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DESARROLLO Y EVALUACIÓN DE MÉTODOS

AVANZADOS DE EXPLORACIÓN SÍSMICA PASIVA.

APLICACIÓN A ESTRUCTURAS GEOLÓGICAS LOCALES DEL

SUR DE ESPAÑA.

Antonio García Jerez

Departamento de Física Aplicada

Universidad de Almería

Tesis doctoral

Almería, 2010

DESARROLLO Y EVALUACIÓN DE MÉTODOS

AVANZADOS DE EXPLORACIÓN SÍSMICA PASIVA.

APLICACIÓN A ESTRUCTURAS GEOLÓGICAS LOCALES DEL

SUR DE ESPAÑA.

Tesis presentada para la optar al grado de doctor, dentro del programa de

doctorado Física Aplicada, Sismología y Energías Renovables de la


Doctorando:

Antonio García Jerez

Departamento de Física Aplicada


Directores:

Vº Bº Prof. Dr. Francisco Luzón Martínez Vº Bº Prof. Dr. Manuel Navarro Bernal

Almería, 2010

A mis padres, Antonio y Mª Ángeles

AGRADECIMIENTOS

En primer lugar, quiero hacer constar mi agradecimiento a los directores Francisco Luzón y

Manuel Navarro por el apoyo recibido durante la realización de este trabajo.

En segundo lugar, debo reconocer la financiación recibida de organismos públicos.

Fundamentalmente provino de una beca FPI asociada al proyecto REN2003-08159-C02-01 de la

CICYT y de un contrato asociado al proyecto 115/SGTB/2007/8.1 de la Secretaria General para

el Territorio y la Biodiversidad del Ministerio de Medio Ambiente.

Quedo en deuda con mis compañeros y amigos J. Alfonso Pérez, Abigail Jiménez, Miguel A.

Santoyo, Javier Lázaro y Francisco J. Alcalá, cooperadores necesarios en la realización de esta

tesis. Algunas de sus aportaciones han sido la puesta a punto del Clúster, la ayuda prestada con el

MPI y con la manipulación de los sismógrafos y la colaboración incondicional en las medidas de

campo más tediosas (en esto último, Alfonso y Javi han sido los mayores sufridores). Abigail me

permitió usar una implementación propia de un algoritmo genético y colaboró con su adaptación

y comprobación. Zakaría al Yuncha, César F. López, Serafín Limonchi, Ana Góngora y Alicia

Rivas han colaborado también de distintas maneras, principalmente en los trabajos de campo.

Los consejos de los profesores Francisco Sánchez Sesma, Francisco Vidal, Antonio Posadas, Mª

Dolores Romacho y José Manuel García también me han sido de gran apoyo en este periodo.

Quiero agradecer a Takahisa Enomoto la impagable ayuda prestada durante mi estancia en la

Universidad de Kanagawa (Yokohama). También es muy de agradecer el apoyo de Carlos López

Casado, quien ha puesto a mi disposición equipos de forma desinteresada. Además, como

profesor de Geofísica de la licenciatura Física en la Universidad de Granada es, para bien o para

mal, corresponsable de mi opción por las Ciencias de la Tierra.

Quiero mostrar mi sincero agradecimiento a Stefano Parolai, Michael Asten, Ikuo Cho y los

revisores anónimos que, con sus comentarios críticos a los artículos en que se basa esta tesis, han

contribuido a mejorar su calidad, han abierto nuevas vías de investigación y han aportando

soluciones a algunas de las dificultades encontradas.

Finalmente, quiero agradecer el apoyo recibido de mi familia, especialmente de mis padres, de

mis dos hermanas Mª Ángeles y Beatriz y de mi mujer Carmen.

Índice.

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ÍNDICE

1. Introducción.

1.1. Objetivo y estructura de la tesis.

1.2. Riesgo sísmico y efectos de sitio.

1.3. Estimación de efectos de sitio

1.3.1. Determinación empírica de la función de transferencia.

1.3.2. Determinación numérica de efectos de sitio a partir de la

estructura.

1.4. Determinación de la estructura de formaciones sedimentarias

mediante análisis de ondas superficiales.

1.5. Sobre la naturaleza del microtremor.

1.5.1. El origen del ruido sísmico

1.5.2. Composición del ruido sísmico.

1.5.3. Proporción de ondas Rayleigh y Love en el ruido sísmico.

2. Técnicas exploratorias basadas en el estudio del ruido ambiental.

2.1. Métodos basados en medidas puntuales. HVSR.

2.1.1. Fundamento teórico. Hipótesis.

2.1.2. Interpretación en términos de ondas superficiales.

2.1.3. Vínculo con la elipticidad de la onda Rayleigh.

2.1.4. Dificultades en la interpretación en términos de onda

Rayleigh.

2.1.5. Avances recientes sobre el origen del pico del HVSR.

2.1.6. Conclusiones sobre la validez de la interpretación de

Nakamura.

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Desarrollo y evaluación de métodos avanzados de exploración sísmica pasiva.

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2.1.7. Un cálculo del HVSR basado en ondas superficiales.

2.2. Métodos f-k.

2.2.1. Método f-k convencional (CVFK).

2.2.2. Método f-k de alta resolución (HRFK).

2.2.3. Limitaciones del método.

2.2.4. Método f-k ante ondas planas con distintos acimuts y fases

correlacionadas.

2.3. Interferometría sísmica usando ruido ambiental. Una visión general.

3. Métodos de autocorrelación espacial.

3.1. Aproximación determinista vs. aproximación estocástica.

3.2. Representación del campo de desplazamientos.

3.2.1. Representación mediante una suma determinista de ondas

planas.

3.2.2. Expansión en serie de Fourier de las componentes vertical,

radial y tangencial del movimiento en función de la

coordenada acimutal.

3.2.3. Descripción del microtremor mediante campos aleatorios

estacionarios.

3.2.4. Densidades espectrales, correlación cruzada y

autocorrelación.

3.2.5. Coeficientes de Fourier de las densidades espectrales.

Relación con el caso determinista.

3.3. Método de autocorrelación espacial entre componentes verticales (v-

SPAC)

3.3.1. Formulaciones “equivalentes” del método v-SPAC.

3.3.2. Efectos del aliasing acimutal en métodos tipo SPAC.

3.3.3. Efectos del aliasing acimutal en el método v-SPAC.

3.3.4. Otras variantes del método v-SPAC y métodos relacionados.

3.4. Método de autocorrelación espacial de las componentes horizontales

(3c – SPAC)

3.4.1. Descripción del método. Formulación determinista.

3.4.2. Formulación para campos aleatorios estacionarios.

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Índice.

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3.4.3. Efectos de un número finito de estaciones.

3.5. Método de las arrays circulares concéntricas (Doble Anillo o DR).

3.5.1. Formulación para campos aleatorios estacionarios.

3.5.2. Efecto de un número finito de estaciones. Una aproximación

numérica simplificada.

3.5.3. Efecto de un número finito de estaciones. Aproximación

analítica.

3.5.4. Efectos del ruido incoherente.

3.5.5. Un ejemplo numérico sencillo.

3.5.6. Comparación con otro método similar.

3.6. Método de la array circular única (SCA).

3.6.1. Descripción del método. Obtención de la velocidad de onda

Love.

3.6.2. Obtención de la velocidad de onda Rayleigh.

3.6.3. Primeros tests numéricos en un medio estratificado.

3.6.4. Implementación robusta del método SCA para ondas Love.

3.6.5. Desviación en las estimaciones de IIB . Efectos de un

número finito de estaciones.

3.6.6. Efecto del ruido incoherente.

3.6.7. Comprobación de las formulaciones analíticas para IIB y

)(ˆ ns

IIB

en un ejemplo numérico.

3.6.8. Comparación con los métodos CCA-L y DR.

3.7. Conclusiones del Capítulo 3.

3.8. Apéndices del Capítulo 3.

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4. Un algoritmo para la inversión del modelo de estructura

4.1. Introducción.

4.1.1. La solución del problema inverso. Aspectos probabilistas.

4.1.2. Cálculo del modelo medio y de las incertidumbres.

4.2. Métodos de búsqueda global.

4.2.1. Métodos de Monte Carlo.

4.2.2. Algoritmos genéticos.

4.2.3. Cristalización simulada.

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4.2.4. Otros métodos.

4.3. Métodos de búsqueda local.

4.3.1. Inversión linealizada.

4.3.2. Downhill Simplex.

4.4. Diseño e implementación de dos algoritmos híbridos.

4.4.1. Comprobación del algoritmo.

4.4.2. Cálculo de la eficiencia en la paralelización.

4.5. Resumen y conclusiones del Capítulo 4.

4.6. Apéndices del Capítulo 4.

5. Aplicaciones.

5.1. Caracterización de la cobertura sedimentaria del Polje de Zafarraya,

sur de España, mediante medidas del cociente espectral H/V de ruido

ambiental.

5.1.1. Introducción.

5.1.2. Contexto geológico.

5.1.3. Medidas de microtremor.

5.1.4. Ajuste del perfil de velocidades de onda S y de la relación

frecuencia-profundidad.

5.1.5. Discusión.

5.2. Aplicaciones en entornos urbanos: el caso de Mula (Murcia).

5.2.1. Entorno geológico.

5.2.2. Análisis de los registros de ruido ambiental. Cálculo de

curvas de dispersión de onda Rayleigh mediante v-SPAC.

5.2.3. Análisis de los registros de ruido ambiental. HVSR y

periodos predominantes.

5.2.4. Inversión de perfiles de velocidad de onda S a partir de

HVSR y curvas de dispersión de onda Rayleigh.

5.2.5. Discusión.

5.3. Observación de ondas Rayleigh y Love en la desembocadura del río

Andarax (Almería).

5.3.1. Introducción.

5.3.2. Contexto geológico, instrumentación y adquisición de datos.

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Índice.

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5.3.3. Análisis de los registros del sitio “Universidad de Almería”.

5.3.4. Análisis de los registros del sitio “Desaladora”.

6. Conclusiones y futuras líneas de trabajo.

6.1. Conclusiones.

6.2. Futuras líneas de trabajo.

Referencias

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CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN

1.1. OBJETIVO Y ESTRUCTURA DE LA TESIS

El objetivo principal de esta tesis es evaluar, mejorar y ampliar en lo posible el conjunto de

herramientas de exploración sísmica pasiva de que se dispone, esto es, de métodos capaces de

proporcionar información sobre una estructura geológica, en términos de sus parámetros

elastodinámicos, sin requerir el uso de fuentes controladas de ondas sísmicas. En particular

interesan aquellos métodos que permitan realizar estudios detallados a escala geotécnica con un

tiempo de medida razonablemente corto y predecible. Por lo tanto, se desecha aquí el uso de la

sismicidad natural, recurriéndose al microtremor (ruido sísmico ambiental) como fuente de

excitación sísmica idónea. Como es sabido, el campo de microtremores consiste en vibraciones

debidas a fenómenos atmosféricos y a la actividad humana que se propagan por el suelo en

forma de ondas elásticas (Taga, 1993; Bard, 1999).

La determinación de las profundidades y las propiedades elásticas de los depósitos sedimentarios

es un importante objetivo en varios campos científicos y técnicos. El perfil de velocidades y su

geometría es una información necesaria para que geofísicos y sismólogos puedan modelar la


- 2 -

respuesta sísmica de las cuencas sedimentarias (p. e. Luzón et al., 1995, 2004), permitiendo una

evaluación detallada de la peligrosidad sísmica. Asímismo, estos métodos pueden aportar

información gemorfológica o incluso ser útiles en la búsqueda de recursos naturales. Como

último ejemplo, el perfil de velodidades de ondas S es un dato útil en ingeniería para la correcta

contrucción de edificios y estructuras. De hecho, la velocidad media de onda S de los primeros

30m, VS30

, es una característica representativa del sitio valorada en varios códigos sísmicos

(NCSE-02, Eurocode-8, ...).

La investigación sobre el aprovechamiento del ruido sísmico en exploración geofísica ha

experimentado un gran desarrollo en las dos últimas décadas. Indudablemente, la relativa

facilidad para disponer de instrumentos portátiles con buena sensibilidad y respuesta espectral ha

sido el caldo de cultivo de este rápido desarrollo. Una parte importante de las iniciativas al

respecto han surgido en el seno de proyectos europeos como SESAME, SISMOVALP o

NERIES. Son muy relevantes en este sentido los trabajos doctorales de Cornou (2002),

Bonnefoy-Claudet (2004) y Wathelet (2005) entre otros. Entre los citados, es seguramente en el

proyecto europeo SESAME (2001-2004) donde se abordó más directamente la cuestión del

procesado del ruido sísmico, estando los principales esfuerzos dedicados al desarrollo de

software, a la evaluación de las virtudes y limitaciones de los métodos previamente existentes y

al desarrollo de pautas para estandarizar su aplicación. La evolución de los métodos de análisis

fue dejada en segundo, utilizándose generalmente los desarrollos de Aki (1957), Capon (1969),

Kvaerna and Ringdahl (1986) y Nakamura (1989) directamente o con algunas modificaciones

menores. Sin embargo, desde 2004 se han publicado varias técnicas innovadoras de procesado de

ruido sísmico obtenido con array sísmica de escala geotécnica, muchas de la mano de científicos

japoneses. Se pueden citar los trabajos de Cho et al. (2004, 2006a, 2006b, 2008), Tada et al.

(2006, 2007, 2009, 2010), Morikawa (2006), Morikawa et al. (2009), Draganov et al. (2006) y

Picozzi et al. (2009) entre otros. El objetivo último de esta tesis es poner “un grano de arena” en

la evolución de estos métodos de exploración sísmica pasiva basada en el ruido ambiental.

Estructura de la Tesis

En este Capítulo 1 se enmarca el trabajo en el contexto, mucho más amplio, de la evaluación de

los efectos de sitio, que a su vez representa el tercero de los cuatro aspectos considerados

habitualmente en la evaluación del riesgo sísmico, junto a la descripción de las fuentes

sismogenéticas y el cálculo de los efectos de propagación y de la vulnerabilidad de las

construcciones ante el sismo. Estudiando la propagación del ruido ambiental se pueden encontrar

Introducción.

- 3 -

propiedades de la estructura local y estimar o acotar las características de la función de

transferencia del suelo, que determinará la amplificación local de las ondas sísmicas. El bajo

costo de estos métodos facilita realizar estudios de detalle (en cuanto a resolución espacial) que

se denominan a veces microzonación sísmica. También se hace un repaso de la bibliografía

referente al origen del ruido sísmico (sus fuentes) y a su composición (tipos de ondas).

En el Capítulo 2 se hace una revisión de algunos métodos de exploración sísmica pasiva,

excluidos los de tipo SPAC que serán desarrollados en detalle en el capítulo siguiente. Se tratan

aquí el cociente espectral H/V (HVSR o método de Nakamura), el método f-k y la

interferometría sísmica con ruido ambiental.

El Capítulo 3 es el núcleo de la parte metodológica de esta tesis, conteniendo los fundamentos

teóricos de dos técnicas originales de exploración sísmica pasiva, que se podrían catalogar como

“tipo-SPAC” y que han publicadas en el transcurso de este trabajo (García-Jerez et al. 2008a,

2008b y 2010). Para una de ellas (método “Double Ring” o DR) se presenta ahora un desarrollo

notablemente ampliado respecto al ofrecido en García-Jerez et al. (2008a), proponiéndose una

forma de implementación robusta y discutiéndose su relación con otras técnicas. Asimismo, se

presentan los desarrollos analíticos que permiten evaluar sus limitaciones en circunstancias

prácticas (uso de un número limitado de estaciones, presencia de ruido electrónico, distintas

condiciones de directividad del campo de ondas) y varios tests numéricos al respecto.

Se ha preferido dar a este capítulo un enfoque “integrador” exponiendo conjuntamente resultados

(métodos) ya conocidos y el material desarrollado en esta investigación. A mi juicio, este

formato es ventajoso porque los distintos métodos se van presentando consecutivamente de un

modo natural y unificado, aproximadamente en orden de complejidad creciente y apareciendo

todos como casos particulares de unas pocas ecuaciones básicas. Durante el desarrollo de los

métodos ya conocidos (como el SPAC en su variante para registros verticales, v-SPAC, y para

tres componentes, 3c-SPAC), se introducen también varios resultados novedosos de orden menor

(p. e. Sección 3.4.1, Ec. 3.4.14).

En el Capítulo 4 se revisan algunos métodos de inversión disponibles en la literatura que

permiten obtener modelos de la estructura cortical compatibles con los datos experimentales

(cocientes espectrales H/V, curvas de dispersión de ondas Rayleigh y/o Love, coeficientes de

SPAC o similares). Se describe un software híbrido desarrollado al efecto, en el que se combinan


- 4 -

búsquedas globales y locales en el espacio de los modelos y se realiza un tratamiento estadístico

de los resultados.

En el Capítulo 5 se compilan varias aplicaciones de los métodos de análisis de microtemor a

sitios concretos y con datos reales. En particular, se presenta un estudio de la geometría del

basamento en la cuenca de Zafarraya (Granada), una aplicación en un entorno urbano (la

localidad de Mula en Murcia) orientado a la microzonación sísmica y varios tests de los nuevos

métodos de procesamiento de las componentes horizontales, llevados a cabo en Almería.

Se termina con el Capítulo 6, donde se recopilan las conclusiones alcanzadas en la tesis y se

indican las líneas de trabajo que se pretenden seguir en el futuro.

1.2. RIESGO SÍSMICO Y EFECTOS DE SITIO

Según el Centro de Investigación de la Epidemiología de los Desastres Naturales (CRED), la

cifra de personas fallecidas por este tipo de fenómenos en el año 2006 se elevó a 21.342. El

mismo organismo señala que esta tasa anual presenta una tendencia decreciente desde el año

2000, si se exceptúan dos eventos: el tsunami en el océano Índico, de diciembre de 2004, y el

terremoto de Pakistán, de octubre de 2005. Estos datos dejan claro que, aunque relativamente

infrecuentes, el potencial destructor de las catástrofes de origen sísmico es extraordinario, tanto

en términos económicos (ver por ejemplo Figura 1.2.1) como en vidas humanas (p. e. Tablas

1.2.1 y 1.2.2), y sólo comparable al causado por las catástrofes de origen meteorológico. Además

del interés científico que suscita en general el estudio de los procesos naturales que afectan a la

evolución de la Tierra, la sismología es pues una ciencia que proporciona información relevante

para a la prevención de catástrofes humanas y cuyos resultados son de interés social.

Un primer paso en esta tarea de prevención del riesgo sísmico (grado de pérdidas esperadas en

un elemento debidas a un terremoto de una magnitud particular y en un periodo de exposición

determinado) es evaluar la peligrosidad sísmica de un emplazamiento, que se define como la

probabilidad de superación de un cierto valor de intensidad del movimiento sísmico del suelo en

un punto concreto y durante un periodo de tiempo determinado (UNDRO, 1980). Para ello han

de tenerse en cuenta tres factores: las características de las fuentes que podrían generar los

eventos, los efectos de la propagación de la energía sísmica por la corteza (especialmente en lo

relacionado con la atenuación de las ondas sísmicas) y los efectos locales o de sitio debidos a las

características geológicas superficiales en torno al punto estudiado.

Introducción.

- 5 -

Tabla 1.2.2. Terremotos más destructivos en términos

de vidas humanas entre 1985 y 2009.

País Fecha Fallecidos

R. P. China 12/05/2008 87476

Pakistan 08/10/2005 73338

Iran 21/06/1990 40000

Iran 26/12/2003 26796

URSS 07/12/1988 25000

India 26/01/2001 20005

Turquía 17/08/1999 17127

India 29/09/1993 9748

México 19/09/1985 9500

Indonesia 27/05/2006 5778

Japón 17/01/1995 5297

Tabla 1.2.1. Mortalidad asociada a diversos tipos de

desastres Naturales (1947-1980).

Extraído de Shah (1983)

Tipo de desastre Nº de víctimas

Ciclones tropicales, huracanes, tifones 499.000

Terremotos 450.000

Inundaciones (no asociadas a huracanes) 194.000

Tormentas y tornados 29.000

Temporales de nieve 10.000

Volcanes 9.000

Olas de calor 7.000

Avalanchas 5.000

Deslizamientos de tierras 5.000

Tsunamis 5.000

Una introducción al cálculo de la

peligrosidad sísmica puede encontrarse en el

trabajo de Benito y Jiménez (1999). Los

efectos de sitio pueden llegar a tener gran

influencia en este cálculo, ya que la mayoría

de las grandes ciudades están situadas sobre

estructuras sedimentarias que pueden

provocar una significativa amplificación de

las ondas sísmicas (p. e. Murphy and Shah

1988). Un ejemplo clásico de ello es el

terremoto de México de 1985, de magnitud

MS = 8.1 que provocó la muerte a casi 10000 personas (Tabla 1.2.2) y destruyó más de 1000

construcciones. Este terremoto no provocó daños graves en la zona epicentral, pero sí en puntos

situados sobre los sedimentos lacustres de Ciudad de México, a unos 400km, que sufrieron

amplificaciones de hasta 50 en la banda 0.2 – 0.7 Hz (Singh et al., 1988; Shapiro et al., 2001 han

investigado la composición del campo de ondas en esta zona lacustre). Otros casos

paradigmáticos de terremotos con efectos de sitio notables son el terremoto de Spitak (Armenia,

7 de diciembre de 1988, Ms = 6.8) con amplificaciones de hasta 30 en la banda 0.4-2Hz

(Borcherdt et al., 1989); el de Loma Prieta (17 de octubre de 1989, Ms=7.1, Borcherdt, 1990); el

de Northridge (California, Teng and Aki, 1996) del 17 de enero de 1994, Ms = 6.7, que pasa por

ser el más costoso en la historia de Estados Unidos o en el terremoto de Kobe de 1989 (Ms = 6.8,

Figura 1.2.1. Estadística de daños económicos debidos

a desastres naturales entre 1900 y 2009. Fuente:

Centre for Research on the Epidemiology of Disasters

(www.emdat.be).

Hurricane Katrina

Wenchuan earthquake

Kobe earthquake

Estimated damage (US$ billon) caused by reported natural disasters 1900-2009


- 6 -

Toki et al. 1995), el más destructivo en Japón desde 1923. En este último caso, se ha sugerido

que la variación espacial de intensidad puede atribuirse a los efectos de borde de cuenca.

Como los efectos de sitio dependen en gran medida de las propiedades locales del suelo, que

pueden ser muy variables incluso a escala urbana, su evaluación detallada (microzonación

sísmica) necesita de métodos de bajo coste económico que permitan encontrar la estructura del

suelo en un punto dado o, al menos, características de su respuesta ante las ondas sísmicas

(función de transferencia).

1.3. ESTIMACIÓN DE EFECTOS DE SITIO.

1.3.1. DETERMINACIÓN EMPÍRICA DE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA.

Cocientes espectrales entre registros sísmicos

El método más directo de estimar el efecto de sitio en un punto situado en una estructura

sedimentaria sin conocimiento previo la geometría y propiedades elásticas de ésta es la

comparación entre registros sísmicos registrados en el punto bajo estudio y los que, para el

mismo evento, se obtienen en el basamento o en un afloramiento rocoso cercano. La técnica

consiste normalmente en calcular el cociente (función de transferencia) entre las amplitudes de

los espectros de Fourier en sedimentos (usualmente en la componente horizontal) y las

correspondientes a la referencia en roca (Borcherdt, 1970). Si el punto de referencia está

suficientemente próximo, esta operación cancelaría idealmente los efectos de fuente y de

camino, que son factorizables en el dominio de la frecuencia (Figura 1.3.1). Algunas aplicaciones

de esta técnica pueden encontrarse en los trabajos de Borcherdt and Gibbs (1976), Chávez-

García et al. (1990), Frankel et al. (2001) y Satoh et al. (2001a).

Lermo and Chávez-García (1993) propusieron simplificar el método utilizando el cociente

espectral de las partes intensas del movimiento sísmico grabado en las componentes horizontal y

vertical de una misma estación situada sobre sedimentos, evitando la necesidad de la estación de

referencia. Esto puede considerarse como una aplicación en el dominio de la frecuencia del

método de la “función receptor” propuesto por Langston (1979). Algunas aplicaciones,

principalmente en zonas de sismicidad moderada, fueron realizadas por Field and Jacob (1995),

Bonilla et al. (1997) o Loh and Wu (1998).

Introducción.

- 7 -

Figura 1.3.1. Representación esquemática de efectos de fuente, camino y sitio para el basamento y para un punto

situado sobre sedimentos. El efecto de sitio se puede estimar como el cociente espectral entre los registros en

sedimento y los registros en roca: Ssitio()=Ssedimento() / Sbasamento().

Cocientes espectrales con ruido ambiental

La utilización de ruido ambiental (microtremor) para la estimación de las propiedades más

relevantes de la función de transferencia de un sitio fue introducida por Nogoshi and Igarashi

(1971), quienes utilizaron los espectros del ruido grabado en un punto situado sobre sedimentos

para encontrar los periodos de vibración característicos de éste. Nakamura (1989) propuso usar

el cociente entre los espectros horizontal y vertical para estimar la amplificación máxima y la

frecuencia a la que ésta corresponde (frecuencia predominante). El procedimiento, que es

análogo al propuesto por Lermo and Chávez-García (1993) para registros sísmicos, es en la

práctica de una gran sencillez y economía y ha sido utilizado extensivamente en las últimas

décadas. Las distintas interpretaciones de este método, que es denominado HVSR (Horizontal-

to-Vertical Spectral Ratio) a lo largo de esta Tesis, se detallarán en el Capítulo 2.

1.3.2. DETERMINACIÓN NUMÉRICA DE EFECTOS DE SITIO A PARTIR DE LA

ESTRUCTURA.

Si se dispone de un modelo suficiente detallado de la estructura a investigar, sería posible

determinar su respuesta ante una excitación sísmica dada (y consecuentemente, los efectos de

sitio) mediante la resolución de la ecuación de Navier. Para algunos tipos de cuencas

sedimentarias con geometrías simples se han obtenido soluciones analíticas (p.e. Trifunac, 1971;

Wong and Trifunac, 1974; Lee, 1984; Sánchez-Sesma, 1987). En el caso de que la estructura sea


- 8 -

más compleja (y al menos 2D), se requieren métodos de resolución numérica, que muchas veces

resultan intensivos en volumen de cálculo. Sin entrar en detalles, algunos de los más utilizados

son:

- Resolución de la ecuación de Navier mediante diferencias finitas (Alterman and Karal,

1968; Boore, 1972; Kelly et al. 1976; Pérez-Ruiz, 2007).

- Método de elementos finitos (p. e. Newmark, 1959).

- Método pseudoespectral o de Fourier (Kosloff and Baysal, 1982).

- Teoría de rayos y haces gaussianos (p. e. Jackson, 1971; Hanyga et al. 1985).

- Método inderecto de elementos en la frontera (p.e. Luzón et al., 1995).

- Método del número de onda discreto (Aki and Larner, 1970).

1.4. DETERMINACIÓN DE LA ESTRUCTURA DE FORMACIONES SEDIMENTARIAS

MEDIANTE ANÁLISIS DE ONDAS SUPERFICIALES.

Los sondeos mecánicos son quizá la forma más fiable y directa de determinar la estructura del

suelo. La tecnología actual permite realizar sondeos hasta varios kilómetros de profundidad,

incluso atravesar la corteza oceánica. Su principal inconveniente es la gran carestía que supone

realizar perforaciones más allá de unas pocas decenas de metros, lo que los hace inviables para

su aplicación con propósitos de zonificación sísmica en países en vías de desarrollo y regiones de

sismicidad moderada. Entre los métodos alternativos a las perforaciones (como la prospección

con ondas electromagnéticas o los estudios de resistividad eléctrica, etc.), los sísmicos son la

opción más apropiada, ya que permiten tratar con las propiedades elásticas del terreno que son

las que determinarán su respuesta ante un terremoto.

Las ondas P y S generadas artificialmente en la superficie de una estructura estratificada pueden

usarse eficazmente para la exploración ésta. Supóngase por ejemplo una capa de espesor H y

velocidad de propagación (del tipo de onda considerado) V1 sobre un semiespacio de velocidad

V2 > V1. Si se despliega una array lineal de sensores (con tiempo común) y se aplica una fuente

superficial en un extremo de ésta (con la orientación adecuada al tipo de onda que se pretende

grabar), la representación del tiempo de viaje de la primera llegada frente a la distancia

horizontal entre fuente y receptor tiene la forma que se muestra en la Figura 1.4.1. El primer

tramo, será una recta con pendiente 1/ V1 y ordenada en el origen 0 vinculada a la recepción de la

onda directa, que es la primera en alcanzar el receptor si este está suficientemente próximo a la

fuente. El segundo tramo de recta se debe a las ondas refractadas que inciden en el semiespacio

Introducción.

- 9 -

con el ángulo crítico, viajan por la interfaz a velocidad V2 y la abandonan, también con el ángulo

crítico, hasta incidir en el receptor. Con consideraciones geométricas sencillas y usando la ley de

Snell se demuestra que su pendiente es 1/ V2 y su ordenada en el origen brefrac = 2 H ( 2

2V - 2

1V ) /

(V1 V2). El despeje las tres incógnitas V1, V2, H a partir de una curva de tiempo de viaje como la

de la figura, es un ejemplo sencillo de sondeo de refracción. Su aplicación experimental requiere

desplegar una línea con sensores densamente distribuidos que sea suficientemente larga como

para recoger la onda refractada. Mota (1954) generalizó este método para el caso de un número

arbitrario de refractores, incluyendo la posibilidad de obtener el buzamiento de las capas si la

fuente se aplica sucesivamente en ambos extremos de la línea.

El tiempo de llegada de la onda reflejada por el semiespacio puede también usarse para

determinar los parámetros de la estructura, si bien el método de análisis es más complejo ya que

esta onda no es en ningún caso la primera que alanza al receptor.

Figura 1.4.1. Esquema de la trayectoria de propagación y tiempos de llegada de las ondas directa, reflejada y

refractada creadas por una fuente puntual superficial sobre una estructura formada por una capa de espesor H y

velocidad de propagación V1 sobre un semiespacio con velocidad V2 > V1 .

Métodos basados en ondas superficiales

La relación entre las curvas de dispersión de ondas superficiales (funciones frecuencia -

velocidad) y los parámetros elásticos del suelo ha sido también usada extensivamente en

prospección geofísica para el cálculo de modelos de tierra unidimensionales, empleando

terremotos o fuentes controladas como método de excitación (por ejemplo Nazarian, 1984;

Navarro et al., 1997; Tokimatsu, 1997; Park et al., 1999, Raptakis et al., 2000; Duputel et al.,

2010). Se puede demostrar teóricamente que, a una distancia suficiente grande de la fuente, la

mayor parte de la energía generada por ésta se propaga en forma de ondas superficiales en lugar

de cómo ondas internas (P o S), lo que supone una ventaja para los métodos basados en el

análisis espectral de las ondas superficiales. Otra característica favorable es la sensibilidad a


- 10 -

capas de baja velocidad situadas bajo materiales más rígidos, que no la tienen los métodos de

refracción clásicos (p.e. Whiteley, 1994). Estas situaciones son comunes, por ejemplo, en

entornos volcánicos (Roberts and Asten, 2004). Por otra parte, el que los modelos obtenidos de

la inversión de las curvas de dispersión sean unidimensionales, supone una limitación del

método, que no existe si se usa la refracción de ondas internas.

El requisito fundamental para la aplicación de estas técnicas es disponer de una fuente de ondas

superficiales (generalmente Rayleigh) suficientemente intensa en el rango de frecuencias

deseado. El empleo de terremotos como fuente ( p. e. Dziewonski et al. 1969) puede resultar

inadecuado en regiones de sismicidad moderada o que carezcan de redes de sismógrafos densas.

Otra opción es el uso de fuentes artificiales (explosiones, vibradores, …). El hecho de conocer y

poder decidir la ubicación y propiedades de la fuente presenta grandes ventajas prácticas. Sin

embargo, las fuentes de intensidad moderada, utilizables en entorno urbano, provocan señales

generalmente pobres en bajas frecuencias, que no pueden penetrar más allá de unas pocas

decenas de metros (Jongmans and Demanet 1993, Tokimatsu 1997).

El microtremor como excitación sísmica

El empleo del ruido ambiental como fuente de excitación sísmica (habitualmente como fuente de

ondas superficiales), es pues una opción muy atractiva que ha cobrado interés creciente en las

últimas décadas. Al contrario que los terremotos, el ruido ambiental tiene la ventaja de generarse

de forma continua, y comparado con una fuente artificial de pequeña intensidad, tiene

habitualmente un rango espectral más amplio. Sin embargo su utilización también presenta

aspectos problemáticos, como la incertidumbre en la ubicación y características de las fuentes, lo

que puede hacer necesarios sistemas de adquisición de datos y de análisis más complejos.

Algunos de estos métodos son:

- El método de autocorrelación espacial (SPAC) en sus diferentes variantes (Aki, 1957,

1969; Okada and Matsushima, 1989; Bettig et al., 2001; Köhler et al., 2007).

- El método f-k (frecuencia-número de onda) y sus variantes (p. e. Capon 1969).

- Método ReMi (“Refraction Microtremor”, Louie, 2001).

- Otros métodos de análisis de ondas Rayleigh en la componente vertical mediante array

circular (Henstridge, 1979; Cho et al. 2006a; Tada et al., 2007).

- Métodos de array circular para ondas Love distintos del 3c-SPAC: métodos “Two radius”

(TR, Tada et al., 2006), “Double Ring” (DR, García-Jerez et al. 2006b, 2008a), “Single

Introducción.

- 11 -

Circular Array” (SCA, García-Jerez et al. 2008b, 2010), SPACL y “Centerless Circular

Array for Love waves” (CCA-L, Tada et al., 2009).

- La extracción de funciones de Green entre parejas de estaciones mediante correlación

cruzada (Shapiro and Campillo, 2004), que ha sido testeada a escala geotécnica por

Picozzi et al. (2009).

El método f-k y la extracción de funciones de Green serán descritos en el Capítulo 2. El método

SPAC (y variantes), junto con los desarrollados en este trabajo de investigación (métodos SCA y

DR) se discuten en el Capítulo 3. En lo que resta del presente capítulo introductorio se revisará la

bibliografía existente acerca del origen y la composición del ruido ambiental.

1.5. SOBRE LA NATURALEZA DEL MICROTREMOR

El comienzo del registro sísmico digital a partir de los años sesenta y el desarrollo de las

estaciones de banda ancha a partir de los setenta han permitido la instalación de redes sísmicas

que, aunque destinadas a distintos propósitos, tienen capacidad de realizar grabaciones de ruido

sísmico ambiental en un amplio espectro de frecuencias, pudiendo ir desde los milihercios hasta

las decenas o centenares de Hercios. El poder medir fielmente estas vibraciones es quizá el

primer paso para que pasen de ser consideradas “ruido” (variaciones aleatorias no explicadas por

el modelo científico en vigor) a tratarse como un fenómeno natural merecedor de estudio del que

se puede extraer información valiosa.

Peterson (1993) llevó a cabo una evaluación del espectro del ruido ambiental a nivel mundial

usando los registros del Albuquerque Seismological Laboratory obtenidos en 75 estaciones de

banda ancha desde 1972 (figuras 1.5.1).

La principal característica encontrada en los espectros de ruido es la presencia de dos picos

alrededor de 5-7s y de 18 segundos (0.2 Hz y 0.06-0.07 Hz). Otra característica evidente es la

gran variabilidad del nivel de ruido en las estaciones continentales para periodos inferiores a 1s,

presentando dependencia en la hora del día, con un notable decremento en las horas nocturnas.

Como veremos a continuación, este comportamiento revela su origen en las actividades

humanas, si bien, en las estaciones insulares y en las costas, el ruido debido a microsismos y a

las olas puede superar al ruido cultural también en estas altas frecuencias.


- 12 -

Figura 1.5.1. Izquierda: posiciones de las estaciones consideradas en el estudio de Peterson (1993). Derecha:

densidad espectral del ruido en las distintas estaciones.

1.5.1. EL ORIGEN DEL RUIDO SÍSMICO

El origen del ruido sísmico (i. e. sus fuentes) ha sido investigado por distintos autores desde que

la capacidad técnica lo permitió. En 1911 ya se hizo una revisión mayor sobre el tema en forma

de tesis doctoral (Gutenberg, 1911). Una extensa revisión bibliográfica reciente puede

encontrarse en el artículo de Bonnefoy-Claudet et al. (2006b). En la Tabla 1.5.1 se muestran los

orígenes asignados al ruido sísmico según Gutenberg (1958), Asten (1978) y Asten and

Henstridge (1984) para distintos rangos de frecuencias. Como se aprecia en la tabla, al ruido

sísmico de frecuencias inferiores a 1Hz se le atribuye origen natural. El pico espectral a ~0.15-

0.2Hz, antes mencionado, es el más prominente y se asocia a un efecto causado por las olas

oceánicas, que viajan en direcciones opuestas, generando ondas estacionarias que disipan energía

en forma de ondas elásticas.

Tabla 1.5.1. Fuentes de ruido ambiental en función de la frecuencia. Reproducido de Bonnefoy-

Claudet et al. (2006b).

Gutenberg

(1958)

Asten (1978),

Asten and Henstridge

(1984)

Olas oceánicas golpeando en las costas 0.05 – 0.1 Hz 0.5 – 1.2 Hz

Monzones y perturbaciones meteorológicas a gran

escala

0.1–0.25 Hz 0.16–0.5 Hz

Ciclones sobre los océanos 0.3–1 Hz 0.5–3 Hz

Condiciones meteorológicas a escala local 1.4–5 Hz

Tremor volcánico 2–10 Hz

Urbano 1–100 Hz 1.4–30 Hz

Introducción.

- 13 -

Longuet-Higgen (1950) explicó este fenómeno, que resulta llamativo ya que la frecuencia

dominante en las ondas oceánicas es aproximadamente la mitad de la de las ondas elásticas

generadas. Tanimoto et al. (2006) han identificado ondas Rayleigh de esta frecuencia viajando

desde la costa en más de 70 estaciones del sur de California (si bien, esta directividad no resulta

tan clara en estaciones situadas en cuencas sedimentarias). Yamanaka et al. (1993) también

encontraron una clara correlación entre la altura de las olas y la amplitud espectral a 6.5s. Díaz et

al. (2010) han verificado esta dependencia en la mayoría de las estaciones de IberArray (una red

de 55 estaciones que fue desplegada en el sur de la península Ibérica y en el norte de Marruecos

desde verano de 2007). En general, el nivel espectral es mínimo en primavera y verano,

creciendo en otoño y con máximo en invierno. Díaz et al. (2010) encuentran que la máxima

variación estacional ocurre para un periodo de 9s.

El pico a ~0.06Hz (menos destacado) fue relacionado con el golpeo de las olas oceánicas en las

costas, que transferirían su energía en forma de ondas Rayleigh (Hasselmann, 1963).

Algunos autores emplean el término “microsismo” para referirse al ruido sísmico de origen

natural, y en especial el de periodos de hasta 20s, reservando “microtremor” para el de origen

antrópico. En esta memoria se utilizan “ruido sísmico”, “ruido ambiental” y “microtremor” como

sinónimos, englobando en estos términos a los microsismos. Se especificará la banda de

frecuencias y/o el origen cuando se requiera.

Aunque algunos estudios (Young et al., 1996; Withers et al., 1996) indican que el viento da lugar

a ruido sísmico de alta frecuencia (entre 15 y 60 Hz), en sitios poblados y por encima de 5Hz las

fuentes son predominantemente urbanas (tráfico, maquinaria, pasos,…). Sin embargo, estas

ondas resultan fuertemente atenuadas al alejarse varios kilómetros de la zona generadora. Entre 1

y 5Hz hay una banda de transición en la que contribuirían ambos tipos de fuentes. Yamanaka et

al. (1993) demostraron, con medidas continuas en la Universidad de California del Sur en Los

Ángeles, la dependencia de la amplitud del microtremor de corto periodo (0.3s) con el ciclo

día/noche así como su caída durante el fin de semana, lo que prueba la elevada contribución de

fuentes antrópicas. Otras comprobaciones recientes de este hecho han sido llevadas a cabo por

Bonnefoy-Claudet, (2004) y Díaz et al. (2010).

1.5.2. COMPOSICIÓN DEL RUIDO SÍSMICO

Ésta es en gran medida, una cuestión aún abierta, a pesar de que ha sido estudiada por múltiples

autores. Los trabajos empíricos al respecto podrían clasificarse en dos grandes grupos en función

del método seguido: los basados en el estudio de la trayectoria tridimensional de la partícula y


- 14 -

los basados en medidas de array. En los primeros se explotan las diferencias en la polarización y

en el movimiento de una partícula cuando es sometida a los distintos de ondas (p. e., trayectorias

elípticas en el plano de incidencia en el caso de ondas Rayleigh). La segunda vía consiste en

calcular velocidades de propagación de las ondas presentes en el ruido sísmico (normalmente en

la componente vertical) e identificarlas comparando con las obtenidas teóricamente para los

distintos tipos de ondas partiendo de la estructura del sitio, que ha de ser conocida.

Adicionalmente, se han realizado simulaciones numéricas que permiten una mejor comprensión

del fenómeno. Bonnefoy-Claudet et al. (2006a) han analizado ruido sintético registrado en una

array virtual, concluyendo que la composición de éste depende al menos de dos factores: i) de la

posición de las fuentes (lejanas o cercanas, superficiales o profundas); ii) de la estructura del

sitio (del contraste de impedancia entre la posible capa sedimentaria y el basamento y de su

frecuencia de resonancia). Por tanto, muchos estudios experimentales podrían estar en buena

medida sesgados ya que la mayoría están realizados con estaciones situadas en roca y

relativamente protegidas del ruido urbano (de fuentes cercanas). Esta variabilidad en la

composición podría ser la causa de la falta de consenso general.

A continuación se mencionarán algunos resultados bien establecidos y algunos estudios recientes

clasificados por banda de frecuencias. Una revisión bibliográfica más extensa de los trabajos

anteriores a 2006 puede encontrarse en el artículo de Bonnefoy-Claudet et al. (2006b).

Periodos entre 20s y 5-7s

Es generalmente admitido que, en la banda entre 5-7 y 20s (de 0.05 a 0.15-0.20Hz) predominan

los modos fundamentales de ondas Rayleigh y Love (p. e. Lacoss et al., 1969, obtenido mediante

array sísmica), si bien, pueden encontrarse también indicios de contribuciones de modos

superiores. Tanimoto et al. (2006), estudiando la trayectoria de la partícula, ha encontrando

variabilidad estacional en las contribuciones de los distintos modos de onda Rayleigh.

Periodos entre 5-7s y 1s

Para periodos menores (entre 1s y 5-7s), la situación es más controvertida y el campo de ondas

puede estar compuesto por una complicada mezcla de estos modos fundamentales junto a modos

superiores de ondas superficiales y ondas internas (p. e., Koper et al., 2010). Incluso, en

ocasiones, los modos fundamentales pueden estar prácticamente ausentes (Toksöz and Lacoss,

1968). Sin embargo, también son muchos los autores que encuentran predominancia de los

modos fundamentales de ondas superficiales, al menos en estructuras sedimentarias. Toksöz

Introducción.

- 15 -

(1964) ya encuentra este resultado para periodos entre 1 y 6s (0.17Hz) analizando velocidades de

fase en algunas ventanas temporales en las que el ruido ambiental era unidireccional. Horike

también encuentra el modo fundamental en dos puntos de la cuenca de Osaka (Japón) a

frecuencias inferiores al hertzio, mediante medidas de f-k (concretamente, entre los 0.5 y los

3Hz, con contaminación de modos superiores de 2.48 a 3Hz en uno de los sitios). Yamanaka et

al. (1994) apoyan la predominancia de las ondas Rayleigh, aunque en base a evidencias algo más

indirectas (comparación entre la forma del cociente espectral H/V y a la curva de elipticidad, ver

Capítulo 2). Matsuoka et al. (1996) han comparado con éxito la curva de dispersión teórica del

modo fundamental Rayleigh para un punto de estructura conocida (con un 1 Km de sedimentos)

con los datos experimentales obtenidos mediante array (método v-SPAC) hasta periodos tan

altos como 5s (trabajo reproducido por Okada, 2003, págs. 106-109). Kagawa (1996) y Flores-

Estrella and Aguirre-González (2003) han obtenido curvas de dispersión en Ciudad de México

que bajan hasta 0.35Hz (2.9 s) y 0.28 Hz (3.6s) usando los métodos f-k y v-SPAC

respectivamente. Kunimatsu et al. (2005) alcanzan los 6.7 s (0.15Hz) en tres puntos de la llanura

de Yufutsu (Japón), interpretando los resultados como modo fundamental Rayleigh (salvo en el

rango 0.3 -1.2 Hz donde, en uno de los puntos, se intuye contaminación por modos superiores).

El supuesto límite de 1s para la interpretación mediante modos fundamentales de ondas

superficiales es rebasado en alguna medida en muchos otros estudios recientes (p. e. Cho et al.,

2004 y Tada et al., 2009). En esta memoria identificaremos curvas de dispersión de ondas

Rayleigh a periodos de hasta 1.7s (0.6Hz) con datos propios. Una explicación parcial de la

controvertida composición del ruido en este rango de periodos fue apuntada por Lacoss et al.

(1969), quienes afirman que la probabilidad de que el modo fundamental Rayleigh domine en el

ruido disminuye al alejarse de las zonas costeras, dada la fuerte atenuación que sufren las ondas

Rg. Esto explicaría la ausencia de estas ondas en las medidas realizadas en el LASA (Large

Aperture Seismic Array, Montana, EEUU) y está en consonancia con las simulaciones de

Bonnefoy-Claudet et al. (2006a) que ligan la predominancia de los modos fundamentales a la

existencia de fuentes superficiales cercanas en estructuras con altos contrastes de impedancia

entre sedimentos y basamento.

Periodos menores que 1s

Como se describió anteriormente, las fuentes urbanas cercanas (de haberlas) pasan a jugar un

papel esencial. De nuevo, estas favorecerían la excitación de ondas superficiales para contrastes

altos (contraste de velocidades de 3-4) mientras que también darían lugar a ondas internas

apreciables para contrastes menores (Bonnefoy-Claudet et al., 2006).


- 16 -

Los resultados en ausencia de fuentes antrópicas arrojan de nuevo un panorama complejo. Li et

al. (1984) analizaron el microtremor entre 1 y 20Hz en un afloramiento rocoso en ausencia de

ruido urbano, encontrando altas velocidades de propagación, lo que sugiere que está compuesto

por ondas internas o modos superiores de ondas superficiales. En la banda de 1Hz a 4Hz Koper

et al. (2010) encuentran gran variabilidad de composiciones en un conjunto de 9 arrays sísmicas

permanentes distribuidas por toda la tierra, consistiendo en combinaciones de ondas P, PKP, Lg

y Rg.

1.5.3. PROPORCIÓN DE ONDAS RAYLEIGH Y LOVE EN EL RUIDO SÍSMICO.

Admitiendo que estemos en las circunstancias en las que dominan las ondas superficiales, queda

aún por dilucidar cuál es la proporción de ondas Rayleigh y Love. Hasta la fecha, la gran

mayoría de estudios de ruido ambiental mediante array sísmica se centran en el análisis de las

componentes verticales, de modo que las cuestiones relativas a las ondas Love no son

consideradas. Aún así, en la bibliografía pueden encontrarse varias determinaciones

experimentales de la relación Rayleigh-Love. En la mayoría de éstas (y en todas las que se citan a

continuación), ésta proporción es calculada para las componentes horizontales del campo (y por

tanto, la verdadera proporción energética de ondas Rayleigh en el campo tridimensional es

mayor que la que se indica).

Miyadera and Tokimatsu (1992) encontraron una distribución de energías entre las ondas

superficiales de 40% Rayleigh - 60% Love, con un margen de error de 10%. Tres estudios sobre

el tremor volcánico realizados también en la década de los „90 merecen atención:

- Ferrazzini et al. (1991), encontraron en el pié del cráter Puu Oo del volcán Kilauea una

distribución energética de un 60% de onda Rayleigh frente al 40% Love, entre 1-2 y 8Hz.

Sin embargo, Aki (coautor del trabajo anterior) et al. (1978) encontraron una práctica

ausencia de ondas Rayleigh y, contrariamente, ondas Love muy notables en las medidas

realizadas en un lago de lava parcialmente solidificada cercano (sitio Kilauea Iki). Esta

aparente contradicción es explicada por los autores como un efecto debido a una capa de

roca fundida en este segundo sitio.

- Chouet et al. (1996) encuentran un proporción de 30% Rayleigh frente al 70% Love en el

tremor del volcán Stromboli, entre 2 y 9Hz. Esta proporción se asume como

independiente de la frecuencia.

- Métaxian and Lesage (1997) determinaron que la proporción de ondas Rayleigh en el

volcán Masaya está entre el 45% y el 51% para el rango de frecuencias entre 1 y 8Hz.

Introducción.

- 17 -

Recientemente, se han realizado estudios más detallados en los que se calcula esta proporción en

función de la frecuencia. Köhler et al. (2007) han estimado contenidos de onda Rayleigh entre el

10% y el 35% en la banda espectral de 0.5 a 2Hz en Pulheim (Alemania). En un trabajo de

Endrun and Ohrnberger (2009) se han analizado 20 experimentos de array sísmica en diferentes

sitios de Europa, obteniéndose que la contribución relativa de ambas ondas depende de la

frecuencia, con la potencia de onda Rayleigh variando entre el 10% y el 60% en la banda 1-

15Hz y alrededor del 50% a frecuencias mayores y menores. Endrun (2010) detalla los

experimentos en muchos de estos sitios. Tada et al. (2010), con un método propio, han estimado

una contribución de ondas Love en dos áreas de la ciudad de Tokio en torno al 80% por debajo

de 2Hz, encontrando una gran variabilidad a frecuencias superiores. En la revisión literaria de

Bonnefoy-Claudet et al. (2006b) se concluye que las ondas Love predominan para frecuencias

superiores a 1 Hz. Sin embargo, como se ha descrito, hay cierta dispersión en los resultados,

encontrándose casos en los que las ondas Rayleigh son ligeramente predominantes (p. e. Cornou,

2002).


- 18 -

CAPÍTULO 2

TÉCNICAS EXPLORATORIAS BASADAS EN EL

ESTUDIO DEL RUIDO AMBIENTAL

En este capítulo se revisan tres métodos de exploración sísmica pasiva con ruido ambiental: la

técnica del cociente espectral H/V (HVSR o método de Nakamura), el método f-k y, con menor

detalle, la recientemente desarrollada interferometría sísmica. Se excluyen aquí los métodos de

tipo SPAC que serán desarrollados en profundidad en el capítulo siguiente.

2.1. MÉTODOS BASADOS EN MEDIDAS PUNTUALES. HVSR.

Probablemente, la forma más sencilla de obtener alguna información sobre la estructura

superficial usando medidas de ruido ambiental consiste en el empleo del cociente entre las

amplitudes espectrales de las componentes horizontal y vertical del movimiento. Esta técnica,

conocida como Técnica de Nakamura, H/V o HVSR (Horizontal-to-Vertical Spectral Ratio) ha

sido empleada extensivamente en las últimas décadas, dada su economía en dispositivos y

requerimientos logísticos, ya que sólo se necesita obtener un registro en tres componentes del

microtremor por cada punto investigado (ver ejemplos en Lermo and Chávez-García, 1993 y

1994; Gaull et al., 1995; Abeki et al., 1996; Fäh et al., 1996; Alfaro et al., 1997; Fäh 1997;


- 20 -

Guéguen et al., 1998; Navarro et al., 1998; Regnier et al., 2000; Tobita et al., 2000; Alfaro et al.,

2001; Ansal et al., 2001; Bodin et al., 2001; Navarro et al., 2001; Satoh et al., 2001b; Rosset et

al., 2002; Al Yuncha et al., 2004; Almendros et al., 2004; Talhaoui et al., 2004; Tuladhar et al.,

2004; García-Jerez et al., 2006a ente muchos otros).

Originalmente propuesta por Nakamura (1989), la técnica ha sido y es aún objeto de controversia

en lo relativo a su interpretación física y su utilidad. Suponiendo una estructura sedimentaria, la

técnica de Nakamura en “sentido restringido” supondría que:

i) El primer máximo (el de menor frecuencia) del cociente entre las amplitudes

espectrales horizontal y vertical del microtremor ocurre a la frecuencia de resonancia

de las ondas S verticalmente incidentes.

ii) La amplitud de dicho máximo coincide con la amplificación máxima de las ondas S

(máximo de la función de transferencia).

Algunos autores usan la Técnica de Nakamura en un sentido menos restrictivo (p. e. Herak,

2008), considerando que el cociente espectral HVSR es una estimación de la función de

transferencia para un rango amplio de frecuencias y no sólo en el entorno del máximo. El

conocimiento de estas características de la función de transferencia de ondas S, que es valioso

por sí mismo (p. e., para la estimación de efectos de sitio en estudios de peligrosidad sísmica de

un emplazamiento) puede permitir además el cálculo de parámetros elásticos o geométricos de la

estructura. Concretamente, utilizando que la frecuencia fundamental se correlaciona con la

profundidad al basamento, la técnica HVSR se puede emplear para determinar la geometría de

éste cuando la dependencia entre la velocidad de onda S con la profundidad en la cubierta

sedimentaria sea conocida o supuesta (Ibs-von Seht and Wohlenberg, 1999; Delgado et al.,

2000a, Delgado et al., 2000b; Parolai et al., 2002; García-Jerez et al., 2006a; entre otros).

Varios autores han avalado experimentalmente el método de Nakamura dentro de cierto grado de

aproximación. Como ejemplo, en la Figura 2.1.1 extraída de Konno and Ohmachi (1998) se

muestra una comparativa entre frecuencias y amplitudes medidas usando HVSR y las

correspondientes a la función de transferencia de ondas S con incidencia vertical para 14 puntos

con estructura conocida.

Técnicas exploratorias basadas en el estudio del ruido ambiental.

- 21 -

Figura 2.1.1. Relación de los periodos experimentales (figura izquierda) y las amplitudes experimentales (figura

derecha) del primer máximo del HVSR con los correspondientes a la función de transferencia de ondas S. Los datos

corresponden a 14 puntos en los que la estructura del suelo es conocida y el HVSR presenta un pico fundamental

pronunciado. Tomado de Konno and Ohmachi (1998).

2.1.1. FUNDAMENTO TEÓRICO. HIPÓTESIS.

Una revisión bastante exhaustiva del método con discusión de sus fundamentos teóricos fue

realizada en la pasada década por Bard (1999). En ese trabajo se critica la descripción original de

Nakamura y se pone en duda la vinculación directa de la forma del HVSR con la función de

transferencia de ondas S. El análisis de la versión más explícita del método (Nakamura, 1996), se

resume a continuación (Bard, 1999):

Nakamura (1996) parte de que campo de ondas que forma el microtremor puede separarse en su

componente de ondas internas (subíndice b) y la componente de ondas superficiales (subíndice

s). Entonces, las componentes horizontal (superíndice H) y vertical (superíndice V) en la

superficie de los sedimentos (S mayúscula) son:

)f(S)f(R)f(H)f(S)f(S)f(S H

s

H

bT

H

s

H

b

H (2.1.1)

)f(S)f(R)f(V)f(S)f(S)f(S V

s

V

bT

V

s

V

b

V (2.1.2)

donde )f(RV

b y )f(RH

b son los espectros de la parte de ondas internas en el basamento (sitio de

referencia en roca) en las componentes vertical y horizontal, )f(VT y )f(HT son las

amplificaciones “verdaderas” entre el basamento y la superficie de los sedimentos para las


- 22 -

componentes vertical y horizontal. A partir de (2.1.1-2), el cociente espectral entre las

componentes horizontal y vertical puede escribirse ahora como:

)()()()()()()()()( ffVffffHfSfSfHVSR Ts

HV

RT

VH BABA (2.1.3)

donde HV

RA es el cociente H/V para el sitio en roca ( HV

RA = V

b

H

b R/R ), V

b

V

s RS /B , mientras

que sA es el cociente H/V para las ondas superficiales: sA = V

s

H

s SS / .

En estas circunstancias, la validez del método de Nakamura a la frecuencia f, es decir, de la

relación )()( fHfHVSR T ) se tiene si ocurre que:

i) El cociente espectral H/V en roca es igual a 1 ( )( fHV

RA = 1).

ii) La componente vertical no está amplificada ( 1)f(VT ).

iii) )( fB es mucho menor que 1.

iv) )()( ff sAB = )(/)( fRfS V

b

H

s es mucho menor que )f(HT .

En base a la experiencia, se puede admitir la hipótesis i). La hipótesis ii) se puede argumentar

(Nakamura, 2000) considerando que las velocidades de propagación de la onda P en la cubierta

sedimentaria son generalmente mucho mayores que las de las S, lo que conlleva que las

resonancias de onda P se encuentren a frecuencias muy superiores a las de la onda S.

Las hipótesis iii) y iv) implican asumir la predominancia de las ondas internas sobre las

superficiales en las componentes vertical y horizontal del ruido medido en los sedimentos.

Efectivamente, admitida i), la condición iv) equivale a )f(S H

s << )f(S H

b (dominancia de

ondas internas en la componente horizontal). Análogamente, admitida ii), la condición iii) es

)( fSV

s << )( fSV

b (dominancia de las ondas internas en la componente vertical). Estas dos

desigualdades, que serán consideradas en la sección 2.1.6, contienen afirmaciones sobre la

composición del ruido ambiental que siguen en discusión aún en nuestros días (ver por ejemplo

Bonnefoy-Claudet et al., 2006a vs. Nakamura, 2007), si bien, cobran fuerza los argumentos en

contra de su validez general (i. e. para f arbitraria).


- 23 -

2.1.2. INTERPRETACIÓN EN TÉRMINOS DE ONDAS SUPERFICIALES.

Contrariamente a la interpretación de Nakamura del HVSR en términos de ondas internas,

muchos otros autores, y en la mayoría de las investigaciones recientes sobre el tema, se defiende

la vinculación del cociente espectral con las propiedades de las ondas superficiales (p. e. Lachet

and Bard, 1994; Konno and Ohmachi, 1998; Fäh et al., 2003; Scherbaum et al., 2003; Arai and

Tokimatsu, 2004).

En apoyo de esta tesis está el hecho bien establecido de que, para amplias bandas de frecuencia,

el microtremor consiste mayoritariamente en ondas superficiales, lo que se manifiesta en su

característico carácter dispersivo (Aki, 1957; Nogoshi and Igarashi, 1971; Chávez-García and

Luzón, 2005, entre muchos o otros). La mayoría de los trabajos en este campo usan registros de

componente vertical.

Aunque los estudios al respecto no son tan abundantes, el comportamiento predominantemente

dispersivo del ruido ambiental en la componente horizontal a frecuencias de interés geotécnico

ha sido avalado experimentalmente (ejemplos recientes: Di Giulio et al., 2006 y Fäh et al., 2008

usando f-k; Köhler et al., 2007 usando 3c-MSPAC; Tada et al., 2006, 2010 y García-Jerez et al.,

2008a, 2010 usando métodos tipo-SPAC de desarrollo reciente).

