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DESARROLLO DEL PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO:
UNA FORMA DE EVITAR LOS OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS EN EL
APRENDIZAJE
Escuela Colombiana de Ingeniería Enero 13 de 2012
DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA
• Sistema de numeración decimal: construcción de los números de más de 1 cifra; suma de unidades mayor que la decena; resta de unidades mayores; uso de símbolos, por ejemplo: <, >, √, log.
• Fraccionarios: representación de fracciones “impropias”; suma y resta; orden de números.
• Álgebra: realizar operaciones, potenciación y radicación, resolver polinomios en forma horizontal, dar un polinomio como respuesta.
• Resolución de problemas: idenGficar las magnitudes conocidas y desconocidas, establecer relación entre ellas, diferenciar la magnitud de la medida y de la unidad de medida.
• Se evidencian hacia los 10 u 11 años. • Se agudizan en el bachillerato y la universidad. • Se originan entre los 6 o 7 años.
ORIGEN DE LAS DIFICULTADES
• Frustración frente a tareas que superan sus capacidades por lo tanto baja AutoesGma. • Deserción escolar y universitaria. • Escogencia de carreras que “no tengan nada que ver con matemáGcas”.
CONSECUENCIAS DE LAS DIFICULTADES
Las dificultades se originan por los OBSTÁCULOS o dificultades que no son
posibles de superar e impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento
(Brousseau, 1989).
¿POR QUÉ SE ORIGINAN?
Condiciones genéGcas específicas
de los estudiantes.
Saltos conceptuales que no se pueden evitar porque juegan un papel muy importante en la adquisición del nuevo
conocimiento.
Provienen de la enseñanza
y se deben evitar porque impiden ver las cosas de una nueva
manera.
Ontogenéticos Didácticos Epistemológicos
OBSTÁCULOS
Los obstáculos didácGcos son impedimentos en el aprendizaje que se producen por la misma enseñanza para ayudar al niño a salir de la dificultad temporal pero que a largo plazo le
impiden avanzar en la construcción del nuevo conocimiento.
OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS
Errores metodológicos
Errores pedagógicos
Errores conceptuales
Palabras o imágenes que se usan en forma
inadecuada.
Nociones falsas que distorsionan el significado del concepto.
Obstáculos epistemológicosque se evitan en la enseñanza.
O.D. se producen por errores didácUcos
La boca del cocodrilo abierta para el mayor.
Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.
Usa el senGdo común: el
cocodrilo se come al menor: 4 < 3
El uso de símbolos se asocia con una
imagen inadecuada: la
boca del cocodrilo.
Dificultad en el uso de símbolos.
Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.
El número 18 es igual que el 9: 18 cosas.
18 está formado por 1 y
8.
c d u
3 2 4
3 0 4
Dificultad en la construcción de # de 2 cifras: valor posicional de la cifra ≠ la cifra en una posición.
No se da salto conceptual entre # de 1 y 2 cifras: 1 grupo ≠ 10 cosas
sueltas.
¿Cuántas d hay en 304? Responde: 0
Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en S.N.D.
18 + 49 ¿lleva 1? 67 -‐18 ¿le presta 1?
67 – 48 “no se puede”, o lo invierte: = 21.
Dificultad en la suma > d, resta u >, construir la lógica
del S.N.D.
Concepto falso: un número no Gene vida y no lleva y no presta, no se descompone.
Ejemplo de error metodológico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal llamados fraccionarios” (Federici)
Fracción, tomar, coger, impropia.
¿En 5/3 cómo tomar
5 partes de 3? Impropio significa algo que se debe
evitar. El número se
asocia con una imagen
inadecuada: tomar partes de un todo.
Dificultad para ver un solo objeto
matemáGco y no dos.
Ejemplo de error pedagógico, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal llamados fraccionarios” (Federici)
Fracción compuesta por 2 naturales
separados por una raya.
Suma o resta como naturales: 3/4 + 2/5 = 5/9 5/9 -‐ 2/5 = 3/4
Dificultad para realizar
operaciones con otros #
diferentes a N.
No se da salto conceptual entre N y Q+, ni entre # contador y # relator.
