Desenho geométrico

ARQ 03313 - Desenho Geométrico e Geometria Descritiva

GEOMETRIA DESCRITIVA

UFRGS NÚCLEO DE

COMPUTAÇÃO GRÁFICA APLICADA

Notas de Aula

Desenho Geométrico

Prof. Anelise Hoffmann

2004/02

Desenho Geométrico e Geometria Descritiva Prof. Anelise Hoffmann

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1. ESCALA Escala é a relação entre as medidas do desenho de um objeto e seu tamanho real.

Escala de redução as medidas do desenho são menores que as medidas reais do objeto

1/n ou 1:n Ex: escala 1:100 (significa que as medidas reais foram reduzidas 100 vezes)

Escala de ampliação as medidas do desenho são maiores que as medidas reais do objeto

n/1 ou n:1 Ex: escala 50:1 (significa que as medidas reais foram ampliadas 50 vezes) Exercícios:

1. Uma janela que numa escala 1:25 mede 0,04 m de largura, que dimensão terá na realidade? 2. Um terreno mede 200 m e está representado no papel por 0,4 m, em que escala está representado? 3. A distância gráfica entre A e B é 8 cm, e a distância real é de 84 Km. Qual é a escala utilizada? 4. Deseja-se representar um retângulo com as dimensões de 10 m X 15 m, na escala 1:150. Quais as dimensões gráficas? 5. A distância gráfica entre duas cidades A e B é 6 cm e a distância real é de 15km , então qual a escala utilizada no mapa? 6. Uma escultura foi representada em um desenho com 84 mm de altura, na escala 1:200. Qual a dimensão real desta

escultura? E se ela fosse representada na escala de 1:50 quanto mediria?

Escala = medida do desenho medida real do objeto


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2. NOÇÕES DE UTILIZAÇÃO DOS INSTRUMENTOS DE DESENHO

A utilização correta dos esquadros em desenho geométrico e geometria descritiva é de fundamental importância para a obtenção da precisão necessária na solução dos problemas.

Estes são utilizados para o traçado de linhas horizontais e verticais e serve também como apoio. O traçado de retas paralelas ou perpendiculares a determinada direção pode ser realizado movendo-se um esquadro apoiado sobre o outro, que permanece fixo.

Podem ser utilizados também para o traçado de linhas em ângulos determinados (30º, 45º, 60º e outros).

Um recurso para o traçado de linhas com ângulos diferentes é a combinação dos

esquadros apoiados como nos exemplos.

75º

15º

30º

60º

90º

45º


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Exercícios:

1. Traçar retas paralelas utilizando o jogo de esquadros. 2. Traçar retas perpendiculares a uma determinada direção utilizando o jogo de esquadros.

Uma das aplicações do traçado de paralelas é a divisão de um segmento qualquer em partes iguais ou proporcionais.

Dividir um segmento de reta AB em 5 partes

iguais.

- traçar por uma das extremidades do segmento uma reta inclinada, marcar nesta reta auxiliar uma unidade qualquer e o número de partes que se quer dividir o segmento AB (ex. 5 partes) - unir o último ponto da reta auxiliar ao extremo do segmento (B) e traçar retas paralelas a esta dividindo o segmento AB.

Dividir um segmento de reta AB em partes

proporcionais a 2, 5, 1 e 3.

- traçar por uma das extremidades do segmento uma reta inclinada, marcar nesta reta auxiliar uma unidade qualquer e o número de partes que se quer dividir o segmento AB (2+5+1+3=11) - unir o último ponto da reta auxiliar ao extremo do segmento (B) e traçar retas paralelas a esta dividindo o segmento AB nas divisões correspondentes.

A B

Exercícios:

1. Dividir o segmento AB de 7 cm em 9 partes iguais. 2. Dividir o segmento CD em partes proporcionais a 4, 6, 1 e 3.

A

3

I

4

IV

1

B

2

II

5

III 2 5 1 3


5

3. HOMOTETIA

Figuras homotéticas são figuras semelhantes que possuem lados homotéticos paralelos. Os elementos da homotetia são o centro de homotetia e raios homotéticos, que partem do centro de homotetia em direção aos vértices da figura.

A figura a seguir ilustra a homotetia inversa e a direta de uma figura representada na escala de 1:900. Para representá-la na escala de 1:1500, é necessário descobrir a relação entre as escalas, esta razão de homotetia (x/y) determinará a a redução ou a ampliação da figura. Quando esta relação é positiva a homotetia é dita direta, e quando é negativa a homotetia é dita iversa.

