DETECCIÓN DE DAÑO EN EDIFICIOS … de Danio...DETECCIÓN DE DAÑO EN EDIFICIOS MEDIANTE SUS CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS Especialidad: Ingeniería Civil RESUMEN EJECUTIVO Se estudia

M E X I C O

DDEETTEECCCCIIÓÓNN DDEE DDAAÑÑOO EENN EEDDIIFFIICCIIOOSS MMEEDDIIAANNTTEE SSUUSS CCAARRAACCTTEERRÍÍSSTTIICCAASS

DDIINNÁÁMMIICCAASS

ESPECIALIDAD: Ingeniería Civil

José Alberto Escobar Sánchez Doctor en Ingeniería (Estructuras)

Fecha de ingreso (20 de septiembre, 2007)

DETECCIÓN DE DAÑO EN EDIFICIOS MEDIANTE SUS CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS

Especialidad: Ingeniería Civil

CONTENIDO

Página

Resumen ejecutivo 3 1 Introducción 4 2 Antecedentes 7 3 Análisis dinámico de estructuras modificadas 8 4 Instrumentación de edificios y presencia de cambios

estructurales 9

5 Localización y estimación de cambios estructurales 10 5.1 Detección de daño en estructuras tridimensionales 12

6 Determinación del estado de referencia o sin daño de un edificio

14

7 Algoritmo del Método de la Matriz de Transformación, MMT

17

8 Calibración del MMT, efecto de la información modal incompleta

18

9 Comentarios 23 10 Conclusiones y recomendaciones 25 11 Referencias 26 12 Reconocimientos 29



RESUMEN EJECUTIVO Se estudia el problema de localización y estimación de daño en edificios mediante cambios en sus características dinámicas. Se revisan diferentes métodos para localizar daño estructural en modelos de marcos de edificios utilizando como dato sus formas modales y frecuencias de vibración. Se propone y evalúa el Método de la Matriz de Transformación para localizar y estimar daño en estructuras definido como la pérdida de rigidez de los elementos estructurales. Se calcula relacionando los cambios de las características dinámicas de las estructuras con las de la matriz de rigidez condensada, lográndose detectar los elementos dañados. Como ejemplos de aplicación del método se presentan modelos de edificios, los resultados obtenidos demuestran buena aproximación para la localización y evaluación del daño estructural. Palabras clave: detección de daño, daño en estructuras, características dinámicas, matriz de rigidez, método de la matriz de transformación



1. INTRODUCCIÓN La estimación del daño que una estructura sufre al ser sometida a un temblor severo (figura 1) ha sido un tema de interés en la ingeniería sísmica. Antes de que ésta estableciera el marco teórico para estudiar los efectos de los temblores sobre las estructuras construidas por el hombre, la capacidad destructiva de los mismos se estimaba observando el daño que causaban. Este proceder empírico, con algunas modificaciones se continúa empleando.

Figura 1. Estructura dañada por los sismos de septiembre de 1985 en la ciudad de México.

Actualmente se han desarrollado procedimientos basados en resultados de pruebas dinámicas que proporcionan estimaciones de daño cuantitativas. Rytter (1993) estableció que existen cuatro niveles sobre la información del estado de daño de una estructura: • presencia • localización



• magnitud • estimación de la vida remanente En este sentido, a partir de un cambio en las características dinámicas de una estructura se puede inferir si presenta una pérdida de rigidez. Así, al conocer la respuesta dinámica de una estructura se puede estimar su rigidez lateral. Si además se conoce la rigidez inicial de la misma, es posible localizar y estimar el daño que puede tener comparando las rigideces de estos dos estados. En la actualidad, las técnicas de medición de las propiedades dinámicas de las estructuras permiten llevarlas a cabo periódicamente (Murià-Vila et al., 1995), por lo que es posible contar con cierta cantidad de datos, y a partir de estos, determinar si algún cambio ha ocurrido o está ocurriendo en ellas. Para poder realizar lo anterior, es necesario resolver un problema inverso al de la determinación de la respuesta dinámica de las estructuras cuyos parámetros estructurales han sido modificados y se conocen. En este caso se deberá establecer qué combinación de cambios en los parámetros estructurales del sistema debe hacerse para ajustarlos a cambios específicos en las configuraciones modales y frecuencias de vibración conocidas. En el presente trabajo se estudia el problema de detección de daño en marcos de edificios a partir de sus características dinámicas conocidas (formas modales y frecuencias de vibración). Al observar que los cambios en la rigidez de los elementos que componen una estructura influyen directamente sobre su rigidez lateral, se propone un método basado en la matriz de transformación geométrica para localizar y estimar daño en elementos estructurales de edificios. El daño está expresado como la pérdida de rigidez. Con este método es posible determinar dónde se ha dañado la estructura y estimar el porcentaje de degradación de su rigidez. Como ejemplos de aplicación se presentan modelos de edificios, los resultados obtenidos demuestran buena aproximación para la localización y evaluación del daño estructural. En el capítulo 2 se mencionan algunos de los estudios que se describen la problemática y algunos de los trabajos que se han realizado para detectar daño en estructuras. En el capítulo 3 se presenta el análisis de estructuras con propiedades modificadas. Se plantea el problema inverso en cuanto a la determinación de éstas a partir de las características dinámicas conocidas de los edificios. En el capítulo 4 se describe la relación entre la instrumentación sísmica y la detección de cambios en las características dinámicas de las estructuras. En el capítulo 5 se propone el Método de la Matriz de Transformación para detección de daño en estructuras de edificios. Con este método es posible localizar y cuantificar el daño en todos los elementos que aportan rigidez a las estructuras. Así, es posible detectar tanto en elementos estructurales como no estructurales. En el capítulo 6 se presenta una propuesta para determinar las propiedades iniciales o de referencia de un edificio a partir de sus características dinámicas modificadas conocidas.



