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Incluye dos capítulos de álgebra de educación secundaria: Factorización de expresiones polinomiales y descomposición en fracciones simples
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Descomposición en fracciones simples
1.- Preliminares
Sean dos polinomios de coeficientes reales y en la misma indeterminada1:
y , decimos que el cociente:
es una expresión racional o fracción racional en esa indeterminada. El
polinomio se denomina numerador y el polinomio no nulo se llama
denominador.
Equivalencia de fracciones racionales
Las expresiones racionales: y son equivalentes si y
sólo si se cumple :
.
Las fracciones: y no son equivalentes ya que:
.
Por contra las fracciones racionales: y son equivalentes ya que:
1 La indeterminada es la letra que indica la variable.
Definición 1
Ejemplo 1
1Preliminares
Descomposición en fracciones simples
.
Las fracciones racionales se pueden clasificar en dos grandes tipos de
acuerdo a los grados de los polinomios que forman los numeradores y
denominadores.
Recordemos que el grado de un polinomio es el mayor exponente que se encuentra
en el conjunto de sus monomios.
Fracción propia y fracción impropia
Una expresión racional F xP x
Q x( )
( )
( ) se denomina propia si el grado del
denominador es superior al grado del numerador. En el caso de que el grado
del denominador sea menor o igual que el del numerador se dice que la
fracción racional es impropia.
Observación 1
Definición 2
2
Dados los polinomios de coeficientes reales: P x x x( ) 2 3 2 y Q x x( ) 3 13 ,
la expresión racional en x : x x
x
2
3
3 2
3 1
es una fracción propia ya que el grado
del denominador (3) es mayor que el del numerador (2). Observemos que la
división planteada no es posible en forma euclídea.
También es una expresión racional el cociente inverso: 3 1
3 2
3
2
x
x x
, obteniéndose una
fracción impropia y en este caso sí es posible la división euclídea que tiene por
cociente :3 9x y por resto: 21 17x (sugerimos al lector que lo compruebe), lo que
permite escribir:
3 1 3 9 3 2 21 173 2x x x x x .
La división euclídea es aquella que se plantea en términos enteros. Es
decir, la que sólo hace intervenir a números enteros o a polinomios.
Puede hacerse de dos formas: por exceso y por defecto. En el caso de
los números, se acaba cuando el resto es menor, en valor absoluto, que
el divisor y en el caso de los polinomios se acaba cuando el grado del
resto es menor que el del denominador. Por ejemplo, si queremos
efectuar la división euclídea por defecto de 2 entre 4 , resulta :
2 4
2 0
Ejemplo 2
Observación 2
3Preliminares
Descomposición en fracciones simples
mientras que la división euclídea por exceso puede ser:
2 4
2 1
No admitiremos la división:
2 4
6 2
ya que en ella el valor absoluto del resto es mayor que el del divisor.
Veamos otro ejemplo para aclarar ideas:
4 3
1 1
Esta es la división usual (por defecto), mientras que:
4
2 2
es la división por exceso. No admitiremos la siguiente por defecto:
4 3
4 0
ni tampoco la siguiente por exceso:
4 3
5 3
pues en ambos casos el valor absoluto del resto supera al del divisor.
4
Las fracciones impropias pueden expresarse siempre como la suma
de un polinomio y una fracción propia. El algoritmo que lleva a cabo esta
descomposición es simple y consta de los siguientes pasos:
i) División euclídea del polinomio numerador P x( ) entre el polinomio
denominador Q x( ) con obtención del resto R x( ) y del cociente C x( ) :
P x( ) Q x( )
R x( ) C x( )
ii) Expresión del numerador en la forma cociente por divisor más resto.
Esto es:
P x C x Q x R x( ) ( ) ( ) ( ) .
iii) Sustitución del numerador en la fracción racional por la expresión
anterior y posterior simplificación. En símbolos:
P x
Q x
C x Q x R x
Q xC x
R x
Q x
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
Veamos cómo se aplica el algoritmo anterior a la fracción impropia del
ejemplo 2. Ya hemos realizado la división euclídea (paso (i)) y también la
expresión del numerador en la forma cociente por divisor más resto (paso
(ii)):
3 1 3 9 3 2 21 173 2x x x x x .
Sólo falta sustituir en el numerador la expresión anterior (paso (iii)) y simplificar:
3 1
3 2
3 9 3 2 21 17
3 2
3 9 3 2
3 2
21 17
3 23 9
21 17
3 2
3
2
2
2
2
2 2 2
x
x x
x x x x
x x
x x x
x x
x
x xx
x
x x
.
