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se presentan los obstáculos que los estudiantes pueden presentar durante su vida académica como estudiantes y las posibles causas
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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO:
UNA FORMA DE EVITAR LOS OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS EN EL
APRENDIZAJE
Escuela Colombiana de IngenieríaEnero 13 de 2012
DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
• Sistema de numeración decimal: construcción de los números de más de 1 cifra; suma de unidades mayor que la decena; resta de unidades mayores; uso de símbolos, por ejemplo: <, >, √, log.
• Fraccionarios: representación de fracciones “impropias”; suma y resta; orden de números.
• Álgebra: realizar operaciones, potenciación y radicación, resolver polinomios en forma horizontal, dar un polinomio como respuesta.
• Resolución de problemas: identificar las magnitudes conocidas y desconocidas, establecer relación entre ellas, diferenciar la magnitud de la medida y de la unidad de medida.
• Se evidencian hacia los 10 u 11 años.• Se agudizan en el bachillerato y la universidad.• Se originan entre los 6 o 7 años.
ORIGEN DE LAS DIFICULTADES
• Frustración frente a tareas que superan sus capacidades por lo tanto baja Autoestima. • Deserción escolar y universitaria. • Escogencia de carreras que “no tengan nada que ver con matemáticas”.
CONSECUENCIAS DE LAS DIFICULTADES
Las dificultades se originan por los OBSTÁCULOS o dificultades que no son
posibles de superar e impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento
(Brousseau, 1989).
¿POR QUÉ SE ORIGINAN?
Condiciones genéticas
específicas de los estudiantes.
Saltos conceptualesque no se pueden evitarporque juegan un papelmuy importante en laadquisición del nuevo
conocimiento.
Provienen de la enseñanza
y se deben evitar porque impiden
ver las cosas de una nueva
manera.
Ontogenéticos DidácticosEpistemológicos
OBSTÁCULOS
Los obstáculos didácticos son impedimentos en el aprendizaje que se producen por la misma enseñanza para
ayudar al niño a salir de la dificultad temporal pero que a largo plazo le
impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento.
OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS
Errores metodológicos
Errores pedagógicos
Errores conceptuales
Palabras o imágenes que
se usan en forma
inadecuada.
Nociones falsas que
distorsionan el significado del concepto.
Obstáculos epistemológicosque se evitan en
la enseñanza.
O.D. se producen por errores didácticos
La boca del cocodrilo abierta
para el mayor.
Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.
Usa el sentido común: el
cocodrilo se come al menor: 4
< 3
El uso de símbolos se asocia con una
imagen inadecuada: la
boca del cocodrilo.
Dificultad en el uso de símbolos.
Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.
El número 18 es igual que el 9: 18 cosas.
18 está formado por 1 y
8.
c d u
3 2 4
3 0 4
Dificultad en la construcción de # de 2 cifras: valor posicional de la cifra ≠ la cifra en
una posición.
No se da salto conceptual entre # de 1 y 2 cifras: 1 grupo ≠ 10 cosas
sueltas.
¿Cuántas d hay en 304?
Responde: 0
Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.
18 + 49 ¿lleva 1? 67 -18 ¿le presta 1?
67 – 48“no se puede”, o lo
invierte: = 21.
Dificultad en la suma > d, resta u >, construir la lógica
del S.N.D.
Concepto falso: un número no tiene vida y no lleva y no presta, no se
descompone.
Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal
llamados fraccionarios” (Federici)
Fracción, tomar, coger,
impropia.
¿En 5/3 cómo tomar 5 partes de 3?
Impropio significa algo que se debe
evitar.
El número se asocia con una
imagen inadecuada: tomar partes de un todo.
Dificultad para ver un solo objeto
matemático y no dos.
Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal
llamados fraccionarios” (Federici)Fracción
compuesta por 2 naturales
separados por una raya.
Suma o resta como naturales:3/4 + 2/5 = 5/9 5/9 - 2/5 = 3/4
Dificultad para realizar
operaciones con otros #
diferentes a N.
