Determinação de Patologias Estruturais Usando Modelagem Numérica

DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS

USANDO MODELAGEM NUMRICA E

TRANSFORMADAS DE WAVELET

RAMON SALENO YURE COSTA SILVA

DISSERTAO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS

E CONSTRUO CIVIL

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL

FACULDADE DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DE BRASLIA

i




DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS

USANDO MODELAGEM NUMRICA E

TRANSFORMADAS DE WAVELET


ORIENTADOR: LUCIANO MENDES BEZERRA

DISSERTAO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E

CONSTRUO CIVIL

PUBLICAO: E.DM-001A/11

BRASLIA/DF: FEVEREIRO 2011

ii




DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS USANDO

MODELAGEM NUMRICA E TRANSFORMADAS DE WAVELET


DISSERTAO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE

ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE

TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASLIA COMO PARTE DOS

REQUISTOS NECESSRIOS PARA A OBTENO DO GRAU DE

MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUO CIVIL.

APROVADA POR:

_________________________________________________

Prof. Luciano Mendes Bezerra, PhD (UnB) (Orientador)

_________________________________________________

Prof. William Taylor Matias Silva, Dr. Ing. (UnB)

(Examinador Interno)

_________________________________________________

Prof. Ney Roitman, DSc. (COPPE-UFRJ)

(Examinador Externo)

BRASLIA/DF, 25 DE FEVEREIRO DE 2011

iii

FICHA CATALOGRFICA

SILVA, RAMON SALENO YURE COSTA

Determinao de Patologias Estruturais Usando Modelagem Numrica e Transformadas

de Wavelet. [Distrito Federal] 2011.

xxv, 117p., 210 x 297 mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas e Construo Civil, 2011).

Dissertao de Mestrado Universidade de Braslia. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental.

1.Transformada de Wavelet 2.Wavelets

3.Danos 4. Frequncias naturais

I. ENC/FT/UnB II. Ttulo (srie)

REFERNCIA BIBLIOGRFICA

SILVA, R. S. Y. C. (2011). Determinao de Patologias Estruturais Usando Modelagem

Numrica e Transformadas de Wavelet. Dissertao de Mestrado em Estruturas e

Construo Civil. Publicao E.DM-001A/11, Departamento de Engenharia Civil e

Ambiental, Universidade de Braslia, Braslia, DF, 117p.

CESSO DE DIREITOS

AUTOR: Ramon Saleno Yure Costa Silva

TTULO: Determinao de Patologias Estruturais Usando Modelagem Numrica e

Transformadas de Wavelet

GRAU: Mestre ANO: 2011

concedida Universidade de Braslia permisso para reproduzir cpias desta dissertao

de mestrado e para emprestar ou vender tais cpias somente para propsitos acadmicos e

cientficos. O autor reserva outros direitos de publicao e nenhuma parte dessa dissertao

de mestrado pode ser reproduzida sem autorizao por escrito do autor.

____________________________________

Ramon Saleno Yure Costa Silva

SHIN CA 11, Lote 7, Casa 09 Lago Norte 71.503-511 Braslia - DF- Brasil

e-mail: [email protected]

iv

Dedicatria.

Dedico este trabalho minha me, in memoriam, e

minha av Dil, in memoriam, pelo amor e carinho

incondicional.

v

AGRADECIMENTOS

Deus por ter sempre me acompanhado nos momentos de alegria e de tristeza me dando

foras para que pudesse continuar seguindo em frente para alcanar os meus objetivos com

muita pacincia e humildade.

toda famlia Itapary, em especial, Wanda, Jonas, Circe, Igor, Cynthia e Vincius pelo

incentivo na tentativa por uma vaga no mestrado da UnB, pelo acolhimento aqui em

Braslia e por todo apoio e motivao recebido durante o mestrado.

minha namorada Adriana pelo amor, respeito, companheirismo e pacincia.

Ao PECC pela vaga concedida no programa de mestrado.

Ao meu orientador Luciano Mendes Bezerra pela disponibilidade, dedicao,

comprometimento e incentivo na orientao deste trabalho.

Aos professores do PECC, em especial, ao Paul e Graciela pelas sugestes dadas no meu

seminrio de mestrado e ao professor Taylor pelo estgio de docncia na graduao.

Ao Professor Quan Wang da Universidade de Manitoba pelos esclarecimentos e sugestes

dadas no incio desta pesquisa.

Ao CNPQ pelo suporte financeiro.

A Eva por desempenhar muito bem suas atividades como secretria do PECC contribuindo

para o bom andamento das atividades dirias dos alunos e professores do programa.

Aos amigos da UnB Iuri, Rogrio, Sebastio, Ceclia, Elaine, Jorge, Morgana, Patrcia,

Fbio, Alejandro, Marcus Vincius, Urubatan, Abdala, Henrique, Marcus Alexandre e

Ucha, pelo companheirismo e auxlio durante o mestrado.

E por fim, todos que de alguma forma contriburam para que o sonho do mestrado um dia

pudesse se tornar uma realidade.

vi

Quem vive em zona de conforto, nunca se desenvolve

Autor desconhecido.

vii

RESUMO

DETERMINAO DE PATOLOGIAS ESTRUTURAIS USANDO MODELAGEM

NUMRICA E TRANSFORMADAS DE WAVELET

Autor: Ramon Saleno Yure Costa Silva

Orientador: Luciano Mendes Bezerra, PhD

Programa de Ps-graduao em Estruturas e Construo Civil

Braslia, Janeiro de 2011

Nos ltimos anos, observa-se grande interesse por parte da comunidade cientfica nas

pesquisas associadas deteco de danos em estruturas, utilizando mtodos numricos

com objetivo de auxiliar as tcnicas no destrutivas aplicadas no monitoramento do

desempenho, patologia e da sade de estruturas civis. Neste sentido, o objetivo deste

trabalho contribuir para o estudo de deteco de danos em estruturas, utilizando

modelagem numrica em elementos finitos e transformadas de wavelet. Para isto, diversas

situaes de danos foram simuladas numericamente em vigas, trelias e pontes, e, em

seguida, sinais de deslocamento e modos de vibrao foram utilizados para avaliar a

eficincia das transformadas de wavelet na deteco de danos para diferentes condies de

contorno e de carregamentos aplicados nestas estruturas. Alm disso, foi analisada a

influncia da introduo do rudo nos sinais usados no processo de deteco do dano. Nas

simulaes numricas os programas ANSYS11.0 e SAP2000 foram utilizados para gerar

os sinais de deslocamento e, tambm, modos de vibrao de estruturas danificadas e,

posteriormente, as transformadas de wavelet destes sinais foram calculadas atravs do

programa MATLAB. Os resultados obtidos mostraram que as transformadas de wavelet

so capazes de detectar danos, at mesmo, de pequenas dimenses atravs dos coeficientes

de wavelet que alcanam grandes amplitudes na regio danificada, distintamente do que

ocorre em regies sem dano onde estes coeficientes no apresentam grandes amplitudes.

Assim sendo, o uso das transformadas de wavelet mostra-se promissor no processo de

deteco e monitoramento de danos em estruturas.

viii

ABSTRACT

DETERMINATION OF STRUCTURAL PATHOLOGIES USING NUMERICAL

MODELING AND WAVELET TRANSFORM

Author: Ramon Saleno Yure Costa Silva

Supervisor: Luciano Mendes Bezerra, PhD

Programa de Ps-graduao em Estruturas e Construo Civil

Brasilia, February of 2011

In recent years, there is a large interest in the scientific community in the researches

associated on damage detection in structures using numerical methods with the goal to help

in the non-destructive techniques applied to performance monitoring, pathology and

structural health of civil structures. In this sense, the objective of this research is to

contribute for the study of damage detection in structures using numerical finite element

modeling and wavelet transforms. For this, many damage scenarios were simulated

numerically in beams, trusses and bridges and then displacements signals and mode shapes

were used to evaluate the efficiency of wavelet transforms in detecting damages for

different boundary conditions and loadings applied to such structures. Moreover, it was

analyzed the influence of noise introduction in the signals used for damage detection

process. In the numerical simulations the ANSYS11.0 and SAP2000 programs were used

to generate the signals of displacement and also mode shapes in damaged structures and

after that, the wavelet transforms of these signals were computed using MATLAB

program. The results shows that the wavelet transforms are able to detect even small

damages through wavelet coefficients which achieve large amplitudes in the damaged

region, differently of what takes place in regions without damage where these coefficients

do not show large amplitudes. Therefore, the use of wavelet transform appears to be

promising in the process of detection and monitoring damaged structures.

ix

SUMRIO

1 INTRODUO ........................................................................................................... 1

1.1 MOTIVAO ......................................................................................................... 2

1.2 OBJETIVOS ............................................................................................................ 4

1.3 ESTRUTURAO DA DISSERTAO ............................................................. 5

2 REVISO BIBLIOGRFICA ................................................................................... 6

2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS .......................................................................... 6

