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DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA DE ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS UTILIZANDO DESLOCAMENTO EM FREQUÊNCIA
Carlos Augusto Machado Gomes
Projeto de Graduação apresentado ao Curso de
Engenharia Elétrica da Escola Politécnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte
dos requisitos necessários ao título de Engenheiro
Orientador: Antonio Carlos Siqueira de Lima
Rio de Janeiro
Fevereiro de 2015
DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA DE ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS UTILIZANDO DESLOCAMENTO EM FREQUÊNCIA
Carlos Augusto Machado Gomes
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE
ENGENHARIA ELÉTRICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO
RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A
OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO ELETRICISTA
Examinado por:
_____________________________________________ Prof. Antonio Carlos Siqueira de Lima, D.Sc
_____________________________________________ Eng. Felipe Camara Neto, M.Sc.
_____________________________________________ Prof. João Pedro Lopes Salvador, M.Sc
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL FEVEREIRO DE 2015
iii
Gomes, Carlos Augusto Machado
Desenvolvimento de um Programa de Análise de
Transitórios Utilizando Deslocamento em Frequência/ Carlos
Augusto Machado Gomes – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola
Politécnica
X, 56 p .:il; 29,7 cm
Orientador: Antonio Carlos Siqueira de Lima
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica / Curso
de Engenharia Elétrica, 2015
Referências Bibliográficas: p. 45-46 .
1.Transitórios Eletromagnéticos 2. Deslocamento em
frequência 3. Programação Orientada a objetos, I. Lima, Antonio
Carlos Siqueira de II. Universidade Federal do Rio de Janeiro,
Escola Politécnica, Departamento de Engenharia Elétrica. III.
Título
iv
Agradecimentos
Agradeço a Deus pelo dom da vida e por ter tornado possível todo o caminho traçado até
hoje
Agradeço aos meus pais pela minha vida, pela minha educação e por todos os
ensinamentos, possibilitando me tornar a pessoa que sou.
Ao meu pai que infelizmente, não está mais presente para mais esta etapa de minha vida,
mas que tenho certeza que acompanhará sempre meus passos.
À minha mãe pelo apoio e incentivo durante todos os anos de faculdade e da vida.
Aos meus tios, irmãos e a todos os demais familiares pelo apoio e convívio durante toda a
vida.
Aos amigos que tive a oportunidade de fazer e conviver durante os anos de faculdade, que
tornaram os anos de graduação mais agradáveis.
Aos amigos de todas as épocas, atualmente mais próximos ou mais distantes, pelos bons
momentos de convívio.
Aos futuros colegas de profissão e atuais engenheiros com quem tive o prazer de conviver
estes anos.
Ao professor Antonio Carlos Siqueira de Lima pela disponibilidade de orientação e ajuda
durante o desenvolvimento deste trabalho
Aos professores com que tive a oportunidade de conviver e aprender, desde a educação
básica até a faculdade.
À empresa GT2 Energia e aos profissionais com quem tive a oportunidade de conviver nos
últimos anos de faculdade, me possibilitando aprendizado e amadurecimento pessoal e
profissional.
A todos, meus sinceros agradecimentos.
v
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos
requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Eletricista.
DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA DE ANÁLISE DE TRANSITÓRIOS UTILIZANDO DESLOCAMENTO EM FREQUÊNCIA
Carlos Augusto Machado Gomes
Fevereiro/2015
Orientador: Antonio Carlos Siqueira de Lima
Curso: Engenharia Elétrica
A simulação acurada de transitórios eletromagnéticos tem se tornado cada vez mais
necessária para análises precisas do comportamento dos sistemas de energia elétrica. O
recente desenvolvimento da modelagem de fasores girantes aplicado a simulações
eletromagnéticas permite que tais simulações sejam realizadas com passos de simulação
maiores. Neste trabalho foi desenvolvido um programa para simulação de transitórios
eletromagnéticos com a modelagem de deslocamento em frequência, utilizando os
conceitos de fasores girantes em sua modelagem. O programa desenvolvido utiliza
linguagem de programação C++, com foco em programação orientada a objetos. São
apresentados os conceitos de fasores girantes, Transformada de Hilbert e sinais analíticos
no domínio do tempo, necessários para a modelagem do deslocamento em frequência.
Além disso, são apresentados os modelos de elementos resistivos, elementos capacitivos,
elementos indutivos, transformadores de dois enrolamentos e fontes alternadas no domínio.
Os resultados apresentados foram obtidos em simulações envolvendo tais elementos,
juntamente com eventos de chaveamento.
Palavras-chave: Transitórios eletromagnéticos, Deslocamento em frequência, Fasores
girantes, Programação orientada a objetos.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of
the requirements for the degree of Electrical Engineer.
DEVELOPMENT OF AN ELECTROMAGNETIC TRANSIENTS ANALYSIS PROGRAM USING SHIFTED FREQUENCY ANALYSIS
Carlos Augusto Machado Gomes
February/2015
Advisor: Antonio Carlos Siqueira de Lima
Course: Electrical Engineering
The accurate simulation of electromagnetic transients has become increasingly necessary
for precise analysis of electrical power system behaviour. The recent development of
dynamic phasor modelling applied to the electromagnetic analysis allows such simulations to
be performed with higher simulation steps. In this work, a program for the accurate
simulation of electromagnetic transients with shifted frequency modelling was developed
using the concepts of dynamic phasors. The software uses C ++ programming language,
focusing on object-oriented programming. The concepts of dynamic phasors, analytic signals
in the time domain and Hilbert transformer, required for the shifted frequency analysis, are
also addressed. Furthermore, the modelling of resistive elements, capacitive elements,
inductive elements, two-winding transformers and ac sources are presented. The results
were obtained from simulations involving such elements, along with switching events.
keywords: Eletromagnetical transients, Shifted frequency analysis, Dinamyc phasors,
Objected-oriented programming.
vii
Sumário 1. Introdução ....................................................................................................................... 1
1.1. Contextualização do problema .................................................................................... 1
1.2. Motivação .................................................................................................................... 1
1.1. Objetivos ..................................................................................................................... 2
1.2. Estrutura do Trabalho .................................................................................................. 2
2. Modelagem Matemática .................................................................................................. 3
2.1. Solução de transitórios utilizando o modelo EMTP ...................................................... 3
2.2. Modelagem dos elementos no modelo do deslocamento em frequência ..................... 5
2.2.1. Formulação Matemática ........................................................................................ 5
2.2.2. Modelagem de uma indutância acoplada a uma resistência ................................. 8
2.2.3. Modelagem da capacitância ................................................................................. 9
2.2.4. Modelagem do transformador ............................................................................. 11
2.2.5. Modelagem das fontes ........................................................................................ 12
2.3. Estrutura da Solução da rede elétrica – Método de Solução Nodal ........................... 13
2.3.1. Montagem da Matriz de Admitância Nodal .......................................................... 13
2.3.2. Matriz de Admitância Nodal Modificada .............................................................. 15
2.3.3. Montagem da Matriz de Admitância Nodal Modificada ........................................ 16
3. Desenvolvimento do programa ..................................................................................... 20
3.1. Estrutura do programa ............................................................................................... 20
3.2. Programação orientada a objetos .............................................................................. 21
3.3. Classes de elementos do circuito .............................................................................. 22
3.3.1. Classe elementos_passivos ................................................................................ 22
3.3.2. Classe transformadores ...................................................................................... 23
3.3.3. Classe fontes ...................................................................................................... 24
3.3.4. Classe switch ...................................................................................................... 24
3.3.5. Classe eventos ................................................................................................... 25
3.3.6. Classe power_sys ............................................................................................... 26
3.4. Algoritmo para solução do sistema ............................................................................ 27
4. Resultados da Simulação ............................................................................................. 29
4.1. Circuito RL série ........................................................................................................ 29
4.2. Circuito RC série ....................................................................................................... 31
4.3. Circuito RLC série ..................................................................................................... 33
4.4. Circuito RLC chaveado .............................................................................................. 37
4.5. Fonte de tensão acoplada a um transformador ......................................................... 39
viii
4.6. Energização e Desenergização de um Sistema Simplificado .................................... 41
5. Conclusão ..................................................................................................................... 44
6. Referências Bibliográficas ............................................................................................ 45
Apêndice A – Classes de programação ............................................................................... 47
I. Classe elementos_passivos ...................................................................................... 47
II. Classe transformadores ............................................................................................ 48
III. Classe fontes ......................................................................................................... 49
IV. Classe switch ......................................................................................................... 49
V. Classe eventos .......................................................................................................... 50
VI. Classe power_sys.................................................................................................. 51
ix
Lista de figuras
Figura 1 – Representação reduzida de um sistema .............................................................. 3
Figura 2 – Modelo EMTP de um circuito RL série ................................................................. 8
Figura 3 – Modelo do circuito RL série no modelo deslocado em frequência (SFA) .............. 9
Figura 4 - Modelo EMTP de um elemento capacitivo .......................................................... 10
Figura 5 – Modelo do capacitor no modelo deslocado em frequência (SFA) ....................... 11
Figura 6 – Modelo do transformador de dois enrolamentos................................................. 12
Figura 7 – Circuito exemplo para montagem da matriz de admitância nodal ....................... 14
Figura 8 – Circuito simplificado para montagem da matriz de admitância nodal .................. 14
Figura 9 – Circuito para montagem da Matriz de admitância nodal modificada ................... 17
Figura 10 – Fluxograma de atuação do programa ............................................................... 28
Figura 11 – Circuito de teste para a simulação - RL série ................................................... 30
Figura 12 – Envelope de tensão sobre o indutor ................................................................. 30
Figura 13 Tensão sobre a indutância .................................................................................. 30
Figura 14 – Comparação da tensão sobre o indutor, entre programa criado e o programa
ATP ..................................................................................................................................... 31
Figura 15 - Circuito de teste para a simulação - RC série ................................................... 31
Figura 16 – Envelope de tensão no elemento capacitivo .................................................... 32
Figura 17 – Tensão sobre o capacitor ................................................................................. 32
Figura 18 – Comparação da tensão no capacitor, entre o programa criado e o programa
ATP. .................................................................................................................................... 33
Figura 19 - Circuito de teste para a simulação - RLC série ................................................. 34
Figura 20 – Envelope de tensão no nó 2 ............................................................................. 34
Figura 21 – Tensão sobre o nó 2 ........................................................................................ 35
Figura 22 – Comparação da tensão no terminal 2, entre o programa criado e o programa
ATP. .................................................................................................................................... 35
Figura 23 – Espectro da corrente no circuito RLC série ...................................................... 36
Figura 24 – Corrente no circuito RLC série ......................................................................... 36
Figura 25 - Comparação da corrente no circuito, entre o programa criado e o programa ATP.
