TECNOLOGÍA QUÍMICA Vol. XXVIII, No. 3, 200856

DETERMINACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE DEMEDICIÓN POR EL MÉTODO DE MONTE CARLO EN LOS

PROCESOS DE MANUFACTURAYoel Portuondo Paisan, Juan Portuondo Moret

*Facultad de Ingeniería Mecánica Universidad de Oriente

El conocimiento y la expresión de la incertidumbre de medición constituyen una parte indisolublede los resultados de las mediciones, así como un elemento indispensable de la trazabilidad de lasmediciones y en el control y regulación de los procesos de manufactura.En el presente trabajo se lleva a cabo la determinación de la incertidumbre de medición a travésdel método de simulación de Monte Carlo, a partir de la generación de valores aleatorios, con elobjetivo de comparar los resultados con los obtenidos por el método GUM (guía para la estimaciónde la incertidumbre de medición). Como magnitud a medir, se utiliza el diámetro exterior de un ejemacizo, el cual fue obtenido por un proceso de manufactura (torneado), y como medio de mediciónse emplea un micrómetro analógico. Los resultados obtenidos por ambos métodos se comparanentre sí, llegándose de esta forma a importantes conclusiones.Palabras clave: incertidumbre de medición, simulación Monte Carlo.

The knowledge and the expression of the measurement uncertainty constitute an indissoluble partof the measurement results, as well as an indispensable element of the Traceability of themeasurements and in the control and regulation of the manufacturing processes.The determination of the measurement uncertainty through the method of simulation of Monte Carlois carried out, from the generation of random values, with the objective of comparing the resultswith those obtained by the method GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement).As magnitude to be measured is used the external diameter of a solid cylinder, which was obtainedby the manufacturing process (lathed), and a analogical micrometer is used as measuringinstrument. The results obtained by both methods are compared each other and importantconclusions are obtained.Key words: Measurement uncertainty. Simulation Monte Carlo.

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Introducción

La incertidumbre de medición se define como unparámetro asociado con el resultado de una medi-ción que caracteriza la dispersión de los valores quepudieran ser atribuidos razonablemente al mesurando/1/. La misma es considerada también como unparámetro de entrada fundamental para modeloscomplejos de optimización en los procesos de fabri-cación y aseguramiento de la calidad.

Para la evaluación de la incertidumbre de medi-ción existen guías, normas y recomendaciones. Ensiguiente trabajo persigue como objetivos determinarla incertidumbre de medición por los métodos desimulación de Monte Carlo y por el GUM, y compa-rar los resultados obtenidos por ambos métodos.

Gracias a la constante evolución de lasmicrocomputadoras, en lo que se refiere a su capa-

cidad de procesamiento de la información, el métodode Monte Carlo es cada vez más utilizado.

Los orígenes de esta técnica están ligados altrabajo desarrollado por Stan Ulam y John VonNeumann a finales de los 40, en el laboratorio de LosAlamos, cuando investigaban el movimiento aleato-rio de los neutrones. En años posteriores, la simula-ción de Monte Carlo se ha venido aplicando a unainfinidad de ámbitos como alternativa a los modelosmatemáticos exactos o, además, como único mediode estimar soluciones para problemas complejos.Así, en la actualidad, es posible encontrar modelosque hacen uso de simulación Monte Carlo en lasáreas informática, empresarial, económica, indus-trial e incluso social. En otras palabras, la simulaciónde Monte Carlo está presente en todos aquellosámbitos en los que el comportamiento aleatorio oprobabilístico desempeña un papel fundamental.Precisamente, el nombre de Monte Carlo provie-

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ne de la famosa ciudad de Mónaco, donde abun-dan los casinos de juego y donde el azar, laprobabilidad y el comportamiento aleatorio con-forman todo un estilo de vida.

Fundamentación teórica

La simulación de Monte Carlo es una herramien-ta de investigación y planeamiento; básicamente esuna técnica de muestreo artificial, empleada paraoperar numéricamente sistemas complejos que ten-gan componentes aleatorios, en otras palabras, esuna técnica que combina conceptos estadísticos(muestreo aleatorio) con la capacidad que tienen losordenadores para generar números pseudo-aleatoriosy automatizar cálculos.