2.1.1 Influncia dos danos numa estrutura ............................................................ 6

2.1.2 Patologias provocadas por processos construtivos ....................................... 6

2.1.3 Patologias provocadas pela ao de cargas externas .................................... 7

2.2 DESCRIO GENRICA DOS MTODOS DE DETECO DE DANO ...... 8

2.3 USO DAS WAVELETS PARA DETECO DE DANOS ................................ 11

3 MTODOS DE DETECO DE DANOS ............................................................. 17

3.1 MTODOS EXPERIMENTAIS .......................................................................... 17

3.2 MTODOS NUMRICOS ................................................................................... 19

3.2.1 Mtodo da mudana de flexibilidade ........................................................... 20

3.2.2 Mtodo da curvatura ..................................................................................... 21

3.2.3 Assinaturas estruturais ................................................................................. 22

3.2.4 MTODOS BASEADOS EM WAVELETS ............................................... 24

3.2.4.1 Wavelets e Transformada de Fourier....................................................... 25

3.2.4.2 Propriedades das wavelets ....................................................................... 27

3.2.4.3 Wavelets me ........................................................................................... 27

3.2.4.4 Transformada Contnua de Wavelet (TCW) ........................................... 30

3.2.4.5 Transformada Discreta de Wavelet (TDW)............................................. 32

3.3 DISTRIBUIO DO ERRO ................................................................................ 34

3.3.1 Mtodos de regularizao ............................................................................. 36

4 SIMULAES DE DANOS E APRESENTAO DOS RESULTADOS .......... 38

4.1 DETECO DE DANOS EM VIGAS ................................................................. 38

4.1.1 Viga em Balano ............................................................................................ 41

4.1.1.1 Anlise esttica ........................................................................................ 41

4.1.1.2 Anlise modal .......................................................................................... 47

x

4.1.2 Viga Biengastada ........................................................................................... 54

4.1.2.1 Anlise esttica ........................................................................................ 54

4.1.2.2 Anlise modal .......................................................................................... 58

4.2 DETECO DO DANO EM UMA TRELIA................................................... 64

4.2.1 Anlise esttica ............................................................................................... 65

4.2.2 Deteco de dano com sinal regularizado ................................................... 68

4.3 DETECO DO DANO EM UMA PONTE ....................................................... 69

4.3.1 Anlise esttica ............................................................................................... 77

4.3.1.1 Desplacamento na viga principal ............................................................. 79

4.3.1.2 Desplacamento no tabuleiro .................................................................... 81

4.3.2 Anlise modal ................................................................................................. 85

4.3.2.1 Desplacamento na viga principal ............................................................. 88

4.3.2.2 Desplacamento no tabuleiro .................................................................... 90

5 CONCLUSES E SUGESTES ............................................................................. 94

5.1 CONCLUSES GERAIS ..................................................................................... 94

5.2 SUGESTES PARA TRABALHOS FUTUROS ................................................ 95

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................ 97

APNDICE A SCRIPT UTILIZADO PARA GERAO DA ANLISE

ESTTICA DA PONTE SOBRE RIO PADEIRO ....................................................... 103

APNDICE B SCRIPT UTILIZADO PARA GERAO DA ANLISE MODAL

DA PONTE SOBRE RIO PADEIRO ............................................................................ 107

APNDICE C ROTEIRO EM MATLAB PARA CALCULAR AS TDW ............. 110

ANEXO A - RELATRIO FOTOGRFICO DA PONTE SOBRE O CRREGO

PADEIRO ......................................................................................................................... 112

ANEXO B FICHA DE INSPEO ............................................................................ 117

xi

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 Resumo das propriedades das famlias de wavelets .................... .................. 30

Tabela 4.1- Propriedades das vigas ..................................................................................... 39

Tabela 4.2- Situaes de dano ............................................................................................. 40

Tabela 4.3 - Coeficientes discretos de Wavelet para os casos com erro, x10-7

................... 47

Tabela 4.4 - Frequncia fundamental (Hz) da viga em balano .......................................... 48

Tabela 4.5 Frequncia natural (Hz) da viga sem fissura .................................................. 48

Tabela 4.6 - Frequncia fundamental (Hz) da viga biengastada ......................................... 58

Tabela 4.7 Frequncia natural da viga biengastada sem fissura (Hz) .............................. 59

Tabela 4.8 Propriedades da trelia .................................................................................... 65

Tabela 4.9 Propriedades dos materiais utilizados na ponte .............................................. 71

Tabela 4.10 Ocorrncia de Patologias em superestrutura ................................................ 73

Tabela 4.11 Casos de dano utilizados na ponte ................................................................ 74

Tabela 4.12 Aes permanentes ....................................................................................... 75

Tabela 4.13 Pesos dos veculos e valores das cargas distribudas .................................... 75

Tabela 4.14 Caractersticas dos veculos-tipo .................................................................. 76

Tabela 4.15 - Comparao entre as frequncias naturais (Hz) ............................................ 88

xii

LISTA DE FIGURAS

Figura 1.1 Pontes de destaque no Brasil. ............................................................................ 1

Figura 1.2- Rachadura na ponte dos Remdios .................................................................... 2

Figura 1.3- Desabamento de um trecho da ponte Capivari. .................................................. 2

Figura 2.1- (a) Fissura de retrao por secagem de uma laje,(b) Vista inferior da laje do

tabuleiro mostrando o desplacamento do concreto e a corroso das armaduras,(c) ataque

por sultatos em pilares...... ................................................................................................ 7

Figura 2.2- Representao dos tipos de fissuras que podem ocorrer no concreto. ................ 8

Figura 2.3- Classificao dos mtodos de deteco de dano. .............................................. 10

Figura 2.4 Modelo em elementos finitos da viga em balano fissurada na borda. ........... 11

Figura 2.5 Viga biapoiada com uma fissura e submetida a um carregamento esttico. ... 12

Figura 2.6 Placa contendo uma fissura ............................................................................. 12

Figura 2.7 Viga em balano contendo uma fissura transversal ........................................ 12

Figura 2.8 Modelo numrico da viga usando elemento SOLID45. .................................. 13

Figura 2.9 Esquema da viga em balano fissurada ........................................................... 14

Figura 2.10 Viga biengastada submetida carga esttica ou dinmica............................ 14

Figura 2.11 Prtico submetido carga esttica. ............................................................... 14

Figura 2.12 Viga com molas rotacionais na seo com o dano ........................................ 15

Figura 2.13 Viga utilizada no experimento. ..................................................................... 15

Figura 2.14 Geometria da ponte utilizada como exemplo. ............................................... 16

Figura 3.1- Deteco de danos usando a tcnica de ultrassom. ........................................... 17

Figura 3.2 - Figura Deteco de danos usando a tcnica de raio-x. ................................... 18

Figura 3.3 Problema direto em elastosttica. .................................................................... 20

Figura 3.4 Funo peridica senoidal e funo wavelet de Daubechies com 10 momentos

nulos ................................................................................................................................ 26

Figura 3.5 Wavelet-me Haar ........................................................................................... 28

Figura 3.6 Famlia de wavelets db1 a db9 ........................................................................ 28

Figura 3.7 - Famlia de wavelets biorthogonais. .................................................................. 29

Figura 3.8- Dilao e translao de funes wavelet. ......................................................... 31

Figura 3.9 - Nmeros aleatrios gerados com distribuio Gaussiana................................ 36

Figura 4.1 - Modelo da viga em balano. ............................................................................ 39

Figura 4.2 Modelo viga biengastada................................................................................. 39

Figura 4.3-Elemento finito PLANE42................................................................................. 40

xiii

Figura 4.4 Discretizao do modelo em elementos finitos da viga em balano ............... 40

Figura 4.5 - Discretizao do modelo em elementos finitos da viga biengastada. .............. 41

Figura 4.6 - Deformada da viga em balano obtida no ANSYS. ....................................... 41

Figura 4.7 - Deflexo da viga em balano submetida carga esttica. ............................... 42

Figura 4.8- Coeficientes de wavelet da situao 1 usando db2 (L/4). ................................. 42

Figura 4.9- Coeficientes de wavelet da situao 1 usando bior6.8 (L/4). ........................... 43

Figura 4.10 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando db2 (L/2). ............................. 43

Figura 4.11 Coeficientes de wavelet da situao 2 usando bior6.8 (L/2). ........................ 43





Figura 4.16 Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 1usando db2 (L/4). ................... 45

Figura 4.17 Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 1usando bior6.8 (L/4). .............. 46

Figura 4.18- Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 2 usando db2 (L/4). .................... 46

Figura 4.19 Coeficientes de wavelet da situao 1 caso 2 usando bior6.8 (L/4). ............. 47

Figura 4.20 - Primeiro modo de vibrao da viga em balano obtido no ANSYS. ............ 49

Figura 4.21 Segundo modo de vibrao da viga em balano obtido no ANSYS. ............ 49

Figura 4.22 - Terceiro modo de vibrao da viga em balano obtido no ANSYS. ............. 50

Figura 4.23 - Primeiro modo de vibrao da viga em balano ............................................ 50

Figura 4.24- Segundo modo de vibrao da viga em balano. ............................................ 51

Figura 4.25 - Coeficientes de wavelet da situao 1 usando db2 (L/4). .............................. 51








Figura 4.33 - Deformada da viga biengastada obtida no ANSYS. ...................................... 54

Figura 4.34 Deslocamento da viga biengastada submetida carga esttica. ................... 55




xiv






Figura 4.43 - Primeiro modo de vibrao da viga biengastada obtido no ANSYS. ............ 59

Figura 4.44 - Segundo modo de vibrao da viga biengastada obtido no ANSYS. ............ 60

Figura 4.45 -Terceiro modo de vibrao da viga biengastada obtido no ANSYS. ............. 60

Figura 4.46- Primeiro modo de vibrao da viga biengastada. ........................................... 61

Figura 4.47- Segundo modo de vibrao da viga biengastada. ........................................... 61

Figura 4.48 - Coeficientes de wavelet da situao 1 usando db2 (L/4). .............................. 62








Figura 4.56 Elemento de barra (FRAME). ....................................................................... 65

Figura 4.57 Trelia analisada............................................................................................ 65

Figura 4.58 - Deslocamentos nodais para a trelia linearizada. .......................................... 66

