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Planos de aula / 9º ano /Planos de aula

Descobrindo as relações entre ângulos com auxílio do Geogebra

Por: Renata Gerhardt Gomes Roza / 31 de Março de 2018

Código: MAT9_11GEO02

Habilidade(s):

EF09MA11Anos Finais - 9º Ano - GeometriaResolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Sobre o Plano

Este plano de aula foi elaborado pelo Time de Autores NOVA ESCOLA

Autor: Renata Gerhardt Gomes Roza

Mentor: Lara Barbosa

Especialista de área: Pricilla Mendes Cerqueira

Habilidade da BNCC

EF09MA11 - Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

Objetivos específicos

Diferenciar ângulo inscrito de ângulo central; Perceber as relações entre as medidas do ângulo inscrito e ângulo central.

Conceito-chave

Estabelecer as relações entre as medidas dos ângulos central e inscrito estabelecidos no mesmo arco da circunferência.

Conhecimentos Prévios

Determinar medidas da abertura de ângulos, por meio de transferidor e/ou tecnologias digitais.

Recursos necessários

Laboratório de informática ou computadores em sala de aula.Download do Programa GeogebraAtividade Principal ImpressaRaio X impresso

Endereço da página:https://novaescola.org.br/plano-de-aula/1713/descobrindo-as-relacoes-entre-angulos-com-auxilio-do-geogebra

Associação Nova Escola © - Todos os direitos reservados.

https://download.geogebra.org/package/win-autoupdate

https://drive.google.com/open?id=1e_MuvS-tY583Gg9au7xWlfXd8-NW-5EXXyip_yGvWLA

https://drive.google.com/open?id=1LcysCbmLBCksCKz6y9HlgovayMYFSCQjdQhyK9A0OBU

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Materiais complementares

DocumentoAtividade principalhttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/N2jr83A85pKtUSCHFDzBaABKM9GyM3TZVKxj4jWh3ZqPdGZdEvjadCZpF44B/ativaula-mat9-11geo02.pdf

DocumentoRaio Xhttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/5hRAS96KpuDP93HCPKqVdusna9JBqMd5Cj3vJfHhctzNVzAbQH95taK7Esj7/ativ-raiox-mat9-11geo02.pdf

DocumentoAtividade complementarhttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/xXf2awBuQQtpTRXKXP5Cp7G7wXTaW5e7mnPCWcGKvJvQwutfywJ5E3sc2FZM/ativcomp-mat9-11geo02.pdf

DocumentoResolução da atividade principalhttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/5vk7ytek9HcWfhJFgPdCP8YufXX5at4h5VNJbpP6RwAhXsHGbJTAgB6YxFpa/resol-ativaula-mat9-11geo02.pdf

DocumentoGuia de intervençãohttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/e43U5yhh3zr2GfFgnvQ7STx7YYFnu7KzDnzhM93D5dj5hgvE7btAqRRpYKGu/guiainterv-mat9-11geo02.pdf

DocumentoResolução da atividade complementarhttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/UNhSFwr3U39EkQNrt4ataEVAFmHvWKQxvTrFZZpCBJqV5UMAT2Gg3BwBJrJf/resol-ativcomp-mat9-11geo02.pdf

DocumentoResolução de Raio Xhttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/G9UbNUa6HFZZDz8Vu92RNSWx3jmwV2qnKTHnxDNcEXmbSWg3UFxR7ZcNgXRz/resolativ-raiox-mat9-11geo02.pdf

DocumentoImagens para Guia de Intervençãohttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/hjvRHZwmTCngP2BVebsDyFMHqJmeFRC6WSBrzF7umNjCwhUYD85BUFGMfUVe/imagens-para-guiainterv-mat9-11geo02.pdf

VídeoProtocolo de construção Geogebrahttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/RTVYefu79mkKBuH3zzs48P6RfRyCRv37a6RBCncPQwRxwd768jpHPehFNxVq/protocolo-de-construcao-geogebra.webm

DocumentoTutorial Atividade Principalhttps://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/ynxH5awNSdqaS6f9URVGCTwg24sGQpFnVMuG3vzbBjXTRzKTncpjM5pythwR/tutorial-atividade-principal-mat9-11geo02.webm

Plano de aula



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https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/xXf2awBuQQtpTRXKXP5Cp7G7wXTaW5e7mnPCWcGKvJvQwutfywJ5E3sc2FZM/ativcomp-mat9-11geo02.pdf

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Slide 1 Resumo da Aula

Para esta aula você irá precisar de um laboratóriode informática ou solicitar que os alunos levemseus computadores para a sala de aula, essasolicitação pode ser para grupos. Oriente-os abaixar o GeoGebra antes da aula para que possamrealizar a atividade.