Vemos que la fracción impropia inicial es suma del polinomio 3 9x y la fracción
propia 21 17
3 22
x
x x
.
Ejemplo 3
5Preliminares
Descomposición en fracciones simples
En el conjunto de todas las fracciones racionales podemos definir
operaciones de suma y producto sin más que usar las operaciones comunes
para polinomios. En efecto, la suma de las fracciones racionales: P x
Q x
S x
T x
( )
( ),
( )
( ) es
la fracción racional:
P x
Q x
S x
T x
P x T x Q x S x
Q x T x
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
mientras que su producto es:
P x
Q x
S x
T x
P x S x
Q x T x
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
En el caso de que los denominadores sean iguales tenemos, para la suma:
P x
Q x
S x
Q x
P x Q x Q x S x
Q x Q x
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
y podemos simplificar sacando como factor común:
P x
Q x
S x
Q x
P x Q x Q x S x
Q x Q x
P x S x
Q x
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
Es decir, la suma de fracciones racionales con el mismo denominador es una
fracción racional del mismo denominador y numerador suma de numeradores.
En la práctica, esta propiedad es la que se usa y los cálculos para la suma se
suelen realizar mediante la reducción de las fracciones racionales a otras
equivalentes con denominador común.
6
La suma de las expresiones: 2 3
1 12
3x
x
x
x
; se obtiene mediante una reducción
a común denominador (obsérvese el paralelismo existente con las
fracciones de números enteros). La reducción a común denominador precisa
de una descomposición factorial previa de estos denominadores:
x x x2 1 1 1
x x 1 1 .
Para lograr la descomposición del polinomio x2 1 hemos utilizado la conocida
igualdad:
a b a b a b 2 2 ,
Ejemplo 4
7Preliminares
Descomposición en fracciones simples
mientras que para x 1 la descomposición ha sido inmediata. Llegados a este punto,
recordemos que el mínimo común múltiplo se obtiene como el producto de los
factores comunes al mayor exponente y los factores no comunes. Así pues:
mcm ,x x x x x2 21 1 1 1 1 .
Ahora transformamos las fracciones en otras equivalentes pero con denominador
común. Primero, colocamos el mínimo común múltiplo como denominador común:
2 3
1 1 1 12 2
3
2
x
x x
x
x x
; .
A continuación, dividimos el mcm entre los denominadores iniciales y multiplicamos el
resultado de la división por el numerador inicial:
x x x x x2 21 1 2 3 1 2 3 2 3 :
x x x x x x x2 3 3 4 31 1 1 : .
Los resultados obtenidos son los nuevos numeradores:
2 3
1
2 3
1 1 12 2
3 4 3
2
x
x
x
x
x
x
x x
x
; .
Las fracciones equivalentes se sustituyen en la expresión de la suma y se opera :
2 3
1 1
2 3
1 1
2 3
12
3
2
4 3
2
4 3
2
x
x
x
x
x
x
x x
x
x x x
x
.
El ejemplo 4 nos muestra la importancia práctica de la descomposición
factorial de un polinomio. La siguiente sección mostrará cómo llevar a cabo
esta descomposición.
8
2.- Descomposición factorial de polinomios con coeficientes reales
El primer resultado que enunciaremos es el llamado lema de la división
euclídea.
Lema de la división euclídea
Sean S x( ) (dividendo) y P x( ) (divisor) dos polinomios, existen otros dos
polinomios únicos: Q x( ) (cociente) y R x( ) (resto) tales que:
S x Q x P x R x( ) ( ) ( ) ( ) .
Con la particularidad de que bien el grado de R x( ) es menor que el de P x( ) o
bien R x( ) 0 .
Proposición 1
9Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
Dados el polinomio dividendo: S x x( ) 3 y el polinomio divisor: P x x x( ) 3 2 12
realizamos la división euclídea por defecto (que es la usual):
x3 3 2 12x x
x xx3 22
3 3
x
3
2
9
2
3 32xx
2
3
4
9
2
92x x
x
9
2
9
El resto es: R xx
( ) 9
2
9 y el cociente: Q x
x( )
3
2
9. Vemos que se cumple:
Ejemplo 5
10
xx
x xx3 2
3
2
93 2 1
9
2
9
.
No admitiremos la división euclídea por defecto en la forma:
x3 3 2 12x x
x3 0
pues el resto tiene grado (3) superior al divisor (2). Tampoco admitiremos la división
euclídea por exceso:
x3 3 2 12x x
3 24 3 2x x x x2
3 34 3 2x x x
pues el resto también tiene grado superior al divisor2.
Con las herramientas que hemos definido damos una relación de gran
importancia en el conjunto de los polinomios.