Figura 4.59 Coeficientes de wavelet para a trelia sem o dano usando db2. ................... 66

Figura 4.60 - Coeficientes de wavelet para a trelia com o dano usando db2. .................... 67

Figura 4.61 Diferena dos deslocamentos nodais com o dano e sem o dano. .................. 67

Figura 4.62 Coeficientes de wavelet aplicado no sinal da diferena dos deslocamentos

com o dano e sem o dano usando Db2. ........................................................................... 68

Figura 4.63 - Deslocamentos nodais regularizados para =100. ......................................... 68

Figura 4.64 Coeficientes de wavelet aplicado nos deslocamentos regularizados sem o

dano usando db2. ............................................................................................................ 69

Figura 4.65 - Coeficientes de wavelet aplicado nos deslocamentos regularizados com o

dano usando Db2. ........................................................................................................... 69

Figura 4.66 Planta baixa da ponte sobre o crrego padeiro.............................................. 70

Figura 4.67 Corte A-A da ponte sobre o crrego padeiro. ............................................... 70

Figura 4.68 Corte B-B da ponte sobre o crrego padeiro. ................................................ 71

xv

Figura 4.69 Elemento slido SOLID65. ........................................................................... 71

Figura 4.70 Ponte sobre o Crrego Padeiro. ..................................................................... 72

Figura 4.71 Perspectivas da ponte sobre o Crrego Padeiro. ........................................... 72

Figura 4.72 Discretizao do modelo em elementos finitos da ponte sobre o Crrego

Padeiro. ........................................................................................................................... 73

Figura 4.73 Caso 1: Desplacamento na viga principal. .................................................... 74

Figura 4.74 Caso 2: Desplacamento no tabuleiro. ............................................................ 75

Figura 4.75 Caractersticas dos veculos-tipo. .................................................................. 76

Figura 4.76 Trem tipo da NBR:7188(1984). .................................................................... 76

Figura 4.77 Modelo em elementos finitos da ponte sob carregamento esttico. .............. 77

Figura 4.78 - Deformada da ponte. ...................................................................................... 77

Figura 4.79 Tenses normais na direo x (x). ............................................................... 78

Figura 4.80 Deslocamentos verticais na direo y (Uy). .................................................. 78

Figura 4.81 Deslocamentos nodais da viga principal com e sem desplacamento. ........... 79

Figura 4.82 Coeficientes de wavelet para desplacamento na viga principal usando Db2.79

Figura 4.83 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na viga principal com

regularizao usando db2. ............................................................................................... 80

Figura 4.84 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na viga principal com sinal da

diferena com o dano e sem dano usando db2. ............................................................... 81

Figura 4.85 Deformada da ponte com desplacamento no tabuleiro. ................................ 81

Figura 4.86 Tenses normais na direo x com desplacamento no tabuleiro................... 82

Figura 4.87 Deslocamentos verticais na direo y com desplacamento no tabuleiro. ...... 82

Figura 4.88 - Deslocamentos nodais no tabuleiro com e sem desplacamento. ................... 83

Figura 4.89 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no tabuleiro usando bior6.8. ... 83

Figura 4.90 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no tabuleiro com 1% de erro no

sinal esttico e usando bior6.8. ....................................................................................... 84


sinal esttico e usando bior6.8. ....................................................................................... 84

Figura 4.92 Primeiro modo de vibrao sem o dano. ....................................................... 85

Figura 4.93 Segundo modo de vibrao sem o dano. ....................................................... 85

Figura 4.94 Terceiro modo de vibrao sem o dano. ....................................................... 86

Figura 4.95 - Primeiro modo de vibrao com desplacamento na VP. ............................... 86

Figura 4.96 - Segundo modo de vibrao com desplacamento na VP. ............................... 87

Figura 4.97 - Terceiro modo de vibrao com desplacamento na VP. ................................ 87

xvi

Figura 4.98 Primeiro modo de vibrao sem o dano e com o dano na VP....................... 88

Figura 4.99 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na VP usando db2. ................. 89

Figura 4.100 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na VP com regularizao

usando db2. ..................................................................................................................... 89

Figura 4.101 - Coeficientes de wavelet para desplacamento na viga principal com sinal da

diferena entre dano e sem dano usando db2. ................................................................ 90

Figura 4.102 Primeiro modo de vibrao com desplacamento no tabuleiro da ponte. .... 90

Figura 4.103 - Segundo modo de vibrao com desplacamento no tabuleiro da ponte. ..... 91

Figura 4.104 - Terceiro modo de vibrao com desplacamento no tabuleiro da ponte. ...... 91

Figura 4.105 Primeiro modo de vibrao sem o dano e com o dano no tabuleiro. .......... 92

Figura 4.106 - Coeficientes de wavelet para desplacamento no tabuleiro usando bior6.8.. 92


sinal modal e usando bior6.8. ......................................................................................... 93


sinal modal e usando bior6.8. ......................................................................................... 93

Figura A.1 Vista frontal estaca inicial ......................................................................... 112

Figura A.2 Vista lateral a montante ................................................................................ 112

Figura A.3 Vista inferior da ponte .................................................................................. 113

Figura A.4 Leito do rio ................................................................................................... 113

Figura A.5 Vista do encontro E1 .................................................................................... 114

Figura A.6 Vista do encontro E2 .................................................................................... 114

Figura A.7 Ferragem exposta na parte inferior do tabuleiro .......................................... 115

Figura A.8 Tabuleiro com proteao lateral danificada ................................................... 115

Figura A.9 Vista lateral a jusante ................................................................................... 116

Figura A.10 Vista frontal estaca final .......................................................................... 116

xvii

LISTA DE SMBOLOS, NOMENCLATURA E ABREVIAES

B - largura da viga

Ca,b - coeficientes de wavelet

E - mdulo de elasticidade do material

F - matriz de flexibilidade

H - altura da viga

I - momento de inrcia;

K - matriz de rigidez

L - comprimento da viga

M - matriz de massa

S- rea da seo transversal

Z - conjunto dos nmeros inteiros

a - parmetro de escala

a - tamanho da fissura

b - parmetro de translao

d - localizao da fissura

i - ndice de escala

k - ndice de translao

m - massa por unidade de comprimento;

t - tempo

- matriz dos modos de vibrao

- matriz diagonal com os quadrados das frequncias naturais de vibrao;

- frequncias naturais

a,b - funo wavelet

- massa especfica

- porcentagem de erro admitida

- desvio padro

t - wavelet-me

- coeficiente de Poisson

- curvatura da seo

i - mdia dos valores aleatrios

- valores aleatrio de erros

xviii

- valores verdadeiros de deslocamento e modos de vibrao obtidos na anlise

esttica e modal respectivamente

- valores de deslocamento e modos de vibrao obtidos na anlise esttica e

modal respectivamente somados com o erro aleatrio

- diferena entre os deslocamentos nodais da estrutura intacta (ui) e da

estrutura danificada (ud)

- quadrados das diferenas entre as frequncias naturais obtidas com a

estrutura intacta (i e com a estrutura danificada (d)

- parmetro adimensional utilizado para o clculo da frequncia natural;

CEB - Comit Euro-Internacional do Concreto

COMAC - Coordinate Modal Assurance Criterion

TCW- Transformada Contnua de Wavelet

TDW Transformada Discreta de Wavelet

DNIT - Departamento Nacional de Infraestruturas de Transportes

EI - Rigidez flexo

ENC - Departamento de Engenharia Civil e Ambiental da UnB

MEC - Mtodo dos Elementos de Contorno

MEF - Mtodo dos Elementos Finitos

NBR Norma Brasileira Regulamentadora

PECC - Programa de Ps-graduao em Estsruturas e Construo Civil

SHM- Structural Health Monitoring

TF - Transformada de Fourier

UnB- Universidade de Braslia

kN- kilonewton

MPa- megapascal

1D- uma dimenso

2D- duas dimenses

3D- trs dimenses

1

1 INTRODUO

As pontes so construes de grande importncia para o desenvolvimento econmico e

social do pas, visto que as mesmas encurtam caminhos, transpem obstculos e servem

para dar continuidade s vias, proporcionando o trnsito de pessoas e o escoamento da

produo de uma regio, ou mesmo, de um pas.

A arte de construir pontes tem evoludo bastante nos ltimos tempos em funo dos

avanos tecnolgicos que proporcionaram o uso de novos materiais e criao de

ferramentas computacionais, capazes de realizar anlises estruturais complexas de

estruturas ousadas com um elevado grau de preciso. De posse dessas ferramentas, os

arquitetos e engenheiros tm concebido belssimas pontes com sistemas estruturais

arrojados e desafiadores. Como exemplo aqui no Brasil, podemos citar: a ponte JK em

Braslia (Figura 1.1a), e a ponte Octavio Frias de Oliveira em So Paulo (Figura 1.1b).

(a) (b)

Figura 1.1 Pontes de destaque no Brasil: (a) Ponte JK em Braslia (Flickr,2010), (b) Ponte Octavio Frias de Oliveira em So Paulo (Conhecasaopaulo, 2010).

Infelizmente, nossos governantes e administradoras de rodovias ainda no desenvolveram

plenamente a mentalidade estratgica da manuteno e conservao de pontes, viadutos,

passarelas, entre outras estruturas. Este descaso d-se ainda de forma mais crtica em nosso

pas, onde a manuteno de pontes no prioritria nem mesmo no DNIT (Departamento

Nacional de Infraestrutura de Transportes).