Ejemplo de error conceptual, del discente, O.D. y dificultad en Q+ “mal llamados fraccionarios” (Federici) Relación parte
todo, canGdades discretas.
No puede relacionar fracción con medida, ni con razón, ni con
operador.
Dificultad para construir el
significado de Q+ en sus diferentes
interpretaciones.
Concepto falso: Q+ es una relación
entre magnitudes, entre canGdades
conGnuas.
Resolver problemas: no logra idenGficar las magnitudes conocidas y desconocidas y diferenciarlas de la medida y
de la unidad de medida.
Establecer relaciones entre magnitudes y conceptos , ni a diferenciar los conceptos para dar
el salto conceptual, por ejemplo entre: Número contador ≠ número relator
canGdad ≠ número magnitud ≠ medida
Operación y operación inversa.
Las dificultades en deducir y generalizar se producen porque no se enseña a:
E.D. se producen por currículo tradicional
¿Qué se enseña? ¿Para qué se enseña?
¿Cómo se enseña?
Aprender contenidos aislados
y pasar la evaluación.
Procedimientos mecánicos y repeGGvos.
A manipular # y f.g., símbolos abstractos.
Se usan “trucos” para “ayudar” a manipular los símbolos.
Se evitan los saltos para evitar
dificultad temporal.
Se enseñan nociones transitorias en la historia.
Errores metodológicos
Errores pedagógicos
Errores conceptuales
Énfasis en símbolos
Contenidos aislados
Procedimientos mecánicos
¿Qué son?
¿Por qué se producen?
Tradicionalmente, el docente repite lo que aprendió de sus profesores y esto hace que los obstáculos didácGcos se repitan de generación
en generación.
DIDÁCTICA
La didácGca Gene en cuenta cuatro elementos: el saber, el docente, el discente
y el contexto social.
“EL DESCUBRIMIENTO CONSISTE EN VER LO QUE TODOS HAN VISTO Y EN PENSAR
LO QUE NADIE HA PENSADO.”
Carlo Federici Casa (1906 – 2005)
DIDÁCTICA DE FEDERICI El docente reflexiona sobre qué, para qué y cómo se
enseña. Enseñar la matemática consiste en desarrollar el
pensamiento lógico matemático con el fin de adquirir herramientas para resolver problemas propios de la matemática, de la ciencia, de la música, del arte y…
en general, de la vida cotidiana.
DIDÁCTICA DE FEDERICI
¿Qué se enseña? ¿Para quién se
enseña? ¿Cómo se enseña?
Proceso cogniGvo.
Des-‐cubrir relaciones, construir significado.
A desarrollar pensamiento
lógico matemáGco.
Construyes todos los Gpos de
pensamiento en forma integral.
Repite el proceso histórico.
La acción del niño de lo
concreto a lo abstracto.
¿Qué y Para qué se enseña?
A desarrollar el pensamiento lógico matemáGco mediante el estudio de las relaciones entre canGdades y magnitudes.
E.T. D.F.
Pasar la evaluación, aprendizaje temporal.
Para resolver problemas propios de la matemáGca, de la ciencia y de la vida coGdiana.
Para aprender contenidos aislados.
Para construir el significado de los conceptos y la relación entre conceptos en todos los Gpos de pensamiento en forma integral.
A manipular números y figuras geométricas, símbolos abstractos.
El proceso ontogenéGco repite en cierta manera, el proceso filogenéGco.
No se Gene en cuenta el proceso cogniGvo del niño. Se enseña de la misma manera desde pre-‐escolar hasta la universidad: símbolos abstractos sin significado.
¿Para quién se enseña?
E.T. D.F.
Se Gene en cuenta el proceso cogniGvo del niño que aprende de lo concreto a lo abstracto. Se uGlizan las situaciones problema de la historia para diseñar acGvidades. Mediante la acción y las percepciones des-‐cubre relaciones y construye el significado de los conceptos.
Procedimientos mecánicos sin significado.
¿Cómo se enseña?
E.T. D.F.
El pensamiento lógico matemáGco se desarrolla sobre la base del pensamiento
espacial y la construcción de las estructuras lógicas y de las bases matemáGcas
(Piaget, 1989).