............................................................................................................................................ 37
Figura 26 - Circuito de teste para a simulação – Circuito Linear com chaveamento ............ 38
Figura 27 – Espectro da corrente entre os nós 1 e 2 ........................................................... 38
Figura 28 – Variação da corrente entre os nós 1 e 2, com o respectivo espectro da corrente
............................................................................................................................................ 39
Figura 29 - Circuito para validação do modelo do transformador ....................................... 40
Figura 30 – Tensão calculada no terminal secundário do transformador pelo modelo SFA. 40
Figura 31 – Tensão no secundário do transformador .......................................................... 41
Figura 32 – Circuito teste com chaveamento, para um sistema representando linhas de
transmissão e transformador ............................................................................................... 42
Figura 33 – Espectro da tensão sobre a carga no secundário do transformador ................. 42
Figura 34 – Sinal de tensão sobre a carga, com o respectivo espectro do sinal calculado
pelo modelo do deslocamento em frequência ...................................................................... 43
x
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Atributos e métodos definidos para a classe elementos_passivos ..................... 22
Tabela 2 – Atributos e métodos definidos para a classe transformadores ........................... 23
Tabela 3 – Atributos e métodos definidos para a classe elementos_passivos ..................... 24
Tabela 4 – Atributos e métodos definidos para a classe switch ........................................... 24
Tabela 5 - Atributos e métodos definidos para a classe eventos ........................................ 25
Tabela 6 – Atributos e métodos definidos para a classe power_sys .................................... 26
1
1. Introdução
1.1. Contextualização do problema No estudo de sistemas elétricos são comumente utilizadas ferramentas computacionais para
simulação da operação e planejamento da expansão da rede elétrica. Há basicamente três
tipos de estudos principais para o sistema elétrico, dentre eles está simulações em regime
permanente, frente a transitórios eletromecânicos e transitórios eletromagnéticos.
Com a sucessiva expansão do sistema elétrico, tais ferramentas de simulação se tornam
cada vez mais necessárias, tendo sua importância aumentada em decorrer da crescente
complexidade das redes elétricas. Ferramentas computacionais são desenvolvidas em
diferentes linguagens de programação, porém a utilização de ferramentas de simulação de
código fechado apresentam limitações quanto à manutenção dos códigos e comunicação
com programas diferentes.
Diante de tais limitações, torna-se cada vez mais importante o desenvolvimento próprio de
ferramentas computacionais para análise de redes elétricas, em projetos de maior
complexidade ou de característica mais específica.
1.2. Motivação Diferentes programas se propõem a realizar a simulação de transitórios eletromagnéticos. A
sigla EMTP (Electro-Magnetic Transients Program – Programa de Transitórios
Eletromagnéticos) identifica um tipo de modelagem de programa amplamente utilizada na
simulação de transitórios em redes elétricas. Os programas do tipo EMTP são
amplamente utilizados, sendo as principais fontes de simulação para transitórios
eletromagnéticos.
A modelagem EMTP consegue representar a evolução do comportamento do sistema
elétrico de maneira eficiente, porém está limitada ao fato da necessidade de calcular os
valores instantâneos de todas as formas de ondas em pequenos passos discretos de
simulação. Tal fato faz com que os programas EMTP se tornem desnecessariamente lentos
para eventos próximos da frequência fundamental (DEMIRAY, ANDERSON e
BUSARELLO).
Para uma maior eficiência dos modelos EMTP no que se refere a passos de simulação, foi
idealizado um modelo sistemático que combina o modelo EMTP com os conceitos de fasor
girante, que apresenta a vantagem de conseguir representar resultados precisos com
passos de simulação maiores, permitindo simulações mais eficientes. O modelo também
chamado de SFA (Shifted Frequency Analysis – Análise de deslocamento em frequência)
permite a simulação deslocando a frequência de sua fundamental para um valor próximo a
origem, de onde vem o nome deslocamento em frequência. O modelo desenvolvido também
consegue englobar em uma ferramenta única os campos de transitórios eletromagnéticos e
eletromecânicos (DEMIRAY, ANDERSON e BUSARELLO).
2
1.1. Objetivos O principal objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de um programa para análise de
transitórios eletromagnéticos utilizando o modelo deslocado em frequência, SFA. O modelo
permite utilizar passos de simulação maiores que os comumente utilizados em programas
padrão de simulações de transitórias, modelo EMTP, aumentando a eficiência da simulação.
Este trabalho objetiva também demonstrar as vantagens do desenvolvimento de um
programa próprio para análise de transitórios eletromagnéticos, permitindo uma possível
comunicação com outros programas, havendo possibilidade de implementação futura de
novos modelos e funcionalidades.
Será observada também a vantagem do desenvolvimento do programa em uma linguagem
de programação de código aberto que é a linguagem C++, empregando a programação
orientada a objetos.
1.2. Estrutura do Trabalho Este trabalho está estruturado da seguinte maneira:
O Capítulo 2 apresenta a formulação matemática para a modelagem dos elementos
em simulações transitórias, usando sinais reais e sinais analíticos, e para solução da
rede elétrica.
O capítulo 3 trata do desenvolvimento do programa na linguagem C++, programação
orientada a objetos, e estrutura de funcionamento do programa.
O Capítulo 4 apresenta os resultados obtidos nas simulações, com validação dos
modelos e simulação dos casos teste.
O Capítulo 5 traz as conclusões deste trabalho assim como sugestões para trabalhos
futuros.
3
2. Modelagem Matemática
Neste capítulo será apresentada a modelagem matemática necessária para a representação
de elementos elétricos em um programa de análise de transitórios. Será inicialmente
mostrada na Seção 2.1 a formulação do modelo EMTP, utilizada em programas padrão de
simulação de transitórios eletromagnéticos que trabalha com sinais reais. Na Seção 2.2 será
mostrada a modelagem no deslocamento em frequência utilizando sinais analíticos ao invés
de sinais reais, sendo apresentada a revisão matemática dos conceitos envolvidos na
formulação, entre eles fasores girantes, transformada de Hilbert e sinal analítico. Na Seção
2.3 será mostrada a formulação matemática para a solução do sistema elétrico, através da
matriz de admitância nodal modificada.
2.1. Solução de transitórios utilizando o modelo
EMTP
O método EMTP foi desenvolvido especificamente para sistemas elétricos de potência, com
o objetivo de simular digitalmente fenômenos eletromagnéticos transitórios. Este método
pode resolver sistemas compostos por resistências, indutâncias, capacitâncias,
transformadores, sistemas com modelo , linhas com parâmetros distribuídos, entre outros
(DOMMEL, 1986).
O modelo considera as tensões nos nós como variáveis de estado, representando as
correntes em função das tensões nos nós. A solução é calculada para um instante de tempo
t, em função dos valores de tensão e corrente de um instante anterior .
Como exemplo, pode-se considerar um trecho de um sistema ao redor no nó 1, como
mostrado na Figura 1.
12 3
4
R
C
L
Figura 1 – Representação reduzida de um sistema
4
Em qualquer instante de tempo a injeção de corrente no nó 1 será igual à soma das
correntes saindo do nó, sendo:
(2.1)
A corrente para o ramo da resistência será igual a:
(2.2)
Para a indutância, a relação entre tensão e corrente conhecida é de:
(2.3)
Através de integração trapezoidal (DOMMEL, 1969), obtém-se:
(2.4)
( ) (2.5)
O termo será obtido pelos valores conhecidos dos instantes de tempo anteriores,
e dado por:
( ) (2.6)
Para o ramo do capacitor, a solução é análoga e leva a:
( ) (2.7)
( ) (2.8)
A equação do nó 1 portanto, se torna:
(
)
(2.9)
A equação (2.9) é uma equação algébrica cujas incógnitas são as tensões nodais e cujos
termos do lado direito são conhecidos. Para um circuito de n nós haverá, portanto, um
sistema de n equações do tipo:
[ ][ ] [ ] [ ] (2.10)
Sendo:
[ ] = Matriz de admitância nodal
[ ] = Vetor de tensões nodais
[ ]= Vetor de injeções de corrente nodais
[ ] = Vetor de termos históricos
5
O processo para a solução do sistema linear consiste na determinação das matrizes de
admitância nodal do vetor de injeções de corrente nodal, a cada passo de iteração. Os
termos históricos de corrente são determinados também a cada passo com base nos
instantes de tempos anteriores. A solução do sistema linear é o vetor de tensões nodais.
Ao final de cada iteração é feita a atualização dos termos históricos de maneira a serem
utilizados nos passos de simulação seguintes. As condições iniciais dos termos históricos
devem ser determinadas no passo inicial.
2.2. Modelagem dos elementos no modelo do
deslocamento em frequência
A modelagem EMTP possui a desvantagem de utilizar passos de simulação excessivamente
pequenos para simulações próximos a frequência fundamental, 60Hz. Nesta seção será
mostrado o desenvolvimento da modelagem deslocada em frequência, SFA, que permite
passos de simulação menores.
Na Seção 2.2.1 será mostrada a formulação matemática a ser considerada no
desenvolvimento do modelo e nas Seções 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4 e 2.2.5 será mostrada a
modelagem dos elementos elétricos no modelo SFA, sendo eles respectivamente:
resistência acoplada a uma indutância, capacitância, transformador de dois enrolamentos e
fonte de tensão e corrente.
2.2.1. Formulação Matemática
Nesta Seção serão tratadas de forma resumida as ferramentas matemáticas utilizadas para
análise de sinais transitórios aplicando os conceitos de deslocamento em frequência. Para
os modelos adotados neste trabalho são envolvidos conceitos de Transformada de Fourier,
Transformada de Hilbert e Fasores girantes, tratados ao longo desta seção. Uma descrição
mais detalhada sobre tais assuntos pode ser consultada junto às referências deste trabalho
(DEMIRAY, ANDERSON e BUSARELLO) (HENSCHEL, 1999) (ZHANG, 2009).
2.2.1.1. Sinais Analíticos e transformada de Hilbert
Para que se entenda o conceito de deslocamento em frequência, é necessário voltar aos
conceitos de transformada de Fourier, sinais analíticos e transformada de Hilbert.
Para uma função de sinal real, a transformada de Fourier é definida como
(ZHANG, 2009):
[ ] ∫
(2.11)
A transformada de Fourier possui no domínio da frequência relação entre as frequências
positivas e negativas dadas por:
6
(2.12)
Sendo o complexo conjugado de . Portanto, a transformada de frequências
negativas pode ser descartada sem perda de informação, sendo o espectro positivo
adequado à representação de um sinal real.