A manuteno no Brasil, quando ocorre, geralmente corretiva e s vem a ser realizada

quando a obra est no limiar do seu estado limite de colapso ou de utilizao. O tema

conservao s fica em evidncia quando acontece um acidente estrutural com alguma

obra importante, como foi o caso da ponte dos Remdios sobre o rio Tiet em So Paulo

2

(Figura 1.2) que, em 1997, entrou em processo de colapso pelo fato de no receber

manuteno desde a sua construo em 1968. Outro acidente de destaque no Brasil foi o

desabamento de um trecho da ponte sobre a represa de Capivari (Figura 1.3), na rodovia

Regis Bittencourt (BR-116/PR), com a perda de vidas humanas, cuja causa foi a ausncia

de manuteno dos aterros das cabeceiras ao longo dos 40 anos de utilizao (Vitrio,

2008).

Figura 1.2- Rachadura na ponte dos Remdios (Cunha et al., 1998).

Figura 1.3- Desabamento de um trecho da ponte Capivari (Folhaonline, 2005).

1.1 MOTIVAO

A performance estrutural de uma ponte diminui ao longo de sua vida til devido a muitos

processos de deteriorao, entre eles, fadiga, carbonatao, desplacamento do concreto,

corroso de armaduras, e oxidao de estruturas metlicas. Assim, a falha de uma

importante parte da estrutura pode causar perdas econmicas significantes e tambm perda

de vidas humanas, o que mais grave ainda (Estrada, 2008).

Diversas pontes no Brasil apresentam danos supostamente relacionados ao excesso de

carga rodoviria, pois esto submetidas a carregamentos superiores queles para os quais

foram projetadas. o caso, por exemplo, das pontes que foram projetadas at 1981,

3

quando o trem-tipo mximo adotado era de 36t. A adoo do trem-tipo de 45t pela a NBR

7188:1984 foi feita a partir de 1982, sendo que continuam em uso as pontes antes

projetadas com o trem tipo de 36t. Portanto, uma parcela significativa das pontes no Brasil

projetadas com cargas mveis defasadas ainda continuam em uso sem nenhum reforo para

fazer frente ao aumento do trem tipo (Vitrio, 2008).

Segundo Vitrio (2008), das 40 pontes usadas no seu estudo, destacam-se as seguintes

ocorrncias de patologias na superestrutura: 77,5% das pontes apresentaram desplacamento

do concreto das vigas principais (VP) e 87,5% nas lajes do tabuleiro.

Existem diversos mtodos de deteco de danos, entre eles podemos citar: os ensaios

destrutivos e os no destrutivos, pois tais ensaios permitem determinar falhas, ou mesmo,

mudanas nas propriedades dos materiais constituintes da estrutura. Existem ainda os

mtodos numricos para a determinao de danos em diversas estruturas e que utilizam,

em grande parte, o mtodo dos elementos finitos via clculo da variao das frequncias

naturais e modos de vibrao, antes e aps o surgimento do dano. De posse desses

parmetros, podemos detectar um dano em uma estrutura, j que os mesmos indicam

alteraes nas propriedades de rigidez e de massa da estrutura, fazendo com que os

parmetros de vibrao tambm sejam alterados.

Para detectar o dano usando mtodos modais, muitas vezes necessria uma anlise

dinmica completa que, geralmente, realizada pelo mtodo dos elementos finitos e tal

anlise pode vir a auxiliar na localizao e identificao do dano. Entretanto, este

procedimento apresenta vrias dificuldades. Nem sempre possvel ou conveniente medir

a resposta de vibrao da estrutura antes do dano surgir. Muitas vezes no vivel

conduzir uma anlise dinmica detalhada de toda a estrutura. As vezes difcil obter com

preciso os dados geomtricos e as propriedades dos materiais e modelar as ligaes

estruturais para uma anlise dinmica precisa. Tambm, no fcil extrair informaes

locais causadas por um dano de pequena dimenso, mas no menos importante detectar o

dano a partir de parmetros modais que caracterizem o comportamento global da estrutura

(Wang e Deng, 1999).

Entre outras ferramentas de clculo para a determinao do dano, tem-se o COMAC

(Coordinate Modal Assurance Criterion), mudana de flexibilidade, curvatura e ndice de

4

dano que so mtodos que comparam parmetros estruturais, antes e aps o surgimento de

um dano. Mtodos que podem detectar dano, somente com informaes obtidas da

condio danificada da estrutura, seriam mais apropriados, j que a condio antes do dano

raramente conhecida ou conservada como um dado estrutural. Neste contexto, a

aplicao dos mtodos baseados em wavelets pode ser muito til, pois este mtodo pode

detectar singularidades presentes nos parmetros modais ou deslocamentos causados pelo

dano e, consequentemente, no requerem a condio da estrutura antes do dano (Estrada,

2008).

Portanto, a motivao deste trabalho a utilizao de wavelets para se conhecer o

comportamento estrutural de pontes, sob as condies de mecanismos de deteriorao e,

desta forma, possibilitar uma melhor soluo para recuperao estrutural. Alm disso,

enfatiza-se que o uso de wavelets para deteco de danos uma ferramenta alternativa aos

mtodos modais tradicionais que j foram usados por vrios pesquisadores, inclusive, na

UnB (Honrio, 1997; Brasiliano, 2001; Brito, 2008; Caldeira, 2009), entre outros.

1.2 OBJETIVOS

O presente trabalho tem como objetivo geral contribuir para o estudo de deteco de danos

em vigas, trelias e pontes, aplicando as transformadas de wavelet na resposta danificada

da estrutura.

Dentro deste objetivo geral, apresentam-se os seguintes objetivos especficos:

Simular as patologias que levam ao desgaste de peas de concreto e de ao;

Detectar danos em vigas com diferentes condies de contorno, por meio de uma

anlise esttica e modal, utilizando as transformadas de wavelet;

Detectar danos em trelia plana, utilizando as transformadas de wavelet;

Detectar danos na superestrutura de pontes, utilizando a transformada de wavelet.

5

1.3 ESTRUTURAO DA DISSERTAO

Para alcanar os objetivos propostos, esta dissertao est estruturada em cinco captulos.

No primeiro captulo, apresento uma abordagem geral da pesquisa, com a introduo do

tema, a motivao deste estudo e os objetivos do mesmo.

O segundo captulo mostra alguns conceitos fundamentais relacionados rea da pesquisa;

uma descrio geral dos mtodos de deteco de danos e, alm disso, so apresentados

alguns trabalhos j desenvolvidos na rea de deteco de danos, utilizando as wavelets.

O terceiro captulo relata de forma mais detalhada alguns dos mtodos tradicionais de

deteco de danos e, em seguida, apresenta os mtodos de deteco de danos baseados em

wavelets.

O quarto captulo apresenta as propriedades geomtricas e dos materiais constituintes das

vigas, trelia e de uma ponte, assim como os tipos de elementos utilizados, carregamentos

aplicados nos modelos numricos e a descrio das diversas simulaes de danos. Alm

disso, so apresentados e discutidos os resultados obtidos na aplicao das transformadas

de wavelet na deteco de danos em estruturas.

O quinto e ltimo captulo reporta s concluses obtidas neste trabalho e s sugestes para

trabalhos futuros.

6

2 REVISO BIBLIOGRFICA

2.1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS

2.1.1 Influncia dos danos numa estrutura

Alguns danos em estruturas podem causar diminuio da vida til da estrutura. Define-se

vida til como o perodo de tempo durante o qual a estrutura capaz de desempenhar as

funes para as quais foi projetada sem necessidade de intervenes no previstas CEB-

FIP, (1990). As pontes, por exemplo, esto sujeitas s condies ambientais que alteram

suas propriedades fsicas e qumicas comprometendo a sua durabilidade e favorecendo o

surgimento de patologias. A NBR 6118:2003 define durabilidade como a capacidade da

estrutura resistir s influncias ambientais previstas e definidas em conjunto pelo autor do

projeto estrutural e o contratante, no incio dos trabalhos de elaborao do projeto.

Entende-se ainda por patologia a queda de desempenho de um produto, componente, ou

construo, ao longo do tempo, devido a erros de: planejamento, projeto, execuo, uso e

deteriorao proveniente de sua interao com o meio ambiente (Nepomuceno e Teatini,

2009).

As aes sobre as estruturas so parmetros fundamentais a serem considerados no projeto

e incidem diretamente na durabilidade, servio, estabilidade e/ou na resistncia. Por esta

razo, quando nos deparamos com uma falha, essencial determinar a causa que a origina,

muitas vezes esta causa pode tambm estar associada a uma ao excessiva sobre a

estrutura (Helene e Pereira, 2007).

2.1.2 Patologias provocadas por processos construtivos

As patologias associadas a processos construtivos no comprometem o comportamento

mecnico das estruturas, mas afetam a durabilidade e, com o tempo, aceleram o processo

de degradao.

Dentro deste contexto existem as fissuras provocadas por: assentamento plstico, retrao

plstica, autgena e por secagem. A presena destas fissuras facilita o processo de

deteriorao, pois facilita a penetrao de agentes agressivos no interior do elemento

estrutural degradando tanto o concreto quanto as armaduras.

7

Alm destas fissuras, temos quatro fenmenos associados s reaes qumicas expansivas,

que so: ataque por sulfato, reao lcali-agregado, hidratao tardia de CaO e MgO livres

e corroso da armadura de concreto.

As Figuras 2.1a, 2.1b e 2.1c ilustram algumas das patologias que possivelmente podero

ser modeladas.

(a) (b) (c)

Figura 2.1- (a) Fissura de retrao por secagem de uma laje. Fonte: (Husni, 2005), (b)Vista

inferior da laje do tabuleiro mostrando o desplacamento do concreto e a corroso das

armaduras, (c) Ataque por sulfatos em pilares (Coutinho, 2001).

