DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL … · Belo Horizonte 2009 . RESUMO Este trabalho trata do desenvolvimento de uma ferramenta computacional didática voltada para a simulação

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL USANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA SIMULAÇÃO

NUMÉRICA DO PROCESSO DE CONFORMAÇÃO EM MATRIZ ABERTA

André Fioravante de Oliveira

Belo Horizonte 2009

André Fioravante de Oliveira

DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL USANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA SIMULAÇÃO

NUMÉRICA DO PROCESSO DE CONFORMAÇÃO EM MATRIZ ABERTA

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica. Orientador: Janes Landre Jr. Dr.

Belo Horizonte

2009

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

Oliveira, André Fioravante de O48d Desenvolvimento de ferramenta computacional usando o método de elementos

finitos para simulação numérica do processo de conformação em matriz aberta / André Fioravante de Oliveira. Belo Horizonte, 2011.

108f. : Il.

Orientador: Janes Landre Júnior Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. 1. Métodos de elementos finitos. 2. Conformação. 3. Plasticidade. 4. Métodos

de simulação. 5. Software. I. Landre Júnior, Janes. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica. III. Título.

CDU: 681.3.055

André Fioravante de Oliveira Dsenvolvimento de ferramenta computacional usando o método de

elementos finitos para simulação numérica do processo de conformação em matriz aberta

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Mecânica.

___________________________________________ Janes Landre Jr., Dr. (Orientador) – PUC Minas

___________________________________________ José Rubens G. Carneiro , Dr. - PUC Minas

___________________________________________ Yukio Shigaki , Dr. – CEFET

Belo Horizonte

2009

RESUMO

Este trabalho trata do desenvolvimento de uma ferramenta computacional didática voltada

para a simulação do processo de conformação mecânica em matriz aberta de materiais rígido-

plásticos, atendendo ao caso axissimétrico e estado plano de deformação. Todo o programa é

escrito na linguagem C++ e utiliza o método dos elementos finitos para a implementação do

módulo de cálculo. Um aspecto importante é a informação e domínio dos métodos de cálculo

empregados que deixam de ser "caixas pretas" e podem ser alterados através do código fonte.

Além do módulo de cálculo, também, é parte do trabalho o desenvolvimento dos módulos de

pré-processamento e pós-processamento com uma interface amigável para recursos de

desenho computacional, geração de malha e visualização dos resultados por meio de gráficos

e campos de gradientes de cores (inclusive com visualização e recursos tridimensionais). A

validação da ferramenta desenvolvida é feita por comparação dos resultados de ensaios físicos

em corpos cilíndricos com os resultados das respectivas simulações numéricas.

Palavras chaves: Elementos finitos, conformação, plasticidade, simulação numérica, material

rígido-plástico, material visco-plástico, software.

ABSTRACT

This work is concerned with the development of a didactic computational tool for simulation

of the open die mechanical forming process of rigid-plastic materials, in accordance with the

axis-symmetric and plane deformation state cases. The software is developed in C++ and

utilizes the finite element method for implementation of its calculation module. An important

aspect is the understanding of the calculation methods employed, which cease to be "black

boxes" and can be altered via the program's source code. It is also part of this work, apart

from developing the calculation module, the design of pre-processing and post-processing

modules with a user-friendly interface for creating the computational model, generating the

simulation mesh and visualizing the results by means of plots and colour gradient fields

(including three dimensional visualization resources). The validation of the tool developed is

performed by comparison of the simulation results with the results of mechanical tests carried

out on cylindrical specimens.

Key words: Finite Elements, forming, plasticity, numerical simulation, rigid-plastic material,

visco- plastic material, software.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Classificação dos processos de conformação............................................................ 14

Figura 2: Tensão em um ponto. ................................................................................................ 20

Figura 3: Estado geral de tensões ............................................................................................. 21

Figura 4: Volume de controle ................................................................................................... 28

Figura 5: Processo de trefilação e com seu respectivo volume de controle. ............................ 29

Figura 6: Malha deformada na formulação lagrangeana. ......................................................... 30

Figura 7: Domínio dividido em elementos. .............................................................................. 32

Figura 8: Mapeamento do domínio real(a) para o domínio reduzido(b) .................................. 34

Figura 9: Representação gráfica do método de Newton-Raphson. .......................................... 35

Figura 10: Fluxograma das principais etapas do trabalho ........................................................ 38

Figura 11: Tela inicial do SNDP .............................................................................................. 40

Figura 12: Algoritmo usando o método direto de iterações ..................................................... 50

Figura 13: Algoritmo usando o método de Newton-Raphson .................................................. 51

Figura 14: Algoritmo geral do procedimento de cálculo .......................................................... 52

Figura 15: Matriz de pontos de um perfil ................................................................................. 53

Figura 16: Algoritmo para desenhar um perfil ......................................................................... 53

Figura 17: Algoritmo para desenhar um sólido gerado por revolução em torno do eixo Y ..... 54

Figura 18: Translação do sistema de coordenadas ................................................................... 55

Figura 19: Rotação do sistema de coordenadas ........................................................................ 55

Figura 20: Perfil de peça com eixo de revolução ..................................................................... 56

Figura 21: Representação tridimensional da peça revolucionada ............................................ 57

Figura 22: Malha gerada considerando elementos com um ponto dentro da peça ................... 58

Figura 23: Malha gerada considerando elementos com dois pontos dentro da peça ................ 58

Figura 24: Malha gerada considerando elementos com três pontos dentro da peça ................ 59

Figura 25: Malha gerada considerando elementos com quatro pontos dentro da peça ............ 59

Figura 26: Montagem peça-ferramenta .................................................................................... 60

Figura 27: Janela para entrada das constantes do material ....................................................... 61

Figura 28: Janela para entrada de dados da simulação ............................................................. 62

Figura 29: Exemplo de distribuição de tensão usando gradiente de cores ............................... 64

Figura 30: Exemplo de representação tridimensional de peça deformada ............................... 64

Figura 31: Exemplo de gráfico gerado pelo SNDP .................................................................. 65

Figura 32: Foto dos corpos de prova ensaiados ........................................................................ 66

Figura 33: Dimensões dos corpos de prova ensaiados ............................................................. 67

Figura 34: Curva ajustada para o material ................................................................................ 69

Figura 35: Peça F0H8 conformada ........................................................................................... 70

Figura 36: Malha original e deformada para a peça F0H8 ....................................................... 70

Figura 37: Campo de tensão efetiva(MPa) para peça F0H8 ..................................................... 71

Figura 38: Campo de deformação efetiva para peça F0H8 ...................................................... 71

Figura 39: Cockcroft e Latham (MPa) para peça F0H8 ........................................................... 72

Figura 40: Modelo tridimensional deformado para peça F0H8 ............................................... 72

Figura 41: Gráfico da deformação efetiva na superfície cilíndrica para peça F0H8 ................ 73


Figura 43: Malha original e deformada para peça F4H8 .......................................................... 74


Figura 45: Campo deformação efetiva para peça F4H8 ........................................................... 75

Figura 46: CockCroft e Latham (MPa) para peça F4H8 .......................................................... 75




Figura 50: Malha original e deformada para peça F8H8 .......................................................... 77


Figura 52: Campo de deformação efetiva para peça F8H8 ...................................................... 78

Figura 53: CockCroft e Latham (MPa) para peça F8H8 .......................................................... 79



Figura 56: Peça F0H16 conformada ......................................................................................... 81

Figura 57: Malha original e deformada para peça F0H16 ........................................................ 81

Figura 58: Campo de tensão efetiva(MPa) para peça F0H16 ................................................... 81

Figura 59: Campo de deformação efetiva para peça F0H16 .................................................... 82

Figura 60: CockCroft e Latham (MPa) para peça F0H16 ........................................................ 82

Figura 61: Modelo tridimensional deformado para peça F0H16 ............................................. 83

Figura 62: Gráfico da deformação efetiva na superfície cilíndrica para peça F0H16 .............. 83





























Figura 91: Peça F8H32 conformada ....................................................................................... 100

Figura 92: Malha original e deformada para peça F8H32 ...................................................... 100

Figura 93: Campo de tensão efetiva(MPa) para peça F8H32 ................................................. 101

Figura 94: Campo de deformação efetiva para peça F8H32 .................................................. 101

Figura 95: CockCroft e Latham (MPa) para peça F8H32 ...................................................... 102

Figura 96: Modelo tridimensional deformado para peça F8H32 ........................................... 102

Figura 97: Gráfico da deformação efetiva na superfície cilíndrica para peça F8H32 ............ 103

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Pontos de amostragem para quadratura gaussiana ................................................... 37

Tabela 2: Tabela de tags para identificação dos corpos de prova. ........................................... 66

Tabela 3: Parâmetros ajustados ................................................................................................ 68

Tabela 4: Resultados para peça F0H8 ...................................................................................... 73



Tabela 7: Resultados para peça F0H16 .................................................................................... 84



Tabela 10: Resultados para peça F0H32 .................................................................................. 95

Tabela 11 : Resultados para peça F4H32 ................................................................................. 99

Tabela 12: Resultados para peça F8H32 ................................................................................ 103

Tabela 13: Tabela geral de resultados .................................................................................... 104

NOMENCLATURA

�: Matriz de taxa de deformação �: Constante �: Vetor de taxa de deformação volumétrica �: Matriz coeficiente da taxa de deformação efetiva ��: Deformação infinitesimal : Função �: Força na direção i ��: Primeiro invariante de tensão � : Segundo invariante de tensão ��: Terceiro invariante de tensão �: Matriz jacobiana ��: Primeiro invariante de tensão desviadora � : Segundo invariante de tensão desviadora ��: Terceiro invariante de tensão desviadora �: Constante de penalização �: Coeficiente de atrito ��: Função de interpolação ��: Matriz de funções de interpolação �: Matriz de taxa de deformação efetiva ��: Elemento da matriz de taxa de deformação ��: Pressão hidrostática ��: Função de inerpolação �: Tensão principal �: Tempo � !: Tensão �": Temperatura de fusão �#: Temperatura de trabalho $: Velocidade na direção x $�: Velocidade na direção i $%: Velocidade relativa

$&: Velocidade de referência '�: Deslocamento nodal '��: Deslocamento nodal na direção j (: Velocidade na direção y ): Vetor de velocidades nodais *: Velocidade na direção z *�: Pesos de integração +, : Taxa de trabalho plástico -: Coordenada espacial -�: Elemento da matriz de taxa de deformação .: Coordenada espacial .�: Elemento da matriz de taxa de deformação /: Coordenada espacial Δ1: Área Δ!: Força Δ2: Correção de x 3��: Kronecker delta �4: Deformação efetiva �4,: Taxa de deformação efetiva �4,&: Limite de deformação efetiva ��: Deformação �,��: Taxa de deformação 5: Coordenada normalizada 6: Coeficiente de proporção 6,: Coeficiente de proporção 7: Coordenada normalizada 89: Tensão média 8:: Tensão efetiva 8��: Tensão 8;��: Tensão desviadora <: Tensão de cisalhamento Ψ: Funcional

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 11 1.1 Motivação .......................................................................................................................... 11

1.2 Objetivo geral .................................................................................................................... 11

1.3 Objetivos específicos ......................................................................................................... 12

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .......................................................................................... 13 2.1 Descrição geral dos processos de conformação mecânica ............................................. 13