Uma função pode ser construída de maneira a se obter somente as componentes de
frequência não negativa, sendo definida:
(2.13)
em que
{
} (2.14)
O sinal analítico é definido como a transformada inversa de
∫
(2.15)
∫
(2.16)
O sinal é, portanto, uma função complexa. Definindo a transformada de Hilbert de
como a parte imaginária de e denotada pela expressão:
[ ] (2.17) Então pode ser expressa como sendo:
(2.18)
Das equações (2.11) e (2.13), pode-se obter o par da transformação de Fourier, igual a:
[ ] (2.19)
Por definição [ ] e portanto:
[ ] (2.20)
Usando a relação conhecida [ ]
e aplicando a transformada inversa de
, obtem-se:
[ ]
∫
(2.21)
A transformada de Hilbert é uma integral imprópria, sendo calculada usando um valor
principal presente na equação acima. A transformada apresenta como resultado um
valor real, como esperado por sua definição.
O sinal analítico não apresenta componentes de frequência negativa, podendo o sinal real
ser obtido desconsiderando sua parte imaginária. O sinal analítico calculado é uma
generalização do conceito de fasor girante e sua aplicação no conceito de deslocamento de
frequência será tratada na próxima seção.
7
2.2.1.2. Fasores Girantes e Deslocamento em Frequência O conceito de deslocamento em frequência pode ser entendido considerando um sinal ,
representado por:
(2.22)
sendo o componente em fase do sinal e o componente em quadratura.
O fasor girante do sinal é definido como sendo
(2.23)
Correspondendo à envoltória complexa do sinal .
Assumindo que é o sinal analítico de , então:
[ ] (2.24)
Resolvendo a equação (2.24), pode-se chegar às relações:
[ ] (2.25)
{ [ ]}
(2.26)
(2.27)
Portanto, o fasor girante é igual a:
(2.28)
A Equação (2.28) mostra que o espectro do fasor corresponde ao espectro do sinal
analítico de deslocado da frequência angular , o que origina o nome deslocamento
em frequência.
O deslocamento em frequência permite a simulação de sinais cuja frequência está centrada
em sua fundamental (usualmente em torno 60 Hz em sistemas de potência), tornando o
sinal com frequência centrado na origem (0Hz). Tal modelagem permite a simulação exata
de regimes transitórios com passos de simulação maiores, o que torna a simulação mais
eficiente computacionalmente.
Com base na formulação matemática apresentada pode-se obter a modelagem matemática
dos elementos passivos utilizando sinais analíticos. A seguir será apresentada a modelagem
matemática dos principais elementos passivos considerados no desenvolvimento do
programa.
8
2.2.2. Modelagem de uma indutância acoplada a uma
resistência
A equação que rege o comportamento da tensão em um circuito RL série no domínio do
tempo é dada por
(2.29)
Sejam R a resistência e L a indutância do ramo e v(t) e i(t) os sinais de tensão e corrente no
ramo, respectivamente. Resolvendo a equação (2.29), utilizando a regra de integração
trapezoidal (DOMMEL, 1969), chega-se a equação das diferenças finitas igual a:
(2.30)
Sendo a matriz de admitância nodal e o vetor de termos históricos, dados por:
(
)
(2.31)
*(
) + (
) (2.32)
hRL(t)
rRL=R+(2/Δt)L
Figura 2 – Modelo EMTP de um circuito RL série
Conhecida a modelagem a partir de sinais reais, do modelo EMTP, pode-se fazer a
transformação para o modelo do deslocamento na frequência. A partir da equação (2.29),
realizando a transformação a fasores girantes, pode-se chegar a:
(2.33)
sendo e os fasores girantes correspondentes às variáveis v(t) e i(t):
, (2.34)
Utilizando a integração trapezoidal, chega-se na equação das diferenças, igual a:
9
(2.35)
Em que os termos da admitância equivalente e termos históricos são definidos como
nas equações
(
)
(2.36)
*(
) + (
)
(2.37)
Pode-se observar que o modelo para o deslocamento da frequência se assemelha ao
modelo no domínio do tempo, acrescido da parcela imaginária.
Uma solução alternativa é se obter diretamente os sinais analíticos de tensão e corrente,
e , através da relação presente na Equação (2.38).
(2.38)
Em que os termos da admitância equivalente e o termo histórico são definidos
como sendo:
(
)
(2.39)
( *(
) + (
) )
(2.40)
rRL=R+[(2/Δt)L+jωsL]
HRL(t)
Figura 3 – Modelo do circuito RL série no modelo deslocado em frequência (SFA)
2.2.3. Modelagem da capacitância Como tratado na Seção 2.1 A equação que rege o comportamento da corrente em um
circuito puramente capacitivo no modelo EMTP, é dada por:
10
(2.41)
Sendo a equação das diferenças finitas para este circuito igual a
(2.42)
Onde o termo relativo à admitância equivalente do ramo é igual a
(
)
(2.43)
E o termo vetor histórico da corrente é dado por
(2.44)
rC =(2C/Δt)
hC (t)
Figura 4 - Modelo EMTP de um elemento capacitivo
Para se obter a modelagem através de fasores girantes, deve-se considerar, analogamente:
(2.45)
Em que os termos e correspondem aos fasores girantes da corrente e tensão
respectivamente. Utilizando a regra do trapézio para encontrar a equação das diferenças,
obtém-se a equação:
(2.46)
A admitância equivalente é definida sendo
(
)
(2.47)
E o vetor de termos históricos ,igual a:
(2.48)
O termo histórico para o modelo no domínio da frequência, portanto, é equivalente ao termo
usado no modelo EMTP no domínio do tempo.
11
Para se trabalhar com o sinal analítico de tensão e corrente diretamente, pode-se seguir a
relação:
(2.49)
Sendo:
(
)
(2.50)
E o vetor de termos históricos , igual a:
(
) (2.51)
Os termos e , portanto, correspondem ao sinal analítico de tensão e corrente
respectivamente.
rC =(2/Δt+jωs)C
HC (t)
Figura 5 – Modelo do capacitor no modelo deslocado em frequência (SFA)
2.2.4. Modelagem do transformador
Para a modelagem do transformador, será utilizado o modelo [ ] , da matriz de indutâncias
(ZHANG, 2009). O modelo [ ] pra um transformador de dois enrolamentos é obtido da
seguinte matriz:
[ ] [
(
)
] (2.52)
Em que:
(
)
(2.53)
Sendo a indutância do lado primário do transformador, a indutância no lado secundário
e
a relação de espiras do transformador.
12
Neste modelo não são representadas as impedâncias de magnetização, que podem ser
incluídas nos terminais caso se deseje-se representar os efeitos de saturação. O modelo a
ser representado está representado na Figura 6.
Z1 Z2N1 : N2I2I1
V1 V2
Figura 6 – Modelo do transformador de dois enrolamentos
O termo de admitância e histórico equivalente podem ser calculados de maneira análoga ao
realizado para o modelo da indutância acoplada à resistência, sendo feitas algumas
modificações para a utilização da matriz [ ] .
A relação entre as correntes e as tensões nos terminais do transformador será dada por:
(2.54)
O termo de admitância equivalente para o transformador, , está presente na equação
(2.55) e o termo histórico equivalente para o transformador, , está mostrado na
equação (2.56).
(
)
* (
) +
(2.55)
{* (
) +
* (
) + } *
(
) +
* (
) + (2.56)
2.2.5. Modelagem das fontes
Serão modeladas neste trabalho fontes de tensão e corrente de característica cossenoidal,
representadas por um modelo único. Para uma fonte de tensão cossenoidal, o sinal de
tensão no tempo é dado por:
13
(2.57)
Em que é a amplitude do sinal de tensão. Através da Equação (2.18), pode se obter o
respectivo sinal analítico de tensão, que terá valor complexo e será dado por:
(2.58)
Neste trabalho não serão modelados componentes harmônicos nas fontes de tensão e
corrente. Caso seja necessário representá-los, deve ser feita a modelagem dos harmônicos
de maneira individual.
2.3. Estrutura da Solução da rede elétrica – Método
de Solução Nodal
O método de solução nodal consiste na determinação das matrizes que representam a rede
elétrica de corrente alternada para uso computacional. O método de solução nodal, busca
estabelecer uma relação linear do tipo , cuja solução pode ser resolvida através de
cálculos computacionais com grande eficiência. A representação do modelo da rede para o
método de solução nodal pode ser feita de duas maneiras: modelo com parâmetros de
admitância ou modelo com parâmetros de impedância.
A representação pelo modelo com parâmetros de impedância consiste na solução de um
sistema do tipo onde é o vetor de injeção de correntes na rede por fontes
independentes, é o vetor de tensão nodal nos barramentos e a matriz de
impedância nodal. Para o modelo com parâmetros de admitância, a equação para solução
do sistema é de formato , onde é a matriz de admitância nodal. O
método de solução nodal por modelos de admitância é mais eficiente computacionalmente,
pois a matriz apresenta característica esparsa de representação mais simples que a
matriz de impedância (BORGES, 2005) .
A Seção 2.3.1 mostra o desenvolvimento da atriz de admitância nodal padrão. Na Seção
2.3.2 será mostrado o desenvolvimento da Matriz de Admitância Nodal Modificada, que será
a utilizada no programa desenvolvido neste trabalho. Na Seção 2.3.3 será mostrado o
procedimento de montagem da Matriz de Admitância Nodal Modificada.
2.3.1. Montagem da Matriz de Admitância Nodal
Em simulações computacionais, a representação por modelagem das matrizes de
admitância é a mais eficiente e a mais utilizada, sendo sua montagem feita de maneira
simples. Como exemplo, será considerado o sistema mostrado na Figura 7. (BORGES,
2005)
14
V1
V2
V3
Z1
Z12 Z23
Z3
Z2
1
2
3
Figura 7 – Circuito exemplo para montagem da matriz de admitância nodal
O sistema pode ser representado por um modelo equivalente, transformando as fontes de
tensão em fontes de corrente e as impedâncias em admitâncias, como mostrado na Figura
8.
İ1 İ2 İ3 Y1 Y2 Y3
Y5 Y4
Y6
1 2 3
Figura 8 – Circuito simplificado para montagem da matriz de admitância nodal
As admitâncias equivalentes são calculadas a partir das equações:
15
,
,
,
,
,
(2.59)
As fontes de corrente podem ser determinadas utilizando a relação:
,
,
(2.60)
As equações nodais do circuito podem ser obtidas da seguinte maneira:
(2.61)
(2.62)
(2.63)
A equação para a matriz de admitância nodal para este circuito será do tipo:
[
] [
] [
] (2.64)
Sendo a matriz de admitância nodal, igual a:
[
] (2.65)
A matriz pode ser facilmente obtida, sendo seus elementos obtidos como se segue.