Divisibilidad de polinomios
Un polinomio S x( ) es divisible por otro P x( ) si es posible hallar un polinomio
Q x( ) de forma que: S x P x Q x( ) ( ) ( ) . En este caso, también decimos que P x( ) es
factor de S x( ) o bien que P x( ) es un divisor de S x( ) .
2 Obsérvese que puede n colocarse infinidad de cocientes distintos.
Definición 3
11Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
El polinomio S x x( ) 3 1 es divisible por el polinomio x x2 1 ya que:
x x x x3 21 1 1 0 .
Por otro lado, el polinomio S x x( ) 2 1 no es divisible por x 1 ya que:
x x x2 1 1 1 2 .
En otras palabras: x 1 no es factor de x2 1 .
Es claro que todo polinomio tiene como factores (divisores) a él mismo, a la
unidad y a sus respectivos opuestos.
El polinomio x2 1 tiene como factor a sí mismo x2 1 y a la unidad ya que:
x x2 21 1 1 0
Por otro lado, también tiene como factores los opuestos: x2 1 1, .
En el caso de que un polinomio de grado positivo no tenga más factores que
él mismo, la unidad y los respectivos opuestos, se dice que es irreducible o
primo. Hallar si un polinomio de grado positivo3 y coeficientes reales es
irreducible suele resultar complicado. Para ayudarnos en esta tarea
empleamos la llamada regla de Ruffini:
3 En el caso de un polinomio de grado cero (un número) el estudio de su carácter irreducible (primo) se lleva a cabo de la forma usual.
Ejemplo 6
Ejemplo 7
12
Regla de Ruffini
Sea c un número real dado y sea P x( ) un polinomio. Podemos hallar siempre
un único polinomio Q x( ) tal que: P x x c Q x R( ) ( ) , siendo R P c ( ) . Es decir, el
resto de la división euclídea es igual al valor del polinomio P x( ) en el punto c .
Dado el polinomio P x x( ) 2 13 y el número real c 1 , la regla de Ruffini
nos dice que existe Q x( ) tal que
2 1 13x Q x x R ( ) ,
Proposición 2
Ejemplo 8
13Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
siendo R 2 1 1 2 1 13( ) . Para hallar el cociente: Q x( ) podemos utilizar la
división euclídea o bien una tabla donde se colocan en la primera fila y, a partir de la
segunda columna, los coeficientes del dividendo: P x x( ) 2 13 en orden decreciente .
En la segunda fila y primera columna se coloca el valor real c 1:
2 0 0 1
c 1
14
A continuación bajamos directamente el primer coeficiente del dividendo a la tercera
fila :
2 0 0 1
c 1
2
15Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
y multiplicamos este coeficiente por c 1, colocando el resultado en la segunda fila y
tercera columna:
16
2 0 0 1
c 1 -2
2
17Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
Ahora sumamos el resultado del producto con el número que se halla en la fila
superior, colocando el resultado en la tercera fila y tercera columna:
2 0 0 1
c 1 -2
2 -2
El resultado obtenido se multiplica de nuevo por c 1 y se coloca en la segunda fila
cuarta columna:
2 0 0 1
c 1 -2 2
2 -2
y se reitera el proceso hasta agotar las columnas:
2 0 0 1
c 1 -2 2 -2
2 -2 2 -1 (resto)
El valor obtenido en la última fila y última columna ( 1) es el resto y el cociente es un
polinomio de grado inferior en uno al dividendo : gra 2 1 1 3 1 23x , cuyos
coeficientes en orden ascendente son los valores de la última fila (a excepción de la
última columna): 2 2 22x x . Así pues:
2 1 2 2 2 1 13 2x x x x ( ) .
Observaremos que de la regla de Ruffini se deduce el siguiente corolario4,
que suele denominarse teorema del resto.
Si un valor real c es raíz de un polinomio P x( ) entonces el polinomio
P x( ) es divisible por x c .
4 Un corolario es un resultado o proposición que se deduce de forma sencilla a partir de otro resultado o proposición.
Corolario
18
Comprobar que el polinomio P x x( ) 3 1 no es irreducible.
La ecuación:
x3 1 0
tiene como una solución real: c1 . Entonces, de acuerdo con el teorema del resto, el
polinomio x3 1 es divisible por el polinomio x 1 . Realicemos esta división por el
método tabular ya explicado:
1 0 0 -1
1 1 1 1
1 1 1 0 (resto)
En definitiva, podemos escribir:
x x x x3 21 1 1
y el polinomio no es irreducible pues posee como factores elementos distintos de él
mismo y la unidad.