2.1.3 Patologias provocadas pela ao de cargas externas

A ao das cargas externas gera um complexo estado de tenses. Se analisarmos um

elemento qualquer de uma estrutura de concreto armado, comprovamos que cada uma das

sees est submetida a uma solicitao simples de flexo ou a uma solicitao composta

por compresso, cisalhamento e toro. A existncia de uma deficincia em uma estrutura

de concreto armado se manifesta, na maioria dos casos, atravs de uma configurao de

fissuras que depender do tipo de solicitao atuante (Helene e Pereira, 2007).

As fissuras provocadas por carregamentos externos comprometem as estruturas, do ponto

de vista mecnico, podendo levar a mesma runa. A Figura 2.2 ilustra alguns tipos de

fissuras.

8

Figura 2.2- Representao dos tipos de fissuras que podem ocorrer no concreto (Neville,

1997).

2.2 DESCRIO GENRICA DOS MTODOS DE DETECO DE DANO

A implementao de uma estratgia de deteco de danos para a indstria aeroespacial,

engenharia mecnica e infraestruturas de engenharia civil tambm conhecida como

Monitoramento da Sade Estrutural (Structural Health Monitoring, ou SHM) (Sohn et al.,

2003, Leme et al., 2007). Neste contexto, os mtodos de deteco de danos em estruturas

podem ser classificados em diversos nveis tais como (Rytter, 1993):

Nvel I: deteco do dano;

Nvel II: localizao do dano;

Nvel III: avaliao da severidade do dano;

Nvel IV: determinao da vida til remanescente devido ao dano.

Mtodos nvel I consideram somente a determinao se a estrutura apresenta dano ou no;

Mtodos nvel II consideram se a estrutura est danificada e a localizao do dano; no

nvel III, a deteco e localizao devem ser quantificadas em extenso e severidade e no

nvel IV, a vida til remanescente da ponte deve ser determinada considerando o dano

quantificado.

Para propor uma avaliao da condio estrutural, o dano definido como mudanas no

material e/ou das propriedades geomtricas das estruturas, nas condies de contorno,

9

conectividade entre elementos, geometria da seo transversal, carregamento, propriedades

dos materiais e qualquer outro fator capaz de provocar um comportamento estrutural

incomum em uma estrutura (Doebling et al., 1996).

Existem diversos mtodos de deteco de danos, entre eles, os mtodos destrutivos que so

aqueles nos quais se deve extrair parte da estrutura para a realizao de identificao e

avaliao do dano. Os mtodos de deteco de danos no destrutivos incluem emisso

acstica, sensores de fibra tica, ondas ultrassnicas guiadas, radiografia, inspeo visual e

os baseados em vibraes. Estes mtodos podem ser classificados em local e global

(Estrada, 2010).

Mtodos de deteco de dano local so mais adequados para avaliar a performance

estrutural em pequenas reas da estrutura, enquanto que os mtodos de deteco global

tiram vantagem das mudanas globais causadas pelo dano.

Os danos podem ainda ser detectados por mtodos numricos com formulaes lineares ou

no lineares. Grande parte dos estudos realizados adota mtodos lineares para a deteco

de danos. Tais mtodos lineares consideram que a estrutura permanece em regime linear

elstico, mesmo aps o aparecimento do dano. Entretanto, essa considerao uma

simplificao da realidade, j que na verdade a estrutura apresenta comportamento no

linear com bastante frequncia devido presena de fissuras, excesso de cargas, etc.

Os mtodos no lineares de deteco de danos, por sua vez, consideram que o

comportamento da estrutura passa a ser no linear aps a introduo do dano. Estes

mtodos representam de forma mais realista o estado da estrutura, porm apresentam

grandes dificuldades matemticas para a sua resoluo.

Grande parte desses mtodos baseada no monitoramento das vibraes. Esses mtodos se

fundamentam na suposio de que os danos estruturais causam variao nos parmetros

estruturais (massa, rigidez, flexibilidade), que provoca uma mudana nos parmetros

dinmicos da estrutura (frequncias naturais, modos de vibrao, relao de

amortecimento). No entanto, essas mudanas frequentemente so muito pequenas para

serem medidas e para o sucesso na identificao do dano. Esses mtodos, entretanto, vm

sendo crescentemente usados na deteco de danos, pois esto baseados na variao das

10

vibraes e ganharam popularidade devido aos avanos significativos nos mtodos de

anlise modal e nas tecnologias de monitoramento (Estrada, 2008).

A maioria dos mtodos compara o comportamento da estrutura antes e aps o

aparecimento do dano, mas existem mtodos de deteco de danos baseados na anlise

esttica (ou dinmica) e que so capazes de localizar o dano em estruturas somente com a

informao fornecida pela estrutura j danificada. Os mtodos de anlise de wavelet esto

nesta ltima categoria. Existem ainda outros mtodos de deteco de danos que esto

simplificados na Figura 2.3 e cujos detalhes, vantagens e desvantagens encontram-se na

referncia (Ramos, 2007). Alguns mtodos de deteco de danos so descritos abaixo.

Figura 2.3- Classificao dos mtodos de deteco de dano (modificado - Ramos, 2007).

Avaliao do Dano

Local Global

Radar, ultrasnico,

raio-x, fibra tica,

etc

Esttico Baseado em vibrao

No- Linear Linear

Mtodos Baseados em Vibrao

Baseado no modelo No baseado no modelo

Dados modais SHM Dados no modais

Atualizao com MEF Expoente de Hoelder

Anlise de Wavelet Emprico modal

Decomposio

ndice de dano,Curvatura,

Mudana de flexibilidade,

Rigidez direta e COMAC

Condio de linha

base requerida

Condio de linha

base no requerida

11

2.3 USO DAS WAVELETS PARA DETECO DE DANOS

A seguir ser apresentada uma reviso da literatura que abrange vrios estudos anteriores a

fim de selecionar resultados e concluses que contriburam para o desenvolvimento deste

trabalho.

O primeiro estudo no qual as wavelets foram utilizadas para executar anlise de deteco

de danos foi de Surace e Ruotolo (1994). Estes autores simularam uma viga em balano

fissurada submetida a um carregamento dinmico usando um modelo simples em

elementos finitos, conforme ilustra a Figura 2.4.

Figura 2.4 Modelo em elementos finitos da viga em balano fissurada na borda (modificado - Surace e Ruotolo, 1994).

A partir do sinal de vibrao obtido na viga, as transformadas de wavelet foram calculadas

utilizando um cdigo em Fortran desenvolvido pelos autores.

Wang e Deng, (1999) utilizaram as transformadas de wavelet para detectar o dano em duas

situaes. Primeiro, em uma viga biapoiada, contendo uma fissura transversal e submetida

a um carregamento esttico e de impacto (Figura 2.5) e, segundo, em uma placa sob estado

plano de tenso e contendo uma fissura que atravessa a placa (Figura 2.6). A deflexo na

viga foi obtida, numericamente, usando o mtodo das diferenas finitas e a resposta de

deslocamento da placa foi obtida analiticamente. Os autores concluram que as respostas

dos sinais de deslocamento podem ser analisadas com as transformadas de wavelet, com o

objetivo de detectar danos estruturais.

12

Figura 2.5 Viga biapoiada com uma fissura e submetida a um carregamento esttico (Wang e Deng, 1999).

Figura 2.6 Placa contendo uma fissura (Wang e Deng, 1999).

Wang, Dajun e Xianyue, (1999) utilizaram transformadas de wavelet para detectar danos

estruturais a partir da resposta de deflexo de uma viga em balano submetida a um

carregamento esttico e contendo uma fissura transversal. A viga foi modelada em

elementos finitos utilizando o programa ABACUS e est esquematizada na Figura 2.7.

Figura 2.7 Viga em balano contendo uma fissura transversal (Wang, Dajun e Xianyue, 1999).

13

A presena da fissura foi detectada por uma sbita mudana na variao espacial da

resposta transformada, usando os deslocamentos nodais da linha inferior da viga.

Okafor e Dutta (2000) modelaram vigas de alumnio em balano usando o ANSYS 5.3

(Figura 2.8) para obter os seis primeiros modos de vibrao para casos com e sem o dano.

O dano foi simulado reduzindo a rigidez de um elemento finito, alm disso, foi distribudo

gaussianamente um rudo de sinal para simular provveis erros de medida em condies de

campo.

Figura 2.8 Modelo numrico da viga usando elemento SOLID45 (Okafor e Dutta, 2000).

O dano foi localizado a partir dos coeficientes de wavelet e foi observado uma correlao

entre a severidade do dano e a magnitude dos coeficientes de wavelet na regio danificada.

Quek et al., (2001) analisaram a sensibilidade das wavelets na deteco de fissuras em

vigas. Especificamente, foram estudadas caractersticas tais como condies de contorno,

wavelets-me diferentes, comprimento e largura da fissura. Os resultados mostraram que a

transformada contnua de wavelet til para deteco de fissuras em vigas.

Douka et al. (2003) analisaram o modo de vibrao fundamental de uma viga em balano

fissurada usando a transformada contnua de wavelet. Eles tambm investigaram o efeito

do rudo no processo de deteco introduzindo um erro mdio de 1%. A posio da fissura

foi localizada por uma sbita mudana na variao espacial da resposta transformada sem

o rudo e a resposta transformada com o rudo apresentou vrios picos ao longo da viga,

porm a fissura foi localizada na posio onde os coeficientes de wavelet diminuram

regularmente com a escala.

14

Figura 2.9 Esquema da viga em balano fissurada (Douka et al., 2003).

