UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUÍMICAIT 390 – LABORATÓRIO DE ENGENHARIA QUÍMICA I

DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE REYNOLDS CRÍTICO

Martins, F.S.1, Neves, L.G.D.1, Vianna, E.L.F.1, e Mendes, M.F.2

1 Discente do Curso de Engenharia Química da UFRRJ2 Docente do Departamento de Engenharia Química da UFRRJ

RESUMO: Este trabalho foi realizado para determinar experimentalmente o número de Reynolds crítico. A determinação foi feita através do escoamento em tubos circulares, com a variação experimental da perda de carga com a vazão, em tubo de vidro circular reto. Foram obtidos valores de Re iniciando no regime laminar e terminando no regime turbulento. Através da curva de Reynolds versus fator de atrito experimental foi possível determinar o Reynolds crítico. O número de Reynolds crítico obtido foi 2027,405, então comparado com o fornecido pela literatura, obtemos uma proximidade entre eles. Também foram calculados os valores experimentais do fator de atrito e estes foram comparados ao fator de atrito de Fanning e a correlação de Churchill, obtendo-se uma certa discrepância entre os valores de fatores de atrito experimentais e teóricos. A utilização da correlação de Churchill se mostrou melhor, pois descreve tanto o escoamento laminar quanto o turbulento.

Palavras-chave: Escoamento, Reynolds, Reynolds Crítico

1. INTRODUÇÃO

Fluido é uma substância que não tem forma própria e assume o formato do recipiente. Os fluidos são gases ou líquidos e apresentam pequenas diferenças entre si. O gás ocupa todo o volume do recipiente, enquanto o líquido apresenta uma superfície livre (Brunetti, 2008)

Segundo Munson et al. (2004), os fluidos que apresentam uma relação linear entre tensão de cisalhamento e taxa de deformação por cisalhamento (também conhecida como taxa de tensão angular) são denominados fluidos newtonianos (fluidos ideais). A maioria dos fluidos comuns, tanto líquidos, como gases são newtonianos.

Os fluidos não newtonianos apresentam uma relação não linear entre a tensão de cisalhamento e a taxa de cisalhamento. Algumas das aplicações dos fluidos não newtonianos na indústria são o processamento de polímeros, a recuperação de minerais e o processamento de alimentos (Osorio & Steffe, 1984).

Para Honey & Pretorius (1999), os fluidos reais (líquidos, gases, sólidos fluidizados) apresentam uma resistência à deformação ou ao escoamento quando submetidos a uma determinada tensão. Para os gases, a viscosidade está relacionada com a transferência de impulso devido à agitação molecular. Já a viscosidade dos líquidos relaciona-se mais com as forças de coesão entre as moléculas.

Um fluido pode ser tratado como contínuo, para o qual, por definição, as propriedades variam muito pouco de ponto a ponto. A mecânica dos fluidos contínuos se subdivide em dois grandes grupos: fluidos não-viscosos (µ igual a zero) e fluidos viscosos (µ diferente de zero) (Fox et al., 2004)

O escoamento dos fluidos pode ocorrer dentro dos regimes laminar, intermediário e turbulento. No primeiro caso ainda é possível, em situações de grande simetria, obter-se uma descrição através de expressões matemáticas simples. Porém, no último caso, só é possível uma descrição estatística do escoamento, isto é através do valor médio da velocidade e suas flutuações em torno deste valor (www.fis.ufba.br).

No regime de escoamento laminar o fluido se move de forma suave e organizada em camadas ou lâminas, não havendo mistura macroscópica de camadas adjacentes de fluido. A transição à turbulência se dá através da amplificação de perturbações introduzidas no escoamento, inicialmente laminar, por variadas fontes de ruído (www.eesc.usp.br)

No regime turbulento há a criação, desenvolvimento e colapso de vórtices, com consequente dissipação de energia por atrito viscoso entre partículas adjacentes; vorticidade gerada no contato entre regiões com movimento de líquido rápido e lento ou estagnado na camada limite laminar ou em zonas de separação do escoamento (www.em.ufop.br).