El teorema fundamental de esta sección es:
Ejemplo 9
19Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
Descomposición factorial de polinomios de grado
positivo
Todo polinomio de grado positivo y coeficientes reales puede descomponerse
como producto de polinomios irreducibles. Esta descomposición será única si
tenemos en cuenta ciertos convenios.
El lector comprenderá que la descomposición factorial de un polinomio de
grado positivo en irreducibles no puede darse si antes no establecemos la
forma general de estos irreducibles.
Condición necesaria (no suficiente) de polinomio
irreducible
Un polinomio de coeficientes reales, grado positivo e irreducible ha de tener
primer o segundo grado.
Proposición 3
Proposición 4
20
¿Es irreducible el polinomio 2 13x ?
La respuesta es no, ya que se trata de un polinomio de tercer grado y es necesario
que un polinomio sea de grado uno o dos para ser irreducible. ¿Cómo podemos
descomponer factorialmente este polinomio en irreducibles?. Para ello, hacemos uso
del teorema del resto y buscamos las soluciones reales de la ecuación:
2 1 03x .
Afortunadamente, esta ecuación se resuelve con sencillez:
2 1 01
2
1
23 3 3x x x .
Ejemplo 10
21Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
Sabemos entonces que 2 13x es divisible por x 1
23 y llevamos a cabo esta división
mediante la regla de Ruffini:
2 0 0 -1
1
23 2
1
23 2
1
23
2
2
1
22
1
213
3
22
1
23 2
1
23
2
0 (resto)
22
Nos queda pues la expresión:
2 11
22 2
1
22
1
23 3 2 3 3
2
x x x x
.
23Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
¿Es esta la expresión en irreducibles de 2 13x ? En primer lugar, admitimos
que todos los polinomios de la forma x a (donde a es un número real) son
irreducibles. Por ello:
24
x
1
23
es un polinomio irreducible. Pero, ¿es irreducible el otro factor:
2 21
22
1
22 3 3
2
x x
?
Si lo fuera, tendríamos ya una descomposición de 2 13x en irreducibles.
Aplicamos de nuevo el teorema del resto a el factor 2 21
22
1
22 3 3
2
x x
. Primero
resolvemos la ecuación:
2 21
22
1
202 3 3
2
x x
y vemos que no tiene soluciones reales ya que su discriminante es negativo:
b ac2 3
2
3
2
4 21
24 2 2
1
20 .
Esto significa que no tiene como factores a polinomios de primer grado en la forma:
x a . La única opción que nos queda es que sea divisible por un polinomio irreducible
de grado dos. Fácilmente se ve que:
2 21
22
1
22
1
2
1
22 3 3
2
2 3 3
2
x x x x
por lo que es divisible por el polinomio:
x x2 3 3
21
2
1
2
.
Convenimos en que este último es irreducible ya que no tiene ninguna raíz real
(puesto que comparte las raíces del polinomio 2 21
22
1
22 3 3
2
x x
) y no es divisible por
ningún otro polinomio de grado dos distinto de él mismo y sus múltiplos. En resumen,
una descomposición factorial de 2 13x es:
25Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
2 1 21
2
1
2
1
23 3 2 3 3
2
x x x x
.
También podríamos escribir:
2 11
22 2
1
22
1
23 3 2 3 3
2
x x x x
o bien:
2 1 2 21
2
1
2
1
23 3 2 3 3
2
x x x x
pero sólo admitiremos la primera descomposición como válida.
A continuación, daremos unas reglas prácticas para descomponer
factorialmente un polinomio P x( ) de coeficientes reales y grado positivo.
i) Si el polinomio es de grado uno y tiene la forma x c , entonces es
irreducible. Si es de grado uno y tiene la forma : ax b , lo expresaremos en la
forma: a xb
a
, siendo ésta su descomposición factorial.
ii) Si el polinomio es de grado dos o superior buscamos una raíz real de la
ecuación P x( ) 0 .
iii) Si c es la raíz obtenida en el paso anterior, sabemos que el polinomio es
divisible por el factor irreducible x c , por lo que pasamos a efectuar la
división por medio de la regla de Ruffini .
iv) Si en la regla de Ruffini obtenemos de cociente Q x( ) , podemos escribir la
igualdad: P x Q x x c( ) ( ) y pasamos a analizar la irreductibilidad del
polinomio Q x( ) con los criterios expuestos en los pasos anteriores.