Seja o elemento da matriz cujo índice representa a linha e o índice a coluna do
elemento:
Os elementos da diagonal principal serão positivos e de valor igual ao somatório
das admitâncias diretamente ligadas à barra .
Os elementos serão negativos e seu valor igual ao somatório das admitâncias
que ligam a barra e . A matriz será simétrica, portanto
A característica de construção de montagem da matriz permite que a mesma seja
feita de maneira direta a partir de inspeção da rede.
2.3.2. Matriz de Admitância Nodal Modificada
A Matriz de Admitância Nodal Modificada, utilizada neste trabalho, terá como objetivo
considerar junto à matriz de admitância nodal a presença de fontes de tensão e chaves
seccionadoras. (MAHSEREDJIAN e ALVARADO, 1997)
Para a utilização da Matriz Nodal Modificada, será montado um novo sistema linear de
característica . Considerando um sistema, em que: seja o número de nós, o
número de chaves e o número de fontes de tensão, a equação de diferenças será dada
por:
16
[
] [
] [
]
Sendo:
[
] , [
] e [
]
Onde a matriz , matriz de admitância nodal modificada, é composta por:
, Matriz de admitância nodal padrão, de dimensão .
, Matriz de incidência nodal das fontes de tensão, de dimensão .
, Matriz de incidência nodal de chaves fechadas, de dimensão .
, Matriz nula de dimensão
, Matriz nula de dimensão
, Matriz binária e esparsa de dimensão ·, usada para anular os termos de
corrente nas chaves abertas.
Com exceção do elemento , a matriz de admitância nodal modificada será composta
somente de elementos de valores 0 e 1.
O Vetor , solução do sistema linear é composto pelos elementos:
, Vetor de tensões nodais, de dimensão .
, Vetor de corrente nas fontes de tensão, de dimensão .
, Vetor de corrente nas chaves de dimensão
E o vetor , composto por:
, Vetor de correntes nodais, dimensão
, Vetor das fontes de tensão conhecidas, dimensão .
Esta solução é menos restritiva que a solução nodal clássica, por incluir explicitamente
chaves e fontes de tensão no equacionamento. Pode-se observar que, independentemente
de eventos durante a simulação, as dimensões das matrizes manter-se-ão inalteradas.
2.3.3. Montagem da Matriz de Admitância Nodal Modificada Para exemplificar a montagem da matriz de admitância nodal será considerado um circuito
exemplo mostrado na Figura 9.
17
6 1 2
4
5 3
S1
S2
Figura 9 – Circuito para montagem da Matriz de admitância nodal modificada
Por se tratar de um sistema de 6 nós ( a matriz terá dimensão 6x6 e será montada
a partir das admitâncias equivalentes conectadas aos nós, como tratado anteriormente. A
matriz será da forma:
[
]
(2.66)
O sistema possui também uma fonte de tensão ( , duas fontes de corrente e 2
chaves ( . A Matriz de Admitância Nodal Modificada será de ordem 9 (
.
Os demais elementos da matriz serão preenchidos da seguinte forma:
A matriz que tem dimensão ( ) receberá valor 1 somente na coluna 6, relativa
ao nó onde está conectada a fonte de tensão. Os demais elementos terão valor 0.
[ ] (2.67)
Caso houvesse outra fonte de tensão, conectada a um nó k, seria acrescida uma linha na
dimensão da matriz , que receberia valor 1 somente na coluna k.
A matriz de incidência nodal de chaves fechadas tem dimensão ( ). As colunas
respectivas aos nós às quais uma chave fechada está conectadas recebem valor 1 para o
nó primário e -1 para o nó secundário da chave. Caso a mesma esteja aberta, todos os
elementos recebem valor 0.
A chave S1 está conectada aos nós 3 e 4. Caso a chave esteja fechada, a primeira linha
receberá valor 1 na coluna 3 e valor -1 na coluna 4, sendo atribuído valor 0 às demais
colunas. Caso a chaves esteja aberta, a respectiva linha receberá valor 0 em todas as
colunas.
18
A chave S2 está conectada aos nós 3 e 5. Caso a mesma esteja fechada, a segunda coluna
receberá valor 1 na coluna 3 e valor -1 na coluna 5. Novamente, caso esta chave esteja
aberta, a linha receberá valor zero em todos os elementos.
Com as chaves fechadas, a matriz será da forma:
*
+ (2.68)
Com as chaves abertas, a matriz será:
*
+ (2.69)
A matriz será usada para anular os termos de correntes para as chaves abertas. Caso as
chaves S1 e S2 estejam fechadas a matriz será do tipo:
*
+ (2.70)
Com as chaves S1 e S2 abertas, a matriz será:
*
+ (2.71)
A Matriz de Admitância Nodal modificada, , para o instante de tempo em que as chaves S1
e S2 estão fechadas, será:
[
]
(2.72)
Não sistema linear , a matriz B terá seus elementos compostos das injeções de
correntes nos nós e das tensões das fontes de tensões nos nós, todos valores conhecidos.
A matriz x será composta da tensão nos nós, corrente nas fontes de tensão e correntes nas
chaves, incógnitas do sistema. As matrizes serão dadas respectivamente por:
19
[
]
[
]
[
]
[
]
(2.73)
O sistema obtido é trivialmente solucionado por métodos de fatoração matricial, ou
invertendo-se a matriz de admitância nodal e a multiplicando pelo vetor de variáveis
conhecidas, de maneira a se achar o vetor solução.
20
3. Desenvolvimento do programa
Será tratada nesta seção a estruturação e os passos necessários para o desenvolvimento
do programa para a análise de transitórios eletromagnéticos utilizando o deslocamento em
frequência. O programa para análise de transitórias será desenvolvido na linguagem de
programação C++, que permite programação orientada a objetos com alto rendimento,
possibilitando obter resultados de simulação precisos com eficiência.
A seção 3.1 tratará da estruturação do programa e das ferramentas computacionais
utilizadas. Na seção 3.2 será tratado o conceito de programação orientada a objeto utilizada
neste trabalho, assim como suas principais características e vantagens. Na Seção 3.3 será
mostrada a divisão do circuito em classes com suas respectivas características e
funcionalidades. Na Seção 3.4 será apresentado, de maneira resumida, o algoritmo de
funcionamento do programa.
3.1. Estrutura do programa
O programa foi desenvolvido na linguagem de programação C++. Esta linguagem é
amplamente utilizada para aplicações em computação científica. A grande vantagem da
programação em C++, em relação a outras linguagens de programação, é a possibilidade da
programação orientada a objetos, tratada na próxima seção.
Outra grande vantagem do uso de C++ é a possibilidade do uso de bibliotecas. As
bibliotecas possibilitam a importação de arquivos externos, pré-definidos, como por
exemplo, bibliotecas de operações matemáticas, desde operações mais simples, presentes
nas bibliotecas padrão de C++, até a possibilidade da importação de bibliotecas mais
completas, para modelos matemáticos mais complexos.
A modelagem matemática desenvolvida neste trabalho, na Seção 2, cria a necessidade de
se trabalhar com operação matemática de vetores e matrizes complexas. A biblioteca de
operações matemáticas padrão para C++ não permite tal operação, portanto, pra tal
finalidade, foi importada uma biblioteca própria para esta aplicação. A biblioteca Eigen
(Eigen Library for C++) foi utilizada para a criação de matrizes e vetores e para a solução
dos sistemas lineares. A biblioteca permite a criação de vetores e matrizes com elementos
complexos, assim como as operações matemáticas entre os vetores e matrizes criados.
A solução do sistema linear, do tipo Ax=B, foi feita através de fatoração LU com
pivoteamento completo visto que a matriz A é de característica predominantemente esparsa,
sendo o método computacional que respondeu de maneira mais eficiente. A vantagem da
fatoração LU para solução deste tipo de problema é que a matriz A se mantém inalterada na
maior parte do tempo, o que permite que se reduza o número de cálculos na solução, só
sendo necessário que a fatoração seja recalculada caso haja uma alteração na matriz A.
21
3.2. Programação orientada a objetos
O enfoque da estrutura da programação foi a modelagem orientada a objetos. No modelo
orientado a objetos o enfoque principal da programação são os objetos, elementos centrais
do programa. Um objeto pode ser definido como um elemento de uma classe criada na
estrutura do programa, que possui um conjunto de atributos e semelhanças entre si.
Cada classe possui estrutura própria, através de um conjunto de atributos e métodos que
executam ações pertinentes à função que representam. As classes, portanto, agrupam
elementos que possuem a mesma característica e estrutura dentro do código de
programação.
A grande vantagem da utilização de classes e programação orientada a objetos pode ser
entendida por suas características principais, sendo elas: herança polimorfismo e
encapsulamento. (MANZONI, 2005)
Tais características são explicadas a seguir.
Herança é uma característica que permite a uma classe adquirir propriedades de
outra classe, herdando funções e atributos. A herança permite que duas classes
possam se comunicar, criando também uma hierarquia entre objetos, possibilitando
que as classes descendentes herdem as características de uma classe antecessora.
Polimorfismo consiste na possibilidade de diferentes classes possuírem métodos
com o mesmo nome associados a uma tarefa semelhante, que, porém possuem uma
implementação diferente para cada classe. Além da facilidade da legibilidade do
código, esta característica permite uma padronização na execução dos métodos
entre as classes.
Encapsulamento é a característica de uma classe permitir ou não que seus atributos
e métodos possam sofrer interferência externa, por exemplo, pela chamada de
outras classes. Há três formas de encapsular um objeto, são elas, tornando um
atributo ou método:
o Público: em que qualquer parte do código poderá alterá-lo.
o Protegido: que poderá ser alterado somente pela própria classe e por classes
herdeiras.
o Privado: que permite que somente a própria classe realize alterações.
Neste trabalho cada tipo de elemento que compõe o sistema elétrico será agrupado em uma
mesma classe. Como exemplo, elementos resistivos de valores diferentes possuem uma
mesma estrutura e o mesmo tipo de dados de entrada e métodos de solução, podendo ser
agrupados em uma mesma classe de programação como objetos diferentes. Cada objeto
possui atributos próprios, porém, uma estrutura idêntica. As fontes podem ser definidas
como outra classe de programação, possuindo características semelhantes entre si, porém
diferenciando-se, por exemplo, dos elementos resistivos.
22
3.3. Classes de elementos do circuito
A subdivisão dos elementos em classes permite criar métodos de soluções próprios para
cada tipo de elemento. Elementos que possuem a mesma estrutura serão objetos de uma
mesma classe de programação. A subdivisão das classes na estrutura do programa foi feita
de maneira a agrupar os tipos de elementos modelados com método de solução
semelhantes. A divisão em classes de elemento será feita da seguinte maneira:
Classe elementos_passivos: A classe elementos_passivos tratará da representação
dos elementos resistivos, indutivos e capacitivos.