Como las ondas Love no conllevan movimiento en la componente vertical, el vínculo más

inmediato entre las ondas superficiales y el cociente espectral HVSR son las curvas de

elipticidad de la onda Rayleigh.

2.1.3. VÍNCULO CON LA ELIPTICIDAD DE LA ONDA RAYLEIGH

La trayectoria que sigue una partícula bajo la acción de una onda Rayleigh monocromática es, si

la atenuación inelástica es despreciable, una elipse recta sobre el plano vertical que contiene a la

dirección de propagación. Definimos la elipticidad de la onda Rayleigh como el cociente entre

las amplitudes del movimiento horizontal y vertical de la partícula (semiejes de la elipse). La

forma de las curvas de elipticidad es fuertemente dependiente de la estructura del suelo. En el

caso de un semiespacio homogéneo, la elipticidad depende exclusivamente del coeficiente de

Poisson , según las expresiones (Malischewsky and Scherbaum, 2004):

2)(h)(h

5)(h)(h32

43

43

(2.1.4)


- 24 -

donde se han definido las funciones auxiliares )(h1 , )(h2 , )(h3 y )(h4 :

332

1 13216215)(h ;

15611)(h2 ;

321

33 )(h)(h334)(h ;

321

34 )52(sign)(h)(h33)52(sign4)(h . (2.1.5)

Esta relación, que se muestra en la Figura 2.1.2, representa también el límite de alta frecuencia

en estructuras complejas, si se evalúa usando el de la capa superior (límite de longitud de onda

Rayleigh mucho menor que el espesor de la capa superficial).

Figura 2.1.2: Elipticidad de la onda Rayleigh para un semiespacio homogéneo en función del coeficiente de Poisson.

(Reproducida de Malischewsky and Scherbaum, 2004).

En el caso de una estructura formada por una capa sobre un semiespacio más rígido (y en

modelos aún más complejos), la elipticidad es dependiente de la frecuencia. Su valor puede

calcularse para una estructura arbitraria siguiendo a Haskel (1953), mientras que, en este modelo

simple de una capa sobre el semiespacio puede usarse también la solución analítica obtenida por

Malischewsky and Scherbaum, (2004) en términos de la velocidad de fase de ondas Rayleigh.


- 25 -

Existen tres comportamientos distintos de la curva en función del contraste de velocidades de

ondas S entre la capa y el semiespacio (Fig. 2.1.3). En los casos en que el contraste de

velocidades es de al menos, 2.5 – 3, estas funciones presentan un pico bien definido (ver Figura

2.1.3, tipos 2 y 3). Si el contrate es mayor de 3.5 – 4 el pico tiene amplitud infinita y aparece en

una frecuencia próxima a la resonancia fundamental de las ondas S verticalmente incidentes

(Malischewsky and Scherbaum, 2004; tipo 3 en Figura 3) y se debe a una anulación en la

componente vertical simultánea a un cambio en el sentido en el que la partícula recorre su

trayectoria elíptica. Con contrastes menores, la frecuencia del pico puede desviarse notablemente

del valor de la resonancia S.

Figura 2.1.3. (a) Modelos de capa elástica sobre semiespacio y curvas de elipticidad correspondientes. Se muestran

las curvas de elipticidad para al modo fundamental correspondientes a SV = 250 m/s (Tipo 1),

SV = 200 m/s (Tipo 2)

y 50 m/s (Tipo 3). Los coeficientes de Poisson usados son = 0.499 para SV < 150 m/s y = 0.499 – 1.16·

10-4

· (SV -150) para

SV 150 m/s. Los espesores de la capa superior son tales que el periodo de 1 s corresponde a la

resonancia fundamental para ondas S. (b) Tipos de órbitas de la partícula para el modo fundamental Rayleigh.

(Traducido de Konno and Ohmachi, 1998).

En consecuencia, si en el pico del HVSR el campo de ondas estuviera dominado por las ondas

Rayleigh, persiste la posibilidad de usarlo para identificar la frecuencia de resonancia f0 (en caso

de contrastes altos) pero se desvanece la de estimar la amplificación máxima de ondas S a partir

de la amplitud de este, dado el comportamiento divergente de la elipticidad. Konno and Ohmachi


- 26 -

(1998) propusieron un modo de eliminar estas divergencias mediante un suavizado de las curvas

de elipticidad. Sin embargo, este suavizado no es un remedio completo porque, cuando el

contraste de impedancias es superior a 3, las amplitudes resultantes del suavizado son aún

fuertemente dependientes del coeficiente de Poisson en la estructura (por serlo las curvas de

elipticidad), además de variar con los detalles del suavizado (ver Fig. 13 en Konno and Ohmachi,

1998). Aún así, estos autores encuentran experimentalmente una relación de proporcionalidad

(con pendiente 2.5) entre la amplificación de la onda S y la amplitud de la elipticidad suavizada,

que es válida en casos en los que el coeficiente de Poisson sea próximo a 0.5 y usando un cierto

nivel de suavizado (dado por el parámetro b = 20 del tipo de ventana propuesta por los autores).

Si además se admite que la energía de la componente horizontal se distribuye en 40% para ondas

Rayleigh y 60% para ondas Love (Miyadera and Tokimatsu,1992) se deduciría la igualdad entre

la amplitud del HVSR y la amplificación de la onda S en la frecuencia de resonancia (Fig. 2.1.1).

2.1.4. DIFICULTADES EN LA INTERPRETACIÓN EN TÉRMINOS DE ONDA RAYLEIGH

Desafortunadamente, la interpretación de Konno and Ohmachi (1998) sobre la amplitud del pico

del HVSR descansa sobre hipótesis muy restrictivas (dominancia de las ondas superficiales en

torno a f0, un reparto energético concreto entre ondas Rayleigh y Love conocido y alto

coeficiente de Poisson) que no se satisfacen en todos los casos prácticos. Presentamos a

continuación algunos trabajos en los que se plantean objeciones a esta interpretación:

- Dependencia en el coeficiente de Poisson.

Lachet and Bard (1994) muestran, utilizando ruido simulado compuesto de ondas superficiales e

internas sobre estructuras unidimensionales complejas, que la correlación entre la amplificación

de ondas S y la amplitud del HVSR es pobre, insistiendo en la importante influencia del

coeficiente de Poisson de la capa superior en el segundo. Por el contrario, la utilidad del método

de Nakamura para identificar la frecuencia de resonancia es confirmada.

- La dominancia de las ondas Rg sobre las internas no es general.

La dominancia de las ondas superficiales entorno a la frecuencia f0 en modelos con alto contraste

de impedancia para cualquier tipo de fuente generadora del ruido no se puede admitir

teóricamente. En concreto, la distribución energética entre ondas Rayleigh y P-SV para una

fuente vertical superficial ha sido estudia por Tamura (1996) en función de la frecuencia y de la

distancia al receptor encontrando que las segundas dominan en las dos componentes del

movimiento (radial y vertical) en torno a f0 , incluso a largas distancias (Figura 2.1.4). En el caso


- 27 -

de que las fuentes del campo estén situadas fuera de la estructura sedimentaria (o en el

basamento) la dominancia de las ondas Rayleigh es aún más dudosa (ver Bonnefoy-Claudet et

al., 2006a; Langston et al., 2009; van der Baan, 2009 y la discusión posterior).

- El contenido Rayleigh-Love en la componente horizontal es incierto e influye en la forma del

HVSR

La distribución energética entre ondas Rayleigh y Love en la componente horizontal del ruido

ambiental, en general poco conocida, puede ser en teoría muy variable dependiendo de las

características de las fuentes (se hizo una revisión de la bibliografía el respecto en la Sección

1.5). Si las fuentes se modelan por fuerzas puntuales verticales, no se generarán ondas Love,

mientras que si tienen componentes horizontales apreciables orientadas arbitrariamente respecto

al observador, las ondas Love pueden ser dominantes en torno a f0, con gran diferencia sobre las

Rayleigh (p. e. Figura 2.1.5). Una hipótesis interesante debida a Bonnefoy-Claudet (2004) señala

a las ondas Love como las responsables del pico del HVSR en f0 en modelos de una capa sobre

semiespacio con contraste moderado (curva elipticidad tipo 2 en Fig. 2.1.3). En este tipo de

modelos, el modo fundamental y el primer superior Rg actúan simultáneamente en torno a f0, y el

segundo de ellos con movimiento de la partícula predominantemente vertical (incompatible con

un máximo en el HVSR). En la interpretación de esta autora, es el máximo de potencia de las

ondas Love en la fase de Airy (frecuencia para la que la velocidad de grupo mínima, que en estos

modelos ocurre aproximadamente a f0) el que aumenta significativamente el contenido espectral

de la componente horizontal provocando el pico.

El importante papel de las ondas Love ha sido confirmado por Cornou (1998) quien comprobó,

mediante ruido simulado, que la amplitud del pico fundamental del HVSR disminuye

significativamente en caso de que las fuentes no tengan componente tangencial respecto al

observador, lo que conlleva la no recepción de las ondas Love y SH. Endrun (2010) ha

encontrado experimentalmente, en un conjunto de 12 medidas, contribuciones de ondas Rayleigh

típicamente del 40%-50% a la frecuencia f0. Köhler et al. (2007) han estimado el porcentaje de

ondas Rayleigh en la componente horizontal en Pulheim (Alemania), encontrando indicios de la

disminución de este porcentaje en torno a la frecuencia de resonancia.

2.1.5. AVANCES RECIENTES SOBRE EL ORIGEN DEL PICO DEL HVSR

De bastante interés para la comprensión de la naturaleza de las ondas constitutivas del

microtremor en el entorno de los picos del HVSR resulta el reciente trabajo de Bonnefoy-


- 28 -

Figura 2.1.4: Cocientes entre las amplitudes de las ondas internas y de las ondas Rayleigh generadas por una fuerza

vertical superficial que actúa sobre la estructura indicada. El contraste de velocidades de onda S entre la capa

sedimentaria y el semiespacio (1.2, 1.5, 3, 6) aumenta conforme se baja en las columnas. La columna izquierda se

refiere al movimiento en la componente vertical, mientras que en la derecha se representa el movimiento horizontal

(radial). El significado de las variables es: H = espesor de la capa superior; = densidad; VP = velocidad de onda P ;

VS1 = velocidad de onda S en la capa; VS2 = velocidad de onda S en el semiespacio; r = distancia entre la fuente y el

receptor; 0 = longitud de onda del modo fundamental Rayleigh; f = frecuencia; f0 = VS1/(4H); W = amplitud del

movimiento vertical; U = amplitud del movimiento horizontal; subíndice b = ondas internas; subíndice r = ondas

Rayleigh. Reproducida de Tamura (1996).


- 29 -

Claudet et al. (2006a), quienes han realizado simulaciones sobre un modelo 1D consistente en

una capa sedimentaria homogénea sobre un semiespacio entre los que existe un alto contraste de

impedancia (6.5) y factor de calidad bajo para la capa superior (QS = 25, QP = 50). En ese trabajo

usan diferentes tipos y distribuciones de fuentes, simulando también medidas de array en la

componente vertical para indagar en la naturaleza del campo de ondas. Los autores encuentran

toda una casuística para la forma del HVSR en función de las condiciones de las fuentes:

Figura 2.1.5. Energía liberada en forma de ondas superficiales por un conjunto de fuentes puntuales superficiales

con azimut aleatorio (calculada según Arai and Tokimatsu, 2000). La línea negra se refiere a la componente

horizontal del ruido mientras que la roja representa la vertical. En la subfigura A sólo se consideran fuentes

verticales, mientras que en B las fuentes forman 45 grados con la superficie del suelo. La diferencia entre las

componentes horizontales en periodos próximos y superiores a 0.28s (frecuencia fundamental de resonancia de onda

S en la estructura) se debe mayoritariamente a la aparición de las ondas Love en B. Nótese que la potencia generada

en forma de ondas de Rayleigh es mínima, en ambas componentes, en torno a la a la frecuencia de resonancia y muy

baja a frecuencias por debajo de ésta. Este cálculo, tomado de García-Jerez et al. (2004), está basado en un modelo

superficial para la Universidad de Almería.

- Que el HVSR tiene un solo pico destacado si las fuentes de ruido son cercanas (de 4 a 50 veces

el espesor de la capa) y superficiales. Además, el campo de ondas está dominado por ondas

Rayleigh. Para algunos tipos de dependencia temporal en la fuente encuentran un pico

secundario de amplitud mucho menor, situado a frecuencia doble de la fundamental, que

atribuyen a la presencia de ondas Love dominando la componente horizontal. Bonnefoy-Claudet

et al. (2008) matizan este resultado, indicando que el papel de las ondas Love en la amplitud del

pico es más y más importante conforme el contraste de impedancia entre sedimentos y

basamento disminuye.

- El HVSR presenta dos picos si las fuentes son distantes (más de 50 veces el espesor de la capa)

y están situadas dentro del estrato sedimentario. El primer pico es debido al modo fundamental


- 30 -

de onda Rayleigh y a la resonancia de ondas S, mientras que el segundo, situado a frecuencia

triple, se debe a la resonancia de ondas S exclusivamente.

- En caso de fuentes profundas, situadas en el basamento, el HVSR presenta picos en el modo

fundamental y en las frecuencias de los armónicos de onda S. Sólo son significativas las ondas S,

que son reflejadas múltiplemente en la capa sedimentaria. Éste extremo ha sido confirmado

recientemente por van der Baan (2009). Experimentalmente, Langston et al. (2009) han

explicado el pico del HVSR en la desembocadura del Mississippi (a 4s) como debido a ondas

internas que se propagan casi verticales por la capa sedimentaria y que tendrían su origen en la

interacción de las ondas Rayleigh y Love generadas en las costas de Norteamérica con la base de

la estructura sedimentaria.

En la Figura 2.1.6 se muestran los resultados para el caso en que las fuentes son superficiales

(profundidad menor que 1/10 del espesor de la capa) y están situadas tanto a distancias cortas

como a largas, incluyendo un conjunto de fuentes lejanas distribuidas de modo rectilíneo en un

rango de azimut limitado (simulando la línea costera, por ejemplo). La buena concordancia entre

la velocidad aparente de las ondas en la componente vertical y el modo fundamental Rayleigh

para frecuencias superiores a la de resonancia (2Hz) se muestra en la Fig. 2.1.6b.

Figura 2.1.6. (a) HVSR (líneas negras) calculado para un modelos de una capa de propiedades (VS = 200 m/s, VP =

1350 m/s, = 1.9g/cm3, QS = 25, QP = 50) de 25 m de de espesor sobre un semiespacio de características (VS = 1000

m/s, VP = 2000 m/s, = 2.5g/cm3, QS = 50, QP = 100) usando fuentes cercanas, lejanas uniformemente distribuida en

azimut y lejanas en sólo un rango de azimut. Las fuentes son puntuales con direcciones aleatorias y situadas a 2 m

de profundidad. La línea gris gruesa es la función de transferencia de ondas S verticalmente incidentes en el modelo.

Las dos líneas grises delgadas son las elipticidades de los modos Rayleigh fundamental y superior. (b) Velocidades

aparentes (puntos en escala de grises) estimadas usando el método f –k para las componentes verticales (CVFK).

Las líneas continuas representan las velocidades de fase de los tres primeros modos Rayleigh. Traducida de

Bonnefoy-Claudet (2004).


- 31 -

El comportamiento entorno a la frecuencia de resonancia es complejo y los efectos de las ondas

internas parecen advertirse incluso en el caso de fuentes superficiales cercanas (Nakamura, 2007)

dando lugar a velocidades aparentes anormalmente altas. Por otra parte, cualquiera que sea la

verdadera participación de las ondas superficiales e internas, estos experimentos dejan claro que

la amplitud del pico, y en menor medida su frecuencia, dependen de esta proporción, que está

influenciada por las posiciones y características de las fuentes y del medio.

2.1.6. CONCLUSIONES SOBRE LA VALIDEZ DE LA INTERPRETACIÓN DE

NAKAMURA.

Retomando en este punto la demostración de la Técnica de Nakamura basada en ondas internas

en lo referente a la amplificación para la frecuencia de resonancia fundamental (f0) podemos

concluir que:

- La dominancia de las ondas internas en la componente vertical grabada en la superficie del

estrato sedimentario ( )( 0fSV

s << )( 0fSV

b , condición iii) es plausible si el contraste de

impedancias es suficiente (Tamura, 1996) ya que )f(S 0

V

s se hace pequeño (o se anula) debido a

la degeneración del movimiento de la partícula sometida a una onda Rayleigh en una trayectoria

puramente horizontal conforme dicho contraste crece. Además, para contrastes altos entre el

sedimento y el basamento, no hay modos Rayleigh alternativos al fundamental en torno a f0.

- Se necesita más investigación sobre el grado de cumplimiento de la condición de dominancia

de las ondas internas en la componente horizontal ( )( 0fS H

s << )( 0fS H

b , condición iv). Su

validez será tanto más cuestionable conforme la energía de las ondas Love en el ruido aumente.

Para fuentes superficiales cercanas con orientaciones aleatorias, las ondas Love son las ondas

superficiales dominantes en la componente horizontal a la frecuencia 0f (p. e. Bonnefoy-Claudet

et al. 2008, Kölher et al. 2007; Endrun 2010, García-Jerez et al., 2004), resultando una amplitud

inestable del HVRS ante cambios la orientación de las fuentes (Bonnefoy-Claudet et al. 2008).

El cumplimiento de esta condición (iv) no se puede descartar en todos los casos, ya que si las

fuentes superficiales actúan verticalmente (o son radiales respecto al observador) las ondas Love

no juegan ningún papel y se tiene )( 0fS H

s << )( 0fS H

b para contrastes altos y fuente superficiales

(Tamura, 1996). Tampoco se puede descartar a frecuencias << 1Hz, a las que el campo está

generado por fuentes lejanas que pueden convertirse en ondas internas con dirección vertical en

la base de los sedimentos. Langston et al. (2009) defienden este mecanismo, si bien, los factores


- 32 -

de amplificación que aparecen en el HVSR habían de tomarse como una cota superior (la

amplificación sería menor para sismos locales en los que la onda S se propaga con trayectorias

más oblicuas).

2.1.7. UN CÁLCULO DEL HVSR BASADO EN ONDAS SUPERFICIALES.

Aunque la descripción del comportamiento del HVSR en torno a f0 sea inestable ante cambios en

la distribución de las fuentes y su descripción teórica compleja, existe la alternativa de sacar

partido de la forma de la función HVSR(f) para otras frecuencias en las que el comportamiento

es más regular y el campo de ondas está dominado, con más probabilidad, por las ondas

superficiales de origen local. Konno and Ohmachi (1998) ya advirtieron que la elipticidad de la

onda Rayleigh suele presentar gran semejanza a la función HVSR, llamando la atención sobre el

mínimo que presenta la primera a la frecuencia 2f0 (en casos de contrastes de impedancia altos)

que puede observarse en muchas ocasiones en las medidas de HVSR. Fäh et al. (2003) fueron

pioneros usando algoritmos genéticos para obtener las propiedades elásticas del suelo mediante

un ajuste de la forma del cociente espectral, calculado éste como la elipticidad del modo

fundamental de ondas Rayleigh. Sin embargo, los autores no obtienen buenos resultados en

algunos modelos en los que las ondas Love, los modos superiores de ondas superficiales y/o las

ondas internas tengan que ser considerados.

Una importante mejora fue introducida por Arai and Tokimatsu (2000, 2004) quienes

consideraron todos los modos de ondas superficiales (Rayleigh y Love) en el cálculo directo de la

forma del HVSR. De este modo, se estiman analíticamente los espectros de potencia horizontal

( )ω(PH ) y vertical ( )ω(PV ) en la superficie del medio debidos a una distribución de fuerzas

puntuales impulsivas, aleatoriamente orientadas en acimut y colocadas sobre una estructura 1D.

A partir de las expresiones asintóticas de los términos de ondas superficiales de las funciones de

Green (p. e. Harkrider, 1964) y considerando que los distintos modos interfieren

incoherentemente en el receptor (se suman las potencias de cada uno) estos autores expresan

)ω(PH y )ω(PV como:

m

m

Rm

RmV

kP 2

22

21

(2.1.6)


- 33 -

m mL

mL

m

mm

mR

mR

Hkk

P

22

22

2

2

221

, (2.1.7)

siendo VH LL / y )ω(LV y )(HL las componentes vertical y horizontal (esta última con

dirección arbitraria) de las fuentes puntuales. El símbolo )(m representa la elipticidad

(cantidad real) del mésimo modo Rayleigh a la frecuencia considerada, )(Rm y )(Lm son

las respuestas del medio para ondas Rayleigh y Love definidas por Harkrider (1964), Rmk y Lmk

son los números de onda Rayleigh y Love del modo.

El cociente de proporcionalidad es aproximadamente igual en ambas expresiones y contiene un

factor relacionado con la atenuación del medio (Arai and Tokimatsu, 2004). El parámetro

determina el peso relativo de las ondas Rayleigh y Love, de forma que éstas últimas adquieren

mayor importancia conforme aumenta, mientras que sólo se consideran las primeras para =

0. Finalmente, el cociente espectral teórico se calcula como:

V

H

P

PHVSR . (2.1.8)

Este método ha sido usado para invertir perfiles de velocidad de onda S a partir del HVSR sólo

(Arai and Tokimatsu, 2004) o conjuntamente con las curvas de dispersión de onda Rayleigh

(Arai and Tokimatsu, 2005; Parolai et al., 2005). En el primer caso, hay que tener en cuenta que

no se pueden invertir los espesores y las velocidades de las capas simultáneamente. En efecto, si

suponemos un modelo constituido por una capa de espesor H sobre un semiespacio, y tenemos

en cuenta que la elipticidad es una magnitud adimensional, concluimos que su dependencia con

la frecuencia f y con los parámetros elastodinámicos del suelo ha de ser de la forma

),,,,( 21

1

2

12

1

S

S

S V

V

V

Hf , con , ν y VS representando las densidades, coeficientes de Poisson

y velocidades de onda S de la capa (1) y del semiespacio (2). Esta dependencia en Hf / VS1

implica la imposibilidad de determinar espesor y velocidad usando solamente la forma de

)( fHVSR .

Desafortunadamente, la aplicación de este método necesita realizar hipótesis sobre la proporción

de ondas Rayleigh y Love en el ruido (o, alternativamente, sobre la inclinación media de las

fuentes puntuales superficiales que lo generan, dada por el coeficiente , ver p. e. Figura 2.1.7)


- 34 -

que los autores fijan en 40% y 60% de la energía respectivamente, para todas las frecuencias,

siguiendo a Miyadera and Tokimatsu (1992).

Para evitar la indeterminación debida a las incertidumbres en la potencia relativa de ondas

Rayleigh y Love, García-Jerez et al. (2006c) hemos diseñado un método de cálculo de la

elipticidad. La estrategia consiste en utilizar las distintas características de polarización de las

ondas superficiales en la componente horizontal (longitudinal para la Rayleigh y transversal para

la Love) para obtener, mediante el empleo de arrays circulares de sensores, estimaciones

experimentales de la elipticidad que estén libres de los efectos de las ondas Love. Una estrategia

similar ha sido expuesta por Cho et al. (2006b, Apéndice E). Otra basada en métodos f-k ha sido

desarrollada por Poggi and Fäh (2010).

Figura 2.1.7 - Cocientes espectrales HVSR calculados para la Universidad de Almería según Arai and Tokimatsu

(2000) a partir de un modelo de suelo obtenido de información geotécnica. La línea gruesa representa la medida

experimental. Cada una de las líneas delgadas está asociada a un valor del cociente entre las amplitudes de las

componentes horizontal y vertical de la fuerzas puntuales superficiales que se suponen provocan el campo. Este

valor está relacionado directamente con la proporción de energía liberada en forma de ondas Rayleigh y Love.

(Reproducido de García-Jerez et al., 2004).

2.2. MÉTODOS f-k.

Bajo la denominación f-k (frecuencia-número de onda) se agrupan una serie de algoritmos

empleados en exploración geofísica para el cálculo de velocidades de propagación de ondas


- 35 -

sísmicas. La estrategia subyacente a estos métodos consiste en evaluar a una frecuencia dada, las

direcciones y velocidades de las ondas planas que explican mejor las diferencias de fase entre los

registros de los distintos sensores que forman una array sísmica. Desde los ‟60, el desarrollo de

estas técnicas ha sido muy intenso, alcanzándose un alto grado de sofisticación (p. e. algoritmo

MUSIC, Schmidt, 1981).

En la mayoría de los casos, los métodos f-k son utilizados en exploración geofísica pasiva para

análisis de la componente vertical del movimiento. Se trata de técnicas muy flexibles en cuanto a

su aplicación en el campo, pues permiten utilizar arrays con geometrías arbitrarias. Además,

algunas variantes (CVFK) permiten calcular y analizar la estabilidad de múltiples soluciones

(números de onda) para cada frecuencia, siendo adecuadas para la separación de modos.

En esta sección sólo se pretende dar una exposición básica que sirva para poner en evidencia la

diferente orientación y las diferencias y debilidades respecto a las técnicas tipo SPAC que serán

desarrolladas en el siguiente capítulo.

2.2.1. MÉTODO f-k CONVENCIONAL (CVFK).

El método f-k convencional (Kvaerna and Ringdahl, 1986) es un modo directo e intuitivo de

evaluar las direcciones y velocidades de propagación predominantes en un campo de ondas. La

potencia de una pareja particular de valores f-k se determina “dirigiendo” la array hacia la

dirección y velocidad de fase correspondiente mediante los llamados “vectores de dirección”. Si

la array está formada por N sensores con posiciones R1, R2, …, NR , definimos el vector de

dirección e(k) como:

T

Niii RkRkRkke exp...expexp)( 21 (2.2.1)

donde el superíndice T indica transposición. El estimador de la potencia PCVFK(k, ) para el

método f-k convencional se construye ahora (Zywicki, 1999) como:

PCVFK (k, ) = eH(k) C() e(k) (2.2.2)

donde el superíndice H indica transposición y conjugación y la matriz de densidades espectrales

cruzadas C() es el promedio, para un conjunto de B ventanas temporales, de la matriz N

N de las correlaciones cruzadas:


- 36 -

B

1n

n,j

*

n,ljl )(S)(SB

)( 1

C , 1 j, l N . (2.2.3)

En la expresión (2.2.3), )(S n,j representa la transformada de Fourier del registro

correspondiente a la n-ésima ventana temporal en el sensor j. El asterisco (*) representa

conjugación compleja. Sobreentendiendo en lo sucesivo el promedio sobre ventanas, podemos

expresar (2.2.3) en notación matricial como:

)()()( H SSC (2.2.4)

siendo )(S el vector columna de las transformadas:

T

NSSS )(...)()()( 21 S . (2.2.5)

Por construcción, la matriz C cumple la propiedad C = CH. La definición (2.2.2) se puede

escribir también como PCVFK (k, ) = |eH(k) S()|

2.

Para comprender el comportamiento de PCVFK (k, ) analizamos tres casos:

- Incidencia de una onda plana con velocidad aparente infinita

Supongamos que sobre la antena sísmica incide una onda plana con velocidad aparente infinita,

es decir, tal que la forma de onda es registrada idénticamente por todos los sensores y sin desfase

temporal alguno. Esto puede visualizarse como la incidencia vertical de una onda P sobre una

array compuesta de sensores verticales, o de una onda S vertical sobre una array compuesta de

sensores horizontales paralelos entre sí. La igualdad entre las transformadas de Fourier de los

registros se simboliza )(S j = )(A y pudiendose reescribir (2.2.2) como:

PCVFK (k, ) = |A()|2 2N Ptheo (k), (2.2.6)

definiendo la respuesta de la array, Ptheo (k), como:


- 37 -

Ptheo (k) = eH(k)

NNmatriz

1...11

............

1...11

1...11

e(k) / 2N = 2

1

exp1

N

j

jiN

Rk . (2.2.7)

La función Ptheo (k) es característica de la distribución de sensores. Se trata de de una función

periódica en el en el plano yx kk , , dada la naturaleza periódica de Rk iexp . Ptheo (k)

presenta un máximo de valor unidad en k = 0 (ver Figura 2.2.1).

Figura 2.2.1. Ejemplos de respuestas de algunas arrays sísmicas. En los casos de arrays triangulares mostrados, se

puede apreciar ya la periodicidad de la función de transferencia en el rango de números de onda mostrado.

- Incidencia de una onda plana con velocidad aparente finita


- 38 -

Si sobre la antena sísmica incide una onda plana monocromática con frecuenta angular y

número de onda 'k , el registro en el dominio de la frecuencia del sensor j es )(S j =

)'exp()( jiA Rk y la potencia estimada PCVFK (k, ) queda (p. e. Wathelet, 2005):

PCVFK (k, ) = 2

)(A eH(k)

1...

............

...1

...1

)(')('

)(')('

)(')('

21

221

112

NN

N

N

ii

ii

ii

ee

ee

ee

RRkRRk

RRkRRk

RRkRRk

e(k) =

2

)(A

2

1

)'(

N

j

i jeRkk

= 2

)(A 2N Ptheo )'( kk , (2.2.8)

que es proporcional a la función respuesta de la array trasladada 'k en el plano del número de

onda. Representando PCVFK (k, ), el valor de 'k a la frecuencia puede hallarse como la

posición en dicho plano a la que se ha trasladado el máximo principal de Ptheo.

- Incidencia de múltiples ondas planas no correlacionadas con velocidades aparentes iguales (y

finitas)

En el caso de incidencia de un conjunto de N ondas planas de amplitudes complejas )(An y

números de onda )('

n k , 1 n N, el campo creado en el sensor j-ésimo se escribe Sj

=

N

1n

'i

njneA

Rky el estimador de potencia PCVFK (k, ) queda:

PCVFK (k, ) =

jlmn

))'()'((i

l

*

jmlnjeAA

RkkRkk=

2

l m

)'(i

lmleA

Rkk (2.2.9)

Si las ondas procedentes de distintas direcciones no están correlacionadas, el módulo de la suma

de números complejos en (2.2.9) es aproximadamente la suma de los cuadrados de los módulos

de los sumandos (suma incoherente de ondas):

PCVFK (k, )

j

2

n

))'((i2

jnjeA

Rkk=

j

jtheoj PAN )'(2

2kk (2.2.10)


- 39 -

Por tanto, si las ondas de frecuencia se propagan a la misma velocidad '/ k , la función

PCVFK (k, ) es una superposición de funciones respuesta de la array )(Ptheo k centradas sobre

puntos de la circunferencia de radio 'k (correspondientes a los acimuts de las ondas

incidentes) y moduladas por la potencia de cada onda incidente.

2.2.2. MÉTODO f-k DE ALTA RESOLUCIÓN (HRFK).

Desarrollado por Capon (1969), el método f-k de alta resolución es teóricamente capaz de

proporcionar una mejor separación entre ondas viajando con vectores número de onda cercanos,

en comparación con el f-k convencional (CVFK).

En la práctica, la aplicación del HRFK se realiza sustituyendo el estimador de potencia

convencional por un nuevo estimador PHRFK (k, ) que se define como:

PHRFK (k, ) = 1/[eH(k)C

-1() e(k)]. (2.2.11)

El método de Capon se basa en la utilización de ciertos pesos óptimos a los sensores. Si

denominamos a dichos pesos w1(k,), w2(k,), …, Nw (k,), podemos introducirlos en las

expresiones matriciales definiendo la matriz de pesos W() como:

W(k, ) =

),(0000

...............

0...),(00

0...0),(0

0...00),(

3

2

1

k

k

k

k

Nw

w

w

w

(2.2.12)

y cambiando ahora la matriz de correlaciones cruzadas C en (2.2.2) por el producto WCWH (o,

equivalentemente, el vector de transformadas de Fourier S por WS), con lo que la forma del

estimador de ponencia genérico queda:

P(k, ) = |eH(k)W(k, )S()|

2=e

H(k)W(k, )C()W

H(k, )e(k). (2.2.13)

El método f-k convencional (ecuación 2.2.2) se recupera de (2.2.13) en el caso de que los pesos

valgan la unidad. En el f-k de alta resolución, los pesos se eligen cumpliendo dos condiciones:


- 40 -

i) En el caso de incidencia de una onda plana de frecuencia , amplitud A y número

de onda 'k , es decir )'()()( keS A , los pesos han de hacer que la señal “pase por

la array” con ganancia unidad. Esto se puede escribir (a la vista del término central de

2.2.13) como

1)'(),'()'( kekWke H (2.2.14)

ii) La potencia es mínima para cualquier otro número de onda, lo que implica encontrar

la matriz de pesos que hace eH(k)W(k, )C()W

H(k, )e(k) mínimo.

La solución a este problema de minimización condicionada es:

)()()(

)()(

1H

1

keCke

CW

, (2.2.15)

que sustituida en (2.2.13) deja el estimador de potencia tal como se avanzó en (2.2.11) (ver

Zywicki, 1999 págs. 67 y 68 para una demostración de (2.2.15), en la que él usa la definición

)()()( keWw ).

En la Figura 2.2.2 se muestra una comparación entre el método de alta resolución y el método

convencional para datos reales tomados en Zushi (Japón) utilizando una pequeña array con

configuración de doble triángulo anidado (subfigura superior izquierda).

Figura 2.2.2. Ejemplo de procesado de un conjunto de datos común usando el método f-k de alta resolución (fila


- 41 -

superior) y el f-k convencional (fila inferior). Los detalles del procesado (ventaneo de la señal, suavizado, …) son

idénticos en ambos casos. Todas las gráficas están escaladas independientemente, usando azul oscuro para el

mínimo valor del estimador P en el rango mostrado y rojo para el máximo. Los datos corresponden a medidas de

componente vertical en Zushi (Japón) usando la array que se muestra. El software utilizado es de elaboración propia.

La respuesta de la array se muestra en la subfigura de la esquina inferior izquierda. Se usa una

implementación propia de los algoritmos HRFK y CVFK en Matlab® 6.5. Las seis figuras de la

derecha muestran los estimadores de potencia PHRFK (k, ) (fila superior) y PCVFK (k, ) (fila

inferior para tres frecuencias distintas). La mayor definición del vector número de onda lograda

con el método de alta resolución (para una misma frecuencia) es evidente.

2.2.3. LIMITACIONES DEL MÉTODO.

Como en todos los métodos de array, el rango de aplicabilidad del método f-k está limitado, tanto

a longitudes de onda largas como cortas, por el tamaño y la densidad de la antena sísmica

utilizada.

Limitaciones a longitud de onda corta: Aliasing espacial.

En el caso simple de incidencia de una única onda plana con velocidad finita se encontró que, a

una frecuencia dada la representación en (kx, ky) del estimador de potencia PCVFK(k, ) no es más

la respuesta de la array, Ptheo(k) afectada por una translación correspondiente al vector número de

onda que se quiere determinar. Desgraciadamente, la naturaleza periódica de Ptheo(k) hace que la

identificación del máximo principal (i. e. del pico en Ptheo(k=0)) en la representación de PCVFK(k,

) no sea unívoca. Esta multiplicidad de soluciones difícilmente discernibles se denomina

aliasing (podría decirse “aliasing en sentido estricto”, ya que en el Capítulo 3 se utilizará este

término en un sentido más amplio). El “periodo” de PCVFK(k, ) en el plano (kx, ky) crece (y por

tanto, la distancia entre picos equivalentes) conforme el espaciado típico entre sensores

disminuye. Por tanto, si la longitud de onda de la radiación incidente, ‟=2/k’ (con k’ = |k’ |) es

grande en comparación con ese espaciado, podrá identificarse k’ como la posición del pico de

PCVFK(k, ) más cercano al origen de coordenadas. Un estudio más detallado muestra que la

longitud de onda mínima ’ min que puede usarse con seguridad depende de la distancia mínima

entre las proyecciones de las estaciones sobre la dirección de la onda, dmin, (y por tanto depende

de esa dirección) en concreto:


- 42 -

’ min 2 dmin ó k’min /d min (2.2.16)

SESAME (2005) han elaborado un modo de aplicar este criterio sin conocer la dirección de

propagación predominante: i) se fija una dirección de propagación (acimut) y se calculan las

longitudes de las proyecciones sobre ésta de todos los segmentos posibles que unen parejas de

estaciones. ii) se repite la operación para el círculo completo variando el acimut con un intervalo

pequeños regular (p. e. de 5 en 5 grados), obteniendo una distribución conjunta de distancias. ii)

se calcula la distribución cumulada. La mediana de la distribución (distancia para la cual hay

tantas longitudes proyectadas mayores como menores) representa el valor límite de dmin

aconsejable que hay que sustituir en (2.2.16) para obtener el ’ min global. SESAME (2005)

puntualizan que, si la array tiene forma de polígono regular, se puede tomar dmin 2 R/N.

Un criterio alternativo, basado en la forma de la respuesta de la array, Ptheo(k), consiste en tomar

k’max como la distancia (en el plano kx, ky) al pico más cercano al origen con amplitud 0.5 o

superior (se entiende, exceptuado el pico principal). Este pico secundario podrá ser confundido

con el principal.

Limitaciones a longitud de onda larga.

La anchura del lóbulo central de Ptheo(k) está controlada (inversamente) por la abertura de la

array. Una anchura grande aumenta la indeterminación en el número de onda calculado y limita

la aplicabilidad del método a longitudes de ondas largas, especialmente en el caso de campos con

alto grado de isotropía. En efecto, si el campo es aproximadamente isótropo el patrón de

PCVFK(k, ) está formado por una superposición de picos semejantes que rodean el origen de

coordenadas y cuya superposición, si la velocidad es suficientemente grande (k pequeños) o si

los picos individuales son suficientemente anchos, tendrá un máximo espurio en k 0 (velocidad

infinita). La longitud de onda máxima analizable, ’ max, es del orden de la distancia más grande

entre las proyecciones de las estaciones en la dirección de propagación. Si la array es un

polígono regular de radio R con suficientes vértices (a partir de un pentágono según SESAME,

2005) se puede tomar ’ max 2R. Si se utiliza el método HRFK, la longitud de onda máxima

puede multiplicarse por 3 (i. e. ’ max 6R, Tokimatsu, 1997; SESAME, 2005).

Un criterio alternativo, basado en la forma de Ptheo(k), consiste en tomar k’min como el (mayor)

valor de k para el que la respuesta de la array es 0.5 (a la mitad de la altura del máximo

principal), lo que proporciona una medida de la anchura del pico.


- 43 -

2.2.4. MÉTODO f-k ANTE ONDAS PLANAS CON DISTINTOS AZIMUTS Y FASES

CORRELACIONADAS.

Para que el análisis de ruido ambiental mediante el método f-k funcione óptimamente, es

favorable que las fases de las ondas planas procedentes de distintas direcciones que forman el

campo de ondas no estén correlacionadas. Esta condición se satisfará en los casos en que se

reciban ondas directas procedentes de fuentes no correlacionadas en el tiempo. Sin embargo, no

es difícil concebir situaciones en las que esta hipótesis falla (como cuando en el campo de

ondas coexistan ondas directas y ondas difractadas por irregularidades laterales, o esté

provocado por una fuente móvil, …) en las que el método ha de emplearse de forma muy

cuidadosa.

Para ilustrar este punto, consideremos la aplicación del método f-k convencional en el caso ideal

de una antena sísmica circular de radio R formada por un gran número de sensores

equiespaciados ( N ). En el límite, esta array tiene respuesta 2

0 )( RJ k , lo que corresponde

a un k’min =1.13/R según el criterio de la semianchura del pico a la amplitud 1/2 ó k’min =/R

según el criterio de la máxima distancia entre estaciones. Esta array hipotética no tendría, en

principio, problemas de aliasing (i. e. k’max= ) pues su función respuesta tiene un periodo

infinitamente largo (en el plano del número de onda) y no hay picos secundarios con amplitud

grande (amplitud 0.16 para el mayor). De la ecuación (2.2.9) obtenemos que el estimador de

potencia PCVFK viene dado, bajo incidencia de un conjunto de ondas planas, por:

PCVFK (k, ) / 2N =

N

l m

i

lmle

NA

2

)'(1 Rkk

2

l

l0l )R'(JA kk , (2.2.17)

donde se ha usado que

de

Ri l

)cos(' kk= )'(2 0 RJ l kk . Se supondrá que 'lk =k’ (todas

las ondas incidentes tienen el mismo número de onda, aunque distinta dirección). Es fácil

comprobar que los máximos de (2.2.17) no ocurren necesariamente para números de onda

k con módulo k’. Supongamos, por ejemplo el caso particular de dos ondas planas

propagándose con número de onda k’ tal que k’R = 4 (k’ está por encima de k’min), una de ellas

con amplitud compleja unidad y dirección 0º y otra con cierto acimut y cierta fase como

amplitud compleja (el módulo de la amplitud se supone también unidad). Se comprueba en este


- 44 -

ejemplo que los máximos de PCVFK no ocurren exactamente en k’ = 4/ R. En la Figura 2.2.3

(izquierda) se ha hecho un barrido sobre los posibles valores de acimut y fase de la segunda

onda, aplicando CVFK a cada caso. Se ha localizado el valor máximo de PCVFK (k, ) en el

rango -6 < kj < 6 (j vale x o y). Concretamente, se han identificado todos los puntos en dicho

rango en que se excede el 95% del valor máximo (zonas negras en las tres subfiguras de la

derecha) y se ha obtenido la media de los módulos de los respectivos números de onda. En las

otras tres figuras se muestran casos particulares (marcados con asterisco en la subfigura

izquierda). En el primero, el método obtiene el número de onda correcto (los dos máximos

están sobre la circunferencia) y las direcciones de propagación correctas. En el segundo (ondas

que viajan en direcciones opuestas y en oposición de fase) se comete un error por exceso del

14% en el número de onda. En el tercer caso, las interferencias constructivas y destructivas

entre dos ondas viajando en fase y con una diferencia de acimuts de 50º dan lugar a un pico

espurio cerca del origen y con amplitud importante que invalida la medida, y a otro pico en el

acimut medio con número de onda algo infravalorado.

Esta dificultad ha sido tratada por varios autores (p. e. Woods and Lintz, 1973). Bokelmann and

Baisch (1999) llevaron a cabo un interesante intento para aminorar estos efectos, advirtiendo

que los términos relacionados con las ondas planas correlacionadas pueden disminuirse

promediando los elementos de C() correspondientes a parejas de estaciones con similar

distancia y orientación. Esta aproximación, aunque tiene limitaciones obvias en arrays con

pocas parejas de estaciones redundantes, ha sido usada en los trabajos de Goncalves (1999) y

Cornou et al. (2003).

Figura 2.2.3. A la izquierda, estimaciones del número de onda en el ejemplo descrito (ver texto) para distintas fases

y direcciones de incidencia de una de las ondas. El valor correcto es k’R=4. Tres figuras de la derecha: Estimador de

potencia CVFK para algunos casos particulares indicados con estrellas en la figura izquierda. Estas tres subfiguras

comparten la barra de color izquierda. El círculo indica el módulo del número de onda correcto. Las zonas negras

marcan las posiciones de los picos (valores de potencia que superan el 95% del máximo absoluto de cada caso).


- 45 -

2.3. INTERFEROMETRÍA SÍSMICA USANDO RUIDO AMBIENTAL. UNA VISIÓN

GENERAL.

La posibilidad de recuperar la función de Green elastodinámica entre dos puntos a partir de la

correlación en el dominio del tiempo de medidas de ruido ambiental simultáneas en ambos

emplazamientos fue confirmada experimentalmente por Shapiro and Campillo (2004).

Resultados similares han sido demostrados también en otras disciplinas científicas como la

acústica (Lobkis and Weaver, 2001) o la heliosismología (Duvall et al. 1993).

En el caso elastodinámico y si se establece en el medio un campo difuso y equiparticionado

),( RUdifuso , la correlación entre los desplazamientos en los puntos RA y RB se relaciona con la

función de Green del medio mediante la expresión (p. e. Sánchez-Sesma and Campillo, 2006):

),,(Im2)},()}{,({ 3* BAsvBA RRRUvRUs G kES

difusodifuso , (2.3.1)

donde s y v son vectores unitarios cartesianos ( x , y , z ); la función de Green ),,( BAsv RRG

representan el desplazamiento registrado en AR y en la dirección s producido por una fuerza

armónica puntual en BR con expresión )iexp()( t Bsv RR , actuando en la dirección v;

/k es el número de onda S y 22SES es la densidad de energía promedio de onda S.

La operación · representa un promedio entre distintas realizaciones del campo (ver Capítulo 3).

Varios estudios teóricos al respecto realizados en modelos simples (Sánchez-Sesma and

Campillo, 2006; Sánchez-Sesma et al., 2006, 2008 entre otros) indican que este resultado se

cumple bajo dos condiciones bastante restrictivas: i) que el campo de ondas sea aleatorio y

homogéneo, sin que existan direcciones de propagación privilegiadas, ii) que el campo se

encuentre en régimen difusivo, lo que implica que se satisfagan las relaciones entre las energías

de los distintos tipos de onda que se propagan en el medio que se derivan del principio de

equipartición (p. e., en el espacio completo 3D la relación entre las energías de las ondas S y P

ha de ser 2/

2; ver Sánchez-Sesma and Campillo, 2006). Mientras que la uniformidad acimutal

del ruido ambiental a frecuencias superiores a 1Hz es incierta debido a su gran dependencia de

las fuentes de origen antrópico (p. e. Morikawa et al. 2004), esta hipótesis puede ser más

razonablemente satisfecha a frecuencias inferiores.


- 46 -

Este método ha sido utilizado en los últimos años para generar imágenes tomográficas de la

distribución de velocidades de ondas Rayleigh en regiones extensas usando tiempos de registro

largos (de hasta varios años) y grandes redes permanentes de sismógrafos de banda ancha. Su

implementación requiere el uso cuidadoso de diversas técnicas de análisis de señal (como

filtrado paso banda, ventaneo, normalización en el dominio del tiempo, blanqueado espectral,

apilamiento o stacking) para obtener correlaciones suficientemente estables y libres de efectos

de fuentes intensas muy localizadas (como terremotos). Una revisión de estos detalle prácticos

ha sido publicada por Bensen et al. (2007). Típicamente las correlaciones son después tratadas

con las técnicas convencionales de obtención de curvas de dispersión en velocidad de grupo

como filtrado múltiple (Dziewonski et al., 1969) o phase matched filter (Herrin and Goforth,

1977). Finalmente se procede a la inversión tomográfica del conjunto de curvas de dispersión.

Usando esta técnica, Sabra et al. (2005) exploraron la estructura cortical en el sur de California

para periodos de entre 5 y 10s usando datos de 148 estaciones de banda ancha. Desde entonces,

varios estudios más se han realizado en el territorio estadounidense. En el oeste de E.E.U.U. ha

sido aplicada por Moschetti et al. (2007) y Lin et al. (2008). Estos últimos incluyen imágenes

tomográficas para ondas Love, lo que no es común, entre 8 y 20s y utilizan un año de registro en

250 estaciones. El este ha sido tomografiado por Liang and Langston (2008) para ondas Rayleigh

de 5 y 15s.

En Asia y Oceanía, se pueden citar los estudios de la propagación de ondas Rayleigh entre 5 y

50s en Nueva Zelanda realizados por Lin et al. (2007) usando 42 sismógrafos de banda ancha y

un año de registros. Behr et al. (2010) han estudiado la península de Northland (también en

Nueva Zelanda) con 5 sismógrafos, extrayendo curvas de dispersión Rayleigh y Love e incluso

estimando el grado de anisotropía radial de la corteza (2-15%). El SE de Tibet ha sido

investigado por Yao et al. (2006, 2008) así como por Li et al. (2009 y 2010) en onda Rayleigh y

Love respectivamente. Una tomografía del continente australiano, con inversión de la estructura,

ha sido publicada recientemente por Saygin and Kennett (2010) para periodos ente 5s y 12.5s. La

península de Korea fue tomografiada a periodos más bajos (1-6s), incluyendo también resultados

para ondas Love, por Cho et al. (2007) combinando datos de banda ancha con acelerómetros.

Los autores también invierten los espesores de distintas capas corticales para una sección de la

península.

Yang et al. (2007) han realizado un estudio global de Europa para periodos entre 8 y 50s con


- 47 -

125 grabaciones de un año de duración. Entre los trabajos de más detalle en nuestro

continente podemos citar el de Gudmundsson et al. (2007), quienes han presentado su

aplicación en Islandia para periodos entre los 4 y 17s empleando dos años de registro. En

España, Villaseñor et al. (2007) han obtenido una tomografía de la península ibérica en

velocidades de grupo de ondas Rayleigh en periodos entre 8 y 25s usando la red sísmica

nacional.

Pueden encontrarse también algunas aplicaciones del método a menor escala espacial.

Brenguier et al. (2007) obtuvieron mapas de velocidad de grupo y un modelo 3D de

velocidad de onda S para el edificio volcánico del Piton de la Fournaise (Isla La Réunion,

Océano Índico), que se muestra en la Fig. 2.3.1. Algunos estudios pioneros apuntan a que la

detección de variaciones temporales en las funciones de Green experimentales (correlaciones

cruzadas) permitiría supervisar e incluso predecir erupciones volcánicas. Sus intensidades se

inferirían midiendo la inflación de los edificios volcánicos (Brenguier et al., 2008). Baptie

(2010) es escéptico en lo que se refiere a la capacidad predictiva, aunque consigue detectar

variaciones temporales tras episodios volcánicos. Las variaciones en las propiedades

elásticas tras terremotos importantes han sido también detectadas con este método pasivo

(e.g. Wegler et al. 2009).


- 48 -

Figura 2.3.1. modelo 3-D de velocidad de onda S para el volcán Piton de la Fournaise, mostrando seis cortes

horizontales a diferentes profundidades. La velocidad de onda S promedio se da en las etiquetas blancas. Las líneas

negras discontinuas a -0.5 km de profundidad muestran los límites de la zona del rift. Panel central, abajo: vista del

modelo 3-D. El cuerpo azul delimita una zona con perturbación de la velocidad del 2.5%. Derecha, abajo: mapa del

volcán Piton de la Fournaise, el primero estudiado con detalle usando Interferometría sísmica pasiva. Las estaciones

sísmicas se representan con triángulos invertidos. El rectángulo discontinuo Muestra los límites de las imágenes

tomográficas. Reproducida de Brenguier et al. (2007).

CAPÍTULO 3

MÉTODOS DE AUTOCORRELACIÓN ESPACIAL

Es comúnmente asumido, el origen de los métodos de autocorrelación espacial se puede situar en

los trabajos de Aki (1957, 1965). Además de lo ingenioso e innovador de su teoría, cabe destacar

el esfuerzo que supuso realizar el tratamiento de los registros de ruido ambiental hace más de 50

años, lo que lo llevó a desarrollar incluso la instrumentación necesaria. Traduciendo de Aki

(1957): “Las operaciones pueden llevarse a cabo manualmente, pero debería enfatizarse que las

molestas labores involucradas en las operaciones manuales hacen la aplicación de nuestro

método prácticamente imposible. El presente estudio ha sido posible gracias a la automatización

de las operaciones. De hecho, los estudios teóricos fueron iniciados tras acabar un computador

de correlaciones en nuestro laboratorio […]”.

Una contribución relevante fue la realizada 22 años después por Henstridge (1979), quien

presentó una reformulación y una extensión del tratamiento de Aki de la componente vertical. El

trabajo de Henstridge introduce una formulación matemática más moderna y adecuada,

planteando la representación espectral del microtremor, considerado como un proceso

estacionario, mediante una integral de Fourier-Stieltjes (p. e. Yaglom, 1962). Su análisis de


- 50 -

Fourier-Bessel del desplazamiento vertical está en el origen de la presente tesis, en la que se

persigue su generalización a las componentes horizontales y a otras descripciones del campo.

También ha inspirado varias contribuciones recientes de otros autores (p.e. Cho et al., 2006b,

Tada et al., 2009).

Los métodos de autocorrelación espacial están emparentados con el método de recuperación de

la función de Green mediante correlación cruzada de registros de ruido que se ha aplicado

extensivamente en estos últimos años (esta relación ha sido discutida p. e. por Luzón et al.

2010). Bajo hipótesis de campo difuso (isótropo y con cierta distribución de energías ente los

distintos tipos de ondas), se puede demostrar (Wapenaar, 2004) la proporcionalidad entre la

correlación cruzada de los registros de dos estaciones y la función de Green elastodinámica entre

ellas, incluso para un medio heterogéneo arbitrario. Campillo and Paul (2003) han comprobado

experimentalmente este hecho utilizando coda grabada en estaciones de banda ancha instaladas

en Méjico. Aún así, el método de Aki y sus métodos afines conservan su utilidad, sobre todo en

aplicaciones a pequeña escala, por estar basados en hipótesis menos exigentes (menos propensas

a ser violadas en frecuencias dominadas por fuentes antrópicas) y requerir normalmente un

menor tiempo de grabación.

El objetivo de las siguientes secciones es desarrollar métodos que permitan estimar propiedades

del terreno, como son las curvas de dispersión de ondas Rayleigh y Love y la elipticidad de la

onda Rayleigh. En un segundo orden de prioridad, interesa también obtener propiedades del

campo como la energía relativa de los distintos tipos de ondas o verificar la independencia

estadística entre las ondas que viajan en distintas direcciones. Se tratará de dar a estas secciones

un carácter “integrador”, reformulando (y en algunos casos generalizando) los desarrollos

teóricos de otros autores para relacionarlos con los propios y con nuestro marco matemático.

3.1. APROXIMACIÓN DETERMINISTA VS. APROXIMACIÓN ESTOCÁSTICA

El primer paso es encontrar una forma apropiada de representar el campo de ondas. La mayoría

los trabajos teóricos sobre métodos de SPAC, parten de considerar al microtremor como un

campo aleatorio estacionario, esto es, un campo que se extiende indefinidamente en el espacio y

en el tiempo conservando ciertas propiedades estadísticas. Algunos de estos artículos dan

explícitamente una representación espectral del campo aleatorio (Henstridge, 1979; Okada, 2003,

2006; Cho et al. 2004, 2006b; Morikawa, 2006) que ha de interpretarse de modo probabilista

(sección 3.2.3).

Métodos de autocorrelación espacial.

- 51 -

Otro grupo de trabajos, parten de una formulación determinista del campo de desplazamientos,

en la que éste se escribe como la superposición de las ondas generadas por un conjunto finito de

fuentes (p. e., Lachet and Bard, 1994; García-Jerez et al., 2008a, 2008b). Ésta es la aproximación

habitual cuando se trata de simular numéricamente el microtremor y no es incompatible con que

los parámetros que definen las fuentes puedan haber sido elegidos de modo aleatorio siguiendo

cierta distribución de probabilidad. Estos parámetros pueden ser el tiempo en que se activa cada

fuente, su amplitud, posición y orientación.

Buena parte de los métodos disponibles en la literatura, así como todos los introducidos en esta

tesis son válidos aún cuando la zona de estudio esté iluminada mediante un conjunto finito

arbitrario de ondas planas (provenientes de una o varias fuentes que se activan durante intervalos

de tiempo finitos) entre las que podría haber dependencias en dirección, amplitud y/o fase. Esta

dependencia entre las ondas que forman el campo puede existir en condiciones reales. Sirva

como ejemplo el caso el campo de ondas generado por trenes que recorren una vía a cierta

velocidad. Otro caso de dependencia mutua se daría si conviven ondas incidentes y reflejadas por

algún cuerpo cercano a la array. Por último, es también intuitivo que las ondas Rayleigh y Love

procedentes de una misma fuente o de un grupo de fuentes situadas en una dirección y distancia

determinadas estén correlacionadas entre sí. En esta tesis, estas situaciones son consideradas (se

permiten) en la descripción determinista, pero no en la basada en procesos aleatorios

estacionarios.

En este trabajo se simultanean ambas descripciones del campo, si bien se da preferencia a la

descripción determinista a la hora de introducir los distintos métodos. Bajo las definiciones

concretas de ambos tipos de campos que se dan en la siguiente sección, todos los métodos que se

formulan en términos deterministas tienen translación al caso de campos aleatorios, pero no al

contrario. La formulación determinista, tal como se entiende aquí, es pues más exigente o

restrictiva.

3.2. REPRESENTACIÓN DEL CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS.

El tratamiento determinista es la vía conceptualmente más sencilla de abordar la descripción del

campo de ondas que constituye el microtremor. Consiste en tratar el ruido ambiental como la

superposición de los frentes de ondas procedentes de un conjunto finito de fuentes que puedan


- 52 -

influir en el intervalo temporal que se analiza y en el entorno del punto de medida. La estrategia

general que seguiremos consistirá en i) suponer una distribución arbitraria de fuentes

superficiales, que puede estar sujeta a ciertas restricciones (típicamente, ausencia de fuentes

cercanas a la array) y ii) a partir de las expresiones del campo en los puntos situados sobre una o

varias circunferencias, tratar de definir operaciones entre los registros que conduzcan a obtener

(“despejar”) cantidades relacionadas de modo sencillo con las propiedades del suelo (velocidades

de fase principalmente). Por lo general, tales cantidades serán independientes de la configuración

de las fuentes sólo bajo la hipótesis de array infinitamente densa (y ni aún así si coexisten

múltiples modos en el campo).

3.2.1. REPRESENTACIÓN MEDIANTE UNA SUMA DETERMINISTA DE ONDAS

PLANAS

Se utilizarán los resultados de Harkrider (1963), que proporcionan las expresiones de los

desplazamientos y esfuerzos en superficie debidos a una fuente puntual j de amplitud

zLL jVjHj jˆ)(ˆ)()(

LeL que actúa en una estructura de capas plano-paralelas isótropas.

Aquellas expresiones nos permiten ahora escribir el campo completo ),( RUcompl generado por

un conjunto arbitrario de M fuentes puntuales y registrado en una estación en superficie con

posición R como el producto matricial:

M

j

T

jj

r

j

compl SSSzyxj

1

,0,0,0 ],,)[(]ˆ,ˆ,ˆ[),( r

RU T (3.2.1)

En esta expresión, )(y)(),( ,0,0,0 RRR

jj

r

j SSS representan las componentes radial, tangencial y

vertical del desplazamiento generado por la fuente j-ésima en la estación R , situada en

superficie, jj dRr es el vector de posición de la estación respecto a la proyección en el

plano horizontal de la fuente j –ésima (Fig. 3.2.1), x es la coordenada acimutal de un vector x

cualquiera en el sistema de referencia zyx ˆ,ˆ,ˆ , con z orientado hacia arriba ( xytan ˆ·/ˆ· aaa ), y

la matriz )(T proporciona un cambio de base que corrige el sentido de los ejes para dar signo

positivo al movimiento hacia arriba y los rota hasta obtener coordenadas en el sistema cartesiano

zyx ˆ,ˆ,ˆ :

)(T =

100

010

001

100

0cossin

0sincos

(3.2.2)


- 53 -

Como es sabido, la ecuación (3.2.1) tiene una validez bastante general. Remplazando la

sumatoria sobre las fuentes a una integración, puede representar también los campos creados por

fuentes extensas o difractados por irregularidades con forma arbitraria.