Segundo Munson et al. (2004), Osborne Reynolds foi o primeiro a distinguir a diferença entre estes tipos de escoamento utilizando uma simples montagem experimental, como mostra a Figura 1.

Figura 1 - Desenho do experimento realizado por Reynolds.

Com o procedimento, o cientista conseguiu descrever 3 comportamentos para o fluido, que podem ser visualizados na Figura 2.

Figura 2 - Comportamento do filete de tinta para cada tipo de escoamento.

Para Favero (2009), o estudo, a avaliação e entendimento de qualquer processo no qual o escoamento deste tipo de fluido seja de fundamental importância, é necessário conhecer este comportamento e em muitos casos, saber representá-lo de uma forma quantitativa por meio de equações matemáticas.

O número de Reynolds é um valor adimensional que mostra a distinção do escoamento laminar e turbulento. Este número é a medida da razão entre as forças de inércia de um elemento de fluido e os efeitos viscosos desse elemento. Esta grandeza será importante quando estes dois tipos de forças forem relevantes no escoamento (Munson et al., 2004).

A equação representativa do número de Reynolds é apresentada a seguir na Equação 1:

ℜ=D .v . ρμ

Equação 1- Equação do Número de Reynolds.

Aonde:

D – Diâmetro interno do tubo

v - Velocidade de escoamento do fluido

ρ – Densidade do Fluido

µ - Viscosidade dinâmica do Fluido

O tipo do escoamento pode ser constatado pela relação acima, em que o número de Re <2100 corresponde a escoamento laminar, entre 2100< Re <4000 é correspondente à faixa de transição e o número de Re>4000 é o do regime turbulento. A característica do escoamento depende não somente da tubulação utilizada como também do caráter viscoso do fluido, desta maneira

fluidos de baixa viscosidade e alta densidade tendem a fornecer à turbulência (Scheid, 2010).

O ponto de partida para o cálculo da perda de carga é a definição do fator de atrito, f. Existem 2 definições para este fator, a de Darcy e a de Fanning. O fator de atrito de Fanning é definido pela razão entre a tensão de cisalhamento na parede e a energia cinética do escoamento por unidade de volume (www.teses.usp.br).

Na literatura existem várias correlações para a determinação do fator de atrito de Fanning, neste trabalho foi utilizada a correlação de Churchill (1977).

O número de Reynolds crítico define Re acima do qual o escoamento deixa de ser laminar e passa a ser turbulento. Seu valor depende de cada geometria (www.Fftp.demec.ufpr.br)

De acordo com Mendes (2011), o regime laminar, a variação do fator de Fanning com o número de Reynolds, é linear. A literatura fornece diversas correlações de f=f(Re) para escoamento turbulento. Os resultados obtidos permitem fazer a verificação experimental destas correlações. Segundo a mesma, a determinação do número de Reynolds crítico para escoamento de fluidos em condutos circulares é imprescindível nas equações de projeto, pois caracteriza o tipo de escoamento de um fluido num tubo.

Neste trabalho objetivou-se determinar o valor do Reynolds Crítico para o experimento realizado, além da variação experimental da perda de carga, e por ultimo a visualização das características dos escoamentos laminar e turbulento.

2. MATERIAIS E MÉTODOS

Os materiais utilizados nesse experimento foram: Reservatório contendo água (V=50 litros) Reservatório contendo corante (funil de separação) Suporte para o funil de separação Válvula gaveta Mangueira Manômetro de tubo inclinado Provetas Cronômetro Tubo cilíndrico de vidro Corante – azul de metileno Fluido manométrico – mistura de 50% tolueno e 50% tetracloreto de carbono

Régua

A montagem experimental é mostrada pela Figura 3.

Figura 3 - Montagem Experimental para Determinação do Reynolds Crítico.

3. PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL

Durante todo o experimento, regulou-se a válvula de saída do tubo de vidro com o objetivo de controlar a vazão desde altos até baixos valores.

Através da manipulação da válvula de controle, variou-se diversas vezes a vazão, influenciando diretamente a queda de pressão (ΔP), que era medido através da diferença de altura Δh oriunda de um manômetro de tubo inclinado. Para cada ΔP mediu-se em duplicata o volume de água escoado num determinado período de tempo. Utilizou-se o corante azul de metileno para observar o comportamento do fluido (água) à medida que se aumentava a velocidade do escoamento através da manipulação das válvulas de controle.

A vazão de água foi determinada pelo uso de um cronômetro e de uma proveta graduada, na qual o volume de água descarregada pelo tubo de vidro foi medido durante um intervalo de tempo.

Ao todo foram 19 medições. Com isso obteve-se uma larga faixa de valores de Reynolds possibilitando observar as características do escoamento através das linhas de corrente desde o regime laminar até o regime turbulento, passando pela transição.

Durante todo o experimento foi necessário monitorar a altura de líquido no tanque de alimentação, para que não ocorresse variação de pressão.

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

Durante o início da realização dos experimentos, com a válvula em abertura máxima, procurou-se manter o nível do tanque constante, para que a coleta de dados não fosse irregular.Os valores encontrados experimentalmente são apresentados na Tabela 1.

Tabela 1 - Dados obtidos no experimento.

Medição

Hvertical

(cm)

Hinclinado

(cm)

V1

(ml)t1 (s)

V2

(ml)t2 (s)

1 14,50 14,20 0,00 0,00 0,00 0,00

2 14,50 14,10 65,00 19,87 70,0020,0

6

3 14,40 14,30130,0

019,84

135,00

20,38

4 14,20 14,50290,0

019,90

275,00

19,84

5 14,00 14,70390,0

020,00

400,00

20,00

6 13,60 14,90480,0

019,80

485,00

19,81

7 13,90 15,60245,0

05,93

260,00

6,00

8 12,50 16,00295,0

06,06

300,00

6,10

9 12,00 16,50320,0

06,09

320,00

6,44

10 11,00 17,00375,0

06,25

360,00

6,22

11 10,50 17,80445,0

05,97

445,00

6,19

12 10,00 18,20465,0

06,03

485,00

6,25

13 9,60 18,70440,0

06,00

465,00

6,31

14 9,00 19,20835,0

09,75

830,00

10,10

15 8,50 19,90910,0

09,97

915,00

10,00

16 7,70 20,90665,0

06,46

620,00

6,00

17 6,90 21,70630,0

06,06

640,00

6,13

18 6,00 22,30680,0

06,03

690,00

6,15

19 5,00 25,00720,0

06,00

740,00

5,94

Como no experimento foi utilizado um manômetro de tubo inclinado foi necessária a correção dos valores da variação da altura (∆H). Para esta correção, estes valores foram multiplicados pelo cosseno do ângulo de inclinação, mostrado na Figura 4 e obtido pela Equação 2.

Figura 4 - Aproximação da geometria do Manômetro de tubo inclinado.

cos (α )= BA

Equação 1 - Relação do cosseno do ângulo.

Sendo:

A= 11,4 cm

B= 6,7 cm

Logo,

cos(α)= 0,58772

α = 54,0047º

Os valores de vazão foram calculados segundo a Equação 3

Com os valores do volume médio e o tempo médio, foram calculadas as vazões volumétricas médias pela equação:

Q=VT

Equação 2 - Relação de Vazão, volume e tempo.

Sendo:

Q- Vazão volumétrica (cm3/s)

V- volume (cm3)

T- Tempo (s)

Em que 1 ml é igual a 1 cm³.

A Tabela 2 apresenta os valores da Tabela 1, mas já com a relação de vazão e a vazão média.

Tabela 2 - Relação de dados experimentais, mas apresentando as vazões e vazões média.

