hombre, y precisamente el Ministerio de Educación
Nacional hacia 1994, realiza una reflexión de la forma como se venía impartiendo la educación
en Colombia y analiza el proceso histórico, concepciones filosóficas aspectos didácticos de las
matemáticas concluyendo en el documento de Lineamientos curriculares de la Matemáticas
que en la escuela se deben tener en cuenta las condiciones culturales, sociales e individuales
para promover la construcción de conocimientos.
Esta nueva concepción de la matemáticas abre las puertas para que los docentes reflexionen
sobre su labor en el aula e incluyan dentro de su práctica pedagógica todas las herramientas
necesarias para que el conocimiento se construya, en este caso la enseñanza de la geometría
no se debe tomar a la ligera dando a conocer solamente conceptos ya elaborados, si no que a
semejanza de la historia, el aula debe ser una comunidad científica que permita experimentar,
observar, validar y comunicar los nuevos saberes, es importante resaltar que el conocimiento
matemático a nivel curricular se ha clasificado en pensamientos y son los siguientes:
pensamiento numérico, variacional, métrico, aleatorio y espacial; el Ministerio de Educación
Nacional ha definido el pensamiento Espacial como un: “Conjunto de procesos cognitivos
mediante los cuales se construye y se manipulan las representaciones mentales de los objetos
espacio y las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones a
representaciones materiales”.
Según Howard Gardner quien hablo de la teoría de las inteligencias múltiples, considera que las
personas que tienen desarrollado en un alto grado su pensamiento espacial, resuelven con
mayor facilidad problemas de ubicación, orientación y distribución de espacios y lo considera
14 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
propio de aquellas que personas que se desempeñan en profesiones como la ingeniería,
arquitectura, arte, etc. Las habilidades del pensamiento espacial están en primera instancia
relacionadas con la percepción de figuras u objetos como un todo, así mismo la capacidad de
observar este objeto desde otro punto de vista o al girarlo; el desarrollo del pensamiento espacial,
acompañado de la interpretación y comprensión del mundo físico permite desarrollar el
pensamiento matemático y mejora estructuras conceptuales y destrezas numéricas, por esta
razón es importante trabajar en la escuela no solo en la construcción de conceptos matemáticos,
sino en el desarrollo de habilidades que promuevan a su vez la comprensión de estos. (Araya,
2014).
La Real Academia de la lengua define habilidad como: “la capacidad que tiene alguien para
desempeñar de manera correcta una actividad o tarea”. Todas las habilidades necesitan ser
ejercitadas para dar mayor fruto, en el caso de las habilidades del pensamiento espacial sucede
de igual manera, el entrenamiento es importante, pero no es un entrenamiento solo mecánico
sino que debe llevar a la comprensión, es importante recordar lo que dice Howard Gardner(1999)
en la teoría de las inteligencias múltiples, las habilidades se presenta en diferente grado de
desarrollo en los individuos; en mi experiencia docente lo he evidenciado cuando algunos niños
comprenden una temática mucho más rápido que otros, pero esto no quiere decir que las
personas que no posean una habilidad no la puedan desarrollar, muchos niños están dotados de
muchas habilidades pero no lo saben, entonces el papel del docente además de propiciar un
ambiente donde se estimule el desarrollo de habilidades, exige también descubrir y potenciar.
El Ministerio de Educación Nacional en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas reconoce
la importancia de trabajar el pensamiento espacial, y menciona que hace parte del pensamiento
científico. Cuando un individuo tiene una mejor visualización y comprensión de su entorno, posee
mayor capacidad de analizar y dar solución a problemas que involucren situaciones espaciales,
numéricas, etc. Partiendo de esta afirmación, la tarea del docente es diseñar estrategias de
enseñanza teniendo en cuenta las características socioculturales y cognitivas del estudiante,
utilizando recursos adecuados para lograr el desarrollo de habilidades del pensamiento espacial.
Según estudios realizados por Piaget(1988) los niños a la edad de los cinco años tienen nociones
intuitivas del espacio, es por eso que en el grado preescolar se trabaja nociones de arriba-abajo,
izquierda-derecha y adentro-afuera, pero a medida que el niño avanza en su crecimiento, estas
nociones se dejan de trabajar, en la edad escolar se hace énfasis en la geometría plana, dejando
atrás las nociones intuitivas relacionadas con el espacio; lo que he percibido en mi experiencia
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
15
docente es que los temas relacionadas con geometría, casi siempre se dejan para el último
periodo escolar, realizando a lo largo del año mayor trabajo en el pensamiento numérico.
Por esta razón es importante trabajar a lo largo del año escolar, el pensamiento espacial. En los
Lineamientos Curriculares se señala la importancia de la representación bidimensional y
tridimensional de objetos físicos, igualmente en los Estándares Básicos de Competencias se
hace referencia a la adquisición de competencias relacionadas con la comparación y clasificación
de objetos tridimensionales y bidimensionales y en los Derechos Básicos de Aprendizaje, se
menciona que el niño debe describir, representar figuras bidimensionales y tridimensionales e
identificar los movimientos en el plano.
El presente trabajo se centra en diseñar una propuesta dirigida a los niños de grado 4° de la IED
Hernán Venegas Carrillo del municipio de Tocaima para que desarrollen habilidades del
pensamiento espacial. Tales habilidades son la visualización espacial, la orientación y las
relaciones espaciales que tienen que ver con los elementos invariantes al mover un objeto. El
desarrollo de estas habilidades facilita en el niño la comprensión de los conceptos geométricos
en los niveles básicos al desarrollar en los niños la capacidad de observar, explorar y manipular
objetos del espacio.
Ahora bien, con esta idea en mente se propone el uso del dibujo artístico por estar muy
relacionado con la geometría. El dibujo es algo inherente a la persona, los niños gustan de
dibujar, utilizan elementos geométricos, la observación y la memoria visual.
• El dibujo artístico y las habilidades del pensamiento espacial.
Al ser la matemática una ciencia que tiene demasiadas aplicaciones en muchas situaciones
cotidianas, es importante identificar e integrar asignaturas que se pueden trabajar juntas sin
quitarle la esencia una a la otra, el dibujo artístico es una forma de expresión de hechos y
sentimientos, por medio de él se representan objetos tangibles o imágenes usando figuras;
siempre desde niños hemos dibujado, pero el dibujo además de ser un pasatiempo puede
convertirse en una estrategia para agudizar el sentido de la observación, se necesita recuperar
en los niños el observar, no el mirar. Un buen dibujante realiza la representación de espacios y
objetos reales, a través de colores, trazos, texturas y formas; la observación, memorización de
16 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
todos los detalles de un objeto o paisaje, así como también dibujarlo desde diferentes puntos de
vista son habilidades que le ayudan a obtener una obra de mayor valoración. Giorgio Vasari
historiador de la pintura del renacimiento realiza un comentario acerca de cómo Leonardo Da
Vinci adquirió sus habilidades de memorización “Leonardo al observar una cabeza o barba
extraña seguía a la persona hasta memorizar todos los detalles”. (Lives of the Artists,1957,
p.148).
Así como los artistas recurren a diferentes formas de ejercitarse para adquirir las habilidades
antes mencionadas, igualmente es necesario buscar elementos comunes en otras diciplinas
como el dibujo artístico que permitan a los estudiantes desarrollar sus habilidades del
pensamiento espacial.
El dibujo al igual que la matemática ha tenido representaciones desde la antigüedad, el hombre
prehistórico realizaba dibujos en las paredes de las cavernas de animales y de situaciones que
observaba, los egipcios un poco más refinados dibujaban a sus dioses y escenas de situaciones
algunas veces imaginarias.
El dibujo artístico tiene elementos comunes con la geometría: por ejemplo el punto y la línea, que
no se definen en geometría y son de carácter intuitivo, en el dibujo se definen a través de su
representación. En el dibujo es muy importante la observación, además de la memoria y el
sentido de ubicación espacial, cuando por ejemplo se realiza un boceto de algún objeto se
requiere primero identificar una forma general que es representada por medio de líneas y puntos,
la posición del objeto depende del punto de observación estos elementos están relacionados con
las habilidades de pensamiento espacial.
El dibujo artístico hace parte del currículo escolar y en la actualidad se enseña de manera aislada,
al igual que la geometría, pero la historia revela momentos donde estas dos disciplinas se han
encontrado y complementando. Teniendo en cuenta todos los puntos en común que tienen la
geometría y el dibujo artístico como la representación de objetos de la naturaleza o imágenes a
través de figuras, se propone este último como un recurso metodológico para el desarrollo de
habilidades del pensamiento espacial, además de incluir en la propuesta el uso de softwares
geométricos y de diseño como el GeoGebra y el CAD que complementen la enseñanza, ya que
el uso de herramientas tecnológicas puede ayudar a observar procesos no tan evidentes,
relacionados con la variación, por ejemplo si se construye un triángulo en GeoGebra, se puede
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
17
observar que pasa con el área de la figura al mover sus vértices, permitiendo que el estudiante
reflexione, establezca conjeturas e infiera posibles soluciones.
Sobre el desarrollo del trabajo
Para el desarrollo del trabajo se consideraron los aspectos históricos, disciplinares y didácticos
relacionados con la temática a desarrollar; en el primer capítulo concerniente a la historia se
destacan los representantes de cada escuela matemática con sus respectivos aportes; en el
segundo se tratan los aspectos disciplinares de los contenidos geométricos a trabajar; el tercero
contiene los aspectos didácticos y se relacionan los documentos curriculares del Ministerio de
Educación Nacional: Lineamientos, Estándares Básicos de Competencia y Derechos Básicos
de Aprendizaje, así como también una breve reseña de los niveles de Van Hiele, las habilidades
del pensamiento espacial, elementos del dibujo artístico y una corta historia del dibujo artístico,
el uso de la tecnología en el aula, también se presenta la propuesta didáctica para el desarrollo
de las habilidades del pensamiento espacial dirigida a estudiantes de grado cuarto de educación
básica haciendo uso del dibujo artístico. En el cuarto capítulo se presentan las conclusiones y
recomendaciones derivadas del estudio de esta propuesta. Finalmente, se relacionan las
referencias, que consideramos pertinentes, para el desarrollo del trabajo
18 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
1 Historia de la geometría
En matemáticas se emplea el razonamiento simbólico y el visual, el primero tuvo origen en la
notación numeral y a partir de él se desarrolló el algebra representando por medio de símbolos
los números abstractos. En la edad media el uso de los símbolos fue más frecuente, y de
manera simultánea se emplean diagramas lo que permite el desarrollo del razonamiento visual
considerado por algunos matemáticos algo informal carente de rigurosidad, ya que una imagen
se puede interpretar de diferentes maneras a diferencia de una expresión en la que sí se puede
generalizar una situación, si por ejemplo dibujamos un cuadrilátero, un cuadrado no representa
todas las características de un cuadrilátero (trapecio, trapezoide, rombo, etc.) .
Sin embargo, las imágenes son muy importante en la historia de las matemáticas, tanto así que
después del concepto del número se ha incluido el concepto de la forma.
1.1 La geometría en Babilonia
La cultura Babilónica, se estableció en la llanura de Mesopotamia rodeada por los ríos Tigris y
Éufrates, considerada por los historiadores, el pueblo más antiguo.
La escritura usada por los babilónicos consistía en símbolos cuneiformes (en forma de cuña),
escribían en tablillas temas matemáticos. En la tablilla llamada YBC 7289 se realiza una
aproximación a √2 , se observa un cuadrado y dos diagonales, los lados del cuadrado están
marcados con numerales cuneiformes (Boyer,1989, p. 39).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
19
Figura 1.1 Tablilla YBC 7289.
Imagen tomada de: https://dguinstation.files.wordpress.com/2012/05/image.png?w=640
Usaron la geometría para resolver problemas prácticos: calcular el área de terrenos, volúmenes
de edificios y graneros; construcción de canales de riego etc., es así como se empieza a deducir
el área de figuras planas usando reglas y fórmulas, sin embargo, los dibujos encontrados no son
muy claros y no se distingue si los trazos corresponden a triángulos rectángulos o cuadrilíteros.
(Boyer, 1989)
Para medir el volumen usaron como unidad un ladrillo que tenía por base la unidad que utilizaban
para medir superficies y por altura la unidad que empleaban para medir alturas, procedimiento
que dificultaba el cálculo.
Los babilonios tenían conocimiento sobre relaciones de proporcionalidad en lados
correspondientes de triángulos semejantes y de la relación pitagórica.
El invento de la rueda hacia el año 3600 a.C dirige el interés de los babilonios hacia las
propiedades de la circunferencia, estudiando así la relación entre el diámetro y el radio,
calculaban el área de un círculo usando la expresión 𝐴 = 𝑐2/12, siendo 𝑐 la longitud de la
circunferencia (Kline, 1972).
Los babilonios tenían conocimientos de astronomía, dividieron la circunferencia en 360 partes
iguales en relación con los 360 días del año, conocían sobre el período de algunos planetas y
utilizaban los eclipses como base de ese cálculo, sin embargo, no hubo ningún esquema
geométrico del movimiento lunar. Las matemáticas usadas por los babilonios eran totalmente
prácticas, resolvieron problemas algebraicos y geométricos de alto grado de dificultad, usaban
20 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
signos y términos especiales en la escritura de expresiones, en algunos casos describían los
pasos a seguir para resolver un problema prescindiendo de los símbolos, se habla de que usaron
el ensayo y error para obtener la solución de problemas.
1.2 La geometría en Egipto
La geometría de los egipcios fue utilizada para resolver problemas prácticos. Por las
inundaciones del río Nilo que ocurría anualmente las construcciones se afectaban por esta razón
tenían que nuevamente tomar medidas para realizar las construcciones.
Se habla de los anudadores cuyo oficio era realizar mediciones de terrenos con cuerdas,
realizando nudos a una misma distancia, de esta manera descubrieron algunas relaciones entre
los triángulos.
Entre las fórmulas que tenían para medir áreas, están las de superficie del cuadrado a partir del
triángulo, rectángulo y trapecio y rombo.
El papiro Rhind también llamado papiro Ahmes, es un soporte escrito que contiene problemas
matemáticos, mide aproximadamente 6 metros de largo y 33 centímetros de ancho, se elaboró
a partir de la pulpa de una planta acuática (Cyperus papyrus) muy común en el rio Nilo. Su
contenido data de 2000 a.n.e al 1800 a.n.e; escrito por Ahnes aproximadamente hacia 1650 a.n.e
a partir de escritos de doscientos años de antigüedad según lo afirma Ahnes al inicio del texto.
Fue encontrado en el siglo XIX en las ruinas de una edificación de Luxon adquiriéndolo Henry
Rhind en 1858, actualmente se encuentra exhibido en el Museo Británico de Londres.
En este documento se encuentra que los egipcios conocían tres cuerpos geométricos. El cilindro,
el tronco de la pirámide y la pirámide, el cálculo de volúmenes era utilizado para encontrar el
número de ladrillos necesarios para una construcción.
1.3 La geometría en Grecia
Los griegos obtuvieron sus conocimientos geométricos de los egipcios y convirtieron la geometría
en una ciencia deductiva, obteniendo explicaciones racionales y generalidades
Se reconoce a Thales de Mileto como uno de los siete sabios griegos el cual funda la Escuela
Jónica cuna de filósofos y sabios. Otros matemáticos griegos que se destacan son: Pitágoras y
la escuela de los pitagóricos, Platón, Eudoxo, Euclides, Arquímedes y Apolonio.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
21
1.3.1 Thales de Mileto (624 a.C -546 a.C)
Considerado por algunos historiadores como el primer matemático que demostró teoremas, su
interés por la ciencia se originó por los continuos viajes realizados a Egipto, adquiriendo
conocimientos matemáticos de egipcios y babilonios.
Se sabe que Thales calculó la altura de la Gran Pirámide de Gizeh, teniendo en cuenta la longitud
de la sombra que proyectaba. Como suele pasar con un hecho tan importante en las matemáticas
han surgido varias versiones que se han sintetizado en tres que a continuación se enuncian:
▪ La más antigua de todas relatada por Jerónimo discípulo de Aristóteles, Jerónimo dice:
Thales midió la altura de la pirámide observando la longitud de la sombra en el instante en
que su sombra era igual a su altura”.
▪ Plinio en su Historia Natural comenta algo similar “Thales calcula la altura de las pirámides y
objetos similares, midiendo la sombra del objeto cuando esta tiene la misma longitud del
objeto.
▪ El relato de Plutarco añade otro personaje, Amasis emperador de Egipto que gobernó
entre el 569 y 525 a.C , quien le solicita a Thales de Mileto calcular la altura de la pirámide,
él queda asombrado al observar cómo Thales sin ningún instrumento más que su bastón
soluciona su petición de esta manera: coloca su bastón verticalmente en el extremo de la
sombra proyectada por la pirámide observa los dos triángulos formados por los rayos del
sol, y deduce que la altura de la pirámide y la altura del bastón están en la misma proporción
que la altura de sus sombras.
Teniendo en cuenta el ultimo relato, Thales habría establecido una relación entre los lados
correspondientes de dos triángulos semejantes, como se dijo anteriormente Thales estuvo en
contacto con la cultura egipcia y babilónica y en las tablillas y papiros se han encontrado figuras
semejantes de dimensiones proporcionales, es decir Thales usó este conocimiento para hallar la
altura de la pirámide.
22 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Estas culturas se caracterizaban por realizar cálculos prácticos para sus construcciones, fueron
los griegos los que comenzaron a realizar deducciones de estos procedimientos mecánicos.
A Thales de Mileto se le atribuyen cinco teoremas que se enuncian a continuación:
▪ Cualquier diámetro divide a una circunferencia en partes iguales: Este teorema se encuentra
en un comentario de Proclo, para que Thales llegara a esta conclusión al parecer tuvo que
haber dibujado varios círculos, trazar 2, 4, y 6 diámetros de manera conveniente y observar
que se obtenían sectores circulares iguales.
▪ Los ángulos opuestos a los lados de un triángulo isósceles son iguales: Algunos historiadores
afirman que Thales no utilizó la palabra “igual” si no “semejante” ya que no concebía la
amplitud de un ángulo como una magnitud si no como una figura geométrica. Este teorema
se encuentra como la proposición V del libro I de los Elementos de Euclides.