Classe transformadores: A classe transformadores tratará da representação de
transformadores de dois enrolamentos.
Classe fontes: A classe fontes será responsável pela representação de fontes de
tensão e corrente.
Classe switch: A classe switch será responsável pela representação das chaves
seccionadoras.
Classe eventos: a Classe eventos será responsável pela representação de eventos,
como por exemplo, atuação temporizada das chaves.
Classe power_sys: A classe power_sys será responsável pela solução do sistema
linear, montando a matriz de admitância nodal, matriz de correntes nodais e tensões
nodais, resolvendo o sistema linear.
A seguir serão detalhadas a estrutura das classes e seus principais atributos e métodos. O
código de programação das classes em C++ está presente no Apêndice A.
3.3.1. Classe elementos_passivos
A classe elementos_passivos tratará da representação de resistores, indutores e
capacitores, que serão reunidos em uma única classe. Cada elemento passivo individual
será tratado como um diferente objeto da classe. A
Tabela 1 mostra os principais atributos e métodos definidos para a classe
elementos_passivos.
Tabela 1 – Atributos e métodos definidos para a classe elementos_passivos
Classe elementos_passivos
<<Atributos>> busk busm
r l c
gc grl
23
hc hl
<<Métodos>> ler_entradas() atualizar_hc() atualizar_hl() calcular_g()
Os parâmetros de entrada que devem ser definidos para cada elemento da classe
elementos_passivos, no começo da execução do programa, serão:
Numero das barras as quais o elemento esta conectado: (busk, busm)
Parâmetro de resistência, indutância e capacitância do elemento (r , l , c)
A leitura dos dados de entrada é feita através do método ler_entradas() .A classe calcula a
admitância equivalente (gc e grl) para cada objeto através do método calcular_g() e atualiza
os termos históricos dos elementos passivos, hc e hl, através da função atualizar_hc() e
atualizar_hl()
3.3.2. Classe transformadores
A classe transformadores foi modelada de maneira a representar transformadores de dois
enrolamentos. A Tabela 2 mostra os principais atributos e métodos para a classe
transformadores.
Tabela 2 – Atributos e métodos definidos para a classe transformadores
Classe transformadores
<<Atributos>> busk busm
R Ls N
g_trafo h_trafo
L1
<<Métodos>> ler_entradas()
matriz_L1() atualizar_ht() calcular_g()
Os dados de entrada para a criação de um objeto da classe transformadores, são lidos pelo
programa pelo método ler_entradas() e são:
Barras às quais está conectado o equipamento (busk , busm)
24
Parâmetros do transformador: resistência do lado do primário, resistência do lado do
secundário, indutância do lado do primário, indutância do lado do secundário e
relação de transformação ( r1, r2, l1, l2. N)
Os métodos matriz_L1(), calcular_g() e atualizar_ht() calculam respectivamente a matriz
inversa de indutâncias , a sub-matriz de admitância do transformador e os termos históricos
de corrente no transformador.
3.3.3. Classe fontes
A classe fontes é responsável pela representação de fontes de tensão e corrente. A Tabela
3 mostra os principais atributos e métodos para a classe fontes.
Tabela 3 – Atributos e métodos definidos para a classe elementos_passivos
Classe fontes
<<Atributos>> bus amp freq
phase tipo_fonte
<<Métodos>> ler_entradas()
fonte_inst()
Os dados de entrada para a classe fontes são:
Barra ao qual a fonte está conectada (bus)
Parâmetros da fonte: amplitude, frequência, ângulo de fase e tipo de fonte (bus, amp,
freq, phase, tipo_fonte)
Os dados da entrada são lidos através do método ler_entradas(). O método fonte_inst()
calcula e retorna o valor instantâneo do sinal de tensão ou corrente da fonte.
3.3.4. Classe switch
A classe switch representa a presença de chaves e seus estados na simulação.
Tabela 4 – Atributos e métodos definidos para a classe switch
Classe switch
<<Atributos>> busk busm status
25
<<Métodos>> ler_entradas() chaveamento()
Os dados de entrada para a criação de um objeto da classe chaves são:
Barras as quais a chaves estão conectadas (busk, busm)
Estado da chave, de valor booleano, aberto ou fechado. (status).
O método ler_entradas() lê os dados de entrada para um novo objeto da classe switch.e o
método chaveamento() é responsável pelo chaveamento da mesma, alterando seu status.
3.3.5. Classe eventos
A classe eventos é uma classe herdeira das classes switch, fontes e transformadores e
determina a ocorrência de um evento durante a simulação. A Tabela 5 apresenta os
principais atributos e métodos definidos para a classe eventos.
Tabela 5 - Atributos e métodos definidos para a classe eventos
Classe eventos
<<Atributos>> elemento
busk busm
valor_posevento inst_evento
<<Métodos>> ler_entradas()
evento_chave() evento_fonte() evento_trafo()
Os dados de entrada dos eventos são:
Elemento a ser atuado pelo evento. Entre os tipos de elementos definidos estão:
fontes, transformador ou chave seccionadora
Barramentos ou barramento onde está conectado o equipamento (busk, busm)
Instante de tempo no qual ocorre o evento (inst_evento)
Valor a ser aplicado ao parâmetro do respectivo elemento, pós-evento
(valor_posevento). No caso de fontes o valor corresponde a nova amplitude e no
caso de transformadores ao novo valor de tap.
26
3.3.6. Classe power_sys
A classe power_sys é responsável pela montagem e solução das equações de solução do
sistema elétrico. A Tabela 6 apresenta os atributos e métodos definidos para a classe
power_sys.
Tabela 6 – Atributos e métodos definidos para a classe power_sys
Classe power_sys
<<Atributos>> n_elementos n_eventos n_chaves
n_transformadores n_nos
n_fontes_V n_fontes_I
vetor_V vetor_I
matriz_A vetor_B vetor_x
<<Métodos>> ler_elementos_sistema()
checar_eventos() montar_A() montar_B()
atualizar_h() montar_V() montar_I()
Solve()
Os principais métodos presentes nesta classe são:
montar_A(): O método montar_A() monta a matriz de admitância nodal modificada,
obtendo os valores de admitância calculados pelas classes elementos_passivos e
transformadores. O método leva em conta também a incidência nodal de fontes de
tensão e chaves
montar_B(): monta a matriz B para a solução do sistema linear, obtendo os vetores
de corrente e tensão, calculados na classe fontes e os vetores de termos históricos,
das classes elementos_passivos e transformadores.
atualizar_h(): atualiza as correntes históricas dos elementos passivos e
transformadores.
Solve(): Resolve o sistema linear Ax=B, obtendo o vetor solução x
27
O método de solução do sistema linear, assim como a montagem das matrizes se dá
através da biblioteca Eigen para C++, que permite trabalhar com matrizes de números
complexos de ordem elevada e com bom desemprenho.
A solução do sistema linear se dá através do método de solução LU com pivoteamento
completo, presente na biblioteca através da chamada da função fullPivLu(). A solução
completa do sistema linear, após a definição das matrizes A e B se dá pelo comando x =
A.fullPivLu().solve(B), que retorna o vetor solução x.
3.4. Algoritmo para solução do sistema
O algoritmo para solução do sistema linear segue os passos tratados a seguir:
Inicialmente, definem-se os parâmetros de simulação do programa. Tais parâmetros levam
em conta, por exemplo, o passo de simulação a ser adotado e o tempo de simulação total.
O passo seguinte consiste na leitura dos elementos e topologia do sistema. Entre os dados
a serem lidos pelo programa está a presença de elementos passivos (indutores, resistores e
capacitores), transformadores, fontes, chaves, além da presença ou não de eventos atuando
durante a simulação. Na leitura dos dados de entrada de cada elemento são obtidos os
respectivos parâmetros correspondentes, tratados na Seção 3.3.
De posse da configuração do sistema elétrico e dos parâmetros de simulação, é feita a
inicialização das matrizes e termos históricos e inicializa-se a contagem de tempo da
simulação. As dimensões das matrizes se manterão inalteradas durante toda a simulação. A
matriz de admitância nodal modificada será inicializada no começo da simulação e se
alterará somente caso ocorra algum evento.
A cada passo de simulação, o programa fará a verificação da presença de algum evento no
instante de tempo respectivo. Na presença de eventos, a matriz de admitância nodal será
modificada e precedida pela montagem da matriz B de correntes nodais e fontes ativas.
Caso não haja nenhum evento atuando, a matriz B será montada diretamente.
O passo seguinte consiste da solução do sistema linear. Os termos históricos serão
recalculados em cada passo de simulação e serão salvos os dados de saída (tensão e
corrente nodais). A simulação segue até que o tempo total de simulação seja alcançado.
A Figura 10 mostra o fluxograma simplificado de solução do programa de análise de
transitórios.
28
Definição dos parâmetros de simulação
Início
Leitura dos elementos de
circuito
Montagem da matriz de
admitância nodal
Montagem do vetor de correntes nodais e fontes
ativas
Solução do sistema linear
Atualização dos termos históricos
Armazenamento dos dados de saída
t<t_final?
t=t+ΔtEvento
atuando?
Fim da simulação
t=0
Sim
Não
Sim
Não
Inicialização das matrizes e termos históricos
Figura 10 – Fluxograma de atuação do programa
29
4. Resultados da Simulação
Nesta seção serão apresentados os resultados das simulações para diferentes tipos de
circuitos, utilizando o programa desenvolvido ao longo deste trabalho. Serão inicialmente
montados casos testes de menor complexidade, partindo para sistemas mais complexos,
validando os modelos dos elementos elétricos considerados.
O sinal analítico deslocado, calculado pelo programa, tem característica complexa. A
componente real representa a forma de onda da tensão, ou corrente, no tempo, equivalente
ao sinal real calculada pelo modelo de análise de transitórios padrão, EMTP. O módulo do
sinal analítico representa a envoltória da forma de onda e é dado pelo sinal SFA, que pode
ser obtido utilizando passos de simulação maiores.
Tanto a envoltória quanto a forma de onda real das grandezas apresentadas foram obtidas
como saída do programa desenvolvido.
Os casos simulados foram validados junto ao programa de análise de transitórios, ATP. Em
alguns dos casos foram comparados o sinal real de saída do programa com o sinal obtido
através das simulações no ATP, solução EMTP. Foram tomadas como referências para as
simulações alguns dos casos presentes nas referências (STRUNZ, SHINTAKU e GAO,
2006) (ZHANG, 2009).