Medição

Hvertical

(cm)Hinclinado

(cm)Q1

(ml/s)Q2

(ml/s)Qmedio

(cm/s)1 14,50 14,20 0,0000 0,0000 0

2 14,50 14,10 3,2713 3,48953,3803973

08

3 14,40 14,30 6,5524 6,62416,5882803

35

4 14,20 14,5014,572

913,860

914,216875

71

5 14,00 14,7019,500

020,000

019,75

6 13,60 14,9024,242

424,482

624,362504

4

7 13,90 15,6041,315

343,333

342,324339

52

8 12,50 16,0048,679

949,180

348,930097

93

9 12,00 1605,0052,545

249,689

451,117298

49

10 11,00 17,0060,000

057,877

858,938906

75

11 10,50 17,8074,539

471,890

173,214754

44

12 10,00 18,2077,114

477,600

077,357213

93

13 9,60 18,7073,333

373,692

673,512942

4214 9,00 19,20 85,641 82,178 83,909621

0 2 73

15 8,50 19,9091,273

891,500

091,386910

73

16 7,70 20,90102,94

12103,33

33103,13725

49

17 6,90 21,70103,96

04104,40

46104,18248

19

18 6,00 22,30112,76

95112,19

51112,48230

39

19 5,00 25,00120,00

00124,57

91122,28956

23

Sendo conhecido o diâmetro do tubo e as propriedades do fluido (Tabela 3), recorreu-se a Equação 3 para descobrir o valor da velocidade do liquido em escoamento e após isso, utilizou-se a Equação 1 para o cálculo do valor do Número de Reynolds como mostrado na Tabela 4.

Tabela 3 - Propriedades do tubo e do fluido.

Dtubo (cm) 1,53

Ltubo (cm) 68

Ltubo (m) 0,68

Dtubo (m) 0,0153

Rtubo (cm) 0,765

Atubo (cm2)1,83853856

1ρ fluido (g/cm3) 1

μfluido

(g/cm.s.)0,01

Q=v . A →v= Q

π .D2

4

Equação 3 – Relação entre velocidade do fluido, área da seção transversal do tubo e vazão de fluido

Aonde:

Q – Vazão de fluido

v – Velocidade do fluido

A – Área da seção transversal da tubulação

Na Tabela 4 também é apresentado o tipo de escoamento segundo uma classificação visual.

Tabela 4 - Dados de Vazão, velocidade do fluido e Número de Reynolds e uma classificação visual do escoamento.

Medição

Qmedio (cm/s)v

(cm/s)Re Escoamento

1 0,000 0,000 0,000 Laminar2 3,380 1,839 281,311 Laminar3 6,588 3,583 548,265 Laminar4 14,217 7,733 1183,104 Laminar5 19,750 10,742 1643,561 Laminar

6 24,363 13,251 2027,405Intermediári

o7 42,324 23,021 3522,158 Turbulento8 48,930 26,614 4071,878 Turbulento9 51,117 27,803 4253,893 Turbulento

10 58,939 32,057 4904,794 Turbulento11 73,215 39,822 6092,805 Turbulento12 77,357 42,075 6437,534 Turbulento13 73,513 39,984 6117,620 Turbulento14 83,910 45,639 6982,814 Turbulento15 91,387 49,706 7605,061 Turbulento16 103,137 56,097 8582,904 Turbulento17 104,182 56,666 8669,886 Turbulento18 112,482 61,180 9360,583 Turbulento19 122,290 66,515 10176,726 Turbulento

Na Figura 4 temos a demonstração do escoamento laminar determinado no experimento.

Figura 4 - Escoamento Laminar no experimento.

Com os dados apresentados na Tabela 4 foi calculado o fator de atrito experimental segundo a equação de definição do fator de atrito de Fanning (Equação 4). Também foi calculado o fator de atrito utilizando o modelo de Fanning, que varia com o número de Reynolds para o regime laminar pela Equação 5, e para regime turbulento utilizou-se a correlação de Churchill pela Equação 6, a fim de serem feitas comparações entre valores experimentais com os valores obtidos nos modelos.