PENSAMIENTO LÓGICO MATEMÁTICO
Relaciones topológicas se refieren a la construcción del espacio: abierto, adentro, con huecos, vecindad,… Relaciones proyecGvas se refieren a la ubicación en ese espacio. Relaciones euclidianas se refieren a la forma y las proporciones y dimensiones del espacio. Las relaciones topológicas preceden a las proyecGvas (Piaget, 1967).
Pensamiento espacial
§ Comparación: diferencias y semejanzas. § Clasificación: comprende tres estructuras: v Clasifica y reclasifica: clasifica si forma grupos usando todo el material con un criterio consistente. Reclasifica si clasifica con otro criterio diferente. v Inclusión: incluye un grupo en otro grupo general. v Complemento: separa el material en dos grupos complementarios, una propiedad y la negación de esa propiedad.
Estructuras lógicas
§ Relación se refiere al orden de un grupo teniendo en cuenta las relaciones temporales: v Relaciones y sus inversas. v Secuencias o patrones cuyo orden es aleatorio. v Relaciones de orden entre canGdades y magnitudes, cuyo orden es lógico, por ejemplo: en las regletas Cuisenaire.
Relación de orden entre magnitudes Regletas Cuisenaire
b
r
v
R
a
V
n
c
A
N
blanca
roja
verde
rosada
amarilla
Verde oscura
negra
café
Azul
Naranja
Las bases matemáGcas se refieren a la construcción del concepto de canGdad, magnitud, equivalencia y relación, y diferenciar: § CanGdad ≠ número. § Magnitud ≠ medida. § Equivalencia ≠ operación. § Relación ≠ relación inversa.
Bases matemáUcas
EQUIVALENCIAS
R es equivalente a v y b
2r = R o R/2 = 2 ¿Cuántas equivalencias diferentes de R? ¿Cuántas equivalencias diferentes sin importar el orden de R?
¿Cuántas equivalencias de R sólo con 2 regletas?
b + v = R
¿Cuál es el área del rectángulo? ¿De cuántas maneras se puede encontrar el área del rectángulo?
Cómo evitar los errores didácUcos en el S.N.D.
8 – 5 = 3 3 + 5 = 8
La suma de 3 y 5 es igual a 8.
La resta: operación inversa de la suma.
La resta de 8 y 5 es igual a 3.
Generalización de la suma y la resta Ecuaciones de primer grado
x + 5 = 8
8 – x = 3 3 + x = 8
x – 8 = -3
Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Construcción números de 2 cifras
N y r = 1d y 2 = 10 + 2 = 12 doce
10N y r = 10d y 2 = 100 + 2 = 102
40N y 5N y A = 40d y 5d y 9 = 400 + 50 + 9 = 459
Educación Tradicional
Construcción de la lógica: el número
doce es una suma.
1 grupo de 10 cosas = 1 decena ≠ 10 cosas
¿Existe el número doce?
El número 12 son doce
cosas, conteo.
8 + 6 = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14
Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Suma de unidades mayor que d
1 28 8 más 6 igual 14 + 36 pongo 4 llevo 1 64
Educación Tradicional
Construcción de la lógica: se
forman decenas.
Se cuenta y lleva.
Cómo evitar los E.D. en el S.N.D. Resta de unidades mayores
Educación Tradicional
Construcción de la lógica: se resta de la decena.
El número de la
izquierda le presta.
14 – 6 = (10 – 6) + 4 = 4 + 4 = 8
51 64 4 menos 6 no se puede
- 36 el 6 le presta 1 al 4,…
28
Cómo evitar los E.D. en Q+ Relación entre conceptos y no usar
las fracciones
0 + 2 + 2 = 2 x 2 = 4 R es múltiplo de r
Número relator u operador
mulGplicador sobre magnitudes.
= 2
MulGplicación, múlGplos.
2 =
2r = R
R es el doble de r
4/2 = 4 – 2 – 2 = 0 4/2 = 2
r es divisor de R
Número relator u operador divisor
sobre magnitudes.
1/2
= 1/2
División: operación inversa de la mulGplicación,
divisores.
(1/2)R = r
=
r es la mitad de R
Cómo evitar los E.D. en Q+
Construcción de la relación entre magnitudes
2/3V = R
¿Cuál es la relación entre R y V?