26
La descomposición factorial está muy ligada a la resolución de ecuaciones
por lo que en muchas ocasiones no podremos llevarla a cabo al faltarnos
medios de resolución de éstas. En el caso de que la ecuación tenga
coeficientes enteros es aplicable el siguiente resultado: Truco
27Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
“si una ecuación a x a x a x ann
nn
11
1 0 0....... tiene una solución racional p
q,
entonces p divide a an (coeficiente director) y q divide a a0 (término independiente).”
Veámoslo con un ejemplo. Sea la ecuación de coeficientes enteros:
2 3 2 02x x .
Si tuviera una solución racional p
q entonces p divide a 2 y q divide a 2 . Escribimos
todas las posibilidades para ambos:
p q 1 1 2 2 1 1 2 2, , , , , ,
y las combinamos:
p
q
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2, , , , , , , , , , , , , , , .
Eliminando repeticiones nos quedan:
p
q
1 11
2
1
22 2, , , , ,
probamos con ellas en la ecuación y vemos que sólo nos sirve x01
2 pues:
21
23
1
22 2
1
4
3
22
1
2
3
22 2 2 0
2
.
El lector no debe extraer la conclusión de que con este método siempre va a
encontrar una raíz. En todo caso, si la ecuación tuviera una raíz racional este método
permitiría hallarla (al menos en teoría) pero si no tiene raíz racional no nos lleva a
ningún lado.
Descomponer factorialmente el polinomio x x3 2 1 .
Según las reglas prácticas, como el polinomio es de grado mayor que dos,
buscaremos una raíz real de:
x x3 2 1 0 .
Ejemplo 11
28
Observamos que los coeficientes son todos enteros y podemos ensayar el
truco anterior. Si tuviera raíz racional p
q entonces p divide a 1 (coeficiente
director) y q divide a 1 (término independiente). En resumen:
29Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
p
q
1
1
1
1
1
1
1
111, , , , .
Al sustituir en la ecuación el valor 1 resulta 1 2 1 1 03 , y hemos encontrado una raíz
real. Ahora dividimos por la regla de Ruffini el polinomio entre x 1
1 0 -2 1
1 1 1 -1
1 1 -1 0 (resto)
Esto quiere decir que:
x x x x x3 22 1 1 1 .
Nos toca ahora analizar la irreductibilidad del polinomio x x2 1 . Como es de segundo
grado, buscamos una raíz real de:
x x2 1 0 .
Analizamos el discriminante de esta ecuación de segundo grado y vemos que:
b ac2 4 1 4 1 1 1 4 5 0 .
Esto nos indica que la ecuación tiene dos soluciones reales:
xb
ax
b
a1 22
1 5
2 2
1 5
2
, .
Aplicando la regla de Ruffini con la primera raíz:
1 1 -1
1 5
2
1 5
2 1 5
2
1 5
2
5 1
2
5 1
41
2 2
2
5
1 1 5
2
0 (resto)
Obtenemos:
x x x x2 11 5
2
1 5
2
5 Como es suma por diferencia resulta una diferencia de cuadrados que luego simplificamos
30
y ésta es la descomposición del factor de segundo grado. Añadiendo este resultado al
inicial, quedará:
x x x x x x x x3 22 1 1 1 11 5
2
1 5
2
.
Muchas veces podemos abreviar el proceso de descomposición utilizando el
siguiente lema:
“si c1 , c2 , ......., cm m n son raíces reales de la ecuación
a x a x a x ann
nn
11
1 0 0....... , entonces resulta que:
a x a x a x a a x c x c x c Q xnn
nn
n m
11
1 0 1 2....... ...( ) ( ) ,
donde Q x( ) es un polinomio de grado n m y an es el coeficiente director. Veamos un
ejemplo. Para el polinomio de grado tres:
2 6 43 2x x x ,
Truco
31Descomposición factorial
Descomposición en fracciones simples
comprobamos que los valores c1 0 y c2 1 son raíces de la ecuación:
2 6 4 03 2x x x
por lo que podemos escribir:
2 6 4 2 0 13 2x x x x x Q x ( )
donde el polinomio Q x( ) es de grado 3 2 1 .
Se infiere que, en el caso de conocerse todas las raíces, el polinomio queda ya
descompuesto factorialmente al aplicarle este truco. Así, en el ejemplo anterior vimos
que las raíces de x x2 1 0 eran:
c c1 21 5
2
1 5
2
y el coeficiente director era uno. Por ello:
x x x x2 1 11 5
2
1 5
2
.
Una vez expuestas las definiciones básicas y los conceptos más relevantes
de la descomposición factorial pasamos ahora a la explicar los métodos para
la descomposición en fracciones simples de una fracción racional.