Dada la relativa complejidad de la representación anterior, y a la luz de las consideraciones sobre

la naturaleza del ruido ambiental expuestas en el Capítulo 1 parece conveniente realizar una

idealización del microtremor que retenga sólo sus características fundamentales y tratar aparte

los efectos de las desviaciones respecto al comportamiento ideal. En nuestro tratamiento

determinista, las premisas a hacer sobre el campo serán las siguientes:

i) El microtremor está dominado por las ondas superficiales.

ii) Éstas muestran un modo claramente predominante para cada frecuencia y tipo de onda

(Rayleigh o Love).

iii) Las fuentes o difractores de estas ondas están lo suficientemente alejados de la array

sísmica como para que los frentes de onda se propaguen como ondas planas a lo largo de ésta.

La condición i) nos permite prescindir de las ondas de cuerpo, evitándonos las integraciones a lo

largo de los cortes de rama y conservando sólo la suma modal que constituye la parte de ondas

superficiales de la función de Green. En este caso, las contribuciones a )(,0 Rr

jS , )(,0 R

jS y

)(,0 R

jS asociadas a cada modo, tipo de onda y componente de la fuente vienen dadas por las

expresiones (103), (134) y (137) de Harkrider (1964).

La condición ii) supone asumir que, para cada frecuencia, existe un término en la suma modal

con energía significativamente mayor que la de la suma del resto de los modos (si los hay). En

aquellos esquemas en que se haga uso de las componentes horizontales y verticales del

microtremor, se asumirá además que el campo de ondas Rayleigh está dominado por un mismo

modo en ambas componentes. Denominaremos )ω(kR y )ω(kL a los números de onda de los

modos predominantes Rayleigh y Love respectivamente, como funciones de la frecuencia

angular ω .

La condición iii) la imponemos sustituyendo los factores dependientes de r en las funciones de


- 54 -

Green (básicamente argumentos de funciones de Hankel en las variables jRrk y jLrk ) por una

aproximación asintótica adecuada. Considerando que la distancia de la fuente al origen de

coordenadas, inmerso en la array, es mucho mayor que la longitud de onda, y que RkX

permanece acotado cuando jX dk (X = R o L), tenemos:

)42

)cos((22)2( 2

))cos(2(

nRkdki

jX

jjjXn

jXjX

edk

RdRdkH ~ , jX dk . (3.2.3a)

Además, en estas condiciones podemos aproximar:

~jr

j , ~)cos( j )cos(jj L y ~)sin( j )sin(

jj L . (3.2.3b)

Figura 3.2.1. Disposición de los vectores LjH, dj , rj, así como del vector de posición de la estación R y diversos

vectores unitarios.

El término ))cos(exp( jX Rki en (3.2.3a) es el responsable de las diferencias de fase entre

las grabaciones en las distintas estaciones de las ondas causadas por la fuente j-ésima.

Ahora podemos resumir el resto de los factores que intervienen en la función de Green mediante

unas amplitudes vectoriales complejas HV

RjA y LjA asociadas a las ondas Rayleigh y Love

respectivamente:


- 55 -

z

iA

jRj

HV

Rjˆ)()(

eA , (3.2.4)

jzALjLj eA ˆ)()( . (3.2.5)

Si las fuentes del campo son superficiales, RjA y LjA vienen dados por:

RjA = )cos(2

2

2

2

)4

()4

(

j

jRjR

j

dki

jR

RH

dki

jR

RV e

dk

Lie

dk

LL

, (3.2.6)

LjA = )sin(2

2

)4

(

j

jL

j

dki

jL

LH e

dk

Li

L

, (3.2.7)

mientras que si no lo son, se necesita incorporar un factor que de cuenta de la profundidad de

estas (ver Harkrider 1963, 1964). En cualquier caso, la ecuación (3.2.1), queda aproximada en

términos de ondas planas armónicas como:

M

j

LLjR

HV

Rj jjikik

1

))((exp)())((exp)(),( ReAReARU . (3.2.8)

En (3.2.6-7), los símbolos , R y L representan, respectivamente, la elipticidad y las

respuestas del medio para el modo predominante de ondas Rayleigh y Love, tal como fueron

definidas por Harkrider (1964), sin ningún cambio de signo adicional. Estas tres cantidades son

funciones de y de las características de la estructura. La ecuación (3.2.4) da cuenta de que la

trayectoria de una partícula bajo la acción de una onda Rayleigh está confinada en el plano

vertical que contiene a la dirección de propagación. Como el cociente entre las componentes

horizontal y vertical de la amplitud compleja de ondas Rayleigh es una cantidad puramente

imaginaria, el movimiento de las partículas sigue una trayectoria circular o elipse recta. Por

conveniencia, utilizaremos a veces la notación V

RjA jRjiA , con la que (3.2.4) queda

simplemente como zAA V

RjRj

HV

Rj jˆ)()()( eA . Por su parte, la ecuación (3.2.5) limita los

desplazamientos asociados a las ondas Love a la componente horizontal perpendicular a la

dirección de propagación. La versión en el dominio del tiempo de la expresión (3.2.8) será

representada con una u minúscula:


- 56 -

det ti ),(2

1),( RURu . (3.2.9)

Si se deseara abandonar la hipótesis (ii) permitiendo la coexistencia de múltiples modos a cada

frecuencia, habría que incluir sendas sumas modales sobre los índices de modo Rayleigh y Love

en (3.2.8). Las cantidades Rk , y R necesitarían un índice extra corriendo sobre el modo

Rayleigh, mientras que Lk y L dependerían del modo de onda Love.

3.2.2. EXPANSIÓN EN SERIE DE FOURIER DE LAS COMPONENTES VERTICAL,

RADIAL Y TANGENCIAL DEL MOVIMIENTO EN FUNCIÓN DE LA COORDENADA

AZIMUTAL

Si se dispusiera de registros en tres componentes del campo de ondas a lo largo de todos los

puntos eR situados sobre una circunferencia de radio R , se podrían definir, en una ventana

temporal dada, tres funciones representando las componentes vertical, radial y tangencial del

movimiento variando con la coordenada acimutal. Estas serían:

),(ˆ),,( eU RzRW (3.2.10)

),R(),,R(U rad eUe (3.2.11)

),()ˆ(),,( eUe RzRU tg (3.2.12)

Sus versiones temporales ),,( tRw , ),,( tRu rad y ),,( tRu tg se obtienen trivialmente por

transformación inversa de Fourier o, equivalentemente, sustituyendo ),( eU R por ),( tR eu en

las definiciones anteriores. Estas funciones son continuas y derivables si se supone que el campo

de ondas viene expresado por las ecuaciones (3.2.8-9) y pueden expandirse en serie de Fourier

sobre la coordenada acimutal :

m

m RXRX ),(2

1),,(

(3.2.13)

siendo

),( RX m

dRXim

),,()exp( , (3.2.14)


- 57 -

con X representando W , radU o tgU . En el dominio temporal, ),( tRxm se escribe

dtRxim

),,()exp( .

Los coeficientes de estas series de Fourier pueden relacionarse con las propiedades de las ondas

superficiales que se quieren determinar, como son la elipticidad de la onda Rayleigh y las

velocidades de fase de ondas Rayleigh y Love. Si se sustituye la forma del campo (3.2.8) en las

definiciones (3.2.10-12) y se utiliza la representación integral de la función de Bessel de orden

n , )x(Jn :

)x(J)inexp()i(2d))(cosixinexp( n

n

(3.2.15)

podemos obtener las siguientes expresiones teóricas simples que ligan esos coeficientes con las

propiedades del campo (García-Jerez et al. 2006b, 2008b):

),( RWm = )x(JA)i(2 Rm

m,V

R

m , (3.2.16)

),R(U rad

m = )()()( 11

1

RmRm

m

R

m xJxJAi

+ )()()( 11 LmLm

m

L

m xJxJAi , (3.2.17)

),R(U tg

m = )()()( 11 RmRm

m

R

m xJxJAi + )x(J)x(JA)i( L1mL1m

m

L

1m

. (3.2.18)

Por simplicidad, se han definido aquí R)(k)(x RR , R)(k)(x LL , y los coeficientes

complejos (suma de amplitudes pesadas) m

RA y m

LA como:

)()exp()(1

Rj

M

j

j

m

R AimA

. (3.2.19)

M

j

Ljj

m

L AimA1

)()exp()( . (3.2.20)

En algunos casos, se utilizará el símbolo m,V

RA como abreviatura de m

RiA :


- 58 -

mV

RA , m

RiA )()exp(1

V

Rj

M

j

j Aim

. (3.2.21)

Las cantidades )(m

RA y )(m

LA pueden interpretarse como los coeficientes m-ésimos del

desarrollo en serie de Fourier de las expresiones )()(1

, j

M

j

jRA

y )()(1

, j

M

j

jLA

,

respectivamente, donde (·) representa la delta de Dirac. Bajo esta óptica, el conjunto de ondas

planas es considerado como el caso límite de una superposición de M haces estrechos centrados

en j

(j = 1, 2, …, M) y formados por ondas en fase caracterizadas por una elevada “densidad

acimutal de amplitud compleja”. Las expresiones (3.2.16 – 20) serán la base de los métodos de

exploración sísmica pasiva desarrollados en las secciones posteriores.

3.2.3. DESCRIPCIÓN DEL MICROTREMOR MEDIANTE CAMPOS ALEATORIOS

ESTACIONARIOS.

Hasta este punto, se han estudiado las componentes del campo como funciones del azimut,

basándonos en una descripción determinista de este y se han obtenido las expresiones de los

coeficientes de sus respectivas series de Fourier respecto a la variable acimutal. A continuación,

se introducirá la descripción estadística del campo en la que este será tratado como un proceso

aleatorio estacionario. Esta descripción nos permitirá capturar las características propias del

microtremor que lo diferencian de las demás señales sísmicas y obviar elementos secundarios

que dificultan el análisis. Clásicamente el microtremor es tratado de este modo (Aki; 1957,

Henstridge, 1979). La amplia teoría sobre este tipo de entidades matemáticas ha sido descrita por

Yaglom (1062) o Priestley (1981) entre muchos otros. En concreto, los aspectos teóricos de la

teoría de procesos estacionarios multivariados y multidimensionales puede encontrarse en la obra

de Priestley (1981, pp. 655 y ss., pp. 718 y ss.). A continuación se van a introducir brevemente

sólo aquellos elementos que tendrán posteriormente utilidad directa. Se definirán las densidades

espectrales de potencia frecuencia-dirección del campo, como funciones de la frecuencia y del

azimut, así como sus componentes de Fourier. Asimismo, daremos las definiciones de

autocorrelación, correlación cruzada, densidad espectral de potencia y densidad espectral

cruzada entre formas de onda concretas y su generalización al caso de procesos aleatorios

estacionarios. Los elementos citados constituyen la base de la mayoría de las formulaciones de

métodos de tipo SPAC, si bien, en esta tesis se tratan más bien como elementos auxiliares.


- 59 -

Proceso aleatorio. Realizaciones del campo.

En la descripción mediante procesos aleatorios, el campo queda representado por una

colectividad (un conjunto) de funciones de 3 en

3 que dan el desplazamiento tridimensional

de cada punto del suelo en función de su posición en el plano (superficie libre) y del tiempo.

Cada una de estas funciones es denominada realización del proceso aleatorio. Las distintas

realizaciones pueden considerarse como los diferentes resultados posibles de un experimento (la

grabación del campo) que es repetido una y otra vez en condiciones similares. Cada realización

tiene asociada una cierta probabilidad (o densidad de probabilidad) de ocurrencia. Por la propia

naturaleza del microtremor, estas realizaciones (o, al menos, las que tienen probabilidad de

ocurrencia apreciable) tienen una duración temporal infinita.

Valor esperado. Media nula. Estacionaridad.

Si F(·) es una operación definida sobre toda realización del proceso, definimos su valor

esperado, F , como el promedio ponderado de los valores de F sobre el conjunto de

realizaciones. El valor de F para cada realización ha de ser pesado por la probabilidad de que

aparezca ésta.

Una vez definido el valor esperado, podemos ya expresar algunas propiedades estadísticas que

razonablemente ha de cumplir el microtremor:

i) Para cualquier posición y tiempo, la distribución de valores de cualquiera de las componentes

de movimiento tendrá media nula. Esto se puede expresar 0),( tx R , con x = w, urad

o utg

.

Las realizaciones, tienen por tanto signos equiprobables. Dada la limitación en los equipos de

grabación, la corrección de línea base de los registros puede ser necesaria para que se

satisfaga esta hipótesis en la práctica.

ii) ),(),( tytx aRR es independiente de t y de R. Aquí, x e y toman valores x · u, y · u o

z · u (componentes cartesianas del desplazamiento), mientras que a y representan

translaciones arbitrarias en el plano horizontal y en el tiempo, respectivamente. Esta es

relación es una consecuencia directa de la naturaleza estacionaria, en el espacio y en el

tiempo, que se asume para el microtremor e indica que los momentos de orden dos de las


- 60 -

variables aleatorias ),( tx R e )','( ty R sólo dependen de la distancia espacial y temporal entre

ellas y no de las posiciones y tiempos absolutos.

Representación espectral. Condición de independencia estadística.

La teoría determinista desarrollada anteriormente y que condujo a las ecuaciones (3.2.8-9) ha de

ser reformulada para conseguir definir una representación espectral del proceso aleatorio

estacionario matemáticamente adecuada. Las mencionadas ecuaciones eran válidas para un

campo generado por un número finito de fuentes de duración finita, situadas en un conjunto

finito de acimuts y no incluye ninguna relación estadística entre ellas. En la descripción mediante

campos aleatorios estacionarios se evitará de momento vincular el campo a sus fuentes o a la

estructura del suelo, absteniéndonos de prescribir formas concretas a las realizaciones (tal como

se hizo en las Ecs. 3.2.4-8). La única hipótesis en este sentido es que cada “componente

espectral” se propaga a una velocidad bien definida (la velocidad de fase es una función de ).

Expresaremos, en primer lugar ),(.. tapRu , con p. a. significando proceso aleatorio, como la

suma de dos procesos estadísticamente independientes vinculados a las ondas Rayleigh y a las

ondas Love respectivamente:

),(),(),( ...... ttt ap

L

ap

R

apRuRuRu . (3.2.22)

Aplicando la teoría espectral de procesos aleatorios estacionarios y teniendo en cuenta las

polarizaciones de ambos tipos de ondas, podemos escribir las siguientes representaciones

espectrales:

),())((exp),(.. HV

RR

ap

R diktit ζReRu , (3.2.23)

),())((exp),(..

LL

ap

L diktit ζReRu , (3.2.24)

donde ),(, HV

jRdζ y ),(, HV

jRdζ tienen las siguientes expresiones:

z

idd R

HV

Rˆ

)(),(),(

eζ (3.2.25)

eζ zdd LLˆ),(),( . (3.2.26)

El sentido de las integraciones en las expresiones (3.2.23-24), que son de tipo Riemann-Stieltjes,

se explica con más detalle en el Apéndice III.A. Las funciones ),( Rζ y ),( L se


- 61 -

denominan “espectros integrados” o “medidas espectrales” (p.e. Yaglom, 1962). Cada realización

del proceso ),(.. tapRu tiene sus correspondientes ),( Rζ y ),( L (generalmente distintos a

los de las otras realizaciones) de modo que ),( Rζ y ),( Lson también procesos aleatorios,

aunque generalmente no estacionarios.

Los procesos ),( Rζ y ),( L cumplen las propiedades:

(i) ,,0),(),( LR dd (3.2.27)

(ii) ''),()'()'()','(),(* ddddfdd X

XYYX (3.2.28)

La primera relación es consecuencia de que el proceso tenga media nula (Prietsley, 1981, p. 249).

La segunda indica que ),( X

es un proceso de incrementos ortogonales e integra la hipótesis

de que las ondas Rayleigh y Love están descritas por procesos estadísticamente independientes.

Las funciones reales ),( Lf y ),( Rf se denominan densidades espectrales frecuencia-

dirección de las ondas Love y de las componentes horizontales de ondas Rayleigh,

respectivamente. Una vez multiplicadas por dd , estas cantidades reales representan las

potencias de las ondas planas que se propagan hacia azimuts en el rango a d con

frecuencias de a d .

Comparando ahora (3.2.4-5) y (3.2.8) con las ecuaciones (3.2.22-26) queda claro que las

amplitudes complejas )(RjA y )(LjA

juegan, en la descripción determinista, un papel

semejante al de los incrementos R y L en la descripción por campos aleatorios. De hecho,

se puede concluir que el campo aleatorio estacionario puede considerarse como un caso límite (,

M’) de una colección de realizaciones deterministas formadas cada una por M’ ondas planas

equiespaciadas en acimut cuyas señales se anulan fuera del intervalo[-/2 /2] y cuyas

amplitudes complejas cumplen las propiedades:

0);(, lA jX, (3.2.29)

lmjkXYkYjX mAlA

);();(2

1 *

,, ,Xf . (3.2.30)


- 62 -

El símbolo representa el límite , M’, l, m. Esta correspondencia se

establece de manera más rigurosa en el Apéndice III.A. Finalmente, admitimos que las ondas de

distinto tipo (Rayleigh y Love) así como las provenientes de dos direcciones distintas son

estadísticamente independientes. Consecuentemente, las variables aleatorias );(, lA jX

y

);(, mA kY

serán estadísticamente independientes si X Y ó j k.

Ergodicidad

Aunque la definición matemática del proceso estocástico tiene pleno sentido, estrictamente

hablando sólo se tiene acceso experimental a una de sus realizaciones (y de modo parcial, ya que

no se dispone de registros temporales de duración infinita). La propiedad de ergodicidad

significa que los valores esperados de los operadores que se definen sobre las realizaciones

pueden obtenerse mediante un promedio temporal a lo largo de una realización cualquiera. Una

definición general de este concepto puede verse en McDonough and Whalen (1995, p. 50). En la

práctica, para calcular el valor esperado de un operador, se suele realizar un promedio sobre un

conjunto de ventanas temporales (fragmentos de la señal) suficientemente largas (e idealmente,

aisladas) como modo de aproximar · . Cada ventana se comportaría como una realización del

proceso. La ergodicidad del microtremor se presume implícitamente en, prácticamente, toda la

literatura al respecto. Por ejemplo, Okada (2006) usa directamente

T

TT

dtT

·2

1lim· y Chavez-

García et al. (2005) hacen explícita la hipótesis de ergodicidad, tratando de investigar su validez.

En lo que sigue, se admitirá que el microtremor es ergódico, asumiendo que los valores

esperados en la colectividad pueden aproximarse por promedios sobre un número suficiente de

ventanas suficientemente largas.

3.2.4. DENSIDADES ESPECTRALES, CORRELACIÓN CRUZADA Y

AUTOCORRELACIÓN.

En la sección anterior se definieron las densidades espectrales de potencia frecuencia-dirección

de las componentes Rayleigh y Love del microtremor cuando es tratado como proceso aleatorio

estacionario (denominadas ),( Rf y ),( Rf , respectivamente). En virtud de las ecuaciones

(3.2.8), (3.2.10) y (3.2.29) podemos obtener, por ejemplo, que el valor esperado del módulo

cuadrado del registro vertical en frecuencias en la estación central );,0( W está relacionado

con la integral azimutal de ),( Rf :


- 63 -

df

WR ),(

)(

1

2

);,0(2

2

(3.2.31)

El miembro derecho representa claramente la densidad espectral de potencia total del proceso

Rayleigh que registra el observador, incluyendo las contribuciones de todas las fuentes. En

general, dada una función temporal );( tx que se anula fuera de [-/2 +/2] se puede definir su

densidad de potencia espectral como )2();();( * XX . La operación análoga entre dos

formas de onda distintas );( tx e );( ty es )2();();( * YX y se denomina densidad

espectral cruzada. Ambas definiciones se extienden directamente a procesos aleatorios tomando

valores esperados y el límite de longitud infinita de la ventana. En tal caso, se utilizarán los

símbolos )(xG y )(xyG para la densidad de potencia espectral y densidad espectral cruzada.

2

);(lim)(

2X

Gx

(3.2.32)

2

);();(lim)(

*YXGxy

. (3.2.33)

El punto de partida de los métodos desarrollados en esta tesis es la transformada de Fourier de

los registros restringidos a una ventana de duración suficientemente grande. Sin embargo,

muchos autores plantean un tratamiento temporal de las señales, que resulta equivalente, en

función de la autocorrelación y de la correlación cruzada entre éstas. Estas operaciones se

definen a continuación.

La correlación cruzada entre dos señales ),( tx , );( ty se define como la integral:

dstsysx );();( * , (3.2.34)

que es nula fuera del intervalo [- ]. Se demuestra, a partir del teorema de convolución, que la

densidad espectral cruzada entre ambas señales es básicamente la transformada de Fourier de la

correlación cruzada (normalizada por ):

dstsysx

YX);();(

1

2

1

2

);();( **

F (3.2.35)


- 64 -

Como caso particular, obtenemos la relación entre densidad de potencia espectral y la

autocorrelación de la señal ),( tx :

dstsxsx

X);();(

1

2

1

2

);(*

2

F (3.2.36)

De nuevo, las definiciones de autocorrelación y la correlación cruzada se pueden extender a

procesos aleatorios estacionarios sin más que tomar el valor esperado en la colectividad y el

límite . La relación de sus transformadas con la densidad de potencia espectral y la

densidad espectral cruzada se escribe entonces:

]);();(

1lim

2

1)( * dstsxsxGx

F , (3.2.37)

y

dstsysxGxy );();(

1lim

2

1)( *

F . (3.2.38)

En la literatura pueden encontrarse otras definiciones ligeramente diferentes para la correlación

cruzada y para la densidad espectral cruzada. En particular, es frecuente definir la primera como

dstsysx );();(* y la segunda como );();( *YX . En ese caso, se obtiene la

igualdad entre la transformada de la primera y la segunda sin necesidad de la normalización por

2 (nótese que ** )()( tftf FF ). Cho et al. (2006b) usan una definición de );(, TG yx

conjugada respecto a la usada aquí (debido a la diferente definición de la transformada de

Fourier).

Para terminar esta sección, se introducen una serie de definiciones que contribuirán a aligerar la

notación en lo que resta del capítulo:

);,,,,( 2211 RRSXY identifica el producto entre la transformada de Fourier de la

componente X del movimiento y el conjugado de la Y (X, Y toman valores W, Urad

, Utg

), para

estaciones con coordenadas polares (R1,1) y (R2,2):

);,,();,,();,,,,( 22

*

112211 RYRXRRSXY . (3.2.39)

En el caso particular en que coincidan los acimuts y las componentes, abreviamos como:


- 65 -

);,,();,,();,,,,();,,,( 2

*

12121 RXRXRRSRRS XXX . (3.2.40)

También definiremos su media acimutal (

d

2

1) como:

dRRSRRS XX

);,,,(2

1);,,( 2121 (3.2.41)

La densidad espectral cruzada entre las componente X, Y de las estaciones (R1,1) y (R2,2) se

abrevia como:

2

);,,,,(lim)(),,,,( 2211

),,(),,,(2211 2211

RRSGRRG XY

tRytRxXY

. (3.2.42)

En la siguiente sección se usará también la notación ),,( 21 RRG nYmX , para referirse la densidad

espectral cruzada entre los coeficientes de Fourier de órdenes m y n de ),,( 1 tRx y

),,( 2 tRy (ver bajo 3.2.14).

3.2.5. COEFICIENTES DE FOURIER DE LAS DENSIDADES ESPECTRALES. RELACIÓN

CON EL CASO DETERMINISTA.

Los coeficientes de orden m del desarrollo en serie de Fourier de las densidades espectrales,

)(L

mf y )(R

mf , se definen como:

dfef XimX

m ),()( , (3.2.43)

con X = R o L. Por el carácter real de Xf , se tiene inmediatamente que *X

m

X

m ff . En

caso de campo de ondas isótropo,

Xf0 será el único coeficiente no nulo.

Cuando un campo aleatorio se expresa como caso límite de un campo determinista (Sección

3.2.3), se pueden establecer las siguientes correspondencias entre los valores esperados de los

productos *n

Y

m

X AA y ** n

Z

m

Y

l

X

j

T AAAA y los coeficientes de Fourier de las densidades espectrales

frecuencia-dirección (Apéndice III.B):


- 66 -

X

nmXY

n

Y

m

X fAA

*

2

1lim , (3.2.44)

X

ml

T

njXYTZ

X

nl

T

mjXZTY

n

Z

m

Y

l

X

j

T ffffAAAA

**

224

1lim , (3.2.45)

donde j, l, m, n son números enteros, mientras que T, X, Y y Z valen R o L. La notación ij

representa la delta de Kronecker. Como se verá más adelante, la ecuación (3.2.44) juega un papel

importante en la mayoría de formulaciones de métodos tipo SPAC (por ejemplo, es el análogo

de la ecuación 53 del artículo de Cho et al. 2006b). Por otra parte, aunque la ecuación (3.2.45) no

tiene análogo en las derivaciones estándar, será una relación fundamental para la translación de

uno de los nuevos métodos (método SCA) al contexto de los campos aleatorios estacionarios. La

demostración de (3.2.45) ha sido también desarrollada en el Apéndice III.B.

3.3. MÉTODO DE AUTOCORRELACIÓN ESPACIAL ENTRE COMPONENTES

VERTICALES (v-SPAC)

Como se ha indicado, el método de la autocorrelación espacial para análisis de ruido ambiental

(SPAC) se basa en el trabajo de Aki (1957) en el que se proponen varios procedimientos distintos

para el cálculo de velocidades de fase de ondas superficiales. El más trascendente, dada su

relativa simplicidad y la generalidad en las hipótesis de partida es aquel en que se emplean

registros de componente vertical obtenidos en varios sensores situados a lo largo de una

circunferencia y otro en el centro de ésta. Este método será denominado v-SPAC (vertical SPAC)

en lo sucesivo. Para recuperarlo a partir de la aproximación determinista presentada antes, basta

con tomar el cociente entre ),R(W0 y ),0(W0 (i. e. entre el coeficiente de orden cero del

desarrollo en serie de Fourier de la componente vertical a lo largo de una circunferencia de radio

R y el valor de dicha magnitud en su centro). Esta operación permite cancelar la dependencia en

0

V

RA que aparece en el miembro derecho de (3.2.16):

),0(

),(

0

0

W

RWV = )R)ω(k(J R0 , (3.3.1)

donde se ha usado que 1)0(J0 . Llamaremos a este cociente “coeficiente de v-SPAC”. Las

diferencias entre esta derivación y el desarrollo original de Aki (1957) serán tratadas en la

siguiente subsección. Nótese que ),R(W0 no es más que el promedio acimutal de los registros

verticales, en el dominio de la frecuencia, tomados en una array infinitamente densa desplegada

a lo largo de la circunferencia de radio R. Una ilustración del funcionamiento del método en el


- 67 -

dominio del tiempo se muestra en la figura 3.3.1 para el caso de una array hexagonal. En ella

representan los registros temporales generados por dos ondas planas monocromáticas que se

desplazan hacia la derecha con distintas longitudes de onda (se supone una frecuencia común

1/T). Por simplicidad, ambas ondas tienen la misma amplitud y fase, de modo que los registros

en el centro de la array son idénticos. El promedio de los registros periféricos es también

armónico (Fig. 3.3.1c) pero con una amplitud dependiente de la longitud de onda. Abajo se

muestra cómo la amplitud normalizada está relacionada con el cociente R/ mediante la función

de Bessel J0.

Figura 3.3.1 Método v-SPAC usando una array “circular” con siete sensores en el caso de incidencia de una única

onda plana Rayleigh desde la izquierda. (a) Ejemplo de onda plana armónica con periodo arbitrario T propagándose

hacia la derecha. La línea continua corresponde a una onda con longitud de onda 5R, donde R es el radio de la array.

El caso de longitud de onda 2R se representa mediante una línea discontinua. Ambas gráficas (alternativas)

corresponden a un tiempo fijo. (b) Posibles registros en las estaciones de la array para una ventana temporal común

para las dos ondas descritas (manteniendo el tipo de línea). Por simplicidad, suponemos fases tales que el registro en

la estación central, que se muestra mediante una línea punteada, sea común para los dos casos. Los desfases

temporales respecto a la estación central, acordes con /T, se señalan en la parte superior de las ventanas. (c) Media

azimuthal de los registros para los casos = 5R (línea continua) y = 2R (línea discontinua). Las longitudes de

onda (o velocidades) respectivas pueden obtenerse del cociente entre las amplitudes del promedio acimutal y la de la

estación central (línea punteada). Ese cociente está relacionado con la longitud de onda mediante la función de

Bessel J0 (tomado de García-Jerez et al. 2008a).


- 68 -

La expresión (3.3.1) se ha deducido de la formulación determinista. Sin embargo, en la

aplicación práctica al microtremor conviene analizar un conjunto de fragmentos del registro

(digamos, de duración cada uno) y realizar algún tipo de promedio. El utilizar registros de

duración finita introduce inevitablemente errores estocásticos o incertidumbre en los valores V

que varían con la frecuencia. La magnitud de estos errores depende de cómo los datos sean

ventaneados, procesados y promediados. A continuación se discuten varias formas de realizar

estos promedios:

i) Tomar el promedio de los cocientes );,0();,( 00 WRW calculados independientemente

para un conjunto de ventanas (i.e. );,0();,( 00 WRW ). Ésta no es la opción más estable

pero puede resultar suficiente en muchas aplicaciones. Esta implementación permite obtener un

conjunto de estimaciones del coeficiente de v-SPAC a las que se les puede calcular directamente

su desviación típica. También permite identificar mejor (y eliminar si es necesario) porciones del

registro que provoquen resultados anómalos. Por otra parte, al no estabilizar el numerador y el

denominador antes de calcular el cociente, se compromete la robustez del método. El incluir un

suavizado previo de los espectros puede mejorar esta situación.

ii) Una opción más robusta es el cálculo de 2

0

*

00 );,0();,();,0( WRWW . De este

modo el numerador y el denominador son estabilizados previamente. La superioridad de esta

opción ha sido confirmada por Cho et al. (2007). Sin embargo, esta forma de calcular no es

adecuada para estimar experimentalmente la incertidumbre en el resultado. Por ejemplo,

desviaciones típicas grandes del numerador y del denominador pueden revelar variaciones en la

potencia del microtremor durante la medida y, al ser variaciones dependientes, no resultar

adecuadas para estimar las incertidumbres en el cociente. El cociente

2

0

*

00 );,0();,();,0( WRWW se puede reescribir, a partir de las definiciones (3.2.14)

y (3.2.40), quedando esta alternativa a (3.3.1) como:

d

S

RS

W

WW

);,0,0,0(

);,,,0,0(= )R)ω(k(J R0 , (3.3.2)

o como );,0,0(

);,,0(

W

W

S

RS.


- 69 -

iii) Si la longitud del registro es suficiente, una vía intermedia entre i) y ii) puede resultar la

mejor opción. Se trataría de dividir el sismograma en un conjunto de porciones mayores que son

a su vez ventaneadas más finamente. La aproximación mencionada en el punto ii) sería aplicada

para cada porción mayor produciendo un grupo de estimaciones estables del coeficiente de

SPAC que serán promediadas finalmente permitiendo la evaluación de la dispersión estadística.

Otra solución muy interesante, ha sido propuesta recientemente por Cho et al. (2007). Estos

autores proponen un modelo estadístico para estimar teóricamente la incertidumbre en el

coeficiente de SPAC, el cual se podría entonces determinar con la operación más estable

2

0

*

00 );,0();,();,0( WRWW . La desviación típica modelada depende de los valores

del numerador y del denominador, del número de segmentos promediados, de las características

de la ventana temporal aplicada y de las del suavizado espectral.

iv) Si el campo de ondas es estacionario en el espacio y en el tiempo, puede resultar favorable

calcular:

d

RRSS

RS

WW

WW

);,,,();,0,0,0(

);,,,0,0(

2

1. (3.3.3)

La equivalencia entre las distintas expresiones es inmediata ya que );,0,0,0( WS y

);,,,( RRSW son iguales bajo estas hipótesis (más precisamente,

)(/)()2();,,,( 2

0 R

W fRRS , independiente de la posición R de la estación). La

superioridad práctica de la segunda expresión radica en que es insensible a las diferencias de

ganancia entre las estaciones (i. e. a un factor multiplicativo real dependiente de la estación).

3.3.1. FORMULACIONES “EQUIVALENTES” DEL MÉTODO v-SPAC

Existen algunas formulaciones alternativas del SPAC con algunas ligeras diferencias respecto a

la expuesta anteriormente. A continuación se comentan dos de ellas: la debida a Aki (1957, 1965)

y la introducida por Cho et al. (2006b).

La formulación original (Aki, 1965) parte el cálculo de la “función espacio-correlación”

);,( R a partir de registros, en el dominio del tiempo, filtrados entorno a la frecuencia :

T

dttRwtwR0

);,,();,0,0(1

lim);,(

(3.3.4)


- 70 -

En realidad, );,( R es el valor a tiempo cero de la correlación entre la señal registrada en el

centro y la registrada en ),( R , una vez filtradas. Denominando );0,0( al resultado de la

operación anterior cuando relaciona el registro central consigo mismo y promediando );,( R

en el azimut, se define el coeficiente de v-SPAC:

dRRAki

V ),,(),0,0(2

1),( . (3.3.5)

Obviamente, ),( RAki

V es una cantidad real. Aki (1965) demuestra que el resultado teórico es

también )R)ω(k(J R0 . En su formalismo, el método permanece válido si la array es

semicircular, sin más que cambiar los límites de integración en (3.3.5) al intervalo [0 ] y

sustituir 2 por en la normalización. En la sección 3.3.3 se dan más detalles a este respecto.

Una reformulación de este método ligeramente distinta a la expuesta aquí puede encontrarse en

el trabajo de Cho et al. (2006b). Su punto de partida es el cálculo de la integral acimutal de los

registros temporales tomados en la circunferencia, lo que en nuestra nomenclatura se escribe

),(0 tRw . Seguidamente se calcula la densidad espectral cruzada entre esta función y la

correspondiente a una array de radio cero (esto es, entre ),0(2),0(0 twtw y ),(0 tRw ). Y

finalmente, se define el coeficiente de SPAC como el cociente:

),0,0(

),,0(

00

00

WW

WWCho

VG

RG . (3.3.6)

Por simplicidad, se ha utilizado la notación ),,0(00 RG WW como un sustituto de

)(),(,),0( 00tRwtwG . La correspondencia entre Cho

V y )R)ω(k(J R0 se demuestra de forma sencilla

a partir de (3.2.16) y de la definición de densidad espectral cruzada. El numerador de (3.3.6) es:

),,0(00 RG WW

2

);,();,0(lim

*

00 RWW

=

2

);(lim)(4

20,

0

2

V

R

R

AxJ

=

= 2

00

2 /)(4 R

R fxJ , (3.3.7)

de donde se sigue (3.3.6) inmediatamente. ),,0(00 RG WW corresponde, en límite , a la


- 71 -

operación );,,,0,0(2 RSWW ya que sólo supone alterar el orden en que se realizan la

transformada de Fourier y el promedio acimutal. Por tanto, la Ec. (3.3.6) recoge esencialmente

el mismo cálculo que (3.3.2).

Cho et al. han empleado las densidades espectrales cruzadas entre promedios acimutales de

registros para el desarrollo de varias técnicas más, algunas de las cuales serán comentadas

posteriormente. Estos autores extienden la notación ),,0(00 RG WW al caso de dos componentes

cualesquiera x, y (tomando valores w, urad

, utg

), y para dos componentes de serie de Fourier

cualesquiera m, n y dos radios R1, R2, según:

),,( 21 RRG nYmX )(),(),( 21tRytRx nm

G . (3.3.8)

3.3.2 EFECTOS DEL ALIASING ACIMUTAL EN LOS MÉTODOS TIPO SPAC

El método v-SPAC ha sido obtenido bajo la suposición de que el coeficiente de orden cero del

desarrollo en serie de Fourier de la componente vertical ),R(W0 puede ser calculado

apropiadamente de forma experimental. Sin embargo, este hecho es incierto desde el momento

en que está definido a partir de una integración a lo largo de la coordenada acimutal (Ec. 3.2.14).

Como cualquier array “circular” realista está compuesta por un número muy limitado de

sensores, será necesario hallar el mejor modo de aproximar el valor de ),R(W0 , así como

evaluar los posibles errores que se derivan de tal aproximación. A estos errores nos referiremos

como “efectos de N finito” o “efectos de aliasing acimutal”. Este problema aparecerá de nuevo

en secciones posteriores también para las otras componentes del movimiento (radial y

tangencial) y para otros órdenes del desarrollo en serie de Fourier, por lo que en este epígrafe se

hará un planteamiento general.

Concretando los términos del problema, se trataría de obtener un algoritmo que permita

aproximar simultáneamente un conjunto de coeficientes de Fourier, que estaban definidos como

dRXimRX m ),,()exp(),( con m entero, empleando medidas en un conjunto finito

de acimuts. Cabe esperar que los coeficientes de órdenes |m| bajos puedan ser estimados con

mayor exactitud a partir de un número limitado de estaciones, de modo que en los métodos

desarrollados en este capítulo se explotarán sólo los casos m = -1, 0, 1. Podemos considerar por

tanto que estamos interesados en aproximar solamente los 2K+1 coeficientes de órdenes

menores: -K m K. Construimos sus respectivos estimadores ),(~

RX m como combinaciones


- 72 -

lineales de los registros obtenidos en los distintos azimuts,

N

j

jjKmm RXeRX1

,1 ),,(),(~

; m entero, -K m K, (3.3.9)

donde los coeficientes qpe , tienen, en principio, valores desconocidos y las cantidades 1 , 2 , …,

j , …, N representan los acimuts de las estaciones sobre la circunferencia.

Se puede demostrar (p. e. Cho et al. 2006b) que los pqe han de ser óptimamente escogidos como

los elementos (p, q) de la matriz H1H

, donde ))1(exp(2

1ppq Kqi

; p = 1, 2,

…, N; q = 1, 2, …, 2K+1. La condición impuesta en esta optimización consiste en que la

evaluación de la serie de Fourier truncada

K

Km

m RXim ),(~

)exp( en los azimuts de las

estaciones dé un conjunto de N valores próximos, en el sentido de diferencia cuadrática media, a

las transformadas de Fourier de los registros originales:

N

j

K

Km

mjj RXimRX1

2

),(~

)exp(2

1),,(

es mínimo. (3.3.10)

En el caso de que 2K+1 = N, la matriz es cuadrada, N N. Si, además, es invertible,

entonces H1H

= 1 . Por último, si los sensores están equiespaciados, podemos

suponerles coordenadas acimutales j = Nj /2 , j = 1, 2, …, N y la matriz 1 queda

(Apéndice III.C):

)/)1(2exp(21 NkKjiN

jk

, (3.3.11)

y de aquí:

N

j

m NjRXNjimN

RX1

),/2,()/2exp(2

),(~

, 2/)1(

,

Nm

imparN . (3.3.12)

El resultado es además el modo “natural” de estimar ),( RX m . La distribución de sensores

equiespaciados será prácticamente la única considerada en el resto de esta memoria.

Por simplicidad, definiremos en general:


- 73 -

N

j

m NjRXNjimN

RX1

),/2,()/2exp(2

),(ˆ

, (3.3.13)

y lo usaremos en la práctica como estimador de ),( RX m en cualquier array circular con

sensores uniformemente distribuidos y para cualesquiera valores de m y N.

Es muy útil expresar los estimadores ),R(X m en función de los coeficientes exactos del

desarrollo en serie de Fourier de la componente X . Se demuestra inmediatamente (Apéndice

III.D) que, para el caso de estaciones equiespaciadas, se tiene:

),R(Xm

k

kNm RX ),( , (3.3.14)

es decir, la diferencia entre el estimador del coeficiente de orden m y el valor que se obtendría

para una array infinitamente densa se puede escribir como la suma de los coeficientes de Fourier

de órdenes m + k N, con k = 1, 2, 3, … Esta expresión va a ser la vía para introducir los

efectos de N- finito en todos los métodos desarrollados en esta memoria. Otros autores (eg.

Okada 2006, Shabani et al. 2010) consiguen resultados equivalentes basándose en la relación de

Jacobi-Anger:

)(exp)()cos(exp

inkrJiirkn

n

n . (3.3.15)

3.3.3. EFECTOS DEL ALIASING ACIMUTAL EN El MÉTODO v-SPAC

A partir de (3.3.14), se puede construir el estimador del coeficiente de v-SPAC afectado por

efectos de N-finito en una array circular de estaciones equiespaciadas. Siguiendo (3.3.13), se

usará también el acento circunflejo ^ para referirse a coeficientes de correlación afectados por

aliasing acimutal. Recurriendo a (3.2.16) tenemos:

V ),0(W

),R(W

0

0

0,

,,

1

0

][)()()(

V

R

jNV

R

jNV

R

j

RjN

jN

RA

AAxJixJ

. (3.3.16)

Usando (3.2.19), la expresión anterior se puede escribir también en función de las amplitudes de

las ondas planas incidentes:


- 74 -

V

1

1

1

0

cos

)()(2)(j

M

q

V

Rq

M

q

q

V

Rq

RjN

jN

R

A

jNA

xJixJ

. (3.3.17)

A continuación, se analizarán algunos casos en los que esta suma presenta comportamientos

sencillos:

Ondas planas procedentes de un solo azimut

En caso de que las ondas planas incidan en una sola dirección , la ecuación anterior queda:

V

1

0 cos)()(2)(j

RjN

jN

R jNxJixJ . (3.3.18)

Observando el factor jNi)( , se advierte que los sumandos con jN par corresponden a la parte

real del resultado, mientras que jN impar identifica a los sumandos imaginarios. Por tanto, si

N es impar, las partes real e imaginaria provienen de sumar a índices pares e impares,

respectivamente:

imparN

NjxJiRi

jNxJixJR

j

RNj

Nj

V

j

RjN

jN

RV

,

)12cos()()(2),(Îm

2cos)()(2)(),(ˆRe

1

)12(

)12(

1

2

2

0

(3.3.19)

mientras que, si N es par, la parte imaginaria es nula y todos los sumandos contribuyen a la parte

real. En este último caso, podemos reescribir (3.3.18) en función del entero 2/N :

0),(Îm

22cos)()(2)(),(ˆRe

1 22

22

0

R

NjxJixJR

V

j

RNj

Nj

RV , N par. (3.3.20)

La comparación entre las líneas superiores de (3.3.19) y (3.3.20) nos muestra que, si N es par

pero no múltiplo de cuatro (es decir, con N /2 impar), la array de N estaciones es indistinguible

de la de N /2 a efectos del cálculo de ),(ˆRe R y bajo el campo unidireccional.

Aliasing acimutal en la descripción como proceso aleatorio estacionario

La adaptación de (3.3.16) a la descripción del campo como proceso aleatorio estacionario se


- 75 -

puede obtener fácilmente a partir de la relación (3.2.44). Calculemos primero el producto

);,0(ˆ0 W );,(ˆ *

0 RW (de 3.3.16):

);,0(ˆ0 W );,(ˆ *

0 RW

1

*,0,*,0,2

0

*0,0,2 ])[(4)(4j

jNV

R

V

R

jNV

R

V

RRjN

jN

R

V

R

V

R AAAAxJixJAA .

(3.3.21)

En el límite de ventana temporal larga, tenemos, utilizando (3.2.44):

),,0(ˆ00 RG WW

2

);,(ˆ);,0(ˆlim

*

00 RWW

=

12

2

02

02 )(4)(4j

R

jN

R

jN

RjN

jN

R

R ffxJixJ

f

,

(3.3.22)

y dividiendo por la densidad espectral de potencia para el caso de radio cero:

),0,0(ˆ

),,0(ˆ),(ˆ

00

00

WW

WWCho

VG

RGR

1 0

0

]Re[)(2)(

jR

R

jN

R

jN

RjN

jN

Rf

ffxJixJ . (3.3.23)

Como en el caso unidireccional, los términos de la sumatoria son reales o imaginarios puros

dependiendo de si jN es par o impar, lo que indica un comportamiento similar al de dicho caso.

Separando las partes real e imaginaria para los casos de N impar y N par, tenemos,

respectivamente:

impar,]Re[

)(2)],(Îm[

]Re[)(2)()],(ˆRe[

1 0

)12()12(

)12(

)12(

1 0

22

2

2

0

N

f

ffxJiRi

f

ffxJixJR

jR

R

Nj

R

Nj

RNj

NjCho

V

jR

R

jN

R

jN

RjN

jN

R

Cho

V

, (3.3.24)

0)],(Îm[

]Re[

)(2)()],(ˆRe[1 0

22

22

22

22

0

R

f

ff

xJixJR

Cho

V

jR

R

Nj

R

Nj

RNj

Nj

RCho

V , N par. (3.3.25)

De modo que, como en el caso del campo unidireccional, las arrays de N y de N /2 sensores

son indistinguibles, en lo que se refiere al resultado de )],(ˆRe[ RCho

V , si N es par pero no

múltiplo de cuatro. Este resultado ha sido demostrado por Okada (2006).

La anulación de la parte imaginaria en cualquier array con N par puede utilizarse como de una

comprobación de las hipótesis de estacionaridad espacial del campo. El montaje más sencillo

para este fin sería una línea de tres sensores equiespaciados (N = 2). Las densidades espectrales


- 76 -

cruzadas entre los sensores situados en los extremos y el sensor central, i. e. )(),,(),0,,0( tRwtwG y

)(),,(),0,,0( tRwtwG , han de resultar mutuamente conjugadas para que se cancelen las partes

imaginarias de ),(ˆ RCho

V . Efectivamente, cualquiera de estas dos parejas se transforma en la

otra mediante una translación (que dejaría invariante la densidad espectral cruzada) y una

reordenación de los sensores (que provoca la conjugación). Si experimentalmente se encuentra

que ambas cantidades difieren significativamente (aparte de en la conjugación), se debe

cuestionar el cumplimiento de las hipótesis de campo estacionario y posiblemente descartar los

métodos que hacen uso de ellas (es el caso, por ejemplo, del método 2s-SPAC y del método

CCA, descritos en el epígrafe siguiente).

Esta relación directa (conjugación) entre las densidades espectrales cruzadas calculadas entre la

estación central y dos estaciones diametralmente opuestas comporta la redundancia entre ellas,

que está detrás de las equivalencias señaladas para arrays con N par no divisible por 4 en campo

estacionario, e implica además que cualquier array con N par es equivalente, en términos de

)],(ˆRe[ RCho

V , a una array semicircular. Esta situación se ejemplifica en la Fig. 3.3.2 (atiéndase

en este punto solamente a las componentes verticales).

Figura 3.3.2. Ejemplo de dos arrays regulares con un número par de sensores a lo largo de la circunferencia (6 a la

izquierda y 8 a la derecha). En cada caso se pretenden resaltar dos conjuntos de estaciones: las estaciones pintadas

de rojo y las estaciones punteadas (independientemente del color). Ambos conjuntos son equivalentes a la array

completa (y por tanto también equivalentes entre sí) ya que sólo eliminan estaciones diametralmente opuestas a las

consideradas. Tanto la array hexagonal como la octogonal tienen subarrays semicirculares equivalentes (las

punteadas). La array hexagonal es equivalente a una array triangular (regular), por ser el número de vértices doble


- 77 -

de un impar. La array octogonal no es equivalente a una array cuadrada aunque sí a otras distribuciones irregulares

de cuatro vértices. Las mencionadas equivalencias entre arrays sólo se tienen bajo ciertas hipótesis (ver texto).

Las expresiones (3.3.24-25), como sus análogas deterministas, no permiten corregir los efectos

de N finito en la práctica, ya que las cantidades )(R

nf suelen ser desconocidas, pero sí son de

utilidad para acotar tales efectos. Una primera conclusión es que, a medida que la iluminación

sea más uniforme (en función del azimut), será posible disminuir el número de estaciones en la

array. Si la iluminación es completamente uniforme, )(0 Rf es el único coeficiente de Fourier de

),( Rf no nulo y tendremos ),(ˆ RCho

V )(0 RxJ para cualquier N (esto es, ausencia de

efectos de N finito). Otra conclusión inmediata es que los efectos de N finito son despreciables

para valores de Rx suficientemente bajos (es decir, para longitudes de onda suficientemente

grandes en comparación al radio), lo que generalmente corresponde también a frecuencias por

debajo de cierto umbral (dependiente del radio y de la curva de dispersión concreta). Esto es

evidente a partir de las expresiones anteriores, ya que todas las funciones de Bessel de órdenes

distintos de cero convergen a cero cuando lo hace su argumento ( 0)( Rn xJ cuando 0Rx

para n 0), prevaleciendo entonces la dependencia en )(0 RxJ (Figura 3.3.3). El rango en el cual

los efectos de N finito son pequeños debe, grosso modo, (con las salvedades hechas para N par)

ampliarse conforme crece el número de estaciones, ya que la expresión de las desviaciones de

),(ˆ RCho

V respecto a ),( RCho

V involucrará cada vez a funciones de Bessel de órdenes

mayores, que tienen menos influencia para Rx bajo (Figura 3.3.3).

Figura 3.3.3. Funciones de Bessel de distintos órdenes.


- 78 -

Okada (2006) ha evaluado detalladamente los umbrales de Rx por debajo de los cuales las

desviaciones de ),(ˆ RCho

V respecto al caso N = son menores de 0.01, aún cuando las ondas

provengan de las direcciones más desfavorables. Estos valores límite de xR se muestran en la

figura 3.3.4. Se observa en ella la prevista tendencia creciente con el número de estaciones, una

menor capacidad de las arrays con N par, así como la equivalencia entre arrays con N impar y sus

correspondientes arrays con N doble (3 y 6; 5 y 10), siempre bajo las hipótesis de campo

estacionario o unidireccional. En esta figura también se representan los umbrales para una

desviación de 0.05 determinados por Cho et al. (2007).

Figura 3.3.4. Valores máximos de Rx para los que las desviaciones en los coeficientes de SPAC debidas a efectos

de N finito se mantienen por debajo de 0.01 (cuadrados, Okada 2006) o de 0.05 (círculos, Cho et al. 2007).

Si se relajan la hipótesis de campo arbitrario y se admite que la iluminación ha de tener una

anchura azimutal apreciable, el rango de validez del método aumenta. Por ejemplo, Asten (2006)

muestra, mediante simulaciones, que el uso del v-SPAC con arrays triangulares da buenos

resultados hasta el primer mínimo de )(0 RxJ (esto es, hasta xR = 3.83) si el microtremor

proviene de un intervalo acimutal de anchura igual o mayor que 30º. Cho et al. (2007) han

calculado el ancho acimutal necesario para mantener estos errores por debajo de 0.05 en un

rango de números de onda amplio: xR 20 (Fig. 3.3.5). El uso de una única pareja de estaciones

en todo este rango (N=1) requeriría un ancho total de 270º; la array triangular requiere 90º

mientras que la pentagonal 50º.


- 79 -

3.3.4 OTRAS VARIANTES DEL MÉTODO v-SPAC Y MÉTODOS RELACIONADOS.

A continuación se mencionan dos implementaciones particulares del método v-SPAC así como

otros dos métodos estrechamente relaccionados con él:

Morikawa et al. (2004) discutieron una implementación del método v-SPAC en la que sólo

trabajan simultáneamente dos estaciones. Se trata simplemente de evaluar (3.3.3) a partir de

parejas de registros simultáneos entre la estación central y una estación periférica móvil. Las

medidas se repiten cambiando la posición de esta última y finalmente se realiza el promedio

acimutal. Los requerimientos materiales se reducen así considerablemente (pues sólo dos

estaciones son necesarias) aunque el tiempo de grabación se multiplica por N. La estacionaridad

temporal del microtremor juega un papel esencial para que esta aproximación sea válida.

Figura 3.3.5. Anchura mínima del haz necesario para mantener la desviación en el coeficiente de SPAC por debajo

de 0.05 hasta xR =20 (según Cho et al., 2007). Se asume una dependencia triangular de la densidad espectral de

potencia frecuencia-dirección respecto al azimut.

Chávez-García et al. (2005) explotaron una propiedad empírica ya observada por Aki (1957),

mostrando que el promedio acimutal podría ser completamente evitado, bajo las hipótesis de

isotropía y estacionaridad espacio-temporal del ruido ambiental, si se usan registros

suficientemente largos. Este método es un caso particular del v-SPAC para N=1. Una pareja de

estaciones y una única medida (larga) serían suficientes. Conforme a los resultados expuestos al

final de la sección anterior, la condición de isotropía debe cumplirse con suficiente aproximación

para que este método sea viable en un rango amplio de longitudes de onda. En la literatura

pueden encontrarse numerosas situaciones en que esta condición se vulnera y el campo presenta


- 80 -

una o unas pocas direcciones privilegiadas (p.e. Endrun, 2010). Un ejemplo con datos propios se

muestra en la Fig. 3.3.6.

Bettig et al. (2001) llevaron a cabo una modificación de naturaleza algo mayor del método con

objeto de poder tratar arrays irregulares densas. Su esquema es denominado a veces “método

modificado de autocorrelación espacial para la componente vertical” o v-MSPAC. Básicamente

consiste en reemplazar las integraciones del movimiento vertical a lo largo de una circunferencia

por el valor medio en un anillo.

Figura 3.3.6. Ejemplos de coeficientes de v-SPAC grabados en una array pentagonal situada en las proximidades

(~50m) de una fuente puntual de ruido (una excavadora cargando un camión de arena). Las líneas coloreadas

muestran correlaciones entre distintas parejas de sensores, todas espaciadas 38m entre sí. Las líneas negras muestran

la media y la desviación típica. Se aprecia la gran disparidad entre las líneas coloreadas debida a la diferente

orientación de las parejas respecto a la dirección a la fuente, que estaba situada aproximadamente sobre una

perpendicular a la línea definida por la pareja en amarillo y que pasa por el centro de la array. El promedio sí está

menos afectado por efectos de N finito, presentando una similitud razonable con una función del tipo J0(kR R).

Tomando la formulación determinista, llamando R1 al radio interior del anillo y R2 al exterior y

usando (3.2.16), el valor medio de ),,( RW en el área del anillo resulta:

dRRkJRRR

AdRRRW

RRdRdRRW

RR

R

R

R

V

R

R

R

R

R

2

1

2

1

2

1

)(2

),()(

1),,(

)(

102

1

2

2

0,

02

1

2

2

2

1

2

2


- 81 -

R

Rk

Rk

RR

R

V

R dxxJxRRk

A R

R

2

1

)(2

02

1

2

2

2

0,

1112212

1

2

2

0,

)()()(

2RRkJRRkJ

RRk

ARR

R

V

R

(3.3.26)

donde se ha usado que

2

1

2

1

)()( 10

x

x

x

x

xJxdxxJx . (3.3.27)

Normalizando por 0,

0 ),0,0()2/(),0( V

RAWW tendríamos ya una ecuación útil:

),0,0(

),,()(

1

0

2

1

2

2

2

1

W

dRdRRWRR

R

R

1112212

1

2

2

)()()(

2RRkJRRkJ

RRkRR

R

, (3.3.28)

que en el contexto de campos aleatorios estacionarios, (3.3.28) se puede reescribir de la forma:

dRdR

G

RG

RR

R

R WW

WW2

1),0,0,0,0(

),,,0,0(

)(

12

1

2

2

=

1112212

1

2

2

)()(2

RRkJRRkJRRk

RR

R

. (3.3.29)

Esta ecuación permite nuevamente el uso de una array semicircular cambiando la integración

entre - y + del miembro derecho por dos veces la integral entre 0 y +.

El procedimiento a seguir en la práctica, consistiría en definir sobre la array irregular una

“estación central” y un conjunto de anillos concéntricos en torno a ella a los que aplicar el

método separadamente. Los anillos habrían de ser tan delgados como fuera posible y deberían

contener un conjunto de estaciones que muestreen suficientemente la coordenada acimutal. Si las

estaciones en el anillo se identifican por sus coordenadas polares ( jjR , ), j = 1, 2, …, N, y se

ordenan por azimuth creciente ( 1 jj ), podemos aproximar el miembro izquierdo de (3.3.29)

por la expresión:

jj

RRRqtj WW

jjWWRR

G

RG

RRj

21

..2

1

2

2 ),0,0,0,0(

),,,0,0(Re

)(

1 (3.3.30)


- 82 -

donde 222

1111

jjjjjj

j

y 12 RRR . De este modo, se está pesando

cada estación (aproximadamente) por las dimensiones de una celda asociada en la que ésta ocupa

el azimut central (ver esquema en Fig. 3.3.7 para una array semicircular).

Figura 3.3.7. Representación esquemática del modo de pesado de las estaciones en el método v-MSPAC. Las

estaciones en rojo pertenecen al anillo definido. El área de la zona en gris es proporcional al peso que se da a la

densidad espectral cruzada entre la estación central y la estación señalada (Rj j).

La ecuación determinista (3.3.28) se puede aproximar de un modo paralelo. Si el anillo es

delgado, se puede tomar ahora 2

)()(

2

)( 2

1

2

212

12 RRRR

RRRR j

y por tanto:

j

RRRqtj WW

jjWW

jj

RRRqtj WW

jjWW

jj

G

RGRR

G

RG

RR

2121

....2

1

2

2 ),0,0,0,0(

),,,0,0(

2

1

),0,0,0,0(

),,,0,0(

)(

1 (3.3.31)

que suele ser el cálculo realizado en la práctica.

Cho et al. (2004, 2006a) han desarrollado un método alternativo al v-SPAC, denominado CCA

(Centerless Circular Array). Se trata de una interesante aproximación que permite prescindir de

la estación central, pero que tiene la particularidad de no ser válida en general para un campo

determinista. Para introducirlo, observamos que a partir de (3.2.16) se deduce:

)(

)(

),(

),(2

1

2

0

*11

*00

2

1

2

0

R

R

RR

RR

xJ

xJ

AA

AA

RW

RW

. (3.3.32)


- 83 -

La dependencia en los promedios de amplitudes pesadas hace que esta relación sea inútil en el

contexto determinista. Sin embargo, si pasamos al campo aleatorio estacionario siguiendo

(3.2.44), y observando (3.2.16) obtenemos:

),()()(

)()(

2

);();(4

2

);,(2

2

02*,,

2

2

RGxJ

fxJ

AARWWmWmRm

R

Rm

mV

R

mV

Rm

(3.3.33)

de modo que, dividiendo el caso m=0 entre el caso m=1 de (3.3.33), obtenemos finalmente la

ecuación útil:

)(

)(

),(

),(2

1

2

0

11

00

R

R

WW

WWCCA

xJ

xJ

RG

RG

. (3.3.34)

La independencia estadística entre las ondas Rayleigh provenientes de distintas direcciones en el

contexto de campos aleatorios es una condición esencial para la validez de (3.3.34). La

estabilidad de esta ecuación ante distintas causas de errores experimentales ha sido estudiada por

Cho et al. (2006a).