2.2 Modelagem numérica dos processos de conformação ................................................... 16

2.1 Generalidades sobre o estudo da conformação mecânica ............................................. 16

2.2 Deformação no regime elástico ........................................................................................ 17 2.3 Deformação no regime plástico ....................................................................................... 17 2.4 Descrição da deformação de um corpo contínuo ........................................................... 17 2.5 Deformação em um ponto ................................................................................................ 18 2.6 Tensão em um ponto ........................................................................................................ 19 2.7 Tensões principais ............................................................................................................ 21

2.8 Tensões desviadoras ......................................................................................................... 22

2.9 Critério de escoamento ..................................................................................................... 23 2.10 Equações constitutivas ................................................................................................... 24 2.10.1 Relação tensão-deformação no regime elástico .......................................................... 24 2.10.2 Relação tensão-deformação no regime plástico .......................................................... 25 2.10.3 Tensão de escoamento para material rígido-plástico .................................................. 26 2.11 Critério de dano de Cockcroft e Latham...................................................................... 27 2.12 Equilíbrio em problemas não lineares .......................................................................... 27 2.12.1 Formulação Euleriana ................................................................................................. 28 2.12.2 Formulação Lagrangeana ........................................................................................... 29 2.12.3 Base para formulação por elementos finitos ............................................................... 30 2.12.4 Descrição geral da aplicação do método de elementos finitos .................................... 31

2.12.5 Escolha dos elementos .................................................................................................. 33 2.13 Solução de sistema de equações não lineares ............................................................... 34 2.13.1 Método de Newton-Raphson ........................................................................................ 34 2.14 Integração numérica....................................................................................................... 36 2.14.1 Quadratura Gaussiana ................................................................................................. 36 2.14.2 Regra 1/3 de Simpson ................................................................................................... 37

3. METODOLOGIA ............................................................................................................... 38 3.1 Desenvolvimento do SNDP – Etapa I .............................................................................. 39 3.1.1 Descrição geral ............................................................................................................... 39

3.1.2 Módulo de Cálculo .......................................................................................................... 41

3.1.2.1 Tratamento do atrito com a ferramenta .................................................................. 41 3.1.2.2 Tratamento de regiões rígidas ................................................................................... 42 3.1.2.3 Elemento retangular linear isoparamétrico ............................................................. 42 3.1.2.4 Matriz de taxa de deformação do elemento ............................................................. 44 3.1.2.5 Matrizes de taxa de deformação efetiva e taxa de deformação volumétrica do elemento ................................................................................................................................... 46

3.1.2.6 Matriz de Rigidez e vetor de forças residuais .......................................................... 47 3.1.2.7 Algoritmos principais implementados na solução ................................................... 49 3.1.3 Pré-processamento .......................................................................................................... 52

3.1.3.1 Desenvolvimento de ferramenta computacional para desenho .............................. 53

3.1.3.1.1 Como desenhar um perfil fechado ............................................................................. 53 3.1.3.1.2 Como desenhar um sólido gerado pela revolução de um perfil em torno do eixo Y 54

3.1.3.1.3 Como movimentar o desenho na área gráfica ........................................................... 55 3.1.3.1.4 Como rotacionar o desenho na área gráfica .............................................................. 55 3.1.3.1.5 Aplicando escala ........................................................................................................ 55

3.1.3.2 Geometrias da peça e da ferramenta ........................................................................ 56 3.1.3.3 Geração de malha da peça ......................................................................................... 57 3.1.3.4 Fazendo e Visualizando a montagem peça-ferramenta .......................................... 60

3.1.3.5 Dados do material ....................................................................................................... 60

3.1.3.6 Entrada de dados da simulação ................................................................................. 61 3.1.3.7 Condições de contorno ............................................................................................... 62 3.1.4 Módulo de Pós-processamento ....................................................................................... 63 3.1 Ensaios Físicos - Etapa II ................................................................................................. 65 3.2 Ensaios Numéricos – Etapa III ........................................................................................ 68 3.3 Comparar resultados – Etapa IV .................................................................................... 69

4. RESULTADOS ................................................................................................................... 70

4.1 Peça F0H8 .......................................................................................................................... 70

4.2 Peça F4H8 .......................................................................................................................... 74

4.3 Peça F8H8 .......................................................................................................................... 77

4.4 Peça F0H16 ........................................................................................................................ 81

4.5 Peça F4H16 ........................................................................................................................ 84

4.6 Peça F8H16 ........................................................................................................................ 88

4.7 Peça F0H32 ........................................................................................................................ 92

4.8 Peça F4H32 ........................................................................................................................ 96

4.9 Peça F8H32 ...................................................................................................................... 100

4.10 Resumo geral dos resultados ....................................................................................... 104

5. CONCLUSÃO ................................................................................................................... 105

REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 106

11

1. INTRODUÇÃO

O presente trabalho apresenta a implementação de uma ferramenta numérica usando-

se o método de elementos finitos para modelagem do processo de conformação mecânica em

matriz aberta de materiais rígido-plástico considerando o caso axissimétrico e estado plano de

deformação.

1.1 Motivação

A aplicação da engenharia auxiliada por computador (CAE) na indústria de

conformação de metais contribui de forma significativa na redução de custos e principalmente

na redução de tempo para lançamento de novos produtos, o que está tornando sua aplicação

cada vez mais essencial.

No mercado há vários softwares comerciais que utilizam o método de elementos

finitos para modelagem de processos de conformação. Esses softwares são usados não

somente pelas indústrias, mas também pelos acadêmicos no desenvolvimento de pesquisas

diversas. Em geral, os softwares comerciais são sofisticados e apresentam uma interface

amigável, porém possuem alto custo e código fonte inacessível.

A implementação de um software acadêmico com o código fonte acessível é

interessante, pois abre um leque de possibilidades de pesquisas acadêmicas, principalmente no

que tange a implementação de novas formulações.

1.2 Objetivo geral

Desenvolver modelos matemáticos e implementar numericamente um código para

avaliação do comportamento plástico, fluxo do material e análise de dano em corpos de prova

cilíndricos de alumínio comercial.

12

1.3 Objetivos específicos

a) Desenvolvimento matemático e implementação de ferramenta de desenho

computacional.

b) Avaliar os níveis de tensão e deformação efetiva e comportamento de corpos de prova

cilíndricos de mesmo diâmetro externo, porém com diâmetros internos e alturas

diferentes.

c) Estudo e implementação do critério de Cockcroft e Latham

d) Implementação de ferramenta para visualização dos resultados das simulações

numéricas.

13

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 Descrição geral dos processos de conformação mecânica

Vários são os processos para conformar metais. A classificação apresentada por Dieter

(1984), eles são divididos nas seguintes categorias:

a) compressão direta;

b) compressão indireta;

c) tração;

d) dobramento;

e) cisalhamento.

Os processos de compressão direta, tais como forjamento e laminação [Figura 1(a) e

Figura 1(b), respectivamente], caracterizam-se pela aplicação da força em uma das superfícies

da peça, com o metal se alongando na direção perpendicular ao sentido da força.

Nos processos de compressão indireta, [Figura 1(c), Figura 1(d) e Figura 1(e),

trefilação de fios e tubos, extrusão e embutimento, respectivamente], a força direta é

freqüentemente trativa, mas as tensões compressivas desenvolvidas pela relação matriz-peça

atingem elevados valores. Os processos de tração, dobramento e cisalhamento estão ilustrados

nas Figura 1(f), Figura 1(g) e Figura 1(h), respectivamente.

14

Figura 1: Classificação dos processos de conformação

Fonte: NETA, 2004

Os processos apresentados na Figura 1 fundamentam-se na deformação plástica, onde

se obtém a forma final sem alterar o volume e a massa do metal, o que não ocorre na

usinagem, onde parte do material é retirada para que se obtenha a forma desejada.

Sob o ponto de vista da deformação plástica, os processos de conformação podem ser

classificados ainda em primário e secundário. A redução lingotes a um produto laminado de

forma simples, não acabado, é considerada um processo primário. Já os processos que têm por

objetivo atingir a forma final do produto são considerados secundários (DIETER, 1984).

15

Um outro tipo de classificação dos processos de conformação baseia-se na temperatura

de trabalho. Estes podem ser classificados basicamente em trabalho a frio, a morno e a quente.

Essa classificação é feita pela relação entre a temperatura de processamento (TP) do metal e a

sua temperatura de início de fusão (TF), ambas em Kelvin (K) (DIETER, 1984).

É considerado trabalho a frio quando o processo é executado com o material a uma TP

≤ 0,3 TF. O trabalho a morno dá-se quando a razão estiver 0,3T

F < T

P < 0,4T

F. Por fim, é

considerado a quente o processo que é executado com TP ≥ 0,4T

F.

Os efeitos da temperatura de trabalho foram alvo de pesquisas, que resultaram em um

apanhado de vantagens e desvantagens (OKAMOTO, 1973), tais como:

a) O trabalho a quente permite o emprego de um menor esforço mecânico;

conseqüentemente, para uma mesma quantidade de deformação, as máquinas

empregadas possuem menor capacidade que as empregadas no trabalho a frio;

b) Ocorrem alterações das propriedades mecânicas dos materiais em todos os processos,

sendo que a estrutura do metal é refinada pelo trabalho a quente, melhorando sua

tenacidade;

c) O trabalho a quente exige que o ferramental seja de material com boa resistência ao

amolecimento pelo calor e à oxidação, onerando o custo;

d) O trabalho a quente não permite obtenção de dimensões dentro de estreitas tolerâncias,

enquanto que o trabalho a frio produz melhor acabamento superficial.

e) No processamento a frio, ocorre o fenômeno do encruamento, ou seja, aumento da

resistência com redução da ductilidade do metal. O encruamento provoca um aumento

da densidade de defeitos na estrutura cristalina do metal, podendo introduzir também

anisotropia de propriedades.

16

2.2 Modelagem numérica dos processos de conformação

A aplicação do método de elementos finitos nos problemas de conformação começou

como uma extensão da técnica de análise estrutura no regime de deformação plástica. Vários

métodos de aproximação foram desenvolvidos e aplicados a processos de conformação. Os

mais conhecidos são: o método da deformação homogênea, o método dos blocos, o método de

campo de linhas de escorregamento, os métodos do limite superior e inferior e o método geral

de Hill.

Esses métodos são úteis na predição da força de carregamento, mudanças de geometria

e modos de fluxo do material, contudo, uma determinação mais acurada dos efeitos de vários

parâmetros do processo se tornou possível com o método de elementos finitos

(KOBAYASHI, 1989).

Por exemplo, a simulação de estampagem de chapas permite avaliar as regiões da peças

que poderão sofrer trincas, enrugamento, redução de espessura e retorno elástico, propondo

medidas corretivas das ferramentas antes de sua fabricação e sugerir ajustes do processo, tais

como a utilização de lubrificantes e pressão de trabalho no prensa-chapas (REIS, 2004).

2.1 Generalidades sobre o estudo da conformação mecânica

A conformação mecânica tem sido tradicionalmente estudada sob a óptica do

equipamento ou do ponto de vista do material. Neste trabalho será dado ênfase ao segundo

aspecto.

No estudo da deformação do metal, pode ser considerado o seu comportamento

elástico ou priorizar o seu comportamento plástico. Na conformação mecânica interessa o

estudo da deformação plástica, este estudo pode ser feito de dois modos (Helman, 1980):

Física dos sólidos: estudando o comportamento da estrutura cristalina do metal durante

a deformação plástica.

Mecânica do contínuo: supondo que o material é contínuo, medindo propriedades, sem

investigar os mecanismos da deformação.

A primeira abordagem consegue explicar muitos fenômenos, mas é essencialmente

qualitativa. A segunda abordagem possibilita efetuar avaliações quantitativas das relações

17

solitação-resposta e terá seus fundamentos expostos nesse trabalho. No entanto, quando

necessário, devem-se utilizar as ferramentas fornecidas por ambos os campos de

conhecimento.