32
3.- Métodos de descomposición de fracciones simples
Los procedimientos que vamos a explicar sólo se aplican a fracciones
impropias por lo que si tenemos de partida una fracción propia deberemos
utilizar el algoritmo visto en la sección preliminar (páginas 2 y 3) y una vez
expresada la fracción impropia como suma de un polinomio y una fracción
propia, los aplicaremos a esta última.
Sea P x
Q x
( )
( ) una fracción propia, esto es: gra graQ n m P :
1. Planteamos la ecuación Q x( ) 0 , la cual tendrá un total de n raíces6
(tantas como su grado)
2. Analizamos la naturaleza de las raíces de la ecuación. Pueden darse
los casos siguientes:
a) Las n raíces c cn1,..., son reales y simples, esto es, no se repite
ninguna. En tal caso podemos descomponer factorialmente el
polinomio Q x( ) en la forma: Q x a x c x cn( ) ....... 17, donde a es el
coeficiente director del polinomio Q x( ) . La fracción racional queda
entonces descompuesta mediante:
P x
Q x
A
a x c
A
x c
A
x cn
n
( )
( ).......
1
1
2
2
, siendo A A An1 2, ,...., números
reales a determinar .
b) Las n raíces c cn1,..., son reales pero hay al menos una
múltiple. Para simplificar, supongamos que c c1 2 y que el resto de
raíces reales son distintas de éstas y entre sí. Como la raíz anterior
se repite dos veces, decimos que es una raíz real doble. Ahora la
descomposición factorial del polinomio Q x( ) quedará
Q x a x c x c x cn( ) ....... 1
2
3 y la fracción racional se descompone
: P x
Q x
A
a x c
A
x c
A
x c
A
x cn
n
( )
( ).......
1
1
2
1
23
3. Si hubiera sido
6 Este resultado se llama “Teorema fundamental del Álgebra”.7 Ver el truco de la página 16.
33Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
c c c1 2 3 entonces habría quedado en la siguiente forma:
P x
Q x
A
a x c
A
x c
A
x c
A
x c
A
x cn
n
( )
( ).......
1
1
2
1
23
1
34
4
.
c) Existen raíces complejas. Este es el caso más difícil y lo
explicaremos aparte.
Ejemplo 12
34
Descomponer en fracciones simples la fracción racional propia: 6
2 12x .
Planteamos la ecuación:
2 1 02x
y la resolvemos:
2 1 0 2 11
2
1
22 2 2x x x x .
Las raíces son reales y simples y el denominador queda descompuesto en la forma:
2 1 21
2
1
22x x x
y podemos escribir:
6
2 12
1
2
1
2
21 2
x
A
x
A
x
,
donde los valores A A1 2, son números reales que pasamos a determinar. Primero,
efectuamos la suma del miembro de la derecha de la anterior igualdad:
A
x
A
x
A x
x x
A x
x x
A x A x
x1 2
1 2 1 2
2
21
2
1
2
1
2
21
2
1
2
21
2
21
2
1
2
1
22
1
2
2 1
quedando:
6
2 1
1
22
1
2
2 12
1 2
2x
A x A x
x
.
Para que estas fracciones sean iguales habrán de ser iguales los numeradores:
61
22
1
21 2
A x A x .
En este punto tenemos dos opciones: desarrollar el miembro de la derecha de la
igualdad o bien asignar valores adecuados a x con el fin de simplificar la expresión y
despejar directamente los parámetros. Utilizaremos el segundo método (llamado de
las raíces):
35Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
Para x 1
2 es:
61
2
1
22
1
2
1
22
1
21 2 1
A A A ,
luego:
6 2
1
2
6
21
2
3
1
2
3
1
2
31
2
3 21 1
A A
.
Para x 1
2 es:
61
2
1
22
1
2
1
22 2
1
21 2 2
A A A ,
de donde:
6 2 2
1
26 4
1
2
6
41
2
3
21
2
3 2
22 2 2
A A A
.
36
Una vez obtenidos los valores de A1 y A2 sustituimos:
6
2 1
3 2
21
2
3 2
21
2
2xx x
y esta es la descomposición factorial en fracciones simples:
Descomponer en fracciones simples la fracción propia:
x
x x x x
2
3 2 2
1
2 1 7 12
.
La ecuación:
x x x x 2 1 7 12 03 2 2
es equivalente a las ecuaciones:
x 2 03 x 1 0
2 x x2 7 12 0 .
La primera tiene por solución una raíz real triple: c1 2 ; la segunda tiene por solución
una raíz real doble: c2 1 ; y la tercera tiene por solución dos raíces reales simples:
c c3 43 4 , . Según las reglas prácticas, la descomposición en fracciones simples será
de la forma:
Ejemplo 13
37Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
x
x x x x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
A
x
2
3 2 2
1 22
33
4 52
6 71
2 1 7 12 2 2 2 1 1 3 4
.