En el capítulo 7 se muestra el diagrama de flujo del algoritmo del Método de la Matriz de Transformación para detección de daño en estructuras de edificios. En el capítulo 8 se presenta la calibración del Método de la Matriz de Transformación y el efecto que la información modal incompleta produce en la detección de daño en estructuras de edificios. En el capítulo 9 se discuten los resultados obtenidos y se señalan observaciones relacionadas con los métodos de detección de daño. Finalmente, en el capítulo 10 se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas con el método de detección de daño propuesto.



2. ANTECEDENTES Actualmente existe una gran cantidad de programas de análisis de estructuras que permiten estimar la respuesta dinámica de estructuras modeladas analíticamente. En las estructuras reales es posible, además, medir su respuesta dinámica y compararla con la obtenida matemáticamente. Si no existen grandes diferencias entre ambas, se puede pensar que el modelo analítico representa adecuadamente a la estructura real. Si no es así, el modelo teórico deberá modificarse, surgiendo la pregunta: ¿qué parámetro o parámetros estructurales se deberán cambiar en el modelo teórico, y cuánto, para lograr que represente satisfactoriamente a la estructura real?. Por otro lado, si las diferencias entre la respuesta medida y la calculada se deben a deterioro o daño de la estructura, el procedimiento de ajuste del modelo teórico con el real se complica notablemente. En este caso se tendrá que resolver el problema de localización y estimación de daño. Con este objetivo han sido desarrollados diferentes métodos como: • métodos basados en los cambios de las formas modales (Alampalli et al., 1995) • métodos de reconocimiento de patrones (Kim y Stubbs, 1993) • métodos basados en la matriz de flexibilidades (Peterson et al., 1995) • métodos de sensibilidad (Stubbs y Osegueda ,1987; Escobar et al., 1998) • métodos basados en la diferencia entre las matrices de rigideces y flexibilidades

(Lin, 1990) • métodos de fuerzas residuales (Ricles y Kosmatka, 1992) • redes neuronales artificiales (Ferregut et al.,1995) Todos estos métodos poseen ventajas y desventajas para localizar y estimar daño estructural. La idea común en todos ellos consiste en identificarlo sin afectar la integridad de las estructuras comparando información de un estado dañado con uno de referencia. Esto es, el daño se determina relacionando el cambio de las características dinámicas con el de las propiedades de la estructura que las definen, particularmente con su rigidez. Así, a cada estado de daño le corresponderá una matriz de rigideces diferente. Entonces, un estado de daño, y su evolución, puede detectarse a partir de las diferencias observadas entre estas matrices. Al conocer la matriz de rigideces de la estructura no dañada (estructura de referencia) y su matriz de rigideces determinada a partir de sus características dinámicas medidas después de ocurrir un sismo, es posible localizar el daño que éste le causó.



3. ANÁLISIS DINÁMICO DE ESTRUCTURAS MODIFICADAS La respuesta dinámica de las estructuras cuyos parámetros estructurales han sido modificados o perturbados y se conocen, se puede obtener a partir de la solución del problema de valores y vectores característicos, definido por la ecuación:

0 = ) M - K( pp2pip

iφω (1)

donde Kp=K + KΔ , Mp=M + MΔ , ω 2

pi= ωi2 + Δωi

2; y φpi=φi+Δφi, son las matrices de rigideces, de masas, la i-ésima frecuencia natural, y el i-ésimo vector modal perturbadas de la estructura, respectivamente; K, M, ωi

, y φi son las matrices de rigideces, de masas, la i-ésima frecuencia natural de vibración y el i-ésimo vector modal de la estructura respectivamente; y KΔ , MΔ , Δωi

2, y Δφi son las modificaciones o perturbaciones de las rigideces, de las masas, de la i-ésima frecuencia de vibración al cuadrado y del i-ésimo vector modal respectivamente. Para determinar los cambios en las frecuencias de vibración se puede utilizar el método de perturbaciones (Meirovitch, 1975), obteniéndose:

φφφφ

ωi

Ti

iTi2

i M K

= Δ

ΔΔ (2)

Esta ecuación permite determinar el cambio de la i-ésima frecuencia de vibración conociendo las perturbaciones correspondientes de las matrices de rigideces y de masas del sistema estructural. Esto es, se necesita conocer el estado inicial de la estructura para poder estimar los cambios que ha sufrido. En el caso de detección de daño, se conocen las perturbaciones de las frecuencias y modos de vibración y se desea conocer las de la matriz de rigideces que representarán el daño de la estructura. Es decir, se tendrá que resolver un problema inverso al planteado por las ecuaciones (1) y (2). En los capítulos siguientes se estudia la solución de este problema.



4. INSTRUMENTACIÓN DE EDIFICIOS Y PRESENCIA DE CAMBIOS

ESTRUCTURALES Para poder conocer los cambios en las características dinámicas de los edificios, es necesario recurrir a la instrumentación sísmica para obtener datos experimentales. Esta implica determinar la cantidad y ubicación adecuada de los dispositivos necesarios para conocer la respuesta de las estructuras. A pesar de su importancia al contribuir a la comprensión de la respuesta dinámica de estructuras ante sismos de gran intensidad, además de un mejor entendimiento de su potencial de daño, la instrumentación sísmica de edificios frecuentemente se limita a determinar sus características dinámicas. Para poder cuantificar el daño en las estructuras a partir de sus características dinámicas, es necesario determinar cuál es el cambio en alguno o algunos de sus parámetros estructurales para obtener la variación observada de acuerdo con el comportamiento dinámico conocido. Para ello se han desarrollado diferentes métodos como el de perturbación inversa y los métodos de correlación modal (Ewins, 1984; Lieven y Ewins, 1988; Hunt, 1992; Mitchell, 1998). Estos se utilizan para identificar las discrepancias o independencia entre vectores modales a través de una matriz de correlación. Comparan frecuencias y modos de vibración de las estructuras. En algunos casos, la comparación se hace a nivel global de la estructura (frecuencias o periodos de vibración), y en otros a nivel local (coordenadas modales). La idea inicial de su desarrollo se basa en establecer el nivel de correlación entre vectores modales medidos experimentalmente para poderlos comparar. Los criterios anteriores se pueden utilizar para comparar la respuesta dinámica experimental de una misma estructura en diferentes etapas de su vida útil y establecer si existe un cambio en ella.