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Slide 2 Objetivo

Tempo sugerido: 2 minutos.Orientações: Projete ou leia o objetivo para aturma.Propósito: Apresentar o objetivo para que fiqueclaro o que se deseja atingir com essa aula.

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Slide 3 Aquecimento

Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 3, 4 e 5).Orientações: Apresente o conceito de arco da circunferênciapara os alunos. Leia o slide com eles e conversesobre a utilização deste conceito no nosso dia a diae na solução de problemas matemáticos.Peça a alguns alunos para representarem noquadro o que acham ser o arco da circunferência.Propósito: Apresentar o conceito de arco dacircunferência.Discuta com a turma:Com esta apresentação formal, alguém conseguenos mostrar um arco da circunferência?Será que utilizamos esta ideia em nosso dia a dia?Em que situações precisamos medir apenas o arcoda circunferência e não a circunferência completa?

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Slide 4 Aquecimento

Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 3, 4 e 5).Orientações: Converse com os alunos sobre outrassituações em que fazemos movimentos circulares,como pistas circulares de corrida, meia volta, até aborda de uma fatia de pizza.Este conceito será muito importante para aconclusão da Atividade principal. É importante quea turma compreenda bem o conceito para aplicá-lo na próxima atividade.Propósito: Apresentar o conceito de arco dacircunferência.Discuta com a turma:Será que utilizamos esta ideia em nosso dia a dia?Em que situações precisamos medir apenas o arcoda circunferência e não a circunferência completa?

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Slide 5 Aquecimento

Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 3, 4 e 5).Orientações:Enfatize com a turma a importância desse conceitoe avisem que devem guardar essa dica pois ela seráimportante para estabelecer as relações necessáriasna Atividade Principal.É importante dizer aos alunos, que a parte que estáem preto na circunferência também pode serchamado de arco AB.Propósito: Apresentar o conceito de arco dacircunferência.

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Slide 6 Atividade Principal

Tempo sugerido: 20 minutos. (slides 8, 9, 10, 11, 12e 13).Orientações: Antes de realizar essa atividade, certifique-se que oGeoGebra já esteja instalado em todos oscomputadores que serão utilizados e funcionandoperfeitamente. Essa atividade pode ser realizada emduplas ou em grupos caso não haja computadoresdisponíveis para todos os alunos.Converse um pouco com os alunos sobre oGeoGebra, suas funções e apresente algunsrecursos aos alunos. É importante que vocêconheça o programa antes de aplicar a atividade.Está disponível neste plano um tutorial sobrecomo realizar essa atividade no geogebra, ele servede apoio ao professor, mas também pode serapresentado aos alunos.Abaixo nos materiais complementares você podeencontrar o link para download do programa.Caso não seja possível realizar esta atividade noGeogebra, apresento no Guia de intervenções umasugestão.Propósito: Compreender a relação entre asmedidas do ângulo central e ângulo inscrito emuma mesma circunferência e no mesmo arco.Materiais complementares para impressãoAtividade PrincipalResolução da Atividade PrincipalGuia de intervençãoImagens para Guia de IntervençãoTutorial Atividade Principal

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https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/N2jr83A85pKtUSCHFDzBaABKM9GyM3TZVKxj4jWh3ZqPdGZdEvjadCZpF44B/ativaula-mat9-11geo02.pdf

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https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/e43U5yhh3zr2GfFgnvQ7STx7YYFnu7KzDnzhM93D5dj5hgvE7btAqRRpYKGu/guiainterv-mat9-11geo02.pdf

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/hjvRHZwmTCngP2BVebsDyFMHqJmeFRC6WSBrzF7umNjCwhUYD85BUFGMfUVe/imagens-para-guiainterv-mat9-11geo02.pdf

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/ynxH5awNSdqaS6f9URVGCTwg24sGQpFnVMuG3vzbBjXTRzKTncpjM5pythwR/tutorial-atividade-principal-mat9-11geo02.webm