▪ Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes: Aunque este teorema se le atribuye a
Thales se sabe que no realizó su demostración, es de anotar que Euclides lo expone en la
Proposición XV del libro I de los Elementos.
▪ Si dos triángulos tienen un lado y los dos ángulos adyacentes respectivamente congruentes
entonces los triángulos son congruentes, este teorema y su demostración se encuentran en
la Proposición XXVI del libro I de Euclides.
▪ Un ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.
Figura 1.2 Ángulo inscrito en una circunferencia.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
23
1.3.2 Pitágoras. (Isla de Samos 572 a.C- 497 a.C)
Fue discípulo de Thales de Mileto fundó un culto de carácter místico, sus seguidores conocidos
como pitagóricos, reconocían los objetos matemáticos, números y figuras geométricas como
abstracciones de la mente y distintas a los objetos físicos. La filosofía de la escuela Pitagórica
tuvo gran influencia en Aristóteles, Platón y en el desarrollo de la matemática griega.
Se dice que Pitágoras adquirió sus múltiples conocimientos al acompañar a su padre
Mnesarchus, a sus viajes ya que este era comerciante. Pitágoras visitó Arabia, Egipto, Babilonia
e India. Es difícil identificar si los aportes matemáticos vinieron directamente de él o de su escuela
pitagórica.
• Los pitagóricos:
Los pitagóricos representaban los números usando piedras y los clasifican según las formas
obtenidas por la distribución, en números triangulares, aquellos que se pueden recomponer en
forma de un triángulo equilátero y los números cuadrados que son el resultado de disponer en
forma de cuadrado un número por sí mismo.
Figura 1.3 Números triangulares.
Figura 1.4 Números cuadrados.
24 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Los pitagóricos se inquietaron por buscar ternas de números enteros que pudieran ser lados de
un triángulo rectángulo. Para ellos cualquier cantidad se podía expresar utilizando fracciones y
las usaban en el comercio para representar partes de una unidad monetaria. Descubrieron que
la razón entre la diagonal de un cuadrado y su lado no era un número racional; así mismo en la
construcción de las ternas pitagóricas aparecieron números con características muy diferentes a
los números racionales. Llamaron a las razones que se podían representar como cocientes de
números enteros, conmensurables y a las que no, inconmensurables, estas últimas se le
atribuyen a Hipaso de Metaponto (siglo V a,C).
La demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado fue planteada por los
Pitagóricos por el método de reducción al absurdo, ellos consideraron que si la diagonal de un
cuadrado fuera conmensurable con el cateto esta a su vez tenía que ser un número par e impar
y se encuentra en la proposición 117 del libro X de los Elementos de Euclides. El descubrimiento
de los inconmensurables trajo consigo conflictos entre lo continuo y lo discreto, los números
enteros representaban objetos discretos, las razones entre longitudes con un múltiplo en común
se denominaron magnitudes conmensurables.
Otro de los aportes más reconocidos es el Teorema de Pitágoras que dice: “La suma de los
cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa”, en la
proposición 47 del libro I de Los Elementos de Euclides se encuentra una demostración sin
recurrir al uso de figuras semejantes, los historiadores consideran que fue realizado por Euclides.
(Kline,1972).
Cabe anotar que los griegos conocían el Teorema de Pitágoras de la siguiente forma: “si el
triángulo tiene un ángulo recto, entonces el área del cuadrado más grande, A, es la misma que
la de otros dos, B y C juntos.” (Stewart, 2008).
También trabajaron problemas de área que consistían en construir una figura de la misma área
a partir de un segmento dado en una figura inicial. Indudablemente el aporte más significativo de
la escuela Pitagórica es el establecimiento de las demostraciones para cada resultado
matemático y se les atribuye a los pitagóricos tardíos.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
25
1.3.3 Platón y la escuela ateniense (427- 347 a.C)
Platón y su escuela trabajaron sobre la geometría del espacio, estudiaron las propiedades del
cono, prisma, cilindro, pirámide y establecieron que solo puede haber cinco poliedros regulares:
cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro, denominados solidos platónicos. Esta
denominación se debe a que la escuela platónica atribuyo una correspondencia mística entre el
tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro, con los cuatro elementos naturales: tierra, fuego,
aire y agua; en cuanto al dodecaedro, lo consideraron como la forma que envuelve la totalidad
del universo (Castillo, 1993).
Figura 1.5 Solidos platónicos.
Tomada de: https://tse2.mm.bing.net/th?id=OIP.s8ZrfMy48kGB7SlfjU3mgHaDT&pid=Api
Es muy famosa su obra “Los diálogos platónicos”, llamada así por ser un conjunto de textos de
carácter pedagógico donde se utilizan preguntas que llevan al estudiante a descubrir la verdad a
través de la argumentación. En uno de sus diálogos Theatetus escrito en memoria de su amigo
quien muere en una batalla en el 369 a.C, trata el tema de las magnitudes inconmensurables,
haciendo eco al descubrimiento de la irracionalidad de √2 .
El dialogo transcurre años antes y en el aparece otro de sus grandes amigos Theodorus, de
quien Theatetus fue discípulo; Platón dice que el profesor Theodorus de Cirene fue el primero en
probar la irracionalidad de las raíces no cuadradas de números enteros del 3 a 17, pero no se
sabe cómo la realizo. Su trabajo fue incorporado en el libro X de Los Elementos de Euclides
(Boyer,1989, p. 85).
Otro de los aportes importantes fue el de las secciones cónicas realizado por Menecmo miembro
de la academia de Platón. Menecmo introdujo las secciones cónicas utilizando tres tipos de cono,
26 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
con ángulos en el vértice recto, agudo y obtuso cortando cada uno de ellos con plano
perpendicular a una generatriz.
1.3.4 Eudoxo (390 -337 a.C)
Eudoxo considera a los irracionales, superficies, ángulos y volúmenes como magnitudes
continuas. Define la razón entre dos magnitudes y utiliza el concepto de proporciones para
comparar razones de magnitudes, estos dos conceptos razón y proporción se convierten en
herramientas muy útiles en geometría. Su aporte fue muy valioso y en libro V de los Elementos
se encuentra una definición que se le atribuye “Dos magnitudes tienen razón entre sí, cuando
una puede ser multiplicada en modo de superar la otra”. (Definición 4, libro V).
Casi cien años después Arquímedes de Siracusa hace uso de esta definición y la enuncia de
esta manera. “Dados dos números positivos 𝑎 𝑦 𝑏 existen números naturales 𝑚𝑦 𝑛 tales que:
𝑛𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑚𝑏 > 𝑎
Relacionado con lo anterior en el libro X se encuentra la proposición 1 que dice: “Dadas dos
magnitudes distintas si de la mayor se sustrae una magnitud mayor que su mitad, del resto se
sustrae una magnitud mayor que su mitad, y si este proceso se repite continuamente quedara
una magnitud más pequeña que la menor de las magnitudes dadas inicialmente”. (Proposición
1, Libro X).
A continuación, se muestra un ejemplo de este hecho:
Figura 1.6 Proposición realizada por Eudoxo.
Dados los segmentos 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅𝑦 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅ , y 𝑂 punto medio de 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ por definición de punto medio se
tiene:
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
27
𝐴𝑂 ≅ 𝑂𝐵 , ahora se divide 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝑃 >𝐴𝑂, se repite el procedimiento con 𝑃𝐵, siendo 𝑇
punto medio de 𝑃𝐵, se cumple: 𝑃𝑇 ≅ 𝑇𝐵 y 𝑃𝑈 > 𝑃𝑇,
nuevamente se tiene, donde 𝑍 punto medio de 𝑈𝐵 se cumple; 𝑈𝑍 ≅ 𝑍𝐵 y 𝑈𝑋 >𝑈𝑍, repitiendo
este proceso indefinidamente se obtendrá un segmento W tal que W < 𝑁𝑀̅̅ ̅̅ ̅.
Este hecho se asocia con la propiedad Arquimediana de los números Reales:
“Si 𝑥 > 0 𝑒 𝑦 es un número real arbitrario, existe un entero positivo 𝑛 tal que 𝑛𝑥 >
𝑦". (Apóstol,1976, p 32).
Esto quiere decir que por más pequeño que sea 𝑥 si se considera la sucesión 𝑛𝑥, 𝑛1𝑥, 𝑛2𝑥 … ,
llegará un momento que se sobrepasará a 𝑦 .
La proposición 1 tiene dos aplicaciones en la geometría, la primera hace referencia a hallar el
perímetro de una circunferencia de radio unitario inscribiendo y circunscribiendo polígonos y
aumentando cada vez el número de lados.
Figura 1.7 Inscripción de polígonos en una circunferencia.
Antifón (430 a.C) lo usó para calcular el área del círculo, inscribiendo triángulos cada vez más
pequeños en el hasta completar su área.
Para la segunda aplicación se usará la siguiente definición: Dos segmentos de recta son
conmensurables si existe una unidad (tercer segmento) que quepa un número n entero de veces
en el primer segmento y un número entero m de veces en el segundo.
28 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Figura 1.8 Segmentos conmensurables.
En la figura se observa que el segmento 𝐴 cabe exactamente tres veces en el segmento 𝐵 y dos
veces en el segmento 𝐶, de lo cual se concluye que los segmentos son conmensurables.
Por otra parte, se habla de segmentos inconmensurables, cuando el segmento usado como
unidad de medida no cabe exactamente un número entero de veces en dicho el segmento.
Un ejemplo de esto hecho este dado por el teorema que relaciona el lado de un cuadrado y su
diagonal y se enuncia de la siguiente manera: “El lado y la diagonal de un cuadrado cualquiera
son inconmensurables”.
Usando el método de exhaución Eudoxo demostró:
▪ Las áreas de dos círculos son entre sí como el cuadrado de sus radios.
▪ Los volúmenes de dos esferas son entre sí como el cubo de sus radios.
▪ El volumen de una pirámide es un tercio del volumen de un prisma con la misma base y
altura.
▪ El volumen de un cono es un tercio del cilindro correspondiente.
1.3.5 Euclides (330- 275 a.C)
Euclides escribió las demostraciones de los griegos de manera clara y sencilla y están
contenidos en su obra Elementos, en la antigüedad este libro se difundió como manuscrito, pero
cuando surgió la imprenta se publicaron múltiples ediciones.
A través del esquema propuesto en los libros de Euclides se sistematiza el conocimiento de los
griegos precisando cuatro tipos de proposiciones matemáticas: definiciones, axiomas, teoremas
y postulados, cabe resaltar que el diseño metodológico de su sistema fue influenciado por
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
29
Aristóteles, ya que en la obra Analíticos posteriores se encontraba esta estructura, pero fue
Platón el que influyó en la naturaleza del conocimiento matemático.
Las definiciones designan objetos matemáticos, los axiomas son proposiciones evidentes que no
necesitan ser demostradas, por el contrario, los postulados son proposiciones que no son tan
evidentes, pero se aceptan al no derivarse de ningún otro principio y finalmente los teoremas que
a diferencia de los postulados necesitan ser demostrados para ser evidentes.
En los Elementos, Euclides desarrolla su método axiomático que hasta el día de hoy se toma
como referencia para el estudio de la geometría plana.
La obra está compuesta por trece libros:
En el libro I se encuentran 48 proposiciones construidas a partir de 23 definiciones tales como
punto, línea, superficie; además de 5 postulados y cinco axiomas.
El libro quinto trata de las proporciones y el sexto de las magnitudes inconmensurables, del
séptimo al noveno de la Aritmética de los números racionales, el décimo de la aritmética de los
irracionales y del decimoprimero al décimo tercero habla sobre la geometría del espacio.
El postulado de las paralelas o quinto postulado es el postulado número 5 del libro I de Euclides
Elementos y expresado de forma sencilla dice:
¨Si una línea recta corta a otras dos líneas rectas de modo que esta forme dos ángulos interiores
menores a dos rectos, si se extienden indefinidamente estas líneas se encontrarán”.
(Boyer,1989, p.106).
En un lenguaje moderno el postulado expresaría: “Por un punto exterior a una recta pasa una
única paralela”, siendo la unicidad la forma estricta del postulado (Moise,1986, p.238).
30 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Figura 1.9 Postulado de las paralelas.
Este postulado no es intuitivo y por esta razón se dudó de su naturaleza como postulado y
muchos matemáticos intentaron deducirlo de los otro cuatro, pero hasta ahora no se ha
demostrado su veracidad o falsedad. Otros prescindieron de él y crearon otras geometrías la
hiperbólica y la elíptica.
1.3.6 Arquímedes (287-212 a.C)
Arquímedes fue un matemático griego, físico, inventor, astrónomo es considerado uno de los
matemáticos más importantes en la antigüedad, fue capaz de deducir la ley de las palancas a
través de experimentos y con base en razonamientos geométricos tal como lo relata su tratado
Sobre el equilibrio de los planos donde a diferencia de Aristóteles su trabajo no es en cierto modo
especulativo y contiene desarrollos matemáticos, Arquímedes desarrolló su trabajo de manera
similar a la geometría de Euclides, a través de unos postulados iniciales logró deducir grandes
conclusiones, sin duda fue el primero en establecer una relación entre la matemática y la física.
Antes de Arquímedes ya se conocía que al dividir la longitud de cualquier circunferencia entre la
medida de su diámetro el resultado obtenido era una constante, de igual manera al dividir el área
de un círculo entre el cuadrado de su radio el valor obtenido era constante, pero lo que se
ignoraba es que estos valores eran iguales y esto lo demostró Arquímedes inscribiendo y
circunscribiendo polígonos regulares en una circunferencia para calcular el perímetro de la
circunferencia, cada vez duplicando el número de lados, comenzando con un hexágono regular.
Con este procedimiento Arquímedes obtuvo una aproximación mejor al número 𝜋 que la
realizada por los babilonios y egipcios, expresada en la siguiente desigualdad:
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
31
310
71< 𝜋 < 3
10
70
Arquímedes también realizó aportes sobre los problemas clásicos de la geometría de los griegos,
que se mencionan a continuación:
▪ Duplicación del cubo: Dado un cubo de arista 𝑎, construir con regla y compás la arista 𝑚 de
un cubo cuyo volumen sea el doble del cubo dado.
▪ Trisección del ángulo: Dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales, usando solamente regla
y compás.
▪ Cuadratura del círculo: Dado un círculo de radio 𝑟, construir con regla y compás el lado de
un cuadrado cuya área sea igual al área del circulo dado.
En su libro de las espirales describió la espiral aritmética o espiral de Arquímedes en honor a su
nombre la cual provee, la solución de dos de los problemas mencionados. Al respecto hacemos
notar que no son las soluciones exigidas.
La espiral se define como el lugar geométrico plano de un punto que, comenzando desde el
punto final de un rayo o media línea, se mueve uniformemente a lo largo de este rayo mientras
que el rayo a su vez gira uniformemente sobre su punto final. La ecuación en coordenadas
polares 𝑟, 𝜃 es: 𝑟 = 𝑎 + 𝑏𝜃, con 𝑎 𝑦 𝑏 números Reales, si 𝑎 cambia la espiral se desplaza por
el eje 𝑋 mientras que 𝑏 controla la distancia con giros sucesivos.
Figura 1.10 Espiral de Arquímedes.
Imagen tomada de:https://i.ytimg.com/vi/4_CFifpCxDo/sddefault.jpg
Arquímedes usa su espiral para demostrar la trisección del ángulo sin hacer uso de la regla y el
compás que era el requisito primordial para solucionar este problema.
32 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
La forma de trisecar el ángulo según la espiral de Arquímedes consiste en: Hacer coincidir el
vértice del ángulo con el origen de la espiral, dividir el segmento que va desde el origen al punto
de corte de la espiral con el segundo lado del ángulo en tres partes iguales y a continuación
trazar por esos puntos arcos de circunferencia hasta que corten a la espiral. (Boyer,1989, p. 129).
Figura 1.11 Trisección del ángulo.
Imagen tomada de:https://tse2.mm.bing.net/th?id=OIP.4eIqgMrAu4gd2bHL_vMQOgAAAA&pid=Api
El problema de la cuadratura del círculo también se resolvió utilizando la espiral.
En su obra sobre el equilibrio de los planos Arquímedes explica la ley de la palanca afirmando lo
siguiente: “Las magnitudes están en equilibrio a distancias recíprocamente proporcionales a sus
pesos” (Boyer, 1989, p.121).
En esta misma obra halla los centros de gravedad del triángulo, trapezoide y el segmento
parabólico, el centro de gravedad de este último se encuentra en su diámetro y lo divide en
segmentos en proporción 3
2 . (Boyer, 1989, p.122).
Arquímedes fue el único matemático de su tiempo que se interesó por buscar aplicaciones de la
matemática a la física de esta manera relaciona la estática con la cinemática haciendo grandes
aportes a las dos disciplinas.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
33
Los trabajos de Arquímedes incluyen el cálculo de áreas y volúmenes por el método de
aproximaciones sucesivas, también escribe sobre la esfera y el cilindro, considera un primer
axioma que, entre todas las líneas curvas, la línea recta es la más corta, esto lo lleva a comparar
perímetros de polígonos inscritos y circunscritos con el perímetro del círculo (Kline, 1972).
En el libro 1 se encuentran las proposiciones donde se relaciona el volumen y área de esferas y
cilindros, a continuación, se nombrarán algunas de ellas:
▪ La superficie de cualquier cilindro circular recto sin incluir las bases es igual a [el área de] un
círculo cuya base es media proporcional entre el lado [una generatriz] y el diámetro de su
base (Kline,1972, p. 151).
Figura 1.12 Equivalencia del área de un cilindro circular recto y un rectángulo.
Imagen tomada de: http://neetescuela.org/wp-content/uploads/2013/02/cilindro.png
▪ La superficie de una esfera es cuatro veces el área de sus círculos máximos. (Kline, 1972).
Figura 1.13 Esfera con uno de sus círculos máximos.
34 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Todo el cilindro cuya base es un círculo máximo de una esfera y cuya altura es igual al
diámetro de la esfera es 3
2 del volumen de la esfera y su superficie junto con sus bases es
3
2
de la superficie de la esfera. (Kline,1972).
Arquímedes realiza un estudio sobre conoides y esferoides identificando sus propiedades: ▪ Esferoide alargado: dado por la rotación de la elipse alrededor del eje mayor.
▪ Esferoide achatado: dado por la rotación de la elipse alrededor del eje menor.