2.2 Deformação no regime elástico

Quando se carrega um corpo no regime elástico o mesmo sofre deformações que

desaparecem após a retirada da carga. O desaparecimento destas deformações pode ser

imediato ou pode depender do tempo após a descarga, neste caso o material é dito

viscoelástico (HELMAN, 1980).

2.3 Deformação no regime plástico

Experimentalmente, observa-se que, quando se carrega um material além de certo

limite, o mesmo não recupera suas dimensões iniciais após o descarregamento. Diz-se então

que o material sofreu uma deformação permanente ou plástica. Além disso, a tensão

necessária para continuar a deformação plástica é normalmente aumentada por esta

deformação. A descrição matemática do comportamento de um material na região plástica é

bem mais complexa do que no caso do regime elástico (Helman, 1980).

Enquanto que no regime elástico a deformação final depende somente do estado final

de tensões, o mesmo não ocorre na deformação plástica, onde o estado final de deformação

depende do estado final de tensões, do programa de cargas seguidos para se chegar a esse

estado e da história do material até o início do carregamento sob análise (Helman, 1980).

2.4 Descrição da deformação de um corpo contínuo

A descrição da deformação de um corpo contínuo pode ser feita basicamente de duas

maneiras (KOBAYASHI, 1989):

18

a) Descrição referencial: As variáveis independentes são as coordenadas da posição de uma

partícula numa configuração escolhida como de referência e o tempo t. (Se a configuração de

referência é escolhida como a inicial, indeformada, a descrição é dita Lagrangeana). A

descrição referencial é por vezes também chamada de descrição material, pois as variáveis

independentes estão relacionadas às partículas materiais.

b) Descrição espacial: As variáveis independentes são as coordenadas da posição instantânea

de uma partícula e o tempo t. Fixa a atenção numa dada região do espaço em lugar da posição

do corpo. É também denominada de descrição Euleriana.

2.5 Deformação em um ponto

Quando a posição relativa de quaisquer dois pontos em um corpo contínuo é alterada é

dito que o corpo está se deformando. Se a distância entre pois pontos permanece constante

durante o movimento, é dito que houve um deslocamento de corpo rígido. Os deslocamentos

de corpo rígido consistem de translações e rotações. Na conformação se está interessado em

estudar as deformações dos corpos. Na especificação da deformação em um ponto pode-se

considerar deformações infinitesimais (deformações e suas derivadas são pequenas) ou

deformações finitas (grandes deformações). As especificações de deformação em um ponto

são as mesmas tanto para o regime plástico quanto para o regime elástico (MENDELSON,

1968).

Para a análise dos processos de conformação, a formulação de fluxo é baseada na

teoria da deformação infinitesimal, enquanto a formulação sólida considera a deformação

finita KOBAYASHI, 1989). Como nesse trabalho é utilizada a formulação de fluxo, será

apresentada a definição de deformação infinitesimal.

Quando a deformação é infinitesimal os produtos de derivadas dos deslocamentos

podem ser desprezados de modo que não há distinção entre as definições de deformação

infinitesimal para as formas lagrangeana ou euleriana (KOBAYASHI, 1989).

Considerando um ponto do material com coordenadas em relação a um sistema fixo

dadas pelas funções X,Y,Z, o tensor de deformação infinitesimal nesse ponto é simétrico e

dado pela equação 1 (MENDELSON, 1968).

19

> ?@ ?@A ?@B?A@ ?A ?AB?B@ ?BA ?B C DEFFFG HIH@ JK LHIHA M HNH@O JK LHIHB M HPH@OJK LHIHA M HNH@O HNHA JK LHNHB M HPHAOJK LHIHB M HPH@O JK LHNHB M HPHAO HPHB QR

RRS (1)

Ou, em termos de taxas de deformação:

T ?, @ ?, @A ?, @B?, A@ ?, A ?, AB?, B@ ?, BA ?, B U DEFFFG HVH@ JK LHVHA M HWH@O JK LHVHB M HXH@OJK LHVHA M HWH@O HWHA JK LHWHB M HXHAOJK LHVHB M HXH@O JK LHWHB M HXHAO HXHB QR

RRS (2)

Sendo u,v,w as componentes de velocidades nas direções de X,Y,Z respectivamente. A

equação 2 pode ser escrita na notação indicial:

?, YZ D JK [VY,Z M VZ,Y] (3)

Com i,j=1,2,3 ou x,y,z.

2.6 Tensão em um ponto

Tem se na Figura 2 um corpo contínuo submetido a várias forças externas e em

equilíbrio, pode-se cortar o corpo por um plano passando por um ponto e isolando-se uma de

suas partes que, para permanecer em equilíbrio, deve-se aplicar forças convenientes em cada

ponto da seção cortada. Considerando uma pequena área ∆1 em torno de um ponto, a tensão

normal será dada por (MENDELSON, 1968):

_ ̀ D abc∆def ∆g ̀∆d (4)

20

Figura 2: Tensão em um ponto.

Fonte: MENDELSON, 1968

A tensão assim definida deve ser é normal ao plano de corte, na prática a tensão � ̀ é

decomposta em sua componente normal e paralela a um plano de referência. A componente

normal é chamada de tensão normal e a componente paralela é chamada de tensão de

cisalhamento. Para se especificar completamente as tensões em um ponto, é necessário

especificar as tensões em três planos mutuamente perpendiculares passando pelo ponto, como

mostrado na Figura 3, sendo então o tensor de tensões simétrico conforme equação 5

(MENDELSON, 1968).

hYZ D >hJJ hJK hJihKJ hKK hKihiJ hiK hiiC D > h@ j@A j@BjA@ hA jABjB@ jBA hB C (5)

21

Figura 3: Estado geral de tensões

Fonte: MENDELSON 1968

Se não existem forças de corpo, as equações de equilíbrio são:

HhYZH@Y D f (6)

2.7 Tensões principais

Conhecendo-se o tensor de tensões em um ponto pode-se determinar as tensões

atuantes em qualquer outro plano. É possível se escolher três planos mutuamente

perpendiculares onde apenas haja tensões normais. Essas tensões são chamadas de tensões

principais e podem ser obtidas pela solução do problema de autovalor mostrado na equação 7

(MENDELSON, 1968).

[hYZ k mYZn] D f (7)

Onde 3�� é o tensor de Kronecker delta definido por:

22

mYZ D of pqrq Y s ZJ pqrq Y D Zt (8)

A solução do problema pode ser obtida encontrando as raízes da equação

característica: ni k uJnK k uKn k ui D f (9)

Onde ��, � e �� são os invariantes de tensão dados por:

uJ D h@ M hA M hB (10)

uK D j@AK M jABK M j@BK k �h@hA M hAhB M hBh@� (11)

ui D h@hAhB M Kj@AjABjB@ k [ h@jABK M hAjB@K M hBj@AK ] (12)

2.8 Tensões desviadoras

Na plasticidade é conveniente dividir o tensor de tensões em duas partes, uma

chamada de tensões hidrostáticas e outra chamada de tensões desviadoras (MENDELSON,

1968).

O tensor de tensões hidrostáticas é:

pYZ D mYZhv D >hv f ff hv ff f hvC (13)

Onde:

hv D h@w hAwhBi (14)

E o tensor de tensões desviadoras é:

23

h;YZ D hYZ k mYZhv D Th;JJ h;JK h;Jih;KJ h;KK h;Kih;iJ h;iK h;iiU D >h@ k hv j@A j@BjA@ hA k hv jABjB@ jBA hB k hvC (15)

O tensor de tensões desviadoras também possui seus invariantes que são:

xJ D f (16)

xK D k�hyJJhyKK M hyKKhyii M hyiihyJJ� D JK [h;JJK M h;KKK M h;iiK ] (17)

xi D h;JJh;KKh;ii (18)

2.9 Critério de escoamento

O critério de escoamento é uma regra que marca o limite da deformação elástica e

início da deformação plástica sob qualquer possibilidade de carregamento. De forma geral é

expresso por (KOBAYASHI, 1989):

z�hYZ� D { �|}~��q~�� (19)

Para materiais isotrópicos, o critério de escoamento depende somente da magnitude

das tensões principais e não de suas direções, então o critério de escoamento pode ser

expresso por (KOBAYASHI, 1989):

z�uJ, uK, ui� D { (20)

Experimentalmente verifica-se que o escoamento do material é, em uma primeira

aproximação, não sensível a tensões hidrostáticas moderadas, de modo que o escoamento

depende somente das tensões principais do tensor de tensões desviadoras (KOBAYASHI,

1989). O critério de escoamento então se reduz a:

z�xK, xi� D { (21)

24

Existem vários critérios de escoamento, o critério proposto por Heuber (1904), por

Von Mises (1913), e por J. C. Maxwell (1856) é tradicionalmente conhecido por critério de

Von Mises ou critério da máxima energia de distorção. Esse critério considera que o

escoamento ocorre quando segundo invariante das tensões desviadoras atinge um valor crítico

(KOBAYASHI, 1989). Ele pode ser escrito da forma:

xK D JK [h;JJK M h;KKK M h;iiK ] D JK h;YZh;YZ D { (22)

2.10 Equações constitutivas

Diferentes materiais se comportam diferentemente sob o mesmo carregamento

externo. Para descrever o comportamento surge a necessidade de uma conexão entre as

deformações e as tensões em um meio. Essas relações são chamadas de equações

constitutivas. O ensaio de tração uniaxial é um dos testes mais simples para se estudar o

comportamento dos esforços e tensões no material durante a conformação do material.

2.10.1 Relação tensão-deformação no regime elástico

Para um material no regime elástico que obedece a lei de Hooke, temos que o tensor

de tensão é linearmente proporcional ao tensor deformação (MENDELSON, 1968):

hYZ D {YZ��?�� (23)

onde C é o tensor de constantes elásticas, que genericamente possui 81 elementos.

25

2.10.2 Relação tensão-deformação no regime plástico

Na deformação plástica a relação entre as deformações e tensões é derivada do

conceito de potencial plástico. A relação entre os incrementos de deformações plástica e as

tensões desviadoras é dado por (KOBAYASHI, 1989):

�?YZ D � H�HhYZ �z }V ?, YZ D � H�HhYZ z, (24)

Onde h e g são funções escalares dos invariantes das tensões desviadoras e f é a função

de critério de escoamento. Considerando g=f obtém-se:

�?YZ D HzHhYZ �� }V ?, YZ D HzHhYZ �, (25)

Com �6 ou 6, sendo uma constante de proporcionalidade positiva. Para o critério de

Von Mises a equação 25 se torna:

?, YZ D h;YZ�, (26)

Para se estabelecer o valor de 6, se define o incremento de trabalho plástico por

unidade de volume no processo de deformação como:

�, D hYZ?, YZ D h�?:, (27)

Onde tensão efetiva (8:� e a taxa de deformação efetiva (�4,) são expressas por

(KOBAYASHI, 1989):

h� D �iK h;YZh;YZ (28)

?:, D �Ki ?:, YZ?:, YZ (29)

26

Combinado as equações 27, 26 e 25 pode-se expressar 6, por:

�, D Ki ?:,h� (30)

Finalmente chega-se ás equações constitutivas para o regime plástico (também

conhecidas como equações de Levy-Mises):

?, YZ D Ki ?:,h� h;YZ (31)

2.10.3 Tensão de escoamento para material rígido-plástico

Uma descrição completa da tensão de escoamento de um metal deve-se levar em conta

a temperatura, a deformação total, a taxa de deformação e a estrutura cristalina, ou seja:

h� D z�_, ?:, ?:, , n� (32)

Quando o trabalho é feito a quente a influência da deformação total se torna

insignificante e a influência da taxa de deformação se torna importante. O contrário acontece

quando o trabalho é feito a frio, o efeito da taxa de deformação sobre a tensão de escoamento

é desconsiderado e a deformação total se torna mais importante, de modo que para trabalhos a

frio é pode-se considerar a tensão de escoamento como sendo função apenas da deformação

efetiva total (KOBAYASHI, 1989).