3.4. MÉTODO DE AUTOCORRELACIÓN ESPACIAL DE LAS COMPONENTES

HORIZONTALES (3c – SPAC)

Varios estudios teóricos demuestran que la inversión de la estructura superficial de la corteza

arroja resultados más precisos si se usan conjuntamente velocidades de ondas Rayleigh y Love.

Por ejemplo, Pei (2007) ha mostrado que la inclusión de las velocidades de onda Love resulta en

una mejora significativa del modelo invertido, en términos de resolución de zonas de baja

velocidad y de contrastes altos. La velocidad de onda Love es sensible un menor de número

parámetros elásticos, lo que conlleva un procedimiento de inversión más simple. El primer

método tipo SPAC formulado que permite el estudio de las propiedades de las ondas Love es

descrito a continuación haciendo hincapié en el nuevo punto de vista determinista.

3.4.1. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO. FORMULACIÓN DETERMINISTA.

El método SPAC para las tres componentes (3c-SPAC) permite el cálculo de curvas de dispersión

de ondas Rayleigh y Love a partir de microtremor medidos en una array circular (o semicircular)

con estación central. La autoría de este método es algo controvertida. Fue esbozado por Aki

(1957) bajo la hipótesis de dominancia de las ondas Rayleigh o de las ondas Love en la


- 84 -

componente horizontal del microtremor, omitiendo por tanto las ecuaciones necesarias para el

caso general de coexistencia de ambas, que se atribuyen a Okada and Matsushima (1989). Un

texto más accesible en el que se trata este método es el de Okada (2003). Morikawa (2006) ha

publicado recientemente una derivación matemática más detallada.

Aunque todos los trabajos citados se basan en la descripción del microtremor como proceso

estocástico, se ha demostrado (García-Jerez et al. 2008b) que este método también se deduce

directamente de nuestra interpretación determinista contenida en (3.2.8-9), evitando además la

hipótesis de independencia estadística entre las ondas Rayleigh y Love requerida en la

demostración original y obteniendo una interpretación adicional de la parte compleja de los

coeficientes de correlación involucrados. De este modo, las ecuaciones que definen la técnica

son las siguientes:

)(0 RV xJ , (3.4.1)

)('1)()()(')()()( 2020 LLRRrad xJxJxJxJ , (3.4.2)

)('1)()()(')()()( 2020 LLRRtg xJxJxJxJ . (3.4.3)

en las que las cantidades V , rad y tg se definen a partir de promedios acimutales de

productos espectrales normalizados:

);,0,0();,0,( WWV SRS , (3.4.4)

);,0,0();,0,( radrad UUrad SRS , y (3.4.5)

);,0,0();,0,( tgtg UUtg SRS . (3.4.6)

Efectivamente, la resolución del sistema de ecuaciones no lineales (3.4.1-3) permite determinar

)(Rc , )(Lc y la función )(' a partir de la medida experimental de las tres cantidades

(coeficientes de correlación) )(V , )(rad y )(tg .

Para demostrar (3.4.2-3) podemos comenzar expresando las cantidades ),,0(U rad y

),,0(U tg en términos de los promedios pesados de amplitudes complejas 1

RA y 1

LA ,

definidas en las Ecs. (3.2.19-20) y de factores )iexp( (ver Apéndice III.E):


- 85 -

),,0(Urad = )exp(2

)()exp(

2

)( 1111

iiAA

iiAA LRLR

, (3.4.7)

),,0(Utg = )exp(2

)()exp(

2

)( 1111

iAiA

iAiA LRLR

. (3.4.8)

Ahora, las integrales ),0,( RS radU y ),0,( RS tgU

pueden relacionarse con )R,(U rad

1 y

)R,(U tg

1 usando sus respectivas definiciones:

),0,( RS radU),(

4

)(),(

4

)(1

*1*1

1

*1*1

RUiAA

RUiAA radLRradLR

, (3.4.9)

),0,( RS tgU),(

4

)(),(

4

)(1

*1*1

1

*1*1

RUAiA

RUAiA tgLRtgLR

. (3.4.10)

Finalmente, pueden escribirse en términos de funciones de Bessel en las variables Rx y Lx y de

las cantidades 1

RA , 1

LA mediante las Ecs. (3.2.17-18). De este modo y después de algún álgebra

(Apéndice III.F), resultan (3.4.2-3) con ' dado por:

)Im(2

)('

*11*112

12

12

12

1

*11*112

12

1

LRLRLLRR

LRLRRR

AAAAAAAA

AAAAiAA. (3.4.11)

La relación para la componente vertical (3.4.1) es bien conocida, pues la definición de V dada

en (3.4.4) equivale a la del coeficiente de v-SPAC (Ec. 3.3.1). En la derivación determinista

expuesta, )(' tiene parte imaginaria, a menos que )AARe(AARe *1

L

1,H

R

*1

L

1,H

R

, y su parte

real no está, en general, acotada entre 0 y 1.

3.4.2. FORMULACIÓN PARA CAMPOS ALEATORIOS ESTACIONARIOS

La aplicación del método a campos aleatorios estacionarios se puede llevar a cabo promediando

en numerador y el denominador de (3.4.5-6) sobre un conjunto de ventanas de duración :

dRS

dRS

S

RS

radrad

radrad

rad

rad

UU

UU

U

U

);,,0,,(2

1

);,,0,,(2

1

);,0,0(

);,0,(. (3.4.12)

En el límite se tienen inmediatamente, como una consecuencia de las relaciones


- 86 -

deterministas (3.4.9-10), las siguientes expresiones (Apéndice III.F):

);,0,0(

);,0,(

rad

rad

U

U

S

RS )()()( 20 RR xJxJ )()()(1 20 LL xJxJ (3.4.13)

);,0,0(

);,0,(

tg

tg

U

U

S

RS )()()( 20 RR xJxJ )()()(1 20 LL xJxJ . (3.4.14)

La cantidad )(' queda pues remplazada por LRR fff 000 , que resulta una función real

cumpliendo 0 ≤ )( ≤ 1 y que representa el cociente entre la densidad espectral de potencia de

las ondas Rayleigh en el movimiento horizontal (una vez sumadas las distintas contribuciones

acimutales) y la total (suma de Rayleigh horizontal y Love). )( es denominada “proporción

energética de ondas Rayleigh en la componente horizontal”. La formulación original (pero

parcial) del método (Aki, 1965) se recupera para los casos )( = 0 y )( = 1. En el primer

caso, los términos de ondas Love representan la única contribución a );,0,( RS radU y

);,0,( RS tgU, mientras que en el segundo, sólo se conservan las dependencias en Rx .

3.4.3. EFECTOS DE UN NÚMERO FINITO DE ESTACIONES

Un estudio analítico de los efectos de N- finito para el 3c-SPAC ha sido llevado a cabo por

Shabani et al. (2010). El procedimiento que describen estos autores, que básicamente es una

extensión del trabajo de Okada (2006) para el v-SPAC, está basado en la relación de Jacobi-

Anger (Ec. 3.3.15). Aunque no se van a dar aquí las expresiones de rad y tg , sí se debe

mencionar que tienen propiedades similares a las encontradas para el método v-SPAC. En

general, dos estaciones en posiciones diametralmente opuestas proporcionan valores de

),,0,( RS radU y ),,0,( RS radU

(en la formulación determinista) que no son conjugados en

general. Sin embargo, la relación de conjugación sí se cumple entre las cantidades

),,0,,( RG radradUU y ),,0,,( RG radradUU

bajo las hipótesis del campo aleatorio

estacionario. El mismo comportamiento se observa para la componente tangencial. Por

consiguiente, como en el caso del método v-SPAC, las arrays circulares regulares con N y 2N

estaciones sobre la circunferencia, siendo N impar, resultan equivalentes en estas circunstancias


- 87 -

y en lo que se refiere a la estimación de la partes reals de rad y tg en el límite de proceso

aleatorio. Además, todas las arrays circulares con N par son equivalentes a arrays semicirculares

formadas por N/2 de las estaciones (ver Fig 3.3.2).

En la bibliografía pueden encontrarse varias aplicaciones de este método en ambientes

volcánicos realizadas en la década de los ‟90 por Ferrazzini et al. (1991), Chouet et al. (1996) y

Métaxian and Lesage (1997). Entre los trabajos más recientes se pueden citar el de Köhler et al.

(2007), quienes hacen una adaptación del método para arrays irregulares (3c-MSPAC) y el de

Endrun et al. (2010) en el que se comprueba la estabilidad y repetibilidad del método en seis

sitios diferentes. Algunos resultados de estos experimentos han sido ya descritos en el Capítulo

1.

3.5. MÉTODO DE LAS ARRAYS CIRCULARES CONCÉNTRICAS (DOBLE ANILLO O

DR).

Además de recuperar y generalizar las formulaciones anteriores del método 3c-SPAC, las

relaciones (3.2.17-18) nos permiten desarrollar nuevos métodos de análisis del microtremor en

las tres componentes. Una primera vía de resolución de )(Rk o )(Lk a partir de éstas consiste

en generar ecuaciones independientes a partir de cualquiera de ellas variando el valor del radio

R. La familia de ecuaciones así generadas compartirán las mismas incógnitas, haciendo posible

su determinación. Como se comentó anteriormente, los coeficientes de Fourier ),( RWm ,

),R(U rad

m , ),R(U tg

m serán mejor aproximados experimentalmente para órdenes bajos (valores

de m próximos a cero). Además, como se observa en (3.2.17) y (3.2.18), ),(0 RU rad y ),(0 RU tg

tienen dependencias simples en )(Rk , )(Lk , lo que los hace especialmente adecuados para su

empleo en nuevos métodos. En concreto, estas dependencias son:

),(0 RU tg = )(2 1

0 RkJiA LL , (3.5.1)

),(0 RU rad = )(2 1

0 RkJiA RR . (3.5.2)

Como estamos especialmente interesados en desarrollar técnicas de estimación de la velocidad

de onda Love, nos centraremos en la ecuación (3.5.1). Una explicación geométrica cualitativa del

significado de esta ecuación se muestra en la Fig. 3.5.1. Cuando un frente de onda Rayleigh

plano se propaga a lo largo de la array circular, los registros obtenidos en cualquier pareja de


- 88 -

sensores situados simétricamente respecto a la dirección de propagación y dirigidos

tangencialmente tienen signo opuesto. Por tanto, en la array ideal continua, los registros se

cancelan cuando se promedia sobre el conjunto de estaciones (Fig. 3.5.1a). Sin embargo, en caso

de incidencia de onda Love, ambas estaciones proporcionan el mismo registro (Fig. 3.5.1b), y la

media acimutal a lo largo de la circunferencia dependerá del cociente entre longitud de onda y

radio, así como de la amplitud compleja, que contiene la información sobre la amplitud y la fase

inicial de la onda plana. La linealidad de las operaciones (proyección tangencial y promediado)

justifica la validez de (3.5.1) cuando el campo de ondas consiste en una suma arbitraria de ondas

planas. Variando el radio en (3.5.1) se puede eliminar la dependencia en )(0 LA mediante el

cociente:

Figura 3.5.1. Esquema del proceso de selección de ondas Love usando una array circular densa compuesta de

sensores tangenciales. El campo de ondas, para un tiempo fijo, se representa mediante flechas negras. (a) Para ondas

Rayleigh, ambos sensores graban el mismo valor del desplazamiento (longitud de la flecha gris) pero con diferente

signo. Por tanto, el valor promedio de los registros entre esta pareja, así como de los registros en la array continua

completa, es cero. (b) Ambos sensores graban el mismo valor (con el mismo signo) en el caso de incidencia de onda

Love. El valor promedio para la array completa es el mismo que para la mitad derecha o para la mitad izquierda y

depende sólo del cociente entre el radio y la longitud de onda, así como de la amplitud y fase inicial de la onda

plana.


- 89 -

),(

),(),,('

10

2012

RU

RURR

tg

tgDR

tg =)R)ω(k(J

)R)ω(k(J

1L1

2L1 , (3.5.3)

al que nos referiremos como cociente espectral tangencial o DR

tg' . El superíndice “DR” (double

ring) hace referencia al montaje empleado, mientras que el símbolo ' distingue esta definición

determinista de su adaptación para campos aleatorios que será desarrollada en la sección

siguiente. Por tanto, la aplicación de (3.5.3) requiere el registro de componentes tangenciales a lo

largo de dos circunferencias concéntricas de radios 21 RR . Una aproximación discreta a este

esquema mediante dos arrays pentagonales se muestra en la Fig. 3.5.2.

Figura 3.5.2. Sistema de coordenadas y array típica para el método del doble anillo.

La velocidad de onda Love se determina evaluando experimentalmente el miembro izquierdo, y

despejando )(Lk mediante alguna técnica numérica, conocidos los radios.

Desafortunadamente, ),(0 RU tg se anula para una circunferencia de radio cero (porque

0)0(J1 ), lo que hace inviable el reemplazamiento de una de las dos circunferencias por una

estación central. La función ))(())(( 1121 RkJRkJ LL está representada en la Fig. 3.5.3 para

algunos valores particulares del cociente 12 RR . Como se aprecia, esta función tiende a 12 RR

cuando 0Lk (o cuando 0 ). Con el objetivo de preservar la continuidad de DR

tg' hasta

valores de Lk tan altos como sea posible, supondremos siempre que 12 RR (el argumento de la


- 90 -

función de Bessel del denominador crece más lentamente que el argumento de la del

denominador conforme Lk aumenta). Con este criterio, la primera divergencia aparece en

1RkL 3.84.

Fig. 3.5.3. Forma de la función )()( 1121 RkJRkJ LL frente a

1RkL (Fig. a) y frente a

2RkL (Fig. b) para varios

valores de 12 RR .

Por último, cabe mencionar que la ecuación (3.5.2) proporciona una alternativa al cálculo de

velocidades de ondas Rayleigh mediante v-SPAC, usando la componente radial del movimiento

en lugar de la vertical. Para ello, se utilizaría

),(

),(),,('

10

2012

RU

RURR

rad

radDR

rad =)R)ω(k(J

)R)ω(k(J

1R1

2R1 , (3.5.4)

que es el análogo de (3.5.3). A priori, la utilidad de esta técnica parece limitada (en comparación

con el método v-SPAC) ya que, para N finito, habrá que considerar los efectos de la

contaminación de los registros por ondas Love, que además son normalmente las ondas

predominantes en la componente horizontal. Aún así, esta técnica puede ser interesante en

aquellas bandas de frecuencia en las que la potencia de la componente vertical Rayleigh aparece

muy disminuida, como en el entorno de la frecuencia de resonancia en estructuras con alto

contraste de impedancias entre la cubierta sedimentaria y el basamento.

3.5.1. FORMULACIÓN PARA CAMPOS ALEATORIOS ESTACIONARIOS

En el caso de que el campo de ondas deba de ser descrito como un proceso aleatorio

estacionario, conviene reformular el método en función de densidades espectrales cruzadas entre

promedios acimutales (definiciones 3.3.8 y 3.2.33).


- 91 -

Esta adaptación se puede realizar de varias maneras. Probablemente, la más directa y la que

preserva mejor la forma de la ecuación original consiste en multiplicar numerador y

denominador en la definición de DR

tg' por )2();,( 1

*

0 RU tg (donde, de nuevo, es la

duración de las ventanas temporales a analizar) y tomar el valor esperado del numerador y del

numerador sobre un conjunto de realizaciones (distintas ventanas). En el límite tenemos:

),,(

),,(),,(

1100

1200

12

RRG

RRGRR

tgtg

tgtg

UU

UUDR

tg =))((

))((

11

21

RkJ

RkJ

L

L

, (3.5.5)

que es ya apta para campos estacionarios. Para evitar ambigüedades, quitaremos el símbolo ' de

DR

tg' cuando está definido como en (3.5.5).

3.5.2. EFECTO DE UN NÚMERO FINITO DE ESTACIONES. UNA APROXIMACIÓN

NUMÉRICA SIMPLIFICADA.

Extendiendo las ideas de Henstridge (1979), la variación relativa de la velocidad de fase de

ondas Love, Lc , puede relacionarse con las variaciones en DR

tg' (o DR

tg ) mediante propagación

de errores:

)'var()(

)()(

)(

)()'var(

')var(2

1

1

2

1

21102

11

20

2

2

DR

tg

DR

tg

DR

tgx

xJ

xJxJx

xJ

xJ

dk

dk

c

c

, (3.5.6)

donde iLi Rkx y var(·) significa “varianza”. Un valor pequeño de var(c) es interpretado como

buena sensibilidad de DR

tg' ante variaciones en c o, equivalentemente, como una baja

propagación de las incertidumbres en DR

tg' a la velocidad de fase. Interesa encontrar rangos para

los radios 1R y

2R y el mínimo número de sensores que nos permitan mantener las

incertidumbres relativas en c suficientemente pequeñas (5% - 10% a lo sumo). García-Jerez et

al. (2006b) tratamos de resolver este problema de forma aproximada mediante el procedimiento

que se expone a continuación. Un tratamiento analítico más completo puede encontrarse en la

Sección 3.5.3.

Primeramente, se estima var( DR

tg' ) o, al menos una cota de error para DR

tg' , en función de 1R ,


- 92 -

2R y k L de la siguiente manera:

Para ambos radios 1R y 2R calculamos la respuesta de la array tangencial a una onda Love, a la

que llamaremos ),,( kRNH L

tg , definida como el promedio del módulo de los registros

tangenciales (en el dominio de la frecuencia) obtenidos en una array circular de N sensores y

para una iluminación que consiste en una onda plana Love con número de onda k , amplitud

unidad y azimut φ :

),,( kRNH L

tg =

N

n

ikR

nne

N 1

)cos()cos(

1 , (3.5.7)

siendo nθ es el azimut de la estación n . ),,( kRNH L

tg equivale a )2/(ˆ0 tgU (por la Ec. 3.3.13)

si las estaciones están equiespaciadas. Los valores de esta función-respuesta para arrays

circulares regulares compuestas de entre 2 y 8 estaciones se muestran en la Fig. 3.5.4a.

La diferencia máxima entre el valor teórico de DR

tg para una array infinitamente densa (esto

es, )(/)( 1121 kRJkRJ ) y el resultado para una array finita se estima para cada configuración

( 1R , 2R , N ) y número de onda k . Esto se puede hacer, de modo aproximado, calculando por

separado los errores asociados a cada anillo y propagándolos a DR

tg' mediante una expansión de

Taylor del cociente. Una aproximación conservadora consiste en considerar la distribución de las

diferencias entre ),,( kRNH L

tg y )kR(J1 cuando φ varía entre 0 y 2 π y calcular el máximo

del valor absoluto de éstas. Imponiendo una incertidumbre mínima de 0.01 en cualquier caso, se

asegura un error apreciable a longitudes de ondas largas. Para prevenir denominadores próximos

a cero en DR

tg' (en cuyo caso no tiene sentido propagar errores linealmente al cociente), los

resultados se rechazan cuando la desviación correspondiente a la subarray pequeña ( 1R ) es

mayor que )( 11 kRJ (bandas verticales en Fig. 3.5.5).

Una vez que var(DR

tg' ) ha sido estimada, se sustituye en (3.5.6) y se identifica la región del

plano 1kR - 2kR en la que cc /)var( 2/1 corresponde al error relativo deseado. Los resultados para

arrays formadas por de 4 a 9 estaciones por anillo (y el mismo número de estaciones en ambos)

se muestran en la Fig. 3.5.5.


- 93 -

Figura 3.5.4. Respuestas de array para varias configuraciones simples. La columna (A) corresponde a

2),,( kRNH L

tg, mientras que la columna (B) corresponde a 2),,( kRNH R

tg.


- 94 -

Figura 3.5.5. Incertidumbre relativa estimada en la velocidad de fase. N indica el número de

estaciones en cada uno de los anillos. La línea negra corresponde con un doble anillo cuyos radios

guardan la relación 12 2RR .

A la vista de la Fig. 3.5.5, se obtienen ya resultados aceptables resultados para N 5, mejorando

generalmente conforme N crece, y más rápidamente al alcanzar valores impares de N. Para

N =5, y en el rango de números de onda bajos, se obtienen los mejores resultados cuando

2R/R 21 o ligeramente mayor (hasta 3), mostrándose incertidumbre por debajo del 10% hasta

números de onda de 2/7.3 Rk al menos. Las conclusiones obtenidas para ondas Love pueden

también usarse para el procedimiento alternativo de cálculo de curvas de dispersión Rayleigh

descrito por la ecuación (3.5.4), debido a la relación )φ,kR,N(H R

rad = )φ,kR,N(H L

tg . Nótese que

k en )φ,kR,N(H R

rad debe ser entendido ahora como número de onda Rayleigh.

Limitaciones de este cálculo

Los resultados del ejercicio anterior han de tomarse con prudencia. Una limitación de éste es que

sólo se ha considerado la actuación de una onda plana Love. Sin embargo, al elegirse el acimut

de ésta de manera que maximice la distorsión de DR

tg' , el resultado puede ser conservador en este


- 95 -

aspecto. Por otra parte, una cuestión relevante para la estimación de errores, y que no ha sido

tomada en cuenta, es la eficiencia del método para el “rechazo” del tipo de ondas con

polarización no deseada (ondas Rayleigh para la array tangencial). Sin embargo, encontrar una

regla general parece difícil ya que, para cada frecuencia hay dos cantidades involucradas: la

potencia relativa de tales ondas y su longitud de onda. Obviamente, una buena respuesta de la

array tangencial para el número de onda Love Lk no implica un rechazo efectivo de las ondas

Rayleigh para el Rk correspondiente. Un conocimiento aproximado previo de la estructura del

suelo o de la curva de dispersión Rayleigh puede usarse para obtener límites aproximados de

Lk y Rk , y comprobar la capacidad para el rechazo de las dos circunferencias que forman el

anillo doble. La eficiencia para el rechazo de una array circular puede estimarse calculando su

respuesta ante ondas que se propagan con la polarización no deseada para cualquier número de

onda k :

)φ,kR,N(H L

rad = )φ,kR,N(H R

tg =

N

1n

)θφcos(ikR

nne)θφsin(

N

1, (3.5.8)

que se ha representado en la Fig. 3.5.4b para algunas arrays circulares. Cuanto menor es esta

cantidad, mayor es la capacidad de rechazo.

3.5.3. EFECTO DE UN NÚMERO FINITO DE ESTACIONES. APROXIMACIÓN

ANALÍTICA.

Como se hizo para el v-SPAC, el problema de estimar los efectos de N finito puede plantearse

desde un punto de vista analítico, si bien, la formulación resulta relativamente complicada. Los

pasos fundamentales son esbozados a continuación para el caso del campo aleatorio estacionario.

Admitiendo que las estaciones están situadas en los puntos )1(1,1 jj R eR y )1(2,2 jj R eR

con j = 1, 2, …, N; = 2/N y por tanto, equiespaciadas, podremos expresar el coeficiente de

Fourier de orden cero afectado por N finito, ),(ˆ0 RU tg , como la suma de los coeficientes de

órdenes múltiplos de N obtenidos para una array circular continua (Ec. 3.3.14):

j

tg

jN

tg RURU ),(),(ˆ0 (3.5.9)

En el caso del producto ),(ˆ),(ˆ1

*

020 RURU tgtg tendremos, sustituyendo (3.2.18):


- 96 -

),(ˆ),(ˆ1

*

020 RURU tgtg

lj ,

{ [ )()()( 11 RjNRjN

jN

R

jN xJxJAi + )()()( 11

1

LjNLjN

jN

L

jN xJxJAi

]

[ )()( 11

*

RlNRlN

lN

R

lN xJxJAi + )()( 11

*1

LlNLlN

lN

L

lN xJxJAi

]} (3.5.10)

De nuevo, obtenemos el caso de campo aleatorio mediante un promedio en la colectividad de la

expresión anterior evaluada en ventanas temporales largas. Tras el uso de (3.2.44) obtenemos:

lj

tg

lN

tg

jN

UU

RURURRG tgtg

,

1

*

2

1200 2

);,();,(lim),,(ˆ

lj ,

{ )()()()( 11112121)(

2)( RkJRkJRkJRkJfi RlNRlNRjNRjN

R

Nlj

Njl

+ )()()()( 11112121)(

2)( RkJRkJRkJRkJfi LlNLlNLjNLjN

L

Nlj

Njl

}, (3.5.11)

que, después de algún algebra se puede simplificar a:

),,(ˆ1200RRG tgtg UU

)},(

~),(

~{ 12

1

,12

1

,

2 RkRkhfRkRkhfi LLN

L

NRRN

R

N

N =

)],(~

),(~

[ 12

1

,0012

1

,00

2 RkRkhfRkRkhf LLN

L

RRN

R

1

12

1

,12

1

,

2 )},(~

]Re[),(~

]{Re[2

RkRkhfRkRkhfi LLN

L

NRRN

R

N

N

(3.5.12)

donde se ha definido:

)()()()(),(~

111121)(21)(12, xJsxJxJsxJxxh lNlNNlNl

l

s

N

(3.5.13)

con s tomando valores +1 ó -1, y que cumple ),(~

),(~

21,12, xxhxxh s

N

s

N .

Finalmente, la versión de ),,( 12 RRDR

tg afectada por efectos de N finito, se obtiene como:

),,(ˆ12 RRDR

tg),,(ˆ

),,(ˆ

1100

1200

RRG

RRG

tgtg

tgtg

UU

UU . (3.5.14)

3.5.4. EFECTOS DEL RUIDO INCOHERENTE

Los registros de microtremor están siempre contaminados, en alguna medida, por ruido

incoherente debido a procesos electrónicos en el interior del sistema de grabación o a algunos

fenómenos externos que violan el postulado de iluminación por ondas planas (viento, fuentes

cercanas,…). Estos efectos han sido ya estudiados para algunos métodos tipo SPAC (Cho et al.,


- 97 -

2006a, 2006b, García-Jerez et al., 2008b, García-Jerez et al., 2010) y se evidencian generalmente

por un decrecimiento en las amplitudes de los coeficientes de correlación y cantidades

asimilables a estos. Basaremos el tratamiento de este fenómeno en las siguientes hipótesis: i) el

ruido no correlacionado puede ser modelado como un proceso aleatorio estacionario

estadísticamente independiente de la señal; ii) las formas de ondas correspondientes al ruido que

aparecen en distintas estaciones o en distintas componentes de una estación dada, no están

correlacionadas entre sí; iii) las densidad espectral de potencia del ruido es igual para todos los

sensores horizontales y será denominada )()( n

HP , donde el superíndice (n) indica que nos

referimos al ruido (noise). Como se verá inmediatamente, los efectos del ruido incoherente sólo

tienen sentido en el caso de N finito, por lo que ambos habrán de analizarse conjuntamente.

El numerador de (3.5.14), ),,(ˆ1200RRG tgtg UU

, es teóricamente insensible al ruido incoherente.

En efecto, el cálculo de ),(ˆ),(ˆ1

*

020 RURU tgtg , usando las definiciones (3.3.13), da lugar a una

suma sobre p y q de productos con la forma ),,(),,( 1

*

2 q

tg

p

tg RURU que van multiplicados

por pesos complejos (irrelevantes en esta discusión). Si existe ruido no correlacionado, cada

registro puede descomponerse en dos sumandos: uno que da cuenta de la señal, para el que

mantendremos la notación ),,( 2 p

tg RU o ),,( 2 q

tg RU , y otro que corresponde al ruido, al

que notaremos con el superíndice (n). La suma de ambos (i. e. el “registro ruidoso”) se etiquetará

con (s+n). Como, por hipótesis, el ruido y la señal no están

correlacionados, 0)2/(),,(),,( *)( qm

ntg

pl

tg RURU , incluso si l=m y p=q. El ruido

grabado por sensores distintos tampoco lo está, así que

0)2/(),,(),,( *)()( qm

ntg

pl

ntg RURU sólo si lm ó pq. De estas hipótesis, y teniendo

en cuenta que los radios implicados son diferentes, se desprende que ninguno de los productos

)2/(),,(),,( 1

)(*

2

)( q

nstg

p

nstg RURU que forman ),,(ˆ12

)(

00RRG ns

UU tgtg

quedan afectados

por el ruido.

El denominador, ),,(ˆ11

)(

00RRG ns

UU tgtg

sí estaría afectado por el ruido no correlacionado en los

sensores (siempre en el caso de N finito). Su versión “ruidosa” puede escribirse en función de

)()( n

HP como (Apéndice III.G):

),,(ˆ11

)(

00RRG ns

UU tgtg ),,(ˆ1100RRG tgtg UU

)(4 )(

2

n

HPN

, (3.5.15)


- 98 -

con lo que el cociente queda:

),,(ˆ12

)( RRnsDR

tg

),,(ˆ

),,(ˆ

11

)(

00

12

)(

00

RRG

RRG

ns

UU

ns

UU

tgtg

tgtg

)(4

),,(ˆ

),,(ˆ

)(2

1100

1200

n

HUU

UU

PN

RRG

RRG

tgtg

tgtg

=

=

)(4

)()(/),,(ˆ

)()(/),,(ˆ

2

001100

001200

NSRHN

ffRRG

ffRRG

LR

UU

LR

UU

tgtg

tgtg

. (3.5.16)

En esta expresión, )()()()( 00

)( LRn

H ffPNSRH

es la relación ruido-señal en el

registro de cualquier componente horizontal. Teniendo en cuenta (3.5.12), la expresión del

numerador, )()(/),,(ˆ001200 LR

UUffRRG tgtg , se puede escribir como una función de 1RkL ,

2RkL , 1RkR , 2RkR , de la potencia relativa de ondas Rayleigh )(

y de factores adimensionales

)(/)( 0 RR

m ff y )(/)( 0 LL

m ff , con m múltiplo de N, que dan cuenta de la geometría de la

distribución acimutal de las fuentes Rayleigh y Love, respectivamente. La dependencia en )(

se puede sustituir por una dependencia en la razón de energías Rayleigh-Love

)()()( 00 LR ffRLR

ya que 1)()()( RLRRLR . El término

)()(/),,(ˆ001100 LR

UUffRRG tgtg del denominador se reescribe en función de las mismas

variables, excepto de 2RkL y 2RkR . En conclusión, la presencia de ruido no correlacionado sólo

agrega un sumando proporcional a )(NSRH

en el denominador. Como

),,(ˆ),,(ˆ110011

)(

00 RRGRRG tgtgtgtg UU

ns

UU cuando N, los efectos del ruido incoherente han de

disminuir al aumentar el número de estaciones,

3.5.5. UN EJEMPLO NUMÉRICO SENCILLO.

Con el objetivo de comprobar las ecuaciones deducidas para los de efectos de N finito y ruido no

correlacionado se realiza a continuación un ejemplo numérico basado en una estructura simple

(Tabla 3.5.1) consistente en una capa homogénea de espesor H=100m sobre un semiespacio más

rígido, iluminada por ondas superficiales planas. Se asume propagación de los modos

fundamentales de ondas Rayleigh y Love, cuyas curvas de dispersión pueden encontrarse en la

Figura 3.6.11. Se tomaron los radios R1=125m, R2=250m, los valores RLR=0.2 y NSRH=0.3 y

una iluminación anisótropa con una dirección de propagación dominante. En concreto, se usaron


- 99 -

funciones ),( Rf y ),( Lf con una dependencia “triangular” en , de base (Fig. 3.6.12)

y constantes respecto a (ruido blanco). Se modeló el campo para distintos valores del acimut

central del haz y de , tomando para ello un conjunto de ondas planas con amplitudes

dependientes del azimut, proporcionales a 2/1),( Rf y 2/1),( Lf y fases aleatorias. Las

direcciones de las ondas incidentes se eligieron a intervalos de 1º o de 1/30 del ancho del haz (la

cantidad menor). Una vez que los registros fueron sintetizados en el dominio de la frecuencia en

las posiciones de las estaciones virtuales, se les introdujo el ruido incoherente sumando términos

con amplitud )(n

HP (calculable a partir de NSRH, ),( Rf y ),( Lf ) y fases aleatorias,

distintas para cada estación virtual y componente. Los registros tangenciales fueron promediados

siguiendo (3.3.13) y los productos ),(),( 1

*

020 RURU tgtg y ),(),( 1

*

010 RURU tgtg calculados

seguidamente. A continuación, se promediaron ambos sobre un total de 500 realizaciones en las

que las fases asociadas a la iluminación Rayleigh, Love y al ruido incoherente variaron

aleatoriamente. El cociente entre estos promedios, que son proporcionales a ),,(ˆ12

)(

00RRG ns

UU tgtg

y

),,(ˆ1200RRG tgtg UU

respectivamente, corresponde a ),,(ˆ12

)( RRnsDR

tg

y se representa en la Fig.

3.5.6, en distintas subfiguras (las superiores) en función del ancho del haz (2º, 30º y 60º) y

utilizando distintos símbolos según el azimut central usado. Como referencia en la medida del

acimut, se asume que hay un sensor (por pentágono) en el azimut 0.

Tabla 3.5.1. Modelo de suelo unidimensional usado para simulación del campo de ondas.

N. Capa VS (m / s) VP (m / s) H (m) (g/cm3)

1 500 935 100 2.1

2 1000 1870 2.1

Las líneas delgadas en las Figs. 3.5.6 muestran los correspondientes resultados analíticos

obtenidos de las expresiones (3.5.12) y (3.5.16) mientras que la línea gris muestra el resultado

para campo isótropo. Para evaluar los primeros, se obtuvieron los valores de )(L

mf y )(R

mf

analíticamente con ayuda de la relación:

2,4/

4/sen

22

21

2

m

mde im U , (3.5.17)


- 100 -

donde U es la función unitaria de Heaviside. El factor 221 U del integrando

representa un triángulo isósceles de altura 1 y base centrado en el acimut 0 . Para obtener los

)(L

mf o )(R

mf correspondientes a una iluminación triangular de amplitud y acimut central

generales hay que multiplicar el segundo miembro de (3.5.17) por los valores que toma

),( Rf o ),( Lf en tal acimut central del triángulo (máximo) y por una fase de – m veces

el azimut central. Las series que intervienen en las ecuaciones (3.5.12-13) se truncaron en = 9 y

l=9, comprobando que los términos de órdenes superiores tienen poca influencia dentro del

rango de frecuencias mostrado. Las líneas delgadas en las figuras 3.5.6 muestran estos resultados

analíticos A la vista de las Figs. 3.5.6, se aprecia una buena correspondencia entre los valores

sintéticos y analíticos de ),,(ˆ12

)( RRnsDR

tg

en todos los casos, apoyándose la validez de los

desarrollos analíticos y mostrando que el número de fuentes (muestreo acimutal) y el número de

ventanas promediadas en el test numérico son suficientes.

Figura 3.5.6. Arriba: Resultados del ejercicio numérico descrito en el texto para una array pentagonal doble

(R1=125m, R2=250m), campo anisótropo con dirección predominante y anchura del haz y efectos de ruido

incoherente. Se ilumina con ondas planas según los modos fundamentales del modelo de la Tabla 3.5.1. y RLR=0.2.

La potencia de ruido incoherente corresponde a NSRH = 0.3. Se muestran promedios de 500 realizaciones en las

que, tanto la iluminación como el ruido no correlacionado, tienen fases aleatorias. Abajo: Resultados analíticos

correspondientes, obtenidos de las expresiones (3.5.14) y (3.5.16).


- 101 -

3.5.6. COMPARACIÓN CON UN MÉTODO SIMILAR.

Un método alternativo y con similares potencialidades para el cálculo de velocidades de fase de

onda Love ha sido desarrollado, de forma prácticamente simultánea al presentado aquí, por Cho

et al. (2006b) y Tada et al. (2006) en el contexto de campos aleatorios estacionarios. El método

es denominado por los autores “TR” (Two-radius). La disposición de sensores en dos

circunferencias concéntricas es la misma que para el DR y la ecuación fundamental es la

siguiente:

),,( 12 RRTada

tg),,(

),,(

1100

2200

RRG

RRG

tgtg

tgtg

UU

UU=

))((

))((

1

2

1

2

2

1

RkJ

RkJ

L

L

, (3.5.18)

(Ec. 72 en Cho et al. 2006b. Ver ese artículo para una demostración). Nótese la diferencia con

(3.5.5) en el numerador del miembro izquierdo y en los cuadrados del miembro derecho.

A pesar de la similitud con el método DR desarrollado en esta tesis, existen varias diferencias

significativas entre ambos:

El miembro derecho de (3.5.5) es ))(())(( 1121 RkJRkJ LL en vez de

))(())(( 1

2

12

2

1 RkJRkJ LL , lo que permite mantener la biyectividad entre DR

tg y sus

argumentos hasta valores mayores de 2RkL (ver Fig. 3.5.7).

Fig. 3.5.7. Forma de las funciones )()( 1121 RkJRkJ LL (línea continua) y )()( 1

2

12

2

1 RkJRkJ LL (línea discontinua)

frente a 1RkL (Fig. a) y

2RkL (Fig. b) para el caso particular 212 RR . La primera función (método DR)

permanece biyectiva hasta 2RkL

= 5.8 (línea continua vertical en subfigura b), mientras que la segunda (propuesta

por Tada et al. (2006) y Cho et al (2006b), lo es sólo hasta 3.8 (línea discontinua vertical).


- 102 -

Estudiando el caso de campo isótropo, se encuentra que el método DR está afectado por

efectos de N finito en menor medida que el método de TR en el rango de longitudes de onda con

más interés (las suficientemente largas como para que las funciones no se hagan fuertemente

oscilantes). En las subfiguras de la izquierda de la Fig. 3.5.8 se muestran, para una array doble

pentagonal con R2=2R1, las desviaciones en DR

tg debidas a la existencia de ondas Rayleigh en el

campo no rechazadas completamente por el método. En las subfiguras de la derecha se hace un

cálculo semejante para las variaciones en Tada

tg . Las curvas correspondientes a desviaciones de

0.01, 0.05 y 0.1 están marcadas con distintos tipos de línea. En la figura se aprecia que los

efectos adversos de las ondas Rayleigh son más notables, obviamente, cuando su proporción de

energía crece, pero también si éstas muestran velocidades bajas respecto a las Love.

Para facilitar la comparación entre los métodos, supongamos provisionalmente que el cociente

de las velocidades Rayleigh y Love es próximo a uno. En caso de que el contenido de onda

Rayleigh sea pequeño (9% ó

= 0.09, RLR=0.1) se tienen desviaciones en DR

tg por debajo de

0.05 hasta kLR2 = kRR2 = 6.13, mientras que si el contenido de energía Rayleigh es relativamente

elevado (60% ó

= 0.06, RLR=1.5) ese alto grado de estabilidad se conserva sólo hasta kLR2 =

kRR2 = 4.38. Para el método TR de Tada et al. (2006), estos umbrales son sensiblemente más

bajos: 5.5 y 3.09 respectivamente.

La parte relevante del contorno 0.01, calculado para el método DR, se ha superpuesto, coloreado

en blanco, sobre las figuras correspondientes al método TR. La comparación entre las dos líneas

continuas (blanca y negra) confirma que la región de estabilidad del método DR (frente a efectos

de las ondas Rayleigh con N finito y en campo isótropo) es mayor, para las diferentes

condiciones de RLR y relaciones de velocidad cL/ cR mostradas.

El caso de iluminación anisótropa es complicado de estudiar de modo general dada la diversa

casuística posible, optándose por realizar una comparación par el modelo particular utilizado en

la sección anterior, que se muestra en la Figura 3.5.9. Para un ancho de haz de 2º, DR

tg

permaneció relativamente estable (variaciones menores de 0.1) en el rango de frecuencias de 0 a

1.98 Hz (hasta 2RkL = 5.18) ante cambios en la dirección de incidencia, mientras que Tada

tg lo

fue sólo hasta 1.48Hz ( 2RkL = 3.41). También se advierte cierta inestabilidad en los rasgos de

Tada

tg (máximos, mínimos,…) frente a la relativa estabilidad de DR

tg . En ambos casos, la


- 103 -

variabilidad disminuyó al crecer la anchura acimutal de la iluminación hasta 30º, si bien, sólo

DR

tg mejoró significativamente el intervalo con desviaciones menores que 0.1, que ahora se

extiende hasta 2.39Hz ( 2RkL =6.63). El método de Tada et al. supera este umbral a 1.56Hz, aún

en las proximidades del mínimo relativo. Finalmente, para una anchura de 60º ambos métodos

presentan ya gran estabilidad en todo el rango mostrado.

Figura 3.5.8. Efectos de N- finito para el método DR (figuras de la izquierda) y para el método TR (Tada et al. 2006)

(derecha). Los cálculos son para dos pentágonos concéntricos de radios cumpliendo R2=2R1. Con la escala de

colores se muestra, a la izquierda, )0(ˆ)(ˆ RLRRLR DR

tg

DR

tg como función de 2Rkx LL ,

2Rkx RR . Cada

subfigura considera un valor de la relación de potencias Rayleigh-Love (RLR) indicado en el título. Las líneas

continuas, discontinuas y con punto-ralla alternantes muestran los niveles 0.01, 0.05 y 0.1 respectivamente. Las

subfiguras de la derecha corresponden a )0(ˆ)(ˆ RLRRLR Tada

tg

Tada

tg , donde

),,(ˆ),,(ˆˆ11002200 RRGRRG tgtgtgtg UUUU

Tada

tg . Para facilitar la comparación se superponen, en blanco, las líneas

continuas del método DR.

El ruido incoherente también tiene efectos distintos en ambos métodos. Aunque el

denominador sí esté afectado por el ruido, el hecho de que el numerador del método DR no lo

esté (Ec. 3.5.16) implica que los ceros de DR

tg permanecerán estables. El primero de estos cortes

por cero (el de longitud de onda más larga) ocurre alrededor de kLR2= 3.83, para N

suficientemente alto. En el método TR, son los cortes por uno de Tada

tg los que permanecen

inalterados. Si N es suficientemente alto, el primer corte por 1 ocurre cerca de la primera raíz de

1J (kLR2) 1J (kLR1) = 0 (y a un valor kLR2 forzosamente menor que 3.83). La formulación

correspondiente a este último método en presencia de ruido incoherente es fácilmente


- 104 -

reproducible a partir de las ecuación (3.5.15) y, para el caso particular de campo isótropo, puede

encontrarse en el artículo de Tada et al. (2006).

Figura 3.5.9. Comparación entre DR

tg (arriba) y Tada

tg (abajo) para una array doble pentagonal de radios 125m y

250m situada sobre la estructura de la tabla 3.5.1 y asumiendo propagación de los modos fundamentales de ondas

superficiales. La amplitud del intervalo de azimuts del que procede la iluminación crece hacia la derecha y está

indicado sobre cada subfigura. Cada línea negra corresponde a un acimut central. Adviértase que el eje vertical en

las figuras superiores representa un intervalo de valores doble al de las figuras inferiores, por lo que las diferencias

entre las distintas funciones se ven amplificadas en un factor 2 en las inferiores.

Para ambos métodos, el disponer de estas “frecuencias de control” libres de efectos de ruido

tiene interés práctico para el diagnóstico de los problemas que surgen en las aplicaciones reales.

La comparación entre los dos métodos para el mismo caso particular usado en la figura anterior,

tomando NSRH=0.3 para todas las frecuencias e iluminación isótropa, se muestra en la Figura

3.5.10. En ella se aprecia cómo el ruido se vuelve dominante a bajas frecuencias haciendo tender

DR

tg y Tada

tg a 0 y a 1 respectivamente. El rango de frecuencias en que el deterioro en el

coeficiente es relativamente bajo (menor de 0.1) está marcado entre líneas verticales. Se aprecia

claramente que Tada

tg se mantiene poco alterado en un intervalo de frecuencias más bajas que

DR

tg , lo que se puede considerar una característica positiva.


- 105 -

Figura 3.5.10. Efecto conjunto del ruido incoherente y de N finito (N = 5) sobre los coeficientes

DR

tg (líneas negras) y Tada

tg (líneas grises) para el mismo caso de la Fig. 3.5.9, suponiendo

iluminación isótropa y un NSRH de 0.3. Las líneas continuas representan los coeficientes

afectados por ruido, mientras que las discontinuas están libres de él. Los segmentos verticales

limitan intervalos con variaciones debidas al ruido incoherente menores que 0.01.

3.6. MÉTODO DE LA ARRAY CIRCULAR ÚNICA (Single Circular Array o SCA).

La resolución del sistema de tres ecuaciones no lineales que definen el método 3c-SPAC para la

estimación de cL() puede plantear algunas dificultades prácticas. Por otra parte, el método del

Doble Anillo es relativamente costoso en cuanto al número de estaciones necesarias (unas 10

estaciones para tener un rango de longitudes de onda validas notable). Se plantea a continuación

una técnica alternativa, a la que denominaremos SCA (Single Circular Array), que recoge varios

de los méritos de ambos métodos: un despliegue experimental aún más sencillo que para el

método 3c-SPAC (ver Fig. 3.6.1) y un tratamiento numérico que, en el paso crítico de la

determinación de velocidades de ondas Love a partir de cantidades observables, es también más

sencillo que para el método del Doble Anillo. De paso, el método también permite el cálculo de

velocidades de onda Rayleigh, aunque las capacidades de este cálculo en la práctica necesitan

más comprobaciones y difícilmente serían mayores que las del v-SPAC o del CCA. Esta

metodología la hemos desarrollado en García-Jerez et al. (2008b) y (2010).

3.6.1. DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO. OBTENCIÓN DE LA VELOCIDAD DE ONDA LOVE

El método SCA consiste en una resolución conjunta de las ecuaciones (3.2.16-18) para un único


- 106 -

Figura 3.6.1. Disposición general de estaciones usada en el método SCA

equiespaciadas sobre una circunferencia.

radio R . Como consecuencia, la necesidad de una estación central es eliminada. Si se consideran

la ecuaciones (3.2.16) y (3.2.17) para los casos m = -1, 0, 1; la ecuación (3.2.18) para m = -1, +1

junto a la ecuación (3.2.21), que proporciona tres condiciones adicionales para los cocientes

mV

R

m

R AA ,/ , se puede forma un sistema de once ecuaciones involucrando las incógnitas Lx , Rx ,

, 1,V

RA , 0,V

RA , 1,V

RA , 1

RA , 0

RA , 1

RA , 1

LA y 1

LA . Este sistema incluye ocho coeficientes accesibles

experimentalmente: 1W , 0W , 1W , radU 1 , radU0 , radU1 , tgU 1 y tgU1 a partir de los cuales, las

magnitudes Lx , Rx y , dependientes de la estructura, pueden despejarse.

En una primera etapa, simplificamos el sistema eliminando las sumas de amplitudes pesadas de

las ondas planas que componen el campo de ondas. Esto conduce (Apéndice III.H) a:

RR

rad

xRWxf

RU )(

),()(

),(

00

0

, (3.6.1)

RLR

tg

L

rad

xRWxfxf

RiUxfRU )(

),(1)()(

),()(),(

111

111

, (3.6.2)


- 107 -

RLR

tg

L

rad

xRWxfxf

RiUxfRU )(

),(1)()(

),()(),(

111

111

, (3.6.3)

donde las funciones )(xfm se han definido, para cualquier m , como:

)(xfm = )(/)()(2

11 xJxJxJx

mmm = mxJ

xJx

m

m

)(

)(1 . (3.6.4)

Las funciones )(0 xf y )(1 xf se muestran en la figura 3.6.2a para los casos m = 0 y m = 1. La

función )(1 Lxf también se reescribirá a veces como )]()([)]()([ 2020 LLLL xJxJxJxJ .

La eliminación de Rx y entre las ecuaciones (13) y (14) conduce a la ecuación en Lx :

),()(1 RBxf L , (3.6.5)

donde B representa la cantidad:

),(),(),(),(

),(),(),(),(

1111

1111

RWRURWRU

RWRURWRUiB

radrad

tgtg

. (3.6.6)

B puede evaluarse para cada directamente de las transformadas de Fourier de los registros.

Por tanto, el resultado (3.6.5-3.6.6) es formalmente tan simple como el correspondiente al

método v-SPAC (Aki, 1957) en el sentido de que se requiere un número finito de operaciones

con los sismogramas (aparte del promedio acimutal pesado, idealmente continuo) para eliminar

los efectos de las ondas Rayleigh. En el caso idealizado de una array con una densidad infinita de

estaciones sobre la circunferencia, las fases de los coeficientes de series de Fourier se cancelan al

evaluar (3.6.6), resultando un valor real de B . La función )(1 xf vale 1 para x = 0 y es continua y

monótonamente decreciente hasta x = 3.83, donde tiene una divergencia, tal como se muestra en

la Fig. 3.6.2a. Esta función es biyectiva si se restringe al intervalo 14.50 , y presenta un cero

en x = 1.84. Una expresión explícita para 2

Lx puede obtenerse para longitudes de onda Love

largas mediante una expansión en serie de Taylor con la estructura n

n

nL Blx )1(1

2

, donde nl

son números reales:


- 108 -

...)1(540

1)1(

18

1)1(

3

2)1(4 4322 BBBBxL ( B 1) (3.6.7)

Esta serie no es válida para B > 1 debido a la discontinuidad de )(1 xf en x = 3.83. La Fig.

3.6.3 es un ejemplo del cálculo directo de xL a partir de B en un intervalo amplio usando varias

series potencias (series de Taylor y de Laurent).

3.6.2. OBTENCIÓN DE LA VELOCIDAD DE ONDA RAYLEIGH

De modo análogo, un método para la determinar la velocidad de onda Rayleigh puede deducirse

a partir de las Ecs. (3.6.1) a (3.6.3) y de la definición (3.6.6):

),(1)(),(

)(),(

1

0

RCxfRB

xfBxg

R

R

R

(3.6.8)

donde se ha definido una nueva cantidad relevante, C , como:

),(),(),(),(

),(),(),(),(

),(

),(

1111

1111

0

0

RURURURU

RURWRURW

RW

RiUC

tgradradtg

radradrad

. (3.6.9)

La Ec. (3.6.8) muestra que las características del campo m

RA (con m = 0, 1 ) y m

LA (con m =

1) y la propiedad del medio se cancelan en el cálculo de C , de modo que esta cantidad

depende solamente de Rx y de

Lx (o de B ), mediante la función ),( Bxg R, que ha sido graficada

en la Fig. 3.6.2b. La función ),( Bxg R es continua en la variable

Rx hasta 2.40 (primer infinito en

0f ) si B 1, o hasta la primera raíz de BxJ /1)(1 en otro caso. La cantidad Rx puede

despejarse también mediante una expansión en serie de la Ec. (3.6.8). Por ejemplo, una con la

forma n

n

nR CBrx

1

2 )( , con nr dependiente de B , que vendría dada, para C > 0 y B < 1, por:

...96

)93625()31(3)1(

2

)1()31()1(2 3

2222

C

BBBBC

BBCBxR

(3.6.10)


- 109 -

Figura 3.6.2. (a) Gráficas de las funciones )x(f0 y )x(f1

. (b) Gráfico de la función )B,x(g R. (c) Representación

de de las funciones dx/)x(df/1 1 y )dx/)x(dfx/()x(f 11 .

Figura 3.6.3. Resultados obtenidos para xL a partir de B usando diversos desarrollos en serie, alrededor de xL = 0

(azul), xL = 3.83 (verde) y xL = 5.52 (rojo). Los círculos grises representan la relación exacta obtenida evaluando

f1(xL).


- 110 -

3.6.3. PRIMEROS TESTS NUMÉRICOS EN UN MEDIO ESTRATIFICADO

En García-Jerez et al. (2008b), el método SCA ha sido estudiado y comparado con el método 3c-

SPAC en un campo de ondas sintético realista generado por una distribución aleatoria de fuentes

puntuales aplicadas sobre la superficie libre. En estos experimentos numéricos usamos dos arrays

diferentes compuestas de 9 sensores virtuales, cuyas formas se muestran en la Fig. 3.6.4. Si los

efectos de las ondas internas son despreciados, los registros grabados en cualquier estación de la

array debidos a una fuente puntual armónica pueden calcularse a partir de los parámetros

elastodinámicos del suelo siguiendo a Harkrider (1963, 1964). Para la simulación se usó la

misma estructura simple empleada en los tests del DR (Tabla 3.5.1). El radio de la array, R, fue

de 100m (igual que el espesor de la capa). En la práctica, el rango de profundidades sondeado

estará limitado, además de por el radio, por el espectro de la fuente y el efecto de filtro pasa-alta

de las capas blandas superficiales (ver p. e., Scherbaum et al. 2003). Se distribuyeron

aleatoriamente un conjunto de 1000 fuentes impulsivas a distancias del centro de la array entre

3R y 10R (Fig. 3.6.4a). Los tiempos origen fueron seleccionados aleatoriamente para cada fuente

puntual, en un rango tal que las señales que se propagan con las velocidades de grupo máxima y

mínima alcancen la array en el intervalo temporal entre t = 0s y t = 550s. La frecuencia máxima

considerada en el paso anterior fue 4.1 Hz. Las fuentes puntuales fueron generadas con

direcciones y amplitudes arbitrarias con probabilidad uniforme, si bien, las amplitudes se

acotaron dentro de un rango predeterminado. Los sintéticos se calcularon usando programas de

elaboración propia basados en el método de Harkrider (1963) y teniendo en cuenta sólo los

modos fundamentales de las ondas superficiales. Como ejemplo, en la Fig. 3.6.4b se muestran los

registros sintetizados en el centro de la array. Las señales fueron seguidamente convolucionadas

en el dominio de la frecuencia con 10 ventanas de Hanning, de 100s de ancho, centradas en los

tiempos múltiplos de 50s hasta t = 500s (hubo un solapamiento del 50 % entre ventanas

contiguas). A continuación, los sismogramas sintéticos fueron analizados, para cada ventana, en

base a las ecuaciones (3.6.5) y (3.6.8). Las cantidades B y C en las en las ecuaciones anteriores

fueron remplazadas por las partes reales de los valores obtenidos con (3.6.6) y (3.6.9).

Los coeficientes B y C se muestran en las Figs. 3.6.4c y d respectivamente. Las velocidades de

fase de las ondas Rayleigh y Love fueron acotadas, para cada frecuencia, aplicando un método de

búsqueda en cuadrícula (grid search) a las ecuaciones (3.6.5) y (3.6.8). En las Figs. 3.6.4d y

3.6.4f se muestra, en escala de grises y para cada celda, el número de ventanas en que se

encontró una solución en el intervalo. Como se muestra, los efectos de longitud de ventana finita

y de las fuentes cercanas son amplificados por la poca pendiente de las curvas )x(f L1 y )B,x(g R


- 111 -

a bajas frecuencias (ver Fig. 3.6.2a y c) generándose mayores desviaciones. También se advierten

los efectos del aliasing direccional y/o de la no-unicidad de las soluciones, por encima de 2.9 Hz

para ondas Love y de 2.2 Hz para ondas Rayleigh. En un caso práctico, debería reducirse el

tamaño de la array o incrementarse el número de sensores para mejorar las curvas por encima de

estas frecuencias. Generalmente, la primera opción es más adecuada, ya que las formas de )(1 Lxf

y )B,x(g R son más simples para

Lx y Rx pequeños. La aplicación del método 3c-SPAC para los

datos sintéticos generados en el montaje de la Fig. 3.6.4a se muestran en la Fig. 3.6.5. En este

caso, las ecuaciones (3.4.2) y (3.4.3) se combinan, eliminando )( y despejando )(tg, en

una ecuación de la forma ),,( LRradtg xxh que se resolverá junto a (3.4.1). Para ello, se buscan

primero, y para cada frecuencia, todas las posibles soluciones para Rx dentro del intervalo de

lentitudes considerado resolviendo (3.4.1). Seguidamente, estas soluciones se introducen en la

ecuación anterior para calcular el conjunto de raíces posibles para Lx . Las Figs. 3.6.4f y 3.6.5e

muestran que la exactitud en las determinaciones de la velocidad de onda Rayleigh mediante el

método de Aki, que saca provecho de la ausencia de las ondas Love en la componente vertical, es

mejor que la del método propuesto, principalmente en la banda de frecuencias bajas. Por otra

parte, el método SCA da resultados muy precisos para la velocidad de onda Love, con algunas

ventajas a altas frecuencias debidas a la ausencia de soluciones cercanas de la Ec. (3.6.5) y al

mejor muestreo acimutal logrado al trasladar la estación central a la circunferencia (Figs. 3.6.4e y

3.6.5d).

Se realizó un segundo experimento numérico relajando la condición de fuentes lejanas, de modo

que sólo el área encerrada en la array estuvo libre de fuentes (ver Figs. 3.6.4a y 3.6.6). Estos

escenarios no fueron considerados en la formulación del método, esperándose resultados

desviados. La comparación de la curva de dispersión estimada con la verdadera confirma que su

calidad empeora, principalmente en las frecuencias bajas. Por tanto, la recomendación de evitar

fuentes cercanas en las medidas de microtremor mediante array (p. e., SESAME 2005) sigue

siendo válida para el método SCA. En estas simulaciones numéricas, los métodos SCA y 3c-

SPAC se han aplicado independientemente sobre ventanas temporales de 100s de duración con

objeto de obtener valores medios y desviaciones típicas de los coeficientes B , C , tg ,

rad y V

(se promedian los resultados de estos coeficientes para cada ventana). En secciones anteriores (p.

e. sección 3.3) se discutió que esta manera de proceder no es óptima, siendo preferibles otras

implementaciones en las que se realiza un solo cociente entre cantidades previamente


- 112 -

Figura 3.6.4. (a) Distribución de fuentes aleatorias (puntos) generadoras del campo de microtremor simulado con

distancias de hasta 1km desde el centro de las arrays de nueve sensores. Las posiciones de las estaciones se

muestran con triángulos. La array de nueve estaciones empleada para el método 3c-SPAC (Fig. 3.6.5) se muestra en

la esquina superior izquierda. Las fuentes localizadas en el interior de la arrays no fueron consideradas en la

simulación. La distancia 3R se indica con una circunferencia en línea continua. (b) Registro sintético de

microtremor en el centro de la array. (c) Coeficientes B (círculos) calculados a partir de los registros sintéticos. La

línea continua muestra f1(xL) calculado a partir de la velocidad teórica de onda Love. (d) Coeficiente C calculado a

partir de los registros sintéticos. (e) Soluciones para la curva de dispersión Love de fase calculadas a partir de B().

La escala de grises muestra la estabilidad de las soluciones para el conjunto de ventanas temporales. La curva de

dispersión verdadera se muestra con una línea discontinua. (f) Velocidad de fase de onda Rayleigh (zona en escala

de grises) calculada a partir de B() y C(). La curva teórica se muestra en línea discontinua. Aunque la resolución

en frecuencia es 0.01 Hz, B() y C() han sido diezmados en las figuras (c) y (d) para mayor claridad.


- 113 -

Figura 3.6.5. (a) Coeficiente de correlación radial rad obtenido a partir de registros sintéticos de microtremor. (b)

Coeficiente de correlación tangencial tg. (c) Coeficiente de correlación de las componentes verticales V. El cálculo

a partir de la curva de dispersión teórica se muestra con una línea continua. (d) Curva de dispersión de onda Love

calculada a partir de V(), rad() y tg() usando 3c-SPAC (escala de grises). La curva teórica se muestra con una

línea discontinua. (c) Curva de dispersión de velocidad de fase Rayleigh calculada a partir de V() y curva teórica.