No se da salto conceptual entre N y Q+, ni entre
# contador y# relator.
Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal
llamados fraccionarios” (Federici)Relación parte
todo, cantidades discretas.
No puede relacionar fracción con medida, ni con razón, ni con
operador.
Dificultad para construir el
significado de Q+ en sus diferentes
interpretaciones.
Concepto falso: Q+ es una relación
entre magnitudes, entre cantidades
continuas.
Resolver problemas: no logra identificar las magnitudes conocidas y desconocidas y diferenciarlas de la medida y
de la unidad de medida.
Establecer relaciones entre magnitudes y conceptos , ni a diferenciar los conceptos para dar
el salto conceptual, por ejemplo entre:Número contador ≠ número relator
cantidad ≠ númeromagnitud ≠ medida
Operación y operación inversa.
Las dificultades en deducir y generalizar se producen porque no se enseña a:
E.D. se producen por currículo tradicional
¿Qué se enseña?¿Para qué se
enseña?¿Cómo se enseña?
Aprender contenidos aislados
y pasar la evaluación.
Procedimientos mecánicos y repetitivos.
A manipular # y f.g., símbolos abstractos.
Se usan “trucos” para “ayudar” a manipular los
símbolos.
Se evitan los saltos para evitar dificultad temporal.
Se enseñan nociones
transitorias en la historia.
Errores metodológico
s
Errores pedagógicos
Errores conceptuales
Énfasis en símbolos
Contenidos aislados
Procedimientos mecánicos
¿Qué son?
¿Por qué se producen?
Tradicionalmente, el docente repite lo que aprendió de sus profesores y esto hace que los obstáculos didácticos se repitan de generación
en generación.
DIDÁCTICA
La didáctica tiene en cuenta cuatro elementos: el saber, el docente, el discente
y el contexto social.
“EL DESCUBRIMIENTO CONSISTE EN VER LO QUE TODOS HAN VISTO Y EN PENSAR
LO QUE NADIE HA PENSADO.”
Carlo Federici Casa (1906 – 2005)
DIDÁCTICA DE FEDERICIEl docente reflexiona sobre qué,
para qué y cómo se enseña.Enseñar la matemática consiste en desarrollar el pensamiento lógico matemático con el fin de adquirir
herramientas para resolver problemas propios de la
matemática, de la ciencia, de la música, del arte y… en general, de
la vida cotidiana.
DIDÁCTICA DE FEDERICI
¿Qué se enseña?¿Para quién se
enseña?¿Cómo se enseña?
Proceso cognitivo.
Des-cubrir relaciones, construir
significado.
A desarrollar pensamiento
lógico matemático.
Construyes todos los tipos de
pensamiento en forma integral.
Repite el proceso
histórico.
La acción del niño de lo
concreto a lo abstracto.
¿Qué y Para qué se enseña?
A desarrollar el pensamiento lógico matemático mediante el estudio de las relaciones entre cantidades y magnitudes.
E.T. D.F.
Pasar la evaluación, aprendizaje temporal.
Para resolver problemas propios de la matemática, de la ciencia y de la vida cotidiana.
Para aprender contenidos aislados.
Para construir el significado de los conceptos y la relación entre conceptos en todos los tipos de pensamiento en forma integral.
A manipular números y figuras geométricas, símbolos abstractos.
El proceso ontogenético repite en cierta manera, el proceso filogenético.
No se tiene en cuenta el proceso cognitivo del niño. Se enseña de la misma manera desde pre-escolar hasta la universidad: símbolos abstractos sin significado.
¿Para quién se enseña?
E.T. D.F.
Se tiene en cuenta el proceso cognitivo del niño que aprende de lo concreto a lo abstracto. Se utilizan las situaciones problema de la historia para diseñar actividades. Mediante la acción y las percepciones des-cubre relaciones y construye el significado de los conceptos.
Procedimientos mecánicos sin significado.
¿Cómo se enseña?
E.T. D.F.
El pensamiento lógico matemático se desarrolla sobre la base del pensamiento
espacial y la construcción de las estructuras lógicas y de las bases matemáticas
(Piaget, 1989).
PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
Relaciones topológicas se refieren a la construcción del espacio: abierto, adentro, con huecos, vecindad,…Relaciones proyectivas se refieren a la ubicación en ese espacio.Relaciones euclidianas se refieren a la forma y las proporciones y dimensiones del espacio.Las relaciones topológicas preceden a las proyectivas (Piaget, 1967).
Pensamiento espacial
Comparación: diferencias y semejanzas. Clasificación: comprende tres estructuras: Clasifica y reclasifica: clasifica si forma grupos usando todo el material con un criterio consistente. Reclasifica si clasifica con otro criterio diferente. Inclusión: incluye un grupo en otro grupo general. Complemento: separa el material en dos grupos complementarios, una propiedad y la negación de esa propiedad.
Estructuras lógicas
Relación se refiere al orden de un grupo teniendo en cuenta las relaciones temporales: Relaciones y sus inversas. Secuencias o patrones cuyo orden es aleatorio. Relaciones de orden entre cantidades y magnitudes, cuyo orden es lógico, por ejemplo: en las regletas Cuisenaire.
Relación de orden entre magnitudesRegletas Cuisenaire
b
r
v
R
a
V
n
c
A
N
blanca
roja
verde
rosada
amarilla
Verde oscura
negra
café
Azul
Naranja
Las bases matemáticas se refieren a la construcción del concepto de cantidad, magnitud, equivalencia y relación, y diferenciar: Cantidad ≠ número. Magnitud ≠ medida. Equivalencia ≠ operación. Relación ≠ relación inversa.
Bases matemáticas
EQUIVALENCIAS
R es equivalente a v y b
2r = R o R/2 = 2¿Cuántas equivalencias diferentes de R?¿Cuántas equivalencias diferentes sin importar el orden de R?
¿Cuántas equivalencias de R sólo con 2 regletas?
b + v = R
¿Cuál es el área del rectángulo?
¿De cuántas maneras se puede encontrar el área del rectángulo?
Cómo evitar los errores didácticos en el S.N.D.
8 – 5 = 33 + 5 = 8
La suma de 3 y 5 es igual a 8.
La resta: operación inversa de la suma.
La resta de 8 y 5 es igual a 3.
Generalización de la suma y la restaEcuaciones de primer grado
x + 5 = 8
8 – x = 33 + x = 8
x – 8 = -3
Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Construcción números de 2 cifras
N y r = 1d y 2 = 10 + 2 = 12 doce
10N y r = 10d y 2 = 100 + 2 = 102
40N y 5N y A = 40d y 5d y 9 = 400 + 50 + 9 = 459
Educación Tradicional
Construcción de la lógica: el número
doce es una suma.
1 grupo de 10 cosas = 1 decena ≠ 10 cosas
¿Existe el número doce?
El número 12 son doce
cosas, conteo.
8 + 6 = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14
Cómo evitar los E.D. en el S.N.D.Suma de unidades mayor que d
1 28 8 más 6 igual 14+ 36 pongo 4 llevo 1 64
Educación Tradicional
Construcción de la lógica: se
forman decenas.
Se cuenta y lleva.
Cómo evitar los E.D. en el S.N.D.Resta de unidades mayores
Educación Tradicional
Construcción de la lógica: se resta de la
decena.
El número de la
izquierda le presta.
14 – 6 = (10 – 6) + 4 = 4 + 4 = 8
51
64 4 menos 6 no se puede
- 36 el 6 le presta 1 al 4,…
28
Cómo evitar los E.D. en Q+ Relación entre conceptos y no
usar las fracciones
0 + 2 + 2 = 2 x 2 = 4 R es múltiplo de r
Número relator u operador
multiplicador sobre magnitudes.
= 2
Multiplicación, múltiplos.
2 =
2r = R
R es el doble de r
4/2 = 4 – 2 – 2 = 04/2 = 2
r es divisor de R
Número relator u operador divisor
sobre magnitudes.
1/2
= 1/2
División: operación inversa de la
multiplicación, divisores.