Tempo sugerido: 20 minutos. (slides 8, 9, 10, 11, 12e 13).Orientações:Converse um pouco com os alunos sobre oGeoGebra, suas funções e apresente algunsrecursos aos alunos. É importante que vocêconheça o programa antes de aplicar a atividade.Abaixo nos materiais complementares você podeencontrar o link para download do programa.Caso não seja possível realizar esta atividade noGeoGebra, apresento no Guia de intervenções umasugestão.Essa atividade deverá ser realizada no laboratóriode informática, ou se possível com notebook dosalunos em sala de aula, já que não é necessárioconexão. Leia os orientações uma a uma com osalunos, e a cada tópico peça que vão construindo,isso facilitará a compreensão dos alunos e arealização da atividade.Circule pela sala para garantir que os alunos estãorealizando as construções corretamente.Professora, caso os alunos apresentem dúvidas naconstrução da circunferência, apresento aqui oprotocolo de construção do GeoGebra que podeauxiliar no desenvolvimento da atividade.Propósito: Compreender a relação entre asmedidas do ângulo central e ângulo inscrito emuma mesma circunferência e no mesmo arco.

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Tempo sugerido: 20 minutos. (slides 8, 9, 10, 11, 12e 13).Orientações: Converse com as alunos sobre as infinitaspossibilidades de imagens que podem serconstruídas, embora ficarão parecidas com a doslide é possível que as medidas dos ângulos sejamdiferentes e inclusive a localização dos pontos. Asconstruções diferentes vão enriquecer a atividadepermitindo que os alunos comparem seusresultados, discutam as possibilidades e cheguemàs suas conclusões, com a intervenção doprofessor.Circule pela sala e verifique se os alunos estãocompreendendo bem a atividade.Propósito: Compreender a relação entre asmedidas do ângulo central e ângulo inscrito emuma mesma circunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Qual destes é o ângulo central?Qual ponto representa o vértice do ângulo central?Qual destes é o ângulo inscrito?Que ponto representa o vértice do ângulo inscrito?Que ponto representa o centro da circunferência?Em que arco da circunferência estão inscritos osângulos central e inscrito?

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Tempo sugerido: 20 minutos. (slides 8, 9, 10, 11, 12e 13).Orientações: Converse com as alunos sobre as infinitaspossibilidades de imagens que podem serconstruídas, embora ficarão parecidas com a doslide é possível que as medidas dos ângulos sejamdiferentes e inclusive a localização dos pontos. Asconstruções diferentes vão enriquecer a atividadepermitindo que os alunos comparem seusresultados, discutam as possibilidades e cheguemàs suas conclusões, com a intervenção doprofessor.Circule pela sala e verifique se os alunos estãocompreendendo bem a atividade.Propósito: Compreender a relação entre asmedidas do ângulo central e ângulo inscrito emuma mesma circunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Qual destes é o ângulo central?Qual ponto representa o vértice do ângulo central?Qual destes é o ângulo inscrito?Que ponto representa o vértice do ângulo inscrito?Que ponto representa o centro da circunferência?Em que arco da circunferência estão inscritos osângulos central e inscrito?

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Tempo sugerido: 20 minutos. (slides 8, 9, 10, 11, 12e 13).Orientações: Oriente os alunos que essa medida é aprimeira que eles obtiveram na construção, antesde realizar o movimento sugerido nos próximosslides.Propósito: Compreender a relação entre asmedidas do ângulo central e ângulo inscrito emuma mesma circunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Com essa imagem já é possível fazer algumarelação entre os ângulos central e inscrito?Aliás será que existe alguma relação possível entreeles?

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Tempo sugerido: 20 minutos. (slides 8, 9, 10, 11, 12e 13).Orientações:Circule pela sala orientando os alunosa fazerem as movimentações corretas e autilizarem corretamente as funções do Geogebra.Nesse momento. Caso os alunos tenham dúvidasobre os movimentos o tutorial da atividade podeajudar na realização da mesma.Propósito: Compreender a relação entre asmedidas do ângulo central e ângulo inscrito emuma mesma circunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Ao realizarmos estes movimentos, é possívelperceber alguma relação?Isso acontece com qualquer ângulo inscrito nacircunferência?E se criamos outros dois pontos, diferentes de C eD, e neles apenas criarmos um ângulo inscrito nomesmo vértice E. É possível estabelecermos asmesmas relações?Se modificar os raios, modificamos também osângulos?

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Tempo sugerido: 20 minutos. (slides 8, 9, 10, 11, 12e 13).Orientações: Peça que os alunos compartilhemseus resultados com os colegas e discutam sobre asconclusões que chegaram, analisando se com osresultados dos colegas é possível chegar às mesmasconclusões.Propósito: Compreender a relação entre asmedidas do ângulo central e ângulo inscrito emuma mesma circunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Compare todas as medidas registradas na tabela, oque podemos afirmar sobre elas?Se alterarmos apenas a medida de um dos ângulos,o outro ângulo permanece com a mesma medida?Se criarmos um outro ângulo inscrito com vérticediferente, mas inscrito no mesmo arco, as relaçõespermanecem?Compare seus resultados com o de seus colegas everifique se chegaram às mesmas conclusões.