Outra simplificação que é feita para o material rígido-plástico é que considera-se que o

mesmo se deforma apenas plasticamente, em outras palavras, a deformação elástica é

desconsiderada de modo que a tensão do material é constante para deformações menores que

um valor (KOBAYASHI, 1989).

27

2.11 Critério de dano de Cockcroft e Latham

Com a necessidade de prever a fratura dúctil, têm sido desenvolvidos muitos critérios

para a predição do seu início, que visam fundamentalmente relacionar a ocorrência da fratura

com uma condição fenomenológica específica ou ainda a um valor crítico de uma grandeza. A

partir desta relação, torna-se possível prever a fratura por uma simples comparação da

situação em estudo com a situação proposta pelo critério (NETA, 2004).

Conscientes de que as tensões de tração representam o principal elemento para a

ocorrência da fratura, Cockcroft e Latham sugeriram um novo critério de fratura, que baseia

no valor crítico da energia de tração, por unidade de volume (NETA, 2004):

� hJ �?: D { (33)

2.12 Equilíbrio em problemas não lineares

A idéia básica empregada na solução das equações de equilíbrio não-lineares, consiste

em dividir esta solução em várias etapas lineares através de processos ditos de linearização

das equações do problema. Logo, a metodologia de solução dos problemas não lineares é, em

linhas gerais, a mesma empregada em problemas lineares, só que aplicada repetidas vezes.

Portanto, assim como em situações lineares, o conjunto de equações diferenciais que

caracterizam o equilíbrio são substituídas por equações integrais através da aplicação do

Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV). O PTV pode ser formulado de diferentes maneiras,

dependendo da configuração ao qual se refere as variáveis do problema.

Basicamente as formulações podem ser agrupadas em dois tipos: aquelas definidas em

termos da configuração indeformada e aquelas definidas em termos da configuração

deformada. As formulações baseadas nas primeiras são denominadas lagrangeanas enquanto

que as baseadas na segunda são denominadas eulerianas.

A solução destas equações, assim como nos casos lineares, são usualmente obtidas de

forma seccional, através da divisão do domínio físico em subdomínios (por exemplo

elementos finitos), facilitando o uso de técnicas numéricas de solução.

28

2.12.1 Formulação Euleriana

Neste caso, um volume é fixado no espaço, sendo que as integrais que aparecem no

PTV, são avaliadas neste volume e sua correspondente superfície, que não necessariamente

coincidem com os correspondentes do corpo em estudo. (Este volume é usualmente

denominado volume de controle). A dificuldade óbvia neste caso é estabelecer de forma

correta a superfície do corpo pois, mesmo que inicialmente haja coincidência dos contornos

dos elementos com o do corpo, não existe garantia desta coincidência quando o corpo se

deforma, pois o volume de controle fica sempre fixo no espaço, independente do movimento

da matéria (ver figura 4). Idêntico raciocínio aplica-se às condições de contorno (apoios,

cargas aplicadas, etc), pois as mesmas estão ligadas a matéria. Portanto, a coincidência inicial

da superfície de controle com o contorno do corpo, não fica garantida posteriormente com a

deformação do corpo (OWEN, 2002).

Figura 4: Volume de controle

Fonte: OWEN, 2002

Este tipo de formulação é adequada para estudos onde existe fluxo de matéria dentro

de um certo domínio. Isto ocorre, por exemplo, em mecânica dos fluidos e em certos casos de

conformação mecânica tais como trefilação, laminação e outros, após atingido um regime

estacionário (ver figura 5).

29

Figura 5: Processo de trefilação e com seu respectivo volume de controle.

Fonte: OWEN, 2002

Nestes casos fica claro a grande vantagem das formulações eulerianas, que advém

justamente do fato do volume de controle estar fixo no espaço e não depender do movimento

da matéria. Portanto, apesar da distorção que a matéria sofre, o volume mantém- se uniforme.

A importância deste fato fica mais clara quando for introduzida uma malha de elementos

finitos. Se, no caso acima, a malha estiver colada a matéria, uma forte distorção da mesma

ocorrerá, devido ao fluxo da matéria, inviabilizando a análise. Se no entanto a malha

mantiver-se fixa, de modo que a matéria possa fluir através da malha, esta distorção não mais

ocorrerá (OWEN, 2002).

2.12.2 Formulação Lagrangeana

Esta é a formulação mais natural empregada em mecânica dos sólidos. Neste caso as

coordenadas ou variáveis do problema estão “coladas” à matéria. Portanto nenhuma

dificuldade surge na definição do contorno do corpo ou na aplicação de condições de

contorno quando o corpo deforma-se (ver figura 6). Se pensarmos em termos de malha de

30

elementos finitos, não há movimento relativo entre malha e matéria, sendo a derivada com

relação a variáveis ligadas a malha idênticas à derivada material (OWEN, 2002).

Figura 6: Malha deformada na formulação lagrangeana.

Fonte: OWEN, 2002

A desvantagem desta formulação surge quando se tem grandes deformações da

matéria. Como a malha está ligada à matéria a primeira também sofrerá grandes distorções, o

que eventualmente poderá inviabilizar os cálculos de elementos finitos.

Nas formulações lagrangeanas uma configuração do corpo é tomada como de

referência, sendo as variáveis do problema referidas à mesma. Dois tipos de formulação são

possíveis:

a- Formulação Lagrangeana Total (LT): A configuração de referência é a configuração inicial

do corpo.

b- Formulação Lagrangeana Atualizada (LA): A configuração de referência é a última

configuração conhecida do corpo.

2.12.3 Base para formulação por elementos finitos

Há quatro meios para se gerar as equações básicas para o método de elementos finitos:

método direto, método variacional, método dos resíduos ponderados e método do balanço de

energia.

31

O método variacional é baseado em um dos dois princípios variacionais que afirma

que de todos os campos admissíveis de velocidades u que satisfaçam as condições de

compatibilidade, incompressibilidade e as condições de contorno, o que torna o funcional

seguinte estacionário será a solução (KOBAYASHI, 1989).

Ψ D � 8:�4,� �� k � �$�� (34)

Onde 8: é a tensão efetiva, �4, é a taxa de deformação efetiva, � representa as trações

na superfície. A solução do problema é obtida fazendo a primeira variação do funcional igual

a zero.

δΨ D � 8:3�4,� �� k � �3$�� D 0 (35)

Sendo 8: D 8:��4� para materiais rígido-pláticos e 8: D 8:��4, � 4,� para materiais rígido-

viscoplásticos.

A condição de incompressibilidade foi feita pela introdução de uma constante de

penalização que força a deformação volumétrica a ser próxima de zero como (KOBAYASHI,

1989):

δΨ D � 8:3�4,� �� M � � �,�3�,�� k � �3$�� D 0 (36)

Onde K é a constante de penalização com grande valor positivo.

2.12.4 Descrição geral da aplicação do método de elementos finitos

No método dos elementos finitos o corpo ou o domínio de interesse é dividido em

subdomínios, denominados elementos finitos, conforme se vê na figura 7.

32

Figura 7: Domínio dividido em elementos.

Fonte: LIU, 2003

Estes elementos são assumidos estarem interconectados através de nós situados no seu

contorno, sendo o deslocamento destes nós a incógnita básica do problema. Um conjunto de

funções (usualmente denominadas funções de interpolação) estabelecem uma relação única

entre os deslocamentos no interior de cada elemento e seus deslocamentos nodais, conforme a

expressão abaixo (LIU, 2003):

'� D � ��'��9.�ó%��

(37)

onde �Y�Z� representa o deslocamento do nó j na direção i. A partir do campo de deslocamentos �Y, deformações são calculadas e, finalmente, as tensões são obtidas.

O método consiste em aplicar o princípio dos trabalhos virtuais, para a configuração

deformada ou para a configuração indeformada do corpo (dependendo da formulação

empregada), para cada elemento finito. O método convergirá à solução do problema desde

que a soma das integrais sobre cada elemento forneça o valor da integral sobre o corpo inteiro.

Isso será válido desde que haja continuidade dos deslocamentos entre os elementos. Sendo as

deformações calculadas como a derivada primeira dos deslocamentos, os mesmos deverão ser

contínuos para que não ocorram valores de deformações infinitos na interface elementar. Se

as funções de interpolação do elemento finito cumprem a continuidade dos deslocamentos

nodais, então estes elementos são denominados conformes. Se as funções de interpolação são

ainda polinômios completos, os elementos são também denominados completos. A

33

conformidade e a completeza representam propriedades básicas que as funções de

interpolação dos elementos finitos devem possuir para a convergência do método dos

elementos finitos (LIU, 2003).

2.12.5 Escolha dos elementos

É necessária a escolha do tipo de elemento finito mais adequado aos problemas não-

lineares. Ao contrário do que ocorre em elasticidade linear, elementos com funções de

interpolação de mais baixa ordem (lineares) apresentam melhor comportamento em análise

não-linear. Elementos de mais alta ordem são em geral muito sensíveis a deformação

tornando instável a solução numérica (OWEN, 2002).

Para facilitar a geração dos domínios, em geral emprega-se elementos do tipo

isoparamétricos, onde as funções empregadas para interpolar deslocamentos são também

empregadas para interpolar a geometria do elemento conforme equações 38 e 39 (LIU, 2003).

'� D � ��7, 5��'��9.�ó%��

(38)

-� D � ��7, 5��-��9.�ó%��

(39)

onde -�� são as coordenadas do nó j do elemento e -� é uma posição no interior do elemento,

definida pelas coordenadas 7, 5 de um domínio chamado reduzido ou computacional (ver

figura 8), que variam de -1 a +1. Portanto as equações 38 e 39 podem ser interpretadas como

um mapeamento do domínio reduzido para o domínio real, conforme indica

esquematicamente a figura 8.

34

Figura 8: Mapeamento do domínio real(a) para o domínio reduzido(b)

Fonte: LIU, 2003

Uma das vantagens do emprego destes elementos está na possibilidade de realizar-se a

integração sobre o domínio reduzido, que sempre tem a forma quadrada, variando de -1 a +1

nos eixos 7, 5. A integração neste espaço pode facilmente ser realizada numericamente através

da quadratura de Gauss.

2.13 Solução de sistema de equações não lineares

A aplicação do método dos elementos finitos aos problemas de deformação plástica

conduzirá a sistemas de equações não lineares. Existem vários métodos de solução para tais

sistemas, dos quais o método de Newton-Raphson será apresentado a seguir.

2.13.1 Método de Newton-Raphson

Para que se entenda melhor o método de Newton-Raphson, este será aplicado

inicialmente a uma função unidimensional (uma única variável). Seja f(x) a função não-linear

cuja raiz deseja-se obter.

35

Figura 9: Representação gráfica do método de Newton-Raphson.