5. LOCALIZACION Y ESTIMACIÓN DE CAMBIOS ESTRUCTURALES Para poder estimar analíticamente el daño en las estructuras a partir de su comportamiento dinámico conocido, es necesario determinar cuál es el cambio en la rigidez de sus elementos estructurales. La localización y estimación del daño en los elementos de una estructura se puede realizar utilizando el Método de la Matriz de Transformación, MMT (Escobar et al., 2001, 2004, 2005). Este método, se basa en el hecho de que en un sistema estructural cada elemento resistente tiene una influencia característica sobre la matriz de rigideces lateral de la estructura y, en consecuencia, sobre cada uno de sus modos de vibrar. Por lo tanto, el daño que cada uno de los elementos puede presentar, expresado como un porcentaje de la pérdida de su rigidez, modifica las configuraciones modales en una zona determinada y en su vecindad de cierta manera particular. Esta desigualdad en el efecto del daño de los elementos estructurales de cada uno de los entrepisos, es la base para su localización dentro de la estructura. El método de la Matriz de Transformación, MMT (Escobar et al., 2001) para detectar daño en edificios tiene la finalidad de localizar los elementos que se encuentran dañados en la estructura, así como la magnitud del daño en término de su pérdida de rigidez. Así, el daño estructural se determina relacionando el cambio de las características dinámicas, con el de las propiedades de la estructura que las definen, particularmente con su rigidez, por lo que a cada estado de daño le corresponde una matriz de rigideces diferente. Entonces, un estado de daño y su evolución, pueden detectarse a partir de las diferencias observadas entre estas matrices. Por lo tanto, al conocer las matrices de rigidez de cada elemento, la de la estructura no dañada (estructura de referencia) y su matriz de rigideces determinada a partir de sus características dinámicas medidas después de ocurrir un sismo, es posible localizar el daño que éste le causó y determinar su magnitud. Detección de daño en marcos planos. La matriz de rigidez global [Kd] de un marco plano correspondiente a un estado dañado, puede escribirse como:

[ ] [ ] [ ]inej

iisdd KdkKK ∑−=

=1 (3)

donde [Ksd] es la matriz de la estructura sin daño; nej, es el número de elementos del marco; dki es un parámetro adimensional que representa la disminución en la contribución de la matriz de rigidez del elemento i a la matriz de rigidez global (0≤dk≤1); [K]i es la matriz de rigidez sin daño, en coordenadas globales del elemento i del marco. La matriz de rigidez lateral correspondiente a un estado de daño del marco se calcula como:



[ ] [ ] [ ]inej

iisdd KdkKK ∑−=

=1 (4)

donde [ ] [ ] [ ][ ]dd

Tdd TKTK = ; [Td] es la matriz de transformación y es función de la

subdivisión efectuada en la matriz de rigidez global entre grados de libertad primarios y secundarios; [ ]sdK = [ ] [ ][ ]dsd

Td TKT ; y [ ]iK = [ ] [ ] [ ]di

Td TKT . Los subíndices sd y d

corresponden a los estados sin daño y dañado, respectivamente. Para calcular la matriz de rigidez lateral de la estructura dañada de la ecuación anterior, como primera aproximación puede suponerse que la matriz de transformación para el estado dañado [Td], no difiere de la correspondiente al estado no dañado [Tsd]. De esta forma se establece un procedimiento iterativo mediante el cual se detectan los elementos dañados por aproximaciones sucesivas. La matriz de rigidez lateral de la estructura dañada es de orden mxm, y debido a su simetría, posee nti=m(m+1)/2 términos independientes. Desarrollando la ecuación (4) para cada uno de los términos de cada matriz se obtiene

{ } { } [ ]{ }dkSkk kdsd =− (5) donde { }sdk ,{ }dk y { }dk son vectores de orden ntix1 que contienen los términos independientes de la matriz de rigidez lateral dañada, los términos independientes de la matriz de rigidez lateral sin daño, y la degradación de la rigidez de los elementos estructurales, respectivamente; y [Sk] es una matriz de orden ntixnej que contiene los términos kij. Debido a la naturaleza del sistema de ecuaciones anterior, donde en general el número de ecuaciones nti es diferente del número de incógnitas nej, es probable que éste sea inconsistente o no exista un vector {dk} que proporcione una solución exacta del mismo. Por lo tanto, se buscará un vector {dk} que minimice el error de la solución buscada. Si se considera la solución aproximada

[ ]{ } { }pdkSk = (6) la norma del sistema expresada como:

{ } { } { }( )dsd kkpE −−= (7)

La ecuación (7) representa el error cometido al resolver la ecuación (5). El valor de esta norma o distancia entre la solución exacta y la aproximada será mínimo si corresponde a la de un vector normal entre ambas soluciones. Si se aplica este razonamiento a las ecuaciones (6) y (7), se tiene:

[ ]{ }( ) [ ]{ } { } { }( )( ) { }0=−− dsdkT

k kkdkSdkS (8) que también se puede expresar como:

{ } [ ] [ ]{ } [ ] { } { }{ }( ) { }0=−− dsdT

kkT

kT kkSdkSSdk (9)



El término ([Sk]{dk})T en la ecuación (8) representa la solución más próxima a la solución exacta de la ecuación (5). Por otra parte, debido a que en general se considera que { } { }0≠dk , para que se cumpla la ecuación (9), el vector dentro del paréntesis redondo de ésta debe ser igual a cero. De esta forma se obtiene:

[ ] [ ]{ } [ ] { } { }{ }dsdT

kkT

k kkSdkSS −= (10) La ecuación anterior representa la condición para encontrar la solución que minimiza el error en el cálculo de {dk} cuando se modelan todos los elementos de la estructura. Si se utiliza esta condición, la solución de la ecuación (5) puede obtenerse a partir de un problema de programación lineal al resolver:

[ ]{ } { } { }dsdk kkdkS −≤ (11) sujeto a las restricciones:

[ ] [ ]{ } [ ] { } { }( )dsdT

kkT

k kkSdkSS −= ; { } { } { }10 ≤≤ dk (12) La solución del sistema de ecuaciones anterior proporciona la matriz de rigidez global de la estructura correspondiente al estado de daño al que está asociada (ecuación 3). Al calcular la matriz de transformación correspondiente, se obtiene una nueva aproximación para la ecuación (4). 5.1. Detección de daño en estructuras tridimensionales El cálculo de la matriz de rigidez global correspondiente a un estado de daño en el marco j de una estructura es:

[ ] [ ] [ ]ijnej

iijjsdjd KdkKK ∑

=−=

1 (13)

donde dkij es la degradación en rigidez del elemento i del marco j. En este caso, la matriz de rigidez condensada de la estructura tridimensional correspondiente a un estado de daño se obtiene como:

[ ] [ ] [ ]rdNr

rrsdd KdkKtKt ∑−=

=1 (14)

donde [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]∑==

Nm

jjjdsd

Tjd

Tjsd CTKTCKt

1; y [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∑=

∈=

Nm

jrj

jjdrjTjd

Tjrd CTKTCK

1.

En las ecuaciones anteriores Nr es el número de elementos en la estructura; Nm es el número de marcos; y [C]j es la matriz de transformación de desplazamientos que relaciona los grados de libertad laterales del marco j con los grados de libertad primarios de la estructura tridimensional. A partir de la ecuación (14) es posible establecer un sistema de ecuaciones al desarrollar esta ecuación para el t-ésimo término de cada matriz, esto es:

{ } { } [ ]{ }dkSktkt kdsd =− (15)



donde [Sk] es una matriz formada por los términos rdk . Dado que las matrices de

transformación de desplazamientos son independientes del estado de daño de los marcos, el procedimiento que se sigue para resolver la ecuación (15) es análogo al utilizado para marcos planos.



[ ](

T

s

s

i

1i

i

i

2

2

1

2

1

1

mk

mk

mk

mk

mk

mku +

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= KK

∑= 31

11 h

EI12k

6. DETERMINACIÓN DEL ESTADO DE REFERENCIA O SIN DAÑO DE UN

EDIFICIO Para identificar daño en edificios sin contar con sus parámetros modales base (estado de referencia o sin daño) se utilizan los cocientes de valores de rigidez entre valores de masa (Barroso y Rodríguez, 2004). Con estos, se determina un estado de referencia (sin daño) de la estructura a partir de modos y frecuencias de vibración de la estructura dañada y la rigidez del primer entrepiso del edificio sin daño. Así, para un modelo de un marco plano dañado, con s número de pisos y con i modos de vibración (i=1, 2,…, s), a través de un procedimiento de procesamiento de señales se pueden conocer sus frecuencias naturales de vibración ω y sus correspondientes formas modales [ ]φ . Las matrices de rigidez lateral [ ]K y de masas [ ]M son

desconocidas y de orden sxs. Por otro lado, es posible calcular un vector [u] de

cocientes i

i

mk

de la forma (Rodríguez et al., 2006):

(16) El vector [u], de orden (2s-1)x1, se puede calcular a partir de la información modal de la estructura con daño y la rigidez lateral k1 del primer entrepiso de la estructura sin daño suponiendo que tiene un comportamiento de viga de cortante:

(17)

donde E , 1I y 1h son el módulo de elasticidad, momento de inercia de las columnas del primer entrepiso y la altura del mismo, respectivamente. Por sustitución hacia atrás, se calculan los valores de los ki y mi restantes de la estructura. Estos parámetros corresponden al estado base o sin daño del edificio. Debido a la suposición de estructura de cortante, sólo se puede localizar el entrepiso dañado, además, no es posible obtener una estimación de la magnitud de la degradación de su rigidez. Para resolver esta limitante, con la ecuación (17), se calcula la rigidez k1 del primer entrepiso de la estructura sin daño (estado base) y al hacer la sustitución hacia atrás en la ecuación (16), se obtienen los parámetros pi y la rigidez lateral ki de cada entrepiso. Con estos valores de rigidez se calcula la matriz de rigidez lateral de la estructura de cortante sin daño, [ ]K . La matriz de masas del sistema [ ]M , se puede calcular al reemplazar k1 por mi en las siguientes ecuaciones (Rodríguez et al., 2006):



(18) para j= 2, 3,…,(i-2). Para edificios cuyo comportamiento no es de cortante, se obtiene una matriz de masas [ ]aM aproximada del sistema que difiere de la de un edificio con comportamiento de

cortante [ ]M en magnitud. En este caso ckp 1

1 = , donde c es un coeficiente que ajusta

el comportamiento de cortante a uno de flexión y se calcula como el mayor valor

característico del producto [ ][ ] 1aMM −. Lo anterior es un escalar que representa la

relación de masas de la estructura con diferente comportamiento (cortante y flexión). Al aplicar la descomposición por valores singulares se obtiene un indicador escalar. Para poder detectar daño en cada uno de los elementos estructurales, es necesario conocer las matrices de rigidez [k]i de estos en su estado base. Para esto, se construye un modelo del edificio que cumpla con conectividad y geometría de sus elementos con módulo de elasticidad unitario. Así, se obtienen matrices de rigidez aproximadas [ ]ika

de cada elemento. La matriz de rigidez global aproximada [ ]Ka de la estructura es la

suma de [ ]ika . De acuerdo con Escobar et al. (2005), [ ]Ka se puede condensar para obtener [ ]aK con

la matriz de transformación [ ]T como: (19) Para una estructura de cortante, la matriz de rigidez lateral [ ]K y la matriz [ ]Ka , sólo difieren por las propiedades del material, específicamente el módulo de elasticidad que se puede representar por una matriz [ ]B . Así:

(20) Despejando [ ]B de la ecuación (20), se tiene: (21)

( )

( )

3

21

5

421

5

4)1(

uupk

uupp

uup

p

ii

ii

j

jjiji

−

−−

+

++−−

=

=

=

M

M

11 kp =

[ ] [ ] [ ][ ]TKaTKa T=

[ ] [ ][ ]aKBK =

[ ] [ ][ ] 1aKKB −=



Finalmente, las matrices de rigidez de cada elemento estructural en su estado base se calculan como: (22) donde B es un escalar que ajusta las propiedades mecánicas de la estructura a partir del modelo propuesto y se calcula como el promedio de los valores característicos de [ ]B . Con estas matrices se calcula la matriz de rigidez que representa el estado de referencia, o sin daño, de la estructura. 6.1. Reconstrucción de la matriz de rigideces La mayoría de los métodos para detectar daño comparan la matriz de rigidez de la estructura en un estado de referencia o sin daño con la matriz de rigidez de la estructura dañada. Para llevar a cabo la reconstrucción de estas matrices se utilizan los modos y frecuencias de vibración de ambos estados de las estructuras. Así, una de las mayores dificultades que se presenta en la detección de daño en estructuras, a partir de los modos y frecuencias de vibración conocidas, consiste en la cantidad de formas modales y frecuencias de vibración que se pueden medir que prácticamente nunca pueden ser todos los que poseen (Murià-Vila et al., 1995). Por otro lado, la reconstrucción de la matriz de rigidez de una estructura dañada se puede llevar a cabo mediante el uso de parámetros modales (métodos directos) ó utilizando las funciones de respuesta de frecuencia (métodos iterativos). En 1978, Baruch y Bar-Itzhack (Baruch y Bar-Itzhack, 1978) desarrollaron un método directo de reconstrucción de matrices de rigideces que presenta los mejores resultados comparado con otros métodos (Acevedo, 2005). Este algoritmo cumple con los requisitos de ortogonalidad para los modos conocidos en estructuras. Al utilizar multiplicadores de Lagrange se obtiene una matriz ortogonal óptima X, con ella, la matriz de rigideces K* corregida para las configuraciones modales y frecuencias medidas se calcula como:

MX X M+ H ) Z M- K ( = K T* 2Ω (23) donde X=φ ( φT M φ )-1/2; H =I - Y; Y =X XT M; Z=XXTK; φ es un vector modal conocido; I es la matriz identidad; y Ω es una matriz diagonal con las frecuencias naturales medidas.

[ ] [ ][ ] 1aKKB −=



7. ALGORITMO DEL MÉTODO DE LA MATRIZ DE TRANSFORMACIÓN, MMT El algoritmo del Método de la Matriz de Transformación para detección de daño se presenta en el diagrama de flujo de la figura 1 (Galiote y Escobar, 2006). Figura 1. Algoritmo del Método de la Matriz de Transformación para detección de daño

en estructuras (Galiote y Escobar, 2006).

Obtener la matriz [ ]T para el estado no dañado

Resolver el sistema de ecuaciones { } { } [ ]{ }dkSkk kmedidad =− , para obtener { }dk

Calcular las matrices [ ] [ ] [ ] [ ]TKTK jsdT= y [ ] [ ] [ ] [ ]TKTK ij

Tij =

Formar el vector { }k y la matriz [ ]kS

Obtener la nueva matriz de transformación [ ]T de la matriz de rigidez global [ ] jdK , afectada por el vector de daño { }dk

Condensar la matriz [ ] jdK y formar un vector { }aproximadodk

{ } { } 2

aproximadodmedidad kk − < tolerancia No

Sí

Matrices [ ] jsdK y [ ]ijK

Fin



8. CALIBRACIÓN DEL MMT, EFECTO DE LA INFORMACIÓN MODAL INCOMPLETA Para calibrar el MMT se estudió el edificio de oficinas del Sistema de Transporte Colectivo, STC, (Martínez, 2007). Este edificio era de concreto reforzado y se dañó por los sismos de septiembre de 1985 por lo que finalmente fue demolido. Tenía marcos en la dirección longitudinal y muros de cortante en dirección transversal. Por esta razón se analizó un marco interior (figura 2). Las dimensiones de las vigas eran 40x90 cm en todos los pisos; columnas exteriores en todos los entrepisos e interiores en los entrepisos uno y dos 50x90 cm; entrepisos tres y cuatro 50x80 cm; entrepisos cinco y seis 50x70 cm; entrepisos siete a diez 50x60 cm. La masa de los entrepisos uno al nueve es de 15 t-m/s2 y del entrepiso diez de 12 t-m/s2. Se consideró un módulo de elasticidad de 221360 kg/cm2.

Figura 2. Marco STC. Para evaluar el efecto de la información modal incompleta sobre el MMT se simuló el estado de daño de la figura 3. En ella se indica el porcentaje simulado de pérdida de rigidez de los elementos estructurales.