= 3/2
= 2/3
¿Cuál es el segmento que
resulta del operador 2/3 sobre V?
3/2R = V
Construcción del significado de Q+: Operador, medida y razón.
¿Cuál es la medida entre R y V?
¿Cuál es la razón entre R y V?
R = 2/3V o V = 3/2R
R/V = 2/3 V/R = 3/2
¿Hay otra medida? R = 4/6V o V = 6/4R
¿Las medidas son equivalentes?
R = 4/6V = 2/3V
Construcción del significado de Q+: Operador, medida y razón.
Interpretación de Q+
Relación
Relación inversa
Operador 3/2R = V 2/3V = R
Medida R = 2/3V V = 3/2R
Razón y proporción R/V = 2/3 V/R = 3/2
(x + 2) (x + 3) =
(x + 3) (x + 2) = x2 + (3 + 2)x + 3•2
Uso de regletas en álgebra
x x2 + (2 + 3)x + 2•3
Uso de regletas en cálculo integral
§ Pregunta: sin pregunta no hay problema. § Magnitudes conocidas y desconocidas. § Relación entre dos magnitudes (el cerebro funciona en forma binaria). § Unidad de medida para cada medida y la relación entre las diferentes unidades de medida. § Proceso de lo analíGco a lo sintéGco.
Resolución de problemas
Desarrollo del pensamiento lógico matemáUco desde cualquier área
Docente Docente
Docente Saber
Docente Discente
Contexto social
Contexto social
Resolver problemas propios de la matemáGca.
Desarrollo del pensamiento lógico matemáUco desde cualquier área
Resolver problemas de la ciencia y del
arte.
Resolver problemas de la vida coGdiana.
AcGvidades. Logros:
idenGficar, diferenciar, construir.
P.L.M: procesos lógicos,
espaciales, matemáGcos.
Saber
Desarrollo del proceso cogniGvo.
Desarrollo del pensamiento lógico matemáUco desde cualquier área
Conceptos fundamentales y la relación entre ellos.
Historia del proceso de construcción
de los conceptos.
Papel del discente
Descubrir relaciones entre
canGdades y magnitudes mediante la acción.
Desarrollo del pensamiento lógico matemáUco desde cualquier área
Construir el significado de los
conceptos.
JusGficar y explicar las respuestas.
Papel del docente
Reflexionar sobre qué, para qué y cómo se
enseña.
Desarrollo del pensamiento lógico matemáUco desde cualquier área
Conocer los conceptos
fundamentales y la relación entre
conceptos.
Formular las preguntas adecuadas.
Pensamiento lógico
matemáGco
Etapas en el proceso
Conceptos fundamentale
s
Construye el significado
Saltos conceptuales
Desarrolla estructuras cogniGvas
El docente reflexiona qué, para quién y cómo se enseña
El discente aprende
• AutoesGma. • Escogencia de acuerdo a su interés. • Mayor índice de población universitaria. • Mayor capital humano en la resolución de problemas de nuestro país.
CONSECUENCIAS DEL DESARROLLO DEL P.L.M.
Andrade, C. (2010) “Obstáculos didácGcos en el aprendizaje de la matemáGca y la formación de docentes”. En: Alme 25, Guatemala, 2010. Andrade, C. (2008) De la mano al cerebro; sobre la construcción de los racionales sin signo (Q+) con base en la didác:ca de la matemá:ca de Federici. Bogotá. Fondo de Publicaciones del Gimnasio Moderno. Brousseau, G. (1989) "Les obstacles épistémologuiques et la didacGque des mathémaGques" En ConstrucGon des savoirs Canada: CIRADE Agence d´arc. pp. 41-‐63. Cuisenaire, G. (1952) Los números en color. Bélgica Federici, C. (2003) Una construcción didácGca del Sistema de Numeración Decimal. En imprenta. Piaget, J (1983) La psicología de la inteligencia. Barcelona. Editorial CríGca Piaget, J. Inhelder, B. (1967) The child´s concep:on of space. New York. The Norton Library.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GRACIAS!
Carmen Andrade Escobar Magister en Docencia de la matemática, UPN
Investigación dirigida por el profesor Federici, 2000 a 2004 Directora Escuela Mak