Ovanesova e Suarz (2000) utilizaram as transformadas de wavelet contnuas e discretas

para detectar fissuras de diferentes tamanhos e posies em vigas e prticos planos

(Figuras 2.10 e 2.11) a partir do sinal de resposta dos carregamentos estticos e dinmicos.

Neste estudo foram utilizadas duas wavelets-me diferentes, Haar e a Biorthogonal6.8. Os

resultados das simulaes mostraram que o mtodo capaz de extrair informaes sobre o

dano com uma boa preciso.

Figura 2.10 Viga biengastada submetida carga esttica ou dinmica (Ovanesova e Suarz, 2000).

Figura 2.11 Prtico submetido carga esttica (Ovanesova e Suarz, 2000).

Zhu e Law (2006) apresentaram um novo mtodo para identificao de fissuras em vigas

de pontes submetidas a cargas mveis, baseado na anlise de wavelets. A fissura foi

modelada como uma mola rotacional, conforme mostra a Figura 2.12.

15

Figura 2.12 Viga com molas rotacionais na seo com o dano (Zhu e Law, 2006).

A resposta dinmica da viga foi analisada, usando a transformada contnua de wavelet e os

resultados mostraram que o mtodo pode detectar com preciso a posio da fissura,

mesmo adicionando rudo e variando a velocidade da carga mvel.

Presezniak (2007) fez uma anlise numrica e experimental de uma viga livre-livre com

uma fissura que foi modelada como uma mola torcional, conforme ilustrado na Figura

2.13. O dano foi identificado atravs da aplicao da transformada de wavelet sobre o

primeiro modo de vibrao.

Figura 2.13 Viga utilizada no experimento (Presezniak, 2007).

Estrada (2008) fez uma anlise comparativa detalhada da eficcia dos mtodos de deteco

de danos em pontes, com uma ateno especial aos mtodos baseados na anlise de

wavelets. Os mtodos foram avaliados atravs de trs situaes distintas: cenrios de dano

em modelos numricos de estruturas fissuradas 1D e 2D de vigas e pontes, realizao de

ensaios experimentais em laboratrio de vigas metlicas e de concreto armado reforado e

realizao de ensaios dinmicos em pontes de concreto e madeira. A Figura 2.14 apresenta

16

uma das pontes utilizadas no estudo, sendo que a mesma foi modelada em 1D. O autor

concluiu que a eficcia dos mtodos estudados depende de vrios fatores como: o nmero

de sensores prximo da zona danificada, o nvel de rudo, a extenso e intensidade do

dano.

Figura 2.14 Geometria da ponte utilizada como exemplo (modificado - Estrada, 2008).

Portanto, a partir dos estudos realizados, percebe-se que ocorreu uma evoluo nos

processos de deteco de danos usando wavelets tanto no que diz respeito forma de

obteno das respostas das estruturas, como no processo de clculo dos coeficientes de

wavelet. Alm disso, no foram encontrados trabalhos que utilizaram transformadas de

wavelet para detectar danos em modelos slidos de pontes

Neste trabalho, um dos estudos de caso a serem analisados ser o uso de modelo numrico

3D de uma ponte para simular danos e tentar detect-los aplicando as transformadas de

wavelet nos sinais estticos e modais.

17

3 MTODOS DE DETECO DE DANOS

3.1 MTODOS EXPERIMENTAIS

Em mecnica experimental, vrias tcnicas so disponveis para a realizao de ensaios

no destrutivos de objetos (Halmshaw, 1987; Hull e John, 1988,) como: inspeo visual,

lquido penetrante, partculas magnticas, corrente de Eddy, ultrasnico e raio-x.

A inspeo visual e o lquido penetrante podem detectar apenas danos que chegam a

quebrar at a superfcie, enquanto partculas magnticas podem detectar danos que

quebram a superfcie e, tambm, dar indicaes dos danos na subsuperfcie somente em

materiais ferromagnticos. Para inspees de grandes componentes, usando partculas

magnticas, grandes correntes para gerar grandes campos magnticos so requeridas, alm

disso, cuidado particular necessrio para evitar um aquecimento localizado e queima de

superfcie nos pontos de contato eltrico. Tcnicas de corrente de Eddy(ou Eddy current)

so aplicveis somente em materiais condutores. Testes ultrassnicos podem, s vezes,

detectar a posio e o tamanho relativo do dano, mas no capaz de prever a forma, ver

Figura 3.1 (Halmshaw, 1987).

Figura 3.1- Deteco de danos usando a tcnica de ultrassom (modificado - Bezerra, 1993).

Muitas precaues devem ser tomadas para obter sucesso na aplicao da tcnica de

ultrassom, por exemplo, a superfcie, onde as sondas so aplicadas tem

que ser suavizada para evitar efeitos de espalhamento. Em muitos casos, como na deteco

de defeitos de solda, situaes duvidosas podem surgir e testes de radiografia so,

geralmente, necessrios para confirmar o defeito suspeito. Somente as tcnicas de raio-x

(Figura 3.2) so efetivamente capazes de detectar o tamanho, forma e localizao dos

danos (Broek, 1986).

18

Figura 3.2 - Figura Deteco de danos usando a tcnica de raio-x (modificado - Bezerra,

1993).

Tcnicas radiogrficas, entretanto, possuem diversos contratempos. Primeiro, elas tendem

a ser mais caras quando comparadas com outras tcnicas no destrutivas. Segundo, o custo

dos equipamentos fixos de raio-x so muito altos e necessitam de um espao razovel para

um laboratrio de radiografia, incluindo uma sala escura para processamento do filme.

Para aparelhos de raio-x porttil, os custos so menores, mas o espao para processamento

e interpretao do filme tambm necessrio. Terceiro, a inspeo radiogrfica de

componentes ou estruturas, no local, pode ser um processo lento, porque o equipamento de

raio-x porttil geralmente limitado a uma emisso de radiao de baixa energia e,

consequentemente, muitos disparos so necessrios para inspecionar um objeto. Alm

disso, os custos com uso de tcnicas que utilizam o raio-x podem ser aumentados devido

necessidade de proteo do pessoal contra os efeitos da radiao. Os aspectos de segurana

devem ser aplicados no somente para as pessoas diretamente envolvidas no teste, mas

tambm para todas as pessoas que trabalham nas proximidades do teste de radiografia.

Finalmente, no possvel detectar todos os tipos de danos atravs de radiografia. Danos

que se alinham com a direo do raio-x podem escapar da deteco. Ainda mais, a

inacessibilidade de algumas regies para serem investigadas podem tambm proibir o uso

de tais mtodos (Bezerra, 1993).

Nos ltimos anos, tem tido um aumento na demanda para desenvolver procedimentos

computacionais para a identificao do dano, baseado em observaes discretas internas e

externas (Tanaka et al., 1988).

19

A soluo do problema inverso de deteco de danos atravs de mtodos numricos pode

assim, fornecer uma ferramenta complementar para as tcnicas no destrutivas de anlise,

monitoramento e diagnstico de estruturas.

3.2 MTODOS NUMRICOS

Conforme visto anteriormente, existem vrias tcnicas no destrutivas de deteco de

danos em estruturas. Porm, estas tcnicas so caras e requerem uma anlise precisa de

grande extenso da estrutura.

Os mtodos numricos podem auxiliar nos exames no destrutivos de estruturas, pois

mesmo que eles no detectem o dano, eles podem mostrar a possvel localizao do

mesmo, fazendo com que a rea de anlise seja reduzida, tornando os exames no

destrutivos menos onerosos (Silva, Bezerra e Brito, 2010).

Entre os mtodos numricos mais usados para detectar danos, destacam-se o mtodo dos

elementos finitos (MEF) e o mtodo dos elementos de contorno (MEC).

Uma das reas de mtodos numricos bastante desenvolvidas aps a Segunda Guerra foi

para a resoluo de problemas diretos ou bem-postulados, mas a utilizao de mtodos

numricos para determinao de um dano um tipo de problema inverso ou mal-postulado.

Na Figura 3.3, considere o domnio como homogneo, isotrpico, linear elstico e

representando um slido bidimensional com contorno . Um problema direto em

elastosttica tem os seguintes itens bem definidos (Kubo, 1988)

O domnio de interesse , e contornos ;

As equaes que governam o domnio ;

As condies de contorno apropriadas pra o contorno inteiro;

As propriedades dos materiais envolvidos nas equaes que regem o problema;

As foras que agem no slido.

20

Figura 3.3 Problema direto em elastosttica (modificado - Bezerra, 1993).

Se em uma estrutura parte do domnio matemtico ou alguma propriedade que governa o

problema fosse desconhecido, ento este problema deixa de ser direto e passa a ser inverso

ou mal-postulado.

Existem diversos mtodos que auxiliam na resoluo de problemas inversos, entre eles

podemos citar: inverso direta, mnimos quadrados, regularizao, algoritmos genticos,

redes neurais, entre outros. Neste trabalho, ser dada nfase ao mtodo de regularizao,

pois o mesmo foi utilizado para auxiliar no processo de deteco do dano por diversos

pesquisadores (Beck et al., 1985; Bezerra, 1993; Ferreira, 2007) .

3.2.1 Mtodo da mudana de flexibilidade

Este mtodo foi proposto por Pandey e Biswas (1994) com o objetivo de desenvolver um

mtodo de identificao e localizao de danos usando os parmetros modais da estrutura.