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Slide 13 Discussão das Soluções

Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 13 ao 21 ).Orientações: Esse momento da sua aula é muitoimportante, os alunos vão refletir sobre suasanálises e suas respostas, peça aos alunos quetroquem seus resultados com o de seus colegas erealizem o mesmo teste que fizeram em suaspróprias atividades.Questione-os se ainda assim é possível fazer asmesmas afirmações.Propósito: Discutir a relação entre as medidas doângulo central e ângulo inscrito em uma mesmacircunferência e no mesmo arco.

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Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 13 ao 21 ).Orientações:Esse momento da sua aula é muito importante, osalunos vão refletir sobre suas análises e suasrespostas, peça aos alunos que troquem seusresultados com o de seus colegas e realizem omesmo teste que fizeram em suas própriasatividades.Questione-os se ainda assim é possível fazer asmesmas afirmações.Propósito: Discutir a relação entre as medidas doângulo central e ângulo inscrito em uma mesmacircunferência e no mesmo arco.

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Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 13 ao 21 ).Orientações: Esse momento da sua aula é muitoimportante, os alunos vão refletir sobre suasanálises e suas respostas, peça aos alunos quetroquem seus resultados com o de seus colegas erealizem o mesmo teste que fizeram em suaspróprias atividades.Questione-os se ainda assim é possível fazer asmesmas afirmações.É importante lembrar com os alunos que osângulos não podem ser descaracterizados,portanto, é preciso ter cuidado com osmovimentos. Sendo assim, o vértice não pode estarabaixo no semi círculo onde se forma o ângulocentral. E abertura do ângulo central não deve sermaior que 180º. Pois assim, o ângulo central passaa ser o menor que este formado no centro.Propósito: Discutir a relação entre as medidas doângulo central e ângulo inscrito em uma mesmacircunferência e no mesmo arco.

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Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 13 ao 21 ).Orientações: Esse momento da sua aula é muitoimportante, os alunos vão refletir sobre suasanálises e suas respostas, peça aos alunos quetroquem seus resultados com o de seus colegas erealizem o mesmo teste que fizeram em suaspróprias atividades.Questione-os se ainda assim é possível fazer asmesmas afirmações.Propósito: Discutir a relação entre as medidas doângulo central e ângulo inscrito em uma mesmacircunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Depois que os grupos trocarem seus resultados,questione sobre as possibilidades:Essa conclusão serve para quaisquer ângulosinscritos e centrais que estejam no mesmo arco?É possível encontrar outros ângulos inscritos nomesmo arco? Se sim, vamos Construí-los?

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Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 13 ao 21 ).Orientações: Esse momento da sua aula é muitoimportante, os alunos vão refletir sobre suasanálises e suas respostas, peça aos alunos quetroquem seus resultados com o de seus colegas erealizem o mesmo teste que fizeram em suaspróprias atividades.Questione-os se ainda assim é possível fazer asmesmas afirmações.É importante ressaltar com os alunos que oGeoGebra está fornecendo até a segunda casadecimal, o que por arredondamento podeinfluenciar no valor do dobro ou metade. Na abaopções é possível alterar o número de casadecimais, é importante realizar esse exercício comos alunos para que os mesmo cheguem à conclusãoque a medida do ângulo inscrito é a metade doângulo central inscrito no mesmo arco.Propósito: Discutir a relação entre as medidas doângulo central e ângulo inscrito em uma mesmacircunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Depois que os grupos trocarem seus resultados,questione sobre as possibilidades:Essa conclusão serve para quaisquer ângulosinscritos e centrais que estejam no mesmo arco?É possível encontrar outros ângulos inscritos nomesmo arco? Se sim, vamos Construí-los?

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Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 13 ao 21 ).Orientações:Esse momento da sua aula é muito importante, osalunos vão refletir sobre suas análises e suasrespostas, peça aos alunos que troquem seusresultados com o de seus colegas e realizem omesmo teste que fizeram em suas própriasatividades.Questione-os se ainda assim é possível fazer asmesmas afirmações.Propósito: Discutir a relação entre as medidas doângulo central e ângulo inscrito em uma mesmacircunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Depois que os grupos trocarem seus resultados,questione sobre as possibilidades:Essa conclusão serve para quaisquer ângulosinscritos e centrais que estejam no mesmo arco?É possível encontrar outros ângulos inscritos nomesmo arco? Se sim, vamos Construí-los?