Un elemento importante en los procesos desimulación es identificar las distribuciones deprobabilidad apropiadas para los datos. Esto, nor-malmente, requiere analizar información empíricao histórica, y ajustarla a alguna distribución.

El método de Monte Carlo (MCM) es unmétodo probabilistico o estocástico, mientras quela GUM utiliza métodos determinísticos de esta-dística clásica (frecuentista) para la evaluaciónde de incertidumbre tipo A, y lleva a cabo laevaluación de incertidumbres tipo B y la combina-ción de incertidumbres con el método Bayesianode soluciones analíticas.

La diferencia básica consiste en que la esta-dística clásica (frecuentista) utiliza solamente lainformación provista por la muestra, mientras quela estadística Bayesiana permite utilizaradicionalmente el conocimiento subjetivo que setenga (como aproximaciones con series de Tayloro suponer distribuciones), y el método estocásticose entiende como una secuencia de estados, cuyaevaluación viene determinada por sucesos al azar,donde las leyes de causa efecto no explican cómoactúa un sistema o fenómeno de maneradeterminista, sino en función de probabilidades.

El MCM es una alternativa práctica a la GUMcuando:a) La linealización del modelo (del mensurando)

provee una inadecuada representación. En estecaso, la estimación de la magnitud de salida

(mensurando) y su incertidumbre estándar aso-ciada provista por la GUM, podría no ser confiable.

b) La función de densidad de probabilidad (PDF)para la magnitud de salida (mensurando) seaparta, apreciablemente, de una distribucióngaussiana o de una distribución-t escalada ysesgada, debida a una marcada asimetría. Eneste caso, el resultado es un intervalo de cober-tura irreal (una generalización de “incertidum-bre expandida” en la GUM).

c) Es necesario validar los resultados del métodoGUM, proceso crítico, como los de acredita-ción ISO/IEC 17025, ensayos de aptitud ycomparaciones entre laboratorios.

Métodos utilizados y condicionesexperimentales

Para llevar a cabo la experimentación, sefabricó un cilindro macizo de bronce a través deltorneado. El diámetro de dicho cilindro se midiócon un micrómetro con valor de división del tam-bor 0,01 mm y error máximo permisible 4 µm(clase I). La medición se realizó en un laboratoriode mediciones a 20 0C de temperatura. Para teneren cuenta las imperfecciones del cilindro, se midióel diámetro en cinco puntos diferentes del mismo,distribuidos a lo largo de su eje, apreciando ½división en el tambor (0,005 mm). Se desea deter-minar el diámetro del cilindro, para comprobar siel mismo cumple con una tolerancia de fabrica-ción de ± 0,05 mm. En la tabla 2 se muestran losvalores de las mediciones obtenidas.

Los métodos utilizados para la estimación de laincertidumbre son el método GUM y el método deMonte Carlo, los cuales se describen a continuación:

Determinación de la incertidumbre de medi-ción por el método GUM (Guía para la estimaciónde la incertidumbre de medición)

Para la aplicación de la metodología debenaplicarse los siguientes pasos:a) Establecer el modelo matemático.b) Identificar las fuentes de incertidumbre.c) Evaluación de las fuentes o componentes de

incertidumbre.d) Determinación de la incertidumbre combinada.e) Determinación de la incertidumbre expandida.f) Determinación del resultado de la medición.

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Tabla 1

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a) Establecer el modelo matemáticoRepresenta la dependencia entre el mensurando

(Y) y el valor estimado de cada magnitud deentrada (Xi) en el proceso de medición

Y= F(X1, X2, X3) (1)

donde:X1, u1X2, u2 → Y=f(x) → y, u(y)X3, u3

b) Fuentes de incertidumbre- Variación de las observaciones repetidas- Error del instrumento de medición- Error de apreciación del observadorc) Evaluación de las componentes de incertidumbre.- Componente debida a la dispersión de las

observaciones (evaluación tipo A).

u1 = (2)

- Componente debida al error del instrumento demedición (evaluación tipo B).Como medida del error del instrumento, setoma su error máximo permisible y se plica unadistribución rectangular:

u2 = (3)

- Componente debida a la apreciación del obser-vador (evaluación tipo B).Durante la medición, se apreció ½ división deltambor, es decir 0,005 mm, por lo que, debidoa la resolución, existe otra componente deincertidumbre:

u3 = (4)

d) Determinación de la incertidumbre combinada.