O centro de homotetia pode estar em qualquer lugar do plano. Pode-se utilizar um dos vértices da figura ou seu ponto central.

Escala nova = x razão da homotetia Escala do desenho y

Homotetia Inversa

Homotetia Direta

Centro de Homotetia

Raios Homotéticos


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Exercícios:

1. Sabendo que um triângulo equilátero de lado 3 cm está representado na escala 1:750, representá-lo na escala 1:1500 e 1:250, utilizando homotetia. 2. Um quadrado representado na escala 1:500 possui lado = 4 cm, representá-lo nas escalas de 1:200 e 1:400, utilizando homotetia. 3. Desenhar um triângulo eqüilátero cujos vértices coincidam com os de um hexágono regular inscrito em uma circunferência de r = 35 mm. Reproduzir o conjunto, utilizando homotetia ampliando seu tamanho em 2,5 vezes (utilizar o centro de homotetia coincidindo com o centro da circunferência).


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4. CONSTRUÇÕES GEOMÉTRICAS BÁSICAS Circunferência - é o conjunto de pontos equidistantes de um ponto do plano, (distância é igual ao raio).

Mediatriz - é o conjunto de pontos equidistam de dois pontos do plano. Possui a propriedade de ser perpendicular ao segmento AB e passar pelo Ponto Médio do segmento AB.

Retas paralelas - é o conjunto de pontos equidistam de uma reta do plano.

Bissetriz - é o conjunto de pontos que equidistam de duas retas do plano, dividindo o ângulo formado por elas em 2 partes iguais.

A PM B

r C

D D

A B

r bissetriz

r


8

Exercícios: 1.Traçar uma reta perpendicular a um segmento AB que passe por um ponto C fora do segmento. - com centro em C e abertura do compasso que ultrapassa o segmento AB, determinar os pontos 1 e 2. - com abertura do compasso maior que a metade do segmento 12, determinar o ponto D. - a solução é dada pela reta que passa pelos pontos C e D.

2. Traçar uma reta perpendicular ao segmento AB passando por um ponto C deste mesmo segmento. - com o centro do compasso em C e abertura qualquer, encontrar os pontos 1 e 2.- com o centro em 1 e 2 e abertura do compasso maior que a metade do segmento 12, determinar os pontos 3 e 4. - a solução é dada pela reta que passa pelos pontos 3 e 4.

3. Traçar uma reta perpendicularao segmento AB passando pela extremidade B. (Solução 1) - com abertura qualquer do compasso e centro em B, traçar um arco de raio qualquer e encontrar o ponto 1. - com a mesma abertura do compasso e centro em 1, determinar o ponto 2, com a mesma abertura e centro em 2 traçar outro arco. - prolongando a reta que une 1 e 2 , encontra-se o ponto C. - a solução é dada pela união dos pontos C e B

4. Traçar uma reta perpendicular ao segmento AB passando pela extremidade A. (Solução 2) - por um ponto qualquer C traçar um arco que passe pela extremidade A, determinando o ponto M. - unir M e C, determinando o ponto D no arco. - a solução é dada pela união dos pontos D e A.

A B

C

A B C

A A BC

B A A B C

B


9

5. Por um ponto P traçar uma reta paralela a AB. - com centro do compasso em P e abertura qualquer determinar M (em AB). - com centro em M e mesma abertura, traçar arco passando por P, e encontrar N e O - transportar NP para OQ - solução é a reta que passa por P e Q.

6. Desenhar o lugar geométrico dos pontos que distam 20 mm da reta r. - determinar uma reta perpendicular a r em qualquer ponto da reta; - marcar sobre a perpendicular os pontos eqüidistantes de r 20mm (1 e 2 ) - com centro em 3 e raio 13 traçar uma circunferência (determinando 4 e 5) - transportar a distância 53 para 4 determinando 6 e 7 sobre a circunferência.