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Tempo sugerido: 8 minutos. (slides 13 ao 21 ).Orientações: Esse momento da sua aula é muitoimportante, os alunos vão refletir sobre suasanálises e suas respostas, peça aos alunos quetroquem seus resultados com o de seus colegas erealizem o mesmo teste que fizeram em suaspróprias atividades.Questione-os se ainda assim é possível fazer asmesmas afirmações.Propósito: Discutir a relação entre as medidas doângulo central e ângulo inscrito em uma mesmacircunferência e no mesmo arco.Discuta com a turma:Depois que os grupos trocarem seus resultados,questione sobre as possibilidades:Essa conclusão serve para quaisquer ângulosinscritos e centrais que estejam no mesmo arco?É possível encontrar outros ângulos inscritos nomesmo arco? Se sim, vamos Construí-los?

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Slide 22 Sistematização do Conceito

Tempo sugerido: 2 minutos.Orientações: Leia com os alunos as afirmações doslide e solicite que registrem em seus cadernos asdefinições apresentadas.Propósito: Sistematizar os conceitos trabalhadosnessa aula e apresentar aos alunos.

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Slide 23 Encerramento

Tempo sugerido: 1 minuto.Orientações: Leia com os alunos as afirmações doslide e solicite que registrem em seus cadernos asdefinições apresentadas.Propósito: Concluir a aula apresentação osconceitos aprendidos.

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Slide 24 Raio X

Tempo sugerido: 8 minutos.Orientações: Peça que individualmente, leiam aatividade e a realizem. Circule para verificar comoos alunos estão realizando a atividade e se aindapossuem dúvidas.Propósito: Verificar se os alunos conseguemaplicar os conhecimentos adquiridos ao longodessa aula.Discuta com a turma:Por que com as informações dadas não é possívelcalcular os ângulos MOL e LNM?Por que é possível calcular a medida do ânguloNMO?Como podemos classificar esse ângulo?Materiais complementares da impressãoRaio XResolução do Raio XAtividade complementarResolução da Atividade ComplementarProtocolo de construção Geogebra

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https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/5hRAS96KpuDP93HCPKqVdusna9JBqMd5Cj3vJfHhctzNVzAbQH95taK7Esj7/ativ-raiox-mat9-11geo02.pdf

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/G9UbNUa6HFZZDz8Vu92RNSWx3jmwV2qnKTHnxDNcEXmbSWg3UFxR7ZcNgXRz/resolativ-raiox-mat9-11geo02.pdf

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/xXf2awBuQQtpTRXKXP5Cp7G7wXTaW5e7mnPCWcGKvJvQwutfywJ5E3sc2FZM/ativcomp-mat9-11geo02.pdf

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/UNhSFwr3U39EkQNrt4ataEVAFmHvWKQxvTrFZZpCBJqV5UMAT2Gg3BwBJrJf/resol-ativcomp-mat9-11geo02.pdf

https://nova-escola-producao.s3.amazonaws.com/RTVYefu79mkKBuH3zzs48P6RfRyCRv37a6RBCncPQwRxwd768jpHPehFNxVq/protocolo-de-construcao-geogebra.webm

Abra a janela do GeoGebra e siga as orientações para construir os ângulos da atividade:

1. Clique na opção para esconder os eixos malha quadriculada. 2. Construa uma circunferência, utilize a opção: Círculo dados centro e um

de seus pontos. 3. Marque os pontos C, D e E na circunferência. (lembre-se pontos que

estão na circunferência são pontos que pertencem à linha da circunferência).

4. Na opção segmentos, construa os segmentos: AC, AD, EC e ED 5. Construa o ângulo central CÂD, utilize a opção: Ângulo selecione três

pontos ou duas retas. - Mantenha o rótulo que indica a medida do ângulo

6. Construa o ângulo inscrito CÊD, utilize a opção: Ângulo selecione três pontos ou duas retas.- Mantenha o rótulo que indica a medida do ângulo

★ Vamos brincar um pouquinho com esses ângulos, primeiro registre na tabela as medidas dos ângulos central e inscrito:

Ângulo central Ângulo inscrito

Medidas

Ponto 1

Ponto 2

Ponto 3

Ponto 4

Ponto 5

★ Faça os movimentos que se pede abaixo e a cada movimento, continue registrando as medidas:

1. Movimente o ponto D para a direita 2. Movimente o ponto C para a esquerda 3. Movimente o ponto E para a direita 4. Movimente o ponto E para a esquerda 5. Movimente da forma que você quiser os pontos.