Fonte: HOFFMAN, 1992

A idéia básica do método é linearizar f(x) e procurar a solução sobre esta função

linearizada. Para que o método convirja à solução real ou física do problema é necessário que

se tenha uma estimativa inicial da solução (2&), próxima desta solução. Isto evita que o

método convirja a uma solução indesejada (não física) já que, nos casos não-lineares, a

solução do problema deixa de ser única. A linearização é obtida fazendo um desenvolvimento

em série de Taylor da função em torno de �2&�, truncando-se os termos de mais alta ordem

(HOFFMAN, 1992). Logo:

�2�� D �2&� M �2� k 2&� t�� M (40)

Fazendo Δ2 D 2� k 2& e considerando que 2� é a raiz [�2�� D 0]:

Δ2 t�� M �2&� D 0 (41)

O incremento Δ2 é a correção da estimativa, uma estimativa mais próxima da solução

pode então ser calculada como repetindo-se o processo de linearização com a estimativa

corrigida pela iteração anterior e assim por diante até que f(x) seja tão próxima de zero quanto

se queira.

Como o intuito é a solução de problemas não lineares gerais, o que inclui problemas

de grandes deformações, esta estimativa inicial necessária da solução ou da configuração

36

equilibrada final torna-se muito difícil. Isto pode ser resolvido dividindo se o problema em

várias etapas ou passos, por exemplo, dividindo os carregamentos que agem na estrutura.

Assim, se o passo de carga for muito pequeno, teremos uma configuração equilibrada num

determinado passo de tempo muito semelhante ao do passo anterior. Como esta configuração

equilibrada do passo anterior já é conhecida, a mesma pode ser empregada como estimativa

da solução para o passo atual, resolvendo esta questão. Este tipo de formulação é denominado

incremental (KOBAYASHI, 1989).

2.14 Integração numérica

Na implementação do método de elementos finitos conduz a equações integrais que

devem ser avaliadas no volume do elemento. Integrações numéricas são empregadas para esse

propósito. Em geral as técnicas de integrações numéricas consistem em dividir o integrando

em um número finitos de pontos, chamados de pontos de integração, duas técnicas foram

utilizadas nesse trabalho, sendo elas apresentadas a seguir.

2.14.1 Quadratura Gaussiana

As fórmulas de integração pelo método da quadratura gaussiana são obtidas pela

escolha dos pontos de integração (xi) sendo que a cada ponto de integração corresponderá um

peso (wi), sendo i=1,2,...n. de modo que a integral de um polinômio de grau 2n-1 seja exata

(HOFFMAN, 1992).

¡ z�@��@ ¢ J£J � XYz�@Y�~

Y�J

(42)

37

n xi wi Grau

2 -0,577350269 1

3 0,577350269 1

3 -0,774596669 0,555555555

5 0 0,888888888 0,774596669 0,555555555

4

-0,861136311 0,347854845

7 -0,339981043 0,652145154 0,339981043 0,652145154 0,861136311 0,347854845

Tabela 1: Pontos de amostragem para quadratura gaussiana

Fonte: HOFFMAN, 1992

Para a integração de um intervalo diferente de -1 a 1, é feita uma transformação de

coordenadas de modo que:

� z�@��@¤q D � z�� @�� @JkJ (43)

2.14.2 Regra 1/3 de Simpson

A regra de 1/3 de Simpson é obtida pelo ajuste de um polinômio de segunda ordem a 3

pontos igualmente espaçados dentro do intervalo de integração (HOFFMAN, 1992).

¡ z�@��@¤q ¢ ¤ k q¥ ¦z�q� M §z ¨q M ¤K © M z�¤�ª

(44)

38

3. METODOLOGIA

Aqui será apresentado como o programa SNDP (Simulação Numérica de Deformação

Plástica) foi desenvolvido e como este pode ser utilizado para a simulação numérica do

processo de conformação mecânica. Além disso, também será explicado como foram

realizados os ensaios para validação do programa.

O trabalho foi desenvolvido em quatro etapas principais conforme mostrado no

fluxograma da figura 10.

Figura 10: Fluxograma das principais etapas do trabalho

Fonte: Elaborado pelo autor

39

3.1 Desenvolvimento do SNDP – Etapa I

3.1.1 Descrição geral

Um software de elementos finitos normalmente é constituído por três módulos fundamentais:

a) Pré-processamento

b) Cálculo

c) Pós-processamento

Normalmente a comunicação entre os módulos é feita através de matrizes de dados

com uma formatação que normalmente é pré-estabelecida pelo módulo de cálculo.

O módulo de pré-processamento é por onde o usuário entra com as informações

pertinentes ao problema a ser resolvido como por exemplo: geometria, dados do material,

condições de contorno, carregamentos, tipo de elemento, grau de refino da malha, etc. É

muito comum este módulo possuir uma ferramenta de CAD que auxilia o usuário a entrar com

a geometria e condições de contorno do problema e geração de malha. Com as informações

fornecidas pelo usuário o módulo de pré-processamento gera matrizes de dados de entrada

que então são passadas para o módulo de cálculo.

O módulo de cálculo recebe as matrizes de dados de entrada e a partir dessas executa

as rotinas de cálculos de elementos finitos conforme foi programado. Após o cálculo são

geradas matrizes de saída de dados. As matrizes de saída de dados podem ser passadas para o

módulo de pós-processamento para visualização. No caso de problemas que são resolvidos de

forma incremental, as matrizes de saída de dados também podem ser utilizadas para

realimentação do módulo de cálculo.

O módulo de pós-processamento é onde o usuário pode visualizar os resultados como

geometria deformada, campos de tensão, campos de deformação, forças de reação, etc. É

muito comum esse módulo apresentar a possibilidade de se traçar gráficos de variáveis

escolhidas pelo usuário.

40

O SNDP foi desenvolvido em linguagem C++ com auxílio da biblioteca OpenGL para

tratamento da parte gráfica e incorporando os módulos de pré-processamento e pós-

processamento. A figura 11 apresenta a tela inicial do SNDP.

Figura 11: Tela inicial do SNDP


As características principais do SNDP são:

a) Escrito em C++.

b) Interface gráfica amigável.

c) Módulos de pré e pós processamento incorporados.

d) É válido para materiais rígido-plástico e rígido-viscoplástico.

e) Modela o atrito com coeficiente de atrito constante.

f) Pode ser usado para os casos axissimétrico e estado plano de deformação.

g) Desconsidera os efeitos térmicos.

h) Dá tratamento a nós livres que entram em contato com a ferramenta durante a

deformação.

i) Trabalha com elemento isoparamétrico retangular linear de 4 nós.

j) Uma estimativa inicial para a solução é gerada automaticamente.

41

Ao se trabalhar com um software de elementos finitos o fluxo de trabalho

normalmente segue o sentido: pré-processamento,cálculo,pós-processamento. No entanto, no

desenvolvimento normalmente primeiro se implementa o módulo de cálculo e os módulos de

pré-processamento e pós processamento são desenvolvidos em torno do módulo de cálculo

para fornecer seus parâmetros de entrada e interpretar seus dados de saída. No

desenvolvimento do SNDP não foi diferente, primeiro partiu-se do módulo de cálculo para

posterior implementação dos módulos de pré-processamento e pós-processamento e por isso a

apresentação dos módulos será feita nessa ordem.

3.1.2 Módulo de Cálculo

3.1.2.1 Tratamento do atrito com a ferramenta

Para cálculo da tensão de fricção gerada na superfície da peça em contato com a

ferramenta é usado uma aproximação da condição de tensão de fricção constante (Kobayashi,

1989):

z� « kv h�√i K® ¯°±£J |V�|Vf ³³

(45)

Onde $% é a velocidade relativa entre o material e a ferramenta, $& é uma constante

positiva pequena em relação a $% e m é o coeficiente de atrito.

42

3.1.2.2 Tratamento de regiões rígidas

Os princípios apresentados são aplicados a corpos que estão inteiramente sofrendo

deformação plástica. No entanto há processos de conformação em que surgem regiões rígidas.

As regiões rígidas são caracterizadas por apresentarem uma taxa de deformação muito

pequena. Para o tratamento de regiões rígidas a equação 36 é substituída por (KOBAYASHI,

1989):

´µ D � h�f?:, f ?, ?:,¶ �¶ M · � ?, Wm ,̧ W¶ �¶ k � gYmVY�nng D f (46)

Onde �4,& é um valor limite deformação e 8:& D 8:��4, � 4,&�.

3.1.2.3 Elemento retangular linear isoparamétrico

O SNDP usa o elemento retangular linear isoparamétrico de quatro nós. As funções de

interpolação para esse elemento são:

¹º�», ¼� D J§ �J M »º»��J M ¼º¼� (47)

Onde é o número local do nó (1,2,3 ou 4), 7 e 5 são as coordenadas naturais com

domínio k1 ¾ 7 ¾ 1 e k1 ¾ 5 ¾ 1 e �7�, 5�� é a coordenada natural do nó .

A transformação de coordenadas do sistema natural �7, 5� para o sistema global (x,y) é

definido por:

@�», ¼� D � ¹º�», ¼�@º§

º�J

(48)

A�», ¼� D � ¹º�», ¼�Aº§

º�J

43

(49)

Onde �2�, ¿�� é a coordenada do nó À .

O campo de velocidade sobre o elemento é definido pela interpolação das velocidades

nodais.

V@�», ¼� D � ¹º�», ¼�V@�º�§º�J

(50)

VA�», ¼� D � ¹º�», ¼�VA�º�§º�J

(51)

Onde �$��, $Á�� são as velocidades do nó .

As equações 50 e 51 podem ser escritas na forma matricial:

Â D ��) (52)

Com:

Â D oV@�», ¼�VA�», ¼�Ã (53)

) D

ÄÅÅÅÅÆÅÅÅÅÇV@�~ó J�VA�~ó J�

V@�~ó K�VA�~ó K�V@�~ó i�VA�~ó i�V@�~ó §�VA�~ó §�ÈÅÅ

ÅÅÉÅÅÅÅÊ

(54)

�� D ¦¹J f ¹J f ¹J f ¹J ff ¹K f ¹J f ¹J f ¹Jª (55)

44

3.1.2.4 Matriz de taxa de deformação do elemento

O vetor de taxas de deformação para o estado plano de deformação é:

ε, D ÄÆÇ �,��,Á�,Ì�,�ÁÈÉ

Ê DÄÅÆÅÇ Í�ÎÍ�Í�ÏÍÁ0Í�ÏÍ� M Í�ÎÍÁ ÈÅÉ

ÅÊ (56)

E para o estado axissimétrico é:

ε, D Ð �,Ñ�,Ì�,Ò�,ÑÌÓ D

ÄÅÆÅÇ Í�ÔÍÑÍ�ÕÍÌ�ÔÑÍ�ÕÍÑ M Í�ÔÍÌ ÈÅ

ÉÅÊ

(57)

Combinando as equações 48, 49 com a equação 3 obtêm-se:

�Ö×, D 12 � Ù��Ù2� $�� M Ù��Ù2� $��³Ú��

(58)

Definindo:

-� D ÍÛÜÍ� , .� D ÍÛÜÍÁ (59)

Substituindo a equação 59 na equação 58 e em seguida lançando o resultado na

equação 56 e 57 chega-se a:

45

ε, D Ð�,��, �,��,ÚÓ DÄÅÆÅÇ ∑ -�$��Ú��∑ .�$ ��Ú��∑ ��$��Ú��∑ L-�$ �� M .�$��OÚ�� ÈÅÉ

ÅÊ (60)

Para o estado plano de deformação, na equação 60, �,�, �, , �,�, �,Ú, $�, $

correspondem a �,� , �,Á, �,Ì, �,�Á, $�, $Á respectivamente e �� é zero.