Considerando os modos de vibrao normalizados TM=I, as matrizes de rigidez e de

flexibilidade sem o dano e com o dano ficam da seguinte forma:

(3.1)

(3.2)

(3.3)

21

Onde, K a matriz de rigidez, M a matriz de massa, =[ ] a matriz dos

modos de vibrao, a matriz diagonal com os quadrados das frequncias naturais de

vibrao , n o nmero de graus de liberdade do sistema, so as frequncias naturais,

F a matriz de flexibilidade e o asterisco sobrescrito denota o parmetro de dano. A

mudana da matriz de flexibilidade F dada por:

(3.4)

Cada coluna da matriz de flexibilidade representa o deslocamento produzido por uma fora

unitria aplicada ao grau de liberdade associado.

Um ndice mais apropriado pode ser determinado a partir dos valores absolutos mximos

dos elementos da coluna de dado por:

(3.5)

Onde so os elementos de e indica o grau de liberdade quando a mxima

variao de flexibilidade ocorre e indica tambm a localizao do dano.

O uso dos modos de vibrao para deteco de danos tem alguns inconvenientes, pois a

presena do dano pode no influenciar significativamente nos modos de vibrao menores

que so aqueles geralmente medidos. Alm disso, o rudo de sinal e a escolha dos sensores

utilizados podem afetar consideravelmente a preciso do procedimento de deteco de

danos (Kim et al., 2003).

3.2.2 Mtodo da curvatura

Este mtodo, proposto por Pandey et al., (1991) , baseado na evidncia que a curvatura

dos modos de vibrao est relacionada com a rigidez a flexo da estrutura da seguinte

forma:

(3.6)

22

Onde a curvatura da seo, M o momento fletor da seo, E o mdulo de

elasticidade e I o momento de inrcia da seo.

A introduo de um dano ou uma fissura na estrutura provoca diminuio na rigidez (EI)

na seo fissurada ou regio danificada e consequentemente, a magnitude da curvatura na

seo ir aumentar. Essas mudanas na curvatura so locais e podem ser usadas para

detectar e localizar o dano.

Pandey et al., (1991) mostraram que a curvatura dos modos de vibrao mais sensvel ao

dano do que o prprio modo de vibrao. A plotagem da diferena da curvatura modal de

um estado intacto e um danificado um pico no elemento danificado e indica a presena de

um defeito. Porm, Farrar e Jauregui, (1997) descobriram que o mtodo da curvatura

detecta o dano em apenas dois ou trs lugares e que o mtodo era pouco provvel que fosse

to bem sucedido em localizar maiores regies de danos. Alm disso, para calcular a

curvatura com preciso, um grande nmero de pontos de medio foi necessrio.

3.2.3 Assinaturas estruturais

As Assinaturas Estruturais so funes que comparam as respostas estticas e/ou

dinmicas obtidas nas situaes com e sem o dano. O uso destas comparaes pode

auxiliar no processo de localizao do dano. A seguir so apresentadas algumas assinaturas

utilizadas por diversos pesquisadores, entre eles, Bezerra e Saigal, (1993); Brito (2008);

Caldeira, (2009).

A primeira assinatura F1(z) um somatrio de coeficientes entre variaes de

deslocamentos e as duas primeiras variaes de frequncias naturais para todos os n ns da

estrutura, conforme descrito na Equao 3.7.

(3.7)

Onde:

: diferena entre os deslocamentos nodais da estrutura intacta (ui) e da estrutura

danificada (ud) nas direes x e y para os n pontos da estrutura.

23

e : quadrados das diferenas entre as frequncias naturais obtidas com a estrutura

intacta (i e com a estrutura danificada (d), somente considerando a primeira e a segunda

frequncia natural de vibrao da estrutura, respectivamente.

Podemos escrever os parmetros e matematicamente da seguinte forma:

(3.8)

(3.9)

(3.10)

A segunda assinatura F2(z), apresentada na Equao 3.11 utiliza diferenas de

deslocamentos estticos nas duas direes x e y e diferenas entre as frequncias (ao

quadrado) da estrutura intacta e da estrutura danificada. A assinatura computada para

todos os n graus de liberdade e para as k primeiras frequncias naturais extradas para a

estrutura.

(3.11)

A terceira assinatura F3(z), apresentada na Equao 3.12 calcula o somatrio do produto

dos quadrados das diferenas entre (estrutura intacta e danificada) dos n deslocamentos

resultantes e das k primeiras frequncias naturais .

(3.12)

A quarta assinatura F4(z), denominada COMAC (Coordinate Modal Assurance Criterion),

mede a correlao entre vrios vetores. Se os deslocamentos modais no n i de uma srie

de modos de vibrao so iguais, o valor do COMAC um para este n. Caso contrrio, a

perturbao no local do modo de vibrao danificado pode dar valores de COMAC

menores que um (Ndambi et al., 2002). Este ndice pode ser expresso por:

24

n

1i

n

1i

2*

ij

2

ij

2n

1i

*

ijij

JCOMAC

(3.13)

Onde e so os modos de vibrao para o j-simo n do i-simo modo para a

estrutura intacta e para a estrutura danificada, respectivamente.

Dentro deste contexto das assinaturas, vale destacar os trabalhos do Brito (2008) e Caldeira

(2009). Brito (2008) analisou onze assinaturas diferentes para localizao de danos em

trelias planas plotando os grficos das funes objeto, e concluiu que a combinao de

parmetros estticos, como os deslocamentos nodais, juntamente com os dinmicos, como

as frequncias da estrutura, mostraram uma maior eficincia no equacionamento de

funes objeto destinadas identificao da localizao do dano. J Caldeira (2009),

estudou seis assinaturas escritas em termos de caractersticas de rigidez, deslocamentos s

cargas estticas e modos de vibrar com o objetivo de localizar danos em vigas e prticos. A

autora concluiu que as assinaturas que utilizam o somatrio das diferenas de frequncia

ao quadrado mostraram-se mais convenientes no processo de deteco do

dano.

Existem ainda outros mtodos tradicionais baseados nos parmetros de vibrao, mas que

no fazem parte desta pesquisa.

3.2.4 MTODOS BASEADOS EM WAVELETS

Embora a literatura sobre deteco de dano tenha sido, at agora, dominada por estudos

baseados em mtodos que utilizaram a frequncia ou informao da variao da rigidez,

mtodos baseados na transformada de wavelet, uma recente teoria matemtica

desenvolvida em anlise de sinal (Mallat, 1989), est emergindo.

Estes mtodos so baseados em medidas que so feitas de maneira discreta em alguns

pontos da estrutura. Tais medidas podem estar submetidas a erros de equipamentos ou a

erros humanos e geralmente seguem uma distribuio normal que ser abordada no item

3.3 deste trabalho.

25

3.2.4.1 Wavelets e Transformada de Fourier

A representao de funes a partir da combinao de diferentes funes ortogonais existe

desde o incio do sculo XIX, quando Fourier descobriu que poderia representar sinais

peridicos a partir da soma de senos e cossenos. (Barbosa, 2001). A srie de Fourier a

expanso de um sinal em uma srie de senos e cossenos, porm a anlise de Fourier possui

um grande inconveniente, pois na transformao para o domnio da frequncia, a

informao do tempo perdida (Misiti et al., 2002).

Como forma de tentar corrigir esta deficincia pode-se calcular os coeficientes da srie de

Fourier em partes do sinal, selecionadas sistematicamente por uma sequncia de

janelamentos. Assim, a perda da varivel original no total, mesmo que ao sacrifcio da

informao em frequncia. A esta tcnica dado o nome de transformada de Fourier em

tempo restrito (Short Time Fourier Transform, ou STFT), (Loureiro, 2004).

A vantagem da anlise de wavelet sobre a de Fourier, ou anlise modal, que a

transformada de wavelet decompe um sinal (por exemplo, um sinal temporal ou espacial)

em uma srie de funes locais de ondas (wavelets) com base no eixo do tempo (ou

espacial) e, permite a identificao das caractersticas locais de um sinal a partir de

parmetros como a escala e a posio das wavelets.

Apesar da transformada de Fourier (TF) ser amplamente utilizada, ela possui grandes

deficincias para a deteco de danos. Para os sinais no-estacionrios, TF fornece

componentes espectrais, mas no suas posies temporais, uma vez que a informao

temporal perdida aps a aplicao TF. De forma semelhante, a TF pode detectar a

presena de perturbaes locais para sinais espaciais, mas no suas posies efetivas.

A Transformada de wavelet no apresenta estas deficincias, pois ela pode detectar a

presena e a localizao das perturbaes, bem como o instante de sua ocorrncia,

simultaneamente (Huang, Meyer e Nasser, 2009).

A transformada de wavelet a expanso de um sinal em uma srie de pequenas ondas

(wavelets). O termo wavelet usado para descrever uma funo localizada no espao. Por

localizada entende-se que a wavelet tem suporte compacto (ou quase compacto, o

importante que sua energia esteja concentrada em uma pequena regio). Estas

26

caractersticas resumem a capacidade de tal expanso em representar aspectos oscilatrios

de curta durao presentes em um sinal, ver Figura 3.4 (Loureiro, 2004).

Figura 3.4 Funo peridica senoidal e funo wavelet de Daubechies com 10 momentos nulos (Loureiro, 2004)

A expanso wavelet de um sinal dada por:

(3.14)

A base formada pela famlia de funes wavelet , responsvel pelo particionamento

do espao de interesse L (R) em subespaos Wj ortogonais entre si. Para representarmos

uma funo f(x) contida em L (R), necessrio uma sequncia de subespaos que

satisfaam:

... (3.15)

Assim o espao L (R) pode ser visto como:

(3.16)

Sendo e uma soma direta.