ΔPρ⋅g

=2⋅f exp⋅L⋅v2

D⋅g

Equação 4 – Equação de definição do fator de atrito de Fanning.

Sendo L= 68 cm.

f Fanning=16Re

Equação 5 – Determinação do fator de atrito para o regime laminar.

f Churchill=8⋅[( 8Re )12+ 1

(A+B )32 ]

112

Equação 6 – Determinação do fator de atrito para o regime turbulento.

Onde:

A=[2 ,457⋅ln( 1

( 7Re )0,9

+0 ,27⋅ εD )]

16

B=(27530Re )16

Os resultados obtidos são mostrados na Tabela 5.

Tabela 5 – Fatores de atrito.

Medição Re f Experimental A B f Churchill f Fanning

1 0,0000 0,0000 0,000E+00 0,000E+00 0,0000 0,0000

2 281,3108 0,2359 3,922E+14 7,078E+31 0,2275 0,0569

3 548,2653 0,1242 5,591E+15 1,633E+27 0,1167 0,0292

4 1183,1038 0,0267 7,520E+16 7,388E+21 0,0541 0,0135

5 1643,5609 0,0138 2,031E+17 3,840E+19 0,0390 0,0097

6 2027,4055 0,0091 3,715E+17 1,336E+18 0,0422 0,0079

7 3522,1584 0,0105 1,645E+18 1,941E+14 0,0423 0,0045

8 4071,8781 0,0045 2,378E+18 1,906E+13 0,0404 0,0039

9 4253,8932 0,0052 2,653E+18 9,469E+12 0,0398 0,0038

10 4904,7939 0,0039 3,771E+18 9,704E+11 0,0381 0,0033

11 6092,8053 0,0040 6,349E+18 3,019E+10 0,0357 0,0026

12 6437,5336 0,0018 7,227E+18 1,251E+10 0,0351 0,0025

13 6117,6200 0,0025 6,410E+18 2,829E+10 0,0357 0,0026

14 6982,8136 0,0019 8,735E+18 3,407E+09 0,0343 0,0023

15 7605,0607 0,0023 1,063E+19 8,695E+08 0,0335 0,0021

16 8582,9040 0,0025 1,399E+19 1,255E+08 0,0323 0,0019

17 8669,8860 0,0020 1,431E+19 1,068E+08 0,0323 0,0018

18 9360,5828 0,0013 1,699E+19 3,134E+07 0,0316 0,0017

19 10176,73 0,0049 2,043E+19 8,226E+06 0,0309 0,0016

A Figura 5 mostra a representação do fator de atrito experimental contra número de Reynolds.

2000.00 6000.00 10000.000.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0.0040

0.0050

0.0060

f(x) = − 5.98777403795965E-07 x + 0.00687145644898223R² = 0.712347757789993

f(x) = NaN x + NaNR² = 0

f Laminar

Linear (f Laminar)

f Turbulento

Linear (f Turbulento)

Reynolds

f

Figura 5 - Fator de atrito experimental versus número de Reynolds.

Os coeficientes angulares das retas de ajuste da região laminar e turbulenta são respectivamente -2,0x10-5 e -6,0x10-7. Analisando a Figura 6 é possível determinar o número de Reynolds crítico a partir da equação encontrada para o regime laminar. O número de Reynolds crítico obtido pelo gráfico foi 2027,405. A Figura 6 estabelece uma comparação do fator de atrito experimental e teórico de Fanning e Churchill.

0.00 2000.00 4000.00 6000.00 8000.00 10000.00 12000.000.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

f (exp)f Churchillf Fanning

f

Figura 6 - Comparação entre os fatores de atritos experimentais e teóricos em função de Reynolds.