Já para o estado axissimétrico, na equação 60, �,�, �, , �,�, �,Ú, $�, $ correspondem a �,Ñ , �,Ì , �,Ò, �,ÑÌ, $Ñ , $Ì respectivamente e �� se torna:

�� D ��Þ D ��∑ ��Þ�Ú��

(61)

A equação 60 pode ser escrita na forma:

ß, D �) (62)

Onde B é a matriz de taxa de deformação e v é o vetor com as 8 velocidades nodais

(duas velocidades para cada nó) para o elemento retangular.

� D à-� 0 - 0 -� 0 -Ú 00 .� 0 . 0 .� 0 .Ú�� 0 �� 0 �� 0 �� 0.� -� . - .� -� .Ú -Úá (63)

Considerando as equações 48, 49 e 59 e aplicando a regra da cadeia chega-se a:

o-�.� Ã D �|â| T ÍÁÍã k ÍÁÍäk Í�Íã Í�Íä U åÍÛÜÍäÍÛÜÍã æ (64)

Onde |�| é o determinante da matriz jacobiana:

46

|�| D Í�Íä ÍÁÍã k Í�Íã ÍÁÍä (65)

Finalmente, combinando as equações 47,64 e 65, os termos e da matriz B são

calculados:

Ð-�- -�-ÚÓ D �ç|�| Ð ¿ Ú k ¿�Ú7 k ¿ �5k¿�� M ¿�Ú7 M ¿�Ú5k¿ Ú M ¿� 7 k ¿�Ú5¿�� k ¿� 7 M ¿ �5 Ó (66)

Ð.�. .�.ÚÓ D �ç|�| Ðk2 Ú M 2�Ú7 M 2 �52�� k 2�Ú7 k 2�Ú52 Ú k 2� 7 M 2�Ú5k2�� M 2� 7 k 2 �5Ó (67)

|�| D �ç [�2��¿ Ú k 2 Ú¿�� M �2�Ú¿� k 2� ¿�Ú�7 M �2 �¿�Ú k 2�Ú¿ ��5] (68)

Onde:

2�� D 2� k 2� (69) ¿�� D ¿� k ¿� (70)

As equações 66 a 70 são válidas para o estado plano de deformação e estado

axissimétrico. Para o estado axissimétrico basta substituir x por r e y por z.

3.1.2.5 Matrizes de taxa de deformação efetiva e taxa de deformação volumétrica do

elemento

A equação 29 pode ser escrita na forma matricial:

?, K D ß, �ß, (71)

Onde:

47

è DEFFFFFGKi f f ff Ki f ff f Ki ff f f KiQRR

RRRS (72)

Substituindo a equação 62 na equação 71 vem:

?, K D )��) D )��), |}v � D �� (73)

A taxa de deformação volumétrica é calculada com:

?, W D ��) (74)

Sendo:

�� D éJ, J, J, fê� (75)

3.1.2.6 Matriz de Rigidez e vetor de forças residuais

Expressando a equação 36 em termos das velocidades nodais obtêm-se o conjunto de

equações algébricas:

HµHWY D � ¨HµHWY©Z�}�q� ��v�~�}�

Z�J D f

(76)

No processo de conformação a equação 76 é não linear e sua solução é obitida usando

o método de Newton-Raphson. No método é feita a linearização aplicando a expansão da série

de Taylor.

48

ëHµHWYì)�)f M ¦ HKµHWYHWZª)�)f ∆WZ D f (77)

Onde é a estimativa inicial para a velocidade e ∆W é a correção.

A equação 77 pode ser escrita na forma matricial:

í∆) D î (78)

Onde K é a matriz de rigidez e f é o vetor de forças residuais.

O sistema de equações da equação 77 é obtido avaliando-se a matrizes de rigidez e o

vetor de forças residuais para cada elemento e em seguida montando-as nas matrizes globais.

A avaliação do vetor de resíduos de forças do elemento é:

¦HµHWYª D ¡ h�?:, ïYZWZ�¶¶ M ¡ ·{ZWZ{Y�¶¶ k ¡ gZðZY�nngM ¡ v h�√i K® ¹Y¯°±£J ñ¹ZVZ��Vf ò �nn|

(79)

Para a avaliação da matriz de rigidez do elemento usa-se:

ó HKµHWYHWZô D ¡ h�?:, ïYZ�¶¶ M ¡ J?:, Hh::::H?:, k h�?:, K³ J?:, ïYZW�WvïvZ�¶¶ M ¡ ·{Z{Y�¶¶M ¡ v h�√i K® ¹Y¹Z¯°±£J ñ Vf¹ZVZ��VfK M �¹�W��Kò �nn|

(80)

Sendo que, acordo com o tópico 3.1.2.2, para o caso de regiões rígidas são usadas

(KOBAYASHI, 1989):

49

¦HµHWYª D ¡ h�f?:, f ïYZWZ�¶¶ M ¡ ·{ZWZ{Y�¶¶ k ¡ gZðZY�nngM ¡ v h�√i K® ¹Y¯°±£J ñ¹ZVZ��Vf ò �nn|

(81)

ó HKµHWYHWZô D ¡ h�f?:, f ïYZ�¶¶ M ¡ ·{Z{Y�¶¶ M ¡ v h�√i K® ¹Y¹Z¯°±£J ñ Vf¹ZVZ��VfK M �¹�W��Kò �nn|

(82)

3.1.2.7 Algoritmos principais implementados na solução

Na solução do sistema de equações não lineares duas técnicas foram implementadas:

O método direto de iterações e o método de Newton-Raphson. O método de Newton-Raphson

requer uma estimativa inicial para a solução e sua convergência está relacionada com a

proximidade dessa estimativa com a solução final. No método direto de iterações a equação

constitutiva é considerada linear entre uma iteração e outra e dispensa uma estimativa inicial

para solução. Para os problemas de conformação o método direto normalmente converge mais

rápido nas primeiras iterações, porém fica mais lento na medida em que se aproxima da

solução final. O mais indicado é usar o método direto para se gerar uma solução inicial e a

partir daí usar o método de Newton-Raphson para as soluções seguintes.

Os fluxogramas seguintes apresentam os algoritmos usando o método direto de

iterações, o método de Newton-Raphson e o algoritmo geral do procedimento de cálculo:

50

Figura 12: Algoritmo usando o método direto de iterações


51

Figura 13: Algoritmo usando o método de Newton-Raphson


52

Figura 14: Algoritmo geral do procedimento de cálculo


3.1.3 Pré-processamento

Para o módulo de pré-processamento foi criada uma interface gráfica de CAD simples

que permite entrar com a geometria da peça a ser conformada, com a geometria da ferramenta

e gerar a malha da peça. Essa interface foi desenvolvida em OpenGl. Além disso pode-se

entrar com os parâmetros do material e os parâmetros da simulação.

53

3.1.3.1 Desenvolvimento de ferramenta computacional para desenho

3.1.3.1.1 Como desenhar um perfil fechado

O perfil a ser desenhado é armazenado em uma matriz de pontos de dimensão 3xN,

onde N é o número de vértices do perfil, ou seja, cada coluna possui as coordenadas x, y e z

de um dado vértice. Para desenhar o perfil, é feito um laço que percorre a matriz conectando

seus vértices com linhas.sendo que o último vértice é conectado ao primeiro. Normalmente

um perfil está em um plano.

Figura 15: Matriz de pontos de um perfil


Para j=1 até N

Se j<N

Desenhar linha do vértice(j) ao vértice(j+1)

Se não

Desenhar linha do vértice(N) ao vértice(1)

Fim se

Fim para j

Figura 16: Algoritmo para desenhar um perfil


54

3.1.3.1.2 Como desenhar um sólido gerado pela revolução de um perfil em torno do eixo Y

Para a revolução de um perfil deve-se determinar em quantos incrementos a

circunferência de revolução será discretizada. Cada linha do perfil (par de vértices

consecultivos) é revolucionada. A rotina começa com os dois vértices da primeira linha do

perfil e com ângulo de revolução igual a zero e a partir do incremento no ângulo de revolução

calcula as coordenadas z e x dos dois vértices da linha no plano seguinte. Usando esses quatro

vértices a rotina desenha um quadrilátero. A rotina continua até que se tenha completado a

revolução completa da linha. Em seguida a rotina passa para a segunda linha do perfil, o

procedimento é repetido para que essa também seja revolucionada. Esse processo continua até

que todas as linhas do perfil tenham sido revolucionadas.

Para j=1 até N

Se j<N

Vértice1=Vértice(j)

Vértice2=Vértice(j+1)

Se não

Vértice1=Vértice(N)

Vértice2=Vértice(1)

Fim se

Raio1=Coordenada x Vértice1

Raio2=Coordenada x Vértice2

Para i=1 até M

Ãngulo1=i*(incremento de ângulo)

Ãngulo2=Ângulo1+(incremento de ângulo)

P1=[Raio1*cos(Ângulo1) ; coordenada y do Vertice1 ;Raio1*sen(Ângulo1)]




Desenhar quadrilátero com P1,P2,P3,P4

Fim para i

Fim para j

Figura 17: Algoritmo para desenhar um sólido gerado por revolução em torno do eixo Y


55

3.1.3.1.3 Como movimentar o desenho na área gráfica

A movimentação do desenho na área gráfica é feita usando a função GlTranslatef da

biblioteca OpenGl. Essa função translada o sistema de coordenadas em distancias

especificadas nas direções x,y e z.

Figura 18: Translação do sistema de coordenadas


3.1.3.1.4 Como rotacionar o desenho na área gráfica

.

Para rotacionar o desenho basta rotacionar o sistema de coordenadas com a função

GlRotatef da biblioteca OpenGl. Essa função rotaciona o sistema de coordenadas em um

ângulo especificado em torno de um vetor também especificado.

Figura 19: Rotação do sistema de coordenadas


3.1.3.1.5 Aplicando escala

A biblioteca OpenGl também oferece um comando para escala do desenho. Esse

comando é o GlScalef que aplica um fator de escala para cada direção (x,y, e z).

56

3.1.3.2 Geometrias da peça e da ferramenta

Para entrar com a geometria da peça pode-se desenhar a seção da mesma clicando no

menu “Peça->Perfil”. Para entrar com os pontos do perfil o usuário pode fazê-lo clicando

diretamente na área gráfica ou entrar com as coordenadas na área de comandos.Para finalizar

o perfil clica-se no botão fechar. Para problemas axissimétrico desenha-se apenas um

quadrante da peça.

No caso de problema axissimétrico deve-se se definir o eixo de revolução (eixo

vertical de simetria). Para isso clica-se no menu “Peça->Eixo de revolução” clicando na área

gráfica ou especificando a distância entre o eixo e a borda da extrema esquerda da peça na

área de comandos. O eixo de simetria horizontal é atribuído automaticamente, passando pelo

ponto mais inferior do perfil da peça.

Com o perfil definido pose-se visualizar a representação tridimensional da peça com o

menu “Peça->Gerar 3D”.

Figura 20: Perfil de peça com eixo de revolução


57

Figura 21: Representação tridimensional da peça revolucionada


De forma análoga se define e visualiza a geometria da ferramenta através dos menus

“Ferramenta->Perfil”, “Ferramenta->Eixo de revolução”e “Ferramenta->Gerar 3D”.

3.1.3.3 Geração de malha da peça

Uma vez definido o perfil da peça pode-se criar a malha usando o menu “Peça->Gerar

malha”. Na área de comandos são mostradas as opções para criação da malha. O SNDP gera

apenas malha de elementos retangulares. As opções são: número de linhas e colunas para se

gerar a grade quantos pontos de um retângulo devem estar dentro do perfil da peça para se

considerar que esse retângulo faz parte da malha.