7. Determinar a distância entre as retas paralelas r e s. - traçar uma reta perpendicular às duas retas paralelas.

8.Dividir o segmento AB em 8 partes iguais. - utilizar o traçado de mediatrizes

B

P

A

r

r

s

A B


10

5. CIRCUNFERÊNCIA Elementos da Circunferência: - centro (C) - raio (r) - corda (DE) - diâmetro (AB) - arco (DE) - flecha (FG) - secante (s) - semi-circunferência (1/2 da circunferência) - reta tangente (t) - reta normal (n) Exercícios:

1. Traçar uma circun-ferência com centro em C e raio = 175 m na escala 1: 7000. .

2. Marcar os pontos do plano que distam 40mm de A e 30mm de B, simultaneamente.

A

B

C B

r

E

D

G

F

s

t

n

c

A

B


11

3. Traçar uma circunferência que passa pelos pontos A , B e C. - achar as mediatrizes de AB e BC. - O encontro das mediatrizes será o ponto O (centro da circunferência)

4. Determinar o centro da circunferência.

5. Determinar o ponto médio do arco MN. .

6. Determinar o centro do arco GH.

A

B

C

M

N

G

H


12

7. Determinar a distância de D ao arco JK.

8. Determinar o arco que passa por D E e F.

9. Determinar a reta tangente à circunferência no ponto T.

10. Determinar o ponto de tangência da reta t e a circunferência de centro O.

D

F

E

O

T

K

J

D

t


13

6. DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS Divisão por 2 e múltiplos de 2: - traçar dois diâmetros 12 e 34, perpendiculares entre si. - determinar a mediatriz de 14 e 13 encontrando 5 e 6, e 7 e 8.

Divisão por 3 e múltiplos de 3: - traçar o diâmetro AB. - com centro em B , traçar arco com o mesmo raio da circunferência, determinando os pontos 1 e 2. - para dividir a circinferência em 6 partes, repetir o mesmo processo em A, com abertura igual ao raio, determinando os pontos 3 e 4 .

Divisão em n partes iguais:

Método de Bion-Rinaldine

- traçar o diâmetro AB. Com centro em A e B e raio = diâmetro, traçar arcos, determinando O e O´. - dividir o diâmetro AB em n partes (ex. 7 partes). - ligar O e O´aos pontos pares (2, 4, 6,...). OBS.: este método genérico é aproximado.

A

B

1

4 3

2

A

B

1 2 3 4 5 6 7

O´ O

1

2

3 4

5

8

7

6


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Exercícios: 1. Dividir uma circunferência de raio 3 cm em 6 partes iguais e inscrever o polígono correspondente (hexágono).

2. Dividir uma circunferência de raio 3,5cm em 8 partes iguais e inscrever o polígono correspondente (octógono).


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3. Dividir uma circunferência de raio 3,5 cm em 5 partes iguais e inscrever o polígono correspondente (pentágono). Encontrar também o pentágono cir-cunscrito à circunferência.

4. Dividir uma circunferência de raio 3,5 cm em 9 partes iguais e inscrever o polígono correspondente.


16

5. Inscrever um decágono regular em uma circunferência de raio 5 cm.

6. Inscrever um polígono regular de 7 lados em uma circunferência de raio 5 cm.


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7. ÂNGULOS

Os ângulos são formados por duas semi-retas que tem a mesma origem. A grandeza de um ângulo é representada pela abertura dos lados.

A origem dos ângulos corresponde à divisão da circunferência em 360 partes iguais, sendo cada parte (1/360) chamada de grau, portanto a circunferência tem 360 graus. Classificação conforme a abertura dos lados: RETO – lados perpendiculares , mede 90º . AGUDO – menor que o ângulo reto, mede menos de 90º . OBTUSO – maior que o ângulo reto e menor que o de meia volta. RASO – mede 180º .

lado

lado abertura

vértice

bissetriz

V

Notação: ab (raio, corda)


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Exercícios: 1. Desenhar o ângulo ab (40mm, 50mm) com vértice em A.

2. Desenhar o ângulo cd (30mm, 50mm), com vértice em B.

3. Construir um ângulo de 75o com compasso.

- dado o segmento AB, centro do compasso em A e traçar um arco com raio qualquer - achar o ângulo de 60o , através da bissetriz encontrar o ângulo de 30o e, a partir deste encontrar o ângulo de 15o - transportar a partir do ângulo de 60o o angulo de 15o a soma será a solução.

4. Transportar os ângulos gh e df.

b A

g h

d f


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5. Com vértice em G resolver a operação: bc + cd – de - ef. bc (30mm, 55mm) cd (30mm, 30mm) de (30mm, 15mm) ef (30mm 40mm)

6. Dividir um ângulo reto em 3 partes iguais. - com centro em O e

abertura qualquer do compasso determinar A e B

- com a mesma abertura determinar em AB os pontos C e D, que unidos ao ponto O são a solução.