▪ Conoide obtusángulo: dado por la rotación de una rama de la hipérbola alrededor de su eje
transversal.
▪ Conoide rectangular: dado por la rotación de la parábola alrededor de su eje.
1.3.7 Apolonio (Perge 262 a.C- Alejandría 190 a.C)
Nace en Perga al sureste de Asia Menor, pero es educado en Alejandría. En su tratado Las
cónicas trata sobre las propiedades fundamentales de estas curvas, sus diámetros, tangentes,
tipos de conos, tipos de corte de los conos, y semejanza entre cónicas, consta de 8 libros (Carl
Boyer, p 145).
A diferencia de Euclides y Arquímedes que realizaron el estudio de cónicas haciendo cortes
perpendiculares a un cono recto, agudo u obtuso, Apolonio estudia las secciones de las cónicas
generadas al realizar cortes con diferentes planos obteniendo los lugares geométricos que hoy
conocemos: parábola, hipérbola, y elipse.
▪ Parábola. El plano de corte es paralelo a una sola generatriz.
▪ Elipse: El plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz.
▪ Hipérbola: El plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices
Figura 1.14 Secciones cónicas.
Imagen tomada de: https://tse3.mm.bing.net/th?id=OIP.0JLxpf1rJHZifp8gF2p6QHaEE&pid=Api
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
35
Otros de sus trabajos:
▪ Secciones en un área dada similar a la división de segmentos, pero aquí los segmentos
determinados por las intersecciones deben formar rectángulos de la misma área.
▪ Secciones determinadas: Se dan 4 puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 sobre una recta, el problema consiste
en hallar un quinto punto 𝐸, tal que el rectángulo construido sobre 𝐸𝐴 𝑦 𝐸𝐶 este en una
razón dada (x) con el rectángulo construido sobre 𝐸𝐵 𝑦𝐸𝐷. Apolonio reduce este problema
a una ecuación cuadrática.
Figura 1.15 Secciones determinadas
▪ Secciones en una razón dada: consiste en trazar una recta que pasa por un punto dado y
que corte a otras dos rectas en segmentos que estén en una razón dada.
Se tiene un punto 𝐴 y dos rectas 𝑓 𝑦 𝑚 que pasan por los puntos 𝐵 𝑦 𝐸, a continuación, se traza
una recta que pase por 𝐴 tal que 𝐵𝐺
𝐺𝐻= 𝛼, con 𝛼 dada inicialmente.
Figura 1.16 Secciones en una razón dada.
▪ Clasificación de las curvas en tres categorías: lugares planos (líneas rectas y círculos);
lugares solidos (secciones cónicas) y lugares lineales (el resto de las curvas). (Boyer, 1989,
p.148).
36 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Inclinaciones: Dado un círculo se debe trazar una cuerda con una longitud dada y cercana a
un punto dado. (Boyer,1989, p.143).
▪ Tangencias: En esta obra Apolonio propone: “dadas tres cosas, las cuales pueden ser
circulo, punto y línea, dibujar una circunferencia tangente a cada uno de ellas”. (Boyer, 1989,
p.142).
▪ Comparación entre el dodecaedro e icosaedro: Comparación de poliedros regulares inscritos
en una esfera: Las caras pentagonales del dodecaedro están a una misma distancia del
centro de una esfera circunscrita como las caras triangulares de un icosaedro inscrito en la
misma esfera. (Boyer,1989, p.143).
1.4 La geometría en la India
Los conocimientos geométricos son contemporáneos con los de Babilonia o derivados de ellos.
1.4.1 Sulvasutra
Es el documento geométrico de origen indio más antiguo que se conoce, en él se encuentran
métodos de geometría para construir altares y templos, habla del uso triángulos rectángulos de
lados enteros a partir de un rectángulo de lados proporcionales a 3 y 4 cuyas secciones tenían
forma de trapecios isósceles, el área de los trapecios se calculaba transponiendo dos triángulos
rectángulos.
Los esquemas de templos se llamaron Mandalas. En la elaboración del Sulvasutra se destacan
matemáticos como: Baudhayana, Apastamba, Hiranyakesin, Manava, Varaha y Vadhula, siendo
Apastamba el más reconocido.
Los postulados que se encuentran en el Sulva están relacionados con la división de figuras tales
como líneas rectas, rectángulos, círculos y triángulos (Suarez, 2016).
A continuación, se anotan los postulados usando un lenguaje actualizado de geometría
▪ Un segmento se puede dividir en cualquier número de segmentos congruentes.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
37
▪ Un círculo se puede dividir en cualquier número de arcos congruentes.
▪ Las diagonales de un rectángulo se bisecan entre sí.
Figura 1.17 Rectángulos y sus diagonales.
▪ Las diagonales de un rombo se bisecan entre sí formando ángulos rectos.
▪ Un triángulo se puede dividir en triángulos congruentes dividiendo sus lados en igual número
de segmentos congruentes.
Figura 1.18 División de un triángulo en triángulos congruentes.
▪ Tomando como base el segmento comprendido entre dos ángulos congruente de un triángulo
isósceles, la altura sobre dicha base determina dos triángulos congruentes.
▪ El área de un triángulo cuyos vértices son dos vértices consecutivos de un cuadrado y el
punto medio del lado opuesto es igual a la mitad del área del cuadrado.
38 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Un cuadrilátero cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un cuadrado tiene un
área igual a la mitad del área del cuadrado.
▪ Un paralelogramo y un rectángulo cuyas bases son iguales y están sobre rectas paralelas
tienen igual área.
▪ De todos los cuadriláteros que pueden inscribirse en una circunferencia el cuadrado es el de
mayor área.
1.4.2 Aryabhata (476-550, Pataliputra)
Astrónomo y matemático indio, el único documento que sobrevive es el Aryabhatiya, que contiene
una serie de reglas astronómicas y matemáticas escritas en sanscrito, la tercera parte describe
fórmulas para calcular raíces cuadradas y cúbicas de números enteros, así como también reglas
para el cálculo de áreas, pero muchas de ellas son erróneas, dentro de las correctas están por
ejemplo: el cálculo del área de un triángulo, círculo, trapecio, volumen de la pirámide y en los
desaciertos hay que considerar que el área de cualquier figura plana se halla multiplicando dos
de sus lados. Un hecho interesante es la forma como hallan un número cercano a 𝜋 dando las
siguientes instrucciones: “suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62.000, el resultado
aproximado es la circunferencia de un círculo cuyo radio es 10.000”. (Clark, 1920, p 26).
1.4.3 Brahmagupta (590-670, Ujjain)
Astrónomo y matemático indio, fue el más grande de su época. Calculó el área de un triángulo
isósceles multiplicando la mitad de la base por uno de los lados iguales y el área de un triángulo
escaleno multiplicando la mitad de base por la media aritmética de los otros dos lados, hace una
generalización de la fórmula de Heron para hallar el área de un cuadrilátero:
𝐾 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)(𝑠 − 𝑑)
Con 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 lados del cuadrilátero y 𝑠 su semiperímetro, pero solo se cumple para
cuadriláteros cíclicos, para cualquier cuadrilátero se emplea la expresión:
𝐾 = √(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)(𝑠 − 𝑑) − 𝑎𝑏𝑐𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠2𝜃
siendo 𝜃 la semisuma de los ángulos opuestos del cuadrilátero. (Boyer, 1991, p .219).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
39
1.5 Geometría proyectiva
Los griegos y egipcios hicieron aportes muy valiosos a la geometría, y hasta el siglo XV la
geometría de Euclides prevalecía, pero gracias a los pintores renacentistas la geometría
adquirió una mirada con dimensiones, en sus obras dibujaban objetos tridimensionales
basándose en el principio de proyección, así lo que veía un observador dependía de la posición
en el que este se encontraba. Es importante señalar que muchos de estos artistas eran
arquitectos , ingenieros y algunos matemáticos, es el caso de Leonardo Da Vinci, su obra más
conocida el Hombre de Vitrubio muestra una simetría ideal del cuerpo humano inspirada en una
obra descubierta en 1414 del arquitecto romano Marco Vitrubio titulada De arquitectura quien
había escrito “para que un edificio fuera hermoso tendría que tener una simetría y proporciones
perfectas “, para Leonardo Da Vinci el edificio fue el cuerpo humano.
Figura 1.19 Leonardo Da Vinci.
Imagen tomada de:https://www.elperiodico-digital.com/wpcontent/uploads/2020/07/113226504_da-vinci-arriba.jpg
40 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Figura 1.20 Dibujo realizado por Marco Vitrubio Polión
Imagen tomada de: https://ichef.bbci.co.uk/news/410/cpsprodpb/162CC/production/_110882809_1024px-thumbnail.jpg
Gerard Desargues en 1639 realiza una publicación de “Tratados sobre las secciones cónicas”
con conceptos e ideas de la geometría proyectiva aplicados a la arquitectura, pero tuvo poca
difusión, sin embargo, este pensamiento influyo en Blaise Pascal y otros matemáticos.
Desargues desarrolla la idea de que las secciones cónicas (círculo, elipse, la parábola e hipérbola
son una curva única observada desde diferentes puntos de vista y no como los antiguos que
observaban diferentes curvas.
Brevemente se enunciará el teorema de Desargues que establece lo siguiente: “Si dos triángulos
están es perspectiva desde un punto y sus pares de lados se cortan, entonces los tres puntos de
intersección están alineados” (Kline, 1972).
Figura 1.21 Teorema de Desargues.
Imagen tomada de: http://1.bp.blogspot.com/-WbU-K3Gnek4/UmkuH0STqpI/AAAAAAAAAFE/LFljai9ZFEQ/s1600/1.jpg
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
41
Esta nueva geometría que surgía fue opacada por el nacimiento de la geometría analítica, se
considera al fundador de la geometría proyectiva al francés Gaspard Monje a partir de la
publicación de sus obras surgieron geómetras franceses que dieron continuidad a sus ideas
dándole un nuevo estatus a esta geometría que prescindía de un método analítico pero que
igualmente obtenía resultados muy importantes. A continuación, algunos representantes.
Tabla 1.1 Representantes de la geometría proyectiva y sus aportes.
Matemático Aporte
José Diaz Gergonne (1771-1.859).
Publicó trabajos sobre la aplicación del principio de
dualidad a los teoremas de la geometría Euclidiana sobre
el punto y la recta, ideo un procedimiento basado en la
teoría de la polaridad para solucionar el problema de la
circunferencia tangente a otras tres de Apolonio
Carlos Julio Brlanchon (1785-1864).
Realiza la demostración de hexágono inscrito en una
cónica.
Trabaja sobre la circunferencia de los nueve puntos de
Euler
Victor Poncelet (1.788-1867) Definió los conceptos de figura, propiedad y operación
proyectiva.
Jacobo Steiner (1.790-1.863) Demostró que las construcciones euclídeas se pueden
hacer con una regla y una única circunferencia.
A.F. Mobius (1.790-1868)
Expuso un trabajo sobre las coordenadas homogéneas
en su obra Baryscentrische, creador de la superficie de
una sola cara “la cinta de Mobius.
Carlos Wilhein Feuerbach (1.800-1.834)
Creador del sistema de coordenadas homogéneas
Julius Plucker (1801-1868). Estudio de las curvas como lugares geométricos de un
punto móvil o una recta envolvente.
Arturo Cayley 1.821-1895) Realizo trabajo sobre transformaciones lineales y
matrices aplicadas a la geometría proyectiva.
42 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
2 Aspectos disciplinares
Conceptos básicos de Geometría
A continuación, se abordarán los conceptos básicos de geometría elemental que consideramos
básicos para el desarrollo del trabajo. Es de anotar que esta sección toma como referencia el
texto de Moise y Downs, Geometría Moderna. Ahora bien, el texto trata de mostrar cómo se
desarrolla un sistema axiomático, sin embargo, para poder considerar las temáticas básicas de
geometría plana y del espacio el texto considera dos temáticas que no estaban en la antigüedad
en el surgimiento de la geometría a saber los números reales y los conjuntos.
2.1 Acerca de los términos no definidos.
Los objetos físicos sugieren las ideas de punto, recta y plano; el espacio se considera como el
conjunto de todos los puntos. En particular el punto hace referencia a la huella dejada por la
punta de un lápiz en una hoja de papel, mientras más este afilada la punta la representación será
más fidedigna. El dibujo será una aproximación, por más pequeña que sea la huella siempre
tendrá un área. Un hilo tenso o el borde del tablero extendidos indefinidamente nos dan idea de
recta. Una superficie lisa que se extiende en todas las direcciones sugiere la idea de plano.
Finalmente, nuestro universo sugiere la idea de espacio. En cualquier caso, estos objetos serán
conjuntos de puntos.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
43
2.2 Primeros postulados.
Los primeros postulados describen las propiedades elementales de rectas y planos que no se
pueden demostrar y que parecen naturales e intuitivos.
Considérese una recta contenida en un plano, si dos puntos están a lado opuesto de la recta el
segmento que los une interseca a la recta y forman parte de semiplanos opuestos, por otra parte,
si los puntos están a lado y lado de la recta el segmento que los une no interseca a la recta es
decir hacen parte de un mismo semiplano.
De igual manera un plano divide al espacio en dos semiespacios, si dos puntos se encuentran
en un mismo semiespacio el segmento que los une no interseca al plano, pero si el segmento
que une dos puntos interseca al plano, los puntos están ubicados en semiespacios opuestos.
Dados dos puntos distintos cualesquiera, hay exactamente una recta que los contiene.
Dados tres puntos, existe al menos un plano que los contiene y dados tres puntos no colineales
existe un único plano que los contiene.
En un plano, dados una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta paralela a la recta
dada que pasa por el punto dado.
Existe una correspondencia biyectiva entre el conjunto de los números reales y los puntos de
una recta, de tal manera que a cada punto de la recta le corresponde un número real y
viceversa y la distancia entre cada par de puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
entre los números reales correspondientes.
Esta correspondencia se llama un sistema de coordenadas. El número correspondiente a un
punto de la recta se llama la coordenada del punto. (Moise, 1989, p. 34).
Las siguientes definiciones se enuncian teniendo en cuenta los términos no definidos.
44 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
2.3 Segmento, rayo, rayos opuestos y ángulo.
La distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵 la notamos 𝐴𝐵 .
Dados dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵 se dice que un punto 𝐶 esta entre 𝐴 𝑦 𝐵 si 𝐴𝐶 + 𝐶𝐵 = 𝐴𝐵, siendo 𝐴𝐵 la
longitud del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . El conjunto formado por 𝐴 𝑦 𝐵 y todos los puntos 𝐶 que están entre
𝐴𝑦 𝐵 se llama el segmento 𝐴𝐵 y se nota 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , y los puntos 𝐴𝑦 𝐵 se llaman los extremos del
segmento. Se dice que dos segmentos son congruentes si tienen la misma medida.
Dados dos puntos 𝐴 𝑦 𝐵, el rayo 𝐴𝐵, que se simboliza 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , es el conjunto formado por la reunión
del segmento 𝐴𝐵 y todos los puntos 𝐶 para los cuales se verifica que 𝐵 está entre 𝐴 𝑦 𝐶.
Figura 2.1 Representación gráfica de un rayo.
Si A esta entre B y C entonces 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (1) y 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ (2) se llaman rayos opuestos. Figura 2.2 Representación gráfica de dos rayos geométricos opuestos.
Dos rayos que no están en la misma recta y tienen el mismo origen conforman un ángulo, cada
uno de ellos se llama lado del ángulo y el extremo común se llama vértice. Si los rayos son 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗
y 𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗, entonces el ángulo se indica de las siguientes maneras:
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
45
< 𝐵𝐶𝐴 o < 𝐴𝐶𝐵 o < 𝐶 cuando no haya lugar a confusión como se verá más adelante en
algunas figuras geométricas.
Figura 2.3 Ángulo.
Un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la
circunferencia (Moise, 1986).
Figura 2.4 Ángulo central.
Sea 𝐶 una circunferencia con centro 𝑃 y sean 𝐴 𝑦 𝐵 dos puntos que están en 𝐶, pero que no son
los extremos de un diámetro. Entonces, el arco menor 𝐴�̂� es la reunión de 𝐴, 𝐵 y todos los
puntos 𝐶 que están en el interior del ∡𝐴𝑃𝐵. El arco mayor 𝐴�̂� es la reunión de 𝐴, 𝐵 y todos los
puntos 𝐶 que están en el exterior de ∡𝐴𝑃𝐵. 𝐴 𝑦 𝐵 son los extremos del arco 𝐴�̂�. (Moise, 1986,
p.439).
Un grado es la medida de un ángulo central que intercepta un arco cuya longitud es 1/360 de la
longitud de la circunferencia.
La medida de un ángulo es el número de grados, si 𝑧 es la cantidad de grados de un ángulo se
escribe 𝑚∡𝐴𝐵𝐶 = 𝑧.
Se dice que dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.
46 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Un ángulo es agudo si su medida es menor de 90° y obtuso si su medida es mayor de 90°. Un
ángulo es denominado recto si su medida es 90°.
Si dos rayos 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ se intersecan formando un ángulo de 90°, se dice que
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ 𝑦 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ son perpendiculares denotándose 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⊥ 𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . De forma similar se definen
rectas y segmentos perpendiculares
Figura 2.5 Rectas perpendiculares.
Si dos rectas 𝑙 𝑦 𝑝 están en un mismo plano y no se intersecan se dice que son paralelas y
se escribe 𝑙 ∥ 𝑝 .
Figura 2.6 Rectas paralelas.
Las anteriores definiciones se tienen en cuenta también para rectas, rayos y segmentos.
Dos ángulos son opuestos por el vértice, si sus lados forman dos pares de rayos opuestos
(Moise,1986).
Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
47
Figura 2.7 Ángulos opuestos por el vértice.
A continuación, se realizará la demostración.
En la figura el ∡1 y el ∡3 son opuestos por el vértice, por definición 𝐸𝑂⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐸𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ son rayos
opuestos al igual que 𝐸𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ y 𝐸𝑀⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , luego:
los ∡1 y ∡2 forman un par lineal al igual que ∡1 y ∡4 , ∡1 ≅ ∡1 ; el ∡2 𝑦 ∡4 al ser
complementos de ángulos congruentes también son congruentes ∡2 ≅ ∡4 . (Moise,1986,
p.83).
