Deskriptivní geometrieDG/PÚPN

Roman Hašek

Pedagogická fakulta JU v Č. Budějovicích

hasek@pf.jcu.cz

I. ÚvodPromítací metody.

II. Kótované promítáníZobrazení bodu, přímky, úsečky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčení roviny. Afinita. Obrazec v obecné rovině.

III. Mongeovo promítáníZobrazení bodu, přímky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčeníroviny. Hranol, jehlan, válec a kužel s podstavou v obecné rovině. IV. Kosoúhlé promítáníZobrazení bodu, přímky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčeníroviny. Hranol, jehlan, válec a kužel s podstavou v průmětně.

V. AxonometrieZobrazení bodu, přímky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčeníroviny. Hranol, jehlan, válec a kužel s podstavou v průmětně.

Osnova předmětu

Doporučená literatura

• Urban, A., Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.

• Drábek, K., Harant, F., Setzer, O., Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.

• Fakulta aplikovaných věd ZČU v Plzni, Katedra mat. – oddělení geometrie http://geometrie.kma.zcu.cz (Materiály pro studenty – Materiály podle oborů)

• Jiří Doležal, Základy geometrie a Geometrie, VŠB-TU Ostrava http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Uvod.html

Přednáška č. 1

1. Promítací metody. Rovnoběžné a středové promítání. Dělící poměr. Dvojpoměr. Kótované promítání. Mongeovo promítání. Kosoúhlé promítání. Axonometrie (pravoúhlá, kosoúhlá) Lineární perspektiva.

2. Kótované promítání Zobrazení bodu, přímky, úsečky a roviny. Polohové a metrické úlohy. Průmět kružnice. Otáčení roviny.

Promítání

Promítáním rozumíme zobrazení trojrozměrného prostoru E3 na rovinu E2. Promítat ale

můžeme také třeba dvojrozměrný prostor E2 na přímku E1 apod.

Rovnoběžné promítání

Rovnob. p. zachovává dělící poměr

Středové promítání

Střed. p. zachovává dvojpoměr

( )C A

ABCC B

C

A

B

S

A'

C'

B'

p

C

B

A

C'

A' B'

s

p

( )( )

( )

ABCABCD

ABD

Rovnoběžné promítání

• Kótované promítání• Mongeovo promítání• Kosoúhlé promítání• Axonometrie (pravoúhlá, kosoúhlá)

Rovnoběžné promítání je dáno průmětnou p a směrem promítání s, který není rovnoběžný s průmětnou . Přímku rovnoběžnou se směrem promítání s nazýváme promítací přímka, rovinu rovnoběžnou se směrem s pak nazýváme promítací rovina.

C

B

A

C'

A' B'

s

p

Průmětem přímky je přímka nebo bod:

P … stopník přímkyC … promítací přímka

Průmětem roviny je celá průmětna p nebo přímka:

ps … stopa rovinys’ … průmět promítací roviny

Hlavní přímky roviny jsou přímky roviny rovnoběžné s průmětnou p:

h … hlavní přímkah’… průmět hlavní přímky

Průmětem rovnoběžných přímek a, b jsou rovnoběžné přímky a’, b’ nebo dva body:

Hlavní roviny jsou roviny rovnoběžné s průmětnou p. Průmět útvaru ležícího v hlavní rovině je s ním shodný:

Kótované promítání

- pravoúhlé promítání na jednu průmětnu

p

A1(2)

B1(3.45)

C1(-4.53)x

y

z

kóta – orientovaná vzdálenost bodu od průmětny (z-tová souřadnice bodu)

kótovaný průmět – pravoúhlý průmět (půdorys) s připsanou kótou

Průmět bodu

p

AB

C

A1(2)

B1(3.45)

C1(-4.53)

Průmět přímky

P … stopník přímky

a … odchylka přímky od průmětny

p

L

K

K1(1.3)L1(3)

P=P1(0)

a

p

p1

K1(1.3)L1(3)

P1(0)

p1

Průmět roviny

p

L

K

K1(1.3)

L1(3)

P=P1(0)

a

q

q1

M

s

p1s

h

h1(1.3)

určení roviny … tři nekolineární body, přímka a bod mimo ni, dvě různoběžky, dvě různé rovnoběžky

stopa roviny ps… průsečnice roviny s s průmětnou

hlavní přímka h … přímka, která leží v rovině a je rovnoběžná s průmětnou; spojuje body o stejných kótách.

spádová přímka s … přímka, která leží v rovině a je kolmá na její hlavní přímky

Příklad 1: Sestrojte stopu roviny s = (ABC).

Příklad 2: Určete kótu bodu M, který leží v rovině s = (ABC).

A1(-1)

B1(3)C1(6)

A1(-1)

B1(3)C1(6) M1(?)

Stupňování a spád přímky

e … ekvidistance

i … (jednotkový) interval přímky

a … odchylka přímky od prům.

… spád přímkye

tgi

Příklad 3: Vystupňujte přímku p:

Skutečná velikost úsečky. Odchylka přímky od roviny.

- používáme sklopení promítací roviny přímky

p

L

K

K1(1.3)L1(3)

P=P1(0)

a

p

p1

Příklad 4: Určete skutečnou velikost úsečky AB; A(3.8), B(2.5).

Příklad 5: Určete odchylku přímky MN od průmětny; M(-2.6), N(4.1).

K1(1.3)L1(3)

P1(0)

p11,30 cm

3,01 cm

(L )

(K )

(p)

Příklad 6: Zobrazte čtverec, je-li dán střed S a přímka p = KL, na které leží strana čtverce; K(3.2), L(0), S1K1L1.

otočení bodu:

Odchylka roviny od průmětny

- je rovna odchylce spádové přímky od průmětny

Příklad 7: Určete odchylku roviny s = (ABC) od průmětny; A(-1), B(1), C(3).

Poznámka: Průměty hlavních a spádových přímek jsou navzájem kolmé.

Otočení roviny

(A)

A0

A1(za) za

prS1(0)

Příklad 8: Zobrazte čtverec, znáte-li vrchol A a přímku p = MN, na které leží úhlopříčka čtverce; A(3.5), M(-0.5), N(0.5).

Poznámka: Pravoúhlý průmět bodu a pravoúhlý průmět jeho otočené polohy si odpovídají v pravoúhlé afinitě, jejíž osou je průmět osy otáčení.

Vzájemná poloha přímek

různoběžné přímky

rovnoběžné přímky

mimoběžné přímky

Příklad 9: Rozhodněte o vzájemné poloze přímek p = AB, q = CD:

Poznámka: Co když obě přímky leží v promítací rovině?

A1(1)

B1(4)

C1(-1)

D1(6)

Příklad 10: Určete úhel přímek a = AB, b = BC:

Kótované promítání – domácí práce

1. Určete kótu bodu D tak, aby přímky p = AB, q = CD byly různoběžné; A(-2), B(3), C(1), D(?).

2. V kótovaném promítání sestrojte čtverec ABCD; známe-li jeho střed S(4), rovinu čtverce a jeden jeho vrchol A.

Reference:

Urban, A.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1982.

Drábek, K., Harant, F., Setzer, O.: Deskriptivní geometrie I, SNTL, Praha 1978.

Kargerová, M, Mertl, P., Veselý, Z.: Inženýrská geometrie, ČVUT, Praha, 1996.