Descomposición de una fuerza en forma vectorial cartesiana en el plano.

En manera de ejemplo se explicara esto; supongamos que se tiene una fuerza ejercida sobre un objeto, el cual solo presenta movimiento de manera horizontal, de manera que la fuerza se descompone en componentes horizontales, la descomposición de esta fuerza en el plano se hace de la siguiente manera;

La descomposición de la fuerza F resulta de la suma de los componentes vectoriales fe la fuerza antes dada, es decir:

De manera que la descomposición queda de la siguiente manera:

Es necesario establecer dos vectores unitarios como referencia (para este caso), de manera que los vectores componente de la fuera F quedaran en función de estos, es decir:

En donde Fx y Fy son componentes escalares de los módulos de los componentes vectoriales de la fuerza F, de manera que la descomposición del vector de la fuerza se puede establecer de la siguiente manera:

Los componentes escalares se podrían describir como proyecciones del modulo del vector en presencia de los ejes cartesianos, de manera que se pueden expresar de la siguiente manera:

Donde α y β son los ángulo entre el vector el eje x o el eje y.

La descomposición del vector de la fuerza también puede ser expresada de la siguiente manera:

Descomposición de una fuerza en forma vectorial cartesiana en el espacio.

Cuando se desea descomponer un vector de fuerza en una espacio 3D, de hace uso de tres ejes cartesianos perpendiculares, de manera que se hace lo siguiente:

De igual forma que para el caso de la descomposición del vector fuerza en el plano, en el espacio se hace lo mismo, con la diferencia en que en esta ocasión son tres ejes, de manera que la fuera F descompuesta en función de los componentes cartesianos se tiene que:

De igual forma que en el plano, las componentes escalares se describen como las proyecciones, en este caso ortogonales, del modulo del vector con respecto a los ejes cartesianos, de manera que se describe los componentes escalares de la siguiente manera:

Como ya se sabe α β γ son los ángulos que se encuentran entre el vector de la fuerza y el eje x, el eje y, el eje z respectivamente.

Como método de simplificación, existe una identidad trigonométrica que dicta lo siguiente:

Si aplicamos esta identidad trigonométrica a la expresión que describe el modulo del vector F en función de sus componentes, dicha expresión queda de la siguiente forma:

De esta manera se lleva a cabo la descomposición de una fuerza en forma vectorial cartesiana, ya sea en el plano o en el espacio, cabe recordar que esta descripción fue hecha en base a un ejemplo ya establecido, y se pueden presentar otras formas de grafica, pero el método se mantiene de igual forma.

Descomposición de Vectores en Tres Dimensiones

La técnica de bifurcación de un vector en sus componentes en las tres dimensiones es denominada descomposición de vectores en tres dimensiones.

Estos componentes actúan en sus respectivas direcciones.

El componente-Xes el componente en el eje X, y el componente-Y es el componente a lo largo del eje Y, y el componente-Z es el componente en el eje z.

La noción de suma vectorial y la descomposición del vector están ligadas una con la otra.

De acuerdo con la ley del triángulo del vector, “Si dos lados de un triángulo son representados por dos vectores continuos y , entonces el tercer lado del triángulo que está en la dirección opuesta es el resultante de los dos vectores”.

Inversamente, puede afirmarse que un vector puede ser representado como la suma de otros dos vectores.

O más en general, podemos concluir que un vector puede ser considerado como el equivalente de la sumatoria de dos vectores.

Esta idea fue la base de la descomposición de vectores.

Por encima se muestran los fundamentos de los vectores del sistema de coordenadas Cartesiano.

Estos son vectores perpendiculares entre sí, cada uno en una dirección de los tres espacios dimensionales.

Sea construya el ángulo , y con el eje x, y e z respectivamente.

=

Entonces podemos escribir,

Px = P cos (0x ) → cos (0x) = Px/ P = A

Py = P cos (0y ) → cos (0y) = Py/ P = B

Pz = P cos (0z ) → cos (0y) = Pz/ P = C

= + +

O,

P = Px+ Py+ Pz

Con la ayuda de la geometría plana se puede demostrar que,

P2 = Px2 + Py2 + Pz2

O,

P = 

Esto es igual a la magnitud de P.

cos (0x), cos (0y) y cos (0y) nos dan la dirección P en el espacio,por lo cual estas se conocen como cosenos de dirección. P.

cos2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = [Px/ P]2 + [Py/ P]2 + [Pz/ P]2

= Px2+ Py2+ Pz2/ P2

= P2 / P2

= 1

cos2 (0x) + cos2 (0y) + cos2 (0y) = 1A2 + B2 + C2 = 1

Un ejemplo ilustrativo sería de mucha ayuda,

Escriba los cosenos direccionales de = 2i - 3j - k

Sea = ax + ay + az

ax = 2ay = −3

az = −1

Y conocemos que, a = 

=

=

Por tanto, cos (0x) = ax/ a = 2/

cos (0y) = ay/ a = −3/

cos (0y) = az/ a = −1/

El vector de descomposición es un concepto fundamental por dos razones.

Primeramente, nos ayuda a determinar la consecuencia de alguna cantidad física en una dirección determinada y en segundo lugar, constituye la base del análisis algebraico de un vector debido a que nos ayuda en la representación de un vector en términos de tres vectores que actúan en los tres ejes de un sistema de coordenadas Cartesianas.