38
Llevamos a denominador común las fracciones simples:
x
x x x x
A x x x x
x x x x
A x x x x
x x x x
2
3 2 2
12 2
3 22
2
3 2
1
2 1 7 12
2 1 3 4
2 1 3 4
2 1 3 4
2 1 3 4
A x x x
x x x x
A x x x x
x x x x
32
3 24
3
3 2
1 3 4
2 1 3 4
2 1 3 4
2 1 3 4
A x x x
x x x x
A x x x
x x x x
A x x x
x x x x
53
3 26
3 2
3 27
3 2
3 2
2 3 4
2 1 3 4
2 1 4
2 1 3 4
2 1 3
2 1 3 4.
Podríamos operar los denominadores de las fracciones obtenidas e igualar el
denominador resultante al denominador ( x2 1 ) de la fracción de partida, pero la
longitud de los cálculos nos disuade. Por ejemplo, para el numerador de la primera
fracción del miembro de la derecha:
A x x x x A x +A x - A x + A x + A x - A x+ A12 2
16
15
14
13
12
1 12 1 3 4 17 7 76 116 48 .
En lugar de esto, arrastramos toda la expresión y utilizamos el método de las raíces:
x A x x x x A x x x x A x x x21
2 22
23
21 2 1 3 4 2 1 3 4 1 3 4
A x x x x A x x x A x x x43
53
63 2
2 1 3 4 2 3 4 2 1 4
A x x x73 2
2 1 3 .
Para x 2 se eliminan todos los sumandos menos el tercero y resulta:
2 1 2 1 2 3 2 4 5 305
302
32
3 3 A A A .
Para x 1 se eliminan todos los sumandos menos el quinto:
1 1 1 2 1 3 1 4 2 202
20
1
102
53
3 3 3
A A A A .
Para x 3 se eliminan todos los sumandos menos el sexto:
( )
3 1 3 2 3 1 3 4 10 200010
2000
1
2002
63 2
6 6 6A A A A .
Para x 4 se eliminan todos los sumandos menos el séptimo
( ) 4 1 4 2 4 1 4 3 17 540017
54002
73 2
7 7A A A .
El resto de parámetros: A A A1 2 4, , se puede obtener sustituyendo los parámetros
conocidos y asignando valores sencillos a x .
Pasaremos ahora a explicar el caso en el que el denominador tiene raíces
complejas. En primer lugar, enunciaremos una proposición que clarificará un
poco nuestro trabajo.
39Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
Existencia de raíces complejas
Si un polinomio de coeficientes reales tiene una raíz compleja: z1 , entonces
también tiene como raíz a su conjugado: z1 .
El conjugado de un número complejo z u iv 8 es aquel complejo que tiene
la misma parte real ( u ) y opuesta parte imaginaria ( v ): u iv . Por
ejemplo, el conjugado del complejo 3 i es 3 i .
La proposición 5 es de suma importancia pues nos advierte que las raíces
complejas en un polinomio de coeficientes reales siempre van por parejas.
El polinomio x2 1 tiene una raíz compleja: z i 0 ya que:
0 1 1 1 1 02 2 i i ( ) .
Por tanto, también tiene por raíz a su conjugado: z i 0 .
Hallar las raíces del polinomio x x2 1 .
La ecuación x x2 1 0 tiene por soluciones:
8 La i es la unidad imaginaria siendo igual a i 1 .
Proposición 5
Observación 3
Ejemplo 14
Ejemplo 15
40
x b b ac
a
2 24
2
1 1 4 1 1
2 1
1 3
2.
Teniendo en cuenta que 1 i podemos expresar las raíces de números negativos
como números complejos:
xi
1 3
2
1 1 3
2
1 1 3
2
1 3
2
( ) .
De esta manera, las raíces del polinomio son los complejos conjugados:
x i x i1 21
2
3
2
1
2
3
2 ; .
Las raíces complejas también pueden ser simples o múltiples. Trataremos
en primer lugar el caso de raíces complejas simples.
Sea P x
Q x
( )
( ) una fracción propia, esto es: gra graQ n m P :
1. Planteamos la ecuación Q x( ) 0 , la cual sabemos que tendrá un total de
n raíces (reales o complejas y contando cada una según su multiplicidad).