Analisando a Figura 6, vale ressaltar que a partir do regime turbulento o fator de Churchill começa a se aproximar do fator experimental inicialmente. Nota-se que a linha de tendência é bem próxima para o fator de Churchill e o fator experimental inicialmente, mas após um determinado tempo os valores dos fatores de atritos são diferentes. Já o fator de atrito de Fanning tem valores diferentes do fator experimental inicialmente e após se aproxima dos valores

Re

experimentais de acordo com o aumento de Re. Mesmo assim, a correlação do fator de Churchill foi o que mais se aproximou do experimento realizado.

A Figura 7 demonstra o coeficiente de atrito fator Fanning em função do número de Reynolds em gráfico log-log.

1 10 100 1000 10000 1000000.0

0.0

0.1

f Fanning

Reynolds

f Fan

ning

Figura 7 - Coeficiente de atrito fator Fanning em função do número de Reynolds em gráfico log-log.

Na Tabela 6 encontram-se os valores de perda de carga e suas respectivas velocidades.

Tabela 5: Dados de perda de carga e velocidade.

Medição

Re ΔP/ρ.g V²/2g

1 0,00 0,0000 0,00002 281,31 0,0723 0,00093 548,27 0,1446 0,00184 1183,10 0,1446 0,00395 1643,56 0,1446 0,00556 2027,41 0,1446 0,00687 3522,16 0,5062 0,01178 4071,88 0,2893 0,01369 4253,89 0,3616 0,0142

10 4904,79 0,3616 0,016411 6092,81 0,5786 0,020312 6437,53 0,2893 0,021513 6117,62 0,3616 0,020414 6982,81 0,3616 0,0233

15 7605,06 0,5062 0,025416 8582,90 0,7232 0,028617 8669,89 0,5786 0,028918 9360,58 0,4339 0,0312

1910176,7

31,9526 0,0339

A Figura 7 mostra a representação gráfica da perda de carga (ΔP/ρg) em função da velocidade (v²/2g).

0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.50000.0000

0.5000

1.0000

1.5000

2.0000

2.5000

f(x) = xR² = 1

Figura 7: Gráfico de ΔP/ρg versus v2/2g.

Para construção do gráfico log-log (Figura 8) foi necessário calcular as perda de carga ΔP/2.v^2 em função do número de Reynolds, como mostra a Tabela 7.

Tabela 7 - Cálculo da perda de carga.

Medição Re ΔP/ρ.g V²/2g ΔP/2.v21 0,00 0,0000 0,0000 0,0000

2 281,31 0,0723 0,000910,4823

4

3 548,27 0,1446 0,00185,51924

3

4 1183,10 0,1446 0,00391,18526

5

5 1643,56 0,1446 0,00550,61417

1

6 2027,41 0,1446 0,00680,40362

7

7 3522,16 0,5062 0,01170,46807

1

8 4071,88 0,2893 0,01360,20012

5

9 4253,89 0,3616 0,01420,22920

7

10 4904,79 0,3616 0,01640,17240

9

11 6092,81 0,5786 0,02030,17876

7

12 6437,53 0,2893 0,02150,08006

7

13 6117,62 0,3616 0,02040,11082

5

14 6982,81 0,3616 0,02330,08506

3

15 7605,06 0,5062 0,02540,10039

8

16 8582,90 0,7232 0,02860,11260

6

17 8669,89 0,5786 0,02890,08828

6

18 9360,58 0,4339 0,03120,05680

4

19 10176,73 1,9526 0,03390,21626

1

1000 10000 1000000.0

0.1

1.0

10.0

ΔP/2.v2

Reynolds

∆P/2

.V^2

Figura 8 - Razão entre a perda de carga e a velocidade (ΔP/2.v2) em função do número de Reynolds em escala logarítmica.

5. CONCLUSÕES

De acordo com os resultados obtidos para os valores de fator de atrito experimental e teórico, foi observado que com o aumento do número de Reynolds o fator de atrito tende a diminuir, não importando se calculado por

qualquer uma das correlações ou experimental. Observando a Tabela 5 nota-se uma grande diferença entre os valores calculados pelos modelos e os valores experimentais, sendo a correlação de Churchill a que apresentou maiores desvios.