7.Com vértice em D, somar os ângulos: ab(40mm, 60.mm), cd (40mm, 25mm) e ef (40mm, 15mm).

8. Com vértice em M resolver a operação: de (20mm, 15mm) + ef(30mm, 15mm) – fg(15mm, 15mm).

O

b G


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9. Traçar a bissetriz de um ângulo qualquer (ou dividir um ângulo em 2 partes iguais). - do vértice A com raio qualquer, traçar o arco BC - com centro em BC traçar arcos iguais que se interceptam em D - unindo AD temos a bissetriz.

10. Determinar a bissetriz do ângulo formado entre as retas r e s. (vértice inscessível)

- traçar retas paralelas a r e a s ( mantendo a mesma distância) - onde as retas se cruzam determina-se o ponto A - determinar a bissetriz do ângulo formado pelas retas encontradas.

11. Dividir o ângulo rs em 8 partes iguais -utilizar o traçado de bissetrizes

12. Traçar 8 circun-ferências de raio 0,5 cm, igualmente espaçadas entre si e entre as circunferências existantes.

a

b A r

s

r s


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8. DIVISÃO DE ARCOS EM PARTES IGUAIS:

Arco menor que 90º :

Arco maior que 90º e menor que 180º :

Arco maior que 180º :

- completar a circunferência que contém o arco AB - com centro em A e D e abertura AD, determinar O - unir B e O determinando C sobre o diâmetro da circunferência - dividir o segmento AC no número de partes que se deseja dividir o arco. - unir O aos pontos encontrados na divisão do segmento AC

- completar a circunferência que contém o arco AB - com centro em A e D e abertura AD, determinar O - unir B e O determinando C sobre o diâmetro da circunferência - dividir o segmento AC no número de partes que se deseja dividir o arco. - unir O aos pontos encontrados na divisão do segmento AC

- completar a circunferência que contém o arco AB - com centro em A e E e abertura AE, determinar O - determinar a mediatriz do segmento AB, onde esta cruzar com o arco, determinar o ponto D - ligar o ponto D ao ponto O, determinando C sobre o diâmetro AE - dividir o segmento AC no número de partes que se deseja dividir o arco. - unir O a segunda divisão de AC, determinando a divisão do arco desejada.

A

C

B

O D

A

D

C

B

O

A

B

D

O

C

2

E


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Exercícios: 1. Dividir o arco DF (50mm, 60mm) em 3 partes iguais.

2. Dividir o arco BC(50mm, 90mm) em 6 partes iguais.


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3. Dividir o arco MN = MP (45mm, 70mm) + PN (45mm, 80mm) em 5 partes iguais.

4. Dividir o arco AC = AB (60mm, 40mm) + BC (60mm, 35mm) em 7 partes iguais.


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9. TANGÊNCIA

Traçar uma tangente em

um ponto dado da circunferência.

- unir o centro da circunferência (O) ao ponto T - traçar uma perpendicular ao raio por T

Traçar circunferências

tangentes à outra circunferência.

- unir o centro da circunferência ao ponto de tangência com uma reta - marcar sobre ela o raio da circunferência tangente a primeira e traçar.

Retas tangentes à curva

passando por ponto fora dela.

- ligar O e P, determinar o Ponto médio (M). - traçar uma circunferência auxiliar (com centro em M e raio OM) determinando pontos de tangência T e T´sobre a circunferência.

T

O

O´ T

O

O´

T

O

T´

P

M

T O


25

Unir duas circunferências por tangentes exteriores.

- traçar dentro da circunferência maior uma circunferência com raio (r – r’). - encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências. - traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência de raio (r – r’). - ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O, encontrando T e T´ sobre a circunferência de raio r - traçar paralelas a estas 2 retas na circunferência menor (r’), encontrando os pontos 3 e 4.

Unir duas circunferências por tangentes interiores.

- traçar dentro da circunferência maior uma circunferência com raio (r + r’). - encontrar o ponto médio (P) entre os centros das 2 circunferências. - traçar com centro em P e raio PO uma circunferência, encontrando os pontos 1 e 2 na circunferência de raio (r + r’). - ligar os pontos 1 e 2 ao ponto O, encontrando 3 e 4 sobre a circunferência de raio r - traçar paralelas a estas 2 retas na circunferência menor (r’) passando por O’, encontrando os pontos 5 e 6 - ligar 3 e 6 e 4 e 5.