2.4 Polígonos
2.4.1 Definición
Sea 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 …𝐴𝑛 una sucesión de puntos de un plano con n≥ 3.
El polígono 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 …𝐴𝑛𝐴1 se obtiene por la unión de los segmentos 𝐴1𝐴2, 𝐴2𝐴3 …𝐴𝑛𝐴1. Estos
segmentos no se cruzan y se tocan solo en los extremos.
Figura 2.8 Polígono.
48 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Los puntos 𝐴1, 𝐴2,𝐴3 … ,𝐴𝑛 son los vértices del polígono y sus ángulos ∡𝐴𝑛 𝐴1𝐴2 ; ∡𝐴1𝐴2𝐴3 y
así sucesivamente.
En los polígonos se distinguen los siguientes elementos que se pueden observar en la
Figura 2.9.
▪ Diagonal: Es un segmento que une dos vértices no consecutivos 𝐵𝐸̅̅ ̅̅ .
▪ Ángulo interior: formado por dos lados que comparten un vértice ∡𝐸𝐴𝐷 = 𝛽 .
▪ Ángulo exterior: formado por un lado del polígono y la prolongación del lado adyacente.
En la figura uno de los ángulos exteriores es 𝛼 formado por 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y la prolongación de
𝐸𝐷̅̅ ̅̅ .
Figura 2.9 Elementos de un polígono.
Se definirá congruencia de polígonos, polígono convexo y polígono regular. Se dice que dos polígonos son congruentes cuando tiene sus lados y ángulos correspondientes
congruentes.
Polígono convexo: Un polígono es convexo cuando al trazar sus diagonales están en el interior
del polígono o también un polígono es convexo si ningún par de sus puntos está a lados opuestos
de una recta que contenga un lado del polígono. (Moise 1986, p.514)
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
49
Polígono regular: Un polígono es regular cuando es convexo y todos sus ángulos y lados son
congruentes.
Figura 2.10 Polígono regular.
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐹𝐴̅̅ ̅̅ ∡𝐴 ≅ ∡𝐵 ≅ ∡𝐶 ≅ ∡𝐷 ≅ ∡𝐸 ≅ ∡ 𝐹
Un polígono regular de tres lados es un triángulo equilátero, uno de cuatro lados es un cuadrado,
según el número de lados recibe un nombre teniendo en cuenta los prefijos griegos: 5 lados
penta, 6 lados hexa, 7 lados hepta añadiendo en la mayoría de los casos el sufijo “ono”, un
polígono regular de ocho lados recibe el nombre de octágono.
Suma de ángulos interiores de un polígono convexo
Dado un polígono convexo de n lados, desde cada uno de sus vértices se pueden trazar (𝑛 − 3)
diagonales obteniéndose (𝑛 − 2) triángulos y la suma de los ángulos interiores será (𝑛 − 2)180°.
Figura 2.11 División de un polígono en triángulos.
50 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Si el polígono es regular y tiene n lados, la medida de cada uno de sus ángulos interiores es:
(𝑛 − 2) ∙ 180
𝑛
Veamos cómo se ilustra este hecho en la siguiente figura: Figura 2.12 Ángulos interiores de un polígono regular de 9 lados.
En la Tabla 2 se encuentra la medida del ángulo interior y la suma de los ángulos interiores para
polígonos regulares de 5 a 10 lados.
Tabla 2.1 Medida de un ángulo interior según el número de lados de un polígono regular.
Numero de lados Ángulo interior Suma de los ángulos interiores
5 108° 540°
6 120° 720°
7 180° 1260°
8 135° 1080°
9 140° 1260°
10 144° 1440°
2.4.2 Construcción de un polígono regular
Teóricamente todo polígono regular puede considerarse inscrito en una circunferencia; si se
divide una circunferencia de centro 𝐶 y radio 𝑟 en 𝑛 arcos congruentes cada uno medirá 360
𝑛
para cada arco se traza una cuerda obteniéndose un polígono con vértices 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, … , 𝑃𝑛.
Ahora al trazar los radios desde 𝐶 a cada vértice se obtienen triángulos isósceles, los 𝑛 triángulos
obtenidos son todos congruentes de esta manera los ángulos del polígono son congruentes y en
consecuencia el polígono inscrito es un polígono regular.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
51
Figura 2.13 Polígono inscrito en una circunferencia.
2.4.3 Triángulos
Dados tres puntos no colineales 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 la unión de los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ se llama
triángulo. Los puntos A, B y C son los vértices del triángulo, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ corresponden a sus
lados y < 𝐵𝐴𝐶, < 𝐶𝐵𝐴, < 𝐴𝐶𝐵 𝑎 sus ángulos.
Figura 2.14 Triángulo.
▪ Alturas de un triángulo:
Un segmento perpendicular que va de un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado
opuesto de este, se llama altura, en particular un triángulo tiene tres alturas.
Figura 2.15 Alturas de un triángulo.
52 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
En la figura se observan las alturas ℎ1, ℎ2, ℎ3, trazadas desde los vértices 𝐺, 𝐿 𝑦 𝐻 a los lados
opuestos 𝑔, 𝑙 𝑦 ℎ.
ℎ1, ℎ3, caen por fuera del triángulo △ 𝐿𝐻𝐺 haciendo necesario la prolongación del segmento
𝐻𝐿̅̅ ̅̅ y 𝐺𝐿̅̅̅̅ respectivamente.
▪ Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados y según la medida de sus
ángulos.
Según la medida de sus lados:
▪ Equilátero: Sus tres lados son congruentes.
▪ Isósceles: si tiene al menos dos lados congruentes.
▪ Escaleno: Ningún par de lados son congruentes.
Figura 2.16 Clasificación de triángulos según la medida de sus lados.
▪ Equiángulo: sus tres ángulos son congruentes.
▪ Acutángulo: Sus tres ángulos son menores a 90°.
▪ Rectángulo: Uno de sus ángulos es recto.
▪ Obtusángulo: Uno de sus ángulos interiores es mayor a 90° (ángulo obtuso) y los otros dos
son agudos (menores a 90°).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
53
Figura 2.17 Clasificación de triángulos según sus ángulos.
Algunos resultados relacionados con los triángulos se enuncian a continuación:
▪ Si un triángulo tiene dos lados congruentes, los ángulos opuestos a estos lados son
congruentes y recíprocamente
▪ Un triángulo es equilátero, si y solo si, es equiángulo.
Congruencia de triángulos
Sean 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 una correspondencia entre los vértices de dos triángulos.
Si los pares de lados correspondientes son congruentes y así mismo los pares de ángulos
correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia 𝐴𝐵𝐶 ↔ 𝐷𝐸𝐹 se llama
congruencia de triángulos. (Moise, 1989, p.113)
Si ΔABC es congruente con ΔDEF, escribimos Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹 y en tal caso se deduce lo
siguiente:
Figura 2.18 Congruencia de triángulos
54 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ; 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ �̅�𝐹; 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐶.̅̅ ̅̅̅
∡𝐴 ≅ ∡𝐷; ∡𝐵 ≅ ∡𝐸; ∡𝐶 ≅ ∡𝐹
Los siguientes son criterios que permiten determinar la congruencia entre dos triángulos.
Criterio ALA (ángulo-lado -ángulo)
Dados los triángulos Δ𝐴𝐵𝐶 y Δ𝐷𝐸𝐹. Si ∡𝐴 ≅ ∡𝐷 , 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ y ∡𝐵 ≅ ∡𝐸.
Entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.
Es decir, si un triángulo tiene dos ángulos y el lado comprendido entre ellos congruentes con
las partes correspondientes de un segundo triangulo, entonces los dos triángulos son
congruentes.
Criterio LAL (lado-ángulo-lado)
Si, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ; ∡𝐵 ≅ ∡𝐸 y 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ . Entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.
Esto es, si un triángulo tiene dos lados y el ángulo comprendido entre ellos congruentes con las
partes correspondientes de un segundo triangulo, entonces los dos triángulos son congruentes.
Criterio LLL (lado-lado-lado)
Si 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ . Entonces Δ𝐴𝐵𝐶 ≅ Δ𝐷𝐸𝐹.
Los lados de un triángulo son congruentes con los lados correspondientes de un segundo
triangulo.
2.4.4 Cuadriláteros
Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝐷 cuatro puntos coplanarios. Si tres cualesquiera de ellos no están alineados, y
los segmentos se intersecan tan solo en sus extremos, entonces la reunión de los cuatro
segmentos se llama cuadrilátero.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
55
▪ Los puntos A, B, C y D se llaman vértices.
▪ Los segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ son los lados.
▪ Los ángulos del cuadrilátero son: ∢ 𝐴, ∢𝐵, ∢𝐶 𝑦 ∢𝐷.
A continuación, se definen algunos cuadriláteros.
• Trapecio: Es un cuadrilátero que tiene 2 lados paralelos.
Figura 2.20 Trapecio.
.
• Paralelogramo: Es un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos.
• Rombo: Es un paralelogramo con sus lados congruentes.
• Rectángulo: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos.
• Cuadrado: Es un rectángulo cuyos lados son congruentes.
Figura 2.21 Cuadrado, rectángulo y paralelogramo.
Figura 2.19 Cuadrilátero.
56 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
2.5 Transformaciones geométricas en el plano
En esta sección se estudian algunos movimientos rígidos en el plano, de otro modo funciones
del plano en el plano denominadas transformaciones geométricas.
La idea que nos ocupa, en este caso, es estudiar cómo cambian las figuras a través de una
transformación geométrica, así que al respecto nos preguntamos, entre otros, si la
transformación dada, preserva distancias, áreas, congruencia y semejanza.
Dado un plano 𝐸, una transformación geométrica 𝑓 en 𝐸 es una función biyectiva que asigna a
cada punto 𝑥 de 𝐸 un punto 𝑓(𝑥) 𝑒𝑛 𝐸 .
𝑓: 𝐸 → 𝐸
Ahora bien, en esta parte, el interés del trabajo se centra en las transformaciones que preservan
distancias, En particular se estudiaran las translaciones, rotaciones y simetrías; que
corresponden a una clase general de transformaciones geométricas llamadas isometrías.
De manera más formal, si notamos 𝑑(𝐴 𝐵) a la distancia entre dos puntos 𝐴 y 𝐵 , una función
𝑓: 𝐸 → 𝐸 es una isometría si para todo par de puntos 𝐴 y 𝐵 de 𝐸, se tiene que 𝑑(𝐴 𝐵) =
𝑑(𝑓(𝐴), 𝑓(𝐵)).
Las isometrías son usadas en el dibujo de perspectiva dándole un carácter técnico al emplear
elementos geométricos en su realización, también son usadas en la representación de objetos
tridimensionales como objetos bidimensionales; en el presente trabajo se han planteado
actividades para el desarrollo de habilidades de pensamiento espacial que aplican este concepto.
Dado un plano 𝐸, la composición de isometrías se define como la composición usual de
funciones, esta operación es asociativa. En particular la función identidad de 𝐼: 𝐸 → 𝐸 es una
isometría. Ahora bien, si 𝑓 es una isometría, entonces 𝑓 ∘ 𝐼 = 𝐼 ∘ 𝑓 = 𝑓. Dada una isometría
𝑓 , puesto que 𝑓 es biyectiva, existe una función usualmente notada 𝑓−1 inversa de 𝑓 tal que 𝑓 ∙
𝑓−1 = 𝑓−1 ∙ 𝑓 = 𝐼. De estos hechos, se sigue que las isometrías en 𝐸 junto con la operación de
composición tienen estructura de grupo. Es de anotar que en general la composición de
isometrías no es conmutativa, lo cual se ilustra al final de esta sección.
Un hecho que se resalta es entonces que las isometrías envían figuras en figuras congruentes.
En particular se ilustra este hecho con figuras como triángulos y circunferencias.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
57
Dado un triángulo, veamos que su imagen por una isometría es un triángulo congruente con el
triángulo inicial. En efecto, sean 𝐸 un plano, 𝐴𝐵𝐶 un triángulo en 𝐸 y 𝑓: 𝐸 → 𝐸 una isometría.
Notando 𝑓(𝐴) = 𝐴´, 𝑓(𝐵) = 𝐵´ 𝑦 𝑓(𝐶) = 𝐶´, se tiene que 𝐴𝐵 = 𝐴´𝐵´, 𝐴𝐶 = 𝐴´𝐶´ y 𝐵𝐶 = 𝐵´𝐶´ por
lo tanto ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴´𝐵´𝐶´.
Figura 2.22 isometrías en un plano.
Una circunferencia 𝐶 es congruente con su imagen 𝐶´ al aplicar una isometría 𝑓. En efecto, sean
𝐶 una circunferencia de centro 𝑃 en un plano 𝐸 y 𝑓 una isometría. Sea 𝐴 un punto de 𝐶 . Al
aplicar 𝑓 a los puntos 𝑃 y 𝐴 se obtienen los puntos 𝑃´𝑦 𝐴´ con 𝑃𝐴 = 𝑃´𝐴´ . De igual manera si
𝐵 es otro punto de 𝐶 , al aplicar 𝑓 se obtiene un punto 𝐵´ con 𝑃𝐵 = 𝑃´𝐵´. En tal caso, 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵
= 𝑃´𝐴´ = 𝑃´𝐵´. Por lo tanto, se determina por medio de 𝑓 una circunferencia 𝐶´ de centro 𝑃´ y
radio 𝑃´𝐴´ = 𝑃𝐴, resultando 𝐶 congruente con 𝐶´.
A continuación, se estudian algunas isometrías que consideramos necesarias para el desarrollo
del trabajo.
▪ Translaciones
Cuando se habla de translación se hace referencia a trasladar un objeto en línea recta dada
una distancia y un sentido determinado.
Para definir una translación es necesario primero definir lo que es un vector. Dados dos puntos
𝐴 𝑦 𝐵, notado 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, el vector 𝐴𝐵, es el segmento dirigido de origen 𝐴 y punto final 𝐵.
La magnitud del vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es la longitud del segmento 𝐴𝐵, su dirección corresponde a la recta
que pasa por 𝐴𝐵 y el sentido del vector 𝐴𝐵 es intuitivamente la orientación. Se dice que dos
vectores son equivalentes si tienen la misma magnitud, dirección y sentido.
58 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Una translación en un plano 𝐸 con vector de dirección 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ es una función 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ que asigna a
cada punto 𝑃 de 𝐸 un punto 𝑃´, esto es 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (𝑃) = 𝑃´, tal que 𝑃𝑃´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es un vector equivalente con
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ .
La translación 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es una isometría. En efecto, sean 𝑃𝑦 𝑄 puntos distintos de 𝐴 𝑦 𝐵 como
ilustra la figura 2-23. Sean 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑃) =𝑃´ y 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗(𝑄) = 𝑄´, puesto que 𝑃𝑃´̅̅ ̅̅ ̅ es equivalente a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y
𝑄𝑄´⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es equivalente a 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ , se tiene que 𝑃𝑃´⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ es equivalente a 𝑄𝑄´⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ , entonces, el cuadrilátero
𝑃𝑃´𝑄´𝑄, tiene dos lados paralelos y congruentes y por lo tanto es un paralelogramo, de donde
𝑃𝑄 = 𝑃´𝑄´. Los otros casos se pueden verificar fácilmente. Por lo tanto 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es una
transformación que preserva distancias, de donde 𝑇𝐴𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es una isometría.
Figura 2.23 Paralelogramo PP´QQ´
,
▪ Rotaciones
Una rotación es una transformación que traslada los puntos de un plano haciendo uso de arcos
de circunferencia.
Sean un ángulo Φ 𝑐𝑜𝑛 0° < Φ < 360° y un punto fijo 𝐶 en un plano 𝐸. Una rotación en 𝐸 de
centro 𝐶 y ángulo Φ es una función:
𝑅(𝐶,𝜙): 𝐸 → 𝐸
que asigna al punto 𝐶 el punto 𝑅(𝐶,𝜙)(𝐶) = 𝐶 y a cada punto 𝑃 distinto de 𝐶 en 𝐸, el punto
𝑅(𝐶,𝜙)(𝑃) = 𝑃´, tal que 𝐶𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝑃´̅̅ ̅̅̅ y ∡𝑃𝐶𝑃´ = Φ y el giro se realiza en sentido contrario a como
giran las manecillas del reloj. Es de anotar que este es el tipo de rotaciones que consideraremos.
Si el giro se realiza en el sentido a como giran las manecillas del reloj, la rotación que se define
se nota:
𝑅(𝐶,−𝜙): 𝐸 → 𝐸
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
59
Figura 2.24 Rotación del punto P.
Veamos que 𝑅(𝐶,𝜙) es una isometría, en efecto, sean 𝐴 y 𝐵 puntos de 𝐸 diferentes de 𝐶 como lo
ilustra la figura 2.25. Sean 𝑅(𝐶,𝜙)(𝐴) = 𝐴´ y 𝑅(𝐶,𝜙)(𝐵) = 𝐵´. Entonces, 𝐶𝐴̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐴´̅̅ ̅̅̅ , 𝐶𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐶𝐵´̅̅ ̅̅ ̅
𝑦 ∡𝐴𝐶𝐴´ = Φ, y ∡𝐵𝐶𝐵´. Ahora bien ∡𝐴𝐶𝐵 = Φ + ∡𝐴´𝐶𝐵 y ∡𝐴´𝐶𝐵´ = Φ + ∡𝐴´𝐶𝐵 luego ∡𝐴𝐶𝐵 ≅
∡𝐴´𝐶𝐵´ entonces por 𝐿𝐴𝐿 los △ 𝐴𝐶𝐵 ≅△ 𝐴´𝐶𝐵´ y se obtiene que 𝐴𝐵 ≅ 𝐴´𝐵´. Si 𝐴 es el punto
𝐶 y 𝐵 es diferente de 𝐶, entonces 𝐶𝐵 = 𝐶𝐵´. Si 𝐴 y 𝐵 son iguales a 𝐶, entonces 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶´. Los
otros casos son fácilmente verificables. Por lo tanto 𝑅(𝐶,𝜙) es una transformación que preserva
distancias, de donde R(C,ϕ) es una isometría.
Figura 2.25 Rotación.
▪ Simetrías
Simetría, se deriva del latín symetria, es la correspondencia en tamaño, forma y posición de dos
puntos u objetos. Definir una obra de arte en la cual se puede apreciar la belleza de las simetrías
es el hombre de Vitrubio de Leonardo da Vinci que representa un cuerpo humano perfectamente
simétrico.