4.1. Circuito RL série
Para validar o modelo da resistência acoplada a uma impedância, assim como o modelo da
fonte de tensão, foi simulado um circuito RL série de resistência R= 300 Ω e indutância
L=300mH. Os componentes estão conectados em série com a fonte de tensão de valor
=150V. A fonte é conectada ao circuito no instante de tempo . A Figura 11 mostra
o esquema do circuito simulado.
A Figura 12 mostra o envelope da tensão no indutor, obtido com o modelo de deslocamento
em frequência, SFA, com um passo de simulação de 1ms.
Na Figura 13 estão presentes a forma de onda da tensão sobre o indutor ao longo tempo,
dado pela parcela real do sinal analítico, junto com o envelope de tensão, módulo do sinal
complexo. Para esta simulação foi utilizado um passo de simulação menor, de 50µs.
Na Figura 14 está a validação entre o sinal real obtido no programa e o valor de tensão
calculado pelo ATP, relativo à tensão no indutor. O passo de simulação em ambos os casos
é de 50µs.
30
1 2R L
Figura 11 – Circuito de teste para a simulação - RL série
Figura 12 – Envelope de tensão sobre o indutor
Figura 13 Tensão sobre a indutância
0
10
20
30
40
50
60
0.00 0.03 0.05 0.08 0.10 0.13 0.15 0.18
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal SFA
-60
-40
-20
0
20
40
60
0.00 0.03 0.05 0.08 0.10 0.13 0.15 0.18
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal real
Sinal SFA
31
Figura 14 – Comparação da tensão sobre o indutor, entre programa criado e o programa ATP
4.2. Circuito RC série
Para a validação do elemento capacitivo, foi simulado um circuito RC série, de resistência
e capacitância . Uma fonte de tensão é conectada ao circuito no instante
inicial . A fonte de tensão tem amplitude . A Figura 15 mostra o esquema
do circuito considerado nesta simulação.
A Figura 16 mostra envelope da tensão sobre o elemento capacitivo, numa simulação com
passo de 1m .
Na Figura 17 está presente a tensão sobre o capacitor ao longo do tempo assim como a
envoltória da tensão, obtido através de um passo de simulação maior de 50 .
Na Figura 18 foi feita a comparação entre o sinal real da tensão e a tensão obtida através da
simulação no ATP. Foi utilizado um passo de simulação de 50 .
1 2
C
Figura 15 - Circuito de teste para a simulação - RC série
-60
-40
-20
0
20
40
60
0.00 0.03 0.05 0.08 0.10 0.13 0.15 0.18 0.20
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal Real
Solução EMTP
32
Figura 16 – Envelope de tensão no elemento capacitivo
Figura 17 – Tensão sobre o capacitor
0
10
20
30
40
50
60
0.003 0.053 0.103 0.153
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal SFA
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
0.003 0.053 0.103 0.153
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal Real
Sinal SFA
33
Figura 18 – Comparação da tensão no capacitor, entre o programa criado e o programa ATP.
4.3. Circuito RLC série
O circuito RLC série, presente na Figura 19, foi simulado após a validação dos modelos
individuais para o modelo da resistência, indutância e capacitância. O valor da resistência é
de , o da indutância de e o da capacitância de . A fonte de
tensão senoidal tem amplitude de . A fonte é chaveada junto ao circuito no
instante de tempo .
A Figura 20 mostra a tensão sobre o nó 2 no modelo de deslocamento em frequência,
calculado com um passo de simulação de . Na Figura 21 está presente a variação do
sinal de tensão no nó ao longo do tempo, com um passo de simulação menor, igual a 50 .
A Figura 23 mostra a envoltória da corrente no circuito e a Figura 24 o sinal de corrente no
tempo, junto com a envoltória calculada pelo modelo do deslocamento em frequência. Foi
utilizado um passo de simulação de 50 .
Nas Figura 22 e Figura 25 foi feita a comparação entre os sinais reais de corrente e tensão
entre o programa criado e o programa ATP, utilizando um passo de simulação de 50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
0 0.05 0.1 0.15 0.2
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal Real
Solução EMTP
34
1 2R L
3
C
Figura 19 - Circuito de teste para a simulação - RLC série
Figura 20 – Envelope de tensão no nó 2
0
50
100
150
200
250
0.00 0.05 0.10 0.15
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal SFA
35
Figura 21 – Tensão sobre o nó 2
Figura 22 – Comparação da tensão no terminal 2, entre o programa criado e o programa ATP.
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
0.00 0.05 0.10 0.15
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal real
Sinal SFA
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal Real
Solução EMTP
36
Figura 23 – Espectro da corrente no circuito RLC série
Figura 24 – Corrente no circuito RLC série
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Co
rre
nte
(A
)
tempo (s)
Sinal SFA
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Co
rre
nte
(A
)
tempo (s)
Sinal SFA
Sinal Real
37
Figura 25 - Comparação da corrente no circuito, entre o programa criado e o programa ATP.
4.4. Circuito RLC chaveado
O circuito da Figura 26, mostra uma simulação com a presença de diferentes elementos
passivos e mostra a validação de aplicação de eventos durante a simulação. O valor da
amplitude da fonte de tensão alternada é de . Os elementos passivos têm os
seguintes valores: , , , , e .
A fonte de tensão é conectada ao circuito em . A chave inicialmente encontra-se
fechada e após do início da simulação a chave é aberta.
A Figura 27 mostra o comportamento da corrente entre os ramos 1 e 2, calculado pelo
modelo do deslocamento em frequência.
Figura 28 está presente o comportamento do sinal no tempo, calculado com um passo de
simulação de 50 e a comparação com a respectiva envoltória.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
Co
rre
nte
(A
)
tempo (s)
Sinal real
Solução EMTP
38
1
R1 L1
2
C1 C2
3S1
R2 L2
Figura 26 - Circuito de teste para a simulação – Circuito Linear com chaveamento
Figura 27 – Espectro da corrente entre os nós 1 e 2
0
5
10
15
20
25
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
Co
rre
nte
(A
)
tempo (s)
Sinal SFA
39
Figura 28 – Variação da corrente entre os nós 1 e 2, com o respectivo espectro da corrente
4.5. Fonte de tensão acoplada a um transformador
Para a simulação do circuito de teste para o transformador, foi criado um circuito composto
de uma fonte de tensão acoplada ao primário de um transformador de dois enrolamentos,
com o secundário em aberto. O transformador foi modelado de maneira a representar um
transformador de tap variável. A fonte de tensão possui amplitude de 110V. A relação de
espiras do transformador, é dada por . A resistência total do transformador vista
do lado primário é de e a reatância de valor
Inicialmente a fonte de tensão está com seu valor nominal igual a 1 p.u. e o transformador
com tap no valor nominal igual a 1. Após 5 segundos de simulação, a amplitude da fonte de
tensão foi mudada para 0,95 p.u. Aos 7 segundos de simulação, o tap do transformador é
alterado para 1,05 de maneira a trazer o nível de tensão do secundário ao valor anterior ao
evento.
A Figura 30 mostra a tensão no secundário do transformador, calculada pelo modelo SFA
com um passo de simulação de 1ms. A Figura 31, mostra o resultado da simulação para os
valores de tensão no secundário do transformador, utilizando o mesmo passo de simulação.
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
Co
rre
nte
(A
)
tempo (s)
Sinal real
Sinal SFA
40
1 2
v2(t)
Figura 29 - Circuito para validação do modelo do transformador
Figura 30 – Tensão calculada no terminal secundário do transformador pelo modelo SFA
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal SFA
41
Figura 31 – Tensão no secundário do transformador
4.6. Energização e Desenergização de um Sistema
Simplificado
O circuito da Figura 32 representa um sistema teste para validação completa dos
componentes cadastrados no programa, estando presentes além da fonte de tensão, os
elementos passivos e o transformador. O circuito conta com duas chaves, sendo aplicados
também eventos de chaveamento durante a simulação.
A fonte de tensão presente no circuito tem característica senoidal, de frequência e
amplitude nominal . A fonte é conectada ao sistema no instante inicial, ,
com seu valor nominal de tensão. Aos 0.2 segundos de simulação é simulada uma queda no
valor de amplitude da fonte, reduzindo a amplitude da tensão a 0,58 vezes seu valor inicial.
A amplitude é elevada a seu valor original aos 0,5 segundos de simulação.
A linha de transmissão é representada por dois circuitos , usados para modelagem de
linhas médias, em série. Os parâmetros considerados para este modelo são: ,
e Para os componentes conectados ao fim da linha de transmissão
foram considerados os valores de e .
O transformador tem relação de espiras de 6:1 e uma indutância série de valor .
No secundário do transformador, a carga acoplada tem componentes de valor e
Devido à queda de tensão da fonte, a chave é aberta no instante , de maneira a
isolar a carga da fonte de alimentação do circuito. Após a tensão da fonte retornar a seu
-40.00
-30.00
-20.00
-10.00
0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Ten
são
(V
)
tempo (s)
Sinal SFA
Sinal real
42
valor original em , a chave é agora fechada no instante , alimentando
novamente a carga.
1 3S1
2S2
R1 C1 R2 C2 vl (t)
Lt1
4 5 6 7
Figura 32 – Circuito teste com chaveamento, para um sistema representando linhas de transmissão e transformador
A Figura 33 mostra a envoltória da tensão sobre a carga durante o período de simulação de
1 segundo. Na Figura 34 está presente o resultado da tensão medida no secundário do
transformador, para o modelo EMTP e a envoltória calculada pelo modelo do deslocamento
em frequência.
Na resposta com o sinal de tensão real representado, Figura 34, foi utilizado um passo de
simulação de 50 s, enquanto a resposta para o sinal deslocado em frequência SFA, Figura
33, pode ser obtido com um passo de simulação de 2ms.
Figura 33 – Espectro da tensão sobre a carga no secundário do transformador
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Ten
são
(K
V)
tempo (s)
Sinal SFA
43
Figura 34 – Sinal de tensão sobre a carga, com o respectivo espectro do sinal calculado pelo modelo do deslocamento em frequência
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Ten
são
(K
V)
tempo (s)
Sinal real
Sinal SFA
44
5. Conclusão
O principal objetivo do desenvolvimento do modelo do deslocamento em frequência é
permitir a simulações de transitórios eletromagnéticos utilizando um passo de simulação
maior, o que permite uma simulação mais rápida sem perda da precisão ou qualidade na
forma de onda da saída. A programação em C++ foi desenvolvida por se tratar de um código
aberto, podendo o desenvolvimento obtido neste trabalho ser facilmente reproduzido.