T

O O´

T´

1

2

P

3

4

T

O O´

T´

1

2

P

3

4


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Exercícios: 1. Traçar uma circunferência, internamente com raio = 25 mm e externamente com raio = 15 mm, tangente a circunferência em T.

2. Traçar as retas tangentes à circunferência que passam por P.

T

T

P


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3. Encontrar as tangentes exteriores às circunferências de r = 3.5 cm e r’= 1cm. Sabendo que os centros distam 7 cm.

4. Encontrar as tangentes interiores às circunferências de r = 3 cm e r’= 1,2cm sabendo que os centros das circunferências distam 9 cm.


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10. CONCORDÂNCIA É a reunião de duas linhas de forma que não haja inflexões nos pontos de contato. - Para concordar uma curva com um segmento de reta é necessário que o centro da curva esteja sobre a perpendicular ao segmento que passa pelo ponto de concordância. - Para concordar duas curvas é necessário que o ponto de concordância e o centro de concordância pertençam a mesma reta.

Ligar duas paralelas com um arco.

- traçar uma reta perpendicular às retas determinando os pontos 1 e 2 - através da mediatriz destes pontos encontrar o ponto O, que será o centro do arco de concordância.

Unir duas retas convergentes

através de um arco de raio conhecido.

- traçar retas paralelas às retas dadas, distantes a medida do raio. - o ponto de encontro entre as retas será O, centro do arco de concordância.

Concordar 2 arcos através de um

outro com raio dado (r).

- com centro em O e raio R + r , marcar um arco. - com centro em O’e raio R’+ r marcar outro arco. - o ponto onde os arcos se encontram é o ponto C (centro do arco de concordância com raio r.

Ligar duas retas paralelas com uma

curva em forma de S.

- sejam as retas paralelas AB e CD, unir BC, traçar perpendiculares às retas em B e C. - determinar o ponto T (ponto de tangência dos arcos) – arbitrado ou pode-se conhecer um dos raios. - traçar mediatrizes dos segmentos B1 e C1, determinando os pontos O e O´ (centro dos arcos de concordância) sobre as perpendiculares que partem de B e C.

O´ O T

C

A B

D

r

r

O

r

1

2

O r

r

O


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Ligar duas retas convergentes com uma

curva em forma de S.

- sejam as retas AB e CD, traçar retas perpendiculares nas extremidades das retas dadas. - arbitrar raio (r) desenhando um arco com centro sobre uma das perpendiculares. - repetir a medida do raio sobre a outra perpendicular determinando 1. ligar 1 a C´, determinar sua mediatriz - onde a mediatriz toca a outra perpendicular determina-se C, centro do outro arco de concordância.

Concordar 2 arcos através de outro que tangencia internamente ou externamente e passa pelo ponto T.

T C´ r

r

r

1


30

Exercícios: 1. Traçar arco de concordância com a reta r, em T, através de um arco de raio 2 cm.

2. Desenhar arco de raio 2 cm, que passe por T e tangencie r.

3. Concordar as retas paralelas r e t por um arco.

4.Concordar o arco de circunferência com um arco de raio 1,5 cm.

r

t

T

r

T


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5. Concordar o arco de circunferência com um arco de raio 1 cm, 2 cm e 3 cm.

6. Concordar dois segmentos de reta MN e PQ paralelos por uma curva em forma de s.

7. Concordar dois segmentos de reta AB e CD paralelos por uma curva sinuosa.

8. Concordar dois segmentos de reta FG e HI por uma curva sinuosa.

C D

A B

H

I

F

G

M N

P Q


32

11. ESPIRAIS Espirais Verdadeiras: É a curva que descreve o deslocamento de um ponto em torno de outro (pólo) afastando-se dele, e obedecendo uma determinada lei, que regule e estabeleça uma relação de velocidade entre o movimento circular (em torno do pólo) e retilíneo (se afastando do pólo). As espirais podem se desenvolver no sentido horário (destrógira) ( ou no sentido anti-horário (levógira). São espirais verdadeiras: Espiral de Arquimedes, logarítmica e hiperbólica.