Figura 2.26 Hombre de Vitrubio.
Imagen tomada de: https://elartedelaimaginacion.wordpress.com/files/2009/11/uomo-di-vitruvio.jpg
60 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
A continuación, se definirán la simetría central y axial.
Sean 𝐸 un plano y 𝑃 un punto de 𝐸. La simetría central con respecto a 𝑃 es una función
𝑆(𝑃): 𝐸 → 𝐸 que asigna a un punto 𝑄 diferente de 𝑃 en 𝐸 otro punto 𝑄´ en 𝐸, 𝑆(𝑃)(𝑄) = 𝑄´ tal
que 𝑃 es el punto medio de 𝑄𝑄´̅̅ ̅̅ ̅ y a 𝑃 le asigna el mismo 𝑃, esto es 𝑆(𝑃)(𝑃) = 𝑃. El punto 𝑃
recibe el nombre de centro de simetría y 𝑄´ es el simétrico de 𝑄 respecto a 𝑃 cuando 𝑄 es
distinto de 𝑃.
Veamos que 𝑆(𝑃) es una isometría. Sean 𝐴 𝑦 𝐵 puntos de 𝐸 distintos de 𝑃 como lo ilustra la
figura 2-28. Sean 𝑆(𝑃)(𝐴) = 𝐴´ y 𝑆(𝑃)(𝐵) = 𝐵´. Entonces 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴´𝑃̅̅ ̅̅ ̅ y 𝐵𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵´𝑃̅̅ ̅̅ ̅ .
Ahora ∡ 𝐴𝑃𝐵 ≅ ∡ 𝐴´𝑃𝐵´ por ser opuestos por el vértice.
Por lo tanto, por el criterio 𝐿𝐴𝐿 △ 𝐴𝑃𝐵 ≅ △ 𝐴´𝑃𝐵´, luego 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅ . que era lo que se quería
demostrar. Los otros casos son fácilmente verificables. De esta manera hemos probado que 𝑆(𝑃)
preserva distancias y por lo tanto es una isometría.
Figura 2.28 Simetría central.
Figura 2-1: Punto representación gráfica
Figura 2.27 Simetría central con respecto al punto P.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
61
Nótese que una rotación de centro 𝑃 con un ángulo de 180° corresponde a una simetría central
de centro 𝑃, esto es las transformaciones 𝑅(𝑃,180°) y 𝑆(𝑃) son iguales. Una transformación como
esta se acostumbra a llamar Semigiro.
Para hablar de simetría axial se considera un plano 𝐸 y una recta 𝑙 fija en 𝐸, la simetría axial
con respecto a la recta 𝑙 es una función 𝑆(𝑙): 𝐸 → 𝐸 que asigna a cada punto 𝑃 de 𝐸,
estando 𝑃 fuera de 𝑙, otro punto 𝑃´ 𝑒𝑛 𝐸, 𝑆(𝑙)(𝑃) = 𝑃´ , tal que 𝑙 es la mediatriz del segmento
𝑃𝑃´̅̅ ̅̅ ̅, si 𝑃 es un punto de 𝑙, se define 𝑆(𝑙)(𝑃) = 𝑃. (Guerrero, 2006).
Veamos que 𝑆𝑙 es una isometría. Sean 𝑃 𝑦 𝑄 puntos de 𝐸 , con 𝑃 𝑦 𝑄 fuera de 𝑙, como ilustra
la gráfica 2-29. Supongamos que 𝑆𝑙(𝑃) = 𝑃´ y 𝑆𝑙(𝑄) = 𝑄´. Sean 𝐴 𝑦 𝐵 los puntos medios de
𝑃𝑃´̅̅ ̅̅ ̅ y 𝑄𝑄̅̅ ̅̅ ´ respectivamente. Entonces ∆𝐵𝐴𝑃 ≅ ∆𝐵𝐴𝑃´ por el criterio 𝐿𝐴𝐿.
Por lo tanto 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃´𝐵̅̅ ̅̅ ̅ y < 𝑃𝐵𝐴 ≅< 𝑃´𝐵𝐴 de donde < 𝑃𝐵𝑄 ≅< 𝑃´𝐵𝑄´. Entonces ∆ 𝑃𝐵𝑄 ≅
∆𝑃´𝐵𝑄´, por el criterio 𝐿𝐴𝐿 y por tanto 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃´𝑄´̅̅ ̅̅ ̅̅ , de donde 𝑃𝑄 = 𝑃𝑄. Los otros casos se pueden
verificar fácilmente. Se ha demostrado que 𝑆𝑙 preserva distancias y por lo tanto 𝑆𝑙 es una
isometría.
Figura 2.29 Simetría Axial.
Observación:
Sean 𝑙1 y 𝑙2 rectas contenidas en un plano 𝐸. Supongamos que 𝑙1 es perpendicular a 𝑙2 y que
estas rectas se interceptan en el punto 𝑂. Sean 𝐴, 𝐵 y 𝐶 puntos de 𝐸 diferentes de 𝑂, tales que 𝐴
es un punto de 𝑙1 y 𝐵 y 𝐶 puntos de 𝑙2 en lados opuestos de 𝑙1, con 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑂𝐶, como ilustra
la figura.
62 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Consideremos la rotación 𝑅(𝑂,90°) y la simetría axial 𝑆𝑙1. Entonces (𝑆𝑙1 ∘ 𝑅(𝑂,90°))(𝐴) = 𝐶 y
(𝑅(𝑂,90°) ∘ 𝑆𝑙1)(𝐴) = 𝐵. Por lo tanto, en general la composición de isometrías no es isometría.
Figura 2.30 Composición de isometrías.
2.6 Sistema de coordenadas cartesianas
Las situaciones problema de geometría se pueden representar gráficamente, esto permite
comprenderlas mejor y visualizar todos los elementos que participan en una situación particular.
Existen muchas formas de representar gráficamente una misma situación, pero es importante
identificar cual es la más conveniente.
Como lo menciona el postulado que se encuentra en la página 43 de este trabajo, existe una
correspondencia biyectiva entre los números reales y los puntos de una recta. Esta
correspondencia se llama un sistema de coordenadas. El número correspondiente a un punto de
la recta se llama la coordenada del punto. (Moise,1986, p. 373). Esta idea se extiende a un plano
y al espacio, en particular nos referiremos a las coordenadas en un plano.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
63
El sistema de coordenadas cartesianas permite representar un polígono mediante parejas de
números reales, estas parejas reciben el nombre de coordenadas. Rene Descartes, matemático
y filosofo (1596-1650) se considera como el creador del sistema de coordenadas cartesianas.
El plano de coordenadas cartesianas se determina trazando una recta numérica 𝑋 a la cual se le
asigna un sistema de coordenadas llamándola eje 𝑋 o eje de las abscisas, a continuación, se
traza una recta perpendicular a esta, llamada 𝑌, fijando también un sistema de coordenadas
recibiendo el nombre de eje 𝑌 o eje de las ordenadas. El punto de intersección de las rectas es
considerado el origen de las coordenadas y habitualmente corresponde a la pareja (0,0).
La dirección de los ejes se elige de tal modo que el semieje positivo 𝑋 coincida con el semieje
positivo 𝑌 al hacerlo girar 90° en sentido antihorario.
Una vez conformado el sistema de coordenadas cartesianas, se puede representar cualquier
punto 𝑃 por medio de una pareja de números (𝑎, 𝑏) que se obtienen al trazar rectas
perpendiculares al eje 𝑋 y 𝑌, como lo ilustra la figura.
Figura 2.31 Plano Cartesiano.
64 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
3 Aspectos didácticos
En este capítulo se describen los elementos de carácter didáctico que consideramos necesarios
para el desarrollo de la propuesta. En primer lugar, se referencian algunos documentos
propuestos por el MEN como: Lineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Competencias
en Matemáticas EBC, Derechos Básicos de Aprendizaje DBA. En segundo lugar, se presentan
los niveles de Van Hiele que proponen un método para la enseñanza y aprendizaje de la
geometría. En tercer lugar, se mencionan algunos aspectos de la tecnología en el aula, en cuarto
lugar, se consideran algunos elementos del dibujo artístico por ser esta la herramienta que
consideramos central en el desarrollo de la propuesta, en quinto lugar, se hablara de las
habilidades de pensamiento espacial, en sexto lugar el dibujo artístico, en séptimo lugar la
tecnología en el aula, la propuesta didáctica y finalmente las actividades.
3.1 Lineamientos Curriculares
Los Lineamientos Curriculares son una serie de documentos diseñados por el Ministerio de
Educación Nacional para brindar apoyo y orientación a la comunidad educativa y los considera
como: “un conjunto de conocimientos, planes de estudio, programas metodologías y procesos
que contribuyen a la formación integral y a la construcción nacional, regional y local…” (Ley
115,1994, Articulo76).
Este documento llama la atención al lector de la necesidad de descubrir cual concepción de la
matemática prevalece en cada uno de nosotros y en el entorno, ayudándose con preguntas
orientadoras que permitan dar respuesta a esta inquietud inicial. Parece natural que de acuerdo
con cómo se conciba las matemáticas se generan propuestas didácticas. (Santos, 1993).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
65
De acuerdo con lo acontecido en la historia acerca de la evolución de ideas y pensamiento de la
naturaleza de las matemáticas concluye que se debe considerar las matemáticas como parte
activa de la cultura y de la sociedad al respecto se identifican algunas de sus características
como: el carácter empírico, evolución de conceptos matemáticos en las diferentes culturas, la
matemática como un sistema cultural con características comunes a otros sistemas.
Así las cosas, se habla de la transposición didáctica como la manera de llevar el conocimiento a
niños y jóvenes respondiendo a las necesidades culturales en un entorno local y global que les
ayuden a solucionar problemas y que favorezcan el desarrollo de habilidades que puedan ser
utilizadas en determinado momento de su historia particular.
Teniendo en cuenta la relación existente entre matemáticas y cultura hay una nueva mirada del
quehacer matemático que debe considerar varios aspectos tales como: el conocimiento
matemático no es algo acabado, está en continua transformación, la consolidación de un
conocimiento es un proceso que en muchas ocasiones puede tomar mucho tiempo y está
influenciado no solo por el carácter cognitivo del individuo sino también por elementos culturales.
El docente debe tener en cuenta estos aspectos en su práctica educativa para el diseño de un
currículo que en verdad sea eficiente y puede favorecer el pensamiento matemático.
De acuerdo con lo anteriormente expuesto los lineamientos curriculares consideran una serie de
elementos para el diseño del currículo a continuación se hará una breve exposición de ellos:
▪ Procesos generales: “Tienen que ver con el aprendizaje y son el razonamiento, resolución
y planteamiento de problemas, comunicación, modelación, elaboración, comparación y
ejercitación de procedimientos”. (MEN ,1998).
▪ Conocimientos básicos: “Procesos específicos que desarrollan el pensamiento matemático
con sistemas propios de las matemáticas”. (MEN ,1998).
▪ El contexto: “Relacionado con los ambientes que rodean al estudiante y le dan sentido a las
matemáticas que aprende”. (MEN ,1998).
66 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Se tiene en cuenta las variables sociales y culturales a nivel global y local, tipo de relaciones,
factores económicos, costumbres y creencias de la comunidad en particular.
Ahora se hablará de los conocimientos básicos considerados en matemáticas:
1. Pensamiento y sistemas numéricos.
2. Pensamiento espacial y sistemas geométricos.
3. Pensamiento aleatorio y sistemas de datos.
4. Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos.
En el caso particular se abordará lo concerniente al pensamiento espacial y sistemas
geométricos.
▪ Pensamiento espacial y sistemas geométricos
El Ministerio de Educación Nacional en su propuesta habla de recuperar en las aulas de clase el
carácter intuitivo de la matemática que se había dejado al incluir por un largo tiempo en el
currículo la matemática moderna.
En esta nueva mirada de la educación se habla de la inteligencia espacial que hace parte de la
Teoría de las inteligencias múltiples propuesta por Gardner (1994) considerada por el como una
habilidad para el desarrollo del pensamiento científico, el autor considera que las personas que
poseen esta inteligencia se desempeñan eficientemente en profesiones como arquitectura,
ingeniería y en general actividades científicas.
El paso hacia lo que se ha denominado una geometría activa permite al individuo realizar una
exploración del espacio tridimensional.
Uno de los objetivos planteados al trabajar los sistemas geométricos es precisamente el
desarrollo del pensamiento espacial “considerado como el conjunto de procesos cognitivos
mediante las cuales se construyen y se manipulan las representaciones mentales de los objetos
del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones y sus diversas traducciones a
representaciones materiales”. (MEN, 1998).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
67
La exploración es una de las actividades principales para consolidar la construcción de los
sistemas geométricos como proceso cognitivo requiere de una serie de etapas que inicia en una
fase intuitiva más practica donde se puedan observar, manipular, localizar objetos, realizar
cálculos y llegar posteriormente a una fase abstracta para hacer representaciones mentales de
objetos y establecer características y relaciones del espacio tridimensional. (MEN, 1998).
Los aspectos inherentes al individuo cognitivos, sociales, culturales influencian el trabajo de la
geometría activa en la escuela, por esta razón debe ser tenidos en cuenta para la puesta en
marcha de actividades propias del individuo como dibujar, trazar, pintar, colorear que permitan
construir representaciones mentales de objetos y en un determinado momento la formalización
de conceptos matemáticos.
Los lineamientos hablan de tres aspectos fundamentales para tener en cuenta:
▪ El desarrollo del pensamiento geométrico
Expone brevemente acerca de los Niveles de Van Hiele como una herramienta ideal para
trabajar el pensamiento geométrico partiendo de un nivel inicial (la intuición) para seguir
avanzando a un nivel más formal (deductivo) identificando las características de cada nivel y el
paso a paso para ir de un nivel a otro.
▪ Representación bidimensional del espacio tridimensional
Hace énfasis en la necesidad de que el individuo representa objetos tridimensionales por medio
de representaciones planas que contengan las características y relaciones de los objetos. Narra
el hecho de que en la enseñanza de las matemáticas se usan muy pocas representaciones
tridimensionales a pesar de estar inmersos en un mundo tridimensional (Lapan y Winter).
Al respecto plantea el dibujo en perspectiva para realizar proyecciones de objetos
tridimensionales usado también en la educación artística o estética, se busca promover la
utilización de herramientas que favorezcan el manejo del espacio y la comprensión de este.
68 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Las transformaciones
La propuesta del MEN busca una matemática más activa en el aula de clase que permita al
estudiante visualizar el movimiento de figuras y objetos geométricos, partiendo de experiencias
concretas al trasladar y mover objetos materiales de esta manera se trabaja intuitivamente las
traslaciones y rotaciones, se trata que el niño comprenda las características inherentes a ellas
para después llegar a la formalización de estos conceptos, cabe aclarar que las reflexiones no
se pueden representar de manera concreta solo se logra por medio de representaciones
mentales por esta razón se aconseja inicialmente trabajar lúdicamente con reflexiones y
rotaciones.
3.2 Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas
Los Estándares Básicos de Competencia en Matemáticas “son un conjunto de parámetros que
establecen lo que un niño y joven debe saber y saber hacer para alcanzar el nivel de calidad en
el sistema educativo en cada área del conocimiento y están especificados por grupos de grado
(1° a 3°, 4°a 5°, 6° a 7, 8° a 9°, 10° a 11°)”. (MEN, 2006).
El término calidad de la educación surge a partir de los años 70 a partir de una reflexión realizada
sobre la eficiencia del sistema educativo financiado por el estado, también se tiene en cuenta la
cobertura, para que la mayor parte de la población pueda adquirir habilidades en todas las
dimensiones del ser humano (social, intelectual, moral), y le permita desenvolverse en la
sociedad.
Los estándares se convierten en una guía para:
▪ La construcción de la malla curricular.
▪ Producción de textos escolares y ayudas educativas.
▪ Diseño de prácticas evaluativas en la institución.
▪ Programas y proyectos para la formación inicial de docentes en formación y de docentes en
ejercicio para cualificar su actividad.
Es importante anotar que el MEN les dio autonomía a las instituciones educativas para desarrollar
su PEI (Proyecto Educativo Institucional) de acuerdo con las características de su entorno, pero
igualmente debe haber unos referentes comunes, los EBC que permiten medir los alcances de
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
69
los planes institucionales y además son tenidos en cuenta en la realización de las pruebas
externas. El grado de interés en este trabajo es cuarto. A continuación, se detallan los estándares
básicos al terminar grado cuarto y quinto en lo referente al pensamiento geométrico.
Tabla 3.1 Estándares Básicos de Competencias del pensamiento espacial para grado 4° y 5°.
Pensamiento espacial y sistemas geométricos. Matemáticas 𝟒° 𝒚 𝟓°
▪ Comparo y clasifico objetos tridimensionales de acuerdo con componentes (caras, lados)
y propiedades.
▪ Comparo y clasifico figuras bidimensionales de acuerdo con sus componentes (ángulos,
vértices) y características.
▪ Identifico, represento y utilizo ángulos en giros, aberturas, inclinaciones, figuras, puntas
y esquinas en situaciones estáticas y dinámicas.
▪ Utilizo sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir relaciones
espaciales.
▪ Identifico y justifico relaciones de congruencia y semejanza entre figuras.
▪ Construyo y descompongo figuras y sólidos a partir de condiciones dadas.
▪ Conjeturo y verifico los resultados de aplicar transformaciones a figuras en el plano para
construir diseños.
▪ Construyo objetos tridimensionales a partir de representaciones bidimensionales y
puedo realizar el proceso contrario en contextos de arte, diseño y arquitectura.
Tomado de: https://www.mineducacion.gov.co/1621/articles-340021_recurso_1.pdf
3.3 Derechos Básicos de Aprendizaje
Los Derechos Básicos de Aprendizaje DBA son un documento emanado por el MEN para
garantizar una educación de calidad para todos, a partir del desarrollo de conocimientos y
habilidades que favorecen una formación integral del individuo.
70 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
La organización de los DBA se realiza a partir de los Lineamientos de Matemáticas y los
Estándares Básicos de competencia EBC, son rutas de aprendizaje para tener en cuenta en cada
año escolar para adquirir los EBC. Los DBA tienen tres componentes: enunciado: aprendizaje
estructurante para el área; evidencia: indicadores que le permiten al maestro observar el alcance
del aprendizaje; ejemplo: acciones concretas para alcanzar el aprendizaje propuesto (MEN,
2016).