(1/2)R = r
=
r es la mitad de R
Cómo evitar los E.D. en Q+
Construcción de la relación entre magnitudes
2/3V = R
¿Cuál es la relación entre R y V?
=3/2
=2/3
¿Cuál es el segmento que
resulta del operador 2/3 sobre V?
3/2R = V
Construcción del significado de Q+:Operador, medida y razón.
¿Cuál es la medida entre R y V?
¿Cuál es la razón entre R y V?
R = 2/3V o V = 3/2R
R/V = 2/3V/R = 3/2
¿Hay otra medida? R = 4/6V o V = 6/4R
¿Las medidas son equivalentes?
R = 4/6V = 2/3V
Construcción del significado de Q+:Operador, medida y razón.
Interpretación de Q+
Relación Relación inversa
Operador 3/2R = V 2/3V = R
Medida R = 2/3V V = 3/2R
Razón y proporción R/V = 2/3 V/R = 3/2
(x + 2) (x + 3) =
(x + 3) (x + 2) = x2 + (3 + 2)x + 3•2
Uso de regletas en álgebra
xx2 + (2 + 3)x + 2•3
Uso de regletas en cálculo integral
Pregunta: sin pregunta no hay problema. Magnitudes conocidas y desconocidas. Relación entre dos magnitudes (el cerebro funciona en forma binaria). Unidad de medida para cada medida y la relación entre las diferentes unidades de medida. Proceso de lo analítico a lo sintético.
Resolución de problemas
Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área
DocenteDocente
DocenteSaber
DocenteDiscente
Contexto social
Contexto social
Resolver problemas
propios de la matemática.
Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área
Resolver problemas de la ciencia y del
arte.
Resolver problemas de la vida cotidiana.
Actividades.Logros:
identificar, diferenciar, construir.
P.L.M: procesos lógicos,
espaciales, matemáticos.
Saber
Desarrollo del proceso cognitivo.
Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área
Conceptos fundamentales
y la relación entre ellos.
Historia del proceso de
construcción de los
conceptos.
Papel del discente
Descubrir relaciones
entre cantidades y magnitudes mediante la
acción.
Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área
Construir el significado
de los conceptos.
Justificar y explicar las respuestas.
Papel del docente
Reflexionar sobre qué, para qué y cómo se
enseña.
Desarrollo del pensamiento lógico matemático desde cualquier área
Conocer los conceptos
fundamentales y la relación entre
conceptos.
Formular las preguntas
adecuadas.
Pensamiento lógico
matemático
Etapas en el proceso
Conceptos fundamentales
Construye el significado
Saltos conceptuales
Desarrolla estructuras cognitivas
El docente reflexionaqué, para quién y cómo se enseña
El discente aprende
• Autoestima.• Escogencia de acuerdo a su interés. • Mayor índice de población universitaria.• Mayor capital humano en la resolución de problemas de nuestro país.
CONSECUENCIAS DEL DESARROLLO DEL P.L.M.
Andrade, C. (2010) “Obstáculos didácticos en el aprendizaje de la matemática y la formación de docentes”. En: Alme 25, Guatemala, 2010.Andrade, C. (2008) De la mano al cerebro; sobre la construcción de los racionales sin signo (Q+) con base en la didáctica de la matemática de Federici. Bogotá. Fondo de Publicaciones del Gimnasio Moderno.Brousseau, G. (1989) "Les obstacles épistémologuiques et la didactique des mathématiques" En Construction des savoirs Canada: CIRADE Agence d´arc. pp. 41-63.Cuisenaire, G. (1952) Los números en color. BélgicaFederici, C. (2003) Una construcción didáctica del Sistema de Numeración Decimal. En imprenta.Piaget, J (1983) La psicología de la inteligencia. Barcelona. Editorial CríticaPiaget, J. Inhelder, B. (1967) The child´s conception of space. New York. The Norton Library.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GRACIAS!
Carmen Andrade Escobar Magister en Docencia de la matemática, UPN
Investigación dirigida por el profesor Federici, 2000 a 2004
Directora Escuela Mak