★ Agora responda às perguntas:

1. Que relação você percebe entre as medidas do ângulo central e do

ângulo inscrito?

2. A medida do ângulo inscrito muda quando você movimenta apenas o ponto E? Por quê?

3. Se aumentarmos o ângulo central, o que acontece com a medida do

ângulo inscrito?

4. Existe alguma possibilidade para que o ângulo inscrito tenha a mesma medida do ângulo central?

Na figura abaixo, os pontos O, M e N são pontos da circunferência de centro L. Aplicando as propriedades dos ângulos inscritos e ângulos centrais de uma circunferência e sabendo que o ângulo OLN mede 104º, responda às questões:

a) O ângulo OLN é classificado como central ou inscrito?

b) Qual a medida do ângulo OMN? c) Com estas informações é possível

calcular a medida dos ângulos MOL e LNM? justifique.

d) E a soma dos ângulos MOL e LNM? É possível calcular?

___________________________________________________________________________________ Na figura abaixo, os pontos O, M e N são pontos da circunferência de centro L. Aplicando as propriedades dos ângulos inscritos e ângulos centrais de uma circunferência e sabendo que o ângulo OLN mede 104º, responda às questões:

a) O ângulo OLN é classificado como central ou inscrito?

b) Qual a medida do ângulo OMN? c) Com estas informações é possível


d) E a soma dos ângulos MOL e LNM? É possível calcular?

___________________________________________________________________________________ Na figura abaixo, os pontos O, M e N são pontos da circunferência de centro L. Aplicando as propriedades dos ângulos inscritos e ângulos centrais de uma circunferência e sabendo que o ângulo OLN mede 104º, responda às questões:

e) O ângulo OLN é classificado como central ou inscrito?

f) Qual a medida do ângulo OMN? g) Com estas informações é possível


h) E a soma dos ângulos MOL e LNM? É possível calcular?

1) Sabendo que o ângulo ACB mede 54º. Determine as medidas dos ângulos AOB e ADB:

2) Considerando o ponto O, o centro da circunferência. Encontre o valor do

ângulo representado por α :

3) [Desafio] Aplicando o que trabalhamos sobre as relações , prove esta importante propriedade que é atribuída a Tales de Mileto (c. 580 a.C.)

Se AB é um diâmetro e C é um ponto qualquer da circunferência, distinto de A e B, então o triângulo ABC é retângulo em C, isto é, o ângulo C é um ângulo reto.

Resolução da Atividade Principal - MAT9_11GEO02 Abra a janela do GeoGebra e siga as orientações para construir os ângulos da atividade:

1. Clique na opção para esconder os eixos e malha quadriculada. 2. Construa uma circunferência, utilize a opção: Círculo dados centro e um

de seus pontos. 3. Marque os pontos C, D e E na circunferência. (lembre-se pontos que estão

na circunferência são pontos que pertencem à linha da circunferência). 4. Na opção segmentos, construa os segmentos: AC, AD, EC e ED 5. Construa o ângulo central CÂD, utilize a opção: Ângulo selecione três

pontos ou duas retas. - Mantenha o rótulo que indica a medida do ângulo 6. Construa o ângulo inscrito CÊD, utilize a opção: Ângulo selecione três

pontos ou duas retas.- Mantenha o rótulo que indica a medida do ângulo

★ Vamos brincar um pouquinho com esses ângulos, primeiro registre na tabela as medidas dos ângulos central e inscrito:

Ângulo central Ângulo inscrito

Medidas 101,71º 50,85º

Ponto 1 122,71º 61,35º

Ponto 2 156,02º 78,01º

Ponto 3 156,02º 78,01º

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Ponto 4 156,02º 78,01º

Ponto 5 156,02º 78,01º

★ Faça os movimentos que se pede abaixo e a cada movimento, continue registrando as medidas:

1. Movimente o ponto D para a direita

2. Movimente o ponto C para a esquerda

3. Movimente o ponto E para a direita

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4. Movimente o ponto E para a esquerda

5. Movimente da forma que você quiser os pontos.

Professor, é importante lembrar que esta resolução é apenas uma das possibilidades, cada aluno poderá construir ângulos de tamanhos diferentes, o que irá enriquecer a discussão e permitirá melhores análises de resultados, esta resolução é uma base de como deve ser apresentada a solução do aluno, entretanto as medidas dos ângulos podem mudar de acordo com o movimento que fizerem. ★ Agora responda às perguntas:

1. Que relação você percebe entre as medidas do ângulo central e do ângulo inscrito?

Analisando as medições 2, 3 e 4 percebemos que o ângulo inscrito não aumenta nem diminui, ele apenas muda de posição, pois está no mesmo arco do ângulo central.