En la siguiente tabla se encuentran los DBA para grado cuarto.
Tabla 3.2: Derechos básicos de aprendizaje para grado cuarto.
Pensamiento Espacial y Sistemas geométricos
DBA
Evidencias de aprendizaje
▪ Identifica, describe y
representa figuras
bidimensionales y
tridimensionales, y establece
relaciones entre ellas.
▪ Arma, desarma y crea formas bidimensionales
y tridimensionales.
▪ Reconoce entre un conjunto de desarrollos
planos, los que corresponden a determinados
sólidos atendiendo a las relaciones entre la
posición de las diferentes caras y aristas.
▪ Identifica los movimientos
realizados a una figura en el
plano respecto a una
posición o eje (rotación,
traslación y simetría) y las
modificaciones que pueden
sufrir las formas (ampliación-
reducción)
▪ Aplica movimientos a figuras en el plano.
Diferencia los efectos de la ampliación y la
reducción.
▪ Elabora argumentos referentes a las
modificaciones que sufre una imagen al
ampliarla o reducirla.
▪ Representa elementos del entorno que sufren
modificaciones en su forma.
Tomado de http://aprende.colombiaaprende.edu.co/siemprediae/93226
3.4 Los Niveles de Van Hiele
Para el desarrollo del trabajo se consideró pertinente usar el modelo Van Hiele, una teoría de
enseñanza y aprendizaje de la geometría. Gutiérrez (1993) identifica dos aspectos en el modelo
de Van Hiele:
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
71
Descriptivo: Identifica formas de razonamiento geométrico de los estudiantes y se les da un
valor a sus progresos.
Instructivo: Da una serie de actividades que los profesores deben aplicar para que los
estudiantes avancen en el nivel de razonamiento geométrico en el que se encuentran.
En 1957 los esposos van Hiele, producto de las disertaciones doctorales dan origen al modelo
Van Hiele. El libro original donde se desarrolla la teoría es Structure and Insight: A theory of
mathematics education.
Las características de la teoría de Van Hiele se dan por niveles del 1 al 5 y a continuación, se
describirá cada uno.
▪ Nivel 1: Reconocimiento y visualización
El individuo reconoce las figuras geométricas por su forma como un todo, no diferencia partes ni
componentes de la figura. Produce una copia de una figura en particular y puede reconocerla.
No identifica propiedades de la figura. Las descripciones realizadas de las figuras son intuitivas
y las relaciona con objetos de su entorno. No utiliza un lenguaje formal para referirse a objetos
geométricos.
▪ Nivel 2: Análisis
El estudiante puede reconocer y analizar las partes y propiedades particulares de las figuras
geométricas, pero no establece relaciones o clasificaciones entre propiedades de distintas
familias de figuras. A través de la experimentación y manipulación puede establecer propiedades
de las figuras, pero todavía no puede construir definiciones formales.
▪ Nivel 3: Deducción informal y orden
El individuo tiene la capacidad de determinar las figuras por sus propiedades y reconoce la
relación entre algunas propiedades, relaciona figuras. Sabe cuáles son las condiciones
necesarias que debe cumplir una figura geométrica por esta razón puede construir definiciones
significativas de figuras. No realiza una secuencia lógica de sus razonamientos que lo lleven a
una demostración, Su razonamiento sigue basado en la manipulación.
72 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Nivel 4: Deducción
Realiza deducciones lógicas para demostrar proposiciones. Comprende y maneja relaciones
entre propiedades de figuras y formaliza en sistemas axiomáticos. Plantea como se puede llegar
a un mismo resultado partiendo de premisas o proposiciones distintas. En este nivel el individuo
desarrolla un proceso lógico de proposiciones para deducir propiedades y relaciones de figuras.
Pero aún falta el rigor en sus razonamientos.
▪ Nivel 5: Rigor
En este nivel el estudiante tiene la capacidad de analizar rigurosamente sistemas deductivos,
realizar comparaciones. Analizar la consistencia, independencia y completitud de los axiomas de
los fundamentos de la geometría. Se maneja un alto nivel de abstracción y algunos autores como
Gutiérrez (1993) afirman que es alcanzado por estudiantes universitarios avanzados en
geometría.
Las fases del modelo Van Hiele El modelo Van Hiele propone cinco fases que guían al docente para estructurar las actividades
de cada nivel, y permiten que el estudiante pase de un nivel a otro.
Las fases de los niveles de Van Hiele se describen a continuación:
▪ Fase 1: Información
Se comienza el estudio de un objeto, el docente debe identificar los conocimientos previos del
estudiante y da a conocer los procesos que se van a trabajar, los materiales que se van a utilizar
para construir los nuevos conocimientos.
▪ Fase 2: Orientación dirigida.
En esta fase el docente debe plantear una serie de actividades y problemas que lleven al
estudiante a adquirir un nuevo conocimiento, por esta razón debe ser muy crítico a la hora de
escogerlas, planear cada detalle y prever dificultades que se pueden presentar, así mismo debe
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
73
tener a la mano posibles soluciones, de esta manera el estudiante se sentirá más seguro y su
actitud hacia las matemáticas será más agradable.
▪ Fase 3: Explicitación
Los estudiantes comunican de manera verbal o escrita los conocimientos adquiridos utilizando
un vocabulario claro que permita que sus compañeros comprendan lo que se está trabajando,
aquí todavía no hay una consolidación de un conocimiento formal, pero se tiene un acercamiento
por medio de la descripción en palabras del objeto de estudio.
▪ Fase 4: Orientación libre
Aquí los estudiantes deben consolidar los conocimientos adquiridos en las anteriores fases, el
objetivo es que resuelvan problemas más complejos planteados por el docente que les permiten
explorar en su red de conocimientos una posible solución o soluciones o argumentar que no
tiene solución, la intervención del profesor debe ser mínima.
▪ Fase 5: Integración
En esta última fase los estudiantes tienen la oportunidad de entrelazar los conocimientos previos
con los adquiridos, realizar un resumen general que contenga las características del tema de
estudio, identificar la manera como estos nuevos aportes han contribuido a la comprensión de
este.
3.5 Habilidades del Pensamiento Espacial.
Habilidades de la geometría espacial
Son consideradas como la capacidad de los individuos para realizar tareas en un currículo
específico de trabajo y tiene en cuenta los conocimientos y habilidad de analizar una imagen
visual y la manera como se combina dentro de otras imágenes, representación y construcción de
figuras en 2D y 3D, cálculo de superficies y volúmenes (NCTM, 2000).
74 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Habilidades espaciales
▪ Visualización espacial: Habilidad de comprender los movimientos imaginarios en un
espacio de tres dimensiones o la capacidad de manipular objetos en la imaginación.
(NCTM, 2000).
▪ Orientación espacial: Capacidad de los estudiantes de permanecer sin confusión por el
cambio de orientación dada por una configuración espacial.
▪ Relaciones espaciales: Capacidad de rotar un objeto como un todo de forma correcta.
Pittalis & Christou (2010) consideran que:” el desarrollo de habilidades espaciales tiene un efecto
en el mejoramiento de habilidades geométricas de 3D como el razonamiento de medida, además
el razonamiento de la geometría tridimensional está estrechamente relacionado con la habilidad
del estudiante para calcular el área de la superficie y el volumen de un sólido”.
A partir de un trabajo realizado por el Consejo de Investigación Nacional de los Estados Unidos
cuyo objetivo era saber cómo beneficiaba la incorporación del pensamiento espacial en el
currículo de la educación escolar (K-12). Los resultados obtenidos fueron los siguientes:
El pensamiento espacial, puede ser aprendido debido a los procesos:
▪ Conocimiento y conceptualización del espacio.
▪ Representación del espacio a través de diferentes proyecciones, perspectivas.
▪ Razonamiento del espacio: curvas de nivel, distancia más próxima en línea recta (González,
2015).
El pensamiento espacial cumple las siguientes funciones:
▪ Descriptiva: Localización de objetos sobre el espacio y las relaciones topológicas entre ellos.
▪ Analítica: Comprensión de las estructuras espaciales.
▪ Inferencial: Responder a preguntas sobre la función de las estructuras. (Gonzales, 2015).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
75
3.6 El dibujo artístico
3.6.1 Historia del dibujo artístico
En los archivos arqueológicos la escultura precede al dibujo y la pintura. Se tiene evidencia que
en el periodo paleolítico el hombre primitivo dibujaba en las paredes de las cuevas formas de
animales usando pigmentos de minerales naturales rojos, amarillos y pardos de tierras ocre y
hematites, negro, marrón oscuro de diversos tipos de manganeso, las sustancias eran reducidas
a polvo y se aplicaban sobre las paredes y techos húmedos de piedras calizas de las cuevas.
Estos dibujos se encuentran en la parte más profunda de la cueva. El hombre primitivo usaba
pinceles de cerdas de animales y también sus dedos; primero delineaba figuras de animales y
posteriormente las rellenaba con los pigmentos, utilizaba como disolvente la grasa animal en
ocasiones mezclada con sangre, las protuberancias de las paredes eran aprovechadas para dar
la idea de volumen; en la cueva se protegía del peligro exterior, permanecía mucho tiempo en
ella y ocupaba la parte anterior de la caverna, de esta manera aprovechaba la luz natural y
además se sentía más cómodo porque era la parte más ancha.
Los dibujos se realizan de manera pausada, pero la representación de animales no es muy
similar al animal de la realidad, ya que toma solo algunos partes del cuerpo (patas, cuernos),
creando un patrón; lo mismo sucede con los niños cuando dibujan objetos de su cotidianidad
hacen más énfasis en algunos elementos, por ejemplo, al pintar un carro, resaltan las ruedas de
los demás elementos que componen el objeto. En algunos dibujos encontrados se observan
normas de composición artística como la simetría. En una de las cuevas de Puente de Viesgo
(Cantabria) se detallan dos cabezas de ciervo contrapuestas, también hay figuras en posición
horizontal a manera de friso y se repiten elementos como representación de velocidad y fuerza
(patas, cuernos).
76 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Tomado de http://www.españaescultura.es/export/sites/cultura/multimedia/galerias/museos/mugran_techo_museo_altamira_c.jpg_1306973099.jpg
En un análisis realizado por Matilde Muzquiz Pérez del arte rupestre en las cuevas de Altamira
habla sobre la coherencia en las proporciones de las figuras y el buen trazo de las articulaciones
lo que ayuda a definir correctamente la postura de los animales, poniendo de manifiesto el
profundo conocimiento que tenía el hombre del paleolítico de la estructura ósea de los animales,
realiza un comentario acerca de la adecuada estructura de las cabezas permitiendo conocer la
especie animal (Muzquiz, 1994 ). Matilde Muzquiz concluye que el autor paleolítico refleja en
su pintura aquellos datos que quiere dar a conocer, los trazos y detalles son intencionales.
▪ La era egipcia
La cultura egipcia reconocía el dibujo como una expresión de arte. Pasaron de dibujar
composición de elementos a dibujos más complejos con muchos detalles y color, resaltando las
representaciones teológicas en templos y santuarios, dibujaban sus dioses en detalle.
La cultura griega se preocupaba por obtener una expresión perfecta del ser humano sin
connotaciones sobrenaturales dando armonía a sus lienzos.
En la edad media los dibujos poseen trazos que resaltan los detalles, con el invento del papel el
dibujo tiene mayor auge porque muchas personas ahora tienen la posibilidad de dibujar, también
aparece el dibujo a color.
Figura 3.1 Techo de la cueva de Altamira
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
77
▪ El Renacimiento
Lo más importante es reconocer la belleza y saber expresarla, es así que lo natural adquiere
mayor relevancia y surgen piezas de desnudo femenino, con el uso de nuevas técnicas y colores.
▪ La era digital
Con la aparición del software especializado, el dibujo ha pasado del papel a los dispositivos
digitales. Lo que hoy conocemos como pixeles tuvo inicio con Seurat quien invento la técnica del
puntillismo donde los dibujos se forman a partir de puntos no de líneas, entre más puntos tenga
un dibujo es mucho más definido, este el concepto que se maneja en la actualidad con los pixeles.
3.6.2 Procesos del dibujo artístico
El dibujo artístico es un lenguaje universal que permite la transmisión de ideas, descripciones y
sentimientos, es muy importante en los medios de comunicación ya que transmite de manera
inmediata cualquier información.
El dibujo artístico ayuda al desarrollo de habilidades y pone en marcha procedimientos para que
el estudiante puede representar la realidad e interpretarla con mayor libertad.
El dibujo artístico cuenta con una serie de procesos:
▪ Apunte: Usado para captar y recordar las características del dibujo.
▪ Boceto: Es un borrador que se hace en un papel antes de realizar el dibujo.
▪ Encajado: Son las líneas finales que quedaran en el papel definitivo.
▪ Línea: Contorno del dibujo.
▪ Color: Dado por acuarelas, tinta, lápiz de color etc.
▪ Valor: Se adquiere al sombrear las zonas más oscuras del dibujo y este sea la figura real.
78 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Proporción: Es la relación correcta en tamaño y volumen de todos los componentes del
dibujo
3.6.3 Elementos del dibujo artístico
A diferencia de la Geometría Elemental, en el dibujo artístico, las ideas de punto, recta y plano
son definidas.
▪ El punto
Figura 3.2 Representación de un punto
No se define desde la geometría; pero si en las artes plásticas, es el elemento más sencillo y
esencial y se considera como una huella dejada un lápiz, plumón, pincel o cualquier material que
se utilice.
▪ La línea
Figura 3.3 Líneas trazadas
Imagen tomada de: https://cbmjoseantonio.files.wordpress.com/2015/04/lines-in-the-blog.jpg
Es una sucesión de puntos que según la dirección se clasifica en línea recta o curva, si los puntos
van en una misma dirección se habla de línea recta y si van en diferente dirección se obtiene una
línea curva.
▪ Volumen
La línea permite da formas y volumen y construir espacios, se puede hablar del espacio que
ocupa un cuerpo y hace alusión a la magnitud física que considera tres dimensiones largo, ancho
y alto.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
79
▪ Forma
Las líneas configuran contornos y superficies que en esencia son formas y se clasifican en
regulares, irregulares, naturales y artificiales.
▪ Textura
La textura hace referencia a las características de las superficies pudiendo ser real o sugerida,
es real cuando podemos interactuar con ella. Las texturas pueden ser lisas, blandas, rugosas,
duras, ásperas etc.
3.7 La tecnología en el aula
La sociedad actual demanda un ciudadano con nuevas habilidades laborales, más activo, mejor
informado, más participativo, esto genera un nuevo desafío en el ámbito educativo. El auge de
las Tecnologías de Información y Comunicación (TIC) en diferentes aspectos de la vida, hace
necesario no solo un conocimiento superficial si no más profundo sobre la forma como se accede
la información a través videos, imágenes, sonidos etc. (Kellner, 2004).
El mundo tiene un carácter geométrico, la geometría constituye una herramienta muy eficiente
para modelar el entorno, el Ministerio de Educación Nacional en el documento de los
lineamientos curriculares de matemáticas habla de la geometría dinámica que lleva al estudiante
a la exploración de su medio ambiente, la representación del espacio, la observación de las
propiedades de los objetos geométricos al realizar transformaciones para que construya
conceptos más fortalecidos.
Los ambientes de aprendizaje en el aula son muy importantes para favorecer la enseñanza. El
docente crea las condiciones necesarias para los procesos de aprendizaje (Jaramillo et al.,2005).
Las estrategias didácticas usadas en el aula de clase deben tener en cuenta dos aspectos
fundamentales el desarrollo de habilidades espaciales y la comprensión de los conceptos
geométricos de manera significativa, por esta razón la inclusión de herramientas tecnológicas
constituye una herramienta que favorece el desarrollo de competencias y habilidades del
80 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
pensamiento geométrico. Hoy en día el mercado ofrece software de geometría dinámica como el
GeoGebra, Cabri entre otros. Estos softwares permiten al estudiante mover las figuras y
observar que pasa con algunas de sus propiedades, tomemos el caso de la suma de los ángulos
interiores de un triángulo, al mover uno de los ángulos el estudiante observara que esa suma no
varía, además de verificar los diferentes valores que va tomando cada uno de ellos, favoreciendo
la formación de conceptos más generales y comprendiendo las propiedades de los diferentes
objetos geométricos, además permite resolver problemas al mover el objeto que sería muy difícil
de solucionar al estar el objeto fijo , es decir permite poner en marcha la estrategia heurística
recomendada por Polya que consiste en encontrar la solución a un problema usando varios
métodos.
A continuación, se describirá los softwares que pueden ser utilizados en la práctica de aula.
GeoGebra: Es un programa dinámico para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en
todos sus niveles. Ofrece representaciones diversas de objetos geométricos desde diferentes
perspectivas, ayuda a visualizar propiedades de un objeto en movimiento, además ofrece la
posibilidad de realizar construcciones geométricas de manera fácil con un trazo exacto que se
relacione todas las propiedades del objeto dibujado.
CAD: Es un software de diseño usado por los ingenieros para el diseño de piezas y estructuras
en 2D Y 3D. Hace uso de la geometría de referencia o geometría de construcción definiendo la
forma de una superficie o sólido, incluye elementos como planos, sistemas de coordenadas,
puntos.
3.8 Una propuesta didáctica para el desarrollo de las habilidades del pensamiento espacial para estudiantes de grado cuarto haciendo uso del dibujo artístico
La enseñanza de las matemáticas en la antigüedad era considerada un arte, de acuerdo con la
historia, infiero que las personas que se dedicaban a esta labor mostraban pasión por lo que
hacían.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
81
El panorama actual de la educación es muy diferente y exige en primera medida motivar a
aprender usando metodologías que cautiven la atención y que hagan parte del entorno del
estudiante.
La propuesta se realizó teniendo en cuenta la edad de los estudiantes niños de 9 a 10 años y un
contexto llamativo como lo es el dibujo artístico, ya que los niños a esta edad muestran un interés
por expresiones artísticas, además las matemáticas y el dibujo artístico tienen elementos
comunes para su desarrollo, como la observación, la memoria visual y la orientación espacial
entre otras.