58

Figura 22: Malha gerada considerando elementos com um ponto dentro da peça


Figura 23: Malha gerada considerando elementos com dois pontos dentro da peça


59

Figura 24: Malha gerada considerando elementos com três pontos dentro da peça


Figura 25: Malha gerada considerando elementos com quatro pontos dentro da peça


60

3.1.3.4 Fazendo e Visualizando a montagem peça-ferramenta

Os menus “Montagem->2D” e “Montagem->3D” fazem a montagem da peça com a

ferramenta. A diferença é que o primeiro exibe a montagem em duas dimensões e o segundo

mostra a montagem em 3 dimensões.

A montagem é feita alinhando-se os eixos de simetria da peça e ferramenta e

posicionando a superfície inferior da ferramenta em contato com a superfície superior da

peça.

Figura 26: Montagem peça-ferramenta


3.1.3.5 Dados do material

A priori o SNDP é implementado para trabalhar com materiais rígido-plásticos

modelados pela equação do tipo:

61

h� D �?~ (83)

No entanto a função de cálculo pode ser facilmente alterada no código fonte de modo

que é possível se implementar (futuramente) outros modelos e inclusive materiais rígido-

viscoplásticos.

O menu “Material” abre a janela para entrada dos parâmetros da equação do material.

Figura 27: Janela para entrada das constantes do material


3.1.3.6 Entrada de dados da simulação

Os parâmetros para a simulação são especificados no menu “Simulação->Dados”. É

apresentada a janela com o opção do modo de deformação e com os parâmetros que serão

usados na simulação:

a) Velocidade da ferramenta: velocidade numérica da ferramenta. No caso de material

rígido-plástico essa variável é só um fator numérico de avanço em cada incremento.

b) Deslocamento da ferramenta: curso total a ferramenta.

c) Passos: quantos incrementos serão dados para se atingir o curso total da ferramenta.

d) Coeficiente de atrito: é o coeficiente de atrito entra a ferramenta e a peça.

62

e) Constante de Penalidade: Constante usada no método numérico para manter a

deformação volumétrica próxima de zero.

Figura 28: Janela para entrada de dados da simulação


3.1.3.7 Condições de contorno

As condições de contorno de simetria são aplicadas automaticamente sendo: os nós

que estiverem em contato com a ferramenta adquirem sua velocidade e são submetidos a força

de atrito. Os nós que estiverem em contato com eixo vertical de simetria possuem velocidade

horizontal nula. Os nós em contato com o eixo horizontal de simetria possuem velocidade

vertical nula.

63

3.1.4 Módulo de Pós-processamento

O módulo de pós-processamento é responsável pelo tratamento e visualização dos

resultados. Os resultados provenientes do módulo podem ser utilizados para cálculo de

variáveis secundárias como por exemplo a verificação de critérios de falha.

Além de mostrar a malha da peça deformada, o módulo de pós-processamento possui

o menu “Resultado” que contém as opções de visualização de resultados, nele pode-se

escolher a variável a ser mostrada e como será a forma de exibição. As variáveis presentes

são:

a) Tensão efetiva

b) Deformação efetiva

c) Deformação na direção X (radial)

d) Deformação na direção Y (axial)

e) Deformação na direção Z (circunferencial)

f) Cockcroft e Lathan

g) Forças na direção X

h) Forças na direção Y

i) Posição X

j) Posição Y

As variáveis podem ser apresentadas em campos de distribuição bidimensional ou

tridimensional, gráfico ou através de impressão direta dos valores sobre a malha deformada.

Assim como o módulo de pré-processamento, a parte gráfica do módulo de pós-

processamento foi implementado com a biblioteca OpenGL.

64

Figura 29: Exemplo de distribuição de tensão usando gradiente de cores


Figura 30: Exemplo de representação tridimensional de peça deformada


65

Figura 31: Exemplo de gráfico gerado pelo SNDP


3.1 Ensaios Físicos - Etapa II

Para validação do software desenvolvido firam realizados ensaios de compressão em

matriz aberta de nove corpos de prova cilíndricos de mesmo diâmetro externo (12,5mm),

porém com alturas e diâmetros internos variados, todos de alumínio comercial. Os corpos de

prova foram divididos em três grupos de alturas: 8mm, 16mm e 32mm, cada grupo com três

peças: uma maciça, uma com furo passante de 4 mm e uma com furo passante de 8mm.

Para identificação das peças serão usados os seguintes tags:

66

Altura (mm) Diâmetro do furo

(mm)

Tag

8

0 (maciço) F0H8

4 F4H8

8 F8H8

16

0 (maciço) F0H16

4 F4H16

8 F8H16

32

0 (maciço) F0H32

4 F4H32

8 F8H32

Tabela 2: Tabela de tags para identificação dos corpos de prova.


Nos tags a letra “F” precede a dimensão do furo e a letra “H” precede a altura da peça,

por exemplo, “F8H16” indica a peça com furo de 8mm e altura de 16mm.

As figuras seguintes mostram os corpos de prova utilizados e seus desenhos.

Figura 32: Foto dos corpos de prova ensaiados


67

Figura 33: Dimensões dos corpos de prova ensaiados


Os ensaios foram realizados em uma máquina universal de ensaio de tração na

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, campus Coração Eucarístico. Antes dos

ensaios a máquina e as peças ensaiadas passaram por processo de limpeza promovendo o

desengraxamento das superfícies que entram em contato durante os ensaios.

As peças dos grupos de 16 e 32mm de altura foram submetidas a 50% redução na

altura e as peças do grupo de altura igual a 8mm foram submetidas a 37% de redução.

As seguintes variáveis de comparação foram coletadas nos ensaios: carga máxima para

se atingir as reduções de altura mencionadas, diâmetro máximo nas regiões com formação de

bojos, diâmetro nas bases inferior e superior, diâmetro mínimo nas regiões de

estrangulamento. Também foi verificado pontos de falha como por exemplo trincas.

68

3.2 Ensaios Numéricos – Etapa III

Devido à condição de axissimetria da geometria das peças e distribuição dos

carregamentos, nas simulações numéricas foram feitas considerando apenas um quadrante da

seção da peça.

Para a realização das simulações numéricas o software teve seus parâmetros

(coeficiente de atrito, constantes do material, constante de penalização e limite de

deformação) ajustados em função do resultado do ensaio da peça F0H16 (maciça de altura 16

mm). A tabela seguinte mostra os valores ajustados e a figura 34 mostra o gráfico da função

do material com os parâmetros ajustados.

Parâmetro Valor

Constante K do material 200 MPa

Coeficiente n (encruamento) do material 0,20 (adimensional)

Limite de deformação 0,01 (adimensional)

Velocidade da ferramenta -1 mm/s

Passos 100 (adimensional)

Coeficiente de atrito 0,3 (adimensional)

Constante de Penalidade 10000 (adimensional)

Tabela 3: Parâmetros ajustados


Em seguida as simulações das demais peças foram feitas utilizando os mesmos

parâmetros ajustados. Em cada simulação numérica foram coletadas as imagens com malha

deformada mostrando o fluxo de material, campo de tensão efetiva, campo de deformação

efetiva, gráfico de deformação efetiva na periferia e modelo tridimensional deformado.

69

Figura 34: Curva ajustada para o material


3.3 Comparar resultados – Etapa IV

A última etapa do trabalho foi a comparação dos resultados dos ensaios físicos com os

resultados das simulações numéricas. Dentre os quais a geometria e a carga tiveram uma

maior ênfase.

70

4. RESULTADOS

Inicialmente serão mostrados os resultados dos ensaios físicos e simulações numéricas

para cada peça. Por fim será exibido um quadro resumindo as comparações para todas as

peças.

Observar que, com exceção do modelo tridimensional, que representa a peça em sua

totalidade, as demais imagens representam apenas um quadrante da seção da peça (isso

devido à condição de simetria).

4.1 Peça F0H8

Figura 35: Peça F0H8 conformada


Figura 36: Malha original e deformada para a peça F0H8


71

Figura 37: Campo de tensão efetiva(MPa) para peça F0H8


Figura 38: Campo de deformação efetiva para peça F0H8


72

Figura 39: Cockcroft e Latham (MPa) para peça F0H8


Figura 40: Modelo tridimensional deformado para peça F0H8


73

Figura 41: Gráfico da deformação efetiva na superfície cilíndrica para peça F0H8


Carga(KN) Diâmetros(mm)

Centro Base Máximo Ensaio 50,7 15,00 14,50 15,00 Simulação 58,1 15,93 15,09 15,93 Erro 7,4 0,93 0,59 0,93 Erro (%) 14,6 6,2 4,1 6,2

Tabela 4: Resultados para peça F0H8


Pelas imagens observa-se que o modelo numérico teve mesmo comportamento de

fluxo de material do ensaio físico. Pode ser visto que o modelo numérico representou com boa

aproximação o ensaio, apresentando um erro 6,2% no diâmetro central , 4,1% no diâmetro da

base e 14,6% na carga.

74

4.2 Peça F4H8



Figura 43: Malha original e deformada para peça F4H8




75

Figura 45: Campo deformação efetiva para peça F4H8


Figura 46: CockCroft e Latham (MPa) para peça F4H8


76





77


Centro Base Máximo Ensaio 42,0 14,50 14,00 14,50 Simulação 51,3 15,66 14,75 15,66 Erro 9,3 1,16 0,75 1,16 Erro (%) 22,1 8,0 5,4 8,0



O fluxo de material no modelo numérico apresentou uma pequena diferença em

relação ao físico, mas, assim mesmo, se aproximou bem como pode ser vistos nas imagens. A

carga teve um erro de 22,1%, a geometria erro de 8,0% no diâmetro central e erro de 5,4% no

diâmetro da base.

4.3 Peça F8H8





78





79





80




Centro Base Máximo Ensaio 20,2 14,30 13,90 14,30 Simulação 27,9 15,10 13,76 15,10 Erro 7,7 0,80 -0,14 0,80 Erro (%) 38,1 5,6 -1,0 5,6



Observa-se que o fluxo de material na simulação ficou muito próximo do ensaio físico

de modo que o erro foi de 5,6% no diâmetro central e -1,0% no diâmetro da base. O

carregamento teve um erro de 38,1% elevado, mas ainda sim, tolerável em análises de

conformação. Mesmo com essa diferença de carga pode-se considerar que o modelo numérico

apresentou o mesmo comportamento do ensaio físico.

81

4.4 Peça F0H16







82





83





84


Centro Base Máximo Ensaio 70,0 17,90 15,50 17,90 Simulação 70,4 17,89 15,91 17,89 Erro 0,4 -0,01 0,41 -0,01 Erro (%) 0,6 -0,1 2,6 -0,1



Uma vez que essa peça foi utilizada para parametrização do software, já era de se

esperar que seus resultados fossem próximos, por isso que a força ficou com erro de 0,6% e a

geometria com erro máximo de 2,6% na base. Notar que aqui o diâmetro central ficou com

erro de 0,1%.

4.5 Peça F4H16





85





86





87







Mais uma vez ficou caracterizado que o modelo numérico se comportou como o

modelo físico em termos de fluxo de material. A carga se aproximou muito bem com erro de

4,1% e a geometria melhor ainda com erro de 1,5% no diâmetro central e -1,0% no diâmetro

da base, o que é uma aproximação ótima, principalmente em se tratando de problemas de

deformação plástica.

88

4.6 Peça F8H16





89





90





91




Centro Base Máximo Ensaio 26,9 17,00 14,40 17,00 Simulação 25,6 17,86 13,68 17,86 Erro -1,3 0,86 -0,72 0,86 Erro (%) -4,8 5,1 -5,0 5,1



É muito notável a semelhança de fluxo de material entre o modelo numérico e físico.