Figura 3. Daño simulado en el marco STC. En la figura 4 se puede observar que los resultados del MMT son precisos cuando la información modal es completa. También, que la precisión del método en la detección de elementos dañados se incrementa al aumentar la cantidad de modos y frecuencias de vibración utilizados en la reconstrucción de la matriz de rigideces con la ecuación (23) de Baruch y Bar-Itzhack.

a) Modo y frecuencia 1 b) Modos y frecuencias c) Modos y frecuencias 1 y 2 1 a 3

d) Modos y frecuencias1 a 5 e) Todos los modos y frecuencias Figura 4. Daño detectado con el MMT en el marco STC utilizando diferente cantidad de

modos y frecuencias de vibración para reconstruir la matriz de rigideces de la estructura con daño.



0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nú m e r o d e fr e cu e n cias y fo r m as m o d ale s u s ad as

Erro

r rel

ativ

o(%

)

K(1,1)K(2,2)K(3,3)K(4,4)K(5,5)K(6,6)K(7,7)K(8,8)K(9,9)K(10,10)

Este efecto se puede observar en la figura 5, donde se presenta el error relativo de los términos de la diagonal de la matriz de rigideces de la estructura con daño reconstruida con la ecuación de Baruch y Bar-Itzhack con diferente cantidad de modos y frecuencias de vibración. En esta figura se puede apreciar que a medida que se incluyeron más modos y frecuencias de vibración en el cálculo de la matriz de rigideces para reconstruirla con el algoritmo de Baruch y Bar-Itzhack, el error se redujo. En el caso que se estudia, el elemento K(2,2) fue el que presentó el mayor valor del error relativo.

Figura 5. Error relativo en los términos de la diagonal de la matriz de rigideces de la estructura con daño, reconstruida con la ecuación de Baruch y Bar-Itzhack con

diferente cantidad de modos y frecuencias de vibración. Como se puede observar, los errores en el MMT se producen por la aproximación que se logra al reconstruir la matriz de rigideces de la estructura. Así, con el objetivo de reducirlos se propusieron y evaluaron dos matrices de factores de ajuste (Mendoza, 2007) que multiplican directamente término a término la matriz de rigidez reconstruida sin ajuste. La matriz de factores de ajuste M1, se obtuvo de forma empírica, se calcula como (Mendoza, 2007):

( )

( )

2 2 21 2

2 2 21 2

1

1

⎛ ⎞⎛ ⎞= + − ≥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞= + − <⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

M n j i para j in

M n i j para i jn

(24)

donde n es el número de grados de libertad primarios de la estructura (en este caso, el número de entrepisos); i y j se refieren al renglón y columna de la matriz, respectivamente.



La matriz de factores de ajuste M2 se obtuvo a partir del cálculo de la covarianza que existe en un grupo de datos. Si se tiene una matriz A de orden mxn, su matriz de covarianzas se calcula como (Jennings, 1992):

11

TC X Xm

=−

(25)

donde m es el número de renglones de la matriz X que se calcula mediante el promedio de los valores contenidos en cada columna de A, restando a cada valor de la columna el promedio de la misma. La matriz C es simétrica de orden nxn. Para obtener la matriz de correlación de A, se escalan los valores de XT. Así, la matriz de factores de ajuste se obtiene de la matriz de correlación como (Mendoza, 2007):

11

21

1−⎛ ⎞= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

nTmM X X

m (26)

donde T

mX es la matriz escalada de X.

Estas matrices de factores de ajuste sirven para diferentes modelos estructurales. La M1 generalmente se aplica a marcos planos regulares y la M2 a irregulares (Mendoza, 2007). Para el caso del marco STC se utilizó la matriz de factores de ajuste M1. Para ejemplificar la corrección de la matriz de rigidez reconstruida, la matriz de factores de ajuste se aplicó sólo a las matrices reconstruidas con los modos 1, 1 y 2, 1 a 3 y 1 a 5, ya que generalmente, en las pruebas de vibración sólo se pueden obtener las primeras cuatro o cinco formas modales (Galiote, 2006). En la figura 6 se presenta el daño calculado con el MMT que se obtuvo al ajustar la matriz de rigidez reconstruida utilizando diferente número de modos y frecuencias de vibración con la matriz M1. Se puede observar que, en general, la localización mejoró notablemente y la magnitud obtenida presentó variaciones de pérdida de rigidez entre 1 y 10% con respecto al daño simulado. La figura 6a, presenta el daño calculado con el MMT con el primer modo y su respectiva frecuencia de vibración del marco STC cuando se usó la matriz de ajuste en la matriz de rigidez reconstruida. Se puede observar que se detectaron cinco elementos dañados, una viga no se detectó y se localizaron tres no dañados con porcentajes de pérdida de rigidez menores que 2%. El daño que se calculó con el MMT con los primeros dos modos y frecuencias de vibración y la matriz de rigidez reconstruida ajustada se presenta en la figura 6b. Se puede observar que se detectaron todos los elementos dañados y cinco elementos más no dañados con porcentajes menores que 10%. Cuando se empleó el MMT con los primeros tres modos y frecuencias de vibración, con la matriz de rigidez reconstruida ajustada, localizaron cinco de los seis elementos dañados con porcentajes de pérdida de rigidez muy aproximados al daño simulado (figura 6c). El elemento que no se detectó fue una viga y se detectaron también elementos no dañados con porcentajes de daño no mayor que 7%.



a) Modo y frecuencia 1 b) Modos y frecuencias 1 y 2 c) Modos y frecuencias 1 a 3

d) Modos y frecuencias1 a 5 Figura 6. Daño detectado con el MMT en el marco STC utilizando diferente cantidad de

modos y frecuencias de vibración para reconstruir la matriz de rigideces de la estructura con daño.

La figura 6d, presenta el daño calculado con el MMT que se obtuvo al ajustar la matriz de rigidez reconstruida con los primeros cinco modos y frecuencias de vibración ajustada con la matriz M1. En este caso la magnitud del daño calculado presentó variaciones de pérdida de rigidez entre 1 y 7% con respecto al daño simulado. Una viga no se detectó. Además se localizaron elementos no dañados.