El propósito de las actividades presentadas en este trabajo es motivar y desarrollar habilidades
del pensamiento espacial que sean complementarias para adquirir los conocimientos
matemáticos reglamentados por el Ministerio de Educación Nacional, específicamente en el
grado cuarto de básica primaria a través del dibujo artístico.
Las actividades están diseñadas usando el modelo de las situaciones didácticas de Guy
Brouseeau que tienen el propósito de que el estudiante construya un conocimiento matemático
a partir de una situación problema que requiere su uso.
La teoría de las situaciones didácticas comienza en Francia con uno de sus precursores Guy
Brousseau que ve la necesidad de abordar la enseñanza desde una visión científica teniendo en
cuenta como se da el proceso de aprendizaje identificando los factores favorables y no favorables
en el proceso de enseñanza. Esta teoría está sustentada en una visión constructivista que
Brouseeau la define de esta manera: “El alumno aprende adaptándose a un medio que es factor
de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, un poco como lo hace la sociedad humana.
este saber fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nueva que son la
prueba del aprendizaje” (Brouseeau,2007).
La forma como el estudiante interactúa con el conocimiento se da en lo que Brousseau llama
situación didáctica y contempla relaciones entre estudiante, entorno y docente.
82 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Dada el nivel de escolaridad y la edad de los niños a quienes van dirigida la propuesta, en la
estructura de cada actividad se tuvo en cuenta los dos primeros niveles de Van Hiele:
El primero es el Reconocimiento y Visualización y el segundo Análisis; así mismo se consideran
las cinco fases contempladas para cada nivel.
La secuencia didáctica cuenta con cuatros momentos: situación acción, situación comunicación,
situación validación y desarrollo de competencias, este último momento busca fortalecer la
conexión del tema disciplinar y la habilidad del pensamiento espacial trabajado.
A continuación, se relaciona cada etapa de la secuencia didáctica con los niveles de Van Hiele:
▪ Situación acción: Aquí se propone una situación problema que el estudiante debe resolver
usando una habilidad del pensamiento espacial a través del dibujo artístico.
▪ Situación de comunicación: Se plantea una actividad donde se relacionan los conceptos
matemáticos y del dibujo artístico a través de una habilidad del pensamiento espacial.
▪ Estos dos momentos iniciales se relacionan con el primer nivel de Van Hiele: el niño tiene
la posibilidad de observar láminas, pinturas o elementos de su entorno y relacionarlos con
figuras geométricas haciendo descripciones sencillas.
▪ Situación de validación: El estudiante resuelve una situación de carácter disciplinar usando
la habilidad del pensamiento espacial.
▪ Desarrolla tus competencias: Contempla la profundización de los temas disciplinares
relacionados con la habilidad trabajada en cada actividad y una serie de ejercicios que
entrelazan la habilidad y el conocimiento disciplinar.
En estas dos últimas etapas se evidencia el segundo nivel de Van Hiele, el análisis de
propiedades presentes en las figuras o situaciones geométricas observadas. El alcance del tercer
nivel dependerá de las habilidades de cada estudiante.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
83
Ahora se describirá la relación de cada fase de los niveles de Van Hiele con la secuencia
didáctica.
Nivel de Reconocimiento y visualización
▪ En la situación acción: Al iniciar la actividad el docente informa a los estudiantes los
elementos del dibujo artístico que se van a trabajar (estos han sido vistos con anterioridad),
da las orientaciones necesarias para la realización de la actividad.
▪ En la situación comunicación: una vez terminada la actividad los estudiantes pueden
comunicar los resultados obtenidos, el docente puede plantear nuevas situaciones dando la
oportunidad al estudiante de resolver libremente dicha situación y por último motivar a
relacionar la actividad trabajada con los conocimientos previos, integrando los saberes.
Nivel de Análisis ▪ En la situación validación el docente informa al estudiante sobre la habilidad del
pensamiento espacial que se va a utilizar en la actividad, da las orientaciones e instrucciones
para resolverla, el estudiante comunica a los compañeros los argumentos matemáticos
tenidos en cuenta para la solución de las actividades. En la sección de desarrollo de
competencias el estudiante resuelve libremente los ejercicios planteados, integrando los
conocimientos previos con los nuevos e identificando la relación entre la habilidad del
pensamiento espacial con el tema disciplinar.
3.9 Propuesta de Actividades
A continuación, se detallará la estructura de cada actividad.
▪ Actividad 1: Veo, veo ¿Qué ves?
1. Habilidad: Reconocimiento de la figura aislándola de su contexto.
2. Temas: Líneas perpendiculares, paralelas y polígonos.
84 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
3. Elementos del dibujo artístico: Boceto.
4. Materiales: Lápiz, borrador, tajalápiz, regla, colores.
5. Objetivos:
▪ Realizar dibujos utilizando elementos geométricos.
▪ Percibir los detalles del espacio exterior para construir el concepto de línea abierta, cerrada
y polígonos.
6. Actividades complementarias: En la sección desarrolla tus competencias se encuentran
actividades que están relacionadas con la Identificación de polígonos, líneas paralelas y
perpendiculares, y clasificación de polígonos convexos y no convexos.
▪ Actividad 2: Se parece, pero no es igual.
1. Habilidad: Discriminación visual
2. Temas: Clasificación de polígonos.
3. Elementos del dibujo artístico: Boceto.
4. Materiales: Lápiz, borrador, tajalápiz, regla, colores, figuras geométricas de diversos
tamaños y formas elaboradas en cartulina.
5. Objetivos:
▪ Comparar figuras bidimensionales
▪ Desarrollar el sentido de la observación.
▪ Realizar la clasificación de polígonos según sus características.
6. Actividades complementarias: En la sección desarrolla tus competencias se encuentran
actividades de identificación y clasificación de triángulos y cuadriláteros.
▪ Actividad 3: Inventando el espacio
1. Habilidad: Memoria visual y ubicación espacial
2. Temas: Sistema de coordenadas cartesianas.
3. Elementos del dibujo artístico: Dibujo de memoria
4. Materiales: Lápiz, borrador, tajalápiz, regla, colores.
5. Objetivos:
▪ Recordar información que se ha obtenido visualmente.
▪ Fortalecer el sentido de orientación.
▪ Representar figuras geométricas usando el plano cartesianas.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
85
6. Actividades complementarias: En la sección desarrolla tus competencias se encuentran
actividades de ubicar figuras en el plano cartesiano.
▪ Actividad 4: Muévete, muévete
1. Habilidad: Relaciones espaciales
2. Temas: Movimientos rígidos en el plano: translación y simetría.
3. Elementos del dibujo artístico: Bodegón.
4. Materiales: Lápiz, regla, colores, borrador
5. Objetivos:
▪ Identificar los elementos invariantes de un objeto al moverse en el plano.
▪ Hallar el simétrico de una figura dado un eje de simetría.
▪ Observar los cambios de posición de los objetos de un conjunto.
▪ Representar los cambios de posición de objetos que hacen parte de un conjunto
6. Actividades complementarias: En la sección desarrolla tus competencias se encuentran
actividades de trasladar figuras geométricas en el plano cartesiano y de obtener objetos
simétricos a otro.
▪ Actividad 5: Rotando, ando
1. Habilidad: Memoria visual y ubicación espacial.
2. Tema: Movimientos rígidos en el plano: rotación.
3. Elementos del dibujo artístico: Perspectiva, punto de fuga.
4. Materiales: Lápiz, regla, colores, borrador.
5. Objetivos:
▪ Fortalecer el sentido de orientación.
▪ Realizar movimientos en el plano.
▪ Identificar los movimientos en el plano realizados a una figura.
▪ Identificar las características de los objetos al moverse en el plano
6. Actividades complementarias: En la sección desarrolla tus competencias se encuentran
actividades de rotación de figuras.
86 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Actividad 6: En busca del tesoro
1. Habilidad: Modelos y mapas.
2. Temas: Movimiento rígidos en el plano: traslaciones.
3. Dibujo artístico: Interpretación de información en un gráfico.
4. Materiales: Lápiz, borrador, hojas blancas, colores, plantillas de pentominós.
5. Objetivos:
▪ Utilizar sistemas de coordenadas para especificar localizaciones y describir relaciones
espaciales.
▪ Trazar una ruta dada desde un punto inicial a un punto final.
▪ Realizar movimientos de traslación en el plano.
6. Actividades complementarias: En la sección desarrolla tus competencias se encuentran
actividades de traslación de objetos en el plano cartesiano.
▪ Actividad 7: Construyendo con GeoGebra
1. Habilidad: Relaciones espaciales
2. Temas: Traslación y simetría
3. Objetivos:
▪ Identificar las herramientas del software GeoGebra para graficar polígonos y realizar
movimientos en el plano.
▪ Realizar traslaciones y simetrías de objetos utilizando las herramientas que brinda el
software.
▪ Dinamizar el aprendizaje de conceptos geométricos por medio de la exploración y
descubrimiento al interactuar con la interfaz.
▪ Actividad 8: Diseña tu espacio
1. Habilidad: Relaciones espaciales
2. Tema: Líneas y Polígonos
3. Objetivos:
▪ Identificar las herramientas del software CAD para diseñar objetos y espacios reales
▪ Realizar el diseño de espacios utilizando las herramientas de dibujo y de medida
▪ Visualizar espacios tridimensionales.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
87
Imagen tomada de: https://tse1.mm.bing.net/th?id=OIP.barm5yyPvFQ9H6I-5tkUjwDsEI&pid=Api
1. ¿A qué personaje corresponde el boceto?
2. ¿Qué te llama la atención?
3. Teniendo en cuenta los detalles que se resaltan en el boceto, colócale un nombre a la
imagen.
Institución Educativa Departamental Hernán Venegas Carrillo
Actividad 1 Veo, Veo ¿Qué ves?
Área de Matemáticas
Grado cuarto
Situación acción
Situación acción
88 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Imagen tomada de: https://i.pinimg.com/originals/c4/aa/fe/c4f52afc.jpg
1. ¿Qué observas en la imagen?
2. ¿Qué te llama la atención?
3. Teniendo en cuenta los detalles que se resaltan en el boceto, colócale un
nombre a la imagen.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
89
Observa la foto del centro de Tocaima. Encierra 4 lugares, escoge uno de ellos y realiza un
boceto.
Mi dibujo
Situación de comunicación
Situación de comunicación
90 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
1. ¿Qué clase de líneas usaste en el boceto?
___________________________________________________________________________
2. Haz la lista de las figuras geométricas que usaste en el boceto
▪ ____________________
▪ ____________________
▪ ____________________
▪ ____________________
3. Relaciona cada parte de tu dibujo con una figura geométrica o una clase de línea y
regístralo en la siguiente tabla.
Parte del dibujo Figura geométrica
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
91
Realiza un dibujo:
Usando solo líneas curvas
Usando polígonos
Situación de validación
Situación de validación
92 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Desarrolla tus competencias
1. Cuenta el número de lados de cada polígono y escribe su nombre.
2. Identifica los lados paralelos y los lados perpendiculares de cada polígono y resáltalos
con colores.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
93
3. Observa la recta y traza:
Una recta paralela de color rojo.
Una recta perpendicular de color verde
Una recta secante no perpendicular de color azul
4. Observa las rectas y con ayuda de la escuadra, completa:
▪ a y b son rectas
_______________________
▪ d y e son rectas
________________________
▪ a y d son rectas
________________________
▪ b y e son rectas
________________________
94 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
5. Recordemos las definiciones de polígono convexo y no convexo.
5. Encierra los polígonos convexos.
6. La siguiente imagen es la obra Paisaje Mediterráneo, realizada por Pablo Picasso.
Obsérvala e identifica en ella figuras geométricas, líneas paralelas y perpendiculares,
resáltalas con colores. Realiza un dibujo con las mismas figuras geométricas que
encontraste en esta obra.
Imagen tomada de: https://i.ytimg.com/vi/8Kb2wRNLjRA/hqdefault.jpg
Un polígono convexo es aquel en el cual toda diagonal, excepto sus extremos, queda en el interior del polígono. Un polígono no convexo es aquel que tiene por lo menos una diagonal, excepto sus extremos, que queda por fuera del polígono.
Un polígono convexo es aquel en el cual toda diagonal, excepto sus extremos, queda en el interior del polígono. Un polígono no convexo es aquel que tiene una diagonal, excepto sus extremos, queda por fuera del polígono.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
95
Mi dibujo Mi dibujo
96 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
1. Observa cada imagen detalladamente y a continuación escribe las diferencias.
Imagen tomada de:
http://4.bp.blogspot.com/3xB77Dfx0IY/UWIxtoaJTI/AAAAAAAAHJs/dIPNUb4XJPU/s1600/diferencias5.png
Institución Educativa Departamental Hernán Venegas Carrillo
Actividad 2 Se parece, pero no es igual
Área de Matemáticas
Grado cuarto
Diferencias
Situación de acción
Situación de acción
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
97
Tomado de: http://4.bp.blogspot.com/-7_V4TRw4sWg/VeQsFD_FPsI/AAAAAAAAAIM/2hwkH4kzjkw/s1600/diferencias.jpg
Diferencias
98 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Observa la imagen y dibújala en tu cuaderno copiando todos los detalles posibles. Después de dibujarla, compárala con la imagen original identificando las diferencias.
Imagen tomada de: https://tse1.mm.bing.net/th?id=OIP.JxUIutTBy-VZ2ZvVxet2ZgHaEK&pid=Api
Mi dibujo
Situación de comunicación
Situación de comunicación
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
99
Se realizan grupos de 4 estudiantes y cada grupo recibe un conjunto variado de figuras geométricas en tamaño y color elaboradas en cartulina. A. Clasifica los polígonos según el número de lados y dibújalos.
Tres lados Cuatro lados Cinco lados Mas de 5 lados
Situación de validación
Situación de validación
100 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
B. Forma grupos de polígonos que tengan una misma característica y dibújalos.
Característica_____________________ Nombra cada categoría. (Por ejemplo, en el ejercicio
anterior la característica fue el número de lados y sus categorías fueron el número de lados
específico).
C. Observa los siguientes triángulos, con la regla mide cada uno de sus lados y anota su medida.
1 2 3 4 5
Longitud (cm)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴C
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
101
▪ Un triángulo que tiene dos lados de igual longitud se llama Isósceles.
▪ Un triángulo que tiene tres lados de igual longitud se llama equilátero.
▪ Un triángulo que tiene sus tres lados de diferente medida se llama escaleno
Longitud (cm)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴C
Longitud (cm)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐴C
102 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
D. Ahora mide la longitud de los lados de los cuadriláteros y anota su medida.
Longitud (cm)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
Longitud (cm)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
103
Longitud (cm)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
Longitud (cm)
𝐴𝐵 𝐵𝐶 𝐶𝐷 𝐴𝐷
104 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
▪ Un cuadrado es un cuadrilátero que tiene sus cuatro lados iguales y sus cuatro ángulos
de 90°.
▪ Un trapecio es un cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos.
▪ Un trapecio isósceles es un trapecio que tiene al menos un par de lados opuestos no
paralelos e iguales.
▪ Un rectángulo es un cuadrilátero que tiene todos sus ángulos de 90° y sus pares de lados
opuestos tienen igual medida.
▪ Un rombo es un cuadrilátero que tiene todos sus lados iguales.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
105
Desarrolla tus competencias
1. Nombra los diferentes polígonos que aparecen en la figura.
106 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
2. Identifica los triángulos que hay en la figura y colorea según las instrucciones:
▪ De rojo los triángulos rectángulos
▪ De verde los triángulos isósceles
▪ De azul los triángulos escalenos
3. Observa cada una de las figuras geométricas que aparecen en el dibujo de la parte superior
derecha, identifícalas y construye con ellas la figura central de color blanco.
A.
.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
107
B.
C.
108 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
4. Ayuda a Mateo a encontrar su mochila, esta tiene pintada un cuadrilátero con las siguientes
características:
Tiene dos ángulos agudos y dos ángulos obtusos, sus cuatro lados tienen la misma longitud y
dos pares de lados paralelos.
¿Cuál de los siguientes cuadriláteros corresponde a la descripción del polígono dibujado en la
maleta de Mateo?
5. Dibuja un cuadrilátero que corresponda a las características dadas.
A. un cuadrilátero en el que solamente un par de lados tengan la misma longitud.
A
A
B
B
C
C
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
109
B. Un cuadrilátero con todos los lados de diferente longitud.
C. Un cuadrilátero en el que solamente un
par de lados sean paralelos.
110 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Observa la imagen por 5 minutos, memorízala, cúbrela y sin mirarla, dibújala en tu cuaderno de
la misma manera, incluyendo el mayor número de detalles posibles.
Después de dibujarla en tu cuaderno compárala con el dibujo dado inicialmente.
Institución Educativa Departamental Hernán Venegas Carrillo
Actividad 3
Inventando el espacio
Área de Matemáticas
Grado cuarto
Situación de acción
Situación de acción
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
111
Observa cada una de las cuadrículas, memorízalas, cúbrelas y si mirarlas, dibújalas en tu cuaderno de la misma manera. Después de dibujarlas en tu cuaderno compáralas con las cuadriculas dadas inicialmente en la guía de trabajo.
.
Mi dibujo
112 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Observa la imagen del centro de Tocaima. En una hoja blanca diseña una ruta que te lleve del
colegio a la iglesia. Incluye lugares conocidos y dibújalos anotando sus nombres. Incluye las
calles y carreras principales, y dibújalas anotando sus direcciones.
Situación de validación
Situación de validación
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
113
Esta es mi ruta
114 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Desarrolla tus competencias
1. Observa atentamente, encuentra la regularidad y completa la secuencia
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
115
2. Observa los puntos ubicados en el plano y ubica los siguientes
puntos (1,1); (3,5); (5,2); (3,4).
116 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
3. Ubica los puntos en el plano y únelos en el
orden dado para descubrir la figura escondida.
(2,1); (6,1); (7,2); (7,4); (5,6); (2,6); (3,4). 4. Ubica los vértices de cada figura en el plano
cartesiano.
▪ Cuadrado: 𝐴(4,3); 𝐵(4,7); 𝐶(6,7). Halla el vértice 𝐷(____, _____).
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
117
▪ Pentágono: 𝐷(1,3); 𝐸(3,5); 𝐹(6,5); 𝐺(7,2). Halla el vértice 𝐻(____, ____).
▪ Hexágono: 𝑀(3,3);𝑁(4,5); 𝑂(7,5); 𝑃(10,4); 𝑄(7,2). Halla el vértice 𝑅(____, ____).