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2. A medida do ângulo inscrito muda quando você movimenta apenas o ponto E? Por quê?

Em todas as medições é possível perceber que a medida do ângulo inscrito é sempre a metade do ângulo central que está no mesmo arco.

3. Se aumentarmos o ângulo central, o que acontece com a medida do ângulo inscrito?

Percebemos no item 1 que ela também aumenta, mas ainda continua sendo a metade do ângulo central.

4. Existe alguma possibilidade para que o ângulo inscrito tenha a mesma medida do ângulo central?

Não, pois se aumentarmos o ângulo inscrito o ângulo central aumenta também, permanecendo o dobro do seu tamanho.

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Guia de intervenções MAT9_11GEO02/ Descobrindo as relações entre ângulos com

auxílio do Geogebra.

Possíveis dificuldades na realização da atividade

Intervenções

Os alunos podem apresentar dificuldades em trabalhar com o GeoGebra e realizar as construções solicitadas.

Professor é importante que tenha domínio do programa, antes de aplicar essa aula, baixe o programa e se familiarize com ele.

Preparamos um tutorial simples para realizar essa atividade. Você pode conferir neste protocolo de construção se seus passos estão corretos.

Dessa forma, oriente os alunos na construção, caso ainda estejam com dúvidas, apresente o tutorial para eles. Ele os ajudará a desenvolver a atividade.

Diferenciar um ângulo central de um ângulo inscrito.

Desenvolva com os alunos o significado da palavra inscrito, isso pode facilitar a compreensão e ajudar não só na identificação de ângulos inscritos, como posteriormente na diferenciação de polígonos inscritos e circunscritos na circunferência.

No dicionário Infopédia, a definição da palavra inscrito está da seguinte forma:

1. que se gravou em pedra, metal ou outro material

2. incluído em lista ou registo 3. escrito; grafado 4. GEOMETRIA diz-se da figura

traçada dentro de outra, particularmente do polígono traçado dentro de uma curva e com os vértices nela, ou de uma curva dentro de um polígono e tangente aos lados

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https://drive.google.com/open?id=15cTWp4DhMIPe7NDiK3o4enmt6W3feNY4

https://drive.google.com/open?id=1eXlac3bvXKQ7AXcsCPbhWFygXLfcNQQg

https://drive.google.com/open?id=1eXlac3bvXKQ7AXcsCPbhWFygXLfcNQQg

https://www.infopedia.pt/dicionarios/lingua-portuguesa/inscrito

deste 5. que se matriculou em curso,

escola, etc.

Entendendo assim, o vértice do ângulo está inscrito na circunferência, ou seja, faz parte dela.

Assim, como o nome do ângulo central é definido pela posição do seu vértice, o ângulo inscrito será também assim denominado.

Portanto, este é um ângulo central:

Com seu vértice definido no centro da circunferência.

E este um ângulo inscrito:

Com seu vértice pertencente à circunferência.

O aluno pode não conseguir desenvolver a atividade no Geogebra

Você pode realizar essa atividade com os seguintes recursos:

- Transferidor

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ou não tenha um laboratório de informática com computadores disponíveis.

- Compasso - régua - lápis - papel

Peça que os alunos construam uma circunferência no papel com auxílio do compasso. Lembre-os que é necessário marcar o ponto central. Em seguida peça que marquem 3 pontos na circunferência e tracem os segmentos com auxílio régua, é bom que os segmentos sejam traçados a lápis para que possam ser apagados de acordo com o movimento dos pontos no decorrer da atividade. Com auxílio do transferidor é possível medir os ângulos e realizar a mesma atividade proposta sem uso do Geogebra.