Para mayor claridad, los coeficientes de correlación se muestran para algunas frecuencias solamente.

estabilizadas mediante promedio en las ventanas. Estos algoritmos robustos, ya descritos para los

métodos 3c-SPAC (Ecs. 3.3.2, 3.4.16-17) y DR (3.5.5), pueden plantearse también para el

método SCA. Ése será el objetivo del siguiente epígrafe.

3.6.4. IMPLEMENTACIÓN ROBUSTA DEL MÉTODO SCA PARA ONDAS LOVE

Como se ha visto, el método SCA no es más que un modo de “despejar” la velocidad de fase de

las ondas superficiales bajo la incidencia de un conjunto arbitrario de ondas Rayleigh y Love

grabadas en una array circular sin estación central. Sin embargo, la aplicación óptima a registros

reales de ruido ambiental requiere una implementación cuidadosa del método, definiendo

cantidades apropiadas para ser promediadas en el tiempo y minimizando el número de cocientes

espectrales a evaluar para mejorar la estabilidad de la solución. El objetivo es encontrar

(siguiendo a García-Jerez et al. 2010) como el método puede aplicarse al microtremor de forma

robusta cuando éste está definido como un campo aleatorio. Si el campo de ondas fuera


- 114 -

Figura 3.6.6. Comparación entre curvas de dispersión Love (izquierda) y Rayleigh (derecha) obtenidas mediante el

método SCA (arriba) y el método 3c-SPAC (abajo) con y sin fuentes cercanas. La distribución de fuentes se muestra

en la Fig. 3.6.4a. Los resultado obtenidos con fuentes situadas a distancias del centro mayores de R (i. e. pueden

estar situadas inmediatamente fuera de la array) se muestran con triángulos. Los obtenidos a distancias mayores de

3R se muestran con puntos. Las líneas continuas muestran las curvas calculadas directamente a partir del modelo de

tierra. Los coeficientes de correlación se muestran sólo para algunas frecuencias.

estacionario, el procedimiento debe permitir una conexión sencilla con las cantidades que se

definen generalmente para estos procesos (i. e. las densidades espectrales frecuencia-dirección de

la señal y las potencias de ruido no correlacionado) con un esfuerzo analítico contenido y debería

probar un comportamiento robusto en simulaciones y en tests con datos reales. El intento más

sencillo de definición para un proceso aleatorio sería calcular el promedio B sobre las distintas

realizaciones. Sin embargo, se ha comprobado que la robustez de esta estimación es peor que la

de otras implementaciones posibles. La existencia de un cociente dentro del valor esperado

dificulta su estudio analítico y es en parte la causa de esa menor estabilidad.

Para obtener tal implementación robusta del método, reescribamos primero la relación

fundamental (Ecs. 3.6.5-6) del siguiente modo:

2

1111

*

11111111 ]Im[

WUWU

WUWUWUWU

radrad

radradtgtg

)()(

)()(

20

20

LL

LL

xJxJ

xJxJ

, (3.6.11)


- 115 -

donde el miembro derecho de (3.6.5) se ha sustituido por una fracción equivalente cuyo

denominador es el módulo cuadrado del antiguo. Recuérdese que el miembro derecho es

equivalente a )(1 Lxf . Por conveniencia, abreviaremos el numerador y el denominador del

miembro izquierdo de (3.6.11), tras una normalización por 224 , como

]Im[4

1 *

1111111122 WUWUWUWUn radradtgtg

BII , (3.6.12)

2

1111224

1 WUWUd radrad

BII . (3.6.13)

El denominador antiguo, 1111 WUWU radrad

, preservaba la información de fase de los registros

(probablemente aleatoria y uniformemente distribuida), no resultando apropiado para

promediarlo en un conjunto de ventanas. Sin embargo, como IIBd es, por definición, una

cantidad positiva, se puede evaluar para un conjunto de ventanas temporales y promediarse a

continuación sin poner en riesgo la estabilidad en el cálculo posterior del cociente en (3.6.11).

Por tanto, se propone definir un estimador apropiado para el término izquierdo de (3.6.11) en el

contexto de campos aleatorios como:

II

II

B

B

IId

nB . (3.6.14)

Antes de tomar el cociente en (3.6.14), el numerador y el denominador de IIB dependen todavía

de todas las características del campo. De hecho, sus expresiones, para una ventana temporal

dada son (Apéndice III.I):

)()()( 2

2

2

0

2

1

21111

22

2

LLRRLRLB xJxJxJAAAAnII

(3.6.15)

220

2

1

21111

22

2

)()()( LLRRLRLB xJxJxJAAAAdII

. (3.6.16)

En base a la ecuación (3.2.45), estas dos expresiones pueden reescribirse en el contexto de

campos aleatorios como (Apéndice III.J):

)()()(]Re[8 2

2

2

0

2

1

*

22002

4

LLR

RLRL

B xJxJxJffffnII

, (3.6.17)

2

20

2

1

*

22002

4

)()()(]Re[8

LLR

RLRL

B xJxJxJffffdII

. (3.6.18)


- 116 -

Nótese que, a diferencia del método CCA-L, desarrollado por Tada et al. (2009) y que será

esbozado en una sección posterior, nuestro numerador y denominador dependen de Rf0 y Lf0

, y

no sólo de coeficientes de Fourier de orden superior. Ello implica que BII permanece estable bajo

iluminación isótropa, lo que probablemente representa una superioridad del método SCA en tales

condiciones (ver sección 3.6.8). Por otra parte, existe una posible pérdida de precisión en torno a

los ceros de )(1 RxJ y en las frecuencias en que las potencias espectrales de ondas Love y

Rayleigh (componente vertical) se anulan.

3.6.5. DESVIACIÓN EN LAS ESTIMACIONES DE BII. EFECTOS DE UN NÚMERO

FINITO DE ESTACIONES.

Al igual que en los métodos tratados anteriormente, el uso de un número finito de sensores en

cualquier array real puede representar una fuente importante de error en las estimaciones de IIB

y en las velocidades de onda Love que se derivan. Este efecto se puede expresar como una

dependencia de IIB en el comportamiento direccional del campo, que es más acentuada

conforme las longitudes de onda son más cortas en relación al radio. En el caso de los métodos

de análisis de ondas Love, un número de estaciones escaso también implica una dependencia no

deseada en el cociente de potencias Rayleigh-Love y en la velocidad de las ondas Rayleigh. A

continuación, se estudian las desviaciones en las estimaciones experimentales de BII debidas a

este efecto mediante dos aproximaciones alternativas.

Una aproximación numérica sencilla.

Consideremos una array circular sin estación central compuesta de N sensores equiespaciados.

Una primera estimación del alcance que pueden tener los efectos de N finito puede obtenerse

evaluando el método para una única onda plana que incide desde distintos azimuts. García-Jerez

et al. (2008b) realizamos varios tests numéricos variando la dirección de la onda plana entre =

0 (esto es, apuntando a un sensor virtual) y = /N. El campo de ondas estaba compuesto por

componentes Rayleigh y Love. Se probaron varios valores para el cociente entre las velocidades

de ambas ondas y para el cociente de amplitudes. Se muestra, por ejemplo, el caso de una onda

plana con características L

V

R AA , 1 y 5.0c/c LR , en el que se encontraron algunas

desviaciones notables para los valores de N menores (Figs. 3.6.7 y 3.6.8). Estos casos serán

abordados en el siguiente epígrafe desde una formulación más general.


- 117 -

Aproximación analítica.

A continuación, se aborda el cálculo de los efectos de N finito para el caso del estimador IIB de

una manera más sistemática, siguiendo García-Jerez et al. (2010).

Figura 3.6.7. B vs. xL y C vs. xR calculados usando una array circular virtual compuesta por N estaciones

uniformemente distribuidas. El campo de ondas consiste en una única onda plana viajando hacia los azimuts = 0,

/(3 N), 2 /(3 N) ó / N con cR / cL = 0.5, =1 y V

RA =LA = 1.


- 118 -

Figura 3.6.8. Desviaciones en xL y xR calculadas para una array virtual de N estaciones (con asterisco) respecto a su

valor verdadero (sin asterisco). Las líneas corresponden a los casos mostrados en la Fig. 3.6.7 con el mismo tipo de

líneas. Se resuelven las ecuaciones (3.6.5) y (3.6.8).


- 119 -

El primer paso para la aplicación del método SCA de este modo, consiste en la evaluación de

IIBn y IIBd para el conjunto de ventanas temporales analizado, siguiendo sus definiciones (Ecs.

3.6.12 y 3.6.13). Si IIBn y

IIBd son evaluadas a partir de coeficientes de Fourier desviados

);,(ˆ rX m , serán renombradas como IIBn

y

IIBd . La versión de IIB afectada por efectos de N-

finito se define como:

IIII BBII dnB ˆˆˆ . (3.6.19)

Para relacionar IIB con las características del campo de ondas, usamos de nuevo que );,(ˆ rX m

puede expresarse como la suma de los coeficientes de Fourier no desviados );,( rX jNm , con j

= 0, ±1, ±2,... (Ec. 3.3.14). Entonces, las cantidades IIBn

y

IIBd pueden ser expresadas como:

nmlj

nN

rad

mNnN

rad

mNlN

tg

jNlN

tg

jNB WUWUWUWUnII

,,,

*

1111111122Im

4

1ˆ

, (3.6.20)

nmlj

nN

rad

mNnN

rad

mNlN

rad

jNlN

rad

jNB WUWUWUWUdII

,,,

*

11111111224

1ˆ

. (3.6.21)

En este punto, las ecuaciones (3.2.17-18) aportan las relaciones necesarias para expresar (3.6.20-

21) en términos de )(Lc , )(Rc , )( y de productos del tipo ** n

Z

m

Y

l

X

j

T AAAA , siendo j, l, m, n

enteros y donde T, X, Y, Z toman valores “R” (Rayleigh) o “L”, (Love).

Las ecuaciones anteriores son también útiles si el microtemor se describe como un campo

aleatorio estacionario. En ese caso, la Ec. (3.2.45) proporciona la conexión entre ** n

Z

m

Y

l

X

j

T AAAA y

los coeficientes de Fourier de las densidades espectrales frecuencia-dirección. Las expresiones

resultantes son algo complicadas, pero el procedimiento puede programarse sin excesiva

dificultad. En el caso particular de un campo isótropo, IIB puede ser obtenido como una función

de Lx ,

Rx y del cociente de potencias Rayleigh-Love, esto es RLR = LR ff 00 . Alternativamente,

como se vio para el método DR, la dependencia con el RLR puede expresarse como una

dependencia en la energía relativa de las ondas Rayleigh respecto al total en la componente

horizontal, esto es )( 000

RLR fff = RLR / (1+ RLR).


- 120 -

En la Figura 3.6.9 se cuantifican los efectos de N finito en un campo isótropo para arrays

circulares con diferentes números de estaciones equiespaciadas. Las subfiguras de la izquierda

muestran IIB para diferentes valores de N, RLR, Lx y Rx . Los cambios de signo se indican con

líneas negras continuas. Las subfiguras de la derecha muestran la diferencia entre IIB calculado

para el RLR indicado y el IIB correspondiente a RLR =0 (campo libre de ondas Rayleigh). Estas

diferencias también se han graficado frente a Lx y Rx . En el caso de referencia (RLR=0), IIB se

vuelve independiente de Rx . Cada subfigura corresponde a un valor del RLR de entre 0.1 (91%

de ondas Love y 9% de ondas Rayleigh) y 1.5 (43% de ondas Love y 57% de ondas Rayleigh).

Este rango se ha elegido de acuerdo con la predominancia de las ondas Love en el microtremor

encontrada en la mayoría de los estudios empíricos (ver Capítulo I). En el caso pentagonal (N=5)

se aprecia una dependencia muy ligera de IIB en el RLR en la región LR xx hasta 6.2Lx

(esto es, para LR cc o por debajo de los segmentos diagonales marcados en blanco en las

subfiguras de la derecha). La situación aún mejora cuando Rc / Lc se incrementa. Por ejemplo, si

75.0/ LR xx , IIB presenta variaciones dentro de ±0.1 hasta 65.3Lx cuando RLR varía en el

rango completo 0.1 < RLR <1.3. Este caso está también marcado en la figura con un segmento

blanco. Los tests con 7, 9 y 11 estaciones muestran una incremento gradual de la capacidad para

el rechazo de las ondas Rayleigh (bandas verdes en las subfiguras de la derecha de tamaño

creciente o, equivalentemente, dependencia en Rx disminuyendo en todas las subfiguras). De

nuevo, la zona LR xx mejora con más rapidez conforme N aumenta.

Los tests realizados con una onda plana con LR xx 2 en el epígrafe anterior (Fig. 3.6.7)

mostraban una inestabilidad significativa a ( Lx , Rx ) = (1.6, 3.2) para N = 5, RLR =1 y =12º (y

para otros azimuts equivalentes). Ahora se puede comprobar (no se muestra) que el

comportamiento de IIB en este punto se suaviza rápidamente conforme el intervalo acimutal del

que proviene la iluminación crece, aunque alguna distorsión puede distinguirse incluso bajo un

campo isótropo. Ese punto ha sido marcado con una estrella en la Fig. 3.6.9 (en el caso próximo

RLR =0.9), confirmando que está situado en un área donde los efectos de N finito son

importantes. Aunque situaciones como la descrita, en las que la onda Rayleigh sea

considerablemente más lenta que la Love, pueden representar una dificultad para la aplicación de

esta metodología con un número limitado de estaciones, estas son probablemente irrelevantes en

la práctica.


- 121 -

Rg rechazada

Rg rechazada

Rg rechazada

Rg rechazada


- 122 -

Figura 3.6.9. Variaciones y desviaciones en IIB

debidas a la presencia de ondas Rayleigh. Se supone un campo de

ondas isótropo. Cada panel corresponde a un número de sensores en la array (N) y a un cociente de potencias

Rayleigh/Love RLR. Los paneles de la izquierda muestran IIB , mientras que los de la derecha muestran su variación

respecto al resultado obtenido para RLR=0 (para el mismo N). Las líneas negras delgadas en los paneles de la

izquierda muestran los cambios de signo en IIB (ceros y divergencias). Las líneas blancas horizontales muestran las

posiciones de los ceros de J1(xR). Las posiciones de las divergencias de IIB

en el caso N (divergencias en el

miembro derecho de la Ec. 3.6.11, o, equivalentemente, raíces de J1(xL) = 0) están marcadas con líneas blancas

verticales. Las líneas grises continua y punteada en los paneles de N=5 muestran la relación entre xR y xL para el test

numérico realizado en la sección 3.6.7 y para el experimento real correspondiente a R=50m (sección 5.3.4),

respectivamente.

3.6.6. EFECTO DEL RUIDO INCOHERENTE

Como se hizo para el método DR, la robustez del método SCA en presencia de ruido no

correlacionado de forma analítica (García-Jerez et al., 2010). Los resultados se exponen a

continuación.

Siguiendo un esquema similar al de Cho et al. (2006b), basaremos el tratamiento del ruido en las

mismas hipótesis formuladas en la Sección 3.5.4. con la salvedad de que aquí se van a distinguir

densidades espectrales de potencia distintas para el ruido grabado en las componentes

horizontales y verticales, que serán representadas como )()( n

HP y )()( n

VP respectivamente. Los

efectos del ruido no correlacionado se revelan mediante la aparición de términos aditivos en los

estimadores de IIBn

y

IIBd . Llamamos )(

ˆns

BIIn

y

)(ˆ

ns

BIId

a las cantidades anteriores

cuando están afectadas por el ruido (esto es, incluyendo señal y ruido). Se demuestra que éstas se

pueden expresar de la siguiente forma (Apéndice III.K):

]ˆˆˆˆRe[2

ˆˆ *

11

*

11

)()(

radtgradtgn

VB

ns

B UUUUiPN

nnIIII

(3.6.23)

*

11

*

11

)(*

11

*

11

)(

)()(

2

4)(

ˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ2

32ˆˆ

radradradradn

V

n

H

n

H

n

VB

ns

B

UUUUPN

WWWWPN

PPN

ddIIII

(3.6.24)

Todos los coeficientes de series de Fourier en los miembros derechos de (3.6.23) y (3.6.24) son

evaluados en la situación libre de ruido. Finalmente, el estimador “ruidoso” de IIB

es


- 123 -

directamente )()(

)( ˆ/ˆˆns

B

ns

B

ns

II IIIIdnB

. Una vez más, los términos en (3.6.23-24) que

involucran promedios de registros pesados pueden reescribirse como funciones de las

características del medio )(Lc , )(Rc , )( y productos del tipo );();( * l

Y

j

X AA (con j, l

enteros y X,Y valiendo R ó L). Primero, las cantidades );,(ˆ rXm son sustituidas por

j

jNm rX );,( , donde X representa Urad

, Utg

o W; seguidamente se remplazan (3.2.16-18). En

el caso particular de un campo de ondas aleatorio estacionario, estos cálculos conducen a:

)}(]Re[)(]{Re[2ˆˆˆˆ2

1,1

,

1,1

,

2*

11

*

11 LN

L

NRN

R

N

Nradtgradtg xhfxhfiUUUUi

, (3.6.25)

)(]Re[8ˆˆˆˆ

2

1,2

2*

11

*

11 RN

R

N

N xgfiWWWW

, (3.6.26)

)}(Re)({Re2ˆˆˆˆ2

1 1,1

,

1,1

,

2*

11

*

11 LN

L

NRN

R

N

Nradradradrad xhfxhfiUUUU , (3.6.27)

donde las funciones )(, xg N y )(21 ,

, xhss

N se han definido como:

l

lNNlN xJxJxg )()()( 11)(, (3.6.28)

y

)()()()()( 222)(1)(

,

,21 xJsxJxJsxJxh lNlNNlNl

l

ss

N

, (3.6.29)

con s1 y s2 tomando valores -1 ó +1. Este último paso requiere usar (3.2.44) para introducir los

coeficientes de Fourier de las densidades espectrales frecuencia-acimut. Los términos

imaginarios en (3.6.26) y (3.6.27) se cancelan debido a las propiedades )()( ,, xgxg NN y

)()( 1221 ,

,

,

, xhxhss

N

ss

N . En el caso particular de un campo isótropo, )(ˆ ns

IIB puede reescribirse como

una función de sólo tres cantidades, aparte de N, Lx y

Rx . Estas son: los cocientes espectrales

entre la energía del ruido y la de la señal para las componentes horizontal (NSRH) y vertical

(NSRV), definidos como NSRH= LRn

H ffP 00

)( y NSRV= Rn

V fP 0

2)( , así como el cociente

energético Rayleigh-Love (RLR = LR ff 00 ).


- 124 -

3.6.7. COMPROBACIÓN DE LAS FORMULACIONES ANALÍTICAS PARA IIB Y )(ˆ ns

IIB

EN UN EJEMPLO NUMÉRICO.

Simulación de los efectos de N finito

En esta sección, el procedimiento descrito bajo (3.6.20-21) para reproducir los efectos de N finito

y las Ecs. (3.6.23-27) que dan cuenta de los efectos del ruido no correlacionado son mostrados y

chequeados mediante un ejercicio numérico. Para ello se empleará el modelo simple listado en la

Tabla 3.5.1, que ya fue usado en la comprobación del método DR. Se asume propagación de los

modos fundamentales. La figura 3.6.11a muestra las velocidades de fase de ondas Rayleigh y

Love para el modo fundamental así como la elipticidad de la onda Rayleigh, mientras que la Fig.

3.6.11b muestra la dependencia de IIB con la frecuencia para arrays formadas por de 3 a 7

sensores con radio virtual de 250m, iluminadas isótropamente y un RLR de 0.2.

Figura 3.6.11. (a) Curvas de dispersión y elipticidad () del modo fundamental, para el modelo de suelo listado en la

Tabla 3.5.1. (b) Coeficiente de SCA IIB

calculado a partir de las curvas del panel (a) para una array virtual

consistente en N estaciones uniformemente distribuidas sobre una circunferencia de 250m de radio. Se asumió

campo de ondas isotrópo y una relación de potencias Rayleigh / Love (RLR) de 0.2.

En la Figura 3.6.11 se aprecia que, contrariamente al método 3c-SPAC (y análogamente al DR),

IIB no converge al caso N = (término derecho de Ec. 3.6.11 y línea gris en Fig. 3.6.11b)

cuando el campo tiende a ser isótropo, sino sólo cuando el número de estaciones crece (“a

cambio”, nuestro caso N = depende exclusivamente de cL y no de cR o del RLR). Como se

muestra, las distintas estimaciones de IIB correspondientes a N > 4 permanecen similares hasta

cerca del primer mínimo ( 83.3Lx ), mientras que, a frecuencias superiores, las curvas difieren,

siendo todas más suaves que en el caso N = . A la vista de esta figura, se necesitaría una array

de, al menos, cinco sensores con objeto de mantener los efectos de N finito despreciables en un


- 125 -

rango considerable de longitudes de onda. También se aprecia que una array hexagonal ajusta un

rango de la curva N = mucho mayor que el correspondiente a una array triangular. Este

resultado es diferente al que se obtuvo para el método 3c-SPAC (ver sección 3.4.3). En la

aplicación del 3c-SPAC a una array hexagonal se observó que las correlaciones entre la estación

central y dos vértices opuestos daban información equivalente (para procesos estacionarios).

Como el método SCA involucra a las correlaciones entre todas las parejas de estaciones de la

array, las estaciones diametralmente opuestas a otras ya no son prescindibles.

En la Figura 3.6.13, se muestran los efectos de un número finito de estaciones para una array

compuesta de 5 sensores uniformemente distribuidos bajo una iluminación anisótropa con una

dirección de propagación dominante. Las funciones ),( Rf y ),( Lf son las mismas

usadas en las Secciones 3.5.5-6, con una dependencia “triangular” en el azimut (Fig. 3.6.12), por

tanto, las expresiones de )(L

mf y )(R

mf pueden ser evaluadas analíticamente. Tras ello, las

formas teóricas de IIBn ,

IIBd y IIB pueden obtenerse a partir de las Ecs. (3.6.19) a (3.6.21) y

(3.2.45). Para este ejercicio, se ha tomado el mismo tamaño de la array y el mismo RLR que en la

Fig. 3.6.11b.

Figura 3.6.12. Esquema de una array pentagonal apropiada para la aplicación del método SCA.

Los símbolos de la esquina superior izquierda representan una densidad de potencia espectral

frecuencia-dirección con dependencia triangular en el acimut, de anchura y potencia máxima

hacia propagándose hacia la dirección .


- 126 -

Las series en las ecuaciones (3.6.20) y (3.6.21) se han truncado en j, l, m, n = ±5, comprobando

que los términos de órdenes superiores tienen poca influencia dentro del rango de frecuencias

mostrado. Las líneas delgadas en las figuras 3.6.13e-h muestran estos resultados analíticos para

valores del ancho del haz de 2º, 30º, 60º y 90º y distintas direcciones de iluminación. La línea

gris muestra el caso de campo isótropo.

Además, cada situación ha sido modelada usando un conjunto de ondas planas con amplitudes

dependientes del azimut, tal como se explico en la Sección 3.5.5 (ahora hay que considerar la

componente vertical también). Los registros fueron sintetizados en las posiciones de las

estaciones virtuales y promediados siguiendo (3.3.13) para estimar después IIBn y

IIBd a partir de

sus definiciones (Ecs. 3.6.12-13). Seguidamente, ambas cantidades fueron promediadas sobre

500 realizaciones en las que las fases de las ondas Rayleigh y Love se variaron aleatoriamente.

Finalmente, IIB se calcula como el cociente de los valores medios

IIBn y IIBd y se muestra

en las Figs. 3.6.13a-d usando distintos símbolos según el azimut central del haz. La comparación

entre los resultados numéricos (a-d) y analíticos (e-h) apoya la validez de los desarrollos teóricos

y muestra que el número de fuentes (muestreo acimutal) y el número de ventanas promediadas

en el test numérico son suficientes. Para un ancho de haz de 30º, IIB permanece estable ante

variaciones en la dirección de las ondas sólo en el rango de 0 a 1.25 Hz ( Lx hasta 2.62). La

situación mejora considerablemente conforme la anchura acimutal de la iluminación crece, de

hecho, IIB llega a ser casi insensible a la dirección del haz hasta 2.3 Hz ( Lx = 6.32) cuando éste

tiene un ancho de 60º.

Simulación del ruido no correlacionado

La Figura 3.6.14 muestra )(ˆ ns

IIB vs. f para esa misma array pentagonal, calculado para las curvas

de dispersión y el campo de ondas isótropo usado en la Fig. 3.6.11. Se asume aquí que la relación

ruido-señal es la misma para las componentes horizontal y vertical. Como era de esperar, la

presencia de ruido conlleva un aplanamiento de )(ˆ ns

IIB . El límite de )(ˆ ns

IIB

para frecuencia cero

depende de NSRH (no de NSRV) y del número de estaciones, en concreto, su valor es

NNSRH411 . Aunque no se muestra, los efectos del ruido no correlacionado disminuyen,

para cualquier frecuencia, conforme aumenta el número de estaciones como se pone en evidencia

en (3.6.23) y (3.6.24). Se podría demostrar que las posiciones de los ceros del coeficiente de v-

SPAC permanecen inalteradas cuando se varía la energía del ruido no correlacionado ( )(n

VP ) (ver

Cho et al. 2006b). Por el contrario, este efecto favorable no se da para el método SCA, si bien las


- 127 -

Figura 3.6.13. Subfiguras (a) hasta (d): IIB vs. f modelados para la estructura de suelo mostrada en la Tabla 3.5.1 y

un campo de ondas compuesto de una suma finita de ondas planas con fases aleatorias. Cuatro anchos acimutales

fueron probados para la iluminación: 2º, 30º, 60º y 90º. Los diferentes símbolos corresponden a distintos acimuts

centrales del haz triangular incidente: 0º, 9º, 18º, 27º y 36º, considerando que siempre uno de los cinco sensores está

colocado en el acimut 0º. La línea gruesa gris muestra el caso de campo de ondas isótropo. El radio de la array

virtual fue de 250m. Se asumió la predominancia de los modos fundamentales y un RLR de 0.2. Paneles (e) hasta

(h): soluciones teóricas de IIB

para las respectivas densidades espectrales de potencia frecuencia-dirección,

triangulares y continuas.


- 128 -

variaciones en los ceros son difíciles de apreciar en la Fig. 3.6.14 y muy pequeñas en todas las

demás simulaciones realizadas (se necesitarán nuevos esfuerzos analíticos para entender y

encontrar cotas para esas variaciones).

Figura 3.6.14. Efectos del ruido no correlacionado sobre IIB , calculado para el modelo de estructura listado en la

Tabla 3.5.1 bajo iluminación isótropa (considerando que los modos fundamentales fueran dominantes). Se asume

que las relaciones de potencia ruido/señal (NSR) son iguales para todas las estaciones y componentes. El resto de las

características de la array y del campo fueron: N=5, R =250m y RLR=0.2.

La Figura 3.6.15 muestra el efecto combinado del ruido no correlacionado y del número finito de

sensores en los mismos casos mostrados en la Fig. 3.6.13. Las relaciones ruido señal han sido

fijadas en NSRH=0.3 y NSRV=0.2. El ruido incoherente ha sido simulado sumando términos con

amplitud )(n

HP o )(n

VP y fases arbitrarias a las transformadas de Fourier de los registros de

cada estación virtual, componente y ventana temporal (realización). La gran similitud entre los

resultados teóricos (subfiguras e hasta h) y sus correspondientes simulaciones (subfiguras a hasta

d) confirma la rápida convergencia de las series existentes en las Ecs. (3.6.25) a (3.6.27), que han

sido evaluadas hasta orden ±7 en , dentro del rango de frecuencias estudiado.

3.6.8. COMPARACIÓN CON LOS MÉTODOS CCA-L Y DR.

Comparación con el método CCA-L.

Tada et al. (2009, 2010) han desarrollado recientemente tres métodos que, como el SCA,

permiten el cálculo de velocidades de fase de ondas Love de modo “directo” (i. e. sin determinar


- 129 -

Figura 3.6.15. Similar a la Fig. 3.6.13 excepto por la presencia de ruido no correlacionado con intensidades

determinadas por NSRH=0.3 y NSRV=0.2.

previamente o simultáneamente la curva de dispersión Rayleigh) con una array circular. Estos

métodos, denominados SPAC+L, SPAC-L y CCA-L, se pueden resumir en las siguientes

ecuaciones:

)()(),,0(

),,(

20

01

01

LL

UU

UU

LSPAC xJxJRG

RRG

tgrad

tgrad

(3.6.30)

)()(),,0(

),,(

20

01

01

LL

UU

UU

LSPAC xJxJRG

RRG

tgtg

tgtg

(3.6.31)

)()(

)()(

),,(

),,(

20

20

01

01

LL

LL

UU

UU

LCCAxJxJ

xJxJ

RRG

RRGi

tgrad

tgtg

(3.6.32)


- 130 -

Comparados con el SCA y con el 3c-SPAC, llama la atención su relativa simplicidad, al no

precisar de los registros de componente vertical. El método CCA-L es el único de los tres que

comparte con el SCA la disposición de los sensores (circunferencia sin estación central) de modo

que se puede hacer una la comparación entre ambos.

La figura 3.6.16 muestra la comparación numérica para el modelo de la Tabla 3.5.1, realizada de

un modo análogo al descrito en la sección anterior. En las subfiguras de la izquierda se usa un

campo casi isótropo mientras que en las de la derecha hay un rango de azimuts dominante (de

90º de anchura). Los tests fueron repetidos con y sin ruido no correlacionado. Las conclusiones

que se extraen de esta figura son las siguientes: i) el método SCA muestra una sensibilidad al

ruido no correlacionado bastante estable ante variaciones en la distribución de fuentes; ii) el

método CCA-L es casi insensible al ruido si el campo de ondas tiene una dirección dominante;

iii) el método CCA-L muestra importantes efectos de N finito (incluso a longitudes de ondas

largas) bajo iluminación aproximadamente isótropa que no se observan para el SCA; iv) el

método CCA-L es incapaz de estimar velocidades de fase en presencia de ruido y/o de errores

estocásticos en el caso de un campo de ondas aproximadamente isótropo.

Figura 3.6.16. (a): IIB (círculos) y )(ˆ ns

IIB

(cuadrados) modelados para la estructura de la Tabla 3.5.1 y una array

pentagonal de radio R = 250m. Se asume propagación de los modos fundamentales e iluminación cuasi-isótropa. Las

líneas continuas muestran los resultados teóricos. La línea discontinua es el resultado teórico para una array


- 131 -

infinitamente densa. (b) Lo mismo que (a) pero para una iluminación triangular (Fig. 3.6.12) con las características

indicadas en el título. (c) Coeficientes de CCA-L (Tada et al., 2009) con (cuadrados) y sin (círculos) ruido no

correlacionado, para el caso de campo de ondas isótropo. (d) Lo mismo que en (c) pero para la iluminación

anisótropa que se usó en (b). El resto de las características del campo, del ruido y de los promedios (RLR, NSRH,

NSRV y número de realizaciones) son los mismos que en la Fig. 3.6.15.

Como se avanzó en la sección 3.6.4, las dificultades del CCA-L ante campos isótropos y

aproximadamente isótropos se deben a que el numerador y el denominador del término central

de (3.6.32) son proporcionales a una componente del desarrollo en serie de Fourier de la

densidad espectral frecuencia-dirección de orden superior a cero. Concretamente

)(),,( 101 L

UUfRRG tgtg y )(),,( 101

L

UUfRRG tgrad . Esto conlleva que el método presente

una inestabilidad de tipo 0/0 en esas circunstancias para todas las frecuencias. La misma

limitación, que fue predicha por Tada et al. (2009), se repite para los métodos SPAC+L y SPAC-

L.

Comparación con el método DR.

Para optar entre la aplicación de los métodos DR y SCA se han de valorar distintos factores. Por

una parte, las hipótesis subyacentes son más restrictivas para el método SCA, pues la aplicación

del método DR no requiere la correspondencia entre las velocidades de fase de onda Rayleigh (y

por ende, de los modos predominantes) medidas en las componentes horizontal y vertical (de

hecho, no se necesitan registros verticales). Salvado esto, y a igual número total de estaciones

(supuestas triaxiales), el método SCA resulta mucho más estable que el DR a valores bajos de xL,

en el sentido de ser menos dependiente de la velocidad de onda Rayleigh y del RLR. Esta

propiedad puede apreciarse en la Fig. 3.6.17, en la que se comparan los errores relativos

propagados a cL con ambos métodos, usados sin información sobre cR ni RLR. Si asumimos que

cL y cR tienen valores similares a cualquier frecuencia, el método SCA sigue siendo generalmente

más estable hasta valores algo mayores de xL (siguiendo la diagonal que pasa por el origen, se

cruza antes una línea roja en las subfiguras de Fig. 3.6.17). Por otra parte, el montaje del método

DR puede resultar más versátil, pues los registros obtenidos se podrían analizar adicionalmente

mediante SCA u otros métodos basados en array circular simple. En equipos con sensores de un

solo canal válidos para registro de componentes horizontales y verticales indistintamente, utilizar

el método DR resulta más económico.


- 132 -

Figura 3.6.17. Error relativo propagado a cL para los métodos DR (rojo) y SCA (azul), en montajes de 10 estaciones

(5+5 para el método DR), para distintos valores de xL, xR y del RLR y campo isótropo. En lo referente al método DR,

se supone una relación entre radios de 2 y tanto xL como xR se refieren al radio mayor (2Rkx LL ,

2Rkx RR ). Las

líneas continuas, discontinuas y con “· -” representan errores del 5%, 10% y 20% en cL, respectivamente. La

propagación de errores se calcula respecto a los casos RLR=0 (coeficientes DR

tg y IIB dependientes sólo de xL), p. e.,

para el método CCA se muestra |LLIIL dxxBdx /)0,0,(ˆ |

-1 [ ),,(ˆ RLRxxB RLII

- )0,0,(ˆLII xB ].

3.7. CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 3.

Conclusiones generales

Se ha revisado la formulación de diversos métodos tipo SPAC tanto desde una formulación

determinista como desde la más convencional basada en procesos aleatorios estacionarios con

independencia estadística entre ondas de distinto tipo y entre las procedentes de distintas

direcciones.

Se ha llegado a conclusiones sobre aplicabilidad o no de estos métodos en el contexto

determinista. Cabe destacar: i) la demostración de la validez de los métodos v-SPAC y 3c-SPAC

en un contexto determinista; ii) obtención de un análogo complejo )(' de la proporción de

energía en forma de ondas Rayleigh en la componente horizontal; iii) la no equivalencia entre

arrays regulares de N y 2N estaciones para los métodos v-SPAC y 3c-SPAC (incluso si N es

impar; el sensor central no se contabiliza); iv) La falta de validez general del método CCA para

componentes verticales (Ec. 3.3.32). Los métodos CCA-L y SPACL (Tada et al. 2009) tampoco


- 133 -

son válidos en el contexto determinista.

Se han desarrollado dos métodos orientados al cálculo directo de velocidades de ondas Love:

métodos DR y SCA. Estos métodos son relevantes porque la inversión conjunta de las curvas de

dispersión Rayleigh y Love permitirá disminuir la multiplicidad los modelos de suelo invertidos.

El método DR (Double Ring) necesita una array formada por dos circunferencias concéntricas,

sin estación central, en la que se registre la componente tangencial del movimiento. El método

SCA (Single Circular Array) requiere una array circular, sin estación central, formada por

estaciones de tres componentes.

Teóricamente, el cálculo de la velocidad de fase de la onda Love es más sencillo de

implementar en los métodos desarrollados que en el método 3c-SPAC. En los nuevos métodos se

trata de resolver una ecuación con una sola incógnita, Lx , requiriéndose una elección final entre

distintas raíces. Con el método 3c-SPAC se requiere resolver un sistema de ecuaciones o una

ecuación del tipo ),,( LRradtg xxh , donde h es cierta función. En este último caso,

determinaríamos primero Rx para cada frecuencia, requiriéndose una doble elección de raíces:

para Rx primero y para Lx después. Errar en la selección de Rx conduce a soluciones erróneas

para Lx . Las características y los resultados principales obtenidos para los métodos DR y SCA

fueron:

Sobre el método DR

Es válido tanto en la formulación determinista como en la basada en procesos aleatorios.

Se han obtenido expresiones analíticas que permiten cuantificar los efectos de N finito y del

ruido incoherente, tanto para el método DR como para un método similar (TR) descrito por Tada

et al. (2006).

Comparativamente, el método DR proporciona una determinación unívoca de la longitud de

onda Love en un rango mayor que el del método de TR.

Los efectos de N-finito provocan incertidumbres a longitudes de onda suficientemente cortas

causadas por la direccionalidad del campo y por la propagación de ondas Rayleigh. Se han

representado para campo isótropo, resultando menores para el método DR que para el método


- 134 -

TR.

En cuanto a los efectos del ruido incoherente, el método DR es relativamente insensible a esta

causa de error en un entorno alrededor de kLR2=3.83 (para N suficientemente grande). En el

método de TR, este rango está desplazado a valores más bajos de kLR2 (y dependientes también

de R1).

Sobre el método SCA

Como el anterior, el método SCA puede usarse para el análisis de casi todo tipo de campos de

ondas superficiales: con o sin correlación entre ondas Love y Rayleigh o entre ondas

prevenientes de distintos acimuts y para distribuciones de fuentes isótropas y anisótropas. Por

tanto, el método SCA es, en principio, más versátil que otras técnicas de array circular única

(como el método CCA-L, Tada et al., 2009).

Una implementación del CCA basada en el estimador BII , definido aquí, ha mostrado un

comportamiento robusto con datos sintéticos, siendo todavía suficientemente simple como para

permitir el estudio analítico de su comportamiento ante varias limitaciones experimentales.

Se han obtenido e implementado un conjunto de formulas que permiten calcular los efectos de

usar un número finito de estaciones, incluyendo también la descripción en términos de los

coeficientes de serie de Fourier de las densidades espectrales de potencia frecuencia-dirección de

ondas Rayleigh y Love. Se han dado también las expresiones que permiten tener en cuenta los

efectos del ruido incoherente en IIB tanto en campos de onda deterministas como en aleatorios

estacionarios. Estas relaciones, que proporcionan información útil sobre la aplicabilidad del

método, han sido testadas exitosamente con simulaciones numéricas de IIB y )(ˆ ns

IIB

para un

modelo de suelo simple y bajo incidencia de ondas superficiales planas.

Los tests numéricos confirman que la estabilidad de IIB ante variaciones de los acimuts de las

fuentes se incrementa conforme lo hace el ancho de los haces de ondas. En tests numéricos, una

array pentagonal proporcionó resultados estables hasta Lx = 6.32 para una iluminación

procedente de un intervalo acimutal de 60º de anchura. Se necesita más investigación para

confirmar estos resultados en modelos de suelo más generales.


- 135 -

3.8. APÉNDICES DEL CAPÍTULO 3.

Apéndice III.A. Representación espectral del campo de ondas aleatorio estacionario y

relación con la descripción determinista.

Las expresiones (3.2.23-24) involucran integrales definidas en el sentido de Riemann-Stieltjes,

que son también apropiadas en casos en que ),( Rζ o ),( L no sean funciones derivables

en la frecuencia o en el acimut y cuya definición se va a dar a continuación. Nótese que en el

contexto de campos aleatorios estacionarios, ha de evitarse realizar la transformada de Fourier

de una realización completa, por ser esta operación divergente cuando se aplica sobre un registro

que no decae para t , por lo que habrá que dar un significado adecuado a las “componentes

espectrales” de la realización.

Para aclarar el sentido de estas integrales tomaremos, por ejemplo, una realización ),(.. tw apR

de

la componente vertical del proceso (cuya representación espectral sería III.A.1) y, manteniéndola

inalterada dentro del intervalo temporal [-/2 +/2], definiremos dos funciones relacionadas con

ella: i) la versión truncada de la realización );,(.. tw apR , que se redefine como cero fuera de ese

intervalo, y ii) la extensión periódica );,(..

tw apR , que repite periódicamente el fragmento [-/2

+/2] fuera de él (su periodo es ). Por definición, la integral

),()(exp)(

),(..

RR

ap

R diktii

tw ReR (III.A.1)

ha de coincidir con el límite de );,(..

tw apR

cuando . En nuestra nomenclatura,

escribiendo la integral como límite de una suma, se sigue (definición de integral de Riemann-

Stieltjes):

l

M

j

RjR

M

apap Mjll

iiktiltwtw

'

1'

.... ).',;,()(

]·)(exp[lim);,(lim),(

ReRR

(III.A.2)

En (II.A.2) se está, por una parte, separando );,(..

tw apR en contribuciones debidas a ondas

provenientes de intervalos de azimut contiguos de anchura '/2 M que tiende a cero en el

límite. Por otra, se está realizando un desarrollo en serie de Fourier sobre la coordenada temporal

t. Como );,(..

tw apR es periódica en el tiempo, sólo tiene contribuciones para frecuencias que


- 136 -

sean múltiplos enteros de /2 . El coeficiente de Fourier de orden l de );,(..

tw apR

se

define, a partir del registro en el origen, por la integral dttwe aptil

2/

2/

.. );,0(1

. Esta integral

corresponde por tanto a la suma acimutal de );,( lR :

dttweMjll

i tilM

j

RM

2/

2/

'

1'

);,0(2

)',;,(lim)(

. (III.A.3)

Alargar la duración de las ventanas (i.e. hacer ) no conduce ya a la divergencia del

miembro derecho de (III.A.3) (ni de III.A.1-2) gracias a la normalización por implícita en el

factor . Si se desea invertir (III.A.1), es decir, formular la transformada inversa, habría que

definir )( R para cualquier frecuencia. El modo adecuado de hacerlo, a partir de (III.A.3), es

(p. e. Priestley, 1981):

22

2

1

..

'

1'0

)',;,(lim)(

lim

)()(

lqtl

M

j

RM

R

Mjll

i

i

2/

2/

2/

2/

..

2/

2/0

.),0(lim2

1),0(

2

1

),0(2

1lim

122

1

22

dttwit

eeddttwe

dttwe

tititi

lqtl

ti

(III.A.4)

Relación con la descripción determinista.

Las propiedades (3.2.30-31) de las medidas espectrales también son válidas en términos de

incrementos ),( X :

(i‟) ,,0),(),( LR (III.A.5)

(ii‟) ),()',;','()',;,( ''

* jlfMjlMjl X

jjllXYYX

(III.A.6)

La relación entre los incrementos )',;,( MjlR y )',;,( MjlL y las

amplitudes complejas )(RjA y )(LjA

(Ec. 3.2.8) resulta clara si extendemos periódicamente


- 137 -

),( tRu para tiempos fuera del intervalo [-/2 +/2]. Realizando un desarrollo en serie de Fourier

sobre la variable t, cualquier expresión determinista del campo así modificada, );,(

tRu , puede

escribirse como:

l

M

j

iktil

Lj

iktilHV

RjjRjR

elelt1

·)(·)();();(

2

1);,(

ReRe

AARu . (III.A.7)

);( HV

RjA y );( LjA representan las versiones truncadas de )(HV

RjA y )(LjA (en

frecuencias, el truncamiento se realiza como una convolución con el espectro de la ventana

rectangular correspondiente). Centrándonos, por ejemplo, en la componente vertical del campo,

se observa que si los azimuts de las fuentes deterministas (j con j = 1, 2, …, M) coincidieran

con el discretizado del intervalo [0 2] utilizado en la ecuación (III.A.2) (acimuts j con j = 1,

2, …, M’; = 2/M’) se podría establecer la equivalencia:

/);()',;,( , lAMjl jRR . De modo análogo, para ondas Love se tendría

/);()',;,( , lAMjl jLL . Se puede pues concluir que el campo aleatorio

estacionario descrito por (3.2.23-28) puede tratarse como un caso límite (, M’) de un

proceso aleatorio formado por realizaciones “discretas” compuestas por M’ ondas planas

equiespaciadas en acimut. De (3.A.5-6) se puede concluir que las amplitudes complejas del

proceso “discreto” han de cumplir las propiedades (3.2.29) y (3.2.30), que eran:

0);(, lA jX

lmjkXYkYjX mAlA

);();(2

1 *

,, ,Xf

donde representa el límite , M’, l, m.

Apéndice III.B. Demostración de las ecuaciones (3.2.44) y (3.2.45)

Considérense los productos de sumas pesadas de amplitudes complejas *n

Y

m

X AA

y ** q

Z

p

Y

n

X

m

T AAAA ,

donde T, X, Y, Z toma valores R (Rayleigh) o L (Love) y m, n, p, q son enteros, que se ha

definido para un campo de ondas determinista de acuerdo con la ecuaciones (3.2.19-20). Se trata

de obtener la expresión de su valor esperado en el caso de que la iluminación se describa como


- 138 -

un campo aleatorio estacionario.

Considérese, en primer lugar, el caso del movimiento vertical grabado en el centro de la array (R

= 0) para tal campo de ondas aleatorio. La expresión del registro temporal viene dada por la

componente vertical de (3.2.23) (ver por ejemplo, Eq. 18 en Cho et al. 2006b) i. e. por la integral

de Fourier-Stieltjes:

),()(

),0(..

R

tiap di

etw . (III.B.1)

Las integrales de esta relación tienen que ser interpretada en el sentido de Fourier-Stieltjes. Por

definición, si esta integral existe, debe coincidir con el límite:

l

M

j

R

til

M

ap jll

ietw

'

1'

.. );,()(

lim),0(

, (III.B.2)

(Priestley, 1981, pp. 247-248) donde '/2,/2 M .

Por otra parte, en la aproximación determinista usada en esta tesis para el campo de ondas creado

por una superposición de M ondas Rayleigh planas, el registro vertical en R = 0 para -/2< t </2,

es:

l

jR

tilM

j

lAl

ietw );(

)(2

1);,0( ,

1

(III.B.3)

(ver p. e. Eq. 4.11.8 en Priestley, 1981 para la dependencia en ).

De la comparación entre (III.B.2) y (III.B.3) observamos que el caso estocástico (III.B.2)

corresponde formalmente al límite , M del caso determinista (III.B.3) para un campo de

ondas consistente en una superposición de M ondas Rayleigh planas provenientes de azimuts

equiespaciados en el rango completo [0 2π) y amplitudes complejas dadas por

);(, lA jR );,( jlR . De un modo similar, la representaciones espectrales del

campo aleatorio que involucran a las ondas Love coinciden con las formuladas en el contexto

determinista si );,( jlL se remplaza por /);(, lA jL .

Asumiremos independencia estadística entre las ondas que vienen de distintos azimuts y entre

distintos tipos de ondas (Rayleigh y Love). Las siguientes propiedades de las amplitudes

complejas pueden también asumirse por analogía con las de R y L en la descripción de


- 139 -

campo aleatorio estacionario:

0);(, lA jX, (III.B.4)

lmjkXYkYjX mAlA

);();(2

1 *

,, ,Xf , (III.B.5)

0,0);();( ,, llAlA jXjX , (III.B.6)

donde j, k, l, m son enteros y X significa R (Rayleigh) o L (Love). La ecuación (III.B.4) indica

que el microtremor es un proceso aleatorio estacionario de media nula. La ecuación (III.B.5) es

la relación de ortogonalidad. El límite

, 0 , l , j es

sobreentendido en (III.B.5). Las ecuaciones (III.B.6) pueden demostrarse a partir de la relación

de ortogonalidad para );,( jlX teniendo en cuenta que

);,();,(* jljl XX . Como OOR ~);,( conforme

, 0 (p. e. Priestley, 1981, p. 247 para la dependencia en ; Okada, 2006), se

puede inferir que OOA jX ~);(, .

Demostración de la ecuación (3.2.44)

De sus definiciones, y usando la linealidad del operador · , el valor esperado en la colectividad

de )2/(* n

Y

m

X AA pueden escribirse como:

M

j

M

j

jYjX

njmjin

Y

m

X AAeAA1 1

*

,,

*

1 2

21

21 );();(2

1

2

1

, (III.B.7)

Los sumandos de (III.B.7) en los que las amplitudes complejas son distintas entre sí (X Y y/o j1

j2) se anulan, porque el valor esperado de variables aleatorias estadísticamente independientes

factoriza y vale cero por la Eq. (III.B.4). Por tanto, queda:

M

j

jXjnmi

XY

n

Y

m

X

AeAA

1

2

,)(*

2

);(

2

1

(III.B.8).

Tras tomar límites 0 (i. e. con el número de fuentes lejanas igualmente distribuidas, M ,


- 140 -

tendiendo a infinito) y (con l , j ), el símbolo

M

j 1

· puede remplazarse

formalmente por ·

d . Teniendo en cuenta las definiciones (3.2.43) y la Ec. (III.B.5), se

obtiene la siguiente relación útil para simplificar el límite de (III.B.8):

)(),();(2

1 )(

1

2

,

)(

X

nm

XnmiM

j

ljX

jnmi fdfeAe

. (III.B.9)

Esto conduce inmediatamente a:

X

nmXY

n

Y

m

X fAA

*

2

1

. (III.B.10)

Demostración de la ecuación (3.2.45)

Análogamente, la media en la colectividad de **

224

1 q

Z

p

Y

n

X

m

T AAAA

pueden escribirse como:

*

,

*

,,,

1 1 1 122

**

22

);();();();(4

1

);();();();(4

1

4321

4321

1 2 3 4

ljZljYljXljT

qjpjnjmjiM

j

M

j

M

j

M

j

l

q

Zl

p

Yl

n

Xl

m

T

AAAAe

AAAA

(III.B.11)

para cualquier ll . Como en el caso anterior, los sumandos de (III.B.11) que tienen al

menos una amplitud compleja no repetida en el producto *

,

*

,,, 4321 jZjYjXjT AAAA se anulan porque el

valor esperado de variables aleatorias estadísticamente independientes factoriza y vale cero (Ec.

III.B.4). Como las amplitudes complejas al cuadrado tienen también media nula (Ec. III.B.6), los

únicos términos que contribuyen son aquellos que cumplen T=Y, j1=j3, X=Z, j2=j4 ó T=Z, j1=j4,

X=Y, j2=j3, o ambas (T=X=Y=Z, j1=j2=j3=j4). Esto conduce a:

M

j

M

j

ljXljT

jqnjpmi

XZTY

l

q

Zl

p

Yl

n

Xl

m

T

AAe

AAAA

1 1

2

,

2

,

)()(

**

22

1 2

21

21 );(2

1);(

2

1

);();();();(4

1


- 141 -

M

j

M

j

ljXljT

jpnjqmi

XYTZ AAe1 1

2

,

2

,

)()(

1 2

21

21 );(2

1);(

2

1

M

j

ljTljT

jqpnmi

YZXYTX AAe1

22

,

4

,22

)( );(2

12);(

4

1

. (III.B.12)

La última suma corrige el cálculo incorrecto del valor esperado para los términos con j1=j2 en el

caso W=X=Y=Z. En estos términos, los factores 2

, );(1

ljTA y 2

, );(2

ljXA son idénticos y han

de tratarse como variables completamente correlacionadas (p. e. Howard, 2002, p. 105).

Los términos de III.B.12) proporcionales a XZTY

y XYTZ pueden simplificarse en el límite

0 , (con l , j ) usando (III.B.9). Por el contrario, el término

proporcional a YZXYTX se anula, porque el integrando se comporta como O conforme

0 :

)(~);(2

12);(

4

112

2

,

4

,22

)(

OAAe ljTljT

jqpnmi . (III.B.13)

Finalmente, las Ecs. (III.B.9), (III.B.12) y (III.B.13) conducen inmediatamente a

X

pn

T

qmXYTZ

X

qn

T

pmXZTY

q

Z

p

Y

n

X

m

T ffffAAAA

**

224

1

.

Apéndice III.C. Demostración de (3.3.11):

Se puede comprobar que 1 viene dada por (3.3.11) verificando que el producto por da la

matriz identidad.

N

p

jk NkNpiN

NjNpi1

1 ]/)2/12/1(2exp[2

]/2)1)2/12/((exp[2

1

N

p

pkjN

i

N

NkjN

i

1

])(2

exp[

)]2/)1)((2

exp[

,

que es uno si j = k (única opción de que j-k sea múltiplo de N). En otro caso, se suma la serie

geométrica:


- 142 -

)(2

exp1

)(2

exp1)(2

exp1

kjN

i

NkjN

ikj

N

i

jk

kj

kjN

i

kjN

i

,0

)(2

exp1

0)(2

exp

Apéndice III.D. Demostración de (3.3.14):

Directamente, de (3.3.13) y del desarrollo en serie de Fourier de ),,( jRX se tiene:

N

j

m jRXimjN

RX1

),,()exp(2

),(ˆ

'

'

1

),()'exp(2

1)exp(

2

m

m

N

j

RXjimimjN

N

jm

m jmmiRXN 1'

' )'(exp),(1

.

Recordando de nuevo la expresión de la suma de una progresión geométrica de razón

)'(exp mmi , sabemos que:

N

j

jmmi1

)'(exp

casootroen

mmi

Nmmimmi

NdemúltiplommsiN

0)'(exp1

))'(exp1()'(exp

)'(

de modo que queda finalmente:

),(ˆ RX m

k

kNm RX ),( .

Apéndice III.E. Demostración de (3.4.7-8):

Particularizando (3.2.8) para la estación central ( 0R ), resulta:

N

j

Lj

HV

Rj

1

)()(),0( AAU .

Aplicando la definición (3.2.11) y las propiedades (3.2.4) y (3.2.5) de )(RjA y )(LjA ,

tenemos:

),0(),,0( Ue radU

N

j

jLjjRj AA1

)sin()()cos()( =

iLjRjiLjRjN

j

iLjRjiLjRje

iAAe

iAAe

iAAe

iAAjj

2222

1111

1

)()(,


- 143 -

donde se han introducido las definiciones (3.2.19-20) en el último paso.

La componente tangencial se trata de manera análoga:

),0()(),,0( Uee z

tgU

N

j

jLjjRj AA1

)cos()()sin()( =

iLjRjiLjRjN

j

iLjRjiLjRje

AiAe

AiAe

AiAe

AiAjj

2222

1111

1

)()(.

Apéndice III.F. Demostración de (3.4.2), (3.4.3), (3.4.11) (3.4.13) y (3.4.14):

Particularizando (3.2.17) para 1m , se tiene:

),R(U rad

1 = )()( 20

1

RRR xJxJA )()( 20

1

LLL xJxJAi .

Sustituyendo esto en la definición de ),,0( RS radU, queda:

),0,( RS radU

)()(

4

120

*11,*11,2

1,2

1,

RRL

H

RL

H

R

H

R

H

R xJxJAiAAiAAA

+ )()(4

120

1*1,1*1,2

12

1

LLL

H

RL

H

RLL xJxJAiAAiAAA

. (III.F.1)

A partir de lo anterior, el denominador en la definición de rad queda:

),0,0( radUS ][

4

1 1*1,*11,1*1,*11,2

12

12

1,2

1, L

H

RL

H

RL

H

RL

H

RLL

H

R

H

R AiAAiAAiAAiAAAAA =

]Im2[4

1 *11,*11,2

12

12

1,2

1, L

H

RL

H

RLL

H

R

H

R AAAAAAAA .

Si definimos

1*1*111*1*112

12

12

12

1

*11*112

12

1

)('

LRLRLRLRLLRR

LRLRRR

AiAAiAAiAAiAAAAA

AiAAiAAA =

*11*112

12

12

12

1

*11*112

12

1

Im2

LRLRLLRR

LRLRRR

AAAAAAAA

AAAAiAA,


- 144 -

resulta: ))('1()()()(')()()( 2020 LLRRrad xJxJxJxJ , como queríamos

demostrar. Usando (3.2.44) en (III.F.1) se puede obtener, para un campo aleatorio estacionario:

2

);,0,(RS radU )()()(2

1200 RR

R xJxJf )()()(2

1200 LL

L xJxJf ,

con lo que queda la ecuación anterior se reescribe como:

);,0,0(

);,0,(

rad

rad

U

U

S

RS )()()( 20 RR xJxJ )()()(1 20 LL xJxJ ,

donde se ha definido LRR fff 000)( , que es también el cociente entre los límites para

campo aleatorio del numerador y del denominador de )(' .

El desarrollo para la componente tangencial es paralelo. La particularización de (3.2.18) para

1m queda:

),R(U tg

1 = )()( 20

1

RRR xJxJAi + )x(J)x(JA L2L0

1

L .

Con estas expresiones, la ecuación (3.4.10) se escribe:

),0,( RS tgU

)()(

4

120

*11*112

12

1

RRLRLRRR xJxJAiAAiAAA

)()(4

120

1*11*12

12

1

LLLRLRLL xJxJAiAAiAAA

(III.F.2)

A la vista de este resultado, comprobamos que el denominador en la definición de tg tiene la

misma expresión que en el caso radial ( ),0( tgS ),0( radS ), lo que era obvio ya los

integrandos de ambas expresiones son iguales salvo una traslación en , y ambas integrales se

extienden a un periodo completo en tal coordenada. Utilizando la definición de )(' ,

tg = ),0,0(/),0,( tgtg UUSRS queda tal como se avanzaba en (3.4.3). Finalmente, Para campos

aleatorios estacionarios se tiene:


- 145 -

);,0,0(

);,0,(

tg

tg

U

U

S

RS )()()( 20 RR xJxJ )()()(1 20 LL xJxJ .

Apéndice III.G. Demostración de la ecuación (3.5.15)

Como se indicó, cualquier registro puede expresarse como la suma de una componente de señal

y otra de ruido. Esto puede extenderse a los promedios pesados de la componente genérica X

(Utg

, Urad

ó W):

N

j

nimjns

m jRXjRXeRX1

)()( )];,,();,,([);,(ˆ

);,(ˆ);,(ˆ )( RXRX n

mm . (III.G.1)

Bajo la descripción del ruido admitida aquí, y suprimiendo por comodidad los argumentos

);,( R , podemos expresar el producto *)(

0

)(

0ˆˆ

2

1 nstgnstg UU

como:

*)(

0

)(

0ˆˆ

2

1 nstgnstg UU

*

00ˆˆ

2

1 tgtgUU

*)(

0

)(

0ˆˆ

2

1 ntgntg UU

*

00ˆˆ

2

1 tgtgUU

)(4 )(

2

n

HPN

(III.G.2)

En el primer paso se explota la independencia estadística entre las componentes de señal y de

ruido. En el segundo paso se considera la independencia estadística entre los registros de ruido

de estaciones distintas y la definición de la densidad de potencia espectral del ruido. Este

segundo paso es desarrollado a continuación en un caso algo más general: N>2 y |m|1, |n|1,

que será necesario en otro momento

);,(ˆ);,(ˆ2

1 *)()(

RYRX n

n

n

m

N

j

njmni

XY jRXeN 1

2)()(

2

2

);,,(2

14

nmXY

n

X

N

j

jmnin

XXY PN

ePN

)(

4)(

4 )(2

1

)()(

2

2

(III.G.3)

La igualdad se tiene cuando . Tras este límite (III.G.2) se puede reescribir:


- 146 -

),(ˆ )(

00RG ns

UU tgtg ),(ˆ00

RG tgtg UU)(

4 )(2

n

HPN

. (III.G.4)

Apéndice III.H. Demostración de las ecuaciones (3.6.1) a (3.6.3).