Espiral de Arquimedes.

- dividir o passo em um determinado número de partes (mínimo 8) e traçar as circunferências concêntricas correspondentes - dividir a circunferência no mesmo número de partes. - determinar os pontos por onde passa a espiral e traçar a mão livre.

Espirais Falsas: São aquelas se aproximam das expirais verdadeiras . estas possuem um número qualquer de centros (bicêntricas, tricêntricas ou policêntricas). - centros - uma espiral falsa pode ter 2 ou mais centros. - amplitude - ângulo descrito pelo ponto em cada centro, e é calculada dividindo-se 360º pelo número de centros da espiral - passo - é calculado multiplicando o lado do polígono de núcleo pelo número de centros.

Dados os centros A e B construir uma falsa espiral

bicêntrica.

- sobre uma reta localizar o núcleo da espiral (A e B) - com abertura AB e centro em A , traçar arco e encontrar 1 sobre a reta - com abertura B1 e centro em B, traçar arco 1-2 - com abertura A2 e centro em A, traçar arco 2-3

Dados os centros A , B e C construir uma falsa

espiral tricêntrica.

- prolongar os lados do triângulo ABC - com abertura AC e centro em A , traçar arco C1 - com abertura B1 e centro em B, traçar arco 1-2 - com abertura C2 e centro em C, traçar arco 2-3 - com abertura A3 e centro em A, traçar arco 3-4

A B 1 23

A

C B 1

2

3

4B


33

Exercícios:

1. Construir uma espiral de amplitude 120º e passo 3cm, no sentido horário. 2. Construir uma espiral de amplitude 180º e passo 1 cm, no sentido anti-horário. 3. Construir uma espiral levógira (AH) com 4 centros (quadrado de L = 0.5 cm). 4. Construir uma espiral destrógira (H) com 6 centros (hexágono de L = 0.5 cm). 5. Construir uma espiral de Arquimedes de passo = 5 cm, no sentido horário.


34

12. TRIÂNGULO

Elementos do triângulo : - lado (ou base) - vértice - ângulos internos (soma = 180o )

Classificação quanto aos lados:

EQUILÁTERO 3 lados iguais

ISÓSCELES 2 lados iguais

ESCALENO 3 lados diferentes

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos:

ACUTÂNGULO tem os 3 ângulos agudos

(menores que 90o )

OBTUSÂNGULO tem um ângulo obtuso (maior

que 90o )

RETÂNGULO tem um ângulo reto (90o )

C B

A B


35

Pontos notaveis do triângulo:

Circuncentro: É o centro da circunferência

circunscrita ao triângulo. Este ponto está localizado no encontro das

mediatrizes dos lados do triângulo. Obs. Este ponto pode estar situado

fora dos limites do triângulo.

Incentro: É o centro da circunferência inscrita ao triângulo. Este ponto está localizado no encontro das bissetrizes dos lados do

triângulo. Obs. Este ponto sempre está situado

dentro dos limites do triângulo.

Ortocentro: É o encontro das alturas do triângulo. (altura do triângulo = reta que parte de um vértice e é perpendicular ao lado

oposto). Obs. Este ponto pode estar situado fora

dos limites do triângulo.

Baricentro: É o centro de gravidade do triângulo. Este ponto situa-se na interseção das medianas. (mediana = reta que parte

do vértice ao ponto médio do lado oposto)

Obs. Este ponto sempre está situado dentro dos limites do triângulo.

.

Propriedade do triângulo retângulo: Todo o triângulo retângulo está inscrito em uma circunferência cujo diâmetro é a hipotenusa deste triângulo (arco capaz de 90º).

hA O

hC B

hB PM PM

B

PM

B B

C B

I

A

B


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Exercícios: 1. Construir um triângulo qualquer conhecendo-se os 3 lados. Encontrar também o circuncentro (encontro das media-trizes).

A B A C C B

2. Construir um triângulo conhecendo-se 2 lados e um ângulo. Encontrar o incentro (encontro das bisse-trizes).

A B A C A

3. Construir um triângulo isósceles conhecendo-se a base e o ângulo oposto.

A B C

4. Construir um triângulo isósceles sabendo que a base = 4cm e a altura = 6 cm.


37

5. Desenhar o triângulo ABC, conhecendo-se 2 ângulos e o lado oposto a um deles. Sendo C = 90º, A = 30º e lado MN = 60 mm. - utilizar propriedade do triângulo retângulo

6. Construir o triângulo ABC conhecendo-se 2 lados e a mediana correspondente a um lado. Sendo AB = 7 cm , BC = 4,5 cm e Mediana (AB) = 5cm. Encontrar também o baricentro do triãngulo.