O valor do número de Reynolds crítico obtido através da Figura 5 foi de 2027,405, comparando com a literatura difere, a maioria dos autores considera a região crítica a partir de Reynolds igual a 2100, esta diferença pode estar relacionada a efeitos de borda inerentes ao equipamento utilizado para a medição dos dados.

Durante o experimento foi realizada a injeção de corante (azul de metileno) para identificar o regime de escoamento em cada ponto medido através da observação das linhas de corrente. Sendo a faixa de transição de difícil visualização para que se possa afirmar o regime em que se encontra. Observando a Figura 7, nota-se que a perda de carga é linearmente proporcional à velocidade do escoamento.

6. REFERÊNCIAS

BRUNETTI, F., Mecânica dos Fluidos, Editora Pearson Prentice Hall, 2ª Edição, 2008,

Disponível em http://www.eesc.usp.br/netef/Oscar/FUNDAMENTOS_DE_TURBULENCIA.pdf, acessado dia 21/01/2013 as 17:12

Disponível em http://www.em.ufop.br/deciv/departamento/~carloseduardo/Esc%20Unif%20Cond%20For.pdf, acessado dia 21/01/2013 as 17:20

Disponível em http://www.fis.ufba.br/dfg/fis2/Escoamento_fluidos.pdf, acessado dia 21/01/2013

Disponível em: - www.teses.usp.br%252Fteses%252Fdisponiveis%252F3%252F3137%252Ftde-24092008-141009%252Fpublico%252F2_RevisaoBibliografica.pdf%26ei%3Dg-L9UKbbN4ei9QS2-YDIAQ%26usg%3DAFQjCNHvkPRbaPXCSk2fmsDmeH-KWAR3og%26bvm%3Dbv.41248874%2Cd.eWU&oq=www.teses.usp.br%252Fteses%252Fdisponiveis%252F3%252F3137%252Ftde-24092008-141009%252Fpublico%252F2_RevisaoBibliografica.pdf%26ei%3Dg-L9UKbbN4ei9QS2-YDIAQ%26usg%3DAFQjCNHvkPRbaPXCSk2fmsDmeH-KWAR3og%26bvm%3Dbv.41248874%2Cd.eWU&aqs=chrome.0.57&sourceid=chrome&ie=UTF-8, acessado dia 21/01/2013 as 22:57

FAVERO, J. L., Simulação de escoamentos viscoelásticos: Desenvolvimento De Uma Metodologia De Análise Utilizando O Software OpenFoam e equações constitutivas diferenciais, Dissertação de Mestrado, UFRGS, Porto Alegre, 2009

FOX, R.W.,McDonald,A.T.,Pritchard ,P. J., Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC Editora, 2001, Rio de Janeiro

HONEY, H. C., PRETORIUS, W. A. Laminar Flow Pipe Hidraulics of Pseudoplastic-Thixotropic Sewage Sludges, Department of Chemical Engineering, University of Pretoria, South Africa, 1999.

http://www.Fftp.demec.ufpr.br%2Fdisciplinas%2FTM114-A%2FApostila%2FCap07%2520-%2520Escoamento%2520Externo.doc&ei=uOf9UJ6jL4uC9gT374DoDA&usg=AFQjCNEHNJdx6nfPu6pwmWDDs_AIe761tg&bvm=bv.41248874,d.eWU

MENDES, M. F, et all, Apostila de LABEQ I, 2011. Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro

MUNSON, B.R., Young, D.F., Okiishi, T.H., Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Editora Edgard Blücher, Tradução da 4ª edição americana, 2004, São Paulo

OSORIO, F. A.; STEFFE, J. F. Kinetic energy calculations for non-Newtonian fluids in circular tubes. Journal of Food Science, v. 49, n. 5, p. 1295{1296, 1315, September 1984.

SCHEID, C. M. (2010), Notas de aula de Mecânica dos Fluidos, DEQ/IT/UFRRJ.