118 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
5. ¿Cuántos caminos posibles hay para llegar del punto (2,1) al punto (4,5), solo se permiten
desplazamientos hacia la derecha y hacia arriba.
Dibuja tres de los caminos posibles,
cada uno con diferente color.
6. Representa las figuras en el plano cartesiano. Halla su perímetro y área sabiendo que
cada cuadrado tiene de lado 1 𝑐𝑚.
a) Vértices de un cuadrado:
𝑀(2,2);𝑁(6,2); 𝑂(10,6); 𝑃(2,6)
Área_____________________
Perímetro_______________
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
119
b) Vértices de un rectángulo. 𝐴(1, 1); 𝐵(7,1); 𝐶(7,3); 𝐷(1,3).
Área_____________________
Perímetro________________
c) Vértices de un triángulo:
𝐶(2,2); 𝐷(5,2); 𝐸(2,5)
Área_____________________
Perímetro________________
120 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
d) Vértices trapecio 𝐴(1,2); 𝐵(3,4); 𝐶(6,4); 𝐷(7,2).
Área _____________________
Perímetro _________________
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
121
Se dispondrá sobre la mesa del salón varios elementos para que los niños los dibujen, deben
copiar todos los detalles posibles.
Después de 20 minutos se hará un cambio en la posición de los objetos y nuevamente los
estudiantes realizarán el dibujo.
Institución Educativa Departamental Hernán
Venegas Carrillo
Actividad 4
Muévete, muévete
Área de
Matemáticas
Grado cuarto
Situación de acción
122 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Observa el siguiente cuadro
Contesta las siguientes preguntas: ¿Dónde se encuentra la piña con respecto a la maleta?
¿Dónde se encuentra el libro con respecto a las flores? ¿Dónde se encuentra el lápiz con respecto al libro?
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
123
Dibuja sobre una mesa: una maleta, un lápiz, un libro, una piña, flores de acuerdo con las
siguientes instrucciones:
La maleta está detrás de todos los objetos, la piña está a la izquierda del libro, las flores están
detrás del libro y el lápiz está a la derecha de la piña.
MI DIBUJO
124 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
A. Colorea los objetos que están a la derecha del rallador.
B. Colorea los objetos que están a la izquierda del carrete de hilo.
Situación de comunicación.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
125
C. Colorea los objetos que están a la izquierda del lápiz y a la derecha del exprimidor.
D. Colorea los objetos que están arriba del gancho de colgar y debajo de la aspiradora.
126 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
E. Colorea los objetos que estén arriba de la regla, debajo de la aspiradora y a la derecha de
la pinza de ropa.
Se realizarán grupos de cuatro estudiantes y a cada grupo se le entrega un plano del colegio IED
Hernán Venegas Carrillo, pero sin algunos detalles, cada grupo deberá completar este plano
incluyendo los elementos que hagan falta, para ello harán un recorrido por las instalaciones del
colegio partiendo de algunos puntos de referencia dados en el plano inicial.
Situación de validación
Situación de validación
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
127
Plano de la IED Hernán Venegas Carrillo
Zona verde
Zona verde
Cancha
Cancha
Aula múltiple
Aula múltiple
Coordinación
Coordinación
Comedor
Comedor
Sección primaria
Sección primaria
Sección
secundaria
Sección
secundaria
128 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Desarrollo de competencias
1. Observa detenidamente encuentra la regularidad y completa la secuencia.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
129
2. Rotando y trasladando objetos
En cada caso completa la figura de la derecha para que sea la simétrica de la figura de la
izquierda.
130 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
3. Dibuja la estrella simétrica con respecto a la recta �⃗⃗�
4. Observa la figura
▪ Halla las coordenadas de los vértices del triángulo negro.
▪ Dibuja con rojo el simétrico del triángulo negro con respecto a la recta roja.
▪ Halla las coordenadas de los vértices del triángulo rojo.
▪ Halla el área del triángulo negro, y el triángulo rojo.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
131
4. Observa la figura
▪ Halla las coordenadas del rectángulo azul.
▪ Dibuja con color morado el simétrico del rectángulo azul con respecto a la recta verde.
▪ Halla las coordenadas de los vértices del rectángulo morado.
▪ Halla el área del rectángulo azul, y el rectángulo morado.
132 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Observa la imagen: Dibuja los globos proporcionalmente más pequeños a medida que se vayan alejando en el
horizonte. Completa la hilera de árboles y dibuja los detalles que creas necesarios en el paisaje.
Imagen tomada de: https://i2.wp.com/webdelmaestro.com/wp-content/uploads/2017/02/Perspectiva-para-primaria-1.jpg?resize=600%2C800&ssl=1
Institución Educativa Departamental Hernán Venegas Carrillo
Actividad 5
Rotando, ando
Área de Matemáticas
Grado
cuarto
Situación acción
Situación acción
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
133
Dibuja más vagones del tren
Imagen tomada de:https://i1.wp.com/webdelmaestro.com/wp-content/uploads/2017/02/Perspectiva-para-completar.jpg?resize=768%2C533&ssl=1
María y Juan observan la regadera:
134 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Observa a Bart
Dibuja como ve María la regadera
Dibuja como ve Juan la regadera
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
135
Dibuja a Bart de espalda
Mi dibujo
Dibuja las vistas de la figura de la derecha. Colorea del mismo color cada cara de la perspectiva
y su vista correspondiente.
Situación de validación
136 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
137
138 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Desarrolla tus competencias
1. Observa el reloj
Teniendo en cuenta el primer reloj que ángulo se roto en:
▪ El reloj 1 _______________
▪ El reloj 2 ________________
▪ El reloj 3________________
1
1
2
3
3
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
139
2. Rota cada figura alrededor del punto indicado.
90° hacia la derecha 180° hacia la izquierda
3. Gira 90 la figura para completar la serie.
?
140 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
4. Relaciona con una línea la figura de la izquierda con la figura que se obtiene al realizar
la rotación indicada.
Rota 180°a la derecha
Rota 90° a la izquierda
Rota 180°a la izquierda
Rota 90° a la derecha
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
141
5. Utiliza el transportador y verifica que ángulo giro cada insecto .
.
142 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Observa el mapa de Tocaima e identifica los lugares señalados con las estrellas.
Imagen tomada de: https://maps.google.com/
▪ _____________________
▪ _____________________
▪ _______________________
Institución Educativa Departamental Hernán Venegas Carrillo
Actividad 6 En busca del tesoro
Área de Matemáticas
Grado cuarto
Situación acción
Situación acción
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
143
Se realizan 5 grupos de estudiantes y a cada grupo se le asigna un lugar particular del colegio
(Cancha deportiva, cafetería, aula múltiple, área de Administración, Comedor).
Cada grupo conoce solamente cuál es su lugar asignado y no sabe qué lugares les
correspondieron a los otros grupos.
Cada grupo debe esconder en el sitio asignado un objeto, realizar un mapa del colegio con los
lugares característicos escribiendo su nombre en todos los lugares excepto en el lugar donde
escondió el objeto y colocando allí una estrella. Los demás grupos deben encontrar el objeto
escondido.
Situación de comunicación
Situación de comunicación
144 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Pentominós:Un pentominó es una poliforma que consiste en una figura geométrica compuesta
por cinco cuadrados unidos por sus lados. Existen doce pentominós diferentes, que se nombran
con diferentes letras del abecedario
. Imagen tomada de: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Pentominos.svg/1200px-Pentominos.svg.png
Situación de validación
Situación de validación
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
145
1. Observa cada una de las figuras, colorea de forma que los pentominós encajen.
146 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
2. Recorta los 12 pentominós y arma las figuras que encuentras a continuación, recuerda que
puedes girar y voltear las piezas.
Una vez armada cada figura dibuja la solución en el cuaderno.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
147
148 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
149
150 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
151
Desarrolla tus competencias Realiza la translación a cada figura:
1. Traslada el murciélago 2 unidades hacia abajo.
152 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
2. Traslada la nave espacial 3 unidades hacia la derecha y una hacia abajo.
3. Traslada la enfermera 4 unidades hacia la derecha
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
153
4. Traslada el caracol 3 unidades hacia abajo y 2 hacia la derecha.
5. Describe la translación realizada a la figura de color verde.
154 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
6. Describe la translación realizada a la figura roja.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
155
Ejercicio 1: Traslada con GeoGebra
Utilizaras geogebra para realizar una construccion, sigue los pasos:
a) Identifica en la barra, la herramienta poligono, construye un cuadrado.
Institución Educativa Departamental Hernán
Venegas Carrillo
Actividad 7 Construye con GeoGebra
Área de Matemáticas
Grado cuarto
b) A continuación, construye un triángulo sobre cada lado del
cuadrado como se ilustra en la figura.
b) A continuación, construye un triángulo sobre cada lado del
cuadrado como se ilustra en la figura.
156 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
c) Con la herramienta punto, dibuja cada vértice de la figura moviéndolo
seis unidades hacia la derecha y unidad hacia arriba.
c) Con la herramienta punto, dibuja cada vértice de la figura moviéndolo
seis unidades hacia la derecha y unidad hacia arriba.
d)Con la herramienta polígono
une los vértices y forma la
figura.
d)Con la herramienta polígono
une los vértices y forma la
figura.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
157
Ahora construye nuevamente la figura inicial y utiliza la herramienta traslación.
Escoge la herramienta traslación, da clic sobre el objeto, elige un vértice y a continuación
traza el vector. (seis unidades hacia la derecha y una hacia arriba).
Escoge la herramienta traslación, da clic sobre el objeto, elige un vértice y a continuación
traza el vector. (seis unidades hacia la derecha y una hacia arriba).
158 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Ejercicio 2: Al derecho y al revés. Sigue los siguientes pasos:
a) Con la herramienta polígono construye la siguiente figura.
a) Con la herramienta polígono construye la siguiente figura.
b) A partir del vértice K cuenta dos
unidades hacia la derecha y traza una recta
vertical.
b) A partir del vértice K cuenta dos
unidades hacia la derecha y traza una recta
vertical.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
159
d) Con la herramienta polígono une los
vértices de la figura.
d) Con la herramienta polígono une los
vértices de la figura.
c) Mueve cada vértice de la figura dos
unidades hacia la derecha a parir de la
línea que trazaste.
c) Mueve cada vértice de la figura dos
unidades hacia la derecha a parir de la
línea que trazaste.
160 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Ahora nuevamente construye la figura inicial y con la herramienta simetría axial:
Da clic en la figura y a continuación en la recta.
Obtendrás una figura simétrica al lado derecho.
Da clic en la figura y a continuación en la recta.
Obtendrás una figura simétrica al lado derecho.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
161
Institución Educativa Departamental Hernán Venegas Carrillo
Actividad 8 Diseña tu espacio
Área de Matemáticas
Grado cuarto
Identificar en la barra: herramientas de dibujo, de modificación, anotación.
Identificar en la barra: herramientas de dibujo, de modificación, anotación.
Escoger la
escala del
dibujo
162 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Se realiza el diseño de una cancha de fútbol reglamentaria ubicando las líneas de demarcación: laterales, medio campo, círculo central, áreas, arcos y esquinas. Para ello se utiliza una escala de 1: 10.
Imagen tomada de: https://designscad.com/wp-content/uploads/2017/01/football_field_atle_dwg_plan_for_autocad_38766.gif Se realizarán diseños de objetos como: ▪ Sillas
▪ Tornillos
▪ Muebles
Imagen tomada de: http://1.bp.blogspot.com/-_7XcfQmpeAU/VDVT8x7kV5I/AAAAAAAAJPg/xsh9PsN7DN0/s1600/portada.PNG
I Imagen tomada de: https://tse2.mm.bing.net/th?id=OIP.hNf6XpyfCTj2GE5zXtHx2gHaDt&pid=Api
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
163
4 Conclusiones y recomendaciones
A continuación, se señalan algunas conclusiones y recomendaciones derivadas de la
realización de este trabajo.
Es de anotar que las actividades propuestas no se pudieron aplicar a causa de la
pandemia del COVID 19 del año 2020, además de problemas logísticos como la
conectividad en el municipio de Tocaima. Por lo tanto, no se tienen observaciones del
trabajo de los estudiantes.
4.1 Conclusiones
La historia de la matemática nos muestra cómo evolucionan los conceptos matemáticos.
A través de la historia aprendemos que las matemáticas son una construcción social;
además, nos brinda elementos que pueden ser usados en el proceso de enseñanza -
aprendizaje.
La enseñanza de la geometría no debe limitarse a los contenidos convencionales, es
necesario también fortalecer las habilidades del pensamiento espacial que
complementen el aprendizaje. El desarrollo del pensamiento espacial y el conocimiento
se entretejen para alcanzar una competencia intelectual.
Es importante identificar elementos comunes de la geometría con otras disciplinas e
integrarlas para diseñar actividades que enriquezcan el contexto de enseñanza.
Además, la estrategia de enseñanza debe estar acorde con las edades de los
estudiantes, debe ser llamativa para lograr motivar e iniciar el proceso de aprendizaje.
En particular el dibujo artístico ofrece la posibilidad de desarrollar las habilidades del
pensamiento espacial; el dibujo es una forma de expresión y el hombre lo ha utilizado
desde la edad prehistórica para comunicar situaciones y hechos de su cotidianidad, la
164 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
realización de un dibujo requiere además de un sentido agudo de observación, reconocer
formas, usar adecuadamente el espacio para las representaciones de objetos, memoria
visual, entre otras. Los niños gustan de dibujar, sus dibujos representan además de sus
emociones y sentimientos la percepción de la realidad, por esta razón se considera
importante utilizarlo para mejorar no solo las habilidades del pensamiento espacial, sino
también la estética de sus representaciones reconociendo que para obtener algo bello
se requiere de un uso consciente del conocimiento geométrico.
La construcción del conocimiento no debe ser estática, ante todo debe permitir al
estudiante expresarse y dar solución a problemas propuestos en el aula, el docente en
su rol de orientador debe tener claros los objetivos a lograr con cada uno de los temas a
tratar eligiendo la estrategia adecuada que permita el aprendizaje.
Históricamente la geometría ha requerido de los dibujos para la representación y ha sido
un elemento útil para la comprensión. Ahora bien, en particular en el Renacimiento con
el nacimiento de la geometría proyectiva aparecen las conexiones entre el arte y la
matemática, viéndose reflejadas en las obras artísticas.
Herramientas tecnológicas modernas como por ejemplo el GeoGebra permiten explorar
regularidades y patrones como insumos para establecer conjeturas y llegar a resultados
matemáticos, que a veces no son visibles en los niveles escolares.
Otras herramientas como el CAD, usadas en el dibujo artístico permiten crear espacios
reales que contribuyen al desarrollo de las habilidades del pensamiento espacial.
4.2 Recomendaciones
Es recomendable relacionar la habilidad que se quiere desarrollar con los elementos del
dibujo artístico y de las temáticas en matemáticas a las cuales se quiere aproximar al
estudiante para el diseño de las actividades.
Cada actividad propicia el desarrollo de ciertas habilidades que permiten aproximar al
estudiante al aprendizaje de la geometría, pero una vez desarrolladas es pertinente
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
165
complementarlas proponiendo a los estudiantes problemas que involucren un mayor
nivel de complejidad.
El centro de atención del trabajo es el desarrollo de habilidades del pensamiento espacial
y las actividades se proponen para tal fin. En este sentido aparecen temas de
investigación acerca de otras formas, además del dibujo artístico, que permitan
desarrollar las habilidades en mención.
Es importante analizar las soluciones que los estudiantes dan a cada una de las
situaciones planteadas para identificar cuáles son las principales dificultades y diseñar
actividades que favorezcan el desarrollo de una habilidad en particular.
El docente debe conocer el entorno en el que se desarrollan los estudiantes y diseñar
estrategias de enseñanza que respondan a sus necesidades reales.
166 Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
Bibliografía
1. Boyer,C.(1986).A History of Mathematics. Estados Unidos: Wiley.
2. Efland, A. (2004). Arte y cognición. La integración de las artes visuales en el currículum.
Barcelona: Octaedro.
3. Gardner. (1999). Estructuras de la mente La teoría de las inteligencias múltiples. México.
Fondo de Cultura Económica.
4. Gutiérrez, A & Jaime, A. (1988). On the assessment of the Van Hiele levels of
reasoning. Focus on Learning Problems in Mathematics. 20(2, 3), 27-46.
5. Gutierrez, A. (1993). Procesos y habilidades en visualización espacial, en Memorias del
Tercer Simposio Internacional sobre Investigación en Educación Matemática: Geometria
(pp. 44-59) México: CINVESTAV.
6. Kline, M. (1972). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. España:
Alianza Editorial.
7. Lafaid, E. (2018). La geometría para la vida y su enseñanza. Aibi Revista de investigación,
administración e ingeniería. 6 (2).
8. Ministerio de Educación Nacional. (2016) Derechos Básicos de Aprendizaje.V.2.
Matemáticas. Recuperado de: www.colombiaprende.com.
9. Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos curriculares Matemáticas.
Recuperado de: www.mineducación.gov.co.
Desarrollo de habilidades del pensamiento espacial en estudiantes de grado 4° a través del dibujo artístico
167
10. Moise, E & Downs, F. (1986). Geometría Moderna. Estados Unidos: Addison –Wesley
Iberoamericana.
11. Murcia, M y Henao, J. (2015). Educación matemática en Colombia, una perspectiva
evolucionaria. Entre Ciencia e Ingeniería, Año 9 (18), 23 – 30.
12. Piaget, J. (1988). Psicología evolutiva de Jean Piaget. Cuarta edición. México. Paidós
Mexicana, S. A.
13. Pittalis, M y Christou, C. (2010). Types of reasoning in 3D geometry thinking and their
relation whit spatial ability.Educ Stud Math,75, 191-212. DOI: 10.1007/S10649-010-9251-8.
14. Principles and Standars for School Mathematics. (2000). NCTM.
15. Sánchez, J. (1999). Geometría descriptiva. México Alfa Omega.
16. Santos, L. (1993). La naturaleza de las matemáticas y sus implicaciones didácticas.
Revista Mathesis. Vol. (9)
17. Stewart I. Historia de las matemáticas en los últimos 10.000 años. Recuperado de
www.librosmaravillosos.com por Patricio Barros.