7. Desenhar a circun-ferência circunscrita ao triângulo ABC.

A C B

8. Determinar o ortocentro do triângulo PQR.

P R Q


38

13. QUADRILÁTEROS Classificação quanto à forma geométrica:

Paralelogramo (possui lados

paralelos 2 a 2)

QUADRADO (lados e ângulos iguais,

diagonais iguais e perpendiculares entre si)

RETÂNGULO (lados iguais 2 a 2, diagonais

iguais, ângulos retos)

LOSÂNGO (lados iguais, os ângulos

opostos são iguais, diagonais diferentes e

perpendiculares)

PARALELOGRAMO (lados opostos iguais e

paralelos 2 a 2, diagonais diferentes e são oblíquas)

Trapézio (possue os lados

opostos paralelos)

TRAPÉZIO RETÂNGULO (tem 2 ângulos retos)

TRAPÉZIO ISÓSCELES (2 lados iguais e não

paralelos, e diagonais iguais)

TRAPÉZIO ESCALENO (lados, ângulos e diagonais

diferentes)

Trapezóide (não possui os lados

paralelos)

(todos os ângulos diferentes)


39

Exercícios: 1. Construir um quadrado sabendo que o lado AB mede 4,5 cm .

2. Construir um quadra-do sabendo que a diagonal mede 70 mm.

3. Construir um retângulo sabendo que a base = 50 mm e a altura = 30 mm. - traçar a base AB, pela extremidade A e B levantar perpendiculares transportar a altura (AD).

4. Construir um retângulo conhecendo o lado AB = 25 mm e a diagonal AC = 60mm.


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5. Construir um retângulo sabendo que a diagonal mede 8 cm e o ângulo da diagonal com a base é de 60º.

6. Construir um losango sabendo que suas diagonais medem 40 mm e 60 mm.

7. Construir um losango sabendo que a diagonal AC mede 80 mm e o lado AB mede 50 mm.

8. Construir um paralelogramo sabendo que o lado AB mede 60 mm, o lado AC mede 40 mm e o ânguloformado por eles é A = 45º.


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9. Desenhar o trapésio isósceles MNOP conhecendo-se as bases (MN = 90 mm, OP = 50 mm) e a altura = 50 mm.

10. Desenhar o trapésio isósceles DEFG conhecendo-se as bases (DE = 50 mm, FG = 20 mm) e o ângulo adjascente à base maior D. D

11. Desenhar o trapésio ABCD conhecendo-se as bases (DE = 60 mm, FG = 30 mm) e as diagonais (DF = 60 mm, EG = 50 mm). - traçar reta suporte de DE, transportar as duas bases (maior e menor). - Em D e em G transportar as diagonais encontrando F - traçar paralela a diagonal menor passando por E - transferir medida da base menor para F encontrando G.

12. Desenhar o trapésio retângulo conhecendo-se as bases (RT = 60 mm , UV = 25 mm) e a altura = 35 mm.


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13. Construir um paralelogramo sabendo suas diagonais são AC = 6 cm , BD = 4.5 cm e um lado mede AB = 3 cm.

14. Construir um trapézio isósceles sabendo que a base maior AB mede 6,5 cm e os lados não paralelos medem 3 cm.

15. Construir um trapézio escaleno sabendo que a base maior mede 55 mm, um de seus lados AD mede 25 mm, e os ângulos A = 30º e B= 45º.

16. Construir um trapezóide sabendo os lados medem: AB = 8 cm, BC = 4 cm, AD = 5 cm e DC = 5,5 cm.


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14. CURVAS CÔNICAS São curvas determinadas pela interseção de um cone de base circular e planos. - quando o plano intercepta o cone perpendicularmente ao seu eixo a interseção será uma circunferência - quando o plano intercepta o cone paralelo à geratriz a interseção será uma parábola - quando o plano intercepta o cone paralelo ao eixo do mesmo a interseção será uma hipérbole - quando o plano intercepta o cone formando um ângulo qualquer com a geratriz ou com o eixo do cone a interseção será uma elípse.