Os resultados obtidos neste trabalho atenderam todas as expectativas, reproduzindo de
maneira precisa, o comportamento dos sinais simulados. O programa desenvolvido neste
trabalho permite a análise do envelope de um sinal transitório, calculado pelo modelo do
deslocamento em frequência, SFA, permitindo também o cálculo do comportamento efetivo
do sinal no tempo, como calculados por programas de simulação padrão, EMTP, que exige
passos menores de simulação. A vantagem da utilização da simulação SFA é a
possibilidade da utilização de um passo de simulação maior, apresentando grande
vantagem quando a amplitude instantânea do sinal é suficiente para representar o
comportamento que se deseja analisar.
O aumento do passo de simulação possibilitado pelo modelo SFA em relação ao modelo
EMTP foi significativo. Nos casos mais complexos utilizados foi possível a utilização de
passos de simulação da ordem de 2 s em relação ao passo de simulação de 50 s
necessário para o modelo EMTP padrão.
A análise do deslocamento em frequência, portanto, se torna extremamente válida e efetiva
em uma grande variedade de aplicações. A desvantagem de se trabalhar com sinais
imaginários ao invés de sinais reais, presentes em simulações padrões EMTP, é
compensada pela redução significativa do tempo de simulação alcançada, com a utilização
de passos de simulação maiores.
Possíveis aprimoramentos podem ser desenvolvidos, incluindo a modelagem de máquinas
síncronas, máquinas de indução, modelagem completa de linhas de transmissão, entre
outros.
45
6. Referências Bibliográficas
BORGES, C. L. T. Análise de Sistemas de Potência. Rio de Janeiro: Universidade Federal
do Rio de Janeiro, 2005.
CASEIRA, F. D. A. F. Análise de Transitórios Envolvendo Deslocamento da
Frequência. Universidade federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro. 2012.
DEMIRAY, T.; ANDERSON, G.; BUSARELLO, L. Evaluation study for the Simulation of
Power System Transients using Dynamic Phasor Model. [S.l.].
DOMMEL, H. W. "Digital computer solution of electromagnetic transients". IEEE Trans.
Power App.Syst., vol. PAS-88, no. 4, Abril 1969. pp. 388-399.
DOMMEL, H. W. Electo-Magnetic Transients Program (EMTP) Theory Book. [S.l.]:
Boneville Power Administration, 1986.
EIGEN Library for C++. Eigen-unsupported - Tuxfamily.org. Disponivel em:
<http://www.eigen.tuxfamily.org>. Acesso em: 15 Outubro 2014.
HENSCHEL, S. Analysis of Eletromagnetic and Eletromechanical Power System
Transients with Dynamic Phasors. D. Sc. Dissertation, The University of British Columbia.
Vancouver. 1999.
HOLLMAN, J. A. Step by Step Eigenvalue Analysis with EMTP Discrete Time Solution.
D. Sc. Dissertation, The University of British Columbia. Vancouver. 2006.
HOLLMAN, J. A.; MARTÍN, J. R. "Step by Step Eigenvalue Analysis with EMTP Discrete
Time Solution". IEEE TRANSACTIONS ON POWER SYSTEMS, VOL. 25, Nº. 3, Agosto
2010. pp. 1220-1231.
MAHSEREDJIAN, J.; ALVARADO, F. "Creating an Electromagnetic Transients Program in
MATLAB: MatEMTP". IEEE Transaction on Power Delivery, Vol 12, Janeiro 1997. pp. 380-
388.
MANZONI, A. Desenvolvimento de um Sistema Computacional Orientado a Objetos
para Sistema Elétricos de Potência: Aplicação a Simulação Rápida e Análise da
Estabilidade de Tensão. Tese de D.Sc., COPPE/ UFRJ. Rio de Janeiro. 2005.
SERNA, J. A. D. L. O. "Dynamic Phasor Estimates for Power System Oscilations". IEEE
TRANSACTIONS ON INSTRUMENTATION AND MEASUREMENT, VOL. 56, Nº. 5, 2007.
pp. 1648-1657.
SOUZA, D. D. M. Simulador de Circuitos Elétricos de Pequeno Porte Utilizando
Modelagem Orientada a Objetos. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro.
2011.
STRUNZ, K.; SHINTAKU, R.; GAO, F. "Frequency-Adaptative Network Modeling for
Integrative Simulation of Natural and Envelope Waveforms in Power System and Circuits".
46
IEEE TRANSACTIONS ON CIRCUITS AND SYSTEMS—I: REGULAR PAPERS, VOL. 53,
Nº. 12, Dezembro 2006. pp. 2788-2803.
ZHANG, P. Shifted Frequency Analysis for EMTP Simulation of Power System
Dynamics. D. Sc. Thesis, University of British Columbia. Vancouver. 2009.
47
Apêndice A – Classes de programação
I. Classe elementos_passivos #include <Eigen/Dense> class passive_element { private: void calc_grl(void); void calc_gc(void); public: int busk, busm; void ler_entradas(int, int, double, double, double); double r, l, c; dcomplex gc, grl; dcomplex hc, hl; dcomplex ic_old; // void atualizar_hc(dcomplex,dcomplex); void atualizar_hl(dcomplex, dcomplex); dcomplex calcular_g(void); ///}; void passive_element::ler_entradas(int a, int b, double res, double ind, double cap){ busk = a; busm = b; r = res; l = ind; c = cap; calc_gc(); calc_grl(); hc = 0.; ic_old = 0; hl = 0.; }; void passive_element::calc_gc(void){ gc = c*(2. / step + J*Ws); if (c == 0){ gc = 0; }}; void passive_element::calc_grl(void){ dcomplex w; if ((r == 0) && (l == 0)) { grl = 0.; } else if (l == 0){ grl = 1 / r; } else { w = (r + 2.*l/step + J*Ws*l); grl = 1. / w; };}; void passive_element::atualizar_hc(dcomplex vco,dcomplex ico){ dcomplex hco; hco = hc; ic_old = -ico; hc = 4.*c*vco / step - hco;//original hc = hc*exp(J*Ws*step); if (c == 0) hc = 0; }; void passive_element::atualizar_hl(dcomplex vto, dcomplex ilo){ dcomplex hlo;
48
hlo = hl; hl = grl*((r - 2.*l / step + J*Ws*l)*grl - 1.)*vto - grl*(r - 2.*l / step + J*Ws*l)*hlo; hl = hl*exp(J*Ws*step); if (l == 0) { hl = 0.; };}; dcomplex passive_element::calcular_g(){ dcomplex g; g = grl + gc; return g; };
II. Classe transformadores #include <Eigen/Dense> using namespace Eigen; class transformador{ public: int busk, busm; void ler_entradas(int, int, double,double, double, double,double); double Rs,Ls,N; MatrixXcd g_trafo; void update_ht(dcomplex, dcomplex); VectorXcd h_trafo; void matriz_L1(void); void calcular_g(void); MatrixXcd L1; MatrixXcd I; };
void transformador::ler_entradas(int a, int b, double r1,double r2, double L1,double
L2, double n){
busk = a; busm = b; N = n; Rs = r1+pow(N,2)*r2; Ls = L1 + pow(N, 2)*L2; I.resize(2, 2); I.fill(0); I(0,0) = 1; I(1, 1) = 1; matriz_L1(); calcular_g(); }; void transformador::matriz_L1(void){ L1.resize(2,2); L1.fill(0); L1(0,0) = 1 / Ls; L1(0,1) = -N*(1 / Ls); L1(1,0) = L1(0,1); L1(1,1) = (N)*(N)*(1 / Ls); cout << endl << L1<<endl; cout << endl << L1.inverse() << endl; }; void transformador::calcular_g(void){ g_trafo = ((L1*Rs+(2/step+J*Ws)*I).inverse())*L1; }; void transformador::update_ht(dcomplex v1,dcomplex v2){ VectorXcd h_trafo_old; VectorXcd v_trafo;
49
v_trafo.resize(2); v_trafo(0) = v1; v_trafo(1) = v2; h_trafo_old = h_trafo; h_trafo = (((L1*Rs + (2. / step + J*Ws)*I).inverse()*(L1*Rs+(-2./step+J*Ws)*I)*g_trafo)-g_trafo)*v_trafo -(L1*Rs+(2./step+J*Ws)*I).inverse()*(L1*Rs+(-2./step+J*Ws)*I)*h_trafo_old; h_trafo = h_trafo*exp(J*Ws*step); if (Ls == 0) { h_trafo.fill(0); }; };
III. Classe fontes #include <Eigen/Dense> class source { private: double phase, freq; public: int bus; double amp; bool tipo_fonte; dcomplex fonte_inst(double); void ler_entradas(int, bool, double, double, double); };
#include "fontes.h" dcomplex source::fonte_inst(double t){ dcomplex x; x = amp*exp(J*Ws*t-phase);//fonte cossenoidal return x; }; void source::ler_entradas(int bu, bool t, double a, double f, double fr){ amp = a; phase = f; tipo_fonte = t; freq = fr; bus = bu; };
IV. Classe switch #include <Eigen/Dense> class sys_sw{ public: int busk, busm; bool status; void chaveamento(void); void set_values(int, int, bool); };
void sys_sw::set_values(int a, int b, bool c){ busk = a; busm = b; status = c; }; void sys_sw::chaveamento(void){ status = !status;
50
};
V. Classe eventos class events { private: public: int inst_evento; int busk, busm; int elemento; double valor_posevento; void ler_entradas(int,int, int, double,double); bool evento_chave(sys_sw, int); bool evento_trafo(transformador, int); bool evento_fonte(source, int); };
#include "events.h" void events::ler_entradas(int e, int a, int b, double c, double d){ inst_evento = (c / step); busk = a; busm = b; valor_posevento = d; elemento = e; }; bool events::evento_chave(sys_sw x, int ti){ bool a = 0; if (ti == inst_evento) { if (((x.busk == busk) && (x.busm == busm))){ x.chaveamento(); a = 1; }; }; return a; }; bool events::evento_fonte(source y, int ti){ bool a = 0; if (ti == inst_evento) { if ((y.bus == busk)){ a = 1; }; }; return a; }; bool events::evento_trafo(transformador z, int ti){ bool a = 0; if (ti == inst_evento) { if ((z.busk == busk) && (z.busm == busm)){ a = 1; }; }; return a; };
51
