Desarrollo Redes Electricas

8/18/2019 Desarrollo Redes Electricas

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Ingeniería en Automatización y RobóticaRedes Eléctricas

Desarrollo de trabajo.

Resolución de circuito

en régimen temporalRedes eléctricas.

ContenidoWednesday, 13 de April de 201


2/102


!arte a"..............................................................................................................#

!arte b"............................................................................................................... #

!arte c"................................................................................................................#

!arte d"............................................................................................................... $

!arte e"...............................................................................................................

!arte %"................................................................................................................

!arte g"...............................................................................................................

!arte &"............................................................................................................... '

!arte i"................................................................................................................ '

!arte j"................................................................................................................ (

Wednesday, 13 de April de 201


3/103




4/10#


Parte a)

V 2

:

V 1(t )( −1 R1+ L1 D )+V 2(t )(

1

R1+ L1 D+

1

R2+ L2 D+CD)=0

V 1( −10.2+0.001 D )+V 2( 10.2+0.001 D+ 14+0.01 D+0.0001 D)=0 Reduciendo

algebraicamente se obtiene

10−9

D

3

+6

∗10

−6

D

2

+0.01108

D+4.2

=V 1V 2¿

10−9

D3+6∗10−6 D2+0.01108 D+4.2=10[V ]

V 2¿

!ara el c)lculo de la solución %or*ada de V 2(t ) se propone V 2 F (t )= A .

+uego se reempla*a en la ecuación

10−9 D3+6∗10−6 D2+0.01108 D+4.2=10[V ] A ¿

10−9 D

3( A )+6∗10−6 D2( A)+0.01108 D( A)+4.2( A )=10[V ]¿ luego

D3 ( A )= D2 ( A )= D ( A )=0 4.2 A=10 [V ] V 2 F (t )=

10

4.2[V ]

Parte b)

-l polinomio caracteristico del sistema es

10−9 D

3+6∗10−6 D2+0.01108 D+4.2=0



5/10$


Resoliendo las raices se tiene

D=−381.932 D=−193.034±3314.34 j

Parte c)+a solucion &omogenea estandar seria entonces

V 2 H (t )=C 1 e−381.932 t +C 2 e

−193.034t sin (3314.34 t )+C 3 e

−193.034 t cos (3314.34 t )

/inalmente la solucion total es

V 2(t )=V

2 F (t )+V 2 H (t )

V 2(t )=C

1e−381.932 t +C

2e−193.034 t

sin (3314.34 t )+C 3

e−193.034 t

cos (3314.34 t )+ 10

4.2

Parte d)

e tiene ue V 2(t )=V C ( t ) . !or lo tanto las condiciones del sistema uedan

como

V 2(0 )=0 [V ] V 2

' (0)=0 [V ] V 2' ' (0)=0[V ]

Deriando entonces V 2 (t )

V 2' (t )

=−381.932 C 1 e

−381.932 t

+C 2 e

−193.034 t

[3314.34 cos (3314.34 t )

−193.034 sin (3314.34 t )

]+C 3 e

−193.03

V 2' ' (t )=145872C 1 e

−381.932t +C 2 e−193.034 t [−1.0973∗107∗sin (3314.34 t )−722751 cos (3314.34 t ) ]+C 3 e−

-aluando en las condiciones se tiene



6/10


V 2(0 )=C

1+C

3+

10

4.2=0

V 2' (0 )=−381.932C 1+3314.34C 2±193.034C 3

V 2' ' (0 )=145872C 1−722751C 2−1.0973∗10

7C 3

onstruyendo el sistema

( 1 0 1

−381.932 3314.34 −193.034145872 −722751 −1.0973∗107)∗(

C 1

C 2

C 3

)=

(

−104.2

0

0

)Al resoler el sistema se obtienen las constantesC

1=−2.36653 ; C

2=−0.273153; C

3=−0.0134684



7/10'


Parte e)

Al reempla*ar las constantes en la ecuacion se tiene ue la solucion nal es

V 2(t )=−2.36653 e−381.932 t ±0.273153 e−193.034 t sin (3314.34 t )±0.0134684 e−193.034 t cos (3314.34 t )+

10

4.2

4racando la respuesta deV

2(t ) se obtiene

Gráfco 1 Respuesta deV

2( t )

Parte )

-l m)5imo alor de V 2 ( t ) se alcan*a en el tiempo t ≈ 0.0127808[ s] con un

alor de V 2 (0.0127808 )≈ 2.43088[V ]

Parte g)



8/10(


iC ( t )=C

d vC (t )

dt =C

d V 2

(t )

dt i

C (t )=C V ' 2 (t )

iC ( t )=0.0001∗{903.853 e−381.932 t

−0.273153 e−193.034 t

[3314.34 cos (3314.34 t )−193.034 sin (3314.34 t ) ]

iC ( t )=0.0904 e−381.932 t −2.73153∗10−5∗e−193.034 t [ 3314.34 cos (3314.34 t )−193.034 sin ( 3314.34 t ) ]−1.3

uando el tiempo t =∞ , el condensador se encuentra totalmente cargado.

-sto conllea ue ya pueda circular m)s corriente a traés de sus terminales.

Parte h)

i R 2 (t )=V

2 (t )

R 2

i R 2 (t )=

−2.36653 e−381.932 t ±0.273153 e−193.034 t sin (3314.34 t )±0.0134684 e−193.034 t cos (3314.34 t )+ 10

4.2

4

Parte i)

e calculan las nueas condiciones iniciales ealuando V 2 (t ) ,V ' 2 ( t ) , V ' ' 2 (t ) en

t =10[s ] . e obtiene

V 2

(10 )=2.38095 V

'

2 (10

)≈0 V ' '

2

(10 )≈ 0

!ara este caso la %unción %or*ante es A=0[v ]

e calcula nueamente el sistema de ecuaciones



9/106


( 1 0 1

−381.932 3314.34 −193.034145872 −722751 −1.0973∗107)∗(

C 1

C 2

C 3

)=(2.3809500 )+as nueas constantes obtenidas son

C 1=2.36748;C

2=0.273262 ;C

3=0.0134768

Reempla*ando las nueas constantes se tiene ue la respuesta es

V C

' (t )=2.36748 e−381.932 t +0.273262 e−193.034 t sin (3314.34 t )+0.0134768 (−6)e−193.034 t cos (3314.34 t )

Parte j)

Gráfco 2 Respuesta del sistema con las nuevas condiciones.



10/1010


Gráfco !mpliaci"n del gráfco 3.

-n el gráfco 3 se puede apreciar ue se produce una tensión negatia

apro5imadamente en t =0.053[s ] . -sta tensión negatia se produce debido a

ue en presencia de elementos inductios, la carga comien*a a oscilar entre

los capacitores y los inductores. iendo la impedancia inductia mayor ue la

capacitia, implica ue las inductancias almacenan m)s energ7a en su campo

magnético ue las capacitancias en su campo eléctrico. -sa energ7a termina

siendo traspasada al capacitor, para luego ser deuelta a las bobinas. -n el

caso en ue ya no e5iste una %uente de carga, las oscilaciones se producen

&asta ue eentualmente toda la energ7a es disipada en las resistencias.


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