Parábola Elipse Hipérbole


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Elípse É uma curva plana, fechada e simétrica. Eixo da elípse é a linha em relação a qual os vários pontos da curva são simétricos dois a dois. A elípse apresenta dois eixos ortogonais, um que passa pelos focos e é chamado de eixo maior e outro que é perpendicular e passa pelo centro denominado eixo menor. Raios vetores são os segmentos que ligam um ponto qualquer da curva aos focos. A soma de dois raios vetores de determinado ponto da curva é constante, e sempre igual ao eixo maior da elípse.

PF + PF´ = AA´ P – ponto qualquer da elípse F – pontos fixos do plano (focos) PF e PF´ - raios vetores AA´ - eixo maior FF´ - distância focal AA´> FF´ FF´ pertence a mesma reta que AA´, e possuem pontos médios coincidentes. A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores é a reta normal a curva. A reta tangente a curva em determinado ponto é a reta perpendicular a reta normal no mesmo ponto. Círculos principais são traçados com raio igual aos semi-eixos maior e menor da elípse e o centro da curva. Círculos diretores são traçados tendo como centro os focos da elípse e raio igual ao eixo maior.

Círculos principais

Círculos diretores

Eixo maior ( AA´)

Eixo menor (BB´)

B

F´ O A´

F A

B´

t

n


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Exercícios 1. Desenhar a elípse cujos semi-diâmetros são OA e OB. B A O

2. Desenhar a elípse cujos semi-diâmetros são OA e OB, utilizando os círculos principais. B A O


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3. Desenhar a elípse definida pelo diâmetro principal AA´ e pelo ponto P. P A A´

4. Determinar a elípse definida pelos semi-diâmetros conjugados OX e OY.

5. Traçar uma reta tangente à elípse em T.

6. Traçar uma reta tangente à elípse em um ponto situado a 15 mm do diâmetro menor.

O

X Y


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Parábola É uma curva plana, aberta infinita e de um só ramo. Cada um dos pontos da parábola equidista de um ponto fixo do plano (foco) e de uma reta fixa, situada no mesmo plano denominada diretriz (d). Eixo da parábola é a linha que contém o vértice e o foco da parábola. A diretriz é uma reta perpendicular ao eixo e passa por O. O segmento OF é chamado Parâmetro da curva onde V situa-se no ponto médio deste segmento. A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores é a reta tangente a curva. Onde:

PF = Pd

d

e

P

O

t

F V


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Exercícios: 1. Representar a parábola em que a distância do foco à diretriz é 2,5 cm. 2. Desenhar a parábola de eixo e , vértice V e que passa por P.

3. Determinar graficamente o eixo e o vértice da parábola.

4. Representar a pará-bola definida pelas tangentes t e t´ e os respectivos pontos de tangência T e T´.

T

T´

t

t´

V e

P


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Hipérbole É uma curva plana, aberta de ramos infinitos. A diferença entre as distânicas de um ponto qualquer da hipérbole a dois pontos fixos situados no mesmo plano (focos da hipérbole) é constante.

PF – PF´ = AA´ Eixo da hipérbole é a linha que contém os focos. A bissetriz do ângulo formado pelos raios vetores é a reta tangente a curva.

F´ A

F

t

A´


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Exercícios: 1. Representar a hipérbole de distância focal = 4 cm e A A`= 2,5 cm. 2. Representar a hipérbole cuja distância focal é 3 cm e a distância A A´=

2,0 cm. Determinar também a reta tangente à hipérbole em um ponto situado a 2,5 cm do eixo.


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Referências Bibliográficas:

BORGES, G. Desenho Técnico e Geometria Descritiva – Problemas e exercícios. Porto Alegre, Ed. Sagra Luzzatto, 1999.

CARVALHO, B. Desenho Geométrico, Rio de Janeiro, Ed. Ao Livro Técnico, 1982.

FRENCH, T., VIERCK, C. Desenho Técnico e Tecnologia Gráfica. São Paulo, Ed. Globo, 1999.

JANUÁRIO, A. J. Desenho Geométrico. Florianópolis, Ed. UFSC, 2000.

SPECK, H. , PEIXOTO, V. Manual Básico de Desenho Técnico. Florianópolis, Ed. UFSC, 2001.

TEIXEIRA, F.G, SILVA, R. P. Geometria Descritiva – Estudo de Superfícies. Porto Alegre, 2001.

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