27

3.2.4.2 Propriedades das wavelets

As funes wavelet possuem diferentes propriedades que lhes permitem ser mais

apropriadas para determinados fins. Segundo Estrada (2008), as propriedades mais

relevantes que uma funo wavelet precisa para um processo de deteco de danos so:

Ortogonalidade e biortogonalidade: estas propriedades garantem o clculo rpido

dos coeficientes de wavelet. Infelizmente, nem todas as funes de wavelet

possuem estas duas propriedades;

Suporte compacto: esta propriedade significa que a funo wavelet no assume o

valor zero para intervalos finitos. Esta propriedade permite representar de forma

mais eficiente os sinais que tm caractersticas localizadas;

Momentos nulos: esta propriedade determina o grau do polinmio que podem ser

aproximados. Esta propriedade usada para selecionar a wavelet-me mais

adequada para a deteco de danos;

Regularidade: o nmero de vezes que uma funo diferencivel no ponto x0.

Singularidades em uma funo podem ser detectadas por essa regularidade.

De acordo com estas propriedades, as wavelets-me mais conhecidas so classificadas em

(Ovanesova e Suarez, 2004) da seguinte forma:

A Haar, Daubechies de ordem N(dbN), Meyer, Symlets de ordem N(symN) e a

Coiflets de ordem N(coifN) so exemplos de wavelets-me ortogonais;

A Haar, Daubechies de ordem N, Symlets de ordem N e a Coiflets de ordem N so

wavelets-me que possuem suporte compacto;

A Daubechies de ordem N, Symlets de ordem N e a Coiflets de ordem N so

wavelets-me que possuem um nmero arbitrrio de momentos nulos;

A Morlet, Meyer e Gaussian so wavelets-me regulares. Por outro lado, a

Daubechies de ordem N, a Symlets de odem N e a Coiflets de ordem N so

wavelets-me que possuem uma regularidade pobre.

3.2.4.3 Wavelets me

As wavelets-me so funes (t) que so utilizadas para o clculo dos coeficientes de

wavelet. O processo de clculo destes coeficientes bem como o uso da wavelet-me na

obteno dos mesmos ser abordado no prximo item.

28

Neste trabalho, sero utilizadas duas wavelets-me diferentes a Daubechies(db2) e a

Biorthogonal(bior6.8). Estas duas wavelets-me foram escolhidas pelo fato das mesmas j

terem sido utilizadas por diversos pesquisadores (Ovanesova, 2000; Estrada, 2008;

Grabowska, Palacz, Krawczuk, 2008, entre outros) e apresentarem bons resultados no

processo de deteco de danos.

A wavelet-me mais simples foi descoberta por Haar (1910) ver Figura 3.5, ela representa

a mesma wavelet db1 e definida em termos da funo de Heaviside H(t) conforme a

Equao 3.17:

(t) = H(t) 2H(t-1/2) + H(t-1) (3.17)

Figura 3.5 Wavelet-me Haar (Misiti et al, 2002)

Ingrid Daubechies inventou as chamadas wavelets ortonormais com suporte compacto,

tornando vivel a anlise discreta de wavelets. Os nomes da famlia de wavelets de

Daubechies so escritos dbN, onde N a ordem, e db o sobrenome da wavelet. A

wavelet db1, como mencionada acima, a mesma wavelet Haar, a Figura 3.6 apresenta as

funes wavelet psi dos prximos nove membros da famlia.

Figura 3.6 Famlia de wavelets db1 a db9 (Misiti et al., 2002)

29

A famlia de wavelets Biorthogonal (Figura 3.7) exibe a propriedade de fase linear que

necessria para a reconstruo da imagem e do sinal. Os nomes da famlia de wavelets

Biorthogonal so escritos biorNr.Nd, onde Nr a ordem de reconstruo e Nd a ordem de

decomposio. Usando duas wavelets, uma para decomposio (lado esquerdo) e a outra

para reconstruo (lado direito) em vez de apenas uma, propriedades interessantes podem

ser derivadas dessas duas wavelets. (Misiti, et al., 2002).

Figura 3.7 - Famlia de wavelets biorthogonais (Misiti et al., 2002).

Um resumo das famlias de wavelets e as propriedades associadas a cada uma delas esto

apresentadas na Tabela 3.1

30

Tabela 3.1 Resumo das propriedades das famlias de wavelets (modificado - Misit et al., 2002)

Pela Tabela 3.1, percebe-se que as duas wavelets-me escolhidas para serem utilizadas,

neste trabalho, apresentam de uma forma geral, as propriedades que uma wavelet necessita

para ser empregada no processo de deteco de danos. Vale ressaltar que as wavelets-me

de Coiflets e Symlets mesmo apresentando as mesmas propriedades da Daubechies e da

Biorthogonal no apresentaram bons resultados nas anlises de deteco de danos

realizadas nesta pesquisa, portanto no foram aqui reportadas.

Existem dois tipos de transformadas de wavelet: a contnua e a discreta. Nos itens a seguir,

sero apresentados os dois tipos de transformada.

3.2.4.4 Transformada Contnua de Wavelet (TCW)

Considerando um sinal (deslocamento, modo de vibrao ou acelerao) de interesse no

domnio do tempo e da frequncia no intervalo (-;) e (t), os valores da funo de

wavelet localizado no domnio do tempo e da frequncia. Chamamos (t) de wavelet me.

As wavelets so geradas a partir da wavelet-me por escala e translao, conforme abaixo:

(3.18)

A wavelet est associada ao parmetro de escala a e ao parmetro de translao b.

Ela oscila na frequncia a-1

e est posicionada no tempo (ou espao) b. Como a escala o

inverso da frequncia, para escalas altas temos frequncias baixas e para escalas baixas

temos frequncias altas. Sendo assim, um pequeno pico no grfico, corresponde a uma

componente de alta freqncia no sinal, e grandes picos correspondem a componentes de

baixa frequncia (Polikar, 2010).

31

A escala, como uma operao matemtica, dilata ou comprime o sinal. Escalas maiores

correspondem a sinais dilatados e pequenas escalas correspondem a sinais comprimidos.

Transladar uma wavelet significa simplesmente atrasar ou antecipar seu comeo.

Matematicamente, atrasar uma funo f(t) de k representado por f(t-k).

Os processos de escala e translao de wavelets esto apresentados na Figura 3.8

Figura 3.8- Dilao e translao de funes wavelet (Ovanesova, 2000).

A transformada contnua de wavelet (TCW) definida como o somatrio de todos os

tempos ao longo do sinal multiplicado por uma wavelet-me transladada e escalonada,

como mostra a Equao 3.19.

(3.19)

O resultado desta transformao Ca,b chamado de coeficientes de wavelet para a wavelet

a,b. Estes coeficientes so muito sensveis a descontinuidades e singularidades presentes

em um sinal. Considerando esta propriedade, foi descoberto que o dano devido a uma

perda sbita de rigidez pode ser detectado atravs dos sinais com os coeficientes de

wavelet que alcanam grandes amplitudes, como um pico ou um impulso que surge

naturalmente no local do dano. Esta perturbao devido ao dano mais clara nas finas

escalas da wavelet. Este procedimento a base da deteco de dano usando wavelets

(Estrada, 2008).

32

Durante o clculo dos coeficientes de wavelet, a wavelet analisada transladada

suavemente sobre todo o domnio da funo analisada at que todo sinal seja coberto.

Ento a wavelet esticada e o procedimento acima repetido. Para todos os passos de

translao e dilao, o coeficiente calculado continuamente. Os coeficientes

constituem os resultados de uma regresso do sinal original realizada pela wavelet

(Ovanesova, 2000).

As tranformadas de wavelet, em geral, apresentam-se bastante eficientes na identificao

temporal de frequncias altas de curta durao e na identificao em frequncia de sinais

longos de baixas frequncias. Sendo assim, a TCW consiste numa poderosa ferramenta que

corta sinais em diferentes componentes em frequncia e, ento, estuda cada componente

com a resoluo ajustada para sua escala (Filho, Roitman e Magluta, 2008).

Um dos inconvenientes da TCW que um nmero muito grande de coeficientes de wavelet

Ca,b so gerados durante a anlise. Alm disso, poucas wavelets tm uma expresso

explcita e muitas so definidas com equaes recursivas. A TCW redundante neste

sentido e necessrio o uso de todo o domnio de Ca,b para reconstruir o sinal f(t). Portanto,

em vez de usar dilaes e translaes contnuas, valores discretos destes parmetros so

usados para realizar a Transformada Discreta de Wavelet (TDW) Ovanesova e Suarz

(2004).

Em funo dos motivos expostos acima, optou-se em utilizar apenas as transformadas

discretas de wavelet na deteco de danos.

3.2.4.5 Transformada Discreta de Wavelet (TDW)

Wavelets ( ) com parmetros inteiros so, geralmente, usadas nas transformadas de

wavelet, por exemplo, podem ser geradas de uma wavelet-me usando valores escalonados

de a e transladados de b baseados na potncia de 2. Este procedimento reduz o esforo

computacional nos clculos dos coeficientes de wavelet. A escala a definida como a = 2j

e a translao b = k2j com (j,k) Z. Este processo chamado de Transformada Discreta de

Wavelet (TDW) e as wavelets so obtidas pela Equao 3.20.

(3.20)

33

Onde j e k so os ndices de escala e translao (posio) respectivamente. Os coeficientes

discretos de wavelet so dados por:

(3.21)

De posse de um modelo numrico de uma estrutura e do conhecimento da teoria para o

clculo das transformadas de wavelet, os seguintes passos so necessrios para realizar um

procedimento de deteco de danos utilizando a TDW.

Passo 1: discretizar a estrutura contnu

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Determinação de Patologias Estruturais Usando Modelagem Numérica