A carga mais uma vez se aproximou muito bem com erro de -4,8%. Apesar da semelhança de

forma, a geometria teve erro de 5,1% no diâmetro central e -5,0% no diâmetro da base, mas

assim mesmo pode ser considerado que o modelo numérico se aproximou bem do ensaio

físico.

92

4.7 Peça F0H32





93





94





95




Centro Base Máximo Ensaio 66,0 17,90 15,80 17,90 Simulação 66,2 17,68 14,70 17,68 Erro 0,2 -0,22 -1,10 -0,22 Erro (%) 0,3 -1,2 -7,0 -1,2



Sem dúvida o modelo numérico representou muito bem o ensaio físico uma vez que o

carregamento teve um erro de 0,3%, o diâmetro na região central teve erro de -1,2% e o

diâmetro na base apresentou erro de -7,0%.

96

4.8 Peça F4H32





97





98





99





Tabela 11 : Resultados para peça F4H32


Outra simulação que se aproximou muito bem do ensaio físico. A carga apresentou um

erro de 4,6% , diâmetro no centro ficou com erro de 0,5% e o diâmetro na base com erro de -

2,5%.

100

4.9 Peça F8H32





101





102





103




Centro Base Máximo Ensaio 30,2 14,50 15,70 17,00 Simulação 28,6 14,60 14,52 17,74 Erro -1,6 0,10 -1,18 0,74 Erro (%) -5,3 0,7 -7,5 4,4



Nessa peça é interessante notar que no ensaio físico ocorreu a formação de dois bojos

e que o fenômeno também ocorreu no ensaio numérico, caracterizando mais uma vez que o

modelo numérico seguiu o mesmo comportamento do ensaio físico. A carga também se

aproximou bem com erro de -5,3%. O erro entre o diâmetro máximo encontrado na peça

ensaiada e o diâmetro máximo obtido na simulação foi de 4,4%. O diâmetro no centro

apresentou erro de 0,7% e o diâmetro na base teve erro de -7,5%. Com base nesses resultados,

fica mostrado que o modelo numérico mais uma vez apresentou boa aproximação do ensaio

físico.

104

4.10 Resumo geral dos resultados

Peça Resultado Carga(KN) Diâmetros(mm) Base Máximo

F0H8 Experimento 50,7 14,50 15,00

Numérico 58,1 15,09 15,93 Erro(%) 14,6 4,1 6,2

F4H8 Experimento 42,0 14,00 14,50

Numérico 51,3 14,75 15,66 Erro(%) 22,1 5,4 8,0

F8H8 Experimento 20,2 13,90 14,30

Numérico 27,9 13,76 15,10 Erro(%) 38,1 -1,0 5,6

F0H16 Experimento 70,0 15,50 17,90

Numérico 70,4 15,91 17,89 Erro(%) 0,6 2,6 -0,1

F4H16 Experimento 58,3 15,60 17,50

Numérico 60,7 15,45 17,77 Erro(%) 4,1 -1,0 1,5

F8H16 Experimento 26,9 14,40 17,00

Numérico 25,6 13,68 17,86 Erro(%) -4,8 -5,0 5,1

F0H32 Experimento 66,0 15,80 17,90

Numérico 66,2 14,70 17,68 Erro(%) 0,3 -7,0 -1,2

F4H32 Experimento 54,2 15,30 17,60

Numérico 56,7 14,91 17,69 Erro(%) 4,6 -2,5 0,5

F8H32 Experimento 30,2 15,70 17,00

Numérico 28,6 14,52 17,74 Erro(%) -5,3 -7,5 4,4 Tabela 13: Tabela geral de resultados


A tabela acima mostra de forma resumida os resultados obtidos nos ensaios físicos e

simulações numéricas realizadas no programa desenvolvido (SNDP). Avaliando-se os erros

dos carregamentos, nota-se uma menor aproximação das cargas aplicadas nos ensaios físicos

das peças do grupo de altura 8 mm (erro variando de 14,6% a 38,1%) e uma maior

aproximação das cargas aplicadas nas peças dos grupos de alturas 16mm e 32mm (erro

variando de -5,3% a 4,6%).

105

5. CONCLUSÃO

O desenvolvimento matemático e implementação da ferramenta de desenho

computacional, mesmo que simples, foi satisfatório pois o programa desenvolvido apresenta

uma interface amigável que permite a entrada de geometria de seções formadas por

seguimentos de reta que, mesmo limitando as formas geométricas possíveis de serem

entradas, atende a uma gama considerável de seções, principalmente em se tratando de corpos

de prova que normalmente são de geometria simples.

A avaliação de níveis de tensão, deformação efetiva, carregamento e comportamento

de corpos de prova cilíndricos de mesmo diâmetro, porém com diâmetros internos e alturas

diferentes, mostrou que, apesar da semelhança física entre eles, o comportamento deles

durante a conformação é diferente. Assim, cada peça ensaiada apresentou um comportamento

característico que também foi o mesmo apresentado pela respectiva simulação numérica do

ensaio da peça, de modo que, esse estudo se mostrou útil para a parametrização e validação do

programa desenvolvido.

O estudo e implementação do critério de Cockcroft e Latham foi concluído e, apesar

de nos ensaios físicos não ter ocorrido nenhuma trinca (pelo menos não visível ao olho nu), a

implementação foi satisfatória, pois se verifica nos resultados que a aplicação do critério de

Cockcroft e Latham atingiu valores elevados nos pontos de dobra e nos pontos em que o

material estava livre e entrou em contato com a ferramenta durante a conformação. Segundo a

literatura nesses pontos possuem uma maior facilitação para a ocorrência de dano.

A implementação de ferramenta para a visualização dos resultados das simulações

numéricas foi atendida com a apresentação do modelo deformado em duas e três dimensões

com recursos de ampliação, movimentação e rotação, apresentação dos resultados em campos

de distribuição em gradientes de cores e geração de gráficos. A ferramenta de visualização de

resultados se extremamente para a avaliação dos resultados e comparações com os resultados

de ensaios físicos.

No geral, a ferramenta computacional desenvolvida usando o método de elementos

finitos para simulação numérica do processo de conformação em matriz aberta atendeu às

expectativas pois em todas as simulações numéricas apresentadas verificou-se a concordância

de comportamento com os ensaios físicos e, pelos resultados, houve uma boa aproximação

entre carregamentos e geometrias.

106

REFERÊNCIAS

BATHE, K. Finite Element Procedures. 2. ed. New Jersey: Prentice-Hall, 1996.

BITTENCOURT, E. Tratamento de problemas não lineares na mecânica dos sólidos. Porto Alegre: UFRGS , 2000. BUSS, S. R. 3-D Computer Graphics A Mathematical Introduction with OpenGL. Cambridge: Cambridge University Press, 2003. COOK, R. D.; MALKUS, D. S.; PLESHA, M. E. Concepts and applications of finite element analysis. 3. ed. New York: Wiley, 1989. DIETER, G.E. Workability Testing Techniques. Ohio: American Society for Metals, 1984. DUNG, N. L. Plasticity theory of ductile fracture by void growth and coalescence. Forschung im Ingenieurwesen, v. 58, n.5, p. 135-140, 1992. HELMAN, H.; CETLIN, P. R.Conformação mecânica. Belo Horizonte: UFMG, 1980. HOFFMAN, J.D. Numerical Methods for Engineers and Scientists. New York: McGrall-hill, 1992. KOBAYASHI, S.; ALTAN, T. Metal Forming and the Finite-Element Method. Oxford: Oxford University Press, 1989. LANDRE, J; PERTENCE, A.; CETLIM, P.R.; RODRIGUES, J.M.C.; MARTINS, P.A.F. On the utilization of ductile fracture criteria in old forging. Finite elements in analysis and design,.v. 39 n. 3, p. 175-186, 2001. LIU, G. R.; QUEK, S. S. The Finite Element Method: A Pratical Course. Oxford: Buttreworth Heinemann , 2003. MATEUS, C.A. Builder C++ Guia Prático. São Paulo: Editora Erica, 2000.

107

MCREYNOLDS, T.; BLYTHE, D. Advanced Graphics Programming Using OpenGL. San Francisco: Elsevier, 2005. MENDELSON, A. Plasticity: Theory and Application. New York: The Macmillan Company, 1968. NETA, A. C. I. Avaliação de critérios de dano dúctil para previsão de trincas no forjamento a frio usando o método dos elementos finitos. 2004. 125f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Instituto Tecnológico da Aeronáutica, São José dos Campos. OKAMOTO, T., FUKUDA, T., HAGITA, H. Material Fracture in Cold Forging- Systematic Classification of Working Methods and Types of Cracking in Cold Forging. The Sumitomo Search, n. 9, p.216-225, 1973. OWEN, R. Computational Plasticity. Dordrecht: Springer, 2002. PANTALÉ, O.; CAPERAA, S.; RAKOTOMALALA, R. Development of an object-oriented finite element program: application to metal-forming and impact simulations. Journal of Computational and Applied Mathematics, v. 168, n. 1-2, p.341-351, 2004. RAVINDRANATH, M.N.; KUMAR, R. Simulation of cold forging using contact and pratica adaptive meshing algorithms. Journal of Materials Processing Technology, v.104, n. 1-2 p.110-126, 2000. REIS, C. L.; CETLIN, P. R.; MELO, T. M. F.; CASAS, E. B. Estudos de influência na simulação numérica de estampagem. Tecnologia em Metalurgia e Materiais, v.1, n.2, p.34-37, 2004. RENS, B. J. E. Finite Element Simulation of the Aluminum Extrusion Process. 1999. 116f . Tese (Doutorado) - Technische Universiteit Eindhoven, Eindhoven. ROWE, G.W.; STURGESS, C.E.N.; HARTLEY, P.; PILLINGER, I. Finite-element plasticity and metalforming analysis. Cambridge: Cambridge University Press, 1991. SATURNINO, L.J.M.2004, Desenvolvimento de ferramentas para definição, análise e avaliação de desempenho de veículos automotivos. 2004. 243f. Dissertação ( Mestrado em Engenharia Mecânica ) – Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, Belo Horizonte.

108

SHI, X.; WEI, Y.; RUAN, X. Simulation of sheet metal forming by one-step approach: choice of element. Journal of Materials Processing Technology, v.108, n. 3, p.300-306, 2001. SIMO, J.C.; HUGHES, T.J.R. Computational Inelasticity. Dordrecht: Springer, 1998. SOUZA, A. C. C. R. Análise por elementos finitos de processos de conformação plástica em regime estacionário. 1991. 92f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Estrutural) - Universidade do Porto, Porto SUSSMAN, T.; BATHE, K. A finite element formulation for nonlinear incompressible elastic and inelastic analysis. Computers and Structures, v.26, n. 1-2, p. 357-409, 1987. TEKKAYA, A. E. State-of-the-art of simulation of sheet metal forming. Journal of Materials Processing Technology, v. 103, n. 1, p. 14-22, 2000. JUNG, D. W.; YANG, K. B. Comparative investigation into membrane, shell and continuum elements for the rigid-plastic finite element analysis of two-dimensional sheet metal forming problems. Journal of Materials Processing Technology, v.104, n. 3, p.185-190, 2000. ZIMNIAKA, Z. Implementation of forming limit stress diagram in FEM simulations. Journal of Materials Processing Technology, v.104, n. 1-3, p.261-266, 2000.

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DESENVOLVIMENTO DE FERRAMENTA COMPUTACIONAL … · Belo Horizonte 2009 . RESUMO Este trabalho trata do desenvolvimento de uma ferramenta computacional didática voltada para a simulação