2. Supongamos que una de sus raíces es compleja simple, por ejemplo:
c i1 2 3 , y el resto de raíces es real. Por la proposición 5, también
hallaremos la raíz compleja conjugada: c i2 2 3 . Si generalizamos los
resultados ya expuestos9, podríamos descomponer factorialmente el
polinomio denominador en la forma:
Q x a x i x i x c x c( ) .... 2 3 2 3 3 4 , donde a es el coeficiente director
de Q x( ) , y c c3 4, ,... son las raíces reales. Pero esto no es correcto pues nos
interesa trabajar con polinomios que tengan coeficientes reales. Debemos
transformar los factores complejos en factores reales y esto se consigue
mediante la agrupación de los factores con raíces conjugadas. En nuestro
ejemplo:
Q x a x i x i x c x c a x i x i x c x c( ) .... .... 2 3 2 3 2 3 2 33 4 3 4
a x i x i x c x c a x i x c x c2 3 2 3 2 33 42 2
3 4.... .....
a x i x c x c a x x c x c2 9 2 9 12 23 4
23 4..... ( ) .....
a x x c x c2 923 4 .....
9 Ver truco de la página 16.
41Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
donde hemos usado la conocida fórmula: A B A B A B 2 2 y la igualdad:
i2 1 .
3. De acuerdo con la descomposición en factores del denominador, la
fracción se descompone en fracciones simples :
P x
Q x
A x A
a x
A
x c
A
x c
( )
( ).......
1 2
23
3
4
42 9.
42
Descomponer en fracciones simples : x
x x x
2
1 12 .
Planteamos la ecuación:
Ejemplo 15
43Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
x x x2 1 1 0
que equivale a las ecuaciones:
x x2 1 0 x 1 0 .
La primera de ellas tiene dos raíces complejas simples conjugadas (ver ejemplo 14):
c i c i1 21
2
3
2
1
2
3
2
;
y la segunda de ellas tiene una raíz real simple:
c3 1 .
El denominador tiene pues la descomposición:
x x x x i x i x2 1 11
2
3
2
1
2
3
21
que puede darse en forma de coeficientes reales mediante la agrupación de las raíces
complejas:
x x x x i x i x x i x22 2
1 11
2
3
2
1
2
3
21
1
2
3
21
x i x x x x x
1
2
3
21
1
21
3
41
1
2
3
41
22
2 2 2
.
Finalmente, la descomposición en fracciones simples tendrá la forma:
x
x x x
A x A
x
A
x
2
1 1 1
2
3
4
121 2
23
.
Para hallar los coeficientes A A A1 2 3, , operamos el miembro de la izquierda:
x
x x x
A x A x A x
x x
2
1 1
112
34
12
34
12
1 2 3
2
2 .
Igualamos numeradores:
x A x A x A x
2 1
1
2
3
41 2 3
2
44
y utilizamos el método de las raíces (ver ejemplos 12 y 13):
Para x 1 resulta
1 2 1 1 1 11
2
3
4
3
2
3
4
9
4
3
431 2 3
2
3
2
3 3
A A A A A A ,
de donde: 3 3 13 3 A A . Una vez sabemos este valor lo sustituimos en la expresión
del numerador
x A x A x x A x A x x
2 1 1
1
2
3
41
1
2
3
41 2
2
1 2
2
.
Para x 0 tenemos:
45Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
0 2 0 0 1 01
2
3
4
1
4
3
411 2
2
2 2
A A A A ,
de donde: 2 1 1 2 12 2 A A .
Sustituimos el valor del parámetro en el numerador:
y buscamos el otro parámetro mediante la asignación (se pueden hacer otras
asignaciones pero esta da resultados sencillos):
,
de donde: y la descomposición en fracciones simples es:
Para las raíces complejas múltiples se sigue un proceso análogo al caso de
raíces reales. Tan sólo hay que tener en cuenta que hay que agrupar las raíces
complejas conjugadas para obtener expresiones reales. Nada mejor que un
ejemplo para ilustra lo dicho.
46
Vamos a efectuar la descomposición de la fracción impropia
Ejemplo 16
47Métodos de descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
.
En primer lugar, resolvemos la ecuación
.
Probamos con los divisores del término independiente : . Entonces, por la regla
de Ruffini tenemos que la división de este polinomio por es
Resultando
.
Ahora bien, es fácil comprobar que
.
Por lo que la descomposición factorial en polinomios de coeficientes reales es
.
Si el lector no ve sencilla la última transformación puede optar por resolver la
ecuación bicuadrada
.
Para ello, hacemos el cambio , quedando
y de aquí
.
Obtenemos una raíz doble: , y al deshacer el cambio de variable:
,
quedando
.
La descomposición es entonces
.
Sólo resta hallar los coeficientes pero esto lo dejamos a cargo del lector.
48