Las ecuaciones (3.6.1-3) pueden obtenerse eliminando las cantidades dependientes de las

amplitudes de las ondas planas entre las ecuaciones (3.2.16-18) y (3.2.21). Entre el conjunto

infinito de posibilidades, se elige aquella que involucra los menores valores de m (en valor

absoluto). Las formas de la ecuación (3.2.16) para m = 0 y m = 1 son:

),R(W0 = )x(JA2 R0

0,V

R y (III.H.1)

),R(W 1 = )x(JiA2 R1

1,V

R

, (III.H.2)

respectivamente. Del mismo modo, (3.2.17) implica

),R(U rad

0 = )(2 1

0

RR xJiA y (III.H.3)

),R(U rad

1 = )()( 20

1

RRR xJxJA )x(J)x(JAi L2L0

1

L . (III.H.4)

La ecuación (3.2.18) sólo se requiere para m = 1 :

),R(U tg

1 = )()( 20

1

RRR xJxJAi + )x(J)x(JA L2L0

1

L . (III.H.5)

Dividiendo (III.H.3) entre (III.H.1) y usando la ecuación (3.2.21) en la forma

)()(/)( 0,0 iAA V

RR obtenemos:

),R(U rad

0 / ),R(W0 = )x(J R1 / )x(J R0 , (III.H.6)

que corresponde a la ecuación (3.6.1) una vez introducida la definición (3.6.4). Para demostrar

(3.6.2) y (3.6.3), las cantidades 1

LA han de ser eliminadas a partir de las relaciones (III.H.4) y

(III.H.5). Tras algún álgebra se llega a:

),R(iU)x(f),R(U tg

1L1

rad

1 = 1)x(f)x(fx

)x(J2A L1R1

R

R11,H

R , (III.H.7)


- 147 -

donde se han usado la relación )x(J)x(J 20 = x/)x(J2 1 y la definición (3.6.4). Finalmente,

si la ecuación (III.H.7) se divide por (III.H.2), y el cociente )(/)( 1,1 V

RR AA se remplaza por

)(i (de la ecuación 3.2.21) entonces, obtenemos

RLR

tg

L

rad

xRWxfxf

RiUxfRU )(

),(1)()(

),()(),(

111

111

, (III.H.8)

que corresponde tanto a (3.6.2) (signos superiores) como a (3.6.3) (signos inferiores).

Apéndice III.I. Demostración de la ecuaciones (3.6.15) y (3.6.16)

Las ecuaciones (3.6.15) y (3.6.16) pueden obtenerse de las ecuaciones (3.6.12) y (3.6.13) usando

las relaciones (3.2.16-18) en sus formas particulares (III.H.2), (III.H.4) y (III.H.5).

Abordando primero el cálculo de 1111 WUWU tgtg

tenemos:

1111 WUWU tgtg =

[ )()( 20

1

RRR xJxJAi )()( 20

1

LLL xJxJA ] )(2 1

1

RR xJ

A

+

[ )()( 20

1

RRR xJxJAi )()( 20

1

LLL xJxJA ] )(2 1

1

RR xJ

A

=

)()()(][2

201

11112

LLRRLRL xJxJxJAAAA

(III.I.1)

De modo similar, 1111 WUWU radrad viene dado por:

1111 WUWU radrad =

[ )()( 20

1

RRR xJxJA )()( 20

1

LLL xJxJAi ] )(2 1

1

RR xJ

A

-

[ )()( 20

1

RRR xJxJA )()( 20

1

LLL xJxJAi ] )(2 1

1

RR xJ

A

=

)()()(][2

201

11112

LLRRLRL xJxJxJAAAAi

.

(III-I-2)


- 148 -

Substituyendo (III-I-1) y (III-I-2) en (3.6.12) se tiene:

])()()()()(Im[1

2020

2

1

21111

2

2

2 LLLLRRLRLB xJxJxJxJxJAAAAi

nII

)()()( 2

0

2

0

2

1

21111

22

2

LLRRLRL xJxJxJAAAA

,

como se quería demostrar. Análogamente, substituyendo (III-I-2) en (3.6.13) resulta:

220

2

1

21111

22

2

)()()( LLRRLRLB xJxJxJAAAAdII

,

que es (3.6.16).

Apéndice III.J. Demostración de las relaciones (3.6.17) y (3.6.18)

La demostración de ambas es inmediata si se toma valor esperado en (3.6.15) y (3.6.16) y se usa

(3.2.45) y que )()( * X

m

X

m ff para cualquier m entero, con X valiendo R (Rayleigh) o L

(Love).

22

*1*111

22

*1*111

22

*1*111

2

42

1111

22

2

444

4

RLRLRLRLRLRLRLRL

AAAAAAAAAAAAAAAA

]Re[284

4

*

22002

4

222200002

4

22

*1*111RLRLRLRLRLRLRLRL ffffffffffff

AAAA

Apéndice III.K. Demostración de las ecuaciones (3.6.23) y (3.6.24)

Para demostrar las ecuaciones (3.6.23) y (3.6.24), se advierte primero que, de sus definiciones:

]ˆˆˆˆˆˆˆˆ4

1Im[ˆ

*)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

1

)(

122

)( nsnsradnsnsradnsnstgnsnstgns

B WUWUWUWUnII

(III.K.1)

2)(

1

)(

1

)(

1

)(

122

)( ˆˆˆˆ4

1ˆ nsnsradnsnsradns

B WUWUdII

. (III.K.2)

Para evaluar los miembros derechos de (III.K.1) y (III.K.2) basta calcular los valores esperados

de los productos )4(ˆˆˆˆ 22*)(*)()()( ns

n

nsrad

m

ns

n

nsrad

m WUWU , )4/(ˆˆˆˆ 22*)(*)()()( ns

n

nsrad

m

ns

n

nsrad

m WUWU

,


- 149 -

)4/(ˆˆˆˆ 22)*()*()()( ns

n

nsrad

m

ns

n

nstg

m WUWU y )4/(ˆˆˆˆ 22)*()*()()( ns

n

nsrad

m

ns

n

nstg

m WUWU

, para n, m = ±1.

La evaluación del primero queda:

*)(*)()()(

22ˆˆˆˆ

4

1 ns

n

nsrad

m

ns

n

nsrad

m WUWU

2

ˆˆ

2

ˆˆ

2

ˆˆ

2

ˆˆ

4

ˆˆˆˆ **)()(*)()(*)()(

22

**rad rad

m

rad

m

n

n

n

n

n

n

n

n

nrad

m

nrad

mn

rad

mnm UUWWWWUUWUWU

2

ˆˆ416

4

ˆˆˆˆ

2

ˆˆ

2

ˆˆ *)(

2)()(

2

4

22

****)()( rad

m

rad

mn

V

n

V

n

Hn

rad

mn

rad

mnn

nrad

m

nrad

m UUP

NPP

N

WUWUWWUU

2

ˆˆ4*

)(2

nnn

H

WWP

N. (III.K.3)

En el primer paso se ha usado que los procesos aleatorios que describen al ruido no

correlacionado tienen media cero, así como la independencia estadística entre la señal y el ruido

y entre registros de ruido en componentes distintas. En el segundo paso, se considera la

independencia estadística entre las componentes de ruido grabadas en diferentes estaciones así

como la definición de la densidad espectral de potencia del ruido (ver Ec. III.G.3). Se ha

considerado también que N>2 y que los posibles valores para m y n son 1. La igualdad se tiene

para .

Un análisis similar puede llevarse a cabo para los otros tres productos listados antes. Los

resultados respectivos son:

**

22

)*()*()()(

22ˆˆˆˆ

4

1ˆˆˆˆ4

1n

rad

mn

rad

m

ns

n

nsrad

m

ns

n

nsrad

m WUWUWUWU

, (III.K.4)

*)(2

**

22

)*()*()()(

22ˆˆ

2

14ˆˆˆˆ4

1ˆˆˆˆ4

1 rad

m

tg

m

n

Vn

rad

mn

tg

m

ns

n

nsrad

m

ns

n

nstg

m UUPN

WUWUWUWU

(III.K.5)

y

**

22

)*()*()()(

22ˆˆˆˆ

4

1ˆˆˆˆ4

1n

rad

mn

tg

m

ns

n

nsrad

m

ns

n

nstg

m WUWUWUWU

, (III.K.6)

siempre con N>2 y |m|=|n|=1. Finalmente, las ecuaciones (3.6.23) y (3.6.24) se obtienen


- 150 -

remplazando los productos analizados de (III.K.1) y (III.K.2) por las expresiones (III.K.3),

(III.K.4), (III.K.5) y (III.K.6).

CAPÍTULO 4

UN ALGORITMO PARA LA INVERSIÓN DEL

MODELO DE ESTRUCTURA

4.1. INTRODUCIÓN

En este capítulo se trata el problema de la recuperación del modelo de la estructura del terreno

(descrito en términos de sus parámetros elastodinámicos) a partir de las medidas experimentales,

que, para muestro problema concreto, consistirán en velocidades de onda Rayleigh, Love y/o

valores del HVSR a distintas frecuencias. Tras una formulación general del problema en el

contexto bayesiano, se describirán algunos métodos de optimización global y de optimización

local. Los primeros tratan de obtener el mejor modelo (o los mejores modelos) de entre una gran

variedad de ellos usando poco conocimiento previo (normalmente sólo su parametrización y

unos rangos amplios para sus distintas propiedades). Los segundos tratan de refinar

iterativamente una estimación inicial, buscando un modelo óptimo dentro de un entorno de éste.

Finalmente, se describe un programa, preparado para su ejecución por varios procesadores en

paralelo, que combina métodos de ambos tipos y se hacen comprobaciones en un ejemplo

sintético.


- 152 -

Para describir el problema de modo más formal y general, llamemos modelo m = (m1,

m2,…m )dim(M )t al listado, en forma de columna, de un conjunto mínimo de propiedades que

(suponemos) caracterizan el sistema que se pretende estudiar (p. e., y en nuestro caso, espesores

de distintas capas, densidades y velocidades de propagación de ondas P y S) y d = (d1, d2,…,

)dim(Dd )t a la lista de las variables medidas experimentalmente (p. e., velocidad de fase de onda

Rayleigh a la frecuencia f1, velocidad de onda Love a f2, …). m y d pertenecen, respectivamente,

a dos conjuntos denominados espacio de los modelos M y espacio de los datos D que contienen

todas las combinaciones de parámetros y datos concebibles para el sistema y el experimento.

Asumimos ahora que conocemos una ley física capaz de predecir los valores reales de los

parámetros observables para cualquier modelo dado. Esa relación la expresamos mediante una

función g: M D. A la cantidad g(m) se la denomina cálculo (o modelado) directo de los

observables a partir del modelo m, mientras que el empleo de los resultados de un experimento

para obtener los parámetros del modelo (i. e. m) se denomina inversión o modelado inverso.

Si g(m) es inyectiva (i. e. dos modelos distintos no comparten nunca un mismo vector de

observables), las incertidumbres experimentales en d son despreciables y g-1

puede determinarse

con un esfuerzo razonablemente, el problema inverso puede reducirse a un sencillo cálculo de

g-1

(d) . Si, como en el caso que nos ocupa, estas condiciones no se dan, serán necesarios otros

procedimientos de tipo estadístico para solucionar el problema. La teoría general se presenta

brevemente la siguiente sección.

4.1.1. LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA INVERSO. ASPECTOS PROBABILISTAS.

La solución de un problema de inversión puede definirse de un modo muy general en función de

la información experimental, la información a priori y la información teórica. Una buena

aproximación sobre los aspectos probabilistas de la inversión puede encontrarse en la obra de

Tarantola (2005), autor recientemente fallecido. A continuación se realiza un breve resumen.

Aspectos probabilistas. Densidad de probabilidad a posteriori. Función costo.

La información a posteriori en el espacio de los modelos, es decir, el conocimiento que se tiene

del modelo de suelo tras el proceso de medida e inversión, se puede cuantificar mediante una

densidad de probabilidad )(mM , que se expresa, en virtud del teorema de Bayes como la

integral:

Un algoritmo para la inversión del modelo de estructura.

- 153 -

)(mM =

D )(

)|()()(

ddd

dD

DM dcte

mm (4.1.1)

(ver p. e. Tarantola, 2005, Ec. 1.89). Esta ecuación proviene de una formulación muy general del

problema inverso. En ella:

i) D

·dd indica integración en el espacio de los datos.

ii) La densidad de probabilidad )(dD da cuenta de los resultados de las medidas (datos

experimentales) y de la incertidumbre la medición (p. e. debida a efectos del instrumento),

indicando cómo de probable es que el valor verdadero de la magnitud medida sea d.

iii) La información a priori (probabilidad de que m sea el modelo verdadero, conocida por otros

medios) viene descrita por la distribución )(mM . En ausencia de información previa, )(mM

se remplaza por )(mM , denominada densidad de probabilidad homogénea en el espacio de los

modelos. Si todos los modelos se consideran equiprobables a priori en la parametrización de M

utilizada, )(mM será constante (si se cambiara seguidamente de parametrización, sería

necesario sustituir la distribución M , por otra distribución proporcional al elemento de volumen

en el nuevo espacio de los modelos, que podría ahora depender de m ).

iv) La distribución de probabilidad condicional )|( md representa el cálculo directo de la

magnitud medida a partir de cualquier modelo m . Se contempla en (4.1.1) el caso general en el

que el cálculo directo no da un resultado d unívoco para cada m , sino que existe alguna

incertidumbre asociada que se puede expresar como una densidad de probabilidad )|( md

para todo valor de d. Cuando el cálculo directo sí se puede realizar sin indeterminación y viene

dado por una función g(d), se puede escribir )|( md = ))(( mgd .

v) Por último, )(dD es la densidad de probabilidad homogénea en el espacio de los datos y

“cte” es una constante de normalización que posibilita que la integral de )(mM sobre M valga

uno.


- 154 -

En el caso que nos ocupa, puede ser razonable admitir que )(mM = )(mM =cte (no hay

información previa y todos los modelos tienen la misma probabilidad a priori), que )(dD =cte

y que )|( md = ))(( mgd . También admitiremos generalmente que las incertidumbres

experimentales en los datos son independientes y de tipo gaussiano:

)dim(

12

2

)dim(

1

2/)dim(

)(

2

1exp

2

1)(

D

DD j

j

jobsj

j

j

D

dd

d , (4.1.2)

donde jobsd , j y jd representan el j-ésimo dato experimental, su desviación típica y un

valor arbitrario para dato j-ésimo. Bajo estas hipótesis, la ecuación (4.1.1) queda:

)(mM

)dim(

12

2))((

2

1exp

D

jj

jobsjg

dm (4.1.3)

donde )(mjg es la componente j-ésima de g(m), i. e., el cálculo directo del observable j.

La suma

)dim(

1

22))((D

j

jjobsjg dm , que representa una medida de la discrepancia entre los

datos experimentales (pesados inversamente a su varianza) y el cálculo directo )(mg será, salvo

que se indique lo contrario, nuestra definición de función costo, y se simbolizará misfit(m).

)(mM es monótonamente decreciente respecto al costo del modelo m. Al negativo de la raíz

de la función costo se la denomina a veces función objetivo. Cabe advertir que no existe un

consenso general sobre estas definiciones.

Función costo ecualizada.

En la mayoría de las aplicaciones sismológicas en las que se realiza inversión a partir de datos de

distinto tipo (p. e., velocidades de ondas Rayleigh, de ondas Love, de modos superiores,…)

usados simultáneamente, se suele reformular ligeramente la definición de función costo, y

consecuentemente las (4.1.2-3), de modo que se incluya una “ecualización” que dé el mismo

“peso” a las magnitudes que se están invirtiendo.

Supongamos, por simplicidad, que tenemos dos tipos de datos (tipo 1 y tipo 2) y que el espacio

D se puede descomponer como el producto cartesiano D(1) D(2)

. En este caso, y siendo

dim(D(1)) y dim(D(2)

) el número de datos de cada tipo, podemos definir )(dD como:


- 155 -

)dim(

1)dim(

2)2()dim(

1

2)1(

2/)dim(

)dim(

1)dim(2

2

)2(

)dim(

12

2

)1(

)1(

)1(

(1)

)1(

)dim(

)dim(2

)dim(

)dim(22

)(

)dim(2

)dim()(

)dim(2

)dim(

2

1exp

)(

D

D

DD

D

D

D

DD

DD

DD

DD

j

j

j

j

jj

jobsj

jj

jobsj

D

dddd

d

,

(4.1.4)

quedando

)(mM

)dim(

1)dim(2

2

)2(

)dim(

12

2

)1((1)

)1( ))((

)dim(2

)dim())((

)dim(2

)dim(

2

1exp

D

D

D

DD

DD

jj

jobsj

jj

jobsj gg

dd mm.

(4.1.5)

Si se midió el mismo número de datos para ambos observables, i. e. )dim( )1(D = )dim( )2(D =

2/)dim(D , se recupera (4.1.3). Recogiendo la terminología de Pei (2007), el corchete del

numerador de (4.1.5) podría denominarse función costo ecualizada.

También es práctica común en los problemas sismológicos (p. e. Arai and Tokimatsu, 2005)

controlar la importancia relativa de las distintas magnitudes medidas mediante pesos

determinados empíricamente (normalmente mediante “prueba y error”). En nuestro caso simple,

si estos pesos son )1(p y )2(p , cumpliendo )1(p + )2(p = 1, )(mM vendrá dada por:

)dim(

1)dim(2

2

)2(

)2()dim(

12

2

)1(

)1(

(1)

)1( ))((

)dim(

)dim())((

)dim(

)dim(

2

1exp

)(

D

D

D

D

Dp

D

Dp

jj

jobsj

jj

jobsj

M

gg

dd mm

m

.

(4.1.6)

Si )1(p = )2(p = ½ se recupera (4.1.5). Formalmente, las ecuaciones (4.1.5) y (4.1.6) son

idénticas a (4.1.3) salvo en que ahora )dim(/)dim(2 2)( DD jl ó )]dim(/[)dim( )(2)( DpD ljl

juegan el papel de la varianza del dato j-ésimo. La adaptación de las ecuaciones descritas en


- 156 -

secciones posteriores a los casos en que )(mM venga dada por (4.1.5) o (4.1.6) es inmediata y

no se dará explícitamente.

“Visualización” de la solución del problema inverso.

Dados los datos experimentales y la función que realiza el cálculo directo, )(mg , la distribución

(4.1.3) se puede considerar ya como la solución al problema inverso. Desde esta perspectiva, la

dificultad estaría ahora en “visualizar” )(mM para poder identificar las zonas (modelos) con

mayor densidad de probabilidad. La representación detallada de )(mM suele ser inviable dada

la gran cantidad de modelos a evaluar (se requeriría un mallado fino en el espacio de los

modelos) y la dificultad de representación en más de 2 ó 3 dimensiones. Una opción interesante

consiste en generar y observar una gran colección de muestras de la distribución )(mM , es

decir escoger aleatoriamente modelos de tal modo que la densidad de probabilidad de que m sea

escogido sea proporcional a )(mM . El algoritmo de Metropolis-Hastings (Metropolis et al.

1953, Hastings 1970) puede usarse para llevar a cabo esta tarea de muestreo (ver p. e. Binder and

Heermann, 2002, Sambridge and Mosegaard, 2002; Gallagher et al., 2009).

4.1.2. CÁLCULO DEL MODELO MEDIO Y DE LAS INCERTIDUMBRES.

Una vez que podemos evaluar )(mM , se puede extraer toda la información estadística deseada.

Por ejemplo, se puede calcular el modelo medio mediante:

M

)(mmmm Md (4.1.7)

y la matriz de covarianzas como

M

)(~

mmmmmmC M

t

M d , (4.1.8)

cuyos elementos en la diagonal principal son las varianzas de los correspondientes parámetros.

Para obtener la distribución estadística de un parámetro j en particular, se calcula su densidad de

probabilidad marginal a posteriori:

M

M )(......)( )dim(111 mM

jj

jjM mdmdmdmdm . (4.1.9)


- 157 -

La utilidad de estas expresiones es discutible en el caso en el que haya varias regiones del

espacio de los modelos con buen grado de ajuste, ya que se podría obtener un modelo medio m

que no ajuste bien los datos (i.e. con )(mM pequeño) y grandes desviaciones típicas.

En cualquier caso, las integraciones anteriores se pueden realizar mediante el método de Monte

Carlo (en esencia, promediar evaluaciones del integrando en un conjunto de modelos aleatorios).

De este modo, si se eligen modelos aleatorios según una densidad de probabilidad uniforme, las

integrales (4.1.7) y (4.1.8) se pueden aproximar como un promedio pesado (de m y de

tmmmm ) sobre los modelos probados, con un peso para el modelo mp dado, siguiendo

(4.1.3), por:

mN

l jj

obsj

l

j

jj

obsj

p

j

g

g

1

)dim(

12

2

)dim(

12

2

))((

2

1exp

))((

2

1exp

D

D

d

d

m

m

, (4.1.10)

donde Nm es el total de modelos evaluados. Desgraciadamente, si el número de parámetros que

definen el modelo es grande (típicamente, mayor que 10), es probable que las regiones en las que

el peso es significativo no se muestreen suficientemente si este muestreo hace de modo

uniforme. Dal Moro et al. (2007) usan esta aproximación para invertir un modelo medio a partir

de curvas de dispersión y evaluar sus incertidumbres, tomando todas las poblaciones generadas

en aplicaciones reiteradas de un algoritmo genético, que resultan más ricas en modelos con buen

ajuste. De modo más riguroso, se podría mejorar el resultado generando modelos que sigan una

cierta distribución de probabilidad conocida p(m) que muestree mejor las regiones de M que

proporcionan buenos ajustes (i. e. aquellas con )(mM apreciable). En ese caso habría que

corregir los pesos de cada modelo en la media final (modificar la expresión 4.1.10), de modo que

éstos queden proporcionales a )(mM /p(m) en lugar de a )(mM . Un caso extremo consiste en

muestrear según la distribución p(m) = )(mM (por ejemplo, usando el algoritmo Metropolis-

Hastings, como se comentó antes). En ese caso, m y MC~

se obtienen como simples promedios

(sin pesos) de m y tmmmm para los modelos así generados (ver p. e. Gallagher et al.,

2009, Ec. 7).


- 158 -

4.2. MÉTODOS DE BÚSQUEDA GLOBAL.

En la sección anterior se mencionaron el método de Monte Carlo y una variante: el algoritmo de

Metropolis-Hastings en dos contextos diferentes pero muy relacionados: la exploración del

espacio de los modelos en busca de máximos relativos de )(mM (i. e. de modelos probables,

dadas las medidas experimentales) y la evaluación de las integrales que definen el modelo medio

y la desviación típica en sus parámetros. En esta sección nos centramos en el primer aspecto,

comentando brevemente estos y otros métodos que tienen en común la capacidad de explorar

grandes regiones del espacio de los modelos en busca de mínimos de la función costo

(equivalentemente, máximos de la densidad de probabilidad a posteriori o de la función

objetivo), tratando de evitar el quedar atrapados en posibles mínimos locales. Un primer método

de búsqueda global consiste en la evaluación de )(mmisfit en un mallado suficientemente fino

de M. Esta opción es viable cuando el número de parámetros es pequeño, típicamente, de hasta

tres o cuatro (p. e. para un cálculo directo que dure 1s y 20 valores por cada variable, el cálculo

dura dos días en dimensión cuatro; si hay 50 valores por variable, ya dura 72 días; en dimensión

tres las duraciones serían de dos horas y 34 horas respectivamente).

4.2.1. MÉTODOS DE MONTE CARLO

En su forma más simple, el método de Monte Carlo consiste en generar una colección de

modelos distribuidos aleatoriamente y uniformemente en una región acotada del espacio de los

modelos, en la que supone que puede haber elementos con buen ajuste. Se trata de una opción

muy atractiva por su simplicidad y porque no se necesita de ningún ajuste experto de parámetros

que relacionados con la operación del método, aparte de los intervalos de búsqueda. Su principal

problema consiste en que, conforme la dimensionalidad del problema crece, el número de

modelos muestreados debe de crecer sustancialmente (exponencialmente) para tener

oportunidades de encontrar las regiones de alto grado de ajuste. Tarantola (2005) indica, bastante

poéticamente, que “los espacios de alto número de dimensiones tienden a estar terriblemente

vacíos”. Aún así, estos métodos son aplicables en casos de dimensionalidad moderada.

Recientemente Socco and Boiero (2008) han realizado experimentos sintéticos invirtiendo las

velocidades de ondas S y los espesores en modelos de hasta tres capas sobre el semiespacio

(espacio de los modelos de dimensión 7) examinando 150000 modelos.


- 159 -

4.2.2. ALGORITMOS GENÉTICOS

Los algoritmos genéticos (GA) (Holland 1975, Goldberg 1989, Whitley 1994) son considerados

como una herramienta muy potente para la exploración del espacio de los modelos. Su

funcionamiento pretende mimetizar el proceso de evolución biológica natural.

A los parámetros del modelo se les permite tomar sólo un conjunto discreto de valores, de modo

que cada modelo puede ser codificado en una cadena de bits. El funcionamiento típico consiste

en generar aleatoriamente una población que consta de un número fijo de modelos sobre la cual

se van a aplicar, en cada iteración, tres operadores: selección, cruce y mutación. El operador

selección elige aleatoriamente un conjunto de modelos que pasarán a la siguiente población, con

más probabilidad cuanto mayor sea su grado de ajuste. El operador cruce combina segmentos de

las cadenas de bits de parejas de modelos “padres”, también mediante decisiones aleatorias. El

operador mutación puede cambiar aleatoriamente el valor de cada bit (con una probabilidad baja)

para hacer una población más diversa. Tras varias iteraciones (generaciones) se van

seleccionando modelos con buen ajuste y a la vez, explorando distintas regiones de M.

Típicamente, el algoritmo requiere la elección de cinco parámetros, como el tamaño de la

población y los relacionados con las decisiones aleatorias que ejecutan los operadores.

Los GA se han aplicado en muchas ocasiones en problemas de geofísica, y en particular para el

ajuste de formas de onda. Algunas aplicaciones a la inversión de datos de ondas superficiales

pueden encontrarse en los trabajos de Yamanaka and Ishida (1996) y Fäh et al. (2003). En

García-Jerez et al. (2008a) se adaptó el algoritmo genético escrito por Jiménez et al. (2005) en

entorno MATLAB® para la inversión de curvas de dispersión y HVSR. Sin embargo, si se

pretende una descripción bayesiana de la información que se consigue en la inversión (en la línea

de la Sección 4.1.1), los algoritmos genéticos resultan inapropiados, ya que la distribución de

probabilidad con que se muestrea M es muy compleja o desconocida (ver p. e. Sambridge and

Mosegaard 2002, Tarantola 2005).

4.2.3. CRISTALIZACIÓN SIMULADA.

La cristalización simulada (simulated annealing) es un método de inversión inspirado en el

proceso termodinámico de enfriamiento y cristalización de la materia, destinado a encontrar el

modelo con máxima verosimilitud (el que maximiza )(/)( mm MM ). Desde el punto de vista

de la teoría estadística resumida en la Sección 4.1.1, el método consiste en muestrear una versión

deformada de la densidad de probabilidad a posteriori )(mM de modo que, a medida que se

obtienen muestras, se van acentuando los picos de probabilidad entorno al modelo (o modelos)


- 160 -

que proporcionan buen ajuste. La densidad de probabilidad modificada ),( TM m se define, en

general, como:

),( TM m

)(

)(lnexp)( 0

m

mm

M

MM

T

T

(4.2.1)

que, para las )(mM descritas en la Sección 4.1.1 y con )(mM constante queda:

),( TM m

)(

2

1exp 0 mmisfit

T

T. (4.2.2)

En estas densidades modificadas intervienen dos nuevos parámetros, T y 0T , a los que se

denomina temperaturas (instantánea e inicial, respectivamente) ya que (4.2.2) tiene una forma

similar a la probabilidad de ocurrencia del estado m a la energía 2/)(mmisfit según la

distribución de Gibbs. El muestreo de la distribución (4.2.2) se puede realizar extrayendo

modelos sucesivos mediante el algoritmo de Metropolis-Hastings (Metropolis et al. 1953,

Hastings 1970). Tras muestrar suficientemente ),( TM m a una temperatura dada, se procede a

bajar ésta (por ejemplo Pei, 2007 sigue una relación ii TcteT 1 ) y continuar la serie de

muestreos. Esta reducción de T supone realzar la probabilidad de obtener modelos con buen

ajuste en detrimento de los de peor ajuste. El procedimiento termina cuando se cumple algún

criterio prefijado, p. e., cuando no se consigue bajar el valor de )(mmisfit en un cierto número

de iteraciones o cuando )(mmisfit está por debajo de cierto valor. La acción combinada del

muestreo de Metropolis y del enfriamiento produce una serie de modelos que tiende a converger

a un máximo de )(mM . Si el enfriamiento es lento, el método explora mejor el espacio de los

modelos, favoreciéndose la transición de unas regiones de M a otras (incluso transitando por

zonas de peor ajuste). Si es rápido, el comportamiento es más parecido a una optimización local

y puede obtenerse un mínimo relativo de )(mmisfit . Un ejemplo de aplicación del algoritmo a la

inversión de curvas de dispersión puede encontrarse en el artículo de Martínez et al. (2000).

4.2.4. OTROS MÉTODOS.

En la bibliografía se pueden encontrar aplicaciones de muchos otros procedimientos de inversión

que tienen capacidad para la optimización global, tales como el empleo de redes neuronales o del


- 161 -

algoritmo Neighbourhood (de la vecindad). Estos métodos son comentados brevemente a

continuación.

Las redes neuronales son algoritmos que pretenden abordar el problema de la inversión

emulando el funcionamiento del cerebro. Fueron aplicadas por primera vez al problema que nos

ocupa por Gucunski (1993). Posteriormente, Michaels and Smith (1997) las aplicaron a la

inversión de la estructura partiendo de sismogramas en lugar de usar curvas de dispersión. El

algoritmo permite obtener los parámetros del modelo a partir de los observables basándose en un

aprendizaje previo en el que la red neuronal (un programa informático) es entrenada con una

serie de señales sintéticas para las que se conoce el modelo correspondiente. El método tiene

limitaciones para el estudio de la propagación de errores y en los casos en que la solución no es

única.

El algoritmo neighbourhood o de la vecindad (p. e. Sambridge, 1999; Wathelet, 2005) está

basado en la posibilidad de obtener una partición del espacio de los modelos mediante diagramas

de Voronoi (la definición de estas regiones será revisada brevemente en la Sección 4.4 y Fig.

4.4.2). Partiendo de un conjunto de modelos aleatoriamente (y uniformemente) distribuidos en

M, se determinan en primer lugar sus respectivas celdas de Voronoi. Seguidamente, las celdas

centradas en los mejores modelos son muestradas, generando nuevos modelos uniformemente

distribuidos en su interior. El conjunto ampliado de modelos induce una nueva partición de M

en la que las regiones con alto grado de ajuste están más finamente divididas. El procedimiento

es iterado (muestreando el nuevo conjunto de celdas óptimas), acotando así los mejores modelos

en celdas de menor volumen cada vez. El número de celdas óptimas a tratar y el número de

modelos aleatorios que se generan en cada iteración son fijos y predeterminados por el usuario.

4.3. MÉTODOS DE BÚSQUEDA LOCAL.

Existen problemas físicos en los que la función )(mmisfit (o )(mM ) es sencilla y presenta un

solo mínimo relativo o, más comúnmente en los problemas que nos ocupan, el conocimiento

sobre la solución es suficiente como para acotar el espacio de los modelos a una región con tales

características. En esos casos, puede ser preferible utilizar un algoritmo de búsqueda local capaz

de explorar esa región de M localizando el mínimo de forma precisa. Estos algoritmos requieren

un modelo inicial a partir del cual evolucionar en un único camino hacia un mínimo local. Suelen


- 162 -

ser adecuados aún en espacios de dimensionalidad alta. A continuación se comentan dos de estos

algoritmos que van a ser utilizados en la parte experimental de esta tesis.

4.3.1. INVERSIÓN LINEALIZADA.

Estos métodos sacan partido de un caso de problema inverso especialmente simple. Se trata de

aquel en que el cálculo directo viene descrito por una operación lineal. La relación d=g(m)

puede escribirse entonces como una operación matricial d = G m y la densidad de probabilidad

a posteriori )(mM (Ec. 4.1.3) conserva una forma Gaussiana:

)(mM

)~(

~)~(

2

1exp 1 obs

M

tobs dd mGCmG (4.3.1)

centrada en obs

D

t

D

t d111 )(~ CGGCGm y con 11 )(~ GCGC D

t

M , siendo DC una matriz

diagonal con las varianzas de los datos. Si dim(M)=dim(D), se tiene simplemente

obsd1~ Gm .

Cuando el problema no es lineal, g(m) puede desarrollarse en torno a un modelo m0 cercano a la

solución m~ como g(m) g(m0) + G(m - m0), con Gjl

=

0m

l

j

m

g , de modo que ésta puede ser

aproximada por

m~ m0 - 111 )(

D

t

D

tCGGCG (g(m0) - dobs

). (4.3.2)

Este procedimiento se puede aplicar de modo interativo reintroduciendo el modelo calculado

m~ como modelo inicial y calculando la matriz G en torno a él. Si el problema es fuertemente no

lineal, el algoritmo se puede estabilizar introduciendo un amortiguamiento. En el método quasi-

Newton, esto se traduce en aplicar un factor entre 0 y 1 tras el primer signo (-) de (4.3.2) cuyo

efecto es acortar los pasos entre dos modelos sucesivos impidiendo que el algoritmo se “salte”

posibles variaciones “rápidas” de g(m) entre m0 y m~ . Si el problema es débilemente no lineal,

)(mM no es una Gaussiana, pero puede ser aún aproximada por una Gaussiana como (4.3.1) en

torno al punto óptimo m~ obtenido.

La matriz de covarianzas a posteriori se evalúa como 11 )(~ GCGC D

t

M tomando las derivadas

parciales en el punto m~ . Los elementos de la diagonal principal de MC~

representan las


- 163 -

varianzas de los correspondientes parámetros y por tanto, sus raíces cuadradas pueden tomarse

como estimación del error en el parámetro del modelo invertido (ver también la definición de la

elipse o el elipsoide de error en el Apéndice IV.B). Los elementos de fuera de la diagonal indican

en qué medida las incertidumbres de las distintas variables están correlacionadas. Efectivamente,

la correlación entre las incertidumbres de los parámetro j y l es más importante cuanto mayor sea

el valor de ll

M

jj

M

jl

M CCC~~

/~

< 1. El grado de representatividad del ajuste puede evaluarse a partir

del valor de )~(mmisfit (Apéndice IV.A).

Una formulación más general de este problema, en la que se integra la información a priori

puede encontrarse en la obra de Tarantola (2005).

4.3.2. DOWNHILL SIMPLEX.

Este procedimiento, diseñado por Nelder and Mead (1965), evita la estimación de derivadas

parciales de la función costo respecto a los parámetros ajustables del modelo (o de gj(m) como

en el caso anterior), permitiendo una rápida adaptación del algoritmo a cualquier tipo de cálculo

directo. Por otra parte, la convergencia a la solución local es típicamente más lenta que en el caso

anterior. En primer lugar, se define un modelo inicial y se genera un conjunto de dim(M)+1

modelos (que son los vértices de un cuerpo geométrico denominado simplex) variando

ligeramente y una a una sus dim(M) variables independientes. Por ligeramente ha de entenderse

una variación pequeña, pero con efectos perceptibles en el cálculo directo de la curva a ajustar

(dependerá del problema concreto). La función costo es evaluada en cada uno de los vértices del

simplex y el que proporciona el peor ajuste es reemplazado por otro, obtenido mediante la

realización de ciertas operaciones geométricas sobre el conjunto (contracción, reflexión o

reflexión y expansión, ver Figura 4.3.1). Si estas operaciones fallan (no consiguen un vértice

mejor que el eliminado), el simplex se contrae hacia el mejor de sus vértices antes de

reintentarlas (contracción múltiple en Fig. 4.3.1). El proceso se puede terminar cuando la

diferencia en la función costo entre el peor y el mejor vértice del simplex está por debajo de

cierto porcentaje prescrito o cuando el tamaño del simplex se hace suficientemente pequeño.

4.4. DISEÑO E IMPLEMENTACIÓN DE DOS ALGORITMOS HÍBRIDOS.

A continuación se describe y se muestran las posibilidades de un código que combina métodos

locales de optimización con una búsqueda aleatoria simple aplicado al problema de la obtención

de modelos de suelo unidimensionales a partir de curvas de dispersión de ondas superficiales de


- 164 -

Figura 4.3.1 Posibles evoluciones del “simplex” en un espacio de los modelos tridimensional. Los vértices

“superior” e “inferior” del simplex son los que presentarían mayor y menor valor de misfit, respectivamente.

Adaptado de Press et al. (1992).

corto periodo. Con el objetivo de aprovechar al máximo las capacidades de cómputo actuales, se

ha elaborado un programa informático paralelizado cuyo funcionamiento sigue el esquema

indicado en la Figura 4.4.1. El programa está escrito en FORTRAN77 y utiliza subrutinas MPI

(Message Passing Interface) para la comunicación entre los distintos procesadores.

Algoritmos de optimización implementados

En la versión actual, el programa puede trabajar en dos modos distintos: i) Búsqueda aleatoria

directa (Monte Carlo) + Inversión linealizada o ii) Monte Carlo + Downhill Simplex. Como caso

particular de interés, también es posible realizar búsquedas Monte Carlo exclusivamente. El

procedimiento es, básicamente, como sigue:

Uno de los ordenadores, al que llamaremos máster, realiza una elección de modelos mediante un

generador de números pseudo-aleatorios y dentro de ciertos rangos decididos a priori por el

usuario. Los modelos están definidos por la velocidad de onda P (VP), la velocidad de onda S

(VS), el espesor (h) y la densidad () de cada uno de los estratos planoparalelos que, se supone,

forman la estructura (el número de estratos es fijo y es definido por el usuario). Dos formatos

distintos son soportados para establecer la región del espacio de los modelos a explorar: la

especificación de intervalos para cada parámetro del modelo y la especificación de regiones en el


- 165 -

plano VS – z (con z representando la profundidad) limitadas por relaciones potenciales del tipo

VS = V0 z x con V0 y x constantes. En el primer caso, pueden indicarse tres tipos de parámetros:

variables independientes, fijos y dependientes. Los dependientes se calculan del resto a partir de

relaciones empíricas (p. e. o VP a partir de VS). El usuario puede elegir entre usar las relaciones

pre-programadas o aportar otras en forma de parejas de valores en un archivo adjunto (que se

usarán para interpolación). En el segundo caso, VP y se tratan siempre como parámetros

dependientes.

El ordenador máster envía estos modelos iniciales al resto de procesadores y espera sus

respuestas mediante recepciones no bloqueantes de MPI. Seguidamente, cada procesador

secundario emplea métodos de optimización local con objeto de encontrar un mínimo relativo de

la función misfit(m) en el entorno del modelo recibido.

En el modo i) se emplea el método de Backus-Gilbert (Backus and Gilbert, 1970) en su

implementación de Herrmann (1987). En este caso, se permite realizar iteraciones en las que las

variables independientes sean todas las velocidades de onda S (VS) o bien los espesores de las

capas (h). Cualquier secuencia regular de ambos tipos de iteraciones puede ser también prefijada.

El número de iteraciones es fijado por el usuario.

En el modo ii) se emplea método Simplex-Downhill (Nelder y Mead, 1965). Concretamente, se

usa adaptación de la subrutina amoeba (Press et al. 1992). El simplex inicial se construye

variando un pequeño porcentaje (5%) los parámetros del modelo inicial (se usa el mismo

criterio que en la función fminsearch de MATLAB). El procedimiento termina cuando se

estabiliza el grado de ajuste de los datos o cuando se alcanza un número de iteraciones prefijado.

En este modo de operación, se preserva la clasificación de los parámetros del modelo (variables,

dependientes o constantes) también durante las iteraciones. Cualquier subconjunto de

propiedades se puede marcar como independientes (por ejemplo, espesores y velocidades de

onda S o P de ciertas capas, etc.). Además, si la región de generación de modelos iniciales se

especificó mediante los intervalos de variación de los parámetros independientes, se puede

(opcionalmente) forzar que la minimización local se realice también dentro de esa región,

sumando penalizaciones artificiales a misfit(m) cuando el simplex genere modelos en el exterior

del recinto permitido.


- 166 -

Figura 4.4.1. Esquema del algoritmo híbrido de inversión.

Una vez satisfecha la condición de término de la optimización local, cada procesador envía al

máster el modelo m~ resultante de ésta, así como el valor de misfit( m~ ) correspondiente,

quedando libre para la recepción de un nuevo modelo (la cual se realiza inmediatamente). El

programa termina, tras un número prefijado de modelos iniciales tratados, ordenando los

modelos devueltos en función del misfit(m) y realizando los análisis estadísticos que se indicaron

en la Sección 4.1.2. Un script de MATLAB permite una sencilla representación de la salida (p.

e. Fig. 4.4.4b). Como se ha indicado antes, la generación de modelos aleatorios está centralizada

en el ordenador máster. Aunque en la versión actual las únicas ventajas de esto son de tipo

organizativo, se facilita así la evolución del programa hacia futuras versiones (por ejemplo, la

integración de un algoritmo genético como método de búsqueda global, que requiere que un solo

procesador tenga acceso y combine los modelos de las distintas poblaciones).

El programa permite que los procesadores trabajen a velocidades distintas (en función de sus

características, del número de procesos activos,…) ya que los modelos se van reponiendo

conforme éstos van quedando libres. Está implementada la posibilidad de limitar el tiempo

empleado por los procesadores en el cálculo directo y de que cada procesador guarde un registro

de los modelos que se van generando durante la minimización local.

CPU 01

CPU 02

CPU N

CPU i

modelos iniciales

- Solución Local. - Grado de ajuste.

OPERADOR Optimización Local

Datos experimentales. Límites del espacio de los modelos.

- Listado de modelos salientes por grado de ajuste. - Análisis estadístico.

Algoritmo Backus-Gilbert.

Algoritmo Downhill Simplex


- 167 -

Cálculos directos implementados.

En la Tabla 4.4.1 se indica, para cada algoritmo, qué tipo de datos pueden utilizarse en la

inversión (independientemente o de forma conjunta) y se resumen algunas características de la

implementación. En caso de inversiones conjuntas, el usuario puede decidir los pesos que se dan

a los distintos observables. En el caso de las curvas de dispersión, se admiten múltiples modos.

Como cálculo directo del HVSR se toma, para cada frecuencia, el menor de los dos valores

siguientes: i) el valor absoluto de la elipticidad del modo fundamental Rayleigh a esa frecuencia,

ii) la máxima amplitud del HVSR experimental. Este procedimiento disminuye los efectos de

una posible divergencia en el cálculo directo en torno a la frecuencia de resonancia.

Tabla 4.4.1. Características de los distintos modos de inversión.

Monte Carlo Monte Carlo &

Inversión Linealizada

Monte Carlo &

Downhill-Simplex

Veloc. Fase. Rayleigh Sí Sí Sí

Veloc. Fase. Rayleigh Sí Sí Sí

HVSR Sí No Sí

Parametrización

Arbitraria de los

modelos

Sí

Sólo en la generación de

modelos iniciales.

Iteraciones en espesores o

velocidades.

Sí

Análisis estadístico implementado.

Los análisis estadísticos descritos en las secciones 4.1.1. y 4.1.2. han sido programados en un

código de MATLAB que trabaja sobre el fichero de salida del programa híbrido de inversión, i.

e. una lista de Nm modelos probados ( lm ; l = 1, …, Nm) con sus correspondientes valores de la

función costo. Por efecto de los algoritmos de optimización local, los modelos evaluados distarán

de estar uniformemente distribuidos en M, apareciendo más concentrados en la región (o

regiones) donde misfit(m) es pequeño. Por tanto, para calcular el modelo medio m y la matriz

de covarianzas MC~

de (4.1.7) y (4.1.8), además de pesar cada modelo según su densidad de

probabilidad a posteriori habrá que añadir pesos adicionales que den cuenta de la proporción de

la región M representada por cada uno. Con este objetivo, se han calculado los diagramas de

Voronoi asociados al conjunto de modelos. Para cada uno se define su celda de Voronoi como la

región de M limitada por puntos equidistantes a algún otro modelo. La proporción entre el

volumen (en el espacio dim(M)-dimensional) de la celda asociada a un modelo y el volumen


- 168 -

total de M es una estimación del peso correspondiente. Combinando los dos tipos de pesos se

tiene weight( pm ):

)](2

1exp[)(

)](2

1exp[)(

)(

l

N

l

l

pp

p

misfitVol

misfitVol

weightm

mm

mm

m

, (4.4.1)

siendo Vol( pm ) el volumen de la celda de Voronoi correspondiente al modelo pm . Como se

comentó anteriormente, una vez evaluados m y MC~

, se pueden extraer las desviaciones

estándar de los parámetros de m . En el programa, emplea el software MPT (Multi Parametric

Toolbox, disponible en http://control.ee.ethz.ch/~mpt/) junto a MATLAB para calcular el

diagrama de Voronoi en cualquier número de dimensiones dim(M). En dos dimensiones, y a

modo de ilustración, se muestra el procedimiento en la figura 4.4.2. En las Figs. 4.4.4b y d se

muestra parte de la salida del código para un ejemplo sintético: modelos salientes ordenados

según misfit(m) (escala de grises), mejor modelo (en rojo), modelo medio y desviación típica

(azul) y matriz de covarianzas normalizada.

4.4.1 COMPROBACIÓN DEL ALGORITMO

Se ha comprobado el programa aplicándolo a la inversión de una curva de dispersión Rayleigh

sintética correspondiente a un modelo conocido. En este caso, se ha utilizado un modelo de dos

capas sobre semiespacio que fue usado por Yamanaka (2005) para el testeo de varios métodos de

inversión globales. El modelo está listado en la Tabla 4.4.2. Se consideró exclusivamente el

modo fundamental y un rango de frecuencias entre 2 y 25 Hz.

Test a número de evaluaciones constante

En primer lugar, buscamos qué relación entre el número de modelos iniciales (Nmi) generados y

el número de iteraciones realizadas por el algoritmo Simplex optimiza los resultados en nuestro

ejemplo. Para ello, fijamos el coste computacional en la evaluación de 3000 modelos y

ensayamos distintos valores del número de iteraciones (Nit) de modo que se mantenga Nmi x Nit =

3000.

En la Figura 4.4.3 se representa el grado de ajuste del mejor modelo y la media del de los cinco

mejores modelos salientes, en función de Nmi.. Los mejores resultados se obtuvieron usando 20 y

25 modelos iniciales, correspondiendo a 150 y 120 iteraciones respectivamente. Como se

observa, este problema de 5 parámetros libres es aún lo suficientemente sencillo como para que

sea posible obtener buenas soluciones mediante unas pocas aplicaciones del algoritmo Simplex.

http://control.ee.ethz.ch/~mpt/


- 169 -

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Variable 1

Va

ria

ble

2

Figura 4.4.2. Ejemplo de integración en un espacio de los modelos bidimensional. Los puntos verdes representan los

modelos evaluados y el punto rojo es el mejor de ellos (menor valor de la función costo). Se muestra la partición en

celdas de Voronoi. El color de cada celda es más cercano al blanco cuanto mayor es el peso del modelo que

contiene, que depende del valor que toma la distribución probabilidad a posteriori y del volumen de la celda. El

modelo medio y la desviación típica en las variables se muestran en azul.

Tabla 4.4.2. Parámetros del modelo e intervalos de generación de modelos iniciales.

Variables Independientes

Capa VS (m/s) h (m) (g/cm3) VS (m/s) h (m)

1 100 3 1.5 70 a 130 1 a 11

2 250 5 1.8 175 a 325 1 a 11

3 500 2.0 350 a 650

Los resultados obtenidos por Yamanaka (2005), en condiciones análogas y con un mismo costo

computacional, mediante un Algoritmo Genético están representados en la Figura 4.4.4(a) por la

línea amarilla. El área de búsqueda de cada variable se codificó a 8 bits (25x8

= 1.1 1012

posibles

modelos). Usó una población de 30 modelos que evolucionaron a lo largo de 100 generaciones.

La línea verde representa el modelo obtenido con Monte Carlo + Downhill Simplex usando 20

modelos iniciales. Se observa que los resultados obtenidos con este procedimiento híbrido son, al


- 170 -

menos en este problema concreto, mejores que los del Algoritmo Genético para un coste

computacional similar (en términos de cálculos directos realizados).

Figura 4.4.3. Grado de ajuste del mejor modelo encontrado (puntos) en función del número de modelos iniciales

(Nmi) para un total de 3000 modelos probados. Las iteraciones han sido realizadas con el método Simplex. Los

triángulos corresponden al promedio de los grados de ajuste de los 5 mejores modelos encontrados. El grado de

ajuste representado en el eje de ordenadas es

)dim(

1

2)dim(

1

2 )())((100100DD

j

jobs

j

jobsjg ddm.

En la figura 4.4.4c se pueden verificar visualmente las diferencias en el grado de ajuste. Sin

embargo, aunque el mejor modelo obtenido por nuestro método (línea verde) reproduce muy

bien las capas superficiales, da una profundidad del semiespacio algo más alejada de la real. En

la Figura 4.4.4b también se muestran los resultados de la aplicación del algoritmo descrito sobre

una muestra más amplia de modelos aleatorios (1000 modelos aleatorios, 150 iteraciones por

modelo). También se calculó el modelo medio y su dispersión para el conjunto de los modelos

salientes de la optimización local, que se representa en 4.4.4a y b con línea azul (se siguió el

método descrito en esta sección; los modelos salientes que están fuera de los rangos de la Tabla

4.4.2. fueron excluidos de la estadística). El modelo obtenido a partir de sólo 30 modelos

iniciales es perfectamente consistente con los resultados estadísticos obtenidos con 1000

modelos iniciales (no así el obtenido con el GA, que está fuera del rango de una desviación

típica). La matriz de covarianzas normalizadas representada en la Fig. 4.4.4d muestra

dependencias significativas entre el espesor y la velocidad de la primera capa y, en menor

medida, entre el espesor de la segunda capa y la velocidad del semiespacio.


- 171 -

Figura 4.4.4. (a) Modelos resultantes de la inversión usando 3000 evaluaciones de la función costo: con algoritmo

genético en amarillo; con el algoritmo híbrido descrito aquí (y 20 modelos iniciales x 150 iteraciones con simplex)

en verde. El modelo real se muestra en magenta. El resto de las líneas se explican en la subfigura (b).

(b) En rojo, mejor modelo obtenido tras 150000 evaluaciones (1000 modelos iniciales x 150 iteraciones con

Simplex). El resto de los modelos recibidos de los procesadores secundarios están representados en escala de grises

según el grado de ajuste. En azul se representa el modelo medio (ver texto). (c) Curvas de dispersión

correspondientes a los modelos obtenidos con el procedimiento híbrido (verde) y con el algoritmo genético

(amarillo) usando ambos 3000 evaluaciones. Para los cálculos de las barras de error (subfiguras a y b) y de los

valores de misfit(m) (subfigura b) se asumió una desviación típica constante en los datos valiendo el 5% del valor

r.m.s. de éstos, esto es, 18.3m/s. (d) Matriz de covarianzas a posteriori normalizada obtenida para la inversión

realizada en la subfigura (b). El elemento j,l representa ll

M

jj

M

jl

M CCC / , estando acotado entre 0 y 1.

4.4.2. CÁLCULO DE LA EFICIENCIA EN LA PARALELIZACIÓN.

El funcionamiento de un algoritmo paralelizado generalmente se evalúa en términos del

incremento de velocidad o de la eficiencia (Sheen et al., 2006). El incremento de velocidad (S) se

define generalmente como la relación entre el tiempo invertido cuando el programa se ejecuta en

un solo procesador y el tiempo empleado cuando se ejecuta en un clúster de n procesadores,


- 172 -

nTTnS /)( 1 . (4.4.2)

En nuestro caso, el ordenador máster es excluido en el cómputo de n. El cociente de S(n) entre el

número de procesadores da la eficiencia de la paralelización (E):

nnSnE /)()( (4.4.3)

De acuerdo con la definición, la eficiencia es igual a 1 cuando el incremento de velocidad es

lineal con el número de procesadores. En nuestro caso, como en la mayoría de las

implementaciones en paralelo, el incremento de velocidad se sitúa por debajo del

comportamiento lineal (Figura 4.4.5) debido al aumento del tiempo de comunicación con el

tamaño del clúster. Conforme el tamaño del clúster crece, aumenta además la probabilidad de

que cuando uno de los procesadores secundarios termina su tarea encuentre al máster ocupado en

transmitir respuesta a alguno de los otros ordenadores.

Figura 4.4.5. Comportamiento del algoritmo Búsqueda Aleatoria + Simplex. La línea continua representa el

comportamiento ideal. Los círculos corresponden al comportamiento encontrado. En todos los casos, se ejecutó el

problema establecido en la Tabla 4.4.2 utilizando 20 modelos iniciales y 150 iteraciones por modelo inicial. En

abscisa, se representa el número de procesadores excluido el máster.

4.5. RESUMEN Y CONCLUSIONES DEL CAPÍTULO 4.

En este capítulo se han descrito diferentes métodos de inversión, tanto de tipo global como


- 173 -

orientados a búsquedas locales en el espacio de los modelos M. También se han resumido los

elementos estadísticos necesarios de la teoría de la inversión según una formulación bayesiana.

Se ha presentado un código de inversión híbrido que combina métodos de inversión global y

local: búsqueda aleatoria, downhill simplex e inversión linealizada. El programa está adaptado

para su ejecución en paralelo en equipos de cálculo masivo. Asimismo, se ha presentado una

herramienta desarrollada en MATLAB® que permite la representación de los resultados de la

inversión y el cálculo del modelo medio y de la matriz de covarianzas, aproximando las

necesarias integraciones sobre el espacio M mediante un método basado en diagramas de

Voronoi. Una aplicación de estos códigos a datos reales puede encontrarse en la Sección 5.3.4.

Se ha realizado un ejemplo sintético de inversión utilizando el programa desarrollado,

obteniéndose muy buenos resultados (desajustes por debajo del 0.0002% en términos de

)dim(

1

2))((D

j

jobsjg dm frente a

)dim(

1

2)(D

j

jobsd ). En comparación con un algoritmo genético, y a

igual número de cálculos directos, el método híbrido proporcionó un mejor ajuste.

A la vista de las Figuras 4.4.3 y 4.4.4 se advierte que es necesario usar una relación “equilibrada”

entre número de modelos iniciales y el número de iteraciones para optimizar el rendimiento del

algoritmo. En un extremo, el uso de un solo modelo inicial, aun no estando muy alejado del

modelo solución, no garantiza la convergencia a una solución razonable (p. e., hay algunos

modelos muy discrepantes del verdadero en Figura 4.4.4b que proceden de modelos iniciales

dentro de los rangos en la tabla 4.4.2). En el otro, una mera exploración aleatoria de los

intervalos de búsqueda resulta relativamente ineficiente (Figura 4.4.3 para Nmi altos),

requiriéndose un aumento sustancial del número de modelos evaluados para alcanzar resultados

similares. Desgraciadamente, no parece fácil encontrar una regla general, debiéndose buscar este

equilibrio entre los algoritmos mediante prueba y error.

Se ha realizado un test de eficiencia para la implementación paralelizada del algoritmo híbrido

utilizando un máximo de 11 procesadores. Aunque hay una pérdida paulatina de eficiencia

conforme el número de procesadores crece, ésta se sitúa, como poco, en el entorno del 80%,

manteniéndose la tendencia decreciente del tiempo de cálculo.


- 174 -

4.6. APÉNDICES DEL CAPÍTULO 4.

Apéndice IV.A. Evaluación de la fiabilidad del ajuste

Una vez encontrado el modelo m~ que minimiza misfit(m ) es posible evaluar cómo de bueno es

el ajuste alcanzado. Para ello, dada la distribución )(mM definida por las medidas

experimentales jobsd y j , j=1,…, dim(D) en (4.1.3), se puede evaluar que probabilidad hay

de que aparezcan valores tan alejados de obsd como los del cálculo directo g(m~ ) o más.

Utilizamos que misfit(m~ ) se distribuye como una distribución chi-cuadrado de = dim(D) -

dim(M) grados de libertad (Press et al., 1992). Por tanto, introduciendo el valor de misfit(m~ ) en

la Tabla IV.A.1. se puede obtener la probabilidad q = 1-p de que ese grado de desajuste se

obtuviera por azar. Si q es muy baja, se puede concluir que el modelado del problema es

deficiente o que los errores experimentales están subestimados.

Tabla IV.A.1. Distribución 2

, p acumulativa como función de los grados de libertad y del nivel de confianza.

Apéndice IV.B. Híper-elipsoide de error

Estudiemos ahora las incertidumbres en el valor de m~ restringiéndonos a un grupo de

parámetros de interés. La función misfit( 1m ,…, m ) = misfit( 1m ,…, m , 1~

m ,…, )dim(~

Mm ) -

misfit(m~ ), que depende del subconjunto de parámetros 1m ,…, m , está también distribuida

como una distribución chi-cuadrado de grados de libertad (Press et al., 1992). Por tanto, la

región del subespacio -dimensional de M en la que la probabilidad de que misfit( 1m ,…, m )

esté es mayor que p, está limitada por la curva:


- 175 -

2

,2211,...,1

1

2211 )~...~~(~

)~...~~( pM

t mmmmmmmmmmmm C ,

(IV.B.1)

donde 2

, p se puede leer de la Tabla IV.A.1 y ,...,1

1~

MC es la matriz formada por la intersección

de las filas 1,..., y las columnas 1,..., de 1~

MC . Por ejemplo, si =1 (nos interesara un solo

parámetro) y fijamos el 68.3% de nivel de confianza, tenemos 212

11~ mm , lo que es en

general válido para cualquier variable j (i. e., la región buscada es el intervalo

j

j

j

j mm ~~ ). En 2D (i. e. si =2) la ecuación (IV.B.1) limita una elipse de error, en 3D

un elipsoide y un hiper-elipsoide para valores superiores de . Los respectivos ejes principales se

pueden calcular como los autovectores de ,...,1

1~

MC .


- 176 -

CAPÍTULO 5

APLICACIONES

5.1. CARACTERIZACIÓN DE LA COBERTURA SEDIMENTARIA DEL POLJE DE

ZAFARRAYA, SUR DE ESPAÑA, MEDIANTE MEDIDAS DEL COCIENTE ESPECTRAL

H/V DE RUIDO AMBIENTAL.

La estructura sedimentaria de la cuenca de Zafarraya, una depresión kárstica localizada en el sur

de España, ha sido estudiada por García-Jerez et al. (2006a) usando el cociente espectral H/V

para ruido ambiental (HVSR) en combinación con información geológica. Para ello, se realizó

un ajuste entre la frecuencia del pico principal del cociente espectral y la profundidad del

basamento usando 17 puntos de la cuenca en los que se disponía de información geotécnica.