Aplicando la ley de propagación cuadrática deincertidumbre a la ecuación modelo se tieneque:

(5)

e) Determinación de la incertidumbre expandida.

U = K. )(yuc (6)

K = 2 factor de cobertura

f) Resultado de la medición. y = X ± U (7)

Determinación de la incertidumbre demedición por el método de Monte Carlo

La clave de la simulación Monte Carlo consisteen crear un modelo matemático del sistema, procesoo actividad que se quiere analizar, identificandoaquellas variables (inputs del modelo), cuyo compor-tamiento aleatorio determina el comportamiento glo-bal del sistema. Una vez identificados dichos inputso variables aleatorias, se lleva a cabo un experimen-to consistente en: 1 generar con ayuda del ordenadormuestras aleatorias (valores concretos) para dichosinputs, y 2 analizar el comportamiento del sistemaante los valores generados. Tras repetir n veces esteexperimento, se dispone de n observaciones sobre elcomportamiento del sistema, lo cual será de utilidadpara entender el funcionamiento del mismo; obvia-mente, el análisis será tanto más preciso cuantomayor sea el número n de experimentos que selleven a cabo.

El algoritmo de simulación Monte Carlo estáfundamentado en la generación de númerosaleatorios por el método de transformación inver-sa, el cual se basa sobre las distribuciones acumu-ladas de frecuencias (tabla 1).

El algoritmo para seguir es el siguiente:1. Determinar la/s variable/s aleatoria/s y sus

distribuciones acumuladas (F).2. Generar un número aleatorio distribuido uni-

formemente entre (0 y 1).3. Determinar el valor de la variable aleatoria

para el número aleatorio generado de acuerdocon las clases que se tengan.

4. Calcular media, desviación estándar.5. Analizar resultados para distintos tamaños de

muestra.

nSt.

3mE

12dδ

∑=

=n

iic xuyu

1

2 )()(

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Tabla 1

Para el caso de estudio, la variable aleatoria esel diámetro del eje x. Se conoce de informaciónempírica que los datos generados se ajustan a unadistribución normal. Los datos fueron generadoscon ayuda de la hoja de cálculo de MicrosoftExcel, por lo que la fórmula utilizada para ladistribución normal fue: fx=DISTR.NORM.INV(ALEATORIO(),µ,σ) (8)

Los parámetros µ,σ (media y desviaciónestándar) se conocen que tienen los siguientesvalores µ = 10,042 mm s = 0,002 55 mm. Estosvalores fueron obtenidos del resultado arrojadopor el método GUM.

El modelo matemático es similar al obtenido porel método GUM, las componentes de incertidumbretipo B, es decir u2 y u3 siguen una distribuciónrectangular, y fueron calculadas de igual forma quepor el método GUM. La componente u1 es debida ala dispersión de las observaciones (tipo A), lascuales son generadas y se distribuyen normalmente;la expresión de cálculo es la misma, pero se obtienenvalores diferentes debido a la antes mencionadageneración de valores. La incertidumbre combina-da y la expandida se hallan de igual forma que porel método GUM.

Tabla 3

Tabla 4

En la tabla 4 se muestran los resultados obte-nidos por ambos métodos. La componente deincertidumbre debido a las observaciones repeti-

das u1 es ligeramente menor por el método deMonte Carlos; en ambos casos, se utilizó unamuestra de tamaño n = 5.

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Las componentes de incertidumbres u2 y u3

arrojaron el mismo valor para ambos métodos,debido a que se utilizaron las mismas expresionesde cálculos, y no se generaron valores aleatoriospara ambas componentes por el método de MonteCarlos. La incertidumbre de medición U resultóser menor por el método de Monte Carlos aunquela diferencia entre ambos resultados no es signi-ficativa. La incertidumbre resultó ser 8,4 vecesmenor que la tolerancia permitida de fabricaciónde la pieza por el método de Monte Carlo, y 5,6veces menor por el método GUM

Ya que la incertidumbre de medición por am-bos métodos está comprendida entre ¼ T y 1/10T (0,013 y 0,005), el resultado obtenido es satis-factorio.