9. COMENTARIOS Los datos necesarios para que el Método de la Matriz de Transformación propuesto funcione adecuadamente son las características dinámicas de las estructuras (frecuencias y modos de vibrar) que se pueden obtener de pruebas de vibración. Así, con el objetivo de tener los mejores resultados provenientes de estas pruebas, es importante que la colocación de instrumentos sísmicos se lleve a cabo en los puntos de las estructuras donde se obtenga la mayor información posible de las formas modales. Una manera de lograr lo anterior, consiste en determinar los modos y frecuencias de vibración de un modelo teórico de la estructura que se está estudiando, y establecer los puntos donde se presenten los valores máximos de las sumas de los vectores modales (Salawu, 1997). Otro procedimiento consiste en resolver el problema de valores y vectores característicos considerando propiedades estructurales inciertas. Los instrumentos sísmicos se ubicarán donde se presenten las mayores variaciones de los vectores modales (Escobar y García, 1997). Cabe mencionar que la influencia de los elementos no estructurales puede ser importante en la detección de daño, por lo que la inclusión de estos en el MMT debe considerarse a través de su contribución a la matriz de rigidez del sistema estructural. Por otra parte, las propiedades dinámicas de las estructuras son sensibles a los efectos de la interacción suelo-estructura y a las incertidumbres en los parámetros estructurales, por lo que, para contar con una estimación realista del daño estructural deberán incluirse estos efectos. Al utilizar pruebas dinámicas para determinar las frecuencias de vibración de las estructuras, cualquier disminución en sus valores puede interpretarse como una pérdida de su rigidez. Sin embargo, para poder detectar con cierta precisión el daño de una estructura puede ser necesario que sus frecuencias de vibración cambien como mínimo un 5% aproximadamente (Creed, 1995). Es importante mencionar que en algunas estructuras los cambios en las frecuencias de vibración por sí solos no implican la existencia de daño. Así, en puentes tanto de concreto como de acero se han encontrado modificaciones que exceden el 5% en los valores de las frecuencias de vibración debido únicamente a condiciones ambientales (Aktan et al., 1994). Por otro lado, valores de frecuencias de vibración mayores que los esperados pueden indicar, si no se ha hecho alguna reparación a la estructura, que la rigidez de sus apoyos aumentó (Morgan y Oerstele, 1994). A partir de resultados de pruebas de vibración de marcos planos de concreto reforzado (Salawu, 1997) se ha observado que el grado de reducción de la frecuencia natural de vibración depende de la posición relativa del daño con respecto a una forma modal para un modo de vibración particular. También, que cuando el daño afecta zonas de esfuerzos altos en marcos, se generan reducciones de hasta un 15% en sus frecuencias de vibración. En el caso contrario, cuando las zonas dañadas presentan



niveles de esfuerzo bajos, la detección del daño utilizando frecuencias de vibración resulta poco confiable (Salawu, 1997). Por otro lado, en modelos analíticos de estructuras de concreto presforzado se ha observado que las frecuencias de vibración son poco sensibles a cambios en la rigidez para simular daño estructural (Camomilla et al., 1993). En estructuras reales en las que participa esencialmente la carga muerta, pérdidas de hasta el 50% de la fuerza de presfuerzo no son detectadas mediante cambios en las frecuencias de vibración si éstas se determinan a partir de pruebas de vibración ambiental. Esto se debe a que la pérdida de la fuerza de presfuerzo sólo reduce la carga a la cual la tensión excesiva en el concreto abriría las grietas en la estructura, de manera que si las pruebas se llevan a cabo para valores de carga inferiores a la de esta fuerza no se observarán cambios en sus frecuencias de vibración.



10. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Se estudió el problema de localización y estimación de daño en estructuras mediante cambios en sus características dinámicas. Se propuso y evaluó el Método de la Matriz de Transformación para localizar y estimar daño estructural definido como la pérdida de rigidez de los elementos estructurales y no estructurales en edificios modelados en dos y tres dimensiones. Se evaluaron diferentes estados de daño simulado. La localización y estimación de la magnitud del daño en los elementos de las estructuras se realizó en forma independiente para cada uno de ellos Se estudió el efecto de la información modal incompleta en la detección de daño con el Método de la Matriz de Transformación. Se propuso un método para determinar el estado de referencia de un edificio para identificar su estado de daño sin contar con sus parámetros modales base. A partir de los resultados obtenidos, así como de estudios anteriores que se han realizado se puede establecer que el Método de la Matriz de Transformación localiza correctamente los elementos dañados de una estructura y determina, de manera exacta, la magnitud de daño expresado como un porcentaje de la pérdida de rigidez. Los estudios aquí presentados forman parte de un proyecto en el que se busca establecer la relación entre el daño a nivel local de los elementos estructurales, expresado como pérdida de rigidez, con el estado físico de una estructura sujeta a un sismo. Con ello, sería posible contar con la información necesaria tanto para determinar la factibilidad de una reparación como para evaluar la seguridad de una estructura ante acciones de sismos futuros.