Seguidamente se utilizó la relación ajustada para inferir la profundidad del basamento en una

malla densa de puntos a partir de las frecuencias de resonancia medidas. Además, se obtuvo una

relación exponencial que describe la variación de la velocidad de onda S con la profundidad para

la cobertura sedimentaria de la cuenca, asumiendo su homogeneidad lateral (hasta alcanzar el

basamento, de profundidad variable) y variaciones suaves en vertical, debidas a la edad de los

materiales y al incremento de la presión confinante. En los detalles metodológicos, se sigue el

trabajo pionero de Ibs-von Seht and Wohlenberg (1999), si bien, se comparan varias maneras


- 178 -

alternativas para relacionar teóricamente los modelos de suelo 1D con las frecuencias de

resonancia.

5.1.1. INTRODUCCIÓN

La cuenca de Zafarraya (Fig. 5.1.1), es una gran depresión kárstica ubicada en el sur de la

Península Ibérica (López-Chicano et al., 2002). Esta región meridional sufre la mayor

peligrosidad sísmica de la Península, debida a la colisión entre las placas euroasiática y africana.

Figura 5.1.1. a) Situación de la cuenca de Zafarraya, en el sur de España. b) Topografía de la cuenca de Zafarraya.

Los puntos rellenos indican los lugares en que se realizaron medidas de microtremores, aproximadamente en los

vértices de una malla cuadrada de 500 m de lado. La línea continua indica la situación del corte geológico mostrado

en la figura 5.2, uniendo un conjunto de sondeos geoeléctricos (puntos huecos).

Buen ejemplo de ello es el terremoto de Andalucía, que alcanzó magnitud 6.8 según el Instituto

Andaluz de Geofísica (www.ugr.es/~iag) e intensidad epicentral X. Este evento causó grandes

daños el 24 de diciembre de 1884 en varias localidades situadas en la cuenca y en sus

proximidades.

Algunos trabajos han sido ya publicados sobre la respuesta sísmica de la cuenca de Zafarraya.

Los primeros estudios realizados usando registros de ruido ambiental fueron presentados por

Morales (1991) y Morales et al., (1991). Estos autores analizaron el movimiento horizontal en 15

puntos situados a lo largo de dos perfiles perpendiculares (aproximadamente del punto I1 al L4 y

del E5 al K2 en la Fig. 5.1b), encontrando una frecuencia dominante en el espectro en torno a

los 2.8 Hz, que permanecía casi constante en toda la cuenca. Sin embargo, Luzón (1995) y

Luzón et al. (2004) llevaron a cabo simulaciones en modelos homogéneos 2D y 3D bajo

incidencia de ondas planas usando el método IBEM (Indirect Boundary Element Method) en los

(a) (b)

Aplicaciones.

- 179 -

que encontraron que la frecuencia fundamental de la función de transferencia es dependiente de

la profundidad local al basamento. Las amplificaciones del movimiento del suelo encontradas

por estos autores fueron de hasta 12 en las zonas más profundas.

5.1.2. CONTEXTO GEOLÓGICO

Como se indicó, la cuenca de Zafarraya es una gran (22 km2) depresión kárstica Neógena situada

en el suroeste España y enclavada en la cordillera Bética. Tiene una longitud de unos 10 km

siguiendo una orientación ESE-WNW (Fig. 5.1.1). La anchura máxima (3.5 km) aparece en el

sector occidental. La altitud media ronda los 900m sobre el nivel del mar,

decreciendosuavemente hacia el oeste y hacia el norte. El borde norte está limitado por “Sierra

Gorda”, una gran masa carbonatada de caliza blanca del Jurásico, mientras que en el resto del

contorno aparecen los montes de Zafarraya, compuestos de calizas dolomíticas.

En esta área se realizaron varias investigaciones anteriores usando métodos geoeléctricos

(López-Chicano, 1989) y geotécnicos (Martín Vivaldi et al., 1971) que revelaron cierta

complejidad en la estructura sedimentaria de la cuenca. Estos estudios muestran una capa

superficial formada por arenas, limos y conglomerados aluviales con un espesor máximo que no

alcanza los 10 m en el punto más

profundo (López-Chicano, 1992).

Existe una segunda capa, compuesta de

arcillas y limos aluviales, con un

espesor máximo de unos 50 m en el

sector oriental. Estos materiales

descansan directamente en el sobre el

basamento carbonatado mesozoico en

el oeste, mientras que cerca del borde

sur, y en la parte central hay un estrato

grueso de margas. Al este,

principalmente, existen calcarenitas

ocupando el lugar de las margas. Un

esquema de la geología en la sección

longitudinal marcada en Fig. 5.1.1b se

muestra en la figura 5.1.2. La

Figura 5.1.2. Sección geológica de la cuenca de Zafarraya,

correspondiente a la línea indicada en la Fig. 5.5.1. Leyenda: 1,

Materiales carbonatados del Mesozoico; 2, materiales margosos y

calcáreos del periodo cretácico; 3, calcarenitas; 4, margas

azuladas del Mioceno superior; 5, arcillas y limos aluviales; 6,

arenas, limos y conglomerados aluviales; 7, sondeo geoeléctrico.

Adaptado de López-Chicano (1992).


- 180 -

profundidad máxima del estrato hasta la caliza no está bien determinada, aunque se sabe que

alcanza al menos los 200 m en algunas zonas alrededor del lecho del arroyo La Madre (López-

Chicano, 1992). Este arroyo estacional, fluye desde el sureste hasta los sumideros del noroeste,

perdiendo un 60% del caudal antes de alcanzar el centro de la cuenca debido a la gran

infiltración a través de los depósitos aluviales. Otros arroyos y sumideros menores aparecen en el

borde oeste, que es un área complicada, con afloramientos calizos puntuales. Más información

sobre la hidrogeología de esta zona puede encontrarse en López-Chicano et al. (2002). Aunque

existen varias poblaciones situadas en los bordes de la cuenca (Zafarraya, en los afloramientos

del oeste, Ventas de Zafarraya en la parte central del borde sur y El Almendral en el centro del

borde norte, ver Fig. 5.1.1), la mayor parte de la su superficie se emplea para la explotación

agrícola.

5.1.3. MEDIDAS DE MICROTREMOR

En julio de 2004, obtuvimos 86 registros de microtremor, aproximadamente en los vértices de

una malla regular cuadrada de 500 metros de lado, cubriendo la práctica totalidad de cuenca (Fig.

5.1.1). En contraste con Morales et al. (1991), quienes usaron sólo componentes horizontales,

nosotros registramos ruido ambiental en las tres componentes. Los instrumentos empleados

fueron dos sismógrafos de corto periodo trabajando a una frecuencia de muestreo de 100 Hz.

Uno de ellos constaba de un digitalizador SPC-35 y tres sensores VSE-15D con respuesta plana

en un rango de frecuencias entre 0.25 y 70 Hz. El otro, tenía conectados sensores Mark L4-C con

una respuesta aceptable entre 0.65 y 40 Hz. Ambos dispositivos habían sido empleados

previamente en varios trabajos (Navarro et al., 2001; Almendros et al., 2004; Al Yuncha et al.,

2004). Los sensores fueron fijados a plataformas niveladas, colocadas directamente sobre el

suelo. El tiempo de registro fue de 10 minutos, en los que se evitó la actividad de la maquinaria

agrícola en el entorno del punto de medida. Tras las correcciones instrumentales, cada registro

fue dividido en un conjunto de ventanas de 20.48s de longitud, parcialmente solapadas

(centradas cada 2.56s). Se admite que esta longitud es apropiada para el cálculo numérico de la

FFT para cualquier frecuencia mayor de 0.5 Hz, pues contiene al menos 10 ciclos de cada

periodo analizado. Los módulos cuadrados de las transformadas de los registros norte-sur NU

y

este-oeste EU , que son proporcionales a las respectivas densidades espectrales de potencia,

fueron compuestos y divididos por el del registro vertical W para obtener el cociente espectral

H/V ó HVSR según )()()()(22

fWfUfUfHVSR EN . Los cocientes espectrales fueron

calculados separadamente en todos los intervalos temporales y representados en un diagrama

Aplicaciones.

- 181 -

dependiente del tiempo (ratiograma) tal como se muestra en la figura Fig. 5.1.3b.

Figura 5.1.3. Análisis de estabilidad del HVSR para el punto I2. (a) Registro de ruido ambiental en las tres

componentes. (b) Representación del cociente espectral en función del tiempo. (c) Promedio temporal de las

amplitudes espectrales de las componentes horizontal (línea continua) y vertical (línea discontinua). (d) Promedio

del cociente espectral (línea continua). La desviación estándar se muestra con línea discontinua. Obsérvese la

discrepancia entre la frecuencia de máxima amplitud en la horizontal y la frecuencia de resonancia (definida como la

frecuencia del pico principal del HVSR).

Seguidamente, el registro de velocidad es inspeccionado visualmente y los cociente H/V

promediados para las ventanas con buena calidad, evitando los transitorios debidos a fuentes

cercanas como coches o pasos. Se comprobaron varias elecciones de longitud de ventana (30s y

40.96s) y de los grados de solapamiento sin que aparecieran variaciones significativas en los

resultados.

Siguiendo este procedimiento se pudieron determinar las frecuencias de resonancia en diferentes

puntos de la cuenca dentro de un ancho rango espectral. La estabilidad del pico principal fue

comprobada, descartando los puntos con resultados poco concluyentes (picos inestables).

Aunque frecuentemente se encontró un alto nivel espectral en la componente horizontal en torno

a 3Hz, esta frecuencia no correspondió siempre a la del pico principal en el HVSR, como se

aprecia en las figuras 5.1.3c y 5.1.3d. Las frecuencias de resonancia encontradas en cada punto

de la malla se muestran en la Fig. 5.1.4.


- 182 -

Figura 5.1.4. Mapa de frecuencias de resonancia (en Hz) obtenidas de los HVSRs. Los sitios en los que el cociente

espectral presenta varios picos similares o poca estabilidad están marcados por una X. Los triángulos identifican los

sitios con cocientes espectrales prácticamente planos o con picos anchos a alta frecuencia (15 Hz).

5.1.4. AJUSTE DEL PERFIL DE VELOCIDADES DE ONDA S Y DE LA RELACIÓN

FRECUENCIA-PROFUNDIDAD.

Dentro de cada estrato sedimentario, compuesto de materiales geológicos aproximadamente

homogéneos, el módulo de rigidez se incrementa típicamente con la profundidad de forma suave

(pero a mayor ritmo que la densidad de masa) debido a la presión de confinamiento. La

consiguiente variación de la velocidad de onda S puede aproximarse por una expresión del tipo:

x

SSz

zVzV )

*1()( 0 , hz (5.1.1)

(ver Ibs-von Seht and Wohlenberg, 1999) donde SV es la velocidad de onda S a la profundidad z

en la capa sedimentaria (0 < z < h ), 0SV es la velocidad en la superficie, x es un parámetro que

controla la dependencia con la profundidad y *z es una distancia de referencia que controla el

comportamiento para valores pequeños de z . La frecuencia fundamental de resonancia de la

onda S para tal estructura sedimentaria puede ser aproximada a partir de su tiempo de viaje en la

Aplicaciones.

- 183 -

capa (Ibs-von Seht and Wohlenberg, 1999):

h

S zV

dz

f 0 )(4

1 (5.1.2)

A partir de (5.1.1) y (5.1.2) se obtiene:

*1*4

)1(*)(

)1/(1

0 zfz

xVzfh

x

S

. (5.1.3)

La ecuación (5.1.3) permite calcular el espesor h de la cobertura sedimentaria a partir de

medidas experimentales de la frecuencia de resonancia f y de un ajuste previo de los

parámetros x , 0SV y *z . Una aproximación ligeramente más simple es la usada por Delgado et

al. (2000a) y Delgado et al. (2000b), que corresponde a una ley puramente potencial entre

profundidad y velocidad:

x

SSz

zVzV

*)(' 0

(5.1.4)

Aquí, )(' zVS es una buena aproximación a )(zVS cuando z >> *z . En tal caso, si x < 1, la

ecuación (5.1.2) conduce a:

)1/(1

0

*4

)1()('

x

x

S

fz

Vxfh

, (5.1.5)

que tiene la ventaja de permitir un ajuste lineal en escala logarítmica, con un valor de la

pendiente )x1/(1B .

Para llevar a cabo un ajuste de los parámetros anteriores en la cuenca de Zafarraya, se consideró

un conjunto de 17 puntos de la malla en los que la profundidad de la capa sedimentaria estaba

bien determinada mediante sondeos geoeléctricos cercanos y con una frecuencia de resonancia

determinada con claridad. El ajuste de la ecuación (5.1.3) con tales datos, obtenido mediante un

método de minimización iterativa linealiazada, se muestra en la figura 5.1.5a. Los valores


- 184 -

ajustados para *z fueron mucho menores que la profundidad del punto más superficial

considerado (11 m de sedimentos), así que *z pudo ser fijado a 1m, por simplicidad, sin

influencia en el rango de profundidades en el que hay datos.

Figura 5.1.5. (a) Frecuencias del pico principal del HVSR en función de la profundidad al basamento resistivo

obtenida a partir de sondeos geoeléctricos. La línea discontinua muestra la relación (5.1.6) ajustada para la cuenca

de Zafarraya. La línea continua muestra el ajuste de una relación alternativa basada en ondas superficiales (ecuación

5.1.7). (b) Elipses de error para los parámetros ajustados x y 0SV de la ecuación (5.1.6), considerando niveles de

confianza del 68.3% (línea discontinua) y del 95% (línea continua).

La ecuación resultante, que es válida para profundidades de 11 a 125 m, fue:

136.0)1(437)( zzVS , (5.1.6)

donde SV está en m/s y z en m. El error cuadrático medio de los datos respecto al ajuste fue de

unos 6m. Las incertidumbre de los parámetros, considerando niveles de confianza del 68% y del

95% (ver Nash and Sofer, 1996; Press et al., 1992; entre otros) se muestran en la Fig. 5.1.5b. Al

carecer de una evaluación adecuada de las incertidumbres en los valores de profundidad de los

puntos ajustados, estas no han sido consideradas en el ajuste.

Teniendo en cuenta que el ruido sísmico parece estar compuesto principalmente por ondas

superficiales (p. e. Konno and Ohmachi, 1998), se ha explorado una aproximación alternativa

usando el procedimiento diseñado por Arai and Tokimatsu (2000) (y descrito en la Sección 2.1.7)

para el cálculo directo de las frecuencias de resonancia. En este procedimiento, que reemplazará

a la ecuación (5.1.2), la potencia relativa de las ondas Rayleigh y Love venía determinada por el

parámetro , de forma que éstas últimas adquieren mayor importancia conforme aumenta,

Aplicaciones.

- 185 -

mientras que sólo se consideran las primeras para = 0. Las frecuencias de resonancia teóricas

se tomaron de los HVSR simulados para los sitios en los que la profundidad era conocida y para

cada pareja de parámetros ( 0SV , x ) probados. En estos cálculos, la cobertura sedimentaria fue

dividida en tantas capas de 5m de espesor como fueran necesarias, asignándoles velocidades de

onda S obtenidas por la ecuación (5.1.1) y tomando un valor de 2000 m/s para el semiespacio

carbonatado (Schenková and Zahradnik, 1996). El cociente de los esfuerzos horizontal y vertical

en la fuente ( ) se tomó como la unidad. Otros detalles del cálculo pueden consultarse en

García-Jerez et al. (2006a). El mejor ajuste entre las frecuencias medidas y calculadas se obtuvo

para:

305.0)1(214)( zzVS (5.1.7)

que corresponde a la línea continua en la Fig. 5.1.5a. El error cuadrático medio del ajuste es de

0.64 Hz. En la figura 5.1.6 se muestran ejemplos del HVSR calculado por este segundo método,

para varios valores de , en el punto K5 (con 52 m de profundidad al basamento) usando el

modelo de suelo definido por la ecuación (5.1.7). Se observa que el HVSR calculado, aunque

reproduce la frecuencia de resonancia, no ajusta correctamente la amplitud del pico principal. Sin

embargo, dicha amplitud no juega ningún papel en el presente estudio. Se puede observar como

las hipótesis sobre el método de cálculo para las frecuencias de resonancia pueden tener una

influencia significativa sobre el modelo de suelo obtenido. Nótese que la ecuación (5.1.2) puede

incluso no ser una estimación suficientemente exacta de la frecuencia de resonancia de ondas S

verticalmente incidentes en medio heterogéneos (ver la diferencia significativa entre el primer

máximo de la función de transferencia, mostrada en la figura 5.1.6 con línea negra discontinua, y

la frecuencia de resonancia calculada a partir del tiempo de viaje, que se muestra con una línea

discontinua vertical). Aunque es una cuestión en discusión, el empleo de métodos basados en

ondas superficiales (incluyendo las Love) puede ser preferible, ya que el microtremor parece

componerse principalmente de este tipo de ondas (ver trabajos de Aki, 1957; Lachet and Bard,

1994; Tamura, 1996; Konno and Ohmachi, 1998; Arai and Tokimatsu, 2000; Ohori, 2002 y

discusión en el Capítulo 1 y la Sección 2.1).

5.1.5. DISCUSIÓN.

Las relaciones f - h calculadas para la cobertura sedimentaria de la cuenca de Zafarraya son

comparables a las encontradas en otras cuencas sedimentarias. Algunos de estos resultados

previos se presentan en la Fig. 5.1.7a. En aquellos estudios en los que se obtuvo una ley


- 186 -

Figura 5.1.6. HVSRs medido (línea gris continua) y teóricos (líneas negras) para el punto K5.

Estas últimas se obtienen usando el modelo de suelo derivado de la ecuación (5.1.7) hasta la

profundidad del basamento. Las etiquetas indican el valor de empleado. La línea

discontinua negra muestra la función de transferencia 1D para ondas S con incidencia

vertical. La línea vertical discontinua muestra la frecuencia de resonancia calculada para la

estructura a partir de la ecuación (5.1.2).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

20

40

60

80

100

120

140

Frequency (Hz)

Th

ickn

ess (

m)

(a)

0 500 1000 1500

-250

-200

-150

-100

-50

0

S-wave velocity (m/s)

De

pth

(m

)

(b)

Figura 5.1.7. (a) Comparación entre las relaciones frecuencia-profundidad para la cuenca de Zafarraya

calculadas usando la ecuación (5.1.2) (línea negra discontinua) o usando un método basado en ondas

superficiales (línea negra continua). También se muestran los resultados obtenidos en estudios similares

llevados a cabo en otras cuencas: desembocadura del Rin con línea gris continua (Ibs-von Seht and

Wohlenberg, 1999), área de Colonia con línea discontinua (Parolai et al., 2002), valle del río Segura con línea

punteada gris (Delgado et al., 2000a), área de Florencia con punteada negra (D‟Amico et al., 2008). (b) Velocidad de

onda S en función de la profundidad dentro de los materiales sedimentarios en las cuencas representadas en la

subfigura (a).

Aplicaciones.

- 187 -

estrictamente potencial entre f y h ( BAfh ) se pueden obtener 0SV y x comparando con la

ecuación (5.1.5) y tomando *z = 1m. Las funciones )(zVS obtenidas para estas cuencas se

representan en la Fig. 5.1.7b (ver también Tabla 5.1.1) junto con los resultados correspondientes

a la cuenca de Zafarraya presentados en las ecuaciones (5.1.6) y (5.1.7).

En la literatura al respecto se han

estudiado estos parámetros usando

distintos métodos. Por ejemplo, Ohta

and Goto (1978) obtuvieron

relaciones potenciales entre SV y z a

partir de datos geotécnicos, con un

exponente x = 0.312 ( B = 1.454) y

valores de 0SV dependientes de la

textura del suelo. Expresiones más

detalladas (Hardin and Drnevich,

1972) muestran que el módulo de

rigidez G en suelos particulados es

aproximadamente proporcional a la

raíz cuadrada del esfuerzo efectivo cσ , dependiendo también de otros parámetros geotécnicos

(densidad de masa de las partículas, grado de saturación, fracción vacía, índice de plasticidad y

factor de sobreconsolidación). Por tanto, SV es proporcional a 25.0z sólo si estos parámetros

geotécnicos permanecen constantes dentro de la capa sedimentaria (ver, por ejemplo, Schneider

et al., 1999). Los trabajos listados en la Tabla 5.1.1 muestran valores mayores de 0.25 excepto en

el caso del valle del río Segura ( x = 0.204 o B = 1.256), en el que se consideraron sedimentos

relativamente superficiales (hasta 45.7 m de profundidad máxima) y suelos mayoritariamente

más blandos. Valores superiores de x , en concreto 0.28 y 0.37 ( B = 1.388 y 1.587,

respectivamente) se han encontrado en cuencas con cubiertas sedimentarias más profundas, que

incluyen materiales cementados y rocas sedimentarias blandas caracterizadas por una mayor

rigidez (ver, por ejemplo, Kramer, 1996). Exponentes del orden de 0.448 ( B = 1.812) se han

obtenido para el basamento en el área de Colonia entre los 20 y los 377 m (Parolai et al., 2002).

Por lo tanto, el valor de 0.305 que hemos obtenido para x , considerando que el microtremor

está compuesto por ondas superficiales, está dentro del rango esperable para una cuenca

sedimentaria como la de Zafarraya.

Tabla 5.1.1. Parámetros x y 0SV para la relación entre z y

SV

(Ec. 5.1.6) obtenida en varias estructuras sedimentaria

europeas. El parámetro *z ha sido fijado a 1 m.

Situación x 0SV (m/s)

Cuenca de Zafarraya (basado en la

ecuación 1) 0.136 437

Cuenca de Zafarraya (método de ondas

superficiales) 0.305 214

Desembocadura del Rin (Budny, 1984) 0.278 162

Desembocadura del Rin (Ibs-von Seht

and Wohlenberg, 1999) 0.280 148.8

Área de Colonia (Parolai et al., 2002 ) 0.37 115

Valle del río Segura (Delgado et al.,

2000a) 0.204 122.3

Área de Florencia (D‟Amico et al., 2008)

z < 20m

z > 20m

138

318

0.43

0.15


- 188 -

A partir del ajuste mostrado en la ecuación (5.1.7) y del conjunto de periodos predominantes

medidos, se ha podido realizar el mapa de profundidades al basamento (isobatas), que se muestra

en la Fig. 5.1.8. La característica más notable es el incremento de la profundidad hacia la parte

central del borde sur (ver también cortes a lo largo de las columnas C, F, I y L en la Fig. 5.1.9).

Esa depresión en la roca caliza parece extenderse hacia el este a lo largo del lecho del río La

Madre. El espesor de los sedimentos disminuye más rápidamente hacia el sur y hacia el oeste y

más gradualmente hacia el norte y hacia el este. En el sector suroeste, en las proximidades del

borde sur de la cuenca (puntos D2, E2, F2), encontramos profundidades inferiores a 50 m, que

parecen estar subestimadas en comparación con las determinadas por Morales et al. (1991) o

López-Chicano (1992), quienes dan profundidades hasta el basamento resistivo que alcanzan los

90 m y mayores que 100 m respectivamente. El pico principal del HVSR muestra amplitudes

bajas (en torno a 2) en esa zona de la cuenca, sugiriendo un pobre contraste de impedancia entre

los sedimentos y el basamento. De acuerdo con esto, la presencia de materiales sedimentarios

con velocidad de onda S anormalmente alta, podría motivar la subestimación de su profundidad.

Los posibles efectos de las heterogeneidades laterales en el cociente espectral han sido

descartados calculando separadamente los HVSR para las componentes horizontales N-S y E-W

en los puntos de la malla próximos al borde sur, no encontrándose ninguna diferencia relevante.

El incremento de la profundidad de la cuenca encontrado en el área noroeste, al norte de los

afloramientos (punto E6) y en el borde norte, cerca del sumidero principal (C7, C8 y D8)

concuerda con los resultados de López-Chicano (1992), aunque no es coherente con las

profundidades mostradas por Morales et al. (1991).

Figura 5.1.8. Espesor estimado de la cobertura sedimentaria en la cuenca de Zafarraya interpolado para toda el

área de estudio. El modelo de velocidad de onda S depende solamente de la profundidad y está dado, para los

sedimentos, por la ecuación (5.1.7), que ha sido extrapolada aquí hasta los 200 m.

Aplicaciones.

- 189 -

En este trabajo se ha interpretado que todas las resonancias encontradas, incluso a frecuencias

bajas, son debidas a efectos 1D. Esto es admisible dada la baja relación de forma equivalente

que presenta la cuenca, ya observable en las estructuras de López-Chicano (1992) y Morales et

al. (1991). Siguiendo a Bard and Bouchon (1985), la posibilidad de que se desarrollen

resonancias globales 2D depende de la forma de la cuenca y del contraste de velocidades entre

los sedimentos y el basamento. Un perfil profundo y estrecho y/o un contraste alto abrirían esta

posibilidad. La cuenca de Zafarraya no reúne estas condiciones. En la Fig. 5.1.10 se muestran

distintas estimaciones de la relación de forma equivalente (la profundidad máxima dividida por

la anchura a la mitad de la profundidad máxima) frente al contraste de velocidades para varios

perfiles N-S. El contraste se ha evaluado en base a la velocidad media en la capa sedimentaria

hasta la profundidad máxima o hasta la mitad de esta profundidad. En cualquier caso, estamos en

Figura 5.1.9. Perfiles de la cuenca de Zafarraya

correspondientes a las columnas C, F, I y L de la Fig.

5.1.8. en los que se muestra el relieve y la profundidad

estimada de los sedimentos hasta el basamento calizo.

La velocidad de onda S estimada se muestra en escala

de grises.

Figura 5.1.10. Situaciones estimadas de algunos perfiles

2D de la cuenca de Zafarraya en la representación de

Bard and Bouchon (1985). Los asteriscos representan

los perfiles L (superiores) e I (inferiores) para dos

evaluaciones distintas del contraste de velocidades.


- 190 -

la región en dominada por efectos 1D y propagación lateral de ondas superficiales (Bard and

Bouchon, 1985).

5.2. APLICACIONES EN ENTORNOS URBANOS: EL CASO DE MULA (MURCIA)

En este segundo caso, se pretendió estudiar la geometría del basamento y de los materiales

sedimentarios en la localidad de Mula (Murcia, SE de España), utilizando medidas de ruido

sísmico, mediante la aplicación simultánea de los métodos v-SPAC y HVSR. En el SE español

han ocurrido algunos terremotos destructivos, tales como el terremoto de Torrevieja de 1829 de

magnitud 5.5 en la escala Richter, según el Instituto Andaluz de Geofísica, que alcanzó una

intensidad epicentral de IX (escala EMS, 1998). En los últimos años, tres eventos con

magnitudes en torno a cinco han tenido lugar en las proximidades de la localidad de Mula. El

primero, denominado terremoto de Mula (Mw = 5.1), ocurrió el 2 de febrero de 1999 con

epicentro 5 km al Norte de la localidad e intensidad máxima VI-VII; el segundo (Mw = 4.6) tuvo

lugar el 6 de agosto de 2002 a 30 km al oeste de Mula, cerca de la localidad de Bullas; mientras

que el tercero ocurrió el 29 de enero de 2005 (Mw = 4.8) a 41 km al oeste, cerca de Zarcilla de

Ramos. Otros eventos relativamente próximos con intensidades máximas de IX o mayores se

produjeron en 1579, 1678 y dos en 1911 (Buforn et al. 2005).

Algunos estudios preliminares (Navarro et al., 2000; Navarro et al., 2006) muestran que los

edificios de hormigón armado con 4 y 5 plantas situados en la zona centro-oeste de Mula

sufrieron daños comparativamente más serios que los situados en otras partes de la ciudad

durante el terremoto de Mula de 1999. Una posible explicación de este hecho sería la existencia

de efectos de sitio y de resonancia entre el suelo y las estructuras. Estos motivos, junto al rápido

crecimiento urbano de la localidad, motivaron este estudio, que podría ser útil para futuras

predicciones de daños (publicación: García-Jerez et al., 2007).

5.2.1. ENTORNO GEOLÓGICO

La región bajo estudio está situada en la parte este de la cordillera Bética, que clásicamente se

divide en dos dominios principales: las zonas Internas y las Externas (Figura 5.2.1). A su vez, las

Zonas Internas se pueden dividir en tres complejos tectónicos: el Complejo Nevado-Filábride,

formado por rocas metamórficas con grado de metamorfismo de medio a alto, y que no aflora en

las proximidades de la localidad de Mula; el Complejo Alpujárride, que se superpone al Nevado-

Filábride y que consiste en rocas con grado de metamorfismo de bajo a medio; y el Complejo

Maláguide, el más superficial, compuesto de rocas que generalmente no presentan metamorfismo

Aplicaciones.

- 191 -

(Egeler and Simon, 1969; Sanz de Galdeano et al., 1995). La Zona Externa (dominios Prebético

y Subbético) está compuesta de rocas mesozoicas y terciarias y representa el margen continental

de la placa Ibérica (García-Hernández et al., 1980). En la parte oriental de la Cordillera Bética, la

frontera entre las zonas Interna y Externa coincide prácticamente con la traza del accidente

Cádiz-Alicante (Sanz de Galdeano et al., 1995), que es una falla transcurrente con dirección

N60-70E (Figs. 5.2.1 y 5.2.2a).

Figura 5.2.1. Mapa geológico general de la Cordillera Bética, el Rif y el mar de Alborán. Tomado de López Casado

et al. (2001).

La ciudad de Mula está situada en las proximidades de la divergencia entre la frontera entre

zonas Interna-Externa y la falla de Cádiz-Alicante, al norte de Sierra Espuña, en el Complejo

Maláguide (Fig. 5.2.2a). La depresión de Mula-Pliego, que aparece al sur de Mula, constituye

una gran estructura sinclinal ocupada por margas del Oligoceno Superior al Mioceno Inferior y

arenas rojizas (Formación del Río Pliego, Martín-Martín et al., 1996, Fig. 5.2.2b). Al norte de la


- 192 -

localidad de Mula aparecen calizas del Paleoceno y calizas y margas del Eoceno Inferior y

Medio (Formación de Mula, Martín-Martín et al., 1996), que constituyen una estructura

anticlinal con vergencia NE-SW (Paquet, 1969 ; Fig. 5.2.2c). Los materiales del Paleogeno y

Mioceno Inferior constituyen los basamentos locales con grados diferentes de dureza,

compactación y resistencia, que están cubiertos por rellenos sedimentarios Plio-Cuaternarios

formando una pequeña cuenca sedimentaria (Fig. 5.2.2c).

Figura 5.2.2. (a) Síntesis de la geología regional, tomada de Paquet (1969). (b, c) Esquemas geográficos y

geológicos de Mula, mejorados por Alcalá et al. (2004). Leyenda de los materiales geológicos pre-orogénicos

(basamento): 1: Calizas y margas (Paleoceno); 2: Calizas orgánicas y calcarenitas (Eoceno); 3: Margas y arenas

(Eoceno); 4: Arcillas, margas y arenas (Oligoceno Superior – Mioceno Inferior); 5: Conglomerados (Oligoceno

Superior – Mioceno Inferior). Leyenda de materiales geológicos post-orogénicos (rellenos sedimentarios): 6:

Margas y arenas (Plioceno); 7: Coluviales: gravas y arcillas (Pleistoceno); 8: Terrazas fluviales: arenas y limos

(Pleistoceno); 9: limos arcillosos (Holoceno); 10: Tierra de labor (Holoceno); 11: Rellenos urbanos (Holoceno). (A),

(B), (C), (D) y (E) son las unidades lito-estratigráficas plio-cuaternarias definidas en Mula (ver texto). Leyenda de

símbolos geológicos: 12: contacto geológico indiferenciado; 13: Fallas. Leyenda de localización geográfica: 14:

Límite de la ciudad de Mula; 15: Carreteras principales: Leyenda de datos sísmicos y geotécnicos: 16: Sondeos

(perforaciones); 17: Perfiles sísmicos (array); 18: Secciones geológicas. Los sondeos geológicos han sido

etiquetados de G1 a G5; 19: Secciones sísmicas. Las posiciones de las arrays han sido etiquetadas de A1 a A5.

Aplicaciones.

- 193 -

El registro sedimentario Plio-Cuaternario en esta localidad se ha dividido (Alcalá et al., 2004) en

5 unidades lito-estratigráficas (Fig. 5.2.2c). La Unidad A incluye arcillas y margas del Plioceno,

mientras que las Unidades B y C consisten en dos terrazas fluviales del Pleistoceno medio y

tardío. Ambas unidades están compuestas de limos arcillosos, gravas dispersas y arenas al fondo

(Silva et al., 1996). La Unidad D está compuesta de limos arcillosos, gravas dispersas y arenas

del Pleistoceno tardío (Silva et al., 1996). La Unidad E es de edad holocena e incluye gravas

coluviales con matriz arcillosa, rellenos antrópicos y tierras de cultivo.

La clasificación presentada de la geología superficial de Mula (Fig. 5.2.2c) se ha basado en su

cartografía geológica a partir del reconocimiento in-situ y en las características geotécnicas de

los diferentes tipos de suelos descritos, obtenidas de 10 sondeos mecánicos realizados en cinco

ubicaciones diferentes. También se muestran (Fig. 5.2.8) dos secciones con la interpretación

geológica entre los sondeos geotécnicos G1-G3 y G1-G5 (García-Jerez et al., 2007).

5.2.2. ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE RUIDO AMBIENTAL. CÁLCULO DE CURVAS

DE DISPERSIÓN DE ONDA RAYLEIGH MEDIANTE v-SPAC.

Durante septiembre de 2005 se realizaron medidas ruido ambiental en 5 emplazamientos de la

localidad de Mula con el objetivo de determinar sus perfiles de velocidad de onda S y mejorar la

cobertura de los datos geotécnicos. Las medidas fueron llevadas a cabo en cinco espacios

abiertos, cuyas ubicaciones aparecen en la Fig. 5.2.2c y en la Tabla 5.2.1 Las arrays utilizadas

eran de tipo circular, compuestas por cinco sensores de alta sensibilidad VSE-15D

equiespaciados rodeando un sexto sensor central de iguales características. Los radios variaron

entre los 7.5 m y los 30 m, tomándose varios de ellos (normalmente tres) en cada sitio. El tiempo

de grabación fue de 30 minutos por radio y se utilizó una frecuencia de muestro de 100 m.p.s.

Tabla 5.2.1: Situación de las arrays sísmicas desplegadas en la población de Mula.

Código Radios

(m)

Coordenadas

UTM Descripción

A1 7.5, 15 631831 4211716 Instituto Ribera de los Molinos, zona NW, cerca de afloramientos.

A2 7.5, 15 632091 4211231 Patio de colegio de primaria Santa Clara.

A3 7.5, 15, 30 632578 4211217 Parque “Cristóbal Gabarrón Butacón”, en la parte centro-sur.

A4 7.5, 15, 30 663408 4211849 Campo de fútbol Municipal.

A5 7.5, 15, 30 631991 4210234 Cementerio, cerca de afloramientos de margas.


- 194 -

Figura 5.2.3. Ejemplo de cálculo del coeficiente de

correlación para la array A2. (a) Los registros de

microtremores grabados por el sensor central. (b)

Diagrama, dependiente del tiempo, de la parte real del

coeficiente de correlación. (c) Diagrama, dependiente

del tiempo, del coseno de la fase del coeficiente de

correlación. (d) Promedio temporal de la parte real del

coeficiente de correlación (línea continua) y desviación

estándar (línea discontinua). (e) Gráfico equivalente a

(d) para la fase del coeficiente de correlación. Con línea

continua se muestra el arco coseno de la media de los

cosenos de las fases de V calculadas en las distintas

ventanas.

Algunas otras características de este

dispositivo se han descrito ya en la sección

5.1.3. El análisis de los registros de ruido se

realizó mediante el método v-SPAC. El

coeficiente de v-SPAC V fue calculado

para un conjunto de intervalos temporales y

representado en función del tiempo, como se

muestra en la Fig. 5.2.3b. La ventana

temporal usada fue de 20s con solapamiento

del 80%. Se comprobó la estabilidad de V

entre las distintas ventanas temporales,

descartando aquellas con valores anómalos.

La fase de V se muestra en la Fig. 5.2.3c.

Su valor teórico es 0 ó para una array

continua, de modo que valores diferentes

pueden revelar problemas como la

multiplicidad de modos propagándose a la

misma frecuencia con distintas velocidades,

frentes de onda curvos debidos a fuentes

cercanas, atenuación a lo largo de la array o

variación local de la geología bajo ésta, o un

muestro acimutal insuficiente, etc. (ver p. e. Asten, 2006; Margaryan et al., 2009; Okada, 2006;

Henstridge, 1979 y la descripción de los efectos de N finito en la Sección 3.3.3). A continuación,

la parte real del coeficiente de v-SPAC fue promediada en las ventanas de buena calidad (Fig.

5.2.3d). Se observó una correlación muy pobre en todas las arrays para frecuencias por debajo de

un cierto umbral (de varios Hz) a pesar de que la respuesta instrumental es apropiada a partir de

0.25 Hz. Este umbral se sitúa alrededor de los 5-6 Hz para el punto A2, como se muestra en la

Fig. 5.2.3, yendo este deterioro acompañado de un comportamiento ruidoso en la fase de V

(incremento en la desviación típica), más notable por debajo de 2.5Hz (valor medio distinto de

cero). La causa probablemente está en la pobre relación señal/ruido debida a los efectos de

filtrado paso-alta en las fronteras con los sedimentos. Estos efectos han sido encontrados y

discutidos por varios autores (ver p. e. Scherbaum et al., 2003; Roberts and Asten, 2007). La

velocidad de fase de onda Rayleigh se calculó resolviendo, para cada frecuencia, la ecuación

Aplicaciones.

- 195 -

(3.3.1). Para ello, se seleccionaron visualmente, para cada radio, los rangos de frecuencia en los

que la curva de correlación tiene buen comportamiento (García-Jerez et al., 2007). Las curvas de

dispersión obtenidas para las cinco arrays (Fig. 5.2.4) muestran diferencias significativas

reveladoras de las distintas condiciones geológicas de sus emplazamientos. En el sitio A1 se

recuperó una curva de dispersión “corta”, en frecuencias entre 14 Hz y 18 Hz, usando radios de

7.5 m y 15 m. La velocidad de fase obtenida allí decrece con la frecuencia desde unos 1000 m/s a

los 500 m/s. Para el sitio A2 se obtuvo una curva de dispersión entre 8 y 17 Hz con velocidades

entre 336 m/s y 670 m/s. La curva para el sitio A3 muestra, en general, las menores velocidades

de onda Rayleigh: en torno a 800 m/s a 6 Hz y bajando hasta los 190 m/s a partir de 13 Hz, lo

que revela que los materiales más superficiales son bastante blandos. Los sitios A4 y A5 siguen

una tendencia intermedia entre A1 y A2 o A3. Las velocidades máximas son 860 y 1040 m/s

respectivamente en torno a 9 Hz, mientras que toman valores de 320 m/s y 480 m/s para 18 Hz.

Figura 5.2.4. Curvas de dispersión calculadas a partir de los registros de las arrays A1 a A5.

5.2.3. ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DE RUIDO AMBIENTAL. HVSR Y PERIODOS

PREDOMINANTES.

Tras el terremoto de Mula de 1999, se realizaron, en esta localidad, medidas individuales de

ruido ambiental en tres componentes. Posteriormente, en marzo de 2004, completamos el

conjunto de datos hasta cubrir toda la población con medidas, aproximadamente, en los nodos de

una malla cuadrada de 100 m x 100 m, además de otras medidas adicionales cerca de los


- 196 -

Figura 5.2.5. Cocientes espectrales H/V obtenidos en los puntos de array.

edificios dañados en el citado terremoto y en los centros de las arrays sísmicas descritas antes. La

mayoría de los registros fueron obtenidos de día, evitando en lo posible el tráfico y otras fuentes

cercanas de ruido. En el área central de la ciudad se realizaron medidas nocturnas. El tiempo de

observación fue 180 s y los detalles del procesado fueron análogos a los de Zafarraya

(Almendros et al., 2004; García-Jerez et al., 2006a), incluyendo el empleo de representaciones

dependientes del tiempo (ratiogramas) para el control de la estabilidad.

Los sensores utilizados en estas medidas puntuales fueron del mismo tipo que los utilizados en

las medidas de array. Como ejemplo, en la Fig. 5.2.5 se muestran los cocientes espectrales

correspondientes a los sitios de array. Con estos resultados se elaboró el mapa de distribución de

periodos predominantes de la Fig. 5.2.6. Los periodos predominantes más bajos - entre 0.06 y

0.13 s - corresponden a las zonas norte y este de la ciudad, donde el espesor de los sedimentos es

menor. Las zonas central y sur de la localidad presentan valores mayores del periodo, entre 0.15

and 0.38 s, distribuidos heterogéneamente.

5.2.4. INVERSIÓN DE PERFILES DE VELOCIDAD DE ONDA S A PARTIR DE HVSR Y

CURVAS DE DISPERSIÓN DE ONDA RAYLEIGH

Se invirtieron cinco perfiles de velocidad de onda S en los puntos A1-A5 a partir de las curvas de

dispersión obtenidas mediante v-SPAC y de las formas de los cocientes espectrales HVSR

medidos en los centros de las arrays. Éste método de inversión conjunta, desarrollado por Arai

and Tokimatsu (2005), presenta mejoras significativas en comparación con la inversión

Aplicaciones.

- 197 -

tradicional de la curva de dispersión Rayleigh, permitiendo obtener modelos de tierra en los que

la profundidad al basamento y la estructura de los sedimentos está mejor determinada.

Figura 5.2.6. Distribución de periodos predominantes (en segundos) en la localidad de Mula.

Con tal propósito definimos la función costo del modelo m ( )(mmisfit en ecuación 5.2.1) como

la suma, para el conjunto de periodos, de las diferencias cuadráticas entre las velocidades de fase

medidas y calculadas (y equivalentemente para los HVSR). Los modelos m permitidos son 1D,

compuestos por un número fijo de capas elásticas homogéneas sobre un semiespacio. Cada

sumando en (5.2.1) está pesado por la inversa de la varianza de los datos a la frecuencia

correspondiente. El parámetro pc permite controlar el peso relativo de la curva de dispersión y

del cociente espectral (pHVSR = 1- pc

). Seguidamente, se empleó un algoritmo iterativo (Nelder

and Mead, 1965) para minimizar )(mmisfit .

n

i i

iTeoin

i i

iTeoi

THVSR

THVSRTHVSR

Tc

TcTcmisfit

1 exp

2

expHVSR

1 exp

2

expc

)(variance

),()(2

)(variance

),()(2)(

mmm pp

(5.2.1)

Durante el proceso de inversión, se admiten variaciones independientes de la velocidad de onda


- 198 -

S y del espesor de las capas. Las densidades fueron fijadas a 2.0·103 kg/m

3 y las velocidades de

ondas P calculadas a partir de las SV considerando un coeficiente de Poisson de 0.33. La

elipticidad del modo fundamental Rayleigh fue usada como cálculo directo de ),( miTeo THVSR

(Fäh et al., 2003; Haskell, 1953), truncando las divergencias de esta función a partir del valor

máximo del HVSR experimental. Para construir los modelos iniciales, se promedió la

información geotécnica disponible, estimando los valores de SV para cada unidad geológica

Plio-Cuaternaria a partir del valor N-SPT medio (García Jerez et al., 2007) mediante las

relaciones empíricas de Imai (1981) y Kokusho (1987). Los modelos iniciales se han listado en

la Tabla 5.2.2. El modelo para A1 difiere notablemente de los demás, porque el espesor estimado

de los materiales sedimentarios fue mucho menor.

Tabla 5.2.2. Modelos iniciales usados para la inversión de perfiles de velocidad de onda S en los putos A1 a A5.

Nº de

capa

A1 A2 – A3 A4 A5

Espesor

(m) SV

(m/s)

Espesor

(m) SV

(m/s)

Espesor

(m) SV

(m/s)

Espesor

(m) SV (m/s)

1 2 242.5 2 160.0 2 160.0 2 240.0

2 3 342.5 3 242.5 3 242.5 3 363.8

3 5 500.0 5 242.5 5 242.5 5 363.8

4 ∞ 1000.0 5 342.5 5 342.5 5 513.8

5 5 342.5 5 342.5 5 513.8

6 ∞ 1000.0 ∞ 800.0 ∞ 1500.0

En la figura 5.2.7 se muestra el resultado de la inversión correspondiente a la array A5. Los

modelos resultantes para las cinco arrays y la información geotécnica previa se han empleado

para trazar dos cortes geológicos a lo largo de la localidad, que se muestran en la Fig. 5.2.8.

5.2.5. DISCUSIÓN.

La estructura geológica superficial en la ciudad de Mula consiste en un relleno Pliocuaternario

no consolidado, cuyo espesor se incrementa desde los límites norte y sur de la ciudad, en los que

el basamento aflora, hacia las zonas central y oeste (Figs. 5.2.2c y 5.2.8), en las que el espesor

máximo de estos sedimentos ronda los 16-18 m. A efectos de explicación de las frecuencias de

resonancia, se encuentran dos tipos diferentes de materiales actuando como “basamento”. El

primero estaría constituido por las calizas y margas del Paleogeno que afloran al norte, mientras

que el “basamento” mapeado por el HVSR en la parte sur consistiría en margas del Mioceno

inferior. Los modelos invertidos muestran que estas rocas carbonatadas presentan velocidades de

onda S de entre 1000 y 1600 m/s, mientras que SV va de 500 a 650 m/s para las margas.

Aplicaciones.

- 199 -

Figura 5.2.7. Ejemplo de inversión del perfil de velocidad de onda S a partir de las medidas de SPAC y HVSR en el

punto A5. (a) Curvas de dispersión experimental (línea punteada) y calculada (línea contínua) para ondas Rayleigh.

(b) HVSR experimental (línea punteada) y calculado (línea sólida) como la elipticidad del modo fundamental Rg.

(c) Modelo inicial (en gris) e invertido (en negro) Las líneas punteadas indican una desviación estándar.

Las cinco unidades sedimentarias Pliocuaternarias se pueden agrupar en tres unidades

geotécnicas principales, atendiendo a sus comportamientos mecánico y sísmico. La primera

(superior) unidad geotécnica está formada por la unidad sedimentaria E (Fig. 5.2.18). Es la más

superficial y presenta velocidades SV inferiores a 150 m/s y espesores menores de 2 m. Está

discontinuamente distribuida en el área de estudio. En las unidades geotécnicas segunda (media)

y tercera (inferior) agrupamos las unidades sedimentarias C y D, y las A y B respectivamente.

Las medidas de array proporcionan valores de SV entre 250 y 400 m/s para la media y de 340

m/s a 500 m/s para la inferior, mientras que los sondeos geotécnicos las sitúan en torno a 160

m/s, 260 m/s y 350 m/s para las unidades superior, media e inferior respectivamente (Tabla

5.2.3). Los perfiles de SV muestran estructuras más blandas en los sitios A2 y A3 (por debajo de

400 m/s hasta 10 m) y más rígidas para A4 y A5, alcanzando 600 m/s a 7-8 m debido a la

presencia de materiales margosos. El punto A1, situado cerca de los afloramientos del norte,

presenta 4 m de rellenos sedimentarios con SV < 400 m/s sobre una capa margosa con SV en

torno a 643 m/s y un basamento carbonatado más rígido con SV = 1160 m/s (Fig. 5.2.18).


- 200 -

Tabla 5.2.3. Valores de N-SPT, densidad real (γ) en kg/m3 y velocidad de onda S ( SV en m/s) obtenida de las

relaciones de Imai (1981) y Kokusho (1987) para cada unidad sedimentaria superficial en función del valor N-SPT.

Espesor (m)

Valor N- SPT

(nº golpes) γ (x 10

3 kg/m

3)

Vs (Imai,

1981) m/s

Vs (Kokusho,

1987) m/s

Unidad Nº sond.a n X σ n X Σ N X σ X σ X σ

A 2 1 10 4 49.3 1.3 1 2.22 318 110 367 109

B 7 6 2.5 1.1 6 12.8 10.9 2 2.08 0.01 241 230 234 222

C 6 6 1.5 0.5 6 19.7 13.7 2 1.96 0.22 254 226 216 192

D 10 10 5.8 3.8 21 16.0 8.9 15 1.93 0.13 258 217 252 207

E 4 7 0.5 0.2 8b 4

b 1.65

b 0.50

b 160 128 160 127

n = número de datos, X = valor medio, σ = desviación estándar. a Datos de 10 sondeos mecánicos situados en 5 sitios.

b Valor de N-SPT y densidad real (tomado de Alcalá-García et al., 2002) para materiales similares en Adra

(Almería).

El punto A2 es cercano al sondeo geotécnico G2 (Fig. 5.2.2c), lo que permite la comparación

directa entre los datos geotécnicos y los basados en el v-SPAC (ambos en Fig. 5.2.18). Los dos

sondeos muestran que el basamento aparece alrededor de los 15 m de profundidad. Su velocidad,

estimada con las medidas de array, es de SV = 1040 m/s. Este valor estaría asociado al

basamento carbonatado. El perfil de velocidades SV indica la ausencia de materiales margosos.

La unidad geotécnica superior aparece en este punto con un valor bajo de SV (140 m/sec). Las

unidades geotécnicas media e inferior muestran velocidades de onda S inferiores a 400 m/s y

ocasionalmente mayores de 400 m/s, respectivamente. El punto A3 presenta características

similares al A2, con el basamento carbonatado ( SV ~ 1600 m/sec) a unos 17 m. Los puntos A4 y

A5 presentan diferencias significativas respecto a los dos anteriores, por la posible presencia de

materiales margosos con espesores estimados en 9 y 11 m y velocidades desde 550 hasta 625 m/s

sobre el basamento carbonatado. Ambos puntos presentan también algunos rellenos superficiales

blandos. Las tres unidades geotécnicas principales fueron detectadas en el punto A4, mientras

que sólo las dos más profundas aparecieron en A5.

A la vista de estos resultados, concluimos que los perfiles geotécnicos y la información geológica

de la ciudad de Mula son, en general, mutuamente consistentes con los datos obtenidos a partir

de ruido ambiental. Sin embargo, la comparación entre los sondeos A2 y G2 sugiere que la

concordancia en la profundidad de las fronteras sedimentarias es mejor que la existente entre los

valores de SV . En el caso geotécnico, estos valores fueron obtenidos a partir del N-SPT mediante

las relaciones de Imai (1981) y Kokusho (1987), pareciendo estar algo subestimados

principalmente para las unidades geotécnicas más profundas.

Aplicaciones.

- 201 -

Figura 5.2.8. (a) Sección sísmica a lo largo de la línea A1-A2-A5 interpretada a partir de los datos geológicos y

geotécnicos, de los modelos de velocidad de onda S-wave obtenidos mediante array sísmica y de los periodos

predominantes. (b) Sección A2-A3-A4. Las localizaciones de las arrays se muestran en la Fig. 5.2.2c. Velocidades

en m/s.

La importante dispersión en los valores de SV obtenidos del SPT para todas las unidades

sedimentarias debe considerarse en la comparación. Estos valores están afectados, además de por

la variabilidad en el valor de N, por posibles errores en la identificación de la litología y por la


- 202 -

dificultad de interpretación de los rechazos en el método SPT. Aún así, esta concordancia en

velocidades puede mejorarse si se utilizar relaciones entre N-SPT y VS que tengan en cuenta los

incrementos en la presión confinante (creciente con la profundidad)

5.3. OBSERVACIÓN DE ONDAS RAYLEIGH Y LOVE EN LA DESEMBOCADURA DEL

RIO ANDARAX (ALMERÍA).

5.3.1. INTRODUCCIÓN

En esta sección, se investiga experimentalmente la capacidad de varias variantes del método

SPAC para la determinación de las propiedades elásticas de los depósitos sedimentarios

superficiales en dos sitios de test próximos de cuya estructura se tiene información previa. Se

utilizarán, además del método v-SPAC, los métodos DR y SCA de análisis de registros de tres

componentes expuestos en capítulos anteriores, lo que permitirá la obtención de curvas de

dispersión para ondas Rayleigh y Love. En concreto, el método DR fue utilizado en el Campus

de la Universidad de Almería con arrays dobles cuadradas y pentagonales, mientras que el

método SCA ha sido testado en el delta del río Andarax usando arrays pentagonales simples. En

ambos puntos se obtendrá un modelo de suelo unidimensional perfectamente compatible con los

datos previos. En el segundo emplazamiento haremos también una comparación con la

información previa en términos de velocidades de fase de onda Love y se tratará de aprovechar

al máximo las capacidades del método SCA considerando correcciones por número de estaciones

finito y por ruido incoherente. En este último ejercicio se mostrará también el uso del código de

inversión desarrollado en el Capítulo 4 (posteriores aplicaciones a la inversión de datos de ruido

sísmico en la isla de Decepción podrán encontrarse en Luzón et al., 2010).

5.3.2. CONTEXTO GEOLÓGICO, INSTRUMENTACIÓN Y ADQUISICIÓN DE DATOS.

Los dos emplazamientos en que se realizaron las pruebas están situados en espacios abiertos:

dentro del campus de la Universidad de Almería (sitio “Universidad”) y en la desembocadura del

Río Andarax (sitio “Desaladora”) respectivamente. Las posiciones exactas están indicadas en la

figura 5.3.1. En esta zona se han realizado varios estudios geofísicos de cierta envergadura.

Destacan un conjunto de sondeos eléctricos verticales ejecutados por el IGME-IRYDA (1977),

algunos de los cuales son mostrados en la Fig. 5.3.2, y varias decenas de sondeos mecánicos

cercanos, los más recientes destinados a la construcción de una planta desaladora, que llegan a

profundidades superiores a 100m. Un interpretación de parte de estos sondeos mecánicos ha sido

realizada por Pulido-Bosch et al. (2004). También existen estudios sísmicos a mayor escala

(Navarro et al., 1997) que pueden complementar a los anteriores especialmente en lo que se

Aplicaciones.

- 203 -

refiere a las propiedades del basamento.

Figura 5.3.1. Situación de los sitios de test, en el Campus de la Universidad de Almería y en la desembocadura del

río Andarax. Se indica la situación de tres sondeos cercanos: P-III de 120m de profundidad, S-5A de 117m y S-6A

de 60m.


- 204 -

Figura 5.3.3. Síntesis de los materiales perforados en

el delta del río Andarax, según Pulido-Bosch et al.

(2004).

Figura 5.3.2. Perfiles eléctricos interpretados en el delta del río Andarax realizados por el IGME-IRYDA (1977). El

extremo oriental del perfil I está situado unos 5 km aguas arriba del sitio Desaladora.

Emplazamiento Desaladora

En la estratigrafía de esta área aparecen, hasta

unos 20-25m, depósitos aluviales holocenos

consistentes en limos, arenas y algunas gravas.

Bajo estos aparece un paquete de gravas

gruesas y arenas. Los materiales del Plioceno

aparecen en torno a los 60m de profundidad,

como estratos alternantes de lutitas y areniscas,

con intercalaciones de gravas y arenas

pliocenas y finalmente, un grueso estrato de

margas del Mioceno. Las rocas triásicas

(dolomitas y filitas) aparecen a profundidades

no completamente determinadas que previsiblemente deben superar los 400-450m a que ya se

encuentran unos 5km río arriba, según el perfil II en su extremo oriental (Fig. 5.3.2).

Emplazamiento Universidad

Este emplazamiento se encuentra situado también en el abanico aluvial del río Andarax, a 2km

Aplicaciones.

- 205 -

en dirección NE del sitio Desaladora. En esta zona hay sondeos relativamente profundos, pero sí

se dispone de varios sondeos mecánicos superficiales destinados a la construcción de distintos

edificios del Campus de la Universidad de Almería y de un sondeo de refracción de ondas S de

alcance también muy superficial (~10m).

Instrumentación y adquisición de datos. Sitio Desaladora.

En el experimento en el sitio Desaladora, se desplegaron cinco arrays pentagonales, sin estación

central, con radios de 12, 18, 25, 50 y 94m. La array de 50m, estaba formada por cinco

sismómetros triaxiales de banda ancha del modelo CMG-3ESPD con buena respuesta entre 120s

y 50Hz. En el resto de las arrays se combinaron cuatro sismómetros CMG-6TD, con respuesta

entre 30s y 100Hz y un sismómetro CMG-3ESPD. Ambos modelos son manufacturados por

Guralp y están sincronizados mediante GPS independiente. Los sensores fueron depositados

sobre plataformas niveladas, situadas directamente sobre el suelo. No se usó aislamiento térmico

para los sensores 3ESPD, tan sólo se evitó su exposición directa al sol. Los sensores 6-TD fueron

protegidos con un aislante térmico textil.

Los tiempos de grabación oscilaron entre 1hora y 1,5 horas. A excepción de la medida de 50m

(realizada nueve meses antes que las demás), el resto fueron programadas para días con poco

viento según la previsión meteorológica. Algunos detalles sobre las medidas pueden encontrarse

en la Tabla 5.3.1. Además, con objeto de mejorar la resolución a mayor profundidad, se realizó

una medida con una array triangular con estación central de 420m de radio para ser analizada

con el método v-SPAC.

Tabla 5.3.1. Coordenadas de los centros de las arrays desplegadas en el sitio desaladora y condiciones

meteorológicas (en las arrays sin estación central: promedio de las coordenadas de los vértices). Todas son

pentagonales sin estación central excepto la de radio 420m que es triangular con estación central.

Radio (m) Fecha Centro Observaciones

12 15/06/2009 36º 49.0885‟N 2º 25.6084‟W Alt: 12m Sin viento


25 11/06/2009 36º 49.0338‟N 2º 25.6025‟W Alt: 11m Viento débil

50 26/09/2008 36º 49.0925‟N 2º 25.6028‟W Alt: 12m Viento débil-moderado


420 19/06/2009 36º 49.2764‟N 2º 25.4610‟W Alt: 10m Viento débil

Instrumentación y adquisición de datos. Sitio Universidad de Almería.

En el campus de la Universidad de Almería se realizaron también varios montajes destinados a

explorar la estructura sedimentaria más superficial mediante, en este caso, el método v-SPAC y


- 206 -

el método del doble anillo (DR). Se desplegaron arrays dobles regulares, con estación central,

formadas por cuatro o cinco sismógrafos por círculo, uniformemente distribuidos. Se utilizaron

acelerómetros ETNA (fabricados por KINEMETRICS). En la Tabla 5.3.2, se detallan las

configuraciones empleadas en este experimento. La medida 1 fue realizada en un punto distinto

del Campus. A unos 250m al este del centro de las arrays hay un sismómetro de banda ancha

GURALP-CMG-3ESPCD instalado de forma permanentemente y en registro continuo a 100

m.p.s. cuyos datos serán tenidos en cuenta en la discusión del HVSR.

Tabla 5.3.2. Configuraciones empleadas en los tests del sitio Universidad.