VI. Classe power_sys #include <Eigen/Dense> using namespace Eigen; using namespace std; class power_sys{ public: void ler_elementos_sistema(void); void checar_eventos(void); void mount_A(void); void mount_B(double); void atualizar_h(double); void mount_i(double); void mount_v(double); void ver_eventos(void); void solve(void); int n_elementos, n_eventos, n_chaves, n_transformadores, n_nos, n_fontes_v, n_fontes_i; VectorXcd vetor_V; VectorXcd vetor_Is; MatrixXcd A; VectorXcd B; //sub-rotinas void read_elements(void); void read_sources(void); void read_fontescontroladas(void); void read_transformer(void); void read_switches(void); void read_events(void); //definicoes internas passive_element elementos[20]; source fontes[5]; events eventos[5]; sys_sw chaves[5]; transformador trafo[5]; int m; int taman_vsource, taman_data_source, taman_A, n, taman_isource, taman_data_sw, taman_gaa; int taman_data_ele, taman_data_eve, nn; int n_transformador; int transformer; int taman_vcontrol, taman_icontrol; vector<dcomplex> matriz_A, matriz_b; VectorXcd x; VectorXcd vetor_Ivs; VectorXcd vetor_In; }; #include <iostream> #include <fstream> void power_sys::ler_elementos_sistema(void){ read_elements(); read_sources(); read_fontescontroladas(); read_transformer(); read_switches(); read_events();
52
} void power_sys::read_elements(void){ ifstream ele ("elementos.txt"); if (!ele) cout << "Falha ao abir elementos.txt\n"; int a, b; double resis, induc, capac; taman_gaa = 0; n = 0; taman_data_ele = 0; for (int ii = 0; ele.good() && !ele.eof(); ii++){ ele >> a >> b >> resis >> induc >> capac; elementos[ii].ler_entradas(a, b, resis, induc, capac); cout << "Linha"<< ii+1<< " - barra "<< a << " barra "<< b << " R=" << resis <<" I="<< induc << " C="<< capac << "\n"; taman_data_ele++; if (a>taman_gaa) { taman_gaa = a; }; if (b>taman_gaa){ taman_gaa = b; }; }; cout << "taman_gaa: " << taman_gaa << endl; //cout <<":"<< taman_gaa << "\n"; n = taman_gaa; ele.close(); }; void power_sys::read_sources(void){ ifstream sou("fontes.txt"); if (!sou) cout << "Falha ao abir fontes.txt\n"; int a; double ampli, phase, fr; char ti[8]; bool tipe_source; taman_vsource = 0; taman_isource = 0; taman_data_source = 0; for (int ii = 0; sou.good() && !sou.eof(); ii++){ sou >> a >> ti >> ampli >> phase >> fr; tipe_source = strcmp(ti, "VOLTAGE"); if (!tipe_source) taman_vsource++; else taman_isource++; fontes[ii].ler_entradas(a, tipe_source, ampli, phase, fr); taman_data_source++; cout << "Linha" << ii+1 << " - barra " << a << " tipo " << ti << " amplitude =" << ampli << " fase =" << phase << " frequencia=" << fr << "\n"; if (a > n)n = a; }; cout << "taman_data_source: " << taman_data_source << endl; sou.close(); }; //TRANSFORMADOR void power_sys::read_transformer(void){ ifstream transf("transformer.txt"); if (!transf) cout << "Cannot open file transformer.txt\n"; n_transformador = 0; int busa, busb; double R1,R2,L1,L2,N; for (int ii = 0; transf.good() && !transf.eof(); ii++){ transf >> busa >> busb >> R1 >> R2 >> L1>>L2>>N; trafo[ii].ler_entradas(busa,busb,R1,R2,L1,L2,N);
53
if (busa > n)n = busa; if (busb > n)n = busb; n_transformador++; trafo[ii].h_trafo.resize(2); trafo[ii].h_trafo.fill(0); }; cout << "n_transformador: " << n_transformador << endl; transf.close(); }; void power_sys::read_switches(void){ ifstream ch("chaves.txt"); taman_data_sw = 0; if (!ch) cout << "Cannot open file chaves.txt\n"; for (int ii = 0; ch.good() && !ch.eof(); ii++){ int a, b; char ti[8]; bool status; ch >> a >> b >> ti; status = strcmp(ti, "ABERTO"); chaves[ii].set_values(a, b, status); taman_data_sw++; if (a>n) n=a; if (b>n) n = b; }; cout << "taman_data_sw: " << taman_data_sw << endl; ch.close(); vetor_V.resize(n); vetor_V.fill(0); vetor_In.resize(n); vetor_In.fill(0); }; void power_sys::read_events(void){ ifstream eve("eventos.txt"); taman_data_eve = 0; for (int ii = 0; eve.good() && !eve.eof(); ii++){ int a, b,elemento; double inst, valor; eve >> elemento >> a >> b >> inst >> valor; eventos[ii].ler_entradas(elemento,a, b, inst, valor); taman_data_eve++; }; eve.close(); nn = 0; }; void power_sys::mount_A(void) { m = n +taman_vsource +taman_data_sw ;//pega dimensao da matriz A.resize(m,m);//Grow Lines by m//and columns A.fill(0); for (int ii = 0; ii < taman_data_ele; ii++) { int bk, bm; elementos[ii]; bk = elementos[ii].busk-1; bm= elementos[ii].busm-1; if (elementos[ii].busm == 0){ A(bk, bk) = A(bk, bk) + elementos[ii].calcular_g(); } else{ A(bk, bm) = A(bk, bm) - elementos[ii].calcular_g(); A(bm, bk) = A(bm, bk) - elementos[ii].calcular_g(); A(bk, bk) = A(bk, bk) + elementos[ii].calcular_g();
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A(bm, bm) = A(bm, bm) + elementos[ii].calcular_g(); } } int kk = 0; for (int ii = 0; ii < taman_data_source; ii++) { fontes[ii]; if (!fontes[ii].tipo_fonte)//não é fonte de corrente { int bus = fontes[ii].bus - 1; A(n + kk,bus) = 1; A(bus, n + kk) = 1; kk++; } } //Transformadores--------------------------///// for (int ii = 0; ii < n_transformador; ii++) { int bk, bm; trafo[ii]; bk = trafo[ii].busk - 1; bm = trafo[ii].busm - 1; A(bk, bm) = A(bk, bm) + trafo[ii].g_trafo(0,1); A(bm, bk) = A(bm, bk) + trafo[ii].g_trafo(1,0); A(bk, bk) = A(bk, bk) + trafo[ii].g_trafo(0,0); A(bm, bm) = A(bm, bm) + trafo[ii].g_trafo(1,1); } //fim transformador kk = 0; for (int ii = 0; ii < taman_data_sw; ii++) { chaves[ii]; int bk, bm; bk = chaves[ii].busk-1; bm = chaves[ii].busm-1; if (chaves[ii].status){//chave fechada A(n + taman_vsource + kk, bk) = 1; A(n + taman_vsource + kk, bm) = -1; A(bk, n + taman_vsource + kk) = 1; A(bm,n + taman_vsource + kk) = -1; } if (!chaves[ii].status)//chave aberta { A(n + taman_vsource + kk,n + taman_vsource + kk) = 1; } kk++; }} void power_sys::mount_B(double ti){/// B.resize(m);//Grow Lines by m B.fill(0); int jj = 0; for (int ii = 0; ii < taman_data_source; ii++){ int bus; fontes[ii]; if (fontes[ii].tipo_fonte){//fonte de corrente bus = fontes[ii].bus - 1; B(bus) = fontes[ii].fonte_inst(ti); } if (!fontes[ii].tipo_fonte)//não é fonte de corrente { B(n + jj) = fontes[ii].fonte_inst(ti); jj++; }}
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for (int ii = 0; ii < taman_data_ele; ii++){ int bk, bm; dcomplex v=0; bk = elementos[ii].busk - 1; bm = elementos[ii].busm - 1; B(bk) = B(bk) + elementos[ii].hc + elementos[ii].hl;// if (elementos[ii].busm!=0){ B(bm) = B(bm) - elementos[ii].hc - elementos[ii].hl;// }} for (int ii = 0; ii < n_transformador; ii++){ int bk, bm; dcomplex v = 0; bk = trafo[ii].busk - 1; bm = trafo[ii].busm - 1; B(bk) = B(bk) + trafo[ii].h_trafo(0); B(bm) = B(bm) + trafo[ii].h_trafo(1); } for (int uu = 0; uu < n; uu++){ vetor_In(uu) = B(uu); }} void power_sys::atualizar_h(double ti){ for (int ii = 0; ii < taman_data_ele; ii++){ dcomplex v, ia, g; v = 0.; ia = 0; int bk, bm; bk = elementos[ii].busk - 1; bm = elementos[ii].busm - 1; if (elementos[ii].busm <=n){ if (elementos[ii].busm == 0){ v = vetor_V(bk); } else { v = vetor_V(bk) - vetor_V(bm); }}; g = elementos[ii].calcular_g(); ia = v*(g); elementos[ii].atualizar_hc(v,ia); elementos[ii].atualizar_hl(v, ia); }; //historico dos transformadores for (int ii = 0; ii < n_transformador; ii++){ dcomplex v1, v2; v1 = 0.; v2 = 0.; int bk, bm; bk = trafo[ii].busk - 1; bm = trafo[ii].busm - 1; v1 = vetor_V(bk); v2 = vetor_V(bm); trafo[ii].update_ht(v1, v2); }; }; void power_sys::solve(){ x = A.fullPivLu().solve(B); int kk = 0; vetor_Ivs.resize(taman_isource); if (taman_data_sw != 0) { vetor_Is.resize(taman_data_sw);
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} for (int i = 0; i < n; i++){ vetor_V(i) = x(i); } kk = 0; if (taman_data_sw != 0){ for (int i = n + taman_vsource; i < n + taman_vsource + taman_isource; i++){ vetor_Is(kk) = x(i); kk++; } } }; void power_sys::checar_eventos(void) { // eventos for (int kk = 0; kk < taman_data_eve; kk++){//checa eventos if (eventos[kk].elemento == 1){ for (int ii = 0; ii < taman_data_sw; ii++)//verifica chaves { if (eventos[kk].evento_chave(chaves[ii], nn)) { chaves[ii].chaveamento(); mount_A(); }}} else if (eventos[kk].elemento == 2){ for (int ii = 0; ii < taman_data_source; ii++){ if (eventos[kk].evento_fonte(fontes[ii], nn)) { cout << endl << "atuação do evento na fonte" << endl; fontes[ii].amp = eventos[kk].valor_posevento; mount_A(); }}} else if (eventos[kk].elemento == 3){ for (int ii = 0; ii < n_transformador; ii++)//verifica trafos { if (eventos[kk].evento_trafo(trafo[ii], nn)) { trafo[ii].N = eventos[kk].valor_posevento; cout<< endl << "atuação do evento no trafo" << endl; trafo[ii].matriz_L1(); trafo[ii].calcular_g(); vetor_V.fill(0); B.fill(0); mount_A(); }}} else{ cout << endl << "evento fora da gama de eventos disponíveis" << endl; } } nn++; };