11. REFERENCIAS Acevedo H., “Reconstrucción de la matriz de rigideces de marcos a partir de sus parámetros modales experimentales”, Tesis de Maestría, Posgrado UNAM, México, 2005. Alampalli S., Fu G., y Dillon E.W., “On the use of measured vibration for detecting bridge damage”, Fourth International Bridge Engineering Conference, EUA, pp 125-137, EUA, 1995. Aktan A.E., Lee K.L, Chuntavan C., y Askel T., “Modal testing for structural identification and condition assessment of constructed facilities”, 12th International Modal Analysis Conference, pp 462-468, Hawai, EUA, 1994. Barroso, L. y Rodríguez, R., “Damage detection of a benchmark structure without baseline information”, ASCE Journal of Engineering Mechanics, Vol. 130, No. 2, pp. 142-151, 2004. Baruch M. y Bar Itzhack Y., “Optimal weighted orthogonalization of measured modes”, AIAA Journal, Vol 16, No. 4, pp 346-351, 1978. Camomilla G., Donferri M., Santori A.G., y Materazzi L., “Reflectometric and dynamic measurements on the stays of the Polcevera viaduct in Genova (Italy)”, en Bridge Management 2 Ed. J.E. Harding, G.A. Parke y M.J. Ryall, Thomas Telford, pp 118-127, Inglaterra, 1993. Creed S.G., “Assessment of large engineering structures using data collected during in-service loading”, en “Structural Assessment” editado por F.K. Garas, J.L. Clarke y G.S.T. Armer, Butterworks, Inglaterra, pp 55-62, 1995. Escobar J.A, y García J.P. “Ubicación de instrumentos sísmicos en estructuras para evaluar cambios en sus características dinámicas”, XI Congreso Nacional de Ingeniería Sísmica, Vol I, pp 924-933, Veracruz, Ver., México, 1997. Escobar J.A., López O. y Sugahara M., “Localización de daño usando la matriz de sensibilidad”, (en japonés), Journal of Structural and Construction Engineering, Transactions of the Architectural Institute of Japan, No 508, pp 93-100, Japón, 1998. Escobar J.A., Sosa J.J. y Gómez R., “Damage detection in framed buildings”, Canadian Journal of Civil Engineering, Vol. 28, pp. 1-13, 2001. Escobar J.A., Fierro F. y Gómez R., “Damage detection in building structures”, 13th World Conference on Earthquake Engineering, Vancouver, B.C., Canadá, 2004.



Escobar J.A., Sosa J.J. y Gómez R., “Structural damage detection using the transformation matrix”, Computers and Structures, Vol. 83, pp.357-368, 2005. Ewins D.J., “Modal testing: Theory and Practice”, Research Studies Press, Ltd, Letchworth, Herlfordshire, Inglaterra, 1984. Ferregut C., Osegueda R., y Ortiz J., “Artificial neural networks for structural damage detection and classification”, SPIE Smart Structures Conference, 1995. Galiote M., “Una aplicación de la instrumentación sísmica de edificios”, Tesis de Maestría, Posgrado UNAM, México, 2006. Galiote M., y Escobar J.A., “Una aplicación de la instrumentación sísmica de edificios”, XV Congreso Nacional de Ingeniería Estructural, noviembre, Puerto Vallarta, Jal., México, 2006. Hunt D.L., “Application of enhanced coordinate modal assurance criteria”, 10th International Modal Analysis Conference, California, EUA, 1992. Jennings A., “Matrix computation”, 2ª. Ed., John Wiley and Sons Ltd., Inglaterra, 1992. Kim J.-T., y Stubbs N., “Assessment of the relative impact of model uncertainty on the accuracy of global nondestructive damage detection in structures”, Informe, New Mexico State University, EUA, 1993. Lieven N.A.J. y Ewins D.J., 'Spatial correlation of mode shapes, the coordinate modal assurance criterion (CoMAC)', 6th International Modal Analysis Conference, Society for Experimental Mechanics, pp 690-695 Coneccticut, EUA, 1988. Lin C.S., “Location of modeling errors using modal test data”, AIAA Journal, Vol 28, 1650-1654, 1990. Martínez F.L., “Efecto de la información modal incompleta para evaluar el estado físico de una estructura de concreto sometida a sismos intensos”, Ingeniero Constructor, Escuela Militar de Ingenieros, Secretaría de la Defensa Nacional, México, 2007. Meirovitch L., “Elements of vibration analysis”, McGraw-Hill, Nueva York, 1995. Mendoza L., “Detección de daño en marcos planos de concreto reforzado irregulares en masa y elevación”, Tesis de Maestría, Posgrado UNAM, México, 2007. Mitchell L.D., 'Increasing the sensitivity of the modal assurance criteria (MAC) to small mode shape changes: the IMAC', 16th International Modal Analysis Conference, California, EUA, 1998. Morgan B.J. y Oerstele R.G., “On-site modal analysis-a new powerful inspection technique”, 2nd International Bridge Conference, pp 108-114, Pittsburg, EUA, 1994. Murià Vila D., Gamboa V., y Toro A., “Respuesta sísmica de un edificio alto en la ciudad de México”, Informe interno, Instituto de Ingeniería, UNAM, México, 1995. Peterson L.D., Doebling S.W., y Alvin K.F., “Experimental determination of local structural stiffness by disassembly of measured flexibility matrices”, 36th



AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, AIAA-95-1090-CP, pp 2756-2766, 1995. Ricles J.M. y Kosmatka J.B., “Damage detection in elastic structures using vibratory residual forces and weighted sensitivity”, AIAA Journal, Vol 30, pp 2310-2316, 1992. Rodríguez R., Escobar J.A., y Gómez R., “Enhanced stiffness-mass ratios method for damage detection in buildings without baseline modal information”, First European Conference on Earthquake Engineering and Seismology, ID 1033, septiembre 3-8, Ginebra, Suiza, 2006. Rytter, A., “Vibrational based inspection of civil engineering structures”, PhD Dissertation, University of Aalborg, Denmark, ISSN 0902-7513 R9314, 1993. Salawu O.S., “Detection of structural damage through changes in frequency: a review”, Engineering Structures, Vol 19, No 9, pp 718-723, 1997. Stubbs N., y Osegueda R., “Global nondestructive damage evaluation of offshore platforms using modal data”, 6th International Offshore Mechanics and Artic Engineering Conference, Vol 2, 517-524, 1987.



12. RECONOCIMIENTOS Parte de la información mostrada corresponde a los trabajos de tesis de licenciatura, maestría y doctorado de alumnos de la Universidad Nacional Autónoma de México, Universidad Autónoma de Guerrero y Escuela Militar de Ingenieros, desarrollados bajo la supervisión del autor del presente documento.

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