N. Experimento Radios N. sensores Observaciones

1 15m y 30m 5 + 5 Sobre suelo no pavimentado. Algún tránsito de

camiones en las proximidades.

2 24.75m y 35m 4 + 4 Sobre suelo pavimentado. Ausencia de fuentes

cercanas.

3 17.5m y 35m 4 + 4 Idem.

En lo posible, se evitó el tránsito de personas y vehículos en las inmediaciones de la array y en

su interior, ya que ponen en riesgo el cumplimiento de las hipótesis físicas (iluminación con

ondas planas) y pueden incrementar los efectos negativos de una baja densidad de estaciones

sobre la circunferencia (Jongmans et al., 2005; García-Jerez et al., 2008b). Estas condiciones

óptimas no pudieron satisfacerse completamente en la medida 1.

Una importante limitación para este experimento resulta de la reducida banda espectral útil

proporcionada por los ETNA (sensores de movimiento fuerte) que, cuando se utilizan para el

registro de señales débiles, proporcionan registros con una pobre relación señal/ruido. Para tratar

de acotar este problema, se realizó una medida colocando dos acelerómetros juntos y grabando

ruido ambiental simultáneamente. Como las diferencias de amplitud (ganancia) entre distintos

sensores no repercuten en algunos métodos de autocorrelación espacial si se utiliza una

normalización conveniente, nos centramos en buscar diferencias de fase entre los registros, las

cuáles sí tendrán consecuencias en todos los casos (excepto en el cálculo del HVSR). La figura

5.3.4 muestra inestabilidad en las fases de los registros verticales por debajo de 3-4Hz (las

diferencias de fase entre dos registros tienden ser aleatorias, en lugar de nulas, de modo que su

valor absoluto tiende a valores medios de /2).

5.3.3. ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DEL SITIO “UNIVERSIDAD DE ALMERÍA”

La primera etapa del procesado de las señales consiste en el cálculo de su espectro de Fourier.

Aplicaciones.

- 207 -

Los detalles de este cálculo fueron comunes para todos los registros utilizados, esto es, para las

componentes tangenciales y verticales de ambos anillos y para las tres componentes de la

estación central.

Figura 5.3.4. Testeo del rango espectral disponible usando tres acelerógrafos ETNA colocados juntos y comparando

los ángulos de fase de los espectros de Fourier en una medida simultánea de ruido ambiental. Se promediaron 50

ventanas de 33s de duración. Para estos equipos se encuentra una significativa falta de correlación por debajo de 3-

4Hz. Cada color representa una pareja de instrumentos. Se consideran los registros verticales.

Los registros fueron divididos en 60 ventanas temporales no solapadas de 30s de duración. Tal

longitud se considera apropiada para el análisis de frecuencias superiores a 0.33 Hz ya que

contiene más de 10 ciclos para todas las frecuencias en ese rango (p. e. Kind et al., 2005).

Seguidamente, se corrigió de línea base cada una de las ventanas temporales. Para reducir los

efectos de duración finita, antes de realizar la transformada de Fourier sus extremos fueron

suavizados durante un 10% de la longitud del intervalo, usando una ventana de Hanning.

Finalmente, los registros fueron transformados al dominio de la frecuencia mediante DFT.

Las magnitudes requeridas (HVSR, coeficientes de v-SPAC V o

Cho

V

y el cociente espectral

tangencial DR

tg ) se calcularon en una segunda etapa. En este experimento no se considerarán los

efectos del ruido incoherente, de modo que evitaremos el índice (s+n) en los coeficientes

anteriores.

Como en los epígrafes previos, el HVSR se obtuvo mediante el cálculo de ratiogramas

(Almendros et al., 2004). El resultado se muestra con una línea negra gruesa en la Fig. 5.3.5c. Se

observa un pico claro a 2.93 Hz con amplitud media de 4.8, muy estable durante los 30 min de


- 208 -

medida.

Para el cálculo de V , las transformadas de Fourier de las componentes verticales

correspondientes a cada ventana temporal común fueron promediadas acimutalmente para las

estaciones de cada circunferencia. El resultado se dividió entre la transformada de la componente

vertical en la estación central siguiendo (3.3.16). Este procedimiento se realizó separadamente

para cada ventana temporal, promediando finalmente sobre el conjunto de ventanas. También se

realizó el cálculo de Cho

V (3.3.23), teóricamente más robusto que el anterior. Ambos estimadores

dieron resultados globalmente muy similares, que son comparados en la columna izquierda de la

Fig. 5.3.6. Finalmente, se cálculo el cociente espectral tangencial DR

tg según (3.5.14), que se

muestra con puntos en la Fig. 5.3.6 (columnas central y derecha). La inspección de los resultados

revela inmediatamente los graves efectos del ruido electrónico por debajo de 3-5Hz, que se

manifiestan como un abrupto deterioro en los coeficientes de v-SPAC y DR implicando que esta

banda no pueda ser utilizada. Estos efectos son más notables (empiezan a frecuencias menores)

para las componentes verticales (coeficientes de v-SPAC), debido probablemente a la menor

potencia de la señal. Efectivamente, HVSR > 1 en este rango, como se aprecia en la Fig. 5.3.5.

Figura 5.3.5. Cociente espectral horizontal-vertical para la estación central. (a) Registro de tres componentes. Los

transitorios no fueron considerados en el análisis (banda clara). (b) Representación dependiente del tiempo del

cociente espectral. (c) Cociente espectral promediado (línea negra gruesa) e indicación de intervalo correspondiente

a una desviación estándar con líneas delgadas continuas. La elipticidad del modo fundamental de ondas Rayleigh

para el modelo invertido se muestra con una línea gris gruesa.

Aplicaciones.

- 209 -

Inversión de un perfil de velocidades de onda S

Antes de proceder a la inversión del modelo de estructura superficial, se estimaron los rangos de

frecuencia en los que las curvas experimentales tienen una calidad suficiente. Los límites de baja

frecuencia son fácilmente determinables en función del deterioro de éstas. En el caso de los

coeficientes de v-SPAC, las frecuencias máximas útiles se decidieron visualmente, atendiendo a

las formas de las curvas (comportamiento oscilante, con extremos relativos de amplitud

decreciente,…). Para los coeficientes de DR, y teniendo en cuenta que realizaremos su cálculo

directo simplemente como DR

tg

DR

tg J1(kL() R2) / J1(kL() R1), necesitamos un criterio más

estricto que prevenga frente a efectos de N finito (bajo campo isótropo) y a grados probables de

contaminación por ondas Rayleigh. Admitiendo (i) una potencia relativa máxima de onda

Rayleigh en la componente horizontal del 47% (situación relativamente desfavorable, dadas las

evidencias experimentales mencionadas en el Capítulo 1); (ii) que las velocidades de onda

Rayleigh y Love pueden considerarse similares a efectos de describir la “contaminación” en DR

tg

debida a las primeras; (iii) una desviación absoluta admisible de 0.1 en DR

tg ; podemos obtener

valores máximos de kL R2 para los que el cálculo directo de DR

tg presente desviaciones respecto

a J1(kL() R2) / J1(kL() R1) por debajo del umbral fijado. Estos valores, calculados usando

(3.5.14) para campo isótropo, se muestran en la Tabla 5.3.3 y fueron respetados en la inversión.

Como era previsible, la segunda medida (N=4, R1=24.75m, R2=35m) proporciona un intervalo

útil relativamente pequeño al combinar un pobre número de sensores con una relación de radios

poco eficiente.

Tabla 5.3.3. Valores teóricos máximos de kL R2 para las distintas configuraciones.

N R1 (m) R2 (m) R2 / R1 kL R2 máx.

5 15 30 2 4.86

4 24.75 35 1.41 3.05

4 17.5 35 2 3.57

Inversión

Por simplicidad, el coeficiente de v-SPAC ( V ), el coeficiente DR (DR

tg ) y la forma del HVSR

alrededor del pico fundamental se usaron directamente para invertir un modelo del subsuelo en

lugar de determinar previamente las curvas de dispersión Rayleigh y Love.

En este procedimiento de inversión se tratará de introducir la mínima información a priori. El


- 210 -

primer paso fue obtener unas primeras estimaciones de la relación SV vs. profundidad y de la

máxima profundidad resuelta a partir de los datos mismos, asumiendo que las ondas Rayleigh

con longitud de onda R y velocidad de fase

Rc = fR muestrean una profundidad de 3/R , a la

cual SV puede ser estimada como 1.1Rc (ver p. e. Tokimatsu, 1997; Duputel et al., 2010). De los

coeficientes de v-SPAC pueden leerse directamente un conjunto de pares frecuencia-longitud de

onda Rayleigh tomando las posiciones (frecuencias) de sus máximos, mínimos y cortes por cero.

Concretamente, de las propiedades de la función de Bessel J0 se sabe que estos coeficientes han

de tener un cero a R = 2.62 R , un mínimo para

R = 1.64 R , un segundo cero en R = 1.13 R ,

un máximo en R = 0.90 R , etc. Los pares (h, VS) obtenidos con este método simplificado se

muestran en la Fig. 5.3.7b con círculos. La profundidad máxima resuelta puede estimarse usando

los criterios 3/maxR ó 2/maxR (Park et al., 1999; Tokimatsu, 1997). Una estimación de maxR ,

que es la máxima longitud de onda utilizable, puede hacerse a partir del valor de la curva de

correlación Rayleigh en la mínima frecuencia en la que se encuentren datos de buena calidad

(digamos, minf ). En este caso, a la vista de los coeficientes de v-SPAC, se puede tomar

minf = 3.5

Hz, con )( minfV en torno a 0.7 (se ha usado el caso R = 24.75 m, Fig. 5.3.6 columna izda.).

Seguidamente, la longitud de onda correspondiente puede calcularse como 15.1/2max RR

usando que 7.0)15.1(0 J . Según los criterios de 3/maxR ó 2/maxR , la profundidad máxima

explorada es de 45 ó 68m, respectivamente.

Como en las aplicaciones a la localidad de Mula, la inversión del modelo de suelo se realizó

usando el método downhill-simplex (ver por ejemplo Parolai et al., 2006). Para ello, se

construyó un modelo inicial de 60 m de profundidad. Los 20 m superiores se dividieron

finamente en 4 capas de 5 m de espesor para posibilitar la comparación con la información

geotécnica superficial disponible, añadiéndose dos capas más profundas de 20m sobre el

basamento. Seguidamente el modelo fue ajustado permitiendo variaciones tanto en los espesores

de las capas como en sus velocidades de onda S. Los valores iniciales de SV se calcularon, para

cada capa, interpolando o extrapolando los valores obtenidos con el método simplificado

(círculos en Fig. 5.3.7b) a los centros de éstas. Como las características dispersivas de las ondas

superficiales muestran poca sensibilidad ante variaciones en la densidad ( ) cuando está en el

rango usual entre 1 y 3 g/cc (p. e. Wathelet, 2005), ésta se ha considerado uniforme en la

estructura. Para cada modelo probado, la velocidad de onda P se calculó a partir de la velocidad

de onda S mediante interpolación en una tabla con datos empíricos regionales. En el rango de

Aplicaciones.

- 211 -

Figura 5.3.6. Columna izquierda: De arriba abajo, coeficientes de v-SPAC para arrays circulares de radios 17.5 m.,

24.75 m.y 35 m. Los valores experimentales se muestran con puntos. Los coeficientes teóricos, calculados usando el

modo fundamental Rayleigh del modelo final, se muestran mediante líneas rojas. Cho

V y V se muestran en azul y

verde, respectivamente.

Columna central: Coeficientes de DR (puntos) calculados para parejas de circunferencias siguiendo la ecuación

(3.5.5). Los radios están indicados en cada subfigura. Como para el caso anterior, las curvas teóricas calculadas a

partir del modo fundamental de ondas Love del modelo final se muestran con línea roja. Este cálculo consiste en el

cociente de funciones J1 que aparece en el miembro derecho de (3.5.5).

Columna derecha: Los puntos y la línea roja gruesa repiten los coeficientes de DR y la curva teórica de la columna

central, ampliando el rango de frecuencias mostrado. La línea roja delgada es la continuación de la roja gruesa a (i.

e. J1(kLR2) / J1(kLR1) a altas frecuencias). Las líneas naranjas, verdes y moradas corresponden a cálculos directos del

coeficiente DR en los que se tienen en cuenta los efectos de N finito y para valores del RLR de 0, 0.5 y 1,

respectivamente.

220m/s a 1700 m/s, tal relación es muy próxima a la encontrada por Kitsunezaki et al. (1990), i.

e. VP(km/s) = 1.29 + 1.11 VS (km/s). La velocidad de onda P de las cuatro capas superiores

(aprox. Los primeros 20m) se fijó en 600m/s (ver comentarios al respecto en la sección


- 212 -

siguiente).

Los cálculos directos se realizan a partir de las curvas de dispersión Rayleigh y Love del modo

fundamental, calculadas con el código de Herrmann (1987). La elipticidad de la onda Rayleigh

se calculó por el método de Haskell (1953), usando una implementación propia.

El modelo final hallado se muestra con una línea continua gruesa en la Fig. 5.3.7a-c, mientras

que los coeficientes de v-SPAC y DR que le corresponden se muestran en la Fig. 5.3.6 con líneas

rojas. El modelo proporciona un buen ajuste de las curvas experimentales en el rango de

frecuencias empleado en la inversión. Finalmente, el HVSR del modelo resultante, calculado en

torno al pico principal como la elipticidad del modo fundamental de ondas Rayleigh (Konno and

Ohmachi, 1998) se muestra en la Fig. 5.3.5c (línea gris gruesa).

Para visualizar la sensibilidad del ajuste a los distintos parámetros del modelo, se ha calculado la

función costo de 10000 modelos generados variando las velocidades de onda S de subconjuntos

aleatorios de capas en un 10% y un 25%. El grado de ajuste de estos nuevos modelos se ha

representado en la Fig. 5.3.7a. El tono de los cuatro rectángulos en escala de grises que hay junto

a cada capa indica el valor más pequeño de la función costo para la variación correspondiente de

su velocidad SV (10% y 25%) y variaciones aleatorias de las del resto de capas. De este

modo, un color oscuro para un valor de SV dado indica que los modelos probados con tal

característica proporcionan ajustes significativamente peores que el invertido. Al contrario, una

banda clara a la derecha (o izquierda) del modelo central denota poca sensibilidad del método

ante un incremento (o decremento) de SV en la capa. También se realizó un test similar para

sensibilidad ante variaciones en la posición de las interfaces entre capas (Fig. 5.3.7b)

considerando 15625 variaciones del modelo final (todas las posibles). Se encontró poca

sensibilidad a la posición de la capa más profunda, que se encuentra ya fuera del límite

correspondiente al criterio 3/maxR (el más restrictivo).

La posibilidad de explicación de los datos mediante un modelo más simple compuesto de dos

capas sobre un semiespacio fue también investigada. La disminución del número de parámetros

facilitó el uso de un algoritmo genético como herramienta de inversión. Se variaron en este caso

la velocidad de onda S y el espesor de las capas para una población de 40 modelos que

evolucionaron a lo largo de 150 generaciones. El algoritmo buscó el modelo óptimo dentro de los

rangos:

Aplicaciones.

- 213 -

- SV entre 100 y 400 m/s para la capa superior, de 200 a 700 m/s para la segunda y de 600 a 1500

m/s para el semiespacio;

- espesores ( h ) de 3 a 25 m para la capa superior y de 10 a 50 m para la inferior.

Las variables fueron discretizadas a 6 bits. El modelo resultante, que se muestra en la Fig. 5.3.7c

con línea punteada, parece una versión sintetizada del de seis capas hasta 32m, pero con un

semiespacio más superficial y rígido. El grado de ajuste es significativamente peor (0.11 en la

escala de Fig. 5.3.7) pues no logra reproducir la frecuencia fundamental y la forma del HVSR en

torno al máximo. Finalmente, se llevó a cabo un tercer intento de inversión usando el algoritmo

downhill-simplex para modelos parametrizados de igual modo a como se hizo con el algoritmo

genético. Los espesores de las capas del modelo inicial fueron, de arriba a abajo, 20 y 30 m

mientras que sus velocidades de onda S se obtuvieron de los datos experimentales del mismo

modo que para el modelo inicial de seis capas. Tras invertir los espesores y las SV , se obtuvo un

modelo similar al del algoritmo genético hasta ~32m (línea discontinua en la Fig. 5.3.7c) pero

con un semiespacio más profundo y menos rígido. Este semiespacio está más en consonancia con

la profundidad y velocidad de los materiales pliocenos encontrados en el punto Desaladora (Figs.

5.3.3 y 5.3.14). Su ajuste es sólo ligeramente peor que el del modelo de seis capas (0.071),

reproduciendo el HVSR en un grado similar a éste.

En la Fig. 3.6.8a se muestra una comparación con el modelo simplificado obtenido por Chavez-

García and Luzón (2005) en el mismo punto a partir de tres sondeos geotécnicos de tipo SPT

(Standard Penetration Test) utilizando las relaciones de Yoshida and Motonori (1988) para

obtener VS. Ese modelo se muestra con línea gris. La estratigrafía cortada en el sondeo consiste

en diversas capas de limos arcillosos, arenas gruesas, arenas finas y arenas con gravas con un

espesor de unos 15m sobre un lecho de gravas. También existe un sondeo de refracción de onda

S muy superficial, realizado a unos cien metros del sitio de prueba, que encuentra 179 m/s para

los primeros 6m de suelo. Aunque dados el carácter superficial del sondeo, su relativa distancia y

las diferentes actuaciones artificiales sobre los primeros metros del suelo, los perfiles no son

directamente comparables, se puede mencionar que ese valor está desviado un 13% a la baja

respecto a la media de los seis primeros metros de nuestro modelo de seis capas, y sólo un 9 y un

3% respecto a la primera capa de los modelos de dos capas obtenidos con downhill-simplex y

GA. Como se observa, los resultados obtenidos a partir de ruido ambiental concuerdan


- 214 -

satisfactoriamente con los de los sondeos para profundidades en el rango en el que se esperaba

buena resolución de las arrays (delimitado por líneas discontinuas horizontales) que se ha

calculado en Fig. 5.3.8. mediante el criterio 3/R para la curva de dispersión del modo

fundamental Rayleigh.

Figura 5.3.7. (a) Con línea negra gruesa se muestra el modelo final para el sitio Universidad obtenido del análisis de

microtremores. La sensibilidad del ajuste ante variaciones de 10% y 25% en la velocidad de onda S de cada capa

se representa con rectángulos grises. (b) Estudio de sensibilidad similar al anterior para variaciones en las posiciones

de los límites de las capas. (c) Modelos de tierra, formados por dos capas sobre el basamento, invertidos mediante

un algoritmo genético (línea punteada) y mediante el método downhill-simplex (línea discontinua), comparados con

el modelo final de seis capas (línea continua).

Aplicaciones.

- 215 -

Discusión y conclusiones

En esta sección se han utilizado métodos de autocorrelación espacial (tipo SPAC) para obtener

un perfil de la estructura superficial en el sitio Universidad en términos de la velocidad de onda

S. Para constreñir mejor el modelo invertido, se consideraron tanto la velocidad de fase de onda

Rayleigh como la de onda Love, determinadas respectivamente mediante el método v-SPAC y el

método DR desarrollado en esta tesis. Globalmente, se pudo recuperar algún tipo de información

creíble de correlación (v-SPAC o DR) entre los 2.6Hz y los 11Hz, resultando el método DR más

eficiente en el extremo de baja frecuencia, quizás porque la mayor potencia de la señal Love en

torno a la frecuencia de resonancia facilita el uso de sismógrafos ruidosos. Por el contrario, el

método v-SPAC se aplicó con más éxito a altas frecuencias, ya que V resulta menos

perjudicado por los efectos de N-finito no siendo necesario disminuir tanto los radios de las

arrays para estudiar longitudes de onda cortas. La forma del HVSR (Nakamura, 1989) aportó una

condición adicional para la determinación del modelo de suelo, usando la elipticidad de la onda

Rayleigh (en valor absoluto) como cálculo directo.

Figura 5.3.8. (a) Comparación entre los perfiles superficiales de velocidad de ondas S obtenidos en el sitio de prueba

(Fig. 5.3.1). El modelo obtenido por análisis de microtremores compuesto de seis capas sobre el semiespacio se

muestra con una línea negra gruesa. Un modelo simple consistente en dos capas sobre semiespacio se muestra con

línea discontinua. El obtenido a partir de un sondeo mecánico tipo SPT se muestra en gris. Las líneas horizontales

muestran el rango de profundidades en el que las arrays dan suficiente precisión según el criterio 3/maxR . Si se usa

el criterio 2/maxR , la profundidad máxima es de 68m. (b) Curvas de dispersión de ondas Rayleigh y Love

correspondientes al modelo de seis capas (línea negra gruesa de la subfigura (a)).


- 216 -

La teoría sobre los efectos de N finito en DR

tg , desarrollada en el Capítulo 3, se ha empleado aquí

para establecer las longitudes de onda mínimas a las que estas perturbaciones son (con gran

probabilidad) despreciables y poder usar así las expresiones correspondientes al caso N .

Admitiendo que el modelo invertido es una buena aproximación a la estructura real, podemos

valorar ahora hasta qué punto el comportamiento de los coeficientes de DR experimentales es

explicable a mayores frecuencias. En la tercera columna de la Fig. 4.3.7 se muestran los cálculos

directos de las curvas DR

tg para el modelo invertido y bajo campo isótropo, según la formulación

expuesta en la Sección 3.5.3 que tiene en cuenta los efectos de N finito. Se representan para

valores constantes (independientes de la frecuencia) de RLR de 0, 0.5 y 1. Como los coeficientes

se han extendido hasta frecuencias considerablemente más altas que las ajustadas en la inversión,

no se espera un ajuste perfecto en ese rango. Aún así, el parecido entre las curvas experimentales

y las teóricas es notable, especialmente en cuanto a la posición de los máximos y mínimos

relativos. El caso N=4, R2=35m, R1=17.5m es el más sensible al RLR. Un valor de este parámetro

entre 0.5 y 1 podría reproducir los tres experimentos simultáneamente hasta más de 7 Hz,

requiriéndose algún reajuste de la curva de dispersión de onda Love a frecuencias mayores. El

caso N=4, R2=35m, R1=24.75m, que a priori es el que presentaría efectos de N finito más serios,

es el que queda mejor reproducido. Estos resultados sugieren que esquemas de inversión basados

en un modelado más avanzado de los datos pueden ser viables (ver p. e. Sección 5.3.4).

Se comprueba que en el rango de frecuencias en que se ajustaron los coeficientes de DR (rango

de los segmentos rojos gruesos en la columna derecha) todas las curvas que consideran efectos

de N finito coinciden entre sí y con el cálculo que no considera tales efectos (i. e. con las líneas

rojas), confirmándose así que el intervalo de frecuencias utilizado en la inversión para estos

coeficientes era seguro.

La figura correspondiente a N=5, R2=30m, R1=15m sugiere una peor relación señal / ruido a altas

frecuencias, que empieza ya a percibirse a unos 5 Hz. Esto es consistente con las peores

condiciones de observación de esa medida (Tabla 5.3.2).

En cuanto a los resultados de la inversión, cabe destacar la buena correspondencia entre los

modelos de dos capas que se han obtenido y el modelo simplificado determinado por Chavez-

García and Luzón (2005) mediante SPT (Fig. 5.3.8). Ambos coinciden en la existencia de un

contraste importante a unos 15m, si bien, en nuestro modelo detallado el contraste aparece de

Aplicaciones.

- 217 -

forma más gradual entre los 15m y los 20m. Estos resultados i) confirman que los métodos de

exploración sísmica tipo SPAC son una opción con buena relación efectividad-costo; ii) apuntan

a que el método DR es efectivo en la práctica, pues ha proporcionado velocidades de onda Love

con el comportamiento dispersivo esperado (Fig. 5.3.8b) y con valores compatibles con el resto

de los datos.

5.3.4. ANÁLISIS DE LOS REGISTROS DEL SITIO “DESALADORA”

Como se afirmó anteriormente, el objetivo de este experimento es investigar sobre las

capacidades del método SCA. Gran parte de este trabajo puede encontrarse en García-Jerez et al.

(2010).

Como en este segundo experimento en la zona se dispuso de instrumental más apropiado (con

buena sensibilidad a bajas frecuencias) así como de mejor información previa sobre la estructura,

se pudo aspirar a obtener un perfil de velocidades de onda S más fiable y profundo sin utilizar la

información contenida en las ondas Love. Esto permite realizar posteriormente una comparación

no sesgada entre la curva de dispersión de onda Love experimental y la teórica, obtenidas de

modo totalmente independiente.

Obtención de un modelo profundo

El primer objetivo fue obtener un modelo de la estructura del sitio que alcance el basamento

triásico. Para que la profundidad de éste quede bien definida, se ha realizado la inversión de

algunas características del HVSR junto con la curva dispersión de onda Rayleigh obtenida a

partir de las componentes verticales mediante SPAC. Al disponer también de datos tomados con

arrays relativamente grandes (radio máximo de 420m, distancia máxima entre estaciones de

554m) se espera que el basamento, al que se le estima una profundidad del orden de 500m, pueda

ser resuelto.

La figura 5.3.9 muestra el cociente espectral HVSR medio obtenido en los vértices de la array de

18m. Presenta un pico predominante a 0.35Hz (2.82s) de amplitud ~5.4 que identificamos como

la frecuencia fundamental del sitio. A este rango de periodos y a periodos aún más largos el

cociente espectral presentaba cierta inestabilidad, que ha sido aminorada en gran medida

eliminando varias ventanas temporales problemáticas. La gran similitud para frecuencias por

debajo de 0.6-0.7 Hz con el HVSR obtenido en la estación de banda ancha UALM, que sí está

instalada en condiciones óptimas, permite afirmar que el resultado es creíble por encima de 0.28

Hz. Existe un segundo pico a ~2.7 Hz (amplitud 3.7) que concuerda aproximadamente con el


- 218 -

encontrado en el sitio Universidad, si bien, no es el pico dominante en la desaladora.

Para la aplicación del método SPAC a los registros de componente vertical, hubo que tener en

cuenta que, a excepción de la triangular, las arrays carecían de estación central. Las correlaciones

fueron entonces calculadas entre las componentes verticales obtenidas para las distintas parejas

de estaciones que forman los lados y las diagonales de los pentágonos.

Figura 5.3.9. HVSR calculado en el sitio Desaladora (en negro) comparado con el obtenido en la estación de banda

ancha UALM (en gris), situada en las proximidades del sitio Universidad. En el caso del sitio Desaladora, se

muestra la media y la desviación típica de 5 medidas tomadas en los vértices de un pentágono de 18m de radio. En

ambos casos, se tomaron ventanas de 60s y se realizó un ligero suavizado espectral de 0.1Hz de ancho.

Las densidades espectrales cruzadas correspondientes a parejas con la misma distancia fueron

promediadas. Como los lados (y las diagonales) de cualquier polígono regular están también

orientados regularmente en el acimut, esta forma de aplicar el método SPAC no es más sensible a

la posible anisotropía del campo que el método v-SPAC en su formulación convencional (con

estación central), aunque sí lo es a la estacionaridad espacial del microtemor.

La inversión del modelo de suelo se realizó a partir de la curva de dispersión Rayleigh y de la

posición de la frecuencia fundamental y del primer mínimo del HVSR. Se utilizó el algoritmo de

inversión híbrido paralelizado que se desarrolló en el Capítulo 4 que combina un método

optimización local (en este caso el método Downhill-Simplex) y búsquedas aleatorias en el

espacio de los modelos. Para delimitar una región en la que generar los modelos aleatorios, se

utilizó la información geológica y geofísica previa (Sección 5.3.2), asignando capas de

Aplicaciones.

- 219 -

propiedades uniformes a los estratos con materiales y edades homogéneas. Los límites de esta

región se detallan en la Tabla 5.3.4. La velocidad de onda P de la capa superior, que en su mayor

parte no está saturada (IGME, 1973, Carrasco and Martín, 1988) se ha estimado mediante las

relaciones obtenidas por Valle-Molina (2006) en experimentos de laboratorio (concretamente,

como la velocidad media en una columna de ~ 20m de arena seca). Para el resto de las capas, la

velocidad de onda P se calculó, como en el apartado anterior, a partir de la velocidad de onda S

mediante interpolación en una tabla con datos empíricos regionales (próxima a la relación

VP(km/s) = 1.29 + 1.11 VS (km/s) en el rango de 220m/s a 1700 m/s, Kitsunezaki et al., 1990).

Para evaluar el grado de ajuste de cada modelo, se utilizó un esquema de misfit ecualizado

respecto al número de datos por observable, sin imposición de pesos arbitrarios (Ec. 4.1.4).

Tabla 5.3.4. Intervalos de los parámetros usados en el algoritmo de búsqueda aleatoria. Valores máximos y mínimos

iguales identifican propiedades que permanecen constantes en la inversión.

ESPESORES (KM)

CAPA MÍN. MÁX.

1 0.0168 0.0280

2 0.0357 0.0595

3 0.4350 0.7250

4 1.1210 1.8684

VELOC. S (KM/S)

CAPA MÍN. MÁX.

1 0.2337 0.3894

2 0.4548 0.7580

3 0.8335 1.3891

4 1.8145 2.5000

5 2.6000 2.6000

VELOC. P (KM/S)

CAPA MÍN. MÁX.

1 0.5132 0.5132

2-5 relación empírica

con Vs

DENSIDAD (G/CM3)

CAPA MÍN. MÁX.

1 1.8000 1.8000

2 1.9000 1.9000

3 2.0000 2.0000

4 2.7000 2.7000

5 2.7000 2.7000

En las Figuras 5.3.10-11 se muestran los resultados de esta inversión (modelo ajustado y cálculos

directos de la velocidad de onda Rayleigh). En la Fig. 5.3.11 se incluye la determinación del

modelo medio y de la matriz de covarianzas normalizada. En el mejor modelo invertido, la capa

de aluviales holocenos tomó un espesor de 22m (20m para el modelo medio), dejando paso a las

gravas y arenas pleistocenas hasta los 58m (64m para el modelo medio) de profundidad. Al

paquete de margas miocenas se le estiman 485m (484m) de espesor. Visualmente, el grado de

ajuste de la velocidad de onda Rayleigh es muy bueno. Los extremos relativos del HVSR

también quedaron bien ajustados, estando el pico y el mínimo a 0.38 y 0.75Hz para el mejor

modelo (0.36 y 0.76Hz son los valores experimentales). El test estadístico simple mencionado en

el Apéndice IV.A, asumiendo que los 67 datos empleados son independientes, arroja un nivel de

confianza del 99.7% para el mejor modelo obtenido en el ajuste.


- 220 -

0 5 10 15 20 250

500

1000

1500

2000

2500

Frecuencia (Hz)

Ve

locid

ad

Ra

yle

igh

(m

/s)

Mis

fit / d

ato

0.53

0.55

0.58

0.61

0.63

0.66

0.69

>0.71

Figura 5.3.10. Curva de dispersión de ondas Rayleigh experimental obtenida para el sitio Desaladora (puntos) y

cálculos directos para los 2000 modelo resultantes del algoritmo de inversión híbrido (excluidos los modelos

parciales usados por el algoritmo de búsqueda local), coloreados según el grado de ajuste (se usa el modo

fundamental en los cálculos directos).

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Velocidad de onda S (m/s)

Pro

fun

did

ad

(m

)

Mis

fit / d

ato

0.53

0.55

0.58

0.61

0.63

0.66

0.69

>0.71

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

0

500

1000

1500

2000

2500

Velocidad de onda S (m/s)

Pro

fun

did

ad

(m

)

Aplicaciones.

- 221 -

1 2 3 4 1 2 3 4

1

2

3

4

1

2

3

4

Espesor capa Nº Velocidad S capa Nº

Ve

locid

ad

S c

ap

a N

º E

sp

eso

r ca

pa

Nº

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Figura 5.3.11. Resultado de la inversión del modelo superficial en el delta del río Andarax (sitio Desaladora) a partir

de datos de velocidades de onda Rayleigh y HVSR. Los sondeos eléctricos y mecánicos previos han sido tenidos en

cuenta al acotar la región del espacio de los modelos explorada. Arriba: detalle de los 100m superficiales. Centro:

modelo completo. El modelo medio y las desviaciones típicas de sus parámetros se muestran en azul, mientras que

el mejor modelo probado se muestra en rojo. Los puntos verdes representan un perfil aproximado obtenido

directamente de la curva de dispersión Rayleigh mediante el criterio R/3 (p. e. Tokimatsu, 1997). Los valores de

misfit corresponden al corchete del numerador de (4.1.5). Abajo: matriz de covarianzas normalizada (ver sección

4.3.1).

Análisis de los registros mediante el método SCA.

Para la aplicación del método SCA se realizó, en primer lugar, un filtrado paso-banda a las trazas

entre 0.1 y 30Hz y se dividieron en un conjunto de ventanas de 20s parcialmente solapadas. Esta

longitud de ventana puede considerarse apropiada para el análisis de frecuencias mayores que

0.5-1Hz. Las ventanas fueron suavizadas en los bordes en un 5% de sus longitudes y

transformadas al dominio de la frecuencia. Seguidamente, los coeficientes de Fourier de órdenes

0 y ±1 de las componentes vertical, radial y tangencial fueron estimados para cada ventana

siguiendo la ecuación (3.3.13) y finalmente, se operaron para obtener IIBn y

IIBd a partir de

(3.6.12) y (3.6.13). Estas dos cantidades se promediaron para el conjunto de ventanas

temporales, evitando aquellas en las que el ruido era claramente no estacionario. Se denominará

aquí exp

IIB al cociente entre ambos promedios y lo consideraremos como una estimación empírica

de IIB (o de )(ˆ ns

IIB cuando en el análisis posterior se tengan en cuenta los efectos del ruido no

correlacionado). Estas cantidades son mostradas con líneas negras y para cada radio, en las

Figuras 5.3.12a-e.


- 222 -

Una estimación directa de la curva de dispersión de onda Love puede obtenerse ya, considerando

que exp

IIB puede igualarse a )()()()( 2020 LLLL xJxJxJxJ (Eq. 3.6.11). Como se muestra

en la Fig. 5.3.13a, esta aproximación es apropiada para valores bajos de Lx , dentro de la primera

parte decreciente de exp

IIB , y principalmente hasta el primer corte por cero ( Lx <1.84), y asume

que los efectos del ruido no correlacionado y de número de sensores finito pueden ser ignorados.

Figura 5.3.12. (a)-(e): Las líneas negras muestran exp

IIB obtenido mediante arrays pentagonales desplegadas en el

sitio de prueba. El título sobre cada panel indica el radio de la array. Las líneas grises continuas muestran los

cálculos directos de )(ˆ ns

IIB a partir de una curva de dispersion suave y de un RLR constante, ambos comunes todos

los radios, así como de sendas relaciones NSR – f ajustadas previamente (ver texto). Las líneas negras discontinuas

y punteadas muestran las funciones IIB calculadas para el modo fundamental y el primer modo superior

correspondientes al modelo de estructura, asumiendo NSR=0, RLR=0, N=5 y campo isótropo. Las líneas verticales

discontinuas muestran el rango en que los datos han sido usados. (f) Relaciones lineales entre NSR y f ajustadas para

cada array.

En este caso, Lx ha sido calculado a partir de exp

IIB usando una expansión en serie de potencias

(Ec. 3.6.7, Fig. 3.6.3). Para preservar la claridad de la figura, las velocidades se muestran en el

rango en el que permanecen mínimamente creíbles. En la Fig. 5.3.13a también se muestran las

curvas de dispersión correspondientes a los 2000 modelos de suelo resultantes del algoritmo de

inversión (escaladas en grises como en las Figs. 5.3.10-11, con los datos de onda Love excluidos

del ajuste). A pesar de las hipótesis restrictivas involucradas, se evidencia que seleccionando y

Aplicaciones.

- 223 -

combinando segmentos apropiados con tendencia concordante, se construiría una curva de

dispersión muy próxima a las curvas teóricas de los mejores modelos (modo fundamental).

Alternativamente, la Figura 5.3.13b muestra las velocidades de fase de onda Love obtenidas

mediante un procedimiento en tres pasos que tiene en cuenta los efectos de N finito y del ruido

no correlacionado. Primero, ajustamos a las cinco curvas experimentales f vs. exp

IIB una única

curva de dispersión suave de la forma bfa

L efAfc )( , donde A, a y b son parámetros reales

(p. e. Saccorotti et al., 2001). En este paso exp

IIB es comparado con el cálculo directo de IIB para

un campo isótropo con RLR=0. Todos los ajustes fueron hechos usando el método downhill-

simplex (Nelder and Mead, 1965) con funciones costo definidas simplemente como

fN

i

iIIiII fBfB1

2exp )(ˆ)( o

fN

i

i

ns

IIiII fBfB1

2)(exp )(ˆ)( , donde 1f , 2f , …, fNf son las frecuencias

en las cuales exp

IIB presentaba buena calidad (bandas entre líneas verticales discontinuas en Figs.

5.3.12a-e). Los costos correspondientes a los distintos radios fueron normalizados por los valores

respectivos de Nf y seguidamente sumados para definir un costo global. La curva de dispersión

suave ajustada viene dada por A =0.937, a =0.575 y b =0.0214. Después de esto, se ajustó un

RLR constante y común para los cinco radios y una relación lineal entre f y NSR para cada radio.

Este comportamiento lineal parece funcionar bien con estos datos en las bandas de frecuencia

usadas (las marcadas entre líneas verticales en las Figs. 5.3.12a-e), aunque esto no puede

considerarse una regla general. Los parámetros que definen )( fcL se mantuvieron constantes, y

se asumió NSRV=NSRH=NSR. Como la curva de dispersión Rayleigh es necesaria en este paso,

se utilizó la obtenida previamente mediante el análisis de las componentes verticales con SPAC.

El valor obtenido para el RLR fue 0.36 (esto es, 26.5% de la potencia en forma de ondas

Rayleigh), y las relaciones ajustadas NSR vs. f se muestran en la Fig. 5.3.12f. Finalmente, se

reajustaron las curvas de dispersión suaves independientemente para cada radio, usando la curva

de dispersión suave global como modelo inicial. En este paso los cocientes NSR y RLR se

mantuvieron fijos. Las porciones creíbles de estas curvas se muestran en la Fig. 5.3.13b, mientras

que su valor medio está en la Fig. 5.3.13c. Las líneas grises en las Figs. 5.3.12a-e muestran los

cálculos directos de )(ˆ ns

IIB para cada radio obtenidos del ajuste final. Por comparación con los

datos experimentales se puede sospechar que la mayoría de los NSRs de la Fig. 5.3.12f están

sobreestimados a altas frecuencias debido a la hipótesis simplificadora de relación lineal. En tal

caso, las amplitudes de los máximos y los mínimos de )(ˆ ns

IIB

están subestimadas (p. e. Fig.


- 224 -

Figura 5.3.13. (a): En verde y azul, fragmentos de las curvas de dispersión obtenidas directamente a partir de exp

IIB ,

solucionando la ecuación (3.6.11). Para cada radio, las flechas indican a qué frecuencia se tiene xL = 1.84. Se asume

que estos valores marcan un límite seguro para el caso de una array pentagonal (ver texto); (b) curvas suaves

obtenidas, para cada radio, usando un algoritmo que tiene en cuenta el número finito de sensores y ajusta relaciones

lineales NSR vs. f y un RLR constante (ver texto); (c) media de las curvas de dispersión experimentales mostradas

en la subfigura anterior (línea verde), más y menos una desviación estándar. En todas las subfiguras, las líneas en

escala de grises representan las curvas de dispersión de onda Love correspondientes a los modelos mostrados en Fig.

5.3.11 (que fueron ajustados sin tener en cuenta los datos de onda Love). Tales curvas conservan el tono de gris de

los modelos correspondientes (no se reevalúa ahora el misfit). En la subfigura (c) se muestran también los cálculos

directos para el primer modo superior de onda Love.

Aplicaciones.

- 225 -

5.3.12c alrededor de 11Hz). Por el contrario, el nivel de ruido parece estar subestimado a

frecuencias por debajo del rango ajustado en las Figs. 5.3.12a-e. Las líneas discontinuas y

punteadas muestran las formas teóricas de las funciones IIB en el caso NSR=0, RLR=0, N=5 y

campo isótropo, para el modo fundamental y para el primer modo superior de ondas Love

calculados del modelo de suelo. Aunque se necesita más investigación sobre la influencia de los

modos superiores, no se puede descartar su contribución en algunos rangos de frecuencia (p. e.

en el abombamiento alrededor de 10Hz para R =12m y en la caída inesperada a unos 13 Hz para

R =18m). Se ha comprobado que los ajustes tienen una sensibilidad muy limitada en el RLR.

Recuérdese que el método se vuelve insensible al RLR conforme el número de estaciones N

tiende a infinito. Si el RLR se remplaza por 1 antes del paso final (ajuste de los cinco segmentos

suaves de las curvas de dispersión), la curva de dispersión promediada resultante cambia un

3.3% de media. La máxima variación (menor del 8%) se tiene en el rango 20.6 - 22.5 Hz. Esto

sugiere que una estimación aproximada del RLR puede ser suficiente en muchas situaciones

ordinarias.

En conclusión, los resultados globales indican que el procedimiento empleado para la extracción

de la curva de dispersión permite considerar apropiadamente los efectos de N finito y del ruido

no correlacionado, extendiendo el rango útil de frecuencias más allá del primer mínimo de exp

IIB .

El procedimiento de ajuste podría ser refinado en el futuro en base a la teoría desarrollada en el

Capítulo 3.

En este punto podemos preguntarnos qué hubieran aportado los datos de onda Love a la

inversión del modelo de suelo. En la Figura 5.3.14 se muestran, en gris, los 100 primeros metros

del modelo medio obtenido mediante inversión conjunta de las curvas de dispersión Rayleigh y

Love (junto a las frecuencias de primer máximo y mínimo del HVSR), que se compara con el

resultado obtenido sin los datos de onda Love (en negro). En esta ocasión y en ambos casos, la

velocidad de onda P de la primera capa se ha invertido también (como una variable

independiente). Se aprecia que la inversión conjunta disminuyó considerablemente las

incertidumbres en el modelo resultante (especialmente en velocidades). En ausencia de datos de

onda Love, una velocidad de onda S excesiva puede ser parcialmente compensada por una

velocidad baja de onda P para obtener una velocidad Rayleigh que ajuste bien los datos. Esto

genera grandes incertidumbres en las velocidades P y S (ver indeterminaciones en éstas variables


- 226 -

en la primera capa del modelo, en negro). En este caso, es necesario imponer información a

priori, p. e., limitando los radios de Poisson o, de modo más radical, imponiendo una relación

entre ambas velocidades. Sin embargo, existen casos en los que la velocidad de onda P de un

material es extremadamente variable (p. e., dependiendo del grado de saturación o del

coeficiente de Skempton, ver p. e. Valle-Molina, 2006) mientras que la velocidad de onda S es

bastante estable. El añadir la curva de dispersión de onda Love (insensible a la velocidad de onda

P) al proceso de inversión contribuye a mitigar los efectos sobre el modelo invertido de esta

interdependencia.

Figura 5.3.14. Modelos medios invertidos para el sitio Desaladora usando (gris) y sin usar (negro) los datos de

velocidades de onda Love. La velocidad de onda P de la primera capa ha sido también invertida. Los datos de

velocidad de onda Rayleigh y los extremos del HVSR también se emplean en ambos casos.

Conclusiones

La implementación del método SCA basada en el estimador BII (García-Jerez et al., 2010) ha

mostrado un comportamiento bastante robusto al utilizarlo con datos reales. Se ha aplicado el

método SCA para calcular curvas de dispersión de onda Love a partir de los registros de tres

componentes grabados por cinco arrays pentagonales sin estación central en un sitio en el que la

estructura era conocida. El experimento confirma que las ecuaciones obtenidas en las Secciones

3.6.5-6 pueden extender significativamente el rango útil de longitudes de onda. De hecho, las

formas experimentales de BII han sido exitosamente interpretadas hasta xL = 11.7 (de media)

Aplicaciones.

- 227 -

asumiendo iluminación isótropa, aunque este límite puede depender fuertemente de las

condiciones del campo, como se observó en el Capítulo 3. Si, por el contrario, los efectos del

aliasing y del ruido incoherente son ignorados, las velocidades de onda Love pueden aún

obtenerse hasta alrededor de Lx = 1.84.

Se requiere todavía algún trabajo para mejorar el procedimiento, incluyendo el ajuste o

estimación de la relación ruido-señal y el cálculo óptimo de las curvas de dispersión y de las

incertidumbres asociadas.


- 228 -

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES Y FUTURAS LINEAS DE

TRABAJO

6.1. CONCLUSIONES.

Las conclusiones más importantes alcanzadas en este trabajo son resumidas a continuación.

De la revisión bibliográfica realizada y de la experiencia acumulada en este trabajo se concluye

que, al menos en ciertos tipos de ambientes geológicos y en amplias bandas de frecuencia, el

ruido ambiental está dominado por ondas de tipo superficial que se propagan de modo coherente

por el subsuelo. Como a frecuencias por debajo de 1Hz estas ondas son generadas en procesos

oceánicos y meteorológicos, alcanzan con más potencia las zonas continentales cercanas a las

costas. La existencia de estructuras sedimentarias con elevado contraste es también es una

situación favorable para su detección. A frecuencias por encima de 1Hz, la existencia de fuentes

de ruido cultural cercanas juega un papel importante en el contenido de ondas superficiales,

debido a la gran atenuación inelástica.


- 230 -

Existen dos familias de métodos para el tratamiento de ruido sísmico mediante una array de

sensores con características muy diferentes: los métodos f-k y los métodos tipo SPAC. De las

formulaciones expuestas, la revisión bibliográfica y los ejemplos numéricos realizados se

concluye que:

i) Los métodos f-k son aplicables preferentemente a situaciones en las que, para cada frecuencia,

el microtremor esté dominado por ondas procedente de una única dirección. Aún así, existe la

posibilidad de separar ondas procedentes de distintos acimuts o con distintas velocidades de fase

(p. e., distintos modos de ondas superficiales), si bien el rango de longitudes de onda en el que

esta distinción es viable suele ser muy limitado y fuertemente dependiente de las características

de la array (abertura y densidad de estaciones). La posible correlación entre las fases de las ondas

procedentes de distintas direcciones supone una seria dificultad para estos métodos que puede ser

aminorada mediante un promedio espacial adecuado si la array contiene suficientes parejas de

estaciones redundantes (misma distancia y dirección). Al margen de esta particularidad, los

métodos f-k son aplicables indistintamente en arrays regulares e irregulares.

ii) Los métodos tipo SPAC son especialmente adecuados cuando el campo contiene ondas

provenientes de distintas direcciones: de hecho, la mayor parte de estos métodos funcionan

óptimamente bajo campo isótropo. Si el campo tiene una o unas pocas direcciones claramente

predominantes (i.e. iluminación fuertemente anisótropa) se pueden estimar los errores máximos

cometidos y establecer rangos seguros en la determinación longitud de onda, que serán función

del tamaño de la array y del número de estaciones. Estos métodos admiten la existencia de

señales correlacionadas que viajen a la misma velocidad (no se hacen hipótesis restrictivas en las

formulaciones deterministas del Capítulo 3). Son aplicables óptimamente a arrays circulares (i.e.

sensores dispuestos en los vértices de polígonos regulares) o semicirculares (métodos v-SPAC y

3c-SPAC), si bien, este requisito puede ser relajado en algunas variantes. En condiciones de

campo isótropo, los métodos v-SPAC y 3c-SPAC se pueden utilizar con arrays irregulares.

Se ha desarrollado un método, al que denominamos DR (Double Ring), que permite calcular

velocidades de ondas Love usando una array compuesta por dos circunferencias concéntricas en

las que se registran las componentes tangenciales. En comparación con el método convencional

(3c-SPAC) se tiene un procesamiento mucho más sencillo de los registros, en el cual la velocidad

de onda Love es calculada de modo independiente a la velocidad de onda Rayleigh (hasta cierta

longitud de onda mínima en arrays reales). Se han obtenido las expresiones analíticas para los

Conclusiones y futuras líneas de trabajo.

- 231 -

efectos de número de sensores finito y ruido incoherente y, en ejemplos sintéticos, se ha

comparado con el método TR (Tada et al., 2006) que utiliza el mismo montaje experimental. De

los resultados se deduce cierta superioridad de nuestro método en cuanto al rango útil de

números de onda en ausencia de ruido incoherente (el DR permanece estable hasta longitudes de

onda Love algo más cortas). En presencia de ruido, el rango en el que el método DR permanece

poco afectado se desplaza a longitudes de onda menores (en torno a los ceros de J0(kLR2)) en

comparación al método TR.

Se ha desarrollado un segundo método, al que denominamos SCA (Single Circular Array) que

permite calcular velocidades de onda Love y Rayleigh utilizando una array circular formada por

estaciones de tres componentes. Usando este método se reduce el coste, en cuanto a número de

estaciones, en comparación con los métodos DR y TR. Por otra parte, la técnica SCA procesa

también las componentes verticales del registro, requiriendo que se correspondan los modos de

propagación Rayleigh que se registran en las componentes horizontal y vertical). En

comparación con el método 3c-SPAC, cabe destacar que el SCA sí permite el cálculo

independiente de la velocidad de la onda Love (en aplicaciones prácticas en las que el número de

estaciones es muy limitado, esta propiedad sólo se tiene para longitudes de onda suficientemente

largas). Se han realizado diversos estudios numéricos que prueban la utilidad del método SCA.

En el Capítulo 3 se han recuperado varios métodos de tipo SPAC en un contexto determinista.

En particular, los métodos v-SPAC (Aki, 1965), 3c-SPAC (Okada and Matsushima, 1989), TR

(Tada et al., 2006), MSPAC (Bettig et al., 2001; Köhler et al., 2007) tienen una translación más o

menos directa a esta descripción del campo. Por el contrario, los métodos CCA, CCA-L y

SPACL no se pueden traducir al caso determinista. Esto se debe a que la independencia

estadística entre las ondas procedentes de distintos acimuts es una condición necesaria en estos

para estos últimos.

Los métodos DR y SCA, fueron formulados originalmente en el contexto determinista (García-

Jerez et al., 2008ab). Aquí se demuestra su aplicabilidad bajo campos aleatorios estacionarios,

una vez que sus definiciones son convenientemente reescritas.

En el Capítulo 4 se ha tratado la implementación de algoritmos de inversión híbridos en los que

se combina una búsqueda tipo Monte Carlo con métodos de optimización local (inversión

linealizada y método Downhill Simplex), complementándose con un análisis estadístico de los


- 232 -

resultados. Con objeto de hacer viable la evaluación masiva de modelos de suelo, se ha

elaborado un software paralelizado escrito en FORTRAN77 y MPI. Su capacidad ha sido

comprobada en un ejemplo sintético sencillo (5 parámetros libres), consiguiéndose capacidades

incluso superiores a las de un algoritmo genético cuando se ejecutan el mismo número de

cálculos directos (si bien, se necesitarán más ejemplos para llegar a conclusiones rotundas).

Como era previsible, el ajuste de la relación entre número de modelos generados aleatoriamente

y el número de iteraciones realizadas con los algoritmos locales juega un papel importante. Un

ejemplo completo de la aplicación del algoritmo en un caso real se muestra en el Capítulo 5 para

el experimento Desaladora (en la desembocadura del río Andarax). Una colección más extensa

de aplicaciones podrá encontrarse en Luzón et al. (2010).

En el Capítulo 5 se ha utilizado el método del HVSR (técnica de Nakamura) para explorar la

geometría del basamento en la cuenca de Zafarraya (Granada). Al tratarse de una cuenca

relativamente extensa y poco profunda y con un contraste de velocidades entre los sedimentos y

el basamento no extremadamente alto (2-3), las variaciones en el campo de ondas están

gobernadas por las respuestas 1D de cada punto y no por resonancias 2D y 3D. Ello permitió

realizar un ajuste entre la frecuencia del pico principal del cociente espectral y la profundidad del

basamento usando 17 puntos de la cuenca en los que se disponía de información geotécnica,

utilizando después esta relación para inferir la profundidad del basamento en una malla densa de

puntos en los que se determinó la frecuencia de resonancia. Esto permitió generar un modelo 3D

del basamento (Fig. 5.1.8). Adicionalmente, se obtuvieron relaciones exponenciales que

describen la variación de la velocidad de onda S con la profundidad para la cobertura

sedimentaria de la cuenca, asumiendo su homogeneidad lateral y variaciones suaves en vertical.

La que se considera más verosímil (Ec. 5.1.7) resulta, en los 50m más superficiales, similar a la

obtenida por Amico et al. (2008) en el área de Florencia.

A menor escala, se ha utilizado el método v-SPAC y la inversión conjunta a partir de la curva

de dispersión Rayleigh y del HVSR para explorar el subsuelo de la localidad de Mula (Murcia).

Combinando e interpretando los resultados a la luz de la información geotécnica se pudieron

obtener dos cortes geológicos superficiales a través del área urbana. Asimismo, se ha elaborado

un mapa de periodos predominantes de la localidad usando el HVSR que puede ser de utilidad en

futuros estudios de riesgo sísmico. Los periodos, que varían entre los 0.06s y 0.38s, están

distribuidos con cierta heterogeneidad.


- 233 -

Se testeó el método DR en un experimento realizado en el Campus de la Universidad de

Almería. El experimento permitió recuperar información del subsuelo hasta unos 60m de

profundidad usando un radio máximo de 35m e introduciendo muy poca información a priori en

la inversión. La profundidad de penetración estuvo limitada por el tipo de instrumentos usados

(acelerómetros) que arrojaron una pobre relación señal/ruido para frecuencias por debajo de 3-

4Hz. La posición del contraste de velocidades de onda S más significativo en ese rango de

profundidades (identificado a 15m por Chávez-García and Luzón, 2005 mediante sondeos

mecánicos) fue recuperada con gran precisión, incluso parametrizando el modelo de una forma

simple (dos capas sobre un semiespacio). Pueden resaltarse dos observaciones interesantes sobre

la eficiencia del método DR:

i) Éste resultó ser más eficaz que el v-SPAC a frecuencias bajas, probablemente debido a la

mejor relación señal / ruido para las ondas Love.

ii) Dentro de las limitaciones debidas al desconocimiento del modelo real en todo su detalle, el

comportamiento de los coeficientes de DR a longitudes de onda cortas parece poder explicarse

considerando los efectos de número de estaciones finito (y, en menor medida, de ruido

incoherente) admitiendo proporciones de onda Rayleigh en la componente horizontal inferiores

al 50% (i. e. RLR<1). Esto abre las puertas a procedimientos de inversión más sofisticados en

que se consideren tales efectos.

El método SCA ha sido comprobado experimentalmente en el sitio Desaladora, situado en el

delta del río Andarax (Almería), cuya estratigrafía aproximada era conocida a partir de sondeos

mecánicos, eléctricos e inversión conjunta a partir de la curva de dispersión de onda Rayleigh y

del HVSR. Se usaron cinco arrays pentagonales (N=5) con radios entre 12 y 94m y se evaluó el

estimador BII, que permite una aplicación robusta del método. Si los efectos de N finito y del

ruido incoherente son ignorados, las velocidades de onda Love pueden obtenerse hasta alrededor

de Lx = 1.84. Por otra parte, la formulación desarrollada en el Capítulo 3 permitió interpretar la

forma suave y oscilante de )(exp fBII , hasta valores tan altos como xL = 11.7 (de media), como la

forma para campo isótropo más una cierta proporción de ruido incoherente, linealmente creciente

con la frecuencia.

Los test realizados en el sitio Desaladora confirman que la inversión conjunta de datos de onda


- 234 -

Rayleigh y Love reducen significativamente las incertidumbres en el modelo invertido (respecto

al uso exclusivo de datos Rayleigh) contribuyendo especialmente a eliminar interdependencias

entre velocidades de ondas P y S.

En el experimento realizado en el sitio Desaladora y en la estación de banda ancha UALM se

ha encontrado un pico claro en el HVSR a frecuencia de ~0.35Hz que es interpretado como el

modo fundamental de resonancia 1D de un paquete sedimentario de potencia superior a 500m.

Un segundo pico es claramente identificable a 2.7-2.9 Hz. Éste es menos notable en el sitio

Desaladora y más pronunciado (incluso dominante) en la estación de la Universidad. La

confirmación de la existencia de la resonancia de baja frecuencia sugiere la posibilidad de

estudiar la estructura profunda del abanico aluvial del Andarax mediante ruido ambiental,

complementando la zonación obtenida por Navarro et al. (2001) basada en el pico de alta

frecuencia y que reflejaría la estructura más superficial.

6.2. FUTURAS LÍNEAS DE TRABAJO.

Como es inevitable, a lo largo de este trabajo han quedado muchas cuestiones abiertas.

Esquemáticamente se indican algunas de las que se podrían abordar a continuación:

Estudios posteriores sobre las técnicas DR y SCA:

i) Se debe estudiar su aplicabilidad bajo condiciones del campo más desfavorables, como

coexistencia de modos superiores de ondas superficiales y/o de ondas internas o en campos de

onda simulados dentro de estructuras 3D.

ii) Modelización de los efectos de efectos de los errores estocásticos en DR

tg y IIB . Se trata de

evaluar teóricamente las incertidumbres debidas al empleo de un número finito de ventanas

temporales de duración finita. Un estudio de este tipo para el método v-SPAC puede encontrarse

en el trabajo de Cho et al. (2008).

iii) Completar el código híbrido de inversión para que trate directamente con los coeficientes DR

y SCA y considerando los efectos de N-finito en los cálculos directos (i. e. inversión de DR

tg , IIB

y del RLR). También puede incluirse la inversión de la densidad espectral de ruido incoherente.


- 235 -

iv) Estudio de los efectos de la atenuación inelástica en los coeficientes DR y SCA.

En el apartado de aplicaciones, sería interesante:

i) Realizar un nuevo estudio en la cuenca de Zafarraya usando técnicas tipo SPAC, gravimétricas

y eléctricas que permita validar o mejorar la información sobre la estructura obtenida aquí

(trabajo actualmente en progreso).

ii) Realizar mediciones de HVSR cubriendo densamente la zona del Bajo Andarax con el

objetivo de mapear la variación espacial y espectral del pico de baja frecuencia ~0.35Hz

detectado en el entorno de la desembocadura (sitios Desaladora y Universidad).

Evolucionar los programas de inversión híbrida para permitir otras combinaciones de métodos

(p. e. inclusión de algoritmos genéticos y técnicas Monte Carlo más avanzadas)

Profundizar en el estudio de la aplicabilidad de los métodos tipo SPAC fuera del contexto de

campos aleatorios estacionarios (p e. en la interpretación y utilidad de la proporción de ondas

Rayleigh compleja )(' en el método 3c-SPAC).


- 236 -

REFERENCIAS


- 238 -

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DESARROLLO Y EVALUACIÓN DE MÉTODOS …agj574/Tesis_GJ.pdf · desarrollo y evaluaciÓn de mÉtodos avanzados de exploraciÓn sÍsmica pasiva. aplicaciÓn a estructuras geolÓgicas