En la tabla 5 se muestran valores de incerti-dumbres para diferentes tamaños de muestra n.Dichas muestras se encuentran en la tabla 2; parael caso n= 5, se tomaron las primeras cincoobservaciones, para n= 10 las primeras 10, y asísucesivamente. Se aprecia que los valores deincertidumbres disminuyen a medida que aumen-ta el número de muestra.

Tabla 5

Las figuras 1 y 2 representan los histogramasde frecuencias para las muestras de tamañon= 100 y n= 200. Debido a la forma de ambos

histogramas, se puede inferir que los valores sedistribuyen de acuerdo con una distribuciónnormal.

Fig. 1 Histograma de frecuencia paramuestra de tamaño n= 100.

Fig. 2 Histograma de frecuencia paramuestra de tamaño n=2 00.

Conclusiones

1. Se ha expuesto la estimación de incertidumbrespara el diámetro de una pieza cilíndrica a la

temperatura de referencia de 20 °C. Los valo-res de incertidumbre obtenidos por ambos mé-todos son muy cercanos entre sí.

2. La distribución de probabilidad del mensurando,

4,800590,0

050,0==

µT 6,5

00898,0050,0

==UT

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así como sus principales parámetros estadísti-cos, puede obtenerse fácilmente mediante laaplicación del método de Monte Carlos.

3. Aunque los valores obtenidos por el método deMonte Carlos fueron ligeramente menores quelos obtenidos por el método GUM, no se puedeafirmar que este método es superior, peropuede utilizarse para validar los resultados ob-tenidos mediante la aplicación de la GUM.

Bibliografia1 Wolfgang, A., GUÍA PARA ESTIMAR LA INCER-

TIDUMBRE DE LA MEDICIÓN. El Marqués, Qro.,México, 2004, págs. 1-27.

2 Coello, N., Wisweh, L., Determination andConsiderations for the Measurement Deviations inManufacturing Process, Ed. Otto von GuerickeUniversity, preprint 4, Germany, 2001, págs. 1-6.

3 NMX-CH-140-IMNC-2002 Guía para la Expresiónde la Incertidumbre de las Mediciones equivalentea Guide to the Expression of Uncertainty inMeasurement, BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAP,IUPAC, OIML, Mexico, 1995, págs.1-20.

4 NC OIML V2 , Vocabulario Internacional de tér-minos generales y básicos de Metrología, 1eraEdición, Ciudad de La Habana, 1995, págs. 1-61.

5 Wisweh, L, Sandau, M., Determination of theMeasuring Uncertainty and its Use for QualityAssessment and Quality Control, Ed. Otto vonGuericke University, preprint 7, Germany, 1999,págs. 1-13.

6 http://www.geocities.com/CollegePark/Quad/2435/index.html Breve historia de los orígenes del méto-do Monte Carlo.

7 http://wwwcsep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html. Libroelectrónico sobre simulación MC

8 ht tp : / /www.geoc i t i es .com/Wal lS t ree t /9245/vba.htm. Página web donde se muestran algunosejemplos de simulación MC con Excel y VBA.

9 http://www.csun.edu/~vcmgt0j3/Ch12Notes.pdf.Apuntes sobre simulación MC con Excel

NomenclaturaMCM Método de Monte CarloGUM Guía para la estimación de la incertidum

bre de mediciónPDF La función de densidad de probabilidadDISTR.NORM.INV Distribución normal inversaDISTR.LOG.INV Distribución logarítmica inversaa Parámetro de la distribuciónb Parámetro de la distribuciónX Media aritméticaS Desviación típicaEm Error máximo permisibleµm Micrómetron Número de mediciones

Resoluciónσσσσσ Desviación típica poblacionalU Incertidumbre de mediciónK Factor de cobertura Incertidumbre combinadaXi Valores de los diámetrosT ToleranciaU Incertidumbret t-studentu1 Incertidumbre estándar tipo Au2 Incertidumbre estándar tipo Bu3 Incertidumbre estándar tipo Bfx función

dδ

)(yuc