Possíveis erros dos alunos Intervenções

Durante a Atividade Principal, são solicitados que os alunos realizem alguns movimentos com os pontos pertencentes aos ângulos e à circunferência. Ao movimentar o Ponto E, vértice do ângulo inscrito é possível que os alunos façam um movimento que descaracterize o ângulo, como o exemplo abaixo:

Professor, ressalte com os alunos a importância que um ângulo central e inscrito para estabelecerem suas relações precisam pertencer a um mesmo arco. Apresente aos alunos as seguintes definições: Destacamos em vermelho, na imagem o arco definido pelos ângulos:

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Quando movimentamos o vértice do ângulo inscrito, como da imagem abaixo:

Na verdade o ângulo passa a fazer parte do arco do ângulo central, e o arco definido por este ângulo muda:

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Na imagem acima, destacamos na cor azul o arco definido pelo ângulo inscrito e na cor vermelha o arco definido pelo ângulo central. Dessa forma, eles não podem estabelecer as mesmas relações que concluímos, pois não estão inscritos no mesmo arco. As imagens acima estão disponíveis em tamanho maior, neste documento.

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https://docs.google.com/presentation/d/1da9yCSJSaCiTPQy2MxccTGZFM1dYRKREPzTtZxOYtfY/edit#slide=id.g2e3034ba89_0_9

https://docs.google.com/presentation/d/1da9yCSJSaCiTPQy2MxccTGZFM1dYRKREPzTtZxOYtfY/edit#slide=id.g2e3034ba89_0_9

Resolução Atividades Complementares - MAT9_11GEO02

1) Sabendo que o ângulo ACB mede 54º. Determine as medidas dos ângulos AOB e ADB:

Analisando a imagem, podemos perceber que ACB, ADB e AOC são ângulos pertencentes ao mesmo arco da circunferência, sendo ACB e ADB ângulos inscritos e AOB ângulo central. De acordo com a relação, um ângulo central corresponde ao dobro do ângulo inscrito no mesmo arco. Logo, o ângulo central AOC mede 108º. Utilizando a mesma relação, ângulos inscritos no mesmo arco, são congruentes, logo ADB mede 54º.

2) Considerando o ponto O, o centro da circunferência. Encontre o valor do ângulo representado por α :

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Sendo ACB um ângulo inscrito na circunferência, destacamos AOB, em verde, o ângulo central definido pelo mesmo arco que ACB:

De acordo com a relação, um ângulo central corresponde ao dobro do ângulo inscrito no mesmo arco. Logo, o ângulo central AOB mede 228º. Assim, o ângulo é o replemento de ACB, sendo assim, calculamos : α α

60 28ºα = 3 − 2 32ºα = 1

3) [Desafio] Aplicando o que trabalhamos sobre as relações , prove esta

importante propriedade que é atribuída a Tales de Mileto (c. 580 a.C.) “Se AB é um diâmetro e C é um ponto qualquer da circunferência, distinto de A e B, então o triângulo ABC é retângulo em C, isto é, o ângulo C é um ângulo reto.” Temos o ângulo raso AOB, definido no diâmetro dessa circunferência e lado do

triângulo. Sabendo que o ângulo raso tem a medida de 180º. O ângulo ACB, é um ângulo inscrito no mesmo arco que AOC. De acordo com a relação, um ângulo inscrito corresponde à metade do ângulo central no mesmo arco. Logo, temos que ACB mede 90º. O que sempre ocorrerá quando um dos lados do triângulo inscrito na circunferência for o diâmetro desta.

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Resolução Raio X - MAT9_11GEO02 Na figura abaixo, os pontos O, M e N são pontos da circunferência de centro L. Aplicando as propriedades dos ângulos inscritos e ângulos centrais de uma circunferência e sabendo que o ângulo OLN mede 104º, responda às questões:

a) O ângulo OLN é classificado como central ou inscrito

Ângulo central.

b) Qual a medida do ângulo OMN? OMN é um ângulo inscrito no mesmo arco do ângulo central OLN, logo sua medida é metade do ângulo central: 52º

c) Com estas informações é possível calcular a medida dos ângulos MOL e LNM? justifique.

Não, pois precisaríamos de mais informações, como se o triângulo é isósceles, ou então uma das medidas dos ângulos.

d) E a soma dos ângulos MOL e LNM? É possível calcular? A soma é possível, podemos resolver da seguinte forma:

Tomamos o triângulo OLN, a soma dos seus ângulos internos é 180º. Logo a soma dos ângulos Ô e N, destacados em vermelho é: 180º - 104º = 76º

Tomamos agora o triângulo OMN, a soma dos seus ângulos internos é 180º, logo a soma dos ângulos MOL e LNM pode ser definida por: 180º - 52º - 76º = 52º

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Documents

Descobrindo as relações entre ângulos com auxílio do ...barbarav/MPM5607...Apresente o conceito de arco da circunferência para os alunos. Leia o